Class 7

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 12 సౌష్ఠవము Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 12th Lesson సౌష్ఠవము Exercise 12.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది చిత్రాలకు రేఖా సౌష్ఠవాలు గీయండి. వాటిలో, బిందు సౌష్ఠవాలు గల వాటిని గుర్తించండి. రేఖా సౌష్ఠవానికి మరియు బిందు సౌష్ఠవానికి మధ్య ఏమైనా సంబంధం ఉందా?
(i)

సాధన.

బిందు సౌష్ఠవం కలదు.
రేఖాసౌష్ఠవాల సంఖ్య = 2,
సౌష్ఠవ పరిమాణం = 2,
రేఖా సౌష్ఠవం, బిందు సౌష్ఠవము
రెండూ సమానం.

(ii)

సాధన.

బిందు సౌష్ఠవం కలదు.
రేఖాసౌష్టవాల సంఖ్య = 4,
సౌష్ఠవ పరిమాణం = 4,
బిందు సౌష్ఠవం, రేఖా సౌష్ఠవము
రెండూ సమానం.

(iii)

సాధన.

ఇచ్చిన పటం సమద్విబాహు త్రిభుజం
అయితే బిందు సౌష్ఠవం లేదు.

ఇచ్చిన పటం సమబాహు త్రిభుజం
అయిన బిందు సౌష్ఠవం ఉంటుంది.

(iv)

సాధన.

బిందు సౌష్ఠవం కలదు.
రేఖాసౌష్ఠవాల సంఖ్య = 6,
సౌష్ఠవ పరిమాణం = 6,
రేఖా సౌష్ఠవం, బిందు సౌష్ఠవము
రెండూ సమానం.

(v)

సాధన.

బిందు సౌష్ఠవం లేదు.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది ఆంగ్ల అక్షరాలలో ఏవి బిందుసౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయో గుర్తించండి.

సాధన.

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 12 సౌష్ఠవము Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 12th Lesson సౌష్ఠవము Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
కింద ఇచ్చిన ఆకారాలలో వేటికి సౌష్ఠవాక్షాలు కలవు? ఏ ఆకారాలు భ్రమణ సౌష్ఠవం కలిగివున్నాయి?

సాధన.
(a) సౌష్ఠవాక్షములు లేవు. భ్రమణ సౌష్ఠవం కలదు.
(b) సౌష్ఠవాక్షములు కలవు. భ్రమణ సౌష్ఠవం లేదు.
(c) సౌష్ఠవాక్షములు కలవు. భ్రమణ సౌష్ఠవం కలదు.
(d) సౌష్ఠవాక్షములు కలవు. భ్రమణ సౌష్ఠవం కలదు.

ప్రశ్న 2.
క్రింద ఇచ్చిన పటములకు భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం కనుగొనండి.

సాధన.
(i) భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం = 4.
(ii) భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం = 6.
(iii) భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం = 3.
(iv) భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం = 4.

ప్రశ్న 3.
సౌష్ఠవ అక్షము కలిగి మరియు ఒకటికన్నా ఎక్కువ భ్రమణ పరిమాణం గల రెండు పటములు గీయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
ఒకటికన్నా ఎక్కువ భ్రమణ పరిమాణం గల మరియు సౌష్ఠవాక్షము గల చతుర్భుజముల పేర్లు రాయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 5.
అక్షంపై 60° భ్రమణం తరువాత ఒక పటం ఖచ్చితంగా మొదటి స్థితిలో కనిపిస్తుంది. మళ్ళీ ఎంత కోణం త్రిప్పిన తిరిగి అదే పటం వస్తుంది?
సాధన.
అక్షంపై 60° భ్రమణం తరువాత ఒక పటం మొదటి స్థితిలో కనిపిస్తే, మళ్ళీ అది 1209, 180°, 2409, 3000 మరియు 360°ల కోణం త్రిప్పిన తిరిగి అదే పటం వస్తుంది.

ప్రశ్న 6.
ఖాళీలను పూరించండి.

సాధన.

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 12 సౌష్ఠవము Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 12th Lesson సౌష్ఠవము Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
ఒకటవ పటములో మాదిరి క్రింద ఇచ్చిన పటములకు సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవ రేఖలను గీయండి.
(i)

సాధన.

(ii)

సాధన.

(iii)

సాధన.

(iv)

సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇచ్చిన రంధ్రాలు గల పటాలను పరిశీలించి సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి.
(i)

సాధన.

(ii)

సాధన.

(iii)

సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటాలలో చుక్కల రేఖ సౌష్ఠవ రేఖ అగునట్లు మరొక చుక్కను గుర్తించండి.
(i)

సాధన.

(ii)

సాధన.

(iii)

సాధన.

(iv)

సాధన.

ప్రశ్న 4.
కింద ఇచ్చిన వాటికి గల సౌష్ఠవాక్షముల సంఖ్య రాయండి మరియు వాటిని గీయండి.
(i) సమబాహు త్రిభుజం
(ii) సమద్విబాహు త్రిభుజం
(iii) విషమబాహు త్రిభుజం
సాధన.
(i) సమబాహు త్రిభుజం:

సమబాహు త్రిభుజానికి గల సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్య = 3

(ii) సమద్విబాహు త్రిభుజం:

సమద్విబాహు త్రిభుజానికి గల సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్య = 1

(iii) విషమబాహు త్రిభుజం :

విషమబాహు త్రిభుజానికి సౌష్ఠవ రేఖలు ఉండవు.

ప్రశ్న 5.
4 సెం.మీ. భుజం గల సమబాహు త్రిభుజం నిర్మించి దానికి సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవాక్షాలను గీయండి (నిర్మాణ సోపానాలు రాయనవసరం లేదు).
సాధన.

4 సెం.మీ. 4 సెం.మీ. భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజము మరియు దానికి గీయగల సౌష్ఠవాక్షములు (3).

ప్రశ్న 6.
4.5 సెం.మీ. భూమి మరియు 45° భూకోణములు ఉండునట్లు త్రిభుజం గీయండి. దానికి సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవ రేఖలు గీయండి. (నిర్మాణ సోపానాలు రాయనవసరం లేదు).
సాధన.

4.5 సెం.మీ. భూమి మరియు 45° భూకోణంగా గల సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు దానికి గీయగల సౌష్ఠవాక్షము (1).

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 12 సౌష్ఠవము Review Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 12th Lesson సౌష్ఠవము Review Exercise

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన పటాలలో, ప్రతిబింబరేఖ (సౌష్ఠవరేఖ) చుక్కల రూపంలో చూపడమైనది. చుక్కల గీతను ఉపయోగించి ప్రతి పటాన్ని పరావర్తనం ఆధారంగా పూర్తిచేయండి. (మీరు చుక్కల గీత వెంబడి అద్దం పెట్టిన అద్దంలో మిగిలిన ప్రతిబింబాన్ని చూపించునని స్పష్టంగా గమనించవచ్చు.)
(i)

సాధన.

(ii)

సాధన.

(iii)

సాధన.

(iv)

సాధన.

ప్రశ్న 2.
క్రింది పటాలలో ఏవి రేఖాసౌష్ఠవం కలిగి ఉన్నాయి? పటం క్రింద ఇచ్చిన పెట్టెలలో అవును లేదా కాదు వ్రాయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన ప్రతి సౌష్ఠవ పటానికి మిగిలిన సగభాగాన్ని గీయండి.

సాధన.

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 11 సమతల పటాల వైశాల్యాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు InText Questions

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 168]

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది పట్టికలో ఖాళీలలోని విలువలు కనుగొని పూరించండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
అను వద్ద గల ఒకే సైజు గల 4 లంబకోణ త్రిభుజాలు కలవు. వాటితో ఒక స్టార్ ను బొమ్మలో కింద చూపిన విధంగా తయారుచేసింది. బొమ్మ స్టార్ వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు a = 5 సెం.మీ., b = 12 సెం.మీ.
ఒక్కొక్క లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) ab = \(\frac{1}{2}\) × 5 × 12 = 30 చ.సెం.మీ.
∴ బొమ్మ స్టార్ వైశాల్యం = 4 × 30 = 120 చ.సెం.మీ.

అన్వేషిద్దాం [పేజి నెం. 170]

ప్రశ్న 1.
త్రిభుజాకార పొలం ABC మరియు దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం EPGH ల వైశాల్యాలు సమానం. దీర్ఘచతురస్రం EFGH యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పులు వరుసగా 15 మీ., 10 మీ. ∆ABC యొక్క భూమి 25 మీ. అయితే దాని ఎత్తు కనుగొనండి.

సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజ భూమి b = 25 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు (1) = 15 మీ.
వెడల్పు (b) = 10 మీ.
దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = lb = 15 × 10 = 150 చ.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం
\(\frac{1}{2}\) bh = 150
⇒ \(\frac{1}{2}\) × 25 × h = 150
⇒ h = 150 × \(\frac{2}{25}\) = 12 సెం.మీ.
∴ త్రిభుజ ఎత్తు h = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో ఉన్న అన్ని త్రిభుజాల భూమి AB = 12 సెం.మీ. గ్రిలో ఉన్న గడులను లెక్కవేయడం ద్వారా వాటి ఎత్తులను కనుగొని తద్వారా వైశాల్యం కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?

సాధన.

గమనించిన అంశాలు:

1. త్రిభుజ ఆకారం ఏదైనప్పటికి సమాన భూమి మరియు సమాన ఎత్తుగల త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానము.
2. ఒకే భూమి కలిగి ఒక జత సమాంతర రేఖల మధ్య ఏర్పడే త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానము.

అన్వేషిద్దాం [పేజి నెం. 176]

ప్రశ్న 1.
పటంలో చూపించిన విధంగా చతురస్రాకారంలో నీలం రంగు టైల్స్ మధ్య 5 సెం.మీ. వెడల్పు కలిగిన తెల్లటి టైల్స్ అమర్చబడ్డాయి. మొత్తం పరచిన స్థలం యొక్క భుజం 150 సెం.మీ. అయితే పరచబడిన తెల్లని టైల్స్ అమరిక యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
చతురస్రాకారంలో పరచిన స్థలం యొక్క భుజం = 150 సెం.మీ.
తెల్లటి టైల్స్ తో పరచిన బాట వెడల్పు = 5 సెం.మీ.

EFGH బాట వైశాల్యం
= బాట పొడవు × బాట వెడల్పు
= 150 × 5 = 750 చ.సెం.మీ.
IJKL బాట వైశాల్యం = 750 చ.సెం.మీ. (పై దాని వలె)
ఉమ్మడి బాట MNOP వైశాల్యం = 5 × 5 = 25 చ|| సెం.మీ.
∴ పరచబడిన తెల్లటి టైల్స్ అమరిక వైశాల్యం
= EFGH బాట వైశాల్యం + IJKL బాట వైశాల్యం – ఉమ్మడి బాట MNOP వైశాల్యం
= 750 + 750 – 25 = 1500 – 25
= 1475 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
80 మీ. భుజంగా గల చతురస్రాకార గడ్డి మైదానం చుట్టూ బయట 2 మీటర్ల వెడల్పు ఉన్న బాట కలదు. బాట వైశాల్యం మరియు ప్రతి చ.మీ. ఇటుకలతో ఫ్లోరింగ్ కు అయ్యే ఖర్చు రూ. 200 అయితే ఫ్లోరింగు అగు మొత్తం ఖర్చు కనుగొనండి.

సాధన.
లోపలి చతురస్రాకార గడ్డి మైదానం భుజం = 80 మీ.
చుట్టూకల బాట వెడల్పు = 2 మీ.
∴ బయటి చతురస్ర భుజం = 80 + 2 + 2 = 84మీ.
బయటి PORS చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= 84 × 84 = 7,056 చ.మీ.
లోపలి ABCD చతురస్ర వైశాల్యం అం అందుకు అంత = 80 × 80 = 6,400 చ.మీ.

∴ చతురస్రాకార పొలం చుట్టూగల బాట వైశాల్యం = బయటి చతురస్ర వైశాల్యం – లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం
= 7056 – 6400 = 656 చ.మీ.
చ.మీ.కు ₹ 200 వంతున బాట ఫ్లోరింగ్ కు అవు మొత్తం ఖర్చు = 656 × 200 = ₹ 1,31,200

ఇవి చేయండి కృత్యం [పేజి నెం. 176]

రెండు దీర్ఘచతురస్రాలను తయారుచేయండి. పొడవు 25 సెం.మీ., వెడల్పు 20 సెం.మీ. గల ఒక ఎరుపు రంగు దీర్ఘచతురస్రం, పొడవు 20 సెం.మీ., వెడల్పు 15 సెం.మీ. గల మరియొక ఆకుపచ్చరంగు దీర్ఘచతురస్రం చేసి పెద్ద దీర్ఘచతురస్రంపై మధ్య చిన్న దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఉంచండి. తద్వారా, ఆకుపచ్చ రంగు దీర్ఘచతురస్రం చుట్టూ వెలుపల 2.5 సెం.మీ. ఎరుపు రంగు బాట ఏర్పడుతుంది. ఎరుపు రంగు బాట యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
ఎరుపురంగు దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 25 × 20 = 500 సెం.మీ.²
ఆకుపచ్చరంగు దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 20 × 15 = 300 సెం.మీ.²
∴ ఎరుపు రంగు బాట యొక్క వైశాల్యం = (ఎరుపు రంగు దీ|| చ||వై) – (ఆకుపచ్చ రంగు దీ||చ||వై)
= 500 – 300 = 200 చ.సెం.మీ.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 182]

ప్రశ్న 1.
వృత్తాకార ముగ్గు పరిధి 88 సెం.మీ. అయిన దాని వ్యాసార్ధం మరియు వైశాల్యం కనుగొనుము.
సాధన.
వృత్తాకార ముగ్గు పరిధి = 88 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం (r) = ?
వృత్త వైశాల్యం = ?
వృత్తాకార పరిధి 2πr = 88
⇒ 22 × \(\frac{22}{7}\) × r = 88
⇒ \(\frac{44}{7}\) × r = 88

∴ వ్యాసార్ధం r = 14 సెం.మీ.
వృత్త వైశాల్యం = πr² = \(\frac{22}{7}\) × 14²

∴ వృత్త వైశాల్యం = 616 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
పటంలో చూపించబడ్డ వృత్తాల యొక్క వైశాల్యాలను లెక్కించండి.
(i)

సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధము (r) = 7 సెం.మీ.
వృత్త వైశాల్యం = πr² = \(\frac{22}{7}\) × 7²

∴ వృత్త వైశాల్యం = 154 చ.సెం.మీ.

(ii)

సాధన.
వృత్త వ్యాసము (d) = 28 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము (r) = \(\frac{28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
వృత్త వైశాల్యం = πr² = \(\frac{22}{7}\) × 14²

= 616 చ.సెం.మీ.

(iii)

సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధము (r) = 21 సెం.మీ.
వృత్త వైశాల్యము = πr² = \(\frac{22}{7}\) × 21²

= 1386 చ. సెం.మీ.

అన్వేషిద్దాం [పేజి నెం. 186]

వృత్తాకార గడ్డి మైదానం వ్యాసార్థం 11 మీ. దానిలో కేంద్రం వద్ద ఒక మేకను 4 మీ. పొడవు కలిగిన తాడుతో కట్టిన మేక మేయలేని గడ్డిభూమి వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
వృత్తాకార గడ్డి మైదాన వ్యాసార్ధం (R) = 11 మీ.
మేక మేయగల వృత్తాకార గడ్డి మైదాన వ్యాసార్ధం (r) = 4 మీ.
(4 మీ. తాడుతో కేంద్రం వద్ద మేకను కట్టారు)
మేక మేయలేని గడ్డి మైదాన వైశాల్యం = (బయటి వృత్త వైశాల్యం – లోపలి వృత్త వైశాల్యం)
వృత్తాకార బాట వైశాల్యం = πR² – πr²

= π(R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\)(11² – 4²)
= \(\frac{22}{7}\) × (121 – 16)
= \(\frac{22}{7}\) × 105 = 330
∴ మేక మేయలేని గడ్డి మైదాన వైశాల్యం = 330 మీ.

తార్కిక విభాగం తార్కిక ప్రశ్నలు (అశాబ్దిక) [పేజి నెం. 192]

ప్రశ్న 1.
ఇమిడియున్న పటాలు : సమస్యా పటం (X) నకు ప్రక్కనే సమాధాన పటాలు (a), (b), (c) & (d) లు ఇవ్వబడినవి. సమస్యాపటంలో ఇవ్వబడిన పటం, ఏ సమాధాన పటంలో ఇమిడి ఉన్నదో గుర్తించండి.
ఉదాహరణ:

సాధన.
(a)

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన త్రిభుజాల వైశాల్యాలు కనుక్కోండి.

సాధన.
(i) ∆ POR లో, భూమి (QR) = 6 సెం.మీ.,
ఎత్తు (PS) = 4 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం
∆PQR = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × QR × PS
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 4 = 12 చ.సెం.మీ.

(ii) ∆LMN లో, భూమి (MN) = 3 సెం.మీ.,
ఎత్తు (LO) = 2 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం ∆LMN
= \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × MN × LO
= \(\frac{1}{2}\) × 3 సెం.మీ. × 2 సెం.మీ.
= 3 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
∆XYZ యొక్క వైశాల్యం 12 చ.సెం.మీ. మరియు ఎత్తు XL = 3 సెం.మీ. అయితే భూమి YZ ని కనుగొనండి.
సాధన.

∆XYZ లో భూమి = YZ,
ఎత్తు XL = 3 సెం.మీ.,
∆XYZ వైశాల్యం = 12 చ.సెం.మీ,
∆XYZ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × YZ × XL
⇒ 12 = \(\frac{1}{2}\) × YZ × 3
⇒ YZ = 12 × \(\frac{2}{3}\)
కాబట్టి YZ = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
∆ABC లో AC = 8 సెం.మీ., BC = 4 సెం.మీ. మరియు AE = 5 సెం.మీ.
అయిన (i) AABC వైశాల్యం (ii) BD కనుగొనుము.
సాధన.

(i) ∆ABC లో, భూమి (BC) = 4 సెం.మీ.,
ఎత్తు (AE) = 5 సెం.మీ.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × 4 × 5
= 10 చ.సెం.మీ.

(ii) ∆BAC లో, భూమి (AC) = 8 సెం.మీ.,
ఎత్తు (BD) = ?
∆BAC వైశాల్యం = 10 చ.సెం.మీ.
∆ BAC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
i.e. 10 = \(\frac{1}{2}\) × 8 × BD
BD = 10 × \(\frac{2}{8}\) = \(\frac{10}{4}\) = \(\frac{5}{2}\) = 2.5
∴ ఎత్తు (BD) = 2.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
లంబకోణ త్రిభుజం POR లో లంబకోణాలు కలిగిన – భుజాలు 6 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., అయిన ఆ త్రిభుజం వైశాల్యం కనుగొనుము.
సాధన.

పద్ధతి – 1: లంబకోణాలు కలిగిన భుజాలు 6 సెం.మీ., 6 సెం.మీ.
లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) × లంబకోణం గల భుజాల యొక్క లబ్దం.
= \(\frac{1}{2}\) × a × b
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 6 = 6 × 3 = 18 చ.సెం.మీ.

పద్ధతి – 2: గ్రిడ్ ను జాగ్రత్తగా పరిశీలించండి. లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం చతురస్రం యొక్క వైశాల్యంలో సగం. లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) × చతురస్ర వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 6 = 18 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజాకార గడ్డిమైదానం యొక్క భూమి మరియు ఎత్తులు వరుసగా 12 మీ., 7మీ. అయిన గడ్డిమైదానం వైశాల్యంను కనుగొనుము. గడ్డి పరచుటకు ఒక చ.మీ.కు ₹300 చొప్పున మొత్తం ఎంత ఖర్చు అగును?

సాధన.
త్రిభుజాకార గడ్డిమైదానం యొక్క భూమి = 12 మీ.
ఎత్తు = 7 మీ.
త్రిభుజాకార గడ్డి మైదానం యొక్క వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) × b × h
= \(\frac{1}{2}\) × 12 × 7
= 6 × 7 = 42 చ.మీ.
గడ్డి మైదానంలో ఒక చ.మీ. గడ్డి వేయడానికి అయ్యే ఖర్చు = ₹ 300
గడ్డి మైదానంలో 42 చ.మీ. గడ్డి వేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = ₹ 300 × 42 = ₹ 12,600

ప్రశ్న 6.
దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పులు వరుసగా 65 మీ., 30 మీ. పొలం బయట చుట్టూ 2.5 మీటర్ల వెడల్పుతో ఒక బాట ఏర్పాటు చేయబడింది. ఆ బాట యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
పటంలో ABCD అనేది దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం మరియు రంగు ఉన్న ప్రాంతం 2.5 మీ. వెడల్పు కలిగిన బాటను చూపుతుంది. EFGH బయటి దీర్ఘచతురస్రం (బాటతో కలిపిన పొలం).
ABCD పొడవు (AB) = 65 మీ.,
ABCD వెడల్పు (AD) = 30 మీ.,
బాట వెడల్పు = 2.5 మీ.
బాట వైశాల్యం = బయటి దీర్ఘచతురస్రం EFGH
వైశాల్యం – లోపలి దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం EFGH పొడవు (EF)
= పొలం పొడవు (AB) + 2 × బాట వెడల్పు
= 65 మీ. + 2 × 2.5 మీ.
= 65 మీ. + 5 మీ. = 70 మీ.
EFGH వెడల్పు (EH)
= పొలం వెడల్పు (AD) + 2 × బాట వెడల్పు
= 30 మీ. + 2 × 2.5 మీ.
= 30 మీ. + 5 మీ. = 35 మీ.
బయటి దీర్ఘచతురస్రం EFGH వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= 70 × 35 = 2450 చ.మీ.
లోపలి దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం
= పొడవు × వెడల్పు
= 65 మీ. × 30 మీ. = 1950 చ.మీ.
బాట వైశాల్యం = బయటి దీర్ఘచతురస్రం EFGH వైశాల్యం – లోపలి దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం = 2450 చ.మీ. – 1950 చ.మీ. = 500 చ.మీ.

ప్రశ్న 7.
ఒక చతురస్రాకార స్విమ్మింగ్ పూల్ భుజం పొడవు 70 మీ. దాని చుట్టూ బయట 5 మీ. వెడల్పు గల బాట కలదు. ఈ బాట యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి. బాటను టైల్స్ తో పరచటానికి ఒక చ.మీ.నకు రూ. 150 చొప్పున అయ్యే మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి.
సాధన.
WXYZ చతురస్రాకార స్విమ్మింగ్ పూల్ ని చూపిస్తుంది. స్విమ్మింగ్ పూల్ భుజం (WZ) = 70 మీ. స్విమ్మింగ్ పూల్ యొక్క వెలుపలివైపు 5 మీ. వెడల్పు గల బాట కలదు.
PORS బాటతో కల స్విమ్మింగ్ పూల్ బాట వైశాల్యం
= బాటతో కల స్విమ్మింగ్ పూల్ PORS వైశాల్యం – స్విమ్మింగ్ పూల్ WXYZ వైశాల్యం
PS = స్విమ్మింగ్ పూల్ భుజం (WZ) + 2 × (బాట వెడల్పు )
= 70 + 2 × 5 = 70 + 10 = 80మీ.

బాటతో కల స్విమ్మింగ్ పూల్ PORS వైశాల్యం
= (భుజం)² = (80 మీ)² = 6400 చ.మీ.
స్విమ్మింగ్ పూల్ WXYZ వైశాల్యం = (భుజం)²
= (70 మీ.)² = 4900 చ.మీ.
బాట వైశాల్యం = బాటతో కల స్విమ్మింగ్ పూల్ PORS వైశాల్యం – స్విమ్మింగ్ పూల్ WXYZ వైశాల్యం
= 6400 – 4900 = 1500 చ.మీ.
టైల్స్ తో పరచటానికి ఒక చ.మీ.కు అగు ఖర్చు = ₹150
టైల్స్ తో పరచటానికి 150 చ.మీ.లకు అగు ఖర్చు
= ₹150 × 1500
= ₹ 2,25,000

ప్రశ్న 8.
దీర్ఘచతురస్రాకార గడ్డి భూమి పొడవు 55 మీ. మరియు వెడల్పు 45 మీ. వెడల్పు గడ్డి భూమి మధ్యలో 3 మీ. వెడల్పు కలిగిన రెండు మార్గాలు ఒకటి పొడవుకు సమాంతరంగా మరియు మరొకటి వెడల్పుకు సమాంతరంగా ఒకదానికొకటి ఖండించే విధంగా ఉన్నవి. ఆ బాట వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
పటంలో ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార గడ్డిభూమి.
ABCD పొడవు = 55 మీ,
ABCD వెడల్పు = 45 మీ, బాట వెడల్పు = 3 మీ.
EFGH బాట వైశాల్యం = పొడవు × బాట వెడల్పు
= 55 × 3 = 165 చ.మీ.

బాట MNOP వైశాల్యం = వెడల్పు × బాట వెడల్పు = 45 × 3 = 135 చ.మీ.
ఉమ్మడి బాట IJKL వైశాల్యం (రెండు బాటలు కలిసిన ప్రాంతం)
= బాట వెడల్పు × బాట వెడల్పు = 3 × 3 = 9 చ.మీ.
IJKL చతురస్రం రెండు బాటలలో వున్నది అనగా 9 చ.మీ.
రెండు బాటలలో కలదు. కావున ఒకసారి తీసివేస్తాము.
మొత్తం బాట వైశాల్యం = బాట EFGH వైశాల్యం + బాట MNOP వైశాల్యం – ఉమ్మడి బాట IJKL వైశాల్యం
= (165 + 135 – 9) చ.మీ.
= (300 – 9) చ.మీ. = 291 చ.మీ.

ప్రశ్న 9.
వృత్తాకార రంగోలి వ్యాసార్థం 21 సెం.మీ. అయిన దాని వైశాల్యం కనుగొనుము.

సాధన.
రంగోలి వ్యాసార్ధం (r) = 21 సెం.మీ.

వృత్తాకార రంగోలి వైశాల్యం = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 21 × 21 = 1386
∴ వృత్త వైశాల్యం = 1386 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 10.
28 మీ. వ్యాసం కలిగిన వృత్తాకార కొలను. యొక్క (ఉపరితల) వైశాల్యం కనుగొనండి. (π = \(\frac{22}{7}\))

సాధన.
వృత్తాకార కొలను వ్యాసం (d) = 28 మీ.
వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{28}{2}\) మీ. = 14 మీ.
వృత్తాకార కొలను వైశాల్యం = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 14²
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14
= 22 × 2 × 14 = 616 చ.మీ.

ప్రశ్న 11.
ఒక వృత్తాకార పార్కు లోపల భాగం పిల్లలు ఆడుకోవడానికి, దానిచుట్టూ బయట పెద్దలు నడవడానికి ఇవ్వబడినది. పార్క్ బయటి వ్యాసార్ధం 35 మీ. మరియు నడిచే బాట వెడల్పు 14 మీ. అయిన నడిచే బాట వైశాల్యం కనుగొనుము.

సాధన.
పార్క్ బయటి వ్యాసార్ధం (R) = 35 మీ.
నడిచే బాట యొక్క వెడల్పు = 14 మీ.
ఆడుకునే భాగం యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = R – W
= 35 – 14 = 21 మీ.
నడిచే బాట వైశాల్యం = పార్క్ యొక్క వైశాల్యం –
ఆడుకొనే భాగం వైశాల్యం
= πR² – πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 35² – \(\frac{22}{7}\) × 21²
= \(\frac{22}{7}\) (35² – 21²)
= \(\frac{22}{7}\) (1225 – 441)
= \(\frac{22}{7}\) × 784
= 22 × 112 = 2464 చ.మీ.

ప్రశ్న 12.
10 మీ. వ్యాసార్థం గల వృత్తాకార వాటర్ ఫౌంటైన్ లోపల 3 మీ. ఫౌంటైన్ కొరకు వాడబడెను. మిగిలిన భాగంను సిమెంట్ చేసారు. సిమెంట్ చేసిన భాగం వైశాల్యంను కనుగొనుము. ఒక చ.మీ.కు ₹200 చొప్పున సిమెంట్ చేయుటకు అగు మొత్తం ఖర్చు ఎంత?
సాధన.
మొత్తం నీటి ఫౌంటైన్ (R) వ్యాసార్ధం = 10 మీ.
ఫౌంటైన్ అమర్చిన భాగం యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = 3 మీ.
సిమెంట్ చేసిన భాగం వైశాల్యం
= మొత్తం నీటి ఫౌంటైన్ వైశాల్యం – ఫౌంటైన్ అమర్చిన భాగవైశాల్యం
= πR² – πr²

= \(\frac{22}{7}\) × (10)² – \(\frac{22}{7}\) × (3)²
= \(\frac{22}{7}\) [(10)² – (3)²]
= \(\frac{22}{7}\) (100 – 9) చ.మీ.
= \(\frac{22}{7}\) × 91 చ.మీ.
= 22 × 13 = 286 చ.మీ.
ప్రతి చ.మీ.ను సిమెంట్ చేయుటకు అగు ఖర్చు = ₹ 200
286 చ.మీ. లను సిమెంట్ చేయుటకు అగు ఖర్చు = 286 × 200 = ₹ 57,200

సాధనా ప్రశ్నలు, [పేజి నెం. 192]

క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి ప్రశ్నలో ఒక సమస్యాపటం (X), నాలుగు సమాధాన పటాలు (a), (b), (c) మరియు (d) లు ఇవ్వబడినవి. సమస్యా పటంలో ఇవ్వబడిన ఏ సమాధాన పటంలో పొందుపరచబడినదో గుర్తించి సరైన ఐచ్ఛికాన్ని రాయండి.

ప్రశ్న 1.

సాధన.
a

ప్రశ్న 2.

సాధన.
c

ప్రశ్న 3.

సాధన.
b

ప్రశ్న 4.

సాధన.
a

ప్రశ్న 5.

సాధన.
c

ప్రశ్న 6.

సాధన.
a

ప్రశ్న 7.

సాధన.
b

ప్రశ్న 8.

సాధన.
b

ప్రశ్న 9.

సాధన.
d

ప్రశ్న 10.

సాధన.
b

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 11 సమతల పటాల వైశాల్యాలు Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
క్రింది వానిని జతపరచండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సూత్రములు రాయండి.
(i) దీర్ఘచతురస్రాకార బాట వైశాల్యం …………………..
సాధన.
బయటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం – లోపలి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం.

(ii) చతురస్రాకార బాట వైశాల్యం ……………….
సాధన.
బయటి చతురస్ర వైశాల్యం – లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం.

(iii) వృత్తాకార బాట వైశాల్యం ………………….
సాధన.
బయటి వృత్తవైశాల్యం – లోపలి వృత్తవైశాల్యం.

ప్రశ్న 3.
ఒక త్రిభుజం యొక్క భూమి 18 సెం.మీ., ఎత్తు 13 సెం.మీ. అయితే త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
త్రిభుజం యొక్క భూమి b = 18 సెం.మీ.
ఎత్తు h = 13 సెం.మీ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) bh

= 117 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక ఉద్యానవనంలో 28 మీ. పొడవు, 20 మీ. పొడవు గల గడ్డిభూమి చుట్టూ నడవడానికి ఒక దీర్ఘచతు రస్రాకార బాట ఇవ్వబడింది. బాట వెడల్పు 2 మీ. అయితే నడిచే మార్గం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార గడ్డి భూమి లోపలి కొలతలు
పొడవు = 28 మీ.,
వెడల్పు = 20 మీ.
గడ్డి భూమి చుట్టూ గల బాట వెడల్పు = 2 మీ.
గడ్డి భూమి బయటి కొలతలు పొడవు = 32 మీ.
వెడల్పు = 24 మీ.
బయటి దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= 32 × 24 = 768 చ.మీ.

లోపలి దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 28 × 20 = 560 చ.మీ.
∴ గడ్డి భూమి చుట్టూగల బాట వైశాల్యం = బయటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం – లోపలి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం
= 768 – 560 = 208 చ.మీ.

ప్రశ్న 5.
భవనం 150 సెం.మీ. చతురస్రాకార కిటికీని కలిగి ఉంటుంది. ఈ కిటికీ చుట్టూ 70 సెం.మీ. వెడల్పుతో టైల్స్ అమర్చబడి ఉన్నవి. ఆ అమరికకు ప్రతి చ. సెం.మీ.కు అగు ఖర్చు ₹5. అయితే టైల్స్ యొక్క వైశాల్యం మరియు టైల్స్ అమరికకు అగు మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి.
సాధన.
చతురస్రాకార కిటికీ లోపలి భుజం = 150 సెం.మీ.
చతురస్రాకార కిటికీ బయట టైల్స్ అమర్చిన ప్రాంత, వెడల్పు = 70 సెం.మీ.

చతురస్రాకార కిటికీ వెలుపలి భుజం = 150 + 70 + 70 = 290 సెం.మీ.
∴ బయటి చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= 290 × 290
= 84100 చ.సెం.మీ.
లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం = 150 × 150
= 22500 చ.సెం.మీ.
∴ టైల్స్ అమర్చిన ప్రాంత వైశాల్యం = బయటి చతురస్ర వైశాల్యం – లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం = 84100 – 22500 = 61600 చ.సెం.మీ.
∴ ప్రతి చ.సెం.మీ.కు రూ. 5 వంతున టైల్స్ అమర్చుటకు అవు మొత్తం ఖర్చు = 61600 × 5 = ₹3,08,000

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు మరియు వెడల్పులు వరుసగా 60 మీ., 40 మీ. దాని మధ్యలో రెండు క్రాస్ రోడ్లు, ఒక్కొక్కటి 4 మీ. వెడల్పు గలవి. దాని భుజాలకు సమాంతరంగా కలవు. ఆ రహదారుల వైశాల్యం కనుగొనండి. రోడ్లు నిర్మించడానికి చ.మీ.కు ₹100 చొప్పున ఎంత ఖర్చు అగును ?

సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు పొడవు = 60 మీ.,
వెడల్పు = 40 మీ.
భుజాలకు సమాంతరంగా గల రహదార్ల వెడల్పు = 4 మీ.

∴ EFGH రహదారి పొడవు = 60 మీ.
వెడల్పు = 4 మీ.
వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= 60 ×4 = 240 చ.మీ.
IJKL రహదారి పొడవు = 40 మీ.
వెడల్పు = 4 మీ.
వైశాల్యం = 40 × 4
= 160 చ.మీ.
ఉమ్మడి రహదారి MNOP (చతురస్రాకార) భుజం = 4 మీ.
వైశాల్యం = భుజం × భుజం = 4 × 4 = 16 చ.మీ.
భుజాలకు సమాంతరంగా నిర్మించిన రహదార్ల వైశాల్యం
= EFGH వైశాల్యం + IJKL వైశాల్యం – MNOP వైశాల్యం
= 240 + 160 – 16 = 384 చ.మీ.
చ.మీ.కు ₹ 100 చొప్పున రోడ్లు నిర్మించడానికి అవు ఖర్చు = 384 × 100 = ₹38400.

ప్రశ్న 7.
28 సెం.మీ. వ్యా సార్థం కలిగిన వృత్తాకార ఫోటో ఫ్రేమ్ యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి. దాని అలంకరణకు ప్రతి చ. సెం.మీకి ఖర్చు ₹3గా ఉంటే మొత్తం అలంకరణ అయ్యే మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి.

సాధన.
వృత్తాకార ఫ్రేమ్ వ్యాసార్ధము r = 28 సెం.మీ.
వృత్తాకార ఫ్రేమ్ వైశాల్యం = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × (28)²
= \(\frac{22}{7}\) × 28 × 28 = 2464 చ.సెం.మీ.
ప్రతి చ.సెం. మీకు ₹3 వంతున వృత్తాకార ఫ్రేము అలంకరణకు అవు ఖర్చు = 2464 × 3 = ₹7,392

ప్రశ్న 8.
42 మీ వ్యాసార్థం కలిగిన వృత్తాకార గడ్డిభూమి చుట్టూ బయట 7మీ వెడల్పు గల బాట కలదు. బాట యొక్క వైశాల్యం మరియు ప్రతి చ.మీ ఫ్లోరింగ్ ఖర్చు ₹150 అయితే, ఫ్లోరింగ్ యొక్క మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి.

సాధన.
వృత్తాకార గడ్డిమైదానం లోపలి వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 42 మీ.
వృత్తాకార బాట వెడల్పు (W) = 7 మీ.
గడ్డి మైదాన బయటి వృత్త వ్యాసార్ధము (R) = 42 + 7 = 49 మీ.

బయటి వృత్త వైశాల్యం = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × (49)²
= \(\frac{22}{7}\) × 49 × 49
= 7,546 చ.మీ.
లోపలి వృత్త వైశాల్యం = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × (42)²
= \(\frac{22}{7}\) × 42 × 42
= 5,544 చ.మీ.
∴ బాట వైశాల్యం = బయటి వృత్త వైశాల్యం – లోపలి వృత్త వైశాల్యం
= 7,546 – 5,544 = 2,002 చ.మీ.
ప్రతి చ.మీ.కు ఫ్లోరింగ్ ఖర్చు ₹150 వంతున, బాట ఫ్లోరింగ్ యొక్క మొత్తం ఖర్చు = 2002 × 150 = ₹300300.

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 11 సమతల పటాల వైశాల్యాలు Ex 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు Exercise 11.4

ప్రశ్న 1.
వృత్తాకార పార్క్ వ్యాసార్ధం 40 మీ. దాని చుట్టూ బయట 7 మీ. వెడల్పు బాట కలదు. అయిన ఆ బాట వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
వృత్తాకార పార్కు లోపలి వ్యాసార్ధం r = 40 మీ.
పార్కు చుట్టూ గల బాట వెడల్పు = 7 మీ.
∴ బయటి వృత్తాకార పార్కు బయటి వ్యాసార్ధం R = r + W = 47మీ.
∴ వృత్తాకార బాట వైశాల్యం = బయటి వృత్త వైశాల్యం – లోపలి వృత్త వైశాల్యం

= πR² – πr²
= \(\frac{22}{7}\) × (47)² – \(\frac{22}{7}\) × 40²
= \(\frac{22}{7}\) [47² – 40²]
= \(\frac{22}{7}\) [2209 – 1600]
= \(\frac{22}{7}\) × 609 = 1,914 చ.మీ.

ప్రశ్న 2.
భువనేష్ తన ఇంటిముందు 28 మీ. వ్యాసం గల వృత్తాకార గడ్డి మైదానం నిర్మించెను. దాని చుట్టూ బయట 7 మీ. వెడల్పు గల బాట నిర్మించిన దాని వైశాల్యం కనుగొనుము.
సాధన.
భువనేష్ ఇంటి ముందు గల పార్కు లోపలి వ్యాసం
(d) = 28 మీ.
∴ పార్కు లోపలి వ్యాసార్ధం r = \(\frac{28}{2}\) = 14 మీ.

పార్కు చుట్టూ గల బాట వైశాల్యం = బయటి వృత్త వైశాల్యం – లోపలి వృత్త వైశాల్యం
= πR² – πr²
= π(R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\) (21² – 14²)
= \(\frac{22}{7}\) (441 – 196)
= \(\frac{22}{7}\) × 245 = 770
∴ వృత్తాకార బాట వైశాల్యం = 770 చ.మీ.

ప్రశ్న 3.
12 మీ. వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార వాటర్ ఫౌంటైన్ లోపల 5 మీ. ఫౌంటైన్ కొరకు వాడబడెను. మిగిలిన భాగంను సిమెంట్ చేసారు. సిమెంట్ చేసిన భాగం వైశాల్యంను కనుగొనుము. సిమెంట్ చేయుటకు ఒక చ.మీ.కు ఖర్చు ₹150 చొప్పున సిమెంట్ చేయుటకు అగు మొత్తం ఖర్చు కనుగొనండి.
సాధన.
వృత్తాకార వాటర్ ఫౌంటైన్ బయటి వ్యాసార్ధం
R = 12 మీ.
ఫౌంటైన్ అమర్చిన భాగం వ్యాసార్ధం r = 5 మీ.
సిమెంట్ చేసిన భాగం వైశాల్యం = బయటి వృత్త వైశాల్యం – లోపలి వృత్త వైశాల్యం

= πR² – πr²
= π(R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\) (12² – 5²)
= \(\frac{22}{7}\) (144 – 25)
= \(\frac{22}{7}\) × 119 = 374
∴ సిమెంట్ చేసిన భాగం వైశాల్యం = 374 చ.మీ. ఒక చ.మీ.కు ₹150 చొప్పున సిమెంట్ చేయుటకు అవు మొత్తం ఖర్చు = 374 × 150 = ₹56,100.

ప్రశ్న 4.
వృత్తాకార క్రికెట్ మైదానం వ్యాసార్ధం 55 మీ. మైదానం చుట్టూ లోపల ఆట చూసేవారు కూర్చొనుటకు 5 మీ. లాబీ ఏర్పాటు చేయబడింది. ఆ లాబీ వైశాల్యం కనుగొనుము. లాబీలో కూర్చొనుటకు సీట్ల ఏర్పాటు కొరకు చ.మీ.కు ₹1500 చొప్పున అగు మొత్తం ఖర్చు కనుగొనుము.
సాధన.
వృత్తాకార క్రికెట్ మైదానం బయటి వ్యాసార్ధం
R = 55 మీ.
ఆటచూసేవారు కూర్చొనేందుకు ఏర్పాటు చేసిన లాబీ వెడల్పులు = 5 మీ.
క్రికెట్ మైదానం లోపలి వ్యాసార్ధం r = 50 మీ.
∴ లాబీ వైశాల్యం = బయటి వృత్త వైశాల్యం – లోపలి వృత్త వైశాల్యం

= πR² – πr²
= π(R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\) (55² – 50²)
= \(\frac{22}{7}\) (3025 – 2500)
= \(\frac{22}{7}\) × 525 = 1650
లాబీ వైశాల్యం = 1650 చ.మీ.
లాబీలో సీట్ల ఏర్పాటు కొరకు చ.మీ.కు ₹1500
చొప్పున అవు మొత్తం ఖర్చు = 1650 × 1500
= ₹ 24,75,000

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 11 సమతల పటాల వైశాల్యాలు Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు Exercise 11.3

ప్రశ్న 1.
సైన్స్ ల్యాబ్ లోని వృత్తాకార బల్ల ఉపరితలం యొక్క వ్యాసం 70 సెం.మీ. అయిన దాని వైశాల్యం కనుగొనుము.
సాధన.
సైన్స్ ల్యాబ్ లోని వృత్తాకారబల్ల ఉపరితలం యొక్క వ్యా సము d = 70 సెం.మీ.
∴ వ్యాసార్ధము r = \(\frac{70}{2}\) = 35 సెం.మీ.
∴ వృత్తాకారబల్ల వైశాల్యం πr² = \(\frac{22}{7}\) (35)²

= 3,850 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
వృత్తాకార గోడ చిత్రం వ్యాసార్థం 14 సెం.మీ. అయిన దాని వైశాల్యం కనుగొనుము.

సాధన.
వృత్తాకార గోడచిత్ర వ్యాసార్ధము r = 14 సెం.మీ.
వృత్తాకార గోడచిత్ర వైశాల్యం = πr² = π(14)²

= 616 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
వృత్తాకార డార్ట్ బోర్డ్ వైశాల్యం 1386 చ.సెం.మీ. అయిన దాని వ్యాసార్ధం మరియు వ్యాసం కనుగొనుము.

సాధన.
వృత్తాకార డార్ట్ బోర్డు వైశాల్యం = 1386 చ. సెం.మీ.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = ?
వృత్తాకార డార్ట్ బోర్డు వైశాల్యం πr² = 1386
⇒ \(\frac{22}{7}\) × r² = 1386

⇒ r² = 63 × 7
⇒ r² = 9 × 7 × 7 = 3² × 7²
∴ r = (21)
∴ వృత్తాకార డార్ట్ బోర్డు వ్యాసార్ధము (r) = 21 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
వృత్తాకార ఆకారంలో ఉండే గడియారం యొక్క చుట్టుకొలత 44 సెం.మీ. గడియారం యొక్క వ్యాసార్ధం మరియు ఉపరితల వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
వృత్తాకార గడియారం యొక్క చుట్టుకొలత = 44 సెం.మీ.
గడియారం యొక్క వ్యాసార్ధం r = ?
వైశాల్యం = ?
వృత్తాకార గడియారం చుట్టుకొలత (పరిధి) = 2πr = 44
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 44
⇒ \(\frac{44}{7}\) × 44
∴ r = 44 × \(\frac{7}{44}\)
వ్యాసార్ధము r = 7 సెం.మీ.
వృత్తాకార గడియార ఉపరితల వైశాల్యం = πr²

ప్రశ్న 5.
పార్కులో వృత్తాకార ఆకారంలో ఉండే గడ్డిమైదానం యొక్క చుట్టుకొలత 352 మీ. అయిన ఆ మైదానం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి. ఒకవేళ చ.మీ గడ్డి ఖర్చు రూ. 30 అయితే లాలో గడ్డి వేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి.
సాధన.
వృత్తాకార ఆకారంలోని గడ్డి మైదానం యొక్క చుట్టు
కొలత = 352 మీ.
గడ్డి మైదాన వైశాల్యం = ?
వృత్తాకార గడ్డిమైదానం చుట్టుకొలత = 2πr = 352
⇒ 2 × \(\frac{22}{7}\) × r= 352
⇒ \(\frac{44}{7}\) × r = 352
⇒ r = 352 × \(\frac{7}{44}\)
⇒ r = 56 మీ.
∴ వృత్తాకార గడ్డి మైదానం వైశాల్యం = πr²
24 × (56)
= \(\frac{22}{7}\) × (56)²

= 9856 చ.మీ.
చ.మీ.కు ₹ 30 వంతున లాలో గడ్డి వేయడానికి అవు మొత్తం ఖర్చు = 9856 × 30
= ₹ 2,95,680

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 11 సమతల పటాల వైశాల్యాలు Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
ట్యాబ్ యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పులు వరుసగా 16 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. దాని తెర చుట్టూ లోపల 1 సెం.మీ. వెడల్పు గల నలుపు అంచు కలిగి ఉంది. ఆ నలుపు అంచు యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార ట్యాబ్ యొక్క బయటి కొలతలు
పొడవు = 16 సెం.మీ.,
వెడల్పు = 8 సెం.మీ.
బయటి దీ||చ|| వైశాల్యము = పొడవు × వెడల్పు
= 16 × 8 = 128 చ.సెం.మీ.

చుట్టూగల అంచు వెడల్పు = 1 సెం.మీ.
∴ లోపలి దీ||చ కొలతలు
పొడవు = 16 – 2 = 14 సెం.మీ.
వెడల్పు = 8 – 2 = 6 సెం.మీ.
లోపలి దీ||చ వైశాల్యం = 14 × 6 = 84 చ. సెం.మీ.
∴ నలుపు రంగు అంచు వైశాల్యం = బయటి దీ||చ|| వైశాల్యం – లోపలి దీ||చ|| వైశాల్యం
= 128 – 84 = 44 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
రేవంత్ తన తోటలో 45 మీ పొడవు, 20 మీ వెడల్పుతో ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార లానను కలిగి ఉన్నారు. అతడు ఆ మైదానం వెలుపల చుట్టూ 5 మీ. బాట ఫ్లోరింగ్ చేయాలని అనుకుంటున్నాడు. బాట వైశాల్యం కనుగొనండి. ప్రతి చ.మీ. ఫ్లోరింగ్ చేయుటకు అగు ఖర్చు రూ. 100 అయిన ఫ్లోరింగ్ కు అగు మొత్తం ఖర్చు కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార లాన్ లోపలి కొలతలు
పొడవు = 45 మీ., వెడల్పు = 20 మీ.,
బాట వెడల్పు = 5 మీ.
బయటి దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు
పొడవు = 45 + 5 + 5 = 55 మీ.
వెడల్పు = 20 + 5 + 5 = 30 మీ.
బయటి దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = 55 × 30 = 1650 చ.మీ.
లోపలి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 45 × 20 = 900 చ.మీ.
∴ బాట వైశాల్యం = బయటి దీ||చ|| వైశాల్యం – లోపలి దీ||చ|| వైశాల్యం
= 1650 – 900 = 750 చ.మీ.
చ.మీ.కు ₹ 100 వంతున బాటను ఫ్లోరింగ్ చేయుటకు అవు ఖర్చు = 750 × 100 = ₹75,000.

ప్రశ్న 3.
చతురస్రాకారంలోనున్న నీటి కొలను యొక్క ఉపరితల భుజం 450 సెం.మీ. కొలను చుట్టూ బయట 20 సెం.మీ. వెడల్పు అంచుభాగం సిమెంట్ చేయబడినది. ఆ సిమెంట్ చేయబడ్డ భాగం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి. ఆ భాగం సిమెంట్ చేయడానికి ఒక చ. సెం.మీ.కు అగు ఖర్చు ₹15 అయితే అంచు సిమెంట్, చేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి.
సాధన.
చతురస్రాకార నీటి కొలను లోపలి భుజం = 450 సెం.మీ.
బాట వెడల్పు = 20 సెం.మీ.
∴ చతురస్రాకార నీటి కొలను బయటి భుజం = 450 + 20 + 20 = 490 సెం.మీ.
∴ బయటి చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= 490 × 490 = 2,40, 100 చ.సెం.మీ.
లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం = 450 × 450 = 2,02,500 చ. సెం.మీ.

∴ సిమెంట్ చేయబడ్డ (అంచు) బాట వైశాల్యం
= బయటి చతురస్ర వైశాల్యం – లోపలి చతురస్ర వైశాల్యం
= 240100 – 202500
= 37,600 చ.సెం.మీ.
చ.సెం.మీ. కు ₹15 వంతున (అంచు) బాటకు సిమెంట్ చేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు
= 37,600 × 15 = ₹ 5,64,000

ప్రశ్న 4.
పొడవు మరియు వెడల్పులకు సమాంతరంగా రెండు బాటలు దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు మధ్యలో నిర్మించ బడ్డాయి. పార్కు పొడవు 120 మీ, వెడల్పు 90 మీ. మరియు బాట వెడల్పు 15 మీ. అయితే బాట వైశాల్యం కనుగొనండి. ప్రతి చ.మీ.కు ₹80 చొప్పున ఖర్చు అయిన బాటను చదును చేయుటకు అగు మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి.

సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు పొడవు = 120 మీ.,
వెడల్పు = 90 మీ.,
బాట వెడల్పు = 15 మీ.
EFGH బాట పొడవు = 120 మీ.,
వెడల్పు = 15 మీ.

∴ EFGH బాట వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= 120 × 15 = 1800 చ.మీ.
IJKL బాట పొడవు = 90 మీ.
వెడల్పు = 15 మీ.
IJKL బాట వైశాల్యం = 90 × 15
= 1350 చ.మీ.
ఉమ్మడి బాట MNOP (చతురస్రం) భుజం = 15 మీ.
∴ ఉమ్మడి బాట MNOP వైశాల్యం
= భుజం × భుజం
= 15 × 15 = 225 చ.మీ.
∴ మొత్తం బాట వైశాల్యం = EFGH బాట వైశాల్యం + IJKL బాట వైశాల్యం – MNOP బాట వైశాల్యం
= 1800 + 1350 – 225
= 2925 చ.మీ.
ప్రతి చ.మీ.కు ₹ 80 వంతున బాటను చదును చేయుటకు అవు మొత్తం ఖర్చు
= 2925 × 80 = ₹ 2,34,000.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపించిన విధంగా 28 సెం.మీ. పొడవు మరియు 11 సెం.మీ. వెడల్పు కలిగిన ఫోటో ఫ్రేమ్ చుట్టూ లోపల 3 సెం.మీ. వెడల్పు అలంకరణ చేయబడింది. అలంకరణ యొక్క మొత్తం వైశాల్యం కనుగొనండి. ఒకవేళ ప్రతి చ.సెం.మీ.కి అలంకరణ ఖర్చు ₹2 అయితే అలంకరణకు అగు మొత్తం ఖర్చు కనుగొనండి.

సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార ఫోటో ఫ్రేమ్ బయటి కొలతలు
పొడవు = 28 సెం.మీ.,
వెడల్పు = 11 సెం.మీ.
ఫోటో ఫ్రేము చుట్టూ లోపలగల బాట వెడల్పు = 3 సెం.మీ.
దీర్ఘ చతురస్రాకార ఫోటో ఫ్రేమ్ లోపలి కొలతలు
పొడవు = 28 – 2 × 3 = 28 – 6 = 22 సెం.మీ.
వెడల్పు = 11 – 2 × 3 = 11 – 6 = 5 సెం.మీ.
బయటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= 28 × 11 = 308 చ.సెం.మీ.

లోపలి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం
= 22 × 5 = 110 చ.సెం.మీ.
అలంకరణ గల ఫోటో ఫ్రేమ్ వైశాల్యం = బయటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం – లోపలి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 308 – 110 = 198 చ.సెం.మీ.
అలంకరణకు చ. సెం. మీకు ₹2 వంతున ఫ్రేము అలంకరణకు అవు ఖర్చు = 198 × 2 = ₹396

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 11 సమతల పటాల వైశాల్యాలు Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు Exercise 11.1

ప్రశ్న 1.
దిగువ ఇవ్వబడ్డ లెక్కించండి.
(a)

సాధన.
భూమి b = 6 సెం.మీ.
ఎత్తు h = 3 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) bh

(b)

సాధన.
భూమి b = 4.2 సెం.మీ.
ఎత్తు h = 3.2 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) bh

= 6.72 చ.సెం.మీ.

(c)

సాధన.
లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు a = 3 సెం.మీ.
b = 4 సెం.మీ.
లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) ab

(d)

సాధన.
భూమి b = 5 సెం.మీ.
ఎత్తు h = 2 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) bh

= 5 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
భూమి 3.8 సెం.మీ., ఎత్తు 4.6 సెం.మీ. గా గల త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనుము.
సాధన.
భూమి b = 3.8 సెం.మీ.
ఎత్తు h = 4.6 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) bh

= 8.74 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
త్రిభుజాకారంలో ఉన్న కిటికీ వైశాల్యం 24 చ.మీ. మరియు ఎత్తు 6 మీ. అయిన దాని భూమి కొలతను కనుగొనుము. దానికి అద్దం బిగించుటకు ఒక చ.మీ.కి ₹250 చొప్పున కిటికీ అద్దం బిగించుటకు అయ్యే ఖర్చు కనుగొనండి.
సాధన.
త్రిభుజాకారంలోని కిటికీ వైశాల్యము = 24 చ.మీ.
ఎత్తు h= 6 మీ.
భూమి b = ?
త్రిభుజాకార కిటికీ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) bh = 24

⇒ 3b = 24
⇒ b = \(\frac{24}{3}\) = 8 మీ.
∴ కిటికీ భూమి (b) = 8 మీ.
అద్దం బిగించుటకు చ.మీ.కి ₹ 250 చొప్పున కిటికీ అద్దం బిగించుటకు అవు ఖర్చు
= 24 × 250 = ₹ 6000

ప్రశ్న 4.
త్రిభుజాకార ట్రాఫిక్ సిగ్నల్ ప్లేట్ భూమి 20 సెం.మీ., ఎత్తు 15 సెం.మీ. అయిన దాని వైశాల్యం కనుగొనండి. మరియు దానికి ఒకవైపు రంగు వేయుటకు ఒక చ.సెం.మీ.కి ₹2 చొప్పున అయ్యే మొత్తం ఖర్చును కనుగొనండి.

సాధన.
త్రిభుజాకార ట్రాఫిక్ సిగ్నల్ ప్లేటు భూమి b = 20 సెం.మీ.
ఎత్తు h = 15 సెం.మీ.
వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) bh

= 150 చ.సెం.మీ.
∴ ఒక వైపు రంగు వేయుటకు చ.సెం.మీ.కు ₹ 2
చొప్పున అవు మొత్తం ఖర్చు = 150 × 2 = ₹300

ప్రశ్న 5.
భూమి 24 మీ. మరియు ఎత్తు 38 మీ. గా గల త్రిభుజాకార గోడచిత్రం వైశాల్యం కనుగొనండి. దానికి రంగు వేయుటకు చ.మీ.కి 150 చొప్పున అయ్యే ఖర్చు కనుగొనండి.

సాధన.
త్రిభుజాకార గోడ చిత్రం భూమి. b = 24 మీ.
ఎత్తు h = 38 మీ.
త్రిభుజాకార గోడచిత్ర వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) bh

∴ గోడ చిత్రానికి రంగు వేయుటకు చ.మీ.కు ₹ 50 చొప్పున 456 చ.మీ.కు అయ్యే మొత్తం ఖర్చు
= 456 × 50 = ₹ 22,800

ప్రశ్న 6.
త్రిభుజాకారంలో గల ఇంటి ఎలివేషన్ వైశాల్యం 195 చ.మీ. దాని భూమి 26 మీ. అయిన ఎలివేషన్ ఎత్తు కనుక్కోండి. దానిని సిమెంటుతో చదును చేయుటకు చ.మీ.కి ₹250 చొప్పున అయ్యే మొత్తం ఖర్చు కనుగొనండి.
సాధన.
త్రిభుజాకార ఇంటి ఎలివేషన్ వైశాల్యం = 195 చ.మీ.
భూమి b = 26 మీ. ఎత్తు h = ?
త్రిభుజాకార ఇంటి ఎలివేషన్ = \(\frac{1}{2}\) bh = 195

త్రిభుజాకార ఇంటి ఎలివేషన్ ఎత్తు h = 15 మీ.
ఇంటి ఎలివేషను సిమెంట్ తో చదును చేయుటకు చ.మీ.కి ₹ 250 చొప్పున అయ్యే మొత్తం ఖర్చు
= 195 × 250 = ₹ 48,750

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 11 సమతల పటాల వైశాల్యాలు Review Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు Review Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది పట్టికలో ఇచ్చిన సూచనలకనుగుణంగా లేని విలువలను కనుగొని ఖాళీలను పూరించండి
(i)

సాదన

(ii)

సాదన

(iii)

సాదన

(iv)

సాదన

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 10 త్రిభుజాల నిర్మాణం InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం InText Questions

[పేజీ నెం. 134]

ప్రక్క చిత్రమును చూసి, ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:

ప్రశ్న 1.
మీ నిత్యజీవితంలో త్రిభుజాకారంలో ఉన్న కొన్ని వస్తువుల పేర్లు తెలపండి.
జవాబు
సమోసా, చపాతి, ఇంటి పైకప్పు, వంతెన ట్రస్సులు, భవనం టెస్సెలేషన్స్,

ప్రశ్న 2.
చిత్రంలో కనపడు త్రిభుజాల రకాలు ఏవి?
జవాబు
లంబకోణ త్రిభుజాలు, సమబాహు త్రిభుజాలు.

ప్రశ్న 3.
అన్ని త్రిభుజాలు వాటి ధర్మాలననుసరించి ఒకేరకంగా కనిపిస్తున్నాయని అనుకుంటున్నారా ? అవి ఏవి ?
జవాబు
అవును. అన్ని త్రిభుజాలు ఒకే రకంగా కనిపిస్తున్నాయి. ఎందువలననగా ఆ త్రిభుజాలు
(a) లంబకోణం
(b) సమాన భుజం మరియు
(c) సమాన కర్ణం కలిగి ఉంటాయి.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 138]

ప్రశ్న 1.
XY = 4 సెం.మీ ఉండునట్లు సమబాహు త్రిభుజం ∆XYZను నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానక్రమం:

1. చిత్తు పటాన్ని గీచి, కొలతలను గుర్తించాలి.
2. XY = 4 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.
3. ‘X’ కేంద్రంగా 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపరేఖ గీయాలి.
4. ” కేంద్రంగా 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో పై చాపరేఖను ఖండిస్తూ మరొక చాపరేఖను గీయాలి. ఖండన బిందువును ‘Z’ గా గుర్తించాలి.
5. XZ, YZ లను కలపాలి. మనకు కావలసిన ∆XYZ ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 2.
PQ = PR = 3 సెం.మీ, QR = 5 సెం.మీ కొలతలతో సమద్విబాహు త్రిభుజం ∆PQR ను నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానక్రమం:

1. చిత్తు పటంను గీచి, ఇచ్చిన కొలతలను గుర్తించాలి.
2. PQ = 3 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.
3. P కేంద్రంగా 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపరేఖను గీయాలి.
4. Q కేంద్రంగా 5 సెం.మీ. వ్యాసార్థంతో పై చాపరేఖను ఖండిస్తూ మరొక. చాపరేఖను గీచి, ఖండన బిందువును R గా గుర్తించాలి.
5. PR, QR లను కలపాలి. మనకు కావలసిన ∆POR ఏర్పడినది.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 138]

AB = 4 సెం.మీ., BC = 5 సెం.మీ. మరియు CA = 10 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించగలమా?
సాధన.
AB = 4. సెం.మీ., BC = 5 సెం.మీ. మరియు CA = 10 సెం.మీ.
ఒక త్రిభుజంలో ఏ రెండు భుజాల మొత్తమయినా, మూడవ భుజం కన్నా ఎక్కువ ఉండాలి.
AB + BC = 4 సెం.మీ. + 5 సెం.మీ.
= 9 సెం.మీ. < 10 సెం.మీ.
AB + BC < AC
కావున, ఇవ్వబడిన కొలతలు ∆ABC త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచవు.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 144]

ప్రశ్న 1.
MA = 5.5 సెం.మీ., MT = 4 సెం.మీ. మరియు ∠M = 70° కొలతలతో త్రిభుజం MATని గీయండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానక్రమం:

1. చిత్తుపటాన్ని గీచి, ఇచ్చిన కొలతలను గుర్తించాలి.
2. MA = 5.5 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.
3. ∠AMX = 70° ఉండునట్లు MT కిరణాన్ని గీయాలి.
4. M కేంద్రంగా 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overrightarrow{\mathrm{MT}}\) పై
   ఒక చాపరేఖను గీచి, ఖండన బిందువును T గా గుర్తించాలి.
5. AT లను కలుపగా మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆MAT ఏర్పడినది.

అన్వేషిద్దాం [పేజి నెం. 144]

ప్రశ్న 1.
AB = 7 సెం.మీ., ∠B = 60° మరియు ∠C = 70° కొలతలతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
AB = 7 సెం.మీ. ఇవ్వడం వలన మనకు ∠A, ∠B కోణాల విలువ తెలిసినపుడు త్రిభుజాన్ని గీయగలము. అయితే ∠A విలువ ఇవ్వలేదు. అయితే ∠B = 60°, ∠C = 70° ఇవ్వడం జరిగినది. ఈ కోణాల సహాయంతో మనం ∠A ను కనుగొని, తర్వాత నిర్మాణం పూర్తి చేయాలి.
∆ABC లో
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 60° + 70° = 180°
∠A + 130° = 180°
∴ ∠A = 180° – 130°
∴ ∠A = 50°

నిర్మాణ సోపానక్రమం:

1. చిత్తుపటాన్ని గీచి, ఇచ్చిన కొలతలను గుర్తించాలి.
2. ∠A = 50° ఉండునట్లు \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ని గీయాలి.
3. ∠B = 60° ఉండునట్లు \(\overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ని గీయాలి. రెండింటి ఖండన బిందువును ‘C’ గా గుర్తించాలి.
4. మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 146]

ప్రశ్న 1.
∠A = 90°, ∠C = 50° మరియు AC = 8 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABCని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానక్రమం :

1. చిత్తుపటాన్ని గీచి, ఇచ్చిన కొలతలను గుర్తించాలి.
2. AC = 8 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.
3. ∠A = 90° లతో ఒక AX కిరణాన్ని గీయాలి.
4. ∠C = 50° లతో ఒక CY కిరణాన్ని గీయాలి.
   ఈ రెండు కిరణాల ఖండన బిందువును B గా గుర్తించాలి.
5. మనకు కావలసిన లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABC ఏర్పడినది.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 146]

100°, 95° కోణాల కొలతలు మరియు నీకు నచ్చిన భుజం కొలతతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగలమా?
సాధన.
100°, 95°
కోణాల కొలతలు మరియు ఇచ్చిన భుజం కొలతతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించలేము.
కారణం: ఇచ్చిన కోణాల మొత్తం = 100° + 95° = 195°
కాని త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం 180°.

తార్కిక విభాగం త్రిభుజాలను లెక్కించడం [పేజి నెం. 150]

ఉదాహరణ

ప్రశ్న 1.
AB = 6 సెం.మీ, BC = 4 సెం.మీ మరియు AC = 5 సెం.మీ భుజాలుగా గల ∆ABC లను గీయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 2.
∠F = 70°, EF = 4 సెం.మీ. మరియు FD = 5 సెం.మీ. కొలతలతో ∆EFD ను నిర్మించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
AB = 6 సెం.మీ, BC = 1 సెం.మీ, ∠BAC = 80° కొలతలతో ∆ABC ని నిర్మించండి.
సాధన.
సోపానం-1: ∆ABC చిత్తుపటమును గీచి కొలతలు గుర్తించి పేర్లు రాయండి.
సోపానం-2: AB = 6 సెం.మీ ఉండునట్లు రేఖాఖండం గీయండి.
సోపానం-3: ∠BAX = 80° ఉండునట్లు ఒక కిరణం AX ను గీయండి.
సోపానం-4: B కేంద్రంగా 7 సెం.మీ వ్యాసార్ధంతో AX కిరణమును C వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపరేఖను గీయండి.
సోపానం-5: B, C లను కలిపిన మనకు కావల్సిన త్రిభుజం ∆ABC ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 4.
XY = 4 సెం.మీ, XZ = 6.5 సెం.మీ మరియు ∠Y= 90°ల కొలతలతో లంబకోణ త్రిభుజం ∆XYZ గీయండి.
సాధన.
సోపానం-1: ∆XYZ చిత్తుపటం గీసి, కొలతలను గుర్తించి పేర్లు రాయండి.
సోపానం-2: XY = 4 సెం.మీ ఉండేటట్లు ఒక రేఖాఖండమును గీయండి.
సోపానం-3: ∠XYP = 90° ఉండేటట్లు YP కిరణమును గీయండి.
సోపానం-4: X కేంద్రంగా 6.5 సెం.మీ వ్యాసార్ధంతో YP కిరణాన్ని Z వద్ద ఖండించునట్లు, ఒక చాపరేఖను గీయండి.
సోపానం-5: X, Z లను కలిపిన మనకు కావల్సిన త్రిభుజం ∆XYZ ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 5.
PE = 7 సెం.మీ., ∠PEN = 25° మరియు ∠EPN = 60° కోలతలతో ∆PEN ను గీయండి.
సాధన.
సోపానం-1: ఇచ్చిన కొలతలతో త్రిభుజం చిత్తుపటం గీసి, కొలతలను గుర్తించి పేర్లు రాయండి.
సోపానం-2: PE = 7 సెం.మీ తో ఒక రేఖాఖండం గీయండి.
సోపానం-3: ∠EPX = 60° ఉండునట్లు ఒక కిరణం \(\overrightarrow{\text { PX }}\) ను గీయండి.
సోపానం-4: ∠PEY = 25° ఉండునట్లు మరొక కిరణం \(\overrightarrow{\text { EY }}\) గీయండి.
సోపానం-5: \(\overrightarrow{\text { PX }}\), \(\overrightarrow{\text { EY }}\) కిరణాల ఖండన బిందువును ‘N’ గా గుర్తించండి.
మనకు కావలసిన ∆PEN ఏర్పడినది.
(అవసరమైనచో కిరణాలను ఖండించుకొనునట్లు పొడిగించండి.)

ప్రశ్న 6.
MP = 4 సెం.మీ., ∠P = 45° మరియు ∠C = 80° కొలతలతో ∆MPC ని గీయండి.
సాధన.
ఇప్పుడు, మనం మూడవ కోణాన్ని కనుగొనాలి.
C సోపానం-1 త్రిభుజంలో 3 కోణాల మొత్తం 180° అని మనకు తెలుసు.
కావున, ∠M + ∠P + ∠C = 180°
⇒ ∠M + 45° + 80° = 180°
⇒ ∠M + 125° = 1800
⇒ ∠M = 180° – 125° = 55°

సోపానం-1: ఇచ్చిన కొలతలతో త్రిభుజం చిత్తుపటం గీసి, కొలతలను గీసి, గుర్తించి పేర్లు రాయండి.
సోపానం-2: MP = 4 సెం.మీ తో ఒక రేఖాఖండమును గీయండి.
సోపానం-3: ∠PMX = 55° ఉండునట్లు ఒక కిరణం MX గీయండి.
సోపానం-4: ∠MPY = 45° ఉండునట్లు మరొక కిరణం PY గీయండి.
సోపానం-5: MX, PY కిరణాల ఖండన బిందువును ‘C’ గా గుర్తించండి. (అవసరమైనచో కిరణాలను పొడిగించండి) మనకు కావలసిన ∆MPC ఏర్పడినది.
సరిచూచుట: ∠C కొలత 80° ఉన్నదో లేదో కోణమానిని ఉపయోగించి సరిచూడండి.

సాధనా ప్రశ్నలు [పేజీ నెం. 156]

క్రింద ఇవ్వబడిన పటాలలో ఎన్ని త్రిభుజాలున్నాయో కనుగొనండి.

ప్రశ్న 1.

(a) 8
(b) 9
(c) 10
(d) 12
సాధన.
(b) 9

వివరణ:
(i) శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజానికి గీచిన రేఖాఖండాలు 2.
కావున ఏర్పడే త్రిభుజాలు 1 + 2 + 3 = 6.
(ii) శీర్షం నుంచి గీచిన రెండు రేఖాఖండాలకు అడ్డంగా భూమికి
సమాంతరంగా గీచిన రేఖాఖండం ఒకటి.
కావున ఏర్పడే త్రిభుజాలు 1 + 2 = 3
∴ మొత్తం త్రిభుజాలు 6 + 3 = 9

ప్రశ్న 2.

(a) 60
(b) 65
(c) 84
(d 90
సాధన.
(a) 60

వివరణ:
అడ్డువరుసల సంఖ్య = 4
ప్రతీ అడ్డువరుసలోని త్రిభుజాల సంఖ్య = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
∴ మొత్తం. త్రిభుజాల సంఖ్య = 4 × 15 = 60

ప్రశ్న 3.

(a) 12
(b) 13
(c) 14
(d) 15
సాధన.
(b) 13

వివరణ: త్రిభుజాల సంఖ్య = 4n + 1, n = 3
= 4(3) + 1 = 12 + 1 = 13
(ఇక్కడ n. బయటి త్రిభుజంలో పొందుపరచబడిన త్రిభుజాల సంఖ్య)

ప్రశ్న 4.

(a) 16
(b) 13
(c) 9
(d) 7
సాధన.
(a) 16

వివరణ:
బయటి త్రిభుజంలోని చిన్న త్రిభుజాలు = 6
3 శీర్షాల నుండి ఎదుటి భుజానికి గీచిన రేఖాఖండంతో ఏర్పడే త్రిభుజాలు = 3 × 2 = 6
ప్రతి భుజంపైన పై 3 రేఖాఖండాల ఖండన బిందువుతో ఏర్పడే త్రిభుజాలు = 3 × 1 = 3
వెలుపలి త్రిభుజము = 1
∴ మొత్తం త్రిభుజాలు = 6 + 6 + 3 + 1 = 16

ప్రశ్న 5.

(a) 21
(b) 23
(c) 25
(d) 29
సాధన.
(d) 29.

వివరణ:
3 చతురస్రాలు కలవు, ప్రతి చతురస్రంలోని కర్ణాలు = 2
ప్రతి చతురస్రంలోని భాగాల సంఖ్య = 4
ఒక్కొక్క చతురస్రంలోని త్రిభుజాల సంఖ్య = 2 × 4 = 8
∴ 3 చతురస్రాలలోని త్రిభుజాలు = 3 × 8
అడ్డంగా గల రెండు చతురస్రాలలో ఏర్పడే త్రిభుజాలు = 2

ప్రశ్న 6.

(a) 10
(b) 19
(c) 21
(d) 23
సాధన.
(c) 21

వివరణ:

చతుర్భుజంలోని కర్ణాలు = 2
చతుర్భుజంలోని భాగాలు = 8
మొత్తం త్రిభుజాలు = 2 × 8
పైనున్న త్రిభుజంలోని త్రిభుజాలు = 1 + 2
చతురస్రము, పైనున్న త్రిభుజంలో ఏర్పడే త్రిభుజాలు
మొత్తం త్రిభుజాల సంఖ్య

ప్రశ్న 7.

(a) 5
(b) 6
(c) 8
(d) 10
సాధన.
(c) 8

వివరణ:
బయట ఉన్న చిన్న త్రిభుజాలు = 5
మూడు రేఖాఖండాలపై ఏర్పడే త్రిభుజాలు = 3
మొత్తం

ప్రశ్న 8.

(a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 12
సాధన.
(a) 9

వివరణ: చతురస్రంలోని కర్ణాలు = 2, విభాగాలు = 4
చతురస్రంలోని త్రిభుజాలు = 4 × 2 = 8
చతురస్రం పైన త్రిభుజాలు = 1

మొత్తం

ప్రశ్న 9.

(a) 19
(b) 20
(c) 16
(d) 14
సాధన.
(a) 19

వివరణ:

శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజానికి గీచిన 3 రేఖాఖండాలతో ఏర్పడే భాగాలు 4.
కావున ఏర్పడే త్రిభుజాలు = 1 + 2 + 3 + 4
క్రింది భాగంలోని అడ్డు రేఖతో ఏర్పడే భాగాలు 2, కావున ఏర్పడే త్రిభుజాలు = 1 + 2 = 3
పై అడ్డు రేఖతో ఏర్పడే త్రిభుజాలు = 1 + 2 + 3
మొత్తం

ప్రశ్న 10.

(a) 56
(b) 48
(c) 32
(d) 60
సాధన.
(b) 48

వివరణ:
మొత్తం త్రిభుజాల సంఖ్య = \(\frac{n(n+2)(2 n+1)}{8}\) లోని పూర్ణాంక భాగం.
[ఇక్కడ 1, త్రిభుజ భుజంపై గల త్రిభుజాల సంఖ్య. ∴ n = 5]
= \(\frac{5(5+2)(10+1)}{8}\)
= \(\frac{5 \times 7 \times 11}{8}\) = \(\frac{385}{2}\)
= 48.125 లో పూర్ణాంక భాగం = 48.
∴ మొత్తం త్రిభుజాల సంఖ్య = 48.