Class 6

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 10.3

1. కోణమానిని సాయంతో కింది కోణాలు నిర్మించండి.

ప్రశ్న (అ)
\(\angle \mathbf{A B C}\) = 65°
సాధన.

నిర్మాణము :
1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘B’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించునట్లు చేయాలి.
3. 65° వద్ద ‘A’ బిందువును గుర్తించాలి.
4. BA లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{A B C}\) = 65°.

ప్రశ్న (ఆ)
\(\angle \mathbf{P Q R}\) = 136°
సాధన.

నిర్మాణము :
1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘Q’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించునట్లు చేయాలి.
3. 136° వద్ద ‘P’ బిందువును గుర్తించాలి.
4. PQలు కలపాలి. \(\angle \mathbf{P Q R}\) = 136°.

ప్రశ్న (ఇ)
\(\angle \mathbf{Y}\) = 45°
సాధన.

నిర్మాణము :
1. కొంత పొడవు గల \(\overline{\mathrm{YZ}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘Y’ వద్ద ఉంచి \(\overline{\mathrm{YZ}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించునట్లు చేయాలి.
3. 45° వద్ద ‘X’ బిందువును గుర్తించాలి.
4. YXలు కలపాలి. \(\angle \mathrm{XYZ}\) = 45°.

ప్రశ్న (ఈ)
\(\angle \mathbf{O}\) = 172°
సాధన.

నిర్మాణము :
1. కొంత పొడవు గల \(\overline{\mathrm{OT}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘O’ వద్ద ఉంచి \(\overline{\mathrm{OT}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించునట్లు చేయాలి.
3. 172° వద్ద ‘D’ బిందువును గుర్తించాలి.
4. OD లు కలపాలి. \(\angle \mathrm{DOT}\) = 172°.

ప్రశ్న 2.
కింది కోణాలను నీ నోట్ పుస్తకంలో కాపీ చేసి, వాటి కోణ సమద్విఖండన కిరణాలు గీయండి.

సాధన.
(i)

\(\angle \mathrm{AOB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\).
\(\angle \mathrm{AOX}\) = \(\angle \mathrm{XOB}\)

(ii)

\(\angle \mathrm{COD}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OY}}\).
\(\angle \mathrm{COY}\) = \(\angle \mathrm{YOD}\)

(iii)

\(\angle \mathrm{EFG}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{FZ}}\).
\(\angle \mathrm{EFZ}\) = \(\angle \mathrm{ZFG}\)

(iv)

\(\angle \mathrm{PQR}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{QT}}\)
\(\angle \mathrm{PQT}\) = \(\angle \mathrm{TQR}\)

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
PQ= 5.8 సెం.మీ. రేఖాఖండాన్ని గీసి, స్కేలు, వృత్తలేఖిని సాయంతో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) కు లంబ సమద్విఖండన రేఖ నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణము :
(i) \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = 5.8 సెం.మీ. లతో రేఖాఖండం గీయాలి.
(ii) \(\overline{\mathrm{PQ}}\) పొడవులో సగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో P కేంద్రంగా PQకి పైన, కింద చాపరేఖలు గీయాలి. అలాగే Q కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో ముందు గీచిన చాపరేఖలను ఖండిస్తూ చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువులను A, B లుగా గుర్తించాలి. A, B లను కలపాలి.
(iii) \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) కు లంబ సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
రవి 8.6 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం గీసాడు. C వద్ద \(\overline{\mathrm{AB}}\) కు సమద్విఖండన రేఖ నిర్మించాడు. \(\overline{\mathrm{AC}}\), \(\overline{\mathrm{BC}}\) ల పొడవులు కనుగొనండి.
సాధన.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) ని లంబ సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{XY}}\) C వద్ద ఖండిస్తున్నది.
AB = 8.6 సెం.మీ.
AC = 4.3 సెం.మీ.
BC = 4.3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
స్కేలు, వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి AB = 6.4 సెం.మీ. రేఖాఖండం గీయండి. జ్యామితీయ నిర్మాణం ద్వారా దాని మధ్య బిందువు గుర్తించండి.
సాధన.

నిర్మాణము :
(i) \(\overline{\mathrm{AB}}\) = 6.4 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండం గీయాలి.
(ii) \(\overline{\mathrm{AB}}\) పొడవులో సగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో ‘A’ కేంద్రంగా AB కి పైన, కింద చాపరేఖలు గీయాలి. అలాగే ‘B’ కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో ముందు గీచిన చాపరేఖలను ఖండిస్తూ చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువులను P, Qలుగా గుర్తించాలి. P, Q లను కలపాలి.
(iii) \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{AB}}\) కు లంబ సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.
(iv) ఒక రేఖాఖండం యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ ఆ రేఖాఖండం మధ్య బిందువు గుండా పోతుంది.
∴ AB మధ్య బిందువు = M.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 10.1

ప్రశ్న 1.
6.9 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండమును స్కేలు, వృత్తలేఖిని సాయంతో గీయండి.
సాధన.

స్కేలు సహాయంతో :
1. 6.9 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం గీయాలి.
2. కాగితంపై స్కేలును కదలకుండా ఉంచి, 0 సెం.మీ. కొలతవద్ద పెన్సిల్ తో ఒక బిందువును పెట్టి, దానికి A అని పేరు పెట్టాలి.
3. 6 సెం.మీ. దాటిన తరువాత 9 చిన్నగీతలు లెక్కపెట్టి, అక్కడ మరో బిందువును పెట్టి, దానికి B అని పేరు పెట్టాలి.
4. స్కేలు అంచువెంబడి A, B లను పెన్సిల్ తో కలపాలి.
5. 6.9 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండం A, B నిర్మితమైనది.

వృత్తలేఖిని సహాయంతో :
6. 9 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండం గీయవచ్చు.
సోపానం – 1 : l అనే రేఖను గీచి, దానిపై ఒక బిందువును గుర్తించి దానికి A అని పేరు పెట్టాలి.
సోపానం – 2 : వృత్తలేఖిని లోహపు ముల్లును స్కేలు 0 సెం.మీ. స్థానంలో ఉంచి, పెన్సిల్ ముల్లును 6.9 సెం.మీ. వద్ద ఉండునట్లు సరి చూడాలి.

సోపానం – 3 : వృత్తలేఖిని లోహపు ముల్లును ‘l’ రేఖపై గల A బిందువుపై దించి, పెన్సిల్ లో ఆ రేఖ పై ఒక చాపంను గీయాలి. చాపం రేఖల ఖండన బిందువును B అని పేరు పెట్టాలి.
సోపానం – 4 : ‘l’ రేఖపై 6.9 సెం.మీ. పొడవుగల AB రేఖాఖండం నిర్మితమైంది.

ప్రశ్న 2.
4.3 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండమును స్కేలు సాయంతో గీయండి.
సాధన.

స్కేలు సహాయంతో :
1. 4.3 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం గీయాలి.
2. కాగితంపై స్కేలును కదలకుండా ఉంచి, 0 సెం.మీ. కొలతవద్ద పెన్సిల్ తో ఒక బిందువును పెట్టి, దానికి P అని పేరు పెట్టాలి.
3. 4 సెం.మీ. దాటిన తరువాత 3 చిన్నగీతలు లెక్కపెట్టి, అక్కడ మరో బిందువును పెట్టి, దానికి Q అని పేరు పెట్టాలి.
4. స్కేలు అంచువెంబడి P,Q లను పెన్సిల్ లో కలపాలి.
5. 4.3 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండం P,Q నిర్మితమైనది.

ప్రశ్న 3.
M కేంద్రంగా, 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంగా గల వృత్తం గీయండి.
సాధన.

MA = వ్యాసార్ధం = 4 సెం.మీ.
నిర్మాణము :
1. వృత్తలేఖిని ముల్లు, పెన్సిల్ కొన మధ్య దూరం 4 సెం.మీ. ఉండేలా చూడాలి.
2. కాగితంపై పెన్సిల్ తో ఒక బిందువును గుర్తించి, దానికి ‘M’ అని పేరు పెట్టాలి.
3. వృత్తలేఖిని లోహపు ముల్లు ‘M’ పై ఉంచాలి.
4. లోహపు ముల్లును కదలకుండా నొక్కి, పెన్సిల్ ముల్లును నెమ్మదిగా చుట్టూ కదుపుతూ ఒకే ప్రయత్నంలో వృత్తాన్ని గీయాలి.

ప్రశ్న 4.
ఒక వృత్తంను గీసి, దానిపై మూడు బిందువులు A, B, Cలు కింద సూచించిన విధంగా గుర్తించండి.
అ) A వృత్తంపై ఉండాలి , ఆ) B వృత్తం అంతరంలో ఉండాలి . ఖ) C వృత్త బాహ్యంలో ఉండాలి
సాధన.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు InText Questions

పేజి నెం. 131

1. మీ నోటు పుస్తకంలో 6 వివిధ రకాల బహుభుజుల యొక్క చిత్తు పటాలు గీయండి. ఏ సందర్భంలో బహుభుజి ఏర్పడదు? ఎందుకు ? బహుభుజి ఏర్పడటానికి కావలసిన కనీస భుజాల సంఖ్య ఎంత? కచ్చితంగా మూడు.
సాధన.

పై పటాల నుండి, ఒకటి, రెండు భుజాలతో బహుభుజి ఏర్పడదు. బహుభుజి ఏర్పడాలంటే కనీసం మూడు భుజాలు కావాలి.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 133]

పక్కపటం పరిశీలించండి.

1. ∆GHI త్రిభుజానికి అంతరంలో గల బిందువులేవి?
సాధన.
∆GHI కి అంతరంగా గల బిందువులు B, O, A.

2. త్రిభుజం మీద గల బిందువులేవి?
సాధన.
∆GHI మీద గల బిందువులు G, P, H, I, Y.

3. A GHI త్రిభుజానికి బాహ్యంగా గల బిందువులేవి?
సాధన.
∆GHI కి బాహ్యంగా గల బిందువులు M, R, S, X, Z.

పేజి నెం. 137

ప్రశ్న 1.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార కాగితాన్ని (పోస్టుకార్డు వంటిది) తీసుకోండి. దాని పొడవు వెంబడి మధ్యకు మడవగా ఒక సగభాగం, మరో సగభాగంతో కచ్చితంగా ఏకీభవించాలి. అయితే ఈ మడత వెంబడి ఏర్పడిన రేఖ సౌష్ఠవ రేఖ అవుతుందా ? ఎందుకు?
సాధన.
అవును. ఎందుకంటే దీర్ఘచతురస్రాకార కాగితం యొక్క రెండు భాగాలు ఒకదానితో ఒకటి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మడత వెంబడి ఏర్పడిన రేఖ సౌష్ఠవ రేఖ.

ప్రశ్న 2.
కాగితం మడతను విప్పి మరల వెడల్పు వెంబడి మధ్యకు మడవండి. ఇప్పుడు ఏర్పడిన రెండవ మడత వెంబడి రేఖ కూడ సౌష్ఠవ రేఖ అవుతుందా ? ఎందుకు ?
సాధన.
అవును. ఎందుకంటే దీర్ఘచతురస్రాకార కాగితం యొక్క రెండు భాగాలు ఒకదానితో ఒకటి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, రెండవ మడత వెంబడి ఏర్పడిన రేఖ కూడా సౌష్ఠవ రేఖ.

ప్రశ్న 3.
ఇలా ఏర్పడిన రెండు రేఖలు, సౌష్ఠవ రేఖలని నీవు అనుకుంటున్నావా ! ఎందుకు ?
సాధన.
అవును. ఇలా ఏర్పడిన రెండు రేఖలు సౌష్ఠవ రేఖలు. ఒకటి పొడవు వెంబడి సౌష్ఠవరేఖ మరియు మరొకటి వెడల్పు వెంబడి సౌష్ఠవ రేఖ.

ప్రాజెక్టు [పేజి నెం. 137]

1. మీ పరిసరాలలో లభించే సౌష్ఠవ పటాలను సేకరించండి. అతికించండి.
సాధన.

పేజి నెం. 140

1. కింది వస్తువుల ఆకారాలను గుర్తించి, పట్టికలో రాయండి.

వస్తువు	ఆకారం
అగ్గిపెట్టె
బంతి
కొయ్యదూలం
పాచిక
పుట్టినరోజు టోపి

సాధన.

వస్తువు	ఆకారం
అగ్గిపెట్టె	దీర్ఘఘనం
బంతి	గోళము
కొయ్యదూలం	స్థూపము
పాచిక	ఘనం
పుట్టినరోజు టోపి	శంఖువు

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
కింది త్రిభుజాన్ని పరిశీలించి, అందులో శీర్షాలు, భుజాలు మరియు కోణాలను రాయండి.
సాధన.

ఇవ్వబడిన ∆ PQR లో
శీర్షాలు : P, Q, R
భుజాలు : \(\overline{\mathrm{PQ}}, \overline{\mathrm{QR}}, \overline{\mathrm{RP}}\)
కోణాలు : \(\angle \mathrm{P}, \angle \mathrm{Q}, \angle \mathrm{R}\).

ప్రశ్న 2.
ఇవ్వబడిన చతుర్భుజం పరిశీలించి, కింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.

1. \(\angle \mathbf{E}\) కు ఆసన్న కోణమేది?
2. \(\angle \mathbf{G}\) కు ఎదురుగా ఉండే కోణమేది?
సాధన.
1. EFGH చతుర్భుజంలో
\(\angle \mathbf{H}\) మరియు \(\angle \mathbf{F}\) అనే కోణాలు \(\angle \mathbf{E}\) కు ఆసన్నకోణాలు.
2. \(\angle \mathbf{G}\) కు ఎదురుగా ఉండే కోణం \(\angle \mathbf{E}\).

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది పట్టికలో ఇవ్వబడిన ఆకారాలకు తగిన ఉదాహరణలివ్వండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇవ్వబడిన పటంను పరిశీలించి, ప్రశ్నలకు తగిన సమాధానాలివ్వండి.

(అ) త్రిభుజం పేరేమిటి?
(ఆ) త్రిభుజం భుజాలు, కోణాలు మరియు శీర్షాలను రాయండి.
సాధన.
(అ) ∆PQR.
(ఆ) భుజాలు : \(\overline{\mathrm{PQ}}, \overline{\mathrm{QR}}, \overline{\mathrm{RP}}\).
కోణాలు : \(\angle \mathrm{P}\), \(\angle \mathrm{Q}\), \(\angle \mathrm{R}\) లేదా \(\angle \mathrm{QPR}, \angle \mathrm{PQR}, \angle \mathrm{QRP}\)
శీర్షాలు : P, Q, R.

3. పక్కపటం పరిశీలించి, ఇవ్వబడిన ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి.

ప్రశ్న(అ)
బహుభుజి పేరేమిటి?
సాధన.
చతుర్భుజం EFGH.

ప్రశ్న(ఆ)
పక్కభుజాలు మరియు పక్కకోణాల జతలను రాయండి.
సాధన.
పక్క భుజాలు :
(i) \(\overline{\mathrm{EF}}\) కి పక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{EH}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{FG}}\).
(ii) \(\overline{\mathrm{FG}}\) కి పక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{EF}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{GH}}\).
(iii) \(\overline{\mathrm{GH}}\) కి పక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{FG}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{EH}}\).
(iv) \(\overline{\mathrm{EH}}\) కి పక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{EF}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{HG}}\).

పక్క కోణాలు :
(i) E కి పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{H}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\).
(ii) F కి పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{E}\) మరియు \(\angle \mathrm{G}\).
(iii) G కి పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{F}\) మరియు \(\angle \mathrm{H}\).
(iv) H కి పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{G}\) మరియు \(\angle \mathrm{E}\).

ప్రశ్న(ఇ)
శీర్షాలు, ఎదుటి భుజాల జతలు, ఎదుటి కోణాల జతలను రాయండి.
సాధన.
శీర్షాలు : E,F,G,H
ఎదుటి భుజాల జతలు :
(i) EF కి GH
(ii) FG కి HE
ఎదుటి కోణాల జతలు : (i) \(\angle \mathrm{E}\), \(\angle \mathrm{G}\)
(ii) \(\angle \mathrm{F}\), \(\angle \mathrm{H}\).

ప్రశ్న 4.
కింది వాక్యాలు సత్యమో, అసత్యమో తెల్పండి.
(అ) వృత్తంలో ఒకే ఒక కేంద్రాన్ని గుర్తించగలం. [ ]
(ఆ) వృత్తంలో అన్ని ‘జ్యా’లు వ్యాసాలు. [ ]
(ఇ) చతురస్రాకార పిరమిడ్, చతురస్రాలు ముఖాలుగా కలిగి ఉంటుంది. [ ]
సాధన.
(అ) సత్యం
(ఆ) అసత్యం
(ఇ) అసత్యం

ప్రశ్న 5.
దీర్ఘఘనం, సమఘనం, గోళం ఆకారంలో ఉండే నిత్యజీవిత ఉదాహరణలు రాయండి.
సాధన.
దీర్ఘఘనం : ఇటుక, అగ్గిపెట్టె, గణిత పాఠ్యపుస్తకం, రబ్బరు.
సమఘనం : పాచిక, పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు సమానంగా గల అట్టపెట్టె.
గోళం : బంతి, లడ్డు, గోళీలు, గ్లోబు.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Ex 9.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Exercise 9.4

ప్రశ్న 1.
కింది వాటి ఆకారాలను రాయండి.
(అ) ఇటుక
(ఆ) రోడ్డు రోలరు
(ఇ) ఫుట్ బాల్
(ఈ) జోకర్ టోపి
సాధన.
(అ) ఇటుక – దీర్ఘఘనం
(ఆ) రోడ్డు రోలరు – స్థూపం
(ఇ) ఫుట్ బాల్. – గోళం
(ఈ) జోకర్ టోపి – శంఖువు

ప్రశ్న 2.
కింది ఖాళీలు పూరించండి.
(అ) ధాన్యపు రాశి ఆకారం ______________
(ఆ) పాచిక ఆకారం _______________
(ఇ) నీటి బుడగ ఆకారం ________________
(ఈ) కొవ్వొత్తి ఆకారం ___________________
సాధన.
(అ) శంఖువు
(ఆ) ఘనం
(ఇ) గోళం (అర్ధగోళం) (నీటిబుడగ గాలిలో అయితే గోళాకారంలోను, నీటి పైన అయితే అర్ధగోళాకారంలో ఉంటుంది. )
(ఈ) స్థూపం

ప్రశ్న 3.
కింది వాటిని జతపరచండి.

సాధన.

ప్రశ్న 4.
కింది పట్టికను పూరించండి.

పై పట్టిక నుండి ఆయిలర్ సూత్రాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.

ఆయిలర్ సూత్రం : F + V = E + 2
1. ఘనం
6 + 8 = 12 + 2
14 = 14
2. త్రిభుజాకార పట్టకం : 5 + 6 = 9 + 2
11 = 11
3. చతురస్రాకార పట్టకం : 5 + 5 = 8 + 2
10 = 10
4. దీర్ఘఘనం : 6 + 8 = 12 + 2
14 = 14

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Exercise 9.3

ప్రశ్న 1.
ఇవ్వబడిన చతుర్భుజాన్ని పరిశీలించి, ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వండి.

(అ) ఇవ్వబడిన చతుర్భుజం యొక్క భుజాలేవి?
(ఆ) \(\overline{\mathrm{AB}}\) భుజానికి ఎదుటి భుజమేది?
(ఇ) శీర్షం B కు ఎదుటి కోణమేది?
(ఈ) \(\angle \mathbf{C}\) కు ఎదుట ఉండే భుజం ఏది?
(ఉ) పక్కకోణాల జతలెన్ని? అవి ఏవి ?
(ఊ) ఎదుటి కోణాల జతలెన్ని ? అవి ఏవి?
సాధన.
(అ) \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{DA}}\).
(ఆ) \(\overline{\mathrm{AB}}\) భుజానికి ఎదుటి భుజం \(\overline{\mathrm{CD}}\).
(ఇ) శీర్షం B కు ఎదుటి కోణం \(\angle \mathbf{D}\) లేదా \(\angle \mathbf{ADC}\).
(ఈ) \(\angle \mathbf{C}\) కు ఎదుటి భుజంను నిర్ణయించలేము.
\(\angle \mathbf{C}\) కు ఎదుటికోణము \(\angle \mathbf{A}\).
(ఉ) పక్కకోణాల జతలు = 4
అవి : \((\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B}),(\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C}),(\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{D}),(\angle \mathrm{D}, \angle \mathrm{A})\)
(ఊ) ఎదుటి కోణాల జతలు = 2
అవి : (i) \((\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{C})\)
(ii) \((\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{D})\)

ప్రశ్న 2.
కింద ఇవ్వబడిన పటాలకు సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య తెలపండి.

సాధన.
(i) ఇవ్వబడిన పటం చతురస్రం.
చతురస్రానికి గీయదగు సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య = 4

(ii) సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య = అనంతము.
(వృత్తం యొక్క ప్రతి వ్యాసము ఒక సౌష్ఠవాక్షం అవుతుంది. వృత్తానికి అనంత వ్యాసాలు గీయగలము.)

(iii) ఇవ్వబడిన త్రిభుజానికి గీయదగు సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య = 3

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Exercise 9.2

ప్రశ్న 1.
ఇవ్వబడిన త్రిభుజాన్ని గమనించండి మరియు కింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.

(అ) త్రిభుజానికి బాహ్యంగా ఉండే బిందువులేవి?
(ఆ) త్రిభుజం మీది గల బిందువులేవి?
(ఇ) త్రిభుజానికి అంతరంగా ఉండే బిందువులేవి?
సాధన.
(అ) త్రిభుజానికి బాహ్యంగా గల బిందువులు X, Y, Z.
(ఆ) త్రిభుజం మీది గల బిందువులు A, B, C, I, J.
(ఇ) త్రిభుజానికి అంతరంగా గల బిందువులు O, L, K.

ప్రశ్న 2.
ఇవ్వబడిన త్రిభుజాన్ని గమనించి, కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.

(అ) త్రిభుజంలో ఎన్ని భుజాలు కలవు ? అవి ఏవి?
(ఆ) త్రిభుజంలో ఎన్ని శీర్షాలు ఉన్నవి ? అవి ఏవి?
(ఇ) శీర్షం P కు అభిముఖంగా ఉన్న భుజం ఏది?
(ఈ) \(\overline{\mathbf{P R}}\) భుజానికి అభిముఖంగా ఉన్న శీర్షం ఏది?
సాధన.
(అ) 3 భుజాలు కలవు. అవి : (i) \(\overline{\mathbf{P Q}}\) (ii) \(\overline{\mathbf{Q R}}\) (iii) \(\overline{\mathbf{P R}}\).
(ఆ) 3 శీర్షాలు కలవు. అవి : (i) P (ii) Q (iii) R.
(ఇ) శీర్షం P కు అభిముఖంగా ఉన్న భుజం \(\overline{\mathbf{Q R}}\).
(ఈ) \(\overline{\mathbf{P R}}\) భుజానికి అభిముఖంగా ఉన్న శీర్షం ‘Q’.

ప్రశ్న 3.
పక్క త్రిభుజాన్ని పరిశీలించి, కింది వాటికి జవాబివ్వండి.

(అ) త్రిభుజంలో గల కోణాలెన్ని ? అవి ఏవి ?
(ఆ) \(\overline{\mathbf{M N}}\) భుజానికి అభిముఖంగా గల కోణమేది?
(ఇ) ఇవ్వబడిన త్రిభుజంలో లంబకోణం కలిగిన శీర్షమేది?
సాధన.
(అ) త్రిభుజంలో గల కోణాల సంఖ్య 3. అవి :
(i) \(\angle \mathrm{MNO}\) లేదా \(\angle \mathrm{N}\),
(ii) \(\angle \mathrm{NOM}\) లేదా \(\angle \mathrm{O}\),
(iii) \(\angle \mathrm{OMN}\) లేదా \(\angle \mathrm{N}\).
(ఆ) \(\overline{\mathbf{M N}}\) భుజానికి అభిముఖంగా గల కోణం \(\angle \mathrm{NOM}\) లేదా \(\angle \mathrm{O}\)
(ఇ) లంబకోణాన్ని కలిగిన శీర్షం ‘O’.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Exercise 9.1

ప్రశ్న 1.
నాలుగు భుజాలు కలిగియున్న బహుభుజి పేరేమి ? దాని చిత్తు పటం గీయండి.
సాధన.
నాలుగు భుజాలను కలిగిన బహుభుజి చతుర్భుజం.
☐ ABCD ఒక చతుర్భుజం.

ప్రశ్న 2.
పంచభుజి యొక్క చిత్తు పటాన్ని గీయండి.
సాధన.
ఐదు భుజాలను కలిగిన బహుభుజి పంచభుజి.

ప్రశ్న 3.
పక్కన ఇవ్వబడిన ABCDEF బహుభుజి యొక్క భుజాలన్నింటిని రాయండి.
సాధన.

ఇవ్వబడిన బహుభుజి షడ్భుజి.
ABCDEF బహుభుజి యొక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{DE}}, \overline{\mathrm{EF}}\) మరియు \(\overline{\text { FA }}\).

ప్రశ్న 4.
PQRST బహుభుజి యొక్క అంతర కోణాలు రాయండి.
సాధన.

PQRST బహుభుజి అంతర కోణాలు

1. \(\angle \mathrm{TPQ}\) లేదా \(\angle \mathrm{P}\)
2. \(\angle \mathrm{PQR}\) లేదా \(\angle \mathrm{Q}\)
3. \(\angle \mathrm{QRS}\) లేదా \(\angle \mathrm{R}\)
4. \(\angle \mathrm{RST}\) లేదా \(\angle \mathrm{S}\)
5. \(\angle \mathrm{STP}\) లేదా \(\angle \mathrm{T}\)

ప్రశ్న 5.
PQRST బహుభుజి భుజాల పొడవులను కొలవండి.
సాధన.

ఇవ్వబడిన బహుభుజి ఐదు భుజాలను కలిగి ఉంటుంది.
అవి : \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = 2 సెం.మీ. ; \(\overline{\mathrm{QR}}\) = 2.5 సెం.మీ. ; \(\overline{\mathrm{RS}}\) = 2.4 సెం.మీ.; \(\overline{\mathrm{ST}}\) = 2.2 సెం.మీ., \(\overline{\mathrm{PT}}\) = 2.5 సెం.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు InText Questions

పేజి నెం. 117

ప్రశ్న (అ)
పక్క బొమ్మలో ఎన్ని కిరణాలున్నాయి ?
సాధన.
నాలుగు

ప్రశ్న (ఆ)
Q కి దగ్గరగా ఎన్ని కాయిన్స్ ఉన్నాయి ?
సాధన.
‘Q’ కి దగ్గరగా B, C మరియు D కాయిన్స్ ఉన్నాయి.

ప్రశ్న (ఇ)
స్టెకి కాయిన్స్ కొట్టేటప్పుడు ఒక కాయిన్ ఇంకొక కాయిన్ తగిలే అవకాశం కలదు. అటువంటి అన్ని అవకాశాలను రేఖాఖండాలతో కలిపి చూపండి.
సాధన.
\(\overline{\mathrm{CB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{DE}}\).

ప్రశ్న (ఈ)
అటువంటి రేఖాఖండాలను ఎన్ని గీయగలరు?
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{ED}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AE}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{CE}}, \overline{\mathrm{AD}}, \overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BE}}\).

ఇవి చేయండి [పేజి నెం. 118]

కింది పట్టికలను పరిశీలించండి. ఖాళీలను నింపండి.

సాధన.

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 120]

కింది పటాలలో భుజాల కొలతలను విభాగిని మరియు స్కేలు సహాయంతో కొలిచి, పొడవులను సరిపోల్చండి.

సాధన.
(i) ∆ABC లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) = 2.2 సెం.మీ.; \(\overline{\mathrm{BC}}\) = 2 సెం.మీ. మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) = 2.2 సెం.మీ.
2.2 సెం.మీ. = 2.2 సెం.మీ. > 2 సెం.మీ.
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{AC}}\) > \(\overline{\mathrm{BC}}\)
రెండు భుజాల పొడవులు సమానము మరియు మూడవ భుజం పొడవు వేరుగా ఉన్నది.

(ii) దీర్ఘచతురస్రం PQRS లో \(\overline{\mathrm{PS}}\) = \(\overline{\mathrm{QR}}\) = 2.7 సెం.మీ.; \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = \(\overline{\mathrm{RS}}\) = 1.8 సెం.మీ. మరియు \(\overline{\mathrm{PR}}\) = \(\overline{\mathrm{QS}}\) = 3.2 సెం.మీ. ఎదురెదురు భుజాల పొడవులు సమానం మరియు కర్ణాల పొడవులు సమానం.

(iii) చతురస్రం KLMN లో \(\overline{\mathrm{KL}}=\overline{\mathrm{LM}}=\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{KN}}\) = 1.8 సెం.మీ.
అన్ని భుజాల పొడవులు సమానం.

ఇవి చేయండి [పేజి నెం. 121]

(i) పై పటం నుండి సమాంతర రేఖలను గుర్తించి, వాటికి పేర్లును సూచించి రాయండి. మరియు వాటిని బయటకి
చదవండి.
సాధన.
l రేఖ r రేఖకు సమాంతరము.
m రేఖ p రేఖకు సమాంతరము.
n రేఖ q రేఖకు సమాంతరము.

(ii) పై పటం నుండి ఖండన రేఖలను గుర్తించి, పేర్లు సూచించి, రాసి, చదవండి.
సాధన.
ఖండన రేఖలు (i) l, 0 (ii) m, q (iii) n, r (iv) 0, q (v) p, r, ………

(iii) పై పటం నుండి మిళిత రేఖలను గుర్తించి, పేర్లు సూచించి, రాసి చదవండి.
సాధన.
మిళితరేఖలు (i) l, m, n (ii) l, p, q

(iv) పై పటం నుండి లంబ రేఖలను గుర్తించి, పేర్లు సూచించి, రాసి, చదవండి.
సాధన.
లంబరేఖలు l ⊥ m l ⊥ p, p ⊥ r, m ⊥ r
l ⊥ m, mకు l లంబము
l ⊥ p, p కు l లంబము
p ⊥ r, r కు p లంబము
m ⊥ r, r కు m లంబము

పేజి నెం. 125

కింది పటాల శీర్షాల వద్ద ఏర్పడిన కోణాలని కొలవండి.

సాధన.
ABC త్రిభుజంలో,
m\(\angle \mathrm{BAC}\) = 60°
m\(\angle \mathrm{ABC}\)= 60°
m\(\angle \mathrm{ACB}\) = 60°

XYZ త్రిభుజంలో,
m\(\angle \mathrm{YXZ}\) = 40°
m\(\angle \mathrm{XYZ}\) = 70°
m\(\angle \mathrm{XZY}\) = 70°

XYZ త్రిభుజంలో,
m\(\angle \mathrm{QPR}\) = 35°
m\(\angle \mathrm{PQR}\) = 38°
m\(\angle \mathrm{PRQ}\) = 107°

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
కింది పటాల నుండి సమాంతర భుజాలను, లంబ భుజాలను గుర్తించి వాటిని, “||”, “⊥” గుర్తులను ఉపయోగించి రాయండి.

గమనిక : (i) ఒక దిశలో బాణపు గుర్తులను సమాంతర రేఖలు తెలపడానికి చూపుతారు.
(ii) “7” అను గుర్తు లంబ భుజాలను తెలుపుటకు ఉపయోగిస్తారు.
సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో ఖండనరేఖలు, మిళిత రేఖలను గుర్తించండి.

సాధన.
ఖండన రేఖలు : p మరియు q; p మరియు m; p మరియు n; q మరియు m; మరియు q మరియు n మొదలగునవి.
మిళిత రేఖలు : i, m మరియు n రేఖలు.

ప్రశ్న 3.
కింది పటాల యందు ఏర్పడిన కోణాల కొలతలను కొలిచి వాటిని గుర్తుల సహాయంతో రాయండి.

సాధన.
(అ) m\(\angle \mathrm{ABC}\) = 90°
(ఆ) m\(\angle \mathrm{POQ}\) = 180° = 2 లంబ కోణం

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది పటం నందు AC, AB, CD ల పొడవులను కొలిచి కింది వాక్యాలు సత్యమో, కాదో సరిచూడండి.

(అ) AB + AC > AC
(ఆ) AC > AD – DC
సాధన.
ఇవ్వబడిన పటంలో, AB = 4.2 సెం.మీ., BC = 5.5 సెం.మీ.
AC = 5.4 సెం.మీ., CD = 3 సెం.మీ., AD = 4 సెం.మీ.
(i) AB + AC = 4.2 + 5.4 = 9.6 సెం.మీ. > 5.4 సెం.మీ.
∴ AB + AC > AC
(ii) AD – DC = 4 – 3 = 1 సెం.మీ. < 5.4 సెం.మీ.
∴ AD – DC < AC (లేదా) AC > AD – DC

ప్రశ్న 2.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) అనే రేఖా ఖండంను గీచి దానిపై C బిందువును గుర్తించండి. \(\overline{\mathbf{C B}}\) ని D వరకు CD > AB అయ్యేటట్లు పొడిగించండి. AC మరియు BD ల పొడవులను సరిపోల్చండి.
సాధన.

AC = 3 సెం.మీ.
BD = 5.5 సెం.మీ.
AB < CD లేదా CD > AB

ప్రశ్న 3.
m\(\angle \mathbf{AOB}\) = 40° కొలతగా గల \(\angle \mathbf{AOB}\) ని గీయండి. m\(\angle \mathbf{AOC}\) = 90° అగునట్లు \(\angle \mathbf{BOC}\) కోణాన్ని గీయండి. m\(\angle \mathbf{AOB}\) + m\(\angle \mathbf{BOC}\) = m\(\angle \mathbf{AOC}\) అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.

\(\angle \mathbf{AOB}\) = 40°
\(\angle \mathbf{AOC}\) = 90°
\(\angle \mathbf{BOC}\) = 50°
m\(\angle \mathbf{AOB}\) + m\(\angle \mathbf{BOC}\) = 40° + 50° = 90°
∴ m\(\angle \mathbf{AOB}\) + m\(\angle \mathbf{BOC}\) = m\(\angle \mathbf{AOC}\)

ప్రశ్న 4.
m\(\angle \mathbf{XYZ}\) = 62° అగునట్లు \(\angle \mathbf{XYZ}\) కోణాన్ని గీయండి. \(\angle \mathbf{XYZ}\) బాహ్యకోణం ఎంత ఉందో కొలవండి.
సాధన.

\(\angle \mathbf{XYZ}\) = 62°
\(\angle \mathbf{XYZ}\) బాహ్యకోణం = 118° + 180° = 298°

ప్రశ్న 5.
జతపర్చండి.

1. మూలమట్టాలు	(A) కోణాలను కొలుచుటకు
2. కోణమానిని	(B) రేఖా ఖండాల పొడవులు కొలుచుటకు
3. విభాగిని	(C) సమాంతర రేఖలు గీయుటకు

సాధన.

1. మూలమట్టాలు	(C) సమాంతర రేఖలు గీయుటకు
2. కోణమానిని	(A) కోణాలను కొలుచుటకు
3. విభాగిని	(B) రేఖా ఖండాల పొడవులు కొలుచుటకు

ప్రశ్న 6.
ఆంగ్ల అక్షరమాలలో పెద్ద అక్షరాలు (Capital letters) నుండి లంబకోణాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలను రాయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 7.
\(\angle \mathrm{AQP}, \angle \mathrm{CPR}, \angle \mathrm{BRQ}\) ల కొలతలను కొలవండి.

\(\mathbf{m} \angle \mathbf{A Q P}, \mathbf{m} \angle \mathbf{C P R}, \mathbf{m} \angle \mathbf{B R Q}\) విలువలు రాయండి.
సాధన.

m\(\angle \mathrm{AQP}\) = 120°
m\(\angle \mathrm{CPR}\) = 110°
m\(\angle \mathrm{BRQ}\) = 130°

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 1.

పైన ఇవ్వబడిన పటాల యందు కోణాలను కొలవండి.
సాధన.
(i)

\(\angle 1\) = 70°
\(\angle 2\) = 110°
\(\angle 3\) = 70°
\(\angle 4\) = 110°
\(\angle 5\) = 70°
\(\angle 6\) = 110°
\(\angle 7\) = 70°
\(\angle 8\) = 110°

(ii)

\(\angle a\) = 60°
\(\angle b\) = 120°
\(\angle c\) = 60°
\(\angle d\) = 120°
\(\angle e\) = 50°
\(\angle f\) = 130°
\(\angle g\) = 50°
\(\angle h\) = 130°

ప్రశ్న 2.
పైన ఇవ్వబడిన ప్రతి పటం నందు ఏ రెండు కోణాల మొత్తం 180° అగునో గుర్తించండి.
సాధన.
(i) ప్రక్కపటంలో రెండు కోణాల మొత్తం 180° అవుకోణాల జతలు :

(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 4), (4, 5), (3, 6), (1, 8), (2, 7), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (5, 8)

(ii) ప్రక్క పటంలో రెండు కోణాల మొత్తం 180° అవుకోణాల జతలు :

(a, b), (b, c), (c, d), (d, a), (e, f), (f, g), (g, h), (h, e)

ప్రశ్న 3.
కింది పటం నుండి \(\angle \mathrm{FOG}\) కోణాన్ని కొలిచి, అంతే కోణాన్ని మీ నోట్ పుస్తకంలో గీయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 4.
కింది పటం నందు \(\angle \mathrm{AOB}\), \(\angle \mathrm{BOC}\) కోణాలను కొలవండి.

సాధన.

\(\angle \mathrm{AOB}\) = 110°
\(\angle \mathrm{BOC}\) = 60°
\(\angle \mathrm{AOC}\) = 50°

ప్రశ్న 5.
అల్పకోణం, అధికకోణం, పరావర్తన కోణాలకి కనీసం రెండు చొప్పున కోణాలు రాయండి.
సాధన.
అల్పకోణం : 10°, 30°, 45°, 60°, 89° (< 90°)
అధిక కోణం : 110°, 150°, 160°, 172°, 178° (90° < అధిక కోణం < 180°) పరావర్తన కోణం : 210°, 270°, 300°, 345°, 359° (పరావర్తన కోణం > 180°)