AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 146]

ఒకే వ్యాసార్ధం గల రెండు వృత్తాలు నిర్మించండి.
(i) రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనేలా నిర్మించండి.
(ii) ఒకే ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శించుకొనేలా నిర్మించండి.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 1
సాధన.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 2
(i) P,Q కేంద్రంగా గల వృత్తాలు R, S అనే రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 3
(ii) U,V కేంద్రాలుగా గల వృత్తాలు X అనే ఒకే బిందువు వద్ద స్పర్శించుకొంటున్నాయి. ఈ సందర్భంలో \(\overline{\mathrm{UX}}\) = \(\overline{\mathrm{XV}}\) అవుతుంది.

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 147]

పై రెండు పద్ధతులలోను \(\overline{\mathrm{AP}}\) = \(\overline{\mathrm{BP}}\) పొడవులు కొలవండి. ఏమి గమనించారు?
సాధన.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 4
ఈ నిర్మాణంలో \(\overline{\mathrm{AP}}\) = \(\overline{\mathrm{PB}}\) అని మనం గమనించాము.
∴ AB ని ‘P’ రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 148]

రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీచే విధానంలో సోపానం-2లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) సగం కంటే తక్కువ పొడవును వ్యాసార్ధంగా తీసుకుంటే ఏం జరుగుతుంది?
సాధన.
రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీచే విధానంలో సోపానం-2 లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) సగం కంటే తక్కువ పొడవును వ్యాసార్ధంగా తీసుకొంటే చాపరేఖలు ఒకదానినొకటి ఖండించుకొనవు.

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions

పేజి నెం. 152

180° , 240° , 300° కోణాలు నిర్మించండి.
సాధన.
(i) \(\angle \mathbf{A O B}\) = 180°
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 5
నిర్మాణం :

  • కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) కిరణం గీయాలి.
  • ‘O’ కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో OA ను M వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
  • M కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని P వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
  • P కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
  • Q కేంద్రంగా మరలా. అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని R వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
  • OR (\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{A O B}\) కావలసిన కోణం .

(ii) \(\angle \mathbf{PQR}\) = 240°
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 6
నిర్మాణం :

  • కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{QP}}\) కిరణం గీయాలి.
  • ‘Q’ కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో QP ను A వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
  • A కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని B వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
  • B కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని C వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
  • C కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని D వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
  • D కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మూడవ చాపాన్ని E వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
  • QE (\(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{PQR}\) కావలసిన కోణం.

(iii) \(\angle \mathbf{XYZ}\) = 300°
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 7
నిర్మాణం :

  • కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{YZ}}\) కిరణం గీయాలి.
  • Y కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో YZను P వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
  • P కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
  • Q కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని R వద్ద ఖండించేలా మరొక చాపం గీయాలి.
  • R కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని ఏ వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
  • S కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మూడవ ఛాపాన్ని T వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
  • T కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో నాలుగవ చాపాన్ని U వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
  • YU (\(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{XYZ}\) కావలసిన కోణం .

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions

పేజి నెం. 153

ప్రశ్న 1.
90° కోణం నిర్మించడానికి మరొక పద్ధతి ఆలోచించండి.
(\(\frac {180}{2}\) = 90°, 180° లకు కోణ సమద్విఖండనరేఖ గీయడం ద్వారా నిర్మించండి.)
సాధన.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 8
నిర్మాణ క్రమం :

  • \(\angle \mathbf{AOB}\) = 180° కోణాన్ని నిర్మించాలి. (ఒక సరళరేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ని గీయాలి)
  • “O” కేంద్రంగా ‘O’ కు ఇరువైపులా ఒకే వ్యాసార్ధంతో \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) పై చాపరేఖలు గీచి, ఖండన బిందువులు X, Y లను గుర్తించాలి.
  • \(\overrightarrow{\mathrm{XY}}\) పొడవులో సగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో X, Y లు కేంద్రాలుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) పైన రెండు చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువును C గా గుర్తించాలి.
  • O, C లను కలుపగా మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOC}\) = 90° ఏర్పడినది.

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions

ప్రశ్న 2.
వృత్తలేఖిని సాయంతో 45° కోణాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
1వ పద్ధతి : (60°ల నుండి 30° + 15° నిర్మించడం ద్వారా)
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 9
నిర్మాణక్రమం :

  • వృత్తలేఖిని సహాయంతో 60° కోణం \(\angle \mathbf{AOB}\) ని గీయాలి.
  • \(\angle \mathbf{AOB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం OC ని గీయాలి. ఇపుడు \(\angle \mathbf{AOC}\) = \(\angle \mathbf{COB}\) = 30° అవుతుంది.
  • \(\angle \mathbf{COB}\) = 30° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
  • ఇపుడు \(\angle \mathbf{COD}\) = \(\angle \mathbf{DOB}\) = 15° కోణాలు ఏర్పడినవి.
  • మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOD}\) = 45°, \(\angle \mathbf{AOD}\) = \(\angle \mathbf{AOC}\) + \(\angle \mathbf{COD}\) = 30° + 15° = 45° ఏర్పడినది.

2వ పద్ధతి : (90° లకు కోణ సమద్విఖండన రేఖ నిర్మించడం ద్వారా)
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 10
నిర్మాణక్రమం :

  • \(\angle \mathbf{AOB}\) = 60°, \(\angle \mathbf{AOC}\) = 120° కోణాలను నిర్మించాలి.
  • \(\angle \mathbf{BOC}\) = 60° కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని గీయాలి.
  • ఇపుడు \(\angle \mathbf{AOD}\) = \(\angle \mathbf{AOB}\) + \(\angle \mathbf{BOD}\) = 60° + 30° = 90° ఏర్పడినది.
  • \(\angle \mathbf{AOD}\) = 90° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ని గీయాలి. మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOE}\) = 45° ఏర్పడినది.

3వ. పద్దతి : (90° లను సరళకోణం నుండి నిర్మించి (మునుపటి సమస్యలో వలె) దాని కోణ సమద్విఖండనం చేయడం ద్వారా నిర్మించవచ్చును.)
4వ పద్దతి : (లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజ భావన నుండి)
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions 11

నిర్మాణక్రమం :

  • \(\angle \mathbf{XOY}\) = 90° కోణాన్ని నిర్మించాలి. (పై సమస్యలోవలె)
  • O కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంలో \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{OY}}\) లపై చాపరేఖలను గీచి, ఖండన బిందువులు A, B లుగా గుర్తించి, A, B లను కలపాలి.
  • కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{OBA}\) = 45° ఏర్పడినది.