Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(c) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(c)
I.
Question 1.
కింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) cos 100° cos 40° + sin 100° sin 40° [May ’12]
Solution:
cos 100° cos 40° + sin 100° sin 40° = cos(100° – 40°)
= cos 60°
= \(\frac{1}{2}\)
(ii) \(\frac{\cot 55 – \cot 35}{\cot 55+\cot 35}\)
Solution:
\(\frac{\cot 55 – \cot 35}{\cot 55+\cot 35}\) = cot(55° + 35°)
= cot (90°)
= 0
(iii) \(\tan \left[\frac{\pi}{4}+\theta\right] \cdot \tan \left[\frac{\pi}{4}-\theta\right]\)
Solution:
\(\left[\frac{1+\tan A}{1-\tan A}\right]\left[\frac{1-\tan A}{1+\tan A}\right]=1\)
(iv) tan 75° + cot 75°
Solution:
tan 75° + cot 75° = 2 + √3 + 2 – √3 = 4
(v) sin 1140° cos 390° – cos 780° sin 750°
Solution:
sin 1140° cos 390° – cos 780° sin 750°
= sin(3 × 360° + 60°) cos(360° + 30°) – cos(2 × 360° + 60°) sin(2 × 360° + 30°)
= sin 60° . cos 30° – cos 60° . sin 30°
= sin(60° – 30°)
= sin 30°
= \(\frac{1}{2}\)
Question 2.
(i) \(\frac{\sqrt{3} \cos 25+\sin 25}{2}\) ను sine కోణంగా రాయండి.
Solution:
\(\frac{\sqrt{3} \cos 25+\sin 25}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos 25° + \(\frac{1}{2}\) sin 25°
= sin 60° . cos 25° + cos 60° . sin 25°
= sin(60° + 25°)
= sin 85°
(ii) (cos θ – sin θ) ను cosine కోణంగా రాయండి.
Solution:
(cos θ – sin θ)
√2 ని భాగించి, గుణించగా
(iii) sin(θ + α) = cos(θ + α) అయితే, tan θ ను tan α పదాలలో రాయండి.
Solution:
tan θ in term of tan α, if sin(θ + α) = cos(θ + α)
ఇచ్చినది sin(θ + α) = cos(θ + α)
sin θ cos α + cos θ sin α = cos θ cos α – sin θ sin α
cos θ cos α తో భాగించగా
\(\frac{\sin \theta \cos \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}+\frac{\cos \theta \sin \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}\) = \(\frac{\cos \theta \cos \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}-\frac{\sin \theta \sin \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}\)
⇒ tan θ + tan α = 1 – tan θ tan α
⇒ tan θ + tan θ tan α = 1 – tan α
⇒ tan θ (1 + tan α) = 1 – tan α
⇒ tan θ = \(\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}\)
Question 3.
(i) tan θ = \(\frac{\cos 11^{\circ}+\sin 11^{\circ}}{\cos 11^{\circ}-\sin 11^{\circ}}\), θ మూడవ పాదంలో లేని కోణం θ ను కనుక్కోండి.
Solution:
ఇచ్చినది tan θ = \(\frac{\cos 11^{\circ}+\sin 11^{\circ}}{\cos 11^{\circ}-\sin 11^{\circ}}\)
= \(\frac{1+\tan 11^{\circ}}{1-\tan 11^{\circ}}\)
= tan(45° + 11°)
= tan(56°)
= tan(180° + 56°)
= tan 236°
θ = 236°
(ii) 0° < A, B < 90°, అయితే cos A = \(\frac{5}{13}\), sin B = \(\frac{4}{5}\), అయితే sin(A – B) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
(iii) tan 20° + tan 40° + √3 tan 20° tan 40° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
consider 20° + 40° = 60°
tan(20° + 40°) = tan 60°
\(\frac{\tan 20^{\circ}+\tan 40^{\circ}}{1-\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}}\) = √3
tan 20° + tan 40° = √3 – √3 tan 20° tan 40°
tan 20° + tan 40° + √3 tan 20° tan 40° = √3
(iv) tan 56° – tan 11° – tan 56° tan 11° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
consider 56° – 11° = 45°
tan(56° – 11°) = tan 45°
\(\frac{\tan 56^{\circ}-\tan 11^{\circ}}{1+\tan 56^{\circ} \tan 11^{\circ}}\) = 1
tan 56° – tan 11° = 1 + tan 56° tan 11°
tan 56° – tan 11° – tan 56° tan 11° = 1
(v) cos A, cos B, cos C లలో ఏ ఒక్కటీ సున్నా కాకపోతే, \(\sum \frac{\sin (A+B) \sin (A-B)}{\cos ^2 A \cos ^2 B}\) ను గణించండి.
Solution:
\(\sum \frac{\sin (A+B) \sin (A-B)}{\cos ^2 A \cos ^2 B}\)
(vi) sin A, sin B, sin C లలో ఏ ఒక్కటీ సున్నా కాకపోతే, \(\sum \frac{\sin (C-A)}{\sin C \sin A}\) ను గణించండి.
Solution:
Question 4.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) cos 35° + cos 85° + cos 155° = 0
Solution:
cos 35° + cos 85° + cos 155°
= -cos 85° + 2 cos(\(\frac{35+155}{2}\)) cos(\(\frac{35-155}{2}\))
= -cos 85° + 2 cos 85° cos 60°
= -cos 85° + 2 cos 85° (\(\frac{1}{2}\))
= -cos 85° + cos 85°
= 0
(ii) tan 72° = tan 18° + 2 tan 54°
Solution:
cot A – tan A = \(\frac{1}{\tan A}\) – tan A
= \(\frac{1-\tan ^2 \mathrm{~A}}{\tan \mathrm{A}}\)
= \(\frac{2\left(1-\tan ^2 \mathrm{~A}\right)}{2 \tan \mathrm{A}}\)
= \(\frac{2}{\tan 2 A}\)
= 2 cot 2A
cot A = tan A + 2 cot 2A
put A = 18°
cot 18° = tan 18° + 2 cot 36°
cot(90° – 72°) = tan 18° + 2 cot(90° – 54°)
tan 72° = tan 18° + 2 tan 54°
(iii) sin 750° cos 480° + cos 120° cos 60° = \(\frac{-1}{2}\)
Solution:
sin 750° = sin(2 × 360° + 30°)
= sin 30°
= \(\frac{1}{2}\)
cos 480° = cos(360° + 120°)
= cos 120°
= \(\frac{-1}{2}\)
L.H.S. = sin 750° cos 480° + cos 120° cos 60°
(iv) cos A + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) – A) + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) + A) = 0
Solution:
cos A + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) – A) + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) + A)
= cos A + 2 cos \(\frac{4 \pi}{3}\) cos A [∵ cos(A + B) + cos(A – B) = 2 cos A cos B]
= cos A + 2(\(\frac{-1}{2}\)) cos A
= cos A – cos A
= 0
(v) \(\cos ^2 \theta+\cos ^2\left(\frac{2 \pi}{3}+\theta\right)+\cos ^2\left(\frac{2 \pi}{3}-\theta\right)=\frac{3}{2}\)
Solution:
Question 5.
క్రింది వాటిని గణించండి.
(i) \(\sin ^2 82 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 22 \frac{1^{\circ}}{2}\)
Solution:
(ii) \(\cos ^2 112 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 52 \frac{1}{2}\)
Solution:
(iii) \(\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right]-\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right]\)
Solution:
\(\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right]-\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right]\)
(iv) \(\cos ^2 52 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
Solution:
Question 6.
కింది వాటికి కనిష్ఠ, గరిష్ఠ విలువలు కనుక్కోండి.
(i) 3 cos x + 4 sin x
Solution:
a = 4, b = 3, c = 0
కనిష్ట విలువ = \(c-\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}\) = -5
గరిష్ఠ విలువ = \(c+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}\) = 5
(ii) sin 2x – cos 2x
Solution:
a = 1, b = -1, c = 0
కనిష్ట విలువ = \(c-\sqrt{a^2+b^2}=-\sqrt{1+1}\) = -√2
గరిష్ఠ విలువ = \(c+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+1}\) = √2
Question 7.
కింది వాటికి వ్యాప్తి కనుక్కోండి.
(i) 7 cos x – 24 sin x + 5
Solution:
a = 24, b = 7, c = 5
(ii) 13 cos x + 3√3 sin x – 4
Solution:
a = 3√3, b = 13, c = -4
II.
Question 1.
(i) \(\frac{\pi}{2}\) < α < π, 0 < β < \(\frac{\pi}{2}\), cos α = \(\frac{-3}{5}\), sin β = \(\frac{7}{25}\) అయితే tan(α + β), sin(α + β) ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
(ii) 0 < A < B < \(\frac{\pi}{4}\), sin(A + B) = \(\frac{24}{25}\), cos(A – B) = \(\frac{4}{5}\) అయితే tan 2A విలువను కనుక్కోండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
(iii) A + B, A లు లఘు కోణాలు అవుతూ sin(A + B) = \(\frac{24}{25}\), tan A = \(\frac{3}{4}\) అయితే, cos B విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
(iv) tan α – tan β = m, cot α – cot β = n అయితే, cot(α – β) = \(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\) అని చూపండి.
Solution:
tan α – tan β = m
⇒ \(\frac{1}{\cot \alpha}-\frac{1}{\cot \beta}\) = m
(v) α, β లు ప్రథమ పాదంలోని కోణాలు, tan(α – β) = \(\frac{7}{24}\), tan α = \(\frac{4}{3}\) అయితే, α + β = \(\frac{\pi}{2}\) అని చూపండి.
Solution:
Question 2.
(i) sin(A + B – C) విస్తరణను కనుక్కోండి.
Solution:
sin(A + B – C)
= sin[(A + B) – C]
= sin(A + B) . cos C – cos(A + B) sin C
= (sin A cos B + cos A sin B) cos C – (cos A cos B – sin A sin B) sin C
= sin A cos B cos C + cos A sin B cos C – cos A cos B sin C + sin A sin B sin C
(ii) cos(A – B – C) విస్తరణను కనుక్కోండి.
Solution:
cos(A – B – C)
= cos{(A – B) – C}
= cos(A – B) cos C + sin(A – B) sin C
= (cos A cos B + sin A sin B) cos C + (sin A cos B – cos A sin B) sin C
= cos A cos B cos C + sin A sin B cos C + sin A cos B sin C – cos A sin B sin C
(iii) ∆ABC లో A గురు కోణం, sin A = \(\frac{3}{5}\), sin B = \(\frac{5}{13}\) అయితే, sin C = \(\frac{16}{65}\) అని చూపండి.
Solution:
ఇచ్చినది sin A = \(\frac{3}{5}\)
cos2A = 1 – sin2A
= 1 – \(\frac{9}{25}\)
= \(\frac{16}{25}\)
cos A = ±\(\frac{4}{5}\)
A గురు కోణం ⇒ 90° < A < 180°
tan A in II quadrant ⇒ cos A is negative
∴ cos A = \(\frac{-4}{5}\)
ఇచ్చినది sin β = \(\frac{5}{13}\)
cos2β = 1 – sin2β
= 1 – \(\frac{25}{169}\)
= \(\frac{144}{169}\)
cos β = ±\(\frac{1}{2}\)
β is acute ⇒ cos b is possible
sin β = \(\frac{12}{13}\)
A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)
sin C = sin(180° – (A + B))
= sin(A + B)
= sin A cos B + cos A sin B
= \(\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right)+\left(\frac{-4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right)\)
= \(\frac{16}{65}\)
∴ sec C = \(\frac{16}{65}\)
(iv) \(\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin (\alpha-\beta)}=\frac{a+b}{a-b}\) అయితే, a tan β = tan α అని చూపండి.
Solution:
III.
Question 1.
(i) A – B = \(\frac{3 \pi}{4}\) అయితే, (1 – tan A) (1 + tan B) = 2 అని చూపండి.
Solution:
A – B = \(\frac{3 \pi}{4}\)
tan(A – B) = tan \(\frac{3 \pi}{4}\)
\(\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}\) = -1
tan A – tan B = -1 – tan A tan B
1 = -tan A + tan B – tan A tan B
2 = 1 – tan A + tan B – tan A tan B
2 = (1 – tan A) – tan B(1 – tan A)
(1 – tan A) (1 – tan B) = 2
(ii) A + B + C = \(\frac{\pi}{2}\), A, B, C లలో ఏ ఒక్కటీ \(\frac{\pi}{2}\) కి బేసి గుణిజం కాకపోతే
(a) cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C అని చూపండి.
(b) tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1 అని చూపి, దాని నుంచి \(\sum \frac{\cos (B+C)}{\cos B \cos C}\) = 2 అని చూపండి.
Solution:
Question 2.
(i) sin2α + cos2(α + β) + 2 sin α sin β cos(α + β) అనేది α పై ఆధారపడదని చూపండి.
Solution:
sin2α + cos2(α + β) + 2 sin α cos(α + β)
= sin2α + cos(α + β) (cos(α + β) + 2 sin α sin β)
= sin2α + cos(α + β) (cos α cos β – sin α sin β + 2 sin α sin β)
= sin2α + cos(α + β) (cos α cos β + sin α sin β)
= sin2α + cos(α + β) cos(α – β)
= sin2α + cos2β – sin2α
= cos2β
(ii) cos2(α – β) + cos2β – 2 cos(α – β) cos α cos β అనేది β పై ఆధారపడదని చూపండి.
Solution:
cos2(α – β) + cos2β – 2 cos(α – β) cos α cos β
= cos2(α – β) + cos2β – cos(α – β) [cos(α + β) + cos(α – β)]
= cos2(α – β) + cos2β – cos(α – β) cos(α + β) – cos2(α – β)
= cos2β – [cos2β – sin2α]
= cos2β – cos2β + sin2α
= sin2α