AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 5th Lesson Important Questions and Answers వర్గ సమీకరణాలు

ప్రశ్న 1.
b² – 4ac ≥ 0 అయినపుడు ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలు వ్రాయండి.
సాధన.
b² – 4ac ≥ 0 అయినపుడు
ax² + bx + c = 0 యొక్క మొదటి మూలం = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు రెండవ మూలం \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

ప్రశ్న 2.
రెండు పూరక కోణములలో పెద్ద కోణము చిన్న కోణము కన్నా 18°ఎక్కువ అయిన ఆ కోణములను కనుగొనుము.
సాధన.
చిన్న కోణము = x°
పెద్ద కోణము = y° అనుకొనుము
ఈ రెండు కోణాలు పూరక కోణాలు.
కావున x + y = 90° …………. (1)
పెద్ద కోణం, చిన్న కోణం కంటే 18° ఎక్కువ
కావున y_x = 18°………….. (2)
(1), (2) లను సాధించి x = 36°; y = 54°.

ప్రశ్న 3.
2x² – 4x + 3 = 0 అనే వర్గ సమీకరణము యొక్క విచక్షణి ఎంత ?
సాధన.
ax² + bx + c = 0 అనే వర్గ సమీకరణము యొక్క విచక్షణి = b² – 4ac
దత్తవర్గ సమీకరణము = 2x² – 4x + 3 = 0
దత్తవర్గ సమీకరణాన్ని వర్గ సమీకరణంతో పోల్చగా, a = 2, b = – 4, c = 3
∴ విచక్షణి = b² – 4ac = (- 4)² – 4(2) (3)
= 16 – 24 = – 8
∴ విచక్షణి = – 8..

ప్రశ్న 4.
x + \(\frac{6}{x}\) = 7, x = 0 సమీకరణం మూలాలు కనుగొనండి.
సాధన.
x + \(\frac{6}{x}\) = 7
⇒ \(\frac{x^{2}+6}{x}\) = 7
⇒ x² – 7x + 6 = 0 .
⇒ (x – 6) (x – 1) = 0
x = 6 లేదా 1
∴ మూలములు = 6, 1.

ప్రశ్న 5.
120 చ.ప్ర.ల వైశాల్యం గల దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క పొడవు, దాని వెడల్పు కన్నా 2 ప్రమాణాలు ఎక్కువైన దాని పొడవును కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రం వెడల్పు = x
పొడవు = x + 2
వైశాల్యం = 120 చదరపు ప్రమాణాలు
x(x + 2) = 120
x² + 2x – 120 = 0
(x + 12) (x – 10) = 0
x = – 12 లేదా x = 10
వెడల్పు ఋణాత్మకంగా ఉండదు. కావున దీర్ఘచతురస్రం వెడల్పు (x) = 10 ప్రమాణాలు
పొడవు = x + 2 = 12 ప్రమాణాలు.

ప్రశ్న 6.
రెండు సంఖ్యల మధ్య భేదము 4 మరియు ఆ సంఖ్యల లబ్దము 192 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్యను ‘x’ అనుకొనుము.
సంఖ్యల భేదము 4 కనుక చిన్న సంఖ్య = (x – 4)
వీటి లబ్ధము = x(x – 4)
లెక్క ప్రకారం లబ్దము = 192
∴ x(x – 4) = 192
⇒ x2 – 4x – 192 = 0
⇒ x2 – 16x + 12x – 192 = 0
⇒ x(x – 16) + 12(x – 16) = 0
⇒ (x – 16)(x + 12) = 0
⇒ x = 16 or x = – 12
x = 16 అయిన x – 4 = 12
అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు 16 మరియు 12.
x = – 12 అయిన x – 4 = -16
అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు – 12 మరియు – 16.

ప్రశ్న 7.
రెండు సంపూరక కోణాలలో పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 58° ఎక్కువ. అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
కావలసిన సంపూరక కోణాలు x మరియు y అనుకొనుము.
∴ x + y = 180° …………….(1)
పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 58° ఎక్కువ.
∴ x – y = 58° ……………….(2)

∴ x = \(\frac{238}{2}\) = 119°
119° + y = 180°
∴ y = 180° – 119° = 61°

ప్రశ్న 8.
(3x – 2)² – 4(3x – 2) + 3 = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన.
(3x – 2)² – 4(3x -2) + 3 = 0.
9x² + 4 – 12x – 12x + 8 + 3 = 0
9x² – 24x + 15 = 0
3x² – 8x + 5 = 0
3x² – 3x – 5x + 5 = 0
3x(x – 1) – 5 (x – 1) = 0
(x + 1) (3x – 5) = 0
x = 1 (లేదా) x = 1
∴ వర్గ సమీకరణ మూలాలు 1, \(\frac{5}{3}\).

ప్రశ్న 9.
3x² + 11x + 10 = 0 వర్గ సమీకరణమును వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుము.
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమీకరణము : 3x² + 11x + 10 = 0
ఇరువైపులా 3 చే భాగించగా
x² + \(\frac{11}{3}\) x + \(\frac{10}{3}\) = 0
x² + \(\frac{11}{3}\) x = – \(\frac{10}{3}\)
ఇరువైపులా (\(\frac{11}{6}\))² ను కూడగా
x² + \(\frac{11}{3}\) x + (\(\frac{11}{6}\))² = – \(\frac{10}{3}\) + (\(\frac{11}{6}\))²

(x + \(\frac{11}{6}\))² = – \(\frac{10}{3}\) + \(\frac{121}{36}\)
= \(\frac{-120+121}{36}\)

x + \(\frac{11}{6}\) = ± \(\sqrt{\frac{1}{36}}\)
x + \(\frac{11}{6}\) = ± \(\frac{1}{6}\)
x + \(\frac{11}{6}\) = \(\frac{1}{6}\) (లేదా) x + \(\frac{11}{6}\) = – \(\frac{1}{6}\)
x = \(\frac{1}{6}\) – \(\frac{11}{6}\) (లేదా) x = – \(\frac{1}{6}\) – \(\frac{11}{6}\)
x = \(\frac{-10}{6}\) (లేదా) x = \(-\frac{12}{6}\)
x = \(\frac{-5}{3}\) (లేదా) x = – 2.

ప్రశ్న 10.
9x² – 9x + 2 = 0 వర్గ సమీకరణాన్ని వర్గాన్ని పూర్తి చేయు పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం 9x² – 9x + 2 = 0
⇒ x² – x + \(\frac{2}{9}\) = 0
⇒ x² – x = – \(\frac{2}{9}\)
⇒ x² – 2 x \(\frac{1}{2}\) + (\(\frac{1}{2}\))² = – \(\frac{2}{9}\) + (\(\frac{1}{2}\))²
⇒ (x – \(\frac{1}{2}\))² = \(-\frac{2}{9}+\frac{1}{4}=\frac{-8+9}{36}=\frac{1}{36}\)
⇒ (x – \(\frac{1}{2}\))² = \(\frac{1}{36}\)
∴ x – \(\frac{1}{2}\) = ± \(\frac{1}{6}\)
∴ x = \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{1}{2}\) (లేదా) – \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{1}{2}\)
∴ x = \(\frac{1+3}{6}\) (లేదా) \(\frac{-1+3}{6}\)
∴ x = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) (లేదా) \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)