Mahesh

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Intext Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటం నుండి A, B, C, D, E, F, G, H బిందువుల నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 159)

సాధన.
గుర్రం యొక్క స్థానం మూల బిందువుగా ఉందనుకోవాలి.
A (- 1, 2), B (1, 2), C (2, 1), D (2, – 1), E (1, – 2), F (- 1, – 2), G (- 2, – 1), H (- 2, 1).

ప్రశ్న 2.
8 కదలికల తర్వాత గుఱ్ఱం కదిలిన దూరం కనుగొనండి. అనగా మూలబిందువు (0, 0) నుండి A, B, C, D, E, F, G, H బిందువుల మధ్య దూరంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 159)
సాధన.
గుర్రం (0, 0) నుండి, A కి కదిలిన దూరం + B కి కదిలిన దూరం + ……… + H కి కదిలిన దూరం
= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
= 24 యూనిట్లు .

ప్రశ్న 3.
బిందువులు H మరియు C ల మధ్య దూరమెంత ? అలాగే బిందువులు A మరియు B ల మధ్య దూరమెంత? (పేజీ నెం. 159).
సాధన.
H మరియు C ల మధ్య దూరం = 4 యూనిట్లు
A మరియు B ల మధ్యదూరం = 2 యూనిట్లు

ప్రశ్న 4.
(- 4, 0), (2, 0), (6, 0), (-8, 0) బిందువులు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయి ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
ఇచ్చిన అన్ని బిందువులు X – అక్షంపై ఉంటాయి.

ప్రశ్న 5.
(- 4, 0), (6, 0) బిందువుల మధ్య దూరమెంత ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
(- 4, 0), 16, 0) బిందువులు X – అక్షంపై ఉంటాయి.
కావున వాని మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
= |6 – (- 4)| = |6 + 4| = 10 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 6.
కింది బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
(i) (3, 8), 16, 8)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
(∵ రెండు బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానం)
= | 6 -3 | = 3 యూనిట్లు..

(ii) (- 4, – 3), (- 8, – 3)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁| (∵ రెండు బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానం)
= | – 8 – (- 4) | = | – 8 + 4 |
= | – 4 | = 4 యూనిట్లు.

(iii) (3, 4), (3, 8)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁| (∵ రెండు బిందువులలో X నిరూపకాలు సమానం)
= | 8 – 4 | = 4 యూనిట్లు.

(iv) (- 5, – 8), (- 5, – 12)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁|
= |- 12 – (- 8)|
= |- 12 + 8| ( ∵ రెండు బిందువులలో X నిరూపకాలు సమానం)
= | – 4 | = 4 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
కింది బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
(i) A (2, 0) మరియు B (0, 4)
సాధన.
A (2, 0) X – అక్షంపైన,
B (0, 4) Y – అక్షం పైన ఉంటాయి.

∆AOB లంబకోణ త్రిభుజము
OA = 2; OB = 4
AB² = OA² + OB²
AB² = (2)² + (4)²
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5
గమనిక : (x₁, 0), (0, y₁) బిందువుల మధ్య దూరం = √(x₁² + y₁²).

(ii) P(0, 5) మరియు Q (12, 0)
సాధన.
P (0, 5) మరియు Q (12, 0) .
P, Q ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}\)
= \(\sqrt{144+25}=\sqrt{169}\) = 13
P, Q ల మధ్య దూరం = 13 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 8.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
(i) (7, 8) మరియు ( – 2, 3)
సాధన.
A (7, 8) మరియు B (- 2, 3)
A, B ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-2-7)^{2}+(3-8)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-9)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{81+25}=\sqrt{106}\)

(ii) (- 8, 6) మరియు (2,0)
సాధన.
A (- 8, 6) మరియు B (2, 0)
X = – 8, x, = 2, y = 6, y) = 0
A, B ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2-(-8))^{2}+(0-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{10^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{100+36}\)
= √136.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
(0, – 3), (0, – 8), (0, 6), (0, 4) బిందువులు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయి ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
అన్ని బిందువులు Y – అక్షంపై ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
(0, – 3) మరియు (0, – 8) బిందువుల మధ్య దూరమెంత ? అలాగే Y – అక్షంపై ఉన్న బిందువుల మధ్యదూరం | y₂ – y₁| అవుతుందని చెప్పగలవా ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
(0, – 3), (0, – 8) లు Y – అక్షంపై గల బిందువులు.
వీని మధ్యదూరం= |y₂ – y₁|
= |- 8 – (- 3)| = |- 8 + 3| = |- 5 | యూనిట్లు
Y – అక్షంపై గల బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁| అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
మూలబిందువు ‘0’ మరియు బిందువు A (7, 4) ల మధ్యదూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
సాధన.

పై పటం నుండి AB = 4 యూనిట్లు, OB = 7 యూనిట్లు
∆ABO లంబకోణ త్రిభుజము
OA² = OB² + BA²
= 7² + 4² = 49 + 16
OA² = 65
OA = √65 యూనిట్లు.

గమనిక :
మూలబిందువు (0, 0) నుండి (x₁, y₁) బిందువుకు గల దూరము \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\).
మూలబిందువు నుండి A (7, 4) కు గల దూరం = \(\sqrt{7^{2}+4^{2}}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
ఒక రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క తొలి, చివరి బిందువులు A(1, – 3) మరియు B(- 4, 4) అయిన AB మధ్య దూరాన్ని దగ్గరి దశాంశాలకు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
A (1, – 3) మరియు B (- 4, 4) ..
x₁ = 1, x₂ = – 4, y₁ = – 3, y₂ = 4
AB ల మధ్య దూరం, d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-4-1)^{2}+(4-(-3))^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5)^{2}+(7)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\)
AB ల మధ్య దూరం = 8.602

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
రెండు బిందువులలోని X లేదా 5 నిరూపకాలు సమానంగా (0 కాకుండా) ఉంటే వాటి మధ్యదూరం ఎలా కనుగొంటావు ? (పేజీ నెం, 161)
సాధన.
సందర్భం – 1:
రెండు బిందువులలోని x నిరూపకాలు సమానంగా ఉంటే ఆ రెండు బిందువులు Y- అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖపై ఉంటాయి.
కావున రెండు బిందువులలోని y నిరూపకాల భేదం |Y₂ – Y₁| ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరం అవుతుంది.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁|

సందర్భం – 2:
రెండు బిందువులలోని y నిరూపకాలు సమానం అయితే ఆ బిందువులు X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖపై ఉంటాయి. కావున ఈ రెండు బిందువులలోని X నిరూపకాల భేదం |x₂ – x₁| ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరం అవుతుంది.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|

ప్రశ్న 2.
రెండు బింధువులు నిరూపకతలంలోని వేర్వేరు పాదాలలో ఉంటే వాటి మధ్య దూరం ఎలా కనుగొంటారు? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
A, B అనే రెండు బిందువులు వేర్వేరు తలాలలో ఉంటే A, Bల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి, A, B బిందువుల గుండా అక్షాలకు లంబ రేఖలను గీచి, \(\overline{\mathrm{AB}}\) కర్ణంగా గల లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచాలి. అలా ఏర్పడిన లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం పొడవును పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి కనుగొంటాము. ఈ పొడవే A, B ల మధ్య దూరం అవుతుంది.
ఉదాహరణకు A(3, 4), B(- 2, – 5) లు వరుసగా 1వ, 3వ పాదాలలో కలవు. వీని మధ్యదూరం కనుగొందాము.
సాధన.
A (3, 2) గుండా Y – అక్షానికి లంబం AP, B (- 2, – 5) గుండా X – అక్షానికి లంబం BQ లను గీయాలి. వీటి ఖండన బిందువు C అవుతుంది.
ఇప్పుడు AC = 5 యూనిట్లు
BC = 7 యూనిట్లు .
లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABCలో AB² = AC² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
= 5² + 7²

AB² = 25 + 49 = 74
AB = √74 యూనిట్లు

గమనిక : A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) బిందువుల మధ్యదూరం సూత్రం రాబట్టిన తర్వాత అయితే రెండు బిందువుల మధ్య దూరం సూత్రం
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) ను ఉపయోగించి ఒకే తలంలో గల ఏ రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్నైనా కనుగొనవచ్చును.

ప్రశ్న 3.
రాము, బిందువు P(x, y) మరియు మూలబిందువు O(0, 0)ల మధ్య దూరం \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) అని తెలిపెను. నీవు రాము తెలిపిన దానితో ఏకీభవిస్తున్నావా? లేదా? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
రాముతో ఏకీభవిస్తాను.
O(0, 0), P(x, y) ల మధ్య దూరం d = \(\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

ఈ విలువ రాము సమాధానంతో సరిపోతున్నది. కావున రాముతో ఏకీభవిస్తున్నాను.
(లేదా)

పై పటం నుండి, ∆PQO లంబకోణ త్రిభుజము.
PQ = y, QQ = x
OP² = OQ² + QP²
= x² + y²
OP = √(x² + y²⁾
ఈ విలువ, రాము సమాధానము ఒకటే. కావున ‘ రాము సమాధానంతో ఏకీభవిస్తాను.

ప్రశ్న 4.
రాము రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని ఈ విధంగా రాశాడు. AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) కు సమానం.
A, B బిందువుల మధ్య దూరాన్ని AB గా రాస్తాము.
కావున AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) అని రాశాడు.

ప్రశ్న 5.
శ్రీధర్ రెండు బిందువులు T (5, 2) మరియు R (- 4, – 1) ల మధ్య దూరం 9.5 యూనిట్లుగా లెక్కించాడు. ఇపుడు మీరు రెండు బిందువులు P (4, 1) మరియు Q (-5, – 2) ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి. మీరు కూడా శ్రీధర్ పొందిన సమాధానాన్నే పొందారా ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
P(4, 1), Q (- 5, – 2) బిందువుల మధ్య దూరం
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం PQ = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5-4)^{2}+(-2-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-9)^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{81+9}=\sqrt{90}\)
= 3√10 = 3√2 × √5
= 3 × 1.414 × 2.236 [∵ √2 = 1.413, √5 = 2.236]
PQ = 9.4851 = 9.5
PQ = 9.4851ను ఒక దశాంశానికి సవరించినపుడు మనం కూడా శ్రీధర్ పొందిన సమాధానాన్నే పొందుతున్నాము.
T (5, 2), R (- 4, – 1) బిందువులలోని x, y నిరూపకాల యొక్క గుర్తులను మార్చగా P (4, 1) మరియు Q (- 5, – 2) వస్తున్నాయి.
కాబట్టి TR = PQ అవుతుంది.

గమనిక :
P (x₁, y₁), Q (x₂, y₂) మరియు R(- x₁, – y₁), S (- x₂, – y₂) అయిన PQ = RS అగును.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (3, 5) మరియు (8, 10) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2:3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (3, 5), (8, 10) లను 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు P (x, y) అనుకుందాం.
విభజించే సూత్రం – P(x, y) = \(=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2(8)+3(3)}{2+3}, \frac{2(10)+1(5)}{2+3}\right)\)

= \(\left(\frac{16+9}{5}, \frac{20+5}{5}\right)\)

= (\(\frac{25}{5}\), \(\frac{25}{5}\)) = (5, 5)
∴ కావలసిన బిందువు P(x, y) = (5, 5)

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (2, 7) మరియు (12, -7) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
(2, 7), (12, – 7) బిందువుల మధ్య బిందువు M (x, y) అనుకొనుము.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువులతో ఏర్పడు రేఖ యొక్క మధ్యబిందువు నిరూపకాలు M(x,y) అనుకొనుము.
M(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2+12}{2}, \frac{7+(-7)}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{14}{2}, \frac{0}{2}\right)\) = (7, 0)
కావలసిన బిందువు M(x, y) = (7,0) .

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (- 4, 6), (2, -2 ) మరియు (2, 5)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
గురుత్వ కేంద్ర నిరూపకాలు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-4+2+2}{3}, \frac{6+(-2)+5}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{11-2}{3}\right)\)
= (0, \(\frac{9}{3}\)) = (0, 3)
∴ గురుత్వ కేంద్రం (0, 3)

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (2, – 6) మరియు ( 4, 8) లను కలుపు రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (2, – 6), B (- 4, 8).
A(2, – 6), B(- 4, 8) లను కలుపు రేఖాఖండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P, Q అనుకుందాం.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని P 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-4)+2(2)}{1+2}, \frac{1(8)+2(-6)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{8-12}{3}\right)=\left(\frac{0}{3}, \frac{-4}{3}\right)\)

= (1-4+2[2] 18 +2-))
∴ P = (0, \(\frac{-4}{3}\))
ఇపుడు \(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
Q (x, y) = \(\left(\frac{2(-4)+1(2)}{2+1}, \frac{2(8)+1(-6)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-8+2}{3}, \frac{16-6}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-6}{3}, \frac{10}{3}\right)=\left(-2, \frac{10}{3}\right)\)
∴ Q = (- 2, \(\frac{10}{3}\)) కావున (2, – 6) మరియు (- 4, 8) లను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (0, \(-\frac{4}{3}\)) మరియు (- 2, \(\frac{10}{3}\)).

సరిచూచుకోవడం :
(i) \(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P, Q అయిన A, Bల మధ్యబిందువు, P, Qల మధ్యబిందువు ఒకటే అవుతుంది.
A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2+(-4)}{2}, \frac{-6+8}{2}\right)=\left(\frac{-2}{2}, \frac{2}{2}\right)\) = (-1.1)

P, Qల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+(-2)}{2}, \frac{\frac{-4}{3}+\frac{10}{3}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{2}, \frac{\frac{6}{3}}{2}\right)=\left(-1, \frac{2}{2}\right)\) = (- 1, 1)

(ii) AP, PQ, QB పొడవులను కనుగొని కూడా సరిచూచుకోవచ్చును.
AP = PQ = QB అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (- 3, – 5), (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
బిందువులు A (- 3, – 5), B (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు P, Q అనుకొంటే \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను P 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-6)+2(-3)}{1+2}, \frac{1(-8)+2(-5)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-6-6}{3}, \frac{-8-10}{3}\right)=\left(\frac{-12}{3}, \frac{-18}{3}\right)\)

= (- 4, – 6)
∴ P = (- 4, – 6)
ఇప్పుడు \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
Q(x, y) = \(\left(\frac{2(-6)+1(-3)}{2+1}, \frac{2(-8)+1(-5)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-12-3}{3}, \frac{-16-5}{3}\right)=\left(\frac{-15}{3}, \frac{-21}{3}\right)\)
= (- 5 – 7)
Q = (- 5, – 7)
కావున బిందువులు (- 3, – 5), (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (- 4, – 6) మరియు Q (- 5, – 7)

సరిచూచుకొనుట :
A, B మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{(-3)+(-6)}{2}, \frac{(-5)+(-8)}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{-9}{2}, \frac{-13}{2}\right)\)

P, Q మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{(-4)+(-5)}{2}, \frac{(-6)+(-7)}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{-9}{2}, \frac{-13}{2}\right)\)

కృత్యము:

బిందువులు A(4, 2), B(6, 5) మరియు C(1, 4) లు ∆ABC యొక్క శీర్షాలు.

ప్రశ్న 1.
A నుండి BC పైకి గీసిన మధ్యగతరేఖ D వద్ద కలుస్తుంది. అయిన D బిందువు నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
B (6, 5) మరియు C(1, 4) ల మధ్యబిందువు
D(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

ప్రశ్న 2.
AP : PD = 2 : 1 అయ్యే విధంగా AD రేఖపై P బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
A(4, 2), D\(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో -విభజించే బిందువు
∴ P = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+1(2)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}\right)\)

⇒ P = \(\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\)

ప్రశ్న 3.
BE రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువును మరియు CF రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
A(4, 2), C (1, 4) ల మధ్య బిందువు E = \(\left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, 3\right)\)

A(4, 2), B (6, 5) ల మధ్య బిందువు F = \(\left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(5, \frac{7}{2}\right)\)

(i) B(6, 5), E(\(\frac{5}{2}\). 3) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)+1(6)}{2+1}, \frac{2(3)+1(5)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right)\)

⇒ Q = \(\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\)

(ii) C(1, 4), F(5,7) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
R = \(\left(\frac{2(5)+1(1)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}\right)\)
= \(\left(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right)\)
⇒ R = (11 11)

ప్రశ్న 4.
మీరేమి గమనించారు ? “ఒక త్రిభుజంలోని ప్రతి మధ్యగతరేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు ఆ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వకేంద్రం అవుతుంది”. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
మధ్యగతాలను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువులు P, Q, Rలు ఏకీభవిస్తున్నాయి. మధ్యగతరేఖల మిళిత బిందువును గురుత్వ కేంద్రము అంటామని మనకు తెలుసు. P, Q, R లు ఈ గురుత్వ కేంద్రంతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

“అనగా “ఒక. త్రిభుజంలోని ప్రతి మధ్యగత రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు ఆ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రము అవుతుంది”.

ప్రయత్నించండి:

బిందువులు (2, 3), (x, y), (3, -2 ) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం మూలబిందువు అయిన (x, y) లను కనుగొనండి.(పేజీ నెం. 173)
సాధన.
ఇచ్చినది (2, 3), (x, y), (3, -2) లు త్రిభుజ శీర్షాలు గురుత్వ కేంద్రం = (0,0)
అనగా
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) = (0, 0)

\(\left(\frac{2+x+3}{3}, \frac{3+y+(-2)}{3}\right)\) = (0, 0)

\(\left(\frac{5+x}{3}, \frac{y+1}{3}\right)\) = 0
⇒ 5 + x = 0
⇒ x = – 5
⇒ y + 1 = 0
⇒ y = – 1
∴ (x, y) = (- 5, – 1).

అలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

బిందువులు A(6, 9) మరియు B(- 6, – 9) లను కలుపు రేఖాఖందమును. (పేజీ నెం. 174)

(a) మూలబిందువు ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ? ఆ రేఖా ఖండమునకు మూలబిందువును ఏమంటారు ?
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు : A (6, 9), B (- 6, – 9) లను మూలబిందువు m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభిజిస్తుందని అనుకొందాం.

(0, 0) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-6)+\mathrm{m}_{2}(6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-9)+\mathrm{m}_{2}(9)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(0, 0) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = 0
– 6m₁ + 6m₂ = 0
– 6m₁ = – 6m₂
⇒ 6m₁ = 6m₂

⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{6}{6}=\frac{1}{1}\)
m₁ : m₂ = 1 : 1
∴ కావలసిన నిష్పత్తి = 1 : 1.
A, B బిందువులను మూలబిందువు 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
కావున మూలబిందువును AB రేఖాఖండానికి మధ్యబిందువు అంటారు.

(b) బిందువు P(2, 3) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ?
సాధన.
A (6, 9), B (- 6, – 9) ను P (2, 3) m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం. 1) 1 ( m (-6) + ma(6) ma (-9) + ma(9)]
(2, 3) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-6)+\mathrm{m}_{2}(6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-9)+\mathrm{m}_{2}(9)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(2, 3) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ 2 = \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)
⇒ 2m₁ + 2m₂ = – 6m₁ + 6m₂
⇒ 8m₁ = 4m₂
\(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
m₁ : m₂ = 1 : 2

(c) బిందువు Q(- 2, – 3) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ?
సాధన.
A (6, 9), B (- 6, – 9) లను Q (- 2, – 3) విభజించే నిష్పత్తి m₁ : m₂ అనుకొనుము.
(- 2, – 3) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ – 2 = \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)
⇒ – 2m₁ – 2m₂ = – 6m₁ + 6m₂
4m₁ = 8m₂
\(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}\)
∴ m₁ : m₂ = 2 : 1

(d) బిందువులు P, Qలు AB ని ఎన్ని సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి ?
సాధన.

బిందువులు P, Q \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని 3 సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి.

(e) P, Q లను ఏమంటారు ?
సాధన.
P, Q లను AB యొక్క సమత్రిఖండన బిందువులని అంటారు. ఈ సమత్రిఖండన బిందువులను త్రిథాకరణ బిందువులని పిలుస్తాము.

ఇవి చేయండి:

కింద ఇవ్వబడిన శీర్షాలు గల త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 180)
ప్రశ్న 1.
(5, 2) (3, – 5) మరియు (- 5, -1 )
సాధన.
బిందువులు: (5, 2), (3, – 5), మరియు (- 5, – 1) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం ∆ = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(- 5 – (- 1) + 3((- 1) – 2) + (- 5) (2 – (- 5))|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5 + 1) + 3(- 3) + – 5(2 + 5)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 20 – 9 – 35|
= \(\frac{1}{2}\) |- 64|
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.

ప్రశ్న 2.
(6, – 6), (3, – 7) మరియు (3, 3) (పేజీ నెం. 180)
సాధన.
(6, – 6), (3, – 7) మరియు (3, 3) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |6(- 7 – 3) +3(3 – (- 6)) + 3(- 6 – (- 7))|
= \(\frac{1}{2}\) | 6(- 10) + 3(9) + 3(1)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 60 + 27 + 3|
= \(\frac{1}{2}\) |- 30|
= \(\frac{1}{2}\) × 30 = 15 చ.యూ.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయా? కావా ? సరి చూడండి. (పేజీ నెం. 182)
(i) (1, – 1), (4, 1), (- 2, – 3)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు = (1, – 1), (4, 1), (- 2, – 3) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |1[1 – (- 3)] + 4[- 3 – (- 1) + (- 2)[- 1 – 1]|
= \(\frac{1}{2}\) |1(4) + 4 (- 2) – 2 (- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |4 – 8 + 4|
= \(\frac{1}{2}\) |0| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము సున్న ‘0’ కావున ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు.

(ii) (1, -1), (2, 3), (2, 0)
సాధన.
(1, – 1), (2, 3), (2, 0) బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) | 1(3 – 0) + 2[0 – (- 1)] +2(- 1 – 3)|
= \(\frac{1}{2}\) |3 + 2 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |5 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |- 3|
= \(\frac{1}{2}\) × 3
= \(\frac{3}{2}\) చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము \(\frac{3}{2}\) చ.యూ. కావున ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు.

(iii) (1, – 6), (3, – 4), (4, – 3)
సాధన.
(1, – 6), (3, – 4), (4, – 3) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |1[- 4 – (- 3)] + 3[- 3 – (- 6)] + [- 6 – (- 4)]|
= \(\frac{1}{2}\) |1[- 4 + 3] + 3[- 3 + 6] + 4(- 6 – 4)|
= \(\frac{1}{2}\) |1 (- 1) + 3 (3) + 4 (- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 1 + 9 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |9 – 9| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము సున్న’ ‘0’ కావున ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 4.
15 మీ, 17 మీ, 21 మీ భుజాలుగా గల త్రిభుజం వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం ద్వారా) కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 189)
సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజ భుజాలు
a = 15 మీ b = 17 మీ. మరియు c = 21 మీ.
∴ s =\(\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+17+21}{2}=\frac{53}{2}\)

s – a = \(\frac{53}{2}\) – 15 = \(\frac{53-30}{2}=\frac{23}{2}\)

s- b = \(\frac{53}{3}\) – 17 = \(\frac{53-34}{2}=\frac{19}{2}\)

s – c = \(\frac{53}{3}\) – 21 = \(\frac{53-42}{2}=\frac{11}{2}\)

త్రిభుజ వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం) A = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\)
∴ A = \(\sqrt{\frac{53}{2}\left(\frac{23}{2}\right)\left(\frac{19}{2}\right)\left(\frac{11}{2}\right)}\)
A = \(\sqrt{\frac{53 \times 23 \times 19 \times 11}{16}}\)
A = \(\frac{1}{4} \sqrt{254771}\) చ.మీటర్లు.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (0, 0), (4, 0) మరియు (4, 3) లతో ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను హెరాన్ సూత్రం ద్వారా కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
A (0, 0), B (4, 0), C(4, 3)
a = BC = |y₂ – y₁| = |3 – 0| = 3 యూనిట్లు

b = AC = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}\)
= √25 = 5 యూనిట్లు

C = AB = |x₂ – x₁| = |4| = 4 యూ.
S = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}\) = 6
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం)
A = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{6(6-3)(6-5)(6-4)}\)
= \(\sqrt{6 \times 3 \times 1 \times 2}=\sqrt{36}\) = 6 చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 6 చ. యూనిట్లు.

సరిచూచుకొవడం :
3, 4, 5 భుజాలుగా గల త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
∴ లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 చ. యూనిట్లు.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఏదేని ఒక బిందువు Aను X-అక్షంపై, మరొక బిందువు Bను Y- అక్షంపై తీసుకొని AOB త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి. మీ మిత్రులు చేసిన వాటిని గమనించండి. మీరేం గమనించారు ? (పేజీ నెం. 178)
సాధన.

A(- 6, 0), B(0, 5) బిందువులు తీసుకొందాం.
∆AOB ఒక లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
∆AOB యొక్క భూమి OA = 6 యూనిట్లు
ఎత్తు OA = 5 యూనిట్లు
∆AOB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 5 = 15 చ.యూ.

గమనించిన అంశాలు :
(i) X – అక్షంపై ఒక బిందువు, Y – అక్షంపై మరొకmబిందువు గల త్రిభుజం లంబకోణ – త్రిభుజం అవుతుంది.
(ii) బిందువులలోని x, y నిరూపకాలు ఒకటి భూమి, మరొకటి ఎత్తు అవుతుంది.
(iii) ఏర్పడు త్రిభుజం’ యొక్క వైశాల్యము x, y ల లబ్దంలో సగం ఉంటుంది.
(x₁ , 0) మరియు (0, y₁) మరియు నిరూపక అక్షాలతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
A = \(\frac{1}{2}\) |x₁ y₁| చ.యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (0, – 1), (2, 1) (0, 3) మరియు (- 2, 1) లు శీర్షాలుగా గల చతురస్రము యొక్క వైశాల్యము కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.

ABCD చతురస్రాన్ని కర్ణం AC, ∆ABC మరియు ∆ADC అనే త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
∴ ∆ABCవైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 (1 – 3) + 2 [3 – (- 1)] + 0(- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 8 + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |8| = 4 చ. యూనిట్లు,
∴ ∆ABC వైశాల్యం = 4 చ. యూనిట్లు.
∆ADC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) + (- 2) [ 3 – (- 1)] +0 (- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) × 8 = 4 చ.యూ.
∆ADC వైశాల్యం = 4 చ.యూ.
చతురస్రం ABCD వైశాల్యం = 2 ∆ABC వైశాల్యం + ∆ADC వైశాల్యం
= 4 + 4 = 8 చ. యూనిట్లు

రెండవ పద్ధతి :
ABCD చతురస్రాన్ని కర్ణం AC రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ADCలుగా విభజిస్తుంది.

∆ABC వైశాల్యం = ∆ADC వైశాల్యం
చతురస్రం ABCD వైశాల్యం = 2 × ∆ABC వైశాల్యం
= 2 × \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) +2[3 – (- 1)] + 0(- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 2 (4) + 0|
= | 8| = 8 చ. యూనిట్లు
∴ ABCD చతుర్భుజ వైశాల్యం = 8 చ. యూనిట్లు

మూడవ పద్ధతి :
చతురస్రం ABCD యొక్క ఒక భుజం AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2-0)^{2}+\left[(1-(-1))^{2}\right]}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}\)
భుజం AB = √8 యూనిట్లు.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= √ 8 × √8 = 8 చ.యూనిట్లు.

నాలుగవ పద్ధతి :
కర్ణం AC పొడవు d = |y₂ – y₁|
= |3 – (- 1)| = |4| = 4 యూ.
చతురస్ర వైశాల్యం A = \(\frac{\mathrm{d}^{2}}{2}=\frac{4^{2}}{2}\)
= \(\frac{16}{2}\) = 8 చ.యూనిట్లు.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
బిందువులు A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) నిరూపకతలంపై ఉన్నవనుకొనుము. అయిన కింది త్రిభుజాల యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. మరియు వాటి వైశాల్యముల గురించి గ్రూపులలో మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 178)

సాధన.
(i) 1వ పటం నుండి : –

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) = (0, 0)
ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము,
∴ ∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) BC × AB
= \(\frac{1}{2}\) |x₂ (y₁ – y₂) | చ.యూ.
గమనిక : వైశాల్యము ధనాత్మకము కావున పరమ మూల్యం | | ను తీసుకొంటాము. ..

(ii) 2వ పటం నుండి :

భూమి BC = ya
ఎత్తు AB = x₁ – x₂
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) BC × AB
= \(\frac{1}{2}\) |y₂ (x₂ – x₁)| చ.యూ.

(iii) 3వ పటం నుండి :

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) AB × BC
= \(\frac{1}{2}\) |(x₂ – x₁) (y₂ – y₃) చ.యూ.

(iv) 4 వ పటం నుండి :

∴ ∆ABC వైశాల్యం – – BC X AB
= \(\frac{1}{2}\) |(x₂ – x₃) (y₁ – y₂)|

గమనిక :
X, Y అక్షాలకు సమాంతరంగా భుజాలు గల త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము X నిరూపకాల భేదం మరియు y నిరూపకాల భేదాల లబ్దానికి సమానము. మరియు ఏర్పడే త్రిభుజము ‘ లంబకోణ త్రిభుజము అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
కింది. బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
(i) (2, 0), (1, 2), (1, 6)
(ii) (3, 1), (5, 0), (1, 2)
(iii) (- 1.5, 3), (6, 2), (- 3, 4)
(a) మీరేం గమనించారు ?
(b) ఈ బిందువులను మూడు వేర్వేరు గ్రాఫులలో గుర్తించండి. మీరేం గమనించారు ? మీ మిత్రునితో చర్చించండి.
(c) వైశాల్యం ‘0’ (సున్నా) చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజమును గీయగలమా ? మరి దీని అర్థమేమిటి ?
(i) (2, 0), (1, 2), (1, 6)
సాధన.
మూడవ బిందువు (- 1, 6) గా తీసుకొందాం.
(2, 0), (1, 2), (-1, 6) బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం A = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃3) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |2(2 – 6) + 1(6 – 0) + (- 1)(0 – 2)|
= \(\frac{1}{2}\) (2(- 4) + 6 – 1(- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 8 + 6 + 2|
= \(\frac{1}{2}\) |0| = 0.
త్రిభుజ వైశాల్యం = 0 చ. యూనిట్లు.

(ii) (3, 1), (5, 0), (1, 2)
సాధన.
∆ = \(\frac{1}{2}\) |3(0 – 2) + 5(2 – 1) + 1(1 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 6 + 5 + 1| = 0
త్రిభుజ వైశాల్యం = 0 చ. యూనిట్లు.

(iii) (- 1.5, 3), (6, 2), (- 3, 4)
సాధన.
రెండవ బిందువు (6, – 2) గా తీసుకొందాం.
(- 1.5, 3), (6, – 2) మరియు (- 3, 4)
బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం, = \(\frac{1}{2}\) |(- 1.5) [- 2 – 4] + 6 (4 – 3) + (- 3) [3 – (- 2)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 1.5) (- 6) + 6 (1) – 3 (5)|
= \(\frac{1}{2}\) |9 + 6 – 15|
= \(\frac{1}{2}\) |15 – 15| = \(\frac{1}{2}\) |0| = 0

(a) పై మూడు సందర్భాలలోనూ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము శూన్యము అనగా ఇచ్చిన బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం ఏర్పడదు అని తెలుస్తున్నది. కావున మూడు సందర్భాలలోను ఇచ్చిన మూడు బిందువులు ఒకే రేఖపై ఉంటాయి. అనగా ఆ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి. కాబట్టి వైశాల్యము ‘0’ (సున్నా) చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజాన్ని గీయలేము. త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం = 0 చ. యూనిట్లు.
∆ ABC వైశాల్యం సున్న ⇒ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

(b) ఈ బిందువులను మూడు వేర్వేరు గ్రాఫులలో గుర్తించండి. మీరేం గమనించారు? మీ మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.
(2, 0), (1, 2), (- 1, 6), (3, 1), (5, 0), (1, 2), (- 1.5, 3), (6, – 2), (- 3, 4) లను గ్రాఫ్ పై గుర్తించుట.

కావున ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు.

(c) వైశాల్యం )(సున్నా). చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజమును గీయగలమా ? మరి దీని అర్థమేమిటి ? (పేజీ నెం. 181)
సాధన.
వైశాల్యం 0 చ.యూ, గల త్రిభుజాన్ని నిర్మించలేము. దీని అర్థం ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు అనగా ఒకే సరళరేఖ పై గల బిందువులు

ఇవి చేయండి:

కిందనీయబడిన బిందువులను నిరూపకతలంపై గుర్తించి వాటిని కలుపుము.
(పేజీ నెం. 185)
(i) A(1, 2), B(- 3, 4) మరియు C(7,- 1)
(ii) P(3, – 5), Q(5, – 1), R(2, 1) మరియు S(1, 2) ఇందులో ఏది సరళరేఖను సూచిస్తుంది ? ఏది సూచించదు ? ఎందుకు?
సాధన.

(i) వ సమస్యలోని బిందువులు A, B, C లు – శేఖను సూచిస్తాయి.
(ii) వ సమస్యలోని బిందువులు P, Q, R, S లు సరళరేఖను సూచించవు.
ఎందుకనగా A, B, C లు సరేఖీయ బిందువులు. కాబట్టి ఒకే సరళరేఖపై ఉంటాయి. P, Q, R, S లు సరేఖీయాలు కావు. కావున ఒకే సరళరేఖపై ఉండవు.

కింది బిందువులతో ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
(i) A(4, -6) మరియు B (7, 2)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m =\(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{2-(-6)}{7-4}\)

= \(\frac{2+6}{3}\) = \(\frac{8}{3}\).

(ii) A(8, – 4) మరియు B (-4, 8)
సాధన.
AB వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{8-(-6)}{-4-8}\)

= \(\frac{12}{-12}\) = – 1

(iii) A(- 2, – 5) మరియు B(1, – 7) .
సాధన.
AB వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{-7-(-5)}{1-(-2)}=\frac{-7+5}{1+2}=\frac{-2}{3}\)

ప్రయత్నించండి:

కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖపై ఉన్నవి. \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ వాలు. కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
ప్రశ్న 1.
A(2, 1) మరియు B(2, 6)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{6-1}{2-2}=\frac{6}{0}\) నిర్వచించబడదు.

ప్రశ్న 2.
A(- 4, 2) మరియు B (- 4, – 2)
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
= \(\frac{-2-2}{-4-(-4)}\)
= \(\frac{-4}{-4+4}=\frac{4}{0}\) నిర్వచించబడదు.

ప్రశ్న 3.
A(- 2, 8) మరియు B (- 2, – 2)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(=\frac{-2-8}{-2+2}\)

= \(\frac{-10}{0}\) నిర్వచించబడదు.

∴ వాలు నిర్వచింపబడదు.

ప్రశ్న 4.
“ఇచ్చిన బిందువులతో ఏర్పడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖాఖండం Y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది”. ఈ వాక్యము సరైనదేనా ? ఎందుకు ? అయితే వాలు ఏ విధంగా ఉంటుంది? (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
“ఇచ్చిన బిందువులతో ఏర్పడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖండము Y – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది” అనే ఈ వాక్యము సరైనదే. ఎందుకనగా ఇచ్చిన రెండు బిందువులలోని X నిరూపకాలు సమానంగా కలవు. అనగా ఇచ్చిన రెండు బిందువులు (x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) రూపంలో ఉన్నాయి. Y – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖల యొక్క వాలు నిర్వహించబడదు.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
y = x + 7 సమీకరణం ఒక సరళరేఖను సూచిస్తుందా? నిరూపకతలంలో గీసి చూడండి. ఈ సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఏ బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది? అదే విధంగా ఈ సరళరేఖ Y – అక్షంతో ఎంత కోణం చేస్తుంది ? మీ మిత్రులతో … చర్చించండి. : (పేజీ నెం. 185)
సాధన.
y = x + 7

y = x + 7 సూచించు సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (0, – 7) బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది. మరియు ఈ సరళరేఖ 1 0 | y = 0 + 7 = 7 | (0, 7) .
Y- అక్షంతో ధనదిశలో 135° కోణాన్ని, రుణదిశలో 45° కోణాన్ని చేస్తుంది.
y= x + 7 గ్రాఫ్ :

ప్రశ్న 2.
బిందువులు A(3, 2), B (- 8, 2) లు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖపై ఉన్నచో ఆ రేఖ వాలును కనుగొనండి. \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ ఎప్పుడు X-అక్షమునకు సమాంతరంగా ఉంటుంది ? ఎందుకు ? మీ స్నేహితులతో గ్రూపులలో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
బిందువులు = A (3, 2), B (- 8, 2) అయిన \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖవాలు (m) = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
= \(\frac{2-2}{-8-3}=\frac{0}{-11}\) = 0
A, B బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ వాలు ‘0’, అనగా ఒక రేఖ వాలు ‘0’ (సున్న) అయితే ఆ రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
A (4, 0) మరియు B (8, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ? (పేజీ నెం. 162)
సాధన.
A, B లలో y – నిరూపకాలు సమానం.
A, B ల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
= |8 – 4| = 4 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
A మరియు B బిందువులు వరుసగా (8, 3), ( – 4, 3), అయిన వాటి మధ్యదూరాన్ని కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 162)
సాధన.
A (8, 3), B (- 4, 3), బిందువులలో y నిరూపకాలు సమానం.
A, B ల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
. = |- 4 – 8|
= |- 12| = 12 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
బిందువులు A(4, 3) మరియు B(8, 6)ల మధ్యదూరాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
A (4, 3), B (8, 6) (x₁, y₁), (x₂, y₂) లతో పోల్చగా x₁ = 4, x₂ = 8, y₁ = 3, y₂ = 6
∴ AB ల మధ్య దూరం = d = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(8-4)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
బిందువులు A (4, 2), B (7, 5) మరియు C(9, 7) లు ఒకే సరళరేఖపై ఉన్నాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (4, 2), B (7, 5), C (9, 7) AB, BC, AC లను కనుగొందాము.
బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
AB = d = \(\sqrt{(7-4)^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
= \(\sqrt{9 \times 2}=3 \sqrt{2}\)

BC = \(\sqrt{(9-7)^{2}+(7-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{4 \times 2}=2 \sqrt{2}\)

AC = \(\sqrt{(9-4)^{2}+(7-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\)
= \(\sqrt{25 \times 2}\) = 5√2
AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC.
∴ AB + BC = AC.
కావున A(4, 2), B(7, 5) మరియు C(9, 7)లు ఒకే సరళరేఖపై ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (3, 2), (- 2, – 3) మరియు (2, 3)లు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయా ? (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A(3, 2), B(- 2, – 3), C(2, 3) AB, BC, AC లను కనుగొందాము.
AB = \(\sqrt{(-2-3)^{2}+(-3-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\)
= 7.07 యూనిట్లు (సుమారుగా)

BC = \(\sqrt{[2-(-2)]^{2}+[3-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}\)
= √52 = 7.21 యూనిట్లు (సుమారుగా)

AC = \(\sqrt{(2-3)^{2}+(3-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{2}\)` `
= 1.41 యూనిట్లు (సుమారుగా)
పై విలువలను బట్టి ఏ రెండు విలువల మొత్తమైనా మూడవ దాని కంటే ఎక్కువ. (త్రిభుజ అసమానత్వ నియమం ప్రకారం త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తం మూడవదాని కంటే ఎక్కువ) కావున బిందువులు A, B మరియు C లు ఒక విషమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.
`(లేదా)
AB, BC, ACలలో ఏ రెండు రేఖాఖండాల మొత్తమైనా మూడవ దానికి సమానం కాలేదు. అనగా A, B, C లు సరేఖీయాలు కావు. కావున A, B, Cలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
బిందువులు (1, 7), (4, 2), (- 1, – 1) మరియు (- 4, 4) లు ఒక చతురస్రం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

AB = d = \(\sqrt{(4-1)^{2}+(2-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(-1-4)^{2}+(-1-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

CD = \(\sqrt{(-4-(-1))^{2}+(-4-(-1))^{2}}\)
= \(\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

DA = \(\sqrt{(-4-1)^{2}+(4-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు
మరియు కర్ణాలు
AC = \(\sqrt{(-1-1)^{2}+(-1-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\) యూనిట్లు

BD = \(\sqrt{(-4-4)^{2}+(4-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{64+4}=\sqrt{68}\) యూనిట్లు
AB = BC = CD = DA మరియు AC = BD. నాలుగు భుజాలు సమానము మరియు కర్ణాలు సమానం.
∴ ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ప్రక్క పటం ఒక తరగతి గదిలోని డెస్క్ల యొక్క అమరికను చూపిస్తుంది. మాధురి, మీన, పల్లవిలు వరుసగా A (3, 1), B(6, 4) మరియు C(8, 6) స్థానాలలో కూర్చున్నారు. వారు ముగ్గురూ ఒకే సరళరేఖలో కూర్చున్నారని మీరు భావిస్తున్నారా ? మీ సమాధానానికి సరైన కారణం తెలపండి. (పేజీ నెం. 166)

సాధన.
A(3, 1), B(6, 4), C (8, 6)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{9 \times 2}=3 \sqrt{2}\) యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{4 \times 2}=2 \sqrt{2}\) యూనిట్లు

AC = \(\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+25}=\sqrt{25 \times 2}=\dot{5} \sqrt{2}\) యూనిట్లు

దీని నుండి ∴ AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC
కాబట్టి A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలు. కాబట్టి వారు ముగ్గురూ ఒకే సరళరేఖలో కూర్చున్నారు.

ప్రశ్న 8.
బిందువు (x, y) అనునది బిందువులు (7, 1) మరియు (3, 5) లకు – సమాన దూరంలో ఉన్నది. అయిన X మరియు y ల మధ్య సంబంధమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 166).
సాధన.
P(x, y) బిందువు, A (7, 1) మరియు B (3, 5) లకు సమానదూరంలో ఉన్నది.
∴ AP = BP
⇒ AP² = BP²
AP = \(\sqrt{(7-x)^{2}+(1-y)^{2}}\)
⇒ AP² = (7 – x)² + (1 – y)²

BP = \(\sqrt{(3-x)^{2}+(5-y)^{2}}\)
⇒ BP² = (3 – x)² + (5 – y)²

(7 – x)² + (1 – y)² = (3 – x)² + (5 –²y)²
= 49 – 14x + x² + 1 – 2y + y²
= 9 – 6x + x² + 25 – 10y + y²
x² + y² – 14x – 2y + 50 – x² – y² + 6x + 10y – 34 = 0
– 8x + 8y + 16 = 0
– 8 [x – y – 2] = 0
∴ x – y – 2 = 0
కావలసిన సంబంధము x – y = 2.

ప్రశ్న 9.
A(6, 5) మరియు B(- 4, 3) లకు సమానదూరంలో Y-అక్షంపై ఉన్న బిందువు నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 167)
సాధన.
Y-అక్షంపై గల బిందువు (0, y) రూపంలో ఉంటుంది.
∴ A (6, 5) మరియు B (- 4, 3) బిందువులకు సమాన దూరంలో Y-అక్షంపై నున్న బిందువు P(0, y) అనుకొందాము.
PA = \(\sqrt{(6-0)^{2}+(5-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+25-10 y+y^{2}}\)
= \(\sqrt{y^{2}-10 y+61}\)

PA² = y² – 10y + 61

PB = \(\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9-6 y+y^{2}}\)
= \(\sqrt{y^{2}-6 y+25}\)

PB² = y² – 6y + 25
PA = PB
⇒ PA² = PB²
y² – 10y + 61 = y² – 6y + 25
y² – 10y + 61 – y² + 6y – 25 = 0
– 4y + 36 = 0
4y = 36
∴ y = \(\frac{36}{4}\) = 9
∴ కావలసిన బిందువు P (0, y) = (0, 9).

సరిచూచుట :
AP = \(\sqrt{(6-0)^{2}+.(5-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\)

BP = \(\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\)

ప్రశ్న 10.
బిందువులు (4, – 3) మరియు (8, 5) లచే ఏర్పడు. రేఖాఖండమును 3 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (4, -3) మరియు (8, 5) లను P (x, y) 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభిజిస్తుంది అనుకొనుము.
విభజన సూత్రం P(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{3(8)+1(4)}{3+1}, \frac{3(5)+1(-3)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{24+4}{4}, \frac{15-3}{4}\right)=\left(\frac{28}{4}, \frac{12}{4}\right)\)

∴ కావలసిన బిందువు P(x, y) = (7, 3).

ప్రశ్న 11.
బిందువులు (3, 0) మరియు (-1, 4) లచే ఏర్పడు – రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
బిందువులు (3, 0) మరియు (- 1, 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువు M(x, y) అనుకొనిన,
మధ్యబిందువు M(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
M(x, y) = \(\left(\frac{3+(-1)}{2}, \frac{0+4}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right)\) = (1, 2).

ప్రశ్న 12.
బిందువులు (3, – 5), (- 7, 4), (10, – 2) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 173) .
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (3, – 5), (- 7, 4), (10, – 2).
గురుత్వ కేంద్రం నిరూపకాలు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{3+(-7)+10}{3}, \frac{(-5)+4+(-2)}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-3}{3}\right)\) = (2, – 1)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = (2, – 1).

ప్రశ్న 13.
బిందువులు AC- 6, 10) మరియు B (3, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును బిందువు (-4, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
A(- 6, 10), B(3, – 8) రేఖాఖండాన్ని (- 4, 6) అంతరంగా m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకొనిన
(- 4, 6) = \(\left(\frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)
(x, y) = (a, b) ⇒ x = a మరియు y = b అని మనకు తెలుసు.
∴ – 4 = \(\frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) ………. (1) మరియు

6 = \(\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) ……….. (2)

(1) ⇒ – 4m₁ – 4m₂ = 3m₁ – 6m₂
– 4m₁ – 3m₁ = – m₂ + 4m₂
– 7m₁ = – 2m₂
7m₁ = 2m₂
∴ \(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{2}{7}\)
అనగా m₁ : m₂ = 2 : 7
ఈ నిష్పత్తి (2) సమీకరణాన్ని కూడా సంతృప్తిపరుస్తుందని చూపవచ్చును.
(2) ⇒ 6 =
∴ 6 = 6 కావున బిందువులు A (-6, 10) మరియు B (3, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును (- 4, 6) బిందువు 2 : 7 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

ప్రశ్న 14.
బిందువులు A(2, – 2) మరియు B(- 7, 4) లచే, ఏర్పడు రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
AB రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P మరియు Q లు అనుకొనిన AP = PQ = QB (పటంలో చూపినట్లు).

అందువల్ల AB రేఖాఖండాన్ని బిందువు P అంతరంగా 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కావున విభజన సూత్రం నుండి.
P (x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-7)+2(2)}{1+2}, \frac{1(4)+2(-2)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-7+4}{3}, \frac{4-4}{3}\right)=\left(\frac{-3}{3}, \frac{0}{3}\right)\) = (- 1, 0)
ఇపుడు బిందువు Q కూడా AB రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
అందువల్ల బిందువు Q యొక్క నిరూపకాలు = \(\left(\frac{2(-7)+1(2)}{2+1}, \frac{2(4)+1(-2)}{2+1}\right)\)
అనగా \(\left(\frac{-14+2}{3}, \frac{8-2}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-12}{3}, \frac{6}{3}\right)\) = (- 4, 2)
కాబట్టి, AB రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు P(- 1, 0) మరియు Q(- 4, 2).

ప్రశ్న 15.
బిందువులు (5, – 6) మరియు (- 1, – 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును Y- అక్షము ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? ఆ ఖండన బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 176)
సాధన.
బిందువులు A(5, – 6) మరియు B(- 1, – 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము AB ని Y – అక్షంపైనున్న బిందువు
P(0, y), m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకొంటే
P(o, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-1)+\mathrm{m}_{2}(5)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-4)+\mathrm{m}_{2}(-6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(0, y) = \(\left(\frac{-m_{1}+5 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-4 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

⇒ \(\frac{-\mathrm{m}_{1}+5 \mathrm{~m}_{2}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\) = 0
⇒ – m₁ + 5m₂ = 0
⇒ – m₁ = – 5m₂
⇒ m₁ = 5m₂
\(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{5}{1}\)
Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = m₁ : m₂ = 5 : 1
ఇప్పుడు y = \(\frac{-4 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)

⇒ \(\frac{-4 \frac{m_{1}}{m_{2}}-6}{\frac{m_{1}}{m_{2}}+1}=\frac{-4\left(\frac{5}{1}\right)-6}{\frac{5}{1}+1}=\frac{-20-6}{6}\)

⇒ y = \(\frac{-26}{6}\) = \(\frac{-13}{3}\)
∴ ఖండన బిందువు P = ( 0, \(\frac{-13}{3}\))

2వ పద్ధతి :
A(x₁, y₁), B (x₂, y₂) బిందువులను Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి m₁ : m₂ = – x₁ : x₂
∴ (5, – 6) మరియు (-1, – 4) లను Y – అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = – x₁ : x₂ = – 5 : – 1
= 5 : 1
(5, – 6) మరియు (- 1, – 4) లను 5 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువే ఖండన బిందువు అవుతుంది.
∴ ఖండన బిందువు =
∴ ఖండన బిందువు P = (0, \(\frac{-13}{3}\))
3వ పద్ధతి :
పాఠ్యపుస్తకంలో కలదు చూడగలరు.

ప్రశ్న 16.
బిందువులు A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) మరియు D(9, 4)లు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలని చూపండి. (పేజీ నెం. 176)
సాధన.
బిందువులు A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) మరియు D(9, 4) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం శీర్షాలు అనుకొనిన, సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని తెలుసు.
∴ అందువల్ల కర్ణాలు AC మరియు BD ల మధ్య బిందువులు సమానం కావాలి.
A (7, 3), C (8, 2) ల మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{7+8}{2}, \frac{3+2}{2}\right)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
B(6, 1), D(9, 4) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
∴ AC మధ్య బిందువు = DB మధ్య బిందువు.
కాబట్టి బిందువులు A, B, C, D లు సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 17.
బిందువులు A(6, 1), B (8, 2), C(9, 4) మరియు D(p, 3) లు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలయిన p యొక్క విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) D(p, 3) సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని మనకు తెలుసు.
కాబట్టి AC మధ్య బిందువు = BD మధ్య బిందువు
\(\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{8+\mathrm{p}}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

⇒ \(\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)=\left(\frac{8+\mathrm{p}}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

⇒ \(\frac{15}{2}=\frac{8+p}{2}\)
⇒ 15 = 8 + p
⇒ P = 15 – 8 =7
∴ p = 7.

ప్రశ్న 18.
బిందువులు A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి..
సాధన.
A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(16 – (- 5) )+ (- 4) (- 5 _ (- 1)) + (- 3) (- 1 – 6)|
= \(\frac{1}{2}\) |11 + 16 + 21|
= \(\frac{1}{2}\) |48| = 24
∴ ∆ ABC వైశాల్యం = 24 చదరపు యూనిట్లు.

ప్రశ్న 19.
బిందువులు A(5, 2), B(4, 7) C(7, – 4)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(7 – (- 4)) + 4(- 4 – 2) + 7(2 – 7)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(11) + 4(- 6) + 7(- 5)|
= \(\frac{1}{2}\)|55 – 24 – 35|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4|
= \(\frac{1}{2}\) × 4 = 2
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 24 చదరపు యూనిట్లు.

ప్రశ్న 20.
బిందువులు A(- 5, 7), B (- 4, – 5), C(- 1, – 6) మరియు D(4, 5) లు ఒక చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అయిన , ABCD చతుర్భుజ. వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.

A, B, C, D లు చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు.
కర్ణము BD, □ABCDA, ∆ABD మరియు ABCD అనే రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
∆ABD వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |- 5 (- 5 – 5) + (- 4) (5 – 7) + 4 (7 – (-5))|
= \(\frac{1}{2}\) |50 + 8 + 48|
= \(\frac{1}{2}\) |106| = 53
చదరపు యూనిట్లు ∆BCD వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)|- 4(- 6 – 5) + (- 1)(5 + 5) +4(- 5 – (- 6))|
= \(\frac{1}{2}\) |44 – 10 + 4|
= \(\frac{1}{2}\) |38| = 19 చ.యూ.
□ ABCD చతుర్భుజ వైశాల్యం = ∆ABD వైశాల్యం + ∆BCD వైశాల్యం
= 53 + 19 = 72 చదరపు యూనిట్లు

ప్రశ్న 21.
ఒక తలంలో ఉన్న బిందువులు (3, – 2), (- 2, 8) మరియు (0, 4)లు సరేఖీయ బిందువులు అని చూపండి. (పేజీ నెం. 182)
సాధన.
(3, – 2), (- 2, 8) మరియు (0, 4) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |3(8 – 4) + (- 2) (4 – (- 2)) + 0 ((- 2) – 8)|
= \(\frac{1}{2}\) |12 – 12| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా ‘0’. కావున పై ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయ బిందువులు.

ప్రశ్న 22.
బిందువులు (1, 2), (- 1, b), (- 3, – 4) సరేఖీయాలైతే ‘b’ విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A(1, 2), B(- 1, b), C(- 3, – 4) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(b – (- 4)) + (- 1) (- 4 – 2) + (- 3)(2 – b)|
= \(\frac{1}{2}\) |(b + 4) – 1(- 6) – 3(2 – b)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(b + 4) + 6 – 6 + 3b|
= \(\frac{1}{2}\) |b + 4 + 6 – 6 + 36|
= \(\frac{1}{2}\) |4b + 4|
= \(\frac{1}{2}\) × 2| 2b + 2 | = |2b + 2| = 0 (∵ ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు త్రిభుజ వైశాల్యం సున్న)
⇒ 2b + 2 = 0 ⇒ 2b = – 2
∴ b = \(\frac{-2}{2}\) = -1.

ప్రశ్న 23.
12మీ, 9మీ, 15మీ పొడవులు గల భుజాలతో ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యంను “హెరాన్ సూత్రం”ను ఉపయోగించి కనుక్కొందాం. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
A = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\) (∵ S = \(\frac{a+b+c}{2}\))
S = \(\frac{12+9+15}{2}=\frac{36}{2}\) = 18 మీ.

అపుడు
S – a = 18 – 12 = 6 మీ.
S – b = 18 – 9 = 9 మీ.
S – C = 18 – 15 = 3 మీ.
A = \(\sqrt{18(6)(9)(3)}=\sqrt{2916}\) = 54 చదరపు మీటర్లు.

ప్రశ్న 24.
ఒక రేఖాఖండం యొక్క తొలి, చినరి బిందువుల వరుసగా (2, 3), (4, 5). ఆ రేఖాఖండం యొక్క వాలును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
రేఖాఖండం యొక్క తొలి, చివరి బిందువులు (2, 3), (4, 5) అయిన ఆ రేఖాఖండం వాలు,
m = \(\frac{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}=\frac{5-3}{4-2}=\frac{2}{2}\) = 1
∴ ఇచ్చిన రేఖాఖండం యొక్క వాలు = 1

ప్రశ్న 25.
బిందువులు P(2, 5) మరియు Q(x, 3) ల గుండా పోయే రేఖవాలు 2 అయిన x విలువను కనుగొనుము (పేజీ నెం. 186).
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు P(2, 5) మరియు Q(x, 3) గుండా పోయే రేఖవాలు 2.
pQ రేఖాఖండం వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = 2
⇒ \(\frac{3-5}{x-2}\) = 2
⇒ \(\frac{-2}{x-2}\) = – 2
⇒2x – 4 = 2
⇒ x = \(\frac{2}{2}\) = 1
∴ x =1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
వృత్తం ‘Q’ యొక్క కేంద్రం -అక్షంపై ఉన్నది. మరియు 2. (0, 7) మరియు (0, -1) లు ఆ వృత్తం పై బిందువులు. వృత్తం ‘Q’ ధన X-అక్షాన్ని బిందువు (P, 0) వద్ద ఖండించిన ‘P’ విలువ ఎంత ?
సాధన.

పై పటం నుండి వృత్తంపై బిందువులు A (0, 7), B (0, – 1) అనుకుంటే A, B లు వ్యాసాగ్రాలు.
వృత్తకేంద్రం ‘O’ = A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{7-1}{2}\right)\) = (0, 3)
∴ వృత్తకేంద్రం = (0, 3)
వృత్త వ్యాసార్ధం r = OA = |7 – 3| = 4 యూనిట్లు
వృత్తం Q ధన X – అక్షాన్ని (P, 0) వద్ద ఖండించును.
O(0, 3), P(P, 0)
∴ OP = r = 4
\(\sqrt{\mathrm{P}^{2}+3^{2}}\) = 4
\(\sqrt{\mathrm{P}^{2}+9}\) = 4
⇒ P² + 9 = 16
⇒ P² = 16 – 9 = 7
⇒ P = √7,

2వ పద్ధతి :
పై పటం నుండి వృత్త కేంద్రం O = A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{7-1}{2}\right)\) = (0, 3)
A (0, 7), (P, 0) బిందువులు వృత్తం పై కలవు.
∴ OA = OP
\(\sqrt{(0-0)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{(P-0)^{2}+(0-3)^{2}}\)
\(\sqrt{4^{2}}=\sqrt{\mathrm{P}^{2}+9}\)
⇒ 4² = P² + 9
16 – 9 = P²
7 = P²
√7 = P.

ప్రశ్న 2.
బిందువులు A(2, 3), B(- 2, – 3) మరియు C(4, 3) శీర్చాలతో త్రిభుజం ∆ABC ఏర్పడినది. భుజం BC మరియు. శీర్షం A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువును కనుగొనండి.
సాధన.

A (2, 3), B (- 2, – 3), C (4, 3) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం ∆ ABC
BC ని A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ D వద్ద ఖండిస్తున్నది అనుకొనుము.
అప్పుడు \(\) ……….. (1) (∵ కోణ సమద్విఖండన సిద్ధాంతము)
AB = \(\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\)
= 2√13

AC = \(\sqrt{(4-2)^{2}+(3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+0^{2}}\) = 2

∴ \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{2 \sqrt{13}}{2}\) = √13 : 1
(∵ AB, AC లను (1) లో రాయగా)
అనగా BCని D అంతరంగా√13 : 1 నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది.
∴ D = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

D = \(\left(\frac{\sqrt{13} \times 4+1(-2)}{\sqrt{13}+1}, \frac{\sqrt{13} \times 3+1(-3)}{\sqrt{13}+1}\right)\)

D = \(\left[\frac{4 \sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+1}, \frac{3 \sqrt{13}-3}{\sqrt{13}+1}\right]\)
BC ని A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ ఖండించే బిందువు D = \(\left[\frac{4 \sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+1}, \frac{3 \sqrt{13}-3}{\sqrt{13}+1}\right]\).

సరిచూచుట :
B, D, C లు సరేఖీయాలు అవుతాయని చూపి సరిచూసుకోవచ్చును.

ప్రశ్న 3.
సమబాహు త్రిభుజం ∆ABC యొక్క భుజం BC X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంది. దాని భుజాలు BC, CA, AB ల గుండా పోయే సరళరేఖల వాలులు కనుగొనుము.
సాధన.

∆ABC సమబాహు త్రిభుజం AB = BC = AC = a యూనిట్లు మరియు B(x₁, y₁) అనుకొందాం.
BC మధ్య బిందువు D మరియు AD; ∆ABC యొక్క ఎత్తు = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)a యూనిట్లు అవుతుంది.
D = AC ల మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{1}+a}{2}, \frac{y_{1}+y_{1}}{2}\right)=\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}, y_{1}\right)\) మరియు C = (x₁ + a,y₁),
A \(\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}, y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)\)
ఇప్పుడు, AB పాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

∴ AB వాలు = √3
BC వాలు = \(\frac{y_{1}-y_{1}}{x_{1}+a-x_{1}}=\frac{0}{a}\) = 0
లేదా BC, X – అక్షానికి సమాంతరం. కావున BC వాలు = 0
AC వాలు = \(\frac{y_{1}-\left(y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)}{x_{1}+a-\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}\right)}\)

= \(\frac{y_{1}-y_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{x_{1}+a-x_{1}-\frac{a}{2}}\)

= \(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{\frac{a}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{2} a \times \frac{2}{a}\) = – √3

AC వాలు = – √3.

2వ పద్ధతి :

∆ABC సమబాహు త్రిభుజం AB = BC = AC = a యూనిట్లు
X – అక్షంపై BC భుజం కలదు అనుకుందాం. (ప్రతిరేఖ దానికదే సమాంతరము కాబట్టి BC X – అక్షం)
B (0, 0) అయిన C(a, 0) అవుతుంది. BC ల మధ్యబిందువు
D = \(\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right)\) = (\(\frac{a}{2}\), 0)
AD = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a
[సమబాహు త్రిభుజ ఉన్నతి = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × భుజం]
∴ A = (\(\frac{a}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a)
∴ త్రిభుజ శీర్షాలు A(\(\frac{a}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a), B(0, 0), C(a, 0)

∴ AB రేఖ వాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{0-\frac{a}{2}}\)
= \(-\frac{\sqrt{3}}{2} a \times-\frac{2}{a}=\sqrt{3}\)

BC-రేఖ వాలు = \(\frac{0-0}{a-0}=\frac{0}{a}=0\)

AC రేఖ వాలు = \(\frac{0-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{0-\frac{a}{2}}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{\frac{a}{2}}\)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2} a \times \frac{2}{a}=-\sqrt{3}\).

3వ పద్ధతి :

∆ABC సమబాహు త్రిభుజము మరియు BC, X – అక్షానికి సమాంతరము. \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖ X – అక్షం ధనదిశలో చేసే కోణము θ₁, అనుకొనుము.
θ₁, = ∠ABC = 60° (∵ BC // X – అక్షం, θ₁, మరియు ∠ABC లు సదృశ్యకోణాలు)
\(\overleftrightarrow{A C}\) X – అక్షం ధనదిశలో చేసే కోణం θ₂, అనుకొనుము. ర
θ₂ = ∠ACD = 120° [∵ BC // X – అక్షం, మరియు θ₂, ∠ACD లు సదృశ్యకోణాలు] కాని వాలు నిర్వచనం ఒక రేఖ X – అక్షం యొక్క ధనదిశలో చేసే కోణం θ అయితే ఆ రేఖవాలు ,
m = tan θ.
∴ A, B రేఖవాలు = tan θ₁ = tan 60° = √3
A, C రేఖవాలు = tan θ₂ = tan 120° .
= tan (90 + 30)
= – cot 30° = – √3 B
BC రేఖవాలు = tan 0° = 0 [∵ BC // X -అక్షం కాబట్టి X -అక్షంతో BC చేసే కోణం 0°].

ప్రశ్న 4.
a > b అయ్యేటట్లు భుజాలు ‘a’, ‘b’లు కలిగిన ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABC ఉంది. దానిలో లంబకోణం యొక్క సమద్విఖండన రేఖ ద్వారా ఏర్పడిన రెండు చిన్న త్రిభుజాల లంబకేంద్రాల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
పటంలో చూపినట్లు ∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజం
AC – కర్ణం ; ∠B = 90° అనుకుందాం
\(\overline{\mathrm{BG}}\) కోణ సమద్విఖండన రేఖ వలన ఏర్పడే చిన్న త్రిభుజాలు వరుసగా ∆ABG, ∆BCG అనుకుందాం.
A, B, C శీర్షాల నిరూపకాలు వరుసగా A(0, a), B(0,0), C(b, 0) అనుకుందాం .

∴ \(\overline{\mathrm{BG}}\) వాలు = m = tan 45° = 1 (∵ BG, ∠B యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ)
మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు = 0 = \(\frac{0-a}{b-0}=\frac{-a}{b}\),
అదే విధంగా \(\overline{\mathrm{BC}}\) అనునది X – అక్షంపై గలదు కావున \(\overline{\mathrm{BC}}\) వాలు = 0

(I) \(\overline{\mathrm{BD}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{AC}}\) పైకి గీయబడిన ‘ఉన్నతి’ అనుకుందాం.
∴ \(\overline{\mathrm{BD}}\) వాలు = \(\frac{b}{a}\)
(∵ m₁, m₂ = – 1, m, = 6)
∴ \(\overline{\mathrm{BD}}\) సమీకరణం = (y – 0) = \(\frac{b}{a}\) (x – 0)
⇒ bx = ay లేదా bx – ay = 0 – (1) అదే విధంగా.

(II) \(\overline{\mathrm{AE}}\) అనునది ∆ABG నందలి. \(\overline{\mathrm{BD}}\) పైకి గీయబడిన ‘ఉన్నతి’ అనుకుందాం = \(\overline{\mathrm{AE}}\) వాలు = – 1
(∵ m₁, m₂ = – 1) అయిన
ఉన్నతి \(\overline{\mathrm{AE}}\) సమీకరణం = (y – a) = 1(x – 0)
⇒ x – y = – a లేదా x – y + a = 0 – (2)
ఇపుడు (1), (2) సమీకరణాల ఖండన బిందువు అనునది రెండు ఉన్నతుల (\(\overline{\mathrm{AE}}\), \(\overline{\mathrm{BD}}\)) ఖండన బిందువు అనగా AABG యొక్క లంబకేంద్రం అగును.
∴ by – ay = 0 ______ (1) ⇒ bx – ay = 0
x – y = – a _________ (2) ⇒ ax – dy = – a²

x = \(\frac{a^{2}}{b-a}\) మరియు y = x + a .
⇒ y = \(\frac{a^{2}}{b-a}\) + a
= \(\frac{a^{2}+a b-a^{2}}{b-a}=\frac{a b}{b-a}\)
∴ ∆ABG యొక్క లంబ కేంద్రం ‘F’ యొక్క నిరూపకాలు = F|\(\left(\frac{a^{2}}{b-a}, \frac{a b}{b-a}\right)\)
అదే విధంగా ∆BCG నందు,
\(\overline{\mathrm{GC}}\) వాలు = \(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు = – \(\frac{a}{b}\)

‘B’ నుండి \(\overline{\mathrm{GC}}\) మీదకు గీయబడు లంబం \(\overline{\mathrm{BD}}\) గుండా పోవును.
(∵ ఒక రేఖకు ఒక బిందువు గుండా ఒకే ఒక లంబం గీయగలం)
∴ \(\overline{\mathrm{BH}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{CG}}\) పైకి గల ఉన్నతి అనుకుందాం
[Note : a > b కావున ∆ABC నందు. ∠A ≠ ∠C ≠ 45 కావున ∆ABG, ∆BGC లలో ఒకటి తప్పనిసరిగా అధిక కోణ త్రిభుజం అగును)
\(\overline{\mathrm{BH}}\) వాలు = \(\overline{\mathrm{BD}}\) వాలు = \(\frac{b}{a}\)

∴ \(\overline{\mathrm{BH}}\) సమీకరణం = \(\overline{\mathrm{BH}}\) సమీకరణం = bx – ay = 0 ((1) నుండి)
మరియు \(\overline{\mathrm{CJ}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{BG}}\) పైకి లంబం
∴ \(\overline{\mathrm{CJ}}\) వాలు = – 1 (∵ \(\overline{\mathrm{BG}}\) వాలు = 1)
∴ \(\overline{\mathrm{CJ}}\) సమీకరణం = (y – 0) = – 1(x – b)
⇒ x + y = b – (3)
∴ ABCG యొక్క ఉన్నతులు (\(\overline{\mathrm{CJ}}\), \(\overline{\mathrm{BH}}\)) ఖండన బిందువు,
దాని యొక్క లంబ కేంద్రం అగును.

⇒ x = \(\frac{a b}{b+a}\) అయిన y = – x + b = – \(\frac{a b}{b+a}\) + b
= \(\frac{-\not ab+\not ab+b^{2}}{b+a}=\frac{b^{2}}{b+a}\)
∴ K (\(\frac{a b}{b+a}\), \(\frac{b^{2}}{b+a}\) అనునది ∆BGC యొక్క లంబకేంద్రం నిరూపకాలు.
∴ రెండు లంబకేంద్రాల మధ్య దూరం \(\overline{\mathrm{KF}}\) =

ప్రశ్న 5.
2x + 3y – 6 = 0 అను సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనుము.
సాధన.

ఇచ్చిన సరళరేఖ 2x + 3y – 6 = 0
X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు B వద్ద y నిరూపకం సున్న అనగా y = 0
y = 0 ⇒ 2x + 3(0) – 6 =.0
⇒ 2x – 6 = 0 ⇒ 2x = 6,
x = \(\frac{6}{2}\) = 3
∴ B(3, 0) ఇదే విధంగా
x = 0 ⇒ 2(0) + 3y – 6 = 0
⇒ y = 2
∴ A(0, 2)
∴ 2x + 3y – 6 = 0 మరియు నిరూపకాక్షాలతో ఏర్పరిచే త్రిభుజ శీర్షాలు A(0, 2), 000, 0), B(3, 0)
∆ABC గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{0+0+3}{3}, \frac{2+0+0}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
∆ABC గురుత్వకేంద్రం = (1, \(\frac{2}{3}\))

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.4

ప్రశ్న 1.
రెండు బిందువులను కలుపుచూ గీయబడిన రేఖవాలు కనుగొనండి.
(i) (4, – 8) మరియు (5, – 2)
సాధన.
(4, – 8) మరియు (5, – 2) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-2-(-8)}{5-4}\)
m = \(\frac{-2+8}{1}\) = 6

(ii) (0, 0) మరియు (13,3)
సాధన.
(0, 0) మరియు (√3, 3) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{3-0}{\sqrt{3}-0}=\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3.

(iii) (2a, 3b) మరియు (a, – b)
సాధన.
(2a, 3b) మరియు (a, – b) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-b-3 b}{a-2 a}\)
= \(\frac{-4b}{-a}\)
= \(\frac{4b}{a}\)

(iv) (a, 0) మరియు (0, b)
సాధన.
(a, 0) మరియు (0, b) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{b-0}{0-a}=\frac{-b}{a}\).

(v) A(- 1.4, -3.7), B(- 2.4, 1.3)
సాధన.
A(- 1.4, – 3.7) మరియు B(- 2.4, 1.3) అయిన
\(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{1.3-(-3.7)}{-2.4-(-1.4)}\)

= \(\frac{1.3+3.7}{-2.4+1.4}=\frac{5}{-1}\) = – 5

(vi) A(3, – 2), B(- 6, – 2)
సాధన.
A(3, – 2) మరియు B(- 6, – 2) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{\Gamma}}=\frac{-2-(-2)}{-6-3}\)
= \(\frac{-2+2}{-9}=\frac{0}{-9}\)
వాలు m = 0 కావున \(\overleftrightarrow{A B}\) X-అక్షానికి సమాంతరము.

(vii) A(- 3\(\frac{1}{2}\), 3), B(- 7, 2\(\frac{1}{2}\))
సాధన.
A (- 3\(\frac{1}{2}\) – 3) మరియు B (- 7, 2\(\frac{1}{2}\)) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\)
రేఖావాలు; m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

∴ AB రేఖావాలు, m = \(\frac{1}{7}\).

(viii) A(0, 4), B(4, 0)
సాధన.
A(0, 4) మరియు B(4, 0) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{0-4}{4-0}=\frac{-4}{4}\) = – 1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు శీర్షాలుగా కలిగిన త్రిభుజ – వైశాల్యం కనుక్కోండి. .
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, – 4)
సాధన.
A (2, 3), B (- 1, 0),C (2, – 4) ,
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|

= \(\frac{1}{2}\) |2[0 – (- 4)] + (- 1)(- 4 – 3) + 2 (3 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |2 (4) – 1 (- 7) + 2 (3)|
= \(\frac{1}{2}\) |8 + 7 + 6|
= \(\frac{1}{2}\) × 21
= \(\frac{21}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{21}{2}\) చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

= \(\frac{1}{2}\)

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)|

=

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(2 × 0 + (- 1) × (- 4) + 2 × 3) – (3 × (- 1) + 0 × 2 + (- 4) ×2) |
= \(\frac{1}{2}\) (0 + 4 + 6) – (- 3 + 0 – 8)|
= \(\frac{1}{2}\) |10 – (- 11)|
= \(\frac{1}{2}\) |21|
= \(\frac{1}{2}\) × 21 = \(\frac{21}{2}\)
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{21}{2}\) చయూ.

(ii) (- 5, – 1), (3, – 5) మరియు (5, 2)
సాధన.
A (- 5, – 1), B (3, – 5), C (5, 2) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5) (- 5 – 2) + 3[2 – (- 1)] + 5[- 1 – (- 5)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5) (- 7) + 3 (3) + 5 (4)|
= \(\frac{1}{2}\) |35 + 9 + 20|
= \(\frac{1}{2}\) |64|
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.
∆ABC వైశాల్యం = 32 చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

=

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(- 5) × (- 5) + 3 × 2 + 5 × (- 1)| – [(- 1) (3) + (- 5) × (5) + 2 × (- 5)]
= \(\frac{1}{2}\) |(25 + 6 – 5) – (- 3 – 25 – 10)|
= \(\frac{1}{2}\) |26 – (- 38)|
= \(\frac{1}{2}\) |26 + 38|
= \(\frac{1}{2}\) |64| = \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 32 చ.యూ.

(iii) (0,0), (3, 0) మరియు (0, 2)
సాధన.
A (0, 0), B (3, 0), C (0, 2) అనుకుందాం.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 2) + 3(2 +0) + 0(0 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |6|
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

=

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(0 × 0 + 3 × 2 + 0 × 0) – (0 × 3 + 0 × 0 + 2 × 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |6 – 0|
= \(\frac{1}{2}\) |6|
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 చ.యూ.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు సరేఖీయాలైతే ‘k’ విలువను కనుగొనండి.
(i) (7, – 2), (5, 1) మరియు (3, k)
సాధన.
A (7, – 2), B (5, 1),C (3, k) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం : = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |7(1 – k) + 5[k – (- 2)] + 3(- 2 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |7 – 7k + 5k + 10 – 9|
= |8 – 2k|
సరేఖీయాలు కావున ∆ABC వైశాల్యం సున్న
∴ |8 – 2k| = 0
8 – 2k = 0
8 = 2k
⇒ \(\frac{8}{2}\) = k
∴ k = 4.

(ii) (8, 1), (k, – 4) మరియు (2, – 5)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (8, 1), B (k, – 4), C (2, – 5) లు సరేఖీయాలు..
∴ ∆ABC = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8(- 4 – (- 5)) + k(- 5 – 1) +2[1 – (- 4)] = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8 (1) + k (- 6) + 2 (5)| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8 – 6k + 10| = 0
∴ 18 – 6k = 0
⇒ 18 = 6k
⇒ \(\frac{18}{6}\) = k.
∴ k = 3.

సరిచూచుకోవడం :
k = 3 అయిన A(8, 1), B (3, – 4), C(2, – 5)
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |8 (- 4 + 5) + 3(- 5 – 1) + 2 (1 + 4)|
\(\frac{1}{2}\) |8 – 18 + 10| = 0

(iii) (k, k), (2, 3) మరియు (4, – 1)
సాధన..
A (k, k), B (2, 3) మరియు C (4, – 1) లు సరేఖీయాలు అయితే ∆ABC వైశాల్యం సున్న.
\(\frac{1}{2}\) |k[(3 – (- 1)) + 2(- 1 – k) +4(k – 3)]| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |4k – 2 – 2k + 4k – 12| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |6k -14| = 0
6k – 14 = 0
⇒ 6k = 14
⇒ k = \(\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\)
∴ k = \(\frac{7}{3}\)

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (0, – 1), (2, 1) మరియు (0, 3) శీర్షాలుగా కలిగిన త్రిభుజ వైశాల్యం, మరియు దాని భుజాల మధ్యబిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు A (0, – 1), B (2, 1), C (0, 3) అనుకొందాం.
AB, BC, ACల మధ్య బిందువులు వరుసగా D, E, F లు అనుకొనుము.
AB మధ్యబిందువు D = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1, 0)

BC మధ్యబిందువు E = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) =(1, 2)

AC మధ్యబిందువు F = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)\) = (0, 1)
A(0, – 1), B(2, 1), C(0, 3)
x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0,
y₁ = – 1, y₂ = 1, y₃ = 3
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) + 2[3 – (- 1)] + 0 (- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 2 (4) + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |8| = \(\frac{1}{2}\) × 8 = 4 చ.యూ.
∆ABCవైశాలం = 4 చ.యూనిట్లు
భుజాల మధ్యబిందువులు D(1, 0), E (1, 2), F (0, 1) లతో ఏర్పడే త్రిభుజం ∆DEF వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0 (1 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |1 (1) + 1(1)|
∴ ∆DEF వైశాల్యం = 1 చ.యూనిట్
∆ABC మరియు ∆DEF ల వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 4 : 1.

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (- 4, – 2), (-3, – 5),(3, – 2) మరియు . (2, 3)లు శీర్షాలుగా గల చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు A (- 4, – 2), B (- 3, – 5), C (3, – 2) మరియు D (2, 3) అనుకుంటే □ABCDని AC రెండు త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ADC గా విభజిస్తుంది. .
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4(- 5 – (- 2)] + (- 3)(- 2 – (- 2)] + 3[- 2 – (- 5)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) [- 5 + 2] – 3(- 2 + 2) + 3 [- 2 + 5]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) (- 3) – 3(0) + 3 (3)|
= \(\frac{1}{2}\) |12 – 0 + 9|
= \(\frac{1}{2}\) |21| = 11 చ.యూ.

∆ADC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(- 4) [3 – (- 2)] + (- 2) – (- 2)] + 3(- 2) – 3]
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) (5) + 2 (0) + 3 (- 5)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 20 + 0 – 15|
= \(\frac{1}{2}\) |- 35]
= \(\frac{1}{2}\) × 35 = \(\frac{35}{2}\) చ.యూ, ”

□ABCD వైశాల్యము = ∆ABC వైశాల్యం + ∆ADC వైశాల్యం
= \(\frac{21}{2}\) + \(\frac{35}{2}\)
= \(\frac{56}{2}\) = 28 చ.యూనిట్లు

రెండవ పద్ధతి : .

A (- 4, – 2), B (- 3, – 5),C (3, – 2)మరియు D (2, 3) అనుకొనుము.
□ABCD వైశాల్యం = ∆ABD వైశాల్యం + ∆BDC వైశాల్యం

=

= \(\frac{1}{2}\) |(20 – 9 – 4) – (6 – 10 – 12)| + \(\frac{1}{2}\) |(- 9 – 4 – 15) – (- 10 + 9 +6)|
= \(\frac{1}{2}\) |7 + 16| + \(\frac{1}{2}\) |- 28 – 5|
= \(\frac{1}{2}\) |23| + \(\frac{1}{2}\) |33|
= \(\frac{1}{2}\) (23 + 33)
= \(\frac{1}{2}\) × 56 = 28 చ.యూనిట్లు
□ABCD వైశాల్యం = 28 చ.యూనిట్లు.

ప్రశ్న 5.
క్రింది బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యమును హెరాస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనుము.
(i) (1, 1), (1, 4) మరియు (5, 1).
(ii) (2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, – 1)
సాధన.
(i) A (1, 1), B (1, 4) మరియు C (5, 1)
c = AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(1-1)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+3^{2}}\) = 3 యూనిట్లు

a = BC = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు

b = AC = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(1-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+0}\) = 4 యూనిట్లు

s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

త్రిభుజ వైశాల్యం హెరాన్ సూత్రం = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6 \times 1 \times 2 \times 3}\)
= √36 = 6 చ.యూ.

(ii) (2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, -1)
(2, 3) (- 1, 3) మరియు (2, – 1) బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను హెరాన్ సూత్రంను ఉపయోగించి కనుగొనుట.
పటంలో చూపినట్లు AABC యొక్క శీర్షాల నిరూపకాలు A(2, 3), B(- 1, 3) మరియు C(2, – 1) అనుకుందాం.

∴ ఆ త్రిభుజ భుజాల పొడవులు, AB = c, BC = a, CA = b తో సూచిస్తాం.
హెరాన్ సూత్ర పద్ధతిన త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ఇక్కడ s = \(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}\) కావున మనం భుజాల పొడవులు కనుగొందాం.
భుజాల పొడవులను \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) సూత్ర సహాయాన కనుగొందాం.
∴ AB = c = (2, 3) మరియు (- 1, 3) బిందువుల మధ్య దూరం.
c = \(\sqrt{(2-(-1))^{2}+(3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2+1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{3^{2}+0}=\sqrt{3^{2}}\) = 3 మరియు

BC = a = (-1, 3) మరియు (2, – 1)ల మధ్య దూరం
a = \(\sqrt{(-1-2)^{2}+[3-(-1)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(3+1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5

మరియు CA = b = (2, – 1) మరియు (2, 3) బిందువుల మధ్య దూరం
b = \(\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}\) = 4

∴ a = 5, b = 4, c = 3.
⇒ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+4+3}{2}=\frac{12}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
=\(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6(1)(2)(3)}\)
= \(\sqrt{6 \times 6}\) = 6 చllయూనిట్లు
∴ ఇచ్చిన త్రిభుజ వైశాల్యము = 6 చ|| యూనిట్లు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (- 1, 7) మరియు (4, – 3). లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు P (- 1, 7), Q (4, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు
(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(x, y) = \(\left(\frac{2(4)+3(-1)}{2+3}, \frac{2(-3)+3(7)}{2+3}\right)\)

= \(\left(\frac{8-3}{5}, \frac{-6+21}{5}\right)=\left(\frac{5}{5}, \frac{15}{5}\right)\) = (1, 3).

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (-2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును P, Q లు త్రిథాకరణ బిందువులు అనుకొందాం.

(4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని P 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}, \frac{1(-3)+2(-1)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+8}{3}, \frac{-3-2}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

= (2, \(\frac{-5}{3}\))
∴ P = (2, \(\frac{-5}{3}\))
ఇప్పుడు (4 – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
Q(x, y) = \(\left(\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}, \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{-6-1}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{3}, \frac{-7}{3}\right)\)

= (0, \(\frac{-7}{3}\))
∴ Q = (0, \(\frac{-7}{3}\))
కావున (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (2, \(\frac{-5}{3}\)), (0, \(\frac{-7}{3}\))

సరిచూచుకొనుట :
(4, – 1) మరియు. (- 2, – 3) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{4+(-2)}{2}, \frac{(-1)+(-3)}{2}\right)\)
= (1, – 2)
P(2, \(\frac{-5}{3}\)), Q(0, \(\frac{-7}{3}\)) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{\left(\frac{-5}{3}\right)+\left(\frac{-7}{3}\right)}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{2}, \frac{\frac{-12}{3}}{2}\right)\) = (1, – 2).

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును బిందువు (- 1, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును (- 1, 6), m₁ : m₂.
నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది అనుకుందాం.
విభజన సూత్రం
P (x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{m_{1}(6)+m_{1}(-3)}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}(-8)+m_{2}(10)}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ \(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = – 1

∴ 6m₁ – 3m₂ = – m₁ – m₂
6m₁ + m₁ = – m₂ + 3m₂
7m₁ = 3m₂
⇒ \(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి m₁ : m₁ = 2 : 7.

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) యొక్క రేఖాఖండాన్ని బిందువు (- 1, 6) λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం.
∴ (- 1, 6) = \(\left(\frac{\lambda(6)+1(-3)}{\lambda+1}, \frac{\lambda(-8)+1(10)}{\lambda+1}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}, \frac{-8 \lambda+10}{\lambda+1}\right)\)

∴ \(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}\) = – 1

⇒ 6λ – 3 = – λ – 1
⇒ 6λ + λ = – 1 + 3
7λ = 2
λ = \(\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి λ : 1 = \(\frac{2}{7}\) : 1 = 2 : 7

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (1, 2), (4, y), (x, 6) మరియు (3, 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆశీర్షాలయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు . A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) మరియు D (3, 5) లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు.
∴ కర్ణం AC యొక్క మధ్యబిందువు = కర్ణం BD మధ్యబిందువు
\(\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right)=\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

∴ \(\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}\)
⇒ 2 + 2x = 14
⇒ 2x = 14 – 2
⇒ 2x = 12
∴ x = \(\frac{12}{2}\) = 6
\(\frac{y+5}{2}\) = 4
⇒ y + 5 = 8
⇒ y = 8 – 5
⇒ y = 3
x = 6, y = 3.

ప్రశ్న 5.
AB వ్యాసంగా గల వృత్తం యొక్క కేంద్రము (2, – 3) మరియు వృత్తం పైనున్న ఒక బిందువు B(1, 4) అయిన A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు కనుగొనండి.
సాధన.

AB వ్యాసంగా గల వృత్తానికి AB యొక్క మధ్య బిందువు వృత్తకేంద్రం అవుతుంది.
∴ A(x, y), B (1, 4)ల మధ్య బిందువు = కేంద్రము (2, – 3)
\(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) = (2, 3)
∴ \(\frac{x+1}{2}\) = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
∴ \(\frac{y+4}{2}\) = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 4 – 6 = – 10
∴ A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు (3, – 10).

ప్రశ్న 6.
బిందువులు A, B లు వరుసగా (- 2, – 2) మరియు (2, – 4). AB రేఖాఖండంపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 2, – 2), B (2, – 4) రేఖాఖండముపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు కలదు.

AP = \(\frac{3}{7}\) AB
⇒ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{7}\)
⇒ AP : AB = 3:7
కావున PB = AB – AP = 7 – 3 = 4
∴ AP : PB = 3 : 4
A (- 2, – 2), B (2, – 4) ను P 3 : 4 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.

విభజన సూత్రం P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{3(2)+4(-2)}{3+4}, \frac{3(-4)+4(-2)}{3+4}\right)\)

= \(\left(\frac{6-8}{7}, \frac{-12-8}{7}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\)
కావలసిన బిందువు P(x, y) = \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\).

ప్రశ్న 7.
బిందువులు A(- 4, 0) మరియు B(0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించే బిందువులు P, Q, R అనుకొందాం.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. విభజన సూత్రం
P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{1(0)+3(-4)}{1+3}, \frac{1(6)+3(0)}{1+3}\right)\)

= \(\left(\frac{-12}{4}, \frac{6}{4}\right)\)

= (- 3, \(\frac{3}{2}\))
\(\overline{\mathrm{AB}}\) ను Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+0}{.2}, \frac{0+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{2}, \frac{6}{2}\right)\) = (- 2, 3)
AB ని R 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ R = \(\left(\frac{3(0)+1(-4)}{3+1}, \frac{3(6)+1(0)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{18}{4}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)

A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని నాలుగు సమానభాగాలుగా విభజించు బిందువులు (- 3, \(\frac{3}{2}\)), (- 2, 3) మరియు (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A (- 4, 0), B (0, 6) ల యొక్క రేఖాఖండమును P, Q, R లు వరుసగా నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకుందాం.

A, B ల మధ్య బిందువు Q
A, Q ల మధ్య బిందువు P
Q, B ల మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
కావున A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \([\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)/latex] = (- 2, 3)
A (- 4, 0), Q(- 2, 3) ల మధ్య బిందువు
P = [latex]\left(\frac{-4+(-2)}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-6}{2}, \frac{3}{2}\right)=\left(-3, \frac{3}{2}\right)\)

Q (- 2, 3), B (0, 6) ల మధ్య బిందువు R
R = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{3+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{2}, \frac{9}{2}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)
A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు P = (- 3, \(\frac{3}{2}\)), Q = (- 2, 3) , R = (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

ప్రశ్న 8.
బిందువులు A(- 2, 2) మరియు B(2, 8)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
పాదన.

A (- 2, 2), B (2, 8) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని P, Q, R లు నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకొనుము.
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2-6}{4}, \frac{8+6}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{14}{4}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

P= (- 1, \(\frac{7}{2}\))
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా Q, AB కి మధ్యబిందువు
∴ Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని R 3:1 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
R = \(\left(\frac{3(2)+1(-2)}{3+1}, \frac{3(8)+1(2)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{6-2}{4}, \frac{24+2}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)

A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు (- 1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5) మరియు (1, \(\frac{13}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A, B కి మధ్య బిందువు Q
A, Q కి మధ్య బిందువు P
Q, R కి మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)=\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

P = A(- 2, 2), Q (0, 5) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

R= Q(0, 5); B(2, 8) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{13}{2}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు (-1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5), (1, \(\frac{13}{2}\)).

ప్రశ్న 9.
బిందువులు (a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును అంతరంగా 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
(a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b) ల రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా P (x, y) 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.

∴ P (x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{3(a-b)+2(a+b)}{3+2} ; \frac{3(a+b)+2(a-b)}{3+2}\right)\)

= \(\left(\frac{3 a-3 b+2 a+2 b}{5}, \frac{3 a+3 b+2 a-2 b}{5}\right)\)

= \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు = \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\).

ప్రశ్న 10.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనండి.
(i) (- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6)
సాధన.
(- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6) బిందువులచే ఏర్పడే త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-1+6+(-3)}{3}, \frac{3+(-3)+6}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{3}, \frac{6}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)

(ii) (6, 2), (0,0) మరియు (4, – 7) .
సాధన.
(6, 2), (0, 0) మరియు (4, – 7) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6+0+4}{3} ; \frac{2+0+(-7)}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

(iii) (1, – 1), (0, 6) మరియు (- 3, 0)
సాధన.
(1, – 1), (0, 6) మరియు (-3, 0) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{1+0+(-3)}{3}, \frac{-1+6+0}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

∴ గురుత్వకేంద్రం = \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.1

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువుల మధ్య దూరంను కనుగొనండి.
(i) (2, 3) మరియు (4, 1)
సాధన.
A (2, 3) మరియు B (4, 1)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
A, B ల మధ్య దూరం
d = \(\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\)
∴ AB = 2√2 యూనిట్లు.

(ii) (- 5, 7) మరియు (- 1, 3)
సాధన.
A (- 5, 7) మరియు B (- 1, 3)
AB = d = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-1+5)^{2}+(3-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-1+5)^{2}+(-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}\)
∴ AB = 4√2 యూనిట్లు.

(iii) (- 2, – 3) మరియు (3, 2)
సాధన.
A (- 2, – 3) మరియు B (3, 2)
AB = d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{[3-(-2)]^{2}+[2-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}\)
∴ AB = 5√2 యూనిట్లు.

(iv) (a, b) మరియు (-a, -b) . సాధన. A (a, b) మరియు B (-a, – b)
AB = d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-2 a)^{2}+(-2 b)^{2}}=\sqrt{4\left(a^{2}+b^{2}\right)}\)
= \(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
∴ AB = 2\(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (0, 0) మరియు (36, 15) ల : మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
మూల బిందువు: (0, 0) నుండి (x, y ) బిందువు దూరం = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
(0, 0), (36, 15) బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{36^{2}+15^{2}}=\sqrt{1296+225}\)
= \(\sqrt{1521}\) = 39
(0, 0), (36, 15) బిందువుల మధ్య దూరం = 39 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (1, 5), (2, 3) మరియు (- 2, – 1) లు సరేఖీయాలో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A (1, 5), B (2, 3), C (- 2, – 1) అనుకుందాం.
AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2-1)^{2}+(3-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)

BC = \(\sqrt{(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}\)

AC = \(\sqrt{(-2-1)^{2}+(-1-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3 \sqrt{5}\)
ఏ రెండు కొలతలైనా (రేఖాఖండాల పొడవులు) మూడవ కొలతకు సమానం కాదు. కావున పై మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు.

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (5, -2), (6,4) మరియు (7, -2)లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయో? కావో ? చూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A = (5, – 2), B = (6, 4), C = (7, – 2) లు ∆ABC శీర్షాలు అనుకొందాం.

AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(6-5)^{2}+(4-(-2))^{2}}\)
= \(\sqrt{1+36}=\sqrt{37}\)

BC = \(\sqrt{(7-6)^{2}+(-2-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+36}=\sqrt{37}\)
∴ ∆ABC లో AB = BC
కావున ఇచ్చిన బిందువులు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజ శీర్షాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపినట్లు, ఒక తరగతిలో నలుగురు స్నేహితురాళ్ళు A, B, C, D స్థానాల్లో తరగతిలో అటూ ఇటూ తిరుగుతూ కొన్ని నిమిషాలు పరిశీలించిన తర్వాత, జరీనా ఫణిని ఇలా అడిగింది. “ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుందని నీవు భావించడం లేదా ?” అందుకు ఫణి ఒప్పుకోలేదు. ” బిందువుల మధ్య దూరంనకు సూత్రాన్నుపయోగించి – ఎవరి సమాధానం సరైనది ? ఎందుకు ? తెలపండి.

సాధన.
పై పటం నుండి A, B, C, D నిరూపకాలు A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4), D (6, 1)
లు
AB = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

BC = \(\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

CD = \(\sqrt{(6-9)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

DA = \(\sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

AB = BC = CD = DA

కర్ణాలు AC = \(\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{6^{2}+0}=\sqrt{36}\) = 6 యూనిట్లు.

BD = \(\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+(-6)^{2}}=\sqrt{36}\) = 6 యూనిట్లు.
AC = BD
□ ABCD యొక్క నాలుగు భుజాలు సమానం మరియు కర్ణాలు కూడా సమానాలు. కావున ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుంది. కాబట్టి జరీనా సమాధానము సరైనది.
(లేదా)
AB² + BC² = 18 + 18 = 36 = AC²
పైథాగరస్ సిద్దాంత విషర్యము నుండి ∠B = 90° అవుతుంది. AB = BC = CD = DA మరియు ∠B = 90°.
కావున □ ABCD ఒక చతురస్రము.

ప్రశ్న 6.
బిందువులు A(a, 0), B(- a, 0), C(0, a√3) అనునవి ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచగలవని చూపండి.
సాధన.

త్రిభుజ శీర్షాలు A (a, 0), B (- a, 0), C (o, a√3).
AB = | – a – a| = |- 2a| = 2a యూనిట్లు
BC = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{[0-(-a)]^{2}+(a \sqrt{3}-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{a^{2}+3 a^{2}}=\sqrt{4 a^{2}}\) = 2a యూనిట్లు.

AC = \(\sqrt{(0-a)^{2}+(a \sqrt{3}-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{a^{2}+3 a^{2}}=\sqrt{4 a^{2}}\) = 2a యూనిట్లు.
∴ AB = BC = CA = 2a
∴ ∆ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం.
(∵ సమబాహు త్రిభుజంలో అన్ని భుజాలు సమానాలు).

ప్రశ్న 7.
బిందువులు (- 7, – 3), (5, 10), (15, 8) మరియు (3, – 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజానికి శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు A (- 1, – 3), B (5, 10), C (15, 8), D (3, – 5)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{[5-(-7)]^{2}+[10-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+13^{2}}=\sqrt{144+169}\)
= √313 యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(15-5)^{2}+(8-10)^{2}}\)
= \(\sqrt{(10)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{100+4}\)
= \(\sqrt{100+4}=\sqrt{104}\) యూనిట్లు.

CD = \(\sqrt{(3-15)^{2}+[8-(-5)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-12)^{2}+13^{2}}=\sqrt{144+169}\)
= √313 యూనిట్లు

DA = \(\sqrt{(-7-3)^{2}+[-3-(-5)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-10)^{2}+2^{2}}\)
= \(\sqrt{100+4}=\sqrt{104}\) యూనిట్లు

పై కొలతల నుండి □ABCD చతుర్భుజంలో AB = CD మరియు BC = DA.
∴ □ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది.

ప్రశ్న 8.
బిందువులు (- 4, – 7), (- 1, 2), (8, 5) మరియు (5, 4) లు వరుసగా ఒక సమచతుర్భుజం (రాంబస్) యొక్క శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి. దాని వైశాల్యం కనుగొనండి. (సూచన : రాంబస్ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × కర్ణముల లబ్ధం)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు AC(- 4, – 7), B (- 1, 2), C (8, 5), D (5, – 4)

రెండు బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{[-1-(-4)]^{2}+[2-(-7)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(3)^{2}+9^{2}}=\sqrt{9+81}\)
= √90 యూనిట్లు,

BC = \(\sqrt{[8-(-1)]^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{9^{2}+3^{2}}=\sqrt{81+9}\)
= √90 యూనిట్లు,

CD = \(\sqrt{(5-8)^{2}+(-4-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+81}=\sqrt{90}\) యూనిట్లు.

DA = \(\sqrt{[5-(-4)]^{2}+[-7-(-4)]^{2}}\)
= \(\sqrt{9^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+81}=\sqrt{90}\) యూనిట్లు.

పై కొలతల నుండి AB = BC = CD = DA.
కావున ఇచ్చిన నాలుగు బిందువులు వరుసగా ఒక సమచతుర్భుజం (రాంబస్)ను ఏర్పరుస్తాయి.
d₁ = BD = \(\sqrt{5-(-1)^{2}+(-4-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{6^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{36 \times 2}\)
= 6√2

d₂ = AC = \(\sqrt{[8-(-4)]^{2}+[5-(-7)]^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+12^{2}}=\sqrt{144+144}\)
= \(\sqrt{2 \times 144}\) = 12√2

రాంబస్ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × కర్ణాల లబ్ధం
= \(\frac{1}{2}\) d₁d₂
= \(\frac{1}{2}\) × 6√2 × 12√2
= 36 × 2 = 72 చ.యూ.

ప్రశ్న 9.
క్రింద ఇవ్వబడిన బిందువులతో ఏర్పడే చతుర్భుజం ఏ రకమైనది ? దాని పేరును తెలపండి. మీ సమాధానానికి సరైన కారణం తెలపండి.
(i) (- 1, – 2), (1, 0), (- 1, 2), (- 3, 0)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (- 1, – 2), B (1, 0), C (- 1, 2), D (- 3, 0)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం , d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{[1-(-1)]^{2}+[0-(-2)]^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

BC = \(\sqrt{(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

CD = \(\sqrt{[-3-(-1)]^{2}+(0-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

DA = \(\sqrt{[-1-(-3)]^{2}+[0-(-2)]^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

∴ AB = BC = CD = DA.
ఇప్పుడు AC = \(\sqrt{[-1-(-1)]^{2}+[2-(-2)]^{2}}\)
= \(\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}\) = 4 యూనిట్లు

BD = \(\sqrt{(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}\) = 4 యూనిట్లు
∴ AC = BD.
ABCD బిందువులు ఏర్పరిచే చతుర్భుజంలో నాలుగు భుజాలు సమానం మరియు కర్ణాలు కూడా సమానము.
కావున ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుంది.

(ii) (- 3, 5), (1, 10), (3, 1), (- 1, – 4)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A(- 3, 5), B(1, 10), C(3, 1), D(- 1, – 4)
\(\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(1+3)^{2}+(10-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\)

\(\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{(3-1)^{2}+(1-10)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+81}=\sqrt{85}\)

\(\overline{C D}=\sqrt{(-1-3)^{2}+(-4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\)

\(\overline{\mathrm{AD}}=\sqrt{(-1+3)^{2}+(-4-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+81}=\sqrt{85}\)

\(\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{(3+3)^{2}+(1-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\)

\(\overline{\mathrm{BD}}=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-4-10)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+196}=\sqrt{200}=10 \sqrt{2}\)

□ABCD లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{CD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}\) = \(\overline{\mathrm{AD}}\) (∵ ఎదురెదురు భుజాలు సమానం) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) ≠ \(\overline{\mathrm{BD}}\).
కావున, □ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. ఇచ్చిన బిందువులతో సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడుతుంది.
□ABCD లో AB = CD, BC = AD మరియు AC ≠ BD.

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A (4, 5), B (7, 6), C (4, 3), D (1, 2)
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+1^{2}}\)
= \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\) యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(4-7)^{2}+(3-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
= 3√2 యూనిట్లు

CD = \(\sqrt{(1-4)^{2}+(2-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}\)
= √10 యూనిట్లు

DA = \(\sqrt{(4-1)^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\) = 3√2 యూనిట్లు
AB = CD మరియు BC = DA

ఇప్పుడు కర్ణాలు AC = \(\sqrt{(4-4)^{2}+(3-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+(-2)^{2}}=\sqrt{4}\) = 2 యూనిట్లు

BD = \(\sqrt{(1-7)^{2}+(2-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-6)^{2}+(-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\) యూనిట్లు
AC ≠ BD
∴ ABCD బిందువులతో ఏర్పడే చతర్భుజం యొక్క ఎదురెదురు భుజాలు సమానం మరియు కర్ణాలు అసమానాలు. కావున □ ABCD దీర్ఘచతురస్రం కానటువంటి సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
x-అక్షంపై ఉంటూ బిందువులు (2, – 5) మరియు (- 2, 9) లకు సమాన దూరంలోనున్న బిందువును కనుగొనండి.
సాధన.
x-అక్షంపై గల బిందువు (x, 0) రూపంలో ఉంటుంది.
P (x, 0) బిందువు A (2, – 5) మరియు B (- 2, 9) లకు సమాన దూరంలో కలదు అనుకొనుము.
∴ AP = BP ⇒ AP² = BP²
AP = \(\sqrt{(2-x)^{2}+(-5-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{4-4 x+x^{2}+25}\)
= \(\sqrt{x^{2}-4 x+29}\)

AP² = x² – 4x + 29

BP = \(\sqrt{(-2-x)^{2}+(9-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4 x+x^{2}+81}\)
= \(\sqrt{x^{2}+4 x+85}\)

BP² = x² + 4x + 85
AP² = BP².
x² – 4x + 29 = x² + 4x + 85
x² – 4x – x² – 4x = 85 – 29
– 8x = 56
8x = – 56 ⇒ x = \(\frac{-56}{8}\) = – 7
∴ కావలసిన బిందువు P= (- 7, 0)

సరిచూచుకోవడం :
AP = \(\sqrt{[2-(-7)]^{2}+(-5-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{9^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{81+25}\)
= √107 యూనిట్లు

BP = \(\sqrt{[-2-(-7)]^{2}+(9-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}+9^{2}}=\sqrt{25+81}\)
= √107 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 11.
బిందువులు (x, 7) మరియు (1, 15) ల మధ్య దూరం 10 యూనిట్లు, అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (x, 7), B (1, 15)
AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(1-x)^{2}+(15-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{1-2 x+x^{2}+64}\)

AB = \(\sqrt{x^{2}-2 x+65}\)

లెక్క ప్రకారం AB = 10 యూనిట్లు
= \(\sqrt{x^{2}-2 x+65}\) = 10
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
∴ x² – 2x + 65 = 100
x² – 2x + 65 – 100 = 0
x² – 2x – 35 = 0
x² – 7x + 5x – 35 = 0
x (x -7) + 5 (x – 7) = 0
(x – 7) (x + 5) = 0
x – 7 = 0 లేదా x + 5 = 0
x = 7 లేదా x = – 5
∴ x = 7 లేదా – 5.

ప్రశ్న12.
బిందువులు P(2, – 3) మరియు Q(10, y) ల మధ్య దూరం 10 యూనిట్లు, అయిన y విలువ ఎంత?
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు P (2, – 3) మరియు Q (10, y)
PQ = \(\sqrt{(10-2)^{2}+[y-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{8^{2}+(y+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{64+y^{2}+6 y+9}\)
= \(\sqrt{y^{2}+6 y+73}\)
లెక్క ప్రకారం PQ = 10 యూనిట్లు
\(\sqrt{y^{2}+6 y+73}\) = 10
y² + 6y + 73 = 100 (∵ ఇరువైపులా వర్గం చేయగా)
y² + 6y – 27 = 0
y² + 9y – 3y – 27 = 0
y (y + 9) – 3 (y + 9) = 0
(y + 9) (y – 3) = 0 .
y + 9 = 0 లేదా y – 3 = 0
y = – 9 లేదా y = 3
∴ y = – 9 లేదా 3.

ప్రశ్న 13.
బిందువు, (- 5, 6) గుండా పోవు వృత్తం యొక్క కేంద్రం (3, 2) అయిన దాని వ్యాసార్ధంను కనుగొనండి.
సాధన.

వృత్తకేంద్రం O = (3, 2)
వృత్తంపై ఒక బిందువు A = (- 5, 6)
వృత్త వ్యాసార్థం OA = \(\sqrt{(-5-3)^{2}+(6-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-8)^{2}+4^{2}}=\sqrt{64+16}\) = √80
= \(\sqrt{16 \times 5}=\sqrt{4 \times 4 \times 5}\) = 4√5
వృత్త వ్యాసార్థం r = 4√5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 14.
బిందువులు (1, 5), (5, 8) మరియు (13, 14)లతో త్రిభుజమును గీయగలమా ? కారణం తెల్పండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A (1, 5), B (5, 8), C (13, 14)
∴ రెండు బిందువుల మధ్య దూరం
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
∴ AB = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(8-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}\)
= √25 = 5

BC = \(\sqrt{(13-5)^{2}+(14-8)^{2}}\)
= \(\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}\)
= √100 = 10

AC = \(\sqrt{(13-1)^{2}+(14-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= √225 = 15
పై కొలతల నుండి, AB + BC = AC కావున A, B, C లు సరేఖీయాలు.
కాబట్టి A, B, C బిందువులగుండా త్రిభుజాన్ని గీయలేము.

ప్రశ్న 15.
బిందువు (x, y), (- 2, 8) మరియు (- 3, – 5) లకు సమాన దూరంలో ఉన్నది. అయిన x మరియు y ల
మధ్య సంబంధమును కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
P (x, y), A (- 2, 8), B (- 3, – 5) అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం,
∴ AP = BP = AP² = BP² ……… (1)
∴ AP = \(\sqrt{[(-2-x)]^{2}+(8-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+4 x+4+y^{2}-16 y+64}\)

AP² = x² + y² + 4x – 16y + 68

BP = \(\sqrt{[x-(-3)]^{2}+[y-(-5)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(x+3)^{2}+(y+5)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+6 x+9+y^{2}+10 y+25}\)

BP = x² + y² + 6x + 10y + 34
AP = BP
∴ x² + y² + 4x – 16y + 68 = x² + y² + 6x + 10y + 34
x² + y² + 4x – 16y + 68 – x² – y² – 6x – 10y – 34 = 0
– 25 – 26y + 34 = 0
∴ – 2[x + 13y – 17] = 0
X + 13y = 17.

గమనిక : (- 3, – 5) మరియు (- 2, 8) లకు సమానదూరంలో గల బిందువులు C, D, E, F, G, H, I, J, ……. x + 13y – 17 = 0 సరళరేఖపై ఉంటాయి.
ఈ సరళరేఖ AB రేఖాఖండాన్ని లంబ సమద్విఖండన చేస్తుంది. ఒక రేఖండం యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖపై గల బిందువులు ఆ రేఖాఖండం యొక్క చివరి బిందువులకు సమాన దూరంలో ఉంటాయి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
పరిమిత అంకశ్రేణికి 3 ఉదాహరణలు, అనంత అంకశ్రేణికి 3 ఉదాహరణలు ఇమ్ము. (పేజీ నెం. 130)
సాధన.
పరిమిత అంకశ్రేఢులు :
(i) 0, 5, 10, 15, 20, 25
(ii) 50, 47, 44, 41, ………., 11
(iii) 5, 41, 4, 3, ………., \(\frac{1}{2}\)
అనంత అంకశ్రేఢులు :
(i) 0, 5, 10, 15, 20, 25, ………….
(ii) 50, 47, 44, 41, ……………..
ti) 5, 41, 4, 3, ………..

ప్రశ్న2.
ఏదైనా ఒక అంకశ్రేణిని తీసుకొనుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10, 13, 16, 19, 22, ………, 52.

ప్రశ్న 3.
జాబితాలోని ప్రతి పదమునకు ఏదైనా ఒక స్థిర సంఖ్యను కలుపుము. ఫలిత సంఖ్యలను జాబితా రూపంలో రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10 + 2, 13 + 2, 16 + 2, 19 + 2, 22 + 2, …… 52 + 2
జాబితారూపం : 12, 15, 18, 21, 24, ….., 54.

ప్రశ్న 4.
అదే విధంగా అంకశ్రేణిలో ప్రతి పదము నుంచి ఏదైనా ఒక స్థిర సంఖ్యను తీసివేసి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10 – 4, 13 – 4, 16 – 4, 19 – 4, 22 – 4, ………., 52 – 4
జాబితారూపం :
6, 9, 12, 15, 18, ……. 48.

ప్రశ్న 5.
అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదమును ఏదైనా ఒక స్థిరసంఖ్యచే గుణించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. మరియు అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదమును ఏదైనా ఒక స్థిరసంఖ్యచే భాగించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
a) 10 × 5, 13 × 5, 16 × 5, 19 × 5, 22 × 5, …………, 52 × 5
జాబితారూపం :
50, 65, 80, 95, 110 ……. 260

b) \(\frac{10}{4}\), \(\frac{13}{4}\), \(\frac{16}{4}\), \(\frac{19}{4}\), \(\frac{22}{4}\), ……………… \(\frac{52}{4}\)
జాబితారూపం :
2\(\frac{1}{2}\), 3\(\frac{1}{4}\), 4, 4\(\frac{3}{4}\), 5\(\frac{1}{2}\), ……, 13.

ప్రశ్న 6.
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలన్నీ అంకశ్రేఢులు అవుతాయేమో పరిశీలించుము. (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలు :
12, 15, 18, 21, 24 ………, 54 అంకశ్రేఢి
6, 9, 12, 15, 18 ………., 48 అంకశ్రేఢి
50, 65, 80, 95, 110 ……. 260 అంకశ్రేఢి
2\(\frac{1}{2}\), 3\(\frac{1}{4}\), 4, 4\(\frac{3}{4}\), 5\(\frac{1}{2}\), ……, 13-అంకశ్రేణి
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలన్నీ అంకశ్రేడులే.

ప్రశ్న 7.
చివరగా నీ అభిప్రాయం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కలిపినా, తీసివేసినా, గుణించినా, భాగించినా వచ్చే సంఖ్యలు కూడా అంకశ్రేణిలో ఉంటాయి. (భాగహారంలో స్థిర సంఖ్యగా సున్నాను తీసుకోకూడదు.)

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
(i) క్రింది వానిలో ఏవి అంకశ్రేఢులు ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 128)
(a) 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15, ……
సాధన.
అంకశ్రేణి కాదు. ఎందుకనగా మొదటి పదం 2కు 1 కలిపితే 2వ పదం 3 వస్తుంది. కాని రెండవ పదంకు 2 కలిపితే 3వ పదం 5 వస్తుంది. ఇక్కడ రెండు సందర్భాలలోను కలుపుతున్న స్థిరసంఖ్య సమానంగా లేదు.

(b) 2, 5, 7, 10, 12, 15, ………….
సాధన.
అంకశ్రేణి కాదు. ఎందుకనగా
మొదటి పదం 2కు 3 కలపడం వలన 2వ పదం 5, అలాగే 2వ పదానికి 2 కలపడం వలన 3వ పదం 7 వస్తున్నది. కాని 3వ పదం 7కు 3 కలపడం వలన 4వ పదం 10 వస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలోను
కలుపుతున్న స్థిరసంఖ్య సమానంగా లేదు.

(c) – 1, – 3, – 5, – 1, …………..
సాధన.
అంకశ్రేణి. ఎందుకనగా ..
మొదటి పదం – 1కు – 2 కలిపిన 2వ పదం -3, – 2వ పదం – 3కు – 2 కలిపిన 3వ పదం – 5, 3వ పదం .- 5కి – 2 కలిపిన 4వ పదం – 7 వస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలోను ఒకే స్థిరసంఖ్య – 2 ను
కలుపుతున్నాము.

(ii) ఏవైనా మూడు అంకశ్రేఢులను రాయుము. (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
(i) 1, 4, 7, 10, 13, 16, ………….
(ii) 4, 1, -2, -5, -8, ………….
(iii) 5, 15, 25, 35, 45, …………

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

(a) ఒక పాఠశాలలో ప్రార్థనా సమయంలో వరుసగా నిలబడిన విద్యార్థుల ఎత్తులు (సెం.మీ.లలో) 147, 148, 149, ……. 157. (పేజీ నెం. 129)
(b) ఒక పట్టణములో జనవరి మాసంలో ఒక వారంలో నమోదైన కనిష్ట ఉష్ణోగ్రతల ఆరోహణ క్రమము – 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
(c) ₹ 1000 ల అప్పు 5% సొమ్మును ప్రతీ నెల చెల్లిస్తున్న, ప్రతి నెల చివర ఇంకనూ చెల్లించవలసిన సొమ్ము ₹ 950, ₹ 900, ₹ 850, ₹ 800, …, ₹ 50.
(d) ఒక పాఠశాలలో 1 నుంచి 12వ తరగతి వరకూ ప్రతి తరగతిలో అత్యధిక మార్కులు సాధించిన వారికి ఇచ్చే బహుమతుల విలువ వరుసగా ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350, ……₹ 750
(e) 10 నెలలలో ప్రతి నెలలో ₹ 50 లు చొప్పున పొదుపు చేసిన ప్రతినెల చివరలో ఉండే మొత్తం సొమ్ము వరుసగా ₹ 50, ₹ 100, ₹ 150, ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300,
₹ 350, ₹ 400, ₹ 450, ₹ 500.

ప్రశ్న 1.
పైన పేర్కొనబడిన ప్రతి జాబితా ఏవిధంగా అంకశ్రేణి అవుతుందో ఆలోచించుము. మీ మిత్రునితో చర్చించుము.(పేజీ నెం. 129)
సాధన.
(a) 147 , 148, 149, …….., 157
సామాన్యభేదం
d = 148 – 147 = 149 – 148 = …… = 1
జాబితాలోని ప్రతిపదం దాని ముందున్న పదానికి 1 కలపడం వలన వస్తుంది. కావున అంకశ్రేఢి అవుతుంది.

(b) – 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
సామాన్య భేదం d = – 3.0 – (-3.1)
= – 2.9 – (- 3.0) = …….. = 0.1
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(c) 950, 900, 850, 800, ……, 50
సామాన్యభేదం d = 900 – 950
= 850 – 900 = ….. = – 50
సామాన్య భేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(d) 200, 250, 300, 350, . . . . ., 750
సామాన్యభేదం d = 250 – 200
= 300 – 250 = …. = 50
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(e) 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500
సామాన్యభేదం d = 100 – 50
= 150 – 100 = …… = 50,
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
పైన ఇవ్వబడిన ప్రతి జాబితాకు సామాన్యభేదంను కనుగొనుము. సామాన్యభేదం ఎప్పుడు ధనాత్మకమో ఆలోచించుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
(a) సామాన్యభేదం d = 148 – 147 = 1
(b) సామాన్యభేదం d = – 3.0 – (- 3.1) = – 3.0 + 3.1= 0.1
(c) సామాన్యభేదం d = 900 – 950 = – 50
(d) సామాన్యభేదం d = 250 – 200 = 50
(e) సామాన్యభేదం d = 100 – 50 = 50
అంకశ్రేణిలోని పదాలు ఆరోహణక్రమంలో ఉంటే సామాన్యభేధం ధనాత్మకము.

ప్రశ్న 3.
సామాన్యభేదం ఒక చిన్న ధనాత్మక విలువ వుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణిని తయారుచేయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాదన.
2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, ………, 3.

ప్రశ్న 4.
సామాన్యభేదం ఒక పెద్ద ధనాత్మక విలువగా వుండేటట్లు ఒక
అంకశ్రేణిని తయారుచేయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
2, 1002, 2002, 3002, 4002, ……..

ప్రశ్న 5.
సామాన్య భేదం ఋణాత్మకంగా వుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణిని రాయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన. 20, 16, 12, 8, 4, 0, ……….

కృత్యము:

(i) అగ్గిపుల్లల సహాయంతో క్రింది ఆకారాలను ఏర్పరచుము. :(పేజీ నెం. 129)

సాధన.

(ii) ప్రతి ఆకారానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను వరుసగా రాయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
అగ్గిపుల్లల సంఖ్య 3, 5, 7, 9.

(iii) జాబితాలో రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య గల భేదం ఒకే విధంగా (స్థిరంగా) ఉందా ? (పేజీ నెం. 130)
సాధన.
రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్యగల భేదం ఒకే విధంగా 2కు సమానంగా ఉంది.

(iv) ఈ సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి అవుతుందా ?
సాధన.
అవును, అంకశ్రేణి అవుతుంది. . (పేజీ నెం. 130)

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి అంకశ్రేణిలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 143)

(i) 16, 11, 6, ………., 23 పదాలు.
సాధన.
a = 16, d = a₂ – a₁ = 11 – 16 = – 5, n = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
23 పదాల మొత్తం S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [2(16) + (23 – 1)(- 5)]
= \(\frac{23}{2}\) [32 – 110]
= \(\frac{23 \times(-78)}{2}\) = – 23 × 39 = – 897

(ii) – 0.5, – 1.0, – 1.5, ………….., 10 పదాలు.
సాధన.
a = – 0.5, d = a₂ – a₁ = (- 1.0) – (- 0.5) = – 0.5, n = 10
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(- 0.5) + (10 – 1)(- 0.5)]
= \(\frac{10}{2}\) [- 1.0 + 9(- 0.5)]
= 5[- 1.0 – 4.5]
= 5[- 5.5] = – 27.5
S₁₀ = – 27.5

(iii) -1, \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{2}\), ……. 10 పదాలు.
సాధన.
a = – 1, d = a₂ – a₁
= \(\frac{1}{4}\) – (- 1) = 1 + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{5}{4}\)
n = 10
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(- 1) + (10 – 1)(\(\frac{5}{4}\))]
= 5[- 2 + 9 × \(\frac{5}{4}\)]
= 5[- 2 + \(\frac{45}{4}\)]
= 5 \(\left[\frac{-8+45}{4}\right]\)
S₁₀ = \(\frac{5 \times 37}{4}=\frac{185}{4}\) = 46.25.

ఇవి చేయండి:
క్రింది వానిలో గుణశ్రేడులు కానివేవో కొనుగొనుము.

ప్రశ్న 1.
6, 12, 24, 48, …………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{12}{6}\) = 2;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{24}{12}\) = 2;

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{48}{24}\) = 2
ప్రతి సందర్భంలోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 2
కావున గుణ శ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
1, 4, 9, 16, …………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{1}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{9}{4}\) = 2;
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{16}{9}\) = 2 ………….
అన్ని సందర్భాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) సమానంకాదు. కావున గుణశ్రేణి కాదు.

ప్రశ్న 3.
1, – 1, 1, – 1, ………………….
సాధన.
అన్ని పదాలు ‘శూన్యేతరాలు.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-1}{1}\) = – 1;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{-1}\) = – 1,

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-1}{1}\) = – 1
అన్ని సందర్భాలు \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 1
కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
– 4, – 20, – 100, – 500, ………..
సాధన.
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-20}{-4}\) = 5;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-100}{-20}\) = 5;

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-500}{-100}\) = 5
అన్ని సందర్భా లలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 5.
కావున ఇది గుణ శ్రేణి అవుతుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన ప్రతి జాబితా ఎందుకు గుణశ్రేఢి అవుతుందో వివరించుము. (పేజీ నెం. 149)
1వ జాబితా : 1, 4, 16, 64, 256, ……….
సాధన.
1, 4, 16, 64, 256, …………….
ఇప్పుడు \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{a_{5}}{a_{4}}\) = 4
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

2వ జాబితా : 550, 605, 665.5, …………….
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{605}{550}=\frac{11}{10}\)
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{665.5}{60.5}=\frac{6655}{6050}=\frac{11}{10}\)
ప్రతి సందర్భం లోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = \(\frac{11}{10}\)
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

3వ జాబితా : 256, 128, 64, 32, …………
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{128}{256}=\frac{1}{2}\);
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{64}{128}=\frac{1}{2}\);
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}\)
ప్రతి సందర్భం లోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = \(\frac{1}{2}\)
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

4వ జాబితా : 18, 16.2, 14.58, 13.122, ……..
సాధన.
18, 16.2, 14.58, 13.122, ………..
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16.2}{18}=\frac{162}{180}=\frac{9}{10}\) = 0.9
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{14.58}{16.2}=\frac{1458}{1620}\) = 0.9
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{13.122}{14.58}=\frac{13122}{14580}\) = 0.9
అన్ని సందర్భాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 0.9 (సమానము).
కావున ఇది గుణ శ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
ఒక గుణశ్రేణిని నిర్ణయించుటకు కావలసిన అంశాలేమిటి ? (పేజీ నెం. 149)
సాధన.
ఒక గుణ శ్రేణిని నిర్ణయించుటకు కావలసిన అంశాలు: అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
1) మొదటి పదము
2) సామాన్య నిష్పత్తి
3) శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
అంకశ్రేణి \(\frac{1}{4}\), \(\frac{-1}{4}\), \(\frac{-3}{4}\), \(\frac{-5}{4}\), ……, లో మొదటి పదం a ను, సామాన్య భేదం d లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
మొదటి పదం a = \(\frac{1}{4}\)
సామాన్య భేదం d = \(\frac{-1}{4}\) – \(\frac{4}{4}\)
= \(\frac{-1-1}{4}\)
= \(\frac{-2}{4}\) = \(\frac{-1}{2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానిలో ఏవి అంకశ్రేఢులు? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయితే తరువాత వచ్చే రెండు పదాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 132)
(i) 4, 10, 16, 22, . . .
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 10 – 4 = 6
d = a₃ – a₂ = 16 – 10 = 6
d = a₄ – a₃ = 22 – 16 = 6
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానము.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి. జాబితాలో తరువాత రెండు పదాలు : 22 + 6 = 28 మరియు 28 + 6 = 34.

(ii) 1, – 1, – 3, – 5, . . . . .
సాధన.
d = a₂ – a₁ = – 1 – 1 = – 2
d = a₃ – a₂ = – 3 – (- 1)
= – 3 + 1 = – 2
d = a₄ – a₃ = – 5 – (- 3)
= – 5 + 3 = – 2
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానము.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి.
జాబితాలో తరువాత రెండు పదాలు : – 5 + (- 2) = – 7 మరియు – 7 + (- 2) = – 9.

(iii) – 2, 2, – 2, 2, – 2, …….
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 2 – (- 2) = 2 + 2 = 4
d = a₃ – a₂ = – 2 – 2 = – 4
ఇక్కడ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ కావున అంకశ్రేణి కాదు.

(iv) 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, …………..
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 1 – 1 = 0
d = a₃ – a₂ = 1 – 1 = 0
d = a₄ – a₃ = 2 – 1 = 1
ఇచ్చట, a₂ – a₁ = a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₂
అనగా ఇచ్చిన సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(v) x, 2x, 3x, 4x ………..
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 2x – x = x
d = a₃ – a₂ = 3x – 2x = x
d = a₄ – a₃ = 4x – 3x = x
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానం.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి.
జాబితాలో తరువాత 2 పదాలు : 4x + x = 5x మరియు 5x + x = 6x.

ప్రశ్న 3.
5, 1, – 3, – 7 . . . అంకశ్రేణిలో. 10వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 136)
సాధన.
5, 1, -3, -7. . . .
a = 5, d = a₂ – a₁ = 1 – 5 = – 4 మరియు n = 10.
n వ పదం a_n = a + (n – 1) d
a₁₀ = 5 + (10 – 1) (- 4)
= 5 – 36 = – 31
∴ అంకశ్రేణిలో 10వ పదము = -31.

ప్రశ్న 6.
21, 18, 15, ……. అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము ‘- 81’ అవుతుంది ? ఏదైనా ఒక పదము ‘0’ అవుతుందా ? నీ సమాధానమునకు కారణాలిమ్ము. (పేజీ నెం. 136)
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 21, 18, 15, ……
a = 21, d = a₂ – a₁ = 18 – 21 = – 3 మరియు a_n = – 81.
n వ పదం a_n = a + ( n – 1) d
– 81 = 21 + (n – 1) (- 3)
– 81 = 21 – 3n + 3
– 81 = 24 – 31
– 81-24 = – 3n
– 105 = – 3n
\(\frac{105}{3}\) = 35
∴. n = 35.
అనగా పై అంకశ్రేణిలో 35వ పదము – 81 అవుతుంది.
తరువాత ఒక పదం 0 అవుతుందా అనగా a_n = 0.
అయ్యే విధంగా n ∈ N అయ్యేటట్లు nను కనుగొనాలి.
a_n = a + (n – 1) 4 = 0
21 + (n – 1) (- 3) = 0
21 – 3n + 3 = 0
24 = 3n
n = \(\frac{24}{3}\) = 8
n = 8 మరియు 8 ∈ N అనగా అంకశ్రేణిలో 8వ పదము సున్నా అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
3వ పదము 5; 7వ పదము 9గా వుండునట్లు ఒక అంకశ్రేణిని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
లెక్క ప్రకారం,
a₃ = a + 2d = 5 ……. (1)
a₇ = a + 6d = 9……… (2)
సమీకరణాలు (1) మరియు (2) ల నుంచి,
(2) – (1)

d = 1 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(1) = 5
⇒ a = 5 – 2 = 3
∴ a = 3, 4 = 1.
∴ కావలసిన అంకశ్రేణి : 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ………..

ప్రశ్న 8.
5, 11, 17, 23, . . . జాబితాలో 301 ఉంటుందో లేదో కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
ఇచ్చిన జాబితా
5, 11, 17, 23, . . . .
a₂ – a₁= 11 – 5 = 6,
a₃ – a₂ = 17 – 11 = 6,
a₄ – a₃ = 23 – 17 = 6
……………………….
అన్ని సందర్భాలలో a_{k + 1} – a_k సమానము.
∴ ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
ఈ అంకశ్రేణిలో a = 5, d = 6 మరియు ఈ జాబితాలో nవ పదం a_n = 301 అనుకొందాం.
అప్పుడు, a_n = a + (n – 1) d = 301
= 5 + (n – 1) 6 = 301
= 5 + 6n – 6 = 301
6n – 1 = 301
6n = 301 + 1 = 302
n = \(\frac{302}{6}=\frac{151}{3}\)
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య అవుతుంది.
కాని \(\frac{151}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు. కావున 301 ఇచ్చిన జాబితాలో ఉండదు.

ప్రశ్న 9.
3 చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ? (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
3చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యల జాబితా : 12, 15, 18, 21, …………., 99
ఇది ఒక అంకశ్రేణి, ఇక్కడ a = 12, d = 3 మరియు a_n = 99.
a_n = a + (n – 1) d = 99
= 12 + (n – 1) 3 = 99
= 12 + 3n – 3 = 99
3n + 9 = 99
3n = 99 – 9 = 90
n = \(\frac{90}{3}\) = 30
∴ 3చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు 30 కలవు.

ప్రశ్న 10.
10, 7, 4, . . ., – 62 అంకశ్రేణిలో చివరి నుంచి 11వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 138)
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 10, 7, 4, …….., – 62 లో చివరి
నుంచి 11వ పదమును కనుగొనవలెనన్న ముందుగా ఈ శ్రేణిలో ఎన్ని పదాలున్నాయో కనుగొనవలెను.
∴ a = 10, d = a₂ – a₁ = 7 – 10 = – 3,
a_n = – 62
a_n = a + (n – 1) d = – 62.
= 10 + (n – 1) (- 3) = – 62
10 – 3n + 3 = – 62
– 3n = – 62 – 13 = – 75
3n = 75
⇒ n = \(\frac{175}{3}\) = 25
∴ n = 25.
అనగా ఇవ్వబడిన శ్రేణిలో 25 పదాలుంటాయి. (25 – 11) + 1 = 14 + 1 = 15
కావున చివరి నుండి 11వ పదం మొదటి నుండి 15వ పదం అవుతుంది.
∴ a₁₅ = 10 + (15 – 1) (- 3)
= 10 + (14) (-3)
= 10 – 42 = – 32
∴ చివరి నుండి 11వ పదం = – 32.

ప్రశ్న 11.
₹ 1000 లకు సంవత్సరానికి 8% బారు వడ్డీ ప్రకారము ప్రతి సంవత్సరానికి అయ్యే వడ్డీని కనుగొనుము. ఈ వడ్డీల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి అవుతుందా ? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయితే 30వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 138)
(లేదా)
రూ. 1,000 లను 8% బారువడ్డీ చొప్పున ప్రతి సంవత్స రానికి అయ్యే వడ్డీని లెక్కగట్టుము. 1వ, 2వ మరియు 3వ సంవత్సరాలకు అయిన వడ్డీలు అంకశ్రేణిని సూచిస్తాయా? అయితే 30 సంవత్సరాలకు చెల్లించవలసిన మొత్తం వడ్డీ ఎంత ?
సాధన.
అసలు = ₹ 1000, R = 8%
బారువడ్డీ I = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\)
∴ 1వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 1}{100}\) = ₹ 80

2వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 2}{100}\)= ₹ 160

3వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 3}{100}\) = ₹ 240

4వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 4}{100}\) = ₹ 320
………………………………………………..
………………………………………………..

∴ 1వ, 2వ, 3వ, 4వ సం||ల చివర అయ్యే వడ్డీల విలువలు వరుసగా 80, 160, 240, 320, ………….
పై జాబితాలో ఏ రెండు వరుస పదాల భేదము (80) స్థిరము.
కావున ఇది ఒక అంకశ్రేణి అవుతుంది. 30 సం||ల చివర అయ్యే వడ్డీని 230 అవుతుంది.
∴ a₃₀ = a + (30 – 1) d
= 80 + 29 × 80
= 80 + 2320
a₃₀ = 2400
30 సం||ముల చివర అయ్యే వడ్డీ = ₹ 2400.
(లేదా)
∴ 30 సంవత్సరాలలో చెల్లించు మొత్తం వడ్డీ = S₃₀ = \(\frac{n}{2}\) (a + 1)
= \(\frac{30}{2}\) (80 + 2400)
= 15 × 2840 = రూ. 37200.

ప్రశ్న 12.
ఒక పూలపాదులో మొదటి వరుసలో 23 గులాబీ చెట్లు, రెండవ వరుసలో 21, మూడవ వరుసలో 19 ….. ఉన్నాయి. చివరి వరుసలో 5 చెట్లు ఉన్న ఎన్ని వరుసలలో గులాబీ చెట్లు కలవు ? (పేజీ నెం. 139)
సాధన.
1వ, 2వ, 3వ, ……. వరుసలలో గల గులాబీ చెట్లు 23, 21, 19, ………, 5
ఏ రెండు వరుస పదాల భేదమైనా 2. కావున అంకశ్రేణి.
∴ పూలపాదులలోని వరుసల సంఖ్య n అయిన a = 23, d = 21 – 23 = – 2 మరియు a_n = 5
a_n = a + (n – 1) d = 5
= 23 + (n – 1) (- 2) = 5
= 23 – 2n + 2 = 5
= 25 – 2n = 5
= – 2n = 5 – 25 = – 20
∴ 2n = 20
n = \(\frac{20}{2}\) = 10
∴ n = 10
∴ పూలపాదులోని వరుసల సంఖ్య = 10.

ప్రశ్న 13.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి పదం 10 మరియు మొదటి 14 పదాల మొత్తము 1050 అయిన 20వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 143)
సాధన.
ఇక్కడ a = 10, S₁₄ = 1050, n = 14
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₄ = \(\frac{10}{2}\) [2(10) + (14 – 1) d] = 1050
7 [20 + 13d] = 1050
140 + 91d = 1050
91d = 1050 – 140 = 910
d = \(\frac{910}{91}\) = 10
∴ 20 వ పదం a₂₀ = 10 + (20 – 1) 10
[a_n = a + (n – 1) d].
= 10 + 190
a₂₀ = 200.

ప్రశ్న 14.
24, 21, 18, . .. అంకశ్రేణిలో ఎన్ని పదాల మొత్తం 78 అవుతుంది ? (పేజీ నెం. 143)
సాధన.
ఇచ్చట a = 24, d = a₂ – a₁
= 21 – 24 = – 3,
S_n = 78, n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [48 + (n – 1) ( – 3)] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [ 48 – 3n + 3] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [51 – 3n] = 78
51n – 3n² = 78 X 2 = 156
– 3n² + 51n – 156 = 0
– 3 [n² – 17n + 52] = 0
n² – 17n + 52 = 0
n² – 4n – 13n + 52 = 0
n (n – 4) – 13 (n – 4) = 0
(n – 4) (n – 13) = 0
∴ n – 4 = 0 లేదా n – 13 = 0
⇒ n = 4 లేదా 13 n యొక్క రెండు విలువలు సహజసంఖ్యలే కావున రెండు విలువలు తీసుకొనవచ్చును. అనగా పదాల సంఖ్య 4 లేదా 13.

ప్రశ్న 15.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యలు
(ii) మొదటి nధనపూర్ణ సంఖ్యలు (పేజీ నెం. 144)
సాధన.
(i) మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …….. 1000 , ఇవి A.P లో కలవు.
a = 1, d = 2 – 1 = 1; n = 1000 మరియు l = 1000 (∵ l చివరి పదము)
S_n = \(\frac{n}{2}\) (a + l)
S₁₀₀₀ = \(\frac{1000}{2}\) (1 + 1000)
= 500 × 1001
S₁₀₀₀ = 500500
మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం = 500500.

(ii) మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా – 1, 2, 3, 4, 5, …….., n . ఇవి A.P. లో కలవు.
a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = n, 1 = n
S_n = 2 [a + l]
∴ S_n = 2 [1 + n]
S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
∴ మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)

ప్రశ్న 16.
a_n = 3+ 2n ను 1వ పదంగా కలిగిన శ్రేణి యొక్క మొదటి 24 పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 144)
సాధన.
a_n = 3 + 2n,
a₁ = 3 + 2 × 1 = 5
a₂ = 3 + 2 × 2 = 7
a₃, = 3 + 2 × 3 = 9
…………………………..
……………………………
……………………………
సంఖ్యల జాబితా = 5, 7, 9, 11, ………….. ఈ జాబితా A.P. లో కలదు.
ఇచ్చట a = 5, d = a₂ – a₁ = 7 – 5 = 2, n = 24
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₂₄ = \(\frac{24}{2}\) [2(5) + (24 – 1) (2) |
= 12 [10 + 46]
S₂₄ = 12 × 56 = 672
ఇచ్చిన శ్రేణిలో 24 పదాల మొత్తం S₂₄4 = 672.

ప్రశ్న 17.
ఒక టెలివిజన్ తయారీ కంపెనీ 3వ సం||ములో 600 టెలివిజన్లను, 7వ సం||ము 700 టెలివిజన్ సెట్లను తయారు చేసింది. ఇది తయారీ చేసే టెలివిజన్ల సంఖ్య ప్రతీ సం||ము స్థిరంగా పెరుగుతూ ఉంటే
(i) 1వ సం||ములో అది తయారు చేసిన టెలివిజన్ల సంఖ్య
(ii) 10వ సం||ములో అది తయారు చేసిన టెలివిజన్ల సంఖ్య
(iii) మొదటి 7 సంవత్సరాలలో అది తయారు చేసిన మొత్తం సెట్ల సంఖ్యను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 145)
సాధన.
(i) ప్రతి సంవత్సరము తయారుచేసే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య ఒక స్థిర విలువతో పెరుగుతూ వుంటే 1వ, 2వ, 3వ, …., సం||లలో తయారయ్యే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేఢిని ఏర్పరుస్తుంది.
n వ సం||లో తయారుచేసే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్యను a_n అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం,a₃ = 600 మరియు a₇ = 700
⇒ a + 2d = 600 ………. (1)
a + 6d = 700 ……… (2)

d = 25 ను (1) లో రాయగా
a + 2(25) = 600
a + 50 = 600
a = 600 – 50 = 550
∴ మొదటి సంవత్సరంలో తయారైన టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 550.

(ii) a₁₀ = a + 9d
= 550 + 9 × 25
= 550 + 225 = 775
∴ 10వ సం||లో తయారుచేసిన టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 775.

(iii) S₇ = \(\frac{7}{2}\) [12 × 550 + (7 – 1) × 25]
= \(\frac{7}{2}\) [1100 + 150]
= \(\frac{7}{2}\) [1250] = 4375
అనగా మొదటి 7 సం||లలో తయారైన మొత్తం టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 4375.

ప్రశ్న 18.
మొదటి పదము a = 3, సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 అయిన గుణశ్రేణిని రాయుము. పేజీ నెం. 150)
సాధన.
మొదటి పదం a = 3
సామాన్యనిష్పత్తి r = 2
∴ రెండవ పదము = ar = 3 × 2 = 6
మూడవ పదము = 6 × 2 = 12
………………………………..
………………………………..
………………………………..
గుణశ్రేఢి: 3, 6, 12, 24, ………….

ప్రశ్న 19.
a = 256, r = \(\frac{-1}{2}\) అయిన గుణశ్రేణిని రాయుము. (పేజీ నెం. 150)
సాధన.
గుణశ్రేఢి సాధారణ రూపము = a, ar, ar², ar³, …………..
= 256, 256(\(\frac{-1}{2}\)), 257(\(\frac{-1}{2}\))², 256(\(\frac{-1}{2}\))³
= 256, – 128, 64, – 32, …….

ప్రశ్న 20.
గుణశ్రేణి 25, – 5, 1, 3 యొక్క సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 150)
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-5}{25}=\frac{-1}{5}\)
గుణశ్రేఢి : 3, 6, 12, 24, ………

ప్రశ్న 21.
క్రింది జాబితాలో ఏవి గుణశ్రేణిలు అవుతాయి.
(i) 3, 6, 12, ……….
(ii) 64, – 32, 16, …………..
(iii) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{8}\), ………
సాధన.
(i) 3, 6, 12, ……….
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{6}{3}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{12}{6}\) = 2
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున ఇవ్వబడిన జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని అవుతుంది.
దీని సామాన్య నిష్పత్తి r = 2.

(ii) 645, – 32, 16, …………
సాధన.
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-32}{64}=\frac{-1}{2}\);
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{-32}=\frac{-1}{2}\);
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-1}{2}\)
కావున ఇవ్వబడిన జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని అవుతుంది.
దీని సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{-1}{2}\)

(iii) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{8}\), ………
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{64}}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{32}}\) = 4
ఇచ్చట \(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున ఇవ్వబడిన సంఖ్యల జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని ఏర్పరచదు.

ప్రశ్న 22.
\(\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{4}\), \(\frac{5}{8}\) …………. గుణశ్రేణి యొక్క 20వ పదమును మరియు n వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 154)
సాధన.
ఇచ్చట a = \(\frac{5}{2}\), r = \(\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{5}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{2}\)
గుణశ్రేణిలో n వ పదం a_n = ar^{n – 1}
a₂₀ = \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{19}=\frac{5}{2} \times \frac{1}{2^{19}}=\frac{5}{2^{20}}\)
మరియు n వ పదం
a_n = ar^{n – 1}
= \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{5}{2^{\mathrm{n}}}\)

ప్రశ్న 23.
2,272, 4, ….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 128 అవుతుంది ? (పేజీ నెం. 154)
సాధన.
a = 2, r = \(\frac{2 \sqrt{2}}{2}\) = √2
లెక్క ప్రకారము n వ పదము = 128
a_n = ar^{n – 1} = 128
(√2)^{n – 1} = \(\frac{128}{4}\) = 64
⇒ 2^{\(\frac{n-1}{2}\)} = 2⁶ భూములు సమానం కావున ఘాతాంకాలు సమానం.
∴ \(\frac{n-1}{2}\) = 6
n – 1 = 12 ⇒ n = 12 + 1 = 13
అనగా 13వ పదము 128 అవుతుంది.

ప్రశ్న 24.
ఒక గుణ శ్రేణిలో 3వ పదము 24 మరియు 6వ పదము 192 అయిన 10వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
గుణశ్రేణిలో 3వ పదం a₃ = ar² = 24 …….(1)
6వ పదం a₆ = ar⁵ = 192 ……(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{a r^{5}}{a r^{2}}=\frac{192}{24}\)
⇒ r³ = 8 = 2³
⇒ r = 2
r విలువను (1) లో రాయగా,
a (2)² = 24
⇒ 4a = 24
⇒ a = 4 = 6
∴ 10వ పదం a₁₀ = ar⁹ = 6(2)⁹
= 6 × 512 = 3072.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
121, 117, 113, ……….., అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము మొదటి ఋణపదము అవుతుంది?
[సూచన : a_n < 0 అయ్యే విధంగా n విలువ కనుగొనుము]
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 121, 117, 113,
a = 121, d = a₂ – a₁ = 117 – 121 = – 4
a_n మొదటి రుణపదం అనుకొంటే a_n < 0 అయ్యేటట్లు కనిష్ఠ సహజసంఖ్య n ను కనుగొనాలి.
a_n < 0 = a + (n – 1) d < 0
⇒ 121 + (in – 1) (- 4) < 0
⇒ 121 – 4n + 4 < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 125 < 4n
⇒ \(\frac{125}{4}\) < n
31.25 < n అయ్యేటట్లుంటే కనిష్ఠ సహజసంఖ్య n = 32 అవుతుంది. కావున 32వ పదము.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణిలో మొదటి రుణపదం అవుతుంది.

సరిచూచుకోవడం :
a₃₁ = a + 30d
= 121 + 30 (- 4)
= 121 – 120 = 1
a₃₂ = a + 31d
= 121 + 31 (- 4)
= 121 – 124 = – 3.

ప్రశ్న 2.
ఒక అంకశ్రేణిలో 3వ, 7వ పదాల మొత్తము 6 . మరియు వాని లబ్ధము 8 అయిన మొదటి 16 పదాల మొత్తము కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో 3వ పదం, 7వ పదముల మొత్తం = 6
a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ 2 (a + 4d) = 3
⇒ a + 4d = 3
∴ a = 3 – 4d ………… (1)
మరియు వాని లబ్దం = 8
a₃ . a₇ = 8
⇒ (a + 2d) (a.+ 6d) = 9
⇒ (3 – 4d + 2d) (3 – 4d + 6d) = 8 (1) నుండి)
⇒ (3 – 2d) (3 + 2d) = 8
⇒ 9 – 4d² = 8
⇒ 4d² = 8 – 9 = 1
⇒ 4d² = 1
⇒ d² = \(\frac{1}{4}\)
d = \(\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm \frac{1}{2}\)
d = \(\frac{1}{2}\) అయిన
d = \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో రాయగా
a = 3 4(\(\frac{1}{2}\)) = 3 . 2 = 1
a = 1, d = \(\frac{1}{2}\), n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + {n – d]
S_n = \(\frac{16}{2}\) [2(1) + (16 – 1) (\(\frac{1}{2}\))]
= 8 [2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8 × [latex]\frac{19}{2}[/latex]
S₁₆ = 76
d = – \(\frac{1}{2}\) అయిన
d = – \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో రాయగా
a = 3 . 4(- \(\frac{1}{2}\)) = 3 + 2 = 5
a = 5, d = – \(\frac{1}{2}\) n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(5) + (16 – 1) (\(\frac{-1}{2}\))]
= 8 [10 – \(\frac{15}{2}\)]
S₁₆ = 20
S₁₆ = 76, 20
16 పదాల మొత్తం S₁₆ = 76, 20.

రెండవ పద్ధతి :
ఒక A.P. లో 3వ పదం = a + 2d = x;
7వ పదం = a + 6d = y
లెక్క ప్రకారం,
x + y = 6 ………. (1);
x + y = 8 ……….. (2)
(2) ⇒ y = \(\frac{8}{x}\) ని (1) లో రాయగా, x + \(\frac{8}{x}\) = 6 –
⇒ x² + 8 = 6x
⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ x² – 4x – 2x + 8 = 0
⇒ (x – 4) (x – 2) = 0
x = 4 లేదా x = 2
x = 4 అయిన
(1) నుండి
4 + y = 6 ⇒ y = 2

d = \(\frac{1}{2}\) ను a + 2d = 4 లో రాయగా,
a + 2(- \(\frac{1}{2}\)) = 4
⇒ a – 1 = 4
⇒ a = 4 + 1 = 5
a = 5, d = – \(\frac{1}{2}\), n = 16

x = 2 అయిన
(1) నుండి 2 + y = 6 ⇒ y = 6 – 2 = 4

d = \(\frac{1}{2}\) ను a + 2d = 2 లో రాయగా
a + 2(\(\frac{1}{2}\)) = 2
⇒ a + 1 = 2
⇒ a = 2 – 1 = 1
a = 1, d = \(-\frac{1}{2}\), n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(5) + (16 – 1) (- 1)]
= 8 [10 – \(\frac{15}{2}\)]
= 8 × [latex]\frac{20-15}{2}[/latex]
= 8 × \(\frac{5}{2}\)
= 4 × 5 = 20
S₁₆ = 20
∴ 16 పదాల మొత్తం 20 లేదా 76.

ప్రశ్న 3.
ఒక నిచ్చెనకు 25 మెట్లు కలవు. మెట్ల యొక్క పొడవు క్రింది నుంచి పైకి ఏకరీతిగా తగ్గుతూవుంచి, క్రింది నుంచి మొదటి మెట్టు పొడవు 45 సెం.మీ. మరియు పై నుంచి మొదటి మెట్టు పొడవు 25 సెం.మీ. ఈ రెండింటి మధ్య దూరం 21/2 మీ. అయిన అన్ని మెట్ల తయారీకి కావలసిన చెక్క పొడవు ఎంత? [సూచన : మెట్ల సంఖ్య = \(\frac{250}{25}\) +1]

సాధన.
నిచ్చెన యొక్క రెండు వరుస మెట్ల మధ్య దూరం = 25 సెం.మీ.
క్రింది నుండి మొదటి మెట్టు పొడవు a₁ = 45 సెం.మీ.
పై నుండి మొదటి మెట్టు పొడవు a₁₁ = 25 సెం.మీ.
నిచ్చెన మొదటి మెట్టుకు, చివరి మెట్టుకు మధ్య దూరం = 2\(\frac{1}{2}\) మీ. = 250 సెం.మీ.
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(1) + (16 – 1) (\(\frac{1}{2}\))]
= \(\frac{16}{2}\) [2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8 \(\left[\frac{4+15}{2}\right]\)
= 4 × 19 = 76
S₁₆ = 76
∴. నిచ్చెన యొక్క మెట్ల సంఖ్య = \(\frac{250}{25}\) + 1 = 10 + 1 = 11
మెట్ల యొక్క పొడవు క్రింది నుండి పైకి ఏకరీతిన తగ్గుతూ ఉంది.
కావున మెట్ల పొడవుల జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది. మెట్ల తయారీకి కావలసిన చెక్క పొడవు = A.P లోని 11 పదాల మొత్తం
S_n = \(\frac{11}{2}\) [45 + 25]
= \(\frac{11}{2}\) × 70
= 385 సెం.మీ.
S₁₁ = 3.85 మీ.

ప్రశ్న 4.
కొన్ని ఇండ్లు ఒక వరుసలో కలవు. దీనికి 1 నుంచి 49 వరకూ సంఖ్యలను కేటాయించటం జరిగింది. ఏదైనా ఒక ఇంటికి కేటాయించిన సంఖ్య X అనుకుంటే ; ఈ ఇంటికి ముందు – (Preceeding) ఉన్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తము, తరువాత ఉన్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తము సమానం అయ్యే విధంగా ఆ ఇంటి సంఖ్య X వ్యవస్థితమని చూపండి. మరియు x విలువను
కనుగొనుము. (సూచన : S_{x – 1} = S₄₉ – S_x]
సాధన.
మొదటి పద్ధతి : –
ఇంటి సంఖ్య x గల ఇళ్ళు దానికి ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్య మొత్తం, తరువాత గల ఇండ్ల సంఖ్యలు సమానం అయ్యే విధంగా ఉంది అనుకొందాం.

⇒ \(\frac{x-1}{2}\) [1 + (x – 1)] = \(\frac{49-x}{2}\) [(x + 1) + 49]
[∵ (x + 1), (x + 2), …. , 49 వరకు గల పదాల సంఖ్య = 49 – x]
⇒ \(\left(\frac{x-1}{2}\right)[x]=\left(\frac{49-x}{2}\right)[x+50]\)

⇒ \(\frac{x^{2}-x}{2}=\frac{49 x+2450-x^{2}-50 x}{2}\)

⇒ x² – x = – x² – x + 2450
⇒ x² – x + x² + x = 2450
⇒ 2x² = 2450
⇒ x² = \(\frac{2450}{2}\) = 1225
x = √1225 = 35
x ఒక సహజసంఖ్య అవుతున్నది. కావున ఇచ్చిన నియమాలను పాటించేటట్లు x వ్యవస్థితము మరియు x = 35.

రెండవ పద్దతి :
x ఇంటి సంఖ్యల ఇళ్ళు దాని ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం తరువాత గల ఇళ్ళ సంఖ్యల మొత్తం సమానం అయ్యేటట్లు కలదు అనుకుందాం.
ఇండ్ల సంఖ్య S₄₉ = {1 + 2 + 3 + ……………. } S₁ + {(x – 1) + x + (x + 1) + (x + 2) + ………….. + 49} S₂
S₁ + x + S₂ = S₄₉ ……….. (1)
S₁ = x సంఖ్య ఇంటికి ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం.
S₂ = x సంఖ్య ఇంటికి తరువాత గల ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం.
లెక్క ప్రకారం, S₁ = S₂ ……….. (2) మరియు
S₁ = 1 + 2 + 3 + ……… + x – 1
= \(\frac{x-1}{2}\)[1 + (x – 1)]
= ……………..(3)
S₄₉ = 1 + 2 + 3 + …… + 49
= \(\frac{49}{2}\) [1 + 49]
= \(\frac{49}{2}\) × 50
S₄₉ = 1225
∴ S₁ + x + S₂ = S₄₉ = 1225 [∵ S₁ = S₂]
2S₁ + x = 1225
2(\(\frac{x(x-1)}{2}\)) + x = 1225 [(3) నుండి)
x² – x + x = 1225
x² = 1225
x = √1225 = 35
x ఒక సహజ సంఖ్య కావున నియమాలను పాటించేటట్లు x వ్యవస్థతము.

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటములో చూపిన విధంగా ఒక ఫుట్ బాల్ గ్రౌండ్ లో 16 మెట్లు కల ఒక మెట్ల సోపానము . కలదు. దీనిలో ప్రతి మెట్టు పొడవు 50 మీ. మరియు వెడల్పు \(\frac{1}{2}\) మీ. మొదటి మెట్టు భూమి నుంచి \(\frac{1}{4}\) మీ. ఎత్తులో మరియు ప్రతి మెట్టు దాని ముందున్న మెట్టుకు \(\frac{1}{4}\) మీ. ఎత్తులో ఉన్న ఆ మెట్ల సోపానాన్ని నిర్మించ డానికి కావలసిన కాంక్రీట్ యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
[సూచన : మొదటి సోపానము నిర్మించుటకు కావల్సిన కాంక్రీటు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 మీ.]

సాధన.
ప్రతి మెట్టు పొడవు l = 50 మీ.
వెడల్పు b = \(\frac{1}{2}\) మీ.
ఎత్తు h = మొదటి మెట్టు \(\frac{1}{4}\) మీ. తరువాతి ప్రతి మెట్టు దాని ముందున్న మెట్టుకు \(\frac{1}{4}\) మీ. పెరుగును.
l = 50.మీ., b = \(\frac{1}{2}\) మీ.

దిమ్మె ఘనపరిమాణం V = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ + ………. + V₁₅
= 25 × \(\frac{1}{4}\) + 25 × \(\frac{2}{4}\) + 25 × \(\frac{3}{4}\) + 25 × \(\frac{4}{4}\) …………… + 25 × \(\frac{15}{4}\)
= \(\frac{25}{4}\) [1 + 2 + 3 + 4 ………. + 15] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) (a+ a_n)]
= \(\frac{25}{4}\) × [ \(\frac{15}{2}\) (1 + 15)]
= \(\frac{25}{4}\) × \(\frac{15}{2}\) x× 16
= 25 × 15 × 2
V = 750 ఘ.మీ.

V= 750 ఘ.మీ.

ప్రశ్న 6.
ఒక పనిని పూర్తి చేయుటకు 150 మంది కూలీలను నియమించారు. అయితే రెండవ రోజు వారిలో నలుగురు పనిలోకి రావటం మానుకున్నారు. మూడవ రోజు, మరి నలుగురు మానుకున్నారు. ప్రతిరోజూ ఈ విధంగా జరగటం వల్ల ఆ పని పూర్తి కావడానికి అనుకున్న రోజుల కంటే 8 రోజులు ఎక్కువ అవసరం పట్టింది. అయిన ఆ పని పూర్తి కావడానికి పట్టిన మొత్తం రోజులు ఎన్ని ? .. [సూచన : ప్రారంభంలో పని పూర్తి కావడానికి అవసరమయ్యే రోజుల సంఖ్యను ‘x’ అనుకొంటే
150x = \(\frac{x+8}{2}\) [2 × 150 + (x + 8 = 1) (- 4)]
సాధన.
ప్రారంభంలోని 150 మంది కూలీలతో పని పూర్తి కావడానికి కావలసిన రోజుల సంఖ్య x అనుకొనుము.
∴ ఆ పని పూర్తి కావడానికి కావలసిన మనుష్యుల సంఖ్య = 150x
రెండవ రోజు నుండి ప్రతిరోజు 4గురు చొప్పున పని మానివేస్తుంటే ప్రతి రోజు పనిచేసే మనుష్యుల జాబితా 150, 146, 142, 138, ……., (x + 8) పదాలు .
(లెక్క ప్రకారం పని పూర్తికావడానికి అనుకొన్న రోజులు కన్నా 8 రోజులు ఎక్కువ)
పనిచేసిన మొత్తం మనుష్యులు S_x+8
a = 150, d = a₂ – a₁ = 146 – 150 = – 4,
n = x +8
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S_{x + 8} = \(\frac{x+8}{2}\) [2(150) + (x + 8 – 1) (- 4)]
= \(\frac{x+8}{2}\) [300 – 4x – 28]
= \(\frac{x+8}{2}\) [272 – 4x]
= \(\frac{x+8}{2}\) × 2 (136 – 2x)
= (x + 8) (136 – 2x)
= 136x – 2x² + 1088 – 16x
∴ S_{x + 8} = – 2x² + 120x + 1088
ఈ విలువ పని పూర్తికావడానికి కావలసిన మనుష్యులకు సమానం.
∴ 150x = S_{x + 8}
150x = – 2x² + 120x + 1088
2x² + 150x – 120x – 1088 = 0
2x² + 30x – 1088 = 0
2 [x² + 15x – 544] = 0
x² + 15x – 544 = 0
x² – 17x + 32x – 544 = 0
x (x – 17) + 32 (x – 17) = 0
(x – 17) (x + 32) = 0
x – 17 = 0 లేదా x + 32 = 0
x = 17 లేదా x = – 32
రోజుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 17.
∴ పని పూర్తికావడానికి పట్టిన మొత్తం రోజులు x + 8 = 17 + 8 = 25.

ప్రశ్న 7.
ఒక యంత్రము వెల రూ. 5,00,600/-. మొదటి సంవత్సరము దీని వెలలో తగ్గుదల 15%, రెండవ సంవత్సరము 13\(\frac{1}{2}\)% మూడవ సం||ము ,12%….. ఈ విధానము కొనసాగించబడిన 10 సంవత్సరముల అనంతరము దాని వెల ఎంత ? ఇవ్వబడిన శాతాలన్నీ ప్రారంభ వెల పైననే పేర్కొనడం జరిగింది.
[సూచన : మొత్తం తగ్గుదల = 15 + 13\(\frac{1}{2}\) + 12 + ……. + 10 పదాలు S_n = \(\frac{10}{2}\) [30 – 13.5] = 82.5 %
∴ 10 సంవత్సరముల అనంతరము దాని వెల = 100 – 82.5 = 17.5 (అనగా 5,00,000 లో 17.5%)]
సాధన.
మొదటి పద్దతి : మొదట యంత్రం వెల = ₹ 5,00,000
యంత్రం యొక్క వెల తగ్గుదల ప్రారంభవెలపై ఇవ్వడం జరిగింది.

యంత్రం యొక్క ప్రారంభవెలలో 10 సం||ల తరువాత మొత్తం తగ్గుదల
15 + 13 \(\frac{1}{2}\) + 12 + …. 10 పదాలు.
a = 15, d = a₂ – a₁ = – 1\(\frac{1}{2}\)
= – \(\frac{3}{2}\), n = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(15) + 9 (\(\frac{-3}{2}\))]
= 5[30 – \(\frac{27}{2}\)] = 5 [30 – 13.5]
= 5 [ 16.5] = 82.5 %
10 సం||ల తరువాత యంత్రం ధర ప్రారంభ ధరలో 100 – 82.5 = 17.5%
∴ 10 సం||ల తరువాత’ యంత్రం ధర = 500000 × \(\frac{17.5}{100}\) = ₹ 87500.

2వ పద్దతి :
యంత్రం ప్రారంభ ధర = ₹ 5,00,000

10సంవత్సరాల తరువాత యంత్రంలో మొత్తం తగ్గుదల 75000 + 67500 + 60000 + ….. + 10 పదాలు
ఇది A.P. లో కలదు.
∴ a = 75000, d = – 7500, n = 10
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(75000) + (10 – 1) (- 7500)]
= 5[150000 – 9 × 7500]
= 5[150000 – 67500]
= 5[82500] = 412500
∴ 10 సంవత్సరాల తరువాత యంత్రము వెల = 500000 – 412500 = ₹ 87500.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.5

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి గుణిశ్రేణికి సామాన్యనిష్పత్తిని, nవ పదమును కనుగొనుము.
(i) 3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సాధన.
3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{3}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= 3 × (\(\frac{1}{2}\))^{n – 1}

(ii) 2, – 6, 18, – 54
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{2}\) = – 3
nవ పదం , a_n = a r^{n – 1}
= 2 × (- 3)^{n – 1.}

(iii) – 1, – 3, – 9, – 27, ………..
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3}{-1}\) = 3
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= (- 1) × 3^{n – 1} = – 3^{n – 1}

(iv) 5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సాధన.
5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2}{5}\)
1 వ పదం a_n = a r^{n – 1} = 5 × (\(\frac{2}{5}\))^{n – 1}

ప్రశ్న 2.
5, 25, 125, ….. అనే గుణశ్రేణి యొక్క 10వ, 1వ పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
5, 25, 125, …………….
a = 5, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{25}{5}\) = 5
10 వ పదం a₁₀ = a . r⁹ = 5 × 5⁹ = 5¹⁰
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1} = 5 × (5)^{n – 1}
= 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ

ప్రశ్న 3.
క్రింది గుణశ్రేణిలలో పేర్కొన్న పదాలను కనుగొనుము.
(i) a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\) అయిన a₇ = ?
సాధన.
a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\)
ar₇ = ar⁶ – 9 × (\(\frac{1}{3}\) )⁶
= 3² × \(\frac{1}{3^{6}}\)
= \(\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}\)

(ii) a₁ = – 12; r = \(\frac{1}{3}\); అయిన a₆ = ?
సాధన.
a₁ = 12; r = \(\frac{1}{3}\)
a₆ = ar⁵ = – 12(\(\frac{1}{3}\))⁵
= \(\frac{-12}{3^{5}}=\frac{-4}{3^{4}}=\frac{4}{81}\)

ప్రశ్న 4.
(i) 2, 8, 32, …….. గుణ శ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 512 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేఢ 2, 8, 32, ……….. 512
a = 2; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{2}\) = 4, a_n = 512
a_n = a . r^{n – 1} = 512
⇒ 2 × (4)^{n – 1} = 512

⇒ 2 × (2²)^{n – 1} = 2⁹
⇒ 2 × 2^{2(n – 1)}= 2⁹
⇒ 2^{2n – 1} = 2⁹
2n – 1 = 9
2n = 9 + 1 = 10 ,
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
2, 8, 32, ….. శ్రేణిలో 5వ పదం 512 అవుతుంది.

(ii) √3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 729 అవుతుంది?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి √3, 3, 3√3, …….. 729
a = 3; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = √3
a_n = 729

a_n = a r^{n – 1} = 729
⇒ 3 × (√3)^{n – 1}= 729
⇒ (√3)ⁿ = 729
⇒ 3^n/2 = 3⁶
⇒ \(\frac{n}{2}\) = 6
⇒ n = 12
√3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో 12వ పదం 729 అవుతుంది.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 2187 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), …………, \(\frac{1}{2187}\)
a = \(\frac{1}{3}\), r = \(\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9} \times \frac{3}{1}=\frac{1}{3}\),
a_n = \(\frac{1}{2187}\)
a_n = a . r^{n – 1} = \(\frac{1}{2187}\)
⇒ \(\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{2187}\)

⇒ \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{7}\)
n = 7

\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో 7వ పదం \(\frac{1}{2187}\) అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క 8వ పదము 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి 2 అయిన 12వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
1వ పద్దతి :
ఒక గుణ శ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 ………. (1)
సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 ను (1) లో రాయగా,
a(2)⁷ = 192
a × 128 = 192
⇒ a = \(\frac{192}{128}=\frac{3}{2}\)
∴ 12వ పదం a₁₂ = a r¹¹
= \(\frac{3}{2}\) × (2)¹¹
= 3 × 2¹⁰

2వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 .
∴ 12వ పదం a₁₂ = ar¹¹ = ar⁷ × r⁴
= 192 × 2⁴
= 3 × 64 × 2⁴
= 3 × 2⁶ × 2⁴
= 3 × 2¹⁰

3వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 సామాన్య నిష్పత్తి r = 2
a₉ = 192 × 2 = 3 × 20 × 2 = 3 × 27
a₁₀ = 3 × 2⁷ × 2 = 3 × 2⁸
a₁₁ = 3 × 2⁸ × 2 = 3 × 2⁹
a₁₂ = 3 × 2⁹ × 2 = 3 × 2¹⁰

ప్రశ్న 6.
ఒక గుణశ్రేణిలో నాల్గవ పదము \(\frac{2}{3}\) మరియు 7వ పదము \(\frac{16}{81}\) అయిన ఆ శ్రేణిని కనుగొనుము.
సాధన.
గుణ శ్రేణిలో నాల్గవ పదము a₄ = ar³ = \(\frac{2}{3}\) ………… (1)
7వ పదము a₇ = ar⁶ = \(\frac{16}{81}\) …………..(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{\mathrm{ar}^{6}}{\mathrm{ar}^{3}}=\frac{\frac{16}{81}}{\frac{2}{3}}=\frac{16}{81} \times \frac{3}{2}=\frac{8}{27}\) = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)

⇒ r³ = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)
∴ r = \(\frac{2}{3}\) or
r = \(\frac{2}{3}\) ని (1) లో రాయగా,
a\(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
a × \(\frac{8}{27}\) = \(\frac{2}{3}\)
⇒ a = \(\frac{2}{3} \times \frac{27}{8}=\frac{9}{4}1\)
∴ ఆ గుణశ్రేఢ a, ar, ar², ar³, ………….
\(\frac{9}{4}\), \(\frac{9}{4} \times \frac{2}{3}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\), ………….
= \(\frac{9}{4}\), \(\frac{3}{2}\), 1, \(\frac{2}{3}\), ………….

ప్రశ్న 7.
162, 54, 18, …… గుణశ్రేణి మరియు \(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\) …… గుణ శ్రేఢుల 1వ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన 1వ గుణశ్రేణి 162, 54, 18, ……,
a = 162, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{54}{162}=\frac{1}{3}\)
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1}
= 162 . (\(\frac{1}{3}\))^{n – 1}
= \(\frac{162}{3^{n-1}}\)
2వ గుణశ్రేణి
\(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\), …………………..
మొదటిపదం a = \(\frac{2}{81}\), r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}\)
= \(\frac{\frac{2}{27}}{\frac{2}{81}}=\frac{2}{27} \times \frac{81}{2}\) = 3

n వ పదం a_n = \(\frac{2}{81}\) (3)^{n – 1} = \(\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు గుణశ్రేఢుల n వ పదాలు సమానము.
\(\frac{162}{3^{n-1}}=\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
2 × 3^{n – 1} × 3^{n – 1} = 162 × 81 (అడ్డగుణకారము చేయగా)
3^{2n – 2} = \(\frac{162 \times 81}{2}\) = 81 × 81
3^{2n – 2} = 3⁴ × 3⁴ = 3⁸
3^{2n – 2} = 3⁸
∴ 2n – 2 = 8
2n = 8 + 2 = 10
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.4

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సంఘటనలలో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితాలలో ఏవి గుణశ్రేఢులను ఏర్పరుస్తాయి ?
(i) షర్మిల యొక్క మొదటి సం||ము జీతము 5,00,000/- ఆ తరువాత ప్రతి సం||ము ముందున్న సం||ము యొక్క జీతములో 10% పెరుగుతుంది.
సాధన.
షర్మిల మొదటి సం||ము జీతము = ₹ 5,00,000
2వ సం||ము జీతము = 5,00,000 \(\left(\frac{100+10}{100}\right)\) = ₹ 5,50,000
3వ సం||ము జీతము = 5,50,000 \(\left(\frac{100+10}{100}\right)\) = ₹ 6,05,000
ప్రతి సంవత్సరం షర్మిల జీతం జాబితా 5,00,000, 5,50,000, 6,05,000 ……………….
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{5,50,000}{5,00,000}=\frac{11}{10}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{11}{10}\)
కావున షర్మిల యొక్క జీతంతో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా ఒక గుణశ్రేణి అవుతుంది.

(ii) 30 మెట్లు వున్న ఒక మెట్ల వంతెనలో అన్నింటి కంటే క్రింద ఉన్న మెట్టు నిర్మాణానికి 100 ఇటుకలు అవసరం. ఆ పై ప్రతి పై మెట్టు నిర్మాణానికి దాని క్రింద మెట్టు నిర్మాణానికి కావలసిన వాని ఇటుకల కంటే 2 చొప్పున తక్కువ ఇటుకలు అవసరమైన ప్రతి మెట్టు. నిర్మాణానికి అవసరమయ్యే ఇటుకల సంఖ్యల జాబితా. .
సాధన.
కింది మెట్టు నుండి మెట్ల నిర్మాణానికి అవసరమైన సంఖ్యల జాబితా . 100, 98, 96, 94, ………….. 30 పదాలు
ఇక్కడ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{98}{100}=\frac{49}{50}\);

\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున పై సంఖ్యల జాబితా గుణశ్రేఢి కాదు.

(iii) 24 సెం.మీ భుజం పొడవు గల ఒక సమబాహు త్రిభుజము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల రెండవ త్రిభుజము, దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల మూడవ త్రిభుజమేర్పడును. ఈ విధానాన్ని అనంతంగా కొనసాగిస్తే మొదటి, రెండవ, మూడవ … త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు.

సాధన.
త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మధ్య బిందువులు కలిపే రేఖాఖండం మూడవ భుజంలో సగం ఉంటుంది.

త్రిభుజ చుట్టుకొలతల జాబితా 72, 36, 18, 9,
ఇందులో, \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{36}{72}=\frac{1}{2}\)

………………
………………
………………
\(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{a}_{4}}{\mathrm{a}_{3}}=\ldots .=\frac{1}{2}\)
కావున త్రిభుజాల చుట్టుకొలత జాబితా గుణ శ్రేణిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
గుణశ్రేణి యొక్క మొదటి పదము a, సామాన్యనిష్పత్తి r లు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి. అయిన మొదటి మూడు పదాలను రాయుము.
(i) a = 4; r= 3.
సాధన. a = 4; r = 3
మొదటి పదం a₁ = a = 4
రెండవ పదం a₂ = ar = 4 × 3 = 12
మూడవ పదం a₂₃ = ar² = 4 (3)²
= 4 × 9 = 36

(ii) a = √5; r = \(\frac{1}{5}\)
సాధన.
a = √5 ; r = \(\frac{1}{5}\)
మొదటి పదం a₁ = a = √5
రెండవ పదం a₂ = ar = √5 × \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
మూడవ పదం a₃ = ar² = √5 × (\(\frac{1}{5}\))²
= √5 × \(\frac{1}{25}\) = \(\frac{1}{5 \sqrt{5}}\).

(iii) a = 81; r = – \(\frac{1}{3}\)
సాధన.
a = 81; r = – \(\frac{1}{3}\)
మొదటి పదం a₁ = a = 81
రెండవ పదం a₂ = ar = 81 (- \(\frac{1}{3}\)) = – 27
మూడవ పదం a₃ = ar² = 81 × (- \(\frac{1}{3}\))²
= 81 (\(\frac{1}{9}\)) = 9

(iv) a = \(\frac{1}{67}\); r = 2.
సాధన.
a = \(\frac{1}{64}\); r = 2
a₁ = a = \(\frac{1}{64}\)
a₂ = ar = \(\frac{1}{64}\) x 2 = 1
a₃ = ar² = \(\frac{1}{64}\) × 2² _ 1 _1
= \(\frac{1}{64}\) × 4 = 16.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిలో ఏవి గుణశ్రేఢులు ? గుణశ్రేఢి అయితే తరువాత వచ్చే మూడు పదాలను రాయుము.
(i) 4, 8, 16, ……….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{4}\) = 2 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{8}\) = 2
∴ r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 2
కావున గుణశ్రేణి అవుతుంది.
తరువాత 3 పదాలు
[∵ 16 × 2 = 32
32 × 2 = 64
64 × 2 = 128]

(ii) \(\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{12}\), ……………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{-1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{-1}{6} \times \frac{3}{1}-\frac{-1}{2}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) కావున గుణశ్రేణి అవుతుంది.
తరువాత 3 పదాలు, \(-\frac{1}{24}\), \(\frac{1}{48}\), \(-\frac{1}{96}\)
[∵ \(\frac{1}{12} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-1}{24}\)

\(\frac{1}{48} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=-\frac{1}{96}\)].

(iii) 5, 55, 555, ……………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{55}{5}\) = 11 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{555}{55}=\frac{111}{11}\)
\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)కావున గుణశ్రేణి కాదు.

(iv) – 2, – 6, – 18, ……
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{-2}\) = 3 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-18}{-6}\) = 3

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 3
కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది
a₄ = a .r³ = (- 2) × 3³ = – 2 × 27 = – 54
a₅ = a .r⁴ = (- 2) × 3⁴ = – 2 × 81 = – 162
a₆ = a .r⁵ = (- 2) × 3⁵ = – 2 × 243 = – 486
తరువాత మూడు పదాలు : – 54, – 162, – 486.

(v) \(\frac{1}{42}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{6}\), …………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \times \frac{2}{1}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\) కావున ఇది గుణశ్రేణి కాదు.

(vi) 3, – 3², 3³, ……….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3^{2}}{3}\) = – 3; \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3^{3}}{-3^{2}}\) = – 3
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = – 3కావున ఇది గుణ శ్రేణి.
తరువాత వచ్చు మూడు పదాలు . – 3⁴, 3⁵, – 3⁶
[∵ 3³ × – 3 = -3⁴
(- 3)⁴ × (- 3) = 3⁵
3⁵ × (- 3) = – 3⁶].

(vii) x, 1, \(\frac{1}{x}\),…………….. (x ≠ 0)
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{\Gamma}}=\frac{1}{x}\); \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}\)
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\dot{a}_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{x}\)కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది
తరువాత మూడు పదాలు \(\frac{1}{x^{2}}\), \(\frac{1}{x^{3}}\), \(\frac{1}{x^{4}}\)
[∵ \(\frac{1}{x} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{2}}\)
\(\frac{1}{x^{2}} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{3}}\)
\(\frac{1}{x^{3}} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{4}}\)]

(viii) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 2, \(\frac{8}{\sqrt{2}}\), …………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = – 2√2

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{8}{\sqrt{2}}}{-2}=\frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{-1}{2}=\frac{-4}{\sqrt{2}}\) = 2√2

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 2√2 కావున ఇది గుణశ్రేణి.
తరువాత మూడు పదాలు : – 16, 32√2 , – 128
[4√2 × (- 2√2) = -16
(- 16) × (- 2√2) = 32√2
32√2 × (- 2√2) = – 128].

(ix) 0.4, 0.04, 0.004, ……….
సాధన.
0.4, 0.04, 0.004) …. (లేదా) \(\frac{4}{10}\), \(\frac{4}{100}\), \(\frac{4}{1000}\)………
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{0.04}{0.4}\) = \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{0.004}{0.04}\) = \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)

∴ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{4}{100}}{\frac{4}{10}}\) = \(\frac{4}{100} \times \frac{10^{*}}{4}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{4}{1000}}{\frac{4}{100}}\) = \(\frac{4}{1000} \times \frac{100}{4}=\frac{1}{10}\)

∴ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{10}\)
∴ తరువాత మూడు పదాలు . – 0.0004, 0.00004, 0.000004.

ప్రశ్న 4.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణ శ్రేణిలో మూడు వరుస పదాలైన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణ శ్రేణిలో వరుస పదాలు
\(\frac{x+2}{x}=\frac{x+6}{x+2}\)
(x + 2)² = x(x + 6)
x² + 4x + 4 = x² + 6x
x² + 4x – x² – 6x = 4
– 2x = – 4
2x = 4
x = \(\frac{4}{2}\) = 2.

సరిచూచుట :
x, x + 2, x + 6
2, 4, 8లు G.P. లో కలవు.