AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Ex 3(i)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(i) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(i)

కింది సమఘాత సమీకరణ వ్యవస్థలను సాధించండి.

Question 1.
12x + 3y – z = 0, x – y – 2z = 0, 3x + y + 3z = 0
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
నిర్ధారకం \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
= 2(-3 + 2) – 3(3 + 6) – 1(1 + 3)
= -2 – 27 – 4
= -33 ≠ 0, ρ(A) = 3
కాబట్టి దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

Question 2.
3x + y – 2z = 0, x + y + z = 0, x – 2y + z = 0
సూచన: గుణక మాత్రిక నిర్ధారకం సున్న కాకపోతే దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right]\)
\(\left|\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right|\) = 3(1 + 2) – 1(1 – 1) – 2(-2 – 1)
= 9 + 6
= 15 ≠ 0, ρ(A) = 3
కాబట్టి దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

Question 3.
x + y – 2z = 0, 2x + y – 3z = 0, 5x + 4y – 9z = 0
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\) = A అనుకొనుము.
|A| = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right|\)
= 1(9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2(8 – 5)
= 3 + 3 – 6
= 0
∴ A కోటి = 2, ఉప మాత్రిక, \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) సాధారణ మాత్రిక, మాత్రిక 3 కనుక.
దత్త వ్యవస్థకు తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\)
R₂ → R₂ – 2R₁, R₃ → R₃ – 3R₁ చేస్తే,
A ~ \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -1
\end{array}\right]\)
తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థ
x + y – 2z = 0
-y + z = 0
z = k అనుకొంటే, y = k, x = k
∴ x = y = z = k, k ఒక వాస్తవ సంఖ్య.

Question 4.
x + y – z = 0, x – 2y + z = 0, 3x + 6y – 5z = 0.
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – 3R₁
A ~ \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & 2 \\
0 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
⇒ det A = 0 [∵ R₂ = -R₃]
కోటి (A) = 2, ఉపమాత్రిక \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & -3
\end{array}\right]\) సాధారణ మాత్రిక
కనుక. [∵ ρ(A) = 2]
కాబట్టి దత్త సమీకరణ వ్యవస్థ తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థ
x + y – z = 0
3y – 2z = 0
z = k అయిన, y = \(\frac{2 k}{3}\), x = \(\frac{k}{3}\)
∴ x = \(\frac{k}{3}\), y = \(\frac{2 k}{3}\), z = k
k ఒక వాస్తవ సంఖ్య.