AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి 1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ∀ n ∈ N సూత్రాన్ని నిరూపించండి.
సాధన:
1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం. ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 1³ = \(\frac{1^2(1+1)^2}{4}\) = 1 = 1³
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = \(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\) అని చూపాలి.
అంటే
S(k + 1) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³
= S(k) + (k + 1)³
= \(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\) + (k + 1)³
= (k + 1)² \(\left[\frac{k^2}{4}+(k+1)\right]\)
= \(\frac{(k+1)^2\left(k^2+4 k+4\right)}{4}\)
= \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 2.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి
\(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\), ∀ n ∈ N సూత్రాన్ని నిరూపించండి.
సాధన:
1² + 3² + 5² + …… + (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\)
∀ n ∈ N అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1² = \(\frac{1(2-1)(2+1)}{3}\) = 1
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం. (i.e.,)
S(k) = 1² + 3² + 5² + ….. + (2k – 1)² = \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(2 k+1)(2 k+3)}{3}\) అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = 1² + 3² + 5² + ….. + (2k – 1)² + (2k + 1)²
= S(k) + (2k + 1)²
= \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\) + (2k + 1)²

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి ∀ n ∈ N కు p (n) నిజం.
i.e., \(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\), ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 3.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి 2 + 3.2 + 4.2² + ………. (n పదాల వరకు)= n. 2ⁿ, ∀ n ∈ N నిరూపించండి. [May 07]
సాధన:
2 + 3.2 +4.2² + … + (n + 1). 2^n-1 = n . 2ⁿ
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 2 = (1). 2¹
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 3.2 + 4.2² + …. + (k + 1). 2^k-1 = k. 2^k
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = (k + 1) . 2^k+1 అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 3.2 + 4.2² + ….. + (k + 1)2^k+1 +(k + 2) . 2^k
= S(k) + (k + 2). 2^k
= k. 2^k + (k + 2) 2^k
= (k + k + 2) 2^k
= 2(k + 1). 2^k = 2^k+1 (k + 1)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి, n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e..) సూత్రం
2 + 3.2 + 4.2² + … + (n + 1)2^n-1
= n.2ⁿ ∀ n ∈ N.

ప్రశ్న 4.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి
\(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + ………… (n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{3 n+1}\) ∀ n ∈ N అని చూపండి. [May. 11; Mar ’05]
సాధన:
1, 4, 7, …… లు A.P. లో ఉన్నాయి..
nవ పదం 1 + (n – 1) 3 = 3n – 2
4, 7, 10, … లు A.P. లో ఉన్నవి. n వ పదం
= 4+ (n – 1)3 = 3n+ 1
∴ దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = \(\)
\(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+\ldots . .+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.4}=\frac{1}{3(1)+1}=\frac{1}{4}\)
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు p (n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e) S(k) = \(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + …………. + \(\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}\) = \(\frac{k}{3 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{k+1}{3 k+4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + …………. + \(\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}\) + \(\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}\)

ప్రశ్న 5.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి (2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n≥ 5, అని చూపండి.
సాధన:
(2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n ≥ 5, n ∈ N అనేది P(n) అనుకొందాం.
ఇక్కడ అనుగమన ఆధారం 5 అని గమనిద్దాం.
(2.5 – 3) ≤ 2^{5 – 2} అనేది స్పష్టం. కాబట్టి n = 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k, k ≥ 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొందాం.
so (2K – 3) ≤ 2^{k – 2}, k ≥ 5.
n = k + 1, k ≥ 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
so, k ≥ 5 [2(k + 1)-3] ≤ 2^{(k + 1)-2} అని చూపాలి.
[2(k + 1) − 3] = (2k – 3) + 2 అని గమనించవచ్చు.
≤ 2^{k – 2} + 2, (అనుగమన ఊహ నుంచి)
≤ 2^{k – 2} + 2^{k – 2}, for k ≥ 5
= 2.2^{k – 2}
= 2^{(k + 1)-2}
∴ n = k + 1, k ≥ 5 కు P(n) ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి, n ≥ 5, n ∈ N విలువలన్నింటికి P(n) నిజం.
అంటే, (2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n ≥ 5, n ∈ N.

ప్రశ్న 6.
x ≠ 0, x > -1 అయితే గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతి n ≥ 2 కు (1 + x)ⁿ > 1 + nx, n ∈ N అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ > 1 + nx అనేది ప్రవచనం P (n) అనుకొందాం.
ఇక్కడ అనుగమన ఆధారం 2 అని గమనిద్దాం.
ఇంకా x ≠ 0, x > -1 ⇒ 1 + x > 0.
(1 + x)² = 1 + 2x + x² > 1 + 2x కాబట్టి n = 2 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k, k ≥ 2 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొందాం.
అంటే, (1 + x)^k > 1 + k x, k ≥ 2.
n = k + 1 దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
అంటే (1 + x)^{k + 1} > + (k + 1)x చూపాలి.
(1 + x)^{k + 1} = (1 + x)^k. (1 + x) అని గమనించవచ్చు.
> (1 + kx) . (1 + x), (అనుగమన ఊహ నుంచి)
> (1 + kx). (1 + x),
= 1 + (k + 1)x + kx²
> 1 + (k + 1)x, (kx² > 0 కాబట్టి)
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి
n ≥ 2, n ∈ N విలువ లన్నింటికి P(n) నిజం.
అంటే, (1 + x)ⁿ > 1 + nx, n ∈ N, y ≥ 2, x > – 1, x ≠ 0.

ప్రశ్న 7.
x, y లు వాస్తవ సంఖ్యలు, x ≠ y అయితే, n అన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలకు xⁿ – yⁿ ను x y భాగిస్తుందని చూపండి. [ June ’04]
సాధన:
“xⁿ – yⁿ ను (x – y) భాగిస్తుంది.” అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
x¹ – y¹ = x − y ని (X – y) భాగిస్తుంది. కాబట్టి
∴ n = 1 కు ప్రవచనం నిజం. ·
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
అంటే x^k – y^k ను – y భాగిస్తుంది.
∴ x^k – y^k = (x – y) p అయ్యేటట్లు పూర్ణాంకం
p ఉంటుంది. ……………. (1)
n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.’
అంటే x^{k + 1} – y^{k + 1} ను x – y భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
x^k – y^k m (x – y)p కనుక
x^k = y^k + (x + y)p
∴ x^{k + 1} = y^k . x + (x – y)px
⇒ x^{k + 1} – y^{k + 1} = y^k . x + (x – y)p x – y^{k + 1}
= ( x – y)px + y^k (x – y)
= (x – y) [px + y^k]
(ఇక్కడ px + y^k పూర్ణాంకం)
∴x^{k + 1} – y^{k + 1} ను x – y భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం..
: గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, n అన్ని ధన పూర్ణాంకాలకు p(n) నిజం. అంటే, ∀ n ∈ Nకు
(i. e.,) xⁿ – yⁿ ను x y భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక బేసి సహజ సంఖ్య, x, y లు సహజ సంఖ్యలు అయితే x^m + y^m ను x + y భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
m ఒక బేసి సంఖ్య కాబట్టి m = 2n + 1 అయ్యేటట్లు ఒక రుణేతర పూర్ణాంకం n ఉంటుంది.
“x^{2n + 1} + y^{2n + 1} ను x + y భాగిస్తుంది. అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
x¹ + y¹ = x + y ని x + y భాగిస్తుంది.
కాబట్టి దత్త ప్రవచనం n = 0 కు నిజం.
x²⁽¹⁾⁺¹ + y²⁽¹⁾⁺¹ = x³ + y³; = (x + y) (x² – xy + y²)
కాబట్టి x³ + y³) ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ n = 1 అయితే, దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
అంటే x^{2k + 1} + y^{2k + 1} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)p, అయ్యేటట్లు ఒక
పూర్ణాంకం p ఉంటుంది. ……………. (1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
అంటే x^{2k + 3} + y^{2k + 3} ను (x + y) భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)p కనుక
x^{2k + 1} = (x + y)p – y^{2k + 1}
x^{2k + 1} . x² = (x + y)p x² – y^{2k + 1} . x²
∴ x^{2k + 3} = (x + y)px² – y^{2k + 1} . x²
∴ x^{2k + 3} + y^{2k + 3} = (x + y)p . (x²) – y^{2k + 1} . x² + y^{2k + 3}
= (x + y) p . x² – y^{2k + 1} (x² – y²)
= (x + y)px² – y^{2k + 1} . (x + y)(x – y)
= (x + y)[px² – y^{2k + 1} (x – y)]
ఇక్కడ [p x² – y^{2k + 1} (x – y)] ఒక పూర్ణంకం
∴ x^{2k + 3} + y^{2k + 3} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n యొక్క అన్ని రుణేతర పూర్ణాంకాలకు ప్రవచనం p(n) నిజం.
అంటే n యొక్క అన్ని రుణేతర పూర్ణాంక విలువలకు x^{2n + 1} + y^{2n + 1} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
(i.e..) m ఒక బేసి సహజ సంఖ్య అయితే, x^m + y^m ను (x + y) భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
n అన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలకు 49ⁿ + 16n – 1 ని 54 భాగిస్తుందని చూపండి. [May 05]
సాధన:
“49ⁿ + 16n – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.” అనే ప్రవచనాన్ని
p(n) అనుకుందాం.
49¹ + 16 (1) – 1 – 64 ను 64 భాగిస్తుంది.
కాబట్టి n = 1 దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కుp(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e..) 49^k + 16k – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
(49^k + 16k – 1) = 64t, t ∈ N ………….. (1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 ని 64 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
49^k + 16k – 1 = 64t
∴ 49^k = 64t – 16k + 1
∴ 49^k . 49 = (64t – 16k + 1). 49
∴ 49^{k + 1} + 16 (k + 1) – 1
= (64t – 16k + 1) 49 + 16 (k + 1) − 1
∴ 49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 = 64 (49t – 12k + 1)
ఇక్కడ (49t – 12k + 1) పూర్ణాంకం.
∴ 49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
∴ nk + 1 p(n) నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి n ∈ N, అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) ∀ n ∈ N, 49ⁿ + 16n – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
ప్రతి n ∈ N కు, 2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ను 11 భాగిస్తుంది.
సాధన:
“2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ను 11 భాగిస్తుంది.”
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
2.4^{(2.1 + 1)} + 3^{(3.1 + 1)} = 2.4³ + 3⁴
= 2(64) + 81
= 209 = 11 × 19 ని 11 భాగిస్తుంది.
∴ n = 1 కు p(n) నిజం.
n = k కి p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k + 1)} ని 11 భాగిస్తుంది.
2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k + 1)} = (11)t, t పూర్ణాంకం. ……………… (1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} ని 11 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k+ 1)} = 11t
∴ 2.4^{(2k + 1)} = 11t – 3^{(3k + 1)}
∴ 2.4^{(2k + 1)} . 4² = (11t – 3^{(3k + 1)}) . 4²
2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} = (11t – 3^{(3k+ 1)}) 16 + 3^{(3k + 4)}
= (11t) (16) + 3^{(3k + 1)}[27 – 16]
= 11[16t + 3^3k+1]
ఇక్కడ 16t + 3^{(3k + 1)} పూర్ణాంకం.
∴ 2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} ని 11 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు p(n) నిజం.
∴గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ని 11 భాగిస్తుంది. ∀n ∈ N.