AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ABCలో భుజాలు AB, BC మరియు CA ల పొడవులు వరుసగా 8 సెం.మీ., 15 సెం.మీ మరియు 17 సెం.మీ అయిన sinA, cos A మరియు tan A ల విలువలు కనుగొనుము.
సాధన.
∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
భుజాల కొలతలు AB = 8 సెం.మీ. BC = 15 సెం.మీ. మరియు CA = 17 సెం.మీ.
ఇచ్చిన కొలతలలో \(\overline{\mathrm{CA}}\) పొడవైన భుజము కావున ∆ABC యొక్క కర్ణము CA అగును.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 1

∠A పరంగా ఎదుటి భుజం = BC = 15 సెం.మీ.
ఆసన్న భుజము = AB = 8 సెం.మీ. మరియు కర్ణము = AC = 17 సెం.మీ.
A కు ఎదుటి భుజము = BC = 15

sin A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 22 =\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{15}{17}\)

cos A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 23 =\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{8}{17}\)

tan A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 24 =\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{15}{8}\)
∴ sin A = \(\frac{15}{17}\); cos A = \(\frac{8}{17}\) మరియు tan A = \(\frac{15}{8}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 2.
లంబకోణ త్రిభుజం POR యొక్క భుజాలు PQ = 7 సెం.మీ., QR = 25 సెం.మీ. మరియు ∠P = 90° అయిన tanQ – tan R విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం PORఒక లంబకోణ త్రిభుజము మరియు PQ = 7 సెం.మీ, PR = 25 సెం.మీ, మరియు ∠Q = 90°.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 2

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారము . PQ2 + PR2 = QR2
(7)2 + PR2 = (25)2
PR2 = 625 – 49
PR2 = 576
⇒ PR = √576 = 24
∴ tan Q = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 3
= \(\frac{P R}{P Q}=\frac{24}{7}\)

tan R = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 3
= \(\frac{P Q}{P R}=\frac{7}{24}\)

tan Q – tan R = \(\frac{24}{7}-\frac{7}{24}=\frac{(24)^{2}-(7)^{2}}{24 \times 7}\)
= \(\frac{576-49}{168}=\frac{527}{168}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 3.
B వద్ద లంబకోణం కల్గిన లంబకోణ త్రిభుజం ABCలో ‘ a = 24 యూనిట్లు, b = 25 యూనిట్లు మరియు ∠BAC = θ అయిన cos 6 మరియు tan 6 ల విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం త్రిభుజం ABC లో B వద్ద లంబకోణం కలదు. మరియు a = BC = 24 యూనిట్లు, b = CA = 25 యూనిట్లు మరియు ∠BAC = θ అనుకొనిన

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 4

Bb 24 Ac పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
AC2 = AB2 + BC2
(25)2 = AB2 + 242
AB2 = 252 – 242
= 625 – 576
AB2 = 49
AB = √49 = 7
∠BAC = θ ప్రకారము
θకు ఎదుటి భుజము = BC = 24 యూనిట్లు
θకు ఆసన్న భుజము = AB = 7 యూనిట్లు
కర్ణము = AC = 25 యూనిట్లు

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 5

= \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{7^{\mathrm{\kappa}}}{25}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 6

= \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{24^{\mathrm{\kappa}}}{7}\)
∴ cos θ = \(\frac{7}{25}\) మరియు tan θ = \(\frac{24}{7}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 4.
cos A = \(\frac{12}{13}\) అయిన sin A మరియు tan A ల విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం Cos A = \(\frac{12}{13}\)
Cos A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 7 = \(\frac{12}{13}\)
∴ఆసన్న భుజము : కర్ణము = 12 : 13.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 8

కోణం ‘A’ పరంగా, ఆసన్నభుజము = AB = 12k మరియు కర్ణము = AC = 13 k(‘k’ ఒక ధన సంఖ్య)
∆ABC నుండి
AC2 = AB2 + BC2
⇒ (13k)2 = (12.k)2 + BC2
⇒ 169 k2 = 144 k2 + BC2
⇒ BC2 = 169 k2 – 144 k2
⇒ (169 – 144) k2 = 25 k2
⇒ BC = √(25k2)
⇒ 5k = ఎదుటి భుజము
ఇప్పుడు, మిగిలిన త్రికోణమితి నిష్పత్తులు
sin A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 9
= \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{5 \mathrm{k}}{13 \mathrm{k}}=\frac{5}{13}\)

tan A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 10
= \(\frac{B C}{A B}=\frac{5 k}{12 k}=\frac{5}{12}\)
ఆ విధముగా sinA = \(\frac{5}{13}\), tanA = \(\frac{5}{12}\) అగును.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 5.
3 tan A = 4 అయిన sin A మరియు Cos A ల విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం 3 tan A = 4 ⇒ tan A = \(\frac{4}{3}\)
కాని tan A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 11 = \(\frac{4}{3}\)
∠A కు ఎదుటి భుజము = 4k మరియు ∠A కు ఆసన్న భుజం = 3k.
ఈ విలువలను ∆ABC లో చూపగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 12

∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము కావున AC2 = AB2 + BC2 (∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
= (3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2
AC2 = 25k2
AC = √(25 k2) = 5k
sin A = \(\frac{B C}{A C}=\frac{4 k}{5 k}=\frac{4}{5}\)

cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3 \mathrm{k}}{5 \mathrm{k}}=\frac{3}{5}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 6.
∆ABC, ∆XYZలలో cos A = cos X అయ్యేటట్లు 4A మరియు ∠Xలు లఘు కోణాలయిన ∠A = ∠X అని చూపుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 13

∆ABC లో
cos A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 14
= \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 15

అలాగే ∆XYZ లో 2
cos X = \(\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XZ}}\)
లెక్క ప్రకారం, cosA = cos X
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XZ}}\) = k అను
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{XZ}}\) ………………(1)
∴ AB = kAC మరియు XY = kXZ
ఇప్పుడు
AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 16
(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{XZ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{YZ}}\)
∴ రెండు త్రిభుజ భుజాలకు అనుపాతంలో కలవు.
∴ ∆ABC ~ ∆XYZ
⇒ ∠A = ∠X (∵ సరూప త్రిభుజాలలో అనురూప కోణాలు సమానాలు)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 7.
cot θ = \(\frac{7}{8}\) అయిన
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) \(\frac{(1+\sin \theta)}{\cos \theta}\) లను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం cot θ = \(\frac{7}{8}\)
AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 17
AB = 7k మరియు BC = 8k అనుకొనిన లంబకోణ త్రిభుజములో
AC2 = AB2 + BC2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
= (7k)2 + (8k)2
AC2 = 49k2 + 64k2
AC2 = 113 k2
⇒ AC = √113k
ఇప్పుడు, sin θ = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 18
= \(\frac{8 k}{\sqrt{113} k}=\frac{8}{\sqrt{113}}\)
cos θ = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 19
= \(\frac{7 k}{\sqrt{113} k}=\frac{7}{\sqrt{113}}\)

(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
= \(\frac{1^{2}-\sin ^{2} \theta}{1^{2}-\cos ^{2} \theta}\) [∵ (a + b) (a – b) = a2 – b<sup.2)

= \(\frac{1-\left(\frac{8}{\sqrt{113}}\right)^{2}}{1-\left(\frac{7}{\sqrt{113}}\right)^{2}}=\frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}}=\frac{\frac{113-64}{113}}{\frac{113-49}{113}}=\frac{49}{64}\)

(ii) \(\frac{(1+\sin \theta)}{\cos \theta}\)
= \(\frac{1+\frac{8}{\sqrt{113}}}{\frac{7}{\sqrt{113}}}\)

= \(\frac{\frac{\sqrt{113}+8}{\sqrt{113}}}{\frac{7}{\sqrt{113}}}=\frac{\sqrt{113}+8}{7}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 8.
B వద్ద లంబకోణం కల్గిన, త్రిభుజం ABC లో tan A = √3 అయిన
(i) sin A cos.C + cos A sin C
(ii) cos A cos C-sin Asin C ల విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము : tan A = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\\)
కాని tan A = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 20 = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\\)
ఎదుటి భుజం = √3k మరియు ఆసన్న భుజం = 1k

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 21

∆ABC లంబకోణ త్రిభుజములో
AC2 = AB2 + BC2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారం)
⇒ AC2 = (1k)2 + (J3k)2
⇒ AC2 = 1k2 + 3k2
⇒ AC2 = 4k2
∴ AC = √4k2 = 2k
BC
sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3} \mathrm{k}}{2 \mathrm{k}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cos A = \(=\frac{A B}{A C}=\frac{1 k}{2 k}=\frac{1}{2}\)
sin C = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{1 \mathrm{k}}{2 \mathrm{k}}=\frac{1}{2}\)
cos C = \(\frac{B C}{A C}=\frac{\sqrt{3} k}{2 k}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(i) sin A . cos C + cos A . sin C
= \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{(\sqrt{3})^{2}}{4}+\frac{(1)^{2}}{4}\)
= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}\) = 1

(ii) cos A. cos C-sin A. sin C
= \(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\) = 0