Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Solutions Exercise 1(c) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(c)
I.
Question 1.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\) [Mar. ’14]
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\) ∈ R
⇔ (x2 – 1) (x + 3) ≠ 0
⇔ (x + 1)(x – 1)(x + 3) ≠ 0
⇔ x ≠ -1, 1, -3
∴ f ప్రదేశం = R – {-1, 1, -3}
(ii) f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) ∈ R
⇔ (x – 1) (x – 2) (x – 3) ≠ 0
⇔ x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3
∴ f ప్రదేశం = R – {1, 2, 3)
(iii) f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\) ∈ R
⇔ log(2 – x) ≠ 0, 2 – x>0
⇔ (2 – x) ≠ 1, 2 > x
⇔ x ≠ 1, x < 2 x ∈ (-∞, 1) ∪ (1, 2)
లేదా x ∈ (-∞, 2) – {1}
∴ f ప్రదేశం = {(-∞, 2) – {1}}.
(iv) f(x) = |x – 3|
Solution:
f(x) = |x – 3| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం = R
(v) f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\) ∈ R
⇔ 4x – x2 ≥ 0
⇔ x(4 – x) ≥ 0
⇔ x ∈ [0, 4]
∴ f ప్రదేశం = [0, 4]
(vi) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) [May ’05]
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ∈ R
⇔ 1 – x2 > 0
⇔ (1 + x) (1 – x) > 0
⇔ x ∈ (-1, 1)
∴ f ప్రదేశం = {x/x ∈ (-1, 1)}
(vii) f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\) ∈ R
⇔ 3x ∈ R, ∀ x ∈ R, x + 1 ≠ 0
⇔ x ∈ R, x ≠ -1
∴ f ప్రదేశం = R – {-1}.
(viii) f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\) ∈ R
⇔ x2 – 25 ≥ 0
⇔ (x + 5) (x – 5) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, -5] ∪ [5, ∞)
⇔ x ∈ R – (-5, 5)
∴ f ప్రదేశం = R – (-5, 5).
(ix) f(x) = \(\sqrt{x-[x]}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x-[x]}\) ∈ R
⇔ x – [x] ≥ 0
⇔ x ≥ [x]
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R.
(x) f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ [x] ≥ x
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ Z
∴ f ప్రదేశం z. (z పూర్ణాంకాల సమితి)
Question 2.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
(i) log |4 – x2|
Solution:
y = f(x) = log |4 – x2| అనుకోండి.
f(x) ∈ R
⇔ 4 – x2 ≠ 0
⇔ x ≠ ±2
y = log |4 – x2|
⇒ |4 – x2| = ey
∵ ey > 0 ∀ y ∈ R
∴ f వ్యాప్తి R.
(ii) \(\sqrt{[x]-x}\)
Solution:
y = f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\) అనుకోండి.
f(x) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ Z
∴ f ప్రదేశం Z.
f వ్యాప్తి {0}
(iii) \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R
x ∈ R, [x] పూర్ణాంకం
sin π[x] = 0, ∀ x ∈ R
∴ f వ్యాప్తి {0}
(iv) \(\frac{x^2-4}{x-2}\)
Solution:
y = f(x) = \(\frac{x^2-4}{x-2}\) ∈ R అనుకోండి.
⇔ У = \(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\)
⇔ x ≠ 2
∴ f ప్రదేశం R – {2}
అప్పుడు y = x + 2
∵ x ≠ 2, y ≠ 4
f వ్యాప్తి R – {4}
(v) \(\sqrt{9+x^2}\)
Solution:
y = f(x) = \(\sqrt{9+x^2}\) ∈ R అనుకోండి.
f ప్రదేశం R
x = 0 అయిన f(0) = √9 = 3
∀ x ∈ R – {0}, f(x) > 3
∴ f వ్యాప్తి [3, ∞).
Question 3.
f, g వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలను f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 గా నిర్వచిస్తే, కింది వాటిని కనుక్కోండి.
(i) (3f – 2g) (x)
(ii) (fg) (x)
(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)
(iv) (f + g + 2) (x) లను కనుక్కోండి.
Solution:
(i) (3f – 2g) (x)
f(x) = 2x – 1, g(x) = x2
(3f – 2g) (x) = 3 f(x) – 2 g(x)
= 3(2x – 1) – 2x2
= -2x2 + 6x – 3
(ii) (fg) (x)
= f(x) . g(x)
= (2x – 1) (x2)
= 2x3 – x2
(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)
\(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}=\frac{\sqrt{2 x-1}}{x^2}\)
(iv) (f + g + 2) (x)
= f(x) + g(x) + 2
= (2x – 1) + x2 + 2
= x2 + 2x + 1
= (x + 1)2
Question 4.
f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}, అయితే, కింది వాటిని కనుక్కోండి. [May ’08]
(i) 2f
(ii) 2 + f
(iii) f2
(iv) √f
Solution:
f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}
(i) 2f = {(1, 2(2)), (2, 2(-3), (3, 2(-1))}
= {(1, 4), (2, -6), (3, -2)}
(ii) 2 + f = {(1, 2 + 2), (2, 2 + (-3)), (3, 2 + (-1)}
= {(1, 4), (2, -1), (3, 1)}
(iii) f2 = {(1, 22), (2, (-3)2), (3, (-1)2)}
= {(1, 4), (2, 9), (3, 1)}
(iv) √f = {(1, √2)}
∵ √-3, √-1 లు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.
II.
Question 1.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలకు ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\) ∈ R
⇔ x2 – 3x + 2 ≥ 0
⇔ (x – 1) (x – 2) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, 1] [2, ∞]
∴ f ప్రదేశం R – (1, 2)
(ii) f(x) = log(x2 – 4x + 3) [May ’11; Mar. ’08]
Solution:
f(x) = log(x2 – 4x + 3) ∈ R
⇔ x2 – 4x + 3 > 0
⇔ (x – 1) (x – 3) > 0
⇔ x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, ∞)
∴ f ప్రదేశం R – [1, 3]
(iii) f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\) ∈ R
⇔ 2 + x ≥ 0, 2 – x ≥ 0, x ≠ 0
⇔ x2 ≥ -2, x ≤ 2, x ≠ 0
⇔ -2 ≤ x ≤ 2, x ≠ 0
⇔ x ∈ [-2, 2] – {0}
∴ f ప్రదేశం [-2, 2] – {0}
(iv) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)} \log _{(4-x)} 10}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)} \log _{(4-x)} 10}\) ∈ R
⇔ 4 – x > 0, 4 – x ≠ 1 and x – 2 ≠ 0
⇔ x < 4, x ≠ 3, x ≠ 2
∴ f ప్రదేశం (-∞, 4) – {2, 3}
(v) f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\) ∈ R
సందర్భం (i) 4 – x2 ≥ 0 మరియు [x] + 2 > 0
(లేదా)
సందర్భం (ii) 4 – x2 ≤ 0, [x] + 2 < 0
సందర్భం (i) 4 – x2 ≥ 0, [x] + 2 > 0
⇔ (2 – x) (2 + x) ≥ 0, [x] > -2
⇔ x ∈ [-2, 2], x ∈ [-1, ∞]
⇔ x ∈ [-1, 2] ……(1)
సందర్భం (ii) 4 – x2 ≤ 0 మరియు [x] + 2 < 0
⇔ (2 + x) (2 – x) ≤ 0, [x] < -2
⇔ x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, ∞]
⇔ x ∈ (-∞, -2) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
∴ f ప్రదేశం (-∞, -2) ∪ [-1, 2].
(vi) f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\) ∈ R
అప్పుడు log0.3(x – x2) ≥ 0
⇒ x – x2 ≤ (0.3)0
⇒ x – x2 ≤ 1
⇒ -x2 + x – 1 ≤ 0
(లేదా) x2 – x + 1 ≥ 0
∀ x ∈ R కు ఇది సత్యం ……..(1)
మరియు x – x2 ≥ 0
⇒ x2 – x ≤ 0
⇒ x(x – 1) ≤ 0
⇒ x ∈ (0, 1) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
f ప్రదేశం R ∩ (0, 1) = (0, 1)
∴ f ప్రదేశం (0, 1)
(vii) f(x) = \(\frac{1}{x+|x|}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{x+|x|}\) ∈ R
⇔ x + |x| ≠ 0
⇔ x ∈ (0, ∞)
∵ |x| = x, అయినప్పుడు x ≥ 0
|x| = -x, అయినప్పుడు x < 0
∴ f ప్రదేశం (0, ∞).
Question 2.
R – {0} పై వాస్తవ మూల్య ప్రమేయం f(x) = \(\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+1\) సరి ప్రమేయం అని చూపండి.
Solution:
∵ f(-x) = f(x)
⇒ f(x), R – {0} మీద సరి ప్రమేయం
Question 3.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు, వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∵ [x] పూర్ణాంకం కనుక tan π[x], sin π[x] లు ∀ x ∈ R కు సున్నాలు అవుతాయి.
∴ f ప్రదేశం R
వ్యాప్తి = {0}.
(ii) f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) ∈ R
⇔ 2 – 3x ≠ 0
⇔ x ≠ \(\frac{2}{3}\)
∴ f ప్రదేశం R – {\(\frac{2}{3}\)}
y = f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) అనుకోండి.
⇒ y = \(\frac{x}{2-3 x}\)
⇒ 2y – 3xy = x
⇒ 2y = x(1 + 3y)
∴ x = \(\frac{2 y}{1+3 y}\)
∵ x ∈ R – [latex]\frac{2}{3}[/latex]
1 + 3y ≠ 0
⇒ y ≠ \(\frac{-1}{3}\)
∴ f వ్యాప్తి R – {\(\frac{-1}{3}\)}
(iii) f(x) = |x| + |1 + x|
Solution:
f(x) = |x| + |1 + x| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R
∵ |x| = x, x ≥ 0 అయినప్పుడు
= -x, x < 0 అయినప్పుడు
|1 + x| = 1 + x, x ≥ -1 అయినప్పుడు
= -(1 + x), x < -1 అయినప్పుడు
x = 0, f(0) = |0| + |1 + 0| = 1
x = 1, f(1) = |1| + |1 + 1| = 1 + 2 = 3
x = 2, f(2) = |2| + |1 + 2| = 2 + 3 = 5
x = -2, f(-2) = |-2| + |1 + (-2)| = |2 + 1| = 3
x = -1, f(-1) = |-1| + |1 + (-1)| = 1 + 0 = 1
∴ f వ్యాప్తి [1, ∞].