Class 6

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 163]

ప్రశ్న 1.
సంఖ్యాత్మక విలువలు గల దత్తాంశానికి రెండు ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన.
1. 6వ తరగతిలోని 25 మంది విద్యార్థులకు 20 మార్కుల పరీక్షలో వచ్చిన మార్కులు.
14, 16, 8, 20, 17, 9, 12, 13, 16, 19, 17, 10, 11, 9, 13, 17, 10, 18, 20, 9, 15, 14, 10, 15, 11
2. ఒకరోజు కోవిడ్ – 19 పరీక్షలకు హాజరైన 30 మంది వ్యక్తుల వయస్సు (సంవత్సరాలలో)
46, 53, 19, 84, 41, 37, 25, 31, 28, 71, 62, 35, 28, 53, 13, 73, 64, 32, 45, 31, 27, 54, 61, 54, 49, 23, 39, 44, 55, 30.

ప్రశ్న 2.
వివరణాత్మక విలువలు గల దత్తాంశానికి రెండు ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన.
1.

2. ఉదయం 7 గంటల నుండి 9.30 మధ్య ఒక రైల్వే గేటును దాటిన వాహనాలు – లారీ, బస్సు, లారీ, కారు, ఆటో, జీపు, సైకిల్, స్కూటరు, స్కూటరు, ఆటో, లారీ, కారు, కారు, లారీ, బస్సు, స్కూటరు, ఆటో, స్కూటరు, జీపు, లారీ, స్కూటరు, స్కూటరు.

ఇవి చేయండి [పేజి నెం. 165]

ఒక పాచికను దొర్లించి, వచ్చిన సంఖ్యను నమోదు చేయండి. ఇలా 40 సార్లు పాచికను దొర్లించి సంఖ్యలు నమోదు చేయండి. ఈ దత్తాంశాన్ని గణన చిహ్నాలు ఉపయోగించి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపండి.
సాధన.

పేజి నెం. 168

ప్రశ్న 1.
పటచిత్రం కన్న కమ్మీ రేఖా చిత్రం ఏ విధంగా ఉత్తమమైనది?
సాధన.
కమ్మీరేఖాచిత్రాలు ఖచ్చిత సంఖ్యా విలువలను చూపు మంచి సూచికలు. ధన విలువలను, ఋణ విలువలను కూడా చూపు మంచి సూచిక ఈ కమ్మీరేఖాచిత్రం.

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
10 మార్కుల పరీక్షలో ఒక తరగతిలోని 25 మంది విద్యార్థులు పొందిన మార్కులు ఈ విధంగా ఉన్నవి. 5, 6, 7,
5, 4, 2, 2, 9, 10, 2, 4, 7, 4, 6, 9, 5, 5, 4, 7, 9, 5, 2, 4, 5, 7.
(i) పై దత్తాంశాన్ని వర్గీకరించి, గణన చిహ్నాలతో పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపండి.
(ii) తరగతిలో ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు పొందిన మార్కులు ఎన్ని?
(iii) తరగతిలో ఎంతమంది విద్యార్థులు కనిష్ఠ మార్కులు పొందారు?
(iv) ఎంత మంది విద్యార్థులు 8 మార్కులు పొందారు?
సాధన.
(i)

(ii) తరగతిలో ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు (6) పొందిన మార్కులు 5.
(iii)తరగతిలో కనిష్ఠ మార్కులు (2) పొందిన విద్యార్థుల సంఖ్య 4.
(iv) 8 మార్కులు పొందిన విద్యార్థుల సంఖ్య ‘0’ (తరగతిలోని ఏ విద్యార్థి 8 మార్కులు పొందలేదు).

ప్రశ్న 2.
25 మంది గల ఒక తరగతిలోని విద్యార్థులు వివిధ ఆటలు ఆడతారు. (ఒక్కొక్క విద్యార్థి ఒక్కొక్క ఆటను మాత్రమే ఆడును). ఆటగాళ్ళ సంఖ్యాత్మక వివరాలు పట చిత్రంలో చూపబడింది.

(i) ఎంతమంది విద్యార్థులు బ్యాడ్మింటన్ ఆడతారు?
(ii) ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు ఆడే ఆట ఏది?
(iii) తక్కువ మంది విద్యార్థులు ఆసక్తి చూపే ఆట ఏది?
(iv) ఏ ఆటనూ ఆడని విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
(i) 5 మంది విద్యార్థులు బ్యాడ్మింటన్ ఆడతారు.
(ii) ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు (7) ఆడే ఆట కబడ్డీ.
(iii) తక్కువ మంది విద్యార్థులు (4) ఆసక్తి చూపే ఆట టెన్నికాయిట్.
(iv) మొత్తం ఆటగాళ్ళ సంఖ్య = 7 + 4 + 5 + 6 = 22
మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 25
ఏ ఆటనూ ఆడని విద్యార్థుల సంఖ్య = 25 – 22 = 3

ప్రశ్న 3.
ఒక పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్యను పటత్రంగా చూపుదాం.

35 మంది విద్యార్థులను సూచించుటకు 35 బొమ్మలు వేయడం సమంజసమా ? కావున ప్రతి 5 మంది విద్యార్థులను ఒక బొమ్మ సూచిస్తుందని అనుకుంటే, ఆ సూచనను ‘స్కేలు’ అంటాం. సాధారణంగా ‘సులు దత్తాంశంలోని అన్ని పౌనఃపున్యాల యొక్క గ.సా.భాను తీసుకుంటాం.
సాధన.

పై దత్తాంశమును సూచించు పట చిత్రం ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
కింది పట చిత్రం ఐదు గ్రామాల్లో గల ట్రాక్టర్ల సంఖ్యను చూపుతున్నది.

(i) ఏ గ్రామములో కనిష్ఠ సంఖ్యలో ట్రాక్టర్లు కలవు?
(ii) ఏ గ్రామములో గరిష్ఠ సంఖ్యలో ట్రాక్టర్లు కలవు?
(iii) గ్రామము B కన్నా గ్రామము C లో ఎన్ని ట్రాక్టర్లు ఎక్కువ కలవు?
(iv) ఐదు గ్రామాలలోనూ గల మొత్తం ట్రాక్టర్ల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
(i) B మరియు E గ్రామములలో కనిష్ఠ సంఖ్యలో (8) ట్రాక్టర్లు కలవు.
(ii) D గ్రామములో గరిష్ఠ సంఖ్యలో (20) ట్రాక్టర్లు కలవు.
(iii) B గ్రామము కంటే C గ్రామములో అధికముగా గల ట్రాక్టర్ల సంఖ్య 10.
(iv) ఐదు గ్రామాలలోనూ గల మొత్తం ట్రాక్టర్ల సంఖ్య (66).

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక పాఠశాలలోని 20 మంది విద్యార్థుల వయస్సులు దిగువ ఇవ్వబడ్డాయి.
13, 10, 11, 12, 10, 11, 11, 13, 12, 11, 10, 11, 12, 11, 13, 11, 10, 13, 10, 12
(i) ఈ దత్తాంశానికి గణన చిహ్నాలతో పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను నిర్మించండి.
(ii) ఏవయసు గల విద్యార్థులు ఎక్కువ మంది కలరు?
(iii) 10 సం|| వయస్సు గల విద్యార్థులెందరు?
(iv) గరిష్ఠ వయస్సు గల విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక:
(i)

(ii) 11 సం|| వయస్సు గల విద్యార్థులు ఎక్కువ మంది కలరు.
(iii) 10 సం|| వయస్సు గల విద్యార్థుల సంఖ్య 5.
(iv) గరిష్ఠ వయస్సు (13 సం||) గల విద్యార్థుల సంఖ్య 4.

ప్రశ్న 2.
ఒక పాచికను 30 సార్లు దొర్లించగా వచ్చిన ఫలితాలు

(i) పై దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారు చేయండి.
(ii) ఎక్కువ సార్లు (గరిష్ఠంగా) వచ్చిన ఫలితము (సంఖ్య) ఏది?
(iii) 4 కంటే పెద్దదైన సంఖ్య ఎన్నిసార్లు ఫలితంగా వచ్చింది ?
(iv) బేసి సంఖ్య ఎన్నిసార్లు ఫలితంగా వచ్చింది?
సాధన.
(i) పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక:

(ii) ఎక్కువసార్లు (గరిష్ఠంగా) వచ్చిన ఫలితము (సంఖ్య) 2 మరియు 3.
(iii) 4 కంటే పెద్దదైన సంఖ్య 5 – 4 సార్లు, 6 – 5 సార్లు ఫలితంగా వచ్చినవి.
(iv) బేసి సంఖ్య
1 – 5 సార్లు
3 – 6 సార్లు
5 – 4 సార్లు వచ్చినది.

ప్రశ్న 3.
ఒక పాఠశాలలోని వివిధ తరగతులలో A గ్రేడు విద్యార్థుల శాతాలు ఈ విధంగా ఉన్నది.

పై దత్తాంశమును నిలువు కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో చూపండి.
సాధన.
(i) VI వ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {65}{10}\) = 6.5 సెం.మీ.
(ii) VII వ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {75}{10}\) = 7.5 సెం.మీ.
(iii) VIII వ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {85}{10}\) = 8.5 సెం.మీ.
(iv) IX వ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {60}{10}\) = 6 సెం.మీ.
(v) Xవ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {80}{10}\) = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక పుస్తక విక్రేత ఆరు రోజులలో అమ్మిన గణిత పుస్తకాల సంఖ్య కింద ఇవ్వబడింది.

ఈ దత్తాంశానికి అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రం నిర్మించండి.
సాధన.
సోమవారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {65}{10}\) = 6.5 సెం.మీ.
మంగళవారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {40}{10}\) = 4 సెం.మీ.
బుధవారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {30}{10}\) = 3 సెం.మీ.
గురువారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {50}{10}\) = 5 సెం.మీ.
శుక్రవారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {70}{10}\) = 7 సెం.మీ.
శనివారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {20}{10}\) = 2 సెం.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 12.3

ప్రశ్న 1.
కొన్ని జంతువుల జీవిత కాలాలు కింద ఇవ్వబడినవి :
ఎలుగుబంటి – 40 సం||లు, ఒంటె – 50 సం॥లు, పిల్లి – 25 సం॥లు, గాడిద – 45 సం॥లు, మేక – 15 సం||లు, గుఱ్ఱం – 10 సం||లు, ఏనుగు – 70 సం||లు.
పై దత్తాంశాన్ని అడ్డుకమ్మీ రేఖా చిత్రంలో చూపండి.
సాధన.

ఎలుగుబంటిని సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {40}{5}\) = 8 సెం.మీ.
ఒంటెను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {50}{5}\) = 10 సెం.మీ.
పిల్లిని సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {25}{5}\) = 5 సెం.మీ.
గాడిదను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {45}{5}\) = 9 సెం.మీ.
మేకను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {15}{5}\) = 3 సెం.మీ.
గుర్రంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {10}{5}\) = 2 సెం.మీ.
ఏనుగును సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {70}{5}\) = 14 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
హైదరాబాదు నుండి తిరుపతికి వివిధ ప్రయాణ సాధనముల ద్వారా పట్టు సమయం ఈ విధంగా ఉంది.
కారు – 8 గం||లు, బస్సు – 15 గం॥లు, రైలు – 12 గం||లు, విమానం – 1 గం||. ఈ సమాచారంను కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో చూపండి.
సాధన.

కారును సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {8}{1}\) = 8 సెం.మీ.
బస్సును సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {15}{1}\) = 15 సెం.మీ.
రైలును సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {12}{1}\) = 12 సెం.మీ.
విమానంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {1}{1}\) = 1 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
120 మంది విద్యార్థులపై వారు తమ ‘తీరిక సమయాన్ని ఎలా గడుపుతారు’ అని సర్వే చేయగా ఈ సమాచారం లభించింది.

ఈ దత్తాంశాన్ని సూచించు కమ్మీరేఖా చిత్రం నిర్మించండి.
సాధన.

ఆటలాడటంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {25}{5}\) = 5 సెం.మీ.
పుస్తకాలు చదవడంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {10}{5}\) = 2 సెం.మీ.
టీ.వి. చూడడంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {40}{5}\) = 8 సెం.మీ.
సంగీతం వినడంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {10}{5}\) = 2 సెం.మీ.
చిత్రలేఖనంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = \(\frac {15}{5}\) = 3 సెం.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
ఒక చేతి గడియారముల కర్మాగారము ఒక వారములో తయారు చేసిన గడియారముల సంఖ్య ఈ కింది విధంగా ఉంది.

తగు స్కేలు నిర్ణయించి, పై దత్తాంశాన్ని పట చిత్రంలో చూపండి.
సాధన.

గమనిక :

• సోమవారం \(\frac {300}{25}\) = 12
• మంగళవారం \(\frac {350}{25}\) = 14
• బుధవారం \(\frac {250}{25}\) = 10
• గురువారం \(\frac {400}{25}\) = 16
• శుక్రవారం \(\frac {300}{25}\) = 12
• శనివారం \(\frac {275}{25}\) = 11

ప్రశ్న 2.
ఒక గ్రామ పంచాయితీ సర్పంచ్ ఎన్నికలో నలుగురు అభ్యర్థులు పొందిన ఓట్ల సంఖ్య వారి గుర్తుకెదురుగా ఇవ్వబడినవి.

తగు స్కేలు నిర్ణయించి, పై దత్తాంశాన్ని పట చిత్రంలో చూపి, ఈ క్రింది ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.
(i) ఏగుర్తుకు కనిష్ఠ సంఖ్యలో ఓట్లు లభించాయి?
(ii) ఏగుర్తు అభ్యర్థి ఎన్నికలలో విజయం సాధించాడు?
సాధన.
స్కేలు : ఒక్కొక్క గుర్తు = 50 ఓట్లు

సూర్యుడు = \(\frac {400}{50}\) = 8
కుండ = \(\frac {550}{50}\) = 11
చెట్టు = \(\frac {350}{50}\) = 7
గడియారం = \(\frac {200}{50}\) = 4
(i) గడియారం గుర్తుకు కనిష్ఠ సంఖ్యలో ఓట్లు లభించాయి.
(ii) కుండ గుర్తు అభ్యర్థి ఎన్నికలలో విజయం సాధించాడు.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
25 మంది విద్యార్థులకు ఇష్టమైన రంగులు ఇలా ఉన్నవి:
నీలం, ఎరుపు, ఆకుపచ్చ, తెలుపు, నీలం, ఆకుపచ్చ, తెలుపు, ఎరుపు, నారింజ, ఆకుపచ్చ, నీలం, తెలుపు, నీలం, నారింజ, నీలం, నీలం, తెలుపు, ఎరుపు, తెలుపు, తెలుపు, ఎరుపు, ఆకుపచ్చ, నీలం, నీలం, తెలుపు. ఈ దత్తాంశానికి గణన చిహ్నాలను ఉపయోగించి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారు చేయండి. అతి తక్కువ మంది విద్యార్థులకు ఇష్టమయిన రంగు ఏది ?
సాధన.
పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక :

అతి తక్కువమంది ఇష్టపడుతున్న రంగు నారింజ.

ప్రశ్న 2.
‘మద్యపాన నిషేధం’ పై ఒక టి.వి. ఛానెల్ వారు SMS పోల్ నిర్వహిస్తూ ఈ కింది వానిలో ఒక దానికి ఓటు వేయమని కోరారు.
A – పూర్తి నిషేధం B- పాక్షిక నిషేధం C – అమ్మకాలు కొనసాగించాలి. వారు మొదటి గంటలో అందుకున్న SMSలు ఈ విధంగా ఉన్నవి.

పై దత్తాంశమును గణన చిహ్నాలు ఉపయోగించి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపండి.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఒక రహదారి తనిఖీ కేంద్రం వద్ద ఉదయం 10 గం||లు మరియు 11 గం||ల మధ్య ప్రయాణించిన వాహనాలు :
కారు, లారీ, బస్సు, లారీ, ఆటో, లారీ, లారీ, బస్సు, ఆటో, బైక్, బస్సు, లారీ, లారీ, జీపు, లారీ, బస్సు, జీపు, కారు, బైక్, బస్సు, కారు, లారీ, బస్సు, లారీ, బస్సు, బైక్, కారు, జీపు, బస్సు, లారీ, లారీ, బస్సు, కారు, కారు, బైక్, ఆటో.
పై దత్తాంశాన్ని గణన చిహ్నాలు ఉపయోగించి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపండి.
సాధన.
పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక :

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 చుట్టుకొలత – వైశాల్యం InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 11th Lesson చుట్టుకొలత – వైశాల్యం InText Questions

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 155]

ప్రశ్న 1.
కింది పటాల చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి.

(a) ∆KLM మరియు ☐ KLMN ల చుట్టుకొలతలు,
∆KMN మరియు ☐ KLMN ల చుట్టుకొలతలు పోల్చండి. ఏమి గమనించావు?
సాధన.
(i) త్రిభుజం ABC యొక్క చుట్టుకొలత = AB + BC + AC = 2 + 2 + 2 = 6 సెం.మీ.

(ii) ∆KLM చుట్టుకొలత = KL + LM + MK = 2 + 2.6 + 3.8 = 8.4 సెం.మీ.
∆KMN చుట్టుకొలత = KM + MN + KN = 3.8 + 2 + 2.6 = 8.4 సెం.మీ.

(iii) ☐ KLMN చుట్టుకొలత = KL + LM + MN + NK = 2 + 2.6 + 2 + 2.6 = 9.2 సెం.మీ.
(a) ∆KLM మరియు < ☐ KLMN ల చుట్టుకొలతలను పోల్చగా, 8.4 సెం.మీ. < 9.2 సెం.మీ.
∴ ∆ KLM చుట్టుకొలత < ☐ KLMN చుట్టుకొలత
∆ KMN మరియు ☐ KLMN ల చుట్టుకొలతలు పోల్చగా, 8.4 సెం.మీ. < 9.2 సెం.మీ.
∴ ∆ KMN చుట్టుకొలత < ☐ KLMN చుట్టుకొలత
గమనించిన అంశం : రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ పటాలను కలుపగా ఏర్పడిన పటం యొక్క చుట్టుకొలత కలిపిన అన్ని పటాల చుట్టుకొలతల మొత్తం కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 159]

ప్రశ్న 1.
వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేస్తే, దాని పరిధిలో మార్పు ఏమిటి?
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r అయితే దాని పరిధి C = 2πr
వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేస్తే దాని వ్యాసార్ధం = 2r అవుతుంది
ఇపుడు వృత్తపరిధి C = 2πr × (2r) = 4πr = 2 × 2πr
వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేస్తే దాని పరిధి కూడా రెట్టింపు అవుతుంది

ప్రశ్న 2.
వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని సగం చేస్తే, దాని పరిధిలో మార్పు ఏమిటి?
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r అయితే దాని పరిధి = 2πr
వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని సగం చేస్తే దాని వ్యాసార్ధం = \(\frac {r}{2}\)
ఇపుడు ఆ వృత్త పరిధి = 2π × \(\frac {r}{2}\) = \(\frac {1}{2}\) . 2πr
వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని సగం చేస్తే ఆ వృత్త పరిధి కూడా సగం అవుతుంది.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 160]

ప్రశ్న 1.
16 సెం.మీ. భుజం గల చతురస్ర వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
చతురస్ర భుజము (s) = 16 సెం.మీ.
∴ చతురస్ర వైశాల్యము = భుజము × భుజము = 16 × 16 = 256 చ|| సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా 16 సెం.మీ., 12 సెం.మీ. అయిన దాని వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు (1) = 16 సెం.మీ.; వెడల్పు (b) = 12 సెం.మీ.
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = 16 × 12 = 192 చ|| సెం.మీ.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 160]

4 సెం.మీ. భుజం గల చతురస్ర చుట్టుకొలత, వైశాల్యం కనుగొనుము. రెండూ ఒకటేనా ? నీ సమాధానాన్ని సమర్థిస్తూ కొన్ని ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన.
చతురస్ర భుజం = 4 సెం.మీ.
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజం = 4 × 4 = 16 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం = 4 × 4 = 16 చ|| సెం.మీ.
ఈ సందర్భంలో చతురస్ర చుట్టుకొలత, వైశాల్యములు సంఖ్యాపరంగా సమానము.

ఉదా 1: చతురస్ర భుజం = 2 సెం.మీ. అనుకొనుము
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజం = 4 × 2 = 8 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం = 2 × 2 = 4 చ.సెం.మీ.
ఈ సందర్భంలో చుట్టుకొలత, వైశాల్యములు సంఖ్యాపరంగా సమానం కావు.

ఉదా 2 : చతురస్ర భుజం = 5 సెం.మీ. అనుకొనుము.
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజం = 4 × 5 = 20 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం = 5 × 5 = 25 సెం.మీ.
ఈ సందర్భంలోను చతురస్ర చుట్టుకొలత, వైశాల్యములు సంఖ్యాపరంగా సమానంకాదు.

ప్రశ్న 1.
15 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. లు పొడవు, వెడల్పులు గల దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు = 15 సెం.మీ.
వెడల్పు = 8 సెం.మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము = పొడవు × వెడల్పు = 15 × 8 = 120 చ|| సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
64 మీటర్లు చుట్టుకొలతగా గల చతురస్ర వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 64 మీటర్లు
4 × భుజం = 64 మీటర్లు
భుజం = \(\frac {64}{4}\) = 16 మీ.
∴ చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= 16 × 16 = 256 చ||మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రం, చతురస్రం చుట్టుకొలతలు సమానం. దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు 14 సెం.మీ., చతురస్రం చుట్టుకొలత 44 సెం.మీ., అయిన దీర్ఘ చతురస్రం వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 14 సెం.మీ.
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 44 సెం.మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర చుట్టుకొలత = చతురస్ర చుట్టుకొలత 2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు = 44 సెం.మీ.
2 × 14 + 2 × వెడల్పు = 44 సెం.మీ.
28 + 2 × వెడల్పు = 44 సెం.మీ.
2 × వెడల్పు = 44 – 28 = 16 సెం.మీ.
వెడల్పు = \(\frac {16}{2}\) = 8 సెం.మీ.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= 14 × 8 = 112 చ|| సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
కింది వాని చుట్టుకొలతలు, వైశాల్యాలు కనుగొని, ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.
(A) 16 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. లు పొడవు, వెడల్పులుగా గల దీర్ఘ చతురస్రం
(B) 14 సెం.మీ., 10 సెం.మీ. లు పొడవు, వెడల్పులుగా గల దీర్ఘచతురస్రం
(C) 12 సెం.మీ. భుజంగా గల చతురస్రం
(i) వేటి చుట్టుకొలతలు సమానం?
(ii) అన్నింటి వైశాల్యాలు సమానమా ? కానిచో దేని వైశాల్యం ఎక్కువ ?
సాధన.

(i) A, B, C మూడింటి చుట్టుకొలతలు సమానము.
(ii) అన్నింటి వైశాల్యాలు సమానం కాదు. A, B దీర్ఘచతురస్రాలకన్నా C చతురస్ర వైశాల్యము ఎక్కువ.

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల వృత్త పరిధి. ( π = \(\frac {22}{7}\))
సాధన.
వ్యాసార్ధం (r) = 7 సెం.మీ.
వృత్త పరిధి = 2πr(π = \(\frac {22}{7}\)) = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
వృత్త వ్యాసార్థం 66 సెం.మీ. దానీ వ్యాసార్ధం ఎంత?
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్థం = 2πr = 66 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రం పొడవు 16 సెం.మీ., వెడల్పు 13 సెం.మీ. దాని వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు (l) = 16 సెం.మీ.
వెడల్పు (b) = 12 సెం.మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = 16 × 12 = 192 చదరపు సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
16 సెం.మీ. భుజం గల ఒక చతురస్రాకార కాగితము నుండి 12 సెం.మీ. × 8 సెం.మీ. దీర్ఘ చతురస్రాన్ని కత్తిరించిన, మిగిలిన కాగిత వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
చతురస్ర భుజం (S) = 16 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = S × S = 16 × 16 = 256 చ.సెం.మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు l = 12 సెం.మీ.; వెడల్పు b = 8 సెం.మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = l × b = 12 × 8 = 96 చ.సెం.మీ.
మిగిలిన కాగితం యొక్క వైశాల్యం = చతురస్ర వైశాల్యం – దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం
= 256 – 96 = 160 చ.సెం.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 చుట్టుకొలత – వైశాల్యం Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 11th Lesson చుట్టుకొలత – వైశాల్యం Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
48 సెం.మీ. చుట్టుకొలతగల చతురస్ర వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 48 సెం.మీ.
4 × భుజం = 48 సెం.మీ.
భుజం = \(\frac {48}{4}\) = 12 సెం.మీ.
∴ చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం = 12 × 12 = 144 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు 14 సెంటీమీటర్లు. దాని చుట్టుకొలత పొడవుకు 3రెట్లు. అయిన దాని వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 14 సెం.మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర చుట్టుకొలత పొడవుకు 3 రెట్లు.
∴ దీర్ఘ చతురస్ర చుట్టుకొలత = 3 × 14 = 42 సెం.మీ.
2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు = 42
2 × 14 + 2 × వెడల్పు = 42
28 + 2 × వెడల్పు = 42
2 × వెడల్పు = 42 – 28
2 × వెడల్పు = 14
వెడల్పు = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = 14 × 7 = 98 చ|| సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
14 సెం.మీ. వ్యాసం గల వృత్త పరిధి కనుగొనండి.
సాధన.
వృత్త వ్యా సము = 14 సెం.మీ.
14. వృత్త వ్యాసార్ధము = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
వృత్త పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా 14 సెం.మీ., 12 సెంటీమీటర్లు. దాని వెడల్పు 6 సెం.మీ. పెంచి, పొడవు 6 సెం.మీ. తగ్గించిన, వైశాల్యంలో మార్పు కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 14 సెం.మీ.
వెడల్పు = 12 సెం.మీ.

∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = 14 × 12 = 168 చ|| సెం.మీ.
పై దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు 6 సెం.మీ. పెంచి, పొడవు 6 సెం.మీ. తగ్గించినపుడు ఏర్పడు దీర్ఘచతురస్రపు
పొడవు = 14 – 6 = 8 సెం.మీ.
వెడల్పు = 12 + 6 = 18 సెం.మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 8 × 18 = 144 చ|| సెం.మీ.
కొత్తగా ఏర్పడిన దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 168 – 144 = 24 చ||సెం||మీ. తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 5.
కింది పటాల చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి. ఏమి గమనించారు?

సాధన.
(i) దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 12 సెం.మీ., వెడల్పు = 8 సెం.మీ.
దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత = 2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు = 2 × 12 + 2 × 8 = 24 + 16 = 40 సెం.మీ.
(ii) చుట్టుకొలత = 12 + 8 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 = 40 సెం.మీ.
(iii) చుట్టుకొలత = 2 + 5 + 3 + 2 + 3 + 5 + 2 + 5 + 3 + 2 + 3 + 5 = 40 సెం.మీ.
గమనించిన అంశం : పై మూడు పటాల ఆకారాలు వేరుగా ఉన్న వాటి చుట్టుకొలతలు మాత్రం ఒకటే.

ప్రశ్న 6.
8 సెం.మీ. భుజం గల ఒక చతురస్రాకార కాగితంను 64 సమాన చతురస్రాలుగా చేయబడింది. పెద్ద చతురస్రం చుట్టుకొలత కనుగొనుము. 64 చిన్న చతురస్రాల చుట్టుకొలతల మొత్తం కనుగొనండి. ఏమి గమనించితివి?
సాధన.
పెద్ద చతురస్ర భుజం = 8 సెం.మీ.
పెద్ద చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజం = 4 × 8 = 32 సెం.మీ.
పెద్ద చతురస్ర వైశాల్యం = 8 × 8 = 64 చ|| సెం.మీ.
ఒక చతురస్రాకార కాగితంను 64 సమాన చతురస్రాలుగా విభజించిన ఒక్కొక్క చిన్న చతురస్ర వైశాల్యం = \(\frac {64}{64}\) = 1 చ|| సెం.మీ.
భుజం × భుజం = 1 × 1 చ|| సెం.మీ.
ఒక్కొక్క చిన్న చతురస్ర భుజం = 1 సెం.మీ.
ఒక్కొక్క చిన్న చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజం = 4 × 1 = 4 సెం.మీ.
64 చిన్న చతురస్రాల మొత్తం చుట్టుకొలత = 64 × 4 = 256 సెం.మీ.

పై పరిశీలన నుండి మనం పెద్ద చతురస్ర చుట్టుకొలత, 64 చిన్న చతురస్రాల చుట్టుకొలతల మొత్తానికి సమానం కాదు అని గమనించగలము. అనగా ఒక జ్యామితీయ పటాన్ని అనేక చిన్న పటాలుగా విభజించినపుడు మనం క్రింది విషయాలు గమనించగలము.
(i) పెద్ద పటం యొక్క వైశాల్యము, విభజించిన అన్ని చిన్నపటాల వైశాల్యముల మొత్తానికి సమానము.
(ii) పెద్ద పటం యొక్క చుట్టుకొలత, అన్ని చిన్న పటాల చుట్టుకొలతల మొత్తానికి సమానం కాదు.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 చుట్టుకొలత – వైశాల్యం Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 11th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 11.2

1. కింది వ్యాసార్ధాలు గల వృత్తాల వృత్త పరిధులు కనుగొనండి.

ప్రశ్న (A)
7 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ.
వృత్త పరిధి C = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ. (∵ π = [ltex]\frac {22}{7}[/latex])

ప్రశ్న (B)
3.5 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = 3.5 సెం.మీ.
వృత్త పరిధి C = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 = 22 సెం.మీ.

ప్రశ్న (C)
14 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = 14 సెం.మీ.
∴ వృత్త పరిధి C = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 14 = 88 సెం.మీ.

2. వృత్త పరిధులు కింది విధంగా ఉన్నవి. ఆ వృత్త వ్యాసార్ధాలు కనుగొనండి.

ప్రశ్న (A)
4.4 మీ.
సాధన.
వృత్త పరిధి C = 4.4 మీ.
2πr = 4.4 మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 4.4
\(\frac {44}{7}\) r = 4.4
r = 4.4 × \(\frac {7}{44}\)
r = \(\frac{44}{10} \times \frac{7}{44}=\frac{7}{10}\) మీ. = \(\frac {7}{10}\) × 100 సెం.మీ. = 70 సెం.మీ. (1మీ. = 100 సెం.మీ.)

ప్రశ్న (B)
176 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త పరిధి C = 176 సెం.మీ.
2πr = 176 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 176
\(\frac {44}{7}\) × r = 176
r = 176 × \(\frac {7}{44}\) = 28 సెం.మీ.

ప్రశ్న (C)
1.54 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త పరిధి C = 1.54 సెం.మీ.
∴ 2πr = 1.54 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 1.54
\(\frac {44}{7}\) r = 1.54
⇒ r = 1.54 × \(\frac {7}{44}\)
⇒ r = \(\frac{154}{100} \times \frac{7}{44}=\frac{49}{200}\) సెం.మీ.
⇒ r = \(\frac {49}{200}\) × 10 మి.మీ. = \(\frac {49}{20}\) = 2.45 మి.మీ. (1 సెం.మీ. = 10 మి.మీ.)

ప్రశ్న 3.
ఒక స్వర్ణకారుని వద్ద 8.8 మీ. బంగారు తీగ ఉన్నది. దానితో 2 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల ఉంగరాలు ఎన్ని చేయగలడు?
సాధన.
స్వర్ణకారుని వద్దగల బంగారు తీగ పొడవు = 8.8 మీ. = 880 సెం.మీ.
స్వర్ణకారుడు తయారు చేసే ఉంగరం వ్యాసార్ధం r = 2 సెం.మీ.
∴ ఉంగరం పరిధి (ఉంగరం తయారు చేయుటకు కావలసిన తీగపొడవు) = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2 = \(\frac {88}{7}\) సెం.మీ.
కావున 8.8 మీ. = 880 సెం.మీ. బంగారు తీగ నుండి తయారుచేయగల ఉంగరాల సంఖ్య = 880 ÷ \(\frac {88}{7}\)
880 × \(\frac {7}{88}\) = 70

ప్రశ్న 4.
ఒక తీగ 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల వృత్తంగా ఉంచబడింది, అదే తీగను ఒక చతురస్రంగా వంచిన, దాని భుజం ఎంత?
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ.
∴ వృత్త పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ

వృత్తాకార తీగను చతురస్రంగా వంచిన, వృత్త పరిధి మరియు చతురస్ర చుట్టుకొలతలు సమానము.
∴ చతురస్ర చుట్టుకొలత = వృత్త పరిధి
4 × భుజం = 44 సెం.మీ.
∴ భుజం = \(\frac {44}{4}\) = 11 సెం.మీ.
∴ చతురస్ర భుజం = 11 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక రసాయన కర్మాగారంలో వేర్వేరు వ్యాసార్ధాలున్న రెండు చక్రాలు ఒక బెల్టుతో కలపబడ్డాయి. పెద్ద చక్రం వ్యాసార్ధం 21 సెం.మీ., చిన్న చక్రం వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. పెద్ద చక్రం 100 సార్లు తిరిగిన, చిన్న చక్రం ఎన్ని సార్లు తిరుగును?
సాధన.
రసాయన కర్మాగారంలోని పెద్ద చక్రం వ్యాసార్ధం r = 21 సెం.మీ.
∴ పెద్ద చక్రం పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 21 = 132 సెం.మీ.
∴ పెద్ద చక్రం 100 సార్లు తిరిగిన మొత్తం పొడవు = 132 × 100 = 13200 సెం.మీ.
రసాయన కర్మాగారంలోని చిన్న చక్రం వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ.
చిన్న చక్రం వృత్త పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ.
చిన్న చక్రం ‘n’ సార్లు తిరిగినట్లయితే,
చిన్న చక్రం కప్పబడిన దూరం = భ్రమణాల సంఖ్య × వృత్త పరిధి = n × 44 = 440 సెం.మీ.
చిన్న చక్రం కప్పబడిన దూరం = పెద్ద చక్రం కప్పబడిన దూరం
44n = 13200 సెం.మీ.
⇒ n = \(\frac {13200}{44}\) = 300
పెద్ద చక్రం 100 సార్లు తిరిగినపుడు చిన్న చక్రం 300 సార్లు తిరుగుతుంది.

ప్రశ్న 6.
మోహన్ ఒక లోహ తీగతో చేసిన 14 సెం.మీ., వ్యాసార్థం గల రింగుతో ఆడుతున్నాడు. తన సోదరుడు అడగ్గా, తీగను రెండు సమ భాగాలుగా తెంచి, వాటితో రెండు చిన్న రింగులు చేశాడు. చిన్న రింగు వ్యాసార్ధం ఎంత?
సాధన.
మోహన్ ఆడుకొంటున్న లోహపు రింగు వ్యాసార్ధం r = 14 సెం.మీ.
∴ లోహపు రింగు పరిధి (లోహపు రింగు తీగ మొత్తం పొడవు) = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 14 = 88 సెం.మీ.
లోహపు తీగను రెండు సమాన భాగాలుగా చేసిన ఒక్కొక్క భాగం పొడవు = \(\frac {88}{2}\) = 44 సెం.మీ.
అనగా మోహన్ తయారు చేసిన చిన్న రింగు పరిధి = 44 సెం.మీ.
⇒ 2πr = 44
⇒ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 44
⇒ \(\frac {44}{7}\) × r = 44
∴ r = 44 × \(\frac {7}{44}\)
చిన్న రింగు వ్యాసార్ధము r = 7 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
ఒక ఇనుప చట్రం చేయుటకు కమ్మరికి 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల 70 రింగులు అవసరం. 20 సెం.మీ. తరుగు పోయిన, ఎంత పొడవు గల కమ్మీ అవసరం?
సాధన.
కమ్మరి తయారుచేయు రింగు పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ.
70 రింగుల తయారీకి కావలసిన తీగ పొడవు = 44 × 70 = 3080 సెం.మీ.
ఇనుప చట్రం చేయుటకు కమ్మరి తీసుకొన్న తీగపొడవు = 70 రింగుల తయారీకి కావలసిన తీగ పొడవు + తరుగు
= 3080 + 20 = 3100 సెం.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 చుట్టుకొలత – వైశాల్యం Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 11th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 11.1

1. క్రింది పటాల చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
∆XYZ చుట్టుకొలత = 3 × భుజం పొడవు అగునా?
సాధన.

AXYZ చుట్టుకొలత
= XY + YZ + ZX
= 2 + 2 + 2 = 6 సెం.మీ.
= 3 × భుజం = 3 × 2 = 6 సెం.మీ.
∆XYZ చుట్టుకొలత = 3 × భుజం పొడవు అవుతుంది.

ప్రశ్న (ii)
☐ ABCD చుట్టుకొలత = 4 × భుజం పొడవు అగునా?
సాధన.

☐ ABCD చుట్టుకొలత
= AB + BC + CD + AD
= 3 + 3 + 3 + 3 = 12 సెం.మీ.
= 4 × భుజము = 4 × 3 = 12 సెం.మీ.
☐ ABCD చుట్టుకొలత = 4 × భుజం పొడవు అవుతుంది.

ప్రశ్న (iii)
☐ PQRS చుట్టుకొలత = 4 × భుజం పొడవు అగునా?
సాధన.

☐ PQRS చుట్టుకొలత
= PQ + QR + RS + SP
= 2 + 2 + 2 + 2 = 8 సెం.మీ.
= 4 × భుజము = 4 × 2 = 8 సెం.మీ.
☐ PQRS చుట్టుకొలత = 4 × భుజం పొడవు అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
రెండు దీర్ఘ చతురస్రాకార మైదానాల కొలతలు 50 మీ. × 30 మీ. మరియు 60 మీ. × 40 మీ. వాటి చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి. వాటి చుట్టుకొలతలు 2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు అగునో సరిచూడండి.
సాధన.

పై పట్టిక నుండి దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత = 2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి.
(a) 3.5 సెం.మీ. భుజం గల సమబాహు త్రిభుజం.
(b) 4.8 సెం.మీ. భుజం గల చతురస్రం.
సాధన.
(a) 3.5 సెం.మీ. భుజం గల సమబాహు త్రిభుజం.
సమబాహుత్రిభుజం ∆ABC చుట్టుకొలత
= AB + BC + AC = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5 సెం.మీ.

(లేదా)
సమబాహు త్రిభుజ. చుట్టుకొలత = 3 × భుజం = 3 × 3.5 = 10.5 సెం.మీ.

(b) 4.8 సెం.మీ. భుజం గల చతురస్రము.
చతురస్రం ABCD చుట్టుకొలత = AB + BC + CD + DA
= 4.8 + 4.8 + 4.8 + 4.8 = 19.2 సెం.మీ.

(లేదా)
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజము = 4 × 4. 8 = 19.2 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక టేబుల్ పై భాగం పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా 160 సెం.మీ., 90 సెం.మీ. దాని చుట్టూ అంచు కట్టుటకు 160 సెం.మీ. ఎంత పొడవు బీడింగ్ అవసరం?
సాధన.

టేబుల్ పై భాగం పొడవు = 160 సెం.మీ.
వెడల్పు = 90 సెం.మీ.
టేబుల్ పై భాగం దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఉంటుంది.
టేబుల్ చుట్టూ అంచు కట్టుటకు అవసరమగు బీడింగ్ పొడవు
= దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత = 160 + 90 + 160 + 90 = 500 సెం.మీ. = 5 మీటర్లు

ప్రశ్న 5.
మానస వద్ద 24 సెం.మీ. పొడవు గల లోహపు తీగ ఉంది. దానితో పొడవులు పూర్ణాంకాలయ్యేలా సమాన భుజాలు గల బహుభుజులు చేయాలనుకొంది. ఆమె ఎన్ని రకాల బహుభుజులు ఏర్పరచగలదో కనుగొనండి.
సాధన.
మానస వద్దగల లోహపు తీగ పొడవు = 24 సెం.మీ.
24 యొక్క 2 కన్నా పెద్దవైన కారణాంకాల సంఖ్యకు సమాన సంఖ్యలో సమాన భుజాలు గల బహుభుజులను ఏర్పరచగలదు.
(i) \(\frac {24 }{3}\) = 8
8 సెం.మీ. పొడవుగల 3 భుజాలను కలిగిన సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచగలదు.

24 = 3 × 8
4 × 6
6 × 4
8 × 3
12 × 2

(ii) \(\frac {24}{6}\) = 4
6 సెం.మీ. భుజంగా గల 4 భుజాలు కలిగిన చతురస్రాన్ని మరియు రాంబన్లను ఏర్పరచగలదు.

(iii) \(\frac {24}{6}\) = 4

4 సెం.మీ. పొడవు గల 6 భుజాలను కలిగిన షడ్భుజిని ఏర్పరచగలదు.

(iv) \(\frac {24}{8}\) = 3

3 సెం.మీ. భుజం పొడవుగా గల 8 భుజాలు కలిగిన అష్టభుజిని ఏర్పరచగలదు.

(v) \(\frac {24}{12}\) = 2
ప్రతి భుజం పొడవు 2 సెం.మీ. గల 12 భుజాలు గల ద్వాదశ భుజిని ఏర్పరచగలదు.

ప్రశ్న 6.
కింది పటాల చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.

(i) పటం చుట్టుకొలత = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JK + KL + LA
= 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 5
= 22 సెం.మీ.

(ii) పటం చుట్టుకొలత
= MN + NO + OP + PQ + QR + RS + ST + TU + UV + VW + WX + XM A
= 1 + 5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1
= 18 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
P : ఒకే చుట్టుకొలత గల అనేక దీర్ఘ చతురస్రాలు ఉంటాయి.
Q : ఒకే చుట్టుకొలత గల అనేక చతురస్రాలు ఉంటాయి.
పై వాక్యాలలో ఏది సత్యం?
(A) P అసత్యం, Q సత్యం (B) P సత్యం, Q అసత్యం (C) P, Q లు రెండూ సత్యం (D) P, Q లు రెండూ అసత్యం
సాధన.
(B) P సత్యం, Q అసత్యం
వివరణ : ఉదాహరణకు 16 యూనిట్లు చుట్టుకొలతగా గల దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు

16 యూనిట్లు చుట్టుకొలతగా గల చతురస్రాన్ని ఒక దానిని మాత్రమే ఏర్పరచగలము. ఈ చతురస్ర భుజం 4 యూనిట్లు.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 146]

ఒకే వ్యాసార్ధం గల రెండు వృత్తాలు నిర్మించండి.
(i) రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనేలా నిర్మించండి.
(ii) ఒకే ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శించుకొనేలా నిర్మించండి.

సాధన.

(i) P,Q కేంద్రంగా గల వృత్తాలు R, S అనే రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.

(ii) U,V కేంద్రాలుగా గల వృత్తాలు X అనే ఒకే బిందువు వద్ద స్పర్శించుకొంటున్నాయి. ఈ సందర్భంలో \(\overline{\mathrm{UX}}\) = \(\overline{\mathrm{XV}}\) అవుతుంది.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 147]

పై రెండు పద్ధతులలోను \(\overline{\mathrm{AP}}\) = \(\overline{\mathrm{BP}}\) పొడవులు కొలవండి. ఏమి గమనించారు?
సాధన.

ఈ నిర్మాణంలో \(\overline{\mathrm{AP}}\) = \(\overline{\mathrm{PB}}\) అని మనం గమనించాము.
∴ AB ని ‘P’ రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 148]

రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీచే విధానంలో సోపానం-2లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) సగం కంటే తక్కువ పొడవును వ్యాసార్ధంగా తీసుకుంటే ఏం జరుగుతుంది?
సాధన.
రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీచే విధానంలో సోపానం-2 లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) సగం కంటే తక్కువ పొడవును వ్యాసార్ధంగా తీసుకొంటే చాపరేఖలు ఒకదానినొకటి ఖండించుకొనవు.

పేజి నెం. 152

180° , 240° , 300° కోణాలు నిర్మించండి.
సాధన.
(i) \(\angle \mathbf{A O B}\) = 180°

నిర్మాణం :

• కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) కిరణం గీయాలి.
• ‘O’ కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో OA ను M వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• M కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని P వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• P కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• Q కేంద్రంగా మరలా. అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని R వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• OR (\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{A O B}\) కావలసిన కోణం .

(ii) \(\angle \mathbf{PQR}\) = 240°

నిర్మాణం :

• కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{QP}}\) కిరణం గీయాలి.
• ‘Q’ కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో QP ను A వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• A కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని B వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• B కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని C వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• C కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని D వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• D కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మూడవ చాపాన్ని E వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• QE (\(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{PQR}\) కావలసిన కోణం.

(iii) \(\angle \mathbf{XYZ}\) = 300°

నిర్మాణం :

• కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{YZ}}\) కిరణం గీయాలి.
• Y కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో YZను P వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• P కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• Q కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని R వద్ద ఖండించేలా మరొక చాపం గీయాలి.
• R కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని ఏ వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• S కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మూడవ ఛాపాన్ని T వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• T కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో నాలుగవ చాపాన్ని U వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• YU (\(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{XYZ}\) కావలసిన కోణం .

పేజి నెం. 153

ప్రశ్న 1.
90° కోణం నిర్మించడానికి మరొక పద్ధతి ఆలోచించండి.
(\(\frac {180}{2}\) = 90°, 180° లకు కోణ సమద్విఖండనరేఖ గీయడం ద్వారా నిర్మించండి.)
సాధన.

నిర్మాణ క్రమం :

• \(\angle \mathbf{AOB}\) = 180° కోణాన్ని నిర్మించాలి. (ఒక సరళరేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ని గీయాలి)
• “O” కేంద్రంగా ‘O’ కు ఇరువైపులా ఒకే వ్యాసార్ధంతో \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) పై చాపరేఖలు గీచి, ఖండన బిందువులు X, Y లను గుర్తించాలి.
• \(\overrightarrow{\mathrm{XY}}\) పొడవులో సగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో X, Y లు కేంద్రాలుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) పైన రెండు చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువును C గా గుర్తించాలి.
• O, C లను కలుపగా మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOC}\) = 90° ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 2.
వృత్తలేఖిని సాయంతో 45° కోణాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
1వ పద్ధతి : (60°ల నుండి 30° + 15° నిర్మించడం ద్వారా)

నిర్మాణక్రమం :

• వృత్తలేఖిని సహాయంతో 60° కోణం \(\angle \mathbf{AOB}\) ని గీయాలి.
• \(\angle \mathbf{AOB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం OC ని గీయాలి. ఇపుడు \(\angle \mathbf{AOC}\) = \(\angle \mathbf{COB}\) = 30° అవుతుంది.
• \(\angle \mathbf{COB}\) = 30° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇపుడు \(\angle \mathbf{COD}\) = \(\angle \mathbf{DOB}\) = 15° కోణాలు ఏర్పడినవి.
• మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOD}\) = 45°, \(\angle \mathbf{AOD}\) = \(\angle \mathbf{AOC}\) + \(\angle \mathbf{COD}\) = 30° + 15° = 45° ఏర్పడినది.

2వ పద్ధతి : (90° లకు కోణ సమద్విఖండన రేఖ నిర్మించడం ద్వారా)

నిర్మాణక్రమం :

• \(\angle \mathbf{AOB}\) = 60°, \(\angle \mathbf{AOC}\) = 120° కోణాలను నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathbf{BOC}\) = 60° కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని గీయాలి.
• ఇపుడు \(\angle \mathbf{AOD}\) = \(\angle \mathbf{AOB}\) + \(\angle \mathbf{BOD}\) = 60° + 30° = 90° ఏర్పడినది.
• \(\angle \mathbf{AOD}\) = 90° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ని గీయాలి. మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOE}\) = 45° ఏర్పడినది.

3వ. పద్దతి : (90° లను సరళకోణం నుండి నిర్మించి (మునుపటి సమస్యలో వలె) దాని కోణ సమద్విఖండనం చేయడం ద్వారా నిర్మించవచ్చును.)
4వ పద్దతి : (లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజ భావన నుండి)

నిర్మాణక్రమం :

• \(\angle \mathbf{XOY}\) = 90° కోణాన్ని నిర్మించాలి. (పై సమస్యలోవలె)
• O కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంలో \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{OY}}\) లపై చాపరేఖలను గీచి, ఖండన బిందువులు A, B లుగా గుర్తించి, A, B లను కలపాలి.
• కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{OBA}\) = 45° ఏర్పడినది.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson ప్రాయోజిక జ్యామితి Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
X కేంద్రంగా 10 సెం.మీ. వ్యాసం గల ఒక వృత్తం నిర్మించుము.
సాధన.
వ్యాసం = 10 సెం.మీ. కావున వ్యాసార్ధం = 5 సెం.మీ. లతో వృత్తాన్ని గీయాలి.

వ్యా సం AB = 10 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం XB = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
P కేంద్రంగా 2సెం.మీ., 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. మరియు 5 సెం.మీ., వ్యాసార్ధాలు గల నాలుగు వృత్తాలు గీయుము.
సాధన.
P – వృత్త కేంద్రము. (పై వృత్తాలను ఏకకేంద్ర వృత్తాలు అంటారు.)

3. కోణమానిని ఉపయోగించి కింది కోణాలు నిర్మించండి.

ప్రశ్న (అ)
75°
సాధన.

నిర్మాణక్రమము :

1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్యబిందువును ‘O’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించేటట్లు చేయాలి.
3. 75° వద్ద B బిందువును గుర్తించాలి.
4. OBలు కలపాలి. \(\angle \mathrm{AOB}\) = 75°

ప్రశ్న (ఆ)
15°
సాధన.
\(\angle \mathrm{PQR}\) = 15°

నిర్మాణ క్రమము :

1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{QP}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘Q’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{QP}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించేటట్లు చేయాలి.
3. 15° వద్ద R బిందువును గుర్తించాలి.
4. QR లు కలపాలి. \(\angle \mathrm{PQR}\) = 15.

ప్రశ్న (ఇ)
105°
సాధన.

నిర్మాణక్రమము :

1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్యబిందువును ‘Y’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\) ఆధారలేఖతో ఏకీభవించేటట్లు చేయాలి.
3. 105° వద్ద Z బిందువును గుర్తించాలి.
4. YZ లు కలపాలి. \(\angle \mathrm{XYZ}\) = 105° కోణం.

ప్రశ్న 4.
\(\angle \mathrm{ABC}\) = 50° నిర్మించి, దానికి సమానమగు \(\angle \mathrm{XYZ}\) ను కోణమానిని సాయం లేకుండా నిర్మించండి.
సాధన.

\(\angle \mathrm{ABC}\) = 50° మరియు \(\angle \mathrm{XYZ}\) = 50°.

నిర్మాణక్రమం :
1. కోణమానిని ఉపయోగించి \(\angle \mathrm{ABC}\) = 50° కోణాన్ని గీయాలి.
2. B కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) కిరణాలపై ఒక చాప రేఖను గీచి, ఖండన బిందువులను P, Q లుగా గుర్తించాలి.
3. \(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\) కిరణంపై Y కేంద్రంగా పై తీసుకొన్న వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపరేఖను గీయాలి. ఇది \(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\) ని R వద్ద ఖండించినది. ఇపుడు R కేంద్రంగా \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) వ్యాసార్ధంతో ఇంతకు ముందు గీచిన చాపరేఖను ఖండించాలి. ఖండన బిందువును S గా గుర్తించాలి. Y, S గుండా \(\overrightarrow{\mathrm{YZ}}\) కిరణాన్ని గీయాలి. మనకు కావలసిన \(\angle \mathrm{XYZ}\) = 50° కోణం ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 5.
\(\angle \mathrm{DEF}\) = 60° నిర్మించి, దానిని సమద్విఖండన చేయుము. ప్రతి సగాన్ని కోణమానితో కొలవండి.
సాధన.
\(\angle \mathrm{DEF}\) = 60°

\(\angle \mathrm{DEF}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\).
\(\angle \mathrm{DEF}\) = \(\angle \mathrm{XEF}\) = \(\frac {[latex]\angle \mathrm{DEF}\)}{2}[/latex] = \(\frac {60°}{2}\) = 30°

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
కోణమానిని ఉపయోగించకుండా \(\angle \mathrm{ABC}\) = 60° నిర్మించండి.
సాధన.
సోపానం – 1 : ‘l’ రేఖను గీచి దానిపై బిందువు ‘O’ ను గుర్తించాలి.

సోపానం – 2 : వృత్తలేఖిని లోహముల్లు ‘O’ మీద ఉంచి, కొంత వ్యాసార్ధంతో l ను A వద్ద ఖండించినట్లు ఒక చాపం గీయాలి.

సోపానం – 3 : A కేంద్రంగా సోపానం 2 లోని వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని B వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.

సోపానం – 4 : OB లు కలపాలి. 60° కొలత గల \(\angle \mathrm{BOA}\) ఏర్పడింది.

ప్రశ్న 2.
కోణమానిని మరియు వృత్తలేఖినిల సాయంతో 120° కోణం నిర్మించండి.
సాధన.
సోపానం – 1: OA కిరణం గీయాలి.

సోపానం – 2 : 0 కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో OA ను M వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.

సోపానం – 3 : M కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని P వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.

సోపానం – 4 : P కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.

సోపానం – 5 : OQ లు కలపాలి. \(\angle \mathrm{AOQ}\) కావలసిన కోణం.

3. వృత్తలేఖిని, స్కేలు సాయంతో క్రింది కోణాలు నిర్మించి, నిర్మాణక్రమం రాయండి.

ప్రశ్న (అ)
75°
సాధన.

75° (60 + 15) :
\(\angle \mathrm{AOX}\) = 75°
\(\angle \mathrm{AOC}\) + \(\angle \mathrm{COX}\) = 60° + 15° = 75° .

నిర్మాణక్రమం :

• \(\angle \mathrm{AOC}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\) = 120° కోణాలను పై 2వ సమస్యలో వలె నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathrm{COB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{AOD}\) = 90° (\(\angle \mathrm{AOC}\) + \(\angle \mathrm{COD}\) = 60° + 30° = 90°)
• \(\angle \mathrm{COD}\) = 30° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\) ని నిర్మించాలి.
• మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathrm{AOX}\) = \(\angle \mathrm{AOC}\) + \(\angle \mathrm{COX}\) = 60° + 15° = 75° ఏర్పడినది.

ప్రశ్న (ఆ)
15°
సాధన.

నిర్మాణక్రమం :

• \(\angle \mathrm{AOB}\) = 60° కోణాన్ని నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathrm{AOB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం
• \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ని నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathrm{AOC}\) = \(\angle \mathrm{COB}\) = 30° అవుతుంది.
• \(\angle \mathrm{AOC}\) యొక్క కోణ’ సమద్విఖండన కిరణం
• \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇప్పుడు మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathrm{AOD}\) = \(\frac {30°}{2}\) = 15° ఏర్పడినది.

ప్రశ్న (ఇ)
105°
సాధన.
105° (90° + 15° = 105°) :

\(\angle \mathrm{AOE}\) = 105°
\(\angle \mathrm{AOB}\) + \(\angle \mathrm{BOD}\) + \(\angle \mathrm{DOE}\) = 60°+ 30° + 15° = 105°

నిర్మాణ క్రమం :

• \(\angle \mathrm{AOB}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{AOC}\) = 120° ల కోణాలను నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathrm{BOC}\) = 60° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం
• \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{AOD}\) = \(\angle \mathrm{AOB}\) + \(\angle \mathrm{BOD}\) = 60° + 30° = 90° అవుతుంది. అలాగే \(\angle \mathrm{DOC}\) = 30°
• \(\angle \mathrm{DOC}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{DOE}\) = \(\frac {30°}{2}\) = 15° అవుతుంది.
• కావలసిన కోణం \(\angle \mathrm{AOE}\) = \(\angle \mathrm{AOD}\) + \(\angle \mathrm{DOE}\) = 90° + 15° = 105° ఏర్పడినది.