Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Exercise 7(d) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Exercise 7(d)
అభ్యాసం – 7 (డి)
I. క్రింద ఇచ్చిన వక్రాలతో ఆవృతమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
ప్రశ్న 1.
y = cos x, y = 1 – \(\frac{2 \mathbf{x}}{\pi}\) (Mar. ’05)
సాధన:
దత్త వక్రాల సమీకరణాలు
y = cos x —- (1)
y = 1 – \(\frac{2 x}{\pi}\) — (2)
(1), (2) ల నుండి y ను తొలగించగా
cos x = 1 – \(\frac{2 x}{\pi}\)
అయితే x = \(\frac{\pi}{2}\), cos x = cos \(\frac{\pi}{2}\) = 0
1 – \(\frac{2}{\pi}\) . x = 1 – \(\frac{2}{\pi}\) . \(\frac{\pi}{2}\) = 1 – 1 = 0
అయితే x = 0, cos x = cos 0 = 1
1 – \(\frac{2 x}{\pi}\) = 1 – 0 = 1
∴ ఖండన బిందువులు A(0, 1), B(\(\frac{\pi}{2}\), 0)
ప్రశ్న 2.
y = cos x, y = sin 2x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\).
సాధన:
కావలసిన వైశాల్యము
ప్రశ్న 3.
y = x3 + 3, y = 0, x = -1, x = 2 (Mar. 05)
సాధన:
PABQ వైశాల్యము
ప్రశ్న 4.
y = ex, y = x, x = 0, x = 1
సాధన:
ప్రశ్న 5.
y = sin x, y = cos x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\)
సాధన:
కావలసిన వైశాల్యము
ప్రశ్న 6.
x = 4 – y2, x = 0
సాధన:
x = 4 – y2 పరావలయం, x – అక్షాన్ని A (4, 0) వద్ద y – అక్షాన్ని P (0, 2) మరియు Q (0, – 2) వద్ద ఖండిస్తుంది. పరావలయం x-అక్షం దృష్ట్యా సౌష్టవము
కావలసిన వైశాల్యము = 2 వైశాల్యం OAP
= 2\(\int_0^2\)(4 – y2) dy
= 2\(\left(4 y-\frac{y^3}{3}\right)_0^2\)
= 2\(\left(8-\frac{8}{3}\right)\)
= 2.\(\frac{16}{3}\) = \(\frac{32}{3\) చ|| యూనిట్లు,
ప్రశ్న 7.
|x| + |y| = 1 వక్రంతో ఆవృత్తమైన వైశాల్య౦ కనుక్కోండి.
సాధన:
II.
ప్రశ్న 1.
x = 2 – 5y – 3y2, x = 0.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలను సాధించగా
2 – 5y – 3y2 = 0
3y2 + 5y – 2 = 0
(y + 2) (3y – 1) = 0 y = -2 or \(\frac{1}{3}\)
ప్రశ్న 2.
x2 = 4y, x = 2, y = 0
సాధన:
ప్రశ్న 3.
y2 = 3x, x = 3.
సాధన:
పరావలయం X – అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము
కావలసిన వైశాల్యము = \(2 \int_0^3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{x} d x\)
= \(\left(2 \sqrt{3} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right)_0^3\)
= \(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\).(3\(\sqrt{3}\) – 0)
= 12 చ|| యూనిట్లు
ప్రశ్న 4.
y = x2, y = 2x.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు
y = x2 —– (1)
y = 2x —– (2)
y ను తొలగించగా x2 = 2x
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 or x = 2
y = 0, or y = 4
ఖండన బిందువులు O(0, 0), A(2, 4)
కావలసిన వైశాల్యము = \(\int_0^2\left(2 x-x^2\right) d x\)
= \(\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)_0^2\) = 4 – \(\frac{8}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\) చ॥ యూనిట్లు.
ప్రశ్న 5.
y sin 2x, y = \(\sqrt{3}\) sin x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{6}\)
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు y = sin 2x —– (1)
y = \(\sqrt{3}\) sin x —- (2)
sin 2x = \(\sqrt{3}\) sinx
2 sin x cos x = \(\sqrt{3}\) sin x
sin x = 0 లేదా 2 cos x = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
x = 0 cos x = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ x = \(\frac{\pi}{6}\)
ప్రశ్న 6.
y = x2, y = x3.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు y = x2 —– (1)
y = x3 —- (2)
ప్రశ్న 7.
y = 4x – x2, y = 5 – 2x [T.S. Mar. 16]
సాధన:
y = 4x – x2 —- (1)
y = 5 – 2x —– (2)
y = -([x – 2]2) + 4
y – 4 = -(x – 2)2
(i), (ii) లను సాధించగా
4x – x2 = 5 – 2x
x2 – 6x + 5 = 0
(x – 5) (x – 1) = 0
x = 1, 5
కావలసిన వైశాల్యం = \(\int_1^5\)(4x – x2 – 5 + 2x) dx
= \(\int_1^5\) (6x – x2 – 5) dx
ప్రశ్న 8.
X – అక్షం, y = 1 + \(\frac{8}{x^2}\) వక్రభాగం, x = 2, x = 4 రేఖలతో పరిబద్ధమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు y = 1 + \(\frac{8}{x^2}\)
ప్రశ్న 9.
పరావలయాలు y2 = 4x, x2 = 4y లతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రాల సమీకరణాలు
y2 = 4x —- (1)
x2 = 4y —– (2)
\(\left(\frac{x^2}{4}\right)^2\) = 4x
\(\frac{x^4}{16}\) = 4x
x4 = 64 ⇒ x4 = 0 లేదా x3 = 64, x = 4
ప్రశ్న 10.
వక్రం y = lnx, X – అక్షం, సరళరేఖ x = e లతో పరిబద్ధమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = lnx
x = 1 ⇒ y = 0
వక్రం y = lnx
X – అక్షాన్ని c(1, 0) వద్ద ఖండిస్తుంది.
III.
ప్రశ్న 1.
y = x2 + 1, y = 2x – 2, x = -1, x = 2. వక్రాల మధ్య వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు
y = x2 + 1 —– (1)
y = 2x – 2 —- (2)
దత్త రేఖల మధ్య వైశాల్యము
ప్రశ్న 2.
y2 = 4x, y2 = 4(4 – x) వక్రాల మధ్య వైశాల్యం ఎంత ? (May ’11)
సాధన:
వక్రాల సమీకరణాలు y2 = 4x —- (1)
y2 = 4(4 – x) —- (2)
y ను తొలగించగా
4x = 4 (4 – x)
2x = 4 ⇒ x = 2
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా y2 = 8
y = ±2\(\sqrt{2}\)
ఖండన బిందువులు
A(2, 2\(\sqrt{2}\)), B(2, -2\(\sqrt{2}\))
కావలసిన వైశాల్యం X- అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము
OACB వైశాల్యము
ప్రశ్న 3.
y = 2 – x2, y = x2 వక్రాల మధ్య వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన:
y = 2 – x2 —- (1)
y = x2 —- (2)
x2 = -(y – 2)
(2) నుండి
2 – x2 = x2
2 = 2x2 లేదా x2 = 1
x = ±1
రెండు వక్రాల మధ్య వైశాల్యము
ప్రశ్న 4.
y2 = 12(x + 3), y2 = 20 (5 – x) వక్రాల మధ్య ఆవృతమైన వైశాల్యం 64\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) అని చూపండి.
సాధన:
వక్రాల సమీకరణాలు
y2 = 12 (x + 3) —- (1)
y2 = 20(5 – x) —- (2)
y ను తొలగించగా
12(x + 3) = 20(5 – x)
3x + 9 = 25 – 5x
8x = 16
x = 2
y2 = 12(2 + 3) = 60
y = \(\sqrt{60}\) = ±2\(\sqrt{15}\)
ఖండన బిందువులు (2, 2\(\sqrt{15}\)) B’ (+2, -2\(\sqrt{15}\))
కావలసిన వైశాల్యము X – అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము.
వైశాల్యము ABCB’
ప్రశ్న 5.
{(x, y), x2 – x – 1 ≤ y ≤ -1} ప్రదేశం వైశాల్య౦ కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 6.
x2 + y2 = 8 వృత్తం 2y = x2 పరావలయంతో రెండు భాగాలుగా విభజించబడింది. ఈ రెండు భాగాల వైశాల్యాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్ర సమీకరణాలు
x2 + y2 = 8 —- (1)
2y = x2 —– (2)
(1), (2) ల మధ్య y ని తొలగించగా
x2 = t
4t + t2 = 32
t2 + 4t – 32 = 0
(t + 8) (t − 4) = 0
t = -8 (అసాధ్య౦) x2 = 4 ⇒ x = ±2
వక్రం Y- అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము
మొత్తము వైశాల్యము
A = 2A1 = 2(\(\frac{2}{3}\) + π) = \(\frac{4}{3}\) + 2π చ|| యూనిట్లు.
మిగిలిన వైశాల్యం = 8π – (\(\frac{4}{3}\) + 2π)
= (6π – \(\frac{4}{3}\)) చ|| యూనిట్లు.
ప్రశ్న 7.
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{\mathbf{y}^2}{\mathbf{b}^2}\) = 1 (దీర్ఘవృత్తం) తో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం
వైశాల్యం π ab అని చూపండి. దీని నుంచి x2 + y2 = a2 వృత్తం వైశాల్యం రాబట్టండి. (May ’05)
సాధన:
x మరియు y అక్షాల యొక్క దీర్ఘవృత్త వైశాల్యము
= 4 వైశాల్య౦ CAB
= 4 . \(\frac{\pi}{4} a b\)
దీర్ఘవృత్త వైశాల్యము \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1
y = \(\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}\)
CAB = \(\frac{b}{a} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} d x\)
x2 + y2 = a2 వృత్త వైశాల్యము వస్తుంది.
వృత్త వైశాల్యము = πа(a) = πа2 చ|| యూనిట్లు.
ప్రశ్న 8.
y sin πx, y = x2 – x, x = 2 వక్రాలతో అన్నతమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుకోండి.
సాధన:
కావలసిన వైశాల్యము
ప్రశ్న 9.
OA = 3, OB = b అయినప్పుడు \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తం ధన పాదం AOB అనుకుందాం. అప్పుడు దీర్ఘవృత్తం జ్యా AB కి, చాపం A, B కి మధ్య పరి బద్ధమైన వైశాల్యం \(\frac{(\pi-2) a b}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
OA = a, OB = b అనుకొనుము
AP సమీకరణము \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{y}{b}\) = 1 – \(\frac{x}{a}\)
ప్రశ్న 10.
x = 0, x = 4, y = 4, y = 0 రేఖలతో పరిబద్ధమైన చతురస్ర వైశాల్యాన్ని వక్రాలు y2 = 4x, x2 = 4y మూడు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు y2 = 4x —– (1)
x2 = 4y —– (2)
ఖండన బిందువులు O(0, 0), A(4, 4)
(1) వైశాల్యం = (2) వైశాల్యం = (3) వైశాల్యం