Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు to solve questions creatively.
AP Intermediate 2nd Year Maths 2A సంకీర్ణ సంఖ్యలు Formulas
→ సంకీర్ణ సంఖ్య నిర్వచనం: x, y ∈ R కు z = x + iy రూపంలో \(\sqrt{-1}\) అనగా i2 = -1 రూపంలో సంఖ్యలను సంకీర్ణ సంఖ్యలు అందురు. ఇందులో x ను z యొక్క వాస్తవ భాగమని మరియు y ను z కు కల్పిత భాగమని అందురు. వీటిని Re(z), Im(z) తో సూచిస్తాం.
x = 0 మరియు y ≠ 0 ⇔ Re(z) = 0 మరియు Im(z) ≠ 0 అయిన Z = x + iy ను శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య (i.e) y ≠ 0 ⇔ Im(z) ≠ 0 అయిన z= x + iy వాస్తవము కాని సంఖ్య అగును.
→ వాస్తవసంఖ్యల క్రమయుగ్మాన్ని సంకీర్ణ సంఖ్య అంటాం. సంకీర్ణ సంఖ్యా సమితిని C తో సూచిస్తాం. అంటే C = {(a, b)/ a ∈ R, b ∈ R} = R × R
→ a = c, b = d అయితే రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలు z1 = (a, b), z2 = (c, d) లకు సమానం అంటాం.
→ z1 = (a, b), z2 = (c, d) అయితే
- z1 + z2 = (a + c, b + d)
- z1, z2 = (a – c, b – d)
- z1z2 = (ac – bd, ad + bc)
- \(\frac{z_1}{z_2}=\left(\frac{a c+b d}{c^2+d^2}, \frac{b c-a d}{c^2+d^2}\right)\)
→ మాపము – ఆయామం: సంకీర్ణ సంఖ్య z = x + iy ను P(x, y) బిందువు రూపంలో XOY-తలంలో సూచించిన ఆ తలమును ఆర్లాండ్ తలము అందురు.
|OP| పొడవును z యొక్క మాపము అని, దీనిని |z| చే సూచించెదరు మరియు ∠XOP = θ ను z కు ఆయామం లేదా Arg Z తో సూచిస్తాం.
|z| = r = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
Re(z) = r cos θ ⇔ x = r cos θ …..(1)
మరియు Im(z) = r sin θ ⇔ y = r sin θ ……(2)
(1), (2) ల నుండి ‘θ’ ను కనుగొందుము. θ ∈ (-π, π) ను θ కు ప్రధాన ఆయామము అంటారు.
0 = 0 + i0 యొక్క ఆయామము నిర్వచించలేము. Z యొక్క ఆయామము ఏకైకము కాదు.
2nπ + θ, n ∈ z కూడ z కు ఆయామమే.
మరియు -π < θ ≤ π విలువను z యొక్క ప్రధాన ఆయామం అందురు. దీనిని amp(z) లేదా Arg(z) గా సూచించెదరు.
→ సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మం: x, y ∈ R మరియు ఏదేని సంకీర్ణ సంఖ్య z = x + iy కు సంయుగ్మం x + i(-y) ⇒ x – iy అని నిర్వచించి, \(\bar{z}\) తో సూచిస్తాం. ఏదేని సంకీర్ణ సంఖ్య మరియు వీని సంయుగ్మముల లబ్దము మరియు మొత్తములు ఖచ్చితముగా వాస్తవములు.
→ మాపము, ఆయామం మరియు సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు కొన్ని ధర్మములు:
- │\(\bar{z}\)│= |z|
- z + \(\bar{z}\) = 2 Re(z) మరియు z – \(\bar{z}\) = 2 Im(z)
- \(\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}\)
- \(\left(\frac{\overline{z_1}}{z_2}\right)=\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2^{\prime}}\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\), (z2 ≠ 0), |z1z2| = |z1| |z2|
- \(z \bar{z}=|z|^2\) మరియు z ≠ 0, z-1 = \(\frac{\bar{z}}{|z|^2}\)
- z = |\(\bar{z}\)|; amp(\(\bar{z}\)) = 2π – amp(z)
- |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, |z1 – z2| ≤ |z1| + |z2|
- |z1 – z2| ≥ ||z1| – |z2||
- amp (z1) – amp (z2) = 2π యొక్క ధన పూర్ణాంకముల లబ్ధము అయిన (vii) మరియు (viii) లు వాస్తవములు.
- amp (z1z2) = amp (z1) + amp (z2) + nπ, n ∈ {-1, 0, 1}
- amp(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = amp (z1) – amp (z2) + nπ, n ∈ {-1, 0, 1}
- \(\frac{1}{{cis} \alpha}\) = cis (-α)
- cis α . cis β = cis(α + β)
- \(\frac{{cis} \alpha}{{cis} \beta}\) = cis(α – β)
→ డిమోయర్ సిద్ధాంతము:
- ‘n’ ఏదేని పూర్ణాంకం అయితే (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
- n అకరణీయ సంఖ్య అయితే (cos θ + i sin θ)n కు ఒక విలువ cos nθ + i sin nθ
- z0 = r0 cis θ0 ≠ 0 అయితే \(z_0^{1 / n}=r_0^{1 / n} {cis}\left(\frac{2 k \pi+\theta_0}{n}\right)\), k = 0, 1, 2, ……., (n – 1)
→ ఒకటి యొక్క ఘనమూలాలు:
- ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω = \(\frac{-1+\sqrt{3 i}}{2}\) మరియు ω2 = \(\frac{-1-\sqrt{3 i}}{2}\)
- 1 + ω + ω2 = 0 మరియు ω3 = 1; 1 + ω = -ω2, 1 + ω2 = -1
- ఒకటి వాస్తవము గాని విలువలు ఒకటి మరియొక దాని వర్గమునకు సమానమగును.
- ఒకటి యొక్క వాస్తవముగాని విలువలు α, β అయిన α + β = -1, αβ = 1, α2 = -β, β2 = α మరియు α3 = β3 = 1
- \((-1)^{1 / 3}\) మూలాలు -1, -ω, -ω2
సూత్రాలు:
→ z యొక్క మాపము = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
→ \(\sqrt{a+i b}\) = (x + iy) అయిన
- \(\sqrt{a+i b}+\sqrt{a-i b}=\sqrt{2 a+2 \sqrt{a^2+b^2}}\)
- \(\sqrt{a+i b}-\sqrt{a-i b}=i \sqrt{2 \sqrt{a^2+b^2-2 a}}\)
→ a + ib యొక్క సంయుగ్మము = a – ib
→ a – ib యొక్క సంయుగ్మము = a + ib