AP Inter 2nd Year Physics Study Material Chapter 5 స్థిర విద్యుత్ పోటెన్షియల్ – కెపాసిటెన్స్

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year Physics Study Material 5th Lesson స్థిర విద్యుత్ పోటెన్షియల్ – కెపాసిటెన్స్ Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year Physics Study Material 5th Lesson స్థిర విద్యుత్ పోటెన్షియల్ – కెపాసిటెన్స్

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
విద్యుత్ తీవ్రత శూన్యమైన బిందువు వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్ ఉంటుందా? ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు:
అవును. విద్యుత్ తీవ్రత శూన్యమైన బిందువు వద్ద పొటెన్షియల్ ఉంటుంది.
ఉదా : 1) రెండు సజాతి ఆవేశాల మధ్య బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత శూన్యం. కాని పొటెన్షియల్ శూన్యం కాదు.
2) ఆవేశ గోళాకార వాహకం లోపల విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత శూన్యం. కాని పొటెన్షియల్ శూన్యం కాదు.

ప్రశ్న 2.
విద్యుత్ పొటెన్షియల్ శూన్యమైన బిందువు వద్ద విద్యుత్ తీవ్రత ఉంటుందా? ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు:
అవును. పొటెన్షియల్ శూన్యం అయిన బిందువు విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత శూన్యం కావాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదా : రెండు సమాన, వ్యతిరేక ఆవేశాల మధ్యబిందువు వద్ద పొటెన్షియల్ శూన్యం. కాని తీవ్రత శూన్యం కాదు.

ప్రశ్న 3.
సమశక్మ ఉపరితలాలంటే అర్థం ఏమిటి?
జవాబు:
ప్రతి బిందువు వద్ద ఒకే పొటెన్షియల్ విలువ కలిగిన తలంను సమశక్మ తలం అంటారు. బిందు ఆవేశంనకు ఏకీకృత గోళాలు సమశక్మ తలాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 4.
సమశక్మ ఉపరితలానికి విద్యుత్ క్షేత్రం ఎప్పుడూ ఎందుకు లంబంగా ఉంటుంది?
జవాబు:
సమశక్మ తలంపై ఒక బిందువు నుండి మరొక బిందువుకు ఆవేశంను జరుపుటలో జరిగిన పని శూన్యం. సమశక్మ తలం వెంట విద్యుత్ క్షేత్ర అంశం శూన్యం. కావున తలం, క్షేత్రరేఖలకు లంబంగా ఉండును.

ప్రశ్న 5.
lµF, 2µF, 3µF కెపాసిటెన్స్ గల మూడు కెపాసిటర్లను సమాంతరంగా సంధానం చేశారు.
(a) ఆవేశాల నిష్పత్తి ఏమిటి?
(b) పొటెన్షియల్ భేదాల నిష్పత్తి ఏమిటి?
జవాబు:

కెపాసిటర్ లను సమాంతరంగా కలిపినప్పుడు
(a) q₁ : q₂ : q₃ = C₁V : C₂V: C₃V = 1µF : 2µF : 3µF
∴ q₁ : q₂ : q₃ = 1 : 2 : 3
(b) V₁ : V₂ : V₃ = V : V : V = 1 : 1 : 1

ప్రశ్న 6.
1µE, 2µF, 3µF కెపాసిటెన్స్ గల మూడు కెపాసిటర్లను శ్రేణిలో సంధానం చేశారు.
(a) ఆవేశాల నిష్పత్తి ఏమిటి?
(b) పొటెన్షియల్ భేదాల నిష్పత్తి ఏమిటి?
జవాబు:

కెపాసిటర్లను శ్రేణిలో కలిపినప్పుడు

ప్రశ్న 7.
సమాంతర పలకల కెపాసిటర్లో పలకల వైశాల్యాన్ని రెట్టింపు చేసినట్లైతే కెపాసిటెన్స్ ఏమవుతుంది?
జవాబు:

∴ కెపాసిటి రెండు రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న 8.
నిర్ణీత పీడనం వద్ద గాలి రోధక సత్వం 3 × 10⁶.Vm^-1. పలకల మధ్య గాలి ఉన్న సమాంతర పలకల కెపాసిటర్లో పలకల మధ్య ఎడం 1 cm ఉన్నప్పుడు 3 × 10⁶V కు కెపాసిటర్ను ఆవేశం చెందించగలరా?
జవాబు:
గాలి రోధక సత్వం E₀ = 3 × 10⁶ Vm^-1
రెండు పలకల మధ్య విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత E = \(\frac{E_0}{K}\) = 3 × 10⁶ Vm^-1 [∵ K = 1]
రెండు పలకల మధ్యదూరం, d = 1 cm = 10^-2m
రెండు పలకల మధ్య విద్యుత్ పొటెన్షియల్ తేడా, V = Ed = 3 × 10⁶ × 10^-2
∴ V = 3 × 10⁴ వోల్ట్లు
కావున కెపాసిటరు 3 × 10⁶ వోల్ట్లకు ఆవేశపరచలేము.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బిందు ఆవేశం వల్ల కలిగే విద్యుత్ పొటెన్షియల్కు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి. [TS. Mar. 16]
జవాబు:
ఒక బిందు ఆవేశం వల్ల విద్యుత్ పొటెన్షియలు సమాసము:
1) ఒక ప్రమాణ ధనావేశంను అనంత దూరం నుండి, ఒక బిందువు వద్దకు తీసుకురావటానికి జరిగిన పనిని బిందువు వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్ అంటారు.

2) ఆవేశం + q ఉన్న బిందు ఆవేశం నుండి ” దూరం వద్ద ఒక బిందువు P ను భావిద్దాం. B వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం,
E = \(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0x^2}\)

3) B నుండి A కు ప్రమాణ ధనావేశంను తీసుకురావటంలో జరిగిన పని = dV = -E.dX (ఇక్కడ రుణాత్మక విలువ విద్యుత్ క్షేత్రం మరియు స్థానభ్రంశంలు వ్యతిరేక దిశలో ఉండుట సూచించును)

4) ∴ P వద్ద పొటెన్షియల్ = ప్రమాణ ధన ఆవేశంను అనంత దూరం నుండి P వద్దకు తీసుకురావటానికి జరిగిన పని.

ప్రశ్న 2.
రెండు బిందు ఆవేశాలు గల వ్యవస్థ స్థిర విద్యుత్ స్థితిజశక్తి సమాసాన్ని ఉత్పాదించి, ఆవేశం యొక్క విద్యుత్ పొటెన్షియల్తో ఇది కలిగి ఉండే సంబంధాన్ని కనుక్కోండి.
జవాబు:

రెండు బిందు ఆవేశాలు గల వ్యవస్థ స్థిర విద్యుత్ స్థితిజశక్తి సమాసము :

1. రెండు బిందు ఆవేశాలు q₁ మరియు q₂ లు ‘r’ దూరంలో స్వేచ్ఛా యానకంలో’ వేరుచేయబడి ఉన్నాయని భావిద్దాం.
2. ఆవేశం q₁ చుట్టూ విద్యుత్ క్షేత్రం ఏర్పడును.
3. ఆవేశం q₂ ను బిందువు B వద్దకు తీసుకురావటానికి కొంత పని జరుగును.
   
4. ఈ జరిగిన పని రెండు ఆవేశాల వ్యవస్థ స్థిరవిద్యుత్ స్థితిజ శక్తిరూపంలో నిల్వ ఉండును. దీని ప్రమాణము జౌల్.
   ∴ U = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r}\)
5. రెండు సజాతి ఆవేశాలు అయిన ‘U’ ధనాత్మకం. రెండు సజాతి ఆవేశాలు ఒకదానికొకటి వికర్షించును. ఆవేశాలు దగ్గరకు తీసుకురావటానికి వ్యవస్థపై జరిగిన పని ధనాత్మకం.
6. ఇదేవిధంగా రెండు విజాతి ఆవేశాలు అయిన, అవి ఆకర్షించుకుంటాయి. స్థితిజశక్తి రుణాత్మకము.

ప్రశ్న 3.
ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రంలో ఉంచిన విద్యుత్ ద్విధృవం స్థితిజశక్తికి సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
విద్యుత్ ద్విధృవంను ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రంలో ఉంచినపుడు స్థితిజశక్తికి సమాసము :

1. + q మరియు -q ఆవేశాలున్న విద్యుత్ ద్విధ్రువం పొడవు 2 గా భావిద్దాం.
2. విద్యుత్ ద్విధ్రువంను E ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రంలో ఉంచామనుకుందాము. దాని అక్షం Eతో చేయు కోణం θ.
3. ఆవేశాలపై బలం సమానం కాని వ్యతిరేక సంజ్ఞలను కలిగి ఉండును. అవి ద్విధ్రువంపై టార్క్ను ఏర్పరుచును.
   టార్క్ τ = ఒక బలం పరిమాణం (F) × లంబ దూరం (BC)
   F = qE మరియు sinθ = \(\frac{BC}{2a}\) = BC = 2a sinθ
   ∴ టార్క్ τ = qE × 2a sinθ = PE sin θ [∴ p = 2aq]
4. ద్విధ్రువంను 4θ కోణం త్రిప్పితే, జరిగిన పని
   dw = τdθ = PE sinθ dθ
5. ద్విధ్రువంను కోణం θ₁ నుండి θ₂ త్రిప్పితే,
   జరిగిన పని W= \(\int_{\theta_1}^{\theta_2}\)PE sinθ dθ = PE(cos θ₁ – cos θ₂)
6. ఈ జరిగిన పని (W) ద్విధ్రువంలో నిల్వ ఉన్న శక్తి (U) కు సమానం.
   ∴ U = PE(cos θ₁ – cos θ₂)
7. θ₁ = 90°, θ₂ = 0° అయితే U = – PE cos θ.
   సదిశ రూపంలో U = –\(\overrightarrow{P}.\overrightarrow{E}\) P.E

ప్రశ్న 4.
సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ కెపాసిటెన్స్కు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి. [AP. Mar ’16; Mar. ’14]
జవాబు:
సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ కెపాసిటెన్స్కు సమాసము:
1) P మరియు Q లు ఒక కెపాసిటర్లో రెండు సమాంతర పలకలు. అవి d దూరంలో వేరుచేయబడి ఉన్నాయి.
2) ప్రతి పలక వైశాల్యం A. P ఆవేశ పరచబడింది. Q భూమికి కలుపబడింది.

ప్రశ్న 5.
ఒక బాహ్య క్షేత్రంలో విద్యుత్ రోధకాల ప్రవర్తనను వివరించండి.
జవాబు:
1) బాహ్యక్షేత్రంను, విద్యుత్ రోధకాల వెంట ప్రయోగిస్తే, విద్యుత్ క్షేత్ర దిశలో ధనావేశ కేంద్రాలు విస్థాపనం మరియు క్షేత్ర దిశకు వ్యతిరేక దిశలో రుణావేశ కేంద్రాలు విస్తాపనం ఉండును. బాహ్యక్షేత్ర దిశకు వ్యతిరేకంగా రోధక యానకం లోపల విద్యుత్ క్షేత్ర ప్రేరణ జరుగును. ఈ సందర్భంలో అణువులు ధ్రువణం చెందినవి అంటారు.

2) పలకల మధ్య రోధకం ఉన్న కెపాసిటర్ను భావిద్దాం. రోధకం లోపల నికరక్షేత్రం స్వల్పము.

3) బాహ్యక్షేత్ర సత్వము E₀ మరియు రోధకయానకం విద్యుత్ క్షేత్ర సత్వప్రేరణ E_m. నికర క్షేత్రము జై.
E = (Eనికర) – E – E = ఇక్కడ K యానకం రోధక స్థిరాకం.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
విద్యుత్ పొటెన్షియల్ను నిర్వచించండి. విద్యుత్ ద్విధృవం వల్ల కలిగే విద్యుత్ పొటెన్షియల్కు సమాసాన్ని రాబట్టి, విద్యుత్ ద్విధృవం (a) అక్షీయ రేఖపై (b) మధ్య లంబరేఖ (equatorial line) పై విద్యుత్ పొటెన్షియల్లను కనుక్కోండి.
జవాబు:
విద్యుత్ పొటెన్షియల్ (V) :
ప్రమాణశోధన ఆవేశంను అనంతదూరం నుండి విద్యుత్ క్షేత్రంలోనికి తీసుకు రావడానికి జరిగిన పనిని విద్యుత్ పొటెన్షియల్ అంటారు.

ద్విధ్రువం వల్ల ఒక బిందువు వద్ద పొటెన్షియలు సమాసము :
1) A మరియు B లు – q మరియు + q ఆవేశాలు 2a దూరంలో వేరుచేయబడి ఉన్నాయి.
2) విద్యుత్ ద్విధ్రువ భ్రామకం P = q × 2a. దీని దిశ AB వెంట ఉండును.
3) ‘P’ వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్ గణించాలి.
4) ‘O’ బిందువు నుండి ‘r’ దూరంలో P ఉంది. OP మరియు ABల మధ్య కోణము θ.
5) BN మ యు AM లు OP కు లంబాలు.
6) B వద్ద + q ఆవేశం వల్ల P వద్ద పొటెన్షియల్

ప్రశ్న 2.
కెపాసిటర్ శ్రేణి, సమాంతర సంయోగాలను వివరించండి. ప్రతి సంయోగంలోను తుల్య కెపాసిటెన్స్కు ఫార్ములాను రాబట్టండ్. [TS. Mar.’17: AP & TS. Mar.’15]
జవాబు:
శ్రేణి సంయోగము :
కెపాసిటర్ ను, ఒకదాని తరువాత మరొకదానిని కలిపే పద్ధతిని, శ్రేణి సంధానం అంటారు.
ఈ సంయోగంలో
1. ప్రతికెపాసిటర్పై ఆవేశం సమానం.
2. కెపాసిటర్ పొటెన్షియల్ తేడా సమానం కాదు.

సమాంతర సంయోగము :
వేర్వేరు కెపాసిటర్ మొదటి పలకలను ఒక బిందువు వద్ద, రెండవ పలకలను మరొక బిందువు వద్ద కలిపే పద్ధతిని, సమాంతర సంయోగం అంటారు.

ఈ సంయోగంలో
1. ప్రతి కెపాసిటర్పై పొటెన్షియల్ తేడా సమానం.
2. ప్రతి కెపాసిటర్పై ఆవేశం సమానం కాదు.
పటంలో చూపినట్లు C₁, C₂, C₃ కెపాసిటీ ఉన్న కెపాసిటర్లను పొటెన్షియల్ తేడా ‘V’ ఉన్న బ్యాటరీకి కలిపినట్లు భావిద్దాం.
1వ కెపాసిటర్పై ఆవేశం Q₁ = C₁V
2వ కెపాసిటర్పై ఆవేశం Q₂ = C₂V

3వ కెపాసిటర్పై ఆవేశం Q₃ = C₃V
∴ మొత్తం ఆవేశం Q = Q₁ + Q₂ + Q₃
= C₁V + C₂V + C₃V
Q = V(C₁, + C₂ + C₃)
\(\frac{Q}{V}\) = C₁ + C₂ + C₃
C = C₁ + C₂ +C₃][∵ c = \(\frac{Q}{V}\)]
‘n’ కెపాసిటర్లను సమాంతరంగా కలిపినపుడు, ప్రభావ కెపాసిటిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
C = C₁ + C₂ + C₃ + …. + C_n

ప్రశ్న 3.
కెపాసిటర్లో నిల్వ ఉండే శక్తికి సమాసాన్ని రాబట్టండి. పలకల మధ్య ప్రదేశాన్ని రోధకంతో నింపినప్పుడు నిల్వ ఉండే శక్తిని కింది సందర్భాల్లో కనుక్కోండి.
(a) ఆవేశం చెందించే బ్యాటరీని వేరు చేసినప్పుడు
(b) ఆవేశం చెందించే బ్యాటరీని వలయంలో ఉంచినప్పుడు
జవాబు:
కెపాసిటర్లో నిల్వ ఉండే శక్తికి సమాసము :
C కెపాసిటీ ఉన్న ఆవేశం లేని కెపాసిటర్ను భావిద్దాం. దాని తొలి పొటెన్షియల్ 0 (సున్నా). ఈ కెపాసిటర్ను V పొటెన్షియల్ తేడా ఉన్న బ్యాటరీకి కలిపితే, కెపాసిటర్పై తుది ఆవేశం ‘Q’.
∴ సరాసరి పొటెన్షియల్ తేడా V_A = \(\frac{0+V}{2}=\frac{V}{2}\)
ఆవేశం Q ను జరపటంలో జరిగిన పని = W = V_A × Q = \(\frac{VQ}{2}\)
ఈ జరిగిన పని కెపాసిటర్లో స్థిర విద్యుత్ స్థితిజశక్తి ‘U’ గా నిల్వ ఉండును.
∴ U = \(\frac{VQ}{2}\)
∴ కెపాసిటర్లో నిల్వ ఉన్న శక్తి, U = \(\frac{VQ}{2}=\frac{1}{2}\)CV² = \(\frac{Q^2}{2C}\) (∴ Q = CV)

నిల్వ ఉన్న శక్తిపై రోధకం ప్రభావము :
సందర్భం (a) : వలయం నుండి బ్యాటరీని తొలగించినప్పుడు :
కెపాసిటరు బ్యాటరీతో Q కు ఆవేశపరచి, వలయం నుండి తొలగించి, ‘K’ రోధక స్థిరాంకం ఉన్న రోధకాన్ని రెండు పలకల మధ్య ఖాళీలో ఉంచితే, పొటెన్షియల్ \(\frac{1}{K}\) రెట్లు తగ్గును. మరియు ఆవేశం స్థిరంగా ఉండును.
కెపాసిటీ ‘K’ రెట్లు పెరుగును.

సందర్భం (b) : వలయంనకు బ్యాటరీని కలిపినప్పుడు :
కెపాసిటర్కు బ్యాటరీ కలిపి Q కు ఆవేశపరిచామనుకుందాము. కెపాసిటర్ పలకల మధ్య K రోధక స్థిరాంకము ఉన్న రోధకంను ఉంచితే, పొటెన్షియల్ \(\frac{1}{K}\) రెట్లు తగ్గును. పలకలపై ఆవేశం, పొటెన్షియల్ తేడా తొలివిలువ V వచ్చేంతవరకు పెరుగును.
పలకలపై కొత్త ఆవేశం Q’ =KQ

∴ కెపాసిటర్లో నిల్వ ఉన్న శక్తి ‘K’ రెట్లు పెరుగును.

లెక్కలు Problems

ప్రశ్న 1.
తొలుత చాలా అత్యధిక దూరంలో ఉన్న ‘m’ ద్రవ్యరాశి, +e ఆవేశం గల ఒక ప్రాథమిక కణాన్ని విరామంలో ఉన్న + Ze ఆవేశం గల భారయుత కణం వైపు v వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేస్తారు. పతన కణం అత్యంత సామీప్యంగా పోగలిగే దూరంను కనుకొనుము.
సాధన:
ప్రాథమిక కణం ద్రవ్యరాశి = m; ఆవేశం = +e; వేగం = v.
చాలా ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గల కణం ఆవేశం = + Ze
ఆవేశ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము,
ప్రాథమిక కణాల గతిజ శక్తి = సమీప దూరం (d) వద్ద ప్రాథమిక కణం స్థిర విద్యుత్ స్థితిజ శక్తి

ప్రశ్న 2.
హైడ్రోజన్ పరమాణువులో ఎలక్ట్రాను, ప్రొటాన్ 0.5 A దూరంలో కలవు. వ్యవస్థ ద్విధృవ భ్రామకంను కనుగొనుము.
సాధన:
హైడ్రోజన్ పరమాణువులో ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం, q^e = -1.6 × 10^-19C

హైడ్రోజన్ పరమాణువులో ప్రోటాన్ ఆవేశం, q^p = +1.6 × 10^-19C
ప్రోటాను మరియు ఎలక్ట్రాన్ల మధ్య దూరము,
2a = 0.5Å = 0.5 × 10^-10m
వ్యవస్థ ద్విధృవ భ్రామకం
P = 2a × q^p = 0.5 × 10^-10 × 1.6 × 10^-19
∴ P = 8 × 10^-30 cm

ప్రశ్న 3.
XOY తలంలో ఒక ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రంగా (\(40\hat{i}+30\hat{j}\)) Vm^-1ని సూచించడమైంది. మూలబిందువు వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్ 200 V అయితే, (2m, 1m) నిరూపకాలు గల బిందువు వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్ను ఉరి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
ఒక సమబాహు త్రిభుజం అంచు (పక్క) పొడవు L. దాని కేంద్ర బిందువు వద్ద +q ఆవేశం ఉంచారు. త్రిభుజం పరిధిపై P ఒక బిందువు. బిందువు Pకి సాధ్యమయ్యే కనిష్ఠ, గరిష్ట విద్యుత్ పొటెన్షియల్ నిష్పత్తి.
సాధన:
సమబాహు త్రిభుజ కేంద్రబిందువు వద్ద ఆవేశం =+q

ప్రశ్న 5.
ABC అనేది 2 m అంచు గల ఒక సమబాహు త్రిభుజం. త్రిభుజ తలంలో 100 V/m తీవ్రత గల ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రం BCకి సమాంతరంగా కలదు. ఒకవేళ విద్యుత్ పొటెన్షియల్ A వద్ద 200 V అయితే, B, C ల వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్లు’ వరుసగా ఎంత?
సాధన:

సమబాహు త్రిభుజ భుజము పొడవు, a = 2m
E = 100V/m; V_A = 200V
B మరియు C ల మధ్య బిందువు అనుకొందాము.
D వద్ద పొటెన్షియల్ = V_D = 200V
పటం నుండి, V_B – V_D = Ed
⇒ V_B – 200 = 100 × 1
∴ B వద్ద పొటెన్షియల్, V_B = 200 + 100 = 300 V
మరియు V_D – V_C Ed
∴ C వద్ద పొటెన్షియల్ V_C = 200 – 100 = 100 V

ప్రశ్న 6.
ద్విధృవ భ్రామకం P కలిగిన ఒక విద్యుత్ ద్విధృవాన్ని ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రం E లో P, Eకి సమాంతరంగా ఉండేట్లు ఉంచారు. తరువాత దాన్ని q కోణంతో భ్రమణం చెందిస్తే, జరిగిన పనిని కనుక్కోండి?
సాధన:
విద్యుత్ ద్విధృవం AB, – q మరియు + q ఆవేశాలు కలిగి ఉందని భావిద్దాం.
AB ద్విధృవ భ్రామకం = P
విద్యుత్ క్షేత్రం = E

ప్రశ్న 7.
మూడు సర్వసమానమైన లోహ పలకలు, ఒక్కొక్కటి ‘A’ వైశాల్యం గలవి, ఒకదానికొకటి పటంలో చూపినట్లుగా సమాంతరంగా అమర్చారు. ‘V వోల్టుల బ్యాటరీని పటంలో చూపినట్లుగా కలిపారు. పలకల వ్యవస్థలో నిల్వ ఉండే శక్తిని కనుక్కోండి.

సాధన:
ప్రతి పలక వైశాల్యం = A
రెండు పలకల మధ్యదూరం = d
సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ కెపాసిటి C = \(\frac{\varepsilon_0A}{d}\)
పటంలో చూపినట్లు రెండు కెపాసిటర్లు సమాంతరంగా కలుపబడినవి.
రెండు కెపాసిటర్లు సమాంతరంగా కలిపినప్పుడు, ఫలిత కెపాసిటి, C_p = 2C = \(\frac{2\varepsilon_0A}{d}\)

ప్రశ్న 8.
ప్రతి పలక వైశాల్యం A ఉండే నాలుగు సర్వసమానమైన లోహపు పలకలు పరస్పరం d దూరంలో వేరుచేసి పటంలో చూపినట్లు సంధానం చేయబడ్డాయి. A, B కొనల మధ్య వ్యవస్థ కెపాసిటిని కనుక్కోండి.

సాధన:
కెపాసిటర్ ప్రతిపలక వైశాల్యం =A
కెపాసిటర్ రెండు పలకల మధ్యదూరం = d
ప్రతి సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ కెపాసిటి, C = \(\frac{\varepsilon_0A}{d}\)

ప్రశ్న 9.
పటంలో చూపిన వలయంలోని బ్యాటరీ V వోల్టులు కలిగి అంతర్నిరోధం లేకుండా ఉంది. మూడు కెపాసిటర్లు సమాన కెపాసిటి కలిగి ఉన్నాయి. ఏ కెపాసిటర్ అధిక ఆవేశం కలిగి ఉంటుందో కనుక్కోండి.

సాధన:
ఇచ్చిన వలయం యొక్క తుల్య వలయం పటంలో చూపబడింది.

శ్రేణి సంధానంలో ప్రతి కెపాసిటర్ గుండా ఆవేశం q ప్రవహిస్తుంది.
అప్పుడు q₁ = q = C₁ V₁; q₂ = q = C₂V₂; q₃ = C₃V₃
∴ = q₁ = q₂ = q₃
కావున మూడు కెపాసిటర్లు C₁, C₂ మరియు C₃ లలో ఒకే ఆవేశం ప్రవహించును.

ప్రశ్న 10.
A, B అనే C, 2C కెపాసిటెన్స్ గల కెపాసిటర్లను సమాంతరంగా సంధానం చేసి సంయోగాన్ని V వోల్టుల బ్యాటరీకి
సంధానం చేశారు. ఆవేశం చెందించడం పూర్తవగానే, బ్యాటరీని తొలగించి K = 2 గల రోధక దిమ్మెను A పలకల మధ్య ప్రదేశం పూర్తిగా నిండేట్లుగా ప్రవేశపెట్టారు. ఆవేశాలను పంచుకొనేటప్పుడు వ్యవస్థ కోల్పోయే శక్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:

i) సమాంతర సంయోగంతో బ్యాటరీ (ఘటం) కలిపినప్పుడు
C₁ = C; C₂ = 2C; V = V
C_p = C₁ + C₂ = 3C; q = 3CV
నిల్వ ఉన్న తొలిశక్తి
U_i = \(\frac{1}{2}\) C_p V² = \(\frac{3}{2}\) CV²

ప్రశ్న 11.
నియమిత కెపాసిటి గల కెపాసిటర్ను V పొటెన్షియలు ఆవేశితం చేసినప్పుడు అది కొంత శక్తిని నిల్వ ఉంచుకుంది. దీనికి రెట్టింపు కెపాసిటి గల కెపాసిటర్ మొదటిదాని శక్తిలో సగం శక్తిని నిల్వ చేసుకోవాలంటే ఎంత పొటెన్షియలు ఆవేశిం చేయాలి?
సాధన:

అభ్యాసాలు Textual Exercises

ప్రశ్న 1.
5 × 10^-8 C, – 3 × 10^-8 C అనే రెండు విద్యుదావేశాలు 16 cm దూరంలో కలవు. వాటిని కలిపే రేఖపై ఏ బిందువు (ల) వద్ద పొటెన్షియల్ సున్నా అవుతుంది ? అనంతం వద్ద పొటెన్షియల్ను సున్నాగా తీసుకోండి.
సాధన:
q₁ = 5 × 10^-8C, q₂ = -3 × 10^-8C
ఆవేశం q₁ = 5 × 10^-8 C నుండి X దూరం వద్ద పొటెన్షియల్ శూన్యం.
∴ r₁ = x × 10^-2m
r₂ = (16 – x) × 10^-2 m

ప్రశ్న 2.
భుజం పొడవు 10 cm గల ఒక క్రమ షడ్భుజి 5 µC ఆవేశం కలదు. అయితే ఆ షడ్భుజి మధ్యబిందువు వద్ద పొటెన్షియల్ను కనుక్కోండి.
సాధన:
భుజం 10cm గల ABCDEFA అష్టభుజి (hexagon) కేంద్రం పటం నుండి స్పష్టంగా OAB, OBC లు సమబాహు త్రిభుజాలు.
∴ OA = OB = OC = OD = OE = OF = r = 10 cm = 10^-1m
పొటెన్షియల్ అదిశరాశి.

ప్రశ్న 3.
A, B అనే రెండు బిందువుల వద్ద 2 uC, -2 uC ఆవేశాలను 6 cm దూరంలో ఉంచారు.
a) వ్యవస్థ సమ పొటెన్షియల్ ఉపరితలాన్ని గుర్తించండి.
b) ఈ ఉపరితలంపై ప్రతీ బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం దిశ ఏమిటి ?
సాధన:
a) AB లంబంగా మరియు దాని మధ్య బిందువు గుండాపోవు తలంపై బిందువు వద్దనైన, శూన్య పొటెన్షియల్ ఉండును.

b) తలమునకు లంబంగా AB దిశలో ఉండును.

ప్రశ్న 4.
12cm వ్యాసార్థం గల ఒక గోళాకార వాహక ఉపరితలంపై 1.6 × 10^-7C ఆవేశం ఏకరీతిగా వితరణ చెంది ఉంది. అయితే క్రింది సందర్భాల్లో విద్యుత్ క్షేత్రం ఏమిటి?
a) గోళ అంతర్భాగంలో
b) గోళానికి కాస్తంత వెలుపల
c) గోళం కేంద్రం నుంచి 18 cm దూరంలో గల బిందువు వద్ద
సాధన:
r = 12 cm = 12 × 10^-2m, q = 1.6 × 10^-7C.
a) గోళం లోపల, E = 0

b) గోళమునకు కొద్దిగా వెలుపల (గోళం తలంపై తీసుకుందాము)

ప్రశ్న 5.
పలకల మధ్య గాలి ఉన్న ఒక సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ కెపాసిటి 8 pF (1pF = 10^-12F). అయితే, పలకల మధ్యమాన్ని సగానికి తగ్గించి, వాటి మధ్యగల ప్రదేశాన్ని రోధక స్థిరాంకం 6 గల ఒక పదార్ధంతో నింపినట్లైతే కెపాసిటెన్స్ ఎంతవుతుంది?
సాధన:

ప్రశ్న 6.
9 pF కెపాసిటెన్స్ గల 3 కెపాసిటర్లను శ్రేణీ సంధానం చేశారు.
a) ఈ సంయోగం మొత్తం కెపాసిటెన్స్ ఎంత?
b) ఈ సంయోగాన్ని 120 V బ్యాటరీకు కలిపినప్పుడు ప్రతీ కెపాసిటర్ కొనల మధ్య పొటెన్షియల్ భేదం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 7.
2 pE, 3 pE, 4 pF ల కెపాసిటెన్స్ గల 3 కెపాసిటర్లను సమాంతర సంధానం చేశారు.
a) ఈ సంయోగం మొత్తం కెపాసిటెన్స్ ఎంత?
b) ఈ సంయోగాన్ని 100 V బ్యాటరీకి కలిపినప్పుడు ప్రతీ కెపాసిటర్పై ఉండే ఆవేశాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a) C_p = 2 + 3 + 4 = 9 pF
b) ప్రతి కెపాసిటర్కు V = 100 Volt
q₁ = C₁ V = 2 × 100 = 200 pC
q₂ = C₂ V = 3 × 100 = 300 pC
q₃ = C₃ V = 4 × 100 = 400 pC

ప్రశ్న 8.
పలకల మధ్య గాలి ఉన్నటువంటి ఒక సమాంతర పలకల కెపాసిటర్లో ప్రతీ పలక వైశాల్యం 6 × 10^-3 m². వాటి మధ్యదూరం 3 mm అయితే, ఆ కెపాసిటర్ కెపాసిటెన్స్ను కనుక్కోండి. ఈ కెపాసిటర్ను 100 Vబ్యాటరీకి కలిపినట్లయితే, కెపాసిటర్ ప్రతీ పలకపై ఆవేశం ఎంత?
సాధన:
A = 6 × 10^-3 m², d = 3mm = 3 × 10^-3m, C = ? V = 100 V, q = ?

ప్రశ్న 9.
పైన అభ్యాసంలోని కెపాసిటర్ పలకల మధ్య 3 mm మందం కలిగిన మైకా (రోధక స్థిరాంకం = 6) ని ప్రవేశ . పెట్టినట్లయితే
a) కెపాసిటర్కు సంధానం చేసిన వోల్టేజి సరఫరాను అలాగే ఉంచినప్పుడు
b) సరఫరాను తొలగించిన తరువాత ఏమి జరుగుతుంది?
సాధన:
a) కెపాసిటి C కు పెరుగును i.e., C = KC₀ = 6 × 1.77 × 10^-11F
ఆవేశం q¹ కు పెరుగును. i.e., q¹ = C¹V = 6 × 1.77 × 10^-11 × 10²C.

b) జనకంను తొలగించినపుడు, కొత్త కెపాసిటి C = KC₀ = 6 × 1.77 × 10^-11F

ప్రశ్న 10.
12pF గల ఒక కెపాసిటర్ను 50V బాటరీకి సంధానం చేశారు. అయితే కెపాసిటర్లో ఎంత స్థిర విద్యుత్ శక్తి నిలువ అవుతుంది?
సాధన:
C = 12pF = 12 × 10^-12E,
V = 50Volt, E = ?
E = \(\frac{1}{2}\)CV² = \(\frac{1}{2}\)(12 × 10^-12)(50)²
= 1.5 × 10^-8J.

ప్రశ్న 11.
200V బ్యాటరీతో 600pF కెపాసిటర్ను ఆవేశపరచారు. తరువాత దీనిని బ్యాటరీ నుంచి తొలగించి, 600 pF గల .మరొక ఆవేశరహిత కెపాసిటర్కు సంధానం చేశారు. ఈ ప్రక్రియలో ఎంతమేర స్థిర విద్యుత్ శక్తి నష్టపోతుంది?
సాధన:
C₁ = C₂ = 600 pF = 600 × 10^-12
F = 6 × 10^-10F,
V₁ = 200 V, V₂ = 0

అదనపు అభ్యాసాలు Additional Exercises

ప్రశ్న 12.
8 mC ఆవేశం మూలబిందువు వద్ద కలదు. అయితే, P(0, 0, 3 cm) బిందువు నుంచి R(0, 6 cm, 9 cm) బిందువు మీదుగా Q(0, 4 cm, 0) బిందువుకు చిన్న ఆవేశం -2 × 10^-3 C ని తీసుకొనిరావడానికి జరిగిన పనిని లెక్కించండి.
సాధన:
పటంలో చూపినట్లు మూలబిందువు వద్ద ఆవేశం q = 8mc = 8 × 10^-3C
P నుండి R మీదుగా Q కు, తీసుకెళ్తున్న ఆవేశం 4% = -2 × 10^-9C
OP = r_p = 3 cm = 3 × 10^-2 m మరియు
OQ = r_Q = 4 cm = 4 × 10^-2 m
స్థిరవిద్యుత్ బలాలు, నిత్యత్వ బలాలు, జరిగిన పని పదంపై ఆధారపడదు. కావున బిందువు తో సంబంధం ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
భుజం పొడవు b గల ఒక ఘనం ప్రతి శీర్షం వద్ద q ఆవేశాన్ని ఉంచారు. ఈ ఆవేశ అమరిక వల్ల ఘనం మధ్యబిందువు వద్ద పోటెన్షియల్, విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ఘనం ఎనిమిది శీర్షాల వద్ద q ఆవేశం ఉన్న ఎనిమిది ఆవేశాల వల్ల కేంద్రం వద్ద పొటెన్షియల్,

కేంద్రం వద్ద ఎనిమిది ఆవేశాల వల్ల విద్యుత్ క్షేత్రం శూన్యం.

ప్రశ్న 14.
రెండు చిన్న లోహపు గోళాలపై 1.5µC, 2.5µC ఆవేశాలు కలవు. అవి ఒకదానికొకటి 30 cm దూరంలో కలవు. అయితే,
a) రెండు ఆవేశాలను కలిపే రేఖ మధ్యబిందువు వద్ద
b) ఈ మధ్యబిందువు నుంచి 10cm దూరంలో, మధ్యబిందువు నుంచి పోతూ రేఖకు లంబంగా గల తలంలో పొటెన్షియల్, విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
q₁ = 1.5μC = 1.5 × 10^-6 C,

ప్రశ్న 15.
అంతర వ్యాసార్థం r,, బాహ్య వ్యాసార్థం 1, గల గోళాకార వాహక కర్పరం Q ఆవేశాన్ని కలిగి ఉంది.
a) కర్పరం కేంద్రం వద్ద ఆ ఆవేశాన్ని ఉంచారు. కర్పరం లోపలి తలం, బాహ్య తలంపైన ఉపరితల ఆవేశ సాంద్రత ఎంత?
సాధన:
కర్పరము బయట తలంపై + Q ఆవేశం ఉండును. q ఆవేశంను కర్పరము కేంద్రము వద్ద ఉంచితే, కర్పరం లోపలి తలంపై -q ఆవేశంను వెలుపల తలంపై +q ఆవేశంను ప్రేరణ చేయును.
∴ కర్పరం లోపల తలంపై మొత్తం ఆవేశం -q మరియు వెలపలి తలంపై మొత్తం ఆవేశం (Q + q).

b) కర్పరం గోళాకారంగా లేనప్పటికీ, ఏదైనా అక్రమాకార ఆకారాన్ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ కోటరం అంతర్భాగంలో విద్యుత్ క్షేత్రం (ఎటువంటి ఆవేశాలు లేనప్పుడు) సున్నా అవుతుందా?
సాధన:

కర్పరం ఏ అక్రమ ఆకారంలో ఉన్న కోటరంలో ఆవేశం లేదు. కావున విద్యుత్ క్షేత్రం శూన్యం. కోటరం లోపల క్షేత్రరేఖ వెంట సంవృత లూప్ భాగంను మిగిలినది వెలుపల తీసుకుంటే, అప్పుడు సంవృత లూప్ వెంట శోధన ఆవేశం క్షేత్రం వెంట చేసిన పని శూన్యం. కావున ఆవేశంలేని కోటరం లోపల విద్యుత్ క్షేత్రం ఎల్లప్పుడు శూన్యం.

ప్రశ్న 16.
a)స్థిర విద్యుత్ క్షేత్ర లంబాంశం ఆవేశిత ఉపరితలం ఒకవైపు నుంచి వేరొకవైపుకు విచ్ఛిన్నంగా ఉంటుందని నిరూపించండి.
ఆ లంబాంశం (E₂ – E₁). \(\hat{\mathrm{n}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) అని చూపండి.
ఇక్కడ \(\hat{n}\) ఒక బిందువు వద్ద తలానికి లంబంగా ఉండే ఏకాంక సదిశ, రా ఆ బిందువు వద్ద ఉపరితల ఆవేశ సాంద్రత ( \(\hat{n}\) దిశ 1 వైపు నుంచి 2 వైపుకు ఉంటుంది. దాన్ని బట్టి వాహకానికి కాస్తంత బయట విద్యుత్ క్షేత్రం σ \(\hat{n}\)/ε₀ అని చూపండి.
b) స్థిర విద్యుత్ క్షేత్ర స్పర్శరేఖీయ అంశం (tangential component) ఆవేశిత ఉపరితలం ఒకవైపు నుంచి మరోవైపుకు అవిచ్ఛిన్నంగా ఉంటుందని నిరూపించండి.
(Hint : (a) కోసం గాస్ నియమాన్ని ఉపయోగించండి, (b) సంవృత లూప్పై స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రం చేసిన పని శూన్యం అనే వాస్తవాన్ని ఉపయోగించండి.)
సాధన:

b) సంవృత లూప్లో స్థిరవిద్యుత్ క్షేత్రం చేయుపని శూన్యం. కావున. ఒకవైపు ఆవేశతలం నుండి మరియొక వైపు స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రక అంశ స్పర్శరేఖ అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 17.
λ రేఖీయ ఆవేశ సాంద్రత కలిగిన పొడవైన ఆవేశిత స్తూపం వేరొక సహాక్ష బోలు వాహక స్తూపంతో ఆవృతం అయింది. ఈ రెండు స్తూపాల మధ్య ప్రదేశంలో విద్యుత్ క్షేత్రం ఎంత?
సాధన:
l పొడవు, a వ్యాసార్థం, λ రేఖీయ ఆవేశ సాంద్రత ఉన్న A అనే ఒక పొడవాటి స్థూపం l పొడవు, b వ్యాసార్థం ఉన్న చోట సహాక్ష స్థూపంలో అమృతం అయిందని భావిద్దాం.

A వెలుపలి తలంపై ఆవేశం q = λl ఏకరీతిగా విస్తరించి ఉన్నది. స్థూపం B పై – q ఆవేశంను ప్రేరణ చేస్తుంది. రెండు స్తూపాల మధ్య విద్యుత్ క్షేత్రం E ఏర్పడి, వెలుపలివైపుకు పనిచేయును. వ్యాసార్ధము గల సహాక్ష స్థూపాకార గాసియన్ తలంను భావిద్దాం. స్థూపాకార తలం ద్వారా విద్యుత్ అభివాహం.

ప్రశ్న 18.
ఒక హైడ్రోజన్ పరమాణువులో ఎలక్ట్రాన్, ప్రోటాన్లు సుమారుగా 0.53 శ్రీ దూరంలో బద్ధమై ఉన్నాయి :
a) ప్రోటాన్ నుంచి ఎలక్ట్రాన్ అనంత దూరంలో ఉన్నప్పుడు స్థితిజశక్తి సున్నాగా తీసుకొని, ఆ వ్యవస్థ స్థితిజశక్తిని eVలలో అంచనా వేయండి.
b) (a) లో పొందిన స్థితిజశక్తి పరిమాణంలో సగం, దాని కక్ష్యలో గల గతిజశక్తికి సమానం అయితే, ఎలక్ట్రాన్న స్వేచ్ఛగా చేయడానికి అవసరమైన కనిష్ఠ పని ఎంత?
c) ఎలక్ట్రాన్, ప్రోటాన్ల మధ్యదూరం 1.06 A ఉన్నప్పుడు స్థితిజశక్తిని సున్నాగా తీసుకుంటే పై లెక్కలో (a), (b) లకు సమాధానాలు ఏమిటి?
సాధన:
a) q₁ = −1.6 × 10^-19C;
q₂ + 1.6 × 10^-19C.
r = 0.53 A° = 0.53 × 10^-19m
స్థితిజశక్తి = అనంతదూరం వద్ద P.E – r వద్ద P.E

r₁ = 1.06Å వద్ద శూన్య పొటెన్షియల్ తీసుకుంటే, వ్యవస్థ స్థితిజశక్తి
= r₁ వద్ద P.E – r వద్ద P.E = 13.58 – 27.16 = – 13.58eV.
శూన్య స్థితిజశక్తిని విస్థాపనం చెందిస్తే, ఎలక్ట్రాన్ న్ను స్వేచ్ఛగా ఉంచుటకు కావాల్సిన పనిపై ఎటువంటి ప్రభావం ఉండదు. పని అదేవిధంగా, + 13.58 eVకు సమానంగా ఉండును.

ప్రశ్న 19.
ఒక H₂ అణువులోని రెండు ఎలక్ట్రానులలో ఒక ఎలక్ట్రాన్ ను తీసివేస్తే హైడ్రోజన్ అణు అయాన్ H⁺₂ వస్తుంది. H⁺₂ అయాన్ భూస్థాయిలో రెండు ప్రోటాన్లు సుమారుగా 1.5 Å దూరంలో వేరయి ఉంటాయి. ప్రతీ ప్రోటాన్ నుంచి ఎలక్ట్రాన్ సుమారుగా 1 Å దూరంలో ఉంటుంది. వ్యవస్థ స్థితిజశక్తిని నిర్ణయించండి. శూన్య స్థితిజశక్తి ఎంపికను నిర్ధేశించండి.
సాధన:
q₁ = ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం (= -1.6 × 10^-19C)
q₂, q₃ = రెండు ప్రోటాన్స్ ఆవేశాలు, ఒక్కొక్కటి = 1.6 × 10^-19 C
r₁₂ = q₁ మరియు q₂ల మధ్యదూరం = 1Å = 10^-10m
r₂₃ = q₂ మరియు q₃ల మధ్యదూరం = 1.5Å = 1.5 × 10^-10m
r₃₁ = q₃ మరియు q₁ల మధ్యదూరం = 1Å = 10^-10m.
అనంతదూరం వద్ద శూన్య స్థితిజశక్తి తీసుకుంటే,

ప్రశ్న 20.
a, b వ్యాసార్థం గల రెండు ఆవేశపూరిత వాహక గోళాలను ఒకదానికొకటి తీగతో కలిపారు. రెండు గోళాల ఉపరితలాల మీద విద్యుత్ క్షేత్రాల నిష్పత్తి ఎంత ? ఈ ఫలితాన్ని ఉపయోగించి, ఆవేశ సాంద్రత పదునైన (వాడిగా ఉన్న), మొనతేలిన వాహకపు చివరలపై వాహకపు చదునైన భాగాలపై కంటే ఎందుకు అధికంగా ఉంటుందో వివరించండి.
సాధన:
ఎక్కువ పొటెన్షియల్ గోళం నుండి తక్కువ పొటెన్షియల్ గోళం వైపు, వాని పొటెన్షియలు సమానం అయ్యేవరకు ఆవేశం ప్రవహిస్తుంది. పంచుకున్న తరువాత, రెండు గోళాలపై ఆవేశాల నిష్పత్తి

ఆవేశ సాంద్రత పదునైన మొనతేలిన వాహక చివర చాలా తక్కువ వ్యాసార్థమున్న గోళం, మరియు చదునైన భాగం చాలా ఎక్కువ వ్యాసార్ధమున్న భాగం. కావున ఆవేశ సాంద్రత చదునైన భాగాలపై కంటే మొనతేలిన వాహకపు చివరలపై అధికంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 21.
(0, 0, -a) (0, 0, a) బిందువుల వద్ద వరుసగా రెండు ఆవేశాలు -q, +q లు కలవు.
(a) (0, 0, z), (x, y, 0) బిందువుల వద్ద స్థిర విద్యుత్ పొటెన్షియల్ విలువ ఎంత?
(b) r/a>> 1 అయినప్పుడు మూలబిందువు నుంచి దూరం వద్ద ఉన్న బిందువు పొటెన్షియల్ మీద ఆధారపడి ఉంటుందని చూపండి.
(c) x-అక్షం దిశలో (5, 0, 0) బిందువు నుంచి (-7,0,0) బిందువుకు చిన్న శోధన ఆవేశాన్ని జరపడానికి ఎంత పని చేయాలి ? అవే బిందువుల మధ్య శోధన ఆవేశం పథం X అక్షం దిశలో లేకుంటే సమాధానం మారుతుందా?
సాధన:
(0, 0, -a) వద్ద -q మరియు (0, 0, a) వద్ద + q
i) (0,0, z) వద్ద పొటెన్షియల్

ఆవేశాలున్న Z-అక్షానికి లంబంగా (x, y, 0) బిందువు వద్ద పొటెన్షియల్ శూన్యం.

స్థిరవిద్యుత్ క్షేత్రం చేయుపని, రెండు బిందువులను కలుపు పథంపై ఆధారపడదు. కావున ఏ పదం వెంట అయిన జరిగిన పని అవిచ్ఛిన్నంగా శూన్యం.

ప్రశ్న 22.
పటం ఆవేశాల అమరికను చూపుతుంది. దీనిని విద్యుత్ క్వాడ్రపోల్ అంటారు. క్వాడ్రపోల్ అక్షంపై ఒక బిందువుకు, r/a >> 1 అయినప్పుడు, పొటెన్షియల్ పై ఆధారితం కావడాన్ని పొందండి. ఈ ఫలితాలను విద్యుత్ డైపోల్, విద్యుత్ ఏకధృవం (monopole) (అంటే, ఒంటరి ఆవేశం) ఫలితాలతో పోల్చండి.

సాధన:
A, B, C ల వద్ద + q, – 2q మరియు + q ల వద్ద మూడు ఆవేశాల వ్యవస్థతో విద్యుత్ క్వాడ్రపోల్ ఏర్పడుతుంది.
AC = 2a, BP = r, అధ్యారోపణ సూత్రంను ఉపయోగించి ఏదైనా బిందువు P వద్ద పొటెన్షియల్.


విద్యుత్ ద్విధ్రువం సందర్భంలో, V ∝ \(\frac{1}{r^2}\) మరియు ఒక ఆవేశం ఉన్న సందర్భంలో, V ∝ \(\frac{1}{r}\).

ప్రశ్న 23.
ఒక విద్యుత్ సాంకేతిక నిపుణుడికి ఒక వలయంలో IkV పొటెన్షియల్ తేడాకు సమాంతరంగా 2 µF కెపాసిటర్ను కలపవలసి ఉంది. అయితే అతనికి 1µF కెపాసిటర్లు అనేక సంఖ్యలో అందుబాటులో కలవు. అవన్నీ కూడా 400 V కంటే అధికంగా తట్టుకోలేవు. కావలసిన 1kV పొటెన్షియల్ తేడాకు 2µF కెపాసిటెన్స్ పొందడానికి వీలయినంత తక్కువ సంఖ్యలో కెపాసిటర్లు అవసరమయ్యే అమరికను సూచించండి.
సాధన:

మొత్తం కెపాసిటన్స్, C = 2µF
పొటెన్షియల్ భేదం, V = 1KV = 1000 Volt
ప్రతి కెపాసిటర్ కెపాసిటీ, C, = 1µF
ప్రతి కెపాసిటర్ వెంట గరిష్ఠ పొటెన్షియల్ భేదము, V = 400 Volt
ఒక్కొక్కటి 1µF ఉన్న n కెపాసిటర్స్ శ్రేణి వరుసలో మరియు m వరుసలు సమాంతరంగా పటంలో చూపినట్లు కలుపబడినవి.
ప్రతి వరుస వెంట పొటెన్షియల్ భేదం = 1000 Volt
∴ ప్రతి కెపాసిటర్ వెంట పొటెన్షియల్ భేదం = \(\frac{1000}{n}\) = 400
∴ n = \(\frac{1000}{400}\) = 2.5
n విలువ 2.5 కు తక్కువ కాకూడదు. ∴ n = 3
1µF కెపాసిటి గల మూడు కెపాసిటర్ ను శ్రేణిలో కల్పితే, ప్రతి వరుస కెపాసిటి = 1/3
సమాంతరంగా అటువంటి m వరుసల మొత్తం కెపాసిట = \(\frac{m}{3}\)
∴ \(\frac{m}{3}\) = 2µF లేక m = 6μF
∴ మొత్తం కెపాసిటర్ల సంఖ్య = n × m = 3 × 6 = 18.
కావున 1μF కెపాసిటర్లను ఆరు సమాంతర వరుసలు కలపాలి. ప్రతి వరుస మూడు కెపాసిటర్లను శ్రేణిలో కలిగి ఉండాలి.

ప్రశ్న 24.
2Fకెపాసిటీ కలిగిన ఒక సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ పలకల వైశాల్యం ఎంత? రెండు పలకల మధ్యదూరం 0.5cm అని ఇచ్చారు. మీ సమాధానం నుంచి ఎందుకు సాధారణ కెపాసిటర్ల వ్యాప్తి µF వ్యాప్తిలో లేదా అంతకంటే తక్కువగా ఉంటుందనే వాస్తవాన్ని గ్రహిస్తారు. అయినప్పటికీ, విద్యుత్ విశ్లేషక కెపాసిటర్లలో వాహకాల మధ్య ఎడం చాలా స్వల్పంగా ఉండటం వల్ల వాటి కెపాసిటెన్స్ చాలా అధికంగా (0.1 F) ఉంటుంది.
సాధన:
C = 2F, d = 0.5 cm = 5 × 10^-3m, A = ?

ఇది చాలా పెద్ద విలువ.

సాధారణ కెపాసిటర్స్ వ్యాప్తి µF లేక తక్కువ. విద్యుత్ విశ్లేష్య కెపాసిటర్ లో, డి చాలా తక్కువ. వాని కెపాసిటన్స్ (=0.1 F) చాలా ఎక్కువ.

ప్రశ్న 25.
పటంలో చూపిన జాలం తుల్య కెపాసిటెన్స్ను పొందండి. 300 V సరఫరాకు, ప్రతీ కెపాసిటర్ కొనల మధ్య ఆవేశం, వోల్టేజిని నిర్ణయించండి.
సాధన:
C₂ మరియు C₃ లు శ్రేణిలో ఉన్నాయి.

(i) నుండి V_p – 300 – V₄ = 300 – 200 = 100 V
C₁ వెంట పొటెన్షియల్ భేదం V₁ = V_p = 100 V
C₁ పై ఆవేశం, q₁ = C₁V₁ = 100 × 10^-12 × 100 = 10^-8C.
శ్రేణిలో C₂ మరియు C₃ వెంట పొటెన్షియల్ భేదము = 100 V
C₂ పై ఆవేశం, q₂ = C₂V₂ = 200 × 10^-12 × 50 = 10^-8C
C₃ పై ఆవేశం, q₃ = C₃V₃ = 200 × 10^-12 × 50 = 10^-8C

ప్రశ్న 26.
ఒక సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ ప్రతి పలక వైశాల్యం 90 cm² మరియు ఆ రెండు పలకల మధ్యదూరం 2.5 mm. ఆ కెపాసిటర్ను 400 V సరఫరాకు సంధానం చేసి ఆవేశపరిచారు.
(a) కెపాసిటర్లో నిల్వ అయిన స్థిర విద్యుత్ శక్తి ఎంత?
(b) ఈ శక్తిని పలకల మధ్యస్థిర విద్యుత్ క్షేత్రంలో నిల్వ ఉన్నదిగా పరిగణించి, ఏకాంక ఘనపరిమాణానికి గల శక్తి u ని పొందండి. దీనినుంచి, u కి, పలకల మధ్య విద్యుత్ క్షేత్రం E పరిమాణానికి మధ్య సంబంధాన్ని తీసుకురండి.
సాధన:
a) A = 90 cm² 90 × 10^-4m² = 9 × 10^-3m²
d = 2.5 mm = 2.5 × 10^-3m
V = 400 Volt, E¹ = ?

ప్రశ్న 27.
4 µF కెపాసిటర్ను 200ల సరఫరాకు కలిపి ఆవేశపరిచారు. దానిని బ్యాటరీ నుంచి తొలగించి, మరొక 2 µF ఆవేశరహిత కెపాసిటర్కు కలిపారు. అయితే మొదటి కెపాసిటర్ నుంచి ఉష్ణం, విద్యుదయస్కాంత వికిరణ రూపంలో నష్టపోయిన స్థిర విద్యుత్ శక్తి ఎంత?
సాధన:
C₁ = 4 µF = 4 × 10 F, V₁ = 200 Volt.
C₁ లో నిల్వ ఉన్న తొలి విద్యుత్ శక్తి,
<10-6x200x200
E₁ = \(\frac{1}{2}\)C₁V²₁ = \(\frac{1}{2}\) × 4 × 10^-6 × 200 × 200
E₁ = 8 × 10^-2 జౌల్.
4 µF కెపాసిటర్ను 2 µF ఆవేశం లేని కెపాసిటర్ తో కలిపితే, రెండు ఉమ్మడి పొటెన్షియల్ పొందేవరకు ఆవేశం ప్రవహిస్తుంది.

ఉష్ణం మరియు విద్యుదయస్కాంత వికిరణ రూపంలో నష్టపోయిన స్థిర విద్యుత్ శక్తి =
E₁ – E₂ = 8 × 10^-2 – 5.33 × 10^-2 = 2.67 × 10^-2 జౌల్.

ప్రశ్న 28.
ఒక సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ ప్రతి పలకపై గల బలపరిమాణం (1/2) QE అని చూపండి. ఇక్కడ Q కెపాసిటర్పై గల ఆవేశం, E పలకల మధ్య విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత పరిమాణం. దీనిలో 1/2 కారకం మూలాన్ని (origin) వివరించండి.
సాధన:
ప్రతి పలకపై F బలం ఉన్న సమాంతర పలకల కెపాసిటర్లో, వానిదూరం ∆x పెంచుటకు చేయు పని = F.∆x ఇది కెపాసిటర్ స్థితిజ శక్తిని పెంచును.
కెపాసిటర్ ఘనపరిమాణంలో పెరుగుదల = A.∆x
u = శక్తి సాంద్రత = నిల్వ శక్తి / ఘనపరిమాణం, స్థితిజశక్తిలో పెరుగుదల = U.A∆x
∴ f ∆ x = u. A∆x

బలం, కారకం మూలము 1/2. వాహకం లోపల క్షేత్రం సున్నా. వెలుపల వైపు క్షేత్రం E.
క్షేత్రం సరాసరి విలువ (i.e E/2) ను, బలం ఇస్తుంది.

ప్రశ్న 29.
రెండు ఏకకేంద్ర గోళాకార వాహకాలు గల ఒక గోళాకార కెపాసిటర్ను తగిన విద్యుత్ బంధకాల ఆధారంతో ఉంచారు. అయితే గోళాకార కెపాసిటర్ కెపాసిటెన్స్, C = \(\frac{4 \pi \varepsilon_0 \mathbf{r}_1 \mathbf{r}_2}{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}\) అని చూపండి.
ఇక్కడ r₁, r₂ లు వరుసగా బాహ్య, అంతర గోళాల వ్యాసార్థాలు.
సాధన:

r₁ వ్యాసార్ధమున్న బయట గోళం, లోపలి తలంపై +Q ఆవేశం, r₂ వ్యాసార్ధమున్న లోపలిగోళం వెలుపల – Q ఆవేశంను ప్రేరణ చేస్తుంది.

పటంలో చూపినట్లు రెండు గోళాల మధ్య ఖాళీలో విద్యుత్ క్షేత్రం ఉండును. రెండు గోళాల మధ్య పొటెన్షియల్ భేదము,

ప్రశ్న 30.
ఒక గోళాకార కెపాసిటర్లో అంతర గోళం వ్యాసార్థం 12 cm. బాహ్య గోళ వ్యాసార్థం 13 cm. అంతర గోళానికి 2.5 µC ఆవేశం ఇచ్చారు. బాహ్య గోళాన్ని భూమికి కలిపారు. ఈ ఏకకేంద్ర గోళాల మధ్య ప్రదేశాన్ని రోధక స్థిరాంకం 32 గల ఒక ద్రవంతో నింపారు.
(a) కెపాసిటర్ కెపాసిటెన్స్ను నిర్ణయించండి.
(b) లోపలి గోళం పొటెన్షియల్ ఎంత?
(c) ఈ కెపాసిటర్ కెపాసిటెను న్ను 12 cm వ్యాసార్థం గల వియుక్త గోళం కెపాసిటెన్స్తో పోల్చండి. రెండవది చాలా తక్కువ విలువను కలిగి ఉండటాన్ని వివరించండి.
సాధన:
r_a = 12 cm = 12 × 10^-2 m
r_b = 13 cm = 13 × 10^-2 m
q = 2.5 µC = 2.5 × 10^-6C, ε_r = 32

కెపాసిటర్లో, బయట గోళం భూమికి కలుపబడింది. పొటెన్షియల్ భేదం తగ్గును మరియు కెపాసిటన్స్ పెరుగును. కావున వియుక్తగోళం కెపాసిటీ చాలా తక్కువ.

ప్రశ్న 31.
జాగ్రత్తగా సమాధానాలివ్వండి :
(a) Q₁, Q₂ ఆవేశాలు గల రెండు అతిపెద్ద వాహక గోళాలను ఒకదానికొకటి దగ్గరగా తీసుకొచ్చారు. వాటి మధ్య స్థిరవిద్యుత్ బలం పరిమాణం సరిగ్గా Q₁ Q₂/4πε₀r² అవుతుందా? ఇక్కడ ” అనేది ఆ రెండింటి కేంద్రాల మధ్యదూరం.
(b) కూలుమ్ నియమం 1/r³ పై ఆధారితమైతే (1/r² కి బదులుగా) గాస్ నియమం ఇంకా నిజమవుతుందా?
(c) స్థిర విద్యుత్ క్షేత్ర ఆకృతిలో ఒక బిందువు వద్ద నిశ్చల స్థితిలో గల చిన్న శోధన ఆవేశాన్ని వదలిపెట్టారు. ఈ ఆవేశం ఆ బిందువు ద్వారా పోయే క్షేత్ర రేఖ దిశలో ప్రయాణిస్తుందా?
(d) ఒక ఎలక్ట్రాన్ పూర్తి వృత్తాకార కక్ష్యలో కేంద్రకం వల్ల కలిగే క్షేత్రం చేసిన పని ఎంత? కక్ష్య దీర్ఘవృత్తాకారమైతే ఏమవుతుంది?
(e) ఆవేశిత వాహకం ఉపరితలం ద్వారా విద్యుత్ క్షేత్రం విచ్ఛిన్నంగా ఉంటుందని మనకు తెలుసు. అక్కడ విద్యుత్ పొటెన్షియల్ కూడా విచ్ఛిన్నంగా ఉంటుందా?
(f) ఏక (ఒంటరి) వాహకానికి కెపాసిటెన్స్కు మీరు ఏమి అర్థం ఇస్తారు?
(g) నీటి రోధక స్థిరాంకం (= 80) చాలా అధికంగా, మైకా కంటే (= 6), ఎందుకు ఉంటుంది?
సాధన:
a) ఆవేశ గోళాలను దగ్గరకు తీసుకువస్తే, వానిపై ఆవేశ వితరణలు అసమరీతిగా ఉండును. కూలుమ్ నియమము వర్తించదు. కావున బలం పరిమాణంను ఈ ఫార్ములా ఖచ్చితంగా ఇవ్వదు.
b) కూలుమ్ నియమము 1/r² బదులు 1/r³ గాస్ నియమము నిజం కాదు.
c) బలరేఖ, ఆవేశ త్వరణ దిశను ఇచ్చును. విద్యుత్ బలరేఖ రేఖీయంగా ఉంటే, శోధన ఆవేశం అదేరేఖ వెంట కదులును. బలరేఖ రేఖీయంగా లేకపోతే శోధన ఆవేశం ఆ రేఖ వెంట కదలదు.
d) క్షేత్రం వల్ల, బలం కేంద్రం వైపు లేకపోతే ఎలక్ట్రాన్ బలదిశలో చలించదు. కక్ష్య వృత్తాకారంగా ఉంటే జరిగిన పని సున్నా. కక్ష్య దీర్ఘవృత్తాకారంగా ఉన్న, స్థిర విద్యుత్ బలాలు నిత్యత్వ బలాలు అయిన ఇది వాస్తవం.
e) విద్యుత్ పొటెన్షియల్ అవిచ్ఛిన్నం కాదు.
f) ఒకేఒక వాహకం కెపాసిటి, రెండవ వాహకం అనంతం అని తెలుపుతుంది.
g) నీటి అణువు సాధారణ స్థితిలో, అసౌష్టవ ఆకారం కలిగి శాశ్వత ద్విదృవభ్రామకంను ఇస్తుంది. మైకా కన్నా నీరు రోధక స్థిరాంకం అధికంగా ఉండుటకు కారణం ఇదే.

ప్రశ్న 32.
ఒక సహాక్ష స్తూపాకార కెపాసిటర్లో స్తూపాల పొడవు 15 cm, వ్యాసార్థాలు 1.5cm, 1.4 cm. బాహ్య స్తూపాన్ని భూమికి కలిపారు. లోపలి స్తూపానికి 3.5 µC ఆవేశాన్ని ఇచ్చారు. వ్యవస్థ కెపాసిటెన్స్న, లోపలి స్తూపం పొటెన్షియల్ను నిర్ణయించండి. అంత్య ప్రభావాలను (end effcts) ఉపేక్షించండి (అంటే, అంత్యాల వద్ద క్షేత్ర రేఖలు వంగడం).
సాధన :
L = 15 cm = 15 × 10^-2m
r_a = 1.4 cm = 1.4 × 10^-2m, r_b = 1.5 cm = 1.5 × 10^-2m
q = 3.5 µC = 3.5 × 10^-6C, C = ? V = ?

ప్రశ్న 33.
ఒక సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ను రోధక స్థిరాంకం 3 గల పదార్థంతో lkV వోల్టేజి రేటింగ్తో రోధక సత్వం 10⁷ Vm^-1తో రూపకల్పన చేయవలసి ఉంది. (రోధక సత్వం అనేది ఒక పదార్థం భంజనం చెందకుండా తట్టుకోగలిగే గరిష్ఠ విద్యుత్ క్షేత్రం, అంటే పాక్షిక అయనీకరణ ద్వారా విద్యుత్ను ప్రవహింపచేయడం మొదలు పెట్టనిది) భద్రత కోసం, రోధక సత్వంలో 10% కంటే క్షేత్రం ఎక్కువ కాకుండా చూస్తాం. కెపాసిటెన్స్ 50 pF కావాలనుకొన్నప్పుడు కెపాసిటర్ పలకల వైశాల్యం కనిష్ఠంగా ఎంత ఉండాలి?
సాధన:
V = 1KV = 1000 Volt; K = ε_r = 3
రోధక బలం = 10⁷ V/m
విద్యుత్ క్షేత్రం = 10% × రోధక బల
E = 10% × 107 = 10°V/m, A = ?

ప్రశ్న 34.
కింది వాటికి అనురూపంగా సమపొటెన్షియల్ ఉపరితలాలను పథకాత్మకంగా వర్ణించండి.
(a) Z-దిశలో ఒక స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రం
(b) స్థిరమైన (z అనుకోండి) దిశలోనే ఉంటూ పరిమాణంలో ఏకరీతిగా పెరిగే క్షేత్రం
(c) మూలబిందువు వద్ద ఉన్న ఒంటరి ధనావేశం
(d) పొడవైన, సమాన అంతరాలతో సమాంతరంగా ఒక తలంలో ఆవేశిత తీగలు గల ఏకరీతి తీగల చట్రం (గ్రిడ్).
సాధన:
నిర్వచనం ప్రకారం, సమశక్మ ఉపరితలంపై ఏదైన బిందువు వద్ద పొటెన్షియల్ ఒకేవిధంగా ఉండును. పైన ఇచ్చిన నాలుగు సందర్భాలు :
a) సమశక్మ ఉపరితలాలు, x y తలానికి సమాంతరంగా ఉన్న తలాలు. ఇవి సమదూరంలో ఉండును.

b) సమశక్మ ఉపరితలాలు, x y తలానికి సమాంతరంగా ఉన్న తలాలు. క్షేత్రం ఏకరీతిగా పెరిగితే, తలాల మధ్య దూరం తగ్గును.

c) మూలబిందువు కేంద్రంగా గల సమశక్మ ఉపరితలాలు గల గోళాలు.

d) సమశక్మ ఉపరితలాలు ఆకారాన్ని కలిగి ఆవర్తకంగా మారును. గ్రిడ్ నుండి దూరంగా ఉన్నప్పుడు, గ్రిడ్కు సమశక్మ ఉపరితలాల ఆకారం సమాంతరంగా ఉండును.

ప్రశ్న 35.
వాన్ డీ గ్రాఫ్ జనరేటర్లో గోళాకార లోహ కర్పరం 15 × 10⁶ V ల ఎలక్ట్రోడ్. ఈ ఎలక్ట్రోడ్ చుట్టూతా ఉన్న వాయువు రోధక సత్వం 5 × 10⁷ Vm^-1. అవసరమైన గోళాకార’ కర్పరం కనిష్ఠ వ్యాసార్థం ఎంత? (అధిక పొటెన్షియల్ను పొందడానికి స్వల్ప ఆవేశం అవసరమైన చాలా చిన్న కర్పరం ఉపయోగించి ఒక స్థిర విద్యుత్ జనరేటర్ను ఎందుకు నిర్మించలేమో ఈ అభ్యాసం నుంచి మీరు నేర్చుకొంటారు.)
సాధన:
V = 15 × 10⁶ Volt
రోధక సత్వం = 5 × 10⁷ Vm^-1
కనీస వ్యాసార్థం, r = ?
గరిష్ఠ విద్యుత్ క్షేత్రం, E = 10% రోధక సత్వం

చాలా స్వల్ప కర్పరంను ఉపయోగిస్తే, స్థిర విద్యుత్ జనరేటరును మనం నిర్మించలేము.

ప్రశ్న 36.
వ్యాసార్ధం r₁, ఆవేశం q₁ గల ఒక చిన్న గోళం, వ్యాసార్థం r₂ ఆవేశం q₂ గల గోళాకార కర్పరంతో ఆవృతమైంది. q₁ ధనాత్మకమైతే, కర్పరంపై ఉన్న ఆవేశం ఏది అయినప్పటికీ గోళం నుంచి కర్పరానికి ఆవేశం ఆవశ్యకంగా ప్రవహిస్తుందని చూపండి. (రెండూ ఒక తీగతో సంధానం చేసినప్పుడు),
సాధన:
వ్యాసార్థం r₁, ఆవేశం q₁ గల ఒక చిన్నగోళం, వ్యాసార్థం r₂, ఆవేశం q_q గల గోళాకార కర్పరంతో ఆవృతమైంది. కర్పరం బయట ఉపరితలంపై ఎల్లప్పుడు ఆవేశం (q₂) ఉండును. గోళం మరియు కర్పరంను తీగతో కలిపితే ఆవేశం గోళం నుండి కర్పరంనకు, ఆవేశం q₂ సంజ్ఞ మరియు పరిమాణంతో సంబంధం లేకుండా ప్రవహించును.

ప్రశ్న 37.
క్రింది వాటికి సమాధానాలివ్వండి.
(a) ఉన్నతి (ఎత్తు)తో తగ్గుతున్న విద్యుత్ క్షేత్రానికి అనురూపంగా, భూమి ఉపరితలం పరంగా వాతావరణం పైభాగం దాదాపు 400 kV వద్ద కలదు. భూమి ఉపరితలం దగ్గరగా క్షేత్రం 100 Vm^-1. మన ఇంటి నుంచి బయటకు అడుగుపెట్టగానే మనకు ఎందుకు విద్యుత్ షాక్ తగలదు? (ఇల్లును ఒక స్టీల్ బోను (cage) గా ఊహించుకోండి. అందువల్ల లోపల ఎలాంటి క్షేత్రం ఉండదు.)
(b) ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి బయట సాయంకాలం 1m² చదరపు వైశాల్యం గల పెద్ద అల్యూమినియం పలకను రెండు మీటర్ల ల ఎత్తున్న విద్యుద్బంధిత పలకపై బిగించాడు. లోహపు పలకను మరుసటి రోజు ఉదయం తాకగానే అతనికి విద్యుత్ షాక్ తగులుతుందా?
(c) భూపటంపై (globe) సగటున గాలి యొక్క స్వల్ప వాహకత్వం వల్ల వాతావరణంలో ఉత్సర్గం చెందే విద్యుత్ ప్రవాహం 1800 A అని తెలిసింది. అలాంటప్పుడు సహజంగానే వాతావరణం తనకు తానే పూర్తిగా ఉత్సర్గం చెంది విద్యుత్పరంగా ఎందుకు తటస్థం కాదు? మరోవిధంగా చెప్పాలంటే, వాతావరణాన్ని ఆవేశితంగా ఏది ఉంచుతుంది?
(d) మెరుపు వచ్చేటప్పుడు వాతావరణపు విద్యుత్ శక్తి ఏయే శక్తి రూపాలలోకి దుర్వ్యయం అవుతుంది?
(Hint : ఉపరితల ఆవేశ సాంద్రత = -10^-9Cm^-2 కి అనురూపంగా భూమి ఉపరితలం వద్ద అథో దిశలో దాదాపు 100 Vm^-1 విద్యుత్ క్షేత్రం ఉంటుంది. దాదాపు 50 km వరకు (దీని తరువాత అది మంచి వాహకం) ఉండే వాతావరణపు స్వల్ప వాహకత్వం వల్ల ప్రతి సెకనుకు దాదాపు + 1800 C ఆవేశం మొత్తం భూమికి పంప్ అవుతుంది. అయినప్పటికీ, భూమి ఉత్సర్గం చెందదు. ఎందుకంటే, భూపటంపై నిరంతరం సంభవించే పిడుగులు, మెరుపులు భూమిపై సమాన పరిమాణంలో రుణావేశాన్ని పంపుచేస్తాయి).
సాధన:
a) మన శరీరం మరియు భూమి ఉపరితలం రెండు వాహకాలు. కావున ఈ రెండు సమశక్మ తలాలను ఏర్పరుచును. మనం ఇంట్లో నుండి బయటకు వస్తే, గాలి యధార్థ సమశక్మతలం మారును. శరీరంను, భూమిని ఒకే పొటెన్షియల్ వద్ద ఉంటే విద్యుత్ షాక్ పొందలేము.

b) అవును మనిషికి షాక్ తగులుతుంది. దీనికి కారణం వాతావరణ ఆవేశాలు నిలకడ కోల్పోతున్నప్పుడు, అల్యూమినియం పలక ఆవేశం క్రమంగా పెరుగును. అల్యూమినియం పలక, భూమి మరియు బంధకంతో కండెన్సర్ను ఏర్పరుచును. అల్యూమినియం పలక గరిష్ఠ ఆవేశంనకు చేరును. కావున మనిషి షాక్కు గురవుతాడు.

c) వాతావరణం ఆవేశంను పిడుగుల వల్ల క్రమంగా కోల్పోతుంటే గ్లోబు అన్ని వైపులా మెరుపు ఏర్పడును. ఇది కూడా గాలి స్వల్ప వాహకత్వం వల్ల ఆవేశం కోల్పోవును. రెండు వ్యతిరేక ఆవేశ ప్రక్రియలు సరాసరి, సమతుల్యతలు కలిగి వాతావరణం ఆవేశంను కలిగి ఉండునట్లు చేయును.

d) మెరిసేటప్పుడు, వాతావరణ విద్యుత్ శక్తి, కాంతి, ఉష్ణం మరియు ధ్వని రూపంలో దుర్వ్యయం అగును.

సాధించిన సమస్యలు Textual Examples

ప్రశ్న 1.
(a) 4 × 10^-7C విద్యుదావేశం నుంచి 9 cm దూరంలో ఉన్న P అనే బిందువు వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్ విలువను లెక్కకట్టండి.
(b) అందువల్ల, అనంత దూరంలో ఉన్న 2×10^-9C విద్యుదావేశాన్ని P అనే బిందువు వద్దకు తీసుకొనిరావడానికి చేయవలసిన పనిని లెక్కకట్టండి. ఈ విద్యుదావేశాన్ని తీసుకొనిరావడానికి చేసే పని, దానిని తీసుకొని వచ్చిన పథం మీద ఆధారపడుతుందా?
సాధన:

కాదు, చేసిన పని దాని పథం మీద ఆధారపడదు. దానికి కారణం ఏదైనా అనియత అనంత సూక్ష్మ పథాన్ని రెండు లంబ అంశాలుగా విభజించవచ్చు. ఒకటి గా వెంబడి, రెండవది కులంబంగా, రెండవ దాని వల్ల చేసిన పని శూన్యం.

ప్రశ్న 2.
3 × 10^-8 C, -2 × 10^-8C విద్యుదావేశాలు 15 cm ఎడంలో ఉన్నాయి. ఆ రెండు విద్యుదావేశాలను కలిపే సరళరేఖపై ఏ బిందువు వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్ విలువ సున్నా అవుతుంది? అనంత దూరం వద్ద పొటెన్షియల్ విలువ సున్నాగా తీసుకోండి.
సాధన:
ధనావేశ స్థానం వద్ద మూలబిందువు ను తీసుకోండి. రెండు ఆవేశాలను కలిపే రేఖను X-అక్షంగా తీసుకోవలసి ఉంటుంది; రుణావేశాన్ని మూలబిందువుకు కుడివైపుగా తీసుకోవలసి ఉంటుంది.

X-అక్షంపై పొటెన్షియల్ శూన్యంగా ఉండే బిందువుగా P ని తీసుకోండి. X అనేది P నిరూపకం అయితే, తప్పకుండా ధనాత్మకంగా ఉండాలి. (x < 0 కు రెండు ఆవేశాల వల్ల పొటెన్షియల్ కలిసి శూన్యం అవడం సాధ్యం కాదు; X అనేది Aల మధ్య ఉన్నట్లయితే,

అంటే, ధనావేశం నుంచి 9 cm, 45 cm దూరాలలో, రుణావేశం వైపు విద్యుత్ పొటెన్షియల్ శూన్యంగా ఉంటుంది. గణన చేయడానికి ఉపయోగించిన ఫార్ములాకు అవసరమైంది ఏమంటే, అనంతం వద్ద పొటెన్షియలు శూన్యంగా ఎంపిక చేసుకోవడం.

ప్రశ్న 3.
పటం(a), (b) లు ధన, రుణ బిందు విద్యుదావేశాల వల్ల కలిగే క్షేత్ర రేఖలను సూచిస్తాయి.

(a) V_p ∝ V_Q; V_B – V_A పొటెన్షియల్ తేడాల సంజ్ఞలను తెలపండి.
(b) Q, P; A, B ల మధ్య ఒక చిన్న రుణ విద్యుదావేశాన్ని ఉంచినప్పుడు, స్థితిజశక్తి తేడా సంజ్ఞలను తెలపండి.
(c) ఒక చిన్న ధనావేశాన్ని Q నుంచి P వరకు జరపడానికి క్షేత్రం చేసే పని సంజ్ఞను తెలపండి.
(d) ఒక చిన్న రుణావేశాన్ని B నుంచి A వరకు జరపడానికి బాహ్యకారకం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలపండి.
(e) చిన్న రుణ విద్యుదావేశం B నుంచి A కు పోయేటప్పుడు దాని గతిజశక్తి పెరుగుతుందా? లేదా తగ్గుతుందా?
సాధన:
(a) V ∝ \(\frac{1}{r}\) కాబట్టి, V_P > V_Q. అందువల్ల, (V_P – V_Q) ధనాత్మకం. V_A కంటే V_B తక్కువ రుణాత్మకం కూడా. అందువల్ల, V_B > V_A లేదా (V_B – V_A) ధనాత్మకం.

(b) ఒక చిన్న రుణావేశం ధనావేశం వైపు ఆకర్షితమవుతుంది. రుణావేశం అధిక స్థితిజశక్తి నుంచి అల్ప స్థితిజశక్తికి చలిస్తుంది. కాబట్టి, Q, P ల మధ్య ఉన్న ఒక చిన్న రుణావేశం స్థితిజశక్తి భేదం సంజ్ఞ ధనాత్మకం. అదేవిధంగా, (P.E.) _A > (P.E.)_B, అందువల్ల స్థితిజశక్తి భేదం ధనాత్మకం.

(c) Q నుంచి P కి ఒక చిన్న ధనావేశాన్ని జరపడానికి విద్యుత్ క్షేత్రానికి వ్యతిరేకంగా బాహ్యకారకం పని చేయవలసి ఉంటుంది. కాబట్టి, క్షేత్రం వల్ల జరిగిన పని రుణాత్మకం.

(d) B నుంచి A కి చిన్న రుణావేశాన్ని జరపడానికి బాహ్యకారకం పని చేయవలసి ఉంటుంది. ఇది ధనాత్మకం.

(e) చిన్న రుణావేశంపై వికర్షణ బలం వల్ల, వేగం తగ్గుతుంది. కాబట్టి B నుంచి A కి పోయేటప్పుడు గతిజశక్తి తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 4.
(a) పటంలో చూపిన విధంగా d అంచు గల ఒక చతురస్రం మూలలు ABCD ల వద్ద +q, –q, +q, –q అనే నాలుగు విద్యుదావేశాలను అమర్చారు. (a) పటంలో చూపిన విధంగా ఈ విద్యుదావేశాలను అమర్చడానికి చేయవలసిన పనిని కనుక్కోండి. (b) నాలుగు మూలల వద్ద ఆవేశాలను అలాగే స్థిరంగా ఉంచి, చతురస్ర కేంద్రం E వద్దకు q₀ అనే విద్యుదావేశాన్ని తీసుకొనిరావడానికి చేయవలసిన పని ఎంత?

సాధన:
(a) చేసిన పని ఆవేశాల తుది అమరికపైనే ఆధారపడి ఉంటుంది. కాని వాటిని ఏవిధంగా కలిసి పెట్టామనేదానిపై ఆధారపడి ఉండదు. కాబట్టి ఆవేశాలను A, B, C, D ల వద్ద ఒక విధంగా పెట్టడానికి అవసరమైన పనిని లెక్కిస్తాం. మొదట + q ను A వద్దకు, తరువాత -q, + q, – qలను వరుసగా B, C, D ల వద్దకు తెచ్చామనుకొందాం. చేయవలసిన మొత్తం పనిని దశల వారిగా లెక్కకట్టవచ్చు:
(i) ఎక్కడా ఎటువంటి ఆవేశం లేనప్పుడు + q ను A వద్దకు తీసుకొనిరావడానికి చేయవలసిన పని శూన్యం. (ii) +q, A వద్ద ఉన్నప్పుడు -q ని B వద్దకు తీసుకొనిరావడానికి చేయవలసిన పని, B వద్ద ఆవేశం) × (A వద్ద గల +q వల్ల B వద్ద స్థిరవిద్యుత్ పొటెన్షియల్) = -q × \(\left(\frac{\mathrm{q}^2}{4 \pi \varepsilon_0 \mathrm{~d}}\right)=-\frac{\mathrm{q}^2}{4 \pi \varepsilon_0 \mathrm{~d}}\)
(iii) + q, A వద్ద; −q, B వద్ద ఉన్నప్పుడు + q ని C వద్దకు తీసుకొనిరావడానికి చేయవలసిన పని, (C వద్ద ఆవేశం) × (A, B ల వద్ద గల ఆవేశాల వల్ల C వద్ద పొటెన్షియల్)

(iv) + q, A వద్ద; –q, B వద్ద; + q, C వద్ద ఉన్నప్పుడు -q ని D వద్దకు తీసుకొనిరావడానికి చేయవలసిన పని, (D వద్ద ఆవేశం) × (A, B, C ల వద్ద గల ఆవేశాల వల్ల D వద్ద పొటెన్షియల్)

చేసిన పని ఆవేశాల అమరిక మీదనే ఆధారపడి ఉంటుంది. కాని వాటిని ఏవిధంగా సమూహపరచారన్న దానిపై కాదు. నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది ఆవేశాల మొత్తం స్థిర విద్యుత్ శక్తి.
(విద్యార్థులు వారికి తోచినట్లుగా ఆవేశాల క్రమాన్ని తీసుకొని ఇదే పని/శక్తిని లెక్కగట్టడానికి ప్రయత్నించినప్పుడు శక్తి విలువ మారదు అని వారికివారే ఒప్పుకొంటారు.)

b) A, B, C, D ల వద్ద నాలుగు ఆవేశాలున్నప్పుడు E వద్దకు q₀ ఆవేశాన్ని తీసుకొని రావడానికి చేయవలసిన అదనపు పనిని q₀ × (A, B, C, D ల వద్ద గల ఆవేశాల వల్ల E వద్ద స్థిర విద్యుత్ పొటెన్షియల్). A, Cల వల్ల కలిగే పొటెన్షియల్, B, D ల వల్ల కలిగే పొటెన్షియల్ వల్ల రద్దవడంతో E వద్ద స్థిర విద్యుత్ పొటెన్షియల్ స్పష్టంగా శూన్యమవుతుంది. కాబట్టి E వద్దకు ఏదైనా ఆవేశాన్ని తీసుకొని రావడానికి ఎటువంటి పని చేయవలసిన అవసరం ఉండదు.

ప్రశ్న 5.
a) బాహ్య క్షేత్రం లేనప్పుడు 7µC, -2µC ఆవేశాలను (-9 cm, 0, 0), (9cm, 0, 0) ల వద్ద ఉంచిన వ్యవస్థ యొక్క స్థిర విద్యుత్ స్థితిజశక్తిని కనుక్కోండి.
b) ఈ రెండు విద్యుదావేశాలను ఒకదాని నుంచి మరొకదానిని అనంతంలోకి వేరుచేయడానికి చేయవలసిన పనిని లెక్కకట్టండి.
c) ఇదే ఆవేశ వ్యవస్థను E = A(1/r²); A = 9 × 10⁵ Cm^-2 అనే బాహ్యక్షేత్రంలో ఉంచామనుకోండి. అప్పుడు ఆకృతి స్థిర విద్యుత్ పొటెన్షియల్ శక్తి ఏమై ఉంటుంది?
సాధన:

(c) రెండు విద్యుదావేశాల పరస్పర అన్యోన్యచర్య శక్తి ఏ మాత్రం మారదు. దీనికి అదనంగా, రెండు ఆవేశాలు బాహ్య విద్యుత్ క్షేత్రంతో అన్యోన్య చర్య జరపడం వల్ల కలిగే శక్తి ఉంటుంది. దీనినుంచి,

ప్రశ్న 6.
ఒక పదార్థపు అణువు శాశ్వత ద్విధృవ భ్రామకం పరిమాణం 10^-29 Cm. తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద 10⁶ Vm^-1 పరిమాణం కలిగిన ప్రబలమైన స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని అనువర్తించడం ద్వారా ఈ పదార్థం ఒక మోల్ ధృవణం చెందింది. ఇప్పుడు హఠాత్తుగా విద్యుత్ క్షేత్ర దిశను 60° కి మార్చారు. పదార్థం దాని ద్విధృవాలను కొత్త క్షేత్ర దిశలోకి తీసుకొనిరావడం వల్ల పదార్థం వల్ల విడుదలయిన ఉష్ణాన్ని అంచనావేయండి. సరళత కోసం, నమూనా (పదార్థం) 100% ధృవణం దనుకోండి.
సాధన:
ప్రతి అణువు ద్విధృవ భ్రామకం = 10^-29 Cm
నార్థంలో 6 × 10^-29 అణువులుంటాయి కాబట్టి, అన్ని అణువుల మొత్తం ద్విధృవ భ్రామకం,
p – × 10^-29 Cm = 6 × 10^-6 Cm
తొలి స్థితిజ శక్తి, U_t = -pE cos θ = 6 × 10^-6 × 10⁶ cos 0° = -6J
తుది స్థితిజశక్తి (θ = 60° అయినప్పుడు), U_f = -6 × 10^-6 × 10⁶ × cos 60° = – 3J
స్థితిజశక్తిలో మార్పు = -3J – (-6J) = 3J
కాబట్టి, స్థితిజశక్తిలో నష్టం ఉంది. పదార్థం దాని ద్విధృవాలను క్షేత్ర దిశలోకి తీసుకొనిరావడానికి ఉష్ణరూపంలో ఇంత శక్తి తప్పక ‘విడుదల కావాలి.

ప్రశ్న 7.
(a) ఒక పొడి జుట్టును దువ్విన దువ్వెన చిన్న కాగితం ముక్కలను ఆకర్షిస్తుంది. ఎందుకు?
ఒక వేళ జుట్టు తడిగా ఉంటే లేదా వర్షం పడుతున్నట్లయితే ఏమవుతుంది ? (కాగితం విద్యుత్ను వహనం చేయదని గుర్తుంచుకోండి.)
(b) సాధారణ రబ్బరు ఒక బంధకం. కాని విమానం టైర్లు, ప్రత్యేక రబ్బరుతో, స్వల్పంగా వాహకత్వం ఉండే రబ్బరుతో చేస్తారు. ఇది ఎందుకు అవసరం?
(c) సులభంగా ఉండే పదార్థాలను తీసుకొనిపోయే వాహనాలకు లోహపుతాళ్ళు ఉండి, వాహనం చలిస్తున్నప్పుడు అవి భూమిని తాకేలా ఉంటాయి. ఎందుకు?
(d) అరక్షితంగా ఉన్న అధిక సామర్థ్య విద్యుత్ తీగపై ఒక పక్షి కూర్చొని ఉన్నప్పుడు పక్షికి ఏమి జరగలేదు. భూమిపై నిల్చొన్న మనిషి అదే తీగను తాకినప్పుడు ప్రాణాంతకమైన విద్యుత్ షాక్కు గురవుతాడు. ఎందుకు?
సాధన:
(a) ఎందుకంటే ఘర్షణ వల్ల దువ్వెన ఆవేశితమవుతుంది. కాగితంలోని అణువులు ఆవేశిత దువ్వెన వల్ల ధృవితమై,. నికర ఆకర్షణ బలం కలుగుతుంది. జుట్టు తడిగా ఉన్నా లేదా వర్షం పడినా, దువ్వెన జుట్టుల మధ్య ఘర్షణ తగ్గుతుంది. దువ్వెన ఆవేశితం చెందక, చిన్న కాగితం ముక్కలను ఆకర్షించదు.

(b) ఆవేశాన్ని (ఘర్షణ వల్ల ఉత్పత్తి అయింది) భూమికి వహనం చేయడానికి, చాలా పెద్ద మొత్తంలో పోగయిన స్థిర విద్యుత్ వల్ల స్పార్క్ కలిగి, మంట రావచ్చు.

(c) (b) లో వివరించిన కారణమే.

(d) పొటెన్షియల్ తేడా ఉన్నప్పుడే విద్యుత్ ప్రవాహం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 8.
K రోధక స్థిరాంకం గల పదార్థ దిమ్మె వైశాల్యం, సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ పలకల వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంది. కాని మందం (3/4)d కలిగి ఉంది. ఇక్కడ డి పలకల మధ్య ఎడం. పలకల మధ్య రోధకాన్ని ప్రవేశపెట్టినప్పుడు కెపాసిటెన్స్ ఏ విధంగా మారుతుంది?
సాధన:
పలకల మధ్య ఎటువంటి రోధకం లేనప్పుడు విద్యుత్ క్షేత్రం E₀ = V₀/d అనుకోండి. పొటెన్షియల్ భేదం V₀ ఇప్పుడు, రోధకాన్ని ప్రవేశపెట్టినట్లైతే, రోధకంలో విద్యుత్ క్షేత్రం E = E₀/K అవుతుంది. అప్పుడు పొటెన్షియల్ భేదం.

ప్రశ్న 9.
పటంలో చూపినట్లు, 10 µF విలువ కలిగిన 4 కెపాసిటర్లు గల ఒక జాలం (network) ని 500 y సరఫరాకు సంధానం చేశారు. a) జాలం తుల్య కెపాసిటెన్స్, (b) ప్రతి కెపాసిటర్పై ఆవేశాన్ని కనుక్కోండి. (గమనిక: కెపాసిటర్పై ఉన్న ఆవేశం హెచ్చు పొటెన్షియల్ కలిగిన పలక మీద ఉన్న ఆవేశంతో సమానంగా ఉండి, తక్కువ పొటెన్షియల్లో ఉన్న పలకపై ఆవేశానికి సమానం, వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది.)

సాధన:
(a) ఇచ్చిన జూలంలో C₁, C₂, C₃ లు శ్రేణి సంధానంలో ఉన్నాయి. ఈ మూడు కెపాసిటర్ ప్రభావాత్మక కెపాసిటెన్స్, C అయితే,

(b) పటం నుంచి, ప్రతీ కెపాసిటర్పై (C₁, C₂, C₃లు) ఆవేశం ఒకే విధంగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అది Q అనుకోండి. C₄ పై ఆవేశం Q’ అనుకోండి. AB కొనల మధ్య పొటెన్షియల్ భేదం Q/C₁, BC కొనల మధ్య Q/C₂, CD కొనల మధ్య Q/C₃ అవుతుంది. దీనినుంచి,

ప్రశ్న 10.
(a) 900pF కెపాసిటర్ను 100 V బ్యాటరీతో ఆవేశితం చేశారు. (a) ఆ కెపాసిటర్ ఎంత స్థిర విద్యుత్ శక్తిని నిల్వ ఉంచుకొంటుంది?
(b) ఆ కెపాసిటర్ను బ్యాటరీ నుంచి వేరుచేసి, మరొక 900 pF కెపాసిటర్ తో కలిపారు. (b) వ్యవస్థలో నిల్వ ఉన్న స్థిర విద్యుత్ శక్తి ఎంత?

సాధన:
(a) కెపాసిటర్పై ఆవేశం,
= CV = 900 × 10^-12F × 100 V
= 9 × 10^-8C
కెపాసిటర్ నిల్వ ఉంచుకొన్న శక్తి = (1/2) CV² = (1/2) QV
= (1/2) × 9 × 10^-8C × 100 V
= 4.5 × 10^-6J

(b) నిలకడ పరిస్థితిలో, రెండు కెపాసిటర్ల ధన పలకలు ఒకే పొటెన్షియల్ వద్ద, రుణ పలకలు ఒకే పొటెన్షియల్ వద్ద కలవు. ఉమ్మడి పొటెన్షియల్ భేదం V అనుకోండి. అప్పుడు, ప్రతి కెపాసిటర్పై ఆవేశం, Q’ = CV. ఆవేశ నిత్యత్వం వల్ల, Q’ = Q/2. ఇది V’ = V/2 అని సూచిస్తుంది. వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి = 2 × \(\frac{1}{2}\)Q’V’ = \(\frac{1}{4}\)QV= 2.25 × 10⁶J. అందువల్ల, (a) నుంచి (b) కి పోయేటప్పుడు ఆవేశ నష్టం లేనప్పటికీ, తుది శక్తి, తొలి శక్తిలో సగం ఉంటుంది. మిగతా శక్తి ఎక్కడికి వెళ్ళింది? వ్యవస్థ పరిస్థితి (b) కి స్థిరపడటానికి ముందు తాత్కాలిక కాలం ఉంటుంది. ఈ కాలంలో, తాత్కాలిక ప్రవాహం మొదటి కెపాసిటర్ నుంచి రెండవ దానికి ప్రవహిస్తుంది. ఈ కాలంలో శక్తి ఉష్ణ, విద్యుదయస్కాంత వికిరణ రూపాలలో నష్టపోతుంది.