AP Inter 2nd Year Botany Notes Chapter 3 ఎన్జైమ్లు

Students can go through AP Inter 2nd Year Botany Notes 3rd Lesson ఎన్జైమ్లు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Botany Notes 3rd Lesson ఎన్జైమ్లు

→ అన్ని ఎన్జైమ్లు దాదాపుగా ప్రొటీనులే. కొన్ని కేంద్రకామ్లాలు ఎన్జైమ్లుగా పనిచేస్తాయి. వీటిని రైబోజైమ్లు అంటారు. 23 ‘S’ rRNA.

→ అధస్థ పదార్థము ‘S’ ఎన్జైమ్ నొక్కు లేదా సంచులుగా ఉండే క్రియాశీల స్థానానికి బంధితమై ES సంక్లిష్టం ఏర్పడుతుంది. ఈ బంధం విచ్చిన్నమై ఉత్పాదితం ‘P’ మరియు మార్పులేని ఎన్జైమ్ విడుదల అవుతాయి.

→ ES సంక్లిష్టం ఏర్పడే విధానాన్ని ఇమిల్ఫిషర్ ప్రతిపాదించిన తాళం – కప్ప, తాళం చెవి పరికల్పన, ఆ తరువాత డానియల్ ఇ-కోషాండ్ ప్రతిపాదించిన ‘ఇండ్యూస్డ్ ఫిట్ పరికల్పనలు వివరిస్తాయి.

→ ఎన్జైమ్లు ఒక నిరిష్ట ఉష్ణోగ్రత, pH ల వద్ద పనిచేస్తాయి. వాటిని యుక్తతమ ఉష్ణోగ్రత, యుక్తతమ pH అంటారు.

→ రసాయనం బందితం కావడంతోనే ఎన్జైమ్ క్రియాశీలత ఆగిపోయే విధానాన్ని నిరోధకత అంటారు. ఆ రసాయనాన్ని నిరోధకం అంటారు.

→ నిరోధకం తన అణునిర్మాణంలో అధస్థ పదార్థాన్ని దగ్గరగా పోలి ఉండి, ఎన్జైమ్ క్రియాశీలతను నిరోధిస్తే దానిని పోటీపడే నిరోధకము అంటారు.

AP Inter 2nd Year Botany Notes Chapter 3 ఎన్జైమ్లు

→ నిరోధకం అధస్థపదార్థంతో నిర్మాణాత్మక పోలికను కలిగి ఉండక, క్రియాశీల స్థానం దగ్గర కాకుండా వేరేస్థానం వద్ద ఎన్జైమ్ నిరోధక సంక్లిష్టాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. దీనిని పోటీపడని నిరోదకము అంటారు.

→ ఎన్జైమ్లను ఆరు విభాగాలుగా వర్గీకరించారు. అవి :

  • ఆక్సిడోరిడక్టేజ్లు
  • ట్రాన్స్ ఫరేజ్లు
  • హైడ్రోలేజ్లు
  • లయేజ్లు
  • ఐసోమరేజ్లు
  • లైగేజ్లు

→ గ్లూకోజ్ – 6 – ఫాస్ట్రోట్రాన్స్ఫరేజ్ కు ఎన్జైమ్ సంఖ్య 2.7.1.2. దీనిలో మొదటి సంఖ్య ఎన్జైమ్ విభాగమును, రెండో సంఖ్య ఎన్జైమ్ ఉపవిభాగమును, మూడో సంఖ్య ఉప-ఉప విభాగమును, నాలుగో సంఖ్య ఎన్జైమ్ వరుస సంఖ్యను తెలియచేస్తుంది.

→ ఎన్జైమ్లోని ప్రొటీను భాగాన్ని అవోఎన్జైమ్ అని, ప్రొటీను కాని భాగమును సహకారము అని అంటారు.

→ అపోఎన్జైమ్కు వదులుగా బందితమైన సేంద్రియ సహకారకాలను సహ ఎన్జైమ్లు అంటారు.

→ అపో ఎన్జైమ్కు గట్టిగా బందితమైన ఉన్న సేంద్రియ పదార్థాలను ప్రాస్థటిక్ సమూహాలు అంటారు.

→ వివిధ రకాల ఎన్జైమ్లు పాల్గోనే ఉత్ప్రేరక చర్యల్లో సహ ఎన్జైమ్ల అవశ్యక రసాయన అనుఘటకాలు విటమిన్లుగా ఉంటాయి.
ఉదా : NAD, NADP లు రెండు నియాసిన్లను కలిగి ఉంటాయి.

→ కార్టాక్సి పెద్డడేజ్కి జింక్ ఒక సహకారకంగా పనిచేస్తుంది.

AP Inter 2nd Year Botany Notes Chapter 2 ఖనిజ పోషణ

Students can go through AP Inter 2nd Year Botany Notes 2nd Lesson ఖనిజ పోషణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Botany Notes 2nd Lesson ఖనిజ పోషణ

→ అన్ని జీవులకు పెరుగుదల, వృద్ధికి కార్టోహైడ్రేట్లు, ప్రొటీన్లు, కొవ్వులు వంటి స్థూల అణువులు, నీరు, వివిధ ఖనిజాలు ఎంతో అవసరము.

→ మొక్కలను నిర్దిష్ట మూలకాల ద్రావణంలో పెంచే సాంకేతిక పద్ధతిని హైడ్రోపోనిక్స్ అంటారు.

→ C, H, O, N, P, K, Ca, Mg మరియు Sలు స్థూల మూలకాలు.

→ Fe, Mn, In, MO, Cu, Cl, B మరియు Ni లు సూక్ష్మ మూలకాలు.

→ C, H, O లను నిర్మాణాత్మక మూలకాలు అంటారు.

→ మొక్కలలో శక్తి సంబంధ రసాయన పదార్థాలలో భాగంగా ఉన్న ఆవశ్యక మూలకాలు Mg, ఫాస్పరస్.

→ నికెల్, యూరియేజ్ అను ఎన్జైమ్కు ఉత్ప్రేరకము. ఇది నత్రజని జీవక్రియలో పాల్గొంటుంది.

→ ఆవశ్యక మూలకం గాఢత తక్కువైనపుడు మొక్క పెరుగుదల ఆగిపోయినట్లయితే ఆ గాఢతను సందిగ్ధ గాఢ అంటారు.

→ నత్రజని, పొటాషియమ్, మెగ్నీషియమ్ లోప లక్షణాలు వృద్ధ పత్రాలలో గోచరిస్తాయి.

→ సల్ఫర్, కాల్షియంల లోప లక్షణాలు మొదట లేత పత్రాలలో కనిపిస్తాయి.

→ పత్రాలు పత్రహరితాన్ని కోల్పోయి, పసుపు వర్ణంలోకి మారుటను నిర్హరితం అంటారు.

→ Ca, Mg, Cu మరియు K లోపం వల్ల కణజాలాలు చనిపోవడం జరుగును.

→ నికెల్ లోపం వల్ల పెకాన్ లో మౌస్ ఇయర్ వ్యాధి కలుగును.

→ అయాన్లు నిష్క్రియా లేక సక్రియా పద్ధతి ద్వారా శోషించబడతాయి.

→ ఖనిజ మూలకాలు బాష్పోత్సేకకర్షణ వల్ల దారువులో ఊర్ధ్వముఖంగా వహనం చెందుతున్న నీటి ద్వారా స్థానాంతరణ చెందుతాయి.

AP Inter 2nd Year Botany Notes Chapter 2 ఖనిజ పోషణ

→ మొక్కల పెరుగుదలకు, అభివృద్ధికీ ‘కావలసిన అత్యధిక పోషకాలు శైథిల్యమైన (విచ్ఛిన్నం చెందిన) శిలల నుంచి ఏర్పడిన మృత్తిక ద్వారా వేర్లకు అందించబడతాయి.

→ నత్రజని సజీవులలో అత్యధికంగా ఉన్న మూలకము.

→ నత్రజని క్షయకరణం చెందించే నైట్రోజినేజ్ ఎన్జైమ్ ప్రత్యేకంగా కేంద్రకపూర్వ జీవులలోనే ఉంటుంది. వాటిని N2 స్థాపక జీవులు అంటారు.

→ నైట్రోజినేజ్ ఎన్జైమ్ MO – Fe ప్రొటీను. ఇది వాతావరణ నైట్రోజన్ ను అమ్మోనియాగా మారుస్తుంది.

→ నైట్రోజినేజ్ ఎన్జైమ్లను రక్షించడానికి లెగ్ హీమోగ్లోబిన్ అను ఆక్సిజన్ సమ్మారకం ఉంటుంది.

→ అమైడ్లు (ఆస్పర్జిన్, గ్లూటమిన్) లు మొక్కలలో ఎక్కువగా లభిస్తాయి. ఇవి ఎక్కువగా నత్రజనిని కలిగి ఉంటాయి. కనుక అవి మొక్కల దారునాళాల ద్వారా ఇతర భాగాలకు రవాణా చెందుతాయి).

AP Inter 2nd Year Botany Notes Chapter 1 మొక్కలలో రవాణా

Students can go through AP Inter 2nd Year Botany Notes 1st Lesson మొక్కలలో రవాణా will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Botany Notes 1st Lesson మొక్కలలో రవాణా

→ మొక్కలలో ఒక నిమిషంలో జరిగే పెరుగుదలను ఒక మిల్లీమీటర్ లోని పదిలక్షల వంతును నమోదు చేయగలిగే అంత సూక్ష్మగాహ్యంగా ఉన్న క్రెస్కోగ్రాఫ్ను సర్.జె.సి.బోస్ రూపొందించారు.

→ బోస్ పరిశోధనా సంస్థ కోల్కత్తాలో ఉన్నది.

→ ఎక్కువ దూరాల మధ్య జరిగే రవాణా నాళికావ్యవస్థ ద్వారా జరుగుతుంది. దీనిని స్థానాంతరణ అంటారు. నేలలో నాటుకొని ఉన్న మొక్కలలో దారువు ద్వారా జరిగే రవాణా తప్పనిసరిగా ఒకే దిశలో అనగా వేరు నుంచి కాండంలోకి జరుగుతుంది.

→ సేంద్రియ, ఖనిజ పోషకాలు అన్ని దిశలలో రవాణా చెందుతాయి.

→ వాయువులు లేదా ద్రవాలు అధిక గాఢత గల ప్రదేశం నుండి అల్ప గాఢత గల ప్రదేశంలోనికి చలించుటను అంటారు.

→ త్వచ ప్రొటీన్ల సహాయంతో విసరణ జరగాలంటే అంతకు ముందే గాఢత ప్రవణత ఏర్పడి ఉండాలి. దీనిని సులభతర విసరణ అంటారు.

→ పదార్థాలను గాఢతా ప్రవణతకు వ్యతిరేక దిశలో ప్రవహింపచేయడానికి శక్తిని వినియోగించే విధానమే సక్రియా రవాణా.

→ మొక్క జీవక్రియలన్నింటిలో నీరు ప్రధానంగా పాల్గొంటుంది. అన్ని జీవరాశులకు నీరు ముఖ్యంగా కావలసిన పదార్థం.

→ పూర్తి స్థాయికి పెరిగిన మొక్కజొన్న 1 రోజులో దాదాపు 3 లీటర్ల నీటిని పీల్చుకుంటుంది. కాగా ఆవమొక్క 5 గంటలలో తను బరువుకు సమానమైన నీటిని గ్రహిస్తుంది.

→ నీటిశక్మము = ద్రావిత శక్మము + పీడన శక్మము.

→ స్వచ్ఛమైననీటి నీటిశర్మ విలువ = 0

AP Inter 2nd Year Botany Notes Chapter 1 మొక్కలలో రవాణా

→ ద్రావిత శక్మం ఎల్లప్పుడూ ఋణాత్మకము.

→ పీడన శక్మం ధనాత్మకం కాని మొక్కలలో ఋణాత్మకము.

→ అర్థ పారగమ్య త్వచం ద్వారా నీరు అల్ప గాఢత గల ప్రదేశం నుంచి అధిక గాఢత గల ప్రదేశంలోకి రవాణా అగుటను ద్రవాభిసరణ అంటారు.

→ ద్రవాభిసరణను థిసిల్ గరాటు ప్రయోగం లేదా పొటాటో ఆస్మాస్కోప్ ప్రయోగము ద్వారా వివరించవచ్చు.

→ కణాల నుంచి నీరు బయటకు వెళ్ళిపోయినప్పుడు కణత్వచం కణ కవచం నుండి విడిపోయి కణద్రవ్య సంకోచం జరుగుతుంది.

→ సాధారణ జీవకణాలు అధిక గాఢత గల ద్రావణంలో ఉంచినప్పుడు శుథం చెందుతాయి. అలాంటి కణాలలో పీడనశక్మం ‘0’ అవుతుంది. కావున నీటిశక్మం, ద్రావితశక్మం సమానం అవుతాయి.

→ కొల్లాయిడ్ల వంటి ఘన పదార్థాలు నీటిని అధిశోషించుకొని విస్తారంగా ఘనపరిమాణంలో వృధ్ధి చెందే ప్రక్రియను నిపానం అంటారు. ఉదా : విత్తనాలు పొడిగా ఉన్న కొమ్మలు నీటిని పీల్చుకునే విధానము.

→ ప్రొటీన్లకు అధిక నివాన సామర్థ్యము, కార్బోహైడ్రేటులకు తక్కువ నిపాన సామర్థ్యం ఉంటాయి. అందువల్ల ప్రొటీన్లు ఎక్కువగా గల బఠాణీ గింజలు, పిండి పదార్థము ఎక్కువగా ఉన్న గోధుమగింజల కంటే ఎక్కువగా ఉబ్బుతాయి.

→ స్థూల ప్రవాహంలో పదార్థాలు రెండు బిందువుల మధ్య ఉన్న పీడన వ్యత్యాసాల వల్ల ఒక చోటు నుంచి మరొక చోటుకు స్థూలంగా చలిస్తాయి.

→ మూలకేశంలోకి ప్రవేశించిన నీరు దిగువన ఉన్న వేరు పొరలకు అపోప్లాస్ట్ పథం లేదా సింప్లాస్ట్ పథం ద్వారా చేరుతుంది.

→ శిలీంధ్రం, వేరు వ్యవస్థతో కలిసి ఏర్పడిన సహజీవన సాంగత్యాన్ని శిలీంధ్ర మూలము (మైకోరైజా) అంటారు.

→ నీరు నీటి బిందువుల రూపంలో బయటకు పోవుటను బిందుస్రావం అంటారు.

→ సిక్వియా సిమ్ పర్విరెన్స్ వంటి చాలా ఎత్తయిన వృక్షాలలో ఎక్కువ భాగము నీటి స్థానాంతరణకు వేరు పీడనం సరిపోదు.

→ సంసంజన – అసంజన, బాష్పోత్సేక కర్షణ నమూనాను డిక్సన్ ప్రతిపాదించారు.

→ పత్ర రంధ్రాలు పగలు తెరుచుకుని, రాత్రి మూసుకుంటే, ఫొటోయాక్టివ్ రకం అంటారు.

→ రసయుత మొక్కలలో (ఉదా : కాక్టస్లు, బయోఫిల్లమ్) పత్రరంధ్రాలు పగలు మూసుకుని రాత్రులందు తెరుచుకుంటాయి. వీటిని స్కోటోయాక్టివ్ రకం అంటారు.

→ పత్రరంధ్రాలు తెరుచుకునే మూసుకునే యాంత్రికాన్ని వివరించడానికి లెవిట్, K’ పంపు సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించారు.

→ A B A (అబ్సిసిక్ ఆమ్లము) అనే సహజ బాష్పోత్సేక నిరోధకము నీటికొరత సందర్భాలలో పత్రరంధ్రం మూసుకునేటట్లు చేస్తుంది.

→ బాష్పోత్సేకం వల్ల మొక్కలకు అనేక ఉపయోగాలు ఉన్నాయి. అందువల్ల దీనిని “అవశ్యకమైన అనర్థం” గా అభివర్ణిస్తారు.

→ పీడన ప్రవాహం లేదా సమూహ ప్రవాహ సిద్ధాంతంను ముంచ్ ప్రతిపాదించారు.

AP Inter 2nd Year Botany Notes Chapter 1 మొక్కలలో రవాణా

→ సర్. జె.సి. బోస్
జననము : నవంబర్ 30, 1858
మరణము : నవంబర్ 23, 1937
దేశము : ఇండియన్
మొక్కలకు కూడ ప్రాణము ఉంటుందని వాటికి భావవ్యక్తీకరణ ఉంటుందని శాస్త్ర ప్రపంచానికి తెలియచేసిన వ్యక్తి సర్. జగదీష్ చంద్రబోస్. ఆయన సూక్ష్మతరంగ ధైర్ఘ్యవిద్యుత్ అయస్కాంత తరంగాల ను ఉత్పత్తి చేసి రేడియోతరంగాలను గుర్తించే ‘కొహెరర్’ అనుపరికరం రూపకల్పన చేసారు. ఆయన క్రెస్కోగ్రాఫ్ అనే అత్యంత అధునాతన పరి కరాన్ని రూపొందించారు. ఇది మొక్కలలో ఒక నిమిషంలో జరిగే పెరుదల ను ఒక మిల్లిమీటర్లోని పదిలక్షలవంతు వరకు నమోదు చేయకలిగే అంతసూక్ష్మ గ్రాహ్యంగా ఉంటుంది. బ్రిటిష్ ప్రభుత్వం ఆయనను ‘నైట్ హుడ్'(Knight Hood)గా అభివర్ణిస్తూ, అతని పేరుకు ముందు “సర్” అను బిరుదు నిచ్చినది.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 1 వృత్తం Exercise 1(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Exercise 1(d)

అభ్యాసం – 1 (డి)

I.

ప్రశ్న 1.
S ≡ x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి (0, 0) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
P నుండి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు వృత్త కోణము θ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 1
1 = \(\frac{\sqrt{g^2+f^2-c}}{\sqrt{0+0+0+0}+c}\)
g2 + f2 – c = c
g2 + f2 = 2c
ఇది కావలసిన నియమము

ప్రశ్న 2.
x2 + y2 – 5x + 4y – 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (0, 5) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము S1 = 0
i.e., xx1 + yy1 + g(x + x1) + f(y + y1) + c = 0 వృత్త సమీకరణము
S = x2 + y2 – 5x + 4y – 2 = 0
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము
x. 0 + y. 5 – \(\frac{5}{2}\) (x + 0) + 2(y + 5) – 2 = 0
2 తో గుణించగా
10y – 5x + 4y + 20 – 4 = 0
-5x + 14y + 16 = 0
లేదా 5x – 14y – 16 = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 3.
x2 + y2 = 9 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x2 + y 2 = 9
వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) స్పర్శ జ్యా సమీకరణం S1 = 0
(i.e.,) x(1) + y(1) – 9 = 0
(i.e.,) x + y – 9 = 0

ప్రశ్న 4.
x2 + y2 = 7 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 2) ధ్రువ రేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 + y2 = 7 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 2) ధ్రువరేఖ S1= 0
(i.e.,) x(1) + y(2) – 7 = 0
⇒ x + 2y – 7 = 0

ప్రశ్న 5.
2x2 + 2y2 = 11 వృత్తం దృష్ట్యా (3, -1) ధ్రువ రేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 2x2 + 2y2 = 11
⇒ x2 + y2 = \(\frac{11}{2}\) వృత్తం దృష్ట్యా (3, −1)
ధృవరేఖ S1 = 0
x(3) + (-1) y = \(\frac{11}{2}\)
6x – 2y – 11 = 0.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 6.
x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0 దృష్ట్యా (1, 2) యొక్క ధ్రువరేఖా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x2 + y2-10x-10y + 25 = 0
దృవరేఖ సమీకరణము S1 = 0
P(1, 2) యొక్క దృవరేఖ
x.1 + y(-2) – 5(x + 1) – 5(y – 2) + 25 = 0
x – 2y – 5x – 5 – 5y + 10 + 25 = 0
-4x – 7y + 30 = 0
4x + 7y – 30 = 0

ప్రశ్న 7.
c ≠ 0 అయితే x2 + y2 = r2 వృత్తోం దృష్ట్యా ax + by + c = 0, యొక్క ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ధ్రువం (x1, y1) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ xx1 + yy1 – r2 = 0 ……………. (1)
ధ్రువరేఖ ax + by + c = 0 ………………. (2)
(1) మరియు (2) నుండి \(\frac{x_1}{a}=\frac{y_1}{b}=\frac{-r^2}{c}\)
⇒ x1 = \(\frac{-a r^2}{c}\), y1 = \(\frac{-b r^2}{c}\)
∴ ధ్రువం \(\left(\frac{-a r^2}{c}, \frac{-b r^2}{c}\right)\), (c ≠ 0)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 8.
x2+ y2 – 6x – 8y + 5 = 0 వృత్తానికి 3x + 4y – 45 = 0 ధ్రువ రేఖ అయితే దీని ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
ధ్రువం p (x1, y1) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ సమీకరణం S1 = 0
⇒ xx1 + yy1 – 3(x + x1) – 4(y + y1) + 5 = 0
⇒ x(x1 – 3) + y(y1 – 4) – 3x1 -4y1 + 5 = 0 ……………. (1)
కాని రేఖ 3x + 4y – 45 = 0 ……………. (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{x_1-3}{3}=\frac{y_1-4}{4}=\frac{-3 x_1-4 y_1+5}{-45}\) = k అనుకుందాం
⇒ x1 = 3k + 3, y1 = 4k + 4
-3x1 – 4y1 + 5 = -45k
⇒ -3(3k + 3) – 4(4k + 4) + 5 = -45k
⇒ 20k – 20 = 0 ⇒ k = 1
⇒ \(\frac{x_1-3}{3}=\frac{y_1-4}{4}\)
∴x1 = 3(1) + 3 = 6, y1 = 4(1) + 4 = 8
∴ ధ్రువం = (6, 8).

ప్రశ్న 9.
x2+ y2 – 5x + 8y + 6 = 0 వృత్తానికి x – 2y + 22=0 ఒక ధ్రువరేఖ అయితే దీని ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ధ్రువం p (x1, y1) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ సమీకరణం S1 = 0
xx1 + yy1 – \(\frac{5}{2}\) (x + x1) + 4 (y + y1) + 6 = 0
(లేదా) x(x1 – \(\frac{5}{2}\)) + y (y1 + 4) – \(\frac{5}{2}\)
x1 + 4y1 + 60 = 0 ………… (i)
x – 2y + 22 = 0 …………..(ii)
(i), (ii) లు ఒకే రేఖలను సూచిస్తున్న
\(\frac{x_1-\frac{5}{2}}{1}=\frac{y_1+4}{-2}=\frac{\frac{-5}{2} x_1+4 y_1+6}{22}\) = k
x1 – \(\frac{5}{2}\) = k ⇒ x1 = k + \(\frac{5}{2}\)
– \(\frac{5}{2}\) x1 + 4y1 + 6 = 22k
y1 = -2k – 4,
–\(\frac{5}{2}\) (k + \(\frac{5}{2}\)) + 4 (-2k – 4) + 6 = 22k ;
–\(\frac{5k}{2}\) – \(\frac{25}{4}\) – 8k – 16 + 6 = 22k
–\(\frac{65}{4}\) = 30k + \(\frac{5k}{2}\) = \(\frac{65k}{2}\)
k = –\(\frac{5}{2}\) ; x1 = –\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{5}{2}\) = 2
y1 = -3
∴ ధ్రువము (2, – 3)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 10.
x2+ y2 – 2x + 2y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (-6, 1), (2, 3) లు సంయుగ్మ బిందువులని చూపండి.
సాధన:
S = 0 వృత్తం దృష్ట్యా P(x1, y1), Q(x2, y2) లు సంయుగ్మాలైన S12 = 0
కనుక ఇచ్చట వృత్త సమీకరణం
x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0
బిందువులు P (-6, 1), Q (2, 3)
ఇప్పుడు S12 = x1x2 + y1y2 + g(x1 + x2) + f(y1 + y2) + c
= (-6) (2) + (1) (3) + (-1) (-6 + 2) + 1(1 + 3) + 1
= -12 + 3 + 4 + 4 + 1 = 12 + 12 = 0
∵ S12 = 0
⇒ వృత్తం దృష్ట్యా దత్త బిందువులు సంయుగ్మ బిందువులు.

ప్రశ్న 11.
x2 + y2 – 3x – 5y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2), (3, −5) లు సంయుగ్మ బిందువులని చూపండి.
సాధన:
దత్త బిందువులు సంయుగ్మాలైన S12 = 0 కావలయును.
అంటే S12 = (4) (3) + (2) (-5) – \(\frac{3}{2}\) (4 + 3) – \(\frac{5}{2}\) (2 – 5) + 1
S12 = 12 – 10 – \(\frac{21}{2}\) + \(\frac{15}{2}\) + 1
S12 = 3 – 3 = 0
∴ దత్త బిందువులు వృత్తం దృష్ట్యా సంయుగ్మాలు.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 12.
x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా kx + 3y – 1 = 0, 2x + y + 5 = 0 లు సంయుగ్మ రేఖలయితే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దృవము (x1, y1) దృవరేఖ సమీకరణము
x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0
xx1 + yy1 – 1(x + x1) – 2(y + y1) – 4 = 0
x(x1 – 1) + y(y1 – 2) – x1 – 2y1 – 4 = 0 ……………… (i)
2x + y + 5 = 0 (i) తో పోల్చగా
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 2
x1 = -1, y1 = 1 ద్రువము (−1, 1)
kx + 3y – 1 = 0 దృవరేఖ అయితే (-1, 1) ను తృప్తిపరచవలెను.
k(-1) + 3(1) – 1 = 0
-k + 2 = 0
k = 2

ప్రశ్న 13.
x2 + y2 – 2x – 2y – 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా x + y – 5 = 0, 2x + ky – 8 = 0 లు సంయుగ్మ రేఖలయితే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
If l1x + m1y + n1 = 0; l2x + m2y + n2 = 0, S = 0 దృష్ట్యా సంయుగ్మ రేఖలయితే
r2(l1l2 + m1m2) = (l1g + m1f – n1) (l2g + m2f – n2)
l1 = 1, m1 = 1, n1 = -5
l2 = 2, m2 = k, n2 =-8
g = -1, f = -1, r2 = 3
∴ 3(1.2 + k) = (-1 – 1 + 5) (-2 – k + 8)
6k = 18 – 6 = 12
⇒ k = 2

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 14.
x2 + y2 = 35 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 3), (2, k) ∞ సంయుగ్మాలయితే k విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’17 T.S. Mar. ’16]
సాధన:
వృత్త సమీకరణం x2 + y2 = 35 యొక్క దృవరేఖ P(1, 3)
x. 1 + y. 3 = 35
x + 3y = 35
P(1, 3), Q(2, k) లు సంయుగ్మ బిందువులయితే
P యొక్క దృవరేఖ Q గుండా పోతుంది.
2 + 3k = 35
3k = 33
k = 11

ప్రశ్న 15.
x2 + y2 – 5x + 8y + 6 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2), (k, -3) లు సంయుగ్మాలయితే k విలువ ఎంత ? [A.P. Mar. ’17]
సాధన:
వృత్త సమీకరణం x2 + y2 – 5x + 8y + 6 = 0 యొక్క దృవరేఖ (4, 2)
x.4 + y.2 – \(\frac{5}{2}\)(x + 4) + 4 (y + 2) + 6 = 0
8x + 4y – 5x – 20 + 8y + 16 + 12 = 0
3x + 12y + 8 = 0
P(4, 2), Q(k, -3) లు సంయుగ్మాలు.
P యొక్క దృవరేఖ Q గుండా పోతుంది.
∴ 3k – 36 + 8 = 0
3k = 28 ⇒ k = \(\frac{28}{3}\)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

II.

ప్రశ్న 1.
(3, 2) బిందువు నుంచి x2+y2-6x+4y-2=0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్య రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
S ≡ x2 + y2 – 6x + 4y – 2 = 0
r = \(\sqrt{9+4+2}\) = \(\sqrt{15}\)
S11 = 9 + 4 – 18 + 8 – 2 = 1
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 3
P వద్ద స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము cos-1\(\left(\frac{7}{8}\right)\)

ప్రశ్న 2.
(1, 3) బిందువు నుంచి x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శ రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
S ≡ x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0
r = \(\sqrt{1+4+11}\) = 4
S11 = 1 + 9 – 2 + 12 – 11 = 9
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 4
స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము cos-1\(\left(\frac{7}{25}\right)\)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 3.
(0, 0) బిందువు నుంచి x2 + y2 – 14x + 2y + 25 = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x2 + y2 – 14x + 2y + 25 = 0
కేంద్రం C = (7, -1),
వ్యాసార్థం (r) = \(\sqrt{49+1-25}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
S11 = 0 + 0 – 0 + 0 + 25 = 25
స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము ‘θ’ అయిన
tan (θ/2) = \(\frac{r}{\sqrt{s_{11}}}=\frac{5}{\sqrt{25}}\) = 1
∴ \(\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము θ = 90°

ప్రశ్న 4.
ఏదైనా బిందువు P నుంచి x2 + y2 = a2 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం a అయ్యేటట్లు ఉండే P బిందు పథం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x2 + y2 = a2
r = వ్యాసార్థము = a
P (x1, y1) బిందు పథము మీది బిందువు
S11 = x2 + y2 – a2
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 5

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 5.
ఏదైనా బిందువు P నుంచి x2 + y2 = a2 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండేటటువంటి P బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x2 + y2 = a2
r = a
P(x1, y1) బిందు పథం మీది బిందువు
S11 = x12 + y12 – a2
tan θ = \(\frac{r}{\sqrt{s_{11}}}=\frac{a}{\sqrt{x_1^2+y_1^2-a^2}}\)
ఇచ్చిన 2θ = \(\frac{\pi}{2}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ tan θ = tan \(\frac{\pi}{4}\) = 1
∴ \(\frac{d}{\sqrt{x_1^2+y_1^2-a^2}}\) = 1
వర్గీకరించి, అడ్డ గుణకారం చేయగా
a2 = x2 + y2 – a2
x12 + y12 = 2a2
P (x, y ) బిందు పథము x2 + y2 = 2a2

ప్రశ్న 6.
x2 + y2 – 4x – 4y – 4= 0 వృత్తానికి (1,3) ధ్రువ రేఖ వాలు, వృత్తకేంద్రం నుంచి, ఈ ధ్రువ రేఖకు గల లంబ దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 + y2 – 4x – 4y – 4 = 0
వృత్తానికి (1,3) ధ్రువరేఖ S1 =0
(i.e.,) x(1) + y(3) – 2(x + 1) – 2(y + 3) – 4 = 0
⇒ -x + y – 12 = 0
⇒ x + y + 12 = 0
∴ ధ్రువరేఖ వాలు = \(\frac{-(1)}{1}\) = 1
వృత్త కేంద్రం C =(2, 2) నుండి ధ్రువరేఖ x – y + 12 = 0
కు లంబదూరం
= \(\left|\frac{2-2+12}{\sqrt{1+1}}\right|=\frac{12}{\sqrt{2}}\)
= 6 \(\sqrt{2}\)యూనిట్లు.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 7.
x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) ధ్రువ రేఖ సమీకరణం ax + by + c = 0 అయి a, b, c ల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 1 అయితే a2 + b2 + c విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 + y2 – 2x + y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (1,1)
ధ్రువరేఖ S1 = 0.
(i.e.,) x(1) + y(1) – (x + 1) + (y + 1) + 1 = 0
⇒ 2y + 1 = 0 ………………. (1)
కాని ధ్రువరేఖా సమీకరణం ax + by + c = 0 ……………… (2)
(1), (2) లు ఒకే రేఖను సూచిస్తున్నాయి కనుక
\(\frac{a}{0}=\frac{b}{2}=\frac{c}{1}\)
⇒a = : 0, b = 2, c = 1
(a, b, c ల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 1)
∴ a2 + b2 + c2 = 0 + 4 + 1 = 5

III.

ప్రశ్న 1.
x + 4y – 14=0 రేఖ x2 + y2 – 2x + 3y – 5=0 వృత్తాన్ని ఖండించే బిందువుల వద్ద గీసిన స్పర్శ రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
x2 + y2 – 2x + 3y – 5 = 0
P(x, y) యొక్క ధృవరేఖ
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 6
xx1 + yy1 – 1(x + x1) + \(\frac{3}{2}\) (y + y1) – 5 = 0
2xx1 + 2yy1 – 2x – 2x1 + 3y+ 3y1 – 10 = 0
2(x1 – 1)x + (2y1 + 3) y -(2x1 – 3y1 + 10) = 0 ……………… (1)
QR సమీకరణము 5x + 4y – 14 = 0 …………….. (2)
(1) మరియు (2) పోల్చగా
\(\frac{2\left(x_1-1\right)}{1}=\frac{2 y_1+3}{4}=\frac{2 x_1-3 y_1+10}{14}\)
2(x1 – 1) = \(\frac{2 y_1+3}{4}\)
8x1 – 8 = 2y1 + 3
8x1 – 2y1 = 11 ………………. (1)
2(x1 – 1) = \(\frac{2 x_1-3 y_1+10}{14}\)
28x1 – 28 = 2x1 – 3y1 + 10
26x1 + 3y1 = 38 ……………….. (2)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 7

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 2.
x2 + y2 = b2 వృత్తం దృష్ట్యా x2 + y2 = a2 వృత్తంపై ఉండే బిందువుల ధృవరేఖలు x2 + y2 = c2 వృత్తాన్ని స్పృశిస్తే a,b,c లు గుణశ్రేఢిలో ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 8
P(x1, y1) బిందువు మీది బిందువు x2 + y2 = a2
∴ x12 + y12 = a2 ……………. (1)
x2+ y2= b2 దృష్ట్యా P యొక్క ధ్రువరేఖ
xx1 + yy1 = b2
ఈ రేఖ x2 + y2 = c2 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
\(\frac{\left|0+0-\mathrm{b}^2\right|}{\sqrt{\mathrm{x}_1^2+\mathrm{y}_1^2}}\) = c ⇒ \(\frac{b^2}{a}\) = c
అడ్డ గుణకారం చేయగా b2 = ac
∴ a, b, c లు G. P. లో ఉన్నాయి.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 3.
P (3, 5) నుంచి x2 + y2 = 16 వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు గీశాం. ఈ స్పర్శరేఖలు, దత్త వృత్తం దృష్ట్యా P యొక్క స్పర్శ జ్యాతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x2 + y2 = 16
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 9
P (3, 5) యొక్క ధృవరేఖ 3x + 5y = 16
PL = P యొక్క లంబకోణము
= \(\frac{|9+25-16|}{\sqrt{9+25}}=\frac{18}{\sqrt{34}}\)
కేంద్రం = C (0, 0)
P = c మీదకు లంబదూరము
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 10

ప్రశ్న 4.
4x2+ y2 – 4x – 4y – 8 = 0, x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0 వృత్తాలకు ఒక బిందువు దృష్ట్యా ఏర్పడే ధ్రువ రేఖలు లంబంగా ఉంటే, ఆ చర బిందువు యొక్క బిందు వధ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x, y) బిందు పథము మీది బిందువు
వృత్తాల సమీకరణాలు
x2 + y2 – 4x – 4y – 8 = 0 ……………… (1)
x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0 ………………. (2)
(1) దృష్ట్యా P యొక్క ధృవరేఖ
xx1 + yy1 – 2(x + x1) – 2 (y + y1) – 8 = 0
x(x1 – 2) + y (y1 – 2) – (2x1 + 2y1 + 8) = 0(3)
(2) వ వృత్తం దృష్ట్యా P యొక్క ధృవరేఖ సమీకరణాలు
xx1 + yy1 – 1(x + x1) – 3 (y + y1) – 2 = 0
xx1 + yy1 – x – x1 + 3y + 3y1 – 2 = 0
x(x1 – 1) + y (y1 + 3) – (x1 + 3y1 + 2) = 0
(3), (4) లు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a1a2 + b1b2 = 0
(x1 – 2) (x1 – 1) + (y1 – 2) (y1 + 3) = 0
x12 – 3x1 +2 + y12 + y1 – 6 = 0
x12 + y12 – 3x1 + y1 – 4 = 0 x2 + y2 – 3×1 + Y1
p(x1, y1) బిందు పథము x2 + y2 – 3x + y – 4 = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

ప్రశ్న 5.
S ≡ x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 యొక్క ఏదైనా జ్యా, మూల బిందువు వద్ద 90° కోణం ఏర్పరిస్తే మూల బిందువు నుంచి ఆ జ్యాకు గీసిన లంబ పాదాల బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 11
QL మీదకు మూల బిందువు నుండి గీయబడిన లంబ పాదము L (x1, y1)
QL వాలు = \(\frac{y_1}{x_1}\)
QR వాలు = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
QR సమీకరణము y – y1 = –\(\frac{x_1}{y_1}\) (x – x1)
yy1 – y121 = – xx1 + x12.
xx1 + yy1 = x12 + y12
(లేదా) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) = 1 …………. (1)
వృత్త సమీకరణము
x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 …………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా OQ, OR ల ఉమ్మడి సమీకరణము
x2 + y2 + (2gx + 2fy)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 12
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Ex 1(d) 13

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(e)

అభ్యాసం – 8(ఇ)

క్రింది అవకలన సమీకరణాలను ఏకఘాతీయ సమీకరణ రూపంలో రాసి I.F. లను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
x \(\frac{d x}{d y}\) – y = 2x2 sec2 2x
సాధన:
x \(\frac{d x}{d y}\) – y = 2x2 sec2 2x
\(\frac{d x}{d y}\) – \(\frac{1}{x} \cdot y\) = 2x. sec2 2x
x లో రేఖీయ సమీకరణము
I.F. = \(\int_e-\frac{1}{x} \log x\) = e-log x = elog 1/x = \(\frac{1}{x}\)

ప్రశ్న 2.
y \(\frac{d x}{d y}\) – x = 2y3
సాధన:
y \(\frac{d x}{d y}\) – x = 2y3
\(\frac{d x}{d y}\) – \(\frac{1}{y} \cdot x\) = 2y2
I.F. = \(e^{\int-\frac{1}{y}} d y\) = e-log y = \(e^{\log \frac{1}{y}}\) = \(\frac{1}{y}\)

II. క్రింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{d y}{d x}\) + y tan x = cos3 x (May ’11)
సాధన:
I.F. = \(e^{\int \tan x d x}\) = elog sec x = sec x
y. sec x = \(\int \sec x \cdot \cos ^3 x d x\)
= \(\int \cos ^2 x d x\)
= \(\frac{1}{2} \int(1+\cos 2 x) d x\)
= \(\frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin 2 x}{2}\right)\) + c
సాధన 2y = x cos x + sin x. cos2 x + c. cos x

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e)

ప్రశ్న 2.
\(\frac{d y}{d x}\) + y sec x = tan x
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 1
సాధన
y(sec x + tan x) = sec x + tan x – x + c

ప్రశ్న 3.
\(\frac{d y}{d x}\) – y tan x = ex sec x.
సాధన:
I.F. = \(e^{-\int \tan x d x}\) = elog cos x = cos x
y. cos x = ∫ex. sec x. cos x dx = ∫ ex dx
= ex + c

ప్రశ్న 4.
x. \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = log x.
సాధన:
I.F. = \(e^{\int \frac{2}{x} d x}\) = e2 log x = elog x2 = x2
= ∫x log x dx
= ∫log x. \(\left(\frac{x^2}{2}\right)\) – \(\frac{1}{2} \int x^2 \cdot \frac{1}{x} d x\)
= \(\frac{x^2}{2}\) log x – \(\frac{x^2}{4}\) + c

ప్రశ్న 5.
(1 + x2)\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) + y = \(e^{\tan ^{-1} x}\). (May ’07) (A.P. Mar. ’16)
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{1}{1+x^2}\).y = \(\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 2

ప్రశ్న 6.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{2 y}{x}\) = 2x2
సాధన:
I.F. = \(e^{\int \frac{2}{x} d x}\) = e2 log x = \(e^{\log x^2}\) = x2
y. x2 = ∫2x4 dx = \(\frac{2 x^5}{5}\) + c

ప్రశ్న 7.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{4 x}{1+x^2} y\) = \(\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 3

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e)

ప్రశ్న 8.
x\(\frac{d y}{d x}\) + y = (1 + x)ex
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 4

ప్రశ్న 9.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{3 x^2}{1+x^3}\)y = \(\frac{1+x^2}{1+x^3}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 5

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) – y = -2e-x.
సాధన:
I.F = \(e^{\int-d x}\) = e-x
y. e-x = -2∫e2xdx = e-2x + c
y = e-x + c. ex

ప్రశ్న 11.
(1 + x2)\(\frac{d y}{d x}\) + y = tan-1x.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 6

ప్రశ్న 12.
\(\frac{d y}{d x}\) + y tan x = sin x. [T.S. Mar. 16]
సాధన:
I.F. e∫tan x dx = elog sec x = sec x
y. sec x = ∫sin x. sec x dx = ∫tan x dx
= log sec x + c

III. ఈ క్రింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
cos x. \(\frac{d y}{d x}\) + y sin x = sec2 x
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) + tan x. y = sec3 x
I.F. = e∫tan x dx = elog sec x = sec x
y. sec x = ∫sec4x dx = ∫(1 + tan2 x) sec2 x dx
= tan x + \(\frac{\tan ^3 x}{3}\) + c

ప్రశ్న 2.
sec x. dy = (y + sin x) dx.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 7

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e)

ప్రశ్న 3.
x log x. \(\frac{d y}{d x}\) + y = 2 log x
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 8

ప్రశ్న 4.
(x + y + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1 (Mar. 05)
సాధన:
\(\frac{d x}{d y}\) = x + y + 1
\(\frac{d x}{d y}\) – x = y + 1
I.F. = e∫-dy = e-y
x. e-y = ∫e-y (y + 1) dy
= -(y + 1). e-y + ∫e-y. dy
= -(y + 1) e-y – e-y
= -(y + 2) e-y + c
x = -(y + 2) + c. ey

ప్రశ్న 5.
x(x – 1)\(\frac{d y}{d x}\) – y = x3(x – 1)3
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 9

ప్రశ్న 6.
(x + 2y3)\(\frac{d y}{d x}\) = y
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 10

ప్రశ్న 7.
(1 – x2)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = x\(\sqrt{1-x^2}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 11
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 12

ప్రశ్న 8.
x(x – 1)\(\frac{d y}{d x}\) – (x – 2)y = x3(2x – 1)
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) – \(\frac{x-2}{x(x-1)} y\) = \(\frac{x^3(2 x-1)}{x(x-1)}\)
I.F. = \(e^{\int \frac{2-x}{x(x-1)}} d x\)
\(\frac{2-x}{x(x-1)}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B}{x-1}\)
2 – x = A(x – 1) + B.x
x = 0 ⇒ 2 = -A ⇒ A = -2
x = 1 ⇒ 1 – B ⇒ B = 1
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 13

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e)

ప్రశ్న 9.
\(\frac{d y}{d x}\)(x2y3 + xy) = 1 (Mar. ’11)
సాధన:
\(\frac{d x}{d y}\) =xy + x2y3
ఇది బెర్నౌలీ సమీకరణము
x-2. \(\frac{d x}{d y}\) – \(\frac{1}{x} \cdot y\) = y3
z = \(-\frac{1}{x}\) అనుకొంటే \(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dy}}\) = \(\frac{1}{x^2} \frac{d x}{d y}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 14
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 15

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) + x sin 2y = x3 cos2 y
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 16
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 17

ప్రశ్న 11.
y2 + (x – \(\frac{1}{y}\))\(\frac{d y}{d x}\) = 0
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 18
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(e) 19

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(d)

అభ్యాసం – 8(డి)

I. క్రింది అవకలన సమీకరణములను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = \(-\frac{(12 x+5 y-9)}{5 x+2 y-4}\)
సాధన:
b = -5, a = 5 ⇒ b = -a
(5x + 2y – 4)dy = (12x + 5y – 9) dx
(5x + 2y – 4)dy + (12x + 5y – 9) dx = 0
5 (x dy + y dx) + 2y dy – 4 dy + 12 x dx – 9 dx = 0
సమాకలనముచేయగా 5xy + y2 – 4y + 6x2 – 9x = c

ప్రశ్న 2.
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{-3 x-2 y+5}{2 x+3 y+5}\)
సాధన:
b = -2, a = 2 ⇒ b = -a
(2x + 3y + 5) dy = (- 3x – 2y + 5) dx
2x dy + 3y dy + 5 dy = -3x dx – 2y dx + 5 dx
2(x dy + y dx) + 3y dy + 3x dx + 5 dy – 5 dx = 0
సమాకలనము చేయగా
2xy + \(\frac{3}{2} y^2\) + \(\frac{3}{2} x^2\) + 5y – 5x = c
4xy + 3y2 + 3x2 – 10x + 10y = 2c = c’
సాధన
4xy + 3(x2 + y2) – 10(x – y) = c

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d)

ప్రశ్న 3.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-3 x-2 y+5}{2 x+3 y-5}\)
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-(3 x-2 y+5)}{2 x+3 y-5}\)
ఇక్కడ b = -2, a’ = 2
∵ b = -a’
(2x + 3y – 5) dy = -(3x – 2y + 5) dx
⇒2(x dy + y dx) + (3y – 5) dy + (3x – 5) dx = 0
⇒ 2d (xy) + (3y – 5) dy + (3x – 5) dx = 0
ఒక్కొక్కదాన్ని సమాకలనము చేయగా
2 \(\int\)d (xy) + \(\int\) (3y – 5) dy + \(\int\) (3x – 5) dx = 0
⇒2xy + 3.\(\frac{y^2}{2}\) – 5y + 3\(\frac{x^2}{2}\) – 5x = \(\frac{c}{2}\)
(లేదా) 3x2 + 4xy + 3y2 – 10x – 10y = c
కావలసిన సాధన

ప్రశ్న 4.
2(x – 3y + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 4x – 2y + 1
సాధన:
(2x – 6y + 2) dy = (4x – 2y + 1) dx
(2x – 6y + 2) dy – (4x – 2y + 1) dx = 0
2 (x dy + y dx) – 6y dy + 2 dy – 4x dx – dx = 0
సమాకలనము చేయగా, సాధన
2xy – 3y2 – 2x2 + 2y – x = c

ప్రశ్న 5.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x-y+2}{x+y-1}\)
సాధన:
b = -1, a’ – 1 ⇒ b = – a’
(x + y – 1) dy = (x – y + 2) dx
(x + y – 1) dy = (x − y + 2) dx = 0
(x dy + y dx) + y dy – dy – x dx – 2 dx = 0
సమాకలనము చేయగా
xy + \(\frac{y^2}{2}\) – \(\frac{x^2}{2}\) – y – 2x = c
2xy + y2 – x2 – 2y – 4x = 2c = c’

ప్రశ్న 6.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x-y+1}{x+2 y-3}\)
సాధన:
b = -1, a’ = 1 ⇒ b = -a’
(x + 2y – 3) dy = (2x – y + 1) dx
(x + 2y – 3) dy – (2x – y + 1) dx = 0
(x dy + y dx) + 2y dy – 3 dy – 2x dx – dx = 0
సమాకలనము చేయగా
xy + y2 – x2 – 3y – x = c

II. కింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
(2x + 2y + 3) \(\frac{d y}{d x}\) = x + y + 1
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 1
9 తో గుణించగా
6v + log (3v + 4) = 9x + 9c
6(x + y) + log[3(x + y) + 4] = 9x + c
i.e. log (3x + 3y + 4) = 6y – 3x + c

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d)

ప్రశ్న 2.
\(\frac{d \mathbf{y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{4 x+6 y+5}{3 y+2 x+4}\)
సాధన:
\(\frac{d \mathbf{y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{4 x+6 y+5}{2 x+3 y+4}\)
v = 2x + 3y
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 2
64 తో గుణించగా
8v + 9 log (8v + 23) = 64x + 64c
8 (2x + 3y) – 64x + 9 log (16x + 24y + 23) = c’
8 తో భాగించగా
2x + 3y – 8x + \(\frac{9}{8}\) log (16x + 24y+23) = c”
3y – 6x + \(\frac{9}{8}\) log (16x + 24y + 23) = c”
3 తో భాగించగా సాధన
y – 2x + \(\frac{3}{8}\) log (16x + 24y + 23) = k

ప్రశ్న 3.
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 3
2v + log (v – 1) = 3x + c
2v – 3x + log (v – 1) = c
2(2x + y) – 3x + log (2x + y – 1) = c
4x+2y-3x + log (2x + y – 1) = c
సాధన x + 2y + log (2x + y – 1) = c

ప్రశ్న 4.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 y+x+1}{2 x+4 y+3}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 4
8 తో గుణించగా
4v + log (4v + 5) = 8x + 8c
4(x + 2y) – 8x + log [4(x + 2y) + 5] = c’
సాధన
4x + 8y – 8x + log (4x + 8y + 5) = c’
8y – 4x + log (4x + 8y + 5) = c’

ప్రశ్న 5.
(x + y – 1) dy = (x + y + 1) dx
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 5
v – log v = 2x + c
x + y – log (x + y) = 2x – c
(x – y) + log (x + y) = c అనేది కావలసిన సాధన

III. కింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{3 y-7 x+7}{3 x-7 y-3}\) (T.S. Mar. ’16)
సాధన:
x = x + h, y = y + k అనుకుంటే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 6
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 7
⇒ 14 ln x – ln c
= 3ln (v – 1) – 3ln (v + 1) – 7ln (v + 1) – 7ln (v – 1).
14ln x – ln c = 10 ln (v + 1) – 4 ln (v – 1)
ln (v + 1)5 + ln (v – 1)2 + ln x7 = ln c
(v + 1)5. (v – 1)2. x7 = c
\(\left(\frac{y}{x}+1\right)^5\left(\frac{y}{x}-1\right)^2\) . x7 = c
(y – x)2 (y + x)5 = c
[y – (x – 1)]2 (y + x – 1)5 = c
సాధన [y – x + 1]2 (y + x – 1)5 = c.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d)

ప్రశ్న 2.
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{6 x+5 y-7}{2 x+18 y-14}\)
సాధన:
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{6 x+5 y-7}{2 x+18 y-14}\)
x = X + h, y = Y + k
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 8
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 9
14 = A – \(\frac{7}{3}\) ⇒ A = 6
V = \(-\frac{1}{2}\) ⇒ 2 – 9 = B\(\left(-\frac{3}{2}-2\right)\)
-7 = \(-\frac{7}{2} B\) ⇒ B = 2
\(\int\left(\frac{6}{3 V-2}+\frac{2}{2 V+1}\right) d V\) = \(-3 \int \frac{d x}{x}\)
2 log(3V – 2) + log (2V + 1) = -3 log X + log c
log (3V – 2)2.(2V + 1) + log X3 = log c
log X3(3V – 2) (2V + 1) = log c
X3(3v – 2)2 (2V + 1) = c
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 10

ప్రశ్న 3.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{10 x+8 y-12}{7 x+5 y-9}\) = 0
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 11
h, k విలువలను 10h + 8k – 12 = 0
7h + 5k – 9 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 12
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 13
5V + 7 = A(V + 2) + B (V + 1)
V = -1 ⇒ 2 = A(-1 + 2) = A ⇒ A = 2
V = -2 = -3 = B(-2 + 1) = -B, B = 3
\(\int\left(\frac{2}{(V+1)}+\frac{3}{(V+2)}\right) d V\) = \(-5 \int \frac{d X}{X}\)
2 log(V + 1) + 3 log (V + 2) = -5 log x + c
c = 2log(V + 1) + 3 log(V + 2) + 5 log X
= log (V + 1)2. (V + 2)3. X5
log \(\left(\frac{Y}{X}+1\right)^2\) . \(\left(\frac{Y}{X}+2\right)^3\). X5
= log \(\frac{(Y+X)^2}{X^2} \frac{(Y+2 X)^3}{X^3}\) . X5
⇒ (Y + X)2 . (Y + 2X)3 = ec = c1
(Y + 1 – X – 2)2 (Y + 1 – 2x – 4)3 = c
సాధన: (x + y – 1)2 (2x + y – 3)3 = c.

ప్రశ్న 4.
(x – y – 2) dx + (x – 2y – 3) dy = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-x+y+2}{x-2 y-3}\)
x = X + h, y = Y + k
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-(X+h)+(Y+k)+2}{(X+h)-2(Y+k)-3}\)
= \(\frac{-X-h+(-h+2 k+2)}{(X-2 Y)+(h-2 k-3)}\)
h, k విలువలు – h + k − 2 = 0
h – 2k – 3 = 0 అయ్యేవిధంగా ఎన్నుకొందాం.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 15
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 16
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 17
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 18
కావలసిన సాధన

ప్రశ్న 5.
(x – y) dy = (x + y + 1) dx
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+y+1}{x-y}\)
x = X +h, y = Y + k ⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{X+h+Y+k+1}{(X+h)-(Y+k)}\)
= \(\frac{(X+Y)+(h+k+1)}{(X-Y)+(h-k)}\)
h, k విలువ లను h + k + 1 = 0
h – k = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం
సాధించగా h = \(-\frac{1}{2}\), k = \(-\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{d y}{d X}\) = \(\frac{X+Y}{X-Y}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 23
tan-1 V – \(\frac{1}{2}\)log (1 + v2) = log x + log c
2 tan-1 V = log (1 + V2) + 2 log x + 2 log c = log c2x2 (1 + v2)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 24

ప్రశ్న 6.
(2x + 3y – 8) dx = (x + y – 3) dy
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+3 y-8}{x+y-3}\)
x = X + h, y = Y + k ⇒ \(\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{~d} X}\) = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{2(X+h)+3(Y+k)-8}{(X+h)+(Y+k)-3}\)
= \(\frac{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k-8)}{(X+Y)+(h+k-3)}\)
h, k విలువ లను 2h + 3k – 8 = 0
h + k – 3 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 19
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 20
(1 + V) = A(2 – 2V) + B అనుకొందాం
V గుణకాలు సమానం చేయగా
1 = – 2A ⇒ A = -1/2
స్థిర పదాలు సమానం చేయగా
1 = 2A + B
= -1 + B
B = 2
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 21
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 22
ఇక్కడ, X = x – 1, Y = y – 2

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d)

ప్రశ్న 7.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+2 y+3}{2 x+3 y+4}\)
సాధన:
x = X + h, y = Y + k అయితే \(\frac{d \mathrm{Y}}{\mathrm{dX}}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{(X+h)+2(Y+k)+3}{2(X+h)+3(Y+k)+4}\)
= \(\frac{(X+2 Y)+(h+2 k+3)}{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k+4)}\)
h, k విలువలకు h + 2k + 3 = 0
2h + 3k + 4 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 25
\(\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{dX}}\) = \(\frac{X+2 Y}{2 X+3 Y}\)
ఇది సమఘాత సమీకరణము
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 26
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 27
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 28

ప్రశ్న 8.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+9 y-20}{6 x+2 y-10}\)
సాధన:
దత్త సమీకరణము \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+9 y-20}{6 x+2 y-10}\)
x = X + h, y = Y + k ⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{\mathrm{dY}}{\mathrm{dX}}\) = \(\frac{2(X+h)+9(Y+k)-20}{6(X+h)+2(Y+k)-10}\)
= \(\frac{(2 X+9 Y)+(2 h+9 k-20)}{(6 X+2 Y)+(6 h+2 k-10)}\)
h, k విలువలను 2h + 6k – 20 = 0
6h + 2k – 10 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 29
ఇది సమఘాత సమీకరణము
y = VX ⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = V + X. \(\frac{d V}{d X}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 30
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Ex 8(d) 31
సాధన (X + 2Y) = (Y – 2X)2
ఇక్కడ X = x – 1, Y = y – 2
c(x – 1 + 2y – 4) = (y – 2 – 2x + 2)2
c(x + 2y – 5) = (y – 2x)2
= (2x – y)2

AP Inter 2nd Year Study Material Pdf | Intermediate 2nd Year Textbook Solutions

Telangana & Andhra Pradesh BIEAP TS AP Intermediate Inter 2nd Year Study Material Textbook Solutions Guide PDF Free Download, Sakshi Education Intermediate 2nd Study Material in English Medium and Telugu Medium are part of AP Intermediate Study Material. The curriculum has been designed in such a way, to help them learn the different subjects and concepts in an interesting and easy manner. These AP Intermediate 2nd Year Textbook Solutions will prove to be useful study tools during exam preparation.

The AP Inter 2nd Year Syllabus has also been created to address the most important learning needs of the students. That being said, BIEAP Inter 2nd Year students can actually succeed in academics by making use of AP Inter 2nd Year Study Material Pdf. As such, they can also make use of AP Intermediate 2nd Year Previous Year Question Papers, which will further enable them to understand the actual exam paper in a clear manner.

AP Intermediate 2nd Year Study Material Pdf Download | Sr Inter 2nd Year Textbook Solutions

Here is AP Intermediate 2nd Year Study Material to help students prepare and ace the AP Intermediate 2nd year exams.

AP Inter 2nd Year Study Material Pdf

AP Inter 2nd Year Important Questions

AP Inter 2nd Year Notes

We hope that these Telangana & Andhra Pradesh BIEAP TS AP Intermediate Inter 2nd Year Study Material Textbook Solutions Guide PDF Free Download in English Medium and Telugu Medium helps the student to come out successful with flying colors in this examination. This Sr Inter 2nd Year Study Material will help students to gain the right knowledge to tackle any type of questions that can be asked during the exams.