AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 4th Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 1.
x + 2y-3 = 0 మరియు 5x + ky + 7 = 0 సమీకరణాల .వ్యవస్థకు సాధన లేకుంటే ఓ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
x + 2y – 3 = 0
5x + ky + 7 = 0
a1 = 1, b1 = 2, c1 – 3
a2 = 5, b2 = k, c2 = 7
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతకు సాధన లేకపోతే
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{2}{\mathrm{k}}\)
∴ k = 10
k = 10 అయినప్పుడు ఇచ్చిన పై సమీకరణాల వ్యవసకు సాధన ఉండదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 2.
2x + ky + 3 = 0, 4x + 6x – 5 = 0 సమీకరణాల జతకు, k యొక్క ఏ విలువకు అవి సమాంతర రేఖలు అవుతాయో కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి
a1 = 2 b1 = k c1 = 3
a2 = 4 b2 = 6 c2 = – 5
ఇచ్చిన సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు అయిన \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున \(\frac{2}{4}=\frac{k}{6}\)
∴ k = 3

ప్రశ్న 3.
2x – ky + 3 = 0, 4x + 6y-5 = 0 సమీకరణాల జత ‘k’ యొక్క ఏ విలువకు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుందో కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి ,
a1 = 2 b1 = – k c1 = 3
a2 = 4 b2 = 6 c2 = – 5
ఇచ్చిన సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు అయిన \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున, \(\frac{2}{4}=\frac{-k}{6} \neq \frac{3}{-5}\)
⇒ – 4k = 12
∴ k = – 3.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 4.
\(\) = 13 మరియు \(\) = – 2 (x ≠ 0, y ≠ 0) అనే సమీకరణాల వ్యవస్థను a, b చరరాశులతో కూడిన రేఖీయ సమీకరణాల జతగా మార్చండి.
సాధన.
సమీకరణాల వ్యవస్థ \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13 …………. (1)
\(\frac{5}{x}+\frac{4}{y}\) = – 2 …………….(2)
\(\frac{1}{x}\) = a, \(\frac{1}{y}\) = b అనుకొనుము.
∴ a, b చరరాశులతో కూడిన రేఖీయ సమీకరణాల జత = 2a + 3b = 13 మరియు
5a + 4b = – 2

ప్రశ్న 5.
గ్రాఫ్ లో చూపిన సరళరేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని రాయుము.
సాధన.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 1

సరళరేఖా సమీకరణం = \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}\) = 1
⇒ \(\frac{2 x+y}{6}\) = 1
⇒ 2x + y = 6.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 6.
2x – 7y = 3; 4x + y = 21 రేఖీయ సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్దతిలో సాధించండి.
సాధన.
దత్త సమీకరణాలు
2x – 7y = 3 ………….(1)
4x + y = 21 …………..(2)
రెండవ సమీకరణం నుండి y = 21 – 4x ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా
2x – 7(21 – 4x) = 3
⇒ 2x – 147 + 28 x = 3
⇒ 2x + 28x = 3 + 147
⇒ 30 x = 150
∴ x = \(\frac{150}{30}\) = 5
x = 5 ను y = 21 – 4x నందు ప్రతిక్షేపించగా
y = 21 – 4(5) = 21 – 20 = 1
∴ దత్త సమీకరణాల సాధన x = 5; y = 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 7.
10వ తరగతి చదివే 10 మంది విద్యార్థులు ఒక గణిత క్విజ్ లో పాల్గొన్నారు. దానిలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య, బాలుర సంఖ్య కన్నా 4 ఎక్కువ అయిన ఆ క్విజ్ లో పాల్గొన్న బాలుర, బాలికల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
బాలికల సంఖ్య = x అనుకొనుము
బాలుర సంఖ్య = y అనుకొనుము.
∴ మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య x + y = 10 ………….. (1)
మరియు బాలికల సంఖ్య = బాలుర సంఖ్య + 4
x = y + 4 ……………. (2)
x = y + 4 ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
y + 4 + y = 10
⇒ 2y + 4 = 10
⇒ 2y = 10 – 4 = 6
∴ y = 3 మరియు x = 3 + 4 = 7
అనగా బాలురు 7 గురు బాలికలు ముగ్గురు పాల్గొన్నారు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 8.
3x – y = 40, 4x – 2y = 50 సమీకరణాల జత సంగతమా ? అసంగతమా ? ఎందుకు ?
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమీకరణాలు సంగతము.
కారణం : ఇచ్చిన సమీకరణాలు
3x – y = 40,
4x – 2y = 50
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{3}{4} ; \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{1}{2} ; \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\)
కావున, ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగతము.

ప్రశ్న 9.
(గాఫేతర పద్ధతిలో x + 2y = 5 మరియు 2x – y = 0 లను సాధించుము.
సాధన.
x + 2y = 5 ……. (1)
2x – y = 0 ……. (2)
2x = y
⇒ x = \(\frac{y}{2}\)
‘x’ విలువను సమీకరణం (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{y}{2}\) + 2y = 5
⇒ y + 4y = 10
⇒ 5y = 10
⇒ y = 2
‘y’ విలువను సమీకరణం (2)లో ప్రతిక్షేపించగా
2x – 2 = 0
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
∴ x = 1, y = 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 10.
పరస్పరాధార సమీకరణ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ సంగతమే”. ఇది సత్యమా? అసత్యమా? సమర్థించండి.
సాధన.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగత జత అవుతుంది. పరస్పరాధారిత జత సాధనలను కలిగి ఉంటుంది. కావున సంగత జత అవుతుంది.
ఎందుకనగా \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

ప్రశ్న 11.
x = 2 అనే రేఖీయ సమీకరణానికి చిత్తు పటం (గ్రాఫ్) గీయండి.
సాధన.
x = 2 యొక్క రేఖీయ సమీకరణము చిత్తు పటము

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 2

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 12.
వంశీ 9 కి.గ్రా. ఉల్లిపాయలు మరియు 2 కి.గ్రా. బంగాళాదుంపలను రూ. 247 కు కొన్నాడు. బంగాళా దుంపల కంటే ఉల్లిపాయల ఖరీదు 1 కి.గ్రా.కు రూ. 3 ఎక్కువ అయితే, ప్రతి కిలోకు వాటి ధరను కనుగొనుము.
సాధన.
1 కి.గ్రా. బంగాళాదుంపల ఖరీదు x. .
అయితే 1 కి.గ్రా. ఉల్లిపాయల ఖరీదు x + 3
x + x + 3 = 247
2x + 3 = 247
⇒ 2x = 244
⇒ x = \(\frac{244}{2}\) = రూ. 122.
1 కి.గ్రా. బంగాళాదుంపల ఖరీదు = రూ. 122
1 కి.గ్రా. ఉల్లిపాయల ఖరీదు = x + 3
= 122 + 3 = రూ. 125.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 13.
2x + y – 5 = 0, 3x – 2y – 4 = 0 లను చరరాశి తొలగించు పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాలతో ఏదైనా ఒక చరరాశి గుణకాలను సమానం చేయుట ద్వారా ఈ పద్ధతిన సాధిస్తాం.
దత్త సమీకరణాలు :
2x + y – 5 = 0 …………….(1)
3x – 2y – 4 = 0 ……………..(2)
సమీకరణం (1)నకు ఇరువైపులా 3 చేతను, సమీకరణం (2) నకు ఇరువైపులా 2 చేత గుణించగా

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 3

⇒ y = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ y = 1
y = 1 ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా
2x + y = 5
2x + 1 = 5
2x = 5 – 1 = 4
∴ 2x = 4
అయిన x = \(\frac{4}{2}\) = 2
∴ x = 2 .
దత్త సమీకరణాలకు సాధన : x = 2 ; y = 1

సరిచూచుట :
2x + y = 5
2(2) + 1 = 5
4 + 1 = 5
LHS = RHS

5 = 5
3x – 2y – 4 = 0
3(2) – 2(1) – 4 = 0
6 – 2 – 4 = 0
6 – 6 = 0
LHS = RHS.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 14.
క్రింది ఇవ్వబడిన సమీకరణాలను గ్రాఫ్ ద్వారా సాధించుము.
\(\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y\) = 1; 2x – \(\frac{1}{3}\)y = – \(\frac{2}{3}\)
సాధన.
\(\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y\) = 1 మరియు 2x – \(\frac{1}{3}\)y = – \(\frac{2}{3}\) ఈ సమీకరణాలను ముందుగా రేఖీయ సమీకరణ రూపం లోకి మార్చుదాం.
\(\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y\) = 1
⇒ \(\frac{2 x-3 y}{6}\) = 1
⇒ 2x- 3y = 6 ……………. (1) మరియు
2x – \(\frac{1}{3}\)y = – \(\frac{2}{3}\)
6x – y = – 2 ……………. (2)

(i) 2x – 3y = 6
⇒ y = \(\frac{2 x-6}{3}\)

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 4

ఈ 25 – 3y = 6 రేఖ పై (0; – 2) మరియు (3, 0) బిందువులు గలవు.

(ii) 6x – y = – 2 = y
⇒ y = 6x + 2 –

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 5

ఈ 6x – y = – 2 అను రేఖపై (0, 2) (1, 8), (2, 14) అను బిందువులు గలవు.
పై రెండు రేఖలు (0.75, 2.5) బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి. కావున
∴ సాధన x = 0.75, y = 2.5

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 6

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 15.
క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జతను గ్రాఫ్ ద్వారా సాధించండి. 2x + y = 4 మరియు 2x – 3y = 12.
సాధన.
దత్త సమీకరణాలు : –
2x + y – 4 = 0 మరియు 2x – 3y – 12 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{2}\) = 1;\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-3}\) మరియు \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-4}{-12}=\frac{1}{3}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
కనుక సమీకరణాలు సంగత రేఖీయ సమీకరణాలు.
∴ అవి ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొనుట వలన ఒక సాధన మాత్రమే ఉండును.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 7

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 8

గ్రాఫు పరిశీలించగా ఇచ్చిన సమీకరణాల సాధన x = 3 మరియు y = – 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 16.
6 పెన్సిళ్ళు మరియు 4 నోటు పుస్తకముల మొత్తము వెల రూ. 90/-. అలాగే 8 పెన్సిళ్ళు మరియు 3 నోటు పుస్తకముల మొత్తము వెల రూ. 85/-. అయితే ప్రతీ పెన్సిల్ మరియు నోట్ పుస్తకము వెల ఎంత ?
సాధన.
ఒక పెన్సిల్ వెల = రూ. x
నోటు పుస్తకం వెల = రూ. y అనుకొనుము.
6 ‘పెన్సిల్స్, 4 నోటు పుస్తకంల మొత్తం వెల = రూ. 90
⇒ 6x + 4y = 90 …………(1)
8 పెన్సిల్స్, 3 నోటు పుస్తకంల మొత్తం వెల = రూ. 85
⇒ 8x + 3y = 85 …………..(2)
⇒ 1 × 3 = 18x + 12y = 270 ………….(3)
⇒ 2 × 4 = 32x + 12y = 340 ……….(4)

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 9

x విలువను (1)లో ప్రతిక్షేపించిన
6 × 5 + 4y = 90
4y = 90 – 30 = 60
y = \(\frac{60}{4}\) = 15
x = 5, y = 15
పెన్సిల్ వెల = రూ. 5
నోటు పుస్తకం వెల = రూ. 15.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 17.
క్రింది సమీకరణాల జతను సాధించుము. \(\frac{3}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 2 మరియు \(\frac{9}{x+y}-\frac{4}{x-y}\) = 1.
సాధన.
మనకు ఇచ్చిన సమీకరణాలు
\(3\left(\frac{1}{x+y}\right)+2\left(\frac{1}{x-y}\right)\) = 2 → (1)

\(9\left(\frac{1}{x+y}\right)-4\left(\frac{1}{x-y_{k}}\right)\) = 1 → (2)

మరియు \(\frac{1}{x+y}\) = p మరియు \(\frac{1}{x-y}\) = q
ప్రతిక్షేపించగా, క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏర్పడుతుంది.
3p + 2q = 2 → (3)
9p – 4q = 1 → (4)

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 10

q విలువను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా 3p + 2(\(\frac{1}{2}\)) = 2
⇒ 3p + 1 = 2
⇒ 3p = 1
∴ p = \(\frac{1}{3}\)

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 11

AP Board 10th Class Maths Solutions 4thd Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 18.
క్రింది సమీకరణాలను ఒక జత రేఖీయ సమీకరణాలుగా మార్చి సాధించుము.
\(\frac{5}{(x+y)}-\frac{2}{(x-y)}\) = – 1
\(\frac{15}{(x+y)}-\frac{7}{(x-y)}\) = – 10, (x ≠ 0, y ≠ 0)
సాధన.
ఇవ్వబడినవి, \(\frac{5}{(x+y)}-\frac{2}{(x-y)}\) = – 1 మరియు
\(\frac{5}{(x+y)}-\frac{2}{(x-y)}\) = – 10
\(\frac{1}{(x+y)}\) = a, \(\frac{1}{(x-y)}\) = b గా తీసుకొనుము.
ఈ సమీకరణాలు ఈ క్రింది విధంగా మారినవి.
5a – 2b = – 1 ……………….(1)
15a-7b = -10 ………………(2)

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 12

b = 7 విలువను సమీకరణం (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
5a – 2(7) = – 1
⇒ 5a = – 1 + 14
⇒ 5a = 13
⇒ a = \(\frac{13}{5}\)

కాని a = \(\frac{1}{x+y}=\frac{13}{5}\)
⇒ x + y = \(\frac{5}{13}\)

b = \(\frac{1}{x-y}\) = 7
⇒ x – y = \(\frac{1}{7}\)
పై సమీకరణాలను సాధించంగా

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత 13

x = \(\frac{24}{91}\) విలువను x + y = \(\frac{5}{13}\) లో ప్రతిక్షేపించగా .
\(\frac{24}{91}\) + y = \(\frac{5}{13}\)
⇒ y = \(\frac{5}{13}-\frac{24}{91}=\frac{35-24}{91}\)
∴ y = \(\frac{11}{91}\)
∴ సాధన (x, y) = (\(\frac{24}{91}\), \(\frac{11}{91}\))