Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(d) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(d)
అభ్యాసం – 5(డి)
I.
ప్రశ్న 1.
కింది పదాలలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి. (May ’13, Mar. ’11, ’06)
(i) INDEPENDENCE
(ii) MATHEMATICS
(iii) SINGING
(iv) PERMUTATION
(v) COMBINATION
(vi) INTERMEDIATE
సాధన:
(i) INDEPENDENCE పదంలో 12 అక్షరాలున్నవి. అందులో 3N లు, 2D లు, 4E లు మిగిలినవి విభిన్నాలు.
కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(12) !}{3 ! 2 ! 4 !}\)
(ii) MATHEMATICS అనే పదంలో 11 అక్షరాలున్నవి. అందులో 2M లు, 2A లు, 2T లు మిగిలినవి విభిన్నాలు.
కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(11) !}{2 ! 2 ! 2 !}\)
(iii) SINGING అనే పదంలో 7 అక్షరాలున్నవి. అందులో 2I లు, 2N లు, 2G లు
కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{7 !}{2 ! 2 ! 2 !}\)
(iv) PERMUTATION అనే పదంలో 11 అక్షరాలున్నవి. అందు 2T లు మిగిలినవి విభిన్నాలు.
కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(11) !}{2 !}\)
(v) COMBINATION అనే పదంలో 11 అక్షరాలున్నవి. అందు 2 ‘O’లు 2 ‘I’ లు, 2N లు మిగిలినవి విభిన్నాలు,
కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(11) !}{2 ! 2 ! 2 !}\)
(vi) INTERMEDIATE పదంలో 12 అక్షరాలున్నవి. అందు 2I లు 2T లు 3E లు మిగిలినవి విభిన్నాలు.
కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(12) !}{2 ! 2 ! 3 !}\)
ప్రశ్న 2.
2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 అంకెలతో ఏర్పరచగల 7 అంకెల సంఖ్యలెన్ని?
సాధన:
ఇచ్చిన 7 అంకెలలో 2 మూడుసార్లు, 3 రెండుసార్లు, 4లు రెండు సార్లు పునరావృతం అయ్యాయి.
కనుక ఈ 7 అంకెలతో ఏర్పడే 7 అంకెల సంఖ్యలు = \(\frac{7 !}{3 ! 2 ! 2 !}\)
II.
ప్రశ్న 1.
RAMANA పదంలోని అక్షరాలనుపయోగించి ఎన్ని 4 అక్షరాలు పదాలు తయారుచేయవచ్చు?
సాధన:
RAMANA పదంలో 3A లు, 3 విభిన్న (R, M, N) అక్షరాలున్నవి.
6 అక్షరాలనుండి 4 అక్షరాలున్న పదాలను ఈ క్రింది విధంగా తయారు చేయవచ్చు.
Case (i): అన్ని విభిన్న అక్షరాలు (i.e.,) R, A, M, N
4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య = 4! = 24
Case (ii): 2A లు, మిగిలిన రెండు R, M, N ల నుండి ఏవైనా రెండు అక్షరాలు అంటే 3 విభిన్న అక్షరాల నుండి రెండింటిని ఎన్నుకొనే విధాల సంఖ్య = 3C2
4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య = 3C2 × \(\frac{4 !}{2 !}\)
= 3 × \(\frac{24}{2}\)
= 36
Case (iii): 3Aలు, మిగిలిన ఒక అక్షరం R, M, N లలో ఏదో ఒకటి అంటే 3 విభిన్న అక్షరాల నుండి ఒక అక్షరాన్ని ఎన్నుకొనే విధాల సంఖ్య = 3C1 = 3
4 అక్షరాలతో ఏర్పడే పదాల సంఖ్య = 3 × \(\frac{4 !}{3 !}\)
= 3 × \(\frac{24}{6}\)
= 12
∴ RAMANA అనే పదంలోని అక్షరాలనుపయోగించిన ఏర్పడే 4 అక్షరాలున్న పదాల సంఖ్య = 24 + 36 + 12 = 72
ప్రశ్న 2.
1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 అంకెలనుపయోగించి, సరిస్థానాల్లో సరి అంకెలు మాత్రమే ఉండేటట్లు ఎన్ని 7 అంకెల సంఖ్యలు తయారు చేయవచ్చు?
సాధన:
2, 4, 6 స్థానాలు సరిస్థానాలు, ఇచ్చిన 7 అంకెలలో 1 రెండుసార్లు, 2 రెండుసార్లు, 3 రెండుసార్లు, 4 ఒకసారి వచ్చినవి.
3 సరిస్థానాల్లో 2, 2, 4 లను అమర్చే విధాల సంఖ్య = \(\frac{3 !}{2 !}\)
= \(\frac{6}{2}\)
= 3
మిగిలిన 4 స్థానాలల్లో 1, 1, 3, 3 లను అమర్చే విధాల సంఖ్య = \(\frac{4 !}{21.2 !}=\frac{24}{2 \times 2}\) = 6
∴ ప్రస్తారాల సంఖ్య = 3 × 6 = 18
ప్రశ్న 3.
ఒక గ్రంథాలయంలో ఒక పుస్తకానికి 6 ప్రతులు, మరొక రెండు విభిన్నమైన పుస్తకాలకు ఒక్కోదానికి 4 ప్రతులు, వేరొక మూడు విభిన్నమైన పుస్తకాలకు ఒక్కొదానికి 5 ప్రతులు ఇంకో రెండు విభిన్న పుస్తకాలు ఒక్కొక్క దానికి 3 ప్రతులు ఉన్నాయి. ఈ పుస్తకాలన్నింటినీ ఒక వరసలో ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
గ్రంథాలయంలోని పుస్తకాల సంఖ్య = 6 + (4 × 2) + (3 × 5) + (2 × 3) = 35
పుస్తకాలన్నింటిని ఒక వరసలో అమర్చే విధాల సంఖ్య = \(\frac{(35) !}{6 !(4 !)^2(5 !)^3(3 !)^2}\)
ప్రశ్న 4.
ఒక పుస్తక భాండాగారంలో ‘n’ విభిన్న పుస్తకాలు ఒక్కొక్కటి ‘m’ ప్రతులున్నాయి. ఈ పుస్తకాలన్నింటినీ ఒక వరసలో ఎన్నివిధాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
పుస్తక భాండాగారంలో పుస్తకాల సంఖ్య = m × n = mn
∴ పుస్తకాలన్నింటిని ఒక వరుసలో అమర్చే విధాల సంఖ్య = \(\frac{(m n) !}{(m !)^n}\)
ప్రశ్న 5.
0, 1, 1, 2, 3 అంకెలన్నింటినీ ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 5 అంకెల సంఖ్య లెన్ని?
సాధన:
0, 1, 1, 2, 3 అంకెలన్నింటినీ ఉపయోగిస్తే ఏర్పడే 5 అంకెల సంఖ్యలు = \(\frac{5 !}{2 !}\) = 60
కాని అందుకొన్ని సంఖ్యలు ‘0’ తో మొదలవుతాయి. అవి నాలుగు అంకెల సంఖ్యలు మాత్రమే అవుతాయి.
అటువంటివి = \(\frac{4 !}{2 !}=\frac{24}{2}\) = 12
కనుక 0, 1, 1, 2, 3 అంకెలతో ఏర్పడే 5 అంకెల సంఖ్యలు = 60 – 12 = 48
ప్రశ్న 6.
CHEESE పదంలోని అక్షరాలను ఏ రెండు E లు పక్క పక్కన రాకుండా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
CHEESE పదంలో 6 అక్షరాలున్నవి. అందు 3E లు మిగిలినవి విభిన్నాలు. 3E లలో ఏ రెండు పక్క పక్కన రాకూడదు.
కనుక మిగిలిన 3 అక్షరాలను ఒక వరుసలో 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
ఆ తరువాత వాటి మధ్యలో మొదట, చివర కలిపి 4 ఖాళీలుంటాయి.
ఈ 4 ఖాళీలలో 3E లను \(\frac{{ }^4 P_3}{3 !}=\frac{4 !}{3 !}\) = 4 విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
కనుక కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య = (3!) × 4
= 6 × 4
= 24
III.
ప్రశ్న 1.
ASSOCIATIONS పదంలోని అక్షరాలను ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
ఈ అమరికలలో ఎన్నింటిలో
(i) అన్ని ‘S’ లు కలిసి వుంటాయి?
(ii) రెండు ‘A’ లు విడివిడిగా ఉంటాయి?
సాధన:
ASSOCIATIONS అనే పదంలో 12 అక్షరాలున్నాయి.
వీటిలో రెండు A లు, మూడు S లు, రెండు O లు, రెండు I లు, మిగిలినవి విభిన్న అక్షరాలున్నాయి.
ఈ 12 అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(12) !}{2 ! 3 ! 2 ! 2 !}\)
సూచన: n వస్తువులలో p ఒక రకానికి చెందినవి. q రెండవ రకానికి చెందిన, r వేరొక రకానికి చెందిన వస్తువులై మిగిలినవి విభిన్నాలు అయిన n వస్తువులలో ఏర్పడే
ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(n) !}{p ! q ! r !}\)
(i) మూడు S లను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, మొత్తం అక్షరాలు సంఖ్యలో 10 అవుతుంది. వాటిలో రెండు A లు, రెండు ‘O’ లు, రెండు I లు వున్నాయి.
కనుక ఈ అక్షరాలను అమరిస్తే వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(10) !}{2 ! 2 ! 2 !}\)
ఇప్పుడు మూడు Sలను వాటిలో వాటిని అమర్చే విధానాలు = \(\frac{3 !}{3 !}\) = 1
∴ కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(10) !}{(2 !)^3}\)
(ii) రెండు ‘A’ లను విడిగా ఉంచితే, మిగిలిన 10 అక్షరాలలో 3’S’ లు, 2’O’ లు 2’T’ లు ఉన్నాయి.
కనుక ఈ 10 అక్షరాలను అమర్చే విధానాలు = \(\frac{(10) !}{3 ! 2 ! 2 !}\)
ఈ పది అక్షరాల మధ్య మధ్యలో, మొదట, చివర కలిపి 11 ఖాళీలున్నాయి.
ఈ 11 ఖాళీలలో రెండు A లను అమర్చే విధానాల సంఖ్య = \(\frac{{ }^{11} P_2}{2 !}\); (రెండు A లే కనుక)
∴ కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(10) !}{3 ! 2 ! 2 !} \times \frac{{ }^{11} P_2}{2 !}\)
ప్రశ్న 2.
MISSING పదంలోని అక్షరాలలో రెండు S లు ఒకేచోట, రెండు I లు ఒకే చోట కలిసి ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
MISSING అనే పదంలో 7 అక్షరాలున్నవి. అందు 2I లు 2S లు మిగిలినవి (M, N, G) లు విభిన్నాలు.
రెండు S లు ఒక యూనిట్, రెండు I లు వేరొక యూనిట్ అనుకుంటే, 3 విభిన్న అక్షరాలు, ఈ 5 యూనిట్లు మొత్తం 5.
ఈ ఐదింటిని ఒక వరసలో అమర్చగల విధాల సంఖ్య = 5! = 120
2S లను వాటిలో వాటిని అమర్చే విధాల సంఖ్య = \(\frac{2 !}{2 !}\) = 1
2I లను వాటిలో వాటిని అమర్చే విధాల సంఖ్య = \(\frac{2 !}{2 !}\) = 1
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 5! × 1 × 1 = 120
ప్రశ్న 3.
AJANTA అనే పదంలోని అక్షరాలను ప్రసారించడం ద్వారా వచ్చే పదాలన్నిటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో కింది పదాల కోటిని కనుక్కోండి.
(i) AJANTA
(ii) JANATA
సాధన:
(i) దత్తపదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం AAAJNT నిఘంటువులో ముందుగా A లతో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి.
కనుక మొదటి స్థానాన్ని Aలో నింపితే దత్త పదం రావటానికి అవకాశమున్నది.
కనుక రెండవ స్థానాన్ని కూడా A తో నింపితే మిగిలిన 4 అక్షరాలను 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
ఇదే విధంగా చేసుకొంటూ AJANTA పదం వచ్చే వరకూ కింది విధంగా గణిస్తాం.
A A – – – – – = 4! = 24
A J A A – – – – = 2! = 2
A J A N A – – = 1 = 1
A J A N T A = 1 = 1
∴ కనుక AJANTA పదం కోటి = 24 + 2 + + 1 = 28
(ii) నిఘంటువులో ముందుగా A లో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి.
కనుక మొదటిస్థానాన్ని Aతో నింపితే మిగిలిన అక్షరాలను = \(\frac{5 !}{2 !}\) (ఈ 5 అక్షరాలలో 2A లు ఉన్నాయి.)
ఇదే విధంగా చేసుకొంటూ JANATA పదం వచ్చే వరకూ కింది విధంగా గణిస్తాం.
A – – – – – – = \(\frac{5 !}{2 !}\) = 60
J A A – – – – = 3! = 6
J A N A A – – = 1
JANATA పదం కోటి = 1
∴ JANATA పదం కోటి = 60 + 6 + 1 + 1 = 68