Srinivas

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు

→ ప్రవాహిలోని వేరువేరు పొరల మధ్య సాపేక్ష వేగాన్ని నిరోధించే ధర్మాన్ని స్నిగ్ధత అంటారు.

→ ప్రవాహంలో ఏదైనా బిందువు వద్ద వేగం కాలంతో మార్పు చెందకుండా ఉంటే దానిని ధారారేఖా ప్రవాహం అంటారు.

→ ధారారేఖా ప్రవాహంలో కణవేగం ఒక ప్రత్యేక వేగం, సందిగ్ధవేగం V_e కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

→ ధారారేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే స్తరీయ ప్రవాహం అంటారు.

→ ఒక వస్తువును ద్రవంలో ముంచిన దానిపై పనిచేసే పీడనంలో తేడా ఉండటంవల్ల వస్తువుపై పైదిశలో అభిబలం ఏర్పడుతుంది. దీనినే ఉత్ల్పవన బలం అంటారు. ఉత్ల్పవన బలం మునిగిన వస్తువు చేసే స్థానభ్రష్ట ద్రవం బరువుకు సమానం. వస్తువు యొక్క కొంత ఘనపరిమాణం మాత్రమే ద్రవంలో మునిగితే వస్తువు సాంద్రతకు, ద్రవ సాంద్రతకు గల నిష్పత్తికి సమానం.

→ చలనంలో ఉండే ద్రవాలను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రాన్ని ప్రవాహి గతిశాస్త్రం అంటారు. ద్రవాల ప్రవాహం రెండు రకాలు

• ధారారేఖ ప్రవాహం,
• సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం.

→ ప్రవాహి ప్రవాహం

• స్థిర (నిలకడ) లేదా అస్థిర (నిలకడలేని),
• భ్రమణం లేదా అభ్రమణం,
• సంపీడ్యమాన లేదా అసంపీడ్యమాన,
• స్నిగ్ధత లేదా అస్నిగ్ధత ప్రవాహంలా ఉండవచ్చు.

→ ధారారేఖకు ఒక బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ ఆ బిందువు వద్ద ప్రవాహి వేగ దిశను సూచిస్తుంది. దీనినే ధారారేఖా ప్రవాహం అంటారు. ప్రవాహి వేగం ఎక్కువవున్న చోట ధారా ప్రవాహరేఖల సాంద్రత ఎక్కువ. ప్రవాహ రేఖల సమూహాన్ని ప్రవాహ నాళిక అంటారు.

→ ద్రవంలో ఏ బిందువు వద్ద అయినా వేగం కాలంతో పాటు మారుతుంటే దానిని సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం అంటారు.

→ ఏ వేగం వద్ద ధారారేఖా ప్రవాహం సంక్షుబ్ధ ప్రవాహంగా మారుతుందో ఆ వేగాన్ని సందిగ్ధ వేగం అంటారు.

→ ఒక గొట్టంలో ప్రవహించే ధారారేఖా ప్రవాహంలో ఒక బిందువు వద్ద ప్రవాహ వేగం, మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం లబ్దం స్థిరం. Av = స్థిరం. దీనినే సాంతత్వ సమీకరణం అంటారు.

→ ప్రవాహి ప్రవాహాన్ని బెర్నూలి సిద్ధాంతం ద్వారా అర్థంచేసుకోవచ్చు. దీని ప్రకారం స్థిరవేగంతో ప్రవహిస్తున్న స్నిగ్ధతలేని, అసంపీడ్య ప్రవాహి పీడన గతిజ, స్థితిజ శక్తుల మొత్తం ఆ గమన పథంలో అన్ని బిందువుల వద్ద సమానం.
P + ρgh + \(\frac{1}{2}\)ρv² = స్థిరరాశి.

→ ద్రవాల పొరల మధ్య ఉన్న ఘర్షణ బలాన్ని స్నిగ్ధతా బలం అంటారు. ఈ బలం ప్రవాహి వేగాన్ని కుదిస్తుంది. ప్రవాహి రెండు పొరల మధ్య సాపేక్ష వేగాన్ని తగ్గించే ధర్మాన్నే స్నిగ్ధత అంటారు.

→ స్నిగ్ధతా బలం F కింది వాటికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

• పొర వైశాల్యం,
• వేగ ప్రవణత

F ∝ -A\(\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)\)
F = -ηA\(\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)\)
η స్నిగ్ధతా గుణకం, ప్రవాహి దిశకు లంబంగా పొరల మధ్య ఏకాంక వేగ ప్రవణత ఉన్నప్పుడు ఏకాంక వైశాల్యం గల పొరల మీద పనిచేసే స్నిగ్ధతా బల పరిమాణమే ఆ ద్రవం యొక్క స్నిగ్ధతా గుణకం అంటారు.

→ స్టోక్ ఫార్ములా : ప్రవాహిలో క్రిందికి పడుతున్న నునుపైన గోళాకారపు వస్తువుపై పనిచేసే నిరోధక బలంను క్రింది విధంగా రాయవచ్చు.
F = 6πηrv
η స్నిగ్ధతా గుణకం, ” గోళాకారపు వస్తువు వ్యాసార్థం, v ప్రవాహిలో వస్తువు వేగం.

→ ఏకాంక వైశాల్యంపై చర్య జరిపే అభిలంబ బలాన్ని సగటు పీడనం (P_av = F/A) అంటారు.

→ ఒక పదార్థ సాంద్రత, 4°C వద్ద నీటి సాంద్రతకు గల నిష్పత్తిని, ఆ పదార్థ సాపేక్ష సాంద్రత అంటారు.

→ పాస్కల్నయమం : విరామ స్థితిలో ఉన్న ఒక ప్రవాహిలో ఒకే ఎత్తులో ఉన్న అన్ని బిందువుల వద్ద, పీడనం ఒకే విలువను కలిగి ఉంటుంది.

→ ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం : ఏదైనా ఒక ప్రవాహిలో ఒక వస్తువు పూర్తిగానో, పాక్షికంగానో మునిగి ఉన్నప్పుడు ఆ వస్తువు భారంలో కలిగే నష్టం అది తొలగించిన ప్రవాహి భారానికి సమానం.

→ అసంపీడ్య ప్రవాహి యొక్క ప్రవాహ వడిని కొలిచే సాధనమే వెంటురి-మీటర్.

→ ఉష్ణోగ్రత పెరిగే కొద్దీ ద్రవాల స్నిగ్ధత తగ్గుతూ ఉంటుంది. అదే వాయువుల విషయంలో స్నిగ్ధత పెరుగుతుంది.

→ రెనాల్డు సంఖ్య R_e < 1000, ధారా రేఖా ప్రవాహం
R_e < 2000, సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం
1000 < R_e < 2000, నిలకడ రహిత ప్రవాహం

→ ద్రవ ఉమ్మడి తలం యొక్క ఏకాంక వైశాల్యానికి గల తలశక్తి, తలతన్యత (S) కు సమానం.

→ నీరు, గాజుల మధ్య ఉండే స్పర్శకోణం, లఘుకోణం (θ < 90°), కాబట్టి కేశనాళికలోకి ఎగబాకిన నీరు పుటాకారంగా ఉంటుంది.

→ ఒక ద్రవం, దాని చుట్టూ ఉండే తలానికి మధ్యగల ఉమ్మడి తలంపై ఏకాంకపొడవుకు పనిచేసే బలాన్ని తలతన్యత అంటారు.

→ ఆర్కిమెడిస్ (287 – 212 B.C.)
ఆర్కిమెడిస్ ఒక గ్రీకు తత్వవేత్త, గణితవేత్త, శాస్త్రవేత్త మరియు ఒక ఇంజనీరు. అతడు వడిసెల (cata- pult) ను ఆవిష్కరించాడు. మోయ లేని అధిక బరువులను తరలించ డానికి కష్ఠీలు, తులాదండాలతో ఒక వ్యవస్థను రూపొందించాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు

→ ఒక వస్తువు వేడిమిని లేక చల్లదనాన్ని ఉష్ణోగ్రత సాపేక్షంగా సూచిస్తారు.

→ ఉష్ణోగ్రత అనేది ఒక వస్తువు లేదా వ్యవస్థ యొక్క స్థూల ధర్మం. ఇది అదిశరాశి.

→ ఉష్ణోగ్రతా భేదం వలన రెండు వ్యవస్థల మధ్య వినిమయం జరిగే శక్తి రూపంగా ఉష్ణాన్ని నిర్వచించవచ్చు. ఉష్ణోగ్రతను కొలిచే పరికరాన్ని, ఉష్ణమాపకం (థర్మామీటర్) అంటారు.

→ సెల్సియస్, ఫారెన్ హీట్, రైమర్ మరియు కెల్విన్ స్కేలుల మధ్య సంబంధం, \(\frac{C-0}{100}=\frac{F-32}{180}=\frac{R-0}{80}=\frac{k-273}{100}\)

→ ఘన పదార్థాలలో స్ఫటిక జాలక రూపంలో పరమాణువులు క్రమబద్ధంగా అమరిఉండును.

→ అంతర పరమాణువుల మధ్య ఆకర్షణ బలం, వాని మధ్య దూరంపై ఆధారపడును.

→ ఉష్ణోగ్రత పెరిగిన, పరమాణువుల కంపనాల, కంపన పరిమితులు పెరుగును.

→ ఘన పదార్థంను వేడిచేస్తే దాని పొడవు, వైశాల్యం మరియు ఘనపరిమాణంలు పెరుగుతాయి.

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ పొడవులో పెరుగుదలను దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_l = \(\frac{\Delta l}{l \times \Delta \mathrm{T}}\)/°C

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ పొడవులో పెరుగుదలను దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_A = \(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a} \times \Delta \mathrm{t}}\)/°C

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ ఘన పరిమాణంలో పెరుగుదలను ఘన పరిమాణ వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_A = \(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{v} \times \Delta \mathrm{t}}\)/°C

→ α_l = α_A = α_v = 1: 2 : 3 (లేక) \(\frac{\alpha_l}{1}: \frac{\alpha_A}{2}: \frac{\alpha_v}{3}\)

→ ఒక పదార్థం శోషణం చేసుకున్న ఉష్ణరాశి ΔQ కు, పదార్థ ఉష్ణోగ్రతలోని తేడాకుగల నిష్పత్తిని, ఉష్ణధారణ సామర్థ్యం అంటారు. S = \(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}\)

→ ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుటకు, శోషణం లేక విసర్జించిన ఉష్ణంను, విశిష్టోష్ణం అంటారు.
S = \(\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{m}} \frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}\)

→ ఒక మోల్ పదార్థ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుటకు, శోషణం లేక విసర్జించిన ఉష్ణంను మోలార్ విశిష్టోష్ణం అంటారు.
C = \(\frac{s}{\mu}=\frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T}\)

→ పునర్ ఘనీభవన దృగ్విషయాన్ని పునర్ఘనీభవనం (Regelation) అంటారు.

→ ఉష్ణోగ్రతలో మార్పులేకుండ, ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థ స్థితి మార్పులో శోషణం (లేక) విసర్జించిన ఉష్ణరాశిని గుప్తోష్ణం అంటారు.

→ ఒకే ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థము ఘన స్థితినుండి ద్రవ స్థితికి మార్పులో గ్రహించిన ఉష్ణరాశిని, ఘనీభవన గుప్తోష్ణం (L_f) అంటారు.

→ ఒకే ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థము ద్రవస్థితినుండి ఆవిరిస్థితి మార్పులో గ్రహించిన ఉష్ణరాశిని, ఆవిరి గుప్తోష్ణం (L_v) అంటారు.

→ పదార్థంలో హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశం నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశంనకు ఉష్ణ ప్రసారం మూడు రీతులలో జరుగును. అవి వహనం, సంవనం, మరియు వికిరణం.

→ పదార్థంలో ఉష్ణ వహనం, అణువుల మధ్య అభిఘాతాల వల్ల జరిగే శక్తి వినిమయం రూపంలో సాధ్యమవుతుంది. స్థూలంగా పదార్థం నిశ్చలంగానే ఉన్నా, అందులోని అణువులు తమ మాథ్యమిక స్థానాల పరంగా కంపించడంవల్ల అభిఘాతాలు జరుగుతాయి.

→ పదార్థం నుండి పదార్థంనకు ఉష్ణవహన సామర్థ్యం మారును. దీనిని ఉష్ణ వహన గుణకం అనే రాశితో కొలుస్తారు.

→ ప్రవాహి స్థూలంగా చలనంలో ఉన్నప్పుడు జరిగే శక్తి వినిమయంను సంవహనం అంటారు.

→ సంవహనం రెండు రకాలు

• సహజ సంవహనం
• బలాత్కృత సంవహనం.

→ గురుత్వంవల్ల, సాంద్రతలలో తేడావల్ల ప్రవాహి చలనంను సహజ సంవహనం అంటారు.

→ వస్తువుపై ఉష్ణోగ్రతలలో తేడ వల్ల, ప్రవాహి బలవంతంగా చలిస్తే, దానిని బలాత్కృత సంవహనం అంటారు.

→ ఉష్ణ వికిరణానికి పదార్థయానకం అవసరంలేదు.

→ ప్రతి వస్తువూ పరమ శూన్యం కన్నా హెచ్చు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఉష్ణ వికిరణాన్ని వెలువరిస్తూ, పరిసరాలతో ఉష్ణ వినిమయం చేసుకుంటుంది. దీనినే ప్రీవోస్ట్ సిద్ధాంతం అంటారు.

→ వస్తు ఏకాంక తల వైశాల్యం నుండి వెలువడే వికిరణ శక్తి అభివాహాన్ని, దాని ఉద్గార సామర్థ్యం అంటారు. దీని ప్రమాణం Jm²s^-1 లేక Wm^-2 మితి ఫార్ములా [MT^-3].

→ నిర్దిష్ట సమయంలో, శోషణ అభివాహ శక్తికి, అదేకాలంలో వస్తువుపై పతనమయిన మొత్తం అభివాహంనకు గల నిష్పత్తిని శోషణ సామర్థ్యం ‘a’ అంటారు. ‘a’ ఒకటి కన్నా ఎక్కువ ఉండదు. అన్ని తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద కృష్ణ వస్తు శోషణ సామర్థ్యం 1.

→ నియమిత ఉష్ణోగ్రతా తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద ఉద్గార, శోషణ సామర్థ్యాల నిష్పత్తి అన్ని వస్తువులకు స్థిరంగా అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి సమానం. దీనినే కిర్కాఫ్ నియమము అంటారు. ఉత్తమ శోషకాలు, ఉత్తమ ఉద్గారులు.

→ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రత నాల్గవ ఘాతానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
P = σAT⁴. P ఉద్గార సామర్థ్యం, σ స్టిఫాన్స్ స్థిరాంకం మరియు σ = 5.67 × 10^-8W/m²k⁴
వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యం, P = e_λσAT⁴
ఇచ్చట e_λ వస్తువు ఉద్గారత.

→ న్యూటన్ శీతలీకరణ సూత్రము : వస్తువుకు, పరిసరములకు మధ్య స్వల్ప ఉష్ణోగ్రతా భేదం ఉన్నప్పుడు ఆ వస్తువు ఉష్ణాన్ని కోల్పోయే రేటు వస్తువుకూ, దాని పరిసరములకు మధ్యగల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును. దీనినే న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమము అంటారు.
\(\frac{-\mathrm{dQ}}{\mathrm{dt}}\) = α(T – T₀)

→ రూడాల్ఫ్ క్లాసియస్ (1822-1888)
పోలాండ్లో జన్మించిన రూడాల్ఫ్ క్లాసియస్ ఉష్ణగతికశాస్త్ర రెండవ నియమ ఆవిష్కర్తగా గుర్తింపు పొందాడు. వాయువుల అణుచలన సిద్ధాంతం మీద కూడా కృషిచేసి, అణు పరిమాణం, వడి, స్వేచ్ఛా పథమధ్యమాలకు విశ్వసనీయ మైన మదింపులను ఇచ్చాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం

→ రెండు వ్యవస్థలు (A,B) వేర్వేరుగా, మూడో వ్యవస్థతో సమతాస్థితిలో ఉంటే, రెండు వ్యవస్థలు (A, B) లు సమతా స్థితిలో ఉంటాయి. దీనినే ఉష్ణగతికశాస్త్ర శూన్యంక నియమం అంటారు.

→ ఉష్ణగతిక శూన్యంక నియమము ఉష్ణోగ్రతా భావనను ఇస్తుంది.

→ ఒక ప్రక్రియను సూటి ప్రక్రియలో ఏఏ దశల గుండా ప్రయాణం చేసిందో అదే దశల గుండా వెనుకకు తీసుకురాగల్గితే ఆ ప్రక్రియను ఉత్కృమణీయ ప్రక్రియ అంటారు.

→ వ్యతిరేఖ దిశలో వెనుకకు మరలించి తీసుకురాలేని ప్రక్రియను అనుత్కమణీయ ప్రక్రియ అంటారు.

→ ఉష్ణంకు, యాంత్రిక శక్తికి మధ్యగల సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసేది ఉష్ణగతికశాస్త్రం.

→ వ్యవస్థ సమతాస్థితిలో ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఉష్ణగతిక శాస్త్రాన్ని అన్వయించాలి.

→ ఒకవస్తువు యొక్క ఉష్ణస్థితిని తెలియజేయునది ఉష్ణోగ్రత. అది వస్తువు సాపేక్షంగా వేడిగా ఉందో, చల్లగా ఉందో తెలియజేస్తుంది.

→ ఉష్ణగతిక శూన్యాంక నియమము గణిత రూపం f (P, V, T) = 0.

→ ఉష్ణోగ్రతా భేదం వల్ల ఒక వవ్యస్థకు దాని పరిసరాలకు మధ్యశక్తి వినిమయం జరిగితే, ఆ శక్తిని ఉష్ణం అంటారు.

→ ప్రమాణ ఉష్ణరాశిని ఉత్పత్తి చేయటంలో జరిగిన యాంత్రిక పనిని, యాంత్రిక తుల్యాంకం అంటారు.
J = \(\frac{W}{Q}\) C.C.S వ్యవస్థలో J విలువ 4.2 × 10⁷ ఎర్గ్/కెలరీ
S.I. వ్యవస్థలో J ఒకటికీ సమానం.

→ ఒక వ్యవస్థకు అందజేసిన ఉష్ణరాశి dQ దాని అంతర్గత శక్తిలోని మార్పు dU మరియు చేసిన పని dw ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియమము ప్రకారం, dQ = dU + dw.

→ శక్తి నిత్యత్వ నియమ మరొక రూపమే ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియము.

→ అర్ధస్థితిక ప్రక్రియ అనేది అతి నెమ్మదిగా జరిగే ప్రక్రియ. ఈ ప్రక్రియలో ప్రతీ మాధ్యమిక స్థితి వద్ద వ్యవస్థ పరిసరాలతో ఉష్ణ మరియు యాంత్రిక సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

→ చక్రీయ ప్రక్రియలో పీడనం, ఘనపరిమాణం మరియు ఉష్ణోగ్రతలలో మార్పులు పొందే వేరు వేరు దశల తరువాత ఒక వ్యవస్థ తిరిగి మరల తొలి స్థితిని పొందుతుంది.

→ సమభాలిక ప్రక్రియలో పీడనం స్థిరం. సమఘన పరిమాణ ప్రక్రియలో ఘనపరిమాణం స్థిరం.

→ కార్నో యంత్రం (ఉష్ణాశయం) ఉష్ణోగ్రత, T₁, మరియు (శీతలాశయం) ఉష్ణోగ్రత T₂, ల మధ్య పనిచేయు ఒక ద్విగత యంత్రం. కార్నో యంత్రం దక్షత η = 1 – \(\frac{T_2}{T_1}\)

→ C_p విలువ C_v, కన్నా ఎల్లప్పుడు ఎక్కువ
∴ C_p – C_v = R మరియు \(\frac{C_p}{C_v}\) = γ
ఏక పరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{5}{3}\)
ద్విపరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{7}{5}\)
త్రి పరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{4}{3}\)

→ సమఉష్ణోగ్రత మార్పు : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయువు పీడనం, ఘన పరిమాణంలో మార్పులు ఉష్ణ వినిమయంతో పాటు జరిగితే వాటిని సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ అంటారు.
PV = స్థిరాంకం

→ ఆదర్శవాయు సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో జరిగిన పని W = RT log_e\(\frac{V_2}{V_1}\) (లేక) W = 2.303 RT log_e\(\left|\frac{v_2}{v_1}\right|\)

→ స్థిరోషక మార్పు : ఒక విముక్త వ్యవస్థలో ఉష్ణ వినిమయం లేకుండా ఉష్ణోగ్రతలో మార్పులను తెచ్చే పీడన ఘనపరిమాణాలలో మార్పులను, స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ అంటారు.

→ స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో P₁V₁^γ = P₂V₂^γ, T₁V₁^γ-1 = T₂V₂^1-γ, T₁P₁ = T₂P₂^1-γ

→ స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో జరిగిన పని W = \(\frac{\mu \mathrm{R}}{\gamma-1}\)(T₁ – T₂)

→ క్లాసియస్ ఉష్ణోగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమము : బాహ్య ప్రమేయం లేకుండా ఉష్ణాన్ని ఒక వస్తువు నుండి హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత గల ఇంకొక వస్తువునకు సరఫరా చేయటం ఎటువంటి స్వయంపోషక యంత్రానికైనా అసాధ్యం.

→ కెల్విన్ ఫ్లాంక్ ఉష్ణగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమము: “ఒక వస్తువు నుండి గ్రహించిన ఉష్ణశక్తి మొత్తాన్ని యాంత్రిక శక్తిగా మార్చే చక్రీయ ఉష్ణయంత్రాన్ని నిర్మించడం అసాధ్యం”.

→ ద్రవీభవన గుప్తోష్టం (L) : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, 1kg ద్రవ్యరాశి గల పదార్థాన్ని ఘనస్థితి నుంచి పూర్తిగా ద్రవ్యస్థితికి మార్చడానికి అవసరమైన ఉష్ణరాశిని ఆ పదార్థ ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం అంటారు. L = \(\frac{Q}{M}\)

→ ‘L’ ప్రమాణం: జౌల్/ కి.గ్రా
L మితి ఫార్ములా = \(\frac{Q}{M}\) = L²T^-2

→ మంచుద్రవీభవన గుప్తోష్టం L_ice = 80 cal/gm = 0.335 × 10⁶ J kg^-1
ఆవిరి గుప్తోష్ణం L_{ఆవిరి} = 540 cal/gm = 2.26 × 10⁶ kg^-1

→ లార్డ్ కెల్విన్ (1824-1907)
ఐర్లాండ్ లో జన్మించిన లార్డ్ కెల్విన్ 19వ శతాబ్దంలోని బ్రిటిష్ శాస్త్ర వేత్తలందరిలో ప్రథముడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం

→ ఒక అణువు రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య సరళరేఖలో చలిస్తుంది. రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య అణువు ప్రయాణం చేసిన దూరంను స్వేచ్ఛాపథ మధ్యమం అంటారు.

→ స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు యొక్క ఘనపరిమాణం, దాని పీడనంనకు విలోమానుపాతంలో ఉండును.
V ∝ \(\frac{1}{p}\) (స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద)

→ చార్లెస్ నియమాలు :

• స్థిర పీడనం వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
• స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయు పీడనం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

→ ఆదర్శ వాయువుల మిశ్రమం మొత్తం పీడనం, ఆ మిశ్రమంలోని వివిధ వాయువులు కలుగజేసే పాక్షిక పీడనాల మొత్తానికి సమానం. దీనినే డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం అంటారు.

→ వాయు అణువుల సగటు వేగ వర్గాల మొత్తం యొక్క వర్గమూలంను సగటువర్గ మధ్యమ మూలవడి (rms) అంటారు.
V_rms = \(\sqrt{\frac{3 K_B T}{m}}\)

→ జాన్ డాల్టన్ (1766-1844):
ఇతను ఇంగ్లీష్ రసాయన శాస్త్రజ్ఞుడు. వివిధ రకాల పరమాణువులు సంయోగం చెందినప్పుడు, అవి నిర్దుష్ట సరళ నియమాలను పాటిస్తాయి. డాల్టన్ పరమాణు సిద్ధాంతం, ఈ సూత్రాలను సరళమైన పంథాలో వివరించింది. ధత్వంకు సిద్ధాంతాన్ని ఆయన ఇచ్చాడు.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
ΔABC లో a = 3, b = 4, sin A = \(\frac{3}{4}\) అయితే, B కోణాన్ని ‘కనుక్కోండి.
సాధన:
సైను సూత్రం నుంచి \(\frac{a}{\sin A}\) = \(\frac{b}{\sin B}\)
⇒ sin B = \(\frac{\text { b. } \sin A}{a}\) = \(\frac{4}{3} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)\) = 1
⇒ sin B = 1 ⇒ B = 90°

ప్రశ్న 2.
ఒక త్రిభుజం భుజాల పొడవులు 3, 4, 5 అయితే, ఆ త్రిభుజ పరివృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ 3² + 4² = 5²
∴ కనుక త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.
దాని కర్ణం = 5 = పరివృత్త వ్యాసం
∴ పరివృత్త వ్యాసార్థం = \(\frac{1}{2}\)(కర్ణం) = \(\frac{5}{2}\) సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
a = 6, b = 5, c = 9 అయితే A, కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ cos A = \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\)(కోసైను సూత్రం)
= \(\frac{5^2+9^2-6^2}{2(5)(9)}\) = \(\frac{25+81-36}{2(5)(9)}\)
= \(\frac{70}{90}\) = \(\frac{7}{9}\)

ప్రశ్న 4.
ΔABC లో Σ(b + c) cos A = 2s అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C
= (b cos A + c cos A) + (c cos B + a cos B) + (a cos C + b cos C)
= (b cos C + c cos B) + (a cos C + ccos A) + (a cos B + b cos A)
= a + b + c = R.H.S.

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజ భుజాలు 13, 14, 15 అయినప్పుడు, పరివృత్త వ్యాసాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a = 13, b = 14, c = 15
2s = a + b + c = \(\frac{13+14+15}{2}\) = \(\frac{42}{2}\)
∴ s = 21
s – a = 21 – 13 = 8
s – b = 21 – 14 = 7
s – c = 21 – 15 = 6
Δ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\)
= \(\sqrt{21 \times 21 \times 16}\) = 21 × 4 = 84
∴ Δ = \(\frac{a b c}{4 R}\)
⇒ 4R = \(\frac{a b c}{\Delta}\) = \(\frac{13 \times 14 \times 15}{84}\) = \(\frac{65}{2}\)
∴ R = \(\frac{65}{8}\)
∴ పరివృత్త వ్యాసం (2R) = 2′ × \(\frac{65}{8}\) = \(\frac{65}{4}\) సెం. మీ

ప్రశ్న 6.
ΔABC s, (a + b + c) (b + c − a) = 3abc, అయితే A ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(a + b + c) (b + c − a) = 3bc
⇒ [(b + c) + a] [(b + c) – a] = 3bc
⇒ (b + c)² – a² = 3bc
⇒ b² + c² + 2bc – a² = 3bc
⇒ b² + c² – a² = bc
⇒ \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ cos A = \(\frac{1}{2}\) = 60°
A = 60°

ప్రశ్న 7.
a = 4, b = 5, c = 7 అయితే cos \(\frac{B}{2}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = a + b + c = 4 + 5 + 7 = 16
⇒ s = 8, s – b = 8 – 5 = 3
cos \(\frac{\mathrm{B}}{2}\) = \(\sqrt{\frac{s(s-b)}{a c}}\) = \(\sqrt{\frac{8 \times 3}{4 \times 7}}\) = \(\sqrt{\frac{6}{7}}\)

ప్రశ్న 8.
ΔABC లో, b cos² \(\frac{C}{2}\) + c cos² \(\frac{B}{2}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
b cos² \(\frac{C}{2}\) + c cos² \(\frac{B}{2}\)= b.
= \(\text { b. } \frac{s(s-c)}{a b}\) + \(\text { c. } \frac{s(s-b)}{c a}\)
= \(\frac{s(s-c)}{a}\) + \(\frac{s(s-b)}{a}\) = \(\frac{s}{a}\)(s – c + s – b)
= \(\frac{s}{a}\)(a + b + c − c − b) = \(\frac{s}{a} a\) = s

ప్రశ్న 9.
tan \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{5}{6}\), tan \(\frac{C}{2}\) = \(\frac{2}{5}\) అయితే a, b, c ల మధ్య సంబంధాన్ని నిర్ధారించండి. (May 05)
సాధన:
tan \(\frac{A}{2}\). tan \(\frac{C}{2}\) = \(\frac{5}{6}\). \(\frac{2}{5}\)
\(\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\) = \(\frac{2}{6}\)
⇒ \(\frac{s-b}{s}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇒ 3s – 3b = s ⇒ 2s = 3b
⇒ a + b + c = 3b ⇒ a + c = 2b
a, b, c లు A.P.లో ఉన్నవి

ప్రశ్న 10.
cot \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\), అయితే, B కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
tan \(\left(\frac{\mathbf{C}-\mathbf{A}}{2}\right)\) = k cot \(\frac{\mathrm{B}}{2}\) అయితే, k ని కనుక్కోండి.
సాధన:
టాంజంట్ సూత్రం నుంచి
tan \(\left(\frac{\mathrm{C}-\mathrm{A}}{2}\right)\) = \(\left(\frac{c-a}{c+a}\right)\) cot \(\frac{B}{2}\)
కనుక k = \(\frac{c-a}{c+a}\)

ప్రశ్న 12.
ΔABC లో \(\frac{\mathbf{b}^2-\mathbf{c}^2}{\mathbf{a}^2}\) = \(\frac{\sin (B-C)}{\sin (B+C)}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
a² cot A + b² cot B + c² cot C = \(\frac{a b c}{\mathbf{R}}\) అని చూపండి. (Mar. 14)
సాధన:
L.H.S. = a² cot A + b² cot B + c² cot C
= 4R² sin² A. \(\frac{\cos A}{\sin A}\) + 4R² sin²B. \(\frac{\cos B}{\sin B}\) + 4R² sin² C. \(\frac{\cos C}{\sin C}\) (సైను సూత్రం ద్వారా)
= 2R² (2 sin A cos A + 2 sin B cos B + 2 sin C cos C)
= 2R² (sin 2A + sin 2B + sin 2C)
= 2R² (4 sin A sin B sin C) (సర్వ సమానతల నుంచి)
= \(\frac{1}{R}\)(2R sin A) (2R sin B) (2R sin C)
= \(\frac{a b c}{R}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 14.
(b – c)² cos² \(\frac{A}{2}\) + (b + c)² sin² \(\frac{A}{2}\) = a² అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = (b² + c² – 2bc) cos² \(\frac{A}{2}\) + (b² + c² + 2bc) sin² \(\frac{A}{2}\)
= (b² + c²) [cos² \(\frac{A}{2}\) + sin² \(\frac{A}{2}\)] – 2bc (cos² \(\frac{A}{2}\) – sin² \(\frac{A}{2}\)) = b² + c² – 2bc cos A
= a²

ప్రశ్న 15.
a (b cos c – c cos B) = b² – c² అని చూపండి. (Mar. 07)
సాధన:
L.H.S. = ab cos C – ca cos B
= \(\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)\) – \(\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)\)
కోనైన్ సూత్రం నుంచి
= \(\frac{1}{2}\)[a² + b² – c² – c² – a² + b²]
= b² – c² = R.H.S.

ప్రశ్న 16.
\(\frac{c-b \cos A}{b-c \cos A}\) = \(\frac{\cos B}{\cos C}\) -అని చూపండి.
సాధన:
లంబవిక్షేప సూత్రం నుంచి
c = a cos B + b cos A
b = c cos A + a cos C

ప్రశ్న 17.
ΔABC లో, \(\frac{1}{a+c}\) + \(\frac{1}{b+c}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\) అయితే, C = 60° అని చూపండి.
సాధన:
\(\frac{1}{a+c}\) + \(\frac{1}{b+c}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\)
⇒ \(\frac{b+c+a+c}{(a+c)(b+c)}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\)
⇒ 3(a + c) (b + c) = (a + b + 2c) (a + b + c)
⇒ 3(ab + ac + bc + c²) = (a² + b² + 2ab) + 3c(a + b) + 2c²
⇒ ab = a² + b² – c²
⇒ ab = a² + b² – c²
= 2ab cos C (కోసైను సూత్రం నుంచి)
⇒ cos C = \(\frac{1}{2}\) ⇒ C = 60°

ప్రశ్న 18.
a = (b – c) sec θ అయితే, tan θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b-c}\) sin \(\frac{\mathbf{A}}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
a = (b – c) sec θ ⇒ sec θ = \(\frac{a}{b-c}\)

ప్రశ్న 19.
ΔABC లో (a + b + c) (tan \(\frac{A}{2}\) + tan \(\frac{B}{2}\)) = 2c cot \(\frac{C}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
b² sin 2C + c² sin 2B = 2bc sin A అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = b² sin 2C + c² sin 2B
= 4R² sin2 B (2 sin C cos C) + 4R² sin² C (2 sin B cos B)
= 8R² sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C)
= 8R² sin B sin C sin (B + C)
= 2(2R sin B) (2R sin C) sin A
= 2bc sin A
= R.H.S.

ప్రశ్న 21.
cot A + cot B + cot C = \(\frac{a^2+b^2+c^2}{4 \Delta}\) అని రుజువు చేయండి. ((T.S) Mar. 15)
సాధన:

ప్రశ్న 22.
a cos² \(\frac{A}{2}\) + b cos² \(\frac{B}{2}\) + c cos² \(\frac{C}{2}\) = s + \(\frac{\Delta}{\mathbf{R}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 23.
ΔABC లో a cos A = b cos B అయితే, త్రిభుజం సమద్విబాహు లేదా లంబకోణ త్రిభుజమని రుజువు చేయండి.
సాధన:
a cos A = b cos B
⇒ 2R sin A cos A = 2R sin B cos B
⇒ sin 2A = sin 2B (or) = sin (180° – 2B)
కనుక 2A = 2B లేదా 2A = 180° – 2B
⇒ A = B లేదా A = 90° – B
⇒ A = B లేదా A + B = 90°
⇒ C = 90°
∴ త్రిభుజం సమద్విబాహు లేదా లంబకోణ త్రిభుజం.

ప్రశ్న 24.
cot \(\frac{\mathbf{A}}{2}\) : cot \(\frac{\mathbf{B}}{2}\) : cot \(\frac{\mathbf{C}}{2}\) = 3 : 5 : 7 అని చూపండి
సాధన:

అప్పుడు s – a = 3k, s – b = 5k, s – c = 7k
కలుపగా 3s – (a + b + c) = 3k + 5k + 7k
⇒ 3s – 2s = 15k ⇒ s = 15k
ఇప్పుడు a = 12k, b = 10k, c = 8k
∴ a : b : c = 12k : 10k : 8k = 6 : 5 : 4

ప్రశ్న 25.
a³ cos (B – C) + b³ cos (C – A) + C³ cos (A – B) = 3abc అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
L.H.S. = Σa³ cos (B – C)
= Σa² (2R sin A)cos(B – C)
= R Σa² [2 sin (B + C) cos (B – C)]
= R Σa² (sin 2B + sin 2C)
= R Σa² (2 sin B cos B + 2 sin C cos C)
= Σ[a²(2R sin B) cos B + a²(2R sin C) cos C]
= Σ(a² b cos B + a²c cos C)
= (a²b cos B + a² c cos C) + (b²c cos C + b² a cos A) + (c² a cos A + c²b cos B)
= ab (a cos B + b cos A) + bc (b cos C + c cos B) + ca (c cos A + a cos C)
= ab(c) + bc(a) + ca(b) = 3 abc = R.H.S.

ప్రశ్న 26.
p₁, p₂, p₃ లు వరుసగా త్రిభుజ శీర్షాలు A,B, C ల ఉన్నతులయితే \(\frac{1}{p_1^2}\) + \(\frac{1}{p_2^2}\) + \(\frac{1}{p_3^2}\) = \(\frac{\cot A+\cot B+\cot C}{\Delta}\) అని చూపండి
సాధన:

ప్రశ్న 27.
h ఎత్తు గల ఊర్ధ్వంగా ఉండే ఒక స్తంభం PQ పాదం Q గుండా పోయే క్షితిజ రేఖపై A అనే బిందువు నుంచి శిఖర బిందువు P కి ఊర్ధ్వ కోణం 45°. AQ తో 30° కోణం చేసే రేఖపై A నుండి 30 మీటర్ల దూరంలో B అనే బిందువు నుండి P ఊర్థ్వ కోణం 60° అయితే స్తంభం ఎత్తు కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.
ఒక నదికి ఒకేవైపున A, B అనే రెండు చెట్లు ఉన్నాయి. నదిలో C అనే బిందువు నుండి A, B లు వరసగా 250 మీ. 300 మీ. దూరంలో ఉన్నాయి. C వద్ద కోణం 45° అయితే ఆ చెట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి. (\(\sqrt{2}\) = 1.414).
సాధన:
త్రిభుజం ABC నుండి కొసైన్ రూలు ఉపయోగించగా

AB² = 250² + 300² – 2(250) (300) cos 45°
= 100 (625 + 900 – 750\(\sqrt{2}\)) = 46450.
∴ AB = 215.5 మీ. (ఉజ్జాయింపు)

ప్రశ్న 29.
ΔABC, లో \(\frac{1}{r_1}\) + \(\frac{1}{r_2}\) + \(\frac{1}{r_3}\) = \(\frac{1}{r}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
rr₁ r₂ r₃ = Δ² అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
సమబాహు త్రిభుజంలో \(\frac{r}{R}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 32.
ΔABC చుట్టుకొలత 12 సెం.మీ. దీని అంతర వ్యాసార్థం 1 సెం.మీ. అప్పుడు త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = 12 ⇒ s = 6 సెం.మీ.
r = 1 సెం.మీ.
ΔABC వైశాల్యము = Δ = rs = (1) (6) = 6 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 33.
rr₁ = (s – b) (s – c)
సాధన:
L.H.S. = rr₁
= [(s – b) tan \(\frac{\mathrm{B}}{2}\)] [(s – c) cot \(\frac{\mathrm{B}}{2}\)]
= (s – b) (s – c) = R.H.S.

ప్రశ్న 34.
\(\frac{a \cos \mathbf{A}+\mathbf{b} \cos \mathbf{B}+\cos \mathbf{C}}{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}\) ని R, r పదాలలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
ΔABC లో Δ = 6 చ. సెం. మీ, s = 1.5 సెం. మీ అయితే F ను కనుక్కోండి.
సాధన:
r = \(\frac{\Delta}{\mathrm{s}}\) = \(\frac{6}{1.5}\) = 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 36.
rr₁ cot \(\frac{A}{2}\) = Δ అని చూపండి.
సాధన:
rr₁ cot \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{\Delta}{s}\left(s \tan \frac{A}{2}\right)\) cot \(\frac{A}{2}\) = Δ

ప్రశ్న 37.
a = 13, b = 14, c = 15 అయితే r₂ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = a + b + c = 42
⇒ s = 21
s – a = 8, s – b = 7, s – c = 6
Δ² = 21 × 8 × 7 × 6
⇒ A = 7 × 12 = 84 చ. యూనిట్లు

ప్రశ్న 38.
rr₂ = r₁r₃ అయితే, B కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
ΔABC లో భుజాలు a, b, c లు A.P.లో ఉండటానికి r₁, r₂, r₃ లు H.P. లో ఉండాలనేది ఆవశ్యక, పర్యాప్త
నియమమని చూపండి.
సాధన:
r₁,r₂, r₃ లు H.P. లో ఉన్నాయి.
⇔ \(\frac{1}{r_1}\), \(\frac{1}{r_2}\), \(\frac{1}{r_3}\) లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ \(\frac{s-a}{\Delta}\), \(\frac{s-b}{\Delta}\), \(\frac{s-c}{\Delta}\) లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ s – a, s – b, s – c లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ -a, -b, -c లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ a, b, c లు A.P. లో ఉంటాయి.

ప్రశ్న 40.
A = 90° అయితే 2(r + R) = b + c అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S= 2r+ 2R
= 2(s – a) tan \(\frac{A}{2}\) + 2R. 1
= 2(s – a) tan 45° + 2R sin A (∵ A = 90°)
= (2s – 2a). 1 + a
= b + c = R.H.S.

ప్రశ్న 41.
(r₂ – r₁) (r₃ – r₁) = 2r₂r₃ అయితే A = 90°
అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
\(\frac{r_1\left(r_2+r_3\right)}{\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1}}\) = a అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 43.
\(\frac{1}{r^2}\) + \(\frac{1}{r_1^2}\) + \(\frac{1}{r_2^2}\) + \(\frac{1}{r_3^2}\) = \(\frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 44.
Σ(r + r₁) tan \(\left(\frac{\mathbf{B}-\mathbf{C}}{2}\right)\) = 0 అని రుజువు చెయ్య౦డి
సాధన:

ప్రశ్న 45.
\(\frac{r_1}{b c}\) + \(\frac{r_2}{c a}\) + \(\frac{r_3}{a b}\) = \(\frac{1}{r}\)
– \(\frac{1}{2 R}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 46.
r : R : r₁ = 2 : 5 : 12 అయితే, ఆ త్రిభుజంలో A లంబకోణమని రుజువు చేయండి.
సాధన:
r: R: r₁ = 2 : 5 : 12
అప్పుడు r = 2k, R = 5k, r₁ = 12K
r₁ – r = 12k – 2k = 10k = 2(5k) = 2R
⇒ 4R sin \(\frac{A}{2}\)[cos \(\frac{B}{2}\)cos \(\frac{C}{2}\) – sin \(\frac{B}{2}\)sin \(\frac{C}{2}\)] = 2R

కనుక త్రిభుజములో A లంబకోణం.

ప్రశ్న 47.
r + r₃ + r₁ – r₂ = 4R cos B అని చూపండి. (Mar. ’13)
సాధన:

ప్రశ్న 48.
A, A₁, A₂, A₃ లు వరుసగా త్రిభుజ అంతరవృత్త, బాహ్య వృత్త వైశాల్యాలయితే \(\frac{1}{\sqrt{A_1}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{A_2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{A_3}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{A}}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
r, r₁, r₂, r₃ లు వరుసగా అంతర, బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు, వాటి వైశాల్యాలు A, A₁, A₂, A₃ లు అయితే

ప్రశ్న 49.
(r₁ + r₂) sec² \(\frac{C}{2}\) = (r₂ + r₃) sec² \(\frac{A}{2}\) = (r₃ + r₁) sec²\(\frac{B}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 50.
ΔABC లో AD, BE, CF లు A, B, C శీర్షాల నుంచి ఎదుటి భుజాలకు గీచిన లంబాలయితే
i) \(\frac{1}{A D}\) + \(\frac{1}{B E}\) + \(\frac{1}{C F}\) = \(\frac{1}{r}\)
ii) AD. BE. CF = \(\frac{(a b c)^2}{8 R^3}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 51.
ΔABC లో r₁ = 8, r₂ = 12, r₃ = 24 అయితే a, b, c లను కనుక్కోండి. (May ’13)
సాధన:
∵ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{1}{r_1}\) + \(\frac{1}{r_2}\) + \(\frac{1}{r_3}\)
⇒ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{12}\) + \(\frac{1}{24}\)
⇒ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{3+2+1}{24}\)
⇒ r = 4
కానీ Δ² = = rr₁r₂r₃ = 4 × 8 × 12 × 24
= (8 × 12)²

ప్రశ్న 52.
\(\frac{a b-r_1 r_2}{r_3}\) = \(\frac{b c-r_2 r_3}{r_1}\) = \(\frac{c a-r_3 r_1}{r_2}\) అని చూపండి. (Mar. ’08; May ’06)
సాధన:

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 8 విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 8 విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

1. క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin^-1 \(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
సాధన:
sin^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\) = –\(\frac{\pi}{6}\)
–\(\frac{\pi}{6}\) ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)

ii) cos^-1 \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
సాధన:
cos^-1 \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = π – cos^-1\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
= π – \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{5 \pi}{6}\) ∈ [0, π]

iii) tan^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
సాధన:
tan^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) = \(\frac{\pi}{6}\) ∈ (-\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\) )

iv) cot1 (-1)
సాధన:
cot ‘(-1) = π – cot^-1 (1) = π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\) ∈ (0, π)

v) sec^-1 (-\(\sqrt{2}\))
సాధన:
sec^-1 (-\(\sqrt{2}\)) = π – sec^-1 (\(\sqrt{2}\))
= π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\) ∈ (\(\frac{\pi}{2}\), π)

vi) cosec^-1 \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
సాధన:
cosec^-1 \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\) = sin^-1\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = \(\frac{\pi}{3}\) ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\))

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin^-1 (sin \(\frac{4 \pi}{3}\))
సాధన:

ii) cos^-1 \(\left(\cos \frac{4 \pi}{3}\right)\)
సాధన:

iii) tan^-1 (tan \(\frac{4 \pi}{3}\))
సాధన:

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin (cos^-1 \(\frac{5}{13}\))
సాధన:
sin (cos^-1 \(\frac{5}{13}\)) = sin (sin^-1 \(\frac{12}{13}\)) = \(\frac{12}{13}\)

ii) tan (sec^-1 \(\frac{25}{7}\))
సాధన:
tan(sec^-1\(\frac{25}{7}\)) = tan(tan^-1 \(\frac{24}{7}\)) = \(\frac{24}{7}\)

iii) cos (tan^-1 \(\frac{24}{7}\))
సాధన:
cos (tan^-1 \(\frac{24}{7}\)) = cos (cos^-1 \(\frac{7}{25}\)) = \(\frac{7}{25}\)

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin² (tan^-1 \(\frac{3}{4}\))
సాధన:
sin(tan^-1 \(\frac{3}{4}\)) = sin (sin^-1 \(\frac{3}{5}\)) = \(\frac{3}{5}\)
∴ sin² (tan^-1 \(\frac{3}{4}\)) = (\(\frac{3}{5}\))² = \(\frac{9}{25}\)

ii) sin (\(\frac{\pi}{2}\) – sin^-1 \(\left(-\frac{4}{5}\right)\))
సాధన:

iii) cos (cos^-1\(\left(-\frac{2}{3}\right)\) – sin^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\))
సాధన:

iv) sec² (cot^-1 3) + cosec² (tan^-1 2)
సాధన:
cot^-1 (3) = α, tan^-1(2) = β అనుకుంటే
cot α = 3, tan β = 2
⇒ tan α = \(\frac{1}{3}\), cot β = \(\frac{1}{2}\)
ఇప్పుడు sec²(cot^-1 3) + cosec²(tan^-1 β)
= 1 + \(\left(\frac{1}{3}\right)^2\) + 1 + \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
= 2 + \(\frac{1}{9}\) + \(\frac{1}{4}\)
= \(\frac{72+4+9}{36}\) = \(\frac{85}{36}\)

iv) sec²(cot^-1 3) + cosec² (tan^-1 2)
సాధన:
cot^-1 (3) = α, tan^-1 (2) = β అనుకుంటే
cot α = 3, tan β = 2
⇒ tan α = \(\frac{1}{3}\), cot β = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 5.
cot^-1 \(\frac{1}{2}\) + cot^-1 \(\frac{1}{3}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
cot^-1 (\(\frac{1}{2}\)) + cot^-1 (\(\frac{1}{3}\))
= tan^-1 (2) + tan^-1 (3)
∵ x = 3, y = 2, xy > 1
= π + tan^-1 \(\left(\frac{2+3 .}{1-(2)(3)}\right)\)
= π + tan^-1 \(\left(\frac{5}{-5}\right)\)
= π + tan^-1 (-1)
= π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\)

ప్రశ్న 6.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{7}{25}\) = sin^-1 \(\frac{117}{125}\) అని చూపండి. (Mar. ’13)
సాధన:
మొదటి పద్ధతి :

రెండవ పద్ధతి:
x > 0, y > 0, x² + y² < 1 అయితే
sin^-1 x + sin^-1 y = sin (x\(\sqrt{1-y^2}\) + y\(\sqrt{1-x^2}\)), అని మనకు తెలుసు.
∴ sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{7}{25}\)

ప్రశ్న 7.
x ∈ (-1, 1) save 2 tan^-1x = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
∵ x ∈ (-1, 1), tan^-1 x = α అనుకుంటే

ప్రశ్న 8.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{5}{13}\) + sin^-1 \(\left(\frac{16}{25}\right)\) = \(\frac{\pi}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) = α, sin^-1 \(\frac{5}{13}\) = β అనుకుంటే
α, β లు అల్పకోణాలు.
sin α = \(\frac{4}{5}\), sin β = \(\frac{5}{13}\)
కనుక cos α = \(\frac{3}{5}\), cos β = \(\frac{12}{13}\)
ఇప్పుడు
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= \(\frac{3}{5}\). \(\frac{12}{13}\) – \(\frac{4}{5}\) . \(\frac{5}{13}\)
= \(\frac{16}{65}\)
∴ α + β = cos^-1 \(\left(\frac{16}{65}\right)\)

ప్రశ్న 9.
cot^-1 9 + cosec^-1 \(\frac{\sqrt{41}}{4}\) = \(\frac{\pi}{4}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
cot^-1 (9) = α, cosec^-1\(\frac{\sqrt{41}}{4}\) = β అనుకుంటే
cot α = 9, cosec β = \(\frac{\sqrt{41}}{4}\) అవుతాయి.

ప్రశ్న 10.
cot (sin^-1 \(\sqrt{\frac{13}{17}}\)) = sin (tan^-1 \(\frac{2}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
tan ((2 tan^-1 \(\frac{1}{5}\)) – \(\frac{\pi}{4}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + 2 tan^-1 \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{\pi}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
cos (2 tan^-1 \(\frac{1}{7}\)) = sin (4 tan^-1 \(\frac{1}{3}\)) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
sin^-1 x + sin^-1y + sin^-1 z = π, అయితే x⁴ + y⁴ + z⁴ + 4x²y²z² = 2(x²y² + y²z² + z²x²) అని చూపండి.
సాధన:
sin^-1x = A, sin^-1 y = B, sin^-1 (z) = C అనుకుందాం
sin A = x, sin B = y, sin C = z
A + B = π – C
⇒ cos (A + B) = cos(π – C)
⇒ cos A cos B – sin A sin B = -cos C

ప్రశ్న 15.
cos^-1\(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{a}}\) + cos^-1\(\frac{\mathbf{q}}{\mathbf{b}}\) = α, అయితే \(\frac{p^2}{a^2}\) – 2\(\frac{p q}{a b}\) cos α + \(\frac{q^2}{b^2}\) = sin² α అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
x > 0 కు arc sin\(\left(\frac{5}{x}\right)\) + arc sin \(\frac{12}{x}\) = \(\frac{\pi}{2}\)
ను సాధించండి.
సాధన:

⇒ \(\frac{25}{x^2}\) = 1 – \(\frac{144}{x^2}\)
⇒ \(\frac{169}{x^2}\) = 1 ⇒ x² = 169 ⇒ x = ± 13
⇒ x = 13 (∵ x > 0)

ప్రశ్న 17.
sin^-1 \(\left(\frac{3 x}{5}\right)\) + sin^-1 \(\left(\frac{4 x}{5}\right)\) = sin^-1(x) ను సాధించండి.
సాధన:
sin^-1 \(\left(\frac{3 x}{5}\right)\) = α, sin^-1 \(\left(\frac{4 x}{5}\right)\) = β, sin^-1 (x) = γ అనుకుంటే
అప్పుడు sin α = \(\frac{3 x}{5}\), sin β = \(\frac{4 x}{5}\), sin γ = x అవుతాయి

⇒ 25 – 16x² = 9
⇒ 16x² = 16 ⇒ x = ±1
∴ x = 0, +1, -1
x యొక్క ఈ విలువలు దత్త సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి.

ప్రశ్న 18.
sin^-1x + sin^-1 2x = \(\frac{\pi}{3}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వర్గం చేస్తే

ఋణాత్మకాలు. కనుక ఈ విలువ దత్త సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు.
x = \(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}}\) మాత్రమే సాధన.

ప్రశ్న 19.
sin [2 cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)}] = 0, అయితే x ను కనుక్కోండి.
సాధన:
sin [2cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)}] = 0
⇔ 2 cos^-1 [cot (2tan‍^-1 x)] = 0 లేదా π లేదా 2π
(cos^-1 x యొక్క వ్యాప్తి [0, π] కనుక)
⇔ cos^-1 [cot (2 tan^-1 x)] = 0 లేదా \(\frac{\pi}{2}\) లేదా π
⇔ cot (2 tan^-1 x) = 1 లేదా 0 లేదా −1

ప్రశ్న 20.
cos [tan^-1 {sin (cot ^-1x)}] = \(\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
cot^-1 (x) = θ అనుకుందాం.
అప్పుడు cot θ = x, 0 < x < π

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a)

అభ్యాసం – 9 (ఎ)

I. క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) \(\sqrt{x}\) + \(2 x^{\frac{3}{4}}\) + \(3 x^{\frac{5}{6}}\) (x > 0)
సాధన:
y = \(\sqrt{x}\) + \(2 x^{\frac{3}{4}}\) + \(3 x^{\frac{5}{6}}\) (x > 0)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2} \cdot x^{-1 / 2}\) + 2. \(\frac{3}{2}\) . x^-1/4 + 3. \(\frac{3}{2}\) . x^-1/6]

ii) \(\sqrt{2 x-3}\) + \(\sqrt{7-3 x}\) (T.S Mar. ’15)
సాధన:

iii) (x² – 3) (4x³ + 1)
సాధన:
y = (x² – 3) (4x³ + 1)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 3) – (4x³ + 1)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 3) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(4x³ + 1) + (4x³ + 1)\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(x² – 3)
= (x² – 3) (12x²) + (4x³ + 1) (2x)
= 12x⁴ – 36x² + 8x⁴ + 2x
= 20x⁴ – 36x² + 2x

iv) (\(\sqrt{x}\) – 3x) (x + \(\frac{1}{x}\))
సాధన:

v) (\(\sqrt{x}\) + 1)(x² – 4x + 2)(x > 0)
సాధన:
y = (\(\sqrt{x}\) + 1) (x² – 4x + 2) (x > 0)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

vi) (ax + b)ⁿ (cx + d)^m.
సాధన:

vii) 5 sin x + e^x log.x
సాధన:
y = 5 sin x + e^x. log x
\(\frac{d y}{d x}\) = 5 cos x + e^x. \(\frac{d}{d x}(\log x)\) + log x \(\frac{d}{d x}\left(e^x\right)\)
= 5 cos x + e^x . \(\frac{1}{x}\) + (log x) (e^x)

viii) 5^x + log x + x³ e^x
సాధన:
y = 5x + log x + x³ e^x
\(\frac{d y}{d x}\) = 5^x . log 5 + \(\frac{1}{x}\) + x³.e^x + e^x.3x²
= 5^x.l0g 5 + \(\frac{1}{x}\) + x³ e^x + 3x² e^x

ix) e^x + sin x cos x
సాధన:
y = e^x + sin x. cos x
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{d}{d x}\)(e^x) + \(\frac{d}{d x}\)(sin x. cos x)
= e^x + sin x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cos x) + cos x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin x)
= e^x – sin² x + cos² x
= e^x + cos 2x

x)
\(\frac{\mathbf{p} x^2+\mathbf{q} x+\mathbf{r}}{\mathbf{a x}+\mathbf{b}}\)(|a| + |b| ≠ 0)
సాధన:

xi) log₇ (log x) (x > 0)
సాధన:
y = log₇ (log x) (x > 0)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{\log _7} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}\)
= \(\frac{1}{x(\log x)\left(\log _e^7\right)}\) = \(\frac{\log _7{ }^e}{x \log _e x}\)

xii)
\(\frac{1}{a x^2+b x+c}\) (|a| + |b| + |c| ≠ 0)
సాధన:

xiii) e^2x log (3x + 4) (x > \(\frac{-4}{3}\)) (May ’13)
సాధన:
y = e^2x. log (3x + 4) (x > –\(\frac{4}{3}\))
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

xiv) (4 + x²) e^2x
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = (4 + x²) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(e^2x) + e^2x\(\frac{d}{d x}\)(4 + x²)
= (4 + x²). 2e^2x + e^2x (0 + 2x)
= 2e^2x (4 + x² + x]
= 2e^2x (x² + x + 4)

xv) \(\frac{a x+b}{c x+d}\) [|c| + |d| ≠ 0] (May 12)
సాధన:
y = \(\frac{a x+b}{c x+d}\) [|c| + |d| ≠ 0]
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

xvi) a^x. e^x2
సాధన:
y = a^x. e^x2
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 2.
f(x) = 1 + x + x² + …. + x^1oo, అయితే f'(1) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 1 + 2x + 3x²……… + 100 x⁹⁹
f'(1) = 1 + 2 + 3 …….. + 100
= \(\frac{100 \times 101}{2}\) = 5050 (Σx = \(\frac{x(x+1)}{2}\))

ప్రశ్న 3.
f(x) = 2x² + 3x – 5 అయితే f'(0) + 3f'(-1) = 0 అని చూపండి.
సాధన:
f'(x) = 4x + 3
f'(0) = 0 + 3 = 3
f'(-1) = – 4 + 3 = -1
f(0) + 3f'(-1) 3 + 3(-1) = 3 – 3 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
అవకలజం ప్రాథమిక సూత్రం నుంచి కింది ప్రమేయాలు అవకలజాలను కనుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)

i) x³
సాధన:

ii) x² + 4
సాధన:
f(x) = x² + 4
f(x + h) – f(x) = ((x + h)⁴ + 4) – (x⁴ + 4)
= ((x + h)⁴ + 4 – x⁴ – 4
= x⁴ + 4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h⁴ – x⁴

iii) ax² + bx + c
సాధన:
f(x) = ax² + bx + c
f(x + h) = a(x + h)² + b(x + h) + c
= a(x² + 2hx + h²) + b(x + h) + c
= ax² + 2ahx + ah² + bx + bh + c
f(x + h) – f(x) = ax² + 2ahx + ah² + bx + bh + c – ax² – bx – c
= h[2ax + ah + b]

iv) \(\sqrt{x+1}\)
సాధన:

v) sin 2x (May ’13)
సాధన:
f(x) = sin 2x = f(x + h) – f(x)
= sin 2(x + h) – sin 2x
= 2cos \(\frac{2 x+2 h+2 x}{2}\) . sin \(\frac{2 x+2 h-2 x}{2}\)
= 2. cos (2x + h). sin h

vi) cos ax (Mar. ’13, ’11)
సాధన:

vii) tan 2x
సాధన:

viii) cot x
సాధన:
f(x) = cot x
f(x + h) – f(x) = cot (x + h) – cot x

ix) sec 3x
సాధన:
f(x) = sec 3x
f(x + h) − f(x) = sec 3(x + h) – sec 3x

x) x sin x
సాధన:
f(x) = x sin x.
f(x + h) – f(x) = (x + h) sin (x + h) – x sin x
= x (sin (x + h) – sin x) + h. sin (x + h)
= x[2 cos\(\frac{x+h+x}{2}\).sin \(\frac{x+h-x}{2}\)) + h. sin(x + h)

xi) cos² x
సాధన:
f(x) = cos² x
f(x + h) f(x) = cos² (x + h) – cos² x
= -(cos² x – cos² (x + h))
= -sin (x + h + x) sin (x + h – x)

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) \(\frac{1-x \sqrt{x}}{1+x \sqrt{x}}\) (x > 0)
సాధన:

ii) xⁿ. n^x. log (nx) (x > 0, n ∈ N)
సాధన:

iii) ax²ⁿ. log x + bxⁿ e^-x
సాధన:
y = ax²ⁿ. log x + bxⁿ e^-x

iv) (\(\frac{1}{x}\) – x)³. e^x
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ప్రమేయం f(x) = |x| + |x – 1], x ∈ R, 0, 1ల వద్ద తప్ప అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద అవకలనీయం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = │x| + |x – 1| ∀ x ∈ R
f(x) = x + x − 1 = 2x − 1, x ≥ 1
= x – (x − 1) = x – x + 1, = 1, 0 < x < 1
= -x – (x – 1) = -x – x + 1 = 1 – 2x, x ≤ 0
∴ f(x) = 2x – 1, x ≥ 1
= 1, 0 < x < 1 = 1 – 2x, x ≤ 0 x > 1, అయితే f(x)= 2x – 1 = x² లో బహుపది
f(x) అన్ని x > 1 లకు అవకలనీయము.
0 < x < 1, అయితే f(x) = 1
∴ f(x), 0 < x < 1 కు అవకలనీయము.
x < 1, అయితే f(x) = 1 – 2x = x లో బహుపది
∴ f(x) అన్ని x < 1 వద్ద అవకలనీయము
సందర్భం i) : x = 0

∴ f'(0) వ్యవస్థితం కాదు.
f(x) అవకలనీయము కాదు x = 0 వద్ద
సందర్భం ii) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద అవకలనీయము కాదు.
∴ f(x), 0, 1 వద్ద తప్ప x వాస్తవ విలువలన్నింటి వద్ద అవకలనీయము

ప్రశ్న 4.
క్రింది ప్రమేయం 1, 3 ల వద్ద అవకలనీయమేమో చూపండి.

సాధన:
సందర్భం i) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద x = 1 అవకలనీయం కాదు
సందర్భం ii) : x = 3

f(x) వద్ద x = 3 అవకలనీయం కాదు

ప్రశ్న 5.
క్రింది ప్రమేయం 2 వద్ద అవకలనీయమా ? సరి చూడండి.

సాధన:


f'(2-) ≠ f'(2⁺) ; f(x) ప్రమేయం x = 2 వద్ద ఆవకలనీయం కాదు.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(g) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(g)

అభ్యాసం – 10 (జి)

I.

1. అవకలజాన్ని ఉపయోగించకుండా

i) f(x) = 3x + 7 ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం సాధన.
సాధన:
x₁, x₂ ∈ R అయితే x₁ < x₂
3x₁ < 3x₂
ఇరువైపుల 7 కూడగా
3x₁ + 7 < 3x₂ + 7
⇒ f(x₁) < f(x₂)
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) < f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ R
ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.

ii) f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం
సాధన:
f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\)
Let x₁, x₂ ∈ R
అయితే
x₁ < x₂
⇒ \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}\) > \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\)
⇒ f(x₁) > f(x₂) .
R పై f(x) శుద్ధ అవరోహణం.

iii) f(x) = e^3x ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.
సాధన:
f(x) = e^3x
x₁, x₂ ∈ R అయితే x₁ < x₂
W.k.t a > b
అయితే e^a > e^b
⇒ e^3x < e^3x₂
⇒ f(x₁) < f(x₂)
R పై f(x) శుద్ధ ఆరోహణం.

iv) f(x) = 5 – 7x ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = 5 – 7x
x₁ x₂ ∈R
అయిన x₁ < x₂
⇒ 7x₁ < 7x₂
-7x₁ > -7x₂
ఇరువైపులా 5 కూడగా
5 – 7x₁ > 5 – 7x₂
f(x₁) > f(x₂)
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ∀x₁ x₂ ∈ R.
R పై f(x) శుద్ధ అవరోహణం.

ప్రశ్న 2.
f(x) = sin x, x E R ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం లేదా శుద్ధ అవరోహణం కాదని చూపండి.
సాధన:
f(x) = sin x
Since 0 < x < π
Consider 0 < x f(0) < f(x)
sin 0 < sin x
0 < sin x —— (1)
Consider x < π
f(x) < f(π)
sin x < sin π 0 > sin x —— (2)
(1) (2) నుంచి f(x) శుద్ధ ఆరోహణం లేదా శుద్ధ అవరోహణం కాదు.

II.

1. కింద ప్రమేయాలు శుద్ధ ఆరోహణం, శుద్ధ అవరోహణం అయ్యే అంతరాలను కనుక్కోండి.

i) x² + 2x – 5
సాధన:
Let f(x) = x² + 2x – 5
f(x) = 2x + 2
f(x) ఆరోహణం అయితే f'(x) > 0
⇒ 2x + 2< 0 ⇒ x + 1 > 0
x > -1
x ∈ (-1, ∞) వద్ద f(x) ఆరోహణం
f(x) అవరోహణం అయితే f'(x) < 0
⇒ 2x + 2 < 0
⇒ x + 1 < 0
⇒ x < -1
x ∈ (-∞, −1) వద్ద f(x) అవరోహణం.

ii) 6 – 9x – x².
సాధన:
f(x) = 6 – 9x – x²
f'(x) = -9 -2x
f(x) ఆరోహణం అయితే f'(x) > 0
⇒ -9 – 2x > 0
⇒ 2x + 9 < 0
x < \(\frac{-9}{2}\)
x ∈ \(\left(-\infty, \frac{-9}{2}\right)\) అయితే f(x) ఆరోహణం
f(x) అవరోహణం అయితే f'(x) < 0
⇒ 2x + 9 > 0
⇒ x > \(\frac{-9}{2}\)
x ∈ \(\left(\frac{-9}{2}, \infty\right)\) అయితే f(x) అవరోహణం

iii) (x + 1)³ (x – 1)³.
సాధన:
Let f(x) = (x + 1)³ (x + 1)³
= (x² – 1)³
= x⁶ – 1 – 3x⁴ + 3x²
f'(x) = 6x⁵ – 12x³ + 6x
= 6(x⁵ – 2x³ + x)
= 6x(x⁴ – 2x² + 1)
= 6x(x² – 1)²
f'(x) ≤ 0
⇒ 6x(x² – 1) ≤ 0
f(x) అవరోహణ అయితే (-∞, -1) ∪ (1, 0)
f'(x) > 0
f(x) అవరోహణ అయితే (0, 1) ∪ (1, ∞)

iv) x³(x – 2)²
సాధన:
f'(x) = x³. 2(x – 2) + (x – 2)². 3x²
= x²(x – 2) (2x + 3(x – 2))
= x² (x – 2) (2x + 3x – 6)
= x² (x – 2) (5x – 6) ∀ x ∈ R, x² ≥ 0
ఆరోహణ అయితే f'(x) > 0.
x²(x – 2) (5x – 6) > 0
x ∈ \(\left(-\infty, \frac{6}{5}\right)\) ∪ (2, ∞)
అవరోహణ అయితే f'(x) < 0
x²(x – 2) (5x – 6) < 0
x ∈ \(\left(\frac{6}{5}, 2\right)\)

v) f(x) = x e^x
సాధన:
f(x) = x . e^x + e^x. 1 = e^x (x + 1)
e^x, x వాస్తవ
f(x) > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > -1
f(x) ఆరోహణం అయితే x > -1
f'(x) < 0 ⇒ x + 1 < 0 ⇒ x < – 1
f(x) అవరోహణము అయితే x < – 1

vi) f(x) = \(\sqrt{25-4 x^2}\)
సాధన:
f(x) వాస్తవము కావలెనంటే 25 – 4x² ≥ 0
-(4x² – 25) ≥ 0
-(2x + 5) (2x – 5) ≥ 0
∴ x విలువ \(-\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{2}\) మధ్య ఉంటుంది.

f(x) ప్రమేయము (\(-\frac{5}{2}\), 0) లో అవరోహణము
f(x) అవరోహణము అయితే f'(x) < 0
⇒ \(-\frac{4 x}{\sqrt{25-4 x^2}}\) < 0
∴ x > 0
f(x) ప్రమేయము (0, \(\frac{5}{2}\)) లో అవరోహణం.

vii) f(x) = ln (lnx); x > 1
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}\)
f(x) లో ఆరోహణమయితే f'(x) > 0
\(\frac{1}{x \cdot \ln } x\) > 0
⇒x. ln x > 0
In x వాస్తవం అయితే x > 0 కావలెను
∴ ln x < 0 = ln 1 i.e., x > 1
f(x) ప్రమేయము x > 1 ie., (1, ∞) అయిన ఆరోహణం
f(x) ప్రమేయము f'(x) < 0 అయితే అవరోహణం
⇒ In x > 0 ln
i.e., x < 1
f(x) ప్రమేయము (0, 1) లో అయితే అవరోహణం

viii) f(x) = x³ – 3x² – 6x + 12
సాధన:
f'(x) = 3x² + 6x – 6
= 3(x² + 2x – 2)
= 3[(x + 1)² – 3]
= 3( x + 1 + \(\sqrt{3}\)) ( x + 1 – \(\sqrt{3}\))
f'(x) = 3(x+ (\(\sqrt{3}\) + 1))(x + (1 − \(\sqrt{3}\)))
f'(x) ≤ 0 ⇒ 1 + \(\sqrt{3}\) < x < \(\sqrt{3}\) + 1
f(x), (1 + \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) – 1) లో
f'(x) > 0 ⇒ x అవరోహణము
1 – \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) – 1 ల మధ్య ఉండును.
i.e., x < 1 – \(\sqrt{3}\) మరియు x > \(\sqrt{3}\) – 1
f(x), x < 1 – \(\sqrt{3}\), x > \(\sqrt{3}\) – 1 లో ఆరోహణము

ప్రశ్న 2.
(0, π/2) అంతరంపై f(x) = cos²x శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = cos²x
⇒ f'(x) = 2 cos x(-sin x)
= -2 sin x cos X
= -sin 2x
∴ 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 0 < 2x < π
‘sin x’ is +ve మధ్య 0 + π
∴ f'(x) = -ve.
∴ f'(x) < 0
∴ f(x) విలువ తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 3.
[1, ∞) అంతరం పై x + \(\frac{1}{x}\) ఆరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = x + \(\frac{1}{x}\)
f'(x) = 1 – \(\frac{1}{x^2}\) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\)
Since x ∈ [1, ∞) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\) > 0
∴ f(x) > 0
∴ f(x) ఆరోహణం.

ప్రశ్న 4.
ప్రతి x > 0 కి \(\frac{x}{1+x}\) < ln (1 + x) < x ∀ అని చూపండి.
సాధన:

f(x) ప్రమేయము > 0 అయితే ఆరోహణము
∴ f(x) > f(0)

g(x) ప్రమేయము x > 0 లో ఆరోహణము
i.e., g(x) > g(0)
g(0) = 0 – ln = 0 – 0 = 0
∴ x – ln (1 + x) > 0
x > ln (1 + x) —– (2)
(1), (2) ల నుండి
x > 0 అయితే \(\frac{x}{1+x}\)(1 + x) < x

III.

ప్రశ్న 1.
ప్రతి x > 0 కి \(\frac{x}{1+x}\) < ln(1 + x) < x ∀ అని చూపండి.
సాధన:

f(x) ప్రమేయము x > 0 లో ఆరోహణము
f(x) > f(0)
f(0) = tan^-1 0 – 0 = 0 కనుక
i.e., f(x) > 0
⇒ tan^-1x – \(\frac{x}{1+x^2}\) > 0
⇒ tan^-1x > \(\frac{x}{1+x^2}\) —- (1)
g(x) = 1 – tan^-1x అనుకుందాం
g'(x) = 1 – \(\frac{1}{1+x^2}\) = \(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\) = \(\frac{x^2}{1+x^2}\) > 0
g(x) ప్రమేయము x > 0 కు ఆరోహణము
i.e., g(x) > g(0)
g(0) = 0 – tan^-1 = 0 – 0 = 0
∴ x – tan^-1 x > 0
⇒ x > tan^-1 x —— (2)
(1), (2) ల నుండి
x > 0 అయితే \(\frac{x}{1+x^2}\) < tan^-1 x < x

ప్రశ్న 2.
ప్రతి x ∈\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కి tan x > x అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = tan x – x అనుకుందాం
f'(x) = sec² x – 1 > 0, ∀x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\),
∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ఆరోహణము
i.e., f(x) > f(0)
f(0) = tan 0 – 0 = 0 – 0 = 0
∴ tan x – x > 0
⇒ ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు tan x > x

ప్రశ్న 3.
x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) అయితే, \(\frac{2 x}{\pi}\) < sin x < x అని చూడండి
సాధన:
f(x) = x – sinx అనుకుందాం.
f'(x) = 1 – cos x > 0 ∀ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
⇒ f(x) ప్రమేయము ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ఆరోహణము.
⇒ f(x) > f(0)
f(0) = 0 – sin 0 = 0 – 0 = 0
∴ x – sin x > 0
⇒ x > sin x
g(x) = sin x – \(\frac{2 x}{\pi}\) అనుకుందాం.
g'(x) = cos x – \(\frac{2}{\pi}\) > 0 ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ప్రమేయము.
g(x) ప్రమేయము \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) లో ఆరోహణ ప్రమేయము.
g(x) > g(0)
g(0) = sin 0 – 0 = 0 – 0 = 0
∴sin x – \(\frac{2 x}{\pi}\) > 0
⇒ 1 – sin x > \(\frac{2 x}{\pi}\) —- (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{2 x}{\pi}\) < sin x < x ∀ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)

ప్రశ్న 4.
x ∈(0, 1) అయితే 2x < ln \(\left[\frac{(1+x)}{1-x}\right]\) < 2x \(\left[1+\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}\right]\) అని చూపండి.
సాధన:

= \(\frac{2-2+2 x^2}{1-x^2}\)
= \(\frac{2 x^2}{1-x^2}\) > 0 ∀ x ∈ (0, 1)
f(x) ప్రమేయము (0, 1) లో ఆరోహణము
i.e., x > 0 ⇒ f(x) > f(0)
f(0) = ln 1 – 0 = 0 – 0 = 0

g(x) ప్రమేయము x > 0 కు ఆరోహణము
g(x) > g(0)
g(0) = 0 ln 1 = 0 – 0 = 0

(1), (2) ల నుండి
2x < ln \(\frac{(1+x)}{1-x}\) < 2x \(\left(1+\frac{\mathrm{x}^2}{2\left(1-\mathrm{x}^2\right)}\right)\) x ∈ (0, 1)

ప్రశ్న 5.
y = \(\frac{x^3}{6}\) – \(\frac{3 x}{2}\) + \(\frac{11 x}{2}\) + 12 ప్రమేయానికి ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలులు పెరుగుతాయి ?
సాధన:
వక్రం సమీకరణము У = \(\frac{x^3}{6}\) – \(\frac{3}{2} x^2\) + \(\frac{11 x}{2}\) + 12

వాలు ఆరోహణము
⇒ m > 0
x – 3 > 0
x > -3
వాలు (3, ∝) లో ఆరోహణము

ప్రశ్న 6.
(0, ∝) అంతరంలో ln\(\frac{(1+x)}{x}\), \(\frac{x}{(1+x) \ln (1+x)}\) ప్రమేయాలు అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
i)

∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ (0, ∝) లో అవరోహణ ప్రమేయము

ii)
f(x) = \(\frac{x}{(1+x) \ln (1+x)}\) అనుకుందాం


∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ (0, ∝) లో అవరోహణ ప్రమేయము

ప్రశ్న 7.
f(x) = x³ – 3x² + 4 ∀ x ∈ R అంతరంలో శుద్ధ అవరోహణం అవుతుందో కనుక్కోండి
సాధన:
f(x) = x³ – 3x² + 4
f'(x) = 3x² – 6x
f(x) is increasing if f'(x) > 0
3x² – 6x > 0
3x(x – 2) > 0
(x – 0) (x – 2) > 0
f(x) is increasing if x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, ∞)
f(x) is decreasing if f'(x) < 0
(x – 0) (x – 2) < 0
x ∈ (0, 2)

ప్రశ్న 8.
f(x) = sin⁴x + cos⁴x ∀ x ∈ \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\), అంతరాలలో అవరోహణమో, ఆరోహణమో చూపండి.
సాధన:
f(x) = sin⁴x + cos⁴x
f(x) = (sin²x)² + (cos²x)²
= (sin²x + cos²x)² – 2sin²x cos²x
= 1 – \(\frac{1}{2}\) sin² 2x
f'(x) = \(\frac{-1}{2}\) sin 2x. cos 2x(2)
= -2 sin 2x . cos 2x
= -sin 4x
Let 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\)
∴ f(x) విలువ తగ్గుతుంది f'(x) < 0
−sinx < 0 sinx > 0
∴ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\)
f(x) విలువ పెరుగుతుంది f'(x) > 0
– sinx > 0
sinx < 0
x ∈ \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(h) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(h)

అభ్యాసం 10 (హెచ్)

I. క్రింది ప్రమేయాలకు వాటి ప్రక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై స్థానిక అంత్యబిందువులు, స్థానిక అంత్య విలువలు (ఉంటే) కనుక్కోండి.

i) f(x) = x², ∀ x ∈ R.
సాధన:
f(x) = x²
f(x) = 2x = f”(x) = 2
గరిష్టం, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
2x = 0
x = 0
ఇప్పుడు f”(x) = 2 > 0
∴ f(x) వద్ద x = 0 కనిష్ట విలువ ఉంది.
స్థానిక కనిష్ట బిందువు x’ = 0
స్థానిక కనిష్ట విలువ = 0.

ii) f(x) = sin x, [0, π)
సాధన:
ఇచ్చినది f(x) = sinx
⇒ f'(x) = cosx
⇒ f”(x) = – sin x
గరిష్ట లేక కనిష్ట విలువలు
f'(x) = 0
cos x = 0
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3 \pi}{2}\), \(\frac{5 \pi}{2}\), \(\frac{7 \pi}{2}\)

i) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = \(-\sin \frac{\pi}{2}\) = -1 < 0
f(x) = sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = \(\frac{\pi}{2}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ x = 1

ii) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\)
= – sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = -1 > 0
f(x) = sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = -1
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = \(\frac{3 \pi}{2}\)
స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = -1

iii) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{5 \pi}{2}\right)\)
= -sin \(\frac{5 \pi}{2}\) = -1 < 0
f(x) = sin \(\frac{5 \pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = \(\frac{5 \pi}{2}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ x = 1

iv) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = -sin \(\frac{7 \pi}{2}\) = 1 > 0
f(x) = sin \(\frac{7 \pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = \(\frac{7 \pi}{2}\)
స్థానిక కనిష్ట విలువ x = -1

ii) f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15
సాధన:
f'(x) = 3x² – 12x + 9 ⇒ f”(x) = 6x – 12
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ 3x² – 12x + 9 = 0
⇒ x² – 4x + 3 = 0
⇒(x – 1) (x – 3) = 0.
⇒ x = 1 లేదా 3
ఇప్పుడు f”(1) = 6(1) – 12 = -6 < 0
∴ f(x), x = 1 వద్ద గరిష్టము
గరిష్ఠ విలువ f(1)= 1³ – 6 (1)² + 9(1) + 15
= 1 – 6 + 9 + 15 = 19
f”(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0
∴ f(x), x = 35 g వద్ద కనిష్టము
కనిష్ఠ విలువ = f(3) = 3³ – 6.3² + 9.3 + 15
= 27 – 54 + 27 + 15
= 15

iv) f(x) = \(x \sqrt{(1-x)}\) ∀ x = (0, 1)
సాధన:

గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0

v) f(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\) ∀ x ∈ R
సాధన:

∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ \(\frac{-2 x}{\left(x^2+2\right)^2}\) = 0 ⇒ x = 0
f”(0) = \(\frac{2(0-2)}{(0+2)^3}\) = \(\frac{-4}{8}\) = \(\frac{-1}{2}\) < 0
∴ f(x), x = 0 వద్ద గరిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(0) = \(\frac{1}{0+2}\) = \(\frac{1}{2}\)

vi) f(x) = x³ – 3x ∀ x ∈R
సాధన:
f'(x) = 3x² – 3 మరియు f'(x) = 6x
∴గరిష్ఠ, కనిష్ట విలువలకు f'(x) = 0
⇒ 3x² – 3 = 0
⇒ x² – 1 = 0
⇒ x = ±1
ఇప్పుడు f”(1) = 6(1) = 6 > 0
∴ f(x), x = 1 ల వద్ద కనిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(1) = 1³ – 3 (1) = -2
f”(-1) = 6(-1) = -6 < 0
∴ f(x) కు x = 1 వద్ద గరిష్ఠం
గరిష్ఠ విలువ = f(-1) = (-1)³ – 3(-1)
= -1 + 3 = 2

vii) f(x) = (x – 1)(x + 2)² ∀ x ∈ R
సాధన:
f'(x) = (x – 1) (x + 2)²
f(x) = (x – 1)2(x + 2) + (x + 2)²
= 2(x – 1) (x + 2) + (x + 2)²
f”(x) = 2(x – 1) + 2(x + 2) + 2(x + 2)
= 2(x – 1 + x + 2 + x + 2)
= 2(3x + 3) = 6(x + 1)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
2(x – 1)(x + 2) + (x + 2)² = o
(x + 2) [2(x – 1) + (x + 2)] = 0
⇒ (x + 2) (3x) = 0
⇒ x = 0, x = -2
ఇప్పుడు f”(0) = 6(0 + 1) = 6 > 0
∴ f(x), x = -2 వద్ద కనిష్ఠము
కనిష్ఠ విలువ f(0) = (0 – 1)(0 + 2)² = -4
f”(-2) = 6(-2 + 1) = -6 < 0
∴ f(x), x = -2 వద్ద గరిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(-2) = (-2 – 1)(-2 + 2)² = 0

viii) f(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\) ∀ x ∈ R
సాధన:
f'(x) = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{x^2}\) మరియు f”(x) = \(\frac{4}{x^3}\)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}\) = 0 ⇒ x² – 4 = 0 ⇒ x = ±2
f”(2) = \(\frac{4}{2^3}\) = \(\frac{1}{2}\) > 0 (x > 0 కనుక)
∴ f(x), x = 2 వద్ద కనిష్ఠ విలువ ఉంది
కనిష్ఠ విలువ = f(2) = \(\frac{2}{2}\) + \(\frac{2}{2}\) = 1 + 1 = 2

ix) f(x) = -(x – 1)³ (x + 1)² ∀ x ∈ R
సాధన:
f(x) = -(x – 1)³ (x + 1)² = (1 – x)³ (x + 1)²
f'(x) = (1 – x)³ 2(x + 1) + 3(1 – x)² (-1) (x + 1)
= (1 – x²) (x + 1) {2(1 – x) – 3(x + 1)}
= (1 – x)²(x + 1){2 – 2x – 3x – 3} = 0
= (1 – x)²(x + 1)(-1 – 5x)
f’'(x) = (1 – x)²(x + 1)(-5) + (1 – x)²(-1 – 5x) + (x + 1)(-1 – 5x) 2(1 – x)(-1)
= -5 (1 – x)² (x + 1) — (1 + 5x) (1 – x)² + (x + 1)(1 + 5x)2(1 – x)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
(1 – x)² (x + 1) (-1 – 5x) = 0
⇒ x = ±1 లేదా -1/5
f’'(1) = 0 – 0 + 0 ⇒ x = 0
f”(1 + 1)²(-1) = 0 – (1 – 5) + 0 = 16 > 0
∴ f(x), x = -1 వద్ద కనిష్ఠం
కనిష్ఠ విలువ f(-1) = (1 + 1)³(-1 + 1)² = o
f”\(\left(-\frac{1}{5}\right)\) < 0
⇒ f(x), x = \(-\frac{1}{5}\) వద్ద గరిష్టము
గరిష్ఠ విలువ f\(\left(-\frac{1}{5}\right)\) = \(\frac{3456}{3125}\)

x) f(x) = x² e^3x x ∈R
సాధన:
f'(x) = x² e^3x . 3 + e^3x. 2x
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
3x² e^3x + 2e^3x.x = 0
x² e^3x (3x + 2) = 0
x = 0, x = \(\frac{-2}{3}\) మరియు e^3x = 0
ఇప్పుడు f”(x) = 3(x² e^3x. 3 + e^3x 2x) + e^3x 2 + 2x e^3x f”(x)
= 9x²e^3x + 6x e^3x + 2 e^3x + 6xe^3x
= 9x²e^3x + 12xe^3x + 2e^3x
f”(0) = 2 > 0
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు = 0
స్థానిక కనిష్ట విలువ = 0
\(f^{\prime \prime}\left(\frac{-2}{3}\right)\) = \(\frac{-2}{e^2}\) < 0
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు = \(\frac{-2}{3}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ = \(\frac{4}{9 e^2}\)

II. క్రింది ప్రమేయాలకు వాటి ప్రక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై గరిష్ఠత్వ, పరమ కనిష్ఠం చూపండి.

i) f(x) = e^x
సాధన:
f'(x) = e^x మరియు f”(x) = e^x
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0 ⇒ e^x = 0 ⇒ e^x = 0
⇒ x నిర్వచితం కాదు
దత్త ప్రమేయానికి గరిష్ఠ, కనిష్టాలు లేవు.

ii) f(x) = log x (0, ∝)
సాధన:
f'(x) = \(\frac{1}{x}\) మరియు f”(x) = \(-\frac{1}{x^2}\)
f'(x) = 0 = x నిర్వచితం కాదు
⇒ f(x) కు గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు లేవు

iii) f(x) = x³ + x² + x + 1
సాధన:
f(x) = 3x² + 2x + 1 = 0 కు వాస్తవ విలువలు లేవు.
⇒ f(x) కు గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు లేవు.

II. క్రింది ప్రమేయాలకు పక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలను (ఉంటే) కనుక్కోండి.

i) f(x) = x³ ; [-2, 2]
సాధన:
f'(x) = 3x² > 0 కనుక f ఆరోహణము f”(x) = 6x
కనిష్ఠ విలువ f(-2) = (-2)³ = 8
గరిష్ఠ విలువ f(2) = 2³ = 8

ii) f(x) = (x – 1)² + 3 ; [-3, 1]
సాధన:
x = 1 వద్ద కనిష్ఠము
కనిష్ఠ విలువ = f(1) = 0 + 3 = 3
(-3, 1) లో f ఆరోహణము రిష్ట విలువ
f(-3) = (-3, -1)² + 3 = 16 + 3 = 19
f(1) = 0 + 3 = 3
గరిష్ఠ విలువ = 19
కనిష్ఠ విలువ = 3

iii) f(x) = 2|x| on [-1, 6]
సాధన:
f'(x) = \(\frac{2|x|}{x}\)
గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు f'(x) = 0
\(\frac{2|x|}{x}\) = 0 ⇒ x = 0
f(0) = 0
f(-1) = 2(-1) = 2
f(6) = 2(6) = 12
కనిష్ఠ విలువ = 0
గరిష్ఠ విలువ = 12

iv) f(x) = sin x + cos x ; [0, π]
సాధన:
f(x) = cos x – sin x ప్రతి x ∈ (0, π) కు వ్యవస్థితం
f'(x) = 0 ⇒ cos x – sin x = 0 కనుక
⇒ tan x = 1
⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\) ∈(0,π)
f(0) = sin 0 + cos 0 = 1 కనుక
\(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = sin \(\frac{\pi}{4}\) + cos \(\frac{\pi}{4}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = \(\sqrt{2}\)
∴ కనిష్ట విలువ -1
గరిష్ఠ విలువ \(\sqrt{2}\)

v) f(x) = x + sin 2x ; [0, 2π]
సాధన:
f(x) = x + sin 2x
f'(x) = 1 + 2 cos 2x
f'(x) = 0 ⇒ 2 cos 2x + 1 = 0
⇒ cos 2x = \(-\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ 2x = \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\) ∈ (0, 2π)
f(0) = 0 + sin 2(0) = 0
f\(\left(\frac{\pi}{3}\right)\) = \(\frac{\pi}{3}\) + sin 2. \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{3}\) + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
f(2π) 2π + sin 2. 2л = 2л + 0 = 2π
కనిష్ట విలువ = 0
గరిష్ఠ విలువ = 2π

ప్రశ్న 2.
మొదటి అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x³ – 12x ప్రమేయానికి R పై స్థానిక అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x³ – 12x
f(x) = 3x² – 12
f”(x) = 6x
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x = ± 2
f”(2) = 12 > 0
స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = 2
స్థానిక గరిష్ట విలువ = -16
f”(-2) = -12 < 0
స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = -1
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 16

ప్రశ్న 3.
మొదటి అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x² – 6x + 8 ∀ x ∈ Rకు స్థానిక అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x² – 6x + 8
f'(x) = 2x – 6 ⇒ f”(x) = 2
గరిష్ట, కనిష్ట విలువకు f(x) = 0.
2x – 6 = 0
x = 3
f”(3) = 2 > 0
x = 3
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = 3
స్థానిక కనిష్ట విలువ = -1

ప్రశ్న 4.
రెండో అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x³ – 9x² – 48x + 72 ∀ x ∈ Rకు స్థానిక అంత్య విలవులు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x³ – 9x³ – 48x + 72.
f'(x) = 3x² – 18x – 48
= 3(x – 8) (x + 2)
విరామ బిందువులు – 2 & 8
f”(x) = 6x – 18 = 6(x – 3)
At x = 8, f”(8) = 30 > 0.
∴ (8) = (8)³ – 9(8)² – 48(8) + 72
= 512 – 576 – 384 + 72
= -376
At x = -2, f”(-2) = -30 < 0
f(-2) = (-2)³ – 9(-2)² – 48(-2) + 72
= -8 – 36 + 96 + 72
= 124
స్థానిక కనిష్ట బిందువు = -376
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 124

ప్రశ్న 5.
రెండో అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి
f(x) = -x³ + 12x⁵ – 5 ∀ x ∈ R కు స్థానిక అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = -x³ + 12x² – 5
⇒ f(x) = -3x² + 24x
= -3x(x – 8)
విరామ బిందువులు 0, 8
f”(x) = -6x + 24
At x = 0, f”(0) = 24 > 0.
f(0) = -5
At x = 8, f”(8) = -24 < 0
f(8) = 8³ + 12(8)² – 5
= -512 + 768 – 5
= 251
స్థానిక కనిష్ట విలువ = -5
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 251

ప్రశ్న 6.
\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = -sin 2x – x కు స్థానిక గరిష్ట, స్థానిక కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = -sin 2x – x
f'(x) = -2cos 2x – 1
f”(x) = 4 sin 2x

స్థానిక కనిష్ట విలువ = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) – \(\frac{\pi}{3}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 7.
[0, 5] పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2 కు స్థానిక గరిష్ట, స్థానిక కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2
f(x) = 6x² – 6x – 36
f”(x) = 12x – 6
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
6x² – 6x – 36 = 0
x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x(x + 3) + 2(x – 3) = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x = 3, -2
f”(3) = 30 > 0
x = 3 వద్ద f(x)కు గరిష్ట/కనిష్ట విలువ
f(3) = 2(3)³ – 3(3)² – 36(3) + 2
= 54 – 27 – 108 + 2
= -79
స్థానిక గరిష్ట విలువ = – 79
0 ≤ x ≤ 5
∴ f(0) = 0 – 0 – 0 + 2
= 2
∴ స్థానిక గరిష్ట విలువ = 2.

ప్రశ్న 8.
[-2, \(\frac{9}{2}\)] పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\) అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\)
f'(x) = 4 – x
f”(x) = -1
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ f'(x) = 0
4 – x = 0
x = 4
f”'(4) = −1 <0
x = 4 వద్ద కు గరిష్ట విలువ
f(4) = 16 – \(\frac{16}{2}\) = 8.
∵ -2 ≤ x ≤ \(\frac{9}{2}\)
∴ f(-2) = -8 – \(\frac{4}{2}\)
= -8 – 2 = -10
∴ స్థానిక కనిష్ట విలువ = -10
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 8

ప్రశ్న 9.
ఒక కంపెనీ లాభప్రమేయం P(x) = -41 + 72x – 18x² అయితే కంపెనీ గరిష్ట లాభాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన;
P(x) = -41 + 72x – 18x²
\(\frac{d p(x)}{d x}\) = 72 – 36x
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ
72 – 36x = 0
x = 2
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = -36′ < 0
∴ x = 2 వద్ద f(x) కు గరిష్ట లాభం
గరిష్ట లాభం P(2) = -41 + 72(2) – 18(4)
= 31

ప్రశ్న 10.
ఒక కంపెనీ ఒక వస్తువును x యూనిట్లను అమ్మితే వచ్చే P(x) = -x² + 9x² – 15x – 13 (x యూనిట్లు వెలలో) ఆ కంపెనీ 6000 వస్తువులను తయారు (ఉత్పత్తి) చేసే సామర్థ్యం ఉంటే గరిష్ట లాభాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x) = -x³ + 9x² – 15x – 13
\(\frac{\mathrm{dp}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = -3x² + 18x – 15
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు \(\frac{d p}{d x}\) = 0
-3x² + 18x – 15 = 0
x² – 6x + 5 = 0
x² – 5x – x + 5 = 0
x(x – 5) – 1(x – 5) = 0
(x – 1) (x – 5) = 0
x = 1, 5
P(1) = -1 + 9 – 15 – 13 = -10
P(5) = -125 + 225 – 75 – 13 = 12
∴ గరిష్ట లాభం = 12.

III.

ప్రశ్న 1.
ఒక కంపెనీ రోజుకు X సంఖ్యలో ఒక వస్తువును అమ్మితే వచ్చే లాభ ప్రమేయం P(x) = (150 – x) x – 1000. అది గరిష్ట లాభాన్ని పొందడానికి కంపెనీ ఆ వస్తువును ఎన్ని తయారు (ఉత్పత్తి) చేయాలి. గరిష్ట లాభాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
లాభ ప్రమేయం
P(x) = (150 – x) x – 1000.
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ \(\frac{d p}{d x}\) = 0
(150 – x(1) – x (-1) = 0
150 – 2x = 0
x = 75
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = -2 < 0
∴ x = 75 వద్ద గరిష్ట లాభం
గరిష్ట లాభాన్ని పొందటానికి కంపెనీ 75 వస్తువులు అమ్మాలి.
గరిష్ట లాభం P(75) = 4625.

ప్రశ్న 2.
f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8 ∀ x ∈ R [-8, 2] పరమ గరిష్టం, పరమ కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8.
f'(x) = 24x² + 162x – 42 = 0
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f(x) = 0
24x² + 162x – 42 = 0
4x² + 27x – 7 = 0
4x² + 28x – x – 7 = 0
4x(x + 7) – 1(x + 7) = 0
(x + 7) (4x – 1) = 0
x = – 7 లేదా \(\frac{1}{4}\)
f(-8) = 8(-8)³ + 81(-8)² – 42(-8) – 8
= -8(512) + 81(64) + 336 – 8
= – 4096 + 5184 + 336 – 8
= 5520 – 4104 = 1416
f(2) = 8(2)³ + 81(2)² – 42(2) – 8
= 64 + 324 – 84 – 8
= 296

పరమ గరిష్ట విలువ = 1416
పరమ కనిష్ట విలువ = \(\frac{-213}{16}\)

ప్రశ్న 3.
రెండు సంఖ్యల మొత్తం 16గా ఉంటూ వాటి వర్గాల మొత్తం కనిష్టంగా ఉండే సంఖ్యలను కనుక్కోండి.
సాధన:
x, yలు రెండు సంఖ్యలు అనుకోండి.
x + y = 16
⇒ у = 16 – x
f(x) = x² + y² = x² + (16 – x)²
= x² + 256 + x² – 32x
f'(x) = 4x – 32
కనిష్ట, గరిష్ట విలువలు f'(x) = 0
⇒ 4x – 32 = 0
4x = 32
x = 8
f”(x) = 4 > 0
∴ x = 8 వద్ద f(x) కనిష్ఠం
y = 16 – x = 16 – 8 = 9
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 8, 8.

ప్రశ్న 4.
x + y = 60, xy³ మహిష్ఠం అయ్యేటట్లుగా రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలు x, y లను కనుక్కోండి ధనాత్మక సంఖ్యలు x, y లను కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
x + y = 60 ⇒ y = 60 – x – (1)
p = xy³ = x(60 – x)³.
= -3(60 – x)²(-1) + (60 – x)³
=-3x (60 – x)² + (60 – x)³
= (60 – x)² – 3x + 60 – x]
= (60 – x)² (60 – 4x) = 4(60 – x)² (15 – x)
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = 4[(60 – x)² (-1) + (15 – x) 2(60 – x) (-1)].
= 4(60 – x) [-60 + x – 30 + 2x]
= 4(60 – x) (3x – 90)
= 12 (60 – x) (x – 30)
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు \(\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}\) = 0
⇒ 4(60 – x)² (15 – x) = 0
⇒ 4(60 – x)² (15 – x) = 0
⇒ x = 60 లేదా x = 15 ; x అనేది 60 అవ్వదు.
∴ x = 15 ⇒ y = 60 – 15 = 45
\(\left(\frac{d^2 p}{d x^2}\right)_{x=15}\) = 12(60 – 15) (15 – 3x) < 0
⇒ p గరిష్టము
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 15, 45.

ప్రశ్న 5.
30 సెం.మీ × 80 సెం.మీ కొలతలుగా ఉండే ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు రేకు ముక్క నాలుగు మూలల నుంచి x భుజంగా ఉండే చతురస్రాకార ముక్కలను కత్తిరించి మిగిలిన రేకులు మడిచి మూతలేని పెట్టెను తయారుచేశారు. ఆ పెట్టె ఘనపరిమాణం గరిష్టం అయితే x విలువ కనుక్కోండి ? (Mar. ’14)
సాధన:
పెట్టె యొక్క పొడవు = 80 – 2x = l
పెట్టె యొక్క వెడల్పు = 30 – 2x = b

పెట్టె ఎత్తు = x = h
ఘన పరిమాణము = lbh= (80 – 2x) (30 – 2x). x
= x (2400 – 220 x + 4x²)
f(x) = 4x³ – 220x² + 2400x
f”(x) = 12x² – 440x + 2400
= 4[3x² – 110 x + 600]
f’ (x) = 0 = 3x² – 110x + 600 = 0
x = \(\frac{110 \pm \sqrt{12100-7200}}{6}\)
= \(\frac{110 \pm 70}{6}\) = \(\frac{180}{6}\) లేదా \(\frac{40}{6}\) = \(\frac{30}{3}\) లేదా \(\frac{20}{3}\)
x = 30, b = 30 – 2x = 30 – 2 (30) = -30 < 0 అయితే
⇒ x ≠ 30
∴ x = \(\frac{20}{3}\)
f”(x) = 24x – 440
x = \(\frac{20}{3}\), అయితే f”(x) = 24. \(\frac{20}{3}\) – 440
= 160 – 440
= -280 < 0
f(x) విలువ x = \(\frac{20}{3}\) వద్ద గరిష్టము
x = \(\frac{20}{3}\) సెం. మీ వద్ద పెట్టె ఘనపరిమాణము గరిష్టము

ప్రశ్న 6.
దీర్ఘచతురస్రంపై అర్థవృత్తం ఉన్న ఆకారంలో ఉన్న కిటికీ చుట్టుకొలత 20 అడుగులు ఉండేటట్లు తయారుచేసే కిటికీలన్నింటికీ వైశాల్యాలలో గరిష్ఠ వైశాల్యాన్ని కోరుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు = 2x అనుకొనుము. మరియు వెడల్పు = y అనుకుంటే అర్ధవృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం = x అవుతుంది.

చుట్టుకొలత = 2x + 2y + π. x = 20
2y = 20 – 2x – πx
y = 10 – x – \(\frac{\pi}{2} \cdot x\)
వైశాల్యం = 2xy + \(\frac{\pi}{2} \cdot x^2\)
= 2x \(\left(10-x-\frac{\pi x}{2}\right)\) + \(\frac{\pi}{2} x^2\)
= 20x – 2x² – πx² + \(\frac{\pi}{2} \mathrm{x}^2\)
f(x) = 20x − 2x² – \(\frac{\pi}{2} x^2\)
f'(x) = 0 ⇒ 20x – 2x² – \(\frac{\pi}{2} x^2\)
f'(x) = 0 ⇒ 20 – 4x – πx = 0
(π + 4) x = 20
x = \(\frac{20}{\pi+4}\)
f”(x) = -4 – π < 0
f(x) ను గరిష్ఠం అనుకుంటే x = \(\frac{20}{\pi+4}\)

ప్రశ్న 7.
వ్యాసార్ధం గల గోళంలో అంతర్లిఖిత స్థూపాలలో (లంబవృత్త) వక్రతల వైశాల్యం గరిష్ఠమయ్యే స్థూపం ఎత్తు \(\sqrt{2}\)r అని చూపండి. (May ’11 ’13; Mar. ’13, ’08, ’04; June ’04)
సాధన:
స్థూపం వ్యాసార్ధము r, ఎత్తు h, అనుకొందాం.

ప్రశ్న 8.
l పొడవు ఉండే తీగను రెండు ముక్కలు చేసి ఒక ముక్కను చతురస్రాకారంగాను, రెండో ముక్కను వృత్తాకారంగాను వంచగా ఏర్పడిన వైశాల్యాల మొత్తం అల్పిష్ఠం కావాలంటే ఆ ముక్కల పొడవు ఎంత ?
సాధన:
చతురస్రం భుజము X, వృత్త వ్యాసార్ధం r, అనుకొందాం.

4x + 2πr = l అని ఇవ్వబడింది.
4x = l – 2πr
x = \(\frac{l-2 \pi \mathrm{r}}{4}\)
వైశాల్యాల మొత్తం = x² + πr²


ఇచ్చిన తీగ \(\frac{\pi l}{\pi+4}\) మరియు \(\frac{4 l}{\pi+4}\) ముక్కలుగా విడగొడితే వైశాల్యాల మొత్తము కనిష్ఠము.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(f) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(f)

అభ్యాసం – 10 (ఎఫ్)

I.

1. క్రింది ప్రమేయాలకు రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి.

i) x² – 1; [–1, 1] పై [Mar. ’14, May ’13]
సాధన:
f(x) = x² – 1
f ప్రమేయం [-1, 1] పై అవిచ్ఛిన్నం, కనుక
f(-1) = f(1) = 0 మరియు
[-1, 1] లో f అవకలనీయం
∴ రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం c ∈ (-1, 1) అయ్యేటట్లు f'(c) = 0.
f(x) = 2x = 0
∴ = f'(c) = 0
2c = 0
c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1)
కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.

ii) sin x – sin 2x; [0, π] పై
సాధన:
f(x) = sin x – sin x
f ప్రమేయం [0, π] పై అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(0) = f(π) = 0 మరియు
లో f అవకలనీయం [0, π]
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం C ∈(0, π)
f'(c) = 0
f'(x) = cos x – 2 cos 2x
f'(c) = 0 ⇒ cosc – 2 cos 2c = 0
⇒ cos c – 2(2cos²c – 1) = 0
⇒ cosc – 4 cos²c + 2 = 0
4 cos²c – cos c – 2 = 0
cos c = \(\frac{1 \pm \sqrt{1+32}}{8}\) = \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\)
∴ c = cos^-1 \(\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)\)

iii) log (x² + 2) – log 3, [-1, 1] పై [A.P Mar. 15]
సాధన:
f(x) = log (x + 2) – log 3
f ప్రమేయంపై [-1, 1] పై అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(-1) = f(1) = 0 మరియు f[-1, 1] లో f అవకలనం
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం c ∈ (-1, 1)
∴ f'(c) = 0
f'(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\)(2x)
f'(c) = \(\frac{2 c}{c^2+2}\) = 0
2c = 0
c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1).

ప్రశ్న 2.
f(x) = x² + bx² + ax ప్రమేయానికి [1, 3] పై రోల్ సిద్ధాంతం ధ్రువపడుతుంది. c = 2t + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) అయితే a, b ల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి f(x) = x³ + bx² + ax
f'(x) = 3x² + 2bx + a
∴ f'(x) = 0 ⇔ 3c² + 2bc + a = 0

ప్రశ్న 3.
x² – 3x + k = 0 సమీకరణానికి [0, 1] లో రెండు విభిన్న మూలాలు ఉండేటట్లుగా, k అనే వాస్తవ సంఖ్య ఉండదని చూపండి.
సాధన:
f(0) = f(c)
0 – 0 + k = 1 – 3 + k
0 = -2
ఇది సాధ్యపడదు, కనుక X అనే వాస్తవ సంఖ్య.

ప్రశ్న 4.
y = (x – 3)² వక్రంపై (3, 0), (4, 1) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యాకు, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుకోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు (3, 0) and (4, 1)
జ్యావాలు = \(\frac{1-0}{4-3}\) = 1
y = (x – 3)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 3)
⇒ వాలు = 2(x – 3)
1 = 2(x – 3)
\(\frac{1}{2}\) = x – 3
x = \(\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{7}{2}\)
y = (x – 3)² = (\(\frac{7}{2}\) – 3) = \(\frac{1}{4}\)
వక్రంపై బిందువు (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{1}{4}\))

ప్రశ్న 5.
y = x³ వక్రంపై (1, 1), (3, 27) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యా, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు (1, 1) and (3, 27)
జ్యా వాలు = \(\frac{27-1}{3-1}\) = 13
y = x³

ప్రశ్న 6.
క్రింది సందర్భాలలో f‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ఉండే ‘C’ ని కనుక్కోండి.

i) f(x) = x² – 3x – 1, a = \(\frac{-11}{7}\), b = \(\frac{13}{7}\)
సాధన:

ii) f(x) = e^x; a = 0, b = 1
సాధన:
f(b) = f(1) = e’ = e
f(a) = f(0) = e° = 1
Given f(x) = e^x
f'(x) = e^x
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
e^c = \(\frac{e-1}{1-0}\) a^x = N
e^c = e – 1 ⇔ \(\log _a^N\) = x
⇒ \(\log _{\mathrm{e}}^{(\mathrm{e}-1)}\) = c

ప్రశ్న 7.
(x² – 1) (x – 2) ప్రమేయానికి [−1, 2] పై రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి. అంతరంలో ఏ బిందువు వద్ద అవకలజం సున్న అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = (x² – 1) (x – 2) = x³ – 2x² – x + 2
f ప్రమేయం [−1, 2] లో అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(-1) = f(2) = 0 మరియు f
[−1, 2] లో f అవకలనం
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ∃ C ∈ (−1, 2)
f'(c) = 0
f'(x) = 3x² – 4x – 1
f'(c) = 0
3c² – 4c – 1 = 0
c = \(\frac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}\)
c = \(\frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}\)
c = \(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\)

ప్రశ్న 8.
కింది ప్రమేయాలకు వాటి పక్క సూచించిన సంవృతాంతరాలపై లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం సరిచూడండి. ప్రతి సందర్భంలో, సిద్ధాంతంలో ఉన్న విధంగా బిందువు ‘C’ ని కనుక్కోండి.

i) x² – 1 on [2, 3]
సాధన:
f(x) = x² – 1
f ప్రమేయం [2, 3] లో
అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
కనుక f(x) = x² – 1
f'(x) = 2x
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం
C ∈(2, 3)
f'(c) = \(\frac{f(3)-f(2)}{3-2}\)
2c = \(\frac{8-3}{1}\)
2c = 5
c = \(\frac{5}{2}\)
c = \(\frac{5}{2}\) ∈ (2, 3)

ii) sin x – sin 2x, పై [0, π]
సాధన:
f(x) = sin x – sin 2x
f ప్రమేయం [0, π] లో అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
f(x) = sin x – sin 2x
f(x) = cos x – 2 cos 2x
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం C ∈ (0, π)
f(c) = \(\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0}\)
cosc – 2 cos 2c = 0
cosc – 2(2cos² – 1) = 0
cosc – 4 cos²c + 2 = 0
4 cos²c – cos c – 2 = 0
cos c = \(\frac{1 \pm \sqrt{1+32}}{8}\) = \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\)
c = cos^-1\(\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)\)

iii) log x on [1, 2].
సాధన:
f(x) = log x
f ప్రమేయం [1, 2] లో
అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
కనుక f(x) = log x
f(x) = \(\frac{1}{x}\)
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ సిద్ధాంతం ప్రకారం
c ∈(1, 2) such that
f'(c) = \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\)
\(\frac{1}{c}\) = \(\frac{\log 2-\log 1}{1}\)
\(\frac{1}{c}\) = \(\frac{\log 2-\log 1}{1}\)
\(\frac{1}{c}\) = log 2
c = \(\frac{1}{\log _e^2}\) = \(\log _2^e \text {. }\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(a)

అభ్యాసం – 10 (ఎ)

1.  కింది ప్రమేయాలకు ఎదురుగా సూచించిన x, Δx విలువలకు Δy, yలను కనుక్కోండి.

i) y = x² + 3x + 6, x = 10, Δx = 0.01 (T.S Mar. ’15, ’14, ’11, ’05)
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(10.01) – f(10)
= [(10.01)² + 3(10.01) + 6] – [10² + 3(10) + 6]
= 100.2001 + 30.03 + 6 – 100 – 30 – 6
= 0.2001 + 0.03
= 0.2301
y = x² + 3x + 6
dy = (2x + 3) dx
= (2.10 + 3) (0.01) = 0.23

ii) y = e^x + x, x = 5, Δx = 0.02
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(5 + 0.02) – f(5)
= f(5.02) – f(5)
= e^5.02 – e⁵ – 5
= e^5.02 – e⁵ + 0.02
= e⁵ (e^0.02 – 1) + 0.02
dy = f'(x) Δx = (e^x + 1) Δx
= (e⁵ + 1)(0.02)

iii) y = 5x² + 6x + 6, x = 2, Δx = 0.001
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(2 + 0.001) – f(2)
= f(2.001) – f(2)
= 5(2.001)² + 6(2.001) + 6(5(2)² + 6(2) + 6)
= 20.0200 + 12.0060 + 6 – 20 – 12 – 6
= 0.026005
dy = f'(x) Δx = (10x + 6) Δx
= (26) (0.001) = 0.0260.

iv) y = \(\frac{1}{x+2}\), x = 8, Δx = 0.02
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{x+2}\) = \(\frac{1}{10}\) = 0.1000
f(x + Δx) = \(\frac{1}{x+\Delta x+2}\) = \(\frac{1}{10+0.02}\) = \(\frac{1}{10.02}\) = 0.0998
Δy = f(x + Δx) – f(x)
Δy = f(x + Δx – f(x))
= \(\frac{1}{x+\Delta x+2}\) – \(\frac{1}{x+2}\) = \(\frac{1}{10.02}\) – \(\frac{1}{10}\)
= 0.0998 003992 – 0.1000
= -0.0001996
dy = f'(x)Δx = \(\frac{-1}{(x+2)^2}\)Δx
= \(\frac{-1}{100}\)(0.002) = -0.0002

v) y = cos x, x = 60°, Δx = 1°
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= cos (x + Δx) – cos x
= cos (60° + 1°) – cos 60°
= cos 61° – cos 60°
= 0.4848 – \(\frac{1}{2}\)
= 0.4848 – 0.5
= -0.0152
dy = f'(x) Δx
= -sin x Δx
= -sin 60°(1°) = \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)(0.0174)
= -(0.8660) (0.0174) = – 0.0151.

II.

1. కింది వాటికి ఉజ్జాయింపు విలువలు కనుక్కోండి.

i) \(\sqrt{82}\)
సాధన:
82 = 81 + 1 = 81(1 + \(\frac{1}{81}\))
∴ x = 8, Δx = -0.2, f(x) = \(\sqrt{x}\)
dy = f'(x). Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) . Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{81}}\) . 1
= \(\frac{1}{18}\) = 0.0555
Δy = f(x + δx) – f(x) ≈ dy
f(x + δx) f(x) ≈ f(x) + dy
= \(\sqrt{81}\) + 0.0555
= 9 + 0.0555
i.e., \(\sqrt{82}\) = 9.0555 = 9.056

ii)
\(\sqrt[3]{65}\)
సాధన:
x = 64, Δx = 1, f(x) = \(\sqrt[3]{x}\)

iii)
\(\sqrt{25.001}\)
సాధన:
x = 25
Δx = 0.001
f(x) = \(\sqrt{x}\)
dy = f'(x) Δx
= \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{25}}\)(0.001) = \(\frac{0.001}{10}\)
= 0.0001

f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) \(\sqrt{25}\) + 0.0001
\(\sqrt{25}\) 5.0001

iv) \(\sqrt[3]{7.8}\)
సాధన:
x = 8, Δx = -0.2, f(x) = \(\sqrt[3]{x}\)
dy = f'(x). Δx
= \(\frac{1}{3} x^{-2 / 3}\) . Δx = \(\frac{1}{3 x^{2 / 3}}\) . Δx
dy = \(\frac{1}{3(8)^{2 / 3}}\) (-0.2)
= –\(\frac{0.2}{3 \times 4}\) = –\(\frac{0.2}{12}\) = -0.0166
f(x + δx) – (x) \(\simeq\) dy
f(x + δx) \(\simeq\) f(x) + dy
= \(\sqrt[3]{8}\) – 0.0166
= 2 – 0.01 66
∴ \(\sqrt[3]{7.8}\) = 1.9834

v) sin (62°)
సాధన:
x = 60°, Δx = 2°, f(x) = sin x
dy = f(x) Δx
= cosx Δx
= cos 60° Δx
= \(\frac{1}{2}\left(2^{\circ}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\)(0.0174) = 0.0174
f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) sin 60° + 0.01 74
\(\cong\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 0.0174
\(\cong\) 0.8660 + 0.01 74
\(\cong\) 0.8834

vi) cos (60° 5′)
సాధన:
x = 60°, Δx = 5′
= \(\frac{5}{60}\) × \(\frac{\pi}{180}\) = \(\frac{\pi}{2160}\)
= 0.00143
f(x) = cos x
dy = f'(x)Δx = -sin x Δx
= -sin 60° (0.001453)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)(0.001453)
= – 0.8660 (0.001453)
= -0.001258
f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) cos x + dy
\(\cong\) cos 60° + 0.001258
\(\cong\) 0.5 – 0.001258
\(\cong\) 0.4987.

vii) \(\sqrt[4]{17}\)
సాధన:
x = 16, Δx = 1
f(x) = \(\sqrt[4]{x}\) = \(x^{\frac{1}{4}}\)

f(x + Δx) f(x) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) \(\sqrt[4]{x}\) + 0.0312
\(\cong\) 2 + 0.0312
\(\cong\) 2.0312

ప్రశ్న 2.
ఒక చతురస్ర భుజంలో పెరుగుదల 4% అయితే ఆ చతురస్రపు వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రం భుజం పొడవు x, వైశాల్యం A = x² అనుకుంటే
ఇచ్చినది \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 4
A = x²
ΔA = 2x Δx
\(\frac{\Delta A}{A}\) × 100 = \(\frac{2 x \Delta x}{x^2}\) × 100
= \(\frac{2 \Delta x}{x}\) × 100
= 2(4)
= 8.

ప్రశ్న 3.
ఒక గోళ వ్యాసార్థం 14 సెం.మీ.గా కొలిచారు. తరవాత ఈ వ్యాసార్థం కొలవడంలో 0.02 సెం.మీ. దోషం ఉన్నట్లుగా గమనించారు. గోళ ఉపరితల వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు దోషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
గోళ ఉపరితల వైశాల్యం 5 అనుకుంటే
r = 14, Δr = 0.02
s = 4πr²
Δs = 4π 2r Δr
Δs = 8π (14) (0.02)
= 2.24π
= 2.24 (3.14)
= 7.0336.

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళ వ్యాసం 40 సెం.మీ.గా కొలిచారు. దీనిని కొలవడంలో 0.02 సెం.మీ. దోషం ఉంటే గోళపు ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యాలలో ఉజ్జాయింపు దోషాలను కనుక్కోండి. సాధన. గోళపు ఘనపరిమాణం అనుకొనుము.
సాధన:
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యం v అనుకుంటే
v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\) = \(\frac{4 \pi}{3}\left[\frac{\mathrm{d}}{2}\right]^3\)
= \(\frac{4 \pi}{3} \frac{d^3}{8}\)
= \(\frac{\pi \mathrm{d}^3}{6}\)
Δv = \(\frac{\pi}{6}\)3d² Δd
= \(\frac{\pi}{2}\)(40)²(0.02)
= π(1600)(0.01)
= 16π.
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యం 5 అనుకుంటే
s = \(4 \pi\left[\frac{\mathrm{d}}{2}\right]^2\)
s = \(4 \pi \frac{d^2}{4}\)
s = πd²
Δs = π2d Δd
= π2(40) (0.02)
= 1.6π

ప్రశ్న 5.
గురుత్వ స్థిరాంకం g, లోలకం పొడవు l, డోలనావర్తన కాలం t ల మధ్య సంబంధం t = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\). lను గణించడంలో దోష శాతం 1 అయితే tలో ఉజ్జాయింపు దోష శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
T = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)
log t = log (2π) + \(\frac{1}{2}\){(log (l) – log g)

∴ g లో దోషము = -0.02% (లేదా)
g లో దోష శాతము = -0.02

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(e)

అభ్యాసం – 10 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
సరళరేఖపై చలించే ఒక కణం t సమయంలో చలించే దూరం’ s = -4t² + 2t. t = 2 సెకన్లు, t = 8 సెకన్లల మధ్య సరాసరి వేగాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
s = -4t² + 2t
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = -8t + 2
వేగం t = 2 వద్ద V = \(\left(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\right)_{\mathrm{t}=2}\)
v = -16 + 2 = -14 యూనిట్లు/సెకను
వేగం t = 8 వద్ద v = \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=8}\)
v = -64 + 2 = -62
సరాసరి వేగం = \(\frac{-62-14}{2}\) = -38 యూనిట్లు/సెకను

ప్రశ్న 2.
y = x⁴ అయితే x = 2, x = 4 ల మధ్య y లో సరాసరి మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x⁴ ⇒ \(\frac{d y}{d t}\) = 4x³
\(\left(\frac{d y}{d t}\right)_{x=2}\) = 32
\(\left(\frac{d y}{d t}\right)_{x=4}\) = 256
సరాసరి మార్పురేటు = \(\frac{256+32}{2}\) = 144.

ప్రశ్న 3.
సరళరేఖలో చలించే కణం కాలం t, దూరం S ల మధ్య సంబంధం s = t³ + 2t + 3. t = 4 సెకన్ల వద్ద ఆ కణ వేగం, త్వరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
s = t³ + 2t + 3
\(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 3t² + 2 , వేగం v = \([latex]\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\)[/latex] = 3ť² + 2
వేగం t వద్ద = 4
⇒ \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=4}\) = 48 + 2 = 50 యూనిట్లు/సెకను
v = 3t² + 2
\(\frac{d v}{d t}\) = 6t ⇒ a = \(\left(\frac{d v}{d t}\right)_{t=4}\) = 24 యూనిట్లు/సికన్’

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖలో చలిస్తున్న కణం, కాలం దూరాల మధ్య సంబంధం s = t³ – 9t² + 24t – 18. దీని వేగం ఎప్పుడు ఎక్కడ నున్న అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
s = t³ – 9t² + 24t – 18 కనుక
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 3t² – 18t + 24
v = 0 ⇒ 3 (t² – 6t + 8) = 0
∴ (t – 2) (t – 4) = 0
∴ t = 2 or 4
వేగము 2 మరియు 4 సెకన్ల తర్వాత సున్నా..
సందర్భం (i) :
t = 2
s = t³ – 9t² + 24t – 18
= 8 – 36 + 48 – 18 = 56 -54 = 2
సందర్భం (ii) :
t = 4; s = t³ – 9t² + 24t – 18
= 64 – 144 + 96 – 18
= 160 – 162 = -2
కణం ‘O’ కు ఇరువైపులా 2 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖలో చలిస్తున్న కణం t కాలంలో పొందిన స్థానభ్రంశం 5 ను s = 45t + 11t² – t³ గా ఇస్తే, ఆ కణం నిశ్చల స్థితికి రావడానికి పట్టే కాలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
s = 45t + 11t² – t³
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 45 + 22t – 3t²
కణం నిశ్చలంగా ఉంటే
⇒ v = 0 = 45 + 22t- 3t² = 0
⇒ 3t² – 22t – 45 = 0
⇒ 3t² – 27t + 5t – 45 = 0
⇒ (3t + 5) (t – 9) = 0 ∴ t = 9 లేదా t = –\(\frac{5}{3}\)
∴ t = 9
∴ కణం 9 సెకన్ల తర్వాత నిశ్చలంగా ఉంటుంది.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం 8 సెం.మీ./సెకను చొప్పున పెరుగుతుంది. ఘనం అంచు 12 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు ఎంత త్వరగా దీని ఉపరితల వైశాల్యం పెరుగుతుందో కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15, ’14)
సాధన:
ఘనం యొక్క అంచు ‘a’ మరియు ఘన పరిమాణం v అనుకొనుము.
v = a³ —- (1)
ఇచ్చినవి \(\frac{d v}{d t}\) = 8 సెం.మీ.³/సెకను
a = 12 cm
ఉపరితల వైశాల్యం S = 6a²

ప్రశ్న 2.
నిలకడగా ఉన్న నీటిలో రాయిని వదిలితే వృత్తాకార అలలు ఏర్పడతాయి. ఈ అలలు 5 సెం.మీ./సెకను చొప్పున కదులుతున్నాయి. వృత్త వ్యాసార్ధం 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు అలల వైశాల్యం పెరిగే రేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాకార అలలు యొక్క వ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకోండి.
వృత్త వైశాల్యం A = πr²
\(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dt}}\) = 2π\(\frac{d r}{d t}\)
ఇచ్చినది r = 8, \(\frac{d r}{d t}\) = 5
\(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dt}}\) = 2π(8)(5)
= 80π సెం.మీ²/సెకను

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం పెరిగే రేటు 0.7 సెం.మీ/సెకను, అయితే దీని చుట్టు కొలతలో మార్పు రేటు ఎంత ?
సాధన:
\(\frac{d r}{d t}\) = 0.7 సెం.మీ/సెకను
చుట్టుకొలత C = 2πr
\(\frac{\mathrm{dc}}{\mathrm{dt}}\) = 2π\(\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}\)
= 2π (0.7) = 1.4π సెం.మీ/సెకను.

ప్రశ్న 4.
ఒక బెల్తూన్న గ్యాస్తో నింపుతుంటే అది గోళరూపంలో ఉంటుంది. దీనిని సెకనుకు 900 ఘన సెంటీమీటర్లతో గ్యాసు నింపుతున్నారు. గోళ వ్యాసార్ధం 15 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు వ్యాసార్ధంలో మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{d v}{d t}\) = 900 సెం.మీ./సెకను
r = 15 సెం.మీ.
గోళము యొక్క ఘన పరిమాణం v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)

ప్రశ్న 5.
గాలి బుడగ వ్యాసార్ధంలో మార్పురేటు \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ./సెకను, గాలి బుడగ వ్యాసార్ధం 1 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు దీని ఘన పరిమాణం ఏ రేటులో పెరుగుతుంది ?
సాధన:
\(\frac{d r}{d t}\) = \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ./సెకను
వ్యాసార్ధం r = 1 సెం.మీ.
గోళము యొక్క ఘన పరిమాణం v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = \(4 \pi r^2 \frac{d r}{d t}\)
= 4π(1)²\(\frac{1}{2}\)
= 2π సెం.మీ./సెకన్.

ప్రశ్న 6.
ఒక వస్తువును 980 మీ./సెకను వేగంతో పైకి విసిరామనుకొందాం. దీని స్థానం s = -4.9 t² + 980 t గా ఉంటుంది. వస్తువు చేరిన గరిష్ట ఎత్తు కనుక్కోండి.
సాధన:
s = -4.9 t² + 980 t
\(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = -9.8 t + 980
v = -9.8 t + 980
గరిష్ఠ ఎత్తు, v = 0
-9.8 t + 980 = 0
980 = 9.8t
\(\frac{980}{9.8}\) = t
100 = t
s = -4.9(100)² + 980(100)
s = -49000 + 98000
s = 49000 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
ఒక రకం బాక్టీరియా t సెకనులలో t^(3/2) వృద్ధి చెందుతుంది. t = 4 గంటలకు బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధి g అనుకొందాం.
అప్పుడు g(t) = t^3/2
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు
g'(t) = \(\frac{3}{2} t^{1 / 2}\)
ఇచ్చినది t = 4 గం.
g'(t) = \(\frac{3}{2}\) (4 × 60 × 60)^1/2
= \(\frac{3}{2}\)(2 × 60) = 180

ప్రశ్న 8.
పొడవు 8 మీ., వెడల్పు 4 మీ., ఎత్తు 3 మీ. గల దీర్ఘ చతుస్రాకారపు చేపల తొట్టి ఉందనుకొందాం. దీనిని 0.4 మీ. 3/సెకను చొప్పున నీటితో నింపుతున్నారను కొందాం. నీటిమట్టం 2.5 మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం ఎత్తులో మార్పురేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి పొడవు l = 8 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి వెడల్పు b = 4 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి ఎత్తు h = 3 మీ.
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 0.4 మీ./సెకన్
v = lbh
= 8(4)(3) = 96
v = lbh
⇒ log v = log l + log b + log h
\(\frac{1}{v} \frac{d v}{d t}\) = \(\frac{1}{h} \frac{d h}{d t}\)
\(\frac{0.4}{96}\) = \(\frac{1}{2.5} \frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{dt}}\)
\(\frac{1}{96}\) = \(\frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{dt}}\) at h = 2.5

గమనిక: Text book Ans. \(\frac{1}{80}\) will get when h = 3.

ప్రశ్న 9.
ఒక విలోమ శంకువు ఆకారపు పాత్ర ఎత్తు 8 మీ., పై వ్యాసార్ధం 6 మీ. దీనిలో 2 మీ. / నిమిషానికి చొప్పున నీటితో నింపినప్పుడు నీటి మట్టం 4 మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం పెరిగే రేటు ఎంత ?
(May 2013)
సాధన:
h = 8m = OC
r = 6m = AB
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 2 మీ.³/ని.
Δ OAB మరియు OCD

సరూప త్రిభుజాలు
\(\frac{C D}{A B}\) = \(\frac{O C}{O A}\)
\(\frac{r}{6}\) = \(\frac{h}{8}\)
r = h\(\frac{3}{4}\)
శంకువు ఘన పరిమాణం v = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువును C(x) యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు C(x) 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000. ఆ వస్తువును 17 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చును కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఖర్చు m అనుకొందాం. అప్పుడు
M = \(\frac{\mathrm{dc}}{\mathrm{dx}}\)
Hence
M = \(\frac{d}{d x}\)(0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000)
= (0.007) (3x²) – (0.003) (2x) + 15
(M)_{x = 17} =
x = 17 వద్ద ఉపాంత ఖర్చు
(M)_{x = 17} = (0.007) 867 – (0.003)’ (34) + 15
= 6.069 – 0.102 + 15
= 20.967.

ప్రశ్న 11.
x సంఖ్యలో ఒక వస్తువును అమ్మగా వచ్చిన మొత్తం ఆదాయం R(x) = 13x² + 26x + 15. x = 7 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఆదాయం m అనుకొందాం. అప్పుడు
m = \(\frac{d R}{d x}\)
ఇక్కడ R(x) = 13x² + 26x + 15
∴ m = 26x + 26
x = 7 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం
(M)_{x = 7} = 26(7) + 26
= 208.

ప్రశ్న 12.
y = 2x² పై P అనే బిందువు కదులుతుంది. P యొక్క x నిరూపకం మార్పురేటు సెకనుకు 4 యూనిట్లు బిందువు (2, 8) వద్ద P యొక్క y ని నిరూపకం పెరిగే రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
y = 2x² కనుక
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x. \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\)
x = 2, అయినప్పుడు \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = 4. \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\)
= 4(2).4 = 32
y నిరూపకము 32 యూనిట్లు/సెకను రేటుకు పెరుగుతుంది.