AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Exercise 7(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Exercise 7(c)

అభ్యాసం – 7 (సి)

I. క్రింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^{10} x d x\)
సాధన:
\(\frac{9}{10}\).\(\frac{7}{8}\).\(\frac{5}{6}\).\(\frac{3}{4}\).\(\frac{1}{2}\).\(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{63 \pi}{512}\)

ప్రశ్న 2.
\(\int_0^{\pi / 2} \cos ^{11} x d x\)
సాధన:
n బేసి సంఖ్య
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 1

ప్రశ్న 3.
\(\int_0^{\pi / 2}\) cos7 x sin2 x dx
సాధన:
I = \(\int_0^{\pi / 2}\) cos7 x sin2 x dx
= \(\int_0^{\pi / 2}\)sinmx.cosn x dx
m – సరి సంఖ్య
n – బేసి సంఖ్య
= \(\frac{n-1}{m+n}\).\(\frac{n-3}{m+n-2}\)….\(\frac{2}{m+3}\).\(\frac{1}{m+1}\)
= \(\frac{7-1}{9}\) × \(\frac{7-3}{9}\) × \(\frac{7-5}{5}\) × \(\frac{1}{2+1}\)
= \(\frac{6}{9}\) . \(\frac{4}{7}\) . \(\frac{2}{5}\) . \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{16}{315}\)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c)

ప్రశ్న 4.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^4 x d x\)
సాధన:
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cdot \cos ^n x d x\)
m, n లు సరిసంఖ్యలు
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 2

ప్రశ్న 5.
\(\int_0^\pi\) sin3 x cos6 x dx
సాధన:
= \(\int_0^\pi\) sin2 x cos6 x dx
= \(\int_0^\pi\)(1 – cos2x) . cos6x. sin x dx
cos x = t cos π = -1
-sin x dx = dt cos 0 = 1
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 3

ప్రశ్న 6.
\(\int_0^{2 \pi}\) sin2 x cos4 x dx
సాధన:
sin2 x . cos4 x dx సరి ప్రమేయము
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 4

ప్రశ్న 7.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 \theta \cos ^7 \theta d \theta\)
సాధన:
sin2 θ . cos7 θ సరి ప్రమేయము
f(θ) = sin2 θ . cos7 θ dθ
f(-θ) = sin2(-θ) . cos7(-θ)
= f(θ)
= 2\(\int_0^{\pi / 2}\) sin2 θ . cos7 θ dθ
\(\int_0^{\pi / 2}\) sinmx.cosnx dx
n బేసి సంఖ్య, n = 7
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 5

ప్రశ్న 8.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\) sin3θ cos3θ dθ
సాధన:
f(θ) = sin3θ . cos3θ
f(-θ) = sin3(-θ) cos3(-θ)
= sin3θ cos3 θ = -f(θ)
f(θ) బేసి ప్రమేయము
∴ \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\)sin3θ . cos3θ dθ = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c)

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^a x\left(a^2-x^2\right)^{\frac{7}{2}} d x\)
సాధన:
x = a sin θ అనుకొనుము. a = a sin θ
dx = a cos θ dθ θ = π/2
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 6

ప్రశ్న 10.
\(\int_0^2 x^{3 / 2} \sqrt{2-x} d x\)
సాధన:
x = 2 cos2 θ
dx = 4 cos θ sin θ dθ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 7

II. క్రింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\int_0^1 x^5(1-x)^{5 / 2} d x\)
సాధన:
x = – sin2 θ
dx = 2 sin θ . cos θ . dθ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 8

ప్రశ్న 2.
\(\int_0^4\)(16 – x2)5/2 dx
సాధన:
x = 4 sin θ 4 = 4 sin θ
dx = 4 cos θ dθ sin θ = 1
θ = π/2
I = \(\int_0^{\pi / 2}\) (16 – 16sin2θ)5/2 . 4 cos θ dθ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 9

ప్రశ్న 3.
\(\int_{-3}^3\) (9 – x2)3/2 x dx
సాధన:
Let f(x) = \(\left(9-x^2\right)_x^{3 / 2}\)
f(x) = (9 – (-x2))3/2 (-x)
= (9 – x2)3/2 . x
= f(-x)
∴ f బేసి ప్రమేయము
∴ \(\left(9-x^2\right)^{3 / 2}. x d x\) = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c)

ప్రశ్న 4.
\(\int_0^5\) x3(25 – x2)7/2 dx
సాధన:
I = \(\int_0^5\)x3(25 – x2)7/2 dx అనుకొనుము
x = 5 sin θ
dx = 5 cos θ dθ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 10
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 11

ప్రశ్న 5.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 12
సాధన:
f(x) = sin8x. cos7 x అనుకొనుము
f(-x) = sin8(-x) . cos7(-x) = sin8x. cos7x
∴ f సరి ప్రమేయం
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 13

ప్రశ్న 6.
\(\int_3^7 \sqrt{\frac{7-x}{x-3}} d x\)
సాధన:
x = 3 cos2 θ + 7 sin2 θ
dx = (7 – 3) sin 2θ dθ
dx = 4 sin 2θ dθ
ఎగువ హద్దు :
x = 3 cos2 θ + 7 sin2 θ
7 = 3 cos2 θ + 7 sin2 θ
4 cos2 θ = 0
cos θ = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

దిగువ హద్దు
x = 3 cos2 θ + 7 sin2 θ
3 = 3 sin2 θ + 7 sin2 θ
4 sin2 θ = 0
sin θ = 0
θ = 0
7 – x = 7 – (3 cos2θ + 7 sin2 θ)
= (7 – 3) cos2θ
= 4 cos2θ
x – 3 = 3 cos2θ + 7 sin2 θ – 3
= (7 – 3) sin2θ
= 4 sin2θ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 14

ప్రశ్న 7.
\(\int_2^6 \sqrt{(6-x)(x-2)} d x\)
సాధన:
x = 2 cos2θ + 6 sin2θ
dx = (6 – 2) sin 2θ dθ
dx = 4 sin 2θ dθ

ఎగువ హద్దు :
x = 2 cos2θ + 6 sin2θ
6 = 2 cos2θ + 6 sin2θ
4 cos2θ = 0
cos θ = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

దిగువ హద్దు:

x = 2 cos2θ + 6 sin2θ
2 = 2 cos2θ + 6 sin2θ
4 sin2θ = 0
θ = 0
6 – x = 6 – (2 cos2θ + 6 sin2θ)
= (6 – 2) cos2θ
= 4 cos2θ
x – 2 = 2 cos2θ + 6 sin2θ – 2
= (6 – 2)sin2θ
= 4 sin2θ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 15

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c)

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2}\)tan5x cos8x dx
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 16

III. దిగువ సమాకలనులను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\int_0^1\)x7/2(1 – x)5/2 dx
సాధన:
x = sin2θ
dx = 2 sin θ cos θ dθ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 17
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 18

ప్రశ్న 2.
\(\int_0^\pi\) (1 + cos x)3 dx
సాధన:
\(\int_0^\pi\) (1 + cos x)3 dx
= \(\int_0^\pi\)(2 cos2\(\frac{x}{2}\))3 dx
= \(\int_0^\pi\) 23. cos6 \(\frac{x}{2}\) dx
\(\frac{x}{2}\) = t ⇒ dx = 2 dt

ఎగువ హద్దు : ⇒ x = π ⇒ \(\frac{\pi}{2}\) = t
దిగువ హద్దు : ⇒ x = 0 ⇒ 0 = t
= 8 \(\int_0^{\pi / 2}\) cos6 6(2 dt)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 19

ప్రశ్న 3.
\(\int_4^9 \frac{d x}{\sqrt{(9-x)(x-4)}}\)
సాధన:
x = 4 cos2θ + 9 sin2θ
dx = (9 – 4) sin 2θ dθ
dx = 5 sin 2θ dθ
ఎగువ హద్దు :
x = 4 cos2θ + 9 sin2θ
9 = 4 cos2θ + 9 sin2θ
5 cos2θ = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)
దిగువ హద్దు :
x = 4 cos2θ + 9 sin2θ
4 = 4 cos2θ + 9 sin2θ
5 sin2θ = o
θ = 0
9 – x = 9 – (4 cos2θ + 9 sin2θ)
= (9 – 4) cos2θ
= 5 cos2θ
x – 4 = 4 cos2θ + 9 sin2θ – 4
= (9 – 4)sin2θ
= 5 sin2θ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 20
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 21

ప్రశ్న 4.
\(\int_0^5 x^2(\sqrt{5-x})^7 d x\)
సాధన:
x = 5 sin2 θ
dx = 10 sinθ cos θ dθ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 22

ప్రశ్న 5.
\(\int_0^{2 \pi}\) (1 + cos x)5 (1 – cos x)3 dx.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 23
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Ex 7(c) 24