Mahesh

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Exercise 4(a)

అభ్యాసం – 4(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
నియత రేఖ x + y + 2 = 0 గాను, e = \(\frac{2}{3}\), ఒక నాభి (1, −1) వద్ద గల దీర్ఘవృత్త సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’05]
సాధన:
P(x₁, y₁) దీర్ఘవృత్తం మీద బిందువు
నియత రేఖ సమీకరణం
x + y + 2 = 0
ZM కు లంబంగా PM ను గీద్దాం. SP ని కలుపుదాం.
నిర్వచనం ప్రకారం SP = e. PM
SP² = e² . PM²
(x₁ – 1)² + (y₁ + 1)² = \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\left[\frac{x_1+y_1+2}{\sqrt{1+1}}\right]^2\)
(x₁ – 1)² + (y₁ + 1)² = \(\frac{4}{9} \frac{\left(x_1+y_1+2\right)^2}{2}\)
9[(x₁ – 1)² + (y₁ + 1)²] = 2[x₁ + y₁ + 2]²
9[x₁² – 2x₁ + 1 + y₁² + 2y₁ +1] = 2[x₁² + y₁² + 4 + 2x₁y₁ + 4x₁ + 4y₁]
9x₁² + 9y₁² – 18x₁ + 18y₁ + 18 = 2x₁² + 2y₁² +4x₁y₁ + 8x₁ + 8y₁ + 8
7x₁² – 4x₁y₁ + 7y₁² – 26x₁ + 10y₁ + 10 = 0
P (x₁, y₁)
7x² – 4xy + 7y² – 26x + 10y + 10 = 0
ఇది కావలసిన దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం.

ప్రశ్న 2.
నాభిలంబం పొడవు \(\frac{15}{2}\). నాభుల మధ్యదూరం 2 గా గల దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి లంబము పొడవు = \(\frac{15}{2}\)
నాభుల మధ్య దూరము = 2
\(\frac{2 b^2}{a}=\frac{15}{2}\) ; 2ae = 2
⇒ b² = a² – a²e²
⇒ b² = a² – 1
⇒ \(\frac{15}{2}\) a = a² – 1
⇒ 4a² – 15a – 4 = 0
b² = a² – 1
= 16 – 1
a = 4 లేదా a = –\(\frac{1}{4}\)
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}\) = 1

ప్రశ్న 3.
నాభుల మధ్య దూరం 8, నియత రేఖల మధ్యదూం 32 గా గల దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి. [May ’07; Mar. ’06]
సాధన:
నాభుల మధ్యదూరము = 8
నియత రేఖల మధ్యదూరము = 32
2ae = 8
ae = 4
\(\frac{2 a}{\mathrm{e}}\) = 32
\(\frac{\mathrm {a}}{\mathrm{e}}\) = 16
(ae) \(\frac{\mathrm {a}}{\mathrm{e}}\) = 64
a² = 64
b² = a² – a²e²
= 64 – 16 = 48
దీర్ఘవృత్తము సమీకరణము
∴ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}\) = 1

ప్రశ్న 4.
ప్రామాణిక రూపంలో దీర్ఘవృత్తపు నాభిలంబం పొడవు దీర్ఘాక్షం పొడవులో సగం ఉంటే, ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి లంబము = \(\frac{2 b^2}{a}\)
దీర్ఘాక్షము = 2a
దత్తాంశం ప్రకారం \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{1}{2}\) . 2a
2b² = a²
b² = a²(1 – e²) కనుక
2a²(1 – e²) = a²
1 – e² = \(\frac{1}{2}\)
e² = \(\frac{1}{2}\) ⇒ e = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 5.
x² + 3y² = 6 దీర్ఘవృత్తంపై గల బిందువుకు, కేంద్రం నుంచి దూరం 2. ఆ బిందువు ఉత్కేంద్రీయ కోణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
x² + 3y² = 6
\(\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}\) = 1
a = \(\sqrt{6}\), b = \(\sqrt{2}\)
దీర్ఘ వృత్తం మీది బిందువు
P(\(\sqrt{6}\) cos θ, \(\sqrt{2}\) sin θ)
CP = 2 ⇒ CP² = 4
6 cos² θ + 2 sin² θ = 4
6(1 – sin² θ) + 2 sin² θ = 4
6 – 6 sin² θ + 2 sin² θ
4 sin² θ = 2 ⇒ sin² θ = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
sin θ = ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin θ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\)
sin θ = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ⇒ θ = \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{4}\)
∴ ఉత్కేంద్రీయ కోణాలు \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{4}\)

ప్రశ్న 6.
(-2, 2), (3, – 1) బిందువుల గుండా పోయే దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రామాణిక రూపంలో దీర్ఘవృత్తము సమీకరణము

∴ దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము
3x² + 5y² = 32

ప్రశ్న 7.
దీర్ఘాక్షం కొనలు (5, 0), (-5, 0)1, అయినాభి 3x – 5y – 9 = 0 పై ఉంటే దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
(a, 0) : (5, 0), (-a, 0) : (-5, 0)
a = 5,
b² = a²(1 – e²)
నాభి 3x – 5y – 9 = 0 రేఖపై ఉంది.
3(ae) – 5(0) – 9 – 0
3(5e) – 9 = 0
5e = \(\frac{9}{3}\) లేదా e = \(\frac{3}{5}\)
b² = 25 (1 – \(\frac{9}{25}\))
= 25 (\(\frac{16}{26}\)) = 16
∴ దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\) = 1

ప్రశ్న 8.
దీర్ఘ వృత్తం యొక్క దీర్ఘాక్షం పొడవు, హ్రస్వాక్షం పొడవుకు మూడు రెట్లు ఉంటే ఉత్యేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘాక్షము = 3 హ్రస్వాక్షము
2a = 3(2b) ⇒ a = 3b
a² = 9b² ⇒ a² = 9a²(1 – e²)
1 – e² = \(\frac{1}{9}\) ⇒ e² = 1 – \(\frac{1}{9}\) = \(\frac{8}{9}\)
e = \(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
దీర్ఘవృత్త ఉత్కేంద్రత = \(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది దీర్ఘవృత్తాలకు దీర్ఘాక్షం, హ్రస్వాక్షం, నాభిలంబం పొడవులు, ఉత్కేంద్రత, కేంద్రం, నాభులు నిరూపకాలు, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
i) 9x² + 16y² = 144
ii) 4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0
iii) x² + 2y² – 4x + 12y + 14 = 0 [May ’07]
సాధన:
i) దత్త సమీకరణం 9x² + 16y² = 144
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1
∴ a = 4, b = 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2 . 4 = 8
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2 . 3 = 6
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2.9}{4}=\frac{9}{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{16-9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)
కేంద్రం C(0,0)
నాభులు (±ae, 0) (±\(\sqrt{7}\), 0)
నియత రేఖా సమీకరణాలు x = ± \(\frac{a}{e}\)
x = ± 4 . \(\frac{4}{\sqrt{7}}\) = ± \(\frac{16}{\sqrt{7}}\)
\(\sqrt{7}\) x = ± 16

ii) దత్త సమీకరణము 4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0
4(x² – 2x) + (y² + 2y) = -1
4(x – 1)² + (y + 1)² = 4 + 1 – 1 = 4
\(\frac{(x-1)^2}{1}+\frac{(y+1)^2}{4}\) = 1
a < b కనుక ⇒ Y – అక్షం దీర్ఘాక్షము
a = 1, b = 2
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2b = 4
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2a = 2
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 a^2}{b}=\frac{2}{2}\) = 1
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{4-1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
కేంద్రం C (-1, 1)
be 2 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\sqrt{3}\)
నాభులు (−1, 1 ± \(\sqrt{3}\))
నియత రేఖల సమీకరణాలు y + 1 = ± \(\frac{b}{e}\) = ± \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{3}\) y + \(\sqrt{3}\) = ± 4
\(\sqrt{3}\) y + \(\sqrt{3}\) ± 4 = 0

iii) x² + 2y² – 4x + 12y + 14 = 0
x² – 4x + 2(y² – 4x + 2(y² + 6y) = – 14
⇒ (x² – 4x + 4) + 2(y² + 6y + 9) = 4 + 18 – 14
⇒ (x – 2)² + 2(y + 3)² = 8
⇒ \(\frac{(x-2)^2}{8}+\frac{(y+3)^2}{4}\) = 1
⇒ \(\frac{(x-2)^2}{(2 \sqrt{2})^2}+\frac{(y+3)^2}{2^2}\) = 1
a = 2\(\sqrt{2}\), b = 2, h = 2, k = – 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2(2\(\sqrt{2}\)) = 4\(\sqrt{2}\)
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2(2) = 4
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2(4)}{2 \sqrt{2}}=2 \sqrt{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
కేంద్రం C = (h, k) = (2, – 3)
నాభులు = (h ± ae, k) = (2 ± 2, -3)
= (4, -3), (0, -3)
నియత రేఖల సమీకరణాలు x – h = ± \(\frac{a}{e}\)
x – 2 = ± \(\frac{2 \sqrt{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\)
x – 2 = ± 4
i.e., x = 6, x = -2

ప్రశ్న 2.
క్రింది వివరాలను తృప్తిపరచే దీర్ఘవృత్తాల సమీకరణాలను \(\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}\) = 1 రూపంలో కనుక్కోండి.
i) కేంద్రం (2, −1), e = 3, దీర్ఘాక్షం కొన (2, -5),
సాధన:
కేంద్రం (2, -1) ⇒ h = 2, k = -1
దీర్ఘాక్షం కొన (2, -5), k – a = -5
-1 – a = -5
a = 4
b² = a²(1 – e²)
= 16 (1 – \(\frac{1}{9}\)) = \(\frac{128}{9}\)
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{9(y+1)^2}{128}\) = 1
i.e., 8(x – 2)² + 9(y + 1)² = 128

ii) కేంద్రం (4, -1), దీర్ఘాక్షం ఒక కొన (−1, −1) అయి (8, 0) గుండా పోతుంది.
సాధన:
a = \(\sqrt{(4+1)^2+(-1+1)^2}\)
a = 5
దీర్ఘవృత్తం (8, 0) గుండా పోతుంది
\(\frac{(8-4)^2}{25}+\frac{(0+1)^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{1}{b^2}=1-\frac{16}{25}\)
\(\frac{1}{b^2}=\frac{9}{25}\)
∴ కావలసిన దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{(x-4)^2}{25}+\frac{9}{25}\) (y + 1)² = 1
(x – 4)² + 9 (y + 1)² = 25

iii) కేంద్రం (0, -3), e = \(\frac{2}{3}\) అర్థ హ్రస్వాక్షం పొడవు 5.
సాధన:
b = 5
⇒ b² = a² – a²e²
⇒ 25 = a² – a² . \(\frac{4}{9}\) = a² (\(\frac{5}{9}\))
⇒ 45 = a²
\(\frac{(x-0)^2}{45}+\frac{(y+3)^2}{25}\) = 1
⇒ \(\frac{x^2}{45}+\frac{(y+3)^2}{25}\) = 1

iv) కేంద్రం (2, -1); e = \(\frac{1}{2}\), నాభిలంబం పొడవు 4.
సాధన:
b² = a² – a²e²
\(\frac{2 b^2}{a}\) = 4
b² = 2a
⇒ b² = a² – a² . \(\frac{1}{4}\)
⇒ b² = \(\frac{3}{4}\) a
⇒ 2a = \(\frac{3}{4}\) a²
⇒ \(\frac{8}{3}\) = a లేదా a² = \(\frac{64}{9}\)
⇒ b² = \(\frac{16}{3}\)
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{9(x-2)^2}{64}+\frac{3(y+1)^2}{16}\) = 1
9(x – 2)² + 12(y + 1)² = 64

ప్రశ్న 3.
దీర్ఘ వృత్తం 9x² + 16y² = 144 యొక్క నాభుల గుండా పోతూ కనిష్ఠ వ్యాసార్ధం గల వృత్త వ్యాసార్ధం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్త సమీకరణము 9x² + 16y² = 144

a² = 16, b² = 9
a = 4, b = 3
వృత్తం SS’ ల గుండా పోతూ కనిష్ట వ్యాసార్ధము కలిగి ఉంది.
∴ S, S’ వ్యాసం అవుతుంది.
a²e² = a² – a²(1 – e²) = a² – b² = 16 – 9 = 7
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² = 7.

ప్రశ్న 4.
రేసుకోర్సులో పరిగెడుతున్న మనిషి, రెండు జెండా కొయ్యల నుంచి తనకు గల దూరాల మొత్తం ఎప్పుడూ 10 మీ అని, జెండా కొయ్యల మధ్య దూరం 8 మీ. అని గమనించాడు. అయితే ఆ మనిషి పరిగెత్తే రేసు కోర్సు మార్గం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
S, S’ లు జెండాలు. మనిషి ఉన్న స్థానము P.

SP + S’P = 10 మరియు SS’ = 8
S మరియు S’ లు నాభులుగా కలిగిన దీర్ఘవృత్తంలో
ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు
2a = 10 ⇒ a = 5
SS’ = 8 ⇒ 2ae = 8 = ae = 4
e = \(\frac{4}{5}\)
b² = a²(1 – e²) = 25 (1 – \(\frac{16}{25}\)) = 9
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}\) = 1

III.

ప్రశ్న 1.
a + b స్థిరంగా గల ఒక సరళరేఖ కొనలు ఎప్పుడూ రెండు పరస్పర లంబరేఖలపై చలిస్తున్నాయి. సరళరేఖ పొడవును (a), (b) భాగాలుగా విభజించే నిర్దేశించిన బిందువు ఎప్పుడూ ఒక దీర్ఘవృత్తాన్ని అనుసరిస్తుందని చూపండి. a = 8, b = 12 అయితే దీర్ఘవృత్తం ఉత్యేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
లంబ రేఖలను నిరూపకాక్షాలుగా తీసుకుందాం.
AB స్థిరరేఖ.
OA = α, OB = β అనుకుంటే
AB సమీకరణము \(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}\) = 1
(∵ α² + β² = (a + b)²) ………….. (1)
P(x, y) బిందువు AB ని a = b నిష్పత్తితో విభజిస్తుంది

P దీర్ఘవృత్తాన్ని అనుసరిస్తుంది..
a = 8, b = 12, కనుక b > a
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{144-64}{144}}=\sqrt{\frac{80}{144}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

ప్రశ్న 2.
దీర్ఘవృత్త \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 పై బిందువులు ‘α’, ‘β’ లను కలిపే జ్యా సమీకరణం \(\frac{x}{a} \alpha \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+\frac{y}{b} \beta \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం మీద బిందువులు
P(a cos α, b sin α) మరియు Q(a cos β, b sin β).

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(b)

అభ్యాసం – 3(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
y² = 6x పరావలయానికి ధనాత్మక నాభి లంబాగ్రం వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(a, 2a) కాని 4a = 6 ⇒ a = \(\frac{3}{2}\)
(\(\frac{3}{2}\), 3)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము yy₁ = 2a (x + x₁)
yy₁ = 3(x + x₁)
3y = 3(x + \(\frac{3}{2}\))
2y – 2x – 3 = 0 స్పర్శరేఖ సమీకరణము
స్పర్శరేఖ వాలు 1
అభిలంబరేఖ వాలు – 1
అభిలంబరేఖ సమీకరణం y – 3 = -1(x – \(\frac{3}{2}\))
2x + 2y – 9 = 0

ప్రశ్న 2.
x² – 4x 8y + 12 = 0 పరావలయంపై (4, \(\frac{3}{2}\)) వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(x – 2)² – 4 – 8y + 12 = 0
⇒ (x – 2)² – 8y + 8 = 0
⇒ (x – 2)² = 8(y – 1); 4a = 8 ⇒ a = 2
(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
(x – 2) (x₁ – 2) = 2a (y – 1 + y₁ – 1)
⇒ (x – 2) (4 – 2) = 2a (y – 1+ \(\frac{3}{2}\) – 1)
⇒ 2(x – 2) = 4\(\left(\frac{2 y-1}{2}\right)\)
x – 2y – 1 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = m(x – x₁) అనుకుందాం.
m – అభిలంబరేఖ వాలు
స్పర్శరేఖ వాలు \(\frac{1}{2}\)
అభిలంబ రేఖ వాలు – 2
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – \(\frac{3}{2}\) = -2(x – 4)
2y – 3 = – 4x + 16
4x + 2y – 19 = 0

ప్రశ్న 3.
y² = 6x పరావలయానికి 2y = 5x + k స్పర్శరేఖ అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
దత్తరేఖ 2y = 5x + k

ప్రశ్న 4.
y² = 4x పరావలయానికి y – 2x + 5 = 0 రేఖకు సమాంతరంగా గల అభిలంబ రేఖసమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన: ప
రావలయము సమీకరణము y² = 4x
∴ a = 1
దత్తరేఖ సమీకరణము y – 2x + 5 = 0.
వాలు m = 2
అభిలంబ రేఖ y – 2x + 5 = 0 కు సమాంతరము
అభిలంబరేఖ వాలు = 2
రేఖా సమీకరణము ‘t’ వద్ద అభిలంబ
y + tx = 2at + at³
∴ Slope = -t = 2
⇒ t = -2
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – 2x = 2.1 (-2) + 1(-2)
= -4 – 8 = -12
2x – y – 12 = 0.

ప్రశ్న 5.
y² = 16x పరావలయానికి 2x – y + 2 = 0 స్పర్శరేఖ అవుతుంది అని చూపి, స్పర్శబిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ 2x – y + 2 = 0
⇒ y = 2x + 2
y = mx + c తో పోల్చగా m = 2, c = 2
y² = 16x ను y² = 4ax తో పోల్చగా
4a = 16 ⇒ a = 4
\(\frac{a}{m}=\frac{4}{2}\) = 2 = c
∴ స్పర్శబిందువు = \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{2^2}, \frac{2(4)}{2}\right)\)
= (1, 4)

ప్రశ్న 6.
y² = 16x పరావలయానికి, X- అక్షంతో 60° కోణం చేసే స్వర్శలేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. స్వర్శ బిందువును కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
θ = 60°; m = tan 60° = \(\sqrt{3}\)
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
y = \(\sqrt{3x}\) + \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{3y}\) = 3x + 4
స్పర్శబిందువు = \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{3}, \frac{8}{\sqrt{3}}\right)\)

II.

ప్రశ్న 1.
y² = 16x పరావలయానికి సరళరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే, లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. స్పర్శ బిందువులు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 16x
స్పర్శరేఖ 2x – y + 5 = 0కు సమాంతరం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + c
స్పర్శరేఖ నియమము c = \(\frac{a}{m}=\frac{4}{2}\) = 2
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + 2
2x + y + 2 = 0
స్పర్శ బిందువు \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{4} ; \frac{8}{2}\right)\) = (1, 4)
లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m’ = –\(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{2}\)
లంబంగా ఉన్న స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = m’x + c’
= (-\(\frac{1}{2}\)) x + c’
c’ = \(\frac{a}{m^{\prime}}=\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = – 8
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{2}\) x – 8
2y = -x – 16
x + 2y + 16 = 0
స్పర్శ బిందువు \(\left(\frac{a}{m^{\prime^2}}, \frac{2 a}{m^{\prime}}\right)\)
= \(\left(\frac{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}, \frac{8}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\)
= (16, -16).

ప్రశ్న 2.
y² = 4ax పరావలయానికి lx + my + n = 0 అభిలంబరేఖ అయితే al³ + 2alm² + nm² = 0 అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 4ax
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y + tx = 2at + at³
tx + y – (2at + at³) = 0 ………….. (1)
దత్తరేఖ సమీకరణము
lx + my + n = 0 ………. (2)
(1), (2) ఒకేరేఖను సూచిస్తున్నాయి.
గుణకాలను పోల్చగా

m³ తో గుణించగా
-nm² = 2al m² + al³
⇒ al³ + 2alm² + nm² = 0

ప్రశ్న 3.
వృత్తం x² + y² = 2a², పరావలయం y² = 8ax లకు ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు y = ± (x + 2a) అని చూపండి. [Mar. ’06]
సాధన:
పరావలయ స్పర్శరేఖ సమీకరణము y² = 8ax,
y = mx + \(\frac{2 a}{m}\)
m²x – my + 2a = 0 ……………… (1)
(1) రేఖ x² + y² = 2a², వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుంది. (0, 0)
(1) కేంద్రం నుండి లంబదూరము a\(\sqrt{2}\) వ్యాసార్ధము.
\(\left|\frac{2 a}{\sqrt{m^2+m^4}}\right|\) = a\(\sqrt{2}\)
లేదా 4 = 2 (m⁴ + m²)
m⁴ + m² – 2 = 0
(m² + 2) (m² – 1) = 0 లేదా m = ± 1
కావలసిన స్పర్శరేఖలు
y = (1) x + \(\frac{2 a}{(1)}\) , y = (-1) x + \(\frac{2 a}{(-1)}\)
⇒ y = ± (x + 2a)

ప్రశ్న 4.
పరావలయం నాభి జ్యా అగ్రాల వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖలు నియతరేఖ పై లంబంగా ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:

పరావలయ సమీకరణము y² = 4ax
Q(t₁) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము.
t₁y = x + at₁²
R(t₂) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము t₂y = x + at₂²
సాధించగా,
ఖండన బిందువు [at, t₂, a(t₁ + t₂)]
QR జ్యా సమీకరణము (t₁ + t₂) y = 2x + 2at₁t₂

ప్రశ్న 5.
x² = 4ay పరావలయానికి y = mx + c స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
x² = 4ay కు స్పర్శరేఖ, స్పర్శరేఖ వాలు ‘m₁‘ పదాలలో
x = m₁ y + \(\frac{a}{m_1}\)
లేదా y = \(\frac{x}{m_1}-\frac{a}{m_1^2}\) …………… (i)
y = mx + c ………………… (ii)
(1) (2) పోల్చగా
m = \(\frac{1}{m_1}\) ; c = \(\frac{-a}{m_1^2}\)
m₁ = \(\frac{1}{m}\)
∴ c = \(\frac{-a}{(1 / m)^2}\)
c = – am² కావలసిన నియమము

ప్రశ్న 6.
y² = 8x పరావలయానికి (k, 0) నుంచి మూడు అభిలంబ రేఖలు గీశాం, అందులో ఒకటి అక్షరేఖ, మిగిలిన రెండు అభిలంబ రేఖలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయంలో అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + xt = 2at + at³
ఈ అభిలంబరేఖ (k, 0) గుండా పోతుంది.
∴ kt = 2at + at
at³ + (2a – k) t = 0
at² + (2a – k) = 0
m₁ = 0, m₂ m₃ = -1 అని ఇవ్వబడింది.
(-t₂) (-t₃) = -1 t₂ t₃ = -1
\(\frac{2 a-k}{a}\) = – 1
2a – k = -a
k = 2a + a = 3a
పరావలయం సమీకరణము y² = 8x
4a = 8
⇒ a = 2
k = 3a = 3(2) = 6

ప్రశ్న 7.
y² = 4ax కు లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువుల పథం నియతరేఖ x + a = 0 అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం యొక్క ఏదేని స్పర్శరేఖను
y = mx + \(\frac{a}{m}\) -గా తీసుకొనవచ్చును,
ఈ స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) గుండా పోతుంది.
my₁ = m²x₁ + a
m²x₁ – my₁ + a = 0.

స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ m₁m₂ = -1
\(\frac{a}{x_1}\) = -1
x₁ = -a
నియతరేఖ x = -a, అనేది P(x₁, y₁) బిందుపథం

ప్రశ్న 8.
రెండు పరావలయాలు ఒకే శీర్షం, సమాన నాభి లంబం పొడవులు కలిగి ఉన్నాయి. వాటి అక్షాలు లంబంగా ఉన్నాయి. అప్పుడు వాటి ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ, పరావలయ నాభి లంబాగ్రాల వద్ద స్పృశిస్తుందని చూపండి.
సాధన:

పరావలయాల సమీకరణాలు
y² = 4ax
x² = 4ay గా తీసుకుందాం.
x² = 4ay కు (2at, at²) వద్ద స్పర్శరేఖ
2atx = 2a(y + at²)
y = tx – at²
ఇది y² = 4ax కు స్పర్శరేఖ
∴ నియమము C = \(\frac{a}{m}\)
– at² = \(\frac{a}{t}\)
t³ = -1 ⇒ t = -1.
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = -x – a
x + y + a = 0.
L’ (a, – 2a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y (-2a) = 2a (x + a)
x + y + a = 0
∴ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ y² = 4ax పరావలయాన్ని
L (a, -2a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.
L (-2a, a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x² = 4ay
x(-2a) = 2a (y + a)
x + y + a= 0
స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు పరావలయాన్ని L’ (-2a, a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.

ప్రశ్న 9.
y² = 4ax పరావలయ స్పర్శరేఖ పైకి నాభి నుంచి గీసిన లంబపాదాలు, శీర్షం వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన;
పరావలయం యొక్క ఏదేని స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
Q(x₁, y₁) లంబపాదం
∴ y₁ = mx₁ + \(\frac{a}{m}\) …………….. (1)
SQ వాలు = \(\frac{y_1}{x_1-a}\)

⇒ y₁² (a – x₁) = x₁ (a – x₁)² + ay₁²
⇒ ay₁² – x₁y₁² = x₁ (a² + x₁² – 2ax₁) + ay₁²
⇒ x₁ [x₁² – 2ax₁ + a² + y₁²] = 0
⇒ x₁ [(x₁ – a)² + y₁²] = 0
⇒ x₁ = 0
Q (x₁, y₁) బిందుపథం x = 0. i.e., ఇది పరావలయానికి శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ.

ప్రశ్న 10.
పరావలయానికి నాభి జ్యా ఒక కొన వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ, రెండో కొన వద్ద గీసిన అభిలంబ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

P(t₁) వద్ద స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
t₁y = x + at₁²
P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{1}{t_1}\) …………….. (2)
Q(t₂) వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + xt₂ = 2at₂ + at₂³
Q వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు = -t₂ ……………… (3)
(1), (2), (3) ల నుండి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = Q వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు
P వద్ద స్పర్శరేఖ, Q వద్ద అభి లంబరేఖ సమాంతరము.

III.

ప్రశ్న 1.
y² = 4ax పరావలయానికి t₁ వద్ద గీసిన అభిలంబరేఖ పరావలయాన్ని తిరిగి t₂ వద్ద ఖండిస్తే t₁t₂ + t₁² + 2 = 0 అని చూపండి. [May ’07]
సాధన:
అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
y – y₁ = \(\frac{-y_1}{2 a}\) (x – x₁)
y – 2at₁ = \(\frac{-2 \mathrm{at}_1}{2 \mathrm{a}}\) (x – at₁²)
(1) రేఖ పరావలయాన్ని తిరిగి (at₂², 2at₂) వద్ద ఖండిస్తుంది.
∴ 2at₂ – 2at₁ = t₁ (at₂² – at₁²)
–\(\frac{2}{t_1}\) = t₁ + t₂ ⇒ -2 = t₁² + t₁t₂
⇒ t₁² + t₁t₂ + 2 = 0

ప్రశ్న 2.
y² = 4ax పరావలయానికి బాహ్య బిందువు P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు అక్షరేఖతో θ₁, θ₂ కోణాలు చేస్తున్నాయి. cot θ₁ + cot θ₂ విలువ స్థిర సంఖ్య ‘d’ అయితే, అలాంటి P లు క్షితిజ సమాంతర రేఖపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం యొక్క స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
ఈ స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) గుండా పోతుంది.
y₁ = mx₁ + \(\frac{a}{m}\)
my₁ = m²x₁ + a = 0
m²x₁ – my₁ + a = 0
ఈ సమీకరణం మూలాలు m₁, m₂, అయితే
m₁ + m₂ = \(\frac{y_1}{x_1}\), m₁m₂ = \(\frac{a}{x_1}\)
cot θ₁ + cot θ₂ = a అని ఇవ్వబడింది.

P(x₁, y₁) బిందుపథం y = a² ఇది క్షితిజ రేఖ.

ప్రశ్న 3.
2x² + 2y² = a² వృత్తం, y² = 4ax పరావలయానికి ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు y² = – 4ax యొక్క నాభి వద్ద ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త వృత్తము 2x² + 2y² = a²
కేంద్రం = (0, 0); వ్యాసార్ధము = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
దత్త పరావలయము y² = 4ax
y = mx + \(\frac{a}{m}\) స్పర్శరేఖ అనుకుందాం.
2x² + 2y² = a² స్పృశిస్తుంది.
⇒ (0, 0) నుండి లంబదూరము = వ్యాసార్థము
⇒ \(\left|\frac{\frac{a}{m}}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
⇒ \(\frac{\frac{a^2}{m^2}}{m^2+1}=\frac{a^2}{2}\)
⇒ \(\frac{2 a^2}{m^2}\) = a² (m² + 1)
⇒ 2 = m⁴ + m²
⇒m ⇒ m⁴ + m² – 2 = 0
⇒ (m² – 1) (m² + 2) = 0 (∵ m² + 2 ≠ 0)
m² – 1 = 0 ⇒ m = ± 1
y² = – 4ax పరావలయం యొక్క నాభి వద్ద ఖండిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
y² = 4ax పరావలయంపై రెండు బిందువుల y నిరూపకాల మొత్తం, అదే పరావలయంపై వేరొక రెండు బిందువుల y నిరూపకాల మొత్తానికి సమానం అయితే, మొదటి రెండు బిందువులను కలిపే జ్యా, మిగిలిన రెండు బిందువులను కలిపే జ్యాకు సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

పరావలయ సమీకరణము y² = 4ax
P(t) మరియు Q(t) లను కలిపే జ్యా సమీకరణము
(t₁ + t₂) y = 2x + 2 at₁ t₂
PQ వాలు = \(\frac{2}{t_1+t_2}\) ……………… (1)
R(t₃) మరియు S(t₄) లు కలిపే జ్యా సమీకరణము
(t₃ + t₄) y = 2x + 2at₃t₄
RS వాలు = \(\frac{2}{t_3+t_4}\) ………………. (2)
దత్తాంశం ప్రకారం 2at₁ + 2at₂ = 2at₃ + 2at₄
i.e., 2a (t₁ + t₂) = 2a (t₃ + t₄)
t₁ + t₂ = t₃ + t₄ …………….. (3)
(1), (2), (3) ల నుండి PQ వాలు = RS వాలు
i.e., PQ, RS లు సమాంతరాలు.

ప్రశ్న 5.
y² = 4ax పరావలయంపై బిందువు ‘t’ వద్ద అభిలంబ జ్యా, శీర్షం వద్ద లంబకోణం చేస్తే t = ± \(\sqrt{2}\) అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 4ax …………… (1)
‘t’ వద్ద లంబరేఖ సమీకరణాలు
tx + y = 2at + at³

(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే AQ, ARల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
y² = \(\frac{4 a x \cdot(t x+y)}{a\left(2 t+t^3\right)}\)
y² (2t + t³) = 4tx² + 4xy
4tx² + 4xy – (2t + t³) y² = 0
AQ, AR లు లంబంగా ఉన్నాయి.
x² గుణకం + y² గుణకం = 0
4t – 2t – t³ = 0
2t – t³ = 0
-t(t² – 2) = 0
t² – 2 = 0 ⇒ t² = 2
t = ± \(\sqrt{2}\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(a)

అభ్యాసం – 3(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
4y² + 12x – 20y + 67 = 0 పరావలయం శీర్షం, నాభులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 4y² + 12x – 20y + 67 = 0
4y² – 20y = -12x – 67
y² – 5y = -3x – \(\frac{67}{4}\)
ఇరువైపులా \(\frac{25}{4}\) కూడగా

ప్రశ్న 2.
x² – 6x – 6y + 6 = 0 పరావలయం శీర్షం, నాభులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము
x² – 6x – 6y + 6 = 0
x² – 6x = 6y – 6
ఇరువైపులా 9 కలుపగా
x² – 6x + 9 = 6y+ 3
(x – 3)² = 6\(\left(y+\frac{1}{2}\right)\)
= \(\left[y-\left(\frac{-1}{2}\right)\right]\)
∴h = 3, k = \(\frac{-1}{2}\), a = \(\frac{6}{4}\) = \(\frac{3}{2}\)
శీర్షం = (h, k) = (3, \(\frac{-1}{2}\))
నాభి = (h, k + a) = (3, \(\frac{-1}{2}\)–\(\frac{1}{2}\))
= (3, 1).

ప్రశ్న 3.
y² + 6y – 2x + 5 = 0 పరావలయం అక్షరేఖ, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
y² + 6y = 2x – 5
ఇరువైపులా 9 కలుపగా
y² + 6y + 9 = 2x – 5 + 9
[y – (-3)]² = 2x + 4
[y – (-3)]² = 2[x – (-2)]
(y – k)² = 4a (x – h) తో పోల్చగా
(h, k) = (-2,-3), a = \(\frac{1}{2}\)
అక్ష సమీకరణము y – k =  i.e. y + 3 = 0
నియత రేఖా సమీకరణము x – h + a = 0
i.e., x – (-2) + \(\frac{1}{2}\) = 0
2x + 5 = 0.

ప్రశ్న 4.
4x² + 12x – 20y + 67 = 0 పరావలయం అక్షరేఖ, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
4x² + 12x = 20y – 67
x² + 3x = 5y – \(\frac{67}{4}\)
ఇరువైపులా \(\frac{9}{4}\) కలుపగా
x² + 3x + \(\frac{9}{4}\) = 5y – \(\frac{67}{4}\) + \(\frac{9}{4}\)
(x + \(\frac{3}{2}\))² = 5y – \(\frac{58}{4}\)
= 5y – \(\frac{29}{2}\)
\(\left[x-\left(\frac{-3}{2}\right)\right]^2=5\left[y-\frac{29}{10}\right]\)
(x – h)² = 4a(y – k) తో పోల్చగా
(h, k) = (\(\frac{-3}{2}\), \(\frac{29}{10}\)) ; a = \(\frac{5}{4}\)
అక్ష సమీకరణము x – h = 0, i.e., x + \(\frac{3}{2}\) = 0
2x + 3 = 0
నియత రేఖా సమీకరణము, y – k + a = 0
у – \(\frac{29}{10}\) + \(\frac{5}{4}\) = 0
⇒ 20y – 33 = 0.

ప్రశ్న 5.
నాభి 5(1, -7), శీర్షం (1, 2) గా గల పరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
S = (1, -7), A(1, -2) అనుకుందాము.
h = 1, k = -2, a = -2 + 7 = 5
పరావలయం అక్షం Y – అక్షానికి సమాంతరము.
పరావలయ, సమీకరణము
(x – h)² = – 4a (y – k)
(x – 1)² = 20(y + 2)
x² – 2x + 1 = -20y – 40
⇒ x² – 2x + 20y + 41 = 0.

ప్రశ్న 6.
నాభి S(3, 5), శీర్షం (1, 3)గా గల పరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అక్ష సమీకరణము y – 3 = \(\frac{3-5}{1-3}\) (x – 1)
= x – 1
x – y + 2 = 0
నియత రేఖ, అక్షానికి లంబంగా ఉంది.
నియత రేఖ సమీకరణము x + y + k = 0
Z నిరూపకాలు (x, y)
SZ మధ్య బిందువు A
A నిరూపకాలు \(\left(\frac{3+x}{2}, \frac{5+y}{2}\right)\) = (1, 3)
\(\frac{3+x}{2}\) = 1
3 + x = 2
x = 2 – 3 = -1

\(\frac{5+y}{2}\) = 3
5 + y = 6
y = 6 – 5 = 1

Z నిరూపకాలు (-1, 1).
నియత రేఖ Z (-1, 1) గుండా పోతుంది.
-1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 0
నియతరేఖ సమీకరణము x + y = 0
పరావలయ సమీకరణము ( x – α)² + (y – β)²
= \(\frac{(l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{n})^2}{l^2+\mathrm{m}^2}\)
(x – 3)² + (y – 5)² = \(\frac{(x+y)^2}{1+1}\)
⇒ 2(x² – 6x + 9 + y² – 10y + 25)= (x + y)²
⇒ 2x² + 2y² – 12x – 20y + 68 = x² + 2xy + y²
i.e., x² – 2xy + y² – 12x – 20y+ 68 = 0.

ప్రశ్న 7.
(-3, 2), (-3, 1) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం నాభి లంబంగా గల పరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

L (-3, 2) మరియు L’ (-3, 1) నాభి లంబము కొనలు S మధ్య బిందువు LL’
S నిరూపకాలు \(\left(-3, \frac{3}{2}\right)\)

i.e., (2y – 3)² = 4x + 13.

ప్రశ్న 8.
y² = 6x పరావలయం దృష్ట్యా కింది బిందువుల స్థితి (అంతరంగా ఉన్నాయో, బాహ్యంగా ఉన్నాయో, పరిధిపై ఉన్నాయో) తెలపండి.
i) (6, -6)
ii) (0, 1)
iii) (2, 3)
సాధన:
i) (6, -6)
పరావలయ సమీకరణము y² = 6x
i.e., S = y – 6x
S₁₁ = (-6)² – 6.6 = 36 – 36 = 0
∴ (6, 6) బిందువు పరావలయం మీద ఉంది.

ii) (0, 1)
S₁₁ = 1² – 6.0 = 1 > 0
∴ (0, 1) బిందువు పరావలయానికి బాహ్యంగా ఉంది.

iii) (2, 3)
S = 9 – 6 (2) = 9 – 12 = 3
∴ (2, 3) బిందువు పరావలయానికి అంతరంగా ఉంది.

ప్రశ్న 9.
y² = 8x పరావలయంపై నాభిదూరం 10 గల బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి. [(Mar. ’11) ‘T.S. Mar, ’17 A.P. Mar. ’17 A.P. Mar. ’16]
సాధన:
పరావలయ సమీకరణము y² = 8x
4a = 8 ⇒ a = 2

నాభి నిరూపకాలు (2, 0)
పరావలయం మీద పడని బిందువు P(x, y)
దత్తాంశం SP = 10 ⇒ SP² = 100
(x – 2)² + y² = 100 + 2
కనుక y² = 8X
⇒ (x – 2)² + 8x = 100
⇒ x² – 4x + 4 + 8x – 100 = 0
⇒ x + 4x – 96 = 0 ⇒ (x + 12) (x – 8) = 0
x + 12 = 0 లేదా × – 8 = 0
x = -12, లేదా 8
సందర్భం : (i) x = 8
y² = 8.x = 8.8 = 64
y = ±8
కావలసిన బిందువుల నిరూపకాలు (8, 8) మరియు (8, -8)
సందర్భం : (ii) x = -12
y² = 8(-12) = -96 < 0
y వాస్తవము కాదు.

ప్రశ్న 10.
y² = 8x పరావలయం, నాభి జ్యా ఒక కొన (\(\frac{1}{2}\), 2) అయితే రెండో కొన నిరూపకాలు కనుక్కోండి. [May ’06]
సాధన:
A = (\(\frac{1}{2}\), 2); S = (2, 0)
B = (x₁, y₁) ⇒ \(\left(\frac{y_1^2}{8}, y_1\right)\)
ASB నాభి జ్యా
∴ SA, SB వాలులు సమానము.

24y₁ = -4y₁² + 64
లేదా 4y₁² + 24y₁ – 64 = 0
⇒ y₁² + 6y₁ – 16 = 0 ⇒ (y₁ + 8) (y₁ – 2) = 0
y₁ = 2, -8
x₁ = \(\frac{1}{2}\) , 8; కావున (8, -8) రెండవ కొన.

ప్రశ్న 11.
y² = 4ax (a > 0) పై గల బిందువులలో నాభి నుంచి కనిష్ట దూరంలో గల బిందువు శీర్షం అని చూపండి.
సాధన:
P(at², 2at) పరావలయం మీది బిందువు

S(a, 0) కనిష్ఠ దూరంలో ఉంది.
[SP² = (at – a)² + (2at – 0)²]
f'(t) = a²2(t² − 1) (2t) + 4a²(2t).
= 4a²t(t² – 1 + 2) = 4a²t(t² + 1)
కనిష్ఠ విలువను’ f'(t) = 0 ⇒ t = 0
f” (t) = 4a²(3t² + 1)
f'(0) = 4a² > 0]
∴ t = 0, వద్ద f(t) కనిష్ఠం
P = (0, 0):
∴ y² = 4ax, మీద ఉంటుంది. ధృవానికి కనిష్ఠ దూరములో గల బిందువు A (0, 0).

ప్రశ్న 12.
సూర్యుడు నాభిగా గల పరావలయ కక్ష్యలో ఒక తోకచుక్క సంచరిస్తోంది. సూర్యుడు నుంచి తోకచుక్క దూరం 2 × 10⁷ కి.మీ. ఉన్నప్పుడు సూర్యుడిని, తోకచుక్కను కలిపే రేఖ, కక్ష్య యొక్క అక్షరేఖతో \(\frac{\pi}{2}\) కోణం చేస్తోంది. సూర్యుడికి ఎంత దగ్గరగా తోకచుక్క రాగలదో కనుక్కోండి.
సాధన:

తోకచుక్క యొక్క పరావలయ కక్ష్య y² = 4ax అనుకుందాం.
తోకచుక్క ఉన్న స్థితి P
∠XSP = \(\frac{\pi}{2}\) అని ఇవ్వబడింది.
SP అక్షానికి లంబంగా ఉంది.
SP అర్థ నాభి లంబము
2a = 2 × 10⁷
⇒ a = 10⁷ కి . మీ
పరావలయము మీద నాభి నుండి అత్యంత సమీప బిందువు A
AS = a = 10⁷ కి . మీ
∴ సూర్యుని నుండి కనిష్ఠ దూరంలో గల పరావలయం మీది బిందువు 10⁷ కి.మీ దూరంలో ఉంది.

II.

ప్రశ్న 1.
పరావలయం y² = 4ax (a > 0) ద్విy నిరూపకం, త్రిథాకరణ బిందువుల బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y⁷ = 4ax
P(x, y) మరియు Q(x, -y) నాభి జ్యా కొనలు.

T బిందువు PQ ని 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
T నిరూపకాలు \(\left(x, \frac{-y+2 y}{3}\right)\)
= \(\left(x, \frac{y}{3}\right)\)
T బిందువు PQ ని 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
T నిరూపకాలు \(\left[x, \frac{-2 y+y}{3}\right]\)
= \(\left(x_1-\frac{y}{3}\right)\)
L, L’ల నిరూపకాలు (x₁, y₁) అయితే
y₁ = ± \(\frac{y}{3}\) ⇒ y₁² = \(\frac{y^2}{9}\)
y² = 9y₁²
4ax₁ = 9y₁²
బిందు పథము (x₁, y₁) = 9y² = 4ax.

ప్రశ్న 2.
ధన X – అక్షంపై మూలబిందువు నుంచి శీర్షం, నాభులు వరుసగా (a, a’) దూరాలలో గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A నిరూపకాలు (a, 0) మరియు
S నిరూపకాలు (a’, 0)
AS = a’ – a

పరావలయ సమీకరణము y² = 4(a’ – a) (x – a).

ప్రశ్న 3.
x² = 6y పరావలయం నాభి లంబాగ్రాలు L,L’ లు అయితే OL, OL’ సమీకరణాలు, వాటి మధ్యకోణం -కనుక్కోండి. (‘O’ మూలబిందువు)
సాధన;
x² = 6y
Y – అక్షం దృష్ట్యా వక్ర సౌష్ఠవము
నాభి జ్యా కొనలు
(2a, a), (-2a, a)
4a = 6 ⇒ a = \(\frac{3}{2}\)
OL : x = 2y
∴ L = (3, \(\frac{3}{2}\))
OL’ : x = -2y
L’ = (-3, \(\frac{3}{2}\))
Tan θ = \(\left|\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}\right|=\frac{4}{3}\)
∴ θ =Tan^-1 \(\left(\frac{4}{3}\right)\)

ప్రశ్న 4.
(-2, 1), (1, 2), (-1, 3) బిందువుల గుండా పోతూ, X- అక్షానికి సమాంతరంగా అక్షరేఖ గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అక్షం X – అక్షానికి సమాంతరము
సాధారణ సమీకరణము
x = ay² + by + c
(−2, 1) (1, 2) (−1, 3) బిందువుల గుండా పోతుంది.
-2 = a + b + c ……………… (i)
1 = 4a + 2b + c ……………… (ii)
-1 = 9a + 3b + c ………………. (iii)

–\(\frac{5}{2}\) = a
\(\frac{21}{2}\) = b
– 10 = c
x = –\(\frac{5}{2}\)y² + \(\frac{21}{2}\)y – 10
5y² + 2x – 21y + 20 = 0

ప్రశ్న 5.
(4, 5), (-2, 11), (4, 21) బిందువుల గుండా పోతూ, Y – అక్షానికి సమాంతరంగా అక్షరేఖ గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
సాధారణ సమీకరణము y = ax² + bx + C
(4, 5), (-2, 11), (-4, 21) ల గుండాపోతుంది.
5 = 16a + 4b + c ………………. (i)
11 = 4a – 2b + c …………….. (ii)
+ 21 = 16a – 4b + c ……………….. (iii)
(ii) – (i) చేయగా
6 = -12a – 6b
(iii) – (ii) 10 = 12a – 2b
సాధించగా
b = -2, a = 1/2, c = 5
y = \(\frac{1}{2}\) x² – 2x + 5
x² – 2y – 4x + 10 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
నాభి (−2, 3) నియతరేఖ 2x + 3y + 4 = 0 గా గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి. నాభిలంబం పొడవు, అక్షరేఖ సమీకరణాలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:

P(x₁, y₁) పరావలయం మీది బిందువు.
S(-2, 3) నాభి
SP² = (x₁ + 2)² +(y₁ – 3)²
నియత రేఖ సమీకరణము 2x + 3y – 4 = 0
PM = P నుండి నియత రేఖ మీదకు
PM = \(\frac{\left|2 x_1+3 y_1-4\right|}{\sqrt{4+9}}\)
పరావలయ నిర్వచనం ప్రకారం SP = PM ⇒ SP² = PM²
(x₁ + 2)² + (y₁ – 3)² = \(\frac{\left(2 x_1+3 y_1-4\right)^2}{13}\)
⇒ 13(x₁² + 4x₁ + 4 + y₁² – 6y₁ + 9) = (2x₁ + 3y₁ – 4)²
⇒ 13x₁² + 13y₁² + 52 x₁ – 78 y₁ + 169 = 4x₁² + 9y₁² + 16 + 12 x₁y₁ – 16x₁ – 24 y₁
⇒ 9x₁² – 12 x₁y₁ + 4y₁² + 68x₁ – 54y₁ + 153 = 0
బిందు పథము P(x₁, y₁)
9x² – 12xy +4y²+68x-54y+ 153 = 0
నాభి లంబము పొడవు. = 4a
S నుండి నియత రేఖ మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|2(-2)+3.3-4|}{\sqrt{4+9}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\)
2a = \(\frac{1}{\sqrt{13}}\)
నాభి లంబం పొడవు
= 4a = \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
అక్షం, నియత రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.
నియత రేఖ సమీకరణాన్ని
3x – 2y + k = 0 గా తీసుకొనగలము.
ఈ రేఖ S (−2, 3) గుండా పోతుంది.
-6 – 6 + k = 0 ⇒ k = 12
అక్షం సమీకరణము 3x – 2y + 12 = 0

ప్రశ్న 2.
y² = 4ax పరావలయంలో అంతర్లిఖించిన త్రిభుజం శీర్షాల y నిరూపకాలు y₁, y₂, y₃ అయితే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{1}{8 a}\) (y₁ − y₂) (y₂ – y₃) (y₃ – y₁) | చ || యూ ॥ అని చూపండి.
సాధన:
P(at₁², 2at₁), Q(at₂², 2at₂),
R(at₃², 2at₃) లు ∆PQRశీర్షాలు .
∆ PQR వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) |at₁² (2at₂ – 2at₃) + at₂² (2at₃ – 2at₁) + at₃² (2at₁ – 2at₂)|
= \(\frac{1}{2}\) . 2a² |t₁² (t₂ – t₃) + t₂² (t₃ – t₁) + t₃² (t₁ – t₂)|
= a² (t₁ – t₂) (t₂ – t₃) (t₃ – t₁)|
= \(\frac{1}{8 a}\) |(2at₁ – 2at₂) (2at₂ – 2at₃) (2at₃ – 2at₁)|
= \(\frac{1}{8 a}\) |(y₁ – y₂) (y₂ – y₃) (y₃ – y₁)|
P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), R(x₃, y₃) లు ∆PQRశీర్షాలు.

ప్రశ్న 3.
కింది పరావలయాలకు, శీర్షం, నాభి నిరూపకాలు, నియత రేఖ, అక్షరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
(i) y² + 4x + 4y – 3 = 0
(ii) x² – 2x + 4y – 3 = 0
సాధన:
i) y² + 4x + 4y – 3 = 0
⇒ y²+ 4y = -4x + 3
⇒ y² + 4y + 4 = -4x + 3+ 4
⇒ + (y + 2)² = – 4x + 7
⇒ [y − (−2)]² = -4[x – \(\frac{7}{4}\)]
h = \(\frac{7}{4}\), k = -2, a = 1
శీర్షం A(h, k) = \(\left(\frac{7}{4},-2\right)\)
నాభి (h-a, k) = \(\left(\frac{7}{4}-1,-2\right)\)
= \(\left(\frac{3}{4},-2\right)\)
నియత రేఖ సమీకరణము x – h- a = 0
x – \(\frac{7}{4}\) – 1 = 0
4x – 11 = 0
అక్షం సమీకరణము y – k = 0
y + 2 = 0

ii) x² – 2x + 4y – 3 = 0
x² – 2x = -4y + 3
⇒ x – 2x + 1 = -4y + 3 + 1
(x – 1)² = -4y + 4
= -4 [y – 1]
(x – 1)² = -4[y – 1]
h = 1; k = 1; a = 1
శీర్షం A(h, k) = (1, 1)
నాభి (h, k – a) = (1, 1 – 1) = (1, 0)
నియత రేఖ సమీకరణము y – k – a = 0
y – 1 – 1 = 0
y – 2 = 0
అక్షరేఖ సమీకరణము x – h = 0
x – 1 = 0

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 2 వృత్త సరణులు Exercise 2(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 2 వృత్త సరణులు Exercise 2(b)

అభ్యాసం – 2(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది వృత్తాల మూలాక్షాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
i) x² + y² – 3x − 4y + 5 = 0; 3(x² + y²) – 7x + 8y + 11 = 0
సాధన:
S ≡ x² + y² – 3x – 4y + 5 = 0
S ≡ 3x² + 3y² – 7x + 8y + 11 = 0
S – S’ = 0 మూలాక్షము
(x² + y² – 3x – 4y + 5) – (x² + y² – \(\frac{7}{3}\) x + \(\frac{8}{3}\) y + \(\frac{11}{3}\)) = 0
\(\frac{-2}{3}\)x – \(\frac{20}{3}\) y + \(\frac{4}{3}\) = 0
⇒ x + 10y – 2 = 0

ii) x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0; x² + y² + 4x + y = 0.
సాధన:
S – S’ = 0 మూలాక్షము
(x² + y² + 2x + 4y + 1)
-(x² + y² + 4x + y) = 0
– 2x + 3y+1=0
లేదా 2x – 3y – 1 = 0 కావలసిన మూలాక్షము.

iii) x² + y² + 4x + 6y – 7 = 0; 4(x² + y²) + 8x + 12y – 9 = 0.
సాధన:
S-S’ = 0 మూలాక్షము
(x² + y² + 4x + 6y – 7) – (x²+ y²+ 2x + 3y – \(\frac{9}{4}\)) = 0
2x + 3y – \(\frac{-19}{4}\) = 0
⇒ 8x + 12y – 19 = 0

iv) x²+ y² – 2x – 4y – 1 = 0; x² + y² – 4x – 6y + 5 = 0.
సాధన:
S – S’ = 0 మూలాక్షము
(x² + y² – 2x – 4y – 1) -(x²+ y² – 4x – 6y + 5) = 0
2x + 2y – 6 = 0 లేదా
x + y – 3 = 0

ప్రశ్న 2.
క్రింది వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
i) x²+ y² – 4x – 4y + 3 = 0; x² + y² – 5x – 6y + 4 = 0.
సాధన:
(x² + y² – 4x – 4y + 3) – (x² + y² – 5x – 6y + 4) = 0
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము x + 2y – 1 = 0

ii) x² + y² + 2x + 3y + 1 = 0; x² + y² + 4x + 3y + 2 = 0.
సాధన:
(x² + y² + 2x + 3y + 1) – (x² + y² + 4x + 3y + 2) = 0
-2x – 1 = 0
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము
-2x – 1 = 0
(i.e.,) 2x + 1 = 0

iii) (x – a)² + (y – b)² = c²; (x – b)² + (y – a)² = c² (a ≠ b)
సాధన:
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము (x² + y² – 2xa – 2yb – c²) – (x² + y² – 2xb – 2ya – c²) = 0
-2x (a – b) – 2y(b – a) = 0
లేదా x – y = 0

II.

ప్రశ్న 1.
ఒకదానికొకటి స్పృశించుకొనే బిందువు వద్ద క్రింది వృత్తాల ఉమ్మడి స్పర్శ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
i) x² + y² + 10x – 2y + 22 = 0, x² + y² + 2x – 8y + 8 = 0.
సాధన:
x² + y² + 10x – 2y + 22 = 0
x² + y² + 2x – 8y + 8 = 0
రెండు వృత్తాలు స్పృశించుకుంటే S – S’ = 0 ఉమ్మడి స్పర్శరేఖా సమీకరణము అవుతుంది.
∴ (x² + y² + 10x – 2y + 22) – (x² + y² + 2x – 8y + 8) = 0
8x + 6y + 14 = 0 లేదా
4x + 3y + 7 = 0

ii) x² + y² – 8y – 4 = 0; x² + y² – 2x – 4y = 0.
సాధన:
రెండు వృత్తాలు స్పృశించుకుంటే S – S’ = 0 ఉమ్మడి స్పర్శరేఖా సమీకరణము.
(x² + y² – 8y – 4) – (x² + y² – 2x – 4y) = 0
2x – 4y – 4 = 0
లేదా x – 2y – 2 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 8x – 2y + 8 = 0, x² + y² – 2x + 6y + 6 = 0 వృత్తాలు స్పృశించు కుంటాయని చూపి, వాటి స్పర్శ బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (4, 1);
C₂ = (1,-3)
r₁ = \(\sqrt{16+1-8}\) = 3
r₂ = \(\sqrt{1+9-6}\) = 2
C₁C₂ = \(\sqrt{(4-1)^2+(1+3)^2}\) = 5
r₁ + r₂ = C₁ + C₂ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించు కుంటాయి.

ప్రశ్న 3.
x²+ y² + 2gx + 2fy = 0, x² + y² + 2g’x + 2f’y = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకొంటే f’g = fg’ అని చూపండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
C₁ = (-g, -f)
C₂ = (-g’, -f’)
r₁ = \(\sqrt{g^2+f^2}\)
r₂ = \(\sqrt{g^{\prime^2}+f^{\prime^2}}\)
C₁C₂ = r₁ + r₂
(C₁C₂)² = (r₁ + r₂)²
(g’ – g)² + (f’ – f)² = g² + f² + g’² + f’² + 2\(\sqrt{g^2+f^2} \sqrt{g^{\prime^2}+f^{\prime^2}\) – 2(gg’ + ff’) = 2{g²g’² + f²f’² + g²f’² + f²g’²}^1/2
మరల వర్గీకరించగా
(gg’ + ff’)² = g²g’² + f²f’² + g²f’² + g’²f²
g²g’² + f²f’² + 2gg’ff’ = g²g’² + f²f’² + g²f’² + g’²f’²
2gg’ff’ = g²f’² + f²g’²
⇒ g²f’² + g’²f² – 2gg’ff’ = 0
లేదా (gf – fg’)² = 0
లేదా gf’ = fg’

ప్రశ్న 4.
క్రింది వృత్తాల మూల కేంద్రం కనుక్కోండి.
i) x² + y² – 4x – 6y + 5 = 0
x² + y² – 2x – 4y – 1 = 0
x² + y² – 6x – 2y = 0
సాధన:
x² + y² – 4x – 6y + 5 = 0 ……………. (i)
x² + y² – 2x – 4y – 1 = 0 ………………. (ii)
x² + y² – 6x – 2y = 0 …………………. (iii)
(i) – (ii) చేయగా
-2x – 2y + 6 = 0
x + y – 3 = 0 ……………. (1)
(ii) – (iii) చేయగా
4x – 2y – 1 = 0 ……………….. (2)
2x + 2y – 6 = 0 – (1) × 2
4x – 2y – 1 = 0 …………….. (3)
కూడగా 6x – 7 = 0
x = \(\frac{7}{6}\)
(1) నుండి \(\frac{7}{6}\) + y – 3 = 0
y = 3 – \(\frac{7}{6}\) = \(\frac{11}{6}\)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు మూల కేంద్రం అవుతుంది.
∴ (1), (2) లను సాధించగా మూల కేంద్రం = (\(\frac{7}{6}\), \(\frac{11}{6}\))

ii) x² + y² + 4x – 7 = 0, 2x² + 2y² + 3x + 5y – 9 = 0, x² + y²+ y = 0.
సాధన:
S = x² + y² + 4x – 7 = 0 …………….. (i)
S₁ = 2x² + 2y² + 3x + 5y – 9 = 0
S₁ = x² + y² + \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{2}\)y – \(\frac{9}{2}\) = 0 ……………… (ii)
S₁₁ = x² + y² + y = 0 ………….. (iii)
S = 0, S₁; = 0 ల మూలాక్షము S – S₁ = 0
(4x – 7) – (\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{2}\)y – \(\frac{9}{2}\)) = 0
4x – 7 – \(\frac{3}{2}\)x – \(\frac{5}{2}\)y + \(\frac{9}{2}\) = 0
\(\frac{5}{2}\)x – \(\frac{5}{2}\)y – \(\frac{5}{2}\) = 0
5x – 5y – 5 = 0
x – y – 1 = 0 ………………. (iv)
S = 0, S₁₁ = 0 ల మూలాక్షము S – S₁₁ = 0
4x – y – 7 = 0 ……………. (v)
x – y – 1 = 0 ……………… (iv)
తీసివేయగా 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6
x = \(\frac{6}{3}\) = 2
(iv) లో ప్రతిక్షేపించగా 2 – y – 1 = 0
y = 1
మూలకేంద్రం P(2, 1)

III.

ప్రశ్న 1.
x² + y²-6x-4y+ 9 = 0, x² + y² – 8x – 6y + 23 = 0 వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యా రెండో వృత్తపు వ్యాసం అవుతుందని చూపండి. ఇంకా దీని పొడవును కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము
(x² + y² – 6x – 4y + 9) – (x² + y² – 8x – 6y + 23) = 0
2x + 2y – 14 = 0
x + y – 7 = 0 …………….. (i)
వృత్త కేంద్రం (−4, -3)
(-4, -3) బిందువు x + y – 7 రేఖపై ఉంది
వ్యాసార్ధం {4² + 3² – 23}^1/2 = \(\sqrt{2}\)
వ్యాసం = 2\(\sqrt{2}\)

ప్రశ్న 2.
క్రింది వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణాన్ని, దాని పొడవును కనుక్కోండి.
i) x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0, x² + y² + 4x + 3y + 2 = 0.
సాధన:
x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0
x² + y²+ 4x + 3y + 2 = 0
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము S – S’ = 0
(x² + y² + 2x + 2y + 1) – (x² + y² + 4x + 3y + 2) = 0
-2x – y – 1 = 0
2x + y + 1 = 0
నృత్త కేంద్రం (−1, −1)
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{1+1-1}\) = 1
(-1, -1) నుండి జ్యాకు లంబదూరము

ii) x² + y² – 5x – 6y + 4 = 0 ; x²+ y² – 2x – 2 = 0
సాధన:
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము
(x² + y² – 5x – 6y + 4) – (x² + y² – 2x – 2) = 0
-3x – 6y + 6 = 0
x + 2y -2 = 0
C₁ = (5/2, 3); .
r₁ = \(\sqrt{\frac{25}{4}+9-4}\)
= \(\frac{3 \sqrt{5}}{2}\)
d = \(\left|\frac{\frac{5^2}{2}+2(3)-2}{\sqrt{1+2^2}}\right|\)
d = \(\frac{13}{2 \sqrt{5}}\)
జ్యా పొడవు = 2\(\sqrt{r^2-d^2}\)
= 2\(\sqrt{\frac{45}{4}-\frac{169}{20}}\)
= \(\frac{2 \sqrt{56}}{\sqrt{20}}\) = 2\(\sqrt{\frac{14}{5}}\)

ప్రశ్న 3.
2g'(g – g’) + 2f'(f – f’) = c – c’ అయితే x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, x² + y²+ 2g’x + 2f’y + c’ = 0
వృత్తాల మూలాక్షం రెండో వృత్త వ్యాసమని (లేదా మొదటి వృత్తం రెండో వృత్త పరిధిని సమద్విఖండన చేస్తుందని) నిరూపించండి.
సాధన:
మూలాక్షము
(x² + y² + 2gx + 2fy + c) – (x² + y² + 2g’x + 2f’y + c’) = 0
2(g – g’) x + 2(f – f’) y + c – c’ = 0 ………………… (i)
రెండో వృత్త కేంద్రం (-g’, -f)
వ్యాసార్ధం = \(\sqrt{g^{\prime^2}+f^{\prime^2}-c^{\prime}}\)
(-g’, -f) బిందువు (i) మీద ఉంది
∴ -2g’ (g – g’) – 2f’ (f – f’) + c – c’ = 0
లేదా 2g’ (g – g’) + 2f’ (f – f’) = c – c’

ప్రశ్న 4.
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c}\) అయితే x²+ y² + 2ax + c = 0, x² + y² + 2by + c = 0 వృత్తాల ఒకదానికొకటి స్పృశించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
వృత్తాల కేంద్రాలు C₁ (-a, 0) మరియు C₂ (0, -b)
1వ వృత్త వ్యాసార్ధము \(\sqrt{a^2-c}\) = r₁
2వ వృత్త వ్యాసార్ధము \(\sqrt{b^2-c}\) = r₂
C₁C₂ = r₁ + r₂
(C₁C₂)² = (r₁ + r₂)²
(a² + b²) = a² – c + b² – c + 2 \(\sqrt{a^2-c} \sqrt{b^2-c}\)
c = \(\sqrt{a^2-c} \sqrt{b^2-c}\)
c² = (a² – c) (b² – c)
c² = -c (a² + b²) + a²b² + c²
లేదా c(a² + b²) = a²b² లేదా \(\frac{1}{c}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)

ప్రశ్న 5.
x² + y² – 2x = 0, x² + y² + 6x – 6y + 2 = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకుంటాయని చూపండి. స్పర్శ బిందువును కనుక్కోండి. ఈ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకున్నాయో లేదా అంతరంగా స్పృశించు కున్నాయో తెలపండి.
సాధన:
S = x² + y² – 2x = 0 వృత్తానికి
కేంద్రం C₁ = (1, 0) వ్యాసార్థం r₁ = \(\sqrt{1+0}\) = 1
S’ = x² + y² + 6x – 6y + 2 = 0 వృత్తానికి
కేంద్రం C₂ = (-3, 3)
వ్యాసార్థము r₂ = \(\sqrt{9+9-2}\) = \(\sqrt{16}\) = 4
C₁C₂ = \(\sqrt{(1+3)^2+(0-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+9}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
r₁ + r₂ = 1 + 4 = 5
C₁C₂ = r₁ + r₂ కనుక దత్త వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించు కుంటాయి. స్పర్శ బిందువు P కేంద్ర రేఖను అంతరంగా r₁ : r₂ = = 1 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
స్పర్శబిందువు P = \(\left(\frac{1(-3)+4(1)}{1+4}, \frac{1(3)+4(0)}{1+4}\right)\)
= \(\left(\frac{1}{5}, \frac{3}{5}\right)\)
వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.

ప్రశ్న 6.
క్రింది ఇచ్చిన మూడు వృత్తాలను లంబంగా ఖండించే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
i) x² + y² + 4x – 7 = 0
2x² + 2y² + 3x + 5y – 9 = 0
x² + y² + y = 0
సాధన:
S ≡ x² + y² + 4x – 7 = 0
S₁ = 2x² + 2y² + 3x + 5y – 9 = 0
S₁₁ = x² + y² + y = 0
4(ii) నుండి మూలకేంద్రం P(2, 1)
PT = P నుండి S = 0 స్పర్శరేఖ పొడవు
= \(\sqrt{4+1+8-7}\) = \(\sqrt{6}\)
P(2, 1) కేంద్రంగా PT వ్యాసార్థంగా గల వృత్తం దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తుంది.
దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండించే వృత్త సమీకరణము
(x – 2)² + (y – 1)² = 6
x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 – 6 = 0
i.e., x² + y² – 4x – 2y – 1 = 0

ii) x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0 ; 2x² + 2y² + 6x + 8y – 3 = 0 ; x² + y² – 2x + 6y – 3 = 0
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
S ≡ x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0
S₁ = x² + y² + 3x + 4y – \(\frac{3}{2}\) = 0
S₁₁ = x² + y² – 2x + 6y – 3 = 0
S = 0, S₁ = 0 ల మూలాక్షము S – S₁ = 0
-x + \(\frac{5}{2}\) = 0 ⇒ x = \(\frac{5}{2}\)
S = 0, S₁₁ = 0 ల మూలాక్షము S – S₁₁ = 0
4x – 2y + 4 = 0
⇒ 2x – y + 2 = 0
x = \(\frac{5}{2}\) ⇒ 5 – y + 2 = 0
⇒ y = 7
మూల కేంద్రము P (\(\frac{5}{2}\), 7)
PT P నుండి S = 0 కు స్పర్శరేఖ పొడవు
= \(\sqrt{\frac{25}{4}+49+5+28+1}\)
= \(\sqrt{\frac{25}{4}+83}=\sqrt{\frac{25+332}{4}}=\frac{\sqrt{357}}{2}\)
దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండించే వృత్త సమీకరణము
(x – \(\frac{5}{2}\))² + (y – 7)² = \(\frac{357}{4}\)
x² – 5x + \(\frac{25}{4}\) + y² – 14y + 49 = \(\frac{357}{4}\)
x² + y² – 5x – 14y + \(\frac{25}{4}\) + 49 – \(\frac{357}{4}\) = 0
x² + y² – 5x – 14y + \(\frac{25+196-357}{4}\) = 0
x² + y² – 5x – 14y – \(\frac{136}{4}\) = 0
x² + y² – 5x – 14y – 34 = 0

iii) x² + y²+ 2x + 17y + 4 = 0 ; x² + y² + 7x + 6y + 11 = 0 ; x² + y² – x + 22y + 3 = 0
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
S ≡ x² + y² + 2x + 17y + 4 = 0 ………….. (i)
S₁ ≡ x² + y² + 7x + 6y + 11 = 0 ……………… (ii)
S₁₁ ≡ x² + y² – x + 22y + 3 = 0 ……………….. (iii)
S = 0, S₁ = 0 ల మూలాక్షము S – S₁ = 0
-5x + 11y – 7 = 0
5x – 11y + 7 = 0 ……………….. (iv)
S = 0, S₁₁ = 0 ల మూలాక్షము S – S₁₁ = 0
3x – 5y + 1 = 0 ……………….. (v)
(iv), (v) లను సాధించగా

మూల కేంద్రము P(3, 2)
PT P నుండి S = 0 కు స్పర్శరేఖ పొడవు
= \(\sqrt{9+4+6+34+4}\) = \(\sqrt{57}\)
దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండించే వృత్త సమీకరణము
(x – 3)² + (y – 2)² = 57
x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 – 57 = 0
x² + y² – 6x – 4y – 44 = 0

iv) x² + y² + 4x + 2y + 1 = 0
2(x² + y²) + 8x + 6y – 3 = 0
x² + y²+6x – 2y – 3 = 0
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
S ≡ x² + y²+ 4x + 2y + 1 = 0 …………….. (i)
S₁ ≡ x² + y² + 4x + 3y – \(\frac{3}{2}\) = 0 ………….. (ii)
S₁₁ ≡ x² + y² + 6x – 2y – 3 = 0 ……….. (iii)
(i) – (ii) చేయగా S = 0, S₁ = 0 ల మూలాక్షము
S – S₁ = 0 ⇒ -y + \(\frac{5}{2}\) = 0 ⇒ y = \(\frac{5}{2}\)
S = 0, S₁₁ = 0 ల మూలాక్షము S – S₁₁ = 0
– 2x + 4y + 4 = 0
x – 2y – 2 = 0
y = \(\frac{5}{2}\) ⇒ x – 5 – 2 = 0
x = 5 + 2 = 7
మూల కేంద్రం P (7, \(\frac{5}{2}\))
PT = P నుండి S = 0 కు స్పర్శరేఖ పొడవు
= \(\sqrt{49+\frac{25}{4}+28+5+1}=\sqrt{83+\frac{25}{4}}\)
= \(\sqrt{\frac{332+25}{4}}=\frac{\sqrt{357}}{2}\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x – 7)² + ( y – \(\frac{5}{2}\))² = \(\frac{357}{4}\)
x² – 14x + 49 + y² – 5y + \(\frac{25}{4}\) – \(\frac{357}{4}\) = 0
x² + y² – 8x – 5y + \(\frac{196+25-357}{4}\) = 0
x² + y² – 14x – 5y – \(\frac{136}{4}\) = 0
లేదా 3x² + y² – 14x – 5y – 34 = 0

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 2 వృత్త సరణులు Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 2 వృత్త సరణులు Exercise 2(a)

అభ్యాసం – 2(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు సూచించే ప్రతి జత వృత్తాలు లంబ వృత్తాలు అయితే k విలువ కనుక్కోండి.
i) x² + y² + 2by – k = 0, x² + y² + 2ax + 8 = 0
సాధన:
g₁ = 0;
g₂ = a ;
f₁ = b;
f₂ = 0
c₁ = -k
c₂ = 8
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి.
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(0) (a) + 2(b) (0) = -k + 8
0 = – k + 8
k = 8

ii) x²+ y² – 6x – 8y + 12 = 0; x² + y² – 4x + 6y + k = 0
సాధన:
g₁ = -3
g₂ = -2
f₁ = -4
f₂ = 3
c₁ = 12
c₂ = k
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(-3) (-2) + 2(3) (-4) = 12 + k
-12 – 24 = 12 + k
k = -24

iii) x² + y² – 5x – 14y – 34 = 0; x²+ y² + 2x + 4y + k = 0
సాధన:
g₁ = \(\frac{-5}{2}\)
g₂ = 1
f₁ = -7
f₂ = 2
c₁ = -34
c₂ = k
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2 (\(\frac{-5}{2}\)) (1) + 2(-7) (2) = – 34 + k
-5 – 28 = -34 + k
-33 = – 34 + k
k = 34 – 33 ⇒ k = 1

iv) x² + y² + 4x + 8 = 0; x² + y² – 16y + k = 0 [T.S. Mar. ’16 A.P. Mar. ’16]
సాధన:
g₁ = 2
g₂ = 0
f₁ = 0
f₂ = -8
c₁ = 8
c₂ = k
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(2) (0) + 2(0) (-8) = 8+ k
0 + 0 = 8+ k
⇒ k = -8

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనుము.
i) x² + y² – 12x – 6y + 41 = 0; x² + y²+ 4x + 6y – 59 = 0
సాధన:
C₁ = (6, 3)
C₂ = (-2, -3)
r₁ = (36 + 9 – 41)^1/2
r₂ = (4 + 9 + 59)^1/2
r₁ = 2
r₂ = (72)^1/2 = 6\(\sqrt{2}\)

ii) x² + y² + 6x – 10y – 135 = 0; x² + y² – 4x + 14y – 116 = 0
సాధన;
C₁ = (-3, 5)
C₂ = (2, -7)
r₁ = \(\sqrt{9+25+135}\)
r₂ = \(\sqrt{4+49+116}\)
r₁ = 13
r₂ = 13

ప్రశ్న 3.
x² + y² = a², x² + y² = ax + ay సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్యకోణం \(\frac{3\pi}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
S ≡ x² + y² – a² = 0
S’ ≡ x²+ y² – ax – ay = 0

= cos \(\frac{3\pi}{4}\)
θ = \(\frac{3\pi}{4}\)

ప్రశ్న 4.
క్రింది సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఖండించుకుంటాయని చూపండి.
i) x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0; 3x² + 3y² – 8x + 29y = 0
సాధన:
C₁ = (1, 1)
g = -1, f = -1, c = 7
g’ = \(\frac{-4}{3}\), f’ = \(\frac{29}{6}\) ; c’ = 0
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొనే నియమము
2gg’ + 2ff’ = c + c’
2(-1) (\(\frac{-4}{3}\)) + 2(-1) \(\frac{29}{6}\) = -7 + 0
L.H.S. = \(\frac{8}{3}\) – \(\frac{29}{3}\)
= \(\frac{-21}{3}\) = -7
-7 = -7
∴ రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

ii) x² + y² +4x – 2y – 11 = 0; x² + y² – 4x – 8y + 11 = 0
సాధన:
g₁ = 2
g₂ = -2
f₁ = -1
f₂ = -4
c₁ = -11
c₂ = 11
రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటే
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(2)(-2) + 2(-1) (-4) = -11 + 11
-8 + 8 = 0
∴ రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

iii) x² + y² – 2x + 4y + 4 = 0; x² + y² + 3x + 4y + 1 = 0
సాధన:
g = -1, f = 2, c = 4
g’ = \(\frac{3}{2}\), f’ = 2, c’ = 1
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకునే నియమం
2gg’ + 2ff’ + c’
2(-1) . \(\frac{3}{2}\) + 2×2×2 = 4 + 1
-3 + 8 = 5
5 = 5
∴ దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

iv) x² + y² – 2lx + g = 0; x²+ y² + 2my – g = 0
సాధన:
g₁ = -1; f₁ = 0, c₁ = g, g₂ = 0, f₂ = m, c₂ = g
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొనే నియమము
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(-l) (0) + 2(0) (m) = g – g
0 = 0
∴ రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

II.

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు గుండా పోతూ కింది సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలను లంబంగా ఖండించే వృత్తాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
i) x² + y² – 4x + 6y + 10 = 0, x² + y² + 12y + 6 = 0
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు
x² + y² – 4x + 6y + 10 = 0,
x² + y² + 12y + 6 = 0
మూల బిందువు గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy = 0 ……………… (1)
ఇది దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తే
2(g) (−2) + 2f(3) = 0 + 10
⇒ – 2g + 3f = 5 ……………… (2)
2(g) (0) + 2f(6) = 0 + 6
⇒ f = \(\frac{1}{2}\)
(2) లో వ్రాయగా
-2(g) + \(\frac{3}{2}\) = 5 ⇒ g = \(\frac{-7}{4}\)
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2(\(\frac{-7}{4}\))x + 2(\(\frac{1}{2}\)) y = 0
⇒ 2(x² + y²) – 7x + 2y = 0

ii) x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0, x² + y² – 8y + 12 = 0
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు
x²+ y² – 4x – 6y – 3 = 0
x²+ y² – 8y + 12 = 0
మూల బిందువు గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy = 0 ……………… (1)
ఇది దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తుంది కనుక
2(g) (-2)+2(f)(-3) = 0 + (-3).
⇒ – 4g – 6f = -3
⇒ 4g + 6f = 3 ………………… (2)
ఇట్లే 2(g) (0) + 2f(−4) = 0 + 12
⇒ f = –\(\frac{3}{2}\)
(2) లో వ్రాయగా
4g + 6(\(\frac{-3}{2}\)) = 3
⇒ 4g = 12 ⇒ g = 3
∴వృత్త సమీకరణం x² + y² + 6x – 3y = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 6x + 3y + 5 = 0, x² + y² – x – 7y = 0 సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తూ, బిందువు (0,-3) గుండా పోయే వ్యక్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ……………… (i)
అనుకుందాం.
ఇది (0, -3) గుండా పోతుంది కనుక
0 + 9 + 0 – 6f + c = 0
⇒ 6f + c = – 9 ……………… (1)
వృత్తం (i) దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తుంది కనుక
2(g) (-3) + 2f(\(\frac{3}{2}\)) = c + 5
⇒ -6g + 3f – c = 5 ………………. (2)
ఇట్లే 2g(\(\frac{-1}{2}\)) + 2f(\(\frac{-7}{2}\)) = c + 0
⇒ -g – 7f = c
⇒ g + 7f + c = 0 ……………….. (3)

(1) నుండి – 6 (\(\frac{2}{3}\)) + c = -9
⇒ c = -9 + 4 = -5
(3) నుండి g + 7 (\(\frac{2}{3}\)) + (-5) = 0
g = \(\frac{-14}{3}\) + 5 = \(\frac{1}{3}\)
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2(\(\frac{1}{3}\)) x + 2(\(\frac{2}{3}\)) y – 5 = 0
⇒ 3(x² + y²) + 2x + 4y – 15 = 0

ప్రశ్న 3.
మూలబిందువు గుండా పోతూ x² + y² – 4x + 2y + 4 = 0 వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండిస్తూ, x + y = 4 సరళరేఖపై కేంద్రం కలిగి ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
అనుకుందాము.
ఇది మూలబిందువు గుండా పోతుంది కనుక c = 0
ఈ వృత్తం x² + y² – 4x + 2y + 4 = 0 ను లంబంగా ఖండిస్తుంది. కనుక
2(g) (-2) + 2f (+1) = 0 + 4
⇒ – 2g + f = 2 ………………. (1)
కేంద్రం (-g, -f); x + y = 4 రేఖపై ఉన్నది కనుక
(-g) + (- f) = 4 ……………….. (2)
(1), (2) ల నుండి – 3g – 6 ⇒ g = -2
(1) నుండి + 4 + f = 2 ⇒ f = – 2
∴ వృత్త సమీకరణం x² + y² – 4x – 4y = 0

ప్రశ్న 4.
2x² + 2y² + 5x – 6y + 4 = 0 వృత్తానికి లంబంగా ఉంటూ బిందువులు (2, 0), (0, 2) బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనుకుందాం.
ఇది (2, 0), (0, 2) ల గుండా పోతుంది కనుక
4 + 0 + 2g(2) + 2f(0) + c = 0
⇒ 4g + c = – 4 ……………… (1)
0 + 4 + 2g (0) + 2f(2) + c = 0
⇒ 4f + c = – 4 ………………… (2)
(1) – (2) ⇒ 4g – 4f = 0
g = f ………………. (3)
పై వృత్తం x² + y² + \(\frac{5}{2}\)x – 3y + 2 = 0 ను లంబంగా
ఖండిస్తుంది కనుక
2g (\(\frac{5}{4}\)) + 2f (-\(\frac{3}{2}\)) = c + 2
⇒ \(\frac{5g}{2}\) – 3f = 2 + c
⇒ \(\frac{5g}{2}\) – 3g = 2 + c
⇒ – g = 4 + 2c ……………….. (4)
(1) నుండి 4g + c = -4
4(-4 – 2c) + c = -4
-16 – 8c + c =-4
– 7c = 12
c = \(\frac{-12}{7}\)
∴ g = 4+ 2c ……………… (5)
-g = 4 – \(\frac{24}{7}\) = \(\frac{4}{7}\) ⇒ g = \(\frac{-4}{7}\)
∵ g = f = –\(\frac{4}{7}\)
∴ వృత్త సమీకరణం x² + y² – \(\frac{8}{7}\) x – \(\frac{8}{7}\) y – \(\frac{12}{7}\) = 0
⇒ 7(x² + y²) – 8x – 8y – 12 = 0

ప్రశ్న 5.
(2, 3)కేంద్రంగా ఉంటూ x² + y² – 4x + 2y – 7 = 0 వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండించే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 4x + 2y – 7 = 0 ……………….. (1)
దత్త వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండించే వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ………………… (2)
కేంద్రం (-g, -f) (2, 3)
g = -2, f = -3
(1), (2) వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి
కాబట్టి 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(-2) (-2) + 2(-3) (1) = – 7 + c
8 – 6 = -7 + c
+2 = -7 + c
c = 7 + 2 = 9 ⇒ c = 9
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 4x – 6y + 9 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x²+ y² – 6x + 4y – 3 = 0 వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండిస్తూ బిందువు (3, 0) గుండా పోతూ Y – అక్షాన్ని స్పృశించే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము (x – h)² + (y – k)² = r² అనుకొందాం
ఈ వృత్తం Y- అక్షాన్ని స్పృశిస్తే కేంద్రం = (h, k);
వ్యాసార్థం = |h|
(x − h)² + (y – k)² = h²
x² – 2hx + h² + y² – 2ky + k² = h².

x² + y² – 6x + 4y – 3 = 0
లంబంగా ఉంది 2(-h) (-3) +2(-k) (2)
= -3 + k²
6h – 4k = -3 + k²

x² – 2hx + y² – 2ky + k² = 0
వృత్తం (3, 0) గుండా పోతుంది
9 – 6h + k² = 0 ………………. (i)
6h – 4k + 3 – k² = 0 ………….. (ii)
(i), (ii) లను కూడగా c = 9
12 – 4k = 0 లేదా k = 3, h = 3
వృత్త సమీకరణము y² + x² – 6x – 6y + 9 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0, x² + y² – 10x – 4y + 21 = 0 వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తూ 2x + 3y = 7 వ్యాస రేఖగా గల వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar 16 (May ’07)]
సాధన:
వృత్తం x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనుకుందాం
ఈ వృత్తం x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0,
x² + y² – 10x -4y + 21 = 0 లను
లంబంగా ఖండిస్తుంది.
2g (-2) + 2f(-3) = 11 c …………………. (i)
2g (-5) + 2f(-2) = 21 + c ………………. (ii)
తీసివేయగా
-6g+ 2f = 10 ……………….. (iii)
∴ -2g – 3f = 7 ……………….. (iv)
వృత్త కేంద్రం 2x + 3y = 7 మీద ఉంది .
(iii), (iv) లను సాధించగా,
f = -1, g = -2, c = 3
వృత్త సమీకరణము x² + y² – 4x – 2y + 3 = 0

ప్రశ్న 3.
P, Q బిందువులు S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం దృష్ట్యా సంయుగ్మబిందువులు అయితే PQ వ్యాసంగా కలిగి ఉండే వృత్తం S = 0 వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండిస్తుందని నిరూపించండి.
సాధన:
P = (x₁, y₁), Qx₂, y²) లు క్రింది వృత్తం దృష్ట్యా
సంయుగ్మాలు S ≡ x² + y² – a² = 0 …………. (i)
(i) దృష్ట్యా P యొక్క ధ్రువరేఖ xx₁ + yy₁ – a² = 0 …………… (ii)
P, Qలు సంయుగ్మ బిందువులు Q బిందువు (ii) మీద ఉంటుంది.
x₁x₂ + y₁y₂ – a² = 0 ……………… (iii)
PQ వ్యాసంగా గల వృత్త సమీకరణము
(x – x₁) (x – x₂) + (y – y₁) (y – y₂) = 0
⇒ x² + y² – (x₁ + x₂)x – (y₁ + y₂)y + (x₁x₂ + y₁y₂) = 0
(i), (iv) లు లంబంగా ఖండించుకొంటే
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = 2 \(\left[0\left(\frac{-\left(x_1+x_2\right)}{2}\right)+0\left(\frac{-\left(y_1+y_2\right)}{2}\right)\right]\)
c₁ + c₂ = -a² + a²
⇒ 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
∴ PQ వ్యాసంగాగల వృత్తం S వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
a, a’ లు వ్యాసార్థాలుగా ఉండే వృత్తాల సమీకరణాలు S = 0, S’ = 0 లు అయితే \(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{s}^{\prime}}{\mathrm{a}^{\prime}}\) = 0, \(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{s}^{\prime}}{\mathrm{a}^{\prime}}\) = 0 వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన.
S = 0, S’ = 0 వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 2d అనుకుందాం. కేంద్రాలు కలిపే రేఖను X- అక్షంగా, కేంద్రాల మధ్య బిందువును మూల బిందువుగా తీసుకుందాం. వృత్తాల సమీకరణాలు

= 2d²
= (d² – aa’) + (d² + aa’) = c₁ + c₂
∴ (i), (ii) వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.
కనుక \(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{s}^{\prime}}{\mathrm{a}^{\prime}}\) = 0, \(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{s}^{\prime}}{\mathrm{a}^{\prime}}\) = 0 వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇచ్చిన మూడు వృత్తాలలోని ప్రతీ వృత్తాన్ని లంబఛేదనం చేసే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. i) x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0;
x² + y² – 2x + 6y – 3 = 0;
2(x² + y²) + 6x + 8y – 3 = 0.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
దత్త వృత్తము పై 3 వృత్తాలకు లంబంగా ఉంటుంది కనుక
2g(1) + 2f(2) = c + 1 ……………. (i)
2g (\(\frac{9}{2}\)) + 2f(2) = c – \(\frac{3}{2}\) …………….. (ii)
2g(-1) + 2f(3) = c – 3 ……………….. (iii)
(iii) – (ii)
-5g + 2f = \(\frac{-3}{2}\) లేదా -10g + 4f = -3 ………………. (iv)
(iii) – (i)
-4g + 2f = – 4
f – 2g = -2
(iv), (v) లను సాధించగా,
f = -7, g = -5/2, c = -34
∴ వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 5x – 14y – 34 = 0

ii) x² + y² + 4x + 2y + 1 = 0;
2(x² + y²) + 8x + 6y – 3 = 0; x² + y² + 6x – 2y – 3 = 0.
సాధన:
కావలసిన వృత్తసమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
దత్త వృత్తాలు మూడింటికి లంబంగా ఉంటాయి.
∴ 2g(2) + 2f(1) = c + 1 ……………… (i)
2g(2) + 2f (\(\frac{3}{2}\)) = c – \(\frac{3}{2}\) …………… (ii)
2g(3) + 2f(-1) = c – 3 ……………… (iii)
(i) – (ii) చేయగా (ii) – (iii) చేయగా
-f = \(\frac{5}{2}\) అయిన – 2g + 5f = \(\frac{3}{2}\)
g = -7 (∵ f = \(\frac{-5}{2}\))
g. f ల విలువలను (i) లో ప్రతిక్షేపించగా
వృత్త సరణులు
4(-7) + 2 (\(\frac{-5}{2}\)) = = c + 1
c = -34
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 5y – 14x – 34 = 0

ప్రశ్న 6.
2x + 3y = 1 సరళరేఖ x² + y² = 4, A, B బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే, AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² = 4, 2x + 3y − 1 = 0 గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము
(x² + y² – 4) + λ (2x + 3y – 1) = 0
x² + y² + 2λx + 3λy – 4 – λ = 0
కేంద్రం : (-λ , \(\frac{-3 \lambda}{2}\))
కేంద్రం 2x + 3y – 1 = 0 మీద ఉంది
∴ 2(-λ) + 3(\(\frac{-3 \lambda}{2}\)) – 1 = 0
λ = \(\frac{-2}{13}\)
∴ వృత్త సమీకరణము
13 (x² + y²) – 4 × 13 – 2(2x + 3y – 1) = 0
13(x² + y²) – 4x – 6y – 50 = 0

ప్రశ్న 7.
x² + y² – 2x + 4y – 8 = 0 AB ఒక జ్యా అయి, దీని సమీకరణం x + y = 3 అయితే AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S = 0, L = 0 ఖండన బిందువుల గుండా పోయే వృత్త
సమీకరణము S + λL = 0
(x² + y² – 2x + 4y – 8) + λ(x + y – 3) = 0
x² + y² + x(-2 + λ) + y(4 + λ) – 8 – 3λ = 0 …………….. (i)
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 …………….(ii)
(i), (ii) లను పోల్చగా,
g = \(\frac{(-2+\lambda)}{2}\), f = \(\frac{(4+\lambda)}{2}\)
కేంద్రం x + y = 3 మీద ఉంది
∴ \(-\left(\frac{-2+\lambda}{2}\right)-\left(\frac{4+\lambda}{2}\right)\) = 3
2 – λ – 4 – λ = 6
-2λ = 8 ⇒ λ = – 4
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x² + y² – 2x + 4y – 8) – 4(x + y – 3) = 0
x² + y² – 6x + 4 = 0

ప్రశ్న 8.
x² + y² = 2ax, x² + y² = 2by వృత్తాల ఖండన బిందువులు గుండా పోతూ \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 2 రేఖపై కేంద్రాన్ని కలిగి ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 2ax = 0, x² + y² – 2by = 0 ల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 2ax +λ(x² + y² – 2by) = 0
x²(1 + λ) + y²(1 + λ) + x(-2a) – (2bλ)y = 0
x² + y² – \(\frac{2 a x}{1+\lambda}\) – \(\frac{2 b y}{1+\lambda}\) = 0
కేంద్రం C \(\left[\frac{a}{1+\lambda}, \frac{b \lambda}{1+\lambda}\right]\)
కేంద్రం \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 2 మీద ఉంది
\(\frac{+a}{a(1+\lambda)}-\frac{b \lambda}{(1+\lambda) b}\) = 2
1 – λ = 2(1 + λ)
λ = – 1/3
వృత్త సమీకరణము
3x² + 3y² – 6ax – x² – y² + 2by = 0
⇒ 2x² + 2y² – 6ax + 2by = 0
⇒ x² + y² – 3ax + by = 0

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 1 వృత్తం Exercise 1(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Exercise 1(e)

అభ్యాసం – 1 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
కింది ఇచ్చిన వృత్తాల జతల సాపేక్ష స్థితిని తెలపండి.
i) x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0
x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0.
సాధన:
వృత్తాల కేంద్రాలు A (2, 3), B(-3, – 9)
వ్యాసార్ధాలు r₁ = \(\sqrt{4+9+12}\) = 5
r₂ = \(\sqrt{9+81-26}\) = 8
AB = \(\sqrt{(2+3)^2+(3+9)^2}\)
= \(\sqrt{25+144}\) = 13 = r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.

ii) x² + y² + 6x + 6y + 14 = 0,
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0.
సాధన:
కేంద్రాలు A (-3, -3), B (1, 2)
r₁ = \(\sqrt{9+9-14}\) = 2
r₂ = \(\sqrt{1+4+4}\) = 3
AB = \(\sqrt{(-3-1)^2+(-3-2)^2}\)
= \(\sqrt{16+25}\) = \(\sqrt{41}\) > r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు ఒకదానికొకటి బాహ్యంగా ఉంటాయి.

iii) (x – 2)² + (y + 1)² = 9, (x + 1)² + (y – 3)² = 4
సాధన:
కేంద్రాలు A( 2 – 1), B(−1, 3)
r₁ = \(\sqrt{4+1+4}\) = 3
r₂ = \(\sqrt{1+9-6}\) = 2
AB = \(\sqrt{(2+1)^2+(-1-3)^2}\)
= \(\sqrt{9+16}\)
= 5 = r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.

iv) x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0,
x² + y² + 4x – 6y – 3 = 0
సాధన:
కేంద్రాలు A (1, -2), B (-2, 3)
r₁ = \(\sqrt{1+4+4}\) = 3
r₂ = \(\sqrt{4+9+3}\) = 4
AB = \(\sqrt{(1+2)^2+(-2-3)^2}\)
= \(\sqrt{9+25}\) = \(\sqrt{34}\) < r₁ + r₂
r₁ – r₂ < AB < r₂ + r₁
∴ వృత్తాలు ఖండించుకుంటాయి.

ప్రశ్న 2.
కింద వృత్తాల జతలకు ఎన్ని ఉమ్మడి స్పర్శ రేఖలు గీయవచ్చో తెలపండి.
సాధన:
i) x² + y²+ 6x + 6y+ 14 = 0,
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0
సాధన:
c₁ (-3, -3) c₂ = (1, 2)
r₁ = \(\sqrt{9+9-14}\) = 2,

ii) x² + y² – 4x – 2y + 1 = 0;
x² + y² – 6x – 4y + 4 = 0
సాధన.
C₁ = (2,1)
C₂ = (3,2)
r₁ = \(\sqrt{4+1-1}\)
= 2
r₂ = \(\sqrt{9+4-4}\)
= 3

C₁C₂ = \(\sqrt{(2-3)^2+(1-2)^2}\) = \(\sqrt{2}\)
C₁C₂ < r₁ + r₂
2 ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు

iii) x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0;
x² + y² + 2x – 6y + 6 = 0
సాధన:
C₁ (2, 1)
C₂ = (-1, 3)
r₁ = \(\sqrt{4+1+4}\)
= 3
r₂ = \(\sqrt{1+9-6}\)
= 2

C₁ C₂ = r₁ + r₂ బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు – 3.

iv) x² + y² = 4; x² + y² – 6x – 8y + 16 = 0
సాధన:
C₁ = (0, 0)
C₂ = (3, 4)
r₁ = 2
r₂ = \(\sqrt{9+16-16}\) = 3
C₁C₂ = \(\sqrt{(0-3)^2+(0-4)^2}\) = 5
r₁ + r₂ = C₁ C₂
వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
2 – ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖ
1 – తిర్యక్ స్పర్శరేఖ
ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు = 3.

v) x² + y² + 4x – 6y – 3 = 0;
x² + y²+4x – 2y + 4 = 0.
సాధన:
C₁ = (-2, 3)
C₂ = (-2, 1)
r₁ = \(\sqrt{4+9+3}\)
= 4
r₂ = \(\sqrt{4+1-4}\)
= 1
C₁C₂ = \(\sqrt{(-2+2)^2+(3-1)^2}\)
C₁C₂ = 2 < 3 = r₁ – r₂
ఒక వృత్తానికి అంతరంగా రెండో వృత్తం ఉంటుంది.
∴ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు లేవు.

ప్రశ్న 3.
x² + y²+ 6x – 2y + 1 = 0, x² + y² – 2x – 6y + 9 = 0 వృత్తాలకు అంతర సరూప కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (-3, 1)
C₂ = (1, 3)
r₁ = \(\sqrt{9+1-1}\)
= 3
r₂ = \(\sqrt{1+9-9}\)
= 1

ప్రశ్న 4.
x² + y² – 2x – 6y + 9 = 0, x² + y² = 4 వృత్తాల బాహ్య సరూప -కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల కేంద్రాలు C₁ (1, 3), C₂ (0, 0)
r₁ = \(\sqrt{1+9-9}\)
= 1
r₂ = 2
బాహ్య నిరూపక కేంద్రం S¹, C₁, C₂ ను బాహ్యంగా, r₁ : r₂ = 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

II.

ప్రశ్న 1.
i) x² + y² – 6x – 2y + 1 = 0; x² + y² + 2x – 8y + 13 = 0 స్పృశిస్తాయని చూపిస్తూ, స్పర్శబిందువును, ఆ బిందువు దగ్గర దత్త వృత్తాలకు ఉమ్మడి స్పర్శ రేఖ సమీకరణాలను కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16 (Mar. ’11)]
సాధన:
వృత్త కేంద్రాలు C₁ = (3, 1), C₂ = (-1, 4)
వాటి వ్యాసార్ధాలు r₁ = \(\sqrt{9+1-1}\) = 3
r₂ = \(\sqrt{1+16-13}\) = \(\sqrt{4}\)= 2

∵ C₁C₂ = r₁ + r₂
⇒ రెండు వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
స్పర్శ బిందువు P అనుకుంటే, P బిందువు C₁ C₂ రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా r₁ : r₂ (i.e.,) 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కనుక
P = \(\left(\frac{3(-1)+2(3)}{5}, \frac{3(4)+2(1)}{5}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
P వద్ద ఏదేని ఒక వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖయే ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ అవుతుంది.
∴ P \(\left(\frac{3}{5}, \frac{14}{5}\right)\) వద్ద x² + y² – 6x – 2y + 1 = 0
వృత్తానికి స్పర్శరేఖా సమీకరణము
S₁ = 0
(i.e.,) x \(\left(\frac{3}{5}\right)\) + y \(\left(\frac{14}{5}\right)\) – 3 \(\left(x+\frac{3}{5}\right)\) – 1 \(\left(y+\frac{14}{5}\right)\) + 1 = 0
⇒ 3x + 14y – 15x – 9 – 5y – 14 + 5 = 0
⇒ -12x + 9y – 18 = 0
4x – 3y + 6 = 0

ii) x² + y² – 6x – 9y + 13 = 0;
x² + y² – 2x – 16y = 0 వృత్తాలు పరస్పరం స్పృశిస్తాయని చూపిస్తూ, స్పర్శబిందువును, ఆ బిందువు దగ్గర దత్త వృత్తాలకు ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు x² + y² – 6x – 9y + 13 = 0,
x² + y² – 2x – 16y = 0
వృత్త కేంద్రాలు C₁ = (3, \(\frac{9}{2}\)), C₂ = (1, 8)
r₁ = \(\sqrt{9+\frac{81}{4}-13}=\sqrt{\frac{36+81-52}{4}}=\frac{\sqrt{65}}{2}\)
r₂ = \(\sqrt{1+64}=\sqrt{65}\)

దత్త వృత్తాలు అంతరంగా స్పృశించుకుంటాయి.
సర బిందువు P, C₁ C₂ ని బాహ్యంగా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

రెండవ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణం
x.5 + y.1 – 1(x + 5) − 8(y + 1) = 0
5x + y – x – 5 – 8y – 8 = 0
4x – 7y – 13 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0 (5, 5) బిందువు వద్ద బాహ్యంగా స్పృశిస్తూ 5 యూనిట్ల వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0
C = (1, 2)
r = \(\sqrt{1+4+20}\) = 5

వృత్త సమీకరణం
(x – 9)² + (y – 8)² = 25
x² + y² – 18x – 16y + 120 = 0
కావలసిన వృత్త కేంద్రం (h, k) అయితే (3, 2) మరియు (h, k) ల మధ్య బిందువు (5, 5).

ప్రశ్న 3.
3x² + y² + 22x – 4y – 100 = 0; x + y – 22x + 4y + 100 = 0 వృత్తాల ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్వర్య రేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (-11, 2)
C₂ = (11, -2)
r₁ = \(\sqrt{121+4+100}\) = 15
r₂ = \(\sqrt{121+41-100}\) = 5
y = mx + c స్పర్శరేఖ అనుకొనుము.
mx – y + c = 0

వర్గీకరించి అడ్డ గుణకారము చేయగా
25 (1 + m²) = (11m + 2 – 22m – 4)²
96m² + 44m – 21 = 0
⇒ 96m² + 72m – 28m – 21 = 0
m = \(\frac{7}{24}\), \(\frac{-3}{4}\)
C = \(\frac{25}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = – \(\frac{3}{4}\)x + \(\frac{25}{2}\)
4y + 3x = 50 ⇒ 3x + 4y – 50 = 0
C = -22m – 4
= – 22(\(\frac{7}{24}\)) – 4
= \(\frac{-77-48}{12}\) = \(\frac{-125}{12}\)
y = \(\frac{7}{24}\) x – \(\frac{125}{12}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
⇒ 24y = 7x – 250
⇒ 7x – 24y – 250 = 0

ప్రశ్న 4.
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0; x² + y²+ 4x – 6y+ 4 = 0 55 ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (2, 5), C₂ = (−2, 3)
r₁ = \(\sqrt{4+25-28}\) = 1, r₂ = \(\sqrt{4+9-4}\) = 3
r₁ + r₂ = 4
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+2)^2+(5-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\)
‘C’ బిందువు C₁C₂ ని 5 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

-2x – y + 7)² = (x² + y² – 4x − 10y + 28)
4x² + y² + 4xy – 28x – 14y + 49 = x² + y² – 4x – 10y + 28
3x² + 4xy – 24x – 4y + 21
(3x + 4y – 21); (x – 1) = 0
3x + 4y – 21 = 0; x – 1 = 0

ప్రశ్న 5.
P (4,10) నుంచి x² + y² = 25 వృత్తానికి గల స్పర్శరేఖ యుగ్మ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
SS₁₁ = S₁²,
(x² + y² – 25) (16 + 100 – 25) = (4x + 10 y – 25)² 91x² + 91y² – 2275
= [16x² + 100y² + 625 + 80 xy – 200x – 500y] 75x² – 9y² – 80 xy + 500y + 200 x – 2900 = 0

ప్రశ్న 6.
(0, 0) x² + y² + 10x + 10y + 40 = 0 వృత్తానికి గల స్పర్శ రేఖాయుగ్మ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
SS₁₁ = S₁²
(x² + y² + 10x + 10y + 40) (40)
= [5x + 5y + 40]²
8(x² + y² + 10x + 10y + 40) = 5(x + y + 8)²
8x² + 8y² + 80x + 80y + 320 = 5x² + 5y² + 10xy + 80x + 80y +
3x² + 3y² – 10xy = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 వృత్తాన్నీ (-1, 1) వద్ద అంతరంగా స్పృశిస్తూ, 2 యూనిట్లు వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణం x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0
కేంద్రం C₁ (+2, -3)
వ్యాసార్ధం (r₁) = \(\sqrt{4+9+12}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
కావలసిన వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 2
కావలసిన వృత్త కేంద్రం C₂ (α, β) అనుకుందాం.

∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణం
\(\left(x-\frac{1}{5}\right)^2\) + \(\left(y+\frac{-3}{5}\right)^2\) = 2²
⇒ x² + \(\frac{2x}{5}\) + y² + \(\frac{6}{5}\)y + \(\frac{9}{25}\) = 4
⇒ 25(x² + y²) – 10x + 1+ 30y + 9 = 100
⇒ 25(x² + y²) – 10x + 30y – 90 = 0
⇒ 5(x² + y²) – 2x + 6y – 18 = 0

ప్రశ్న 2.
కింది వృత్త యుగ్మాలకు అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శ రేఖలు కనుక్కోండి. (i) x² + y² = 9, x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు x² + y² = 9
x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0
కేంద్రలు A (0, 0), B(8, -1)
r₁ = 3, r₂ = \(\sqrt{64+1-49}\) = 4
AB = \(\sqrt{(0-8)^2+(0+1)^2}\)
= \(\sqrt{64+1}\) = \(\sqrt{65}\) > r₁ + r₂
వృత్తాలు ఒకదానికొకటి బాహ్యంగా ఉంటాయి.
A(0, 0), B(8, -1)
బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
నిరూపకాలు (-24, + 3)
ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖ వాలు m అనుకొనుము.
y – 3 = m(x + 24)
= mx + 24m
mx – y + (24m + 3) = 0 ……………. (1)
ఇది x² + y² = 9 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణము
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{m^2+1}}\)
9(m² + 1) = 9(8m + 1)²
= 64m² + 10m + 1
63m² + 16m = 0
m(63m+10) = 0
m = 0 లేదా \(\frac{-16}{63}\)

సందర్భం (i) : m = 0
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణము
-y + 3 = 0
y – 3 = 0
సందర్భం (ii): m = \(\frac{-16}{63}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
\(\frac{-16}{63}\) x – y + (\(\frac{-384}{63}\) + 3) = 0
\(\frac{-16}{63}\) x – y + \(\frac{195}{63}\) = 0
16x + 63y + 195 = 0
అంతర సరూప కేంద్రము S’, AB ని అంతరంగా 3:4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు
తిర్యక్ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖా సమీకరణము
y + \(\frac{3}{7}\) = m(x – \(\frac{24}{7}\))
\(\frac{7 y+3}{7}=\frac{m(7 x-24)}{7}\)
7y + 3 = 7mx – 24m
7mx – 7y – (24m + 3) = 0 ……………. (2)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము x² + y² = 9
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{49 m^2+49}}=\frac{3}{7} \frac{|28 m+1|}{\sqrt{m^2+1}}\)
49 (m² + 1) = (8m + 1)²
49m² +49 = 64m² + 16m + 1
15m² + 16m – 48 = 0
(3m – 4) (5m + 12) = 0
m = \(\frac{4}{3}\) లేదా \(\frac{-12}{5}\)

సందర్భం (i) : : (2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(\frac{28}{x}\) x – 7y – (\(\frac{96}{3}\) + 3) = 0
\(\frac{28}{x}\) x – 7y – \(\frac{105}{3}\) = 0
\(\frac{7}{3}\) (4x – 3y – 15) = 0
4x – 3y – 15 = 0
సందర్భం (ii) : : m = \(\frac{-12}{5}\)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖాసమీకరణము
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y – (\(\frac{-288}{5}\) + 3) = 0
\(\frac{-84}{4}\) x – 7y + \(\frac{273}{5}\) = 0
\(\frac{-7}{5}\) (12x + 5y – 39) = 0
i.e., 12x + 5y – 39 = 0
∴ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y – 3 = 0 మరియు 16x + 63y+ 195 = 0
తిర్యక్ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
4x – 3y – 15 = 0 మరియు 12x + 5y – 39 = 0

ii) x² + y² + 4x + 2y – 4 = 0, x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0.
సాధన:
కేంద్రాలు A (-2, -1), B(2, 1)
r₁ = \(\sqrt{4+1+4}\) = 3, r₂ = \(\sqrt{4+1-4}\) = 1
బాహ్య సరూప కేంద్రము S, AB ని 3 : 1 నిష్పత్తిలో బాహ్యంగా విభజిస్తుంది.

స్పర్శరేఖ వాలు m అనుకొందాం
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y – 2 = m (x – 4)
= mx – 4m
mx – y + (2 – 4m) = 0 …………… (1)
ఈ రేఖ వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుంది.
x² + y² + 4x + 2y – 4 = 0
\(\frac{|-2 m+1+2-4 m|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 3
\(\frac{3|1-2 m|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 3
వర్గీకరించి, అడ్డ గుణకారము చేయగా
(1 – 2m)² = (m² + 1)
4m² – 4m + 1 = m² + 1
3m² – 4m = 0
m(3m – 4) = 0
m = 0 లేదా \(\frac{4}{3}\)

సందర్భం (i) : m = 0
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y + 2 = 0 లేదా
y – 2 = 0

సందర్భం (ii) : m = \(\frac{4}{3}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, స్పర్శరేఖ సమీకరణము
\(\frac{4}{3}\) x – y + (2 – \(\frac{1}{3}\)) = 0
⇒ \(\frac{4}{3}\) x – y + \(\frac{10}{3}\) = 0
4x – 3y – 10 = 0
అంతర సరూప కేంద్రము S’, AB ని 3 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు \(\left(\frac{6-2}{3+1}, \frac{3-1}{3+1}\right)=\left(1, \frac{1}{2}\right)\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y – \(\frac{1}{2}\) = m (x – 1)
= mx – m
mx – y + (\(\frac{1}{2}\) – m) = 0 ………………. (2)
ఇది వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
x² + y² + 4x + 2y – 4 = 0
\(\frac{\left|-2 m+1+\frac{1}{2}-m\right|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 3
\(\frac{3}{2} \frac{|1-2 m|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 3
వర్గీకరించి, అడ్డ గుణకారము చేయగా
(1 – 2m)² = 4(m² + 1)
1 + 4m² – 4m = 4m² + 4
m విలువ ∞, కనుక స్పర్శరేఖ, ఊర్థ్వరేఖ స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x = 1
x – 1 = 0
4m + 3 = 0
m = \(\frac{-3}{4}\)
(2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, స్పర్శరేఖ సమీకరణము
⇒ \(\frac{-3}{4}\)x – y + (\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{3}{4}\)) = 0
– 3x + 4y + 5 = 0
3x + 4y – 5 = 0
ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y – 2 = 0, 4x – 3y – 10 = 0
తిర్యక్ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
x – 1 = 0, 3x + 4y – 5 = 0

ప్రశ్న 3.
(3, 2) o x² + y² – 6x + 4y – 2 = 0 వృత్తానికి గల స్పర్శ రేఖా యుగ్య సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S.S₁₁ = S₁²,
(x² + y² – 6x + 4y – 2) (9 + 4 – 6 × 3 + 4 × 2 – 2)
= (3x + 2y – 3(x + 3) + 2(y + 2) – 2)²
(x² + y² – 6x + 4y – 2) = (4y – 7)²
x² + y² – 6x + 4y – 2 = 16y² – 56y + 49
x² – 15y² – 6x + 60y – 51 = 0

ప్రశ్న 4.
(1, 3) నుంచి x² + y² – 2x + 4y – 11 = 0 వృత్తానికి గల స్వద్య లేఖా యుగ్య సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
S.S₁₁ = S₁²
(x² + y² – 2x + 4y – 11) (1 + 9 – 2 + 12 – 11) = (x + 3y – 1(x + 1) + 2(y + 3) – 11]²
(x² + y² – 2x + 4y – 11) 9 = [5y – 6]²
9x² + 9y² – 18x + 36y – 99 = 25y² + 36 – 60y
9x² – 16y² – 18x + 96y – 135 = 0

ప్రశ్న 5.
మూల బిందువు నుంచి x² + y² + 2gx +2fy +c = 0 వృత్తానికి స్పర్శ రేఖాయుగ్మ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. దీని నుంచి ఆ స్పర్శ రేఖలు లంబంగా ఉండటానికి నియమాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
S.S₁₁ = S₁²
(x² + y² + 2gx + 2fy + c) (c) = [gx + fy + c]² = g²x² + f²y²+ 2gfxy + 2gcx + 2fyc + c²
(gx + fy)² = c(x² + y²)
g²x² + f²y² + 2fg xy = cx² + cy²
(g² – c)x² + 2fgxy + (f² – c) y² = 0
స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి. కనుక
x² గుణకం + y² గుణకం = 0
g² – c + f² – c = 0
g² + f² = 2c

ప్రశ్న 6.
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం మీద ఏదైనా బిందువు నుంచి x² + y² + 2gx + 2fy + c sin² α + (g² + f²) cos² α = : 0 (0 < α < π/2) వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు గీసినట్లెతే ఆ స్పర్శరేఖా యుగ్మ రేఖల మధ్య కోణం 2α అని చూపండి.
సాధన:
(x² + y² + 2gx₁ + 2fy₁ + c sin² α + (g² + f²) cos² α ] (s)
= (xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c sin² α + (g² + f²) cos² α)² [(-c + c sin² α) + (g² + f²) cos² α ]S
= (x (x₁ + g) + y (y₁ + f) + gx₁ + fy₁ + c sin² α + (g² + f²) cos² α)² [cos² α (g² + f² – c)] S
= [x (x₁ + g) + y (y₁ + f) + gx₁ + fy₁ + c sin² α + (g² + f²) cos² α)²
g² + f² – c = r²
[(cos² α)r²] S = [x (x₁ + g) + y (y₁ + f)
+ gx₁ + fy₁ + c + (cos² α).r²)²
x² యొక్క గుణకము r² cos² α – (x₁ + g)²
y² యొక్క గుణకము r² cos² α – (y₁ + f)²
xy యొక్క గుణకము
h. cos¹α r¹ – 2 (x₁ + g) (y₁ + f)
cos θ = \(\frac{a+b}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\)

cos θ = cos 2α
θ = 2α కనుక ఫలితము నిరూపంచబడింది.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 1 వృత్తం Exercise 1(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Exercise 1(d)

అభ్యాసం – 1 (డి)

I.

ప్రశ్న 1.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి (0, 0) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
P నుండి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు వృత్త కోణము θ

1 = \(\frac{\sqrt{g^2+f^2-c}}{\sqrt{0+0+0+0}+c}\)
g² + f² – c = c
g² + f² = 2c
ఇది కావలసిన నియమము

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (0, 5) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము S₁ = 0
i.e., xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0 వృత్త సమీకరణము
S = x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము
x. 0 + y. 5 – \(\frac{5}{2}\) (x + 0) + 2(y + 5) – 2 = 0
2 తో గుణించగా
10y – 5x + 4y + 20 – 4 = 0
-5x + 14y + 16 = 0
లేదా 5x – 14y – 16 = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² = 9 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y ² = 9
వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) స్పర్శ జ్యా సమీకరణం S₁ = 0
(i.e.,) x(1) + y(1) – 9 = 0
(i.e.,) x + y – 9 = 0

ప్రశ్న 4.
x² + y² = 7 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 2) ధ్రువ రేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² = 7 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 2) ధ్రువరేఖ S₁= 0
(i.e.,) x(1) + y(2) – 7 = 0
⇒ x + 2y – 7 = 0

ప్రశ్న 5.
2x² + 2y² = 11 వృత్తం దృష్ట్యా (3, -1) ధ్రువ రేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 2x² + 2y² = 11
⇒ x² + y² = \(\frac{11}{2}\) వృత్తం దృష్ట్యా (3, −1)
ధృవరేఖ S₁ = 0
x(3) + (-1) y = \(\frac{11}{2}\)
6x – 2y – 11 = 0.

ప్రశ్న 6.
x² + y² – 10x – 10y + 25 = 0 దృష్ట్యా (1, 2) యొక్క ధ్రువరేఖా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y²-10x-10y + 25 = 0
దృవరేఖ సమీకరణము S₁ = 0
P(1, 2) యొక్క దృవరేఖ
x.1 + y(-2) – 5(x + 1) – 5(y – 2) + 25 = 0
x – 2y – 5x – 5 – 5y + 10 + 25 = 0
-4x – 7y + 30 = 0
4x + 7y – 30 = 0

ప్రశ్న 7.
c ≠ 0 అయితే x² + y² = r² వృత్తోం దృష్ట్యా ax + by + c = 0, యొక్క ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ధ్రువం (x₁, y₁) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ xx₁ + yy₁ – r² = 0 ……………. (1)
ధ్రువరేఖ ax + by + c = 0 ………………. (2)
(1) మరియు (2) నుండి \(\frac{x_1}{a}=\frac{y_1}{b}=\frac{-r^2}{c}\)
⇒ x₁ = \(\frac{-a r^2}{c}\), y₁ = \(\frac{-b r^2}{c}\)
∴ ధ్రువం \(\left(\frac{-a r^2}{c}, \frac{-b r^2}{c}\right)\), (c ≠ 0)

ప్రశ్న 8.
x²+ y² – 6x – 8y + 5 = 0 వృత్తానికి 3x + 4y – 45 = 0 ధ్రువ రేఖ అయితే దీని ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
ధ్రువం p (x₁, y₁) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ సమీకరణం S₁ = 0
⇒ xx₁ + yy₁ – 3(x + x₁) – 4(y + y₁) + 5 = 0
⇒ x(x₁ – 3) + y(y₁ – 4) – 3x₁ -4y₁ + 5 = 0 ……………. (1)
కాని రేఖ 3x + 4y – 45 = 0 ……………. (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{x_1-3}{3}=\frac{y_1-4}{4}=\frac{-3 x_1-4 y_1+5}{-45}\) = k అనుకుందాం
⇒ x₁ = 3k + 3, y₁ = 4k + 4
-3x₁ – 4y₁ + 5 = -45k
⇒ -3(3k + 3) – 4(4k + 4) + 5 = -45k
⇒ 20k – 20 = 0 ⇒ k = 1
⇒ \(\frac{x_1-3}{3}=\frac{y_1-4}{4}\)
∴x₁ = 3(1) + 3 = 6, y₁ = 4(1) + 4 = 8
∴ ధ్రువం = (6, 8).

ప్రశ్న 9.
x²+ y² – 5x + 8y + 6 = 0 వృత్తానికి x – 2y + 22=0 ఒక ధ్రువరేఖ అయితే దీని ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ధ్రువం p (x₁, y₁) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ సమీకరణం S₁ = 0
xx₁ + yy₁ – \(\frac{5}{2}\) (x + x₁) + 4 (y + y₁) + 6 = 0
(లేదా) x(x₁ – \(\frac{5}{2}\)) + y (y₁ + 4) – \(\frac{5}{2}\)
x₁ + 4y₁ + 60 = 0 ………… (i)
x – 2y + 22 = 0 …………..(ii)
(i), (ii) లు ఒకే రేఖలను సూచిస్తున్న
\(\frac{x_1-\frac{5}{2}}{1}=\frac{y_1+4}{-2}=\frac{\frac{-5}{2} x_1+4 y_1+6}{22}\) = k
x₁ – \(\frac{5}{2}\) = k ⇒ x₁ = k + \(\frac{5}{2}\)
– \(\frac{5}{2}\) x₁ + 4y₁ + 6 = 22k
y₁ = -2k – 4,
–\(\frac{5}{2}\) (k + \(\frac{5}{2}\)) + 4 (-2k – 4) + 6 = 22k ;
–\(\frac{5k}{2}\) – \(\frac{25}{4}\) – 8k – 16 + 6 = 22k
–\(\frac{65}{4}\) = 30k + \(\frac{5k}{2}\) = \(\frac{65k}{2}\)
k = –\(\frac{5}{2}\) ; x₁ = –\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{5}{2}\) = 2
y₁ = -3
∴ ధ్రువము (2, – 3)

ప్రశ్న 10.
x²+ y² – 2x + 2y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (-6, 1), (2, 3) లు సంయుగ్మ బిందువులని చూపండి.
సాధన:
S = 0 వృత్తం దృష్ట్యా P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) లు సంయుగ్మాలైన S₁₂ = 0
కనుక ఇచ్చట వృత్త సమీకరణం
x² + y² – 2x + 2y + 1 = 0
బిందువులు P (-6, 1), Q (2, 3)
ఇప్పుడు S₁₂ = x₁x₂ + y₁y₂ + g(x₁ + x₂) + f(y₁ + y₂) + c
= (-6) (2) + (1) (3) + (-1) (-6 + 2) + 1(1 + 3) + 1
= -12 + 3 + 4 + 4 + 1 = 12 + 12 = 0
∵ S₁₂ = 0
⇒ వృత్తం దృష్ట్యా దత్త బిందువులు సంయుగ్మ బిందువులు.

ప్రశ్న 11.
x² + y² – 3x – 5y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2), (3, −5) లు సంయుగ్మ బిందువులని చూపండి.
సాధన:
దత్త బిందువులు సంయుగ్మాలైన S₁₂ = 0 కావలయును.
అంటే S₁₂ = (4) (3) + (2) (-5) – \(\frac{3}{2}\) (4 + 3) – \(\frac{5}{2}\) (2 – 5) + 1
S₁₂ = 12 – 10 – \(\frac{21}{2}\) + \(\frac{15}{2}\) + 1
S₁₂ = 3 – 3 = 0
∴ దత్త బిందువులు వృత్తం దృష్ట్యా సంయుగ్మాలు.

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా kx + 3y – 1 = 0, 2x + y + 5 = 0 లు సంయుగ్మ రేఖలయితే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దృవము (x₁, y₁) దృవరేఖ సమీకరణము
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0
xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) – 2(y + y₁) – 4 = 0
x(x₁ – 1) + y(y₁ – 2) – x₁ – 2y₁ – 4 = 0 ……………… (i)
2x + y + 5 = 0 (i) తో పోల్చగా

x₁ = -1, y₁ = 1 ద్రువము (−1, 1)
kx + 3y – 1 = 0 దృవరేఖ అయితే (-1, 1) ను తృప్తిపరచవలెను.
k(-1) + 3(1) – 1 = 0
-k + 2 = 0
k = 2

ప్రశ్న 13.
x² + y² – 2x – 2y – 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా x + y – 5 = 0, 2x + ky – 8 = 0 లు సంయుగ్మ రేఖలయితే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
If l₁x + m₁y + n₁ = 0; l₂x + m₂y + n₂ = 0, S = 0 దృష్ట్యా సంయుగ్మ రేఖలయితే
r²(l₁l₂ + m₁m₂) = (l₁g + m₁f – n₁) (l₂g + m₂f – n₂)
l₁ = 1, m₁ = 1, n₁ = -5
l₂ = 2, m₂ = k, n₂ =-8
g = -1, f = -1, r² = 3
∴ 3(1.2 + k) = (-1 – 1 + 5) (-2 – k + 8)
6k = 18 – 6 = 12
⇒ k = 2

ప్రశ్న 14.
x² + y² = 35 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 3), (2, k) ∞ సంయుగ్మాలయితే k విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’17 T.S. Mar. ’16]
సాధన:
వృత్త సమీకరణం x² + y² = 35 యొక్క దృవరేఖ P(1, 3)
x. 1 + y. 3 = 35
x + 3y = 35
P(1, 3), Q(2, k) లు సంయుగ్మ బిందువులయితే
P యొక్క దృవరేఖ Q గుండా పోతుంది.
2 + 3k = 35
3k = 33
k = 11

ప్రశ్న 15.
x² + y² – 5x + 8y + 6 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2), (k, -3) లు సంయుగ్మాలయితే k విలువ ఎంత ? [A.P. Mar. ’17]
సాధన:
వృత్త సమీకరణం x² + y² – 5x + 8y + 6 = 0 యొక్క దృవరేఖ (4, 2)
x.4 + y.2 – \(\frac{5}{2}\)(x + 4) + 4 (y + 2) + 6 = 0
8x + 4y – 5x – 20 + 8y + 16 + 12 = 0
3x + 12y + 8 = 0
P(4, 2), Q(k, -3) లు సంయుగ్మాలు.
P యొక్క దృవరేఖ Q గుండా పోతుంది.
∴ 3k – 36 + 8 = 0
3k = 28 ⇒ k = \(\frac{28}{3}\)

II.

ప్రశ్న 1.
(3, 2) బిందువు నుంచి x²+y²-6x+4y-2=0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్య రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
S ≡ x² + y² – 6x + 4y – 2 = 0
r = \(\sqrt{9+4+2}\) = \(\sqrt{15}\)
S₁₁ = 9 + 4 – 18 + 8 – 2 = 1

P వద్ద స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము cos^-1\(\left(\frac{7}{8}\right)\)

ప్రశ్న 2.
(1, 3) బిందువు నుంచి x² + y² – 2x + 4y – 11 = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శ రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
S ≡ x² + y² – 2x + 4y – 11 = 0
r = \(\sqrt{1+4+11}\) = 4
S₁₁ = 1 + 9 – 2 + 12 – 11 = 9

స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము cos^-1\(\left(\frac{7}{25}\right)\)

ప్రశ్న 3.
(0, 0) బిందువు నుంచి x² + y² – 14x + 2y + 25 = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² – 14x + 2y + 25 = 0
కేంద్రం C = (7, -1),
వ్యాసార్థం (r) = \(\sqrt{49+1-25}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
S₁₁ = 0 + 0 – 0 + 0 + 25 = 25
స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము ‘θ’ అయిన
tan (θ/2) = \(\frac{r}{\sqrt{s_{11}}}=\frac{5}{\sqrt{25}}\) = 1
∴ \(\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము θ = 90°

ప్రశ్న 4.
ఏదైనా బిందువు P నుంచి x² + y² = a² వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం a అయ్యేటట్లు ఉండే P బిందు పథం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a²
r = వ్యాసార్థము = a
P (x₁, y₁) బిందు పథము మీది బిందువు
S₁₁ = x² + y² – a²

ప్రశ్న 5.
ఏదైనా బిందువు P నుంచి x² + y² = a² వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండేటటువంటి P బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a²
r = a
P(x₁, y₁) బిందు పథం మీది బిందువు
S₁₁ = x₁² + y₁² – a²
tan θ = \(\frac{r}{\sqrt{s_{11}}}=\frac{a}{\sqrt{x_1^2+y_1^2-a^2}}\)
ఇచ్చిన 2θ = \(\frac{\pi}{2}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ tan θ = tan \(\frac{\pi}{4}\) = 1
∴ \(\frac{d}{\sqrt{x_1^2+y_1^2-a^2}}\) = 1
వర్గీకరించి, అడ్డ గుణకారం చేయగా
a² = x² + y² – a²
x₁² + y₁² = 2a²
P (x, y ) బిందు పథము x² + y² = 2a²

ప్రశ్న 6.
x² + y² – 4x – 4y – 4= 0 వృత్తానికి (1,3) ధ్రువ రేఖ వాలు, వృత్తకేంద్రం నుంచి, ఈ ధ్రువ రేఖకు గల లంబ దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 4x – 4y – 4 = 0
వృత్తానికి (1,3) ధ్రువరేఖ S₁ =0
(i.e.,) x(1) + y(3) – 2(x + 1) – 2(y + 3) – 4 = 0
⇒ -x + y – 12 = 0
⇒ x + y + 12 = 0
∴ ధ్రువరేఖ వాలు = \(\frac{-(1)}{1}\) = 1
వృత్త కేంద్రం C =(2, 2) నుండి ధ్రువరేఖ x – y + 12 = 0
కు లంబదూరం
= \(\left|\frac{2-2+12}{\sqrt{1+1}}\right|=\frac{12}{\sqrt{2}}\)
= 6 \(\sqrt{2}\)యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
x² + y² – 2x + 2y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) ధ్రువ రేఖ సమీకరణం ax + by + c = 0 అయి a, b, c ల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 1 అయితే a² + b² + c విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 2x + y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (1,1)
ధ్రువరేఖ S₁ = 0.
(i.e.,) x(1) + y(1) – (x + 1) + (y + 1) + 1 = 0
⇒ 2y + 1 = 0 ………………. (1)
కాని ధ్రువరేఖా సమీకరణం ax + by + c = 0 ……………… (2)
(1), (2) లు ఒకే రేఖను సూచిస్తున్నాయి కనుక
\(\frac{a}{0}=\frac{b}{2}=\frac{c}{1}\)
⇒a = : 0, b = 2, c = 1
(a, b, c ల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 1)
∴ a² + b² + c² = 0 + 4 + 1 = 5

III.

ప్రశ్న 1.
x + 4y – 14=0 రేఖ x² + y² – 2x + 3y – 5=0 వృత్తాన్ని ఖండించే బిందువుల వద్ద గీసిన స్పర్శ రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 2x + 3y – 5 = 0
P(x, y) యొక్క ధృవరేఖ

xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) + \(\frac{3}{2}\) (y + y₁) – 5 = 0
2xx₁ + 2yy₁ – 2x – 2x₁ + 3y+ 3y₁ – 10 = 0
2(x₁ – 1)x + (2y₁ + 3) y -(2x₁ – 3y₁ + 10) = 0 ……………… (1)
QR సమీకరణము 5x + 4y – 14 = 0 …………….. (2)
(1) మరియు (2) పోల్చగా
\(\frac{2\left(x_1-1\right)}{1}=\frac{2 y_1+3}{4}=\frac{2 x_1-3 y_1+10}{14}\)
2(x₁ – 1) = \(\frac{2 y_1+3}{4}\)
8x₁ – 8 = 2y₁ + 3
8x₁ – 2y₁ = 11 ………………. (1)
2(x₁ – 1) = \(\frac{2 x_1-3 y_1+10}{14}\)
28x₁ – 28 = 2x₁ – 3y₁ + 10
26x₁ + 3y₁ = 38 ……………….. (2)

ప్రశ్న 2.
x² + y² = b² వృత్తం దృష్ట్యా x² + y² = a² వృత్తంపై ఉండే బిందువుల ధృవరేఖలు x² + y² = c² వృత్తాన్ని స్పృశిస్తే a,b,c లు గుణశ్రేఢిలో ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:

P(x₁, y₁) బిందువు మీది బిందువు x² + y² = a²
∴ x₁² + y₁² = a² ……………. (1)
x²+ y²= b² దృష్ట్యా P యొక్క ధ్రువరేఖ
xx₁ + yy₁ = b²
ఈ రేఖ x² + y² = c² వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
\(\frac{\left|0+0-\mathrm{b}^2\right|}{\sqrt{\mathrm{x}_1^2+\mathrm{y}_1^2}}\) = c ⇒ \(\frac{b^2}{a}\) = c
అడ్డ గుణకారం చేయగా b2 = ac
∴ a, b, c లు G. P. లో ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 3.
P (3, 5) నుంచి x² + y² = 16 వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు గీశాం. ఈ స్పర్శరేఖలు, దత్త వృత్తం దృష్ట్యా P యొక్క స్పర్శ జ్యాతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² = 16

P (3, 5) యొక్క ధృవరేఖ 3x + 5y = 16
PL = P యొక్క లంబకోణము
= \(\frac{|9+25-16|}{\sqrt{9+25}}=\frac{18}{\sqrt{34}}\)
కేంద్రం = C (0, 0)
P = c మీదకు లంబదూరము

ప్రశ్న 4.
4x²+ y² – 4x – 4y – 8 = 0, x² + y² – 2x + 6y – 2 = 0 వృత్తాలకు ఒక బిందువు దృష్ట్యా ఏర్పడే ధ్రువ రేఖలు లంబంగా ఉంటే, ఆ చర బిందువు యొక్క బిందు వధ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x, y) బిందు పథము మీది బిందువు
వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² – 4x – 4y – 8 = 0 ……………… (1)
x² + y² – 2x + 6y – 2 = 0 ………………. (2)
(1) దృష్ట్యా P యొక్క ధృవరేఖ
xx₁ + yy₁ – 2(x + x₁) – 2 (y + y₁) – 8 = 0
x(x₁ – 2) + y (y₁ – 2) – (2x₁ + 2y₁ + 8) = 0(3)
(2) వ వృత్తం దృష్ట్యా P యొక్క ధృవరేఖ సమీకరణాలు
xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) – 3 (y + y₁) – 2 = 0
xx₁ + yy₁ – x – x₁ + 3y + 3y₁ – 2 = 0
x(x₁ – 1) + y (y₁ + 3) – (x₁ + 3y₁ + 2) = 0
(3), (4) లు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ = 0
(x₁ – 2) (x₁ – 1) + (y₁ – 2) (y₁ + 3) = 0
x₁² – 3x₁ +2 + y₁² + y₁ – 6 = 0
x₁² + y₁² – 3x₁ + y₁ – 4 = 0 x² + y² – 3×1 + Y1
p(x₁, y₁) బిందు పథము x² + y² – 3x + y – 4 = 0

ప్రశ్న 5.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 యొక్క ఏదైనా జ్యా, మూల బిందువు వద్ద 90° కోణం ఏర్పరిస్తే మూల బిందువు నుంచి ఆ జ్యాకు గీసిన లంబ పాదాల బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

QL మీదకు మూల బిందువు నుండి గీయబడిన లంబ పాదము L (x₁, y₁)
QL వాలు = \(\frac{y_1}{x_1}\)
QR వాలు = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
QR సమీకరణము y – y₁ = –\(\frac{x_1}{y_1}\) (x – x₁)
yy₁ – y₁²1 = – xx₁ + x₁².
xx₁ + yy₁ = x₁² + y₁²
(లేదా) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) = 1 …………. (1)
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 …………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా OQ, OR ల ఉమ్మడి సమీకరణము
x² + y² + (2gx + 2fy)

Telangana & Andhra Pradesh BIEAP TS AP Intermediate Inter 2nd Year Study Material Textbook Solutions Guide PDF Free Download, Sakshi Education Intermediate 2nd Study Material in English Medium and Telugu Medium are part of AP Intermediate Study Material. The curriculum has been designed in such a way, to help them learn the different subjects and concepts in an interesting and easy manner. These AP Intermediate 2nd Year Textbook Solutions will prove to be useful study tools during exam preparation.

The AP Inter 2nd Year Syllabus has also been created to address the most important learning needs of the students. That being said, BIEAP Inter 2nd Year students can actually succeed in academics by making use of AP Inter 2nd Year Study Material Pdf. As such, they can also make use of AP Intermediate 2nd Year Previous Year Question Papers, which will further enable them to understand the actual exam paper in a clear manner.

AP Intermediate 2nd Year Study Material Pdf Download | Sr Inter 2nd Year Textbook Solutions

Here is AP Intermediate 2nd Year Study Material to help students prepare and ace the AP Intermediate 2nd year exams.

AP Inter 2nd Year Study Material Pdf

• Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions
• Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions
• AP Inter 2nd Year Physics Study Material
• AP Inter 2nd Year Chemistry Study Material
• AP Inter 2nd Year Botany Study Material
• AP Inter 2nd Year Zoology Study Material
• AP Inter 2nd Year Telugu Study Material
• AP Inter 2nd Year English Study Material
• AP Inter 2nd Year Sanskrit Study Material
• AP Inter 2nd Year Hindi Study Material
• AP Inter 2nd Year Civics Study Material
• AP Inter 2nd Year Commerce Study Material
• AP Inter 2nd Year Accountancy Study Material
• AP Inter 2nd Year Economics Study Material
• AP Inter 2nd Year History Study Material

AP Inter 2nd Year Important Questions

• Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions
• Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions
• AP Inter 2nd Year Physics Important Questions
• AP Inter 2nd Year Chemistry Important Questions
• AP Inter 2nd Year Botany Important Questions
• AP Inter 2nd Year Zoology Important Questions
• AP Inter 2nd Year Civics Important Questions
• AP Inter 2nd Year Commerce Important Questions
• AP Inter 2nd Year Accountancy Important Questions
• AP Inter 2nd Year Economics Important Questions

AP Inter 2nd Year Notes

• Inter 2nd Year Maths 2A Formulas
• Inter 2nd Year Maths 2B Formulas
• AP Inter 2nd Year Physics Notes
• AP Inter 2nd Year Chemistry Notes
• AP Inter 2nd Year Botany Notes
• AP Inter 2nd Year Zoology Notes
• AP Inter 2nd Year Civics Notes
• AP Inter 2nd Year Commerce Notes
• AP Inter 2nd Year Accountancy Notes
• AP Inter 2nd Year Economics Notes
• AP Inter 2nd Year History Notes

We hope that these Telangana & Andhra Pradesh BIEAP TS AP Intermediate Inter 2nd Year Study Material Textbook Solutions Guide PDF Free Download in English Medium and Telugu Medium helps the student to come out successful with flying colors in this examination. This Sr Inter 2nd Year Study Material will help students to gain the right knowledge to tackle any type of questions that can be asked during the exams.