Mahesh

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
4.2 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన ఒక లోహపు గోళంను – కరిగించి 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన స్టూపముగా . మలిస్తే, ఆ స్థూపము యొక్క ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

లెక్క ప్రకారం, గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం = స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{4}{3}\) πr³ = πr₁²h
⇒ \(\frac{4}{3}\) r³ = r₁²h
⇒ \(\frac{4}{3}\) × 4.2 × 4.2 × 4.2 = 6 × 6 × h
⇒ h = \(\frac{98.784}{36}\) = 2.744
∴ స్థూపం యొక్క ఎత్తు = 2.744 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. మరియు 10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధములు కల్గిన లోహపు గోళములను కరిగించి ఒక పెద్ద లోహపు గోళముగా మలిస్తే దాని యొక్క వ్యాసార్ధము ఎంత ? –
సాధన.

లెక్క ప్రకారం, 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 10 సెం.మీ.లు వ్యాసార్ధాలుగా గల గోళాల ఘనపరిమాణముల మొత్తం = పెద్ద గోళం ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{4}{3}\) πr₁³ + \(\frac{4}{3}\) πr₂³ + \(\frac{4}{3}\) πr₃³ = \(\frac{4}{3}\) πR³

⇒ \(\frac{4}{3}\) π[r₁³ + r₂³+ r₃³] = \(\frac{4}{3}\) × π × R³

⇒ r₁³ + r₂³ + r₃³ = R³

⇒ 6³ + 8³ + 10³ = R³
⇒ 216 + 512 + 100 = R³
⇒ R³ = 1728
⇒ R = 123
∴ R = 12 (∵ ఘాతాంకాలు సమానమైన భూములు కూడా సమానాలే)
∴ పెద్ద గోళం వ్యాసార్ధం (R) = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
20 మీటర్లు లోతు, 7 మీటర్ల వ్యాసము గల ఒక గొయ్యిని త్రవ్వగా వచ్చిన మట్టిని 22 మీటర్లు × 14 మీటర్లు కొలతలుగా ఒక ప్లాట్ ఫాంగా ఏర్పరిస్తే దాని యొక్క ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.
త్రవ్విన భూమి యొక్క ఘనపరిమాణం = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 20 = 770 m
ప్లాట్ ఫాం ఎత్తు = h m అనుకొనుము
∴ 22 × 14 × h = \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 20
h = \(\frac{35}{14}=\frac{5}{2}=2 \frac{1}{2}\) m
∴ ప్లాట్ ఫారమ్ ఎత్తు 2\(\frac{1}{2}\) m.

ప్రశ్న 4.
14 మీటర్లు వ్యాసము, 15 మీటర్ల లోతు కల్గిన ఒక బావిని త్రవ్వగా వచ్చిన మట్టిని 7 మీటర్ల వెడల్పు కల్గిన ఒక వృత్తాకార కంకణముగా ఏర్పరిస్తే దాని యొక్క
ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

లెక్క ప్రకారం, స్థూపాకార బావి నుండి తీసిన మట్టి ఘనపరిమాణం = వృత్తాకార కంకణంగా ఏర్పర్చిన ఆ మట్టి ఘనపరిమాణం.
స్థూపాకార బావి వ్యాసార్ధం r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 మీ.
బావి లోతు/ఎత్తు (h) = 15 మీ.
∴ స్థూపాకార బావి నుండి త్రవ్విన మట్టి ఘనపరిమాణం V₁ = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 15
బావి నుండి త్రవ్వి తీసిన మట్టిని వృత్తాకార కంకణంగా ఏర్పర్చిన దాని వెడల్పు (w) = R – r = 7 మీ.
దాని ఎత్తు (h) = ?
∴ కంకణాకార మట్టి ఘనపరిమాణం (V₂) = π
V₂ = \(\frac{22}{7}\) × (R + r) (R – r) × h
= \(\frac{22}{7}\) × (14 + 7) × 7 × h
(∵ బావి వ్యాసార్ధం కంకణం యొక్క లోపలి వ్యాసార్ధం (r) = 7 మీ.)
(∵ R = W + r = 7 + 7 = 14 మీ.)
లెక్క ప్రకారం, V₁ = V₂
⇒ \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 15 = \(\frac{22}{7}\) × (14 + 7) × 7 × h
⇒ 7 × 15 = 21 × h
⇒ h = 5 మీ.
∴ వృత్తాకార కంకణంగా ఏర్పర్చిన మట్టి దిబ్బ ఎత్తు (b) = 5 మీ.

ప్రశ్న 5.
12 సెం.మీ. వ్యాసము, 15 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన ఒక క్రమవృత్తాకార స్థూపాకృతి పాత్రలో నిండుగా ఐస్ క్రీం ఉన్నది. దానిని 12 సెం.మీ. ఎత్తు, 6 సెం.మీ. భూవ్యాసముగా కల్గిన శంఖువు ఆకార వస్తువు (కోన్)లో పైభాగము అర్ధగోళాకారంలో ఉండే విధముగా ఐస్ క్రీంను నింపితే, ఆ మొత్తం ఐస్ క్రీంను నింపడానికి కావలసిన కోన్ల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
క్రమవృత్తాకార స్థూపాకృతి యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{12}{2}\) = 6 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 15 సెం.మీ.
అర్ధగోళం/శంఖువు యొక్క వ్యాసార్ధాలు (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{6}{2}\) = 3 సెం.మీ.
శంఖువు ఎత్తు (h) = 12 సెం.మీ.
శంఖువు పైభాగం అర్ధగోళాకారంలో ఉండే విధంగా ఐస్ క్రీంను నింపితే, మొత్తం స్థూపాకృతిని ఐస్ క్రీంతో నింపుటకు కావలసిన కోన్ల సంఖ్య –

కావలసిన, కోన్ల సంఖ్య = 10.

ప్రశ్న 6.
5.5 సెం.మీ. × 10 సెం.మీ. × 3.5 సెం.మీ. కొలతలు కలిగిన దీర్ఘఘనముగా మార్చడానికి 1.75 సెం.మీ. వ్యాసము, 2 మి.మీ. మందము కల్గిన ఎన్ని వెండి నాణెములు అవసరమవుతాయి ?
సాధన.
కరిగించవలసిన వెండి నాణేల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
‘n’ సంఖ్యగల వెండి నాణేల ఘనపరిమాణం = దీర్ఘఘనాకారం యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ n × πr²h = lbh
⇒ n × \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{1.75}{2}\right)^{2} \times \frac{2}{10}\)
= 5.5 × 10 × 3.5 (∵ మందంఎత్తు (h) = 2 మి.మీ. = \(\frac{2}{10}\) సెం.మీ.)
⇒ n × \(\frac{22}{7} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{2}{10}\) = 55 × 3.5
n = \(\frac{7 \times 35 \times 5}{1.75 \times 1.75}\)

= \(\frac{175 \times 7}{1.75 \times 1.75}=\frac{100}{0.25}\) = 400
∴ n = 400
∴ కావలసిన వెండి నాణేల సంఖ్య = 400.

ప్రశ్న 7.
ఒక పాత్ర తిరగబడిన శంఖువు ఆకారంలో ఉన్నది. దాని ఎత్తు 8 సెం.మీ. పై భాగము వా త , 5 సెం.మీ. పాత్ర పూర్తిగా నీటితో నింపబడి యున్నలు. దానిలో 0.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన ఘనగోళమును వేస్తే పాత్రలో యున్న నీటిలో 7వ వంతు పొర్లి బయటికి .. వస్తుంది. అయినచో పాత్రలో వేయగల్గిన మొత్తము ఘనపు గోళముల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.

ఇవ్వబడినవి : పై పటం నుండి,
శంఖువు ఆకార పాత్ర వ్యాసార్ధం (r) = 5 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 8 సెం.మీ.
గోళం వ్యాసార్ధం (r) = 0.5 సెం.మీ. = \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ.
శంఖువాకార పాత్రలో ఘనగోళమును వేస్తే దానిలోని నీరు \(\frac{1}{4}\) వంతు పొర్లి బయటకు వచ్చినది అంటే గోళముల ఘనపరిమాణాల మొత్తం శంఖువు ఘనపరి మాణంలో \(\frac{1}{4}\) వ వంతు అని అర్థం.
∴ శంఖువాకార పాత్రలో వేయదగు గోళముల సంఖ్య

కావలసిన ఘనపు గోళముల సంఖ్య = 100.

ప్రశ్న 8.
28 సెం.మీ. వ్యాసము కల్గిన ఒక ఘనపు గోళమును కరిగించి 45 సెం.మీ. వ్యాసం, 8 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన శంఖువులుగా మారిస్తే ఏర్పడే శంఖువుల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
చిన్న శంఖువుల సంఖ్య = ‘n’ అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము .
⇒ ‘n’ శంఖువుల ఘనపరిమాణం = గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం
శంఖువు : వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}\)
= \(\frac{4 \frac{2}{3}}{2}\)
= \(\frac{\frac{14}{3}}{2}=\frac{7}{3}\) సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 3 సెం.మీ.
గోళం : వ్యాసార్థం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{28}{2}\) = 14 సెం.మీ
∴ లెక్క ప్రకారం
⇒ n × \(\frac{1}{3}\) πr₁²h = \(\frac{4}{3}\) πr₂²
⇒ n × \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{3} \times \frac{7}{3} \times 3\) = \(\) × (14)³
⇒ n × \(\frac{7}{3}\) × 7 = 4 × 14 × 14 × 14
⇒ n = 3 × 4 × 14 × 2 × 2
∴ n = 672
∴ కావలసిన శంఖువుల సంఖ్య (n) = 672.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Exercise 10.3

ప్రశ్న 1.
ఒక ఇనుప స్థూపాకార స్థంభము 2.8. మీటర్ల ఎత్తు, 20 సెం.మీ వ్యాసము కల్గియున్నది. దానిపై 42 సెం.మీ. ఎత్తు గల శంఖువు ఆకార భాగమున్నది. ఒక ఘనపు సెం.మీ. ఇనుము యొక్క బరువు 7.5 గ్రాములు అయితే ఆ ఇనుప స్థంభము యొక్క బరువు ఎంత?
సాధన.
ఇచ్చినవి : స్థూపం యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{d}{2}\)
⇒ r = \(\frac{20}{2}\) = 10 సెం.మీ. ఎత్తు (h) = 2.8 మీ.
= 2.8 × 100 సెం.మీ. = 280 సెం.మీ.
శంఖువు యొక్క వ్యాసార్ధం r = \(\frac{d}{2}\)
= \(\frac{20}{2}\) = 10 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 42 సెం.మీ.

∴ ఇనుప స్థూపాకార స్థంభం యొక్క ఘనపరిమాణం = స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణం + శంఖువు ఆకార ఘనపరిమాణం
= πr²h + \(\frac{1}{3}\) πr²h
= (\(\frac{22}{7}\) × 10 × 10 × 280) + (\(\frac{1}{3}\) x \(\frac{22}{7}\) × 10 × 10 × 42)
= 88000 + 4400 = 92400 సెం.మీ³.
∴ 1 సెం.మీ³కు 7.5 గ్రా. చొప్పున ఇనుప స్థూపాకార స్థంభం యొక్క బరువు = 92400 × 7.5 = 693000 గ్రా.లు.
= \(\frac{69300}{1000}\) కి.గ్రా.
= 693 కి.గ్రాలు.

ప్రశ్న 2.
ఒక అర్ధగోళము యొక్క సమతల ఉపరితలముపై క్రమవృత్తాకార శంఖువు ఆకార భాగము యొక్క వృత్తాకార భూభాగము కలుపబడి యున్నట్లు ఒక ఆటవస్తువు ఉన్నది. శంఖువు ఆకార భాగము యొక్క భూవ్యాసార్ధము 7 సెం.మీ. మరియు దాని ఘన పరిమాణము అర్ధగోళాకార భాగము యొక్క ఘన 3 పరిమాణమునకు, రెట్లు ఉన్నది. శంఖువు ఆకార భాగము యొక్క ఎత్తు, మరియు ఆటవస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యమును రెండు దశాంశ స్థానములకు సవరించి కనుగొనుము. (π = 3\(\frac{1}{7}\))
సాధన.

ఇచ్చినవి :
శంఖువు ఆకార పాదభాగ / అర్ధగోళం
యొక్క వ్యాసార్ధం = 7 సెం.మీ.
లెక్క ప్రకారం,
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{3}{2}\) × అర్ధగోళ ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{3}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) πr³
⇒ \(\frac{h}{3}\) = r (లేదా) \(\frac{h}{3}\) = 7
⇒ h = 21 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఆకార భాగం ఎత్తు (h) = 21 సెం.మీ.
ఆట వస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = శంఖువు ఉపరితల/వక్ర వైశాల్యం + అర్ధగోళం ఉపరితల/వక్ర వైశాల్యం
= πrl + 2πr²
[∵ l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{7^{2}+21^{2}}=\sqrt{490}\) = 7√10]
= πr (l + 2r)
= \(\frac{22}{7}\) × 7 (7√10 + 2 × 7)
= 22 (7 × 3.162 + 14) [∵ √10 = 3.162]
= 22[22.134 + 14] = 22 × 36.134
= 794.948 చ.సెం.మీ. = 795 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
7 సెం.మీ భుజముగా గల ఘనము నుండి ఏర్పరచ గలిగే క్రమవృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువు యొక్క గరిష్ఠ ఘనపరిమాణము ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
ఘనం యొక్క భుజం పొడవు = శంఖువు యొక్క ఎత్తు (h) = 7 సెం.మీ.
శంఖువు వ్యాసార్ధం (r) = 3.5 సెం.మీ.
[∵ r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{7}{2}\) = 3.5]
∴ ఘనంలో ఏర్పర్చగలిగే క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువు యొక్క గరిష్ఠ పరిమాణం (V) = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 7
= \(\frac{22 \times 12.25}{3}=\frac{269.5}{3}\)
= \( 89.8 \overline{3}\)
V = 89.83 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక స్థూపాకార తొట్టె 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 9.8 సెం.మీ. పొడవును కల్గి నీటితో పూర్తిగా నింపబడి యున్నది. అర్ధగోళముపై నిటారుగా నిలుపబడిన క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకారములో యున్న ఘనాకార వస్తువు దానిలో ముంచబడినది. అర్ధగోళము యొక్క వ్యాసార్ధము 3.5 సెం.మీ. అర్ధగోళము బయట ఉన్న శంఖువు ఎత్తు 5 సెం.మీ. అయినచో తోట్టెలో మిగిలియున్న నీటి ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) గా తీసుకొనుము).
సాధన:

ఇచ్చినవి :
పై పటం నుండి స్థూపాకార తొట్టె యొక్క వ్యాసార్ధం = 5 సెం.మీ.
ఎత్తు = 9.8 సెం.మీ.
అర్ధగోళంపై నిటారుగా నిలబడిన శంఖువు ఎత్తు (b) = 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం (r) = 3.5 సెం.మీ.
స్థూపాకార తొట్టెలో మిగిలియున్న నీటి ఘనపరిమాణం = స్థూపాకార తొట్టె ఘనపరిమాణం – (శంఖువు ఆకార మరియు అర్ధగోళాకారాల ఘనపరిమాణాల మొత్తం)
= πr²h – [\(\frac{1}{3}\) πr₁²h₁ – \(\frac{2}{3}\) πr₂²h₂]
= (\(\frac{22}{7}\) × 5 × 5 × 9.8) – (\(\frac{2}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 5 + × × (3.5)³)
= 770 – [64.16 + 89.83]
= 770 – (153.9)
= 770 – 154 [∵ 153.9 = 154]
= 616 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
ప్రక్క పటములో చూపిన విధముగా ఒక ఘనాకార 4 సెం.మీ. స్థూపము యొక్క రెండు చివరల నుండి 3 సెం.మీ శ్రీ వ్యాసార్ధము, 4 సెం.మీ ఎత్తు కల్గిన సమానముగా ఉన్న రెండు శంఖాకార భాగములు తొలగించబడినవి. స్థూపము యొక్క ఎత్తు 10 సెం.మీ., దాని వ్యాసం 7 సెం.మీ. అయినచో మిగిలిన భాగము యొక్క ఘనపరిమాణము ఎంత ?

సాధన.
ఇచ్చినవి :
పై పటం నుండి ఘనాకార స్థూపం యొక్క ఎత్తు (h) = 10 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.
ఘనాకార స్థూపం నుండి తొలగింపబడిన శంఖువుల వ్యాసార్ధం (r) = 3 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.
∴ ఘనాకార స్థూపం రెండు చివరల నుండి రెండు సమాన ఘనపరిమాణం గల రెండు శంఖువులను తోలగించగా మిగిలిన భాగం యొక్క ఘనపరిమాణం = ఘనాకార స్థూప ఘనపరిమాణం – 2 x శంఖువు ఘనపరిమాణం
= πr²h – [2 × \(\frac{1}{3}\) πr₁²h₁]
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 10 – [2 × \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3 × 3 × 4]
= 110 × 3.5 – \(\frac{528}{7}\)
= 385 – 75.4 = 309.571 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
స్థూపాకార బీకరులో కొంత భాగము నీటితో నింపబడినది. బీకరు వ్యాసము 7 సెం.మీ. దానిలో 1.4 సెం.మీ. వ్యాసము కల్గిన గోళాకార చలువరాళ్ళు ఎన్ని వేస్తే దానిలో నీటి మట్టము 5.6 సెం.మీ. మేరకు పెరుగును ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
పై పటం నుండి స్థూపాకార బీకరు వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.
బీకరులో గోళాకార చలువరాళ్ళు వేస్తే దానిలోని నీటి మట్టం (h) = 5.6 సెం.మీ.
గోళాకార చలువరాళ్ళ వ్యాసార్ధం = \(\frac{\mathrm{d}}{2}\)
= \(\frac{1.4}{2}\) = 0.7 సెం.మీ.
∴ నీటి మట్టం బీకరులో 5.6 సెం.మీ.లు పెరగవలెనంటే దానిలో వేయవలసిన గోళాకార చలువరాళ్ళ సంఖ్య = (నీటి ఘనపరిమాణం) / (గోళం ఘనపరిమాణం)
= \(\frac{\pi r^{2} h}{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}\)
(‘.. నీరు పోసిన బీకరు స్థూపాకారంలో ఉంది)
= \(\frac{r^{2} h}{\frac{4}{3} r_{1}^{3}}=\frac{3.5 \times 3.5 \times 5.6}{\frac{4}{3} \times 0.7 \times 0.7 \times 0.7}\)

= \(\frac{\frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \times \frac{56}{10} \times 3}{4 \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10}}\)
4×7 x 10:17
= 5 × 5 × 2 × 3 = 25 × 6 = 150.

ప్రశ్న 7.
15 సెం.మీ. × 10 సెం.మీ. × 3.5 సెం.మీ కొలతలు కల్గిన దీర్ఘఘనములో 0.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 1.4 సెం.మీ. లోతుతో శంఖువు ఆకారం గల మూడు గోతులు తీసి పెన్ను స్టాండుగా మార్చారు. పెస్టాండ్ లోని కొయ్య ఘనపరిమాణము ఎంత ?

సాధన.
ఇచ్చినవి : 15 సెం.మీ. × 10 సెం.మీ. × 3.5
సెం.మీ.లు కొలతలు గల దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం (V₁) = l × b × h (పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు)
= 15 × 10 × 3.5 = 525 ఘ. సెం.మీ.
శంఖువు ఆకార గోతుల వ్యాసార్థం (r) = 0.5 సెం.మీ.
లోతు (ఎత్తు) (h) = 1.4 సెం.మీ.
∴ 3 శంఖువు ఆకార గోతుల ఘనపరిమాణాల మొత్తం (V₂) = 3 × \(\frac{1}{3}\) πr²h
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 0.5 × 0.5 × 1.4
= 4.4 × 0.25
= 1.1 ఘ. సెం.మీ.
∴ పెన్ను స్టాండులోని కొయ్య ఘనపరిమాణం = మొత్తం కొయ్య ఘనపరిమాణం – 3 శంఖువుల గోతుల ఘనపరిమాణాల మొత్తం
= V₁ – V₂
= 525 – 1.1
= 523.9 ఘ. సెం.మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
ఒక ఆటవస్తువు అర్ధగోళము పై నిటారుగా నిలుపబడిన శంఖువువలె ఉన్నది. శంఖువు యొక్క భూవ్యాసం 6 సెం.మీ మరియు. ఎత్తు 4 సెం.మీ అయినచో – ఆటవస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము ఎంత ? (π = 3.14 గా తీసుకొనుము.)
సాధన.

ఇచ్చినవి : శంఖువు యొక్క భూవ్యాసార్థం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{6}{2}\) = 3 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.
శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు = l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\)
= 5 సెం.మీ.
∴ ఆట వస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము + అర్ధగోళం ఉపరితల వైశాల్యము
= πrl + 2πr²
= πr (l + 2r)
= \(\frac{22}{7}\) × 3(5 + 2 × 3)
= 3.14 × 3 × 11 = 103.62 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘనాకార వస్తువు ఒక చివర అర్ధగోళము మరో చివర శంఖువు ఆకార భాగము కల్గిన స్థూపము వలే యున్నది. రెండింటి యొక్క ఉమ్మడి భూవ్యాసార్ధం 8 సెం.మీ మరియు స్థూపము, శంఖువు ఆకారముల ఎత్తులు వరుసగా 10 సెం.మీ మరియు 6 సెం.మీ అయినచో ఆ వస్తువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (π = 3.14గా తీసుకొనుము)
సాధన.

ఇచ్చినవి :
శంఖువు/స్థూపం వ్యాసార్ధం (r) = 8 సె.మీ.
శంఖువు ఎత్తు (h) = 6 సెం.మీ.
స్థూపాకారం యొక్క ఎత్తు = 10 సెం.మీ.
శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}\) = 10.
వస్తువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = శంఖువు యొక్క వక్రతల వై. + స్థూపం యొక్క వక్రతల వై. + అర్ధగోళం యొక్క వక్రతల వై.
= πrl+ 2πrh + 2πr²
= (\(\frac{22}{7}\) × 8 × 10) + (2 × \(\frac{22}{7}\) × 8 × 10) + (2 × \(\frac{22}{7}\) × 8 × 8)
= \(\frac{22}{7}\) × 8 [10 + 2 × 10 + 2 × 8]
= \(\frac{22}{7}\) × 8 [10 + 20 + 16]
= \(\frac{22}{7}\) × 8 × 46
= 3.14 × 368 = 1155.52 చ|| సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక మందుబిళ్ళ రెండు చివరల అర్ధగోళాకారంలో “నున్న స్థూపము వలె ఉన్నది. మందుబిళ్ళ యొక్క పొడవు .14 మి.మీ మరియు వెడల్పు 5 మి.మీ అయితే దాని ఉపరితల వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
మందుబిళ్ళ యొక్క ఉపరితల వైశ్యాలం = 2 × అర్ధగోళం వక్రతల వైశాల్యం + స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం
ఇచ్చినవి :
అర్ధగోళ వైశాల్యం :
వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5 మి.మీ.
రెండు అర్ధగోళాల ఉపరితల వైశాల్యం = 2πr² = 4πr²
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × 2.5 × 2.5
= \(\frac{550}{7}\) సెం.మీ²
= 78.57 మి.మీ² .

స్థూపం వైశాల్యం :
d5 స్థూపం యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5 మీ
ఎత్తు (h) = 14 మి.మీ.
∴ ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.5 × 14
= 220 మి.మీ².
∴ మందుబిళ్ళ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 78.57 + 220 = 298.57 మి.మీ².

ప్రశ్న 4.
64 ఘనపు సెం.మీ ఘనపరిమాణము గల రెండు సమ ఘనములు కలుపబడినవి. అయిన ఏర్పడిన క్రొత్త ఘనము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చినవి :
ఒక ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం (V) = 64 సెం.మీ³
∴ s³ = 4 × 4 × 4 = 4³
⇒ V = 3 = 64
⇒ ఘనం యొక్క భుజాలు (s) = ?
⇒ s = 64 = 4³
∴ s = 4 సెం.మీ.
∴ రెండు సమఘనాలను కలుపగా వాని పొడవు (l) = 4 + 4 = 8 సెం.మీ.
వెడల్పు (b) = 4 సెం.మీ.; ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.

∴ ఏర్పడిన కొత్త ఘనము ఉపరితల వైశాల్యం = 2h(l + b)
= 2 × 4 (8 + 4)
= 8 × 12 = 96 సెం.మీ

ప్రశ్న 5.
ఒక నీటి ట్యాంకు రెండు చివరలు అర్ధగోళాకారముగా ఉన్న స్థూపము – వలె ఉన్నది. స్థూపము యొక్క బాహ్యవ్యాసము 1.4 మీటర్లు మరియు దాని పొడవు 8 మీటర్లు. నీటి ట్యాంకు బయట రంగు వేయడానికి చదరపు మీటరుకు రూ. 20 వంతున ఎంత ఖర్చు అగును ?
సాధన.

నీటి ట్యాంకు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము = 2 × అర్ధగోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము + స్థూపం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము
= 2 × 2πr² + 2πrh
= 2 × (2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × 0.7) – (2 × 11 × 0.7 × 8)
[∵ వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{1.4}{2}\) = 0.7 మీ.]
= 6.16 + 35.2 = 41.36 మీ²
ట్యాంకు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 41.36 మీ²
1 చ.మీ.కు ₹ 20 వంతున ట్యాంకుకు రంగు వేయుటకు
అగు ఖర్చు = 41.36 × 20 = ₹ 827.2.

ప్రశ్న 6.
ఒక సమ ఘనాకార చెక్క దిమ్మ. నుండి దాని భుజము పొడవునకు సమాన పొడవు కల్గిన వ్యాసము కల్గిన అర్ధగోళాకారము కత్తిరించబడినది. అయినచో మిగిలిన చెక్క దిమ్మ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
సమఘనం యొక్క భుజం పొడవు s = a యూనిట్లు అనుకొనుము.

ఇచ్చిన సమఘనం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 5 × ప్రతి తలం యొక్క వైశాల్యము + అర్ధగోళ ఉపరితల వైశాల్యము
= 5 × (s)² + 2πr²
= 5 × (a)² + 2 x +(\(\frac{a}{2}\))² [∵ r = \(\frac{s}{2}=\frac{a}{2}\)]
= 5 a² + 2π\(\frac{a^{2}}{4}\)
= 5a² + \(\frac{\pi \mathrm{a}^{2}}{2}\)
= a² (5 + \(\frac{\pi}{2}\)) చ. యూ

ప్రశ్న 7.
పటములో చూపిన విధముగా ఒక చెక్కతో చేసిన వస్తువు రెండు చివరల నుండి అర్ధగోళాకార భాగములు తొలగించబడిన స్థూపము వలె యున్నది. స్థూపము యొక్క ఎత్తు 10 సెం.మీ దాని , భూవ్యాసార్ధము 3.5 సెం.మీ అయినచో ఆ వస్తువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
స్థూపము ఎత్తు (h) = 10 సెం.మీ.,
భూ వ్యాసార్ధం (r) = 3.5 సెం.మీ.
చెక్కతో చేయబడిన వస్తువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము + 2 × అర్ధగోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము
= 2πrrh + 2 × 2πr²
= 2πrh + 4πr²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 10 + 4 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 220 + 2 (77)
= 220 + 154 = 374 సెం.మీ.²

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Exercise 10.1

ప్రశ్న 1.
క్రమవృత్తాకార శంఖువు ఆకారములో నున్న జోకర్ టోపి యొక్క భూవ్యాసార్ధము 7. సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 24 సెం.మీ. ఇటువంటి 10 టోపిలను తయారు చేయడానికి కావలసిన గట్టి అట్టముక్క (షీట్) యొక్క పరిమాణము ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి : శంఖువు ఆకార టోపి ,
వ్యాసార్ధం (r) = 7 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 24 సెం.మీ.
∴ ఏటవాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{7^{2}+24^{2}}\)
= \(\sqrt{49+576}=\sqrt{625}\)
= 25 సెం.మీ.
∴ ఒక టోపి తయారుచేయుటకు కావలసిన బట్ట యొక్క పరిమాణం = శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 25 = 550 చ.సెం.మీ.
∴ 10 టోపీలను తయారుచేయుటకు అవసరం అగు బట్ట పరిమాణం = 10 × 550
= 5500 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
క్రీడా వస్తువులను తయారుచేసే కంపెనీ షటిల్ కాట్లను నిల్వ చేసేందుకు 100 స్థూపాకార కాగితపు డబ్బాలను తయారు చేయాలనుకొంది. స్థూపాకారపు డబ్బా యొక్క కొలతలు 35 సెం.మీ పొడవు/ఎత్తు మరియు భూ వ్యాసార్ధము 7 సెం.మీ ఉండే విధముగా మూతలులేని 100 డబ్బాలను తయారు చేయడానికి కావలసిన కాగితపు పరిమాణము ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
స్థూపాకార కాగితపు డబ్బా వ్యాసార్ధం (r) = 7 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 35 సెం.మీ.
∴ ఒక స్థూపాకారపు డబ్బా తయారు r = 7 సెం.మీ.
చేయుటకు కావలసిన కాగితపు పరిమాణం = స్థూపం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × (7) × (35)
= 1540 చ. సెం.మీ.
∴ 100 స్థూపాకారపు డబ్బాలు తయారుచేయుటకు అవసరం అగు కాగితపు పరిమాణం.
= 1540 × 100 = 154000 చ.సెం.మీ.
= \(\frac{154000}{100 \times 100}\)
= 15.4 చ|| మీ.

ప్రశ్న 3.
6 సెం.మీ భూవ్యాసార్ధము, 7 సెం.మీ ఎత్తు కల్గిన క్రమ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి.
సాధన.

ఇచ్చినవి :
శంఖువు భూవ్యాసార్ధం (r) = 6 సెం.మీ.
శంఖువు యొక్క ఎత్తు (h) = 7 సెం.మీ.
శంఖువు ఘనపరిమాణము = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7
= 264 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక స్థూపము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము, శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యమునకు సమానము. రెండింటి యొక్క భూవ్యాసార్ధములు సమానము అయిన స్థూపము యొక్క ఎత్తు, శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తుల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.

స్థూపము, శంఖువు యొక్క భూవ్యాసార్ధములు సమానము.

CSA/ LSA స్థూపం యొక్క = 2πrh
CSA శంఖువు యొక్క = πrl
స్థూపం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం, శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యానికి సమానం.
2πrh = πrl
\(\frac{\mathrm{h}}{l}=\frac{\pi \mathrm{r}}{2 \pi \mathrm{r}}\);
\(\frac{\mathrm{h}}{l}=\frac{1}{2}\)
⇒ h : 1 = 1 : 2.

ప్రశ్న 5.
ఒక స్వయం సహాయక బృందం 3 సెం.మీ. భూవ్యాసార్ధం మరియు 4 సెం.మీ ఎత్తు కలి శంఖువు ఆకారములో ఉన్న జోకర్ టోపీలను తయారు చేయాలనుకొంది. వారు 1000 చ.సెం.మీ రంగు కాగితము కలిగి యున్నచో దాని ద్వారా ఎన్ని టోపీలను తయారు చేయగలరు ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
శంఖువు యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = 3 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
= 5 సెం.మీ.
శంఖువు ఆకార టోపీ వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 3 × 5 చ.సెం.మీ.
∴ 1000 చ. సెం.మీ. కలిగిన కాగితం ద్వారా \(\frac{22}{7}\) × 3 × 5 చ.సెం.మీ.
వైశాల్యం గల టోపీలను తయారుచేయగల సంఖ్య = \(\frac{1000}{\frac{22}{7} \times 3 \times 5}\)
= \(\frac{1000 \times 7}{66 \times 5}\)
= 21 . 21 = 21

ప్రశ్న 6.
ఒక స్థూపము మరియు శంఖువు సమాన భూవ్యాసార్ధమును మరియు ఎత్తును కల్గియున్నాయి. అయినచో వాటి ఘనపరిమాణముల నిష్పత్తి 3 : 1 అని చూపుము.
సాధన.
శంఖువు ఘనపరిమాణం (V₁) = \(\frac{1}{3}\) π²h
స్థూపం ఘనపరిమాణం (V₂) = πr²h
లెక్క ప్రకారం, స్థూపం మరియు శంఖువు ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = \(\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{\pi r^{2} h}{\frac{1}{3} \pi r^{2} h}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{1}\) = 3 : 1
∴ V₁ : V₂ = 3 : 1

ప్రశ్న 7.
స్థూపాకారముగా ఉన్న ఇనుప కడ్డీ యొక్క ఎత్తు 11 సెం.మీ. ‘మరియు భూవ్యాసము 7 సెం.మీ. అయినచో ఇటువంటి 50 ఇనుపకడ్డీల యొక్క మొత్తము ఘనపరిమాణము ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి : స్థూపాకార వ్యాసం (d) = 7 సెం.మీ.
వ్యాసార్థం (r) = \(\frac{7}{2}\) సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 11 సెం.మీ.
ఒక స్థూపాకార కడ్డీ ఘనపరిమాణం = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{7}{2}\) × 11
= \(\frac{22 \times 77}{2 \times 2}=\frac{11 \times 77}{2}\) ఘ. సెం.మీ.
అటువంటి 50 స్థూపాకార కడ్డీల మొత్తం ఘనపరిమాణం (V) = \(=\frac{11 \times 77}{2}\) × 50
= 11 × 77 × 25
= 21175 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
ఒక ధాన్యపురాశి 12 మీటర్ల భూవ్యాసము మరియు 8 మీటర్ల ఎత్తు కల్గిన శంఖువు వలే ఉన్నది. అయనచో దాని ఘనపరిమాణము ఎంత ? ఆ ధాన్యపురాశిని కప్పడానికి కావలసిన గుడ్డ పరిమాణము ఎంత ? (π = 3.14 గా తీసుకొనుము)
సాధన.

ఇచ్చినవి : శంఖువు ఆకారపు ధాన్యరాశి భూవ్యాసము (d) = 12 మీ.
∴ భూవ్యాసార్ధం = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{12}{2}\) = 6 మీ.
శంఖువు ఎత్తు (h) = 8 మీ.
శంఖువాకారపు ధాన్యరాశి ఘనపరిమాణం V = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 8
= 3.14 × 96 = 301.44 మీ³.
ఆ ధాన్యపు రాశిని కప్పడానికి కావలసిన గుడ్డ పరిమాణం = శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 6 × 10
= 3.14 × 60
= 188.4 చ.మీ.

l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{6^{2}+8^{2}}\)
= √100 = 10.

ప్రశ్న 9.
ఒక శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యము . 4070 చ. సెం.మీ. మరియు దాని వ్యాసము 70 సెం.మీ. అయినచో దాని ఏటవాలు ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చినవి : శంఖువు వ్యాసం (d) = 70 సెం.మీ.
వ్యాసార్థం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{70}{2}\) = 35 సెం.మీ.
దాని ఏటవాలు ఎత్తు (l) = ?
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము = 4070 చ.సెం.మీ. లెక్క ప్రకారము, πrl = 4070 సెం.మీ²
\(\frac{22}{7}\) × 35 × l = 4070
110 × l = 4070
⇒ l = \(\frac{4070}{110}\) = 37 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l) = 37 సెం.మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
i. ఏదైనా వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయండి. ఏవైనా వేర్వేరు బిందువుల వద్ద నాలుగు స్పర్శరేఖలను గీయండి. ఇంకనూ ఈ వృత్తానికి ఎన్ని సరళరేఖలను గీయవచ్చు? (పేజీ నెం. 226)
సాధన.

‘O’ అనునది వృత్త కేంద్రం. OA వృత్త వ్యాసార్ధం (r). l, m, n, p మరియు qలు వృత్తానికి A, B, C, D, E ల వద్ద గీచిన స్పర్శ రేఖలు.
∴ ఒక వృత్తానికి అనంతమైన స్పర్శ రేఖలు గీయవచ్చు.

ii. వృత్తానికి బాహ్యంలో ఇచ్చిన బిందువు నుండి ఎన్ని స్పర్శరేఖలను నీవు గీయగలవు ?
సాధన.

బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు మాత్రమే గీయగలం. PA, PB లు వృత్తానికి గీచిన రెండు స్పర్శరేఖలు.

iii. పటంలో ఏ రేఖలు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అవుతాయి?
సాధన.

p మరియు m లు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అగును.

ప్రశ్న 2.
ఒక కాగితముపై వృత్తాన్ని గీచి, దానిపై PQ ఛేదన రేఖను పటములో చూపిన విధంగా గీయండి. ఈ ఛేదనరేఖకు సమాంతరముగా ఇరువైపులా మరికొన్ని రేఖలను గీయండి. ఛేదనరేఖ వృత్తకేంద్రము వైపుకు జరుగుతున్న కొలదీ ‘వృత్త జ్యా’ పొడవు ఏమైంది ? ఏది పెద్ద జ్యా? ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండే (పేజీ నెం. 227)

సాధన.
(i)

(ii) పై పటం నుండి ఛేదనరేఖ , వృత్త కేంద్రం వైపుకు జరుగుతున్న కొద్దీ వాని పొడవులు పెరుగును.
(iii) జ్యాలలో అతి పొడవైనది వృత్త కేంద్రం గుండా పోయే వ్యాసం.
(iv) వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా ఒకే ఒక స్పర్శరేఖను గీయగలం.

ప్రయత్నించండి:

ఒక వృత్తముపై గల ఏదైనా బిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖ, ఆ స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి లంబముగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 1.
పై సిద్ధాంతము యొక్క విపర్యయంను నీవు ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు ? (పేజీ నెం. 228)
సాధన.
నిరూపణ :
దశాంశం : ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో OA అనునది AT సరళరేఖకు ‘A’ వద్ద లంబంగా కలదు.
సారాంశం : AT వృత్తానికి ‘A’ వద్ద ఒక స్పర్శరేఖ.
నిర్మాణం : AT స్పర్శరేఖ కానిచో AT (పొడిగించగా) వృత్తమునకు మరియొక బిందువు వద్ద కలియును. ఆ విధంగా P వద్ద కలిసెను అనుకొనుము. ), P లను కలిపితిని. (P, AT పై ఒక బిందువు.)

ఉపపత్తి : OA = OP (వ్యాసార్ధాలు) కావున ∠OAP = ∠OPA
కానీ ∠OPA = 90°
ఒక త్రిభుజంలో రెండు లంబకోణాలు ఉండవు కనుక ఇది అసంభవం. కనుక AT స్పర్శరేఖ కాదను ఊహ సరికాదు.
∴ AT, వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అగును.

ప్రశ్న 2.
వృత్త కేంద్రము తెలియని సందర్భములో వృత్తముపై గల బిందువు గుండా వృత్తానికి స్పర్శరేఖను ఎలా గీస్తావు ?
సూచన : ∠QPX మరియు ∠PRQ అనే సమాన కోణాలను నిర్మించుము. నిర్మాణ క్రమాన్ని వివరించండి. (పేజీ నెం. 229)

సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1) వృత్తంపై P అను బిందువు గుండా PR అను ఒక జ్యాను గీచితిని.
2) ∠PRQ ను నిర్మించి కొలిచితిని.
3) ∠PRQ కు సమానమైన కోణాన్ని PX పై P వద్ద నిర్మించితిని.
4) PX ను ఇరువైపులా పొడిగించితిని.
∴ \(\overline{\mathrm{XY}}\) వృత్తానికి P వద్ద ఒక స్పర్శరేఖ.
గమనిక :
జ్యాకు మరియు స్పర్శరేఖకు మధ్యగల కోణం దాని అనురూప వృత్త ఖండంలోని కోణానికి సమానం.

నిర్మాణ క్రమం :

1) ఇచ్చిన వృత్తానికి AB మరియు AC అను రెండు జ్యాలు గీయుము.

2) AB మరియు AC లపైకి గీయబడిన లంబ సమద్విఖండనరేఖల మిళితబిందువు వృత్త కేంద్రాన్ని ఏకీభవిస్తుంది.
3) ‘O’ వృత్త కేంద్రం అనుకుంటే 0, P లను కలుపుము.
4) OP పైకి ఒక లంబాన్ని P వద్ద గీచి దాని ఇరువైపులా పొడిగించుము.
∴ కావలసిన స్పర్శరేఖ P వద్ద ఏర్పడినది.

సిద్ధాంతము – 1:

ఒక వృత్తముపై గల ఏదైనా బిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖ, ఆ స్పర్శబిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి లంబముగా ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 227)

దత్తాంశము : ‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి స్పర్శరేఖ XY, P బిందువు AB గుండా గీయబడింది.
సారాంశము : OP, XY నకు లంబము అనగా (OP ⊥ XY).
ఉపపత్తి : ఇచ్చట మనము నిరూపించవలసిన వాక్యాన్ని తప్పుగా భావించి ఒక కొత్త ప్రతిపాదన చేస్తాము. ఈ ప్రతిపాదన లేదా ఊహ విరుద్ధతకు దారితీస్తుంది. ఈ పద్ధతిలో మనం OP అనేది XY పైన -P కాకుండా మరొక బిందువు Q ను తీసుకొని 0Q ను కలుపుదాం.

Q బిందువు కచ్చితంగా వృత్తానికి బాహ్యంలోనే ఉంటుంది (ఎలా ?) (Q ఒకవేళ వృత్త అంతరంలో వుంటే XY అనేది వృత్తానికి స్పర్శరేఖ కాకుండా ఛేదన రేఖ అవుతుందని గమనించండి.)
అందువలన, OQ అనేది వ్యాసార్ధం OQ అనేది వ్యాసార్ధం OP కన్నా పొడవుగా వుంటుంది
అంటే OQ > OP
XY పైన గల ఏ ఇతర బిందువులకైన ఇది వర్తిస్తుంది. అందుచే ‘0’ నుండి XY పైకి గీయబడిన అన్ని పొడవులలో OP మాత్రమే మిక్కిలి చిన్నది అగును.
కనుక మనం ఊహించినట్లుగా OP, XY కు లంబంగా వుండదు అనే భావన తప్పు అని తేలినది. అందువలన OP XY రేఖకు లంబం.
గమనిక :
వృత్త వ్యాసార్ధానికి స్పర్శ బిందువు గుండా గీయబడిన’ రేఖను ఆ వృత్తానికి ఆ బిందువు వద్ద అభిలంబం (Normal) అని కూడా అంటారు.

ప్రయత్నంచండి:

ప్రశ్న 1.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతమును ఉపయోగించి వృత్తానికి బాహ్య బిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము అను సిద్ధాంతమును నిరూపించడానికి ఉపపత్తిని రాయండి. (పేజీ నెం. 231)
సాధన.
నిరూపణ :
దత్తాంశం ‘: ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి PA మరియు PB లు బాహ్య బిందువు P నుండి గీచిన స్పర్శరేఖలు.

సారాంశం : PA = PB
ఉపపత్తి: ∆AOP నుండి ∠OAP = 90°,
∴ AP² = OP² – OA² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
= OP² – OB² [∵ OA = OB, వృత్త వ్యాసార్ధాలు సమానం]
= BP²
⇒ AP² = BP²
⇒ AP = BP
∴ బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శ – రేఖల పొడవులు సమానాలు.

ప్రశ్న 2.
∠BOA = 120° అగునట్లు OA మరియు OB వ్యాసార్ధాలను గీయండి. ∠BOA కు సమద్విఖండన రేఖను గీచి DA, OB లకు A మరియు B ల వద్ద లంబరేఖలు గీయండి. ఈ రేఖలు ∠BOA సమద్విఖండన రేఖను బాహ్యబిందువు వద్ద ఖండిస్తాయి. వీటినే మనకు కావల్సిన స్పర్శరేఖలుగా తీసుకొనవచ్చు. నిర్మాణము చేయండి.
సమర్థించండి. (పేజీ నెం. 235)
సాధన.

సరిచూచుట :
OA ⊥ OP మరియు OB ⊥ PB
∆OAP, ∆OBP ల నుండి OA = OB
∠OAP = ∠OBP
OP = OP
∴ ∆OAP = ∆OBP
∴ PA = PB. [∵ అనురూప భుజాలు సమానాలు]

సుధాంతము – 2:
వృత్తానికి బాహ్యబిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము. (పేజీ నెం. 231)
సాధన.
దత్తాంశము : ‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి, P అనే బిందువు బాహ్యంలో కలదు. P బిందువు గుండా వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు PA మరియు PB
సారాంశము : PA = PB
ఉపపత్తి : OA, OB మరియు OP లను కలపండి. ∠OAP = ∠OBP = 90°

ఇప్పుడు ∆OAP మరియు ∆OBP లలో, OA = OB (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు) OP = OP (ఉమ్మడి భుజము)
అందువలన లం.క.భు సర్వసమాన స్వీకృతం ప్రకారము ∆OAP ≅ ∆OBP అయినది.
దీని నుండి PA = PB అగును (సర్వసమాన త్రిభుజాలలో సరూపభాగాలు) నిరూపించబడినది.

ప్రవచనములు :

ప్రశ్న 1.
వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖల మధ్య ఏర్పడే కోణ సమద్విఖండన రేఖపై ఆ వృత్తం యొక్క కేంద్రం వుంటుంది. దీనిని ఏవిధంగా నిరూపించగలమో ఆలోచించండి. (పేజీ నెం. 232)
సాధన.
నిరూపణ :’O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి P ఒక బాహ్యబిందువు. PQ మరియు PR లు. P నుండి వృత్తం పైకి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు.
OQ మరియు OR లను కలపండి , త్రిభుజాలు OQP మరియు ORP లు సర్వసమానాలు, ఎందుకంటే

∠OQP = ∠ORP = 90 (సిద్దాంతం 1 ప్రకారం వృత్త వ్యాసార్ధానికి, స్పర్శరేఖకు మధ్య ఏర్పడిన కోణము లంబకోణం .)
OQ = OR (వ్యాసార్ధాలు)
OP ఉమ్మడి భుజము సర్వసమాన త్రిభుజాల సరూప భుజాలు సమానము కావున ∠OPQ = ∠OPR అగును.
కావున, OP అనేది ∠QPR యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును. దీని నుండి వృత్త కేంద్రము స్పర్శరేఖల మధ్య ఏర్పడిన కోణం యొక్క సమద్విఖండన రేఖపై వుండునని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 2.
రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలలో బాహ్యవృత్తము యొక్క జ్యా, అంతర వృత్తము యొక్క స్పర్శ బిందువు వద్ద సమద్విఖండన చేయబడును. ఇది ఏ విధముగా సత్యము అగునో చూద్దాం . . .. AS, (పేజీ నెం. 233)
సాధన.
నిరూపణ : O కేంద్రముగా గల రెండు వృత్తాలు C₁ మరియు C₂ అని ఇవ్వబడినవి. C₁ వృత్తము యొక్క జ్యా AB ను చిన్న వృత్తము C₂ ను P వద్ద తాకింది.
(పటం చూడండి) మనము AP = PB అగునని నిరూపించాలి.

O, P ల ను కలపండి.
C₂ వృత్తానికి AB స్పర్శరేఖ మరియు OP వ్యాసార్ధము . కావున సిద్ధాంతము 1 ప్రకారము
OP ⊥ AB అగును. ఇప్పుడు ∆OAP మరియు ∆OBP లు సర్వసమానాలు. దీని నుండి AP = PB అయినది.
OP అనేది కేంద్రం నుండి గీయబడిన లంబము కావున అది AB జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి బాహ్యబిందువు A నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు AP మరియు AQ అయిన ∠PAQ = 2 ∠OPQ = 2 ∠OQP అగును. దీనిని నిరూపించగలవా ? (పేజీ నెం. 233)
సాధన.

నిరూపణ : O కేంద్రముగా గల వృత్తానికి బాహ్యబిందువు, A నుండి రెండు స్పర్శరేఖలు AP మరియు AQ లు గీయబడ్డాయి. ఇందులో P, Q లు స్పర్శబిందువులు (పటం చూడండి.)
మనము ∠PAQ = ∠OPQ అని నిరూపించాలి.
∠PAQ = θ అయిన ఇప్పుడు సిద్ధాంతము ప్రకారము AP = AQ అగును.
కావున ∆APQ ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము అగును.
అందుచే, ∠APQ + ∠AQP + ∠PAQ = 180° (మూడు కోణాల మొత్తము).
∠APQ = ∠AQP = \(\frac{1}{2}\) (180° – θ) = 90° – \(\frac{1}{2}\) θ
ఇదే విధంగా, సిద్ధాంతము 1 ప్రకారము ∠OPQ = 90°
కావున, ∠OPQ = ∠OPA – ∠APQ
= 90° – [90 – \(\frac{1}{2}\)θ] = \(\frac{1}{2}\) θ = ∠PAQ
దీని నుండి ∠PAQ = ∠OPQ = 2∠OQP అగును.

ప్రశ్న 4.
ABCD చతుర్భుజంలోని అన్ని భుజాలను తాకే విధంగా ఒక వృత్తం అంతర్లిఖించబడిన. అది P, Q, R, S బిందువుల వద్ద AB + CD = BC + DA అగును.

సాధన.
నిరూపణ : పటంలో చూపిన విధముగా ABCD భుజాలు AB, BC, CD మరియు DA లను వృత్తము P, Q, R, S బిందువుల వద్ద వరుసగా స్పర్శించింది.
సిద్ధాంతము’ 2 ప్రకారము, బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తం పైకి గీయబడిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము కావున
AP = AS
BP = BQ
DR = DS మరియు
CR = CQ
వీటిని కలుపగా, మనకు
AP + BP + DR + CR = AS + BQ + DS + CQ
లేదా (AP + PB) + (CR + DR) = (BQ + QC) + (DS + SA)
లేదా AB + CD = BC + DA

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
శంకర్ రూపొందించిన మరికొన్ని పటాలు ఇవ్వబడ్డాయి.

ఈ పటాల ఆకారాలను ఏవిధంగా విభజిస్తే వీటి వైశాల్యాలు సులభముగా కనుగొనగలము ? మీరు ఇటువంటి మరికొన్ని పటాలను రూపొందించి, విభిన్న పటాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 237).
సాధన.
– రెండు దీర్ఘచతురస్రాలు

– ఒక దీర్ఘచతురస్రం మరియు వృత్తం

– ఒక శంఖువు మరియు వృత్తఖండం

– ఒక దీ|| చ|| మరియు రెండు అర్ధవృత్తాలు

విభిన్న ఆకారాల పటాలు –

– శంఖువు మరియు వృత్త ఖండం

– దీ||చ|| మరియు వృత్త ఖండం

– ఒక చతురస్రం మరియు 4 వృత్తఖండాలు.

ప్రశ్న 2.
వృత్త వ్యాసార్ధము 7 సెం.మీ మరియు దిగువ సెక్టరు కోణాలకు తగినట్లు సెక్టరు వైశాల్యము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
(i) 60°
(ii) 30°
(iii) 72°
(iv) 90°
(v) 120°

సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఒక గడియారంలో నిమిషాల ముల్లు పొడవు 14 సెం.మీ. 10 నిమిషాలలో ఈ ముల్లుచే ఏర్పడే ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
సాధన.
నిముషాల ముల్లు 191 చేయు కోణం = \(\frac{360^{\circ}}{60}\) = 6°
∴ 10ని||లో నిముషాల ముల్లు చేయు కోణం
= 10 × 6 = 60°
∴ వృత్త వ్యాసార్ధం = నిముషాల ముల్లు పొడవు = r = 14 సెం.మీ.
కోణం = x = 60°
∴ సెక్టార్ వైశాల్యం

= \(\frac{x}{360} \times \pi r^{2}\)
= \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14
= \(\frac{616}{6}\) = 102.66 సెం.మీ².

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యమును ఉపయోగించి అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యమును ఏవిధముగా కనుగొంటావు? (పేజీ నెం. 239)
సాధన.

అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యం = వృత్త వైశాల్యం – అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యం.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
వృత్త వ్యాసార్ధము 5 సెం.మీ మరియు రెండు స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 60° అయిన ఆ వృత్తానికి స్పర్శరేఖలను గీయండి. (పేజీ.నెం.235)
సాధన.
వృత్తం గీచి దానికి రెండు స్పర్శరేఖలను గీయుటను మనం పరిశీలిద్దాము. మనకు వృత్త వ్యాసార్ధము మరియు రెండు స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము ఇవ్వబడింది. వృత్తకేంద్రం నుండి బాహ్యబిందువునకు గల దూరము గాని, స్పర్శరేఖల పొడవులుగాని మనకు తెలియవు. కాని మనకు స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము మాత్రమే తెలుసు. దీని నుపయోగించి బాహ్యబిందువు నుండి కేంద్రానికి గల దూరాన్ని కనుగొంటే, మనము స్పర్శరేఖలను గీయవచ్చును.

దీనిని ప్రారంభించడానికి ముందు 5 సెం.మీ వ్యాసార్ధము గల వృత్తాన్ని పరిశీలిద్దాము.
బాహ్యబిందువు ‘P’ నుండి PA మరియు PB లు అనేవి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు మరియు వీటి మధ్య కోణము 60°.
దీనిలో ∠APB = 60°. OP ని కలుపండి. OP అనేది ∠APB కి సమద్విఖండన రేఖ.
కావున ∠OPA = ∠OPB = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30
[∵ ∆OAP = ∆OBP]
ఇప్పుడు ∆OAP లో Sin 30° = ఎదుటి భుజము / కర్ణము
= \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{5}{\mathrm{OP}}\) (త్రికోణమితి నిష్పత్తుల నుండి)
⇒ OP = 10 సెం.మీ.

మనం ఇప్పుడు ‘O’ కేంద్రముగా 5 సెం.మీ వ్యాసార్ధంతో వృత్తము గీద్దాము. కేంద్రం నుండి 10 సెం.మీ దూరంలో ‘P’ అనే బిందువును గుర్తిద్దాము. OP ని కలిపి నిర్మాణము పై పటములో చూపిన విధముగా పూర్తి చేద్దాము.
PA మరియు PB అనేవి వృత్తానికి గీయబడిన ఒక – జత స్పర్శరేఖలు ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 2.
పటములో వృత్త వ్యాసార్ధము 21 సెం.మీ. మరియు ∠AOB = 120° అయిన వృత్తఖండము AYB వైశాల్యము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
(π = \(\frac{22}{7}\) మరియు √3 = 1.732 గా తీసుకోండి).
సాధన.
AYB వృత్తఖండ వైశాల్యము = OAYB సెక్టరు వైశాల్యము – ∆DAB వైశాల్యము
ఇప్పుడు OAYB సెక్టరు వైశాల్యము = \(\) × 21 × 21 చ.సెం.మీ
= 462 చ. సెం.మీ. …………. (1)

∆OAB వైశాల్యము కనుగొనుటకు పటములో చూపిన విధముగా OM ⊥ AB ను గీయాలి.
OA = OB కావున లం.క.భు. సర్వసమాన నియమము ప్రకారము ∆AMO = ∆BMO అగును.
కావున, AB మధ్యబిందువు M అగును మరియు ∠AOM = ∠BOM = \(\frac{1}{2}\) × 120° = 60°.
ఇప్పుడు OM = x సెం.మీ అనుకొనిన
∆OMA నుండి, OM = cos 60° లేదా,
\(\frac{x}{21}=\frac{1}{2}\) (∵ cos 60° = \(\frac{1}{2}\)) లేదా,
x = \(\frac{21}{2}\)
కావున, OM = \(\frac{21}{2}\) సెం.మీ

అలాగే, \(\frac{\text { AM }}{\text { OA }}\) = sin 60
⇒ \(\frac{\text { AM }}{21}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) (sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
కావున, AM = 21\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) సెం.మీ.
అందువలన AB = 2AM = \(\frac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2}\) సెం.మీ. = 21√3 సెం.మీ.
దీని నుండి ∆OAB వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × AB × OM
= \(\frac{1}{2}\) × 21√3 × \(\frac{21}{2}\) చ.సెం.మీ²
= \(\frac{441}{4}\)√3 చ.సెం.మీ ……… (2)
ఈ విధంగా (1), (2) లను బట్టి AYB వృత్తఖండం వైశాల్యము
= (462 – \(\frac{441}{4}\)√3) చ.సెం.మీ²
= \(\frac{21}{4}\) (88 – 21√3) చ.సెం.మీ²
= 271.047 చ.సెం.మీ².

ప్రశ్న 3.
పటములో 0 కేంద్రముగా వృత్తములో PQ = 24 సెం.మీ. PR = 7 సెం.మీ మరియు వ్యాసము QR అని ఇవ్వబడింది. షేడ్ చేయబడిన వృత్తఖండము వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) తీసుకోండి). (పేజీ నెం. 241)
సాధన.
షేడ్ చేయబడిన వృత్తఖండం వైశాల్యము = OQPR సెక్టరు వైశాల్యము – PQR త్రిభుజ వైశాల్యము.
QR వ్యాసము కావున, ∠QPR= 90° (అర్ధవృత్తములో కోణము) పైథాగరస్ సిద్ధాంతమును ఉపయోగించి,
∆QPR,
QR² = PQ² + PR²
= 24² + 7²
= 576 + 49 = 625
QR = √625 = 25 సెం.మీ

దీని నుండి వృత్త వ్యాసార్ధము = \(\frac{1}{2}\) QR
= \(\frac{1}{2}\) (25) = \(\frac{25}{2}\) సెం.మీ
ఇపుడు, OQPR అర్ధవృత్త వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) πr²
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{2} \times \frac{25}{2}\)
= 327.38 చ.సెం.మీ ………………..(1)
QPR లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × PR × PQ
= \(\frac{1}{2}\) × 7 × 24
= 84 చ.సెం.మీ …………………..(2)
(1), (2) లను బట్టి, షేడ్ చేయబడిన వృత్తఖండము వైశాల్యము = 327.38 – 84
= 243.38 చ.సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
పటములో చూపిన విధముగా ఒక గుండ్రని ఉపరితలము గల బల్లపై ఆరు సమాన ఆకృతులు కలవు. బల్లపై తలము యొక్క వ్యాసార్ధము 14 సెం.మీ అయిన చ.మీ ₹ 5 చొప్పున బల్లపై గల ఆకృతులకు రంగు వేయడానికి ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ? (√3 = 1.732 తీసుకోండి) (పేజీ నెం. 241)
సాధన.
వృత్తములో అంతర్లిఖించబడిన క్రమషడ్భుజి యొక్క భుజము వృత్త వ్యాసార్ధానికి సమానమని మనకు తెలుసు.
∴ క్రమషడ్భుజి యొక్క ఒక్కొక్క భుజము = 14 సెం.మీ.

అందువలన, ఆకృతి చేయబడిన ఆరు వృత్త ఖండాల వైశాల్యము = వృత్త వైశాల్యము – క్రమషడ్భుజి వైశాల్యము ఇపుడు, వృత్త వైశాల్యము = Tr
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14 = 616 చ.సెం.మీ² ………………. (1)
క్రమషడ్భుజి వైశాల్యము
= 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²
= 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 14 × 14
= 509.2 చ.సెం.మీ² ……………… (2)
(1), (2) లను బట్టి ఆరు ఆకృతుల
మొత్తం వైశాల్యం = 616 – 509.21 = 106.79 చ.సెం.మీ²
దీని నుండి, చ.మీ ₹ 5 చొప్పున ఆరు ఆకృతులకు రంగు వేయుటకు అయ్యే ఖర్చు = ₹ 106.79 × 5 = ₹ 533.95

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తము పైకి గీయబడిన రెండు స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము మరియు రెండు స్పర్శ బిందువులను కేంద్రంతో కలుపుతూ గీయబడిన రేఖా ఖండాలు ఏర్పరచిన కోణానికి సంపూరకమని నిరూపించండి.
సాధన.

దత్తాంశం : ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తమునకు PQ, PTలు బాహ్య బిందువు P నుండి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు.
సారాంశం : ∠P + ∠QOT = 180°
ఉపపత్తి : OQ ⊥ PQ
[∵ వ్యాసార్ధం, స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉండును]
అదే విధంగా OT ⊥ PT
∴ ∠OQT + ∠OTP
= 90° + 90° = 180°
PQOT చతుర్భుజంలో ∠OTP + ∠TPQ + ∠PQO + ∠QOT = 360°
⇒ 180° + ∠P + ∠QOT = 360°
⇒ ∠P + ∠QOT = 180°
∴ సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 2.
5సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో PQ జ్యా పొడవు 8 సెం.మీ. P మరియు Q గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖలు | వద్ద ఖండించుకున్నాయి. (పటము చూడండి) అయిన TP పొడవును కనుగొనండి.

సాధన.
ఇచ్చినవి : ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = OP = 5 సెం.మీ.
PQ జ్యా పొడవు = 8 సెం.మీ.;
TP పొడవు = ?
∆PTR, ∆QTRల నుండి PT = QT (స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానాలు)
∠PTR = ∠QTR [:: ∆POT = ∆POT]
TR = TR (ఉమ్మడి భుజం] .
PR = QR
∆OPR నుండి ∠PRO = 90°
[∵ వృత్త కేంద్రం నుండి గీచిన జ్యా పై రేఖ దానిని లంబ సమద్విఖండన చేయును]
∴ OR² = OP² – PR²
= 5² – 4² = 9
∴ OR = 3సెం.మీ.
∆OPT నుండి, ∠POT + ∠PTO = 90° ……………. (1)
⇒ ∠POR + ∠PTR = 90° ………………(2)
(1), (2) ల నుండి ∠OPR = ∠PTR అగును.
∴ ∆ORP ~ ∆PRT
∴ \(\frac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{RO}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{TP}}{5}=\frac{4}{3}\)
⇒ TP = \(\frac{4 \times 5}{3}=\frac{20}{3}\) సెం.మీ.
∴ TP = 6.66 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక చతుర్భుజములో వృత్తము దాని నాలుగు భుజాలను తాకుతూ అంతర్లిఖించబడి వున్నచో ఆ చతుర్భుజము ఎదుటి భుజాలు వృత్త కేంద్రము వద్ద చేయు కోణాలు సంపూరకాలని నిరూపించండి.
సాధన.

దత్తాంశం : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తం ABCD చతుర్భుజాన్ని AB, BC, CD, DA భుజాలపై వరుసగా P, Q, R, S వద్ద తాకుచున్నది.
సారాంశం : ∠AOB + ∠COD = 180°
∠AOD + ∠BOC = 180°
నిర్మాణం : (O, P), (O, Q), (O, R) (O, S) లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తం పైకి గీచిన స్పర్శరేఖలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను చేస్తాయి.
అనగా ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4; ∠5 = ∠6; ∠7 = ∠8
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°
2 (∠2 + ∠3 + ∠6 + ∠7) = 360°
(లేదా) (∠2 + ∠3) + ∠6 + ∠7 = 180°
అదే విధంగా 2 (∠1 + ∠8 + ∠4 + ∠5) = 360°
⇒ (∠1 + ∠8) + (∠4 + ∠5) = 180°
కానీ, ∠AOB + ∠COD = 180° మరియు ∠AOD + ∠BOC = 180°
[∵ ∠2 + ∠3 = ∠AOB; ∠6 + ∠7 = ∠COD
∠1 + ∠8 = ∠AOD
∠4 + ∠5 = ∠BOC పటం నుండి]

ప్రశ్న 4.
8 సెం.మీ పొడవు గల AB రేఖాఖండాన్ని గీయండి. A కేంద్రముగా 4 సెం.మీ వ్యాసార్ధముతో ఒక వృత్తము, B కేంద్రముగా 3 సెం.మీ వ్యాసార్ధముతో మరొక వృత్తము గీయండి. ఒక వృత్త కేంద్రము నుండి మరొక వృత్తానికి స్పర్శరేఖలను గీయండి.
సాధన.
చిత్తు పటం :

నిర్మాణ క్రమం :
(1) 8 సెం.మీల వ్యాసార్ధంచే AB అను రేఖాఖండాన్ని నిర్మించుము.
(2) A మరియు B కేంద్రాలుగా వరుసగా 4 సెం.మీ, 5 సెం.మీల వ్యాసార్థంచే రెండు వృత్తాలు నిర్మించుము.
(3) ABకి XY అను లంబసమద్వి ఖండన రేఖను గీయుము. అది AB ను M వద్ద ఖండించినది.
(4) M కేంద్రంగా MA లేదా MB వ్యాసార్థంచే ఒక వృత్తాన్ని గీయగా అది A కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని P, Q బిందువుల వద్ద B కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని R, S ల వద్ద ఖండించును.
(5) (B, P), (B, Q) మరియు (A, R), (A, S) లను కలుపుము.
∴ కావలసిన నిర్మాణం ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 5.
ABC లంబకోణ త్రిభుజములో AB = 6 సెం.మీ, BC = 8 సెం.మీ మరియు ∠B = 90°. B శీర్షం నుండి AC పైకి గీయబడిన లంబము BD మరియు B, C, D బిందువుల గుండా వృత్తము గీయబడింది. A నుండి ఈ వృత్తము పైకి స్పర్శరేఖలను గీయండి.
సాధన.

నిర్మాణ క్రమం :
(1) AB = 6 సెం.మీ., LB = 90°, BC = 8 సెం.మీ.ల కొలతలతో AABC ను నిర్మించుము.
(2) AC పైకి B నుండి BD అను ఒక లంబాన్ని గీయుము.
(3) ABCDకి ఒక పరివృత్తాన్ని గీయుము. దాని కేంద్రం ‘E’ గా గుర్తించుము.
(4) A, Eలను కలుపుము. AE పై లంబ సమద్విఖండన రేఖ XY ను నిర్మించుము. అది AE ని M వద్ద ఖండించును.
(5) M కేంద్రంగా MA లేదా ME వ్యాసార్ధాలచే ఒక వృత్తాన్ని నిర్మించగా అది ABCD యొక్క పరివృత్తాన్ని P మరియు B వద్ద ఖండించినది.
∴ కావలసిన నిర్మాణం ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 6.
A, B కేంద్రాలుగా గల రెండు వృత్తాలు C వద్ద స్పర్శించుకున్నాయి. AC = 8 సెం.మీ. మరియు AB = 3 సెం.మీ అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము.

సాధన.
A, B కేంద్రాలుగా గల రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థాలు వరుసగా r₁ = 8 సెం.మీ. r₂ = 5 సెం.మీ.
[∵ AC = 8 సెం.మీ, AB = 3 సెం.మీ. ⇒ BC = 8 – 3 = 5 సెం.మీ]
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = పెద్ద వృత్త వైశాల్యం – చిన్న వృత్త వైశాల్యం .
= πr₁² – πr₁²
= π (r₁² – r₁²)
= \(\frac{22}{7}\) (8² – 5²)
= \(\frac{22}{7}\) × (64 – 25)
= \(\frac{22}{7}\) × 39
= 204.28 సెం.మీ².

ప్రశ్న 7.
AB = 14 సెం.మీ. మరియు BC = 1 సెం.మీ కొలతలు ABCD దీర్ఘచతురస్రము గీయబడింది. DC, BC మరియు AD వ్యాసాలుగా గల మూడు అర్ధవృత్తాలు పటములో చూపినట్లుగా గీయబడినవి. అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యమును కనుగొనుము.

సాధన.
మొత్తం ఇచ్చిన పట వైశాల్యం = (2 × AD వ్యాసంగా గల అర్ధవృత్త వైశాల్యం + దీ||చ|| ABCD వైశాల్యం)
= 2 × × πr² + (l × b)
= 2 × \(\frac{180}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) + (14 × 7)
= \(\frac{77}{2}\) + 98 = \(\frac{273}{2}\) సెం.మీ.
షేడ్ చేయని ప్రాంత వైశాల్యం = \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{2} \times \frac{14}{2}\)
= 77 సెం.మీ²
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = మొత్తం పట వైశాల్యం – షేడ్ చేయబడని ప్రాంత వైశాల్యం
= \(\frac{273}{2}\) – 77 = \(\frac{273-154}{2}\)
= \(\frac{119}{2}\) = 59.5 సెం.మీ²

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3

ప్రశ్న 1.
10 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో ఒక జ్యా కేంద్రము వద్ద లంబకోణాన్ని ఏర్పరిస్తే, కింది ఇవ్వబడిన వృత్తఖండాల వైశాల్యాలు కనుగొనండి. (π = 3.14 అని తీసుకోండి.)
(i) అల్ప వృత్తఖండము
(ii) అధిక వృత్త ఖండము
సాధన.

PQ జ్యా కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం (x°) = 90°
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 10 సెం.మీ.
(i) అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = POQ సెక్టార్ వైశాల్యము – ∆POQ వైశాల్యము
POQ సెక్టార్ వైశాల్యము = \(\frac{x}{360}\) × πr²
∆POQ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) bh
∴ అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = \(\frac{90}{360}\) × 3.14 × 10 × 10 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10
= 78.5 – 50 = 28.5 సెం.మీ

(ii) అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యము = వృత్త వైశాల్యము – అల్పవృత్త ఖండ వైశాల్యము.
= πr² – 28.5
= \(\frac{22}{7}\) × 10 × 10 – 28.5
= 314 – 28.5
∴ అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = 285.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
12 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో ఒక జ్యా కేంద్రము వద్ద 120° కోణాన్ని ఏర్పరచింది. జ్యాతో ఏర్పడిన సంబంధిత అల్పవృత్త ఖండం యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = 3.14 మరియు (√3 = 1.732 తీసుకోండి)
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 12 సెం.మీ.
సెక్టార్ వైశాల్యం = \(\frac{x}{360}\) × πr²
చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం x° = 120°

సెక్టార్ వైశాల్యం = \(\frac{120}{360}\) × 3.14 × 12 × 12
= 150.72 సెం.మీ .
‘O’ నుండి PQ పైకి లంబాన్ని గీయగా అది M వద్ద ఖండించినది ∆OPM = ∆OQM
[∵ OP = OQ వ్యాసార్థాలు ∠P = ∠Q (సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉండు కోణాలు సమానాలు)
∠OMP = ∠OMQ భు.కో. భు నుండి అవి సరూపాలు)
∴ ∆OPQ వై.. = ∆OPM వై.. + ∆OQM వై|| –
= 2 ∆OPM వై||
∆OPM వై.. = \(\frac{1}{2}\) × PM × QM
కానీ cos 30° = \(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{OP}}\)
[∵ ∆OPQ లో ∆POQ = 120°
= \(\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°]
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{PM}}{12}\)
⇒ PM = \(\frac{12 \times \sqrt{3}}{2}\) = 6√3
అదే విధంగా, sin 30° = \(\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OP}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{\text { OM }}{12}\)
⇒ OM = 6 సెం.మీ.
∴ ∆ OPM వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 6√3 × 6 = 18√3
= 18 × 1.732 = 31.176 సెం.మీ²
∴ ∆OPQ వైశాల్యము = 2 × 31.176
= 62.352 సెం.మీ²
∴ అల్ప వృత్తఖండ వైశాల్యం PQ = POQ సెక్టార్ వైశాల్యం – ∆OPQ వైశాల్యం
= 150.72 – 62.352 = 88.368 సెం.మీ²

ప్రశ్న 3.
ఒక కారు అద్దముపై ఒకదానిపై అధ్యారోహణము (overlap) కాని నీటిని తుడిచే రెండు వైపర్లు వున్నాయి. ప్రతి వైపర్ పొడవు 25 సెం.మీ. 115° కోణముతో నీటిని తుడుస్తున్నది. ఒకేసారి రెండు వైపర్లు పనిచేయు సందర్భములో మొత్తం అద్దాన్ని శుభ్రపరిచే ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) అని తీసుకోండి.)
సాధన.

ప్రతి వైపర్ చేయు కోణం = 115°
రెండు వైపర్లు అద్దాన్ని శుభ్రపర్చు వైశాల్యం = వైపర్లు ఏర్పర్చు రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యాల మొత్తం.
= 2 × \(\frac{x}{360}\) × πr²
= 2 × \(\frac{115^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}\) × 25 × 25
= \(\frac{230}{360} \times \frac{22}{7}\) × 25 × 25
= 1254.96 = 1255 సెం.మీ²

ప్రశ్న 4.
క్రింది పటములో ABCD చతురస్రం యొక్క భుజము 10 సెం.మీ పొడవు కలిగి వున్నది మరియు చతురస్రభుజము వ్యాసముగా గల అర్ధవృత్తాలు ప్రతిభుజము వైపున గీయబడ్డాయి. షేడ్ చేయబడిన ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = 3.14 అని తీసుకోండి).

సాధన.
పటం నుండి షేడ్ చేయని భాగాలను I, II, III, IV లుగా గుర్తింపుము.

Iవ ప్రాంత వైశాల్యం + III వ ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వైశాల్యం – 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం గల రెండు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యాలు = 10 × 10 – 2 × \(\frac{1}{2}\) × π × 5²
= 100 – 78.5 = 21.5 సెం.మీ²
అదే విధంగా II ప్రాంత వై + IV వ ప్రాంత వై = 21.5 సెం.మీ²
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వై| – షేడ్ చేయని 4 ప్రాంతాల వైశాల్యాల మొత్తం
= 100 – 2 × 21.5 = 100 – 43 = 57 సెం.మీ²

ప్రశ్న 5.
పటంలో ABCD చతురస్రభుజము 7 సెం.మీ మరియు APD మరియు BPC లు అర్ధవృత్తములు అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశవైశాల్యము కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) ను తీసుకోండి).

సాధన.
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వైశాల్యం, 3. 5 సెం.మీలు వ్యాసార్ధం గల రెండు అర్ధ వృత్తాల వై॥ల మొత్తం.
= 7 × 7 – 2 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 49 – 38.5 = 10.5 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 6.
పటములో 0 కేంద్రము మరియు 3.5 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో OACB అనేది ఒక సెక్టరు పాదము OD = 2 సెం.మీ అయిన షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) అని తీసుకోండి)

సాధన.
OACD అనునది వృత్తంలోని 4వ భాగం గల ఒక సెక్టార్. షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = సెక్టార్ వైశాల్యం – ∆BOD వైశాల్యం
= \(\frac{x}{360}\) × πr² – \(\frac{1}{2}\) . OB . OD
= \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 – \(\frac{1}{2}\) × 3.5 × 2
= 9.625 – 3.5 = 6.125 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
‘0’ కేంద్రముగా గల రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 21 సెం.మీ మరియు 7 సెం.మీ మరియు AB, CD లు రెండు చాపరేఖలు (పటము చూడండి). ∠AOB = 30° అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = \(\frac{22}{7}\) తీసుకోండి)

సాధన.
షేడ్ చేయబడిన భాగము వైశాల్యం = AOB సెక్టార్ వైశాల్యం – OCD సెక్టార్ వైశాల్యం
= \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 21 – \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7
[∵ సెక్టార్ వైశాల్యం = \(\frac{x}{360}\) × πr²)
= \(\frac{1}{12}\) × \(\frac{22}{7}\) [441 – 49]
= \(\frac{22}{84}\) × 392 = 102.66 సెం.మీ².

ప్రశ్న 8.
పటంలో వ్యాసార్ధము 10 సెం.మీ గా గల వృత్తంలో రెండు సెక్టరు పాదముల మధ్య ఏర్పడిన ఉమ్మడి ప్రదేశం (షేడ్ చేయబడినది) యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = 3.14 అని తీసుకోండి)

సాధన.
చాపానికి ఇరువైపులా P, Qబిందువులను గుర్తింపుము.
ABCD చతురస్ర కర్ణం BD అనుకొనుము.
DPB వృత్త ఖండ వైశాల్యం = ∆DPB సెక్టార్ వై! – ∆ABD వైశాల్యం
= \(\frac{x}{360}\) × πr² – \(\frac{1}{2}\) bh
= \(\frac{90}{360}\) × \(\frac{22}{7}\) × 10 × 10 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10
= 78.57 – 50 = 28.5 సెం.మీ.
అదే విధంగా DQB వృత్త ఖండ వైశాల్యం = 28.5 సెం.మీ
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం= (DPB + DQB)
వృత్త ఖండాల వైశాల్యాలు = 28.5 + 28.5 = 57 సెం.మీ (లేదా)
చతురస్ర భుజం = 10
చతురస్ర వైశాల్యం = 10 × 10 = 100 సెం.మీ
A, C లు కేంద్రాలుగా గల 10 సెం.మీ వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యాలు = 2 × \(\frac{90}{360}\) × \(\frac{22}{7}\) × 10 × 10
= \(\frac{1100}{7}\) = 157.14 సెం.మీ
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతం రెండింటికి ఉమ్మడి ప్రాంతం
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యం – చతురస్ర వైశాల్యం = 157 – 100 = 57 సెం.మీ².

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.2

ప్రశ్న 1.
కింది వానికి సరియగు సమాధానమును గుర్తించి ప్రతి జవాబును సమర్థించండి.

(i) ఒక వృత్త స్పర్శరేఖకు, స్పర్శబిందువు గుండా గీచిన వ్యాసార్ధానికి మధ్య కోణము.
(a) 60°
(b) 30°
(c) 45°
(d) 90°
సాధన.
(d) 90°
కారణం : వృత్త వ్యాసార్ధం ఆ వృత్త స్పర్శరేఖకు స్పర్శ బిందువు వద్ద లంబంగా ఉంటుంది.

(ii) Q అనే బిందువు నుండి వృత్తం. మీదకు గీయబడిన స్పర్శ రేఖా పొడవు 24 సెం.మీ. మరియు.వృత్తకేంద్రం నుండి Q బిందువుకు గల దూరం 25 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధము .
(a) 7 సెం.మీ.
(b) 12 సెం.మీ.
(c) 15 సెం.మీ.
(d) 24.5 సెం.మీ.
సాధన.
(a) 7 సెం.మీ.

OP = వ్యాసార్ధం = (r) = ?
OQ = 25 సెం.మీ. 24 సెం.మీ
PQ = 24 సెం.మీ.
OP² = OQ² – PQ²
OP = \(\sqrt{\mathrm{OQ}^{2}-\mathrm{PQ}^{2}}=\sqrt{25^{2}-24^{2}}\)
= \(\sqrt{625-576}\)
= √49 = 7
వృత్త వ్యా సార్ధం (r) = 7 సెం.మీ.

(iii) పటంలో ‘0’ కేంద్రముగా గల వృతానికి AP మరియు AQలు రెండు స్పర్శరేఖలు మరియు ∠POQ = 1109, అయిన ∠PAQ =

(a) 60°
(b) 70°
(c) 80°
(d) 90°
సాధన.
(b) 70°
∆OPAQ చతుర్భుజం నుండి
∠OPA – ∠OQA = 90°
∠POQ = 110°
∴ ∠O + ∠P + ∠A + ∠Q
⇒ 90° + 90° + 110° + ∠PAQ = 360°
∴ ∠PAQ = 70°

(iv) ‘O’ కేంద్రముగా వృత్తానికి బాహ్యబిందువు P నుండి PA మరియు PB అనే రెండు స్పర్శరేఖలు గీయబడ్డాయి. స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 80° అయిన ∠POA =
(a) 50°
(b) 60°
(c) 70°
(d) 80°
సాధన.
(a) 50°

∠APB = 80° అయితే = ∠AOB = 180° – 80° = 100°
[∵ ∠A + ∠B = 90° + 90° = 180°]
∴ ∠POA = \(\frac{100}{2}\) = 50°

(v) పటంలో ‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి XY మరియు X’Y’ అనే రెండు సమాంతర స్పర్శరేఖలు గీయ బడ్డాయి. మరొక స్పర్శరేఖ AB, స్పర్శ బిందువు C గుండా పోతూ XY ను A వద్ద X’Y’ ను B వద్ద ఖండించింది అయిన ∠AOB =

(a) 80°
(b) 100°
(c) 90°
(d) 60°
సాధన.
(c) 90°

ప్రశ్న 2.
5 సెం.మీ మరియు 3 సెం.మీ వ్యాసార్ధములతో రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలు గీయబడ్డాయి. చిన్న వృత్తాన్ని స్పర్శించే పెద్ద వృత్తము యొక్క జ్యా పొడవును కనుగొనండి.
సాధన.

రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో R = 5 సెం.మీ., r = 3 సెం.మీ.
పటం నుండి పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి
∆OBP నుండి, BP = \(\sqrt{\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OP}^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}-3^{2}}\) = 4 సెం.మీ.
∴ AB = AP + BP = 2 × BP
= 2 × 4 = 8 సెం.మీ.
[∵ OP, \(\overline{\mathrm{PB}}\) ను లంబ సమద్విఖండన చేస్తుంది.)
∴ జ్యా పొడవు = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజములో వృత్తము అంతర్లిఖించ బడిన అది సమచతుర్భుజము అగునని చూపండి.
సాధన.

నిరూపణ : పటంలో చూపిన విధంగా ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో AB, BC, CD, DA భుజాలను వృత్తము వరుసగా P, Q, R, S ల వద్ద స్పృశించుచున్నది.
∴ AP = AS
[∵ బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానాలు.]
BP = BQ
DR = DS
CR = CQ
పై సమీకరణాలను కలుపగా
⇒ AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + QC)
⇒ AB + CD = BC + DA
⇒ 2AB = 2BC [∵ సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానాలు.
∴ AB = CD, BC = AD]
⇒ AB = BC
∴ సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న భుజాలు సమానమైన అది ఒక రాంబస్ అగును.

ప్రశ్న 4.
కింది పటము త్రిభుజం ABCలో 3 సెం.మీ వ్యాసార్ధము గల ఒ 1 వృత్తం అంతర్లిఖించబడింది. స్పర్శబిందువు D, BC భుజాన్ని రెండు రేఖా ఖండాలుగా BD = 9 సెం.మీ., DC = 3 సెం.మీగా విభజించింది. అయిన AB మరియు AC భుజాల పొడవులు కనుగొనండి.

సాధన.

∆ABCలో ‘O’ కేంద్రంగా, 3సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల వృత్తం అంతర్లిఖించబడినది.
ఈ వృత్తం AB, BC, AC లను వరుసగా E, D, F బిందువుల వద్ద తాకుచున్నది.
పటం నుండి,
AB = AE + EB = (x + 9) సెం.మీ.
AC = AF + FC = (x + 3) సెం.మీ.
BC = BD + DC = 9 + 3 = 12 సెం.మీ.
OD = DC = CF = OF మరియు ∠D = 90° ( ఎందుకనగా స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖతో వ్యాసార్ధం లంబకోణాన్ని చేస్తుంది.)
∴ ODCF ఒక చతురస్రం; ∠C = 90° కావున ∆ACB ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
కర్ణం AB AB² = AC² + BC²
(∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి)

(x + 9)² = (x + 3)² + 42²
x² + 18x + 81 = x² + 6x + 9 + 144
18x – 6x = 9 + 144 – 81 = 72
12x = 72
⇒ x = \(\frac{72}{12}\) = 6
x = 6
అపుడు AB = x + 9 = 6 + 9 = 15 సెం.మీ.
AC = x + 3 = 6 + 3 = 9 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
6 సెం.మీ వ్యాసార్ధముతో ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. కేంద్రము నుండి 10 సెం.మీ దూరములో బిందువు నుండి ఒక జత స్పర్శరేఖలను గీచి, వాటి పొడవులు కొలవండి. పైథాగరస్ సిద్దాంతం ఉపయోగించి సరిచూడండి.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమము :
1) 6సెం.మీ వ్యాసార్ధంతో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని నిర్మించవలెను.
2) వృత్తానికి బాహ్యంగా కేంద్రం నుండి 10 సెం.మీ దూరంలో P అను బిందువును గుర్తించి, OP లను కలుపుము.
3) OP కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయగా అది M వద్ద ఖండించినది.
4) M వృత్తాక్రమంలో MP లేదా MO వ్యాసార్ధంచే ఒక వృత్తాన్ని గీయవలెను. అది ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని A, B బిందువుల వద్ద స్పృశించును.
5) A, P మరియు P, B లను కలిపితిని.
6) ∴ PA, PB లు కావలసిన స్పర్శరేఖలు.
∴ PA = PB = 8 సెం.మీ.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతంచే సరిచూచుట :
∆OAP నుండి OA² + AP² = OP²
⇒ 6² + 8² = 10²
⇒ 36 + 64 = 100
⇒ 100 = 100 (సత్యం )
∴ PA, PB లు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అగును.

ప్రశ్న 6.
4 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తానికి, 6 సెం.మీ : వ్యాసార్ధము గల ఏక కేంద్ర వృత్తంపై గల ఒక బిందువు నుండి స్పర్శరేఖను గీయండి. దాని పొడవును కొలవండి. గణనచేసి సరిచూడండి.
సాధన.

1) 4సెం.మీ, 6 సెం.మీల వ్యాసార్ధాలతో రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలను గీయుము.
2) పెద్ద వృత్తంపై P అను బిందువును గుర్తించి, O, P లను కలుపుము.
3) OP పై లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీయగా అది • M వద్ద ఖండించినది.
4) ‘M’ కేంద్రంగా PM లేదా MO ను వ్యాసార్ధంగా తీసుకొని వృత్తాన్ని గీయగా అది చిత్తు వృత్తాన్ని Q వద్ద స్పృశించును.
5) P, Qలను కలుపగా, అది చిన్న వృత్తానికి కావలసిన స్పర్శరేఖ అగును.

ప్రశ్న 7.
ఒక చేతి, గాజు సహాయంతో ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. . దాని బాహ్యంలో ఒక బిందువు తీసుకోండి. ఈ బిందువు మండి వృత్తము పైకి ఒక జత స్పర్శరేఖలను గీచి కొలవండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
సాధన.

నిర్మాణ క్రమం :
(1) ఒక గాజును తీసుకొని ఒక వృత్తాన్ని నిర్మించవలెను.
(2) AB, AC అను రెండు జ్యాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా గీయగా, వాని లంబ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు వృత్త కేంద్రం ‘O’ అగును.
(3) వృత్తాన్ని బాహ్యంగా P అను బిందువును గుర్తించి, – O, P లను కలుపవలెను.
(4) OP కు లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీయగా అది . OP ను ఖండించిన బిందువును M గా గుర్తించ వలెను.
(5) OM లేదా. MP వ్యాసార్ధంతో గీచిన వృత్తం మొదటి వృత్తాన్ని ఖండించిన ఖండన బిందువులను Q, R లుగా గుర్తింపుము. P, R మరియు P, Q లను కలుపుము.
∴ కావలసిన స్పర్శరేఖలు \(\overline{\mathrm{PR}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) లు అగును. (ముగింపు)

గమనిక :
వృత్తానికి బాహ్య బిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానాలు.

ప్రశ్న 8.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో AB వ్యాసంగా గల ఒక వృత్తము కర్ణము AC ని P వద్ద ఖండించునట్లు గీయబడింది. P గుండా వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖ BC భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుందని నిరూపించండి.

సాధన.
దత్తాంశం : ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజం, AB వ్యాసం AC ని P వద్ద ఖండిస్తుంది.
ఉపపత్తి : P వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖ BC ని Q వద్ద ఖండించెననుకొనుము.
సారాంశం : BQ = CQ అని చూపవలేను.
నిర్మాణం : B, P లను కలుపుము. ∠APB = 90° (‘.’ అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణం)
∴ ∠BPC = 90° (APC ఒక రేఖాఖండం)
⇒ ∠BPC = ∠BAC + ∠BCA = 90°
⇒ ∠BPQ + ∠QPC = ∠BAC + ∠BCA
కాని ∠BPQ = ∠BAC నుండి
∴ ∠QPC = /BCA
∴ PQ = QC (∵ సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉండు. భుజాలు సమానాలు)
∴ PQ = QB
QC = QB అనగా PQ, \(\overline{\mathrm{BC}}\) ను సమద్విఖండన చేయును.

ప్రశ్న 9.
‘0’ కేంద్రముగా వృత్తానికి బాహ్యంలో గల బిందువు ‘R’ గుండా స్పర్శరేఖను గీయండి. ఈ బిందువు నుండి మీరు ఎన్ని స్పర్శరేఖలను గీయగలరు ?
(సూచన : ఈ రెండు బిందువుల నుండి స్పర్శబిందువు సమాన దూరంలో ఉన్నది.)
సాధన.

ఒక బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు మాత్రమే గీయగలం.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.1

ప్రశ్న 1.
కింది ఖాళీలను పూరించండి.
(i) వృత్తాన్ని, ఒక స్పర్శరేఖ ………………. బిందువు (ల) వద్ద ఖండిస్తుంది.
సాధన.
ఒక

(ii) వృత్తాన్ని ఒక రేఖ రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే దానిని ………….. అంటారు.
సాధన.
వృత్త ఛేదన రేఖ

(iii) ఒక వృత్తానికి వ్యాసం చివరి బిందువుల వద్ద గీయగల సమాంతర స్పర్శరేఖల సంఖ్య
సాధన.
2

(iv) ఒక వృత్తానికి, దాని స్పర్శరేఖకు గల ఉమ్మడి బిందువును ……….. అంటారు.
సాధన.
స్పర్శ బిందువు

(v) ఒక వృత్తానికి మనము ………… స్పర్శరేఖలను గీయగలము.
సాధన.
అనంత

ప్రశ్న 2.
5 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తాన్ని PQస్పర్శరేఖ P వద్ద తాకింది. వృత్త కేంద్రము ‘0’ నుండి స్పర్శరేఖపై గల బిందువు Q నకు దూరము OQ = 13 సెం.మీ. అయిన PQ పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.

ఇచ్చిన వృత్త వ్యాసార్ధం r = OP = 5 సెం.మీ.
\(\overline{\mathrm{OQ}}\) = 12 సెం.మీ.
పటం నుండి పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం OP² + PQ² = OQ²
PQ² = OQ² – OP²
∴ PQ = \(\sqrt{\mathrm{OQ}^{2}-\mathrm{OP}^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}\)
= \(\sqrt{169-25}=\sqrt{144}\) = 12
PQ = 12 cm.

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. వృత్తానికి బాహ్యంలో గల ఒక రేఖకు సమాంతరముగా ఒక స్పర్శరేఖనూ, ఒక ఛేదన రేఖను గీయండి.
సాధన..

నిర్మాణ క్రమం :
(1) తగు వ్యాసార్థంచే వృత్తాన్ని నిర్మించవలెను.
(2) ఆ వృత్తానికి AB బ్యాను గీయవలెను.
(3) AB జ్యా కు సమాంతరంగా ఒక ఛేదన రేఖ 1 ను గీయవలెను.
(4) AB జ్యాకు మరియొక సమాంతరరేఖ m ను వృత్తానికి ‘P’ అను బిందువు వద్ద గీచిన, అది వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అగును.

ప్రశ్న 4.
9 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తానికి, దాని కేంద్రం నుండి 15 సెం.మీ దూరంలో ఒక బిందువు కలదు. అయిన ఆ బిందువు నుండి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనండి.
సాధన.

పటం నుండి వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = OP = 9 సెం.మీ.

కేంద్రం నుండి Q బిందువుకు గల దూరం d = \(\overline{\mathrm{OQ}}\) = 15 సెం.మీ.
స్పర్శరేఖ పొడవు = PQ = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{15^{2}-9^{2}}\)
= \(\sqrt{225-81}\)
స్పర్శరేఖ పొడవు = √144 = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక వృత్త వ్యాసము చివరి బిందువుల వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖలు సమాంతరమని చూపండి.
సాధన.
నిరూపణ (దత్తాంశం): ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసం AB.
PQ, RS లు వృత్తానికి వరుసగా A, B బిందువుల వద్ద గీచిన స్పర్శరేఖలు.
సారాంశం : PQ || RS.

ఉపపత్తి : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి OA వ్యాసార్ధం, PQ స్పర్శరేఖ.
∴ OA ⊥ PQ ……………..(1)
[∵ వ్యాసార్ధం, స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉండును.]
అదే విధంగా OB ⊥ RS …………. (2)
కాని OA మరియు OB, AB యొక్క భాగాలు. AB ⊥ PQ మరియు AB ⊥ RS.
∴ PQ || RS. [∵ ఒకే రేఖతో లంబంగా ఉండు రెండు సరళరేఖలు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండును.]
(లేదా) ఉపపత్తి : ‘O’ కేంద్రంగా గల ‘వృత్తానికి A వద్ద PQ స్పర్శరేఖ.
∠OAQ = 90°
అదే విధంగా, ∠OBS = 90°
∠OAQ + ∠OBS = 90° + 90° = 180°
∴ PQ || RS. (∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునగల అంతర కోణాల మొత్తం 180° అయిన అవి సమాంతర రేఖలగును.)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది ఖాళీలను సరూపాలు సరూపాలు కావుచే పూరించండి. (పేజీ నెం. 194)
(i) అన్ని చతురస్రాలు ఎల్లప్పుడూ ……………………
సాధన.
సరూపాలు

(ii) అన్ని సమబాహు త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడూ ……………………
సాధన.
సరూపాలు

(iii) అన్ని సమద్విబాహు త్రిభుజాలు ……………………
సాధన.
సరూపాలు కావు.

(iv) సమాన సంఖ్యలో భుజాలు కలిగిన రెండు బహు భుజు లో అనురూపకోణాలు సమానము మరియు అనురూ పభుజులు సమానము అయిన అవి ……………………
సాధన.
సరూపాలు

(v) పరిమాణము తగ్గించబడిన లేదా పెంచబడిన ఒక వస్తువు యొక్క ఫోటోగ్రాు ……………………
సాధన.
సరూపాలు

(vi) రాంబస్ మరియు చతురస్రాలు ఒకదానికొకటి ……………….
సాధన.
సరూపాలు కావు.

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రవచనాలు సత్యమో, అసత్యమో రాయండి. (పేజీ నెం. 194)
(i) రెండు సరూపపటాలు సర్వసమానాలు
సాధన.
అసత్యము

(ii) రెండు సర్వసమాన పటాలు సరూపాలు
సాధన.
సత్యము

(iii) రెండు బహుభుజులకు అనురూపకోణాలు సమానాలైన అవి సరూపాలు.
సాధన.
అసత్యము

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది వాటికి రెండు వేరువేరు ఉదాహరణలివ్వండి. (i) సరూప పటాలు, (ii) సరూప పటాలు కానివి (పేజీ నెం. 194)
(i) సరూప పటాలు
సాధన.
(a) ఏవైనా రెండు వృత్తాలు
(b) ఏవైనా రెండు చతురస్రాలు
(c) ఏవైనా రెండు సమబాహు త్రిభుజాలు

(ii) సరూప పటాలు కానివి
సాధన.
(a) ఒక చతురస్రము మరియు ఒక రాంబస్
(b) ఒక చతురస్రము మరియు ఒక దీర్ఘచతురస్రము.

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో X యొక్క ఏ విలువ (లు)కు DE || AB అగును ? (పేజీ నెం. 200) AD = 8x + 9, CD = x + 3, BE = 3x + 4, CE = x.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC, DE || AB AD = 8x + 9, CD = x + 3, BE = 3x + 4 మరియు CE = x
ప్రాథమిక సిద్ధాంతమును అనుసరించి DE || AB
అయిన \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EB}}\) అగును.
⇒ \(\frac{x+3}{8 x+9}=\frac{x}{3 x+4}\)
(x + 3) (3x + 4) = x {8x + 9) (అడ్డ గుణకారము చేయగా),
⇒ x (3x + 4) + 3 (3x + 4) = 8x² + 9x
⇒ 3x² + 4x + 9x + 12 = 8x² + 9x
⇒ 8x² + 9x – 3x² – 13x – 12 = 0
⇒ 5x² – 4x – 12 = 0
⇒ 5x² – 10x + 6x – 12 = 0
⇒ 5x (x – 2) + 6 (x – 2) = 0
⇒ (5x + 6) (x – 2) = 0
⇒ 5x + 6 = 0 లేక X – 2 = 0
⇒ x = \(\frac{-6}{5}\) లేక x = 2 విలువలకు DE || AB అగును.

ప్రశ్న 5.
∆ABC లో DE || BC. AD = x, DB = x = 2, AE = x + 2 మరియు EC = x – 1. అయిన x విలువను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 200)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో, DE || BC
ప్రాథమిక సిద్ధాంతము నుండి \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
⇒ \(\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x-1}\)
⇒ x (x – 1) = (x + 2) (x – 2)
⇒ x² – x = x² – 4
⇒ – x = – 4
∴ x = 4.

ప్రయత్నించండి :

ప్రశ్న 1.
∆PQRలో భుజాలు PQ మరియు PR లపై బిందువులు వరుసగా E మరియు F. ఈ క్రింది వాటిలో ప్రతి సందర్భంలో EF ||QR అవునో, కాదో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 197)
(i) PE = 3.9 సెం.మీ, EQ = 3 సెం.మీ, PF = 3.6 సెం.మీ, FR = 2.4 సెం.మీ.
సాధన.

ఇక్కడ, \(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{3.9}{3}=\frac{1.3}{1}\)

కావున, EF // QR కాదు.

(ii) PE = 4 సెం.మీ, QE = 4.5 సెం.మీ, PF = 8 సెం.మీ, RF = 9 సెం.మీ.
సాధన.
ఇక్కడ, \(\frac{P E}{E Q}=\frac{4}{4.5}=\frac{0.8}{0.9}=\frac{8}{9}\)

\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{R F}\) కావున
∴ EF || QR అగును.

(ii) PQ = 1.28 సెం.మీ, PR = 2.56 సెం.మీ, PE = 1.8 సెం.మీ, PF = 3.6 సెం.మీ.
సాధన.

దత్తాంశము : PQ = 1.28 సెం.మీ.
PE = 1:8 సెం.మీ.
⇒ EQ = PE – PQ = 1.8 – 1.28
⇒ EQ = 0.52 సెం.మీ. మరియు
PR = 2.56 సెం.మీ.
PF = 3.6 సెం.మీ.
FR = PF – PR = 3.6 – 2.56 = 1.04 సెం.మీ.
ఇప్పుడు \(\frac{P E}{E Q}=\frac{1.8}{0.52}=\frac{0.9}{0.26}\)
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{3.6}{1.04}=\frac{0.9}{0.26}\)
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
∴ EF || QR (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము నుండి)

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది పటాలలో DE || BC (పేజీ నెం. 198)
(i) ECని కనుగొనుము.

సాధన.
పటం నుండి \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
⇒ \(\frac{1.5}{3}=\frac{1}{E C}\)
∴ EC = \(\frac{1.5}{3}\) = 2 సెం.మీ.

(ii) AD ని కనుగొనుము.

సాధన.
పటం నుండి \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AD}}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}\)
∴ AD = \(\frac{1.8 \times 7.2}{5.4}\) = 2.4 సెం.మీ.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
నిజ జీవితంలో ఇలా ‘స్కేలు’ను ఉపయోగించే సందర్భాలకు మరికొన్ని ఉదాహరణలు చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం. 192)
సాధన.
స్కేలు గుణకంను మ్యాపుల తయారీలో, యంత్రాల తయారీ విభాగాలలో ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 2.
ఒక చతురస్రము, రాంబస్ సరూపాలని నీవు చెప్పగలవా? నీ మిత్రులతో చర్చించుము. ఆ నియమాలు ఎందుకు సరిపోతాయో లేదా ఎందుకు సరిపోవో కారణాలు వ్రాయుము. (పేజీ నెం. 193)
సాధన.
చతురస్రము మరియు రాంబస్ సరూపాలు కావు.
వాని, అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానం, కాని వాని అనురూప కోణములు సమానం కాదు. కావున ఇవి సరూపాలు కావు. –

∠A ≠ ∠P; ∠B ≠ ∠Q;
∠C ≠ ∠R; ∠D ≠ ∠S.

సిద్ధాంతములు:

ప్రశ్న 1.
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము (థేల్స్ సిద్ధాంతము): ‘ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను వేరువేరు బిందువులలో ఖండించిన, ఆ మిగిలిన రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజింపబడతాయి. (పేజీ నెం. 195)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో DE || BC, DE రేఖ AB, AC భుజాలను వరుసగా D మరియు E.వద్ద ఖండించును.
సారాంశము : \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
నిర్మాణము : B, E మరియు C, D లను కలుపుము మరియు DM ⊥ AC, EN ⊥ AB లను గీయుము.
ఉపపత్తి : ∆ADE వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × AD × EN
∆BDE వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × BD × EN

మరల ∆ADE వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × AE × DM
∆CDE వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × EC × DM

∆BDE, ∆CDE లు ఒకే భూమి DE మరియు సమాంతర రేఖలు BC .మరియు DE ల మధ్య ఉన్నట్లు గమనించవచ్చును.
కావున ∆BDE వైశాల్యము = ∆CDE వైశాల్యము …… (3)
(1), (2), (3) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
కావున సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 2.
ప్రాథమిక సిద్ధాంతమునకు విపర్యయము : ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండును. (పేజీ నెం. 197)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో, \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) అగునటు గీయబడిన సరళరేఖ DE
సారాంశము : DE || BC

ఉపపత్తి : DE, BCకి సమాంతరము కాదు అనుకొనుము. అపుడు BC కి సమాంతరంగా DE ను గీయుము.
అపుడు \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}^{1}}{\mathrm{E}^{1} \mathrm{C}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
∴ \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{AE}^{1}}{\mathrm{E}^{1} \mathrm{C}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
ఇరువైపులా ‘1’ కలుపగా, E మరియు E’లు తప్పనిసరిగా ఏకీభవించాలి అని తెలుస్తుంది.

= EC = E’C

ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి AE = EC మరియు AE’ = E’C అగును.
ఇది అసంభవం. కనుక E మరియు E’ లు ఏకీభవించును. కనుక DE’ అనునది రేఖయే.
∴ DE||BC అగును. సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది త్రిభుజాలు సరూపాలా ? సరూపాలయితే ఏ నియమం ఆధారంగానో వివరించండి. త్రిభుజాల సరూపకతను గుర్తులనుపయోగించి రాయండి. (పేజీ నెం. 207)

(i)

సాధన.
పటంలో ∠G = ∠I మరియు ∠F= ∠K (ఏకాంతర కోణాలు) ∠FHG = ∠IHK (శీర్షాభిముఖ కోణాలు) కో.కో.కో. నియమం ప్రకారము ∆GFH ~ ∆IKH.

(ii)

సాధన.
\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\);

\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}} \neq \frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{MN}}\)
∴ ∆POR మరియు ∆LMN లు సరూపాలు కావు.

(iii)

సాధన.
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణం )
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{5}\) = 1;

\(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{AY}}=\frac{2}{2}\) = 1

⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{AY}}\)
∴ ∆ABC మరియు ∆AXYలు భు.కో.భు. సరూపకత నియమం ప్రకారం సరూపకాలు.
∴ ∆ABC ~ ∆AXY.

(iv)

సాధన.
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణం)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{8}{5 \frac{1}{3}}=\frac{8}{\frac{16}{3}}=8 \times \frac{3}{16}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AJ}}=\frac{3}{2}\);

\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AJ}}\) భు.కో. భు సరూపకత నియమం నుండి ∆ABC ~ ∆APJ
∴ ∆ABC మరియు ∆APJ లు సరూపాలు.

(v)

సాధన.
∠A = ∠A = 90°
∠AOQ = ∠POB (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠Q = ∠P (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AOQ మరియు ∆BOPలు కో.కో..కో సరూపకత నియమము ప్రకారము సరూపాలు.
∆AOQ ~ ∆BOP.

(vi)

సాధన.
∠A = ∠Q
∠B = ∠P
∠C = ∠R
∆ABC మరియు ∆QPR లు కో.కో.కో సరూపకత నియమం ప్రకారం సరూపకాలు. ∆ABC ~ ∆QPR.

(vii)

సాధన.

∴ ∆ABC మరియు ∆PORలు సరూపకాలు కావు.

(viii)

సాధన.
∠A = ∠P (దత్తాంశము)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\);

\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \neq \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}\)
∴ ∆ABC మరియు ∆PQRలు సరూపకాలు కావు.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది త్రిభుజాలు ఎందుకు సరూపాలో వివరించి అపుడు ‘x’ విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 207)

(i)

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQR మరియు ∆LTS లలో ∠Q = ∠T, ∠R = ∠S
కో.కో. సరూపకత నియమము ప్రకారము
∆PQR ~ ∆LTS
కావున \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{LT}}{\mathrm{TS}}\)

∴ \(\frac{5}{3}=\frac{x}{4.5}\)
⇒ x = \(\frac{5 \times 4.5}{3}\) = 5 × 1.5 = 7.5

(ii)

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC మరియు ∆PQC లలో
∠B = ∠Q [∵ ∠PQC = 180° – 110° = 70° రేఖీయ ద్వయము]
∠C = ∠C [∵ ఉమ్మడి కోణాలు]
(క్రో.కో. సరూపకత నియమం ప్రకారం)
∴ ∆ABC ~ ∆PQC వాటి అనురూప భుజాల కొలతల నిష్పత్తి సమానం కావున
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QC}}\)

\(\frac{5}{6}=\frac{x}{3}\)
x = \(\frac{5}{6}\) × 3
⇒ x = \(\frac{5}{2}\) = 2.5

(iii)

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC మరియు ∆ECD లలో ∠A = ∠E (దత్తాంశము)
∠ACB = ∠ECD [∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
∴ ∆ABC ~ ∆EDC (కో.కో. నియమం ప్రకారం)
కావున, \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{DC}}\)
\(\frac{24}{22} \equiv \frac{14}{x}\)
24x = 22 × 14
⇒ x = \(\frac{5 \times 4.5}{3}\) = 7.5

(iv)

సాధన.
దత్తాంశము : ∆RAB మరియు ∆RST లలో
∠R = ∠R (ఉమ్మడి కోణం ) ∠A = ∠S S08W ∠B = ∠T [AB || ST కావున ఏర్పడిన సదృశ్య కోణాల జత]
∴ ∆RAB ~ ∆RST [∵ కో.కో.కో సరూపకత నియమం]
\(\frac{\mathrm{RA}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{ST}}\)
\(\frac{6}{9}=\frac{8}{x}\)
⇒ x = \(\frac{9 \times 8}{6}\) = 12.

(v)

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQR మరియు ∆PMN లలో
∠P = ∠P (ఉమ్మడి కోణము)
∠Q = ∠M [∵ MN || QR కావున ఏర్పడిన సదృశ్య కోణాల జత]
∠R = ∠N
∴ ∆POR ~ ∆PMN [∵ కో.కో.కో సరూపకత నియమం]
\(\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{MN}}\)

\(\frac{4+x}{15}=\frac{4}{5}\)
4 + x = \(\frac{4}{5}\) × 15
4 + x = 12
∴ x = 12 – 4 = 8.

(vi)

సాధన.
దత్తాంశము : ∆XYZ మరియు ∆XBA లలో
∠X= ∠X [∵ ఉమ్మడి కోణము]
∠B = ∠Y ∠A = ∠Z (∵ AB || ZY కావున ఏర్పడిన సదృశ్య కోణాల జత]
∴ ∆XYZ ~ ∆XBA [∵ కో.కో.కో సరూపకత]
\(\frac{\mathrm{XZ}}{\mathrm{YZ}}=\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{BA}}\)

7.5 + x = \(\frac{x}{12}\) × 18
2(7.5 + x) = 3x
15 + 2x = 3x
15 = 3x – 2x
⇒ 15 = x .

(vii)

సాధన.
దత్తాంశము :
గమనిక: ∠A = ∠E కో.కో.కో సరూపకత నియమం ప్రకారం ∆ABC ~ ∆EDC అగును.
మరియు \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{EC}}\)
\(\frac{1.6}{x}=\frac{1.5}{15}\)
x = \(\frac{15 \times 1.6}{1.5}\) = 16

(viii)

సాధన. ∆ABC మరియు ∆BEC లలో
∠C = ∠C (ఉమ్మడి కోణం)
∠ABC = ∠BEC (దత్తాంశము)
∴ ∆ABC ~ ∆BEC (కో.కో. నియమం)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\)

⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\)

x = \(\frac{4.5}{6}\) × 4 = 3 సెం.మీ.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
త్రిభుజముల సరూపత అనేది మిగిలిన బహుభుజుల సరూపత కంటే ఏ విధంగా భిన్నమైనదో మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 203)
సాధన.
రెండు త్రిభుజాలలో రెండు అనురూప కోణాలు సమానమైన . ఆ రెండు త్రిభుజాలు . సరూపాలు అవుతాయి. కానీ బహుభుజులలో ఈ నియమము సంతృప్తినివ్వదు మరియు సరిపడదు. త్రిభుజాలలో వాటి అనురూప కోణాలు సమానమైన = వాటి అనురూప భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి. కానీ ‘బహుభుజుల పరంగా ఇది సరిపడదు.

సిద్ధాంతములు:

ప్రశ్న 1.
త్రిభుజాల సరూపకతకు కో.కో.కో. నియమము : రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉంటే, వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానంగా ఉంటాయి. (అనుపాతంలో ఉంటాయి). ఇంకా ఆ రెండు భుజాలు సరూప త్రిభుజాలు అవుతాయి. (పేజీ నెం. 204)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC, ∆DEF లలో ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
సారాంశము : \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\)
నిర్మాణము : AB = DP మరియు AC = DQ అగునట్లు DE మరియు DF లపై , వరుసగా బిందువులు P మరియు Q లను గుర్తించుము. P, Q లను కలుపుము.

ఉపపత్తి : ∆ABC = ∆DPQ (భు.కో.భు. నియమం నుండి)
దీని నుండి ∠B = ∠P = ∠E మరియు PQ || EF (ఉప ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి)
∴ \(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{QF}}\) (ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి)
అనగా \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) (ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి)
అదే విధంగా \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\) కాబట్టి
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\)

ప్రశ్న 2.
త్రిభుజాల సరూపకతకు భు.భు.భు.. నియమము : రెండు త్రిభుజాలలో, ఒక త్రిభుజములోని భుజాలు వేరొక త్రిభుజములోని భుజాలకు అనుపాతములో వున్న ఆ రెండు త్రిభుజాలలోని అనురూప కోణాలు సమానము ఇంకా ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు. (పేజీ నెం. 205)
సాధన.
దత్తాంశము : \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{FD}}\) (< 1) అగునట్లు ∆ABC మరియు ∆DEF లను తీసుకొనుము.
సారాంశము : ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

నిర్మాణము :. AB = DP మరియు AC = DQ అగునట్లు DE, DF లపై వరుసగా P మరియు Q బిందువులను గుర్తించుము, P, Q లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : \(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{QF}}\) మరియు PQ || EF (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
కావున ∠P = ∠E మరియు ∠Q = ∠F (ఆసన్న కోణాలు)
∴ \(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{EF}}\)
కానీ \(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\)
కానీ BC = PQ (నిర్మాణం నుండి)
∆ABC ≅ ∆DPQ (భు.భు.భు. సరూపకత నుండి)
కావున ∠A = ∠D, ∠B = ∠E మరియు ∠C = ∠F (కో.కో.కో. సరూపకత నుండి).

ప్రశ్న 3.
త్రిభుజాల సరూపకతకు భు.కో.భు. నియమము :
ఒక త్రిభుజములోని ఒక కోణము, వేరొక త్రిభుజములోని ఒక కోణమునకు సమానమై, ఈ కోణాలను కలిగి ఉన్న ∠A = ∠D భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు. (పేజీ నెం. 206)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC మరియు ∆DEF లలో \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) (< 1) మరియు ∠A = ∠D.

సారాంశము : ∆ABC ~ ∆DEF
నిర్మాణము : AB = DP మరియు AC = DQ అగునట్లు DE, DF భుజాలపై వరుసగా P, Q, బిందువులను గుర్తించుము. P, Q లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : PQ || EF మరియు ∆ABC = ∆DPO
కావున ∠A = ∠D, ∠B = ∠P, ∠C = ∠Q
∴ ∆ABC ~ ∆DEF.

సిద్ధాంతములు:

ప్రశ్న 1.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి వర్గమునకు సమానము. (పేజీ నెం. 211)
సాధన:

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆PQR
సారాంశము :
= \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\right)^{2}\)
నిర్మాణము : AM ⊥ BC మరియు PN ⊥ QR గీయండి.

ఉపపతి :
= \(\frac{\mathrm{BC} \times \mathrm{AM}}{\mathrm{QR} \times \mathrm{PN}}\) ………………. (1)
∆ABM మరియు ∆PQN లలో :
∠B = ∠Q (∵ ∆ABC ~ ∆POR)
∠M = ∠N = 90°
∆ABM ~ ∆PON (కో.కో.సరూపనియమం)
\(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\) ……… (2)
ఇంకా ∆ABC ~ ∆PQR (దత్తాంశము)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}\) …….. (3)
∴
(1), (2), (3) ల నుండి = \(\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}\)
సమీకరణము (3) నుండి

సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
∆ACBలో, ∠C = 90°, CD ⊥ AB అయిన \(\frac{B C^{2}}{A C^{2}}=\frac{B D}{A D}\) అని నిరూపించండి., (పేజీ నెం. 218)
సాధన.

∆ADC మరియు ∆CDB లు సరూపాలు

\(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{AC}^{2}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}\)
(సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము]

ప్రశ్న 2.
15 మీటర్ల పొడవుగల ఒక నిచ్చెన రోడ్డుపై ఒక వైపున ఉన్న భవనంపై నేల నుండి 9 మీటర్ల ఎత్తున గల కిటికీని తాకింది. నిచ్చెన అడుగుభాగమును అదే ప్రదేశములో ఉంచి, నిచ్చెనను రోడ్డుకు అవతలి వైపున ఉన్న భవనముకు ఆనించగా అది 12 మీ. ఎత్తున గల కిటికీని తాకింది. అయిన ఆ రోడ్డు వెడల్పును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.
A మరియు D లు రోడ్డుపై ఒకవైపునున్న కిటికీలు. పైథాగరస్ సిద్దాంతం నుండి
AC² = AB² + BC²
15² = 9² + BC²
BC² = 225 – 81.
BC² = √144 = 12

అదే విధముగా CD² = DE² + CE²
⇒ 15² = 12² + CE²
⇒ CE² = 225 – 144
⇒ CE² = 181 = 9
రోడ్డు వెడల్పు (BE) = BC + CE = 12 + 9 = 21 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో AD ⊥ BC అయిన AB² + CD² = BD² + AC² అని చూపండి. (పేజీ నెం. 219)

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABCE, AD ⊥ BC.
సారాంశము : AB² + CD² = BD² + AC²
ఉపపతి : ∆ABD ఒక లంబకోణ త్రిభుజము AB² – BD² = AD² ………… (1)
∆ACD ఒక లంబకోణ త్రిభుజము AC² – CD² = AD²
(1) మరియు (2) ల నుండి
AB² – BD² = AC² – CD²
AB² + CD² = BD² + AC² ……….. (2)

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజము మూడు భుజాల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యలైనపుడు కనీసము ఒకటి తప్పనిసరిగా సరిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకు ? మీ మిత్రులతో మరియు ఉపాధ్యాయులతో చర్చించుము. (పేజీ నెం. 215)
సాధన.
దత్తాంశము : ఒక లంబకోణ త్రిభుజపు మూడు భుజాల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యలు.
సారాంశము : ఒక భుజము తప్పనిసరిగా సరిసంఖ్య.
సందర్భం – (i) : త్రిభుజ భుజాలు 3, 4, 5 లు పైథాగోరియన్ త్రికములు అయిన వాటిలో ‘4’ ఒక . సరిసంఖ్య కావున ఇచ్చిన ప్రవచనము సత్యము.
సందర్భం – (ii) : భుజాల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యల గుణకాలైన 3n, an మరియు 5n లు అగును. మరియు ‘4n’ ఒక సరిసంఖ్య.
∴ ఇచ్చిన ప్రవచనము సత్యము.
సందర్భం – (iii) : ఒక భుజము కొలత ‘n’ బేసి సంఖ్య అయిన n \(\frac{\mathrm{n}^{2}+1}{2}\) మరియు \(\frac{\mathrm{n}^{2}-1}{2}\) భుజాల కొలతలు అగును.
అదే విధముగా \(\frac{\mathrm{n}^{2}+1}{2}\) ఒక సరి సంఖ్య.
[∵ n = 2k + 1 ,
n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1
n² – 1 = 4k² + 4k + 1 – 1
= 4 (k² + k)
= 2 (2k² + 2k) సరిసంఖ్య
∴ ఏ సందర్భంలోనైనా ఇచ్చిన ప్రవచనము సత్యము.

సిద్ధాంతములు :

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో, లంబకోణము కలిగిన శీర్షము నుండి కర్ణానికి లంబము గీసిన, ఆ లంబానికి ఇరువైపులా ఏర్పడిన త్రిభుజాలు, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపాలు మరియు అవి ఒకదానికొకటి కూడా సరూపాలు. (పేజీ నెం. 215)
సాధన.
ఉపపత్తి : ABCలంబకోణ త్రిభుజములో, లంబకోణము కలిగిన శీర్షము B.
B నుండి కర్ణము AC కి గీసిన లంబము BD.
∆ADB మరియు ∆ABCలలో ∠A = ∠A

మరియు ∠ADB = ∠ABC (ప్రతికోణం 909)
కావున ∆ADB ~ ∆ABC (కో.కో.కో సరూపకత) ……….. (1)
అదేవిధంగా, ∆BDC ~ ∆ABC (కో.కో.కో సరూపకత) ……. (2)
(1), (2) ల నుండి లంబము BD కి ఇరువైపులా నున్న త్రిభుజాలు మొత్తము త్రిభుజము ∆ABC కి సరూపాలు.
ఇంకా ∆ADB ~ ∆ABC
∆BDC ~ ∆ABC
కావున ∆ADB ~ ∆BDC.

ప్రశ్న 2.
బౌధాయన సిద్ధాంతము (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము) : ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము పొడవు యొక్క వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం. (పేజీ నెం. 215)
సాధన.
దత్తాంశము : లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో లంబ కోణాన్ని కలిగిన శీర్షము B.
సారాంశము : AC² = AB² + BC²
నిర్మాణము : BD ⊥ AC గీయుము.
ఉపపత్తి : ∆ADB ~ ∆ABC

(భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి)

⇒ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
AD. AC = AB²
ఇంకా, ∆BDC ~ ∆ABC ……… (1)
⇒ \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
CD. AC = BC² ……….. (2)
(1), (2) లను కలుపగా
AD . AC + CD. AC = AB² + BC²
AC (AD + CD) = AB² + BC²
AC . AC = AB² + BC²
[AC² = AB² + BC²].

ప్రశ్న 3.
పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యయము : –
ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము పొడవు యొక్క వర్గము మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవుల వర్గాల మొత్తానికి సమానమైన, మొదటి భుజానికి ఎదురుగా ఉండే కోణము లంబకోణము. (పేజీ నెం. 216)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABCలో AC² = AB² + BC²
సారాంశము : ∠B = 90° .

నిర్మాణము : PQ = AB మరియు QR = BC అగునట్లు Q వద్ద లంబకోణము ఉండే లంబకోణ త్రిభుజము POR ని నిర్మించుము.
ఉపపత్తి : ∆PQR లో PR² = PQ² + QR²
(∠Q = 90° కావున పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారం)
PR² = AB² + BC² (నిర్మాణము నుండి) ………………. (1)
కానీ AC² = AB² + BC² (దత్తాంశము) …………… (2)
AC = PR (1), (2) ల నుండి
ఇప్పుడు ∆ABC, ∆PQR లలో
AB = PQ (నిర్మాణము)
BC = QR (నిర్మాణము)
AC = PR (నిరూపితము).

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
∆ABC లో, DE || BC మరియు \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{5}\) AC = 5.6 సె.మీ. అయిన AE విలువ ఎంత? (పేజీ నెం. 199)
సాధన
∆ABC లో, DE || BC
⇒ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుండి)
కానీ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{5}\), కావున \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{3}{5}\)
AC = 5.6 సెం.మీ. మరియు AE : EC = 3:5
\(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}-\mathrm{AE}}=\frac{3}{5}\)
\(\frac{\mathrm{AE}}{5.6-\mathrm{AE}}=\frac{3}{5}\) (అడ్డగుణకారం చేయగా)
5AE = (3 × 5.6) – 3AE
8AE = 16.8
AE = \(\frac{16.8}{8}\) = 2.1 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో LM || AB AL = x – 3, AC = 2x, BM = x – 2 మరియు BC = 2x + 3 అయిన X విలువను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 200)

సాధన.
∆ABC లో, LM || AB
⇒ \(\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MC}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుండి) x -3
\(\frac{x-3}{2 x-(x-3)}=\frac{x-2}{(2 x+3)-(x-2)}\)
\(\frac{x-3}{x+3}=\frac{x-2}{x+5}\)
(x – 3) (x + 5) = (x – 2) (x + 3) (అడ్డగుణకారం చేయగా)
x² + 2x – 15 = x² + x – 6
⇒ 2x – 15 = x – 6
∴ x = 9.

ప్రశ్న 3.
ఒక చతుర్భుజము ABCD లో కర్ణములు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించుకొనును మరియు \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) అయిన అది ఒక ట్రెపీజియం అని చూపండి. (పేజీ నెం. 200)
సాధన.
దత్తాంశము : చతుర్భుజము ABCD లో, \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)
సారాంశము : ABCD ఒక ట్రెపీజియం.
నిర్మాణము : ‘0’ బిందువు గుండా ABకి సమాంతరంగా రేఖను గీసిన అది DA ను బిందువు ‘X’ వద్ద ఖండించును.
ఉపపత్తి : ∆DABలో, XO || AB (నిర్మాణము నుండి)
⇒ \(\frac{\mathrm{DX}}{\mathrm{XA}}=\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{OB}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుండి)

\(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XD}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}\) ………….. (1)

కొని \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) (దత్తాంశము)
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}\) …………. (2)
(1) (2) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XD}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}\)
∆ADC లో, \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XD}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}\) అగునట్లు XO రేఖ ఉన్నది.
⇒ XO || DC (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము విపర్యయము నుండి)
⇒ AB || DC చతుర్భుజము ABCDలో, AB || DC
⇒ ABCD ఒక ట్రెపీజియం (నిర్వచనం ప్రకారం) కావున రుజువు చేయబడినది.

ప్రశ్న 4.
ట్రెపీజియం ABCD లో, AB || DC E మరియు F బిందువులు వరుసగా EF || AB ను కుట్లు సమాంతరం కాని భుజాలు AD, BC లపై ఉన్నవి. అయిన \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) అని చూపండి. (పేజీ నెం. 201)
సాధన.
A, C బిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన రేఖాఖండము EF ను G వద్ద ఖండించినది.
AB || DC మరియు EF || AB (దత్తాంశము)
⇒ EF || DC (ఒకే రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖలు సమాంతరాలు)

∆ADC లో, EG || DC
కావున \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{GC}}\)
(ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత ప్రకారం) ……… (1)
అదే విధంగా, ∆CAB లో, GF || AB
\(\frac{\mathrm{CG}}{\mathrm{GA}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FB}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత ప్రకారం)
అనగా \(\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{GC}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\) ………. (2)
(1) (2) ల నుండి, \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\).

ప్రశ్న 5.
1.65మీ. పొడవు గల ఒక వ్యక్తి నీడ పొడవు 1.8 మీ. అదే సమయంలో, ఒక దీపస్తంభము 5.4 మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన, ఆ దీపస్తంభము పొడవు ఎంత ? (పేజీ నెం. 208)

సాధన.
∆ABC మరియు ∆PCR లో
∠B = ∠Q = 90°
∠C = ∠R (AC || PR, ఏ సమయంలోనైనా సూర్యకిరణాలు సమాంతరాలు)
∆ABC ~ ∆PQR (కో కో సరూపనియమం ప్రకారం)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\) (సరూపత్రిభుజాల అనురూపభుజాలు)
\(\frac{1.65}{\mathrm{PQ}}=\frac{1.8}{5.4}\)

PQ = \(\frac{1.65 \times 5.4}{1.8}\) = 4.95 మీ.
ఆ దీప స్తంభము ఎత్తు 4. 95 మీ.

ప్రశ్న 6.
ఒక గోపురము నుండి 87.6 మీటర్ల దూరములో నేలపై అద్దము ఊర్ధ్వ దిశలో ఉంచబడినది మరియు ఉంచిన ఆ అద్దములో ఒక వ్యక్తి గోపుర శిఖరమును చూసెను. వ్యక్తి అద్దము నుండి 0.4 మీ. దూరములో ఉన్నాడు. అతని కంటి చూపు భూమి నుండి 1.5 మీటర్ల ఎత్తులో నున్న ఆ గోపురము ఎత్తును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 209)

సాధన.

∆ABC మరియు ∆EDC లో ∠ABC = ∠EDC = 90° ∠BCA = ∠EDC (పతన కోణము మరియు పరావర్తన కోణములు సమానము)
∆ABC ~ ∆EDC (కోకో సరూప నియమం)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}\)

h = \(\frac{1.5 \times 87.6}{0.4}\) = 328.5 మీ.
కావున, ఆ గోపురము ఎత్తు 328. 5 మీ.

ప్రశ్న 7.
గోపాల్ తన ఇంటి హాలు ప్రక్క అపార్టుమెంటు పై అంతస్థులోని కిటికీ వద్ద నిలుచునే వ్యక్తులకు ఎప్పుడూ. కనిపిస్తూ ఉంటోందని ఆందోళన పడుతున్నాడు. దాని కొరకు వారికి కనిపించకుండా ఉండేటందుకు తన ఇంటి ప్రహరీ. గోడ ఎత్తు పెంచాలనుకొన్నాడు. కొలతలు పటంలో ఈయబడ్డాయి. ప్రహరీ గోడను ఎంత ఎత్తు వరకు నిర్మించాలి? (పేజీ నెం. 209)
సాధన.

∆ABD మరియు ∆ACE లలో ∠B = ∠C = 90° ∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణం)
∆ABD ~ ∆ACE (కో కో సరూప నియమం)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CE}}\)
⇒ \(\frac{2}{8}=\frac{\mathrm{BD}}{1.2}\)

BD = \(\frac{2 \times 1.2}{8}=\frac{2.4}{8}\) = 0.3 మీ.
ప్రహరీగోడ కావలసిన ఎత్తు = 1.5 మీ + 0.3 మీ
1.8మీ ఎత్తు నిర్మించిన, ప్రహరీగోడ హాలు ప్రక్క ఇంటి వారికి కన్పించకుండా చేయవచ్చును.

ప్రశ్న 8.
రెండు సరూపత్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానమైన అవి సర్వసమాన త్రిభుజాలని చూపండి. (పేజీ నెం. 213)
సాధన.
∆ABC ~ ∆PQR

(∵ వైశాల్యాలు సమానము కావున)
\(\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}\right)^{2}\) = 1
కావున AB² = PQ²
BC² = QR²
AC² = PR²
దీని నుండి మనకు AB = PQ
BC = QR
AC = PR లభిస్తుంది
∆ABC = ∆POR, (భు.భు.భు. సర్వసమాన నియమం)

ప్రశ్న 9.
∆ABC ~ ∆DEF మరియు వాటి వైశాల్యాలు వరుసగా 64 చ.సెం.మీ మరియు 121 సెం.మీ. ఇంకా EF = 15.4 సెం.మీ అయిన BC కొలతను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 213)
సాధన.

BC = \(\frac{8 \times 15.4}{11}\) = 11.2 సెం.మీ.

ప్రశ్న 10.
ట్రెపీజియం ABCDలో AB || DC. ఇంకా కర్ణములు AC, BD లు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి. AB = 2CD అయిన త్రిభుజములు AOB మరియు COD ల వైశాల్యముల నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 213)
సాధన.

ట్రెపీజియం ABCD లో AR || DC. ఇంకా AB = 2CD.
∆AOB, ∆COD లలో ∠AOB = ∠COD (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠OAB = ∠OCD (ఏకాంతర కోణాలు)
∆AOB ~ ∆COD (కో.కో సరూప నియమం)

∴ ∆AOB వైశాల్యము : ∆COD వైశాల్యము = 4 : 1.

ప్రశ్న 11.
25మీ. పొడవుగల ఒక నిచ్చెన, గోడపై 20 మీ. ఎత్తున గల ఒక కిటికీని తాకుచున్నది. అయిన ఆ నిచ్చెన అడుగుభాగము నేలపై గోడ నుండి ఎంత దూరములో ఉన్నది ? (పేజీ నెం. 217)
సాధన.

∆ABC లో ∠C = 90°.
⇒AD² = AC² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
25² = 20² + BC²
BC² = 625 – 400 = 225
BC = √225 = 15మీ.
కావున నిచ్చెన అడుగుభాగము నేలపై గోడ నుండి 15మీ. దూరములో ఉన్నది.

ప్రశ్న 12.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో శీర్షము ‘A’ వద్ద లంబకోణము కలదు. BL మరియు CM లు దీనిలో మధ్యగతరేఖలు అయిన 4(BL² + CM²) = 5BC² అని చూపండి. (పేజీ నెం. 217)
సాధన.

∆ABC లో ∠A = 90° BL, CM లు మధ్యగతరేఖలు
∆ABC లో, BC² = AB² + AC² …………. (1) (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
∆ABL లో, BL² = AL² + AB²
కానీ BL² = \(\left(\frac{\mathrm{AC}}{2}\right)^{2}\) + AB² (∵ AC మధ్యబిందువు L కావున)
BL² = \(\frac{\mathrm{AC}^{2}}{4}\) + AB²
∴ 4BL² = AC² + 4AB² …………… (2)
∆CMA లో, CM² = AC² + AM²
CM² = AC² + \(\left(\frac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2}\)
(∴ AB మధ్య బిందువు M కావున)
CM² = AC² + \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{4}\)
4CM² = 4AC² + AB² ………….. (3)
(2), (3) లను కలుపగా ‘
4(BL ²+ CM²) = 5(AC² + AB²)
∴ 4(BL² + CM²) = 5BC² (1) నుండి.

ప్రశ్న 13.
దీర్ఘచతురస్రం ABCD అంతరంలో ఏదైనా బిందువు ‘O’ ఆయితే OB² + OD² = OA²+ OC² అని చూపండి. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.

‘0’ బిందువు గుండా BC కి సమాంతరంగా ఒక రేఖను గీసిన అది AB ని P వద్ద, DC ని Q వద్ద తాకును. అపుడు PQ || BC.
∴ PQ ⊥ AB మరియు PQ ⊥ DC.
(∵ ∠B = ∠C = 90°) కావున ∠BPQ = 90° & ∠CQP = 90°
∴ BPQC మరియు APQD లు రెండు దీర్ఘచతురస్రాలు.
∆OPB నుండి OB² = BP² + O² ……… (1)
అదేవిధంగా ∆OQD నుండి OD² = OQ² + DQ² ……… (2)
∆OQC నుండి OC² = OQ² + CQ² ……………. (3)
∆OAP నుండి OA² = AP² + OP²
(1), (2) లను కలుపగా
OB² + OD² = BP² + OP² + OQ² + DQ²
= CQ² + OP² + OQ² + AP² (∵ BP = CQ మరియు DQ = AP)
= CQ² + OQ² + OP² + AP²
= OC² + OA² ((3), (4) ల నుండి)

ప్రశ్న 14.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము, దాని అతి చిన్న భుజము రెట్టింపు కన్నా 6మీ. ఎక్కువ. మూడవ భుజము కర్ణము కన్నా 2 మీ. తక్కువ. అయిన ఆ త్రిభుజ భుజాలను కనుగొనుము: . (పేజీ నెం. 219)
సాధన.
అతి చిన్న భుజమును x మీ. అనుకొనుము.
అపుడు కర్ణము = (2x + 6) మీ. మరియు
మూడవ భుజము = (2x + 4) మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి, (2x + 6)² = x² + (2x + 4)²
4x² + 24x + 36 = x² + 4x² + 16x + 16
x² – 8x – 20 = 0
⇒ (x – 10) (x + 2) = 0
⇒ x = 10 లేదా x = – 2
x అనేది త్రిభుజ భుజము కావున రుణవిలువ కానేరదు.
∴ x = 10
అందువలన, ఆ త్రిభుజభుజాలు 10 మీ., 26 మీ. మరియు 24 మీ.

ప్రశ్న 15.
లంబకోణ త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము శీర్షము ‘C’ వద్ద కలదు. BC = a, CA = b, AB =’c అనుకొనుము. ఇంకా శీర్షము ‘C’ నుండి AB కి గీసిన లంబము పొడవు p అయిన (పేజీ నెం. 219)
(i) pc = ab
(ii) \(\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\) అని చూపండి.
సాధన.

(i) CD ⊥ AB మరియు CD = p.
∆ABC వైశాల్యము \(\frac{1}{2}\) × AB × CD = \(\frac{1}{2}\) cp
అలాగే ∆ABC వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × BC × AC = \(\frac{1}{2}\) ab
\(\frac{1}{2}\) cp = \(\frac{1}{2}\) ab
⇒ cp = ab ……. (1)

(ii) లంబకోణ త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము శీర్షము ‘C’ వద్ద కలదు.
కావున AB² = BC² + AC²
c² = a² + b²
\(\left(\frac{a b}{p}\right)^{2}\) = a² + b²
⇒ \(\frac{1}{p^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{(a b)^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో, \(\frac{Q T}{P R}=\frac{Q R}{Q S}\) మరియు ∠1 = ∠2 అయిన ∆PQS ~ ∆TQR అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : \(\frac{Q T}{P R}=\frac{Q R}{Q S}\) మరియు ∠1 = ∠2
సారాంశము : ∆PQS ~ ∆TQR
ఉపపత్తి : ∆PQR లో ∠1 = ∠2 కావున PQ = PR .
[∵ సమాన కోణాల ఎదుటి భుజాలు సమానము)
∴ \(\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}\)
∆TQR లో PS రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలు QT మరియు QR లను సమాన నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కావున PS || TR. [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము]
∆PQS మరియు ∆TORలలో ∠QPS = ∠QTR
[∵ ∠P, ∠T లు ఆసన్నకోణాలు]
∠QSP = ∠QRT [PS || TR కావున ∠S, ∠Rలు ఆసన్న కోణాలు]
∠Q = ∠Q (ఉమ్మడి కోణము)
∴ ∆PQS ~ ∆TQR (కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి).

ప్రశ్న 2.
రవి ఎత్తు 1.82 మీ. అతని ఇంటి పెరడులోని ఒక చెట్టు ఎత్తును తెలుసుకోవాలనుకున్నాడు. చెట్టు మొదలు నుండి నేలపై 12.20 మీటర్ల దూరము నడువగా అతని నీడ, చెట్టు నీడ చివరి భాగములు ఖచ్చితముగా ఏకీభవించినాయి. అతను ఇపుడు ఆ నీడ చివరి భాగము నుండి 6.10 మీ. దూరములో నిలబడి వున్నచో, ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?

సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం, రవి ఎత్తు = BC = 1.82 మీ.
చెట్టు అడుగు నుండి రవి వద్దకు గల దూరము = BD = 12.2 మీ.
రవి నీడ పొడవు = BC = 6.10 మీ.
DE చెట్టును సూచిస్తుంది.
పటం నుండి ∆ABC ~ ∆ADE కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}\)
[సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
\(\frac{6.10}{6.10+12.20}=\frac{1.82}{\mathrm{DE}}\)
DE = \(\frac{1.82 \times 18.30}{6.10}\)
∴ చెట్టు యొక్క ఎత్తు = 5.46 మీ.

ప్రశ్న 3.
సమాంతర చతుర్భుజము ABCD లో, AB పై ” ఏదేని బిందువు ‘F’. దాని కర్ణము AC, DP ని బిందువు ( వద్ద ఖండించును. అయిన CQ × PQ = QA × QD అని చూపండి.
సాధన. ”

దత్తాంశము : ▱ ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. AB పై P ఒక బిందువు. DP మరియు AC లు Q వద్ద ఖండించుకొనును.
సారాంశము : CQ · PQ = QA · QD.
ఉపపత్తి : ∆CQD, ∆AQP లలో ∠QCD = ∠QAP, ∠CQD = ∠AQP
∴∠ODC = ∠OPA (∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మం )
ఆ విధముగా ∆CQD ~ ∆AQP (కో-కో-కో సరూప నియమం నుండి)
∴ \(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{QP}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AP}}\) [∵ సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
\(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{QP}}\)
CQ . PQ = QA . QD [Q.E.D].

ప్రశ్న 4.
∆ABC మరియు ∆AMPలు రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు. వీటిలో లంబకోణములు వరుసగా B మరియు M బిందువుల వద్ద కలవు. అయిన
(i) ∆ABC – ∆AMP
(ii) \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\) అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC; ∠B = 90°
∆AMP; ∠M = 90°
సారాంశము : (i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\)
ఉపపత్తి : (i) ∆ABC మరియు ∆AMP లలో ∠B = ∠M [ప్రతి కోణం 90°] ∠A = ∠A [ఉమ్మడి కోణం]
కావున ∠C = ∠P [త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మం నుండి]
∆ABC ~ ∆AMP (కో-కో-కో- సరూపకత నుండి)

(ii) ∆ABC ~ ∆AMP (నిరూపించబడినది)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}\) [సరూప త్రిభుజాల, అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
∴ \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\).

ప్రశ్న 5.
ఒక విమానము విమానాశ్రయము నుండి, గంటకు 1000 కి.మీ. వేగముతో ఉత్తరము వైపు ప్రయాణించు చున్నది. అదే సమయంలో వేరొక విమానము అక్కడి నుండి గంటకు 1200 కి.మీ. వేగముతో పడమర వైపు ప్రయాణించుచున్నది. అయిన 12 గంటల తరువాత ఆ రెండు విమానాల మధ్యదూరము ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశము : ఉత్తర దిశలో మొదటి విమాన వేగము = 1000 కి.మీ./గం.
పడమర దిశలో రెండవ విమాన వేగము = 1200 కి.మీ./గం.
దూరము = వేగము × కాలము
1\(\frac{1}{2}\) గం||లో మొదటి విమానము ప్రయాణించిన దూరము = 1000 × 1\(\frac{1}{2}\)
= 1000 × \(\frac{3}{2}\) = 1500 కి.మీ.
1\(\frac{1}{2}\) గం||లో రెండవ విమానము ప్రయాణించిన దూరము = 1200 × \(\frac{3}{2}\) = 1800 కి.మీ.

పటం నుండి ∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము మరియు ∠A = 90°.
∴ AB² + AC² = BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
1500² + 1800² = BC²
BC² = 2250000 + 3240000
BC² = 5490000
BC = /5490000 = 100 × √549 m
= 100 × 23.43 = 2243కి.మీ.

ప్రశ్న 6.
లంబకోణ త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము C వద్ద కలదు. P మరియు Q బిందువులు వరుసగా AC మరియు CB లపై బిందువులు ఇంకా ఆ భుజాలను అవి 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించును. అయిన
(i) 9AQ² = 9AC² + 4BC²
(ii) 9BP² = 9BC² + 4AC²
(iii) 9(AQ² + BP²) = 13AB² అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC లో ∠C = 90°
సారాంశము : (i) 9AQ² = 9AC² + 4BC²
(ii) 9BP² = 9BC² + 4AC²
(iii) 9(AQ² + BP²) = 13AB²
ఉపపత్తి : ∆ACQ లో ∠C = 90° కావున AC² + CQ² = AQ² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
AQ² = AC² + (\(\frac{1}{2}\)BC)²
[BC ని Q బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. CQ = \(\frac{2}{3}\) BC]
AQ² = AC² + \(\frac{4}{9}\) BC²
AQ² = \(\frac{9 A C^{2}+4 B C^{2}}{9}\)
⇒ 9AQ² = 9AC² + 4BC² ……… (i)
CA పై P బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు విధముగా తీసుకున్నట్లయితే
BP² = PC² + BC²
BP² = (\(\frac{2}{3}\) AC)² + BC²
BP² = \(\frac{4}{9}\) AC² + BC²
BP² = \(\frac{4 \mathrm{AC}^{2}+9 \mathrm{BC}^{2}}{9}\)
9BP² = 4AC² + 9BC²

(ii) ∆PCB లో PB² = PC² + BC² [పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
PB² = (\(\frac{1}{3}\) AC)² + BC²
PB² = \(\frac{\mathrm{AC}^{2}}{9}\) + BC²
PB² = \(\frac{\mathrm{AC}^{2}+9 \mathrm{BC}^{2}}{9}\)
⇒ 9PB² = 9BC² + AC²

(iii) ∆ABC లో AC² + BC² = AB² [పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
(i) మరియు (ii) ల నుండి
9AQ² = 9AC² + 4BC²
9BP² = 9BC²+ 4AC² (కూడగా)
9AQ² + 9BP² = 13AC² + 13BC²
9 (AQ² + BP²) = 13 (AC² + BC²)
9 (AQ² + BP²) = 13 AB².

SCERT AP Board 8th Class Physical Science Solutions 12th Lesson నక్షత్రాలు – సౌరకుటుంబం Textbook Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Physical Science 12th Lesson Questions and Answers నక్షత్రాలు – సౌరకుటుంబం

8th Class Physical Science 12th Lesson నక్షత్రాలు – సౌరకుటుంబం Textbook Questions and Answers

అభ్యసనాన్ని మెరుగుపరుచుకోండి

ప్రశ్న 1.
మీ ఊరిలో “ప్రాంతీయ మధ్యాహ్న వేళ” సమయం తెల్పండి. (AS1)
జవాబు:
ప్రాంతీయ మధ్యాహ్న వేళ సమయం తెలుసుకొనుట :

1. ఒక మీటరు కంటే ఎక్కువ పొడవున్న ఒక కర్రను తీసుకోండి.
2. చదునుగా ఉండే చెట్టు, ఇండ్ల నీడపడకుండా ఉండే స్థలాన్ని ఎంచుకోండి.
3. ఈ స్థలంలో కర్ర యొక్క ఒక మీటరు భాగము కచ్చితంగా భూమిపై ఉండే విధంగా కర్రను పాతండి.
4. ఉదయం 9 గంటలకు కర్ర నీడ చివరి బిందువు వద్ద ఒక ఇనుపమేకును గుచ్చి, నీడ పొడవును మరియు సమయాన్ని నమోదు చేయండి.
5. ఈ విధంగా ఉదయం 9 గంటల నుండి సాయంత్రం 4 గంటల వరకు ప్రతి 15 నిమిషాలకు ఒకసారి నీడ పొడవు మరియు సమయాన్ని నమోదు చేయండి.
6. కర్ర యొక్క అతి తక్కువ పొడవైన నీడను, నమోదైన సమయాన్ని ప్రాంతీయ మధ్యాహ్న వేళ సమయం అంటారు. దీనిని మీ ప్రాంతంలో కనుగొని నమోదు చేయండి. దానినే మీ ప్రాంతీయ మధ్యాహ్న వేళ అంటారు.

ప్రశ్న 2.
ఈ కింది సందర్భాలలో మీకు రాత్రివేళ ఆకాశంలో చంద్రుడు ఎక్కడ కనిపిస్తాడు? (AS1)
ఎ) పౌర్ణమికి రెండు రోజుల ముందు
బి) అమావాస్యకు 2 రోజుల తర్వాత
జవాబు:
ఎ) పౌర్ణమికి రెండు రోజుల ముందు రాత్రివేళ ఆకాశంలో చంద్రుడు తూర్పువైపు కనిపిస్తాడు.
బి) అమావాస్యకు రెండు రోజుల తరువాత రాత్రివేళలో ఆకాశంలో చంద్రుడు పడమర వైపు కనిపిస్తాడు.

ప్రశ్న 3.
ప్రతి పౌర్ణమి రోజున లేదా ప్రతి అమావాస్య రోజున గ్రహణాలు ఎందుకు ఏర్పడవు? (AS1)
జవాబు:

1. ప్రతి పౌర్ణమి రోజున లేదా ప్రతి అమావాస్య రోజున గ్రహణాలు ఏర్పడవు.
2. ఎందుకంటే చంద్రుని కక్ష్యతలము భూమి కక్ష్యతలానికి 59, 9′ కోణంలో ఉంటుంది.
3. భూ కక్ష్య తలానికి బాగా పైనగాని, కిందగాని చంద్రుడు ఉన్నప్పుడు గ్రహణాలు ఏర్పడవు.

ప్రశ్న 4.
ధృవ నక్షత్రం ఎక్కడ కనిపిస్తుంది? (AS1)
జవాబు:

1. ధృవ నక్షత్రం భూభ్రమణ అక్షానికి సూచిగా పైవైపు కనిపిస్తుంది.
2. ఆకాశంలో ఉత్తరం వైపుగల సప్తర్షి మండలంలోని చతుర్భుజ ఆకారంలో గల నాలుగు నక్షత్రాలలో బయటివైపున ఉన్న రెండు నక్షత్రాలను కలుపుతూ ఒక రేఖను ఊహించండి. ఈ రెండు నక్షత్రాల మధ్య దూరానికి సుమారు 5 రెట్ల దూరంలో ఊహించిన రేఖ పైనే ధ్రువ నక్షత్రం ఉంటుంది.
3. ఆకాశంలో ఉత్తరం వైపు గల “m” ఆకారంలో గల శర్మిష్టరాశి యొక్క మధ్యలో గల నక్షత్రం నుండి తిన్నగా ఊహించిన రేఖ ధ్రువ నక్షత్రాన్ని చూపుతుంది.

ప్రశ్న 5.
ధృవ నక్షత్రానికి, ఇతర నక్షత్రాలకి మధ్య భేదమేమి? (AS1)
జవాబు:

ప్రశ్న 6.
ధృవ నక్షత్రం కదలకుండా ఉన్నట్లు ఎందుకు కనబడుతుంది? (AS1)
జవాబు:

1. ధృవ నక్షత్రం భూభ్రమణ అక్షానికి ఉత్తరం వైపు సూటిగా పై వైపున ఉంటుంది.
2. కాబట్టి ధృవ నక్షత్రం కదలకుండా ఉన్నట్లు కనబడుతుంది.

ప్రశ్న 7.
కొన్ని నక్షత్ర రాశుల పేర్లు తెలపండి. (AS1)
జవాబు:
1) సప్తర్షి మండలం 2) శర్మిష్టరాశి 3) ఒరియన్ 4) లియో (సింహరాశి) 5) ఏరిస్ (మేషం) 6) టారస్ (వృషభం) 7) జెమిని (మిథునం) 8) కేన్సర్ -(కర్కాటక) 9) వర్గో (కన్య) 10) లిబ్రా’ (తుల) 11) స్కార్పియో (వృశ్చికము) 12) శాగిటారియస్ (ధనుస్సు) 13) కేఫ్రికార్న్ (మకరము) 14) ఎక్వేరియస్ (కుంభం) 15) ఫిస్బేస్ (మీనము).

ప్రశ్న 8.
మన సౌరకుటుంబంలో ఎన్ని గ్రహాలున్నాయి? అవి ఏవి? (AS1)
జవాబు:

1. మన సౌరకుటుంబంలో 8 గ్రహాలు ఉన్నాయి.
2. అవి 1) బుధుడు (Mercury) B) శుక్రుడు (Venus) 3) భూమి (Earth) 4) కుజుడు లేదా అంగారకుడు (Mars) 5) గురుడు లేదా బృహస్పతి (Jupiter) 6) శని (Saturn) 7) వరుణుడు (Uranus) 8) ఇంద్రుడు (Neptune)

ప్రశ్న 9.
క్రింది గ్రహాల వివరాల పట్టికను చూసి అన్నిటికంటే చిన్న గ్రహాన్ని, పెద్ద గ్రహాన్ని తెలపండి. (AS1)

జవాబు:
అతిచిన్న గ్రహం – బుధుడు
అతిపెద్ద గ్రహం – బృహస్పతి

ప్రశ్న 10.
సౌర కుటుంబంలో 8 గ్రహాలలోకి భూమి యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటి? (AS1)
జవాబు:

1. భూమిపై జీవం పుట్టడానికి, మనగలగడానికి ప్రత్యేక పర్యావరణ పరిస్థితులు.
2. సూర్యునికి తగిన దూరంలో ఉండటం, నీరు, వాతావరణం ఉండటం, వాటిని ఆవరించి ఓజోన్ పొర ఉండటం వంటివి భూమిపై జీవాన్ని నిలిపి ఉంచాయి.
3. రాత్రి – పగళ్ళు ఏర్పడటం.
4. జీవరాశికి కావలసిన విధంగా ఋతువులు ఏర్పడటం.
5. భూమిపై సహజ వనరులు ఉండటం.

ప్రశ్న 11.
పగలు – రాత్రులు ఎలా ఏర్పడతాయి? (AS1)
జవాబు:
సూర్యునికి అభిముఖంగా భూమి తనచుట్టూ తాను తిరగడం వల్ల పగలు – రాత్రులు ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 12.
నక్షత్రాలు కదులుతున్నాయా? నీవెలా చెప్పగలవు? (AS1)
జవాబు:

1. నక్షత్రాలు కదలవు.
2. భూమి తన అక్షం చుట్టూ పడమర నుండి తూర్పుకు భ్రమణం చేయడం వలన నక్షత్రాలు తూర్పు నుండి పడమరకు కదులుతున్నట్లు కనిపిస్తాయి. కాని. నిజానికి నక్షత్రాలు కదలవు.

ప్రశ్న 13.
భూమి యొక్క దక్షిణార్ధగోళంలో ఉన్నవారు ధృవ నక్షత్రాన్ని చూడగలరా? ఎందుకు? (AS1)
జవాబు:

1. భూమి యొక్క దక్షిణార్ధ గోళంలో ఉన్నవారు ధృవ నక్షత్రాన్ని చూడలేరు.
2. ఎందుకంటే ధృవ నక్షత్రం భూమి యొక్క ఉత్తరార్ధ గోళంలో భూభ్రమణ అక్షానికి పైవైపు ఉంటుంది.

ప్రశ్న 14.
కృత్రిమ ఉపగ్రహాల వలన మన నిత్య జీవితంలో ఏమేమి ఉపయోగాలున్నాయి? (AS1)
జవాబు:

1. దూరదర్శన్ (T.V), రేడియో ప్రసారాలలో ఉపయోగిస్తారు.
2. వాతావరణ సూచనలు, సమాచారాన్ని ముందుగా అందజేస్తాయి.
3. టెలిఫోన్, టెలిగ్రామ్, సెల్ ఫోన్, ఫ్యాన్ మరియు నెట్ ద్వారా సమాచారం అందించడం.
4. సహజ వనరుల, భూగర్భజల నిక్షేపాలున్న ప్రాంతాల గుర్తింపు.
5. రిమోట్ సెన్సింగ్ ద్వారా అడవి వనరుల సర్వే.
6. వ్యవసాయ పంటల అభివృద్ధి, సాగునేలల రకాల విభజన
7. ఉపగ్రహాలను, గ్రహాలను, నక్షత్రాలను, గెలాక్సీలను ‘పరిశోధించడానికి ఉపయోగిస్తారు.
8. ఏదైనా ఒక దేశపు సైనిక విభాగంపై గూఢచర్యము చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 15.
శుక్రుడు ఎందుకు కాంతివంతమైన గ్రహం? (AS1)
జవాబు:

1. శుక్ర గ్రహం ఉపరితలంపై దట్టమైన కార్బన్ డై ఆక్సెడ్ వాయువులతో వాతావరణం ఏర్పడి ఉంటుంది.
2. శుక్ర గ్రహంపై పడిన సూర్యకాంతిలో 75% కాంతిని పరావర్తనం చెందించడం వలన శుక్ర గ్రహం కాంతివంతమైనదిగా కనబడుతుంది.

ప్రశ్న 16.
మీరు చంద్రుని మీదకు వెళ్లాలనుకుంటున్నారా? ఎందుకు? (AS2)
జవాబు:
నేను చంద్రుని పైకి వెళ్లాలనుకుంటున్నాను. తను

1. చంద్రునిపై ఉన్న శిలలను అధ్యయనం చేయడానికి.
2. చంద్రునిపై నీటివనరులు ఉన్నవో లేవో అన్వేషించుటకొరకు.
3. చంద్రునిపై జీవుల మనుగడకు అనువైన వాతావరణం ఉందో లేదో తెలుసుకొనుటకు.
4. కృత్రిమ ఉపగ్రహాలను ఉపయోగించుకునే రీతిలో చంద్రున్ని ఉపయోగించవచ్చునో లేదో పరిశోధించుటకు.
5. చంద్రుని అంతర నిర్మాణాన్ని తెలుసుకొనుటకు.
6. చంద్రునిపై రాత్రి పగళ్ళు ఏర్పడుతాయా? రాత్రి పగళ్ళు ఎంతకాలం ఉంటాయి? అని తెలుసుకొనుటకు.
7. చంద్రునిపై ఏ జీవరాశి అయినా ఉందా లేదా తెలుసుకొనుటకు.
8. చంద్రునిపై నుండి భూమిని పరిశీలించుటకు.

ప్రశ్న 17.
భూమిలో నిటారుగా పాతిన కర్ర యొక్క నీడలను పరిశీలించినపుడు రమ్య మదిలో అనేక ప్రశ్నలు ఉదయించాయి. ప్రశ్నలేమై ఉండవచ్చును? (AS2)
జవాబు:

1. కర్ర నీడ ఏర్పడుటకు కారణం ఏమిటి?
2. కర్ర నీడ పొడవు ఎందుకు మారుతుంది?
3. కర్ర నీడలలో అతి తక్కువ పొడవు గల నీడ ఏర్పడే సమయాన్ని ఏమంటారు?
4. కర్ర నీడలలో అతి తక్కువ పొడవు గల నీడ సూచించే దిశలు ఏమి తెలియజేస్తాయి?
5. కర్ర యొక్క నీడల ద్వారా నీడ గడియారము తయారుచేయవచ్చా?

ప్రశ్న 18.
రాత్రివేళ ఆకాశాన్ని పరిశీలిస్తున్నప్పుడు మీకు ఏం సందేహాలు కలిగాయి? (AS2)
జవాబు:

1. చంద్రుడు ఉపగ్రహం అయినప్పటికి ఎందుకు కాంతివంతంగా కనబడుతున్నాడు?
2. నక్షత్రాలు ఎందుకు మిణుకుమిణుకు మంటున్నాయి?
3. నక్షత్రాలు ఎందుకు కదులుతున్నట్లు కనబడుతున్నాయి?
4. ధృవ నక్షత్రం ఎందుకు కదలుటలేదు?
5. రోజురోజుకు చంద్రుని ఆకారం ఎందుకు మారుతుంది?
6. అమావాస్య రోజున చంద్రుడు రాత్రివేళ ఎందుకు కనిపించడు?

ప్రశ్న 19.
మన వద్ద గడియారం లేకున్నా పగటి వేళలో కొన్ని వస్తువుల నీడను బట్టి మనం సమయాన్ని చెప్పవచ్చు. మరి రాత్రివేళ సమయాన్ని ఎలా చెప్పగలమో మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. (AS2)
జవాబు:
రాత్రివేళ ధృవ నక్షత్రం సహాయంతో సమయాన్ని తెలియజేస్తారు.

ప్రశ్న 20.
మీరు ఇప్పుడున్న ప్రదేశంలో ఉత్తర – దక్షిణ దిక్కులను ఎలా కనుగొంటారు? (AS3)
జవాబు:

1. ఒక మీటరు కంటే ఎక్కువ పొడవున్న ఒక కర్రను తీసుకోండి.
2. చదునుగా ఉండే, చెట్లు, ఇండ్ల నీడ పడకుండా ఉండే ప్రదేశాన్ని ఎంచుకోండి.
3. ఈ స్థలంలో కర్ర యొక్క ఒక మీటరు భాగము కచ్చితంగా భూమిపై ఉండేవిధంగా కర్రను పాతండి.
4. ఉదయం 11 గంటలకు కర్ర నీడ చివరి బిందువు వద్ద ఒక ఇనుపమేకును గుచ్చి, నీడ పొడవును మరియు సమయాన్ని నమోదు చేయండి.
5. ఈ విధంగా ఉదయం 11 గంటల నుండి సాయంత్రం 4 గంటల వరకు ప్రతి 15 నిమిషాలకు ఒకసారి నీడ పొడవును మరియు సమయాన్ని నమోదు చేయండి.
6. కర్ర యొక్క అతి తక్కువ పొడవైన నీడను గుర్తించండి.
7. ఈ కర్ర నీడ ఎల్లప్పుడు ఆ ప్రాంతాల ఉత్తర – దక్షిణ దిక్కులను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 21.
ఇప్పుడు ఆకాశంలో సూర్యుడు ఉత్తర – దక్షిణ దిక్కులలో ఎటు కదులుతున్నాడు? (AS3)
జవాబు:
ఈ కింది గమనికను బట్టి జవాబు వ్రాయండి.

గమనిక :

1. డిసెంబరు 22 నుండి జూన్ 21 వరకు దక్షిణం నుండి ఉత్తరం వైపు కదులుతూ ఉంటాడు.
2. జూన్ 21 నుండి డిసెంబరు 22 వరకు ఉత్తరం నుండి దక్షిణం వైపు కదులుతూ ఉంటాడు.

ప్రశ్న 22.
ఆకాశంలో మీరు ఏయే గ్రహాలను చూశారు.? ఎప్పుడు చూశారు? (AS3)
జవాబు:

1. ఆకాశంలో నేను శుక్ర గ్రహాన్ని చూశాను.
2. కొన్నిసార్లు సూర్యాస్తమయం తర్వాత చూశాను.
3. కొన్నిసార్లు సూర్యోదయం కన్నా ముందు చూశాను.

ప్రశ్న 23.
ఈ రోజు పగలు – రాత్రుల నిడివి ఎంత? గడచిన వారం రోజుల వార్తాపత్రికలు సేకరించి పగలు, రాత్రులు నిడివులను పరిశీలించి ఇప్పుడు ఎండాకాలం రాబోతుందో, శీతాకాలం రాబోతుందో తెలపండి. (AS4)
జవాబు:
01-03-2014 శనివారం రోజున పగలు గంటలు 11 : 49 నిమిషాలు రాత్రి గంటలు 12 : 11 నిమిషాలు

1. పగలు నిడివి పెరుగుతుంటే ఎండాకాలం రాబోతుంది అని తెలుస్తుంది.
2. పగలు నిడివి తగ్గుతుంటే శీతాకాలం రాబోతుంది అని తెలుస్తుంది.
   (గమనిక : ఈనాడు వార్తా పత్రిక నుండి సూర్యోదయం, సూర్యాస్తమయం ల నుండి పగలు – రాత్రుల నిడివిని కనుగొని ఈ ప్రశ్నకు జవాబు రాయాలి).

ప్రశ్న 24.
మీ జిల్లా గుండా పోయే అక్షాంశంపైన ఉన్న ఇతర జిల్లాలు ఏవి? (AS4)
జవాబు:

1. మా తూర్పు గోదావరి జిల్లా గుండా పోయే అక్షాంశ డిగ్రీ (ఉత్తరం) 17°.
2. మా జిల్లా గుండా పోయే అక్షాంశం పైన ఉన్న ఇతర జిల్లాలు :
   1) తూర్పు గోదావరి,
   2) విశాఖపట్నం,
   3) రంగారెడ్డి (తెలంగాణ),
   4) హైదరాబాద్ (తెలంగాణ),
   5) నల్గొండ (తెలంగాణ).

సూచన : మిగిలిన జిల్లాల వారు ఈ ప్రశ్నకు జవాబు ఈ క్రింది పట్టిక ఆధారంగా రాయండి.

ప్రశ్న 25.
వార్తా పత్రికల నుండి, అంతర్జాలం నుండి అంతరిక్ష వ్యర్థాలపై సమాచారాన్ని సేకరించండి. వాటివల్ల కలిగే దుష్ప్రభావాలను వివరిస్తూ ఒకచార్టును తయారుచేసి మీ పాఠశాల ప్రకటనల బోర్డులో ప్రదర్శించండి. (AS4)
జవాబు:
1. ఆస్టరాయిడ్స్ :
కుజుడు, బృహస్పతి మధ్యగల ఆస్టరాయిడ్లు ఒక్కొక్కసారి కూపర్ బెల్ట్ నుండి బయటకు వచ్చి గ్రహాల మధ్య తిరుగుతుంటాయి. ఏదైనా గ్రహం గురుత్వాకర్షణ పరిధిలోనికి వచ్చినపుడు, గ్రహ వాతావరణంలోకి ప్రవేశిస్తాయి. వాటి వాతావరణంలో జరిగే ఘర్షణ వల్ల మండిపోతాయి లేదా వాతావరణం లేని గ్రహం మీద అయితే ఢీకొనడం వల్ల అక్కడ గోతులు ఏర్పడతాయి. ఈ విధంగా భూమి మీద జరిగితే ప్రాణ, ఆస్తినష్టం జరుగుతుంది.
ఉదా : సిరిస్

2. తోకచుక్కలు :
తోకచుక్క తన కక్ష్యలో ప్రయాణం చేస్తూ సూర్యునికి సమీపంగా వచ్చినపుడు దానిలో ఉండే మంచు, ధూళి, సూర్యుని వేడివల్ల విడిపోయి గ్రహాల మీద పడిపోతుంది.
ఉదా : షూమేకర్ – లేవి – 9 (టెంపుల్ టటిల్ తోకచుక్క) 1994 జులైలో బృహస్పతిని ఢీ కొట్టింది. ఇదే కనుక భూమిని ఢీకొట్టి ఉంటే విపరీతమైన పరిణామాలు ఏర్పడేవి.

3. రేడియేషన్ :
రేడియేషన్ విశ్వవ్యాప్తమైనది. సూర్యకిరణాలు, ఉష్ణకిరణాలు, మైక్రోవేవ్స్, రేడియో తరంగాలు, కాస్మిక్ కిరణాలు, రేడియోధార్మిక లోహాల నుండి వెలువడే వికిరణాలను రేడియేషన్ అంటారు. అంతరిక్షంలో నుండి ” స్వాభావికముగా వెలువడే వికిరణాలతో బాటు మానవ కార్యకలాపాల వల్ల స్వాభావిక రేడియోధార్మిక లేదా కృత్రిమ రేడియోధార్మికత వలన పర్యావరణము కలుషితమై జీవరాశులకు హాని కలిగిస్తాయి. రేడియేషన్ అధికంగా సోకడం వలన జన్యు ఉత్పరివర్తన ఏర్పడి కేన్సర్ వ్యాధులు సోకుతాయి.

4. మానవ చర్యల వలన :
మానవుడు ప్రయోగించిన అనేక కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు, అంతరిక్ష నౌకలు కాలం తీరిపోయిన తరువాత పనిచేయక అంతరిక్షంలో ఉండిపోతాయి. వాటివల్ల పనిచేస్తున్న అంతరిక్ష నౌకలు, ఉపగ్రహాలకు తరచుగా ప్రమాదాలు జరుగుతాయి.

ప్రశ్న 26.
నీడ గడియారాన్ని తయారుచేయండి. తయారీ విధానం వివరించండి. (కృత్యం – 3) (AS5)
జవాబు:

1. ఒక కార్డుబోర్డు ముక్కను తీసుకొని ప్రక్క పటంలో చూపినట్లు ABC లంబకోణ త్రిభుజాన్ని తయారుచేయాలి.
2. దీనిలో 4 వద్ద లంబకోణం , C వద్ద ప్రాంతపు అక్షాంశ డిగ్రీకి సమానమైన కోణం ఉండేలా తీసుకొనవలెను.
3. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు చెక్క ముక్క మధ్యలో కార్డు బోర్డుతో చేసిన నీడ గడియారం త్రిభుజం యొక్క BC భుజం ఆనునట్లు నిలువుగా ఉంచవలెను.
4. త్రిభుజంలో BC భుజం వెంట కాగితాన్ని కొంతమేరకు అంటించి, మిగిలిన కాగితాన్ని చెక్కముక్కకు అంటించి పటంలో చూపినట్లు చెక్కపై త్రిభుజం నిలబడేట్లు చేయాలి.
5. దీనిని రోజంతా సూర్యుని వెలుగు తగిలే విధంగా ఉన్న చదునైన ప్రదేశంలో త్రిభుజం యొక్క భుజం BC లో B ఉత్తర దిశలో, C దక్షిణ దిశలో ఉండే విధంగా అమర్చాలి.
6. ఉదయం 9 గంటలకు AC భుజం యొక్క నీడ చెక్కపై ఎక్కడ వరకు పడిందో గమనించి రేఖను గీయాలి.
7. ఈ రేఖ వెంట 9 గంటలు అని సమయాన్ని నమోదు చేయాలి.
8. ఈ విధంగా ప్రతి గంటకు తప్పనిసరిగా నీడను పరిశీలించి రేఖలు గీయాలి మరియు సమయాన్ని నమోదు చేయాలి.
9. ఈ విధంగా సూర్యాస్తమయం వరకు రేఖలు గీసి’ సమయాలను నమోదు చేయాలి.
10. దీనిని ఉపయోగించి ప్రతిరోజూ సమయాన్ని తెలుసుకోవచ్చును.

ప్రశ్న 27.
చంద్రుని యొక్క వివిధ ఆకారాలను (చంద్రకళలను) గీసి వాటి, పౌర్ణమి నుండి అమావాస్య వరకు ఆకారాల క్రమంలో అమర్చండి. (AS5)
జవాబు:

ప్రశ్న 28.
సప్తర్షి మండలం నుండి ధృవ నక్షత్రం ఏ దిశలో ఉంటుందో బొమ్మ గీచి చూపండి. (AS5)
జవాబు:

ప్రశ్న 29.
సౌర కుటుంబం బొమ్మ గీయండి. (AS5)
జవాబు:

ప్రశ్న 30.
మన పూర్వీకులు విశ్వం గురించి అనేక విషయాలు తెలుసుకున్న పద్ధతిని నీవెలా అభినందిస్తావు? (AS6)
జవాబు:

1. చంద్రగ్రహణ సమయంలో చంద్రునిపై పడే భూమి నీడను చూసి భూమి గుండ్రంగా ఉందని భావించినారు.
2. నావికులు సముద్రంపై ప్రయాణిస్తూ ఎన్నో రోజుల ప్రయాణం తర్వాత తిరిగి వారు బయలుదేరిన ప్రదేశానికి చేరుకున్నారు. దీని వలన భూమి గోళాకారంగా ఉందని భావించారు.
3. సముద్రతీరాన నిలబడి చూసేవారికి సముద్రంలో సుదూరం నుండి తీరం చేరే ఓడల యొక్క పొగ మొదట కనబడటం, తర్వాత కొంత సేపటికి పొగగొట్టం కనబడడం, మరికొంత సేపటికి ఓడ పైభాగం తర్వాత ఓడ మొత్తం కనబడటం వంటి అంశాల ద్వారా భూమి ఆకారాన్ని తెలుసుకోవడానికి సహాయపడింది.
   విశ్వానికి కేంద్రంలో సూర్యుడున్నాడని మిగిలిన అంతరిక్ష వస్తువులన్నీ దాని చుట్టూ పడమర నుండి తూర్పు వైపుగా తిరుగుతున్నాయని కోపర్నికస్ తెలిపాడు.
4. భూమి తనచుట్టూ తాను తిరగడం వల్ల రాత్రి, పగళ్ళు ఏర్పడతాయని మన పూర్వీకులు నిర్ధారించారు.
5. గెలీలియో టెలిస్కోపు ద్వారా శుక్రగ్రహ ఉపగ్రహాలు ప్రజలకు చూపించాడు.
6. భూ పరిభ్రమణం వలన ఋతువులు ఏర్పడతాయని తెలియజేసినారు.
7. మన పూర్వీకులు చంద్రగ్రహణం, సూర్యగ్రహణం ఎలా ఏర్పడతాయో వివరించగలిగినారు.
8. ఉత్తరాయణం, దక్షిణాయణం ఎలా ఏర్పడతాయో వివరించగలిగినారు.
9. చంద్రకళలు ఏర్పడుటను వివరించగలిగినారు.
   పై విషయాలన్నీ మన పూర్వీకులు ఏ సాధనలు లేకుండా, తెలుసుకున్న పద్ధతిని మనం అభినందించవలసిన అవసరం ఎంతగానో ఉన్నది.

ప్రశ్న 31.
వివిధ అవసరాల కొరకు మనం భూమిచుట్టూ అనేక కృత్రిమ ఉపగ్రహాలను ప్రయోగించాం. వాటివల్ల వచ్చే రేడియేషన్ ప్రభావం జీవవైవిధ్యంపై ఎలా ఉంటుంది? (AS7)
జవాబు:
కృత్రిమ ఉపగ్రహాలను ఉపయోగించడం వల్ల వచ్చే రేడియేషన్ ప్రభావం :

1. రేడియేషన్ జీవుల యొక్క నాడీ వ్యవస్థపై ప్రభావాన్ని చూపుతుంది.
2. రేడియేషన్ జీవుల యొక్క ప్రత్యుత్పత్తిపై ప్రభావాన్ని చూపుతుంది.
3. రేడియేషన్ వలన క్యాన్సర్ వ్యాధికి గురి అవుతారు.
4. రేడియేషన్ మానవుల రక్తప్రసరణ వ్యవస్థపై పనిచేస్తుంది.
5. అయనీకరణం చెందితే రేడియేషన్ క్యాన్సర్, థైరాయిడ్ గ్రంథి మరియు బోన్‌మ్యారో పై ఎక్కువ ప్రభావం చూపి వ్యాధి – తీవ్రతను పెంచుతుంది.
6. రేడియేషన్ ద్వారా చర్మవ్యాధులు వస్తాయి.

ప్రశ్న 32.
సౌర కుటుంబంలోని ఎనిమిది గ్రహాలలో భూమిపైన మాత్రమే జీవమున్నది. ఈ భూమిని, దాని వాతావరణాన్ని మనం ఎలా సంరక్షించాలో తెలపండి. (AS7)
జవాబు:
1. నేల కాలుష్యం సంరక్షణ :
అ) భారీ పరిశ్రమల నుండి విడుదలైన విష వ్యర్థ పదార్థాలను ప్రత్యేకంగా సూచించబడిన స్థలాలలో పెద్ద పెద్ద గుంతలు తీసి అందులోకి పంపించాలి.
ఆ) థర్మల్ పవర్ కేంద్రంలోని ప్లెయాష్ ను ఇటుకలు, సిమెంట్ హాలో బ్రిక్స్ తయారీలో ఉపయోగించాలి.
ఇ) రసాయన ఎరువులకు బదులుగా జైవి ఎరువులు ఉపయోగించాలి.
ఈ) గృహ సంబంధ చెత్తతో కంపోస్ట్ ఎరువులు తయారు చేయాలి.

2. గాలి కాలుష్యం కాకుండా సంరక్షణ :
అ) వాయువు కాలుష్య కారకాలైన పదార్థాలను ఇంధనాల నుండి తొలగించాలి.
ఆ) వాహనాల ఇంజన్లను ఎప్పటికప్పుడు సర్వీసింగ్ చేయించి మంచి కండీషన్లో ఉంచాలి.
ఇ) వాహనాలలో పెట్రోల్ కు బదులుగా ఎల్ పిజి, సిఎజ్ గ్యా న్లు వాడాలి.
ఈ) పరిశ్రమల నుండి వెలువడే వాయువులను ఎత్తైన చిమ్మీల ద్వారా వాతావరణంలోని పై భాగములోకి పంపించాలి.

3. జలకాలుష్యం కాకుండా సంరక్షణ :
అ) మురుగు నీటిని శుద్ధి చేసిన తరువాత ఆ నీటిని జలాశయానికి లేదా నదులలోకి పంపించాలి.
ఆ) పరిశ్రమల నుండి వెలువడే విషపూరిత వ్యర్థ పదార్థాలను పూర్తిగా శుద్ధి చేసిన తర్వాతనే బయటకు పంపించే ఏర్పాట్లు చేయాలి.
ఇ) మురుగునీటిని వ్యవసాయానికి ఉపయోగించుకోవాలి.

4. శబ్ద కాలుష్యం కాకుండా సంరక్షణ :
అ) వాహనాలకు సైలెన్సర్లను ఉపయోగించాలి.
ఆ) వాహనాలకు తక్కువ శబ్ద తీవ్రత గల హారన్లను ఉపయోగించాలి.
ఇ) ఫ్యాక్టరీలకు, సినిమా హాళ్ళకు సౌండ్ ఫ్రూఫ్ గోడలతో నిర్మించాలి.
ఈ) ఆరాధన స్థలాలు, ఊరేగింపులో, శుభకార్యాలలో లౌడ్ స్పీకర్లను సాధ్యమైనంత తక్కువ స్థాయిలో ఉపయోగించాలి.

5. అడవుల సంరక్షణ :
అ) అడవులలో ఏవైనా కొన్ని చెట్లు అవసరాల కొరకు కొట్టి వేసినపుడు అంతకంటే ఎక్కువ చెట్లను నాటాలి. దీనివలన సమతుల్యత కాపాడబడుతుంది.
ఆ) ప్రజలను చైతన్య పరిచి చెట్లను నరకకుండా కాపాడాలి.
ఇ) తగ్గుతున్న అడవి విస్తీర్ణం కంటే పెంచే అడవి విస్తీర్ణం ఎక్కువగా ఉండే విధంగా కార్యక్రమాలు చేపట్టాలి.

పరికరాల జాబితా

నిటారు మీటరు పొడవైన కర్ర, నీడ గడియారం నమూనా, గ్రహణాలను ప్రదర్శించే చిత్రాలు, గ్రహాలకు సంబంధించిన చిత్రాలు.

8th Class Physical Science 12th Lesson నక్షత్రాలు – సౌరకుటుంబం Textbook InText Questions and Answers

ఆలోచించండి – చర్చించండి

8th Class Physical Science Textbook Page No. 162

ప్రశ్న 1.
ఒక మీటరు పొడవు ఉండునట్లు పాతిన కర్ర యొక్క నీడ కదిలిన మార్గాన్ని గుర్తించడానికి ఉదయం నుండి సాయంత్రం వరకు అమర్చిన “పెగ్” లను పరిశీలించండి. వీటిని బట్టి సూర్యోదయం నుండి సూర్యాస్తమయం వరకు ఆకాశంలో సూర్యుని స్థానం ఎలా మారుతుందో చెప్పగలరా?
జవాబు:
ఆకాశంలో సూర్యుని స్థానం దీర్ఘవృత్తాకార మార్గంలో తూర్పు నుండి పడమరకు మారుతున్నట్లు కనబడుతుంది.

8th Class Physical Science Textbook Page No. 164

ప్రశ్న 2.
సూర్యుడు ఉత్తర దిక్కుకో లేక ,దక్షిణ దిక్కుకో కదులుతున్నట్లు ఎందుకు కనిపిస్తుంది?
జవాబు:

1. సూర్యుని చుట్టూ భూమి ఒకే తలంలో ఒకే మార్గంలో పరిభ్రమిస్తూ ఉంటుంది. దీనినే కక్ష్యతలం అంటారు.
2. కక్ష్యతలానికి, భూమి భ్రమణాక్షం లంబంగా ఉండకుండా 23.5° కోణంలో వంగి ఉంటుంది.
3. భూభ్రమణాక్షం 23.5° కోణంలో వంగి సూర్యుని చుట్టూ పరిభ్రమించడం వలన సూర్యుడు ఉత్తర దిక్కుకో లేదా – దక్షిణ దిక్కుకో కదులుతున్నట్లు కనిపిస్తుంది.

8th Class Physical Science Textbook Page No. 189

ప్రశ్న 3.
చంద్రునిపై కొన్ని కట్టడాలను నిర్మించి అందులో నివసించేందుకు ఏర్పాట్లు చేయాలని శాస్త్రవేత్తలు యోచిస్తున్నారు. అక్కడ గాలి లేదని మీకు తెలుసు. మరి అక్కడ నివసించడం ఎలా సాధ్యం?
జవాబు:
చంద్రునిపై సంచరించి వచ్చిన నీల్ ఆర్న్ స్టాంగ్ లాంటి వ్యోమగాములు తమవీపుపై ఆక్సిజన్ సిలిండర్లను మోసుకునిపోయి, అక్కడ సంచరించి తిరిగి వచ్చారు. అలాగే పర్వతారోహకులు ఉన్నత శిఖరాలను అధిరోహించడానికి తమతో ఆక్సిజన్ సిలిండర్లు తీసుకునిపోతారు. ఇలాంటి ఏర్పాట్లను చేయడంగాని, లేదా మొత్తం కట్టడానికి ఆక్సిజన్ అందించే పైపులైన్లుగాని ఏర్పరిస్తే తప్ప చంద్రుని ఉపరితలం మీద మానవులు నివసించడం సాధ్యం కాదు.

8th Class Physical Science Textbook Page No. 161

ప్రశ్న 4.
ఆకాశంలో మనం చూడగలిగే అంతరిక్ష వస్తువులు ఏవి?
జవాబు:
ఆకాశంలో మనం చూడగలిగే అంతరిక్ష వస్తువులు : 1) సూర్యుడు, 2) చంద్రుడు, 3) నక్షత్రాలు, 4) గ్రహాలు.

ప్రశ్న 5.
నక్షత్రాలు కదులుతున్నాయా?
జవాబు:
కదులుతున్నవి.

ప్రశ్న 6.
మనకు రాత్రివేళలో కనబడిన నక్షత్రాలే తెల్లవారుజామున కనబడతాయా?
జవాబు:
కనబడవు.

ప్రశ్న 7.
మీకు వేసవికాలంలో రాత్రిపూట కనబడిన నక్షత్రాలే చలికాలంలో కూడా కనబడతాయా?
జవాబు:
కనబడవు.

ప్రశ్న 8.
చంద్రుని ఆకారం ఎలా ఉంటుంది? అది ప్రతిరోజూ ఎందుకు మారుతుంటుంది? మరి సూర్యుని ఆకారం మారదేం?
జవాబు:

1. చంద్రునికి స్వయం ప్రకాశం లేదు. సూర్యకాంతి చంద్రునిపై పడి పరావర్తనం చెందడం వల్ల చంద్రుడు కాంతివంతగా కనిపిస్తాడు.
2. అయితే చంద్రుడికి ఆకాశంలో తను కనిపించిన ప్రదేశంలో తిరిగి కనిపించడానికి ఒక రోజు పైన సుమారు 50 నిమిషాలు ఎక్కువ సమయం పడుతుంది. అందువలన చంద్రుడు మనకు సంపూర్ణ వృత్తాకారం నుండి అసలు కనిపించని స్థితికి వివిధ ఆకృతులలో కనిపిస్తాడు.
3. కాని సూర్యుడు అలా కాక సరిగా ఒక నిర్ణీత ప్రదేశంలో సరిగ్గా 24 గంటల తర్వాత కనిపిస్తాడు. పైగా స్వయం ప్రకాశం గలవాడు. కనుక సూర్యుడు ఎల్లప్పుడూ పరిపూర్ణంగా కనిపిస్తాడు.

ప్రశ్న 9.
మిట్టమధ్యాహ్నం వేళ సూర్యుడు ఖచ్చితంగా ఎక్కడ ఉంటాడు?
జవాబు:
మిట్టమధ్యాహ్నం వేళ సూర్యుడు ఖచ్చితంగా నడినెత్తిన ఉంటాడు.

ప్రశ్న 10.
ఉదయం నుండి సాయంత్రం వరకూ ఒక చెట్టునీడలో ఎందుకు మార్పు వస్తుంది?
జవాబు:
సూర్యకిరణాలు ఆ చెట్టుపై ఏటవాలుగా పడినప్పుడు నీడ పొడవుగాను, సూర్యుడు ఆకాశం మధ్యలో ఉంటే నీడ పొట్టిగానూ, సూర్యునిస్థానం బట్టి మారుతుంది.

8th Class Physical Science Textbook Page No. 165

ప్రశ్న 11.
ఆకాశంలో చంద్రుని కదలికను మీరెప్పుడైనా పరిశీలించారా?
జవాబు:
పరిశీలించాను.

ప్రశ్న 12.
ప్రతిరోజూ చంద్రుడు ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో ఒకే చోట కనిపిస్తాడా?
జవాబు:
కనిపించడు.

ప్రశ్న 13.
ప్రతిరోజూ చంద్రుని ఆకారం ఒకే విధంగా ఉంటుందా?
జవాబు:
ఉండదు.

8th Class Physical Science Textbook Page No. 169

ప్రశ్న 14.
చంద్రునిపై మనం శబ్దాలను వినగలమా? ఎందుకు?
జవాబు:

1. చంద్రునిపై మనం శబ్దాలను వినలేము.
2. శబ్ద ప్రసారానికి యానకం అవసరం. చంద్రునిపై గాలి లేదు. శూన్య ప్రదేశం మాత్రమే. శూన్య ప్రదేశం గుండా శబ్దం ప్రసరింపజాలదు.

ప్రశ్న 15.
చంద్రునిపై జీవం ఉంటుందా? ఎందుకు?
జవాబు:
జీవ జాలానికి ప్రధానమైనది శ్వాసక్రియ. శ్వాసక్రియకు ఆక్సిజన్ అవసరం. చంద్రునిపై వాతావరణం లేదు. కేవలం ఆ శూన్యప్రదేశం మాత్రమే ! కనుక జీవం ఉండదు.

8th Class Physical Science Textbook Page No. 170

ప్రశ్న 16.
చంద్రగ్రహణం పౌర్ణమి రోజున మాత్రమే ఎందుకు ఏర్పడుతుంది?
జవాబు:
పౌర్ణమినాడు సూర్యుడు, చంద్రుడు, భూమి ఒకే సరళరేఖలో ఉండి, భూమి సూర్యచంద్రుల మధ్యగా ఉంటుంది. కనుక పౌర్ణమినాడు మాత్రమే చంద్రగ్రహణం ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 17.
పటం 7 ప్రకారం భూమినీడ చంద్రునిపై ఎప్పుడు పడుతుంది?
జవాబు:
పటం 7 ప్రకారం భూమి నీడ చంద్రునిపై పడాలంటే సూర్యుడు, చంద్రుల గమనమార్గాలు ఖండించుకునే స్థానానికి సరిగ్గా ఒకే సమయానికి అవి రెండూ చేరుకోవాలి, మరియు భూమి వాటిని రెండింటినీ కలిపి సరళరేఖలో ఉండాలి.

ప్రశ్న 18.
ఈ పరిస్థితి ఒక్క పౌర్ణమినాడే సంభవిస్తుందా?
జవాబు:
అవును.

ప్రశ్న 19.
సూర్యగ్రహణం అమావాస్యనాడే ఎందుకు ఏర్పడుతుందో మీరిప్పుడు చెప్పగలరా?
జవాబు:
అమావాస్యనాడు చంద్రుని నీడ భూమిపై పడటం వలన భూమిపై కొన్ని ప్రాంతాలలో సూర్యుడు కన్పించడు. అందువల్ల అమావాస్యనాడు సూర్యగ్రహణం ఏర్పడుతుంది.

8th Class Physical Science 12th Lesson నక్షత్రాలు – సౌరకుటుంబం Textbook Activities

కృత్యములు

కృత్యం – 1

ప్రశ్న 1.
నీడ పొడవులో మార్పును పరిశీలించుట
(లేదా)
మీ ప్రాంతం యొక్క “ప్రాంతీయ మధ్యాహ్నవేళ” సమయాన్ని ఒక కృత్యం ద్వారా కనుగొనండి.
జవాబు:

1. ఒక మీటరు కంటే ఎక్కువ పొడవున్న ఒక కర్రను తీసుకోండి.
2. చదునుగా ఉండే, చెట్లు, ఇండ్ల నీడ పడకుండా ఉండే ప్రదేశాన్ని ఎంచుకోండి.
3. ఈ ప్రదేశంలో కర్ర యొక్క ఒక మీటరు భాగము కచ్చితంగా భూమిపై ఉండే విధంగా కర్రను పాతండి.
4. ఉదయం 11 గంటలకు కర్ర నీడ చివరి బిందువు వద్ద ఒక ఇనుపమేకును గుచ్చి, నీడ పొడవును మరియు సమయాన్ని నమోదు చేయండి.
5. ఈ విధంగా ఉదయం 11 గంటల నుండి సాయంత్రం 4 గంటల వరకు ప్రతి 15 నిమిషాలకు ఒకసారి నీడ పొడవు మరియు నీడ పొడవులో తేడాలు – సమయాన్ని నమోదు చేయండి.
6. ఏర్పడిన కర్ర నీడ పొడవులలో అతి తక్కువ పొడవు గల నీడ ఏర్పడినపుడు నమోదు అయిన సమయాన్ని ‘ప్రాంతీయ మధ్యాహ్నవేళ’ అంటారు.
7. ప్రాంతీయ మధ్యాహ్నవేళను, సమయాన్ని గుర్తించండి.

కృత్యం – 2

ప్రశ్న 2.
ఉత్తర – దక్షిణ దిశలలో సూర్యుడు కదలడాన్ని అవగాహన చేసుకొనుట.
(లేదా)
ఉత్తరాయణం, దక్షిణాయణం అర్థం చేసుకొనుటకు ఒక కృత్యం ద్వారా వివరించండి.
జవాబు:

1. సూర్యోదయాన్ని చూడటానికి ఏదైనా డాబా పైన గానీ, మైదాన ప్రాంతాన్ని గానీ ఎన్నుకోండి.
2. ఎంచుకున్న స్థానం నుండి తూర్పు దిక్కుగా ఏదైనా ఒక చెట్టు లేదా స్తంభం వంటి కదలని వస్తువును “సూచిక”గా ఎంచుకోండి. ఉదయించే సూర్యుని స్థానాన్ని పరిశీలించుట
3. వరుసగా 10 నుండి 15 రోజులు నిర్ణయించుకున్న ఈ స్థానానికి చేరి సూర్యోదయం ఎక్కడ జరుగుతుందో పరిశీలించండి.
4. ఎంచుకున్న సూచికను దానికి అనుగుణంగా ఉదయిస్తున్న సూర్యుణ్ణి గమనించి పై పటంలో చూపినట్లు ప్రతిరోజూ పుస్తకంపై బొమ్మను గీయండి.
5. సూర్యుడు ఉదయించే స్థానం ఒకవేళ మారితే సూర్యుడు ఏ దిక్కుకు జరుగుతున్నట్లు ఉన్నదో గమనించండి.
6. సూర్యుడు రోజురోజుకీ దక్షిణ దిక్కుగా కదులుతున్నట్లు అనిపిస్తే అది దక్షిణాయణం అనీ, ఉత్తర దిక్కుగా కదులుతున్నట్లు అయితే అది ఉత్తరాయణం అనీ అంటారు.

కృత్యం – 4

ప్రశ్న 3.
చంద్రకళలను పరిశీలించుట :
ఈ కింది విధంగా కృత్యాన్ని చేస్తూ, పరిశీలిస్తూ, కృత్యం కింద ఇవ్వబడిన ప్రశ్నలకు జవాబులు వ్రాయండి.
జవాబు:

1) అమావాస్య తర్వాత మొదటిసారిగా చంద్రుడు (నెలవంక) కనబడిన రోజు యొక్క తేదీని మీ నోట్ బుక్ లో రాసుకోండి. ఆ రోజు చంద్రుడు అస్తమించే సమయాన్ని నమోదు చేయండి. అదేవిధంగా ప్రతిరోజూ సూర్యాస్తమయ సమయంలో ఆకాశంలో చంద్రుడు ఎక్కడున్నాడో గుర్తిస్తూ పటంలో చూపి నట్లు చంద్రుని ఆకారాన్ని బొమ్మ గీయండి. ఆ రోజు తేదీని చంద్రుడు అస్తమించిన సమయాన్ని ఆ కాగితం పైనే రాసుకోండి.

ఇలా మీకు వీలైనన్ని రోజులు చంద్రుణ్ణి పరిశీలించండి.

2) పౌర్ణమికి కొన్ని రోజుల ముందు నుండి పౌర్ణమి తర్వాత కొన్ని రోజుల వరకు చంద్రుణ్ణి పరిశీలించండి. పౌర్ణమికి ముందు రోజులలో సూర్యాస్తమయ సమయంలో ఆకాశంలో చంద్రుడు ఎక్కడ ఉన్నాడో గుర్తించండి. ఆ సమయాన్ని, ఆ రోజు తేదీని నమోదు చేయండి.

పౌర్ణమి తరువాత రోజులలో ఆకాశంలో తూర్పువైపున చంద్రుడు ఉదయించే సమయాన్ని, ఆ రోజు తేదీని రాయండి. ప్రతిరోజూ చంద్రుని ఆకారాన్ని, ఆకాశంలో దాని స్థానాన్ని బొమ్మగీయడం మరవకండి.

ఈ పరిశీలనల వల్ల మీరు ఏం అర్థం చేసుకున్నారు?

ఎ) రెండు వరుస చంద్రోదయాల మధ్య లేదా రెండు వరుస చంద్ర అస్తమయాల మధ్య ఎన్ని గంటల సమయం పడుతుందో లెక్కగట్టగలరా?
జవాబు:
రెండు వరుస చంద్రోదయాల మధ్య లేదా రెండు వరుస చంద్ర అస్తమయాల మధ్య 1 రోజు (24 గంటలు) కంటే దాదాపు 50 నిమిషాలు ఎక్కువ సమయం పడుతుంది.

బి) రెండు వరుస సూర్యోదయాలు లేదా సూర్యాస్తమయాల మధ్య కాలమెంత?
జవాబు:
దాదాపు 24 గంటలు (ఒక రోజు)

సి) ఆకాశంలో రెండు వరస సూర్యోదయాలు, రెండు వరుస చంద్రోదయాల మధ్య కాలాలు సమానంగా ఉంటాయా?
జవాబు:
సమానంగా లేవు.

డి) సూర్యాస్తమయ సమయాన ఆకాశంలో చంద్రుడు ప్రతిరోజూ ఒకే స్థానంలో కనబడుతున్నాడా?
జవాబు:
సూర్యాస్తమయ సమయాన ఆకాశంలో చంద్రుడు ప్రతిరోజూ ఒకే స్థానంలో కనబడడు.

ఇ) చంద్రుడు ఏ ఆకారంలో ఉన్నాడు? ప్రతిరోజూ అదే ఆకారంలో ఉంటుందా?
జవాబు:
చంద్రుని ఆకారం ప్రతిరోజూ మారుతుంది. చంద్రుని ఆకారంలో కలిగే మార్పులనే చంద్రకళలు అంటారు.

కృత్యం – 7

ప్రశ్న 4.
నక్షత్రరాశుల కదలికను పరిశీలించుట.

20 సెం.మీ. పొడవు, 20 సెం.మీ. వెడల్పు గల తెల్ల కాగితాన్ని తీసుకొని దాని మధ్యలో 1 సెం.మీ. వ్యాసం గల రంధ్రాన్ని చేయండి. పటంలో చూపినట్లు ఆ కాగితానికి ఒక వైపున ‘x’ గుర్తునుంచండి.

ఈ కాగితాన్ని మీ ముఖానికి ఎదురుగా ఉంచుకుని దానిపై ఉన్న ‘x’ గుర్తు కింది వైపుగా ఉండేట్లు పట్టుకోండి. కాగితం మధ్య నున్న రంధ్రం గుండా ధృవనక్షత్రాన్ని చూడండి. ధృవ నక్షత్రాన్ని గుర్తించాక కాగితాన్ని కదలకుండా పట్టుకుని సప్తర్షి మండలం, శర్మిష్ట రాశి ఏ దిశలో ఉన్నాయో వెదకండి.

ధృవ నక్షత్రానికి సప్తర్షి మండలం ఏ దిశలో కనిపిస్తుందో కాగితంపై ఆ దిశలో ‘G’ అని, శర్మిష్ట రాశి ఏ దిశలో కనబడుతుందో కాగితంపై ఆ దిశలో ‘C’ అని రాయండి. మీరు ఆ రాశులను గుర్తించిన సమయాన్ని ఆ అక్షరాల పక్కన రాసుకోండి.

మీరు ఈ పరిశీలన చేసేటప్పుడు మీ దగ్గరలో ఉన్న చెట్టు లేదా స్తంభం వంటి ఏదేని సూచిక నొకదానిని ఎన్నుకోండి. – అది మీకు ఏ దిశలో ఉందో మీ ప్రయోగ కాగితంపై ఆ దిశలో దాని బొమ్మ గీయండి.

ఈ పరిశీలన చేసేటప్పుడు మీకు ఎక్కడైతే నిలబడ్డారో ప్రతీసారి అక్కడే నిలబడుతూ గంట గంటకూ ఈ రెండు రాశు లను చూడండి.

ప్రతిసారి సప్తర్షి మండలం కనబడిన దిశలో ‘G’ అక్షరాన్ని శర్మిష్ట రాశి కనబడిన దిశలో ‘C’ అక్షరాన్ని కాగితంపై రాయండి. మరియు మీరు పరిశీలించిన సమయాన్ని ఆ అక్షరాల పక్కన తప్పక రాయండి: మీరు నిర్ణయించుకున్న సూచిక (చెట్టు / స్తంభం) ను బట్టి ధృవ నక్షత్ర స్థానం మారిందో లేదో గమనించండి. ఒకవేళ మారితే మారిన స్థానాన్ని గుర్తించండి. ఈ విధంగా వీలైనన్ని సార్లు (నాలుగు సార్లకు తక్కువ కాకుండా) ఈ కృత్యాన్ని చేయండి. ప్రతిసారి కాగితంపై నున్న ‘x’ గుర్తు కింది వైపుగా ఉండాలి. –

మీరు గీసిన చిత్రాన్ని గమనించి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
ఎ) మీరు చూసిన నక్షత్రాల స్థానాలలో ఏమైనా మార్పు కన్పించిందా?
జవాబు:
కన్పించింది.

బి) ధృవ నక్షత్రం స్థానం కూడా మారిందా?
జవాబు:
మారలేదు.

సి) సప్తర్షి మండలం, శర్మిష్ట రాశుల ఆకారం మాత్రమే మారిందా? లేక ఆకాశంలో వాటి స్థానం కూడా పూర్తిగా మారిపోయిందా?
జవాబు:
వాటి స్థానం కూడా పూర్తిగా మారిపోయింది.

డి) ఈ రాశులు ఆకాశంలో కదిలిన మార్గం ఏ ఆకారంలో ఉంది?
జవాబు:
దీర్ఘవృత్తాకారంలో ఉంది.