Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం which are most likely to be asked in the exam.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం
ప్రశ్న 1.
2,3,6 లు మూలాలుగా గల 3 వ తరగతి ఏక బహంపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణ
(x-2)(x-3)(x-6) = 0
⇒ x3-11 x2+36 x-36=0
ప్రశ్న 2.
3x3-10x2+7 x+10=0 ఘన సమీకరణం యొక్క మాలాలు, గుణకాల మధ్య సంబంధాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
3x3-10x2+7x + 10 = 0 ……………. (1)
(1) ను ax3+bx2+c x+d=0 తో పోల్చగా
ప్రశ్న 3.
x4-2x3+4x2+6 x-21=0 ద్వివర్గ సమీకరణం యొక్క మాలాలు, గుణకాల మధ్య సంణంధాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం
x4-2x3+4x2+6 x-21=0
ax4+b x3+cx2+dx+e=0 తో పోల్చగా
a=1, b=-2, c=4, d=6, e=-21
ప్రశ్న 4.
x4+a x3+b x2+c x+d=0 సమీకరణం మొక్క మూలాలు 1, 2, 3, 4 బయితే a, b, c, d విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణ మూలాలు 1, 2, 3, 4
కనుక x4+a x3+b x2+c x+d
≡ (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)=0
≡ x4-10x3+35x2– 50x+24=0
ఇరువైపుల పదాల గుణకాలను పోల్చగా
a=-10, b=35, c=-50, d=24
ప్రశ్న 5.
సమీకరణం x3-p x2+q x-r=0 మూలాలు a,b,c ల అయి, r ≠ 0 అయితే, అప్పుడు \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) ను p, q, r లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు
x3-p x2+q x-r=0 కు మూలాలు
a+b+c=p, a b+b c+c a=q, a b c=r
ప్రశ్న 6.
x3-p x2+q x-r=0 సమీకరణ యొక్క మాలాల వర్గాల మొత్తాన్ని, ఘనాల మెత్తాన్ని p q r లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 7.
x3+p1 x2+p2 x+p3=0 సమీకరణం యొక్క మూలాల వర్గాలు మూలాలాగా ఉండే ఘన సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 8.
x3+px2+qx+r =0 మాలాలు α, β, γ లు అయితే కింది వాటిని కనుక్కోండి.
(i) ∑ a2
(ii) ∑ \(\frac{1}{\alpha}\)
(iii) ∑ a3
(iv) ∑ β2 γ2
(v) (α + β) (β + γ ) (γ + α )
(i) ∑ a2
సాధన:
α2 + β2 + γ2
=(α+β+γ)2 -2(αβ + βγ+ γ α)
p2 – 2q
(ii) ∑ \(\frac{1}{\alpha}\)
సాధన:
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\gamma \alpha+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{-q}{r}\)
(iii) ∑ α3
సాధన:
∑ α3
= (α+ β + γ) (a2 + β2 + γ2 – αβ + βγ +γα)+3αβγ
= (- p)(p2 -2q – q) – 3r
= – p(p2– 3q) – 3r
∴ ∑ α3 = – p3 + 3pq – 3r = 3pq – p3– 3r
(iv) ∑ β2 γ2
సాధన:
(v) (α + β) (β + γ ) (γ + α )
సాధన:
α + β + γ = – p
⇒ α + β = – p – γ మరియు β + γ = – p – α
= γ + α = – p – β
∴ (α + β) (β + γ) (γ + α)
= ( – p – γ)( – p – α) ( – p – β)
=-p3-p2 (α + β + γ) – p (αβ+βγ+γα)-αβγ
= -p3 + p3-pq + r = r – pq
ప్రశ్న 9.
x3+ax2+b x+c=0 మూలాలు α,β,γ లు అయితే ను కనుక్కోండి.
సాధన:
α,β,γ లు దత్త సమీకరణం యొక్క మూలాలు కనుక
α + β + γ = – α, αβ + βγ + γα = b, αβγ = c
ప్రశ్న 10.
α,β,γ లు x3+p2+q x+r=0 మూలాలు అయితన, లు మూలాలుగా గల ఏక ఘన సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 11.
x3-3x2-16 x+48=0 ను సాధించండి.
సాధన:
f(x)=x3-3 x2-16 x+48 అనుకోండి
యత్న – దోష పద్ధతిన f(3)=0
కనుక f(x)=0 కు 3 మూలం
f(x) ను (x-3) చే భాగించగా
ప్రశ్న 12.
x4-16 x3+86x2-176 x+105=0 యึక్క మాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
∴ g(x) & =(x-3)(x2-12 x+35)
=(x-3)(x-5)(x-7)
∴ f(x) & =(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు 1,3,5,7
ప్రశ్న 13.
x3-7x2+36=0 సమీకరణం మొక్క ఒక మాలం మరో దానికి రెట్టింప అయితే, సమీంరాాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x3-7x2+36=0 కు మూలాలు α, β, γ లు అనుకోండి.
β =2α అనుకుందాం
అయిన α + β + γ = 7
⇒ 3α + γ =7 ………….. (1)
ప్రశ్న 14.
x3-6x2+3 x+10=0 సమీకరాానికి ఒక మూలం 2 అయితే, మిగిలిన మాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x)=x3-6x2+3 x+10 అనుకానుము.
f(x)=0 కు 2 మూలం కనుక f(x) ను (x-2) చే భాగించగా
x3-6x2+3 x+10 = (x – 2)(x2 – 4x – 5)
(x-2) (x+ 1) (x-5)
ప్రశ్న 15.
4x3+20x2-23 x+6=0 సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు సమానమైతే, సమీకరణం యొక్క మాలాలన్నింటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
α,β,γ లు 4x3+20x2-23 x+6=0 కు మూలాలు. రెండు మూలాలు సమానం కనుక α = β అనుకోండి.
పరిశీలనవల్ల
α = \(\frac{1}{2}\) దత్త సమీకరణానికి మూలం
(2) ⇒ γ = – 6
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-6\)
ప్రశ్న 16.
x4– 2x3+4x3+6 x-21=0 సమీకరణం మొక్కరెండు మూలాల మొత్తం సున్న అయితే, సమీకరణ మొక్క మూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β, γ, δ లు దత్త సమీకరణ మూలాలు,
రెండు మూలాల మొత్తం సున్నీ కనుక
α + β = 0 అనుకొనుము.
ప్రశ్న 17.
4x3-24x2+23x+18=0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు అంకశేఢిలో ఉంటీ, సమీంరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
a – d, a, a + d లు దత్త సమీకరణ మూలాలు అనుకోండి మూలాల మొత్తం
a – d + a + a + d = \(\frac{24}{4}\)
3a = 6
a = 2
ప్రశ్న 18.
x3-7x2+14x-8=0, సమీకరణం మూలాలు గుణరీశేధిలో ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం మూలాలు \(\frac{a}{r}\), a, అనుకుందాం. అప్పుడు
ప్రశ్న 19.
x4-5x3+5x3+5 x-6=0 సమీకరణం మొక్క రెండు మూలాల లబ్దం 3 అయితే ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
α, β, γ, δ లు మూలాలు అనుకుంటే.
వాటి లబ్దం αβγδ =-6
αβ=3 ( రెండు మూలాల లబ్దం 3)
∴ αβγδ = -6
γδ = – 2
α +β = p, γ, δ + q అనుకోండి
αβ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x2-(α +β) x + αβ =0
x2-p x+3=0
γ ,δ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x2 – (γ + δ)x + γδ = 0
x2 – qx – 2 = 0
x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6
= (x2-px-t- 3)(x2– qx – 2)
= x4 – (p + q) x3 + (1 + pq) x2 +(2p-3q)x-6
సరిపదాల గుణకాలను పోల్చగా
p+q=5, 2p-3 q=5
∴ 2 p-3 q=5
3 p+3 q=15
5 p=20 ⇒ p=4
∴ q = 1
x2 -4x+3=0 ⇒ (x-3)(x-1)=0
⇒ x=1,3
x2-x-2=0 ⇒ (x-2)(x+1)=0
⇒ x = -1,2
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -1,2,1,3
ప్రశ్న 20.
x4+4x3-2x2-12x+9=0 సమీకరణానికి రంండు జతల సమాన మూలాలు ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x2 + 2x+p = 0 = x2+2x – 3 = 0
⇒ (x-1-3) (x – 1) = 0
⇒ x = – 3,1
దత్త సమీకరణం మూలాలు -3, – 3, 1 ,1
ప్రశ్న 21.
p3 – 4 p q+8 r=0 అయితేనే x4+px3+q x2 + rx+s=0 మొక్క రెండు మాలాల మొత్తం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తానికి సమానమని నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం రెండు మూలాల మొత్తం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తానికి సకానమని అనుకుందాం. α β γ δ అయ్యేటట్లు సమీకరణం మూలాలను α + β = γ + δ అనుకుందాం.
ప్రశ్న 22.
\(4+\sqrt{3}, 4-\sqrt{3}, 2+i, 2-i\) లను మాలాలుగా గల 4వ తరగతి ఏక ఱహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
\(4+\sqrt{3}, 4-\sqrt{3}\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
2+i, 2 – i లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x2-4 x+5=0
కావలసిన సమీకరణం
(x2-8 x+13)(x2-4 x+5)=0
∴ x4-12x3+50x2-92 x+65=0
ప్రశ్న 23.
6x4-13 x3-35 x2-x+3=0 సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం. \(2+\sqrt{3}\) అయితే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
ప్రశ్న 24.
x4-6 x3+7x2-2 x+1=0 సమీకరణం మొక్క మూలాల వ్యతిరేక గుర్తులతో మాలాలు గల నాలుగో తరగతి ణహబపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ x4-6x3+7x2-2 x+1=0
కావలసిన సమీకరణం f(-x)=0
i.e., (-x)4-6(-x)3+7(-x)2-2(-x)+1=0
∴ x4+6x3+7x2+2x+1=0
ప్రశ్న 25.
6x4-7x3+8x2-7x+2=0 సమీకరణం మొక్క మాలాలకు 3 రెట్లున్న మాలాలు గల నాలుగో తరగతి బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ 6x4-7x3+8x2-7 x+2=0
ప్రశ్న 26.
\(x^3+\frac{x^2}{4}-\frac{x}{16}+\frac{1}{72}\) = 0 సమీకరణ మూలాలకు m రెట్లున్న మూలాలు గల మూడో తరగతి సమీకరణాన్ని రూపొందించి, m = 12 సందర్భానికి సమీకరణాన్ని రాణట్టండి.
సాధన:
ప్రశ్న 27.
x5+4 x3-x2+11=0 సమీకరణ మూలాలు -3 తో మార్పు చెందగా వచ్చే విలువలను మూలాలుగా కలిగిన 5వ తరగతి ణహంపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f ≡ x5+4 x3-x2+11=0
కావలసిన సమీకరణం f(x+3)=0
ప్రశ్న 28.
4x4+32x3+83x2+76 x+21=0 మూలాలు 2 తో మార్పు చెందగా వచ్చే విలువలను మాలాలుగా గల 4 వ తరగతి బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ 4x4+32x3+83x2+76 x+21=0
కావలసిన సమీకరణం f(x-2)=0
ప్రశ్న 29.
x4+3x3-6 x2+2 x-4=0 సమీకరణ మాలాల వ్వత్కమ్మాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 30.
x3-x3+8 x-6=0 మాలాల వర్గాలు మాలాలుగా గల ఐహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 31.
2x3+5x2+5 x+2=0 ఒకటో కోవకు చెందిన వ్కత్రమ సమీకరణమని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 2x3+5x2+5 x+2=0
P0 =2, P1 =5, P2 =5, P3 =2
ఇచ్చట P0 = P3, P1 = P2
∴ 2x3+5x2+5 x+2=0 సమీకరణం ఒకటో కోవకు చెందిన వ్యుత్రమ సమీకరణం.
ప్రశ్న 32.
సాధించండి : 4x3-13x2-13 x+4=0
సాధన:
4x3-13x2-13x+4=0
ఒకటో కోవకు చెందిన బేసి పరిమాణ వ్యుత్కమమ సమీకరణం కనుక -1 దీనికి ఒక మూలం
4x2-17 x+4=0 4x2-16 x-x+4=0
4x(x-4)-1(x-4)=0
(x-4)(4 x-1)=0
x=4 (లేదా) \(\frac{1}{4}\)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -1,4, \(\frac{1}{4}\)
ప్రశ్న 33.
సాధించండి :
6x4-35x3+62x2-35 x+6=0
సాధన:
6x4-35x3+62x2-35 x+6=0
ప్రశ్న 34.
సాధించండ: :
x5-5x4+9x3-9x2+5 x-1=0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
x5-5x4+9x3-9x2+5 x-1=0 రండో కోవకు చెందిన బేసి పరిమాణ వ్రుత్రమ సమీకరణం
ప్రశ్న 35.
సాధించండి :
6x6-25x5+31x4-31x2+25 x-6=0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
6x6-25x5+3 x4-31x2+25 x-6=0 ఇది రెండవ కోవకు చెందిన సరి పరిమాణ వ్యుత్కమ సమీకరణం
∴ x2 -1 అనేది