Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(a) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(a)
అభ్యాసం – 6 (ఎ)
I.
ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ x, y, z అక్షాల ధనదిశలతో వరుసగా 90°, 60°, 30° కోణాలు చేస్తుంది. దాని దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
l, m, n లు రేఖ దిక్ కొసైనులు అనుకుందాం.
l = cos α = cos 90° = 0
m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
n = cos γ = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
రేఖ దిక్ కొసైనులు \(\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ X, Y, Z-అక్షాల ధన దిశలలో α, β, γ కోణాలు చేస్తుంటే, sin2 α + sin2 β + sin2 γ విలువ ఎంత ?
సాధన:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 కావున
1 – sin2 α + 1 – sin2 β + 1 – sin2 γ = 1
sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 3 – 1 = 2.
ప్రశ్న 3.
అంతరాళంలో P(\(\sqrt{3}\), 1, 2\(\sqrt{3}\)) ఒక బిందువైతే, \(\overrightarrow{O P}\) దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
OP ల దిక్ సంఖ్యలు \(\sqrt{3}\), 1, 2\(\sqrt{3}\)
a2 + b2 + c2
= 3 + 1 + 12 = 16
⇒ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = 4 తో భాగించగా
\(\overrightarrow{O P}\) దిక్ కొసైనులు
\(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)\)
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2 \sqrt{3}}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
ప్రశ్న 4.
(-4, 1, 7), (2, -3, 2) బిందువులను కలిపే రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
A(-4, 1, 7) లు B(2, -3, 2) లు దత్త బిందువు
PQ యొక్క d.rs లు x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1
2 + 4, – 3 – 1, 2 – 7 ie., 6, -4, -5
తో భాగించగా \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{37+10+25}=\sqrt{77}\)
AB యొక్క D.C లు \(\left(\frac{6}{\sqrt{77}}, \frac{4}{\sqrt{77}}, \frac{-5}{\sqrt{77}}\right)\)
II.
ప్రశ్న 1.
(3, 5, -4), (-1, 1, 2),(-5, -5, -2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం భుజాల దిక్ కొసైన్లు రాయండి.
సాధన:
A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2), C(-5, -5, -2) లు ∆ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు.
d.rs యొక్క ABలు -1 -3, 1 – 5, 2 + 4 = -4, -4, 6
తో భాగించగా \(\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}\)
AB యొక్క D.C లు \(\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{6}{2 \sqrt{17}}\)
i.e., \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}\)
BC యొక్క D.R లు -5 +1, -5 -1, -2 −2
i.e., -4, -6, -4
తో భాగించగా \(\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}\)
BC యొక్క D.C లు \(\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-6}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}\)
ie., \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}\)
CA యొక్క d.rs లు 3 + 5, 5 + 5, – 4 + 2
= 8, 10, -2
తో భాగించగా \(\sqrt{64+100+4}=\sqrt{168}=2 \sqrt{42}\)
CA యొక్క D.C లు \(\frac{8}{2 \sqrt{42}}, \frac{10}{2 \sqrt{42}}, \frac{-2}{2 \sqrt{42}}\)
i.e., \(\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}}\)
ప్రశ్న 2.
P, Q, R, S లు వరుసగా (-1, -2, 1), (1, 2, 5) బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{\mathrm{P Q}}, \overleftrightarrow{\mathrm{R S}}\) సమాంతరంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
P(2, 3, 4), Q(4, 7, 8), R(-1, -2, 1) S(1, 2, 5) లు దత్త బిందువులు
PQ యొక్క d.r లు 4 – 2, 7 – 3, 8 – 4 i.e., 2, 4, 4
RS యొక్క d.r లు 1 + 1, 2 + 2, 5 – 1 i.e., 2, 4, 4
d.r యొక్క PQ లు RS లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి.
∴ PQ, RS లు సమాంతరాలు.
III.
ప్రశ్న 1.
l – 5m + 3n = 0, 7l2 + 5m2 – 3n2 = 0 సమీకరణాలను తృప్తిపరచేటట్లుగా, రెండు సరళ రేఖల దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం l – 5m + 3n = 0
⇒ l = 5m – 3n ……………….. (1)
7l2 + 5m2 – 3n2 = 0 ………………. (2)
(2)లో ! విలువ ప్రతిక్షేపించగా
7(5m – 3n)2 + 5m2 – 3n2 = 0
7(25m2 + 9n2 – 30 mn) + 5m2 – 3n2 = 0
175 m2 + 63n2 – 210 mn + 5m2 – 3n2 = 0
180 m2 – 210 mn + 60 n2 = 0
30 తో భాగించగా
6m2 – 7mn + 2n2 = 0
(3m – 2n) (2m – n) = 0
3m = 2n లేదా 2m = n
సందర్భం (i) : 3m1 = 2n1 ⇒ \(\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{3}\)
మరియు m1 = \(\frac{2}{3}\) n1
(1) నుండి l1 = 5m1 – 3n1 = 5 \(\frac{10}{3}\) n1 – 3n1
= \(\frac{10 n_1-9 n_1}{3}=\frac{n_1}{3}\)
∴ \(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{3}\)
మొదటి రేఖ d.r లు (1, 2, 3)
\(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) తో భాగించగా
మొదటి రేఖ d.c లు \(\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)\)
సందర్భము (ii) : 2m2 = n2
(1) నుండి l2 – 5m2 + 3n2 = 0
l2 – 5m2 + 6m2 = 0
-l2 = m2
∴ \(\frac{l_2}{-1}=\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{2}\)
రెండవ రేఖ d.r లు -1, 1, 2
\(\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\) తో భాగించగా
రెండవ రేఖ d.c లు \(\left(\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right)\)