Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(d) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(d)
అభ్యాసం 6(డి)
I. కింది సమాకలనులను సాధించండి
ప్రశ్న 1.
∫\(\frac{1}{\sqrt{2 x-3 x^2+1}}\)dx
సాధన:
ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{\sin \theta}{\sqrt{2-\cos ^2 \theta}}\) dθ
సాధన:
ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{\cos x}{\sin ^2 x+4 \sin x+5}\) dx (Mar. 07)
సాధన:
t = sin x ⇒ dt = cos x dx
I = ∫\(\frac{d t}{t^2+4 t+5}\) = ∫\(\frac{d t}{(t+2)^2+1}\)
= tan-1(t + 2) + C
= tan-1(sin x + 2) + C
ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{d x}{1+\cos ^2 x}\)
సాధన:
ప్రశ్న 5.
∫\(\frac{d x}{2 \sin ^2 x+3 \cos ^2 x}\)
సాధన:
∫\(\frac{d x}{2 \sin ^2 x+3 \cos ^2 x}\) = ∫\(\frac{\sec ^2 x d x}{2 \tan ^2 x+3}\)
t = tan x ⇒ dt = sec2x dx
ప్రశ్న 6.
∫\(\frac{1}{1+\tan x}\) dx
సాధన:
ప్రశ్న 7.
∫\(\frac{1}{1-\cot x}\) dx
సాధన:
II. కింది సమాకలనులను సాధించండి.
ప్రశ్న 1.
∫\(\sqrt{1+3 x-x^2}\) dx (May ’11)
సాధన:
∫\(\sqrt{1+3 x-x^2}\) = ∫\(\sqrt{1-\left(x^2-3 x\right)}\) dx
ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{9 \cos x-\sin x}{4 \sin x+5 \cos x} d x\) (Mar. 08)
సాధన:
ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} d x\)
సాధన:
2 cos x + 3 sin x = A(4 cos x + 5 sin x) + B(-4 sin x + 5 cós x) అనుకొండి.
sin x, cos x గుణకాలను సమానం చేయండి
4A + 5B = 2
5A – 4B = 3
= \(\frac{23}{41}\)x – \(\frac{2}{41}\). log |4 cos x + 5 sin x| + C
ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{1}{1+\sin x+\cos x}\)dx
సాధన:
ప్రశ్న 5.
∫\(\frac{1}{3 x^2+x+1}\)dx
సాధన:
ప్రశ్న 6.
∫\(\frac{d x}{\sqrt{5-2 x^2+4 x}}\)
సాధన:
5 – 2x2 + 4x
III. కింది సమాకనులను గణించండి
ప్రశ్న 1.
∫\(\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\) dx
సాధన:
ప్రశ్న 2.
∫(6x + 5)\(\sqrt{6-2 x^2+x}\) dx (May 06)
సాధన:
6x + 5 = A(1 – 4x) + B అనుకొండి
x గుణకాలను సమానం చేయండి
6 = -4A ⇒ A = \(\frac{-3}{2}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయండి.
A + B = 5
B = 5 – A = 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)
ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{d x}{4+5 \sin x}\) (Mar. 05)
సాధన:
ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{1}{2-3 \cos 2 x}\) dx
సాధన:
t = tan x ⇒ dt = sec2 x dx
= (1 + tan2x) dx
= (1 + t2) dx
dx = \(\frac{d t}{1+t^2}\)
ప్రశ్న 5.
∫x \(\sqrt{1+x-x^2}\) dx
సాధన:
x = A(1 – 2x) + B అనుకుందాం
x గుణకాలు సమానం చేయండి
1 = -2A ⇒ A = –\(\frac{1}{2}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయండి
0 = A + B ⇒ B = -A = \(\frac{1}{2}\)
ప్రశ్న 6.
∫\(\frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\) (May 05)
సాధన:
ప్రశ్న 7.
∫\(\frac{d x}{4 \cos x+3 \sin x}\) (Mar. 06)
సాధన:
ప్రశ్న 8.
∫\(\frac{1}{\sin x+\sqrt{3} \cos x}\) dx
సాధన:
ప్రశ్న 9.
∫\(\frac{d x}{5+4 \cos 2 x}\) (Mar. 11)
సాధన:
t = tan x ⇒ dt = sec2x dx
ప్రశ్న 10.
∫\(\frac{2 \sin x+3 \cos x+4}{3 \sin x+4 \cos x+5}\) dx (Mar. 11) (A.P.Mar. 17) (A.P.Mar. 16) (T.S.Mar. 16)
సాధన:
2 sin x + 3 cos x + 4 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B(3 cos x – 4 sin x) + C అనుకో౦డి.
sin x, గుణకాలు సమానం చేయు 3A – 4B = 2
cos x, గుణకాలు సమానం చేయు 4A + 3B = 2
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
I = \(\frac{18}{25}\) . x + \(\frac{1}{25}\) log |3 sin x + 4 cos x + 5| – \(\frac{4}{5\left(3+\tan \frac{x}{2}\right)}\) + C
ప్రశ్న 11.
∫\(\sqrt{\frac{5-x}{x-2}}\)dx, x ∈ (2, 5)
సాధన:
సజాతీయ పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
-2A = -1 ⇒ A = \(\frac{1}{2}\)
7A + B = 5
ప్రశ్న 12.
∫\(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\) dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:
ప్రశ్న 13.
∫\(\frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\), x ∈ (-1, 3).
సాధన:
ప్రశ్న 14.
∫\(\frac{d x}{(x+2) \sqrt{x+1}}\), x ∈ (-1, ∞).
సాధన:
ప్రశ్న 15.
∫\(\frac{d x}{(2 x+3) \sqrt{x+2}}\), x ∈ I ⊂ (-2, ∞) \ \(\left\{\frac{-3}{2}\right\}\).
సాధన:
x + 2 = t2 ⇒ dx = 2t dt మరియు
2x + 3 = 2(t2 – 2) + 3 = 2t2 – 1
ప్రశ్న 16.
∫\(\frac{1}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^2}}\) dx, x ∈ (0, 1).
సాధన:
∫\(\frac{1}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^2}}\) dx
ప్రతిక్షేపించగా x = t2 ⇒ dx = 2t dt
ప్రశ్న 17.
∫\(\frac{d x}{(x+1) \sqrt{2 x^2+3 x+1}}\), x ∈ I ⊂ R \ [-1, \(\frac{-1}{2}\)]
సాధన:
ప్రశ్న 18.
∫\(\sqrt{e^x-4}\) dx, x ∈ [loge 4, ∞)
సాధన:
ప్రశ్న 19.
సాధన:
ప్రశ్న 20.
∫\(\frac{d x}{1+x^4}\), x ∈ R.
సాధన: