Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(a)
అభ్యాసం -3(ఎ)
I.
ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలు కనుక్కోండి.
(i) x2 – 7x + 12 = 0
సాధన:
(ii) -x2 + x + 2 = 0
సాధన:
(iii) 2x2 + 3x + 2 = 0
సాధన:
(iv) √3x2 + 10x – 8√3 = 0
సాధన:
(v) 6√5x2 – 9x – 3√5 = 0
సాధన:
ప్రశ్న 2.
క్రింద ఇచ్చిన మూలాలు గల వర్గ సమీకరణాలను రూపొందించండి.
(i) 2, 5
సాధన:
α + β = 2 + 5 = 7, αβ = 2 × 5 = 10
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x2 – (α + β)x + αβ = 0
x2 – 7x + 10 = 0
(ii) \(\frac{m}{n}, \frac{-n}{m}\), (m ≠ 0, n ≠ 0)
సాధన:
(iii) \(\frac{p-q}{p+q}, \frac{-(p+q)}{p-q}\), (p ≠ ±q) [Mar. ’06]
సాధన:
(iv) 7 ± 2√5 [Mar. ’11, ’05]
సాధన:
α + β = 7 + 2√5 + 7 – 2√5 = 14
αβ = (7 + 2√5) (7 – 2√5) = 49 – 20 = 29
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x2 – (α + β)x + αβ = 0
x2 – 14x + 29 = 0
(v) -3 ± 5i [Mar. ’07]
సాధన:
α + β = -3 + 5i – 3 – 5i = -6
αβ = (-3 + 5i) (-3 – 5i) = 9 + 25 = 34
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x2 – (α + β)x + αβ = 0
x2 + 6x + 34 = 0
ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాలకు మూలాలను కనుక్కోకుండా, మూలాల స్వభావాన్ని కనుక్కోండి.
(i) 2x2 – 8x + 3 = 0
సాధన:
a = 2, b = -8, c = 3
b2 – 4ac = 64 – 24 = 40 > 0
∴ మూలాలు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
(ii) 9x2 – 30x + 25 = 0
సాధన:
a = 9, b = -30, c = 25
b2 – 4ac = 900 – 900 = 0
∴ మూలాలు సమాన అకరణీయ సంఖ్యలు.
(iii) x2 – 12x + 32 = 0
సాధన:
a = 1, b = -12, c = 32
b2 – 4ac = 144 – 128
= 16
= (4)2
= సంపూర్ణ వర్గం
∴ మూలాలు విభిన్న అకరణీయ సంఖ్యలు.
(iv) 2x2 – 7x + 10 = 0
సాధన:
a = 2, b = -7, c = 10
b2 – 4ac = 49 – 80 = -31 < 0
∴ మూలాలు సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.
ప్రశ్న 4.
ax2 + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే, క్రింది సమాసాల విలువలను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
(i) \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
సాధన:
సమీకరణం మూలాలు α, β
ax2 + bx + c = 0
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\), αβ = \(\frac{c}{a}\)
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}\)
= \(\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)}\)
= \(\frac{-b}{c}\)
(ii) \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}\) [A.P.&T.S. Mar. ’16, Mar. ’08]
సాధన:
(iii) α4β7 + α7β4
సాధన:
(iv) \(\left(\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\beta}{\alpha}\right)^2\), c ≠ 0 అయితే
సాధన:
(v) \(\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^{-2}+\beta^{-2}}\), c ≠ 0 అయితే
సాధన:
ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన సమీకరణాలకు సమాన మూలాలు ఉంటే వాటియొక్క ‘m’ విలువలు కనుక్కోండి.
(i) x2 – 15 – m(2x – 8) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం x2 – 15 – m(2x – 8) = 0
x2 – 2mx + 8m – 15 = 0
a = 1, b = -2m, c = 8m – 15
b2 – 4ac = (-2m)2 – 4(1) (8m – 15)
= 4m2 – 32m + 60
= 4(m2 – 8m + 15)
= 4(m – 3) (m – 5)
ax2 + bx + c = 0 కు సమాన మూలాలు ఉంటే, దాని విచక్షణి = 0.
∴ మూలాల సమానం
b2 – 4ac = 0
⇒ 4(m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m – 3 = 0 లేదా m – 5 = 0
⇒ m = 3 లేదా m = 5
(ii) (m + 1)x2 + 2(m + 3)x + (m + 8) = 0 [Mar. ’03]
సాధన:
దత్త సమీకరణం (m + 1)x2 + 2(m + 3)x + (m + 8) = 0
a = m + 1, b = 2(m + 3), c = m + 8
b2 – 4ac = [2(m + 3)]2 – 4(m + 1) (m + 8)]
= 4(m2 + 6m + 9) – 4(m2 + 8m + m + 8)
= 4m2 + 24m + 36 – 4m2 – 36m – 32
= -12m + 4
= -4(3m – 1)
∴ మూలాలు సమానం
⇒ b2 – 4ac = 0
⇒ -4(3m – 1) = 0
⇒ 3m – 1 = 0
⇒ 3m = 1
⇒ m = \(\frac{1}{3}\)
(iii) x2 + (m + 3)x + (m + 6) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము x2 + (m + 3)x + m + 6 = 0
a = 1, b = m + 3, c = m + 6
∴ మూలాలు సమానం
⇒ b2 – 4ac = 0
⇒ (m + 3)2 – 4(1) (m + 6) = 0
⇒ m2 + 6m + 9 – 4m – 24 = 0
⇒ m2 + 2m – 15 = 0
⇒ m2 + 5m – 3m – 15 = 0
⇒ m(m + 5) – 3(m + 5) = 0
⇒ (m + 5) (m – 3) = 0
⇒ m = -5, 3
(iv) (3m + 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము (3m + 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0
a = 3m + 1, b = 2(m + 1), c = m
b2 – 4ac = 4(m + 1)2 – 4m(3m + 1)
= 4[(m + 1)2 – m(3m + 1)]
= 4(m2 + 2m + 1 – 3m2 – m)
= 4(-2m2 + m + 1)
= -4(2m2 – m – 1)
= 4(m – 1) (2m + 1)
మూలాలు సమానము ⇒ విచక్షణి = 0
∴ -4(m – 1) (2m + 1) = 0
m – 1 = 0 లేదా 2m + 1 = 0
m = 1 లేదా m = \(\frac{-1}{2}\)
(v) (2m + 1)x2 + 2(m + 3)x + (m + 5) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము (2m + 1)x2 + 2(m + 3)x + m + 5 = 0
a = 2m + 1, b = 2(m + 3), c = m + 5
మూలాలు సమానము ⇒ b2 – 4ac = 0
⇒ 4(m + 3)2 – 4(2m + 1) (m + 5) = 0
⇒ 4(m2 + 6m + 9 – 2m2 – 10m – m – 5) = 0
⇒ -m2 – 5m + 4 = 0
⇒ m2 + 5m – 4 = 0
⇒ m = \(\frac{-5 \pm \sqrt{25+16}}{2}\)
⇒ m = \(\frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}\)
ప్రశ్న 6.
x2 + px + q = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే, (α – β)2, (α + β)2 లు మూలాలుగా గల సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
x2 + px + q = 0 కు α, β లు మూలాలు కనుక
α + β = -p, αβ = q
(α – β)2 + (α + β)2 = 2(α2 + β2)
= 2[(α + β)2 – 2αβ]
= 2[p2 – 2q]
(α – β)2 (α + β)2 = [(α + β)2 – 4αβ)](α + β)2
= (p2 – 4q) (p2)
∴ కావలసిన సమీకరణం x2 – (మూలాల మొత్తం)x + (మూలాల లబ్దం) = 0
x2 – 2(p2 – 2q)x + p2(p2 – 4q) = 0
ప్రశ్న 7.
x2 + bx + c = 0, x2 + cx + b = 0 (b ≠ c) లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే అప్పుడు b + c + 1 = 0 అని చూపండి. [Mar. ’05]
సాధన:
ఉమ్మడి మూలం ‘α’ అయిన
α2 + bα + c = 0 ……(1)
α2 + cα + b = 0 ………(2)
(1) – (2)
⇒ (b – c)α + c – b = 0
⇒ α = 1
(1) నుండి 1 + b + c = 0
ప్రశ్న 8.
(x – a)(x – b) = h2 సమీకరణం మూలాలు ఎల్లప్పుడూ వాస్తవ సంఖ్యలైన నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం (x – a) (x – b) = h2
x2 – (a + b)x + (ab – h2) = 0
విచక్షణి = (a + b)2 – 4(ab – h2)
= (a + b)2 – 4ab + 4h2
= (a – b)2 + (2h)2 > 0
∴ మూలాలు వాస్తవాలు.
ప్రశ్న 9.
ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం ఒక మూలం మరో మూలానికి n రెట్లు (n ధన పూర్ణసంఖ్య) కావటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
ax2 + bx + c = 0 సమీకరణానికి మూలాలు α, nα అనుకుందాం.
అపుడు α + nα = \(-\frac{b}{a}\), α . nα = \(\frac{c}{a}\)
α(1 + n) = \(-\frac{b}{a}\), nα2 = \(\frac{c}{a}\)
α2(1 + n)2 = \(\frac{b^2}{a^2}\) ……(1)
α2 = \(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{na}}\) ……(2)
(1), (2) ల నుండి,
\(\frac{c}{n a}(1+n)^2=\frac{b^2}{a^2}\)
nb2 = ac(1 + n)2
∴ కావలసిన నియమం nb2 = ac(1 + n)2
ప్రశ్న 10.
వరుసగా రెండు ధనాత్మక సరిపూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 340 అయ్యేటట్లు, రెండు వరుస సరిసంఖ్యలు కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు వరుస సరి ధనాత్మక సరి పూర్ణ సంఖ్యలు 2λ, 2λ + 2 అనుకుందాం.
వాటి వర్గాల మొత్తం = 340
⇒ (2λ)2 + (2λ + 2)2 = 340
⇒ λ2 + (λ + 1)2 = 85
⇒ λ2 + λ2 + 2λ + 1 – 85 = 0
⇒ 2λ2 + 2λ – 84 = 0
⇒ λ2 + λ – 42 = 0
⇒ (λ + 7) (λ – 6) = 0
⇒ λ = 6, λ = -7
∴ దత్త సంఖ్యలు ధనాత్మకాలు కనుక λ = 6
2λ = 2(6) = 12
2λ + 2 = 12 + 2 = 14
∴ రెండు వరుస ధనాత్మక సరి పూర్ణాంకాలు 12, 14.
II.
ప్రశ్న 1.
ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు x1, x2 లు c ≠ 0 అయితే (ax1 + b)-2 + (ax2 + b)-2 సమాసం విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 2.
ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే α2 + β2, α-2 + β-2 మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
ప్రశ్న 3.
2x4 + x3 – 11x2 + x + 2 = 0
సాధన:
దత్తసమీకరణం 2x4 + x3 – 11x2 + x + 2 = 0 ను x2 చే భాగించగా
ప్రశ్న 4.
\(3^{1+x}+3^{1-x}=10\)
సాధన:
దత్తసమీకరణం 31+x + 31-x = 10
\(3.3^x+\frac{3}{3^x}=10\)
3x = a అనుకుంటే 3a + \(\frac{3}{a}\) = 10
⇒ 3a2 + 3 = 10a
⇒ 3a2 – 10a + 3 = 0
⇒ (a – 3) (3a – 1) = 0
⇒ a – 3 = 0 లేదా 3a – 1 = 0
⇒ a = 3 లేదా a = \(\frac{1}{3}\)
Case (i): a = 3 అయిన
3x = 31
⇒ x = 1
Case (ii): a = \(\frac{1}{3}\) అయిన
3x = 3-1
⇒ x = -1
∴ మూలాలు 1, -1.
ప్రశ్న 5.
4x-1 – 3 . 2x-1 + 2 = 0
సాధన:
దత్తసమీకరణం 4x-1 – 3. 2x-1 + 2 = 0
a = 2x – 1 అనుకుంటే a2 = (2x-1)2 = 4x-1
∴ a2 – 3a + 2 = 0
(a – 2) (a – 1) = 0
a – 2 = 0 లేదా a – 1 = 0
a = 2 లేదా 1
Case (i): a = 2 అయిన
2x-1 = 21
⇒ x – 1 = 1
⇒ x = 2
Case (ii): a = 1 అయిన
2x-1 = 20
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
∴ మూలాలు 1, 2.
ప్రశ్న 6.
x ≠ 0, x ≠ 3 అయినప్పుడు \(\sqrt{\frac{x}{x-3}}+\sqrt{\frac{x-3}{x}}=\frac{5}{2}\)
సాధన:
a = \(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\) అనుకోండి.
అప్పుడు \(a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{a^2+1}{a}=\frac{5}{2}\)
⇒ 2a2 + 2 = 5a
⇒ 2a2 – 5a + 2 = 0
⇒ (2a – 1) (a – 2) = 0
⇒ 2a – 1 = 0 లేదా a – 2 = 0
⇒ a = \(\frac{1}{2}\) లేదా 2
Case (i): a = 2 అయిన
\(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\) = 2
⇒ \(\frac{x}{x-3}\) = 4
⇒ x = 4x – 12
⇒ 3x = 12
⇒ x = 4
Case (ii): a = \(\frac{1}{2}\) అయిన
\(\sqrt{\frac{x}{x-3}}=\frac{1}{2}\)
⇒ \(\frac{x}{x-3}=\frac{1}{4}\)
⇒ 4x = x – 3
⇒ 3x = -3
⇒ x = -1
∴ మూలాలు -1, 4.
ప్రశ్న 7.
x ≠ 0, x ≠ -1 అయినప్పుడు \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}+\sqrt{\frac{x+1}{3 x}}\) = 2
సాధన:
a = \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}\) అనుకుంటే
అప్పుడు a + \(\frac{1}{a}\) = 2
⇒ \(\frac{a^2+1}{a}\) = 2
⇒ a2 + 1 = 2a
⇒ a2 – 2a + 1 = 0
⇒ (a – 1)2 = 0
⇒ a – 1 = 0
⇒ a = 1, 1
∴ \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}\) = 1
⇒ \(\frac{3 x}{x+1}\) = 1
⇒ 3x = x + 1
⇒ 2x = 1
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
∴ మూలం \(\frac{1}{2}\)
ప్రశ్న 8.
x ≠ 0 అయినప్పుడు \(2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+5\) = 0
సాధన:
a = x + \(\frac{1}{x}\) అనుకుంటే
⇒ 2a2 – 7a + 5 = 0
⇒ (2a – 5) (a – 1) = 0
⇒ 2a – 5 = 0 లేదా a – 1 = 0
⇒ a = \(\frac{5}{2}\) లేదా 1
Case (i): a = \(\frac{5}{2}\) అయిన
\(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}=\frac{5}{2}\)
⇒ 2x2 + 2 = 5x
⇒ 2x2 – 5x + 2 = 0
⇒ (2x – 1) (x – 2) = 0
⇒ 2x – 1 = 0 లేదా x – 2 = 0
⇒ x = \(\frac{1}{2}\) లేదా 2
Case (ii): a = 1 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 1
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 1
⇒ x2 + 1 = x
⇒ x2 – x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}\)
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\), \(\frac{1}{2}\), 2
ప్రశ్న 9.
x ≠ 0 అయినప్పుడు \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)\) + 6 = 0
సాధన:
a = x + \(\frac{1}{x}\) అనుకుంటే
అప్పుడు a2 = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\)
x2 + \(\frac{1}{x^2}\) = a2 – 2
⇒ a2 – 2 – 5a + 6 = 0
⇒ a2 – 5a + 4 = 0
⇒ (a – 1) (a – 4) = 0
⇒ a = 1 లేదా 4
Case (i) a = 1 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 1
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 1
⇒ x2 + 1 = x
⇒ x2 – x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\) (∵ i = -1)
Case (ii): a = 4
x + \(\frac{1}{x}\) = 4
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 4
⇒ x2 + 1 = 4x
⇒ x2 – 4x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\)
⇒ x = 2 ± √3
∴ మూలాలు 2 ± √3, \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\)
ప్రశ్న 10.
మూలాల మొత్తం 7గా, మూలాల వర్గాల మొత్తం 25 గా ఉండే వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వర్గ సమీకరణానికి మూలాలు α, β అనుకొనుము.
α + β = 7, α2 + β2 = 25
⇒ (α + β)2 – 2αβ = 25
⇒ 49 – 25 = 2αβ
⇒ 2αβ = 24
⇒ αβ = 12
∴ కావలసిన సమీకరణం x2 – (α + β)x + αβ = 0
x2 – 7x + 12 = 0