AP Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.5

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.5

ప్రశ్న1.
ప్రధాన కారణాంక పద్ధతి ద్వారా దిగువ సంఖ్యల ఘనమూలాలను కనుగొనండి.
(i) 343
(ii) 729
(iii) 1331
(iv) 2744
సాధన.

ప్రశ్న2.
క్రిందివాని ఘనమూలాలను అంచనా వేసి కనుగొనుము.
(i) 512
(ii) 2197
(iii) 3375
(iv) 5832
సాధన.
(i) 512
సోపానం (1) : దత్త సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంతో ఎడమవైపుకు పోవుచు మూడు మూడు అంకెలుండునట్లు గుంపులుగా విభజించి వ్రాయాలి.

సోపానం (2) : మొదటి గుంపులోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2. కావునా దత్త సంఖ్య యొక్క ఘనమూలపు ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 8 అయి ఉండవలెను.
సోపానం (3) : ఇపుడు రెండవ గుంపులో గల ‘0’ని గమనించుము. అది 0³ < 1 < 2³. కావునా కనిష్ఠ సంఖ్య 0. కావునా ఘనమూలపు పదుల స్థానంలోని అంకె 0.
∴ \(\sqrt[3]{512}\) = 8

(ii)

సోపానం (1) : ఇచ్చిన సంఖ్య నుండి ఒకటవ గుంపు 197; రెండవ గుంపు 2.
సోపానం (2) : 197లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 7. దీని యొక్క ఘనమూలం 3 అగును.
[∵ 3 × 3 × 3= 27]
∴ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 3
సోపానం (3) : పదుల స్థానంలోని అంకే రెండవ గుంపు నుండి 2 అను సంఖ్య.
1³ < 2 < 2³ కావునా కనిష్ఠ సంఖ్య 1 అగును.
∴ కావలసిన సంఖ్య = 13
∴ \(\sqrt[3]{2197}\) = 13

(iii)

ఒకటవ గుంపులోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 5.
ఈ సంఖ్య దత్త సంఖ్య యొక్క ఘనపుమూలపు ఒకటవ స్థానపు అంకెను సూచించును. [∵ 5 × 5 × 5 = 125]
2వ గుంపులోని సంఖ్య 3.
ఇది 1³ < 3 < 2³ మధ్య ఉండును.
∴ కనిష్ఠ సంఖ్య 1 అగును.
∴ \(\sqrt[3]{3375}\) = 15

(iv)

∴ మొదటి గుంపు 832 లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2 ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క ఘన మూలపు ఒకట్ల స్థానాన్ని సూచించు అంకె 8 అగును.
[∵ 8 × 8 × 8 = 512]
2వ గుంపులోని సంఖ్య = 5
ఈ 5, 1³ < 5 < 2³ ల మధ్య ఉండును.
∴ కనిష్ఠ విలువ ‘1’ గా తీసుకుంటాం.
∴ \(\sqrt[3]{5832}\) = 18

ప్రశ్న3.
దిగువ వాక్యములు సత్యములా ? అసత్యములా ? వ్రాయండి.
(i) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనము బేసిసంఖ్య.
(ii) సంపూర్ణ ఘన సంఖ్య చివర రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి.
(iii) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె ‘5’ అయిన దాని ఘనము చివరి అంకె కూడ 5 అగును.
(iv) ఒక సంఖ్య సున్నా (0) తో అంతమైన దాని ఘనములో మూడు సున్నాలు ఉంటాయి.
(v) ఒక అంకెగల సంఖ్య యొక్క ఘనము కూడ ఒక అంకె సంఖ్య అవుతుంది.
(vi) ‘8’ తో అంతం అగు సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు.
(vii) రెండంకెల సంఖ్య ఘనములో మూడంకెలు ఉండవచ్చు.
సాధన.
(i) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనము బేసిసంఖ్య. (అసత్యము)
(ii) సంపూర్ణ ఘన సంఖ్య చివర రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి. (అసత్యము)
(iii) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె ‘5’ అయిన దాని ఘనము చివరి అంకె కూడ 5 అగును. (సత్యము)
(iv) ఒక సంఖ్య సున్నా (0) తో అంతమైన దాని ఘనములో మూడు సున్నాలు ఉంటాయి. (సత్యము)
(v) ఒక అంకెగల సంఖ్య యొక్క ఘనము కూడ ఒక అంకె సంఖ్య అవుతుంది. (అసత్యము)
(vi) ‘8’ తో అంతం అగు సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు. (అసత్యము)
(vii) రెండంకెల సంఖ్య ఘనములో మూడంకెలు ఉండవచ్చు. (అసత్యము)

ప్రశ్న4.
వర్గసంఖ్యయు మరియు ఘనసంఖ్యయు అగు రెండంకెల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
వర్గసంఖ్య మరియు ఘనసంఖ్య అగు సంఖ్య 64
64 = 8 × 8 = 8²
64 = 4 × 4 × 4 = 4³