AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Ex 2(a)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a)

I. గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతీ n ∈ N కు కిందివాటిని రుజువు చేయండి.

Question 1.
1² + 2² + 3² + ….. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Solution:
1² + 2² + 3² + ….. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
S(n) = 1² + 2² + 3² + ….. + n²
S(1) = \(\frac{(1)(2)(3)}{6}\) = 1
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.
i.e., 1² + 2² + 3² + ….. + k² = \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}\) అని చూపాలి.
(S(k) = 1² + 2² + 3² + ….. + k²)
S(k + 1) = 1² + 2² + 3² + ……. + (k)² + (k + 1)² = S(k) + (k + 1)²


∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుండి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1² + 2² + 3² + ……. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\), ∀ n ∈ N

Question 2.
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) [Mar. ’13; May ’06]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం = (n + 1)(n + 2)
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ………. + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి మొత్తం S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = 2 . 3 = \(\frac{(1)(1+6+11)}{3}\) = 6
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = 2 . 3 + 3 . 4 + …….. + (k + 1) (k + 2) = \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
i.e., S(k + 1) = (k + 1) \(\left[\frac{(k+1)^2+6(k+1)+11}{3}\right]\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. + (k + 1)
(k + 2) + (k + 2) (k + 3) = S(k) + (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\) + (k + 2) (k + 3)

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …… + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\), ∀ n ∈ N

Question 3.
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
Solution:
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.3}=\frac{1}{1(2+1)}=\frac{1}{1.3}\)
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 \mathrm{k}-1)(2 \mathrm{k}+1)}\) = \(\frac{k}{2 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\), ∀ n ∈ N

Question 4.
4³ + 8³ + 12³ + ……. n పదాల వరకు = 16n² (n + 1)².
Solution:
4, 8, 12, … లు A.P. లో ఉన్నవి.
n వ పదం (4n)
4³ + 8³ + 12³ + ……. + (4n)³ = 16n² (n + 1)² అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 4³ = 16(1²) (1 + 1)² = 16(4) = 64 =4³
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొనుము.
i.e., S(k) = 4³ + 8³ + (12)³ + …… + (4k)³ = 16k² (k + 1)²
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = 16(k + 1)² (k + 2)² అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4³ + 8³ + 12³ + …… + (4k)³ + [4(k + 1)]³
= S(k) + [4(k + 1)]³
= 16k² (k + 1)² + 4³ (k + 1)³
= 16(k + 1)² [k² + 4(k + 1))
= 16(k + 1)² [k² + 4k + 4]
= 16(k + 1)² (k + 2)²
= 16(k + 1)² (\(\overline{k+1}\) + 1)²
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 4³ + 8³ + 12³ + …… + (4n)³ = 16n² (n + 1)².

Question 5.
a + (a + d) + (a + 2d) + …..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d].
Solution:
a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = a = \(\frac{1}{2}\) [2a + (1 – 1)d] = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (k – 1)d] = \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d]
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\left(\frac{k+1}{2}\right)\) [2a + kd] అని చూపాలి.
S(k + 1) = a + (a + d) + (a + 2d) + …… + [a + (k – 1)d] + (a + kd)
= S(k) + (a + kd)
= \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d] + (a + kd)
= \(\frac{k[2 a+(k-1) d]+2(a+k d)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [2ak + k(k – 1)d + 2a + 2kd]
= \(\frac{1}{2}\) [2a(k + 1) + k(k – 1 + 2)d]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (2a + kd).
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]

Question 6.
a + ar + ar² + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1. [Mar. ’11]
Solution:
a + ar + a . r² + ……… + a . r^n-1 = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = a = \(\frac{a\left(r^1-1\right)}{r-1}\) = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + ar + ar² + …….. + a. r^k-1 = \(\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{a\left(r^{k+1}-1\right)}{r-1}\) అని చూపాలి.
ఇప్పుడు S(k + 1) = a + ar + ar² + …… + a r^k-1 + ar^k
= S(k) + a . r^k

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + ar + ar² + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1

Question 7.
2 + 7 + 12 + ……+ (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\)
Solution:
2 + 7 + 12 + ……. + (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి వైపుమొత్తాన్ని S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 2 = \(\frac{1(5 \times 1-1)}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) = \(\frac{k(5 k-1)}{2}\)
S(k+1) = \(\frac{(k+1)(5 k+4)}{2}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) + (5k + 2)
= S(k) + (5k + 2)
= \(\frac{k(5 k-1)}{2}\) + (5k + 2)
= \(\frac{5 k^2-k+2(5 k+2)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [5k² + 9k + 4]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (5k + 4)
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) [5(k + 1) – 1]
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 2 + 7 + 12 + …… + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\)

Question 8.
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² [(A.P) Mar. ’15]
Solution:
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొనుము.
S(1) = 1 + 3 = 4 = (1 + 1)² = 4
n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = K కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.

= (k + 1)² + 2k + 3
= k² + 2k + 1 + 2k + 3
= k² + 4k + 4
= (k + 2)²
= (k + 1 + 1)²
n = k + 1 కు నిజం.
n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.

Question 9.
(2n + 7) < (n + 3)²
Solution:
(2n + 7) < (n + 3)² అనే ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
n = 1
9 < 16
n = 1 కు నిజం
n = k కు నిజం అనుకొందాం.
(2k + 7) < (k + 3)²
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
2(k + 1) + 7 = 2k + 7 + 2 < (k + 3)² + 2
< k² + 6k + 9 + 2 + 2k + 5 – 2k – 5
< (k + 4)² – (2k + 5)
< (k + 4)² < (k + 1 + 3)²
n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం అవుతుంది.

Question 10.
1² + 2² + ….. + n² > \(\frac{n^3}{3}\)
Solution:
1² + 2² + …… + n² > \(\frac{n^3}{3}\) అనే ప్రవచనాన్ని P(n) అనుకొందాం.
n = 1 అయితే
1 > \(\frac{1}{3}\)
n = 1 కు p(n) నిజం అనుకొండి.
1² + 2² + ….. + k² > \(\frac{k^3}{3}\)
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
1² + 2² + 3²…… + k² + (k + 1)² > \(\frac{k^3}{3}\) + (k + 1)²

n = k + 1 కు నిజం.
గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.

Question 11.
4ⁿ – 3n – 1 ను 9 భాగిస్తుంది.
Solution:
4ⁿ – 3n – 1 ని 9 భాగిస్తుంది. అనే ప్రవచనాన్ని p(n) అనుకుందాం.
4¹ – 3(1) – 1 = 0
కాబట్టి n = 1 కి దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 4^k – 3k – 1, 9 చే భాగించబడుతుంది.
4^k – 3k – 1 = 9t, t ∈ N ……(1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4^k+1 – 3(k + 1) – 1 ని 9 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి,
4^k = 9t + 3k + 1
∴ S(k + 1) = 4 . 4^k – 3(k + 1) – 1
= 4(9t + 3k + 1) – 3k – 3 – 1
= 4(9t) + 9k
= 9[4t + k]
S(k + 1) ని 9 భాగిస్తుంది.
4t + k పూర్ణాంకం కనుక
∴ 4^k+1 – 3(k+1) – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) 4ⁿ – 3n – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.

Question 12.
3 . 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది. [May ’12, ’08]
Solution:
3 . 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
3 . 5²⁽¹⁾⁺¹ + 2³⁽¹⁾⁺¹
= 3 . 5³ + 2⁴
= 3(125) + 16
= 375 + 16
= 391
= 17(23) ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు దత్తప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 3 . 5^2k+1 + 2^3k+1 ను 17 భాగిస్తుంది అనుకోండి.
3 . 5^2k+1 + 2^3k+1 = 17t, t ∈ N …….(1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది అని చూపాలి.
(1) నుంచి, 3. 5^2k+1 + 2^3k+1 = 17t
∴ 3 . 5^2k+1 = 17t – 2^3k+1
∴ 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1
= 3.5^2k+1 . 5² + 2^3k+1 . 2³
= 25 [3 . 5^2k+1] + 8 . 2^3k+1
= 25 [17t – 2^3k+1] + 8 . 2^3k+1
= 17 (25t) + 17 . 2^3k+1
= 17 [25t + 2^3k+1]
ఇచ్చట 25t + 2^3k+1 పూర్ణాంకం.
∴ 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 3. 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది.

Question 13.
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5+…. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) [(T.S) Mar. ’15, ’08]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = (n) (n + 1) (n + 2)
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…..+ (n)(n+1)(n+2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1.2.3 = \(\frac{(1)(1+1)(1+2)(1+3)}{4}\) = 1.2.3
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …… + k(k+1) (k+2) = \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + …… + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= S(k) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\) + (k + 1)(k + 2)(k + 3)
= (k + 1)(k + 2)(k + 3) (\(\frac{k}{4}\) + 1)
= \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1.2.3 +2.3.4. + 3.4.5+…..+ (n)(n + 1)(n + 2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

Question 14.
\(\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}+\ldots\) ………(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{24}\) [2n² + 9n + 13]. [Mar. ’14, ’07, ’05]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం

Question 15.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\) [Mar. ’12]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం
(1² + 2² + 3² + ……+ n²)
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) +…….. + (1² + 2² + ….. + n²) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 1² = \(\frac{1(1+1)^2(1+2)}{12}\) = 1 = 1²
కాబట్టి n = 1 కు ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1² + (1² + 2²) + …… + (1² + 2² + ……. + k²) = \(\frac{k(k+1)^2(k+2)}{12}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)^2(k+3)}{12}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1² + (1² + 2²) + …… + (1² + 2² + 3² + ….. + k²) + [1² + 2² + …… + k² + (k + 1)²]
= S(k) + [1² + 2² + …… + k² + (k + 1)²]


∴ n = k + 1 కు ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N, p(n) నిజం.
(i.e.,) 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ………. (1² + 2² + ….. + n²) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)