Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(b) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(b)
అభ్యాసం – 2(బి)
I.
ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటికి అన్ని విలువలు కనుక్కోండి.
(i) \((1-i \sqrt{3})^{1 / 3}\)
సాధన:
(ii) \((-i)^{1 / 6}\)
సాధన:
(iii) \((1+i)^{2 / 3}\)
సాధన:
(iv) \((-16)^{1 / 4}\)
సాధన:
(v) \((-32)^{1 / 5}\)
సాధన:
ప్రశ్న 2.
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు, x = cis A, y = cis B, z = cis C అయితే xyz విలువ కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు
⇒ A + B + C = 180° ……(1)
x = cis A, y = cis B, z = cis C
⇒ xyz = cis (A + B + C)
= cos (A + B + C) + i sin (A + B + C)
= cos(180°) + i sin(180°)
= -1 + i(0)
= -1
∴ xyz = -1
ప్రశ్న 3.
(i) x = cis θ అయితే \(\left[x^6+\frac{1}{x^6}\right]\) విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
x = cos θ + i sin θ
⇒ x6 = (cos θ + i sin θ)6 = cos 6θ + i sin 6θ
⇒ \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ – i sin 6θ
∴ \(\left[x^6+\frac{1}{x^6}\right]\) = 2 cos 6θ
(ii) 8 యొక్క ఘన మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x3 = 8 అనుకుందాం.
⇒ x = \((8)^{1 / 3}=\left(2^3 \cdot 1\right)^{1 / 3}\)
⇒ x = \(\left(2^3\right)^{1 / 3}(1)^{1 / 3}=2(1)^{1 / 3}\)
∴ 8 ఘన మూలాలు ω, 2ω, 2ω2
ప్రశ్న 4.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు 1, ω, ω2 అయితే, క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1}{2+\omega}+\frac{1}{1+2 \omega}=\frac{1}{1+\omega}\)
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω2
1 + ω + ω2 = 0, ω3 = 1
(ii) (2 – ω) (2 – ω2) (2 – ω10) (2 – ω11) = 49
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω2
∴ ω3 = 1, 1 + ω + ω2 = 0
2 – ω10 = 2 – ω9 . ω
= 2 – (ω3)3 . ω
= 2 – (1)3 ω
= 2 – ω
2 – ω11 = 2 – (ω3)3 . ω2
= 2 – (1)3 ω2
= 2 – ω2
(2 – ω) (2 – ω2) = 4 – 2ω – 2ω2 + ω3
= 4 – 2(ω + ω2) + 1
= 4 – 2(-1) + 1
= 4 + 2 + 1
= 7
∴ (2 – ω) (2 – ω2) (2 – ω10) (2 – ω11) = (2 – ω) (2 – ω2) (2 – ω) (2 – ω2)
= ((2 – ω) (2 – ω2))2
= 72
= 49
(iii) (x + y + z) (x + yω + zω2) (x + yω2+ zω) = x3 + y3 + z3 – 3xyz.
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω2
∴ 1 + ω + ω2 = 0, ω3 = 1
ఇప్పుడు (x + yω + zω2) (x + yω2 + zω) = x2 + xyω2 + zxω + xyω + y2ω3 + yzω2 + zxω2 + yzω4 + z2ω3
= x2 + y2 (1) + z2 (1) + xy (ω + ω2) + yz (ω4 + ω2) + zx (ω + ω2)
= x2 + y2 + z2 + xy(-1) + yz (ω + ω2) + zx (-1)
= x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ………(1)
L.H.S. = (x + y + z) (x + yω + zω2) (x + yω2 + zω)
= (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
(1) నుండి x3 + y3 + z3 – 3xyz = R.H.S.
ప్రశ్న 5.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు ω, ω2 అయిన z2 – z + 1 = 0 మూలాలు -ω, -ω2 లు అవుతాయని చూపండి.
సాధన:
ω మరియు ω2 సంకీర్ణ ఘనమూలాలు కావున
∴ 1 + ω + ω2 = 0 మరియు ω3 = 1
z2 – z + 1 = (-ω)2 – (-ω) + 1
= ω2 + ω + 1
= 0
∴ -ω అనేది z2 – z + 1 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలం
z2 – z + 1 = (-ω2)2 – (-ω2) + 1
= ω4 + ω2 + 1
= ω3 . ω + ω2 + 1
= ω + ω2 + 1
= 0
∴ -ω2 అనేది z2 – z + 1 = 0 అనే సమీకరణం యొక్క మూలం.
ప్రశ్న 6.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు 1, ω, ω2 లు అయిన, ఈ క్రింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) (a + b)3 + (aω + bω2)3 + (aω2 + bω)3
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω2
∴ 1 + ω + ω2 = 0, ω3 = 1
ఇప్పుడు (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 …….(1)
(aω + bω2)3 = [ω(a + bω)]3
= ω3 (a + bω)3
= (1) (a + bω)3
= a3 + 3a2bω + 3ab2ω2 + b3ω3
= a3 + 3a2bω + 3ab2ω2 + b3 …….(2)
(aω2 + bω)3 = [ω(aω + b)]3
= ω3(aω + b)3
= (1) (aω + b)3
= a3ω3 + 3a2bω2 + 3ab2ω + b3
= a3(1) + 3a2b2ω2 + 3ab2ω + b3
∴ (aω2 + bω)3 = a3 + 3a2bω2 + 3ab2ω + b3 …..(3)
(1), (2), (3) లను కలుపగా,
(a + b)3 + (aω + bω2)3 + (aω2 + bω)3 = 3a3 + 3a2b (1 + ω + ω2) + 3ab2 (1 + ω + ω2) + 3b3
= 3(a3 + b3) + 3a2b (0) + 3ab2 (0)
= 3(a3 + b3)
∴ (a + b)2 + (aω + bω2)3 + (aω2 + bω)3 = 3(a3 + b3)
(ii) (a + 2b)2 + (aω2 + 2bω)2 + (aω + 2bω2)2
సాధన:
(a + 2b)2 = a2 + 4ab + 4b2 ……..(1)
(aω2 + 2bω)2 = a2ω4 + 4abω3 + 4b2ω2
= a2ω3ω + 4ab (1) + 4b2ω2
= a2ω + 4ab + 4b2ω2 ……….(2)
మరియు (a + 2bω2)2 = a2ω2 + 4abω3 + 4b2ω4
= a2ω2 + 4ab (1) + 4b2 ω3 ω
= a2ω2 + 4ab + 4b2 (1) ω
∴ (aω + 2bω2)2 = a2ω2 + 4ab + 4b2ω ……..(3)
(1), (2), (3) లను కలుపగా
(a + 2b)2 + (aω2 + 2bω)2 + (aω + 2bω2)2 = a2 (1 + ω + ω2) + 12ab + 4b2 (1 + ω + ω2)
= a2 (0) + 12ab + 4b2 (0)
= 12ab
∴ (a + 2b)2 + (aω2 + 2bω)2 + (aω + 2bω2)2 = 12ab
(iii) (1 – ω + ω2)3
సాధన:
(1 – ω + ω2)3 = (-ω – ω)3 = (-2ω)3 = -8ω3
= -8(1)
= -8 (∵ 1 + ω + ω2 = 0)
(iv) (1 – ω) (1 – ω2) (1 – ω4) (1 – ω8)
సాధన:
1 – ω4 = 1 – (ω3) ω = 1 – (1) ω = 1 – ω
1 – ω8 = 1 – (ω3)2 ω2 = 1 – (1) ω2 = 1 – ω2
∴ (1 – ω) (1 – ω2) (1 – ω4) (1 – ω8)
= (1 – ω) (1 – ω2) (1 – ω) (1 – ω2)
= [(1 – ω) (1 – ω2)]2
= (1 – ω – ω2 + ω3)2
= [1 – (ω + ω2) + 1]2 [∵ 1 + ω + ω2 = 0]
= [1 – (-1) + 1]2
= (3)2
= 9
∴ (1 – ω) (1 – ω2) (1 – ω4) (1 – ω8) = 9
(v) \(\left[\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}\right]+\frac{\left(a+b \omega+c \omega^2\right)}{\left(b+c \omega+a \omega^2\right)}\)
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω2
ω3 = 1, 1 + ω + ω2 = 0 ……..(1)
(vi) (1 + ω)3 + (1 + ω2)3
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω2
ω3 = 1, 1 + ω + ω2 = 0
ఇప్పుడు (1 + ω)3 + (1 + ω2)3
= (-ω2)3 + (-ω)3 [∵ 1 + ω = -ω2]
= -ω6 – ω3 [∵1 + ω2 = -ω, ω3 = 1]
= -(1)2 – (1)
= -2
(vii) (1 – ω + ω2)5 + (1 + ω – ω2)5
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω2
1 + ω + ω2 = 0, ω3 = 1
(1 – ω + ω2)5 + (1 + ω – ω2)5
= [(1 + ω2) – ω]5 + [(1 + ω) – ω2]5
= (-ω – ω)5 + (-ω2 – ω2)5
= (-2ω)5 + (-2ω2)5
= (-2)5 [ω5 + ω10]
= -32 [ω3 . ω2 + (ω3)3 ω]
= -32 [(1) ω2 + (1)3 ω]
= -32 [ω + ω2]
= -32 (-1)
= 32
∴ (1 – ω + ω2)5 + (1 + ω – ω2)5 = 32
II.
ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు సాధించండి.
(i) x2 – 1 = 0
సాధన:
x4 – 1 = 0
x4 = 1
= cos 0° + i sin 0°
= cos 2k + i sin 2kr
x = (cos 2kπ + i sin 2kπ)1/4
= cis \(\frac{k \pi}{2}\), k = 0, 1, 2, 3
= cis 0, cis \(\frac{\pi}{2}\), cis π, cis \(\frac{3 \pi}{2}\)
= cos 0° + i sin 0°, cos \(\frac{\pi}{2}\) + i sin \(\frac{\pi}{2}\), cos π + i sin π, cos \(\frac{3 \pi}{2}\) + i sin \(\frac{3 \pi}{2}\)
= 1, i, -1, -i
= ±1, ±i
(ii) x5 + 1 = 0
సాధన:
x5 + 1 = 0
x5 = -1 = cos π + i sin π
x5 = cos(2k + 1)π + i sin(2k + 1)π, k ∈ z
x = (cos (2k + 1)π + i sin (2k + 1)π)1/5
x = cis \(\frac{(2 k+1) \pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4
(iii) x9 – x5 + x4 – 1 = 0
సాధన:
x9 – x5 + x4 – 1 = 0
x5(x4 – 1) + 1(x4 – 1) = 0
(x4 – 1)(x5 + 1) = 0
x4 – 1 = 0
మూలాలు ±1, ±i (పై లెక్క నుండి)
x5 + 1 = 0
మూలాలు cis \(\frac{(2 k+1) \pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4 (పై లెక్క నుండి)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు ±1, ±i, cis(2k + 1)\(\frac{\pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4
(iv) x4 + 1 = 0
సాధన:
x4 + 1 = 0
⇒ x4 = -1
⇒ x4 = cos π + i sin π
∴ x4 = cos (2kπ + π) + i sin (2kπ + π),
∴ x = [cis (2k + 1)π]1/4
∴ x = cis (2k + 1)\(\frac{\pi}{4}\), k = 0, 1, 2, 3
∴ x = \({cis} \frac{\pi}{4}, {cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right), {cis}\left(\frac{5 \pi}{4}\right), {cis}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\)
ప్రశ్న 2.
x12 – 1 = 0, x4 + x2 + 1 = 0 లకు ఉమ్మడి మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x12 – 1 = 0
⇒ x12 = 1
⇒ x12 = (cos 0 + i sin 0)
⇒ x12 = (cos 2kπ + i sin 2kπ), k ధన పూర్ణాంకం
ప్రశ్న 3.
ఏకకపు 15 వ మూలాలు, ఏకకపు 25వ మూలాలలో ఉమ్మడి మూలాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉమ్మడి మూలాల సంఖ్య = {15, 25} ల H.C.F = 5
ప్రశ్న 4.
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω2 అయితే, (x – 1)3 + 8 = 0 మూలాలను 1, ω, ω2 లలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
(x – 1)3 + 8 = 0
⇒ (x – 1)3 = -8
⇒ (x – 1)3 = (-2)3 (1)3
⇒ (x – 1) = (-2) (1)1/3
⇒ x – 1 = -2, -2ω, -2ω2
⇒ x = 1 – 2, 1 – 2ω, 1 – 2ω2
⇒ x = -1, 1 – 2ω, 1 – 2ω2
ప్రశ్న 5.
(1 + i)4/5 యొక్క అన్ని విలువల లబ్దాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 6.
z2 + z + 1 = 0 ను ధ్రువపరిచే సంకీర్ణ సంఖ్య z అయిన, \(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2\) \(+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2+\left(z^5+\frac{1}{z^5}\right)^2+\left(z^6+\frac{1}{z^6}\right)\) = 12 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చినది z2 + z + 1 = 0
III.
ప్రశ్న 1.
ఏకకపు (ఒకటి) n వ మూలాలు 1, α, α2, α3, …. αn-1 లు అయిన,
1P + αP + (α2)P + (α3)P + ….. + (αn-P)P = \(\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{0} ; \mathbf{p} \neq \mathbf{k n} \text { అయితే } \\
\mathbf{n} ; \mathbf{p}=\mathbf{k n} అయితే
\end{array}\right.\), అని చూపండి (p, k ∈ N)
సాధన:
ఏకకపు nవ మూలాలు 1, α, α2, ………., αn-1
ప్రశ్న 2.
x7 – 1 = 0 మూలాల యొక్క 99వ ఘాతాల మొత్తం. శూన్యం అని చూపండి. దీని నుంచి x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 యొక్క మూలాలను రాబట్టండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణం x7 – 1 = 0
⇒ x7 = 1
⇒ x = (1)1/7
= (cos 0 + i sin 0)1/7
= \(\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right)\)
ఏకకపు 7వ మూలాలు 1, α, α2, α3, α4, α5, α6
∴ x7 – 1 = 0 యొక్క 99వ ఘాతాల మొత్తం శూన్యం.
అప్పుడు x = α అనుకుంటే,
అప్పుడు x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
= α6 + α5 + α4 + α3 + α2 + α + 1
= \(\frac{1\left[1-\alpha^7\right]}{1-\alpha}\)
= \(\frac{1-x^7}{1-x}\)
= \(\frac{0}{1-x}\)
= 0
∴ x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0
ప్రశ్న 3.
‘n’ ధన పూర్ణాంకం అయితే, (P + iQ)1/n + (P – iQ)1/n = 2(P2 + Q2)1/2n . \(\cos \left(\frac{1}{n} \tan \frac{Q}{P}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
P + iQ అనుకోండి.
ప్రశ్న 4.
\(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{8 / 3}\) యొక్క విలువ -1 అని చూపండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
ప్రశ్న 5.
(x – 1)n = xn, (n ధన పూర్ణాంకం) సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణానికి x = 0 ఒక సాధన కాదు కావున \(\left(\frac{x-1}{x}\right)^n\) = 1
⇒ \(\frac{x-1}{x}=(1)^{1 / n}\)
⇒ \(\frac{x-1}{x}\) మూలం 1 కాని ఏకకపు ఘనమూలం
ఏకకపు nవ మూలకము ‘ω’ అనుకొంటే, (ω ≠ 1)