Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(c) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(c)
అభ్యాసం – 5(సి)
I.
ప్రశ్న 1.
ఏడుగురు వ్యక్తులను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
వ్యక్తుల సంఖ్య (n) = 7
7 గురు వ్యక్తులు ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ కూర్చునే విధాల సంఖ్య = (n – 1)! = 6! = 720
ప్రశ్న 2.
ఒక రాష్ట్రంలో 10 మంది మంత్రులను, ముఖ్యమంత్రిని ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ ముఖ్యమంత్రి ఎప్పుడూ నిర్ధేశించిన స్థానంలో మాత్రమే ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
మొత్తం వ్యక్తుల సంఖ్య = 1 + 10 = 11
11 మంది వ్యక్తులు ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ కూర్చునే విధాల సంఖ్య = (11 – 1)! = 10!
ఈ 11 మంది వ్యక్తులలో ముఖ్యమంత్రి నిర్దేశించిన స్థానంలో మాత్రమే కూర్చోవాలి. కనుక ముఖ్యమంత్రి ఒకే ఒక విధంగా కూర్చోవచ్చు.
∴ కావలసిన వృత్తాకార ప్రసారాల సంఖ్య = (10)! × 1 = (10)!
ప్రశ్న 3.
6 వేర్వేరు రంగుల పూసలలో ఎన్నిరకాలుగా గొలుసులు తయారు చేయవచ్చు? [Mar. ’08]
సాధన:
n విభిన్న వస్తువులతో ఏర్పరచగల వేలాడే రకం వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\)(n – 1)!
కనక ఇచ్చిన 6 వేర్వేరు రంగుల పూసలతో ఏర్పరచగల గొలుసుల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\)(6-1)!
= \(\frac{1}{2}\) × 120
= 60
II.
ప్రశ్న 1.
నలుగురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలను ఒక వృత్తం చుట్టూ బాలికలంతా ఒకేచోట ఉండేలా ఎన్నిరకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
ముగ్గురు బాలికలను ఒక యూనిట్గా నలుగురు బాలురు నాలుగు యూనిట్లు అనుకొంటే ఈ 5 యూనిట్లను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు సంఖ్య = (5 – 1)! = (4)!
ఇప్పుడు ముగ్గురు బాలికలను వారిలో వారిని (3)! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
ఒక వృత్తం చుట్టూ బాలికలంతా ఒకచోటే ఉండేలా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144
ప్రశ్న 2.
ఏడుగురు పురుషులు, నలుగురు స్త్రీలను ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన లేకుండా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు? [May ’07]
సాధన:
ముందుగా ఏడుగురు పురుషులు ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాల సంఖ్య (7 – 1)! = 6!
వీరిలో ప్రతి ఇద్దరు పురుషుల మధ్య ఒక్కో ఖాళీ వంతున మొత్తం 7 ఖాళీలు ఉంటాయి. ఈ ఖాళీలను ‘x’ తో గుర్తించటం జరిగింది.
ఇప్పుడు ఈ 7 ఖాళీలలో నలుగురు స్త్రీలను అమర్చే విధానాలు = 7P4
∴ ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన లేకుండ అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 6! × 7P4
ప్రశ్న 3.
ఒక గృహస్థుడు, ఏడుగురు’ అతిథులను ఒక గుండ్రటి బల్ల చుట్టూ నిర్దేశించిన ఇద్దరు అతిథులు గృహస్థుడికి ఇరు ప్రక్కలా ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
మొత్తం వ్యక్తులు = 1 + 7 = 8
ఒక గృహస్థుడు, నిర్దేశించిన ఇద్దరు అతిథులను ఒక యూనిట్ అనుకుందాం. మిగిలిన 5 గురు అతిథులు, ఈ యూనిట్ మొత్తం 6 అవుతాయి.
ఈ ఆరింటిని ఒక గుండ్రటి బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాల సంఖ్య = (6 – 1)! = 5!
ఇప్పుడు నిర్దేశించిన ఇరువురు వ్యక్తులు వారిలో వారు గృహస్థునికి ఇరువైపుల 2! విధాలుగా కూర్చోవచ్చును.
కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240
ప్రశ్న 4.
విభిన్నంగా ఉన్న 3 పసుపు, 4 తెలుపు, 2 ఎరుపు గులాబీలలో ఎర్ర గులాబీలు కలిసి ఉండేలా ఎన్ని దండలు తయారు చేయవచ్చు?
సాధన:
రెండు ఎర్రని గులాబీలను ఒక యూనిట్ అనుకుందాం. అపుడు 3 పసుపు రంగు, 4 తెలుపు రంగు గులాబీలు.
ఒక యూనిట్లో వున్న రెండు ఎర్ర గులాబీలు మొత్తం 8 అవుతాయి. ఈ ఎనిమిదింటితో ఏర్పడే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\)(8 – 1)! = \(\frac{1}{2}\) (7!)
ఇప్పుడు ఒక యూనిట్ లో వున్న రెండు ఎర్ర గులాబీలను వాటిలో వాటిని 2! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
కనుక వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) (7!) × 2!
కాని పువ్వుల దండలు వేలాడే వృత్తాకార ప్రస్తారాల కోవలోకి వస్తాయి. కనుక కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\)(7! × 2!)
= 7!
= 5040
III.
ప్రశ్న 1.
ఆరుగురు బాలురు, ఆరుగురు బాలికలను ఒక గుండ్రని బల్లచుట్టూ
(i) బాలికలంతా ఒకే చోట కలిసి ఉండేలా
(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్కపక్కన లేకుండా
(iii) బాలురు, బాలికలు ఒకరి తరువాత ఒకరు (ఏకాంతరంగా) వచ్చేలా ఎన్నివిధాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
(i) ఆరుగురు బాలికలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, అప్పుడు మొత్తం వ్యక్తుల సంఖ్య 6గురు బాలురు + 1 యూనిట్ బాలికలు = 7
వీరిని ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు = (7 – 1)! = 6!
ఇప్పుడు ఆరుగురు బాలికలను వారిలో వారిని 6! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
∴ 6 గురు బాలికలు కలిసి ఒకేచోట ఉండేలా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 6! × 6!
= 720 × 720
= 5,18,400
(ii) ముందుగా ఆరుగురు బాలురను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు = (6 – 1)! = 5!
వీరిలో ప్రతి ఇద్దరి బాలుర మధ్య ఒక్కో ఖాళీ వంతున మొత్తం 6 ఖాళీలుంటాయి. ఈ 6 ఖాళీలలో 6 గురు బాలికలను అమర్చే విధానాలు = 6!
∴ ఏ ఇద్దరు బాలికలు ప్రక్క ప్రక్కన లేకుండా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 5! × 6!
(iii) ఇక్కడ బాలురు, బాలికల సంఖ్య సమానం
బాలురు, బాలికలు ఒకరి తరువాత ఒకరు కూర్చోవాలి అంటే ఏ ఇద్దరు బాలురు ప్రక్కప్రక్కన ఉండకూడదు.
ఏ ఇద్దరు బాలికలు ప్రక్క ప్రక్కన ఉండకూడదు.
ముందుగా ఆరుగురు బాలికలు ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ కూర్చున విధాల సంఖ్య = (6 – 1)! = 5!
వీరిలో ప్రతి ఇద్దరి బాలికల మధ్య ఒక్కో ఖాళీ వంతున మొత్తం 6 ఖాళీలు ఉంటాయి: ఈ 6 ఖాళీలను 6 గురు బాలురతో అమర్చే విధాల సంఖ్య 6!
∴ బాలురు, బాలికలు ఒకరి తరువాత ఒకరు వచ్చేలా అమర్చే విధాల సంఖ్య = 5! × 6!
ప్రశ్న 2.
6 విభిన్నమైన ఎర్రగులాబీలు, 3 విభిన్నమైన పసుపు పచ్చ గులాబీలను ఉపయోగించి ఎన్ని దండలు తయారు చేయవచ్చు? వీటిలో ఎన్నింటిలో
(i) పసుపు గులాబీలన్నీ ఒకేచోట ఉంటాయి ?
(ii) ఏ రెండు పసుపు గులాబీలు పక్కపక్కన లేకుండా ఉంటాయి?
సాధన:
6 విభిన్న ఎర్ర గులాబీలు, 3 విభిన్నమైన పసుపు పచ్చ గులాబీలను ఉపయోగించితే ఏర్పడే దండల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) (6 + 3 – 1)! = \(\frac{1}{2}\)(8!)
(i) 3 విభిన్నమైన పసుపుపచ్చ గులాబీలను ఒక యూనిట్ అనుకుందాం.
6 విభిన్న ఎర్రగులాబీలు, ఒక పసుపు పచ్చ గులాబీల యూనిట్ మొత్తం 7 అవుతాయి.
ఈ ఏడింటితో ఏర్పడే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) (7 – 1)! = \(\frac{1}{2}\) (6!)
ఇప్పుడు ఒక యూనిట్ వున్న 3 పసుపు పచ్చ గులాబీలు వాటిలో వాటిని 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చును.
కనుక మొత్తం వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{6 ! \times 3 !}{2}\) = 2,160
(ii) ముందుగా 6 విభిన్న ఎర్రగులాబీలను ఒక దండలో \(\frac{1}{2}\) (6 – 1)! = \(\frac{1}{2}\) (5)! విధాలుగా అమర్చవచ్చు
ఆ తరువాత వాటిమధ్యలో 6 ఖాళీలు ఏర్పడతాయి. ఈ 6 స్థానాలలో 3 విభిన్న గులాబీలను 6P3 విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
కనుక వేర్వేరు పసుపు గులాబీలు పక్క పక్కన లేకుండా ఏర్పడే దండాల సంఖ్య = \({ }^6 P_3 \frac{1}{2}(5) !\)
= \(\frac{1}{2}\) × 120 × 120
= 7,200
ప్రశ్న 3.
ముగ్గురు భారతీయులు, ముగ్గురు చైనీయులు, ముగ్గురు కెనడా దేశస్థులు, ఇద్దరు అమెరికా దేశస్థులు ఒకే రౌండ్ టేబుల్ సమావేశానికి వచ్చారు. ఒక దేశానికి చెందిన వారంతా ఒకేచోట కలిసి ఉండేలా వారిని ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
ముగ్గురు భారతీయులను ఒక యూనిట్, ముగ్గురు చైనీయులను రెండో యూనిట్గానూ, ముగ్గురు కెనడా దేశస్థులను మూడో యూనిట్గానూ, ఇద్దరు అమెరికా దేశస్థులు నాల్గవ యూనిట్ అనుకుంటే 4 యూనిట్లు అవుతాయి. ఈ నాలుగు యూనిట్లను అమర్చగల విధానాలు (4 – 1)! = 3
ఇప్పుడు ముగ్గురు భారతీయులను వారిలో వారిని అమర్చే విధాల సంఖ్య = 3!
ముగ్గురు చైనీయులను వారిలో వారిని అమర్చే విధాల సంఖ్య = 3!
ముగ్గురు కెనడా దేశస్థులను వారిలో వారిని అమర్చే విధాల సంఖ్య = 3!
ఇద్దరు అమెరికా దేశస్థులను వారిలో వారిని అమర్చే విధాల సంఖ్య = 2!
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 3! × 3! × 3! × 3! × 2!
= 6 × 6 × 6 × 6 × 2
= 2592
ప్రశ్న 4.
6 విభిన్నమైన ఎర్రరంగు పూసలు, మూడు విభిన్నమైన నీలిరంగు పూసలతో ఏ రెండు నీలి రంగు పూసలు పక్క పక్కన లేకుండా ఎన్ని రకాలుగా పూసల గొలుసులు తయారు చేయవచ్చు?
సాధన:
ముందుగా 6 విభిన్నమైన ఎర్రటి పూసలతో ఏర్పడే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = (6 – 1)! = 5! = 120.
ప్రతి రెండు విభిన్న ఎర్రటి పూసల మధ్య ఒక్క ఖాళీచొప్పున మొత్తం 6 ఖాళీలు ఉంటాయి.
ఈ 6 ఖాళీలలో 3 విభిన్న నీలిరంగు పూసలను 6P3 విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
కనుక మొత్తం వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = 5! × 6P3
కాని పూసల దండలు వేలాడే వృత్తాకార ప్రస్తారాల కోవలోకి వస్తాయి.
కనుక కావలసిన వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) × 5! × 6P3
= \(\frac{1}{2}\) × 120 × 6 × 5 × 4
= 7,200
ప్రశ్న 5.
ఒక కుటుంబంలో ఒక తండ్రి, ఒక తల్లి, ఇద్దరు కుమార్తెలు, ఇద్దరు కుమారులు ఉన్నారు. వీరిలో ఇద్దరు కుమార్తెలు తండ్రికి ఇరుప్రక్కలా ఉండేటట్లుగా ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
కుటుంబంలోని సభ్యుల సంఖ్య = 1 + 1 + 2 + 2 = 6
ఇరువురు కుమార్తెలను, తండ్రిని ఒక యూనిట్ అనుకుందాం. తల్లి, ఇరువురు కుమారులు, ఈ యూనిట్ మొత్తం 4.
ఈ నాల్గింటిని ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధాల సంఖ్య = (4 – 1)! = 3!
ఆ తరువాత ఇరువురు కుమార్తెలు తండ్రికి ఇరువైపుల వారిలో వారు 2! విధాలుగా కూర్చోవచ్చును.
కనుక కావలసిన వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = 3! × 2!
= 6 × 2
= 12