SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.2
ప్రశ్న 1.
కొన్ని p(x) బహుపదుల సంబంధిత y = p(x) యొక్క పటాలు దిగువ ఇవ్వబడినవి. p(x) యొక్క శూన్యాల సంఖ్యను పటాలు పరిశీలించి తెలపండి.
(i) 
సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 0 (లేదా) శూన్య విలువలు లేవు.
(ii) 
సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 1
(iii) 
సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 3
(iv) 
సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 2
(v) 
సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 4
(vi) 
సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 3
ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదుల శూన్యాలను కనుగొనండి. AS,
(i) p(x) = 3x
(ii) p(x) = x2 + 5x + 6
(iii) p(x) = (x + 2) (x + 3)
(iv) p(x) = x2 – 16
సాధన.
i) p(x) = 3x
p(x) = 0 అయిన 3x = 0
⇒ x = 0
∴ p(x) శూన్య విలువ = 0.
(ii) p(x) = x2 + 5x + 6
p(x) = 0 అయిన x2 + 5x + 6 = 0
x2 + 3x + 2x + 6 = 0
x(x + 3) + 2 (x + 3) = 0
(x + 3) (x + 2) = 0
x + 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = – 3 లేదా x = – 2
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు : – 3 మరియు -2.
(iii) p(x) = (x + 2) (x + 3)
p(x) = 0 అయిన (x + 2) (x + 3) = 0
(x + 2) = 0 లేదా (x + 3) = 0
x = – 2 లేదా x = – 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు – 3 మరియు – 2.
(iv) p(x) = x4 – 16
p(x) = 0 అయిన x4 – 16 = 0
⇒ (x2)2 – 42 = 0
⇒ (x2) – 4) (x2) + 4) = 0
⇒ x 2 – 4 = 0 లేదా x2 + 4 = 0
⇒ x2 = 4 లేదా x2 = – 4
⇒ x = √4 లేదా ± \(\sqrt{-4}\)
⇒ x = ± 2 లేదా ± \(\sqrt{-4}\)
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 2, -2 మరియు ± \(\sqrt{-4}\).
ప్రశ్న 3.
క్రింది బహుపదులకు తగిన రేఖాచిత్రాలను గీచి, శూన్యాలను కనుగొనండి. ఫలితాలను సమర్థించండి.
(i) p(x) = x2 – x – 12
(ii) p(x) = x2 – 6x + 9
(iii) p(x) = x2 – 4x + 5
(iv) p(x) = x2 + 3x – 4
(v) p(x) = x – 1
సాధన.
(i) y = p(x) = x2 – x – 12
p(x) = x2 – x – 12 పరావలయం x – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (4, 0) బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x2 – x – 12 యొక్క శూన్య విలువలు – 3 మరియు 4.
p(x) = x2 – x – 12 = 0 = x2 – 4x + 3x – 12 = 0
⇒ x (x – 4) + 3 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 3) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 3 = 0
⇒ x = 4 లేదా x = – 3
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 4 మరియు – 3. గ్రాఫ్ ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.
(ii) v = p(x) = x- – 6x + 9
p(x) = x2 – 6x + 9 పరావలయం X – అక్షాన్ని (3, 0) అనే ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తున్నది (స్పర్శిస్తున్నది). కాబట్టి p(x) = x2 – 6x + 9 కు ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.
గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x2 – 6x + 9 యొక్క శూన్య విలువ 3.
p(x) = x2 – 6x + 9 = 0
⇒ x2 – 3x – 3x + 9 = 0
⇒ x{x – 3) – 3(x – 3) = 0 –
∴ (x – 3) (x – 3) = 0
⇒ x – 3 = 0 (or) x – 3 = 0
⇒ x = 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువ 3. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువ, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువతో ఏకీభవిస్తున్నది.
(iii) y = p(x) = x2 – 4x + 5
p(x) = x2 – 4x + 5 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించడం లేదు. అనగా p(x) = x2 – 4x + 5 కు వాస్తవ శూన్య విలువలు లేవు.
(iv) y = p(x) = x2 + 3x – 4
1) p(x) = x2 + 3x – 4 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 4, 0) మరియు (1, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు – 4 మరియు 1.
2) p(x) = x2 + 3x – 4 — 0 చడు.
⇒ x2 – x + 4x – 4 = 0
⇒ x(x – 1) + 4 (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) (x + 4) = 0
⇒ x – 1 = 0 లేదా x + 4 = 0.
⇒ x = 1 లేదా x = – 4
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు – 4.
∴ గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.
(v) y = p(x) = x2 – 1
(i) P(x) = x2 – 1 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 1, 0) మరియు (1, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
∴ p(x) = x2 – 1 యొక్క శూన్య విలువలు – 1 మరియు 1.
(ii) p(x) = x2 – 1 = 0
⇒ x2 = 1
⇒ x = √1 = ± 1
p(x) = x2 – 1 యొక్క శూన్య విలువలు – 1 మరియు 1. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో
ఏకీభవిస్తున్నాయి.
ప్రశ్న 4.
p(x) = 4x2 + 3x – 1 అనే బహుపదికి \(\frac{1}{4}\) మరియు – 1 అనేవి శూన్యాలు ఏవిధంగా అగునో తెలపండి.
సాధన.
p(x) = 4x2 + 3x – 12
p(\(\frac{1}{4}\)) = 4(\(\frac{1}{4}\))2 + 3(\(\frac{1}{4}\)) – 1
= \(4 \times \frac{1}{16}+\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{4}{4}\) – 1
= 1 – 1 = 0
p(\(\frac{1}{4}\)) = 0
అలాగే p(-1) = 4(- 1)2 + 3(- 1) – 1
= 4 – 3 -1
= 4 – 4
p(- 1) = 0
∴ P(\(\frac{1}{4}\)) = 0 మరియు p(- 1) = 0 అవుతున్నది.
కాబట్టి p(x) కు \(\frac{1}{4}\) మరియు – 1 లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.