Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(e) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(e)
అభ్యాసం – 5(ఇ)
I.
ప్రశ్న 1.
nC4 = 210, అయితే n విలువ ఎంత?
సాధన:
సూచన: nCr = \(\frac{n !}{(n-r) ! r !}\) = \(\frac{n \cdot(n-1)(n-2) \ldots \ldots / n-(r-1)]}{1.2 .3 \ldots \ldots \ldots . .}\)
nC4 = 210
⇒ \(\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2 .3 .4}\) = 10 × 21
⇒ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) = 10 × 21 × 1 × 2 × 3 × 4
⇒ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) = 10 × 7 × 3 × 2 × 3 × 4
⇒ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) = 10 × 9 × 8 × 7
∴ n = 10
ప్రశ్న 2.
12Cr = 495, అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
సూచన: nCr = nCn-r
12Cr = 495
= 5 × 99
= 11 × 9 × 5
= \(\frac{12 \times 11 \times 9 \times 5 \times 2}{12 \times 2}\)
= \(\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{1.2 .3 .4}\)
= 12C4 లేదా 12C8
∴ r = 4 లేదా 8
ప్రశ్న 3.
10 . nC2 = 3 . n+1C3, అయితే n విలువ ఎంత?
సాధన:
10 . nC2 = 3 . n+1C3
⇒ 10 × \(\frac{n(n-1)}{1.2}=\frac{3(n+1) n(n-1)}{1.2 .3}\)
⇒ 10 = n + 1
⇒ n = 9
ప్రశ్న 4.
nPr = 5040, nCr = 210 అయితే n, r విలువలను కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
సూచన: nPr = r! nCr మరియు nPr = n(n – 1) (n – 2)…. [n – (r – 1)]
nPr = 5040, nCr = 210
r! = \(\frac{{ }^n P_r}{{ }^n C_r}=\frac{5040}{210}=\frac{504}{21}\) = 24 = 4!
∴ r = 4
nPr = 5040
nP4 = 5040
= 10 × 504
= 10 × 9 × 56
= 10 × 9 × 8 × 7
= 10P4
∴ n = 10
∴ n = 10, r = 4
ప్రశ్న 5.
nC4 = nC6, అయితే n ఎంత?
సాధన:
సూచన: nCr = nCs ⇒ r = s or r + s = n
nC4 = nC6
∴ n = 4 + 6 = 10
ప్రశ్న 6.
15C2r-1 = 15C2r+4 అయితే r విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14, ’05]
సాధన:
15C2r-1 = 15C2r+4
⇒ 2r – 1 = 2r + 4 లేదా (2r – 1) + (2r + 4) = 15
⇒ 4r + 3 = 15
⇒ 4r = 12
⇒ r = 3
∴ 2r – 1 = 2r + 4
⇒ -1 = 4 ఇది అసాధ్యం
∴ r = 3
ప్రశ్న 7.
17C2t+1 = 17C3t-5, అయితే t విలువ ఎంత?
సాధన:
17C2t+1 = 17C3t-5
⇒ 2t + 1 = 3t – 5 లేదా (2t + 1) + (3t – 5) = 17
⇒ 1 + 5 = t లేదా 5t = 21
⇒ t = 6 లేదా t = \(\frac{21}{5}\) ఇది పూర్ణాంకము కాదు
∴ t = 6
ప్రశ్న 8.
12Cr+1 = 12C3r-5, అయితే r విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16, Mar. ’08]
సాధన:
12Cr+1 = 12C3r-5
⇒ r + 1 = 3r – 5 లేదా (r + 1) + (3r – 5) = 12
⇒ 1 + 5 = 2r లేదా 4r – 4 = 12
⇒ 2r = 6 లేదా 4r = 16
⇒ r = 3 లేదా r = 4
∴ r = 3 లేదా 4
ప్రశ్న 9.
9C3 + 9C5 = 10Cr, అయితే r విలువ కనుక్కోండి?
సాధన:
సూచన: nCr = nCn-r
10Cr = 9C3 + 9C5
∴ nCr + nCr-1 = (n+1)Cr
9C6 + 9C5 = 10C6 లేదా 10C4
∴ r = 4 లేదా 6
ప్రశ్న 10.
ఆరుగురు పురుషులు ముగ్గురు స్త్రీల నుంచి అయిదుగురు సభ్యులున్న కమిటీలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన:
వ్యక్తుల సంఖ్య = 6 + 3 = 9
ఈ 9 మంది నుండి 5 గురు సభ్యులున్న కమిటీ ఏర్పరచే విధానాలు = 9C5
= 9C4
= \(\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3 \times 4}\)
= 126
ప్రశ్న 11.
పై ప్రశ్నలో కనీసం ఇద్దరు స్త్రీలు ఉండే కమిటీలు ఎన్ని?
సాధన:
కమిటీలో కనీసం ఇద్దరు స్త్రీలు ఉండేటట్లుగా కమిటీలను ఈక్రింది విధంగా ఎన్నుకోవచ్చు.
(i) ముగ్గురు పురుషులు, ఇద్దరు స్త్రీలు
ముగ్గురు పురుషులు, ఇద్దరు స్త్రీలను ఎన్నుకొనే విధానాల సంఖ్య = 6C3 × 3C2
= 20 × 3
= 60
(ii) ఇద్దరు పురుషులు, ముగ్గురు స్త్రీలు
ఇద్దరు పురుషులు, ముగ్గురు స్త్రీలను ఎన్నుకొనే విధానాల సంఖ్య = 6C2 × 3C2
= 15 × 1
= 15
∴ కనీసం ఇద్దరు స్త్రీలు ఉండేటట్లుగా కమిటీలను ఎన్ను కొనే విధానాల సంఖ్య = 60 + 15 = 75
ప్రశ్న 12.
nC5 = nC6, అయితే 13Cn విలువ ఎంత? [Mar. ’13]
సాధన:
nC5 = nC6
⇒ n = 6 + 5 = 11
13Cn = 13C11
= 13C2
= \(\frac{13 \times 12}{1 \times 2}\)
= 78
II.
ప్రశ్న 1.
3 ≤ r ≤ n కు (n-3)Cr + 3 (n-3)Cr-1 + 3 (n-3)Cr-2 + (n-3)Cr-3 = nCr అని నిరూపించండి.
సాధన:
ప్రశ్న 2.
10C5 + 2 . 10C4 + 10C3 విలువ ఎంత?
సాధన:
సూచన: nCr + nCr-1 = (n+1)Cr
10C5 + 2 . 10C4 + 10C3
ప్రశ్న 3.
సూక్ష్మీకరించండి 34C5 + \(\sum_{r=0}^4(38-r) C_4\)
సాధన:
ప్రశ్న 4.
ఒక తరగతిలో 30 మంది విద్యార్థులున్నారు. వారిలో ప్రతి విద్యార్థి మిగిలిన విద్యార్థులందరితో ఒక చదరంగం ఆటను ఆడితే మొత్తం ఎన్ని చదరంగం ఆటలు వారు ఆడినట్లు?
సాధన:
తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = 30
ప్రతి విద్యార్థి మిగిలిన విద్యార్థులందరితో ఒక్కో చదరంగం ఆటను ఆడతాడు.
కనుక మొత్తం చదరంగం ఆటల సంఖ్య = 30C2
= \(\frac{30 \times 29}{1 \times 2}\)
= 435
ప్రశ్న 5.
ఏడుగురు బాలికలు, ఆరుగురు బాలురు నుంచి ముగ్గురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలు ఉండే కమిటీలను ఎన్ని రకాలుగా ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన:
ఏడుగురు బాలికలు, ఆరుగురు బాలురు నుండి ముగ్గురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలు ఉండే కమిటీల సంఖ్య = 7C3 × 6C3
= 35 × 20
= 700
ప్రశ్న 6.
10 మంది వ్యక్తుల నుంచి నిర్దేశించిన ఒక వ్యక్తి ఉండేలా ఆరుగురు సభ్యుల కమిటీలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన:
నిర్దేశించిన వ్యక్తి కమిటీలో ఉండి, మిగిలిన 9 మంది నుండి 5 గురు వ్యక్తులను ఎన్నుకొనే విధాల సంఖ్య = 9C5
∴ 10 మంది వ్యక్తుల నుంచి నిర్దేశించిన వ్యక్తి ఉండేలా ఆరుగురు సభ్యుల కమిటీలు ఎన్నుకొనే విధాల సంఖ్య = 9C5
= \(\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5}\)
= 126
ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన 9 పుస్తకాల నుంచి నిర్దేశించిన ఒక పుస్తకం లేకుండా 5 పుస్తకాలను ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?
సాధన:
9 పుస్తకాలనుంచి నిర్దేశించిన ఒక పుస్తకం లేకుండా 5 పుస్తకాలు ఎన్నుకోవాలి. అంటే నిర్దేశించిన ఆ పుస్తకం తీసివేసి, మిగిలిన 8 పుస్తకాల నుండి 5 పుస్తకాలు ఎంచుకోవాలి. ఈ పనిని 8C5 విధాలుగా చేయవచ్చు.
కనుక కావలసిన సంయోగాల సంఖ్య = 8C5
= 8C3
= \(\frac{8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3}\)
= 56
ప్రశ్న 8.
EQUATION పదంలోని అక్షరాల నుంచి 3 అచ్చులు, 2 హల్లులు ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? [May ’11, Mar. ’07]
సాధన:
EQUATION అనే పదంలో {E, U, A, I, O} అను 5 అచ్చుల {Q, T, N} అను 3 హల్లులు కలవు.
అందులో 3 అచ్చులు, 2. హల్లులు ఎన్నుకొనే విధాలు = 5C3 × 3C2
= 10 × 3
= 30
ప్రశ్న 9.
12 భుజాలున్న ఒక బహుభుజి కర్ణాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట n = 12
n భుజాలున్న బహుభుజి కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{n(n-3)}{2}\)
= \(\frac{12 \times 9}{2}\)
= 54
ప్రశ్న 10.
ఒక వరుసలో ఉన్న n వ్యక్తుల నుంచి పక్క పక్కనే ఉన్న ఇద్దరు వ్యక్తులను ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?
సాధన:
ఒక వరుసలో ఉన్న n వ్యక్తుల నుంచి, పక్కపక్కనే ఉన్న ఇద్దరు వ్యక్తులను ఎంచుకొనే విధాల సంఖ్య = n – 1
ప్రశ్న 11.
4 సరూప నాణేలను 5 గురు బాలురకు ఎవరికైనా ఎన్నైనా ఇచ్చే పద్ధతిలో ఎన్ని రకాలుగా పంచవచ్చు?
సాధన:
4 సరూప నాణేలను ఈ క్రింది విభిన్న సమూహాలుగా విభజించవచ్చు.
(i) ఒక సమూహంలో 4 నాణేలు
(ii) రెండు సమూహాలలో వరుసగా 1, 3 నాణేలు
(iii) రెండు సమూహాలలో వరుసగా 2, 2 నాణేలు
(iv) రెండు సమూహాలలో వరుసగా 3, 1 నాణేలు
(v) మూడు సమూహాలలో వరుసగా 1, 1, 2 నాణేలు
(vi) మూడు సమూహాలలో వరుసగా 1, 2, 1 నాణేలు
(vii) మూడు సమూహాలలో వరుసగా 2, 1, 1 నాణేలు
(viii) నాలుగు సమూహాలలో వరుసగా 1, 1, 1, 1 నాణేలు
ఈ సమూహాలను 5 గురు బాలురకు పంచే విధాల సంఖ్య
= \({ }^5 C_1+2 \times{ }^5 C_2+{ }^5 C_2+{ }^5 C_3 \times \frac{3 !}{2 !}+{ }^5 C_4\)
= 5 + 20 + 10 + 30 + 5
= 70
III.
ప్రశ్న 1.
\(\frac{{ }^{4 n} C_{2 n}}{{ }^{2 n} C_n}=\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(4 n-1)}{\{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)\}^2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ప్రశ్న 2.
ఒక సమితి A లో 12 మూలకాలున్నాయి. ఆ సమితిలో
(i) 4 మూలకాలున్న ఉపసమితులెన్ని?
(ii) కనీసం 3 మూలకాలున్న ఉపసమితులెన్ని?
(iii) 3 లేదా అంతకంటే తక్కువ మూలకాలున్న ఉపసమితులెన్ని? [May ’07]
సాధన:
సమితి A లో వున్న మూలకాల సంఖ్య = 12
(i) 4 మూలకాలున్న ఉపసమితుల సంఖ్య = 12C4
= \(\frac{2 \times 11 \times 10 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4}\)
= 495
(ii) కనీసం 3 మూలకాలున్న ఉపసమితులు.
పై లెక్క ప్రకారం కనీసం రెండు మూలకాలున్న ఉపసమితులు = 12C0 + 12C1 + 12C2
= 1 + 12 + 66
= 79
A సమితికున్న మొత్తం ఉపసమితుల సంఖ్య = 212
∴ కనీసం 3 మూలకాలున్న ఉపసమితులు = 212 – (79)
= 4096 – 79
= 4017
(iii) 3 లేదా అంతకంటే తక్కువ మూలకాలున్న ఉప సమితులు సున్నా మూలకాలు
(i.e.,) మూలకాలు లేని ఉపసమితిల సంఖ్య = 12C0 = 1
ఒకే ఒక మూలకము వున్న ఉపసమితులు = 12C1 = 12
రెండు మూలకములు వున్న ఉపసమితులు = 12C2
= \(\frac{12 \times 11}{1 \times 2}\)
= 66
మూడు మూలకములు వున్న ఉపసమితులు = 12C3
= \(\frac{12 \times 11 \times 10}{1 \times 2 \times 3}\)
= 220
∴ కనీసం 3 మూలకాలున్న ఉపసమితులు = 1 + 12 + 66 + 220 = 299
ప్రశ్న 3.
ఏడుగురు బాట్స్మెన్, ఆరుగురు బౌలర్లు నుంచి కనీసం అయిదుగురు బౌలర్లు ఉన్న పదకొండు మంది క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన:
కనీసం 5 గురు బౌలర్లు ఉన్న పదకొండు మంది క్రికెట్ టీమును క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.
∴ కోరిన విధంగా క్రికెట్ టీముని ఎంచుకొనే విధానాలు = 42 + 21 = 63
ప్రశ్న 4.
5 అచ్చులు, 6 హల్లులు నుంచి 3 అచ్చులు, 3 హల్లులు ఉండేలా ఎన్ని 6 అక్షరాల పదాలు ఏర్పరచవచ్చు.
సాధన:
అచ్చుల సంఖ్య = 5
హల్లుల సంఖ్య = 6
5 అచ్చుల నుండి 3 అచ్చులు ఎన్నుకొనే విధానాల సంఖ్య = 5P3
6 హల్లులు నుండి 3 హల్లులు ఎన్నుకొనే విధానాల సంఖ్య = 6P3
ఈ 6 అక్షరాలను వాటిలో వాటిని మార్చి వ్రాయగల పదాల సంఖ్య 6!
∴ 6 అక్షరాల పదాలలో 3 అచ్చులు 3 హల్లులు ఉండేలా ఎన్నుకోగల పదాల సంఖ్య = 5C3 × 6C3 × 6!
ప్రశ్న 5.
ఒక రైలు మార్గంలో 8 స్టేషన్లు ఉన్నాయి. వీటిలో 3 స్టేషన్లలో రైలు ఆపాలి. ఆ మూడు స్టేషన్లలో ఏ రెండూ పక్కపక్కన లేకుండా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? [Mar. ’08]
సాధన:
మొదటి రైలు ఆగే స్టేషన్ ముందు గల స్టేషన్ల సంఖ్య x1 అనుకోండి. ఇట్లే మొదట, రెండు రైలు ఆగే మధ్య x2 స్టేషన్లు, రెండు, మూడు రైలు ఆగే స్టేషన్ల మధ్య x3, స్టేషన్లు మరియు మూడవసారి రైలు ఆగిన తరువాత x4 స్టేషన్లు ఉన్నాయి అనుకోండి.
అప్పుడు x1 ≥ 0, x2 ≥ 1, x3 ≥ 1, x4 ≥ 0 మరియు x1 + x2 + x3 + x4 = n – 3
ఈ సమీకరణానికి గల సాధనల సంఖ్య 6C3
∴ ఏ రెండు స్టేషన్లు పక్క పక్కన లేకుండా 8 స్టేషన్లలో 3 స్టేషన్లు ఎంచుకొనే విధానాలు = 6C3
= \(\frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3}\)
= 20
ప్రశ్న 6.
ఆరుగురు భారతీయులు, అయిదుగురు అమెరికా దేశస్థుల నుంచి అయిదుగురు సభ్యులున్న కమిటీని, ఆ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? [Mar. ’13, ’08]
సాధన:
కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేటట్లు కమిటీని ఎన్నుకొనే విధాలు ఈ క్రింద ఇవ్వబడినవి.
∴ కమిటీని కోరిన విధంగా ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య = 200 + 75 + 6 = 281
ప్రశ్న 7.
ఒక ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు భాగాలలో వరుసగా 3, 4, 5 ప్రశ్నలున్నాయి. ఒక్కో భాగం నుంచి కనీసం ఒక ప్రశ్న ఉండే విధంగా మొత్తం 6 ప్రశ్నలు ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు?
సాధన:
మొదటి పద్దతి
ఒక్కొక్క భాగం నుంచి ఒక ప్రశ్న ఉండే విధంగా 6 ప్రశ్నలు ఎన్నుకొనే విధాలు ఈ క్రింది ఇవ్వబడినవి.
రెండవ పద్ధతి
ఒక్కో భాగం నుంచి కనీసం ఒక ప్రశ్న ఉండే విధంగా మొత్తం 6 ప్రశ్నలు ఎంచుకొనే విధాలు = మొత్తం 12 ప్రశ్నల నుండి 6 ప్రశ్నలు ఎంచుకొనే విధాలు – C భాగం నుండి కాక మిగిలిన రెండు భాగాల నుండి 6 ప్రశ్నలు ఎన్నుకోవడం – B నుండి కాక మిగిలిన రెండు భాగాల నుండి 6 ప్రశ్నలు ఎన్నుకోవటం – A నుండి కాక మిగిలిన రెండు భాగాల నుండి 6 ప్రశ్నలు ఎన్నుకోవడం
= 12C6 – 7C6 – 8C6 – 9C6
= 805
ప్రశ్న 8.
12 విభిన్నమైన వస్తువులను ఎన్నిరకాలుగా
(i) 4 సమభాగాలుగా చేయవచ్చు
(ii) నలుగురు వ్యక్తులకు సమానంగా పంచవచ్చు?
సాధన:
(i) 12 విభిన్న వస్తువులను 4 సమభాగాలుగా విభజించే విధానాలు = \(\frac{(12) !}{(3)^4 4 !}\)
(ii) నలుగురు వ్యక్తులకు సమానంగా 12 విభిన్న వస్తువులు పంచే విధాల సంఖ్య = \(\frac{(12) !}{(3 !)^4}\)
ప్రశ్న 9.
ఒక తరగతిలో నలుగురు బాలురు, ఆ బాలికలున్నారు. ప్రతీ ఆదివారం వారిలో కనీసం ముగ్గురు బాలురు ఉండేలా 5 గురు ఉన్న సమూహం విహారయాత్రకు వెళ్తారు. ప్రతీ ఆదివారం వేర్వేరు సమూహాలు విహారయాత్రకు వెళ్తాయి. వారి తరగతి ఉపాధ్యాయిని విహార యాత్రకు వచ్చిన ప్రతీ అమ్మాయికి ప్రతిసారి ఒక్కో బొమ్మ ఇవ్వగా వచ్చే మొత్తం బొమ్మల సంఖ్య 85 ఐతే g విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
బాలుర సంఖ్య = 4
బాలికల సంఖ్య = g
కనీసం ముగ్గురు బాలురు ఉండేలా ఈ క్రింది పట్టికలో తెలిపిన విధంగా ఎన్నుకొనవచ్చును.
G1 లో బాలికల సంఖ్య = [4C3 × 9C2] × 2 ఎందువలననగా ప్రతిసారి ఇద్దరు బాలికలు ఉంటారు.
G2 లో బాలికల సంఖ్య = [4C3 × 9C2] × 1 ఎందువలననగా ప్రతిసారి ఒక బాలిక ఉంటుంది.
మొత్తం బాలికలకు ఇచ్చిన బొమ్మల సంఖ్య = 85
⇒ [4C3 × 9C2] × 2 + [4C3 × 9C2] × 1 = 85
⇒ 4 . \(\frac{g(g-1)}{2}\) × 2 + 1 . g . 1 = 85
⇒ 4g2 – 4g + g – 85 = 0
⇒ 4g2 – 3g – 85 = 0
⇒ 4g2 – 20g + 17g – 85 = 0
⇒ 4g(g – 5) + 17(g – 5) = 0
⇒ (g – 5) (4g + 17) = 0
g ≠ \(\frac{17}{5}\) కనుక
∴ g = 5
∴ బాలికల సంఖ్య = 5