SCERT AP 6th Class Maths Solutions Chapter 4 పూర్ణసంఖ్యలు InText Questions and Answers.
AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 4th Lesson పూర్ణసంఖ్యలు InText Questions
నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 51]
ప్రశ్న 1.
ఏవైనా అయిదు ధన పూర్ణ సంఖ్యలు రాయండి.
సాధన.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …….
ప్రశ్న 2.
ఏవైనా అయిదు రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు రాయండి.
సాధన.
-1, -2, -3, -4, -5, -6, …………
ప్రశ్న 3.
ధన సంఖ్య, రుణ సంఖ్య కాని సంఖ్య ఏది ?
సాధన.
0 (సున్న)
ప్రశ్న 4.
కింది సందర్భాలను పూర్ణ సంఖ్యలతో గుర్తించండి.
సాధన.
అ) + ₹ 500
ఆ) (-5°C)
ప్రశ్న 5.
కింది వాటిని ధన, రుణ సంఖ్యలతో గుర్తించండి.
అ) ఒక పక్షి ఆకాశంలో 25 మీ. ఎత్తులో ఎగురుతుండగా ఒక చేప సముద్రంలో 2 మీ. దిగువన కలదు.
ఆ) ఒక హెలికాప్టర్ 60 మీ. ఎత్తులో ప్రయాణిస్తున్నది మరియు ఒక జలాంతర్గామి సముద్ర మట్టానికి 400 మీ. లోతున కలదు.
సాధన.
అ) పక్షి స్థానం = + 25 మీ.
చేప స్థానం = – 2 మీ.
ఆ) హెలికాప్టర్ స్థానం = + 60 మీ.
జలాంతర్గామి స్థానం = – 400 మీ.
నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 53]
ప్రశ్న 1.
-5, 4, 0, -6, 2 మరియు 1 పూర్ణ సంఖ్యలను నిలువు సంఖ్యారేఖపై గుర్తించండి.
సాధన.
ప్రశ్న 2.
– 200 మరియు + 400 సంఖ్యలకు ఇరువైపులా వ్యతిరేక దిశలలో గల సంఖ్యలను సంఖ్యారేఖపై గుర్తించండి.
సాధన.
ఆలోచించండి [పేజి నెం. 54]
ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు 3 మరియు 4, తీసుకుంటే 3 < 4 అని మనకు తెలుసు.
ఇదే విధంగా -3 < -4 అనవచ్చునా? కారణం తెలపండి.
సాధన.
-3 < -4 అనడం సరికాదు. ఎందుకనగా సంఖ్యారేఖ పై -3 అను సంఖ్య – 4 నకు కుడివైపున ఉంటుంది.
కావున -3, – 4 కన్నా పెద్దది.
[పేజి నెం. 56]
ప్రశ్న 1.
7 యొక్క సంకలన విలోమం ఎంత?
సాధన.
7 యొక్క సంకలన విలోమం -7.
ప్రశ్న 2.
-8 యొక్క సంకలన విలోమం ఎంత?
సాధన.
– 8 యొక్క సంకలన విలోమం 8.
ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 56]
ప్రశ్న 1.
సంఖ్యారేఖను ఉపయోగించి కింది వాటికి సాధన కనుక్కోండి.
అ) (-3) + 5
అ) (5) +3
మీరు ఇటువంటి ప్రశ్నలు మరో రెండు తయారు చేసి, సంఖ్యారేఖ సహాయంతో సాధించండి.
సాధన.
అ) (-3) + 5
కావున (-3) + 5 = 2
ఆ) (-5) + 3
కావున (-5) + 3 = -2
మరో రెండు సొంత ప్రశ్నలు-జవాబులు :
ఇ) (-4) + 6
కావున (4) + 6 = 2
ఈ) (-6) + 2
కావున (-6) + 2 = -4
ప్రశ్న 2.
కింది వాటికి సాధనను సంఖ్యారేఖను ఉపయోగించకుండా సాధించండి.
అ) (+5) + (-5)
ఆ) (+6) + (-1)
ఇ) (-8) + (+2)
ఇటువంటి మరో అయిదు ప్రశ్నలు తయారు చేసి సాధించండి.
సాధన.
అ) (+5) + (-5) = (+5) – (-5 యొక్క సంకలన విలోమం )
= +5 – (+5)
= +5 – 5 = 0
ఆ) (+6) + (-1) = (+6) – (-7 యొక్క సంకలన విలోమం )
= (+6) – (+7)
= + 6 – 7 = -1
ఇ) (-8) + (+2) = (-8) – (+ 2 యొక్క సంకలన విలోమం )
= – 8 – (-2)
= – 8 + 2
= -6
మరో అయిదు ప్రశ్నలు – జవాబులు :
అ) (-6) + (+6) = (-6) – (+ 6 యొక్క సంకలన విలోమం )
= (-6) – (-6)
= (-6) + 6 = 0
ఆ) (+10) + (-8) = (+ 10) – (-8 యొక్క సంకలన విలోమం )
= (+ 10) – (+8)
= + 10 – 8 = 2
ఇ) (-10) + (+8) = (-10) – (+ 8 యొక్క సంకలన విలోమం ) :
= (-10) – (-8)
= -10 + 8
= -2
ఈ) (-100) + (+ 200) = (-100) – (+ 200 యొక్క సంకలన విలోమం )
= (-100) – (-200)
= – 100 + 200
= 100
ఉ) (+9) + (-12) = (+9) – (-12 యొక్క సంకలన విలోమం)
= (+9) – (+ 12)
= + 9 – 12 = -3
ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 59]
ప్రశ్న 1.
ఏదైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు a మరియు b తీసుకోండి. a + b అనేది ఒక పూర్ణ సంఖ్య అగునా?
సాధన.
a = -5, b = 3 తీసుకొందాం
a + b = (-5) + (3) = -2 ఒక పూర్ణ సంఖ్య
a మరియు b లు రెండు పూర్ణ సంఖ్యలైన a + b కూడా పూర్ణసంఖ్య అవుతుంది.
ప్రశ్న 2.
a, b, c అనేవి ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే కింది ధర్మాలను సరిచూడండి.
i) వ్యవకలనంలో సంవృత ధర్మం.
ii) సంకలన, వ్యవకలనాలలో స్థిత్యంతర ధర్మం (a + b = b + a?, a – b = b – a ?)
iii) సంకలన, వ్యవకలనాలలో సహచర ధర్మం (a + b) + c = a + (b + c)? (a – b) – c =a – (b – c) ?
సాధన.
i) వ్యవకలనంలో సంవృత ధర్మం :
1) a = 5, b = -8 అను పూర్ణసంఖ్యలు తీసుకొందాం.
a – b = 5 – (-8) = 5 + 8 = 13 కూడా పూర్ణసంఖ్యయే.
2) a = -8, b = 5 అనే పూర్ణసంఖ్యలు తీసుకుందాం.
a – b = (-8) – (5) = (-8) + (-5) = – 13 కూడా పూర్ణసంఖ్యయే
∴ a, b లు పూర్ణసంఖ్యలైన a – b కూడా పూర్ణసంఖ్య అవుతుంది.
కావున పూర్ణసంఖ్యలు వ్యవకలనంలో సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.
ii) సంకలన, వ్యవకలనాలలో స్థిత్యంతర ధర్మం
(a + b = b + a, a – b = b – a)
a) సంకలనంలో స్థిత్యంతర ధర్మం :
a = 5, b = -8 అనుకొనుము.
a + b = (5) + (-8)
= -3
b + a = (-8) + 5
= -3
5 + (-8) = (-8) + 5
a + b = b + a అవుతున్నది.
కావున పూర్ణసంఖ్యల సంకలనము స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది.
b) వ్యవకలనంలో స్థిత్యంతర ధర్మం :
a = 5, b = -8 అనుకొనుము
a – b = (5) – (-8)
= 5 + 8 = 13
b – a = (-8) – (5)
= (-8) + (-5) = -13
5 – (-8) = (-8) – (5) కావడం లేదు.
అనగా a – b ≠ b – a
కావున పూర్ణసంఖ్యల వ్యవకలనం స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటించదు.
iii) సంకలన, వ్యవకలనాలలో సహచర ధర్మం
(a + b) + c = a + (b + c); (a – b) – c = a – (b – c)
a) సంకలనంలో సహచరధర్మము :
a = 5, b = -8, c = 4 అనే పూర్ణసంఖ్యలు తీసుకొందాం.
(a + b) + c
= [5 + (-8)] + 4
= (-3) + 4
= 1
a + (b + c)
= 5 + [(-8) + 4]
= 5 + (-4) = 1
= 1
[5+ (-8)] + 4 = 5 + [(-8) + 4]
అనగా (a + b) + c = a + (b + c) (a, b, c లు ఏవేని పూర్ణసంఖ్యలు)
కావున పూర్ణాంకాల సంకలనం సహచర ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది.
(b) వ్యవకలనంలో సహచరధర్మం :
a = 5, b = -8, c = 4 అనే పూర్ణసంఖ్యలు తీసుకొందాం.
(a – b) – c
= [5 – (-8)] – (4)
= [5 + 8] -4
= 13 – 4 = 9
a – (b – c)
= 5 – [(-8) -(4)]
= 5 – [(-8) + (-4)]
= 5 – [-12] = 5 + 12 = 17
[5 – (-8)] – 4 = 5 – [(-8) – (4)] కాదు.
అనగా (a – b) – c ≠ a – (b – c), కావున పూర్ణసంఖ్యల వ్యవకలనం సహచర ధర్మాన్ని పాటించదు.
ఉదాహరణలు
1. కింది సంఖ్యారేఖను పరిశీలించి దిగువ ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి. (1సెం.మీ.= 10°C)
అ) 0°C మరియు -30°C ల మధ్య నమోదైన ఉష్ణోగ్రతలు రాయండి.
ఆ) 10°C మరియు 40°C ల మధ్య నమోదైన ఉష్ణోగ్రతలు రాయండి.
సాధన.
అ) 0°C మరియు -30°C ల మధ్య నమోదైన ఉష్ణోగ్రతలు -10°C మరియు -20°C.
– ఆ) 10°C మరియు 40°C ల మధ్య నమోదైన ఉష్ణోగ్రతలు 20°C మరియు 30°C.
2. సంఖ్యారేఖ-3 అనే సంఖ్య నుండి 2 యూనిట్ల దూరంలో ఉండే సంఖ్యలను కనుగొనండి.
సాధన.
-3 అనే సంఖ్య నుండి 2 యూనిట్లు ఎడమవైపునకు, తర్వాత -3 నకు కుడివైపున 2 యూనిట్లు దూరంలో సంఖ్యలను కింది పటం ద్వారా కనుగొనవచ్చును.
– 3 నకు ఎడమవైపున 2 యూనిట్లు దూరంలోని సంఖ్య = -5
-3 నకు కుడివైపున 2 యూనిట్లు దూరంలోని సంఖ్య = -1
3. కింది పూర్ణ సంఖ్యలను ఆరోహణాక్రమంలో రాయండి.
-8, 0, -1, 3, -3, -20 మరియు 12
సాధన.
సోపానం-1 : ఇచ్చిన దత్తాంశం నుండి ధన, రుణ సంఖ్యలను వేరు చేయాలి.
ధన సంఖ్యలు 3,12
రుణ సంఖ్యలు -8 , -1 , -5, -20
సోపానం-2 : రుణ సంఖ్యలను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చాలి. అంటే -20, 8, -5, -1.
ఇదే విధంగా ధన సంఖ్యలను కూడా అమర్చాలి అంటే 3 ,12.
సోపానం-3: సున్న (0) అనేది ధన సంఖ్య కాదు, రుణ సంఖ్య కాదు కావున, ఈ అమరికలో ఇది మధ్యలో ఉంటుంది.
సోపానం-4: ఈ విధంగా ఇచ్చిన పూర్ణ సంఖ్యల ఆరోహణ క్రమం -20, -3, -5, -1, 0, 3, 12 అవుతుంది.
4. ఇవ్వబడిన పూర్ణ సంఖ్యలకు ఇరువైపులా వచ్చు పూర్ణ సంఖ్యలను రాయండి.
ఎ) -5
బి) 0
సి) 3
సాధన.
ఎ) -5 కు ఇరువైపులా గల పూర్ణ సంఖ్యలు -6, 4.
బి) 0 కు ఇరువైపులా గల పూర్ణ సంఖ్యలు -1, +1.
సి) 3 కు ఇరువైపులా గల పూర్ణ సంఖ్యలు 2, 4.
5. (-20), (-82), (-28) మరియు (-14) ల మొత్తం ఎంత?
సాధన.
(-20) + (-82) + (-28) + (-14) = -20 – 82 – 28 – 14 = -144
6. 25 + (-21) + (-20) + (+17) + (-1) ల మొత్తం ఎంత?
సాధన.
25 + (-21) + (+20) + (+17) + (-1) = 25 – 21 – 20 + 17-1 = 42 – 42 = 0
7. 6 నుండి -5 ను తీసివేయండి.
సాధన.
6 నుండి -5 ను తీసివేయడానికి ముందుగా 6 నుండి ప్రారంభించాలి. -5 ను తీసివేయాలి. కావున ఎడమవైపునకు వెళ్ళి తిరిగి, దాని వ్యతిరేక దిశ అంటే కుడివైపునకు -(-5) = 5 రావాలి.
ఈ విధంగా 5 యూనిట్లు కుడివైపునకు వెళ్తే మనం 11 ను చేరతాం.
అంటే 6 నుండి (-5) ను వ్యవకలనం చేయాలంటే 6 నకు 5 (~5 యొక్క సంకలన విలోమం ) కలపాలి.
ఈ విధంగా 6 – (-5) = 6 + 5 = 11
8. (-7) – (-9) విలువను సంఖ్యారేఖను ఉపయోగించి కనుగొనండి.
సాధన.
(-7) – (-9) అనేది -7 + 9 కు సమానం (-9 అనేది 9 యొక్క సంకలన విలోమం ).
సంఖ్యారేఖపై మనం మొదట -7 నుండి 9 యూనిట్లు కుడివైపునకు వెళ్తే మనం 2 ను చేరతాం.
కావున (-7) – (-9) = -7 + 9 = 2.
9. (-8) నుండి (+8) ను తీసివేయండి.
సాధన.
(-8) – (+8) = (-8) + (+8 యొక్క సంకలన విలోమం )
= -8 + (-8)
= -16
10. (66) – (+7) – (-24) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
(-6) – (+7) – (24) = (-6) + (+7 యొక్క సంకలన విలోమం ) + (-24 యొక్క సంకలన విలోమం )
= – 6 + (-7) + (+24)
= -13 + 24
= 11
11. -3 అనే పూర్ణ సంఖ్యను తెలిపే ఏదైనా నిత్యజీవిత ఘటనకు తెలపండి.
సాధన.
నాగమణి ఒక ప్రజ్ఞా వికాస పరీక్షలో 20 ప్రశ్నలకు సరైనవి, 23 ప్రశ్నలకు సరికాని జవాబులు రాసింది. ప్రతీ సరైన జవాబుకు 1 మార్కు సరికాని (తప్పు) జవాబుకు (-1) మార్కు కేటాయిస్తే ఆమెకు వచ్చే మొత్తం మార్కులు -3.
ఎలా అంటే 20(+1) + 23(-1) = 20 – 23 = -3
12. -2 నుండి 3 యూనిట్లు దూరంలో గల పూర్ణ సంఖ్యలను సంఖ్యారేఖపై గుర్తించండి.
సాధన.
– 2 నకు 3 యూనిట్లు దూరంలో గల పూర్ణ సంఖ్యలు -5 మరియు 1 అగును.
-2 నుండి 3 యూనిట్లు దూరంలో ఎడమవైపున -5 అగును.
అలాగే – 2 నుండి 3 యూనిట్లు దూరంలో కుడివైపున 1 అగును.
