AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(b)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(b)

అభ్యాసం – 8(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
\(\sqrt{1-x^2}\) dy + \(\sqrt{1-y^2}\) dx = 0 సాధారణ సాధన కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త అవకలన సమీకరణం

sin^-1 y = -sin^-1 x + c
సాధన sin^-1 x + sin^-1 y = c, c స్థిరరాశి

ప్రశ్న 2.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 y}{x}\)కు సాధారణ సాధన కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 y}{x}\)
\(\int \frac{d y}{y}\) = \(2 \int \frac{d x}{x}\)
log c + log y = 2 log x
log cy = log x²
సాధన cy = x², స్థిరాంకము

II. క్రింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి

ప్రశ్న 1.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1+y^2}{1+x^2}\)
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1+y^2}{1+x^2}\)
\(\int \frac{d y}{1+y^2}\) = \(\int \frac{d x}{1+x^2}\)
tan^-1 y = tan^-1 x + tan^-1 c, c స్థిరాంకం

ప్రశ్న 2.
\(\frac{d y}{d x}\) = e^y-x
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{e^y}{e^x}\)
\(\frac{d y}{e^y}\) = \(\frac{d x}{e^x}\)
\(\int \frac{d y}{1+y^2}\) = \(\int \frac{d x}{1+x^2}\)
tan^-1 y = tan^-1 x + tan^-1 c, c స్థిరాంకం

ప్రశ్న 3.
(e^x + 1) y dy + (y + 1) dx = 0
సాధన:
(e^x + 1)y. dy = -(y + 1) dx
\(\frac{y d y}{y+1}\) = –\(\frac{d x}{e^x+1}\)
\(\int\left(1-\frac{1}{y+1}\right) d y\) = \(\int-\frac{e^{-x} d x}{e^{-x}+1}\)
y – log (y + 1) = log(e^-x + 1) + log c
⇒ y – log (y + 1) = log (e^-x + 1)
⇒ y = log (y + 1) + log c (e^-x + 1)
y = log c (y + 1) (e^-x + 1)
సాధన
e^y = c(y + 1) (e^-x + 1)

ప్రశ్న 4.
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x-y + x² e^-y (Mar. ’06; May ’05)
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = e^{x – y} + x² . e^-y
= \(\frac{e^x}{e^y}+\frac{x^2}{e^y}\)
\(\int e^y \cdot d y\) = \(\int\left(e^x+x^2\right) d x\)
సాధన
e^y = e^x + \(\frac{x^3}{3}\) + c

ప్రశ్న 5.
tan y dx + tan x dy = 0
సాధన:
tan y dx = – tan x dy
\(\frac{d x}{\tan x}\) = \(\frac{-d y}{\tan y}\)
\(\frac{\cos x}{\sin x} d x\) = \(-\frac{\cos y}{\sin y} d y\)
log sin x = -log sin y + log c
log sin x + log sin y = log c
log (sin x. sin y) = log c
⇒sin x. sin y = c అనేది సాధన

ప్రశ్న 6.
\(\sqrt{1+x^2}\) dx + \(\sqrt{1+y^2}\) dy = 0
సాధన:
\(\sqrt{1+x^2}\) dx + \(\sqrt{1+y^2}\) dy
ఇరువైపుల సమాకలనం చేయగా

ప్రశ్న 7.
y – x\(\frac{d y}{d x}\) = 5(y² + \(\frac{d y}{d x}\))
సాధన:
y – 5y² = (x + 5)\(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d x}{x+5}\) = \(\frac{d y}{y(1-5 y)}\)
‘ఇరువైపుల సమాకలనం చేయగా

ప్రశ్న 8.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x y+y}{x y+x}\)
సాధన:

III. కింది అవకలన సమీకరణములను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1+y^2}{\left(1+x^2\right) x y}\)
సాధన:

log (1 + y²)= log x² – log (1 + x²) + log c
log (1 + x²) + log (1 + y²) = log x² + log c
సాధన (1 + x²) (1 + y²) = cx²

ప్రశ్న 2.
\(\frac{d y}{d x}\) + x² = x² . e^3y
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) + x² = x² . e^3y
\(\frac{d y}{d x}\) = x². e^3y – x²
= x² (e^3y – 1)
\(\int \frac{d y}{e^{3 y}-1}\) = \(\int x^2 d x\)

ప్రశ్న 3.
(xy² + x) dx + (yx² + y) dy = 0 (Mar. ’07)
సాధన:
x(y² + 1) dx + y (x² + 1) dy = 0
x(y² + 1) dx + y (x² + 1 ) dy = 0
(1 + x²) (1 + y²) తో భాగించగా
\(\frac{x d x}{1+x^2}\) + \(\frac{y d y}{1+y^2}\) = 0
సమాకలనం చేయగా
\(\int \frac{x d x}{1+x^2}\) + \(\int \frac{y d y}{1+y^2}\) = 0
\(\frac{1}{2}\)[(log (1 + x²) + log (1 + y²)] = log c
log (1 + x²) (1 + y²) = 2 log c = log c²
సాధన (1 + x²) (1 + y²) = k. ఇక్కడ k = c²

ప్రశ్న 4.
\(\frac{d \mathbf{y}}{\mathbf{d x}}\) = 2y tanh x
సాధన:
\(\frac{d \mathbf{y}}{\mathbf{d x}}\) = 2y tanh x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}}\) = 2 tanh x dx
ఇరువైపులా సమాకలనం చేయగా
\(\int \frac{d y}{y}\) = 2\(\int \tanh x d x\)
log y = 2 log |cosh x | + log c
lny = 2ln cosh x + lnc
y = c cos²h x

ప్రశ్న 5.
sin^-1 \(\left(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\right)\) = x + y (May ’07)
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = sin (x + y)
x + y = t
1 + \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\)
\(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\) – 1 = sin t
\(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\) = 1 + sin t
\(\frac{d t}{1+\sin t}\) = dx
ఇరువైపులా సమాకలనం చేయగా
\(\int \frac{d t}{1+\sin t}[latex] = [latex]\int \mathrm{d} x[latex]
[latex]\int \frac{1-\sin t}{\cos ^2 t} d t\) = x + c
\(\int \sec ^2 t d t\) – \(\int \tan t \cdot \sec t d t\) = x + c
tan t – sec t = x + c
⇒ tan (x + y) – sec (x + y) = x + c

ప్రశ్న 6.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}\) = 0
సాధన:
\(\frac{-d y}{y^2+y+1}\) = \(\frac{d x}{x^2+x+1}\)
ఇరువైపులా సమాకలనం చేయగా

ప్రశ్న 7.
\(\frac{d y}{d x}\) = tan² (x + y)
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = tan² (x + y)
v = x + y అనుకుందాం
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\) = 1 + \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)
= 1 + tan² v = sec² v
\(\int \frac{d v}{\sec ^2 v}\) = \(\int d x\)
= \(\int \cos ^2 v \cdot d v\) = x + c
\(\int \frac{(1+\cos 2 v)}{2} d v\) = x + c
\(\int(1+\cos 2 v) d v\) = 2x + 2c
v + \(\frac{\sin 2 v}{2}\) = 2x + 2c
2v + sin 2v = 4x + c’
2(x + y) + sin 2(x + y) = 4x + c’
x – y – \(\frac{1}{2}\)[2(x + y)] = c