AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a)

I. గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతీ n ∈ N కు కిందివాటిని రుజువు చేయండి.

Question 1.
12 + 22 + 32 + ….. + n2 = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Solution:
12 + 22 + 32 + ….. + n2 = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
S(n) = 12 + 22 + 32 + ….. + n2
S(1) = \(\frac{(1)(2)(3)}{6}\) = 1
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.
i.e., 12 + 22 + 32 + ….. + k2 = \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}\) అని చూపాలి.
(S(k) = 12 + 22 + 32 + ….. + k2)
S(k + 1) = 12 + 22 + 32 + ……. + (k)2 + (k + 1)2 = S(k) + (k + 1)2
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q1
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q1.1
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుండి p(n) నిజం.
(i.e.,) 12 + 22 + 32 + ……. + n2 = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\), ∀ n ∈ N

Question 2.
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) [Mar. ’13; May ’06]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం = (n + 1)(n + 2)
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ………. + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి మొత్తం S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = 2 . 3 = \(\frac{(1)(1+6+11)}{3}\) = 6
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = 2 . 3 + 3 . 4 + …….. + (k + 1) (k + 2) = \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
i.e., S(k + 1) = (k + 1) \(\left[\frac{(k+1)^2+6(k+1)+11}{3}\right]\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. + (k + 1)
(k + 2) + (k + 2) (k + 3) = S(k) + (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\) + (k + 2) (k + 3)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q2
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …… + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\), ∀ n ∈ N

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a)

Question 3.
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
Solution:
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.3}=\frac{1}{1(2+1)}=\frac{1}{1.3}\)
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 \mathrm{k}-1)(2 \mathrm{k}+1)}\) = \(\frac{k}{2 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q3
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\), ∀ n ∈ N

Question 4.
43 + 83 + 123 + ……. n పదాల వరకు = 16n2 (n + 1)2.
Solution:
4, 8, 12, … లు A.P. లో ఉన్నవి.
n వ పదం (4n)
43 + 83 + 123 + ……. + (4n)3 = 16n2 (n + 1)2 అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 43 = 16(12) (1 + 1)2 = 16(4) = 64 =43
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొనుము.
i.e., S(k) = 43 + 83 + (12)3 + …… + (4k)3 = 16k2 (k + 1)2
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = 16(k + 1)2 (k + 2)2 అని చూపాలి.
S(k + 1) = 43 + 83 + 123 + …… + (4k)3 + [4(k + 1)]3
= S(k) + [4(k + 1)]3
= 16k2 (k + 1)2 + 43 (k + 1)3
= 16(k + 1)2 [k2 + 4(k + 1))
= 16(k + 1)2 [k2 + 4k + 4]
= 16(k + 1)2 (k + 2)2
= 16(k + 1)2 (\(\overline{k+1}\) + 1)2
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 43 + 83 + 123 + …… + (4n)3 = 16n2 (n + 1)2.

Question 5.
a + (a + d) + (a + 2d) + …..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d].
Solution:
a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = a = \(\frac{1}{2}\) [2a + (1 – 1)d] = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (k – 1)d] = \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d]
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\left(\frac{k+1}{2}\right)\) [2a + kd] అని చూపాలి.
S(k + 1) = a + (a + d) + (a + 2d) + …… + [a + (k – 1)d] + (a + kd)
= S(k) + (a + kd)
= \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d] + (a + kd)
= \(\frac{k[2 a+(k-1) d]+2(a+k d)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [2ak + k(k – 1)d + 2a + 2kd]
= \(\frac{1}{2}\) [2a(k + 1) + k(k – 1 + 2)d]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (2a + kd).
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a)

Question 6.
a + ar + ar2 + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1. [Mar. ’11]
Solution:
a + ar + a . r2 + ……… + a . rn-1 = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = a = \(\frac{a\left(r^1-1\right)}{r-1}\) = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + ar + ar2 + …….. + a. rk-1 = \(\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{a\left(r^{k+1}-1\right)}{r-1}\) అని చూపాలి.
ఇప్పుడు S(k + 1) = a + ar + ar2 + …… + a rk-1 + ark
= S(k) + a . rk
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q6
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + ar + ar2 + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1

Question 7.
2 + 7 + 12 + ……+ (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\)
Solution:
2 + 7 + 12 + ……. + (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి వైపుమొత్తాన్ని S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 2 = \(\frac{1(5 \times 1-1)}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) = \(\frac{k(5 k-1)}{2}\)
S(k+1) = \(\frac{(k+1)(5 k+4)}{2}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) + (5k + 2)
= S(k) + (5k + 2)
= \(\frac{k(5 k-1)}{2}\) + (5k + 2)
= \(\frac{5 k^2-k+2(5 k+2)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [5k2 + 9k + 4]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (5k + 4)
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) [5(k + 1) – 1]
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 2 + 7 + 12 + …… + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\)

Question 8.
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)2 [(A.P) Mar. ’15]
Solution:
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)2 అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొనుము.
S(1) = 1 + 3 = 4 = (1 + 1)2 = 4
n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = K కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q8
= (k + 1)2 + 2k + 3
= k2 + 2k + 1 + 2k + 3
= k2 + 4k + 4
= (k + 2)2
= (k + 1 + 1)2
n = k + 1 కు నిజం.
n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a)

Question 9.
(2n + 7) < (n + 3)2
Solution:
(2n + 7) < (n + 3)2 అనే ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
n = 1
9 < 16
n = 1 కు నిజం
n = k కు నిజం అనుకొందాం.
(2k + 7) < (k + 3)2
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
2(k + 1) + 7 = 2k + 7 + 2 < (k + 3)2 + 2
< k2 + 6k + 9 + 2 + 2k + 5 – 2k – 5
< (k + 4)2 – (2k + 5)
< (k + 4)2 < (k + 1 + 3)2
n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం అవుతుంది.

Question 10.
12 + 22 + ….. + n2 > \(\frac{n^3}{3}\)
Solution:
12 + 22 + …… + n2 > \(\frac{n^3}{3}\) అనే ప్రవచనాన్ని P(n) అనుకొందాం.
n = 1 అయితే
1 > \(\frac{1}{3}\)
n = 1 కు p(n) నిజం అనుకొండి.
12 + 22 + ….. + k2 > \(\frac{k^3}{3}\)
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
12 + 22 + 32…… + k2 + (k + 1)2 > \(\frac{k^3}{3}\) + (k + 1)2
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q10
n = k + 1 కు నిజం.
గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.

Question 11.
4n – 3n – 1 ను 9 భాగిస్తుంది.
Solution:
4n – 3n – 1 ని 9 భాగిస్తుంది. అనే ప్రవచనాన్ని p(n) అనుకుందాం.
41 – 3(1) – 1 = 0
కాబట్టి n = 1 కి దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 4k – 3k – 1, 9 చే భాగించబడుతుంది.
4k – 3k – 1 = 9t, t ∈ N ……(1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4k+1 – 3(k + 1) – 1 ని 9 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి,
4k = 9t + 3k + 1
∴ S(k + 1) = 4 . 4k – 3(k + 1) – 1
= 4(9t + 3k + 1) – 3k – 3 – 1
= 4(9t) + 9k
= 9[4t + k]
S(k + 1) ని 9 భాగిస్తుంది.
4t + k పూర్ణాంకం కనుక
∴ 4k+1 – 3(k+1) – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) 4n – 3n – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.

Question 12.
3 . 52n+1 + 23n+1 ను 17 భాగిస్తుంది. [May ’12, ’08]
Solution:
3 . 52n+1 + 23n+1 ను 17 భాగిస్తుంది అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
3 . 52(1)+1 + 23(1)+1
= 3 . 53 + 24
= 3(125) + 16
= 375 + 16
= 391
= 17(23) ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు దత్తప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 3 . 52k+1 + 23k+1 ను 17 భాగిస్తుంది అనుకోండి.
3 . 52k+1 + 23k+1 = 17t, t ∈ N …….(1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 3 . 52(k+1)+1 + 23(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది అని చూపాలి.
(1) నుంచి, 3. 52k+1 + 23k+1 = 17t
∴ 3 . 52k+1 = 17t – 23k+1
∴ 3 . 52(k+1)+1 + 23(k+1)+1
= 3.52k+1 . 52 + 23k+1 . 23
= 25 [3 . 52k+1] + 8 . 23k+1
= 25 [17t – 23k+1] + 8 . 23k+1
= 17 (25t) + 17 . 23k+1
= 17 [25t + 23k+1]
ఇచ్చట 25t + 23k+1 పూర్ణాంకం.
∴ 3 . 52(k+1)+1 + 23(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 3. 52n+1 + 23n+1 ను 17 భాగిస్తుంది.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a)

Question 13.
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5+…. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) [(T.S) Mar. ’15, ’08]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = (n) (n + 1) (n + 2)
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…..+ (n)(n+1)(n+2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1.2.3 = \(\frac{(1)(1+1)(1+2)(1+3)}{4}\) = 1.2.3
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …… + k(k+1) (k+2) = \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + …… + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= S(k) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\) + (k + 1)(k + 2)(k + 3)
= (k + 1)(k + 2)(k + 3) (\(\frac{k}{4}\) + 1)
= \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1.2.3 +2.3.4. + 3.4.5+…..+ (n)(n + 1)(n + 2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

Question 14.
\(\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}+\ldots\) ………(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{24}\) [2n2 + 9n + 13]. [Mar. ’14, ’07, ’05]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q14
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q14.1
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q14.2

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a)

Question 15.
12 + (12 + 22) + (12 + 22 + 32) + ……..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\) [Mar. ’12]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం
(12 + 22 + 32 + ……+ n2)
12 + (12 + 22) + (12 + 22 + 32) +…….. + (12 + 22 + ….. + n2) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 12 = \(\frac{1(1+1)^2(1+2)}{12}\) = 1 = 12
కాబట్టి n = 1 కు ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 12 + (12 + 22) + …… + (12 + 22 + ……. + k2) = \(\frac{k(k+1)^2(k+2)}{12}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)^2(k+3)}{12}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 12 + (12 + 22) + …… + (12 + 22 + 32 + ….. + k2) + [12 + 22 + …… + k2 + (k + 1)2]
= S(k) + [12 + 22 + …… + k2 + (k + 1)2]
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q15
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a) Q15.1
∴ n = k + 1 కు ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N, p(n) నిజం.
(i.e.,) 12 + (12 + 22) + (12 + 22 + 32) + ………. (12 + 22 + ….. + n2) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)

Leave a Comment