Inter 1st Year

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(a)

అభ్యాసం – 5 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
P (3, −2, 4) బిందువుకు మూలబిందువు నుంచి దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OP = \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
= \(\sqrt{9+4+16}\)
= \(\sqrt{29}\) యూనిట్లు

ప్రశ్న 2.
(3, 4, -2), (1,0,7) బిందువుల మధ్యదూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ = \(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+\left(z_1-z_2\right)^2}\)
= \(\sqrt{(3-1)^2+(4-0)^2+(-2-7)^2}\)
= \(\sqrt{4+16+81}\)
= \(\sqrt{101}\) యూనిట్లు

II.

ప్రశ్న 1.
(5, -1, 7), (x, 5,1)ల మధ్యదూరం 9 యూనిట్లు అయితే X ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(5, -1, 7), Q(x, 5, 1) లు దత్త బిందువులు
PQ = 9
PQ = \(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+\left(z_1-z_2\right)^2}\) = 9
\(\sqrt{(5-x)^2+(-1-5)^2+(7-1)^2}\) = 9
(5 – x)² + 36 + 36 = 81
(5 – x)² = 81 – 72 = 9
5 – x = ±3
5 – x = 3 లేదా 5 – x = -3
x = 5 – 3 లేదా x = 5 + 3
= 2 లేదా 8

ప్రశ్న 2.
(2, 3, 5), (−1, 5, -1), (4, -3, 2) బిందువులు సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A (2, 3, 5), B (-1, 5, -1), C (4, -3, 2) లు దత్త
బిందువుల
AB² = (2 + 1)² + (3 – 5)² + (5 + 1)²
= 9 + 4 + 36
= 49
BC² = (-1 – 4² + (5 + 3)² + (-1 – 2)²
= 25 + 64 + 9
= 98
CA² = (4 – 2)² + (-3 – 3)² + (2 – 5)²
= 4 + 36 + 9
= 49
AB² = CA²
⇒ AB² + CA² = 49 + 49 = 98 = BC²
ABC లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం

ప్రశ్న 3.
(1, 2 ,3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) బిందువులు ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A(1, 2, 3), B(2, 3, 1) మరియు C (3, 1, 2) లు దత్త బిందువులు
AB² = (1 – 2)² + (2 – 3)² + (3 – 1)²
= 1 + 1 +4
= 6
BC² = (2 – 3)² + (3 – 1)² + (1 – 2)²
= 1 + 4 + 1
= 6
CA² = (3 – 1)² + (1 – 2)² + (2 – 3)²
= 4 + 1 + 1
= 6
AB² = BC² = CA²
⇒ AB = BC = CA
ABC సమబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 4.
A = (-2, 2, 3), B = (13, -3, 13)∞r Bow Dowser. 3PA = 2PB అయ్యేటట్లు చలించే బిందువు P యొక్క నిరూపకాలు
x² + y² + z² + 28x – 12y + 10z – 247 = 0 సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A(-2, 2, 3) మరియు B(13, -3, 13) లు దత్త బిందువులు P(x,y,z) బిందువు బిందుపథం మీది దత్త నియమము
3PA = 2PB ⇒ 9 PA² 4PB²
9[(x + 2)² + (y – 2)² + (z – 3)²]
= 4 [(x – 13)² + (y + 3)² + (z – 13)²]
⇒ 9(x² + 4x +4 + y² – 4y + 4 + z² – 6z + 9)
= 4(x² – 26x + 169 + y² + 6y + 9 + z² – 26z + 169)
= 9x² + 9y² + 9z² + 36x – 36y – 54z + 153
= 4x² + 4y² + 4z² – 104x + 24y – 104z + 1388
5x² + 5y² +5z² + 140x – 60y + 50z – 1235 = 0
5 తో భాగించగా P బిందు పధము x² + y² + z² + 28x – 12y + 10z – 247 = 0

ప్రశ్న 5.
(1, 2, 3) (7, 0, 1), (-2, 3, 4) లు సరేఖీయాలు అని చూపండి. [Mar. ’13]
సాధన:
A (1, 2, 3), B(7, 0, 1) C(-2, 3, 4) లు దత్త బిందువులు
AB = \(\sqrt{(1-7)^2+(2-0)^2+(3-1)^2}\)
= \(\sqrt{36+4+4}=\sqrt{44}\)
= \(2 \sqrt{11}\)
BC = \(\sqrt{(7+2)^2+(0-3)^2+(1-4)^2}\)
= \(\sqrt{81+9+9}=\sqrt{99}\)
= \(3 \sqrt{11}\)
CA = \(\sqrt{(-2-1)^2+(3-2)^2+(4-3)^2}\)
= \(\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}\)
AB + AC = \(2 \sqrt{11}\) + \(\sqrt{11}\) = \(2 \sqrt{11}\) = BC
A, B, C లు సరేఖీయాలు

ప్రశ్న 6.
(0, 4, 1), (2, 3, 1), (4, 5, 0), (2, 6, 2) లు వరసగా A, B, C, D బిందువులని సూచిస్తే ABCD ఒక చతురస్రం అని చూపండి.
సాధన:
A(0, 4, 1), B(2, 3, -1) C(4, 5, 0), D(2, 6, 2) లు దత్త బిందువులు
AB² = (0 − 2)² + (4 – 3)² + (1 + 1)²
= 4 + 1 + 4
= 9
BC² = (2 – 4)² + (3 – 5)² + (-1 + 0)²
= 4 + 4 + 1
= 9
CD² = (4 – 2)² + (5 – 6)² + (0 − 2)²
= 4 + 1 + 4
= 9
DA² = (2 – 0)² + (6 – 4)² + (2 – 1)²
= 4 + 4 + 1
= 9
AB² = BC² = CD² = DA²
⇒ AB = BC = CD = DA
AC² = (0 – 4)² + (4 – 5)² + (1 – 0)²
= 16 + 1 + 1
= 18
BD² = (2 – 2)² + (3 – 6)² + (-1 – 2)²
= 9 + 9
= 18
AC² = BD² → AC = BD
AB² + BC² = 9 + 9 = 18 = AC²
⇒ ∠ABC 90°
A, B, C, D లు చతురస్ర శీర్షాలు

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(h) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(h)

I. కింది సమీకరణ వ్యవస్థలను
(i) గుణక మాత్రిక సాధారణమైనపుడు క్రేమర్ నియమంతోనూ, మాత్రికా విలోమ పద్ధతిలోనూ సాధించండి.
(ii) గౌన్ – జోర్డాన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సాధించండి. ఇంకా వ్యవస్థకు ఏకైక సాధన ఉందా, అనంత సాధనలు ఉన్నాయా, సాధన లేదా అనేది తెలపండి. సాధన ఉంటే సాధించండి.

Question 1.
5x – 6y + 4z = 15
7x + 4y – 3z = 19
2x + y + 6z = 46
సూచన : x = \(\frac{\Delta_1}{\Delta}\), y = \(\frac{\Delta_2}{\Delta}\), z = \(\frac{\Delta_3}{\Delta}\)
Solution:

Question 2.
x + y + z = 1
2x + 2y + 3z = 6
x + 4y + 9z = 3
Solution:

Question 3.
x – y + 3z = 5
4x + 2y – z = 0
-x + 3y + z = 5 [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

Question 4.
2x + 6y + 11 = 0
6x + 20y – 6z + 3 = 0
6y – 18z + 1 = 0
Solution:
∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 6 & 0 \\
6 & 20 & -6 \\
0 & 6 & -18
\end{array}\right|\)
= 2(-360 + 36) – 6(-108 – 0)
= -648 + 648
= 0
∵ ∆ = 0 కనుక.
క్రేమర్ నియమంతోను, మాత్రిక విలోమ పద్ధతిని సాధించలేము.
(ii) గౌస్ – జోర్డాన్ పద్ధతి :

ρ(A) = 2, ρ(AB) = 3
ρ(A) ≠ ρ(AB)
∴ దత్త వ్యవస్థ అసంగతం. సాధన లేదు.

Question 5.
2x – y + 3z = 9
x + y + z = 6
x – y + z = 2 [Mar. ’14, ’05, ’02; May ’13]
Solution:

Question 6.
2x – y + 8z = 13
3x + 4y + 5z = 18
5x – 2y + 7z = 20 [Mar. ’04, ’03, ’01]
Solution:

Question 7.
2x – y + 3z = 8
-x + 2y + z = 4
3x + y – 4z = 0
Solution:

Question 8.
x + y + z = 9
2x + 5y + 7z = 52
2x + y – z = 0
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(c)

అభ్యాసం – 10 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = b sin \(\frac{x}{a}\) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = b. sin \(\frac{x}{a}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = b.cos \(\frac{x}{a} \cdot \frac{1}{a}\) = \(\frac{b}{a}\). cos \(\frac{x}{a}\)

ప్రశ్న 2.
xy = a² అనే వక్రానికి ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపలంబ ఖండం ఆ బిందువు y నిరూపకం ఘనానికి అనుపాతంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము xy = a²
y = \(\frac{a^2}{x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-a^2}{x^2}\)
ఉపలంబ రేఖ పొడవు’= |y₁, .f'(x₁)|

= \(\frac{y_1^3}{a^2}\) ∝ \(y_1^3\) = y నిరూపకం యొక్క ఘనము.

ప్రశ్న 3.
y = be^x/a అనే వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉప స్పర్శఖండం స్థిరమనీ, ఉపలంబ ఖండం \(\frac{y^2}{a}\) అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = be^x/a
y = a(1 – cos t)

II.

ప్రశ్న 1.
x y^k = a^{k + 1} వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద నైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరం కావాలంటే k విలువ కనుక్కోండి ?
సాధన:
వక్రం సమీకరణము x.y^k = a^{k + 1}
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

ఉపలంబ రేఖ పొడవు x, y నిరూపకాల మీద ఆధారపడి మరియు \(\frac{y_1^{k+2}}{k \cdot a^{k+1}}\) విలువ x₁, y₁ ల మీద ఆధారపడి లేదు.
⇒ k + 2 = 0 ⇒ k = – 2

ప్రశ్న 2.
x = a (t + sin t), y = a (1 – cos t) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు t వద్ద స్పర్శరేఖ పొడవు, “అభిలంబరేఖ పొడవు, ఉపస్పర్శ ఖండం, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి. (June ’04)
సాధన:
వక్రం సమీకరణం x = a (t + sin t),
y = a (1 – cost)

ప్రశ్న 3.
y = \(\frac{a}{2}\) (e^x/a + e^-x/a) వక్రానికి ఏదైనా బిందువు వద్ద అఖిలంబ రేఖ పొడవు, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి. (Mar. ’13)
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = \(\frac{a}{2}\)(e^x/a + e^-x/a)
= a. cosh \(\left(\frac{x}{a}\right)\)

ప్రశ్న 4.
x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cos t) వక్రంపై ఏ బిందువు t వద్ద ఉపస్పర్శ రేఖ, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణాలు x = a(cos t + t sin t)

ఉపస్పర్శరేఖ పొడవు = |\(\frac{y_1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)| = |\(\frac{a(\sin t-t \cos t)}{\tan t}\)|
= |a cot t (sin t – t cos t)|
ఉపలంభరేఖ పొడవు = |y₁. f'(x₁)|
= |a(sin t – t cos t) tan t|
= |a tan t(sin t – t cos t)|

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(d)

అభ్యాసం – 3 (డి)

I. కింది సరళరేఖల మధ్య లఘుకోణాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
y = 4 – 2x, y = 3x + 7
సాధన:
y = 4 – 2x ⇒ 2x + y − 4 = 0
3x – y + 7 = 0

ప్రశ్న 2.
3x + 5y = 7, 2x – y + 4 = 0
సాధన:
cos θ = \(\frac{|6-5|}{\sqrt{9+25} \sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{170}}\)
⇒ θ = cos^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{170}}\right)\)

ప్రశ్న 3.
y = –\(\sqrt{3}\)x + 5, y = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)x – \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
సాధన:
m₁ = –\(\sqrt{3}\), m₂ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
m₁m₂ = (-\(\sqrt{3}\)) /\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = -1
θ = \(\frac{\pi}{2}\) రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 4.
ax + by = a + b, a(x − y) + b(x + y) = 2b
సాధన:
ax + by = a + b, (a + b) x + ( a + b) y = 2b

కింది సరళరేఖల మీదికి ఎదురుగా ఇచ్చిన బిందువు నుంచి లంబదూరాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 5.
5x – 2y + 4 = 0, (−2, −3)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{\left|a x_1+b y_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
= \(\frac{|5(-2)-2(-3)+4|}{\sqrt{25+4}}=\frac{|-10+10|}{\sqrt{29}}\) = 0

ప్రశ్న 6.
3x – 4y + 10 = 0, (3, 4)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{|3.3-4.4+10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 7.
x – 3y – 4 = 0, (0, 0)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1+9}}=\frac{4}{\sqrt{10}}\)

కింది సమాంతర రేఖల మధ్యదూరాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 8.
3x – 4y = 12, 3x – 4y = 7
సాధన:
దత్త రేఖలు 3x – 4y – 12 = 0.
3x – 4y – 7 = 0
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరము
= \(\frac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-12+7|}{\sqrt{9+16}}=\frac{5}{5}\) = 1

ప్రశ్న 9.
5x – 3y – 4 = 0, 10x – 6y – 9 = 0 [Mar. ’12]
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
10x – 6y – 8 – 0
10x – 6y – 9 = 0 గా తీసుకొనవచ్చు.
సమాంతర రేఖల మధ్యదూరం
= \(\frac{|-8+9|}{\sqrt{100+36}}=\frac{1}{2 \sqrt{34}}\)

ప్రశ్న 10.
2x + 3y + 7 = 0 రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటూ (5, 4) బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 2x + 3y + 7 = 0
కావలసిన రేఖ ఈ రేఖకు సమాంతరము.
సమాంతర రేఖ సమీకరణము 2x + 3y = k
ఈ రేఖ p (5, 4) గుండా పోతుంది.
10 + 12 = k ⇒ k = 22
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 2x + 3y = 22
2x + 3y – 22 = 0

ప్రశ్న 11.
5x – 3y + 1 = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ (4, 3) బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 5x – 3y + 1 = 0
ఈ రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణము
3x + 5y + k = 0
ఈ రేఖ P (4, -3) గుండా పోతుంది.
– 12 – 15 + k = 0 ⇒ k = 3
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
3x + 5y + 3 = 0

ప్రశ్న 12.
6x – 10y + 3 = 0, kx – 5y + 8 = 0 సరళరేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
6x – 10y + 3 = 0
kx – 5y + 8 = 0
ఈ రేఖలు సమాంతరాలు.
a₁b₂ = a₂b₁
-30 = -10 k
k = 3

ప్రశ్న 13.
3x + 7y – 1 = 0, 7x – py + 3 = 0 సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే p విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
3x + 7y – 1 = 0
7x – py + 3 = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ = 0
3.7 + 7(- p) = 0
7p = 21 = p = 3

ప్రశ్న 14.
y – 3kx + 4 = 0, (2k – 1)x – (8k – 1)y – 6 = 0 సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
-3kx + y + 4 =0
(2k – 1)x – (8k – 1)y – 6 = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
-3k(2k – 1) – 1(8k – 1) = 0
– 6k² + 3k – 8k + 1 = 0
6k² + 5k – 1 = 0
(k + 1) (6k – 1) = 0
k = -1 లేదా 1/6

ప్రశ్న 15.
ఒక చతురస్రం ఒక శీర్షం (-4, 5), దాని వికర్ణం 7x y + 8 = 0 అయితే రెండో వికర్ణం సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
ABCD చతురస్ర వికర్ణం AC సమీకరణము
7x – y + 8 = 0
రెండో వికర్ణం BD AC కి లంబంగా ఉంది.
BD సమీకరణాన్ని X + 7y + k = 0 గా తీసుకొనవచ్చు.
BDD (- 4, 5) గుండా పోతుంది.
– 4 + 35 + k= 0 ⇒ k = 4 – 35 = -31
BD సమీకరణము x + 7y – 31 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
బిందువు (1, 3) గుండా పోతూ (3, -5), (−6, 1) బిందువులను కలిపే రేఖకు i) సమాంతరంగా ii) లంబంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.

సాధన:
A (3, -5), B(-6, 1) లు దత్త బిందువులు.
AB వాలు = \(\frac{-5-1}{3+6}=\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3}\)

i) కావలసిన రేఖ AB కి సమాంతరంగా ఉంటూ (1, 3) గుండా పోతుంది.
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
y – 3 = \(\frac{-2}{3}\)(x – 1)
3y – 9 = -2x + 2
2x + 3y – 11 = 0

ii) AE రేఖ AD కి లంబంగా ఉంది.
AE సమీకరణము 3x – 2 y + k = 0
A (1, 3) గుండా పోతుంది.
3 – 6 + k = 0 ⇒ k = 6 – 3 = 3
AE సమీకరణము 3x – 2 y + 3 = 0.

ప్రశ్న 2.
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 1 రేఖ X – అక్షాన్ని P వద్ద కలుస్తుంది. P గుండా పోతూ, ఈ రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

PQ సమీకరణము \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 1
X – అక్షం సమీకరణము y = 0
\(\frac{x}{a}\) = 1 ⇒ x = a
P నిరూపకాలు (a, 0)
PR రేఖ PQ కి లంబంగా ఉంది.
PR సమీకరణము = \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = k
PR రేఖ P(a, 0) గుండా పోతుంది.
\(\frac{a}{b}\) + 0 = k ⇒ k = a/b
PR. సమీకరణము \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = \(\frac{a}{b}\)

ప్రశ్న 3.
3x + 4y + 6 = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ X – అక్షం మీద – 4 అంతర ఖండం చేసే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x + 4y + 6 = 0
లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణము
4x – 3y = k
\(\frac{4 x}{k}-\frac{3 y}{k}\) = 1
\(\frac{x}{\left(\frac{k}{4}\right)}+\frac{y}{\left(-\frac{k}{3}\right)}\) = 1
X- అంతరఖండం = \(\frac{k}{4}\) – 4 ⇒ k = -16
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 4x – 3y = -16
⇒ 4x – 3y + 16 = 0

ప్రశ్న 4.
XY-తలంలో ఒక చతురస్రానికి A (-1, 1), B (5, 3) లు ఎదురెదురు శీర్షాలు అయితే ఆ చతురస్రం మరొక వికర్ణం (A, B ల గుండా పోని) సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A (-1, 1), B (5, 3) లు చతురస్రంలో ఎదుటి శీర్షాలు.
AB వాలు = \(\frac{1-3}{-1-5}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}\)

రెండవ వికర్ణము AB కి లంబము.
CD వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = -3
‘O’ వికర్ణాల ఖండన బిందువు O
O నిరూపకాలు \(\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (2, 2)
CD రేఖ O (2, 2) గుండా పోతుంది.
CD సమీకరణము y – 2 = -3 (x – 2)
= -3x + 6
3x + y – 8 = 0

ప్రశ్న 5.
(4, 1) నుంచి 3x 4y + 12 = 0 సరళరేఖకు గీసిన లంబపాదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 3x – 4y + 12 = 0
(x₁, y₁) నుండి ఈ రేఖ మీదకు లంబపాదం (x₂, y₂) అయితే
ax + by + c = 0, అప్పుడు

ప్రశ్న 6.
(3, 0) నుంచి 5x + 12y 41 = 0 సరళరేఖకు గీసిన లంబపాదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 5x + 12y – 41 = 0
(x₂, y₂) నుండి (x₁, y₁) లంబపాదము (x₂, y₂) అయితే
ax + by + c = 0,

ప్రశ్న 7.
A, B బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం లంబసమద్వి ఖండన రేఖ x – 3y – 5 – 0. బిందువు A నిరూపకాలు (−1, −3) అయితే B నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

PQ రేఖ AB కి లంబ సమద్విఖండన రేఖ అయితే
PQ దృష్ట్యా A యొక్క ప్రతిబింబము PQ సమీకరణము x – 3y – 5 = 0

A నిరూపకాలు (-1, -3)
ax + by + c = 0 (x₁, y₁) ప్రతిబింబము (x₂, y₂) అయితే

ప్రశ్న 8.
సరళరేఖ 3x + 4y – 1 = 0 లో బిందువు (1, 2) ప్రతిబింబాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x + 4y – 1 = 0
(x₁, y₁) దృష్ట్యా ప్రతిబింబము (x₂, y₂) అయితే

ప్రశ్న 9.
(6, -2) నుండి రేఖ 4x + 3y = 12 కు దూరం, బిందువు (3, 4) నుంచి రేఖ 4x 3y = 12కు దూరంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

AB సమీకరణము 4x + 3y 12 = 0
PQ = P నుండి లంబపాదము
P = \(\frac{|24-6-12|}{\sqrt{16+9}}=\frac{6}{5}\)
CD సమీకరణము 4x – 3y – 12 = 0
RS = R నుండి లంబదూరము
R = \(\frac{|12-12-12|}{\sqrt{16+9}}=\frac{12}{5}\)
∴ PQ = \(\frac{1}{2}\) RS

ప్రశ్న 10.
స్థిర బిందువు (a, b) గుండాపోయే చల సరళరేఖలకు మూల బిందువు నుంచి లంబపాదాల బిందు పధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

AB రేఖ వాలు m అనుకుందాం.
AB సమీకరణము у – b = m (x – a)
= mx – ma
mx – y + (b – ma) = 0 ………………….. (1)
మూల బిందువు గుండా పోయే AB కి లంబం K నిరూపకాలు (x, y) అనుకుందాం.
AB సమీకరణము x + my = 0 ………………… (2)

m = -x/y
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
–\(\frac{x^2}{y}\) – y + b + \(\frac{x}{y}\) . a = 0
– x² – y² + by + ax = 0
లేదా x² + y² – ax – by = 0
K బిందు పధము x² + y² – ax – by = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x – 7y – 22 = 0, 3x + 4y + 9 = 0, 7x + y – 54 = 0 రేఖలు ఒక సమద్విబాహు సమకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు x – 7y – 22 = 0 ……………… (1)
3x + 4y + 9 = 0 ………………… (2)
7x + y – 54 = 0 …………………. (3)

(1), (2) రేఖల మధ్యకోణం ‘A’ అనుకుందాం.

B = 45°
(1), (2) రేఖల మధ్యకోణం ‘A’ అనుకుందాం.
(3), (1) రేఖల మధ్యకోణం ‘C’ అనుకుందాం.
cos C = \(\frac{7-7}{\sqrt{1+49} \sqrt{49+1}}\) = 0 = cos 90°
C = 90°
∠A = ∠B = 45°
∠C = 90°
∴ దత్త రేఖలు లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
(-3, 2) బిందువు గుండా పోతూ 3x + y + 4 = 0 రేఖలో 45° కోణాన్ని చేసే రేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువు
P(x₁, y₁) = (-3, 2)
దత్త రేఖ 3x – y + 4 = 0 ……………….. (1)
వాలు = m = – \(\frac{a}{b}\) = 3

tan 45° = \(\frac{m-3}{1+3 m}\)
\(\left|\frac{m-3}{1+3 m}\right|\) = 1 ⇒ \(\frac{m-3}{1+3 m}\) = 1
m – 3 = 1 + 3m
2m = -4 లేదా 3 m = −2
\(\frac{m-3}{1+3 m}\) = -1 ⇒ m – 3 = -1 – 3m
4m = 2 ⇒ m = 1/2
సందర్భం (i) : m = -2
PQ సమీకరణము
y – 2 = -2(x + 3)
= -2x – 6
2x + y + 4 = 0
సందర్భం (ii) : m = \(\frac{1}{2}\)
PR సమీకరణము
y − 2 = \(\frac{1}{2}\) (x + 3)
2y – 4 = x + 3
x – 2y + 7 = 0

ప్రశ్న 3.
x + y – 4 = 0, 2x+y-6= 0, 5x + 3y – 15 = 0 రేఖలు భుజాలుగా గల త్రిభుజం కోణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + y – 4 = 0
BC సమీకరణము 2x + y – 6 = 0
AC సమీకరణము 5x + 3y – 15 = 0

ప్రశ్న 4.
మూల బిందువు x + y = 4, x+5y = 26, 15x – 27y = 424 రేఖల మీదకి గీసిన లంబపాదాలు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు
x + y – 4 = 0 ………………. (1)
x + 5y – 26 = 0 ……………… (2)
15x – 27y – 424 = 0 ……………… (3)
(x₁, y₁) నుండి (1) మీదకు లంబపాదము (x₂, y₂)
(x₁, y₁) = (0, 0) నుండి (1)
⇒ \(\frac{x_2-0}{1}=\frac{y_2-0}{1}=\frac{-(0+0-4)}{1+1}=\frac{4}{2}\) = 2
⇒ x₂ – 0 = 2, y₂ – 0 = 2
⇒ x₂ = 2, y₂ = 2
∴ P = (2, 2)
(x₁, y₁) నుండి (2) కు లంబపాదము (x₃, y₃)
= (0, 0) నుండి (2).
\(\frac{x_3-0}{1}=\frac{y_3-0}{5}=\frac{-(0+0-26)}{1+25}=\frac{26}{26}\) = 1
x₃ = 1, y₃ = 5 ⇒ Q = (1, 5)
(x₁, y₁) నుండి (3) కు లంబపాదము.
R(x₄, y₄) = (0, 0) నుండి (3)

R = (x₄, y₄) = (\(\frac{1060}{159}\), -12)
P,Q రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-2}{5-2}\) ⇒ 3x + y – 8 = 0 ………… (4)
(4) లో (x₄, y₄) ను ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ (\(\frac{1060}{159}\)) – 12 – 8
= 20 – 20 = 0
∴ మూల బిందువు నుండి లంబ దత్త రేఖలకు గీసిన లంబపాదాలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 5.
3x + 2y + 4 = 0, 2x+5y=15 ఖండన బిందువు గుండా పోతూ (2, -1) నుంచి 2 యూనిట్లు దూరంలో గల సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
L₁ = 3x + 2y + 4 = 0, L₂ = 2x + 5y – 1 = 0
రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
L₁ + 2λ₂ = 0
(3x + 2y +4)+ 2 λ (2x + 5y – 1) = 0
(3 + 2λ) x + (2 + 5λ) y + (4 – λ) = 0 …………… (1)
(2,−1) నుండి (1) కు లంబదూరము = 2
\(\frac{|(3+2 \lambda) 2+(2+5 \lambda)(-1)+(4-\lambda)|}{\sqrt{(3+2 \lambda)^2+(2+5 \lambda)^2}}\) = 2
⇒ \(\frac{|-2 \lambda+8|}{\sqrt{(3+2 \lambda)^2+(2+5 \lambda)^2}}\) = 2
⇒ (−λ + 4)² = 9 + 4λ² + 12λ + 4
⇒ 28λ² + 40λ – 3 = 0
⇒ 28λ² – 2λ + 42λ – 3 = 0
⇒ (2λ + 3) (14λ – 1) = 0
⇒ λ = \(\frac{1}{14}\), λ = –\(\frac{3}{2}\)
λ = \(\frac{1}{14}\) అయితే
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 4x + 3y + 5 = 0
λ = –\(\frac{3}{2}\) అయితే
⇒ y – 1 = 0 కావలసిన రేఖ సమీకరణము.

ప్రశ్న 6.
ఒక చతురస్రం ప్రతి భుజం పొడవు 4 యూనిట్లు. ఆ చతురస్ర కేంద్రం(3, 7). దాని ఒక వికర్ణం రేఖ y = x కు సమాంతరంగా ఉంటే, దాని శీర్షాల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ABCD చతురస్రం వికర్ణాల ఖండన బిందువు దాని కేంద్రం. అవుతుంది. దాని నిరూపకాలు P(3, 7)

P నుండి AB కి లంబము AB
AB మధ్య బిందువు M.
∴ AM = MB = PM
వికర్ణం y = x కు సమాంతరం కనుక భుజాల నిరూపకాలకు సమానం.
M(3, 5) ⇒ A(1, 5), B(5, 5), C(5, 9), D(1, 9)

ప్రశ్న 7.
ab > 0 అయినప్పుడు ax + by + c = 0 అనే నాలుగు సరళరేఖలతో ఆవృతమైన సమలంబ చతుర్భుజం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము ax + by + c = 0 …………….. (1)
CD సమీకరణము ax + by – c = 0 ……………… (2)
BC సమీకరణము ax – by + c = 0 …………….. (3)
AD సమీకరణము ax – by – c = 0 ……………… (4)

(1), (3) లను సాధిస్తే B నిరూపకాలు \(\left(-\frac{c}{a}, 0\right)\)
(1), (4) సాధిస్తే A నిరూపకాలు \(\left(0,-\frac{c}{b}\right)\)
(2), (3) సాధిస్తే నిరూపకాలు \(\left(0, \frac{c}{b}\right)\)
(2), (4) లను సాధిస్తే D నిరూపకాలు \(\left(\frac{c}{a}, 0\right)\)
ABCD సమ చతుర్భుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |Σx₁ (y₂ – y₄) |
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 0) – \(\frac{c}{a}\left(\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\right)\) + 0 (0 – 0) + \(\frac{-c}{a}\left(\frac{c}{b}+\frac{-c}{b}\right)\) |
= \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4 c^2}{a b}=\frac{2 c^2}{a b}\) చ॥ యూనిట్లు.

ప్రశ్న 8.
3x + 4y + 5 = 0, 3x + 4y – 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0, 2x + 3y – 7 = 0 సరళరేఖలు భుజాలుగా గల సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త భుజాలు
3x + 4y + 5 = 0 ……………… (1)
3x + 4y – 2 = 0 ………………… (2)
2x + 3y + 1 = 0 …………………. (3)
2x + 3y – 7 = 0 ……………….. (4)

ప్రశ్న 9.
2x + 3y + 4 = 0, 3x + 4y – 5 5 = 0 లతో సూచించిన రెండు రుజు మార్గంలో ఉండే దారులు కూడలి వద్ద ఒక వ్యక్తి నిలబడ్డాడు. అక్కడి నుంచి 6x – 7y + 8 = 0 తో సూచించిన దారికి కనిష్ఠ సమయంలో చేరాలని అనుకున్నాడు. కూడలి నుంచి ఏదారి వెంబడి నడిస్తే కనిష్ఠ సమయంలో 6x – 7y + 8 = 0 నిర్దేశించే దారిని చేరుతాదో ఆ దారిని సూచించే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
2x + 3y + 4 = 0
3x + 4y – 5 = 0

ఇచ్చిన సరళరేఖ 6x – 7y + 8 = 0
సరళరేఖ సమీకరణం 7x + 6y + k = 0 …………. (1)
Eq(1) pass high \(\)
7\(\left(\frac{-1}{17}\right)\) + 6\(\left(\frac{22}{17}\right)\) + k = 0
-7 + 132 + 17k = 0
17k = -125
k = \(\frac{-125}{17}\)
From (1) 7x + 6y – \(\frac{125}{17}\) = 0
119x + 102y – 125 = 0

ప్రశ్న 10.
ఒక కాంతి కిరణం (1,2) బిందువు గుండాపోతూ X – అక్షాన్ని A బిందువు వద్ద తాకి అక్కడ నుంచి పరావర్తనం. చెందిన కిరణం (5,3) బిందువుగుండా పోతే A నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(1, 2) బిందువు గుండాపోయే సమీకరణం యొక్క వాలు ‘m’ అనుకోండి.
y – 2 = m(x – 1)
\(\frac{y-2}{x-1}\) = m

(5,3) బిందువు గుండా
పోయే సమీకరణం వాలు – m అనుకోండి
y – 3 = -m(x – 5)
\(\frac{y-3}{5-x}\) = m
\(\frac{y-2}{x-1}=\frac{y-3}{5-x}\)
A నిరూపకము X అక్షంపై ఉన్నది కనుక y = 0.
\(\frac{-2}{x-1}=\frac{-3}{5-x}\)
10 – 2x = 3x – 3
13 = 5x
x = \(\frac{13}{5}\)
∴ A = \(\left(\frac{13}{5}, 0\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(b)

అభ్యాసం – 10 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = 3x⁴ – 4x వక్రానికి x = 4 వద్ద బిందువు స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = 3x⁴ – 4x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 12x³ – 4
x = 4 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = 12 (4)³ – 4
= 12 × 64 – 4
= 768 – 4
= 764

ప్రశ్న 2.
y = \(\frac{x-1}{x-2}\), x ≠ 2 వక్రానికి x = 10 బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = \(\frac{x-1}{x-2}\)
= \(\frac{x-2+1}{x-2}\)
= 1 + \(\frac{1}{x-2}\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0 + \(\frac{(-1)}{(x-2)^2}\) = –\(\frac{1}{(x-2)^2}\)
x = 10 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{1}{(10-2)^2}\)
= –\(\frac{1}{64}\)

ప్రశ్న 3.
y = y³ – x + 1, వక్రానికి x నిరూపకం 2 అయ్యే. బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – x + 1
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 1
x = 2 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
3(2)² – 1 = 3 × 4 – 1

ప్రశ్న 4.
y = x³ – 3x + 2 వక్రానికి x నిరూపకం 3 అయ్యే బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – 3x + 2
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 3
x = 3 స్పర్శరేఖ వాలు = 3(3)² – 3
= 27 – 3 = 24

ప్రశ్న 5.
x = a cos³ θ, y = a sin³ θ వక్రానికి θ = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = a cos³ θ
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d} \theta}\) = a(3 cos² θ) (-sin θ)
= -3a cos² θ. sin θ
y = a sin³ θ
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} \theta}\) = a (3 sin² θ) cos θ
= 3a sin² θ cos θ

θ = \(\frac{\pi}{4}\), స్పర్శరేఖ వాలు
= -tan \(\frac{\pi}{4}\) = -1
అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = 1

ప్రశ్న 6.
x = 1 – a sin θ, y = b cos² θ వక్రానికి θ = \(\frac{\pi}{2}\) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 1 – a sin θ
\(\frac{d x}{d \theta}\) = – cos θ
y = b cos² θ
\(\frac{d y}{d \theta}\) = b(2 cos θ) (-sin θ) = -2b cos θ sin θ

అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{a}{2 b \sin \theta}\)
θ = \(\frac{\pi}{2}\) వద్ద, అభిలంబరేఖ వాలు = \(\frac{-a}{2 b \sin \frac{\pi}{2}}\)
= \(\frac{-a}{2 b .1}\)
= \(\frac{-a}{2 b}\)

ప్రశ్న 7.
y = x³ – 3x³ – 9x + 7వక్రం పై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖలు X-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటాయో కనుక్కోండి
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – 3x² – 9x + 7
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 6x – 9
స్పర్శరేఖ X – అక్షానికి సమాంతరం
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
3x² – 6x – 9 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 లేదా -1
y = x³ – 3x² – 9x + 7
x = 3y ⇒ 27 – 27 – 27 + 7 = -20
x = -1 ⇒ y = -1 – 3 + 9 + 7 = 12
కావలసిన బిందువులు (3, -20), (-1, 12).

ప్రశ్న 8.
y = (x – 2)² వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ (2, 0), (4, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = (x – 2)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 2)
కలిపే జ్యా వాలు A(2, 0), B(4, 4)
= \(\frac{4-0}{4-2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
స్పర్శరేఖ ఈ జ్యాకి సమాంతరము
2(x – 2) = 2
x – 2 = 1
x = 3
y = (x – 2)² = (3 – 2)² = 1
కావలసిన బిందువు P(3, 1).

ప్రశ్న 9.
y = x³ – 11x + 5 వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద y = x – 11 స్పర్శరేఖ అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = x³ – 11x + 5
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 11
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = x – 11
స్పర్శరేఖ వాలు = 3x² – 11 = 1
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
x = 2 ⇒ y = 2 – 11 = -9
వక్రం మీది బిందువు P.(2, -9).

ప్రశ్న 10.
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) వక్రానికి వాలు ‘0’ అయ్యే ‘ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{-1}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\{2(x-1)\}\)
= \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
⇒ \(\frac{-2(x \cdot-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
x = 1 వద్ద,
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) = \(\frac{1}{1-2+3}\) = \(\frac{1}{2}\)
P నిరూపకాలు (1, \(\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
కావలసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణము
У – \(\frac{1}{2}\) = 0(x – 1)
2y – 1 = 0

II.

1. కింది వక్రాలకు, ఎదురుగా సూచించిన బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.

i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5; (0, 5).
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x³ – 18x² + 26x – 10
x = 0 వద్ద,
స్పర్శరేఖ వాలు = 0 − 0 + 0 – 10 = -10
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y − 5 = – 10(x – 0)
= -10x
10x + y – 5 = 0
అభిలంబ రేఖ వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = \(\frac{1}{10}\)
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y − 5 = \(\frac{1}{10}\)(x – 0)
10y – 50 = x ⇒ x – 10y + 50 = 0

ii) y = x³; (1, 1).
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-1}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\{2(x-1)\}\) = \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
స్పర్శరేఖ వాలు =
⇒ \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\) = 0
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
x = 1 వద్ద
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) = \(\frac{1}{1-2+3}\) = \(\frac{1}{2}\)
P నిరూపకాలు(1, \(\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
కావలసిన స్పర్శ రేఖ సమీకరణ
y – \(\frac{1}{2}\) = 0(x – 1)
2y – 1 = 0

iii) y = x²; (0, 0).
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x²
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 2x
P(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = 2 – 0 = 0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – 0 = 0(x – 0)
y = 0
అభిలంబరేఖ స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.
అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = k.
అభిలంబరేఖ (0,0) గుండా పోతూ ⇒ k = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము×= 0.

iv) x = cost, y = sint ; t = \(\frac{\pi}{4}\).
సాధన:

v) y = x² – 4x + 2; (4, 2).
సాధన:
వక్రం సమీకరణ y = x² – 4x + 2
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 4
P(4, 2) వద్ద, స్పర్శరేఖ వాలు = 2.4 – 4
= 8 – 4 = 4
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y – 2 = 4(x – 4)
= 4x – 16
4x – y – 14 = 0
అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{4}\)
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – 2 = –\(\frac{1}{4}\) (x – 4)
4y – 8 = -x + 4
x + 4y – 12 = 0

vi) y = \(\frac{1}{1+x^2}\); (0, 1).
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)
(0, 1) వద్ద, x = 0, స్పర్శరేఖ వాలు = 0
P(0, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – 1 = 0(x – 0)
y = 1
అభిలంబరేఖ స్పర్శరేఖకు లంబం.
అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = k.
అభిలంబరేఖ P(0, 1) గుండా పోతూ ⇒ 0 = k
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = 0.

ప్రశ్న 2.
xy = 10 వక్రానికి (2, 5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం xy = 10.
y = \(\frac{10}{x}\) ; \(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{10}{x^2}\)
P(2, 5), f'(x₁) = –\(\frac{10}{4}\) = –\(\frac{5}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y − y₁ = f(x₁) (x – x₁)
y – 5 = –\(\frac{5}{2}\)(x – 2)
2y – 10 = -5x + 10
5x + 2y – 20 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = \(-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y – 5 = \(\frac{2}{5}\)(x – 2)
5y – 25 = 2x – 4
i.e., 2x − 5y + 21 = 0

ప్రశ్న 3.
y = x³ + 4x² వక్రానికి (-1, 3) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ + 4x²
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² + 8x
P(-1, 3) వద్ద,
స్పర్శరేఖ వాలు = 3(-1)² + 8(-1)
= 3 – 8 = -5
స్పర్శరేఖ సమీకరణము P(-1, 3)
y – y₁ = f'(x₁) (x – x₁)
y – 3 = -5(x + 1) = -5x − 5
5x + y + 2 = 0
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = –\(\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\) (x – x₁)
y – 3 = \(\frac{1}{5}\)(x + 1)
5y – 15 = x + 1
x – 5y + 16 = 0

ప్రశ్న 4.
x² – 2xy + 4y = 0 వక్రంపై ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు –\(\frac{3}{2}\) అయితే, ఆ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం. సమీకరణము
x² – 2xy + 4y = 0
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
2x – 2x.\(\frac{d y}{d x}\) – 2y + 4. \(\frac{d y}{d x}\) = 0
2(x – y) = 2(x – 2)\(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2(x-y)}{2(x-2)}\) = \(\frac{x-y}{x-2}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{3}{2}\)
∴ \(\frac{x-y}{x-2}\) = \(-\frac{3}{2}\)
2x – 2y = -3x + 6
5x – 2y = 6
2y = 5x – 6 —— (2)
P(x, y) బిందువు (1) మీద ఉంది.
x² – x(5x – 6) + 2(5x – 6) = 0
x² – 5x² + 6x + 10x – 12 = 0
-4x² + 16x – 12 = 0
-4(x² – 4x + 3) = 0
x² – 4x + 3 = 0
(x – 1) (x – 3) = 0
x – 1 = 0 లేదా x – 3 = 0
∴ x = 1 లేదా x = 3
సందర్భం (i) : x = 1
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
1 – 2y + 4y = 0
2y = -1 ⇒ y = \(-\frac{1}{2}\)
కావలసిన బిందువు P(1, \(-\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y + \(\frac{1}{2}\) = –\(\frac{3}{2}\)(x – 1)
\(\frac{2 y+1}{2}\) = \(\frac{-3(x-1)}{2}\)
2y + 1 = -3x + 3
3x + 2y – 2 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 1)
\(\frac{2 y+1}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 1)
6y + 3 = 4x – 4
4x – 6y – 7 = 0
సందర్భ౦ (ii) : x = 3
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 9 – 6y + 4y = 0
2y = 9⇒ y = \(\frac{9}{2}\)
∴ కావలసిన బిందువు (3, \(\frac{9}{2}\))
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – \(\frac{9}{2}\) = –\(\frac{3}{2}\)(x – 3)
\(\frac{2 y-9}{2}\) = \(\frac{-3(x-3)}{2}\)
2y – 9 = -3x + 9
3x + 2y – 18 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y – \(\frac{9}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 3)
\(\frac{2 y-9}{2}\) = \(\frac{2(x-3)}{3}\)
6y – 27 = 4x – 12
i.e., 4x – 6y + 15 = 0

ప్రశ్న 5.
y = x log x వక్రంపై ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు \(\frac{3}{2}\) అయితే, ఆ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x log x
\(\frac{d y}{d x}\) = x . \(\frac{1}{x}\) + log x. 1 = 1 + log x.
1 + log x = \(\frac{3}{2}\)
log_e x = \(\frac{1}{2}\) ⇒ x = e^1/2 = \(\sqrt{\mathrm{e}}\)
∴ y = \(\sqrt{\mathrm{e}}\) . log \(\sqrt{\mathrm{e}}\) = \(\frac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\)
కావలసిన బిందువు P(\(\sqrt{\mathrm{e}}, \frac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\))

ప్రశ్న 6.
y = 2e^-x/3 వక్రం Y− అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు వద్ద ఆ వక్రానికి స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణాలు y = 2e^-x/3
Y- అక్షం సమీకరణము x = 0.
y = 2.e° = 2.1 = 2
కావలసిన బిందువు P(0, 2)
\(\frac{d y}{d x}\) = 2\(\left(-\frac{1}{3}\right)\). e^-x/3
ఇప్పుడు x = 0 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(-\frac{2}{3} \cdot \mathrm{e}^0\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – y₁ = f'(x₁)(x – x₁)
y – 2 = –\(\frac{2}{3}\)(x – 0)
3y – 6 = -2x
2x + 3y – 6 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణం
y – y₁ = \(-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y – 2 = \(\frac{3}{2}\)(x – 0)
2y – 4 = 3x; 3x – 2y + 4 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
\(\sqrt{\mathbf{x}}\) + \(\sqrt{\mathbf{y}}\) = \(\sqrt{\mathbf{a}}\) వక్రం పై బిందువు వద్ద స్పర్శ రేఖ సమీకరణం \(y y_1^{-1 / 2}\) + \(x x_1^{-1 / 2}\) = a^1/2 అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము \(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{y}\) = \(\sqrt{a}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
\(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) + \(\frac{1}{2 \sqrt{y}}\).\(\frac{d y}{d x}\) = 0

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖవాలు = \(-\frac{\left(y_1\right)^{1 / 2}}{\left(x_1\right)^{1 / 2}}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము

(P వక్రం మీది బిందువు)
P వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(y \cdot y_1{ }^{-1 / 2}\) + \(x \cdot x_1^{-1 / 2}\) = a^1/2

ప్రశ్న 2.
x² – y² = 2 వక్రంపై ఏ బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు 2కు సమానమవుతోంది ?
సాధన:
స్పర్శరేఖ సమీకరణము x² – y² = 2 ….. (1)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
2x – 2y.\(\frac{d y}{d x}\) = 0
స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{d y}{d x}\) = 2
∴ 2x – 4y = 0; x = 2y
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 4y² – y² = 2
3y² = 2
y² = \(\frac{2}{3}\) ⇒ y = ± \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
x = 2y = ±2\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
∴ కావలసిన బిందువు P(\(2 \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\)) మరియు Q(\(-2 \sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\))

ప్రశ్న 3.
x² + y² = 2, 3x² + y² = 4x వక్రాలకు (1, 1) బిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
మొదటి వక్రం సమీకరణము x² + y² = 2
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) = 0
2y\(\frac{d y}{d x}\) = -2x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{2 x}{2 y}\) = \(-\frac{x}{y}\)
P (1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{-1}{1}\) = -1
రెండవ వక్రం సమీకరణము 3x² + y² = 4x
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
6x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4
2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4 – 6x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{4-6 x}{2 y}\) = \(\frac{2-3 x}{y}\)
P (1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{2-3}{1}\)
= \(-\frac{1}{1}\) = -1
రెండవ వక్రం సమీకరణము P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలులు (1, 1) బిందువు గుండా పోతున్నాయి
∴ దత్త వక్రాలకు P (1, 1) వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
x³ + y³ = 3axy వక్రంపై (x₁, y₁) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం (\(x_1^2\) – ay₁)x + (\(y_1^2\) – ax₁) y = ax₁ y₁ అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము x³ + y³
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
3x² + 3y².\(\frac{d y}{d x}\) = 3a(x.\(\frac{d y}{d x}\) + y)
x² + y²\(\frac{d y}{d x}\) = a(x.\(\frac{d y}{d x}\) + y)
= ax.\(\frac{d y}{d x}\) + ay
(y² – ax)\(\frac{d y}{d x}\) = ay – x²
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{a y-x^2}{y^2-a x}\) = \(-\frac{\left(x^2-a y\right)}{\left(y^2-a x\right)}\)
P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{\left(x_1^2-a y_1\right)}{\left(y_1^2-a x_1\right)}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము (x₁, y₁)

ప్రశ్న 5.
y (1 – x) = x వక్రం పై P (2, −2) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలపై సమాన పొడవు గల అంతర ఖండాలు చేస్తుందని, ఆ బిందువు వద్ద అభిలంబరేఖ మూల బిందువు ద్వారా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y (1 – x) = x
y = \(\frac{x}{1-x}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(1-x) \cdot 1-x(-1)}{(1-x)^2}\)
= \(\frac{1-x+x}{(1-x)^2}\) = \(\frac{1}{(1-x)^2}\)
P(2, -2) వద్ద, f'(x₁) = \(\frac{1}{(1-2)^2}\) = 1 = m
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y + 2 = 1(x – 2) = x – 2 ; x – y = 4
\(\frac{x}{4}\) – \(\frac{y}{4}\) = 1 ⇒ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{(-4)}\) = 1
∴ a = 4, b = -4
∴ స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాల మీద సమానమైన గుర్తులు గల ఇతర ఖండాలు అభిలంబ రేఖా సమీకరణము.
y – y₁ = \(\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y + 2 = -(x – 2) = -x + 2
x + y = 0
సమీకరణంలో స్థిరపదం లేదు.
∴ P(2, -2) వద్ద అభిలంబరేఖ మూల బిందువు గుండా పోతుంది.

ప్రశ్న 6.
x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B బిందువులలో ఖండిస్తే, AB పొడవు స్థిరమని చూపండి. (Mar. ’14, ’13, ’08, ’07, ’05) (T.S Mar. ’15)

సాధన:
వక్రం సమీకరణం x^2/3 + y^2/3 = a^2/3
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 7.
x^myⁿ = a^m+n (mn ≠ 0) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు P వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B బిందువులలో ఖండిస్తే, AP : PB స్థిరమని చూపండి.

సాధన:
వక్రం సమీకరణం xⁿ. yⁿ = a^m+n
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{m y_1}{n x_1}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము


A నిరూపకాలు \(\left[\frac{m+n}{m}, x_1, 0\right]\) మరియు
B నిరూపకాలు \(\left[0, \frac{m+n}{n}, y_1\right]\)
P బిందువు AB ని k : l నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

∴P బిందువు AB ని n : m నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
i.e., AP : PB = n : m = స్థిరము.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(c)

అభ్యాసం 4 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
x² + y² = 1, x + y = 1 ల ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖల సమీకరణన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వక్రాలు x² + y ² = 1 ………………. (1)
x + y = 1 ………………. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం

x² + y² = (x + y)²
= x² + y² + 2xy
i.e., 2xy = 0 ⇒ xy = 0

ప్రశ్న 2.
y² = x, x + y = 1 ల ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y² = x ……………. (1)
AB సమీకరణం x + y = 1 ……………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
y² = x(x + y) = x²+ xy
x² + xy – y² = 0
a + b = 1 – 1 = 0
OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి.
∴ ∠AOB

II.

ప్రశ్న 1.
x – y – \(\sqrt{2}\) = 0 అనే సరళరేఖల x² – xy + y² + 3x + 3y + 2 = 0 అనే వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయని చూపండి. [A.P Mar. ’15, ’12; May. ’12]
సాధన:

వక్రం సమీకరణం
x² – xy + y² + 3x + 3y – 2 = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము x – y – \(\sqrt{2}\) = 0
x – y = \(\sqrt{2}\)
\(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\) = 1 ……………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
x² – xy + y² + 3x.1 + 3y.1 – 2.1² = 0
x² – xy + y² + 3(x + y) \(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\) – 2 \(\frac{(x-y)^2}{2}\) = 0
x² – xy + y² + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (x² – y²) – (x² – 2xy + y²) = 0
x² – xy + y² + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) x² – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) y² – x² + 2xy – y² = 0
\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)x² + xy – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y² = 0
a + b = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) = 0
∴ OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 2.
x + 2y = k అనే రేఖ 2x² – 2xy + 3y² + 2x – y – 1 = 0 అనేక వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటే, k విలువలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
దత్త వక్రం సమీకరణం
S ≡ 2x² + 2xy + 3y² + 2x – y – 1 = 0 ……………….. (1)
AB సమీకరణము x + 2y = k

(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
2x² – 2xy + 3y² + 2x.1 – y.1 – 1² = 0
2x² – 2xy + 3y² + 2x \(\frac{(x+2 y)}{k}\) – y \(\frac{(x+2 y)}{k}\) – \(\frac{(x+2 y)^2}{k^2}\) = 0
k² తో గుణించగా
2k²x² – 2k²xy + 3k²y² + 2kx (x + 2y) – ky (x + 2y) – (x + 2y)² = 0
2k²x² – 2k²xy + 3k²y² + 2kx² + 4kxy – kxy – 2ky² – x² – 4xy – 4y² = 0
(2k² + 2k – 1) x² + (- 2k² + 3k – 4) xy + (3k² – 2k – 4) y² = 0
OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి కనుక
x² గుణకం + y² గుణకం 0.
2k² + 2k – 1 + 3k² – 2k – 4 = 0
5k² = 5 ⇒ k² = 1
∴ k = ±1

ప్రశ్న 3.
3x – y + 1 = 0 అనే రేఖ x² + 2xy + y² + 2x + 2y – 5 = 0 అనే వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖల మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13, ’07; May ’11; June ’04]
సాధన:

వక్రం సమీకరణం
x² + 2xy + y² + 2x + 2y – 5 = 0 ……………… (1)
AB సమీకరణము 3x – y + 1 = 0
y – 3x = 1 ……………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే OA, OB ల
ఉమ్మడి సమీకరణం
x² + 2xy + y² + 2x.1 + 2y.1 – 5.1² = 0
x² + 2xy + y² + 2x (y – 3x) + 2y (y – 3x) − 5 (y – 3x)² = 0
x² + 2xy + y² + 2xy – 6x² + 2y² – 6xy – 5(y² + 9x² – 6xy) = 0
-5x² – 2xy + 3y² – 5y² – 45x² + 30 xy = 0
-50x²+ 28xy – 2y² = 0
i.e, 25x² – 14xy + y² = 0
OA, OB ల మధ్య కోణము θ అనుకొందాం.

III.

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు కేంద్రంగా గల వృత్తం x² + y² = a² కు lx + my = 1 అనేది ఒక జ్యా. ఈ జ్యా మూలబిందువు వద్ద లంబకోణం చేయడానికి నియమాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14, May ’13]
సాధన:

వృత్త సమీకరణము x² + y² = a² ……………….. (1)
AB సమీకరణము lx + my = 1 ……………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OBల ఉమ్మడి సమీకరణం
x² + y² = a² . 1²
x² + y² = a² (lx + my)²
= a²(l²x² + m²y² + 2lmxy)
= a²l²x² + a²m²y² + 2a²lmxy
i.e., a²l²x² + 2a² lmxy + a² m²y² – x² – y² = 0
(a²l² – 1) x² + 2a² lmxy + (a²m² – 1) y² = 0
OA, OB లు లంబాలు కనుక
x² గుణకం + y² గుణకం = 0
a² l² – 1 + a²m² – 1 = 0
a²(l² + m²) = 2
ఇది కావలసిన నియమము.

ప్రశ్న 2.
lx + my = 1 అనే రేఖ x² + y² = a² అనే వృత్తాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు ఏకీభవించడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:

వృత్త సమీకరణము x² + y² = a² …………….. (1)
AB సమీకరణము lx + my = 1 ………………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం.
x² + y² = a² . 1²
= a² (lx + my) ²
= a²(l²x² + m²y² + 2lmxy)
i.e., x² + y² · a²l²x² + a² m²y² + 2a²lmxy
(a²l² – 1) x² + 2a²lmxy + (a²m² – 1) y² = 0
OA, OB లు వక్రీభవిస్తున్నాయి.
⇒ h² = ab
a⁴ l²m² = (a² l² – 1)(a²m² – 1)
a⁴ l²m² = a⁴ l²m² – a² l² – a² m² + 1
∴ a² l² – a²m² + 1 = 0
a² (l² + m²) = 1
ఇది కావలసిన నియమము.

ప్రశ్న 3.
6x − y + 8 = 0 అనే రేఖ 3x² + 4xy – 4y² – 11x + 2y + 6 = 0 అనే సరళరేఖాయుగ్మాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు నిరూపకాక్షాలతో సమానకోణాలు చేస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖాయుగ్మం
3x² + 4xy – 4y² – 11 x + 2y + 6 = 0 ……………… (1)
దత్త రేఖ సమీకరణము
6x – y + 8 = 0 ⇒ \(\frac{6 x-y}{-8}\) = 1
⇒ \(\frac{y-6 x}{8}\) = 1
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా
3x² + 4xy – 4y² – (11x – 2y) \(\left(\frac{y-6 x}{8}\right)\) + 6 \(\left(\frac{y-6 x}{8}\right)^2\) = 0
= 64 [3x² + 4xy – 4y²] – 8[11xy – 66x² – 2y² + 12xy] + 6[y² + 36x² – 12xy] = 0
936x² + 256 xy – 256 xy – 234y² = 0
∴ 468 x² – 117 y² = 0
⇒ 4x² – y² = 0
ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపే రేఖాయుగ్మ సమీకరణం
(3) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణాలు
h(x² – y²) – (a – b) xy = 0
0 (x² – y ) – (4 – 1) xy = 0
⇒ xy = 0
x = 0 లేదా y
= 0 [నిరూపకాక్షాల సమీకరణాలు]
∴ దత్త రేఖల నిరూపకాక్షాల సమాన నిమ్నత కలిగి ఉన్నాయి.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(b)

అభ్యాసం – 4 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0 లు సూచించే సరళ రేఖల మధ్యకోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0
2x² + xy – 6y² = 2x² + 4xy – 3xy – 6y²
= 2x (x + 2y) – 3y (x + 2y)
= (2x – 3y) (x + 2y)
2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0 = (2x – 3y + c₁) (x + 2y + c₂)
x గుణకాలు సమానం చేస్తే c₁ + 2 = 0
y గుణకాలు సమానం చేస్తే 2c₁ – 3c₂ = 7
సాధించగా c₁ = 2, c₂ = -1
సరళరేఖల సమీకరణాలు 2x – 3y + 2 = 0, x + 2y – 1 = 0

ప్రశ్న 2.
2x² + 3xy – 2y² + 3x + y + 1 = 0 సమీకరణం ఒక లంబరేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందని నిరూపించండి.
సాధన:
a = 2, f = 1/2
b = -2 , g = 3/2
c = 1, h = 3/2
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 2(-2)(1) + 2.\(\frac{1}{2}\) . \(\frac{31}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) – 2 . \(\frac{1}{4}\) + 2 . \(\frac{9}{4}\) – 1 \(\frac{9}{4}\)
= -4 + \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{18}{4}\) – \(\frac{9}{4}\)
= -4 + \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{9}{2}\) – \(\frac{9}{4}\)
= 0
h² – ab = \(\frac{9}{4}\) + 4 = \(\frac{25}{4}\) > 0,
g² – ac = \(\frac{9}{4}\) – 2 = \(\frac{1}{4}\) > 0,
f² – bc = \(\frac{1}{4}\) + 2 = \(\frac{9}{4}\) > 0
a + b = 2 – 2 = 0 దత్తరేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

II.

ప్రశ్న 1.
3x² + 7xy + 2y² + 5x + 5y + 2 సమీకరణం ఒక సరళరేఖాయుగ్నాన్ని సూచిస్తుందని నిరూపించి, ఆ సరళరేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి
సాధన:
3x² + 7xy +2y² + 5x + 5y + 2 = 0
పోల్చగా a= 3 ; 2f = 5 ⇒ f = \(\frac{5}{2}\)
b = 2 ; 2g = 5 ⇒ g = \(\frac{5}{2}\)
c = 2 ; 2h = 7 ⇒ h = \(\frac{7}{2}\)
∆ = abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 3(2) (2) + 2 . \(\frac{5}{2}\) . \(\frac{5}{2}\) . \(\frac{7}{2}\)– 3 . \(\frac{25}{4}\) – 2 . \(\frac{25}{4}\) – 2 . \(\frac{49}{4}\)
= \(\frac{1}{2}\) (48 + 175 – 75 – 50 – 98)
= \(\frac{1}{2}\) (223 – 223) = 0
h² – ab = \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\) – 2.6 = \(\frac{49}{4}\) – 12 = \(\frac{1}{4}\) > 0
f² – bc = \(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) – 2.2 = \(\frac{25}{4}\) – 4 = \(\frac{9}{4}\) > 0
g² – ac = \(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) – 3.2 = \(\frac{25}{4}\) – 6 = \(\frac{1}{4}\) > 0
∴ దత్త సమీకరణము రేఖాయుగ్మాన్ని సూచించే ఖండన బిందువు

ప్రశ్న 2.
2x² + kxy – 6y² + 3x + y + 1 = 0 సమీకరణం ఒక సరళరేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే K విలువ కనుక్కోండి. K యొక్క ఆ విలువకు ఆ సరళరేఖల ఖండన బిందువును, వాటి మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము
2x² + kxy – 6y² + 3x + y + 1 = 0
a = 2. ; 2f = 1 ⇒ f = \(\frac{1}{2}\)
b = -6 ; 2g = 3 ⇒ g = \(\frac{3}{2}\)
c = 1 ; 2h = k ⇒ h = \(\frac{k}{2}\)
దత్త సమీకరణము రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే
abc + 2fgh – af² – bg² – ch² = 0
-12 + 2 . \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) . (+\(\frac{k}{2}\)) – 2 . \(\frac{1}{4}\) + 6 . \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{k^2}{4}\) = 0
-48 + 3k – 2 + 54 – k² = 0
-k² + 3k + 4 = 0 ⇒ k² – 3k – 4 = 0
(k – 4) (k + 1) = 0
k = 4 లేదా. – 1.
సందర్భం i) : k = -1
ఖండన బిందువు

ప్రశ్న 3.
x² – y² – x + 3y – 2 0 సమీకరణం రెండు లంబరేఖలను సూచిస్తుందని నిరూపించి, వాటి సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
పోల్చగా a = 1 ; f = \(\frac{3}{2}\)
b = -1 ; g = –\(\frac{1}{2}\)
c = -2 ; h = 0
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 1 (-1) (-2) + 0 – 1 . \(\frac{9}{4}\) + 1 . \(\frac{1}{4}\) + 0
= +2 – \(\frac{9}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = 0
h² – ab = 0 – 1 (-1) = 1 > 0,
f² – bc = \(\frac{9}{4}\) – 2 = \(\frac{1}{4}\) > 0
g² – ac = \(\frac{1}{4}\) + 2 = \(\frac{9}{4}\) > 0
a + b = 1 – 1 = 0
దత్త సమీకరణము లంబరేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
x² – y² – x + 3y – 2 = (x + y + c₁) (x – y + c₂)
x గుణకాలు సమానం చేయగా,
⇒ c₁ + c₂ = -1
y గుణకాలు సమానం చేయగా,
⇒ -c₁ + c₂ = 3
కూడగా 2c₂ = 2 ⇒ c₂ = 1
c₁ + c₂ = 1 ⇒ c₁ + 1 = -1
c₁ = -2
రేఖల సమీకరణాలు x + y – 2 = 0 మరియు x – y + 1 = 0

ప్రశ్న 4.
x² + 2xy – 35y² – 4x + 44y – 12 = 0 సూచించే రేఖాయుగ్మం 5x + 2y – 8 = 0 అనే సరళరేఖ అనుషక్తాలవుతాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
x² + 2xy – 35y² – 4x + 44y – 12 = 0
a = 1 ; f = 22
b = -35 ; g = -2
c = – 12 ; h = 1

P బిందువు 5x + 2y – 8 = 0 రేఖ మీద ఉంది.
∴ దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇచ్చిన సమాంతర రేఖాయుగ్మాల మధ్య దూరాలను కనుక్కోండి.
i) 9x² – 6xy + y² + 18x – 6y + 8 = 0
సాధన:
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం = 2\(\sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\)
= \(2 \sqrt{\frac{9^2-9.8}{9(9+1)}}=2 \sqrt{\frac{9}{9.10}}\)
= \(\sqrt{\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{2}{5}}\)

ii) x² + 2\(\sqrt{3}\)xy + 3y² – 3x – 3\(\sqrt{3}\)y – 4 = 0
సాధన:
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం = 2\(\sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\)
= \(2 \sqrt{\frac{\frac{9}{4}+4}{1(1+3)}}=2 \sqrt{\frac{25}{4.4}}=\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న 6.
3x² + 8xy – 3y² = 0, 3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y – 1 = 0 అనే రేఖాయుగ్మాలతో ఒక చతురస్రం ఏర్పడుతుందని నిరూపించండి.

సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
3x² + 8xy – 3y²
(x + 3y) (3x – y) = 0
3x – y = 0, x + 3y = 0
OA సమీకరణము 3x – y = 0 ……………….. (1)
OB సమీకరణము x + 3y = 0 ………………. (2)
CA, CB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y + 1 = 0
3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y + 1 = (3x – y + c₁)(x + 3y + c₂)
x గుణకాలను సమానం చేయగా c₁ + 3c₂ = 2
y గుణకాలను సమానం చేయగా 3c₁ + c₂ = – 4

BC సమీకరణం 3x – y – 1 = 0 ……………… (3)
AC సమీకరణం x + 3y + 1 = 0 ……………… (4)
OA, BC లు సమీకరణాలు స్థిరపదాలలో మాత్రమే చేధిస్తున్నా
⇒ OA, BC లు సమాంతరాలు
OB, CA లు సమీకరణాలు స్థిరపదాలలో మాత్రమే చేధిస్తున్నా
⇒ OB, AC లు సమాంతరాలు
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము.
a + b = 3 – 3 = 0, OACB దీర్ఘచతురస్రం.
OA = 0నుండి AC మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1+9}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
OB = 0 నుండి BC మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{9+1}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
OA = OB మరియు OACB దీర్ఘచతురస్రం
OACB చతురస్రం.

III.

ప్రశ్న 1.
(2, 1) బిందువు నుంచి 12x² + 25xy + 12y² 10x + 11y + 2 = 0 సూచించే సరళరేఖలకు ఉన్న లంబ. దూరాల లబ్దం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB, AC ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2 = 0
12x² + 25xy + 12y²
= 12x² + 16xy + 9xy + 12y² = 0
= 4x (3x+4y) + 3y (3x+4y)
= (3x + 4y) (4x + 3y)
12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2
= (3x + 4y + c₁) (4x + 3y + c₂)
x గుణకాలను సమానం చేయగా,
4c₁ +3c₂ = 10 ……………. (1)
y గుణకాలను సమానం చేయగా,
3c₁ + 4c₂ = 11 ……………… (2)
i.e., 4c₁ + 3c₂ – 10 = 0
3c₁ + 4c₂ – 11 = 0

AB సమీకరణం 3x + 4y + 1 = 0
AC సమీకరణం 4x + 3y + 2 = 0
PQ = P నుండి AB మీదకు లంబదూరము
AB = \(\frac{6+4+1}{\sqrt{9+16}}=\frac{11}{5}\)
PR = P నుండి AC మీదకు లంబదూరము
AC = \(\frac{|8+3+2|}{\sqrt{16+9}}=\frac{13}{5}\)
లంబదూరాల లబ్దము
= PQ × PR = \(\frac{11}{5}\) × \(\frac{13}{5}\) = \(\frac{143}{25}\)

ప్రశ్న 2.
y² – 4y + 3 = 0, x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0 అనే సరళరేఖాయుగ్మాలతో ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడుతుందని నిరూపించి, దాని భుజాల పొడవులను కనుక్కోండి.

సాధన:
మొదటి రేఖాయుగ్మం సమీకరణం y² – 4y + 3 = 0
(y – 1) (y – 3) = 0
y – 1 = 0 లేదా y – 3 = 0
AB సమీకరణం y – 1 = 0 …………… (1)
CD సమీకరణం y – 3 = 0 ……………. (2)
AB, CDల సమీకరణాలలో స్థిరపదంలో మాత్రమే తేడా ఉంది.
∴ AB, CD లు సమాంతరాలు.
రెండవ రేఖా యుగ్మం సమీకరణం
x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0
(x + 2y)² + 5(x + 2y ) + 4 = 0
(x + 2y)² + 4 (x + 2y) + (x + 2y) + 4 = 0
(x + 2y)(x + 2y + 4) + 1 (x + 2y + 4) = 0
(x + 2y + 1) (x + 2y + 4) = 0
x + 2 y + 1 = 0, x + 2 y + 4 = 0
AD సమీకరణం x + 2y + 1 = 0 ……………… (3)
BC సమీకరణం x + 2 y + 4 = 0 …………….. (4)
AD, BC లు సమాంతరాలు.
(1); (3) లను సాధించగా x + 2 + 1 = 0
x = -3
A నిరూపకాలు (-3, 1)
x = 3
(2), (3) లను సాధించగా x + 6 + 1 = = 0
x = -7
D నిరూపకాలు (-7, 3)
(1), (4) లను సాధించగా x + 2 + 4 = 0
x = – 6
B నిరూపకాలు (−6, 1)
AB = \(\sqrt{(-3+6)^2+(1-1)^2}\)
= \(\sqrt{9+0}\)
= 3
AD = \(\sqrt{(-3+7)^2+(1-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+4}\)
= \(\sqrt{20}=2 \sqrt{5}\)
సమాంతర చతుర్భుజ భుజాల పొడవులు 3, \(2 \sqrt{5}\).

ప్రశ్న 3.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 అనే సమీకరణం రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే, మూలబిందువు నుంచి ఈ సరళరేఖలకు ఉన్న దూరాల లబ్ధం \(\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
l₁ x + m₁y + n₁ = 0 ………………… (1)
l₂ x + m₂y + n₂ = 0 ………………. (2)
⇒ ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c
= (l₁ x + m₁y + n₁)(l₂ x + m₂y + n₂)
l₁l₂ = a,
m₁m₂ = b, l₁m₂ + l₂m₁ = 2h,
l₁n₂ + l₂n₁ = 2g,
m₁n₂ + m₂n₁ = 2f,
n₁n₂ = c
మూలబిందువు నుండి (1) కి లంబదూరము = \(\frac{\left|n_1\right|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2}}\)
మూలబిందువు నుండి (2) కి లంబదూరము = \(\frac{\left|n_2\right|}{\sqrt{l_2^2+m_2^2}}\)
లంబాల లబ్ధం

ప్రశ్న 4.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 అనే సమీకరణం ఒక వ్యతిచ్ఛేదక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే, మూలబిందువు నుంచి వీటి ఖండన బిందువు దూరానికి వర్గం \(\frac{c(a+b)-f^2-g^2}{a b-h^2}\) అవుతుందని చూపండి. దత్త సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే ఈ దూరం యొక్క వర్గం \(\frac{f^2+g^2}{h^2+b^2}\) అని కూడ నిరూపించండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందనుకొందాం.
l₁x + m₁y + n₁ = 0 ……………… (1)
l₂x + m₂y + n₂ = 0 ………………. (2)
(l₁x + m₁y + n₁)(l₂x + m₂y + n₂)
= ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c
l₁l₂ = a, m₁m₂ = b, n₁n₂ = c
l₁m₂ + l₂m₁ = 2h, l₁n₂ + l₂n₁, = 2g,
m₁n₂ + m₂n₁ = 2f
(1); (2) లను సాధించగా

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(c)

అభ్యాసం – 3 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
కింద సూచించిన సరళరేఖలు దత్త బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాలను విభజించే నిష్పత్తులను కనుక్కోండి. ఆ బిందువులు సరళరేఖకు ఒకే వైపున ఉన్నాయో, చెరొక వైపున ఉన్నాయో తెలపండి.
i) 3x −4y=7, (2, -7), (−1, 3)
సాధన:
3x – 4y – 7 = 0

L₁₁, L₂₂ లు వ్యతిరేక గుర్తులు కలిగి వున్నాయి.

ii) 3x + 4y = 6, (2, -1), (1, 1)
సాధన:
సరళరేఖ సమీకరణము 3x + 4y – 6 = 0

దత్త బిందువులు రేఖకు వ్యతిరేక దిశలలో ఉంటాయి.

iii) 2x + 3y = 5, (0, 0), (-2, 1) [Mar. ’14]
సాధన:
2x + 3y – 5 = 0.
\(\frac{l}{m}=\frac{-(0+0-5)}{-4+3-5}\)
= \(\frac{-5}{6}\)
దత్త బిందువులు రేఖకు ఒకే వైపున ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
కింది రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.

i) 4x + 8y 1 = 0, 2x − y + 1 = 0
సాధన:
4x + 8y – 1 = 0, 2x – y + 1 = 0
ఖండన బిందువు

ii) 7x + y + 3 = 0, x + y = 0
సాధన:
7x + y + 3 = 0, x + y = 0

ప్రశ్న 3.
(a – b) x + (b – c) y = c – a, (b – c)x + (c – a)y = (a – b), (c – a)x + (a – b)y b – c సరళరేఖలు అనుషక్తాలని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
(a – b) x + (b – c) y = c – a ……………… (1)
(b-c) x + (c – a) y = a – b ……………… (2)
(c – a) x + (a – b) y = b – c …………….. (3)
(1), (2) ల నుండి


(1), (2) ల ఖండన బిందువు P (-1, -1)
(3) లో ప్రతిక్షేపించగా
(c − a) (-1) + (a – b) (−1) = c + a – a + b = b – c
∴ P (−1, −1) బిందువు (3) మీద ఉంది.
దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 4.
కింద ఇచ్చిన సమీకరణాలను L₁ + λL₂ = 0 రూపంలోకి మార్చండి. ఈ సమీకరణం సూచించే సరళరేఖా కుటుంబం అనుషక్త బిందువును కనుక్కోండి.
i) (2 + 5k)x – 3(1 + 2k)y + (2 − k) = 0
సాధన:
(2 + 5k)x − 3(1 + 2k)y + (2 – k) = 0
(2x – 3y+ 2) + k (5x – 6y – 1) = 0
ఇది L₁ + λL₂ = 0 రూపంలో ఉంది.
L₁ = 2x – 3y + 2 = 0
L₂ = 5x – 6y – 1 = 0

P(5, 4) అనుషక్త బిందువు.

ii) (k + 1)x + (k + 2) y + 5 = 0
సాధన:
(k + 1)x + (k + 2) y + 5 = 0
k (x + y) + (x + 2y + 5) = 0
i.e., (x + 2y + 5) + k (x + y) = 0
ఇది L₁ + λL₂ = 0 రూపంలో ఉంది.
∴ L₁ = x + 2y + 5 = 0
L₂ = x + y = 0

అనుషక్త బిందువు P(5, – 5).

ప్రశ్న 5.
x + p = 0, y + 2 = 0, 3x + 2y + 5 = 0 సరళరేఖలు అనుషకాలయితే p విలువను కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
సాధన:
దత్తరేఖల సమీకరణాలు
x + p = 0 …………… (1)
y + 2 = 0 …………… (2)
3x + 2y + 5 = 0 ……………… (3)
(2) నుండి y = -2
(3) లో ప్రతిక్షేపించగా 3x – 4 + 5 = 0
3x = 4 – 5 = -1
x = –\(\frac{1}{3}\)
(2), (3) ల ఖండన బిందువు P(-\(\frac{1}{3}\), 2)
దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.
బిందువు x + p = 0 పై ఉంది.
–\(\frac{1}{3}\) + p = 0 ⇒ p = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 6.
నిరూపకాక్షాలతోను, కింద సూచించిన సరళరేఖలతోను ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాలను కనుక్కోండి.
i) x – 4y + 2 = 0
సాధన:
AB సమీకరణము x – 4y + 2 = 0
– x + 4y = 2
\(\frac{x}{-2}+\frac{y}{\left(\frac{1}{2}\right)}\) = 1
a = -2, b = \(\frac{1}{2}\)
∆OAB వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\)|ab|
= \(\frac{1}{2}\) |-2 × \(\frac{1}{2}\)| = \(\frac{1}{2}\) చ. యూనిట్లు.

ii) 3x – 4y + 12 = 0 [A.P Mar. ’15]
సాధన:
AB సమీకరణము 3x – 4y + 12 = 0
– 3x + 4y = 12
\(\frac{x}{-4}+\frac{y}{3}\) = 1
a = – 4, b = 3
∆OAB వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\)|ab|
= \(\frac{1}{2}\)|(-4) (3)|= \(\frac{1}{2}\) (12)
= 6 చ. యూనిట్లు.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B లలో కలుస్తుంది.
i) (−5, 2) వద్ద 2 : 3 నిష్పత్తిలో \(\overline{\mathrm{A B}}\) విభజించబడినప్పుడు
సాధన:

OA = a, OB = b అనుకుందాం.
A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
P బిందువు AB ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{3 a}{5}, \frac{2 b}{5}\right)\) = (-5,2)
\(\frac{3 a}{5}\) = -5, \(\frac{3 b}{5}\) = 2
a = – \(\frac{25}{3}\), b = 5
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{x}{\left(-\frac{25}{3}\right)}+\frac{y}{5}\) = 1
\(\frac{-3 x}{25}+\frac{y}{5}\) = 1
-3x + 5y = 25
3x – 5y + 25 = 0

ii) (-5, 4) వద్ద 1:2 నిష్పత్తిలో \(\overline{\mathrm{A B}}\) ని విభజించబడినప్పుడు
సాధన:
OA = a, OB = b అనుకుందాం.
– A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
P బిందువు AB ని 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{2 a}{3}, \frac{b}{3}\right)\) = (-5, 4)
\(\frac{2 a}{3}\) = -5, \(\frac{b}{3}\) = 4
a = –\(\frac{15}{2}\), b = 12
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{x}{\left(-\frac{15}{2}\right)}+\frac{y}{12}\) = 1
\(\frac{-2 x}{15}+\frac{y}{12}\) = 1
– 8x + 5y = 60
8x – 5y + 60 = 0

iii) (p, q) బిందువు \(\overline{\mathrm{A B}}\) ని సమద్విఖండన చేసినప్పుడు ఆ సరకరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OA = a, OB = b అనుకుందాం.
A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
AB మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) = (p, q)
\(\frac{a}{2}\) = p, \(\frac{b}{2}\) = q
a = 2p, b = 2q
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{x}{2p}+\frac{y}{2q}\) = 1
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 2

ప్రశ్న 2.
(−1, 2), (5, –1) బిందువుల గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కొని, ఈ రేఖతోను, నిరూపకాక్షాలతోను ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
P (-1, 2), Q (5, – 1) లు దత్త బిందువులు.
PQ సమీకరణము
(y − y₁) (x₁ − x₂) = (x − x₁) (y₁ – y₂)
(y – 2) (−1 – 5) = (x + 1) (2 + 1)
-6 (y – 2) = 3 (x + 1)
−2y + 4 = x + 1
x + 2y – 3 = 0

∆ OAB వైశాల్యము = \(\frac{c^2}{2|a b|}=\frac{9}{2|1.2|}=\frac{9}{4}\) చ. యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
నిరూపకాక్షాలతో, ఒక సరళరేఖతోను మొదటి పాదంలో ఏర్పడిన త్రిభుజవైశాల్యం 24 చ. యూనిట్లు. ఆ సరళరేఖ (3, 4) బిందువు గుండా పోతూంటే, దాని సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో AB సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
ఈ రేఖ P (3, 4) గుండా పోతుంది.
\(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}\) = 1
\(\frac{4}{b}=1-\frac{3}{a}=\frac{a-3}{a}\)
b = \(\frac{4 a}{a-3}\)
∆ OAB వైశాల్యము = 24 ⇒ \(\frac{1}{2}\) |ab| = 24
\(\frac{1}{2} \frac{4 a^2}{a-3}\) = 24
a² = 12 (a – 3)
= 12a – 36
a² – 12a + 36 = 0
(a – 6)² = 0 ⇒ a = 6
b = \(\frac{4 a}{a-3}=\frac{24}{3}\) = 8
AB సమీకరణము \(\frac{x}{6}+\frac{y}{8}\) = 1
4x + 3y = 24
4x + 3y – 24 = 0

ప్రశ్న 4.
వాలు 1 కలిగి Q(- 3, 5) గుండా పోయే సరళరేఖ x + y − 6 = 0 సరళరేఖను P వద్ద ఖండిస్తోంది. PQ దూరాన్ని కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]

సాధన:
వాలు = 1
tan α = 1 = tan 45°
α = 45°
ఈ రేఖ Q (−3, 5) గుండా పోతుంది.
P నిరూపకాలు (x₁ + r cos α₁, y₁ + r sin α)
= (-3 + r cos 45°, 5 + r sin 45°)
= \(\left(-3+\frac{r}{\sqrt{2}}, 5+\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\)
P బిందువు x + y − 6 = 0 రేఖపై ఉంది.
– 3 + \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) + 5 + \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) – 6 = 0
2 . \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) = 4 ⇒ r = \(\frac{4 \sqrt{2}}{2}\) = 2\(\sqrt{2}\)
PQ = 2\(\sqrt{2}\)

ప్రశ్న 5.
(1, 2), (3, 4) బిందువులు 3x – 5y + a = 0 సరళరేఖకు ఒకే వైపున ఉంటే a విలువల సమితిని కనుక్కోంది.
సాధన:
P (1, 2), Q (3, 4) లు దత్త బిందువులు.
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x – 5y + a = 0
L₁₁ = 3.1 − 5.2 + a = a − 7
L₂₂ = 3.3 – 5.4 + a = a – 11
a – 7, a – 11 లు రెండూ ధనాత్మకాలు లేదా రెండూ ఋణాత్మకాలు కావాలి.
సందర్భం (i): a – 7 > 0, a – 11 > 0
a > 7, a > 11
∴ a > 7. 11 ⇒ a ∈ (11, α)

సందర్భం (ii) : a – 7 < 0, a – 17 < 0
a < 7, a < 17
⇒ a < 17 ⇒ a = (-α, 27)
∴ a ∈ (α, 7) U (11, α)

ప్రశ్న 6.
2x + y – 3 = 0, 3x + 2y – 2 = 0, 2x – 3y – 23 = 0 సరళరేఖలు అనుషక్తాలని చూపి, అనుషక్త బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
2x + y – 3 = 0 ………………. (1)
3x + 2y – 2 = 0 ………………… (2)
2x – 3y – 23 = 0 …………………… (3)

x = 4, y = -5
ఖండన బిందువు P నిరూపకాలు (4, -5)
2x – 3y – 23 = 2(4) – 3(-5) – 23
= 8 + 15 – 23 = 0
P బిందువు (3) మీద ఉంది.
దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.
అనుషక్త బిందువు P (4, -5)

ప్రశ్న 7.
క్రింది రేఖలు అనుపకాలయితే, ఆ విలువ కనుక్కోండి.
(i) 3x + 4y = 5, 2x + 3y = 4, px + 4y = 6
(ii) 4x – 3y – 7 = 0, 2x + py + 2 = 0, 6x + 5y – 1 = 0. [May ’06]
సాధన:
(i) దత్తరేఖల సమీకరణాలు 3x + 4y – 5 = 0
2x + 3y – 4 = 0

x = −1, y = 2
(1), (2) ల ఖండన బిందువు P (-1, 2)
దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.
P బిందువు px + 4y = 6 మీద ఉంది.
-p + 8 = 6 ⇒ p = 8 – 6 = 2

(ii) దత్తరేఖల సమీకరణాలు 4x – 3y – 7 = 0
6x + 5y – 10

x = 1, y = -1
P నిరూపకాలు (1, −1)
దత్తరేఖలు అనుషక్తాలు.
P బిందువు 2x + py + 2 = 0 పై ఉంది.
2 – p + 2 = 0
p = 4

ప్రశ్న 8.
x + 2y – 3 = 0, 3x + 4y – 7 = 0, 2x + 3y – 4 = 0, 4x + 5y – 6 = 0 అనే నాలుగు సరళరేఖలు అనుషక్తాలు అవునో, కాదో నిర్ధారించండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
x + 2y – 3 = 0 …………………. (1)
3x + 4y – 7 = 0 ……………….. (2)
2x + 3y – 4 = 0 ……………….. (3)
4x + 5y – 6 = 0 ………………. (4)
(1), (2) లను సాధించగా

x = 1, y = 1
(1), (2) ల ఖండన బిందువు P (1, 1)
2x + 3y – 4 = 2.1 + 3.1 – 4 = 5 – 4 = 1 ≠ 0
4x + 5y – 6 = 4.1 + 5.1 – 6 = 9 – 6 = 3 ≠ 0
∴ P (1, 1) బిందువు (3), (4) ల మీద బిందువు కాదు.
∴ దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు కావు.

ప్రశ్న 9.
3a + 2b + 4c = 0 అయితే ax + by + c = 0 సమీకరణము అనుషక్త రేఖల కుటుంబాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి. అనుషక్త బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త నియమము 3a + 2b + 4c = 0
\(\left(\frac{3}{4}\right)\)a + \(\left(\frac{1}{2}\right)\)b + c = 0
a, b ల అన్ని విలువలలో ax + by + c = 0 రేఖ
\(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right)\) బిందువు గుండా పోతుంది.
ax + by + c = 0 సమీకరణం అనుషక్త రేఖలను సూచిస్తుంది.
అనుషక్త బిందువు \(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right)\)

ప్రశ్న 10.
శూన్యేతర సంఖ్యలు a, b, c లు హరాత్మక శ్రేఢిలో ఉంటే \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{1}{c}\) = 0 సమీకరణం ఒక అనుషక్త రేఖల కుటుంబాన్ని సూచిస్తుందని చూపి, అనుషక్త బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు H.P. లో వున్నాయి.
∴ \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{(-2)}{b}+\frac{1}{c}\) = 0
∴ a, b, c అన్ని విలువలకు
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{1}{c}\) = 0
రేఖ (1, – 2) బిందువు గుండా పోయే రేఖను సూచిస్తుంది.
∴ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{1}{c}\) = 0 అనుషక్త రేఖలను సూచిస్తున్నాయి.
అనుషక్త బిందువు P (1, – 2)

III.

ప్రశ్న 1.
(−5, 6), (3, 2) బిందువుల నుంచి సమదూరంలో ఉంటూ, 3x + y + 4 = 0 సరళరేఖపై ఉన్న బిందువును కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
సాధన:
P(x, y) బిందువు 3x + y + 4 = 0 మీద ఉంది.
3x + y + 4 = 0 …………….. (1)
దత్తాంశం ప్రకారం PA = PB ⇒ PA² = PB²

(x₁ + 5)² + (y₁ – 6)² = (x₁ – 3)² + (y₁ – 2)²
x₁² + 10x₁ + 25 + y₁² – 12y₁ + 36
= x₁² – 6x₁ + 9 + y₁² – 4y₁ + 4
16x₁ – 8y₁ +48 = 0
2x₁ – y₁ + 6 = 0 ………………. (2)
3x₁ + y₁ +4 = 0 ………………. (1)
కూడగా 5x₁ + 10 = 0 ⇒ x₁ = -2
(1) నుండి -6 + y₁ + 4 = 0
У₁ = 6 – 4 = 2
P నిరూపకాలు (-2, 2)

ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ P (3, 4) గుండా పోతూ X – అక్షం ధన దిశతో 60° కోణం చేస్తుంది. P నుండి 5 యూనిట్ల దూరంలో ఆ రేఖపై ఉన్న బిందువులు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ మీది ఏదేని బిందువు Q నిరూపకాలు
(x₁ + r cos θ, y₁ + r sin θ)
దత్తాంశం (x₁, y₁) = (3, 4) i.e., x₁ = 3, y₁ = 4
θ = 60° ⇒ cos = cos 60° = \(\frac{1}{2}\), sin θ = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
సందర్భం (i) : r = 5

ప్రశ్న 3.
ఒక సరళరేఖ Q (\(\sqrt{3}\), 2) గుండా పోతూ, X – అక్షం ధన దిశలో \(\frac{\pi}{6}\) కోణం చేస్తుంది. ఆ సరళరేఖ \(\sqrt{3}\)x − 4y + 8 = 0 రేఖను P వద్ద ఖండిస్తూంటే PQ దూరం కనుక్కోండి. [Mar. ’04]
సూచన : AB, PQ లు లంబంగా లేవు.
కనుక మొదటి పద్ధతినుపయోగించాలి.
సాధన:

PQ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో \(\frac{\pi}{6}\) కోణం చేస్తుంది.
m = PQ వాలు = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
PQ రేఖ Q (\(\sqrt{3}\), 2) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – 2 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)(x – \(\sqrt{3}\))
\(\sqrt{3}\)y – 2\(\sqrt{3}\) = x – \(\sqrt{3}\)
x – \(\sqrt{3}\) y = – \(\sqrt{3}\) …………….. (1)
AB సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x – 4y + 8 = 0
\(\sqrt{3}\)x – 4y = – 8 ………………. (2)
(1) × √3 = \(\sqrt{3}\)x – 3y = -3
తీసివేయగా – y = -5
y = 5
(1) నుండి x = \(\sqrt{3}\)y – \(\sqrt{3}\)
= 5\(\sqrt{3}\) – \(\sqrt{3}\) = 4\(\sqrt{3}\)
P నిరూపకాలు (4\(\sqrt{3}\), 5)
Q నిరూపకాలు (\(\sqrt{3}\), 2)
PQ² = (4\(\sqrt{3}\) – \(\sqrt{3}\))² + (5 – 2)²
27 + 9 = 36
PQ = 6 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
(2, 1), (3, – 2), (− 4, -1) బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం లోపల మూలబిందువు ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
ABC త్రిభుజ శీర్షాలు
A (2, 1), B = (3,-2), C (-4, -1)

CA సమీకరణము
\(\frac{y+1}{x+4}=\frac{-1-1}{-4-2}\)
⇒ \(\frac{y+1}{x+4}=\frac{-2}{-6}\)
⇒ \(\frac{y+1}{x+4}=\frac{1}{3}\)
⇒ 3y + 3 = x + 4
⇒ L’ = x – 3y + 1 = 0 ……………….. (2)
AB సమీకరణము
\(\frac{y-1}{x-2}=\frac{1+2}{2-3}\)
⇒ \(\frac{y-1}{x-2}=\frac{3}{-1}\)
⇒ 3x – 6 = -y + 1
L” = -3x + y – 7 = 0 ………………. (3)
L” (-4, -1) = 3(-4) – 1 – 7
= – 20 ఋణాత్మకము.
L” (0, 0) = 3(0) + 0 – 7
= – 7 ఋణాత్మకము.
(- 4, -1), (0, 0) లు AB కి ఒకవైపున ఉంటాయి.
O (0, 0) – AB కి ఎడమవైపున ఉంది. ……………. (4)
L’ (3, -2) = 3 – 3 (-2) + 1
= 10 ధనాత్మకము .
L” (0, 0) = 0 – 3 (0) + 1
= 1 ధనాత్మకము
(0, 0), (3, -2) లు AC కి ఒకవైపున ఉంటాయి. …………….. (5)
L (2, 1) = 2 + 7 (1) + 11
= 20 ధనాత్మకం
L (0, 0) = 0 + 7 (0) + 11
= 11 ధనాత్మకం
(0, 0), (2, 1) లు BC కి ఒకే వైపున ఉంటాయి.
(0, 0) బిందువు BC కి ఎగువన ఉంది. …………….. (6)
(4), (5), (6) ల నుండి 0 (0,0) బిందువు AC కి దిగువన,
BC కి ఎగువన, AB కి ఎడమవైపున ఉంటుంది.
O (0, 0) బిందువు ∆ ABC లోపల ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖ Q(2, 3) గుండా పోతూ X – అక్షం రుణ దిశ \(\frac{3\pi}{4}\) కోణం చేస్తోంది. x + y – 7 = 0 రేఖను P వద్ద ఆ సరళరేఖ ఖండిస్తూంటే, PQ దూరాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
PQ రేఖ X – అక్షం ఋణదిశలో \(\frac{3\pi}{4}\) కోణం చేస్తుంది. PQ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో π – \(\frac{3\pi}{4}\) = \(\frac{\pi}{4}\) కోణం చేస్తుంది.
Q నిరూపకాలు (2, 3)
P నిరూపకాలు (x₁ + r cos θ, y₁ + r sin θ)
= (2 + r. cos \(\frac{\pi}{4}\), 3 + r . sin \(\frac{\pi}{4}\))
= \(\left(2+\frac{r}{\sqrt{2}}, 3+\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\)
P బిందువు x + y − 7 = 0 రేఖపై ఉంది.
2 + \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) + 3 + \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) – 7 = 0
2 . \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) = 7 – 2 – 3 = 2
∴ r = \(\sqrt{2}\)
PQ = r = \(\sqrt{2}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 6.
x + y = 0, 3x + y – 4 = 0, x + 3y – 4 = 0 సరళరేఖలు ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు
x + y = 0 ………………… (1)
3x + y – 4 = 0 ……………….. (2)
x + 3y – 4 = 0 ………………. (3)
(1), (2) రేఖల మధ్యకోణము 8 అయితే

(3), (1) రేఖల మధ్యకోణము θ₃ అయితే
cos θ₃ = \(\frac{1+3}{\sqrt{1+1} \sqrt{1+9}}\)
= \(\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
⇒ θ₃ = cos^-1 \(\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\)
θ₁ = θ₃
∴ కనుక దత్త త్రిభుజము సమద్విబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 7.
2x – y – 5 = 0, x – 5y + 11 = 0, x + y – 1 = 0 సరళరేఖలతో ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు
2x – y – 5 = 0 ………………. (1)
x – 5y + 11 = 0 ………………. (2)
x + y – 1 = 0 ………………… (3)
(1), (2) లను సాధించగా

C నిరూపకాలు = (4, 3)
(2), (3) లను సాధించగా

x = \(\frac{-6}{-3}\) = 2, y = \(\frac{3}{-3}\) = -1
∴ B నిరూపకాలు = (2, -1)
∆ ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ll}
x_1-x_2 & x_1-x_3 \\
y_1-y_2 & y_1-y_3
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}
4+1 & 4-2 \\
3-2 & 3+1
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
1 & 4
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\) |20 – 2|
= \(\frac{1}{2}\) × 18 = 9 చ. యూనిట్లు .

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(d)

అభ్యాసం – 10 (డి)

I. కింద ఇచ్చిన వక్రాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
x + y + 2 = 0; x² + y² – 10y = 0 (Mar. 14)
సాధన:
x + y + 2 = 0 ⇒ x = -(y + 2)
x² + y² – 10y = 0.
(y + 2)² + y² – 10y = 0
y² + 4y + 4 + y² – 10y = 0
2y² – 6y + 4 = 0
y² – 3y + 2 = 0
(y + 1) (y – 2) = 0
y = 1 లేదా= 15 y = 2
x = – (y + 2)
y = 1 ⇒ x = -(1 + 2) = -3
y = 2 ⇒ x = -(2 + 2) = -4
ఖండన బిందువులు P(-3, 1) మరియు Q(-4, 2), వక్రం సమీకరణము
x² + y² – 10y = 0
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) – 10\(\frac{d y}{d x}\) = 0
2\(\frac{d y}{d x}\)(y – 5) = -2x
\(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{x}{y-5}\)
f'(x₁) = –\(\frac{x}{y-5}\)
రేఖా సమీకరణ x + y + 2 = 0
1 + \(\frac{d y}{d x}\) = 0 ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = -1
g'(x₁) = -1
సందర్భం (i) :

సందర్భం (ii) :
Q (-4, 2) వద్ద f'(x₁) = \(\frac{4}{2-5}\)
= –\(\frac{4}{3}\), g'(x₁) = -1

ప్రశ్న 2.
y² = 4x, x² + y² = 5
సాధన:
y ని తొలగించగా x² + 4x = 5
x² + 4x – 5 = 0
(x – 1) (x + 5) = 0
x – 1 = 0 లేదా -5
y² = 4x
x = 1 లేదా – 5
y² = 4x
x = 1 ⇒ y² = 4
y = ±2
x = -5 ⇒ y వాస్తవం కాదు
∴ ఖండన బిందువులు (1, 2) మరియు Q(1, -2) మొదటి వక్రం సమీకరణము y² = 4x
2y. \(\frac{d y}{d x}\) = 4
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{4}{2 y}\)
f'(x) = \(\frac{2}{y}\)
రెండవ వక్రం సమీకరణం x² + y² = 5
2x + 2y \(\frac{d y}{d x}\) = 0
2y. \(\frac{d y}{d x}\) = -2x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{2 x}{2 y}\) = –\(\frac{x}{y}\) ; g'(x) = \(-\frac{x}{y}\)
P(1, 2) వద్ద f'(x₁) = \(\frac{2}{2}\) = 1, g'(x₁) = –\(\frac{1}{2}\)

θ = tan^-1 (3)
Q(1, -2) వద్ద f'(x₁) = \(\frac{2}{-2}\) = -1, g'(x₁) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 3.
x² + 3y = 3, x² – y² + 25 = 0
సాధన:
x² = 3 – 3y ; x² – y² + 25 = 0
3 – 3y – y² + 25 = 0
y² – 3y – 28 = 0
(y – 4) (y + 7) = 0
y – 4 = 0 (లేదా) y + 7 = 0
y = 4 లేదా -7
x² = 3 – 3y
y = 4 ⇒ x² = 3 – 12 = -9 ⇒ x వాస్తవం కాదు
y = -7 ⇒ x² = 3 + 21 = 24
⇒ x = ± \(\sqrt{24}\) = ±2\(\sqrt{6}\)
ఖండన బిందువు P(\(2 \sqrt{6}\), 7), Q(\(-2 \sqrt{6}\), -7)
మొదటి వక్రం సమీకరణము x² + 3y = 3
3y = 3 – x²
3 \(\frac{d y}{d x}\) = -2x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{2 x}{3}\) i.e., f'(x₁) = \(-\frac{2 x}{3}\)
రెండవ వక్రం సమీకరణము
x² – y² + 25 = 0
y² = x² + 25

ప్రశ్న 4.
x² = 2(y + 1); y = \(\frac{8}{x^2+4}\)
సాధన:
x² = 2\(\left(\frac{8}{x^2+4}+1\right)\) = \(\frac{16+2 x^2+8}{x^2+4}\)
x²(x² + 4) = 2x² + 24
x⁴ + 4x² – 2x² – 24 = 0
x⁴ + 2x² – 24 = 0
(x² + 6) (x² – 4) = 0
x² = -6 లేదా x² = 4
x² = -6 ⇒ x = ±2
y = \(\frac{8}{x^2+4}\) = \(\frac{8}{4+4}\) = \(\frac{8}{8}\) = 1
∴ ఖండన బిందువులు P(2, 1) మరియు Q(-2, 1)
మొదటి వక్రం సమీకరణం x,sup>2 = 2(y + 1)
2x = 2. \(\frac{d y}{d x}\) ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = x
f'(x₁) = x₁
రెండవ వక్రం సమీకరణము y = \(\frac{8}{x^2+4}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{8(-1)}{\left(x^2+4\right)^2}\) 2x = –\(\frac{16 x}{\left(x^2+4\right)^2}\)
g'(x₁) = –\(\frac{16 x}{\left(x^2+4\right)^2}\)
P(2, 1) వద్ద f'(x₁) = 2.
g'(x₁) = \(\frac{-16 \times 2}{8^2}\) = \(-\frac{32}{64}\) = \(-\frac{1}{2}\)
f'(x₁). g’ (x₁) = 2 × (\(-\frac{1}{2}\)) = -1
∴ దత్త వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకుంటున్నాయి.
i.e., θ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 5.
2y² – 9x = 0; 3x² + 4y = 0 (4వ పాదంలో)
సాధన:
2y² – 9x = 0 ⇒ 9x = 2y²
x = \(\frac{2}{9} y^2\)
3x² + 4y = 0 ⇒ 3.\(\frac{4}{81}\)y⁴ + 4y = 0
\(\frac{4 y^4+108 y}{27}\) = 0
4y(y³ + 27) = 0
y = 0 లేదా y³ = -27 ⇒ y= -3.
9x = 2y² = 2 × 9 ⇒ x = 2
ఖండన బిందువులు (4 వ పాదంలో) P(2, -3)
మొదటి వక్రం సమీకరణము 2y² = 9x
4y\(\frac{d y}{d x}\) = 9 ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{9}{4 y}\)
f'(x) = \(\frac{9}{4 y}\)
P(2,-3) వద్ద f'(x) = \(\frac{9}{-12}\) = \(-\frac{3}{4}\)
రెండవ వక్రం సమీకరణము
3x² + 4y = 0
4y = -3x²
4. \(\frac{d y}{d x}\) = -6x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-6 x}{4}\) = \(\frac{-3 x}{2}\)
P(2,-3) వద్ద g'(x₁) = \(\frac{-6}{2}\) = -3

ప్రశ్న 6.
y² = 8x, 4x² + y² = 32
సాధన:
4x² + 8x = 32 ⇒ x² + 2x = 8
x² + 2x – 8 = 0
(x – 2) (x + 4) = 0
x = 2 లేదా -4
y² = 8x
x = -4 → y² వాస్తవం కాదు
x = 2 ⇒ y² = 16 ⇒ y = ±4
ఖండన బిందువులు P(2, 4), Q(2, – 4)
మొదటి వక్రం సమీకరణము y² = 8x
2y. \(\frac{d y}{d x}\) = 8 ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{8}{2 y}\) = \(\frac{4}{y}\)
f'(x₁) = \(\frac{4}{y}\)
రెండవ వక్రం సమీకరణము
4x₂ + y₂ = 32
8x + 2y. \(\frac{d y}{d x}\) = 0
2y\(\frac{d y}{d x}\) = -8x ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-8 x}{2 y}\) = \(\frac{-4 x}{y}\)
g'(x₁) = \(-\frac{4 x}{y}\)
P(2, 4) వద్ద f'(x₁) = \(\frac{4}{4}\) = 1,
g'(x₁) = \(\frac{-4.2}{4}\) = -2
tan θ = |\(\frac{f^{\prime}\left(x_1\right)-g^{\prime}\left(x_1\right)}{1+f^{\prime}\left(x_1\right) g^{\prime}\left(x_1\right)}\)| = |\(\frac{1+2}{1-2}\)| = 3
θ = tan^-1(3)
Q(2, -4) వద్ద f'(x₁) = \(\frac{4}{-4}\) = -1,
g'(x₁) = \(\frac{-4.2}{-4}\) = 2
tan θ = |\(\frac{f^{\prime}\left(x_1\right)-g^{\prime}\left(x_1\right)}{1+f^{\prime}\left(x_1\right) g^{\prime}\left(x_1\right)}\)| = |\(\frac{-1-2}{1+(-1) \cdot 2}\)|
= |\(\frac{-3}{-1}\)| = 3
θ = tan^-1(3)

ప్రశ్న 7.
x₂y = 4; y(x₁ + 4) = 8.
సాధన:
x₂y = 4 ⇒ x² = \(\frac{4}{y}\)
y(x₂ + 4) = 8
y\(\frac{(4+4 y)}{y}\) = 8
\(y \frac{(4+4 y)}{y}\) = 8
4y – 4 ⇒ y = 1
x₂ = 4 ⇒ x₂ = ±2
ఖండన బిందువులు P (2, 1), Q (-2, 1)
x₂y = 4 ⇒ y = \(\frac{4}{x^2}\)

ప్రశ్న 8.
6x₂ – 5x + 2y = 0, 4x₂ + 8y₂ = 3 విక్రాలు (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) బిందువు వద్ద స్పృశించుకొంటాయని చూపండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
మొదటి వక్రం సమీకరణము
6x₂ – 5x + 2y = 0
2y = 5x – 6x₂
2. \(\frac{d y}{d x}\) = 5 – 12x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{5-12 x}{2}\)
P(\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) వద్ద f'(x₁) = \(\frac{5-12 \cdot \frac{1}{2}}{2}\)
= \(\frac{5-6}{2}\) = \(-\frac{1}{2}\)
రెండవ వక్రం సమీకరణము 4x² + 8y² = 3
8x + 16y. \(\frac{d y}{d x}\) = 0
16y. \(\frac{d y}{d x}\) = -8x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-8 x}{16 y}\) = \(-\frac{x}{2 y}\)
P(\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) వద్ద g'(x₁) = \(\frac{-\frac{1}{2}}{2\left(\frac{1}{2}\right)}\) = \(-\frac{1}{2}\)
∴ f'(x₁) = g'(x₁)
దత్త వక్రాలు P(\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) వద్ద స్పృశించుకొంటాయి.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 2 అక్ష పరివర్తనం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 2 అక్ష పరివర్తనం Exercise 2(a)

అభ్యాసం – 2 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
అక్షాల సమాంతరపరివర్తన ద్వారా మూలబిందువును (4, −5) కు మారిస్తే కొత్త అక్షాల దృష్ట్యా క్రింది బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
i) (0, 3),
ii) (−2, 4)
iii) (4, -5)
సాధన:
i) కొత్త మూలబిందువు = (4, -5); h = 4, k = -5
పాత నిరూపకాలు (0, 3)
నిరూపకాక్షాలకు 8 కోణం భ్రమణం చేయవలెను.
tan 2θ = \(\frac{2 h}{a-b}\) ; x = 0, y = 3
x’ = x – h= 0 – 4 = -4
y’ = y – k = 3 + 5 = 8
నూతన నిరూపకాలు (-4, 8)

ii) పాత నిరూపకాలు (-2, 4)
x = -2, y = 4
x’ = x – h = -2 -4 = -6
y’ = y – k = 4 + 5 = 9
నూతన నిరూపకాలు (-6, 9)

iii) పాత నిరూపకాలు (4, -5)
x = 4, y = -5
x’ =x-h=4 – 4 = 0
y’ = y – k = -5 + 5 = 0
నూతన నిరూపకాలు (0, 0)

ప్రశ్న 2.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తనద్వారా మూలబిందువు (2, 3) కు మారింది. P బిందువు నిరూపకాలు క్రింది విధంగా మారితే, మూల వ్యవస్థలో P నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
i) (4, 5)
ii) (4, -3),
iii) (0, 0)
సాధన:
i) నూతన నిరూపకాలు (4, 5)
x’ = 4, y’ = 5
x = x + h = 4 + 2= 6
y = y’ + k = 5 + 3 = 8
పాత నిరూపకాలు (6, 8)

ii) నూతన నిరూపకాలు (-4, 3)
x’ = -4, y’ = 3
x = x’ + h = 4 + 2 = -2
y = y’ + k = 3 + 3 = 6
పాత నిరూపకాలు (−2, 6)

iii) నూతన నిరూపకాలు (0, 0)
x’ = 0, y’ = 0
x = x’ + h = 0 + 2 = 2
y = y’ + k = 0 + 3 = 3
పాత నిరూపకాలు (2, 3)

ప్రశ్న 3.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా బిందువు (3, 0)ను (2, −3) కు మార్చడానికి మూలబిందువును ఏబిందువుకు మార్చాలో తెలపండి.
సాధన:
(x, y) = (3, 0)
(x’, y’) = (2, −3)
మూల బిందువు (h, k) కు మార్చవలెను
h = x – x’ = 3 – 2 = 1
k = y – y = 0 + 3 = 3
∴ (h, k) = (1, 3)

ప్రశ్న 4.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూలబిందువును (−1, 2) కు మారిస్తే క్రింది సమీకరణల రూపాంతరాలను కనుక్కోండి.
i) x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0
ii) 2x² + y² – 4x + 4y = 0
సాధన:
i) దత్త సమీకరణము
x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0
మూల బిందువు (−1, 2) కు మార్చవలెను
h = -1, k = 2
పరివర్తన సమీకరణాలు
x = x’ + h, y = y + k
i.e., x = x’ – 1, y = y + 2
రూపాంతర సమీకరణము (x’ – 1)² + (y + 2)²
+ 2(x’ – 1) – 4(y’ + 2) + 1 = 0
(x’)² + 1 − 2x’ + (y’)² + 4 + 4y’ + 2x’ – 2 – 4y’ – 8 + 1 = 0
(x’)² + (y’)² − 4 = 0

ii) పాత సమీకరణము 2x² + y² – 4x + 4y = 0
నూతన సమీకరణము 2 (x’ – 1)² + (y + 2)² -4(x’ – 1) + 4(y + 2) = 0
2[(x’)² + 1 – 2x’] + (y’)² + 4 + 4y’ – 4x’ + 4 + 4y’ + 8 = 0
2(x’)² + 2 – 4x’ + (y’) ² + 4 + 4y’ – 4x + 4 + 4y’ + 8 = 0
2(x’)² + (y’)² = 8x’ + 8y + 18 = 0

ప్రశ్న 5.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూలబిందువును ఏ బిందువుకు మార్చిందీ, తద్వారా రూపాంతరం చెందిన సమీకరణము క్రింద ఇవ్వడమైంది. మూలసమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
i) (3, – 4); x² + y² = 4
ii) (-1, 2); x² + 2 y² + 16 = 0.
సాధన:
i) మూల బిందువును = (3, -4) = (h, k) కు మార్చవలెను
x’ = x -h,
= x – 3
y’ = y-k
= y + 4
మూల సమీకరణము (x’)² + (y’)² = 4
(x – 3)² + (y + 4) ² = 4
x² – 6x + 9 + y² + 8y + 16
∴ x² + y² – 6x + 8y + 21 = 0

ii) మూల బిందువు = (h, k) = (-1, 2) కు మార్చవలెను.
x’ = x – h,
= x + 1
y’ = y – k
= y – 2
= 4
x’² + 2y’² + 16 = 0 యొక్క మూల సమీకరణము
(x + 1)² + 2(y – 2)² + 16 = 0
x² + 2x + 1 + 2y² – 8y + 8 + 16 = 0
x² + 2y² + 2x – 8y + 25 = 0

ప్రశ్న 6.
4x² + 9y² – 8x + 36y + 4 = 0 సమీకరణంలో మొదటి తరగతి పదాలు లోపింపచేయడానికి మూల బిందువును ఏ బిందువుకు మార్చాలో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము
4x² + 9y² – 8x + 36y + 4 = 0
a = 4
b = 9
g = – 4
f = 18
– \(\frac{g}{a}=\frac{4}{4}\) = 1, –\(\frac{f}{b}=-\frac{18}{9}\) = -2
మూల బిందువు (1, 2) కు పరివర్తన చేయవలెను.

ప్రశ్న 7.
30° కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, క్రింది బిందువుల కొత్త నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
i) (0, 5)
ii) (−2, 4)
iii) (0, 0)
సాధన:
i) θ = 30° అని యివ్వబడింది. పాత నిరూపకాలు (0, 5)
x = 0, y = 5
x’ = x. cos θ + y. sin θ
= 0. cos 30° + 5. sin 30° = \(\frac{5}{2}\)
y’ = -x sin θ + y cos θ
=-0. sin 30° + 5 cos 30° = \(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\)
పరివర్తన నిరూపకాలు \(\left(\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)\)

ii) పాత నిరూపకాలు (-2, 4)
x = -2, y = 4
x’ = x cos θ + y sin θ
= (-2). cos 30° + 4. sin 30°
= -2 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 4 . \(\frac{1}{2}\) = –\(\sqrt{3}\) + 2
y’ = – x sin θ + y cos θ
= (− 2). sin 30° + 4. cos 30°
= -2 . \(\frac{1}{2}\) + 4 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= 1 + 2\(\sqrt{3}\)
∴ పరివర్తన నిరూపకాలు (-\(\sqrt{3}\) + 2, 1+ 2\(\sqrt{3}\))

iii) (x, y) = (0, 0) మరియు θ = 30° అని యివ్వబడింది.
x = (0, y) ⇒ x = x. cos 30° – y sin 30°
= 0 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) – 0 . \(\frac{1}{2}\) = 0
y = x. sin 30° + y.cos 30°
= 0 . \(\frac{1}{2}\) + 0 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0
పరివర్తన నిరూపకాలు (0, 0)

ప్రశ్న 8.
60° కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, మూల బిందువుల కొత్త నిరూపకాలను ఇవ్వడమైంది.
i) (3, 4),
ii) (-7, 2)
iii) (2, 0) మూల వ్యవస్థలో ఈ బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
i) θ = 60° అని యివ్వబడింది.
నూతన నిరూపకాలు (3, 4)
x’ = 3, y’ = 4
x = x’ cos θ – y’ sin θ
= 3. cos 60° – 4. sin 60°
= 3 . \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{3-4 \sqrt{3}}{2}\)

y = x’ sin θ + y’ cos θ
= 3 sin 60° + 4. cos 60°
= \(\text { 3. } \frac{\sqrt{3}}{2}+4 \cdot \frac{1}{2}=\frac{4+3 \sqrt{3}}{2}\)
P తొలి నిరూపకాలు \(\left(\frac{3-4 \sqrt{3}}{2}, \frac{4+3 \sqrt{3}}{2}\right)\)

ii) నూతన నిరూపకాలు (−7, 2)
x’ = 7, y’ = 2
x = x’ cos θ – y’ sin θ
= (-7) cos 60° – 2. sin 60°
= -7 . \(\frac{1}{2}-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-7-2 \sqrt{3}}{2}\)
y = x’ sin θ + y’. cos θ
= -7. sin 60° + 2. cos 60°
= -7 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}+2 \cdot \frac{1}{2}=\frac{2-7 \sqrt{3}}{2}\)
Q తొలి నిరూపకాలు \(\left(\frac{-7-2 \sqrt{3}}{2}, \frac{2-7 \sqrt{3}}{2}\right)\)

iii) నూతన నిరూపకాలు (2, 0)
x’ = 2, y’ = 0
x = x’ cos θ – y’ sin θ
= 2. cos 60° – 0. sin 60°
= 2 . \(\frac{1}{2}\) – 0 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 1 – 0 = 1
y = x’ sin θ + y’ cos θ
= 2. sin 60° + 0. cos 60°
= 2. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 0 . \(\frac{1}{2}\) = \(\sqrt{3}\)
Q తొలి నిరూపకాలు (1, \(\sqrt{3}\))

ప్రశ్న 9.
x² + 4xy + y² – 2x + 2y – 60 xy పదం లోపింపచేయడానికి అక్షాలను ఏ కోణంలో భ్రమణ పరివర్తన చేయాలో కనుక్కోండి. [June ’04]
సాధన:
x² + 4xy + y² – 2x + 2y – 6 = 0
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 తో
పోల్చగా a = 1, h = 2, b = 1, g = 1, f = 1, c = -6
నిరూపకాక్షాలకు ‘θ’ కోణం భ్రమణం చేస్తే

II.

ప్రశ్న 1.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూల బిందువును (2, 3) కు మార్చినప్పుడు, ఒక వక్రం రూపాంతరం చెందిన సమీకరణము x² + 3xy – 2y² + 17x – 7y – 11 = 0 అయితే వక్రం యొక్క మూల సమీకరణము కనుక్కోండి. [May ’11]
సాధన:
పరివర్తన సమీకరణాలు
x = x + h, y = y + k
x’ = x – h = x – 2, y’ = y – 3
పరివర్తిత సమీకరణము
x² + 3xy – 2y² + 17x – 7y – 11 = 0
తొలి సమీకరణము
(x – 2)² + 3(x – 2) (y – 3) – 2(y – 3)² + 17(x – 2) – 7(y – 3) – 11 = 0
x² – 4x + 4 + 3xy – 9x – 6y + 18 – 2y² + 12y – 18 + 17x – 34 – 7y + 21 − 11 = 0
x² + 3xy – 2y² + 4x – y – 20 = 0
ఇది కావలసిన మూల సమీకరణము

ప్రశ్న 2.
45°కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, రూపాంతరం చెందిన వక్రం సమీకరణము 17x² – 16xy + 17y = 225. వక్రం మూల సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15; May ’12]
సాధన:
భ్రమణ కోణము = θ = 45
x’ = x cos θ + y sin θ = x cos 45 + y sin 45
= \(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\)
y’ = -x sin θ + y cos θ = − -x sin 45 + y cos 45
= \(\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\)
17x² – 16xy + 17y² = 225 యొక్క తొలి సమీకరణము

17x² + 17y² + 34xy – 16y² + 16x² + 17x² + 17y² – 34xy = 450
50x² + 18y² = 450
తొలి సమీకరణము
25x² + 9y² = 225

ప్రశ్న 3.
అక్షాలను a కోణంతో భ్రమణం చేసినప్పుడు, x cos α. + y sin α = p యొక్క రూపాంతర సమీకరణము కనుక్కోండి. [Mar. ’14, May ’07]
సాధన:
దత్త సమీకరణము x cos α + y sin α = p
∵ నిరూపకాక్షాలను కోణం భ్రమణం చేసాయి.
x = x’ cos α – y’ sin α
y = x’ sin α + y’ cos α
దత్త సమీకరణము పరివర్తిత రూపము
(x’ cos α – y’ sin α) cos α + (x’ sin a + y’ cos α) sin α = p
⇒ x’ (cos² α + sin² α) = p ⇒ x’ = p
దత్త సమీకరణము పరివర్తిత రూపం x = p

ప్రశ్న 4.
\(\frac{\pi}{6}\) కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, x² + 2\(\sqrt{3}\)xy – y² = 2a² యొక్క సమీకరణము కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15, ’12, ’07, ’04; May ’13, ’12]
సాధన:
θ = \(\frac{\pi}{6}\), x = X cos α + Y sin α
x = X cos \(\frac{\pi}{6}\) – Y sin \(\frac{\pi}{6}\)
= \(X \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-Y \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3} X-Y}{2}\)
y = X sin α + Y cos α = X. sin \(\frac{\pi}{6}\) + Y cos \(\frac{\pi}{6}\)
= \(X \cdot \frac{1}{2}+Y . \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{X+\sqrt{3} Y}{2}\)
రూపాంతర సమీకరణము

⇒ \(\frac{3 x^2-2 \sqrt{3} X Y+Y^2}{4}\) + \(\frac{2 \sqrt{3}\left[\sqrt{3} X^2-X Y+3 X Y-\sqrt{3} Y^2\right]}{4}\) – \(\frac{X^2+3 Y^2+2 \sqrt{3} X Y}{4}\) = 2a²
⇒ 3X² – 2\(\sqrt{3}\) XY + Y² + 2\(\sqrt{3}\) [\(\sqrt{3}\)X² + 2XY – \(\sqrt{3}\)Y²] – (x² + 3Y² + 2\(\sqrt{3}\)XY) = 8a²
⇒ 3x² – 2\(\sqrt{3}\)XY + Y² + 6X² + 4\(\sqrt{3}\)XY – 6Y² – X² – 3Y² – 2\(\sqrt{3}\) XY = 8a²
⇒ 8x² – 8y² = 8a² ⇒ X² – Y² = a²

ప్రశ్న 5.
\(\frac{\pi}{4}\) కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, 3x² + 10xy + 3y² = 9 యొక్క రూపాంతర
సమీకరణము కనుక్కోండి. [May ’11]
సాధన:
దత్త సమీకరణము
3x² + 10xy + 3y² – 9 = 0 ……………… (1)
భ్రమణ కోణము θ = \(\frac{\pi}{4}\)
(X, Y) లు (x, y) యొక్క నూతన నిరూపకాలు అనుకొనుము.
x = X cos θ – Y sin θ
= X cos \(\frac{\pi}{4}\) – y sin \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\)
y = X sin θ + Y cos θ = X sin \(\frac{\pi}{4}\) + Y cos \(\frac{\pi}{4}\) = 2 \(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\)
(1) యొక్క రూపాంతర సమీకరణము
\(3\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2+10\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)+3\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2-9=0\)
⇒ 3 \(\frac{\left(X^2-2 X Y+Y^2\right)}{2}\) + 10 \(\frac{\left(X^2-Y^2\right)}{2}\) + 3 \(\frac{\left(X^2+2 X Y+Y^2\right)}{2}\) – 9 = 0
⇒ 3x² – 6XY + 3y² + 10X² – 10Y² + 3X² + 6XY + 3Y² – 18 = 0
16X² – 4Y² – 18 = 0
∴ 8X² – 2Y² = 9
∴ 8X² – 2Y² = 9

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 1 బిందుపథం Exercise 1(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 1 బిందుపథం Exercise 1(a)

అభ్యాసం – 1(ఎ)

I

ప్రశ్న 1.
బిందువు A (4, – 3) నుంచి దూరం 5 గాగల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (4, -3) దత్త బిందువు P(x, y) బిందుపథం మీది బిందువు

దత్త నియమము AP = 5
AP² = 25
(x – 4)² + (y + 3)² = 25
x² – 8x + 16 + y² + 6y + 9 − 25 = 0
P యొక్క బిందుపథ సమీకరణము
x² + y² – 8x + 6y = 0

ప్రశ్న 2.
A (-3, 2), B (0, 4) బిందువుల నుంచి సమాన దూరంలో ఉండే బిందు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (- 3, 2), B (0, 4) లు దత్త బిందువులు
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు

దత్త నియమము PA = PB
PA² = PB²
(x + 3)² + (y – 2)² = (x – 0)² + (y – 4)²
x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4 = x² + y² – 8y + 16
6x + 4y = 3 బిందుపథం మీది సమీకరణము.

ప్రశ్న 3.
మూల బిందువు నుంచి P దూరం, A (1, 2) బిందువు నుంచి P దూరానికి రెట్టింపు అయితే బిందువు P పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’12]
సాధన:
O (0, 0), A (1, 2) లు దత్త బిందువులు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.

దత్త నియమము OP = 2AP
OP² = 4 AP²
x² + y² = 4 [(x – 1)² + (y – 2)²]
= 4 (x² – 2x + 1 + y² – 4y+ 4)
x² + y² = 4x² + 4y² – 8x – 16 y + 20
P యొక్క బిందుపథ సమీకరణము
3x² + 3y² – 8x – 16y + 20 = 0

ప్రశ్న 4.
నిరూపకాక్షాల నుంచి సమాన దూరంలో ఉండే బిందువు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు
PM, PN లు P నుండి X, Y – అక్షాల మీదకు గీయబడిన లంబములు.

దత్తాంశం PM = PN ⇒ PM² = PN²
y² = x²
P బిందుపథము x² – y² = 0

ప్రశ్న 5.
A (2, 0) బిందువుకు Y – అక్షానికి సమాన దూరంలో ఉండే. బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (2, 0) దత్త బిందువు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు

Y – అక్షానికి లంబంగా PN ను గీయండి.
దత్త నియమము PA = PN
PA² = PN²
(x – 2)² + (y – 0) ² = x²
x² − 4x + 4 + y² = x²
P బిందుపథము y² – 4x + 4 = 0

ప్రశ్న 6.
మూల బిందువు నుంచి P బిందువు దూరానికి వర్గం, P- బిందువు Y– నిరూపకానికి నాలుగురెట్లుంటే బిందువు P – పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. 05; June 04]

సాధన:
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము OP² = 4y ⇒ x² + y² = 4y
P బిందుపథ సమీకరణము x² + y² – 4y = 0.

ప్రశ్న 7.
A = (a, 0), B = (-a, 0), 0 < |a|< |c|. PA² + PB² = 2c² అయ్యేటట్లు బిందువు P పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P (x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు.
A = (a, 0)
B = (-a, 0)
దత్త నియమము
PA² + PB² = 2c²
(x − a)² + (y − 0)² + (x + a)² + (y − 0)² = 2c²
x² – 2ax + a² + y² + x² + 2ax + a² + y² = 2c²
2x² + 2y² = 2c² – 2a²
∴ x² + y² = c² – a² బిందుపథ సమీకరణము.

II.

ప్రశ్న 1.
(2, 3), (−1, 5) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం, P వద్ద లంబకోణం చేస్తే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13; May ’12; Mar. ’05; June ’04]
సాధన:
A(2, 3), B (−1, 5) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.

దత్త నియమము ∠APB = 90°
AP² + PB² = AB²
(x − 2)² + (y − 3)² + (x + 1)² + (y − 5)² = (2 + 1)² + (3 − 5)²
= x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 + x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25 = 9 + 4
2x² + 2y² – 2x – 16y + 26 = 0
P యొక్క బిందుపథం x² + y² – x – 8y + 13 = 0
(x, y) ≠ (2, 3) మరియు (x, y) ≠ (-1, 5)

ప్రశ్న 2.
(0, 6), (6, 0) లు కర్ణాగ్రాలుగా గల లంబకోణ త్రిభుజం మూడో శీర్షం బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(0, 6), B (6, 0) లు కర్ణపు కోణాలు.
P (x, y) మూడవ శీర్షము
∴ దత్త నియమము ∠ APB = 90°

AP² + PB² = AB²
(x – 0)² + (y – 6)² + (x – 6)² + (y – 0)² = (0 – 6)² + (6 – 0)²
x² + y² -12y + 36 + x² – 12x + 36 + y² = 36 + 36
2x² + 2y² – 12x – 12y = 0
P బిందుపథము x² + y² – 6x – 6y = 0
(x, y) ≠ (0, 6) మరియు (x, y) ≠ (6, 0)

ప్రశ్న 3.
(−5, 0), (5, 0) బిందువుల నుంచి దూరాల భేదం 8గా గల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’11, ’06; Mar. ’04]
సాధన:
A(5, 0), B(-5, 0) లు దత్త బిందువులు.

P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము |PA – PB| = 8
PA – PB = 8 …………………… (1)
PA² – PB² = [(x – 5)² + (y – 0)²] – [(x + 5)² + (y – o)²]
= x² – 10x + 25+ y² – x² – 10x – 25 – y²
= – 20x
(PA + PB) (PA – PB) = – 20x
(PA + PB) 8 = – 20x
PA + PB = –\(\frac{5}{2}\) x ………………. (2)
(1), (2) లను కూడగా
2PA = –\(\frac{5x}{2}\) + 8 = \(\frac{-5x+16}{2}\)
4PA = – 5x + 16
16PA² = (-5x + 16)²
16 [(x – 5)² + y²] = (- 5x + 16)²
16 [x² – 10x + 25+ y²] = [-5x + 16]²
16x² + 16y² – 160x + 400 = 25x² + 256 – 160 x
9x² – 16y² = 144
144 తో భాగించగా, P బిందుపథం
\(\frac{9 x^2}{144}\) – \(\frac{16 y^2}{144}\) = 1
కనుక \(\frac{x^2}{16}\) – \(\frac{y^2}{9}\) = 1

ప్రశ్న 4.
A = (4, 0), B = (-4, 0), |PA – PB|= 4x P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’13; May ’07]
సాధన:
A = (4, 0), B = (- 4, 0) లు దత్త బిందువులు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము |PA – PB | = 4 ……………… (1)
PA² – PB² = [(x – 4)² + (y – 0)²] – [(x + 4)² + y²]
= x² – 8x + 16 + y² – x² – 8x – 16 – y²
= – 16x

(PA + PB) (PA – PB) = -16x
(PA + PB) 4 = -16x
PA + PB = – 4x ……………. (2)
(1), (2) లను కూడగా.
2PA = 4 – 4x
PA = 2 – 2x
PA² = (2 – 2x)²
(x – 4)² + (y – 0)² = (2 – 2x)²
x² – 8x + 16 + y² = 4 + 4x² – 8x
3x² – y² = 12
12 తో భాగించగా P యొక్క బిందుపథం \(\frac{3 x^2}{12}-\frac{y^2}{12}\) = 12
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}\) = 1

ప్రశ్న 5.
(0, 2), (0, – 2) బిందువుల నుంచి దూరాల మొత్తం 6గా గల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (0, 2), B (0, 2) లు దత్త బిందువులు.

P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
దత్త నియమము PA + PB = 6 …………….. (1)
PA² – PB² = [(x – 0)²+(y – 2)²] – [(x – 0)² + (y + 2)²]
= x²+ y² – 4y + 4 – x² – y² – 4y – 4 = -8y
(PA + PB) (PA – PB) = – 8y
6 (PA – PB) = – 8y
PA – PB = – \(\frac{8 y}{6}\)
PA – PB = – \(\frac{4 y}{3}\) ………………. (2)
(1), (2) లను కూడగా 2PA = 6 – \(\frac{4 y}{3}\)
PA = 3 – \(\frac{2 y}{3}\)
PA² = (3 – \(\frac{2 y}{3}\))²
x² + (y – 2)² = (3 – \(\frac{2 y}{3}\))²
x² + y² – 4y + 4 = 9 + \(\frac{4 y^2}{9}\) – 4y
9x² + 9y² + 36 = 81 + 4y²
9x² + 5y² = 45
45 తో భాగించగా
P యొక్క బిందుపథము \(\frac{9 x^2}{45}+\frac{5 y^2}{45}\) = 1
\(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}\) = 1

ప్రశ్న 6.
A = (2, 3), B = (2,-3), PA + PB = 8 అయితే P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
A (2, 3), B (2, -3) లు దత్త బిందువులు.

P(x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము PA + PB = 8 ……………. (1)
PA² – PB² = [(x – 2)² + (y – 3)²] – [(x – 2)² + (y + 3)²]
= (x – 2)² + (y – 3)² – (x – 2)² – ( y + 3)²
= (y – 3)² – (y + 3)² = – 12y
(PA + PB) (PA – PB) = – 12y
8 (PA – PB) = -12y
PA – PB = \(\frac{-12 y}{8}\)
PA – PB = \(\frac{-3 y}{2}\) ……………… (2)
(1), (2) లను కూడగా
2PA = 8 – \(\frac{3 y}{2}\) = \(\frac{16-3 y}{2}\)
4PA = 16 – 3y
16PA² = (16 – 3y)²
16 [(x – 2)² + (y – 3)²] = (16 – 3y)²
16(x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9) = (16 – 3y)²
16x² + 16y²– 64x – 96y + 208 = 256 + 9y² – 96y
16x² + 7y² – 64x – 48 = 0
P బిందుపథము 16x² + 7y² – 64x – 48 = 0

ప్రశ్న 7.
A(5, 3), B (3, −2) లు రెండు స్థిర బిందువులు. త్రిభుజం PAB వైశాల్యం 9గా ఉండేటట్లు P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.  [T.S. Mar. ’15, ’06]
సాధన:
A(5, 3), B(3, -2) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.

దత్త నియమము ∆PAB = 9
\(\frac{1}{2}\) |5 (-2 – y) + 3 (y − 3) + x (3 + 2)| = 9
|-10 – 5y + 3y – 9 + 5x| = 18
5x – 2y – 19 = ±18
5x – 2y – 19 = 18 లేదా 5x – 2y – 19 = -18
5x – 2y – 37 = 0 లేదా 5x – 2y – 1 = 0
P యొక్క బిందుపథము (5x – 2y – 37) (5x – 2y – 1) = 0

ప్రశ్న 8.
A(1, 1), B (−2, 3) బిందువులతో 2 వైశాల్యం గా గల త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (1, 1), B(-2, 3) లు దత్త బిందువులు

P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము ∆PAB = 2
\(\frac{1}{2}\) |1 (3) 2 (y – 1) + x (1 – 3)| = 2
|13 – y – 2y + 2 – 2x| = 4
-2x – 3y + 5 = ±4
-2x – 3y + 5 = 45 లేదా – 2x – 3y + 5 = -4
2x + 3y-10 లేదా 2x + 3y – 9 = 0
P బిందుపథము (2x + 3y – 1) (2x + 3y – 9) = 0

ప్రశ్న 9.
(2, 3), (2, – 3) బిందువుల నుంచి P దూరం 2:3 నిష్పత్తిలో ఉంటే, బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
A = (2, 3), B = (2, – 3) లు దత్త బిందువులు.
దత్త నియమము
PA : PB = 2:3
⇒ 3PA = 2PB
⇒ 9PA² = 4PB²
⇒ 9 [(x – 2)² + (y – 3)²] = 4 [(x – 2)² + (y + 3)²]
⇒ 9[x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9] = 4 [x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9]
∴ 5x² + 5y² – 20 x – 78 y + 65 = 0 బిందుపథ సమీకరణము.

ప్రశ్న 10.
A (1, 2), B (2, -3), C (-2, 3) లు మూడు బిందువులు. PA² + PB² = 2PC² అయ్యేటట్లు P చరిస్తుంది. P బిందుపథ సమీకరణం 7x + 7y + 4 = 0 అని చూపండి. [May ’07]
సాధన:
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
A = (1, 2), B(2, -3), C=(-2, 3) లు దత్త బిందువులు
దత్త నియమము
PA² + PB² = 2 PC²
⇒ (x – 1)² + (y – 2)² + (x – 2)² + (y + 3)² = 2 [(x + 2)² + (y – 3)²].
⇒ 2x² + 2y² – 6x + 2y + 18 = 2x² + 2y² + 8x – 12y + 26
⇒ 14x – 14y + 8 = 0
∴ 7x – 7y + 4 = 0 బిందుపథ సమీకరణం.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(c)

I.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{array}\right]\) అయితే (AB’)’ ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
5 & 0 \\
-1 & 4
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 3 & 1 \\
4 & 0 & 2
\end{array}\right]\) అయితే 2A + B’, 3B’ – A లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\) అయితే A + A’, A . A’ లను కనుక్కోండి. [May ’07]
Solution:
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\)

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 6 \\
3 & x & 7
\end{array}\right]\) ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక అయితే x విలువ ఎంత? [Mar. ’03]
సూచన : ‘A’ ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక ⇒ A^T = A
Solution:
A సౌష్టవ మాత్రిక
⇒ A^T = A
\(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & x \\
3 & 6 & 7
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 6 \\
3 & x & 7
\end{array}\right]\)
∴ x = 6

Question 5.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\
-2 & 0 & -2 \\
-1 & x & 0
\end{array}\right]\) ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక అయితే x విలువ ఎంత? [May ’13]
సూచన: ‘A’ ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక ⇒ A^T = -A
Solution:
A ఒక వక్ర సౌష్టవ మాత్రిక
⇒ A^T = -A

∴ x = 2

Question 6.
\(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & 7 \\
-4 & -7 & 0
\end{array}\right]\) ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక అవుతుందా, వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక అవుతుందా?
Solution:

∴ A ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక.

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) అయితే AA’ = A’A = I అని చూపండి. [Mar. ’07]
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 3 \\
2 & 4 & 0 \\
3 & -1 & -5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
0 & -2 & 5 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\) అయితే 3A – 4B’ ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
7 & -2 \\
-1 & 2 \\
5 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & -1 \\
4 & 2 \\
-1 & 0
\end{array}\right]\) అయితే AB’ మరియు BA’ లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A ఒక చతురస్ర మాత్రిక అయితే AA’ సౌష్ఠవ మాత్రిక అని చూపండి. [(A.P) Mar. ’15]
Solution:
A చతురస్ర మాత్రిక
(AA’)’ = (A’)’ A’ = A . A’
∵ (AA’)’ = AA’
⇒ AA’ ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక.