Mahesh

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

by

AP State Board Syllabus AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System Textbook Questions and Answers.

AP State Syllabus SSC 10th Class Biology Solutions 1st Lesson Nutrition – Food Supplying System

10th Class Biology 1st Lesson Nutrition – Food Supplying System Textbook Questions and Answers

Improve your learning

Question 1.
Write differences between
(a) Autotrophic nutrition – Heterotrophic nutrition:
Answer:

Autotrophic nutritionHeterotrophic nutrition
1. Organism makes its own food.1. Organism can not makes its own food.
2. Food is prepared from C02, water and sunlight.2) Food is prepared from other organism.
3. Chlorophyll is required.3. Chlorophyll is not required.
4. It takes place during day time.4. It takes place throughout the day.
5. Examples are all green plants and photosynthetic bacteria.5. All animals, Fungi and some bacteria.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

(b) Ingestion – Digestion :
Answer:

IngestionDigestion
1. Taking in of food into the body through mouth is called ingestion.1. Breaking up of complex molecules of food into simple and small molecules is called digestion.
2. Ingestion does not change the chemical and mechanical structure of food.2. Digestion changes the chemical and mechanical structure of food.

(c) Light reaction – Dark reaction :
(OR)
Differentiate the reactions that take place in presence of light and the reactions which do not require light in photosynthesis.
Answer:

Light reactionDark reaction
1. It occurs in the grana of the chloroplast.1. It occurs in the stroma of the chloroplast.
2. It occurs only in the presence of light.2. It occurs in the presence or absence of light.
3. It occurs in the grana of the chloroplast.3. It occurs in the stroma of the chloroplast.
4. Light reaction absorbs oxygen and light energy.4. Dark reaction absorbs only CO2
5. End products are O2, ATP and NADPH.5. End product is Glucose.
6. Photolysis of water occurs.6. Carbon fixation occurs.
7. First stage of photosynthesis.7. Second stage o: photosynthesis.

(d) Chlorophyll – Chloroplast:
Answer:

ChlorophyllChloroplast
1. Chlorophyll is the green coloured pigment present in the chloroplast.1. It is the green coloured plastid enclosed by membranes.
2. It contains one atom of magnesium.2. It consists of 3 membranes.
3. It harvests solar energy and convert into chemical energy.3. It is responsible for enzymatic reactions leading to the synthesis of glucose.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 2.
Give reasons.
a) Why photosynthesis is considered as the basic energy source for most of living world?
(OR)
Why can we say that photosynthesis is the basic energy source for the living world?
Answer:

  1. All living organisms constantly need energy to be alive.
  2. They get energy from the food they eat.
  3. The food directly or indirectly comes from the green plants through photosynthesis.
  4. Hence photosynthesis can be considered as the basic energy source for most of living world.

b) Why is it better to call the dark phase of photosynthesis as a light independent phase?
Answer:

  1. The term dark reaction or light independent does not mean that they occur when it is dark at night.
  2. It only means that the reactions are not depend on light.
  3. Hence we call the dark phase of photosynthesis as a light independent phase.

c) Why is it necessary to destarch a plant before performing any experiment on photosynthesis?
Answer:
1) To get better results, it is necessary to destarch a plant before performing any experiment on photosynthesis.
2) Because if starch is present it may interfere with the result of the experiment.

d) Why is it not possible to demonstrate respiration in green plants kept in sunlight?
Answer:

  1. We cannot demonstrate an experiment of respiration in green plants kept in sunlight.
  2. Because if sunlight is present, the C02 produced in respiration will be used in photosynthesis.
  3. So we must conduct an experiment on respiration in green plants in a dark room.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 3.
Give examples.
a) Digestive enzymes
Answer:
The digestive enzymes are:

  1. Salivary Amylase (Ptyalin),
  2. Pepsin,
  3. Trypsin,
  4. Lipase,
  5. Peptidases,
  6. Sucrase,
  7. Amylase (Pancreatic juice)

b) Organisms having heterotrophic nutrition is seen in organisms like:
Answer:
Heterotrophic nutrition is seen in organisms like:

  1. All animals and human beings.
  2. Some protozoans Ex: Amoeba.
  3. Some parasitic plants Ex: Cuscuta
  4. Saprophytes Ex: Bread moulds, yeast, mushrooms, etc.

c) Vitamins
Answer:
Water soluble vitamins:
B complex (B1) Thiamine, (B2) Riboflavin, (B3) Niacin, (B6) Pyridoxine,
(B12) Cyanocobalamine, Folic acid, Pantothenic acid, Biotin, (C) Ascorbic Acid.
Fat soluble: (A) Retinol, (D) Calciferol, (E) Tocoferol, (K) Phylloquinine.

d) Nutritional deficiency diseases
Answer:
Eg: Kwashiorkor, Marasmus etc.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 4.
Where do plants get each of the raw materials required for photosynthesis?
Answer:

Raw materialsSources
External factors:
1. Carbondioxide		Atmosphere
2. SunlightSun
Internal factors:
3. Water		Ground water
4. Chlorophyll and enzymesPresent in leaf.

Question 5.
Explain the necessary conditions for autotrophic nutrition and what are its by products.
Answer:
A. Necessary conditions:

  1. Autotrophic nutrition takes place through the process of photosynthesis.
  2. Carbon dioxide, water, chlorophyll pigment and sunlight are the necessary conditions required for autotrophic nutrition.
  3. The rate of photosynthesis depends on availability of sunlight.

B. By products:

  1. Photosynthesis is the main process for autotrophic nutrition.
  2. Carbohydrates and oxygen are the by products of photosynthesis.

Question 6.
With the help of chemical equation explain the process of photosynthesis In detail with the help of a flow chart.
Answer:
Process of photosynthesis:

  1. The chemical equation representing the process of photosynthesis is
    AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 1
  2. Definition: Photosynthesis is a photochemical reaction during carbohydrates are formed using carbon dioxide and water in the chloroplasts of the green plants in the presence of sunlight.
  3. CO2 water, sunlight and chlorophyll are the requirements of photosynthesis.
  4. Glucose, O and water are the end products of the reaction.
  5. Photosynthesis have two phases.
    1) Light reaction 2) Dark reaction
  6. Light reaction have three steps, i) Oxidation of chlorophyll ii) Photolysis iii) Formation of ATP, NADPH and O2
  7. In dark reaction CO2 is utilized and finally glucose is formed which is converted and stored as starch.

FLOW CHART:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 2

Question 7.
Name the three end products of photosynthesis.
Answer:
Glucose, oxygen and water are the three end products of photosynthesis.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 8.
What is the connecting substance between light reaction and dark reaction?
Answer:
The hydrogen of NADPH present in the stroma is the connecting substance between light reaction and dark reaction.

Question 9.
Most leaves have the upper surface is more green and shiny than the lower ones. Why?
(OR)
In most of leaves the upper surface will be more green and shiny than the lower surface. Why?
Answer:

  1. The upper surface comprising of the palisade parenchyma.
  2. The lower surface comprising of the spongy parenchyma.
  3. Palisade parenchyma contains more number of chloroplasts than the spongy parenchyma.
  4. Thus the upper surface is more green and shiny than the lower ones.

Question 10.
Explain the structure of chloroplast with a neatly labelled sketch.
(OR)
Explain the structure of a chloroplast with the help of a rough diagram.
Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 3

  1. Chloroplast is a membranous structure consisting of 3 membranes.
  2. The third layer forms stacked sac like structures called granum.
  3. The intermediatery fluid filled colourless portion is called stroma.
  4. It is responsible for enzymatic reaction leading to the synthesis of glucose in plants.
  5. Substances found in chloroplast, capture sunlight are called photosynthetic pigments.
  6. Chlorophyll pigment contain one atom of magnesium.
  7. Two major kinds of chlorophylls are associated with thyakoid membranes.
  8. Chlorophyll-a is blue-green in colour and chlorophyll-b is yellow-green colour.
  9.  Around 250-400 pigments molecules are grouped as light harvesting complex units in granum.
  10. Some of the events occur in chloroplast are :
    a) Conversion of light energy to chemical energy.
    b) Splitting of water molecule.
    c) Reduction of carbondioxide to carbohydrates.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 11.
What is the role of acid in stomach?
Answer:

  1. The internal walls of stomach has number of gastric glands. They secret gastric juice.
  2. It contains HCl and enzymes.
  3. HCl kills the bacteria present in the food and protects us from their harmful effects.
  4. And also denatures the proteins so that enzymes can act easily on them.

Question 12.
What is the function of digestive enzyme?
Answer:

  1. The function of digestive enzyme is to increase the process of breaking up of complex molecules into simpler and absorb molecules.
  2. This makes easy for the body to absorb food.

Question 13.
How is the small intestine designed to absorb digested food? Explain.
(OR)
How is food absorbed by villi in small intestine?
Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 4
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 5

  1. Small intestine is the largest part in digestive system.
  2. Absorption is its main function including last stage of digestion.
  3. The inner surface of small intestine has millions of tiny finger-like projections called villi.
  4. Due to the presence of villi, the absorbing surface area of small intestine increases.
  5. And the large surface area of small intestine helps in the rapid absorption of digested food.
  6. The digested food which is absorbed through the walls of the small intestine goes into our blood.
  7. Long and folding structure increase the ability of small intestine.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 14.
How are fats digested in our bodies? Where does this process take place?
What is emulsification? How it helps in digestion of fats? (OR)
How are fats digested? Where do they get digested?
Answer:

  1. Bile juice and lipase enzymes helps in fat digestion.
  2. Bile juice is secreted by liver.
  3. Fats are digested by converting them into small globules like forms by the help of the bile juice.
  4. This process is called emulsification.
  5. Lipase enzyme is secreted by pancreas.
  6. It converts emulsified fats into fatty acids and glycerol.
  7. AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 6
  8. This process takes place in duodenum and small intestine.

Question 15.
What is the role of saliva in the digestion of food ?
(OR)
How does saliva digest food ?
Answer:

  1. Saliva is secreted by three pairs of salivary glands present in the mouth.
  2. Human saliva contains an enzyme called amylase (ptyalin).
  3. It converts starch into maltose (a sugar).
  4. The food is mixed thoroughly with saliva and becomes wet and slippery.
  5. Saliva helps in the smooth passage of food in the food pipe.

Question 16.
What will happen to protein digestion as the medium of intestine is gradually rendered alkaline ?
Answer:

  1. The food coming from the stomach to intestine is acidic in nature.
  2. Bile and pancreatic juices render the internal condition of the intestine gradually to a basic or alkaline one.
  3. Protein digestion continues even if the medium of intestine is gradually changed to alkaline.
  4. In the alkaline medium pancreatic enzyme trypsin can act on the food and digests the proteins.
    AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 7
  5. The enzymes present in the intestinal juice like peptidases complete the digestion of proteins into amino acids.
    AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 8

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 17.
What is the role of roughages in the alimentary tract?
Answer:

  1. Roughages are the fibres of either carbohydrates or proteins.
  2. Plenty of roughages in the diet avoid constipation.
  3. Roughages help in the easy movement of faeces in the large intestine.
  4. They help in the easy digestion of food and keep the alimentary canal clean and healthy.

Question 18.
What is malnutrition? Explain some nutrition deficiency diseases.
Answer:
Malnutrition: Eating of food that does not have one or more than one nutrients in required amount is known as malnutrition.
Malnutrition is of three types:

  1. Calorie malnutrition,
  2. Protein malnutrition,
  3. Protein calorie malnutrition.

Nutrition deficiency diseases:

  1. Kwashiorkor disease: This is due to protein deficiency in diet.
    Symptoms:
    i) Body parts becomes swollen due to accumulation of water in the intercellular spaces,
    ii) Very poor muscle development,
    iii) Swollen legs,
    iv) Fluffy face,
    v) difficult to eat,
    vi) diarrhoea,
    vii) Dry skin.
  2. Marasmus: This is due to deficiency of both protein and calories. Generally this disease occurs when there is an immediate pregnancy or repeated child births.
    Symptoms:
    i) Lean and weak,
    ii) Swelling in joints of limbs,
    iii) Less developed muscles,
    iv) Dry skin,
    v) diarrhoea.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 19.
How do non-green plants such as fungi and bacteria obtain their nourishment?
Answer:

  1. Bacteria and fungi are non-green plants. So they cannot prepare their own food materials.
  2. They are saprophytes which feed on dead and decaying plant and animal bodies.
  3. The fungi and bacteria breakdown the complex organic molecules present in dead and decaying matter by releasing chemical substances into simple substances out¬side the body.
  4. These simpler substances are then absorbed by fungi and bacteria as their food.

Question 20.
If we keep on increasing CO2 concentration in the air, what will be the rate of photosynthesis?
Answer:

  1. If the CO2 concentration in the air increases, the rate of photosynthesis also increases.
  2. If the CO2 concentration raises above 5% then the rate of photosynthesis reduces.
  3. At certain CO2 concentration the rate of photosynthesis is constant.
  4. Here a rise in CO2 levels has no affect on the rate of photosynthesis as the other factors such as light intensity become limited.

Question 21.
What happens to plant if the rate of respiration becomes more than the rate of photosynthesis ?
Answer:

  1. Respiration is a catabolic (destructive) process and photosynthesis is an anabolic (constructive) process.
  2. If the rate of respiration becomes more than the rate of photosynthesis, the amount of food oxidised will be more than the food produced.
  3. This affects the growth and development of plants and may even results in the death of the plant.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 22.
Why do you think that carbohydrates are not digested in the stomach?
(OR)
Where are carbohydrates digested in alimentary canal?
Answer:

  1. For the digestion of carbohydrates enzyme ptyalin or amylase are required.
  2. The gastric juice produced by stomach do not contain the enzyme ptyalin or amylase, it contains only pepsin which digests proteins.
  3. Hence carbohydrates are not digested in the stomach.
  4. Carbohydrates are partially digested in the mouth and completely in small intestine.

Question 23.
What process do you follow in your laboratory to study the presence of starch in leaves?
(OR)
(Activity – 1)
How do you test the presence of starch in leaves ? (OR)
Mention the materials required and explain the experiment to prove the presence of starch in leaves. What inference do you draw from this experiment?
Answer:
Aim: To study the presence of starch in leaves.
Apparatus: Beaker, test tube, bunsen burner, tripod stand, asbestos gauze, ethanol, leaf, petridish, iodine solution.
Procedure:

  1. Select a leaf of a potted plant with soft thin leaves.
  2. Boil the leaf in methylated spirit over a water bath till it becomes pale white due to the removal of chlorophyll.
  3. Observe the leaf.
    AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 10
  4. Spread the leaf in a dish and add a few drops of tincture iodine / betadine solution on it. Again observe the leaf.

Observation: The presence of starch will be indicated by a blue-black colour in leaf. Result: The experiment proves that starch is present in leaves. It is formed by Photo-synthesis.
Precautions:

  1. Do not boil the methylated spirit test tube directly on flame.
  2. Boil the water bath with low flame.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 24.
How would you demonstrate that green plants release oxygen when exposed to light? (OR) (Lab Activity)
Write the experimental procedure to prove that oxygen is produced during photosynthesis in the presence of light. (OR)
What materials are required to prove that oxygen is produced during photosynthesis in the presence of light? What procedure we need to follow to perform the above experiment?
We have conducted experiment that prove the release of oxygen when photosynthesis happens?
i) What are the plants used for this experiment? Where do they grow?
ii) How did you conduct the above experiment? In which context large number of air bubbles released? Do you noticed?
Answer:
i) Hydrilla plants are used for this experiment they grow in water.
ii) Experiment to demonstrate the release of oxygen during photosynthesis.
Aim: To prove that oxygen is produced during photosynthesis by hydrilla funnel experiment.
Apparatus: Beaker with water, test tube, funnel, hydrilla twigs, glowing splinter.
Procedure:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 11

  1. Arrange the apparatus as shown in the figure.
  2. Place some water plant hydrilla in a beaker containing pond water, and cover these by a short stemmed funnel.
  3. Invert a test – tube full of water over the stem of the funnel.
  4. Ensure that the level of water in the beaker is above the level of stem of the inverted funnel.
  5. Place the apparatus in the sun for at least 2 or 3 hours.
  6. After sometime it is observed that gas bubbles come from the hydrilla plant. These bubbles are collected at the end of the test tube pushing the water into the beaker.
  7. After sufficient gas is collected test – tube is taken out of the beaker carefully by closing it with thumb.

Observation: Test the gas in the test – tube by inserting a glowing incense stick which would burst into flames. This shows the presence of oxygen.
Result: This shows that oxygen is produced during photosynthesis.
Precautions:

  1. Funnel should be smaller than the beaker.
  2. Necessary care is to be taken while removing the test tube from the stem of the funnel.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 25.
Collect information from your primary health centre of malnutrition child at various ages and make a table your own and display in the classroom.
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 12Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 13

Question 26.
If there were no green plants, all life on the earth would come to an end ! Comment.
(OR)
The survival of organisms would become difficult, if there are no green plants on the earth. How do you support?
Answer:

  1. Plants play the most important part in the cycle of nature.
  2. Without plants there could be no life on earth.
  3. Plants are the only organisms that can make their own food and all other living beings directly or indirectly depend on plants for their food.
  4. Moreover plants release oxygen into the atmosphere through photosynthesis.
  5. Oxygen is essential for the organisms to respire.
  6. Hence without green plants, all life on the earth would come to an end.

Question 27.
Draw a neat labelled diagram of chloroplast found in leaf, and its role in photosynthesis.
Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 14Role of Chloroplast in photosynthesis:

  1. Chloroplasts trap solar energy.
  2. They convert that solar energy into chemical energy.
  3. They help in the formation of glucose.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 28.
Draw the label diagram of human digestive system. List out the parts where peristalsis takes place.
Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 15Parts where peristalsis takes place: Oesophagus, stomach, small intestine and large intestine.

Question 29.
Raheem prepared a model showing the passage of the food through different parts of the alimentary canal. Observe this and label its parts.
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 16Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 17

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 30.
Observe the following diagram and write a note on light dependent, light independent reactions.
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 18Answer:
Note on light dependent reactions:

  1. Light dependent reactions are also called as photochemical phase.
  2. The light dependent reaction takes place in chlorophyll containing thylakoids called grana of chloroplasts.
  3. Several steps occur in the light dependent reaction.
  4. Step – 1: The chlorophyll on exposure to light energy becomes activated by absorbing photons.
  5. Step – II: The energy is used in splitting the water molecule into two component ions named hydrogen (H+), hydroxyl ion (OH–). This reaction is known as photolysis.
  6. Step – III: OH– ions through a series of steps produce water (H2O) and O2.
  7. The end products of light reaction are ATP, NADPH and O2.

Note on dark reaction or light independent reaction:

  1. In light independent phase the hydrogen of the NADPH is used to combine it with CO2, by utilizing ATP energy and to produce glucose.
  2. This synthesis occurs in a number of steps using certain special intermediate compounds (mainly RUBP – Ribulose hi phosphate) and enzymes. Finally glucose is converted to starch.
  3. All these reactions occur in the stroma region of the chloroplast.

Question 31.
Almost all the living world depends on plants for food material. How do you appreciate the process of making food by the green plants?
(OR)
What facts about the green plants do you appreciate?
Answer:
Leaf is a wonderful machine to synthesize food:

  1. The leaf is the important site of photosynthesis and is called as food factory of the plant.
  2. This plant organ can be treated as a wonderful natural machine which converts solar energy into useful chemical energy.
  3. With all his scientific knowledge and technical skills, man has not produced anything similar leaf for utilization of solar energy without polluting the atmosphere.
  4. This machine provides food and supports the life by providing oxygen for all the organisms including man on this planet.
  5. Nature has given us such a wonderful machine free !!

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 32.
Even a hard solid food also becomes smooth slurry in the digestive system by the enzymes released at a particular time. This mechanism is an amazing fact. Prepare a cartoon on it.
Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 19

Question 33.
What are good food habits?
Answer:
The food habits I am going to follow after reading this chapter are:

  1. I take balanced diet which contains proper amounts of carbohydrates, proteins, fats, vitamins and minerals.
  2. I avoid taking food containing high proportion of fat.
  3. I eat food as much required by my body. I do not over eat.
  4. I will not eat rich meals over several days.
  5. I eat simple balanced meals, eat it leisurely and thoroughly masticating the food.
  6. I avoid doing violent exercise soon after eating food.
  7. I empty the bowels regularly avoiding constipation.
  8. I will see to have plenty of roughages in the diet.

(OR)
After reading the chapter nutrition, I would like to follow the following food habits.

  1. Having simple, well balanced meals.
  2. Eating them in a leisurely manner.
  3. Thoroughly masticating the food.
  4. Avoiding strenuous exercise soon after eating food.
  5. Drinking plenty of water and having regular bowel movement.
  6. Decreasing consumption of coffee or tea per day.
  7. Taking leafy vegetables at least 3 times a week and taking of fruits and vegetables plenty.
  8. Maintaining regular timings for daily food consumption.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Fill in the blanks.

  1. The food synthesized by the plant is stored as ———–.
  2. ———– are the sites of photosynthesis.
  3. Pancreatic juice contains enzymes for carrying the process of digestion of ———– and ———–.
  4. The finger-like projections which increases the surface area in small intestine are called ———–.
  5. The gastric juice contains ———– acid.
  6. ———– vitamin is synthesized by bacteria present in intestine.

Answer:

  1. carbohydrates
  2. Chloroplasts
  3. proteins, fats
  4. Villi
  5. HCl
  6. Cyanocobalamin

Choose the correct answer.

  1. Which of the following plant take the food by parasitic nutrition? [ ]
    A) Yeast
    B) Mushrooms
    C) Cuscuta
    D) Leeches
    Answer: C & D
  2. The rate of photosynthesis is not affected by [ ]
    A) Light intensity
    B) Humidity
    C) Temperature
    D) Carbon dioxide concentration
    Answer: B
  3. A plant is kept in dark cupboard for about forty eight hours before conducting any experiment on photosynthesis in order to [ ]
    A) Remove chlorophyll from leaves
    B) Remove starch from leaves
    C) Ensure that no photosynthesis occurred
    D) Ensure that leaves are free from the starch
    Answer: B
  4. The digestive juice without enzyme is [ ]
    A) Bile
    B) Gastric juice
    C) Pancreatic juice
    D) Saliva
    Answer: A
  5. In single-celled animals, the food is taken by [ ]
    A) the entire body surface
    B) mouth
    C) teeth
    D) vacuoles
    Answer: A
  6. Which part of the plant takes in carbon dioxide from the air for photosynthesis? [ ]
    A) Root hair
    B) Stomata
    C) Leaf veins
    D) Sepals
    Answer: B

10th Class Biology 1st Lesson Nutrition – Food Supplying System Activities

Activity – 1

How do you prove experimentally that carbon dioxide is necessary for photosynthesis by Mohl’s half leaf experiment?
(OR)
List out the materials required and the procedure to be followed to prove that ‘carbon dioxide’ is essential for photosynthesis.
(OR)
You know that the factors like CO2, Light and Chlorophyll are essential for photosynthesis. Write any one of experiment related to the factors essential for photosynthesis.
Answer:
Aim:
To prove-that carbon dioxide is essential for photosynthesis by Mohl’s half leaf experiment.
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 20Apparatus:
Wide mouthed transparent bottle, KOH solution, potted plant, vertically split cork, Iodine solution.
Procedure:
Arrange the apparatus as shown in the figure.

  1. Take a healthy potted plant and keep it in the dark for nearly a week for the removal of starch from the leaves.
  2. A wide mouthed transparent bottle is taken.
  3. Put potassium hydroxide pellets or potassium hydroxide solution (KOH) in the bottle.
  4. This KOH absorbs CO2 present in the bottle.
  5. Insert splitted cork in the mouth of the bottle.
  6. Insert one of the leaves of destarched plant through a split cork into transparent bottle.
  7. Arrange half of the leaf is inside bottle and the remaining half outside.
  8. Leave the plant in the sunlight for 2-3 hours.
  9. After a few hours, test this leaf and other leaf of this plant for starch.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Observation :

  1. The part of the leaf outside the bottle turns blue-black because starch is formed in this part due to photosynthesis.
  2. The part of the leaf inside the bottle does not turn blue-black because the carbon dioxide present inside the bottle is absorbed by potassium hydroxide solution.
  3. All the other factors water, sunlight and chlorophyll are available but not CO2. Hence starch is not formed in the leaf part which is inside the bottle.

Result: This experiment proves that CO2 is necessary for photosynthesis. Precautions:

  1. The part of the leaf kept inside the bottle should not touch potassium hydroxide solution.
  2. The apparatus should be kept air tight by applying grease or vaseline.

Activity – 2

Sunlight is necessary to form starch in green leaves.
(OR)
Write the materials required and the procedure to prove that light is essential for Photosynthesis.
(OR)
Write the procedure, precautions and observations in the lab activity, “Sunlight is necessary for photosynthesis”.
Answer:
Aim:
To prove that light is necessary for photosynthesis to form starch.
Apparatus:
Potted plant, light screen, iodine solution.

  1. Keep potted plant in dark for one week to remove starch.
  2. Take one black paper and cut it with your own design.
  3. Keep design paper properly on the both sides with the help of clips.
  4. Ensure that light does not pass through the covered area with black paper.
  5. Keep the arranged apparatus at sunlight available area.
  6. After few hours of exposure to bright sunlight detach the leaf.
  7. Boil the leaf in methylated spirit over water bath. It becomes pale white due to the removal of chlorophyll. Take the leaf from test tube and spread the leaf in a petridish.
  8. Add few drops of Iodine on leaf. The parts of the leaf, which could get light through the cut out design, turns blue-black colour.
  9. The parts of the leaf which could not get light are not turned into blue – black colour.
    AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 21

Observation:
It is observed that only the parts of the leaf, which could get light through the cut out design, turn blue black, showing the presence of starch.

Result:
This experiment proves that light is necessary to form starch in the process of photosynthesis.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Activity – 3

Demonstrate litmus paper test on salivary amylase in the mouth.
Answer:

  1. Before taking food into the mouth, take a litmus indicator paper and touch it to the tongue.
  2. We observe no colour change in litmus paper.
  3. Perform the litmus test again after chewing the food and swallowing it.
  4. The red litmus paper turns to blue colour.
  5. The blue litmus paper do not turns to red colour.
  6. This demonstrates that amylase converts complex carbohydrates to simple sugar.
  7. Amylase is alkaline in nature. This turns litmus paper blue when touches glucose at the second time.
    AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 22

Activity – 4

Observe different digestive enzymes and their role in digesting food in a tabular form.
Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 23

10th Class Biology 1st Lesson Nutrition – Food Supplying System InText Questions and Answers

10th Class Biology Textbook Page No. 2

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 1.
Can you think of some raw materials needed for photosynthesis?
Answer:
Yes. Photosynthesis needs the following raw materials.

  1. Sunlight, CO2 water are external factors.
  2. Chlorophyll and enzymes are internal factors.

Question 2.
What could be the end products of the process of photosynthesis?
Answer:
Glucose, water and oxygen are the end products of photosynthesis.

10th Class Biology Textbook Page No. 4

Question 3.
Do you think solar energy transforms into chemical energy by the process of photosynthesis?
Answer:
Yes, solar energy transforms into chemical energy by the process of photosynthesis.

Question 4.
What are the materials that you think would be essential for the synthesis of carbohydrates in the process of photosynthesis?
Answer:
The materials essential for the synthesis of carbohydrates in the process of photosynthesis are carbon dioxide, water, sunlight and chlorophyll.

Question 5.
Do you think the equation tells us about all the materials involved?
Answer:
Yes, the materials which are essential for photosynthesis and the products formed are involved in the equation.

10th Class Biology Textbook Page No. 5

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 6.
What had Priestly done to introduce the mint plant without disturbing the experimental setup?
Answer:
AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System 24Priestly should have tilted the bell jar to one side and introduced the mint plant without disturbing the experimental set up.

Question 7.
How did Priestly light the candle from outside?
Answer:
Priestly might have used convex lens through which beam of sun rays can light the candle from outside or he might have used long burning stick, to light the candle by lifting the jar partially.

Question 8.
Do you find any relationship between candle, rat, mint plant? Discuss.
Answer:
Priestly’s experiment confirmed that gaseous exchange was going on and plants were giving out a gas that supported burning and was essential for the survival of animals.
By combustion process candle releases carbondioxide. By respiration process rat also releases carbondioxide. During photosynthesis process mint plant uses this carbondioxide and releases oxygen. This oxygen will be used by rat to stay alive and for the candle to burn.
So there is a relationship between respiration and photosynthesis by candle, rat and mint plant.

10th Class Biology Textbook Page No. 6

Question 9.
Why was the plant kept in dark and then in sunlight?
Answer:

  1. The plant is kept in the dark for nearly a week to remove the starch from the leaves.
  2. Then only we can understand that the starch is formed in the leaves or not after the experiment when the plant is kept in the sunlight.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 10.
Why did we study two leaves in the Mohl’s half leaf experiment?
Answer:

  1. To test CO2 is essential or not for photosynthesis, two leaves are used in the experiment.
  2. One leaf with the plant and another one used in the experiment.
  3. The leaf which is exposed to the atmospheric air becomes bluish-black. It proves that starch is prepared in the leaf by using CO2 from atmosphere.
  4. The leaf inside the flask containing potassium hydroxide, which absorbs CO2 present in the bottle does not become bluish black. It shows that CO2 is necessary for photosynthesis.

10th Class Biology Textbook Page No. 7

Question 11.
What precautions do you need while removing test tube from the beaker? Discuss with your teacher.
Answer:

  1. When sufficient gas is collected lift the test tube carefully from the beaker by closing its mouth with the thumb.
  2. Because of that the gas present in the test tube cannot escape into the atmosphere.

10th Class Biology Textbook Page No. 8

Question 12.
Which part of leaf turns blue black? What about the remaining part?
Answer:

  1. The part of the leaf, which could get light through the cut design turns to blue black showing the presence of starch.
  2. The remaining part of the leaf which did not get light, do not turn blue, indicating that starch is not prepared.

Question 13.
Observe the colour of the leaf stained with iodine. Can you tell why it is stained differently?
Answer:

  1. Some parts of the leaf prepared starch.
  2. Some parts of the leaf does not prepared starch.
  3. So it is stained differently.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 14.
What about plants having coloured leaves?
Answer:
Plants having coloured leaves also carry out photosynthesis. The coloured leaves containing pigments pass on the energy of sunlight trapped by them to chlorophyll.

Question 15.
How is that new leaves which look dark red in colour in several plants turn green?
Answer:

  1. The new leaves which look dark red in colour contain coloured chromoplasts.
  2. As the leaf grows the chromoplasts turns to chloroplasts and the leaf appears green in colour.

Question 16.
Do plants having reddish or yellowish leaves also carry out photosynthesis?
Answer:

  1. Yes. Plants having reddish or yellowish leaves also carry out photosynthesis.
  2. The pigments present in reddish or yellowish leaves pass on the energy of sunlight trapped by them to chlorophyll.

Question 17.
What made plants carry out photosynthesis while even green coloured animals (like some birds) could not?
Answer:

  1. Chlorophyll and other pigment molecules trap (harvest) solar energy, convert it into chemical energy in the thylakoid membranes of the chloroplast.
  2. But animals having green colour on their body cannot trap solar energy and cannot perform photosynthesis. Photosynthesis is possible only in plants but not in animals.

10th Class Biology Textbook Page No. 9

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 18.
Where is chlorophyll and other pigments present in the plant?
Answer:
Chlorophyll and other pigments are present in the grana thylakoids of chloroplast in leaf.

Question 19.
Do you think the new reddish leaves of plants also carry out photosynthesis? What could be the role of their colour?
Answer:

  1. Yes. New reddish leaves of plants also carry out photosynthesis.
  2. Chromoplasts are responsible for the reddish colour of leaves.
  3. They also pass on the energy of sunlight which they trap to the photosystems.

10th Class Biology Textbook Page No. 10

Question 20.
What makes chloroplast appear completely different from other cell organelles?
Answer:

  1. Substances found in chloroplast, which capture sunlight are called photosynthetic pigments.
  2. Two major kinds of chlorophyll are associated with thylakoid membranes.
  3. Chlorophyll – a (blue – green in colour) and chlorophyll – b (yellow – green); around 250 to 400 pigment molecules are grouped as light harvesting units in each granum.
  4. Such innumerable units in chloroplasts make them appear completely different from other organelles.

10th Class Biology Textbook Page No. 13

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 21.
What happens to the food once it enters our body?
Answer:

  1. The food once enters our body it gets digested by various enzymes in different parts of alimentary canal.
  2. Digestion starts in the mouth and it completes in the small intestine.
  3. Finally it absorbed in the small intestine into the circulatory system.

10th Class Biology Textbook Page No. 15

Question 22.
Name the enzymes which act on carbohydrates.
Answer:
Ptyalin (salivary amylase), amylase and sucrose are the enzymes that act on carbohydrates.

10th Class Biology Textbook Page No. 16

Question 23.
What are the end products of fats?
Answer:
The end products of fats are fatty acids and glycerol.

Question 24.
What are the enzymes that act on proteins?
Answer:
Pepsin, Trypsin and Peptidases are the enzymes that act on proteins.

Question 25.
Which digestive juice contains no enzymes?
Answer:
Bile juice produced by liver contains no enzymes.

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 26.
What do you think about the process of digestion?
Answer:

  1. The process of digestion occurs in the alimentary canal or digestive system.
  2. During the process of digestion large complex macro molecules present in the food are converted to simple and small molecules.
  3. Digestion provides the food material properly absorbed by the body.

Question 27.
What are the major steps of digestion?
Answer:
The major steps of digestion are

  1. Ingestion
  2. Digestion
  3. Absorption and
  4. Defecation.

10th Class Biology Textbook Page No. 18

AP SSC 10th Class Biology Solutions Chapter 1 Nutrition – Food Supplying System

Question 28.
Collect information about pellagra and discuss with your teacher.
Answer:

  1. Pellagra is a vitamin-deficient disease.
  2. Niacin (Vitamin – B3) is essential for the metabolism of carbohydrates, proteins and fats.
  3. The resources for vitamin – B3 are kidney, liver, meat, egg, fish, oil seeds and legumes.
  4. Deficiency of niacin results in a disease called PELLAGRA.

Symptoms: Pellagra is described by 3 Ds – Diarrhoea, Dermatitis, Dementia.
A more comprehensive list of symptoms include

  1. Sensitivity to sunlight
  2. Aggression
  3. Dermatitis
  4. Alopecia (hair loss)
  5. Edema (swelling)

Smooth, beefy red, glossitis, red skin lesions, insomnia (sleepless), weakness, mental confusion, nerve damage are the symptoms of this pellagra.

Prevention: By taking of yeast, meat, fish, milk, eggs, green vegetables, beans and cereal grains, we can prevent this disease.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు

by

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు

ప్రశ్న 1.
అవర్గీకృత దత్తాంశము 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు డుధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
దత్తాంశానికి అంకమధ్యమం.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 1
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 2

ప్రశ్న 2.
అవర్గీకృత దత్తాంశము 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని గణించండి.
సాధన:
దత్తబిందువులను పరిమాణం పరంగా ఆరోహణక్రమంలో (వాయగా 4, 6, 7, 10, 12, 12, 13, 16
∴ మధ్యగతం = \(\frac{10+12}{2} = 11\)
పరమ మూల్ల విలువలు
|11-4|, |11-6|, |11-7|, |11-10|, |11-12|, |11-12|, |11-13|, |11-16|
= 7, 5, 4, 1, 1, 1, 2, 5
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{8}\) (7+5+4+1+1+1+2+5)
= \(\frac{26}{8}\) = 3.25

ప్రశ్న 3.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 3
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 4
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 5

ప్రశ్న 4.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుగొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 6
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 7

ప్రశ్న 5.
ఇచ్చిన దత్తాంశానికి మద్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుగొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 8
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 9

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 10

ప్రశ్న 6.
క్రింది దత్తాంశానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 11
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 12
ప్రశ్న 7.
క్రింది దత్తాయాానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 13
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 37

ప్రశ్న 8.
క్రింది దత్తాంశానికి విస్తృతి, (ప్రామాణిక విచలనాలను కనుగొనుము 5,12,3,18,6,8,2,10
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 14

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 38

ప్రశ్న 9.
క్రింది దత్తాంశానికి విస్తృతి మరియు (ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 15
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 16

ప్రశ్న 10.
ఈ క్రింది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విాజనానికి విస్తృతి ప్రామాణిక విచలనాన్ని గణించండి.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 17
సాధన:
ఉహత్మక మధ్యమం A = 65 అనుకొనుము
అపుడు  \(y_i=\frac{x_i-65}{10}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 18

ప్రశ్న 11.
ఒక తరగతికి చెందిన రెండు విభాగాలు A, B లలోని విద్యార్థులు, 100 మార్కులకు పెట్టిన ఒక పరీక్షలో క్రింది ఫలితాలను సాధించారు. వీరిలో ఏ విభాగంలోని విద్యార్థులు, వారి ఫలితాలలో ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగి ఉన్నారో కనుగొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 19
సాధన:
విభాగం – A విద్యార్ధుల మార్కుల విభాజన విస్తృతి σ21 = 81
⇒ ప్రామాణిక విచలనం σ1 =8
విభాగం – B విద్యార్థుల మార్కుల విభాజన విస్తృతి σ22 = 81
⇒ σ2 = 9
రెండు విభాగాలలోని విద్యార్థుల సగటు మార్కులు ఒకటి (అంటి 45) కావున అధిక ప్రామాణిక విచలనం కలిగిన విభాగం ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
∴ విభాగం B వారి పనితనం అధిక విచలనాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 12.
ఒక సర్వేలో రాబట్టిన రెండు నమూనాల రఫ్రిజిరేటర్లు A, B ల మన్నిక కాలం ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. మీరు ఏ నమూనా రిఫ్రిజిరేటరును కొనవచ్చని సూచిస్తారు.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 20

సాధన:
నమూనా A, నమూనా B రి్రిజిరేటర్ల మన్నిక కాలాలు మధ్యమం, విస్తృలిలను కనుక్కొవడానికి పట్టికను నిర్మిద్దాం.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 21

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 22

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 23

నమూనా B విచలనాంకం నమూనా A విచలనాంకం కంటే తక్కువగా ఉన్నది.
నమూనా B కొనవచ్చునని సూచిస్తాం.

ప్రశ్న 13.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, (క్ంిది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 24
సాధన:
ఉహత్మక మధ్యమం A = 35
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 25
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 26

ప్రశ్న 14.
ఈ క్రింది పట్టిక, ఒక కర్మాగారంలో పనివాళ్ళ రోజు వారీ జీతాలను తెలుపుతుంది.ఈ పనివాళ్ళ జీతాల ప్రామాణిక విచలనాన్ని, విచలనాంకంను గణనం చేయండి.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 27
సాధన:
తరగతి అంతరాల మధ్యబిందువులు సంఖ్యాపరంగా పెద్దవి కనుక ఈ సమస్యను సోపాన విచలన పద్ధతినుపయోగించి సాధిస్తాము.
ఇక్కడ h=50
ఊహత్మక మధ్యమం A=300
అపుడు \( y_i=\frac{x_i-300}{50}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 28

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 29

ప్రశ్న 15.
ఒకే రకం పంర్రమకు చెందిన .రండు సంస్థల A, Bలలోని పనివారికి ఇచ్చిన జీతాలను విశ్లేషణ చేసినప్పుడు ఈ క్రింది పట్టికలోని వివరాలు తెలిసాయి.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 30
i) A లేదా B లో ఏ సంస్థ, ఆ పరిశ్రమలోని జీతాలలో ఎక్కువ విచరణ కలిగి ఉంది ?
ii) ఏ సంస్థ ఎక్కువ జీతం బిల్లును కలిగి ఉంది ?
సాధన:
i) ఇచ్చిన σ2A= 81 ⇒ σA= 9
σ2B = 100 ⇒ σB= 10
\(\bar{x}_A\) = 186 మరియు \(\bar{x}_B\) = 175
సంస్థ A జీతాల విభాజనపు విచలనాంకం = \(\frac{\sigma_A}{x_A} \times 100=\frac{9}{186} \times 100=4.84\)
సంస్థ B జీతాల విభాజనపు విచలనాంకం = \(\frac{\sigma_{\mathrm{B}}}{\mathrm{x}_{\mathrm{B}}} \times 100=\frac{10}{175} \times 100=5.71\)
∴ సంస్థ B కి విచలనాంకం, సంస్థ A విచలనాంకం పెద్దది కనుక, వ్యక్తిగత జీతాలకి సంబంధించి, సంస్థ B ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగినదని చెప్పగలం.

ii) సంస్థ A లోని పనివారికి చెల్లించిన మొత్తం జీతాలు= 500 ×186 = 93,000
సంస్థ B లోని పనివారికి చెల్లించిన మొత్తం జీతాలు =600 ×175 = 1,05,000
∴ సంస్థ B కి ఎక్కువ జీతం బిల్లు కలదని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 16.
20 పరిశీలనల విస్తృతి 5. (పతి పరిశీలసను 2 చే గుణించినప్పుడు వచ్చే పరిశీలనల విస్తృ)తిని కనుగొనుము.
సాధన:
దత్తపరిశీలనలను x1, x2,……………….. x20 వాటి మధ్యమం \(\overline{\bar{x}}\) అనుకొనుము.
దత్తాంశం నుంచి n=20 మరియు విస్తృతతి = 5
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 31
∴ ఫలితంగా వచ్బే పరిశీలన విస్త్లృతి = \(\frac{1}{20}\) × 400 = 20 = 22 × 5

ప్రశ్న 17.
పరిశీలన x1, x2 ……………………….. xn లలో (ప్రతిదాన్ని k కి పెంచితే లేదా కలిపితే (k ఒక ధనాత్మక లేదా రుణాత్మక సంఖ్య), వచ్చే పరిశీలనల విస్తృతి ఏమి మారదని చూపండి.
సాధన:
x1, x2 ……………………….. xn ల మధ్యమం x అనుకొందాం.
అప్పుడు వాటి నిస్తృతి \(\sigma_1^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \)
ప్రతి పరిశీలనకు ఒక స్థిరరాశి k కలిపితే, వచ్చే కొత్త పరిశీలనలు yi = xi + k ………………. (1)AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 32

ప్రశ్న 18.
10 ఇన్నింగులలో A, Bఅనే ఇద్దరు క్రికెట్ అటగాళ్ళు స్కోరులు ఈ క్రింద ఇవ్వడమైనది. వీరిలో ఎక్కువ పరుగులు సాధించిన ఆటగాడో, ఎవరు ఎక్కువ నిలకడగల అటగాడో కనుగానుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 33
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 34
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 35

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు 36

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

by

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 1.
\(\frac{5 x+1}{(x+2)(x-1)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 1

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 2.
\(\frac{2 x+3}{5(x+2)(2 x+1)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 2

ప్రశ్న 3.
\(\frac{13 x+43}{2 x^2+17 x+30}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 3
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 4

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 4.
\(\frac{x^2+5 x+7}{(x-3)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 5

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2+13 x+15}{(2 x+3)(x+3)^2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలు మొత్తంగా (వాయండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 6

ప్రశ్న 6.
\(\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 7

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 7.
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 8
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 9

ప్రశ్న 8.
\(\frac{x-1}{(x+1)(x-2)^2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 10

ప్రశ్న 9.
\(\frac{2 x^2+1}{x^3-1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 11

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 10.
\(\frac{x^3+x^2+1}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 12
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 13

ప్రశ్న 11.
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 14

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 12.
\(\frac{x^4+24 x^2+28}{\left(x^2+1\right)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 15

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 13.
\(\frac{x+3}{(1-x)^2\left(1+x^2\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 16
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 17

ప్రశ్న 14.
\(\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 18

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 19
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 20

ప్రశ్న 16.
\(\frac{3 x}{(x-2)(x+1)}\) ను x ఘాతకేణణిగా విస్తరించ గలిగే అంతరాన్ని తెలుపుతూ x4 గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 21

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 17.
\(\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\) ను x ఘాతకేణణిగా విస్తరించ గలిగే  ప్రదేశాన్ని తెలుపుతూ, xn గుణకాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 22
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు 24

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

by

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 1.
(2 a+3b)6 మొక్క విస్తరణను (వాయండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 1

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 2.
(3 x-4 y)7 విస్తరణలో 5వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 2

ప్రశ్న 3.
(2 a+5 b)8 విస్తరణలో చివరి నుంచి 4వ పదం కనుక్హోండ.
సాధన:
దత్త విస్తరణలో 9 పదాలుంటాయి. కనుక చివరినుంచి 4వ పదం మొదటినుంచి లెక్కిస్తే 6వ పదం అవుతుంది.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 3

ప్రశ్న 4.
క్రింది విస్తరణలో మధ్యపదం కనుక్రోండి.
(i) (3 a-5 b)6 (ii) (2 x+3 y)7
సాధన:
(i) ఇక్కడ n = 6 (సరిసంఖ్య)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 4

(ii) ఇక్కడ n = 7 (బేసిసంఖ్య)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 5

ప్రశ్న 5.
n ఒక ధన హూ్్ణాంకం అయితే
(i) C0 + C1 + C2 +………………… + Cn = 2n

(ii) n సరిపూర్ణాంకం అయితే
(a) C0 + C2 + C4 +………………… + Cn = 2n-1
b) n బేసి హూర్ణాంకం అయితే C0 + C2 + C4 +………………… + Cn-1 = 2n-1

(iii)
(a) n సరిహ్ణాంకం అయితే C1 + C3 + C5 +………………… + Cn-1 = 2n-1
(b) n బేసి పూర్ణాంకం అయితే C1 + C3 + C5 +………………… + Cn = 2n-1
సాధన:

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 7

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 8

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 6.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే C0 + 3.C3 + 5.C2 +………………… +(2n +1) . Cn = (2n + 2) = 2n-1 అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 9

ప్రశ్న 7.
x= \(\frac{2}{3}\) అయినప్పుడు (1 – 5x)12 విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గిష్ఠపదం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ n=12 మరియు X=-5x
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 10
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 11

ప్రశ్న 8.
\(x=\frac{3}{4}, y=\frac{2}{7}\), n=17 అయనప్పు (3 x-5 y)n విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్రపదం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం\(x=\frac{3}{4}, y=\frac{2}{7}\) మరియు n=17
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 12

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 9.
కింది పదాల విస్తరణలో గరిష్య ద్విపద గుణకం (గుణకాలు) కనుక్కోండి.
(i) (1+x)19
(ii) (1+x)24
సాధన:
(i) n=19 బేసి పూర్ణాంకం కనుక గరిష్ట గుణకాలు
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 13

(ii) n=24 సరి పూర్ణాంకం కనుక (1+x)24 లో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం
\(={ }^n C_{\left(\frac{n}{2}\right)} \text { (i.e.) }{ }^{24} C_{12}\)

ప్రశ్న 10.
(1+x)22 విస్తరణలో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం 22Cr అయితే 13Cr విలువ కనుక్కోండి
సాధన:
n = 22 సరీసంఖ్య. కనుక ఒకే గరిష్ఠ గుణకం ఉంటుంది.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 14

ప్రశ్న 11.
\(\left(\frac{4}{x^3}+\frac{x^2}{2}\right)^{14}\) విస్తరణలో 7వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 15

ప్రశ్న 12.
\(\left(x^{-2 / 3}-\frac{3}{x^2}\right)^8\) విస్తరణలో చివరి నుండి 3వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 16
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 17

ప్రశ్న 13.
\(\left(2 x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}\) విస్తరణలో x9, x10 ల గుణకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 18

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 14.
\(\left(\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{2 x^{-2}}\right)^{10}\) విస్తరణలో x పై ఆధారపడని పదం (స్థిర పదం) కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 19

ప్రశ్న 15.
\(\left(a x^2+\frac{1}{b x}\right)^{11}\) విస్తరణలో x10 గుణకం \(\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^{11}\) విస్తరణలో x-10 గుణకం సమానమైతే; a, b ల మధ్య సంబంధం కనుక్కోండి. (ఇక్కడ a, b లు వాస్తవ సంఖ్యలు)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 21
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 22

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 16.
\(\left(x^2-\frac{1}{2 x}\right)^{20}\) విస్తరణలో Tk మధ్యపదం అయితే  Tk+3
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 23
ప్రశ్న 17.
(1+x)18 విస్తరణలో (2 r+4),(r-2) పదాల గుణకాలు సమానం అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 24

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 18.
‘n’ ధన హార్ణాంకం అయితే 2. C0 + 7.C1 + 12.C2 +………………… +(5n +2) Cn = (5n + 4) = 2n-1 అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 25

ప్రశ్న 19.
(i) \(C_0+3 \cdot c_1+3^2 \cdot C_2+\ldots \ldots+3^n \cdot C_n=4^n\)
(ii) \(\frac{C_1}{C_0}+2 \cdot \frac{C_2}{C_1}+3 \cdot \frac{C_3}{C_2}+\ldots . .+n \cdot \frac{C_n}{C_{n-1}}=\frac{n(n+1)}{2}\) అని నిరాపించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 26
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 27
ప్రశ్న 20.
n = 0,1,2,3, …………………… 0
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 28
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 29
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 30

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 21.
3.C0 + 7.C21 + 11.C22 +………………… + (4n +2) C2n = (2n + 3) = 2nCn ఆనిచూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 31

ప్రశ్న 22.
i) x= \(\frac{11}{8}\) యయనపుడ (2+3x)10 విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్ఠ పదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 33
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 34

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ii) x=8, y=3 అయినపుడు (3 x-4 y)14 విస్తరణలో సంఖ్యా పరంగా గరిష్డ పదాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 35
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 36

ప్రశ్న 23.
n ఒక ధన హార్ణాంకం అయితే 62n-35 n-1 ను 1225 నిశ్ళేషంగా భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 37

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 24.
n ఒక ధన హూర్ణాంకం అయితే \((7+4 \sqrt{3})^n\) సంఖ్యకు హార్ణాంక భాగం, భిన్న భాగాలు వరుసగా I, F అయితే
(i) I ఒక బేసి హార్ణాంకం
(ii) (I+F) (1 – F) = 1 అని చూపండ
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 38
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 39

ప్రశ్న 25.
(3+2 x+x2)6 విస్తరణలో x6 గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 40

ప్రశ్న 26.
n ధన పూర్ణాంకం అయిన \(C_0+\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{3}+\ldots \ldots +\frac{C_n}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\) అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 41

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 27.
n ఒక ధన హార్ణాంకం మరియు x ఏదేని శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్య అయిన,\(c_0+c_1 \frac{x}{2}+c_2 \cdot \frac{x^2}{3}+ C_3 \cdot \frac{x^3}{4}+\ldots . .+C_n \cdot \frac{x^n}{n+1}=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 42

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 43

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 28.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 46
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 47

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 48

ప్రశ్న 29.
క్రింది పదాలకు ద్విపద విస్తరణలు వ్యవస్థితం చేసే x ల సమితి E కనుక్కోండి.
(i) (3-4 x)(3/4)
(ii) (2+5 x)-1/2
(iii) (7-4 x)-5
(iv) (4+9 x)(-2/3)
(v) (a+b x)r
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 49
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 50

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 30.
క్రింద సూచించిన పదాలను కనుక్కోండి.
(i) \(\left(2+\frac{x}{3}\right)^{-5}\) విస్తరణలో 9వ పడం
(ii) \(\left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\) విస్తరణలో 10వ పడం
(iii) \(\left(1-\frac{5 x}{2}\right)^{-3 / 5}\) విస్తరణలో 8వ పడం
(iv) \(\left(3+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2}\) విస్తరణలో 6వ పడం

(i) \(\left(2+\frac{x}{3}\right)^{-5}\) విస్తరణలో 9వ పడం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 51
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 52

(ii) \(\left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\) విస్తరణలో 10వ పడం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 53

(iii) \(\left(1-\frac{5 x}{2}\right)^{-3 / 5}\) విస్తరణలో 8వ పడం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 54
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 55

(iv) \(\left(3+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2}\) విస్తరణలో 6వ పడం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 56

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 31.
క్రింది విస్తరణలో మొదటి పదాలు వ్రాయండి.
(i) \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-5}\)
(ii) (3 + 4x)-2/3
(iii) (4 –  5x)-1/2

(i) \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-5}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 57
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 58

(ii) (3 + 4x)-2/3

సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 59

(iii) (4 –  5x)-1/2

సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 60

ప్రశ్న 32.
క్రింది ద్విపద విస్తరణలో సాధారణ పదం కనుక్కోండి.
(i) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 3}\)
(ii) \(\left(2+\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\)
(iii) (1 – 4x)-3
(iv) ( 2- 3x)-2/3

(i) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 3}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 61

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

(ii) \(\left(2+\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 62
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 63

(iii) (1 – 4x)-3
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 64

(iv) ( 2- 3x)-2/3
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 65

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 33.
\(\frac{1+3 x}{(1-4 x)^4}\) విస్తరణలో x12 గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 66

ప్రశ్న 34.
(1 – 3x)-2/5 విస్తరణలో x6 గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 67

ప్రశ్న 35.
క్రింది ఆనంతశేణ మొత్తం కనుక్కోండి.
\(1+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2.5}{3.6}\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{2.5 .8}{3.6 .9}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\ldots \ldots \infty\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 68
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 69

ప్రశ్న 36.
క్రింది ఆనంతశేణ మొత్తం కనుక్కోండి.
\(\frac{3.5}{5.10}+\frac{3.5 .7}{5.10 .15}+\frac{3.5 .7 .9}{5.10 .15 .20}+\ldots \ldots \infty\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 70

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 37.
\(x=\frac{1}{5}+\frac{1.3}{5 \cdot 10}+\frac{1 \cdot 3.5}{5 \cdot 10.15}+\ldots \ldots \infty\) అయితే  3x2 + 6x విలువ కనుక్కోండి
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 71
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 72

ప్రశ్న 38.
(i) \(\frac{1}{\sqrt[3]{999}}\)
(ii) (627)1/4 మొక్క ఉజ్ణాయింప విలువలా దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 73
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 74

ప్రశ్న 39.
x3 ఆపై  x ఘాతాలను ఉపేక్షించేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{(4-7 x)^{1 / 2}}{(3+5 x)^3}\) ఉజ్ణాయింపు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 75

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 40.
\(\sqrt[6]{63}\) మొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 76
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 77

ప్రశ్న 41.
x3 ఆపై  x ఘాతాలను ఉపేక్షించేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{\left(1+\frac{3 x}{2}\right)^{-4}(8+9 x)^{1 / 3}}{(1+2 x)^2}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 78

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 42.
x4 ఆపై  x ఘాతాలను వదిలివేసేంతగా |x| చిన్నదయితే \(\sqrt[4]{x^2+81}-\sqrt[4]{x^2+16}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 79

ప్రశ్న 43.
x, y లు ధన వాస్తవ సంఖ్యలు. yతో పోలిస్తే విలావ చాలా చిన్నదయతే, \(\left(\frac{y}{y+x}\right)^{3 / 4}-\left(\frac{y}{y+x}\right)^{4 / 5}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 80
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 81

ప్రశ్న 44.
\(5 \sqrt{5} \text { ను } \frac{4}{5}\) యొక్క ఆరోహణ ఘాతాలలో విస్తరించి ప్రాయండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం 82

 

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

by

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 6th Lesson ఉష్ణగతిక శాస్త్రం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 6th Lesson ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం అనే పదం ఏమి తెలియజేస్తుంది?
జవాబు:

  • ఉష్ణగతికశాస్త్రం రసాయన చర్యలో శక్తి మార్పులను గురించి తెలియజేస్తుంది.
  • ఉష్ణగతికశాస్త్ర నియమాలు పెద్ద పెద్ద వ్యవస్థల (ఎక్కువ సంఖ్యలో అణువులు గతబీ) లోని శక్తి మార్పుల గురించి తెలియజేస్తుంది.

ప్రశ్న 2.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం నియమాలకు, సమతాస్థితికి మధ్య సంబంధమేమిటి?
జవాబు:

  • ఉష్ణగతికశాస్త్ర నియమాలు వ్యవస్థ సమతాస్థితిలో ఉన్నపుడు మాత్రమే అనువర్తనం చెందుతాయి.
  • సమతాస్థితి వద్ద పీడనం మరియు ఉష్ణోగ్రత వంటి నియమాలు కాలంతో పాటు మార్పు చెందవు.

ప్రశ్న 3.
వ్యవస్థను నిర్వచించండి. ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
వ్యవస్థ:
ఉష్ణగతికశాస్త్ర అథ్యయనానికి ఎంచుకున్న విశ్వంలోని ఒక లఘుభాగాన్ని “వ్యవస్థ” అంటారు.

ప్రశ్న 4.
స్థిరోష్ణక గోడ ఉంది ∆U = Wad. వ్యవస్థపరంగా ఉష్ణం, ఉపని అంటే ఏమి అర్థమయింది?
జవాబు:

  • స్థిరోష్ణక పద్ధతిలో ఉష్ణం వ్యవస్థ మరియు పరిసరాల మధ్య మార్పిడి జరగదు.
  • స్థిరోష్ణక పద్ధతిలో జరిగిన పని వ్యవస్థ అంతరిక శక్తికి సమానం
    W = U2 – U1 = ∆U
  • ఇచ్చట వ్యవస్థపై జరిగిన పని ధనాత్మకం, వ్యవస్థ ద్వారా జరిగిన పని రుణాత్మకం.

ప్రశ్న 5.
వ్యవస్థ మీద పని ఏమీ జరగలేదు. వ్యవస్థ ‘q’ పరిమాణంలో ఉష్ణం కోల్పోయింది. ఈ వ్యవస్థ ఎలాంటి గోడను కలిగి ఉంది?
జవాబు:
ఇచ్చట ఉష్ణం మార్పిడీ ఉష్ణవాహకత కలిగిన గోడ ద్వారా జరుగుతుంది.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 6.
వ్యవస్థకు ‘q’ పరిమాణంలో ఉష్ణం అందించబడింది, వ్యవస్థ పనిచేసింది. ఈ వ్యవస్థ ఏ రకంపై ఎలాంటిదై ఉంటుంది?
జవాబు:
ఈ వ్యవస్థ మూసిన వ్యవస్థ
గణిత రూపం
∆U = q – W
∆U = ఆంతరిక శక్తి మార్పు
q = అందించబడిన `ఉష్ణం
W = వ్యవస్థ ద్వారా జరిగిన పని

ప్రశ్న 7.
ఒక ఆదర్శ వాయువు స్వేచ్ఛావ్యాకోచంలో (free expansion) ఉత్రమణీయ, అనుత్రమణీయ ప్రక్రియల్లో వాయువు చేసే పని ఏమిటి?
జవాబు:

  • ఒక ఆదర్శ వాయువు స్వేచ్ఛా వ్యాకోచంలో పీడనం సున్నా అగును.
  • ఉత్రమణీయ, అనుత్రమణీయ చర్యలలోని ఆదర్శ వాయువు స్వేచ్ఛా వ్యాకోచస్థితిలో పని జరుగదు.

ప్రశ్న 8.
సమీకరణం ∆U = q – Pex ∆V నుంచి ఘనపరిమాణం స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు ∆U విలువ ఎంత?
జవాబు:
ఘనపరిమాణం స్థిరము అయిన ΔV = 0
ΔU = q – pex ΔV
ΔU = q – 0
ΔU = q
∴ ఆంతరిక శక్తి మార్పు = ఉష్ణం అందింపబడినది.

ప్రశ్న 9.
సమోష్ణ స్వేచ్ఛా వ్యాకోచ ప్రక్రియలో ఒక ఆదర్శ వాయువు q, ΔU విలువలు ఎంత?
జవాబు:
ΔU = q + W
సమోష్ణ స్వేచ్ఛా వ్యాకోచ ప్రక్రియలో
W = 0, q = 0, ΔU = 0
∴ జరిగిన పని W = 0
∴ q = 0, U = 0

ప్రశ్న 10.
సమోష్ణ అనుక్రమణీయ ప్రక్రియ మార్పులో ఆదర్శ వాయువుకు ‘q’ విలువ ఎంత?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయువు యొక్క సమోష్ణ అనుక్రమణీయ మార్పు
q + W = 0
q = -W
= pEx (Vf – Vi)

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 11.
ఆదర్శ వాయువు సమోష్ణ ఉత్రమణీయ మార్పులో ‘q’ విలువ ఎంత?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయువు యొక్క సమోష్ణ ఉత్ర్కమణీయ మార్పు
q = W
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 1

ప్రశ్న 12.
ఆదర్శ వాయువు స్థిరోష్ణక మార్పులో ΔU, W(adiabatic) ల సంబంధమేమిటి?
జవాబు:
స్థిరోష్ణక పద్ధతిలో q = 0
ΔU = q + W
ΔU = 0 + W
ΔU = W
ఆంతరిక శక్తి మార్పు = స్థిరోష్ణక పద్ధతిలో జరిగిన పని.

ప్రశ్న 13.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం మొదటి నియమం ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఉష్ణగతికశాస్త్ర మొదటి నియమము : ఈ నియమాన్ని “శక్తి నిత్యత్వ నియమం” అని కూడా అంటారు. ఈ నియమాన్ని భిన్న విభాగాలుగా నిర్వచిస్తారు.

  1. ఏ ప్రక్రియలోనైనా ఒక రూపం నుంచి వేరొక రూపంలోకి శక్తి మారుతుందే కాని, క్రొత్తగా శక్తి జనించడం (లేదా) ఉన్న శక్తిన నశించడం జరగదు.
  2. మొదటి రకం సతతచలన యంత్రాన్ని నిర్మించలేం.
  3. వ్యవస్థ, పరిసరాల మొత్తం శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది లేదా నిత్యత్వం చేయబడుతుంది.

ప్రశ్న 14.
వ్యవస్థ చేసిన పనికి, వ్యవస్థపై జరిగిన పనికి సంప్రదాయ గుర్తులు ఏమిటి?
జవాబు:

  • వ్యవస్థపై జరిగిన పనికి ధనాత్మక గుర్తు (+Ve)
  • వ్యవస్థ చేసిన పనికి రుణాత్మక గుర్తు (-Ve)

ప్రశ్న 15.
ఘనపరిమాణం (V), పీడనం (p), ఉష్ణోగ్రత (T) లు స్థితి ప్రమేయాలు, ఇలా చెప్పడం సరైందా?
జవాబు:
ఘనపరిమాణం (V), పీడనం (P) మరియు ఉష్ణోగ్రత (T) లు స్థితి ప్రమేయాలు. ఇవి చర్య మార్గంపై ఆధారపడవు. కేవలం స్థితిపై ఆధారపడతాయి.

ప్రశ్న 16.
ఉష్ణ పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థకు, వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు మారినప్పుడు దాని సంప్రదాయక గుర్తులు ఏమిటి?
జవాబు:
q = ధనాత్మకం (+Ve) → పరిసరాల నుండి ఉష్ణం వ్యవస్థకు మార్పిడి.
q = రుణాత్మకం (-Ve) → వ్యవస్థ నుండి ఉష్ణం పరిసరాలకు మార్పిడి.

ప్రశ్న 17.
పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థ ఎలాంటి ఉష్ణం గ్రహించలేదు. అయితే వ్యవస్థ మీద పని జరిగింది. వ్యవస్థకు ఎలాంటి సరిహద్దు గోడ ఉంది?
జవాబు:
పరిసరాల నుండి వ్యవస్థకు ఉష్ణమార్పిడి జరుగలేదు. కాని పని (w) వ్యవస్థపై జరిగినది. ఇది స్థిరోష్ణక మార్పు. కావున ఇది స్థిరోష్ణక గోడ.

ప్రశ్న 18.
వ్యవస్థ మీద పని ఏమీ జరగలేదు. అయితే ‘q’ ఉష్ణం వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు మారింది. వ్యవస్థకు ఎలాంటి సరిహద్దు గోడ ఉంది?
జవాబు:
వ్యవస్థపై పని జరుగలేదు. కాని (q) ఉష్ణం వ్యవస్థ నుండి పరిసరాలకు మార్పిడి జరిగినది. ఇచ్చట గోడ ఉష్ణవాహక గోడ.

ప్రశ్న 19.
వ్యవస్థ పనిచేసింది, వ్యవస్థకు ‘q’ ఉష్ణం కూడా ఇవ్వబడింది. ఇది ఎలాంటి వ్యవస్థ?
జవాబు:
ఈ వ్యవస్థ మూసిన వ్యవస్థ
గణిత రూపం
ΔU = q – W
ΔU ఆంతరిక శక్తి మార్పు
q = అందించబడిన ఉష్ణం
W = వ్యవస్థ ద్వారా జరిగిన పని

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 20.
q = w = – Pext (vf – vi). ఇది అనుత్రమణీయ ….. మార్పు.
జవాబు:
q = w = -Pext (vf – vi) అనునది అనుత్రమణీయ సమోష్ణక మార్పు.

ప్రశ్న 21.
q = −w = nRT In (vf/vi). ఇది సమోష్ఠీయ ……… మార్పు.
జవాబు:
q = -w = nRT ln \(\frac{v_f}{v_i}\) అనునది సమోష్ణ ఉత్రమణీయ మార్పు.

ప్రశ్న 22.
ΔH కి ఉష్ణమోచక, ఉష్ణగ్రాహక చర్యల్లో సాంప్రదాయిక గుర్తు (sign) లు ఏమిటి ?
జవాబు:

  • ఉష్ణమోచక చర్యలో ΔHf = రుణాత్మకం (−Ve)
  • ఉష్ణగ్రాహక చర్యలో ΔHf = ధనాత్మకం (+Ve)

ప్రశ్న 23.
విస్తార (extensive), గహన (intensive) ధర్మాలంటే ఏమిటి?
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థ యొక్క కొలవదగిన ధర్మాలను రెండు రకాలుగా వర్గీకరిస్తారు.
1. విస్తార ధర్మాలు (Extensive properties) :
“ఈ ధర్మాలు వ్యవస్థలోని ద్రవ్యం మొత్తం పరిమాణం మీద ఆధారపడి ఉండే ధర్మాలు”.
ఉదా : ద్రవ్యరాశి (m), ఘనపరిమాణం (V), అంతరిక శక్తి (E), ఎంథాల్పీ (H), గిబ్స్ శక్తి (G), ఎంట్రోపీ (S) మొ||నవి.

2. గహన ధర్మాలు (Intensive properties) :
“ఈ ధర్మాలు వ్యవస్థలోని పదార్థం పరిమాణం మీద ఆధారపడని ధర్మాలు”.
ఉదా : పీడనం (P), ఉష్ణోగ్రత (T), బాష్పీభవన స్థానం (B.P), ఘనీభవన స్థానం (F.P), బాష్పీపీడనం (V.P), స్నిగ్ధత (n), తలతన్యత (σ) మొ||నవి.

ప్రశ్న 24.
సమీకరణం q = c. m. ΔT లో ΔT ఉష్ణోగ్రత మార్పు ‘m’ పదార్థం ద్రవ్యరాశి ‘q’ కావలసిన ఉష్ణం. అయితే ‘c’ ఏమిటి?
జవాబు:
q = c. m. ΔT లో ఇవ్వబడినది
పై సమీకరణంలో c = విశిష్టోష్టం
ఉష్ణధారణ :
1 గ్రా. పదార్థం యొక్క ఉష్ణోగ్రతను 1°C పెంచుటకు అవసరమైన ఉష్ణాన్ని ఉష్ణధారణ అంటారు.

ప్రశ్న 25.
ΔU, ΔH ల సంబంధం తెలిపే సమీకరణం రాయండి.
జవాబు:
ΔH = ΔU + ΔnRT
ΔH = ఎంథాల్పీ మార్పు
ΔU = ఆంతరిక శక్తి మార్పు
Δn = nP – nR,
R = సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం
T = ఉష్ణోగ్రత

ప్రశ్న 26.
Cp, Cv ల మధ్య సంబంధం ఏమిటి?
జవాబు:
Cp – Cv = R
Cp = స్థిర పీడనం వద్ద ఉష్ణ సామర్థ్యం
Cv = స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద ఉష్ణసామర్థ్యం
R = సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం.

ప్రశ్న 27.
బాంబ్ కెలోరిమీటర్లో ఆక్సిజన్ సమక్షంలో 298K, 1 atm పీడనం 1g గ్రాఫైట్ ఇచ్చిన సమీకరణం ప్రకారం దహనం చెందింది.
C(graphite) + O2 (వా) → CO2 (వా)
చర్య జరగడం వల్ల ఉష్ణోగ్రత 298K నుంచి 299K కు పెరిగింది. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఉష్ణధారణ 20.7kJK-1. పై చర్యకు 298 K, 1 atm పీడనం వద్ద ఎంథాల్పీ మార్పు ఎంత?
జవాబు:
C(గ్రాఫైట్) + O2(వా) → CO2(వా)
ΔT = 299 – 298 = 1K
q Cv × ΔT = −20.7 × 1 = – 20.7 KU
1 గ్రా. గ్రాఫైట్ ఇవ్వబడినది.
ΔH = ΔU (Δn = 0)
ΔU = -20.7 Kj/k
ఒక మోల్కు
ΔU = 12 × -20.7
= -248 KJ/mole

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 28.
పై చర్యకు అంతరిక శక్తి మార్పు ΔU ఎంత?
జవాబు:
పై చర్యకు అంతరిక శక్తి మార్పు ΔU = – 20.7 KJ/K.

ప్రశ్న 29.
CH4 (వా) + 2O2(వా) → CO2 (వా) + 2H2O (ద్ర) చర్యకు క్రియాజనకాలు, క్రియాజన్యాల మోలార్ ఎంథాల్పీల ఆధారంగా చర్యోష్టం ΔrH ఎంత?
జవాబు:
ΔrH = క్రియాజన్యాల ఎంథాల్పీల మొత్తం – క్రియాజనకాల ఎంథాల్పీల మొత్తం
= ΔHp = ΔHr
ΔrH = H(CO2) + 2 × H(H2O) – (H(CH4) + 2 × H(O2))

ప్రశ్న 30.
కేవలం ఎంథాల్పీ తగ్గుదల మాత్రమే చర్య అయత్నీకృతానికి కారణం కాదు. ఎందువల్ల?
జవాబు:
ఎంథాల్పీ మార్పు ΔH = రుణాత్మకం (-ve) అనునది స్వచ్ఛంద చర్యలకు (లేదా) ప్రక్రియలకు ఒక తోడ్పడే అంశమే కానీ అన్ని సందర్భాలలో కాదు.

ప్రశ్న 31.
కేవలం ఎంట్రోపీ పెరుగుదల చర్య అయత్నీకృతానికి కారణం కాదు. ఎందువల్ల?
జవాబు:
ఎంట్రోపీ మార్పు ΔH = ధనాత్మకం (+ve) అనునది స్వచ్ఛంద చర్యలకు (లేదా) ప్రక్రియలకు ఒక తోడ్పడే అంశమేకానీ అన్ని సందర్భాలలో కాదు.

ప్రశ్న 32.
గిబ్స్ శక్తి మార్పు ΔG కు, సమతాస్థితి స్థిరాంకం K కు మధ్య సంబంధం తెలపండి.
జవాబు:
ΔG° = 2.303 RT logk
ΔG° = గిబ్స్ శక్తిలో మార్పు
K = సమతా స్థితి స్థిరాంకం

ప్రశ్న 33.
ΔHθ, ΔSθ లు తెలిస్తే ΔGθ గణించవచ్చు. ఇది నిజమా? కాదా? ఎందువల్ల?
జవాబు:
ఇవ్వబడినది సత్యము
ΔG° = ΔH° – T ΔS°
పై సమీకరణం బట్టి ΔH°, ΔS° తెలిస్తే ΔG° గణించవచ్చు.

ప్రశ్న 34.
సమతాస్థితి స్థిరాంకం ‘K’ ని ప్రయోగశాలలో ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఖచ్చితంగా కొలిస్తే ΔGθ ని వేరే ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్దనన్నా కొలవవచ్చా ? ఎట్లా ?
జవాబు:
ΔH°, ΔS° తెలిస్తే ΔG° ను గణించవచ్చు. కావున సమతాస్థితి స్థిరాంకం (K) ను ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్దనైనా కనుగొనవచ్చు.
ΔG° ΔH° – T ΔS°
ΔG° = 2.303 RT logk

ప్రశ్న 35.
NO(వా) ఉష్ణగతిక స్థిరత్వాన్ని కింది చర్యల ఆధారంగా వివరించండి.
\(\frac{1}{2}\)N2(వా) + \(\frac{1}{2}\)O2(వా) → NO(వా); ΔrHθ = 90kJ mol-1
NO(వా) + \(\frac{1}{2}\)O2(వా) → NO2(వా); ΔrHθ = -74kJ mol-1
జవాబు:
\(\frac{1}{2}\)N2(వా) + \(\frac{1}{2}\)O2(వా) → NO(వా) ; ΔrHθ = 90kJ mole
NO(వా) + \(\frac{1}{2}\)O2(వా) → NO2(వా) ; ΔrHθ = -74kJ mole
NO(వా) ఏర్పడుట ఉష్ణగ్రాహక చర్య (ΔH = + ve)
NO2(వా) ఏర్పడుట ఉష్ణమోచక చర్య (ΔH = -ve)
కావున NO(వా) ఉష్ణగతికంగా అస్థిరమైనది.

ప్రశ్న 36.
1.00 మోల్ H2O (ద్ర) ప్రమాణ పరిస్థితుల్లో ఏర్పడితే పరిసరాల ఎంట్రోపీ మార్పు ఎంత?
ΔfHθ [H2O(l)] = – 286k Jmol-1.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 2

ప్రశ్న 37.
ఒక చర్యకు సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ 10. ΔGθ విలువ ఎంత? R = 8.314 JK-1 mol-1, T = 300 K.
జవాబు:
ΔG° = -RTlnk
K = 10, R = 8.314J/K.mole, T = 300 K
= – 2.303 RT log K
= -2.303 × 8.314 × 300 × log 10
= -5774.14J/mole

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 38.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం మూడో నియమం ఏమిటి?
జవాబు:
ఉష్ణగతికశాస్త్రం మూడవ నియమం :
పరిపూర్ణ శుద్ధ స్ఫటిక పదార్థాల ఎంట్రోపి విలువ పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత వద్ద (- 273° C) శూన్య విలువను కలిగి వుంటుంది.
Sఅవధిక T → 0 = 0

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వివృత (open), సంవృత (closed), వివిక్త (isolated) వ్యవస్థలంటే ఏమిటి? ఒక్కొక్కదానికి ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఉష్ణగతికశాస్త్ర అధ్యయనం కోసం, మొత్తం విశ్వాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తారు. అవి
(i) వ్యవస్థ :
ఉష్ణగతికశాస్త్ర అధ్యయనానికి ఎంచుకున్న విశ్వంలోని ఒక లఘు భాగాన్ని “వ్యవస్థ” అంటారు.

(ii) పరిసరాలు :
వ్యవస్థతో సంపర్కంలో ఉండే మిగిలిన విశ్వ భాగాన్ని “పరిసరాలు” అంటారు.

వ్యవస్థ – వర్గీకరణ :
(ఎ) వివృత (లేదా) తెరచి ఉన్న వ్యవస్థ :
“పరిసరాలలో ద్రవ్యం, శక్తి రెండింటినీ వినిమయం చేసుకోగలిగే వ్యవస్థను, “వివృత వ్యవస్థ” అంటారు.
ఉదా : ఒక తెరచిన పాత్రలో ద్రవాన్ని తీసుకోవాలి. ఇది పరిసరాల నుంచి ఉష్ణశక్తిని గ్రహిస్తుంది. అంతేగాక బాష్పీభవన, ద్రవీకరణ ప్రక్రియలలో పరిసరాలకు ఉష్ణశక్తిని అందించగలుగుతుంది. ఈ విధంగా నీరు బాష్పం రూపంలో పరిసరాలలోకి పోతుంది. ద్రవం రూపంలో బాష్పం బీకరులోకి చేరుతుంది.

(బి) సంవృత (లేదా) మూసివున్న వ్యవస్థ :
“పరిసరాలతో ద్రవ్యాన్ని గాక శక్తిని మాత్రమే వినిమయం చేసుకునే వ్యవస్థ “సంవృత వ్యవస్థ”
ఉదా : సచ్ఛిద్రం కాని, మూసివుండే పాత్రలో నీరు తీసుకున్నాం అనుకుందాం. ఇది పరిసరాల నుంచి ఉష్ణాన్ని గ్రహించి బాష్పీభవనం చెందుతుంది. అయితే బాష్పం ద్రవంగా తిరిగి బీకరులోనే సాంద్రీకరణం చెందుతుంది. అయితే ఉష్ణశక్తిని మాత్రం పరిసరాలకు వెలువరిస్తుంది. అయితే నీరు పాత్రను వదిలివెళ్ళలేదు (లేదా) నీరు పాత్రలోకి రాదు. ఎందుకంటే పాత్ర మూసి వుంది. అంతేగాక సచ్ఛిద్రంగా లేదు.

(సి) వివిక్త వ్యవస్థ :
“పరిసరాలతో పదార్థంగానీ శక్తిగానీ, వినిమయం చెందని వ్యవస్థ”.
ఉదా : సీలు చేసిన ఉష్ణబంధక ద్రవం ఉన్న సచ్ఛిద్రం కాని పాత్ర. ద్రవం లేదా దాని బాష్పం పరిసరాలలోకి పోలేదు. పాత్రలోవున్న ద్రవానికి లేదా బాష్పానికి పరిసరాలకు మధ్య వినిమయం ఉండదు. శక్తి వినిమయం కూడా ఉండదు. ఎందుకంటే, పాత్ర ఉష్ణబంధకం.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 3

ప్రశ్న 2.
స్థితి ప్రమేయాలు (state functions), స్థితి చరాంశాలు (state variables) వీటిని నిర్వచించండి. ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
స్థితి ప్రమేయాలు :
వ్యవస్థ యొక్క ఏ ధర్మాలు అయితే తొలి మరియు తుది స్థితులపై ఆధారపడి ఉంటాయో మరియు చర్య మార్గముపై ఆధారపడవో. వాటిని స్థితి ప్రమేయాలు అంటారు.
ఉదా : శక్తి, ఘనపరిమాణం, ఎంథాల్పీ, గిబ్స్ శక్తి.

స్థితి చరాంశాలు :
చరరాశులు P, V, T మొదలైన వాటిని స్థితి చరాంశాలు అంటారు. ఇవి వ్యవస్థ గురించిన పూర్తి వివరణ ఇచ్చుటకు ఉపయోగపడతాయి.

ప్రశ్న 3.
“ఆంతరిక శక్తి ఒక స్థితి ప్రమేయం” వివరించండి.
జవాబు:
అంతరిక శక్తి (U) :
స్థిర ఉష్ణోగ్రత మరియు వీడవాల వద్ద ఒక పదార్థంలో నిల్వ ఉంచబడిన మొత్తం శక్తిని ఆంతరిక శక్తి అంటారు.

ఇది స్థితి ప్రమేయం మరియు విస్తార ధర్మం.
ఆంతరిక శక్తి మార్పు ∆U = UP – UR
UP = క్రియాజన్యాల ఆంతరిక శక్తి
UR = క్రియాజనకాల ఆంతరిక శక్తి
∆U = Q – W
Q = ఉష్ణం
W = పని
ఆంతరిక శక్తి స్థితిప్రమేయం ఇది తొలి మరియు తుది స్థితులపై ఆధారపడును.

ప్రశ్న 4.
“పని స్థితి ప్రమేయం కాదు”. వివరించండి.
జవాబు:
పని అనునది స్థితి ప్రమేయం కాదు

  • వ్యవస్థ యొక్క ఒక స్థితి మరొక స్థితిలోనికి ఉష్ణ మార్గాలలో మారును. వివిధ మార్గాలలో ఉన్న పని పరిమాణంలో మారును.
  • పని చర్య మార్గంపై ఆధారపడును కానీ వ్యవస్థ స్థితిపై ఆధారపడును.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 5.
ఉష్ణం అంటే ఏమిటో వివరించండి.
జవాబు:

  • పరిసరాల నుండి వ్యవస్థకు ఉష్ణం మార్పిడి జరిగినపుడు వ్యవస్థలోని ఆంతరిక శక్తి మారును. మరియు పని జరగనపుడు విపర్యయం సత్యము.
  • ఉష్ణోగ్రత మార్పు. ఫలితంగా శక్తి, మార్పిడి జరుగుకు దీనినే ఉష్ణం (q) అంటారు.

ప్రశ్న 6.
సమోష్ణక ఉమణీయ చర్యకు ‘Wrev‘ ను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
సమోష్ణక ఉత్రమణీయ చర్యకు Wrev కు సమీకరణం ఉత్పాదన :
పీడనంకు వ్యతిరేకంగా జరుగుపని W = – P.dv
V1 ఘనపరిమాణం నుండి V2 ఘనపరిమాణం (సమోష్ణోగ్రత వ్యాకోచం)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 4

ప్రశ్న 7.
10 a tm పీడనం వద్ద ఆదర్శ వాయువు సమోష్ణక విజ్ఞానంలో 30 కు శూన్యంలోకి వ్యాకోచం చెందుతుంది. ఈ వ్యాకోచంలో ఎంత ఉష్ణం గ్రహించబడుతుంది? ఎంత పని జరుగుతుంది.?
జవాబు:
ఉష్ణం శోషించబడినది = 0
వాయువు పీడనం = 10 at m
PExt = 0
V1 = 2 లీ.
V2 = 20 లీ.
= pex(v2 – v1)
= pex (20 – 2)
= 0 (18)
p = 0
సమోష్ణగ్రత పద్దతి కావున
∆U = 0
q + w = 0
q = -w
D (20-2)

కావున పని జరిగినది W = 0

ప్రశ్న 8.
పై 45 న సమస్యలోని ఆదర్శ వాయువులు 1 a tm స్థిరపీడనానికి వ్యతిరేకంగా వ్యాకోచిస్తే ‘q’ విలువ ఎంత?
జవాబు:
pex = 1 అట
p(వా) = 10 అట్మా
V1 = 2 లీ.
V2 = 20 లీ.
q = – W
= Pex(V2 – V1)
= 1 (20 – 2)
= 10 లీ, అట్మా

ప్రశ్న 9.
పై 46వ ప్రశ్నలోని ఆదర్శ వాయువు 20a. ఘనపరిమాణానికి ఉత్క్రమణీయంగా వ్యాకోచం చెందితే ‘q’ విలువ ఎంత?
జవాబు:
q = -w
= 2.303 nRT log\(\frac{V_2}{V_1}\)
2.303 × 20 log\(\frac{20}{2}\)
= 46.06 లీ. అట్మా

ప్రశ్న 10.
స్థితి ప్రమేయం V ను వివరించండి. ∆U, ∆V ల మధ్య సంబంధం ఏమిటి?
జవాబు:
ఎంధార్ళీ (∆H) :
స్థిరపీడనం మరియు ఉష్ణోగ్రత వద్ద వ్యవస్థకు పరిసరాలకు మధ్య మార్పిడి జరిగే ఉష్ణ పరిమాణాన్ని ఎంథాల్పీ (M) అంటారు.
ఎంథాల్పీ మార్పు ∆H = ∆U + P ∆V
∆U = అంతరిక శక్తి మార్పు
ఎంథాల్పీ అనునది స్థితి ప్రమేయం
∆H = [Hక్రియాజన్యాలు – Hక్రియాజనకాలు]
∆H = ∆U + ∆nRT

ప్రశ్న 11.
∆H = ∆U + ∆n(వా) RT ను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఎంథాల్పీ (H) :
స్థిరపీడనం మరియు ఉష్ణోగ్రత వద్ద వ్యవస్థకు పరిసరాలకు మధ్య మార్పిడి జరిగే ఉష్ణ పరిమాణాన్ని ఎంథాల్పీ (H) అంటారు.
ఎంథాల్పీ మార్పు ∆H = ∆U + P ∆V
∆U = ఆంతరిక శక్తి మార్పు
ఎంథాల్పీ అనునది స్థితి ప్రమేయం
∆Η [Hక్రియాజన్యాలు – Hక్రియాజనకాలు]
∆H = ∆U + ∆nRT

ఉత్పాదన :
PV1 = n1 RT
PV2 = n2 RT
PV2 – PV1 = (n2 – n1) RT
P ∆V = ∆n(g) RT
∆H = ∆U + P∆V అని మనకు తెలుసు
∆H = ∆U + ∆n(g) RT

ప్రశ్న 12.
1 మోల్ నీటిని 1 బార్ పీడనం, 100°C వద్ద ఆదర్శ వాయువులా ప్రవర్తించే నీటి బాష్పం ఏర్పరిస్తే ఆ చర్యలో మోలార్ బాష్పీకరణ ఎంథాల్పీ 41 kJ mol-1. క్రింది వాటికి ఆంతరిక శక్తి మార్పును లెక్కకట్టండి.
a) 1 మోల్ నీరు 1 బార్, 100°C వద్ద బాష్పీకరణం చెందినప్పుడు
b) 1 మోల్ నీరు ద్రవ స్థితి నుంచి మంచుగా మారినప్పుడు.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 5

ప్రశ్న 13.
గహన, విస్తార ధర్మాలు వివరించండి.
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థ యొక్క కొలవదగిన ధర్మాలను రెండు రకాలుగా వర్గీకరిస్తారు.
1. విస్తార ధర్మాలు (Extensive properties) :
“ఈ ధర్మాలు వ్యవస్థలోని ద్రవ్యం మొత్తం పరిమాణం మీద ఆధారపడి ఉండే ధర్మాలు”.
ఉదా : ద్రవ్యరాశి (m), ఘనపరిమాణం (V), అంతరిక శక్తి (E), ఎంథాల్పీ (H), గిబ్స్ శక్తి (G), ఎంట్రోపీ (S) మొ||నవి.

2. గహన ధర్మాలు (Intensive properties) :
“ఈ ధర్మాలు వ్యవస్థలోని పదార్థం పరిమాణం మీద ఆధారపడని ధర్మాలు”.
ఉదా : పీడనం (P), ఉష్ణోగ్రత (T), బాష్పీభవన స్థానం (B.P), ఘనీభవన స్థానం (F.P), బాష్పీపీడనం (V.P), స్నిగ్ధత (η), తలతన్యత (σ) మొ||నవి.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 14.
ఉష్ణధారణ అంటే ఏమిటి? CP – CV = R ను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఉష్ణధారణ (C) :
ఒక పదార్థం ఉష్ణోగ్రతను 1°C పరిమాణంలో పెంచడానికి అవసరమయ్యే ఉష్ణరాశి పరిమాణాన్ని “ఉష్ణధారణ (C)” అంటారు.
(లేదా)
పదార్థం శోషించుకున్న ఉష్ణరాశి పరిమాణానికి (q) మరియు ఉష్ణోగ్రతలో వచ్చిన పెరుగుదలకి (dT) గల నిష్పత్తి.
C = \(\frac{q}{dT}\)
ఉష్ణగతికశాస్త్ర మొదటి నియమం ఆధారంగా
q = dE + W = dE + P. dV
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 6

i) స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద ఉష్ణం గ్రహించబడితే, ఉష్ణధారణను ‘Cv‘ తో సూచిస్తారు.
dV = 0
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 7

“Cv” నిర్వచనం :
స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద ఉష్ణధారణ (Cv) :
“స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద ఉష్ణోగ్రత మార్పుతో ఒక వ్యవస్థ యొక్క అంతరిక శక్తి (E) లో వచ్చిన మార్పు రేటు”.

ii) ఉష్ణం, స్థిర పీడనం దగ్గర గ్రహించితే, ఉష్ణధారణను ‘CP‘ తో సూచిస్తారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 8

“CP” నిర్వచనం :
స్థిర పీడనం వద్ద ఉష్ణధారణ (CP) అనగా :
“స్థిర పీడనం వద్ద ఉష్ణోగ్రత మార్పుతో ఒక వ్యవస్థ యొక్క ఎంథాల్పీ (H) లో వచ్చిన మార్పు రేటు”.
CP – Cv = R ఉత్పాదన :
H = E + PV
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 9

ప్రశ్న 15.
∆U ను ప్రయోగపూర్వకంగా కెలోరి మెట్రిక్ విధానంలో ఏ విధంగా నిర్ణయిస్తారు?
జవాబు:
ఆంతరిక శక్తి మార్పు ∆U కొలిచే విధానం :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 10
రసాయన చర్యల్లో స్థిర మనపరిమాణం వద్ద గ్రహించబడిన ఉష్ణాన్ని బాంబ్ కెలోరిమీటర్లో కొలుస్తారు. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఒక దృఢమైన గోడలు గల ఉక్కుపాత్ర. ఇది ఒక జలతాపకం (water battle) లో ముంచబడి ఉంటుంది. ఈ మొత్తం పాత్రల అమరికనే కెలోరిమీటర్ అంటారు. తేలికగా దహనం (combustion) చెందే పదార్థాన్ని ఉక్కు బాంబులో ఉంచి ఆక్సిజన్ను కలిపి దహనం చేస్తారు. చర్య ఉష్ణమోచకమై (దహన చర్యలు ఉష్ణమోచక చర్యలు) ఉష్ణం వెలువడుతుంది. ఇది కెలోరిమీటర్ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుతుంది. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఉష్ణబంధకం దహన చేయబడి ఉంటుంది. అందువల్ల కెలోరి మీటర్ నుంచి పరిసరాలకు పదార్థం ఉష్ణ వినిమయం జరగదు.

బాంబ్ కెలోరిమీటర్ చర్య జరిగేటప్పుడు పూర్తిగా మూసి ఉంచబడి ఉంటుంది కాబట్టి దాని ఘనపరిమాణంలో బాంబ్ మార్పు ఉండదు. అంటే చర్యలో శక్తి మార్పులు స్థిర ఘనపరిమాణంలో జరిగిన వాటిగా అనుకొని కొలతలు చేయాలి. స్థిర ఘనపరిమాణ మంటే ∆V = 0, W = p∆V 0, అంటే పని ఏమీ జరగదు. చర్యలో వాయు పదార్థాలున్నప్పటికీ ఘనపరిమాణంలో మార్పు రాదు. చర్య వల్ల కెలోరిమీటర్ పెరిగిన ఉష్ణోగ్రతను ఉపయోగించి కెలోరిమీటర్ ద్రవ్యరాశి, దాని ఉష్ణధారణ విలువల ద్వారా వెలువడిన ఉష్ణాన్ని (qv) నుంచి q = c × m × ∆T = C∆T గణించవచ్చు.

ప్రశ్న 16.
∆H ను ప్రయోగపూర్వకంగా కెలోరిమెట్రిక్ విధానంలో ఏ విధంగా నిర్ణయిస్తారు?
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 11
స్థిర పీడనం వద్ద ఉష్ణశక్తి (∆H) ని కొలవడం
మూత లేకుండా తెరచి ఉన్న కెలోరిమీటర్ సాధారణంగా వాతావరణ పీడనం దగ్గర ఉంటుంది. వాతావరణ పీడనం స్థిరంగా ఉంటుంది (కనీసం ప్రయోగం జరిగిన సమయం వరకు) కాబట్టి కెలోరీ మీటర్ చర్య వల్ల వచ్చిన ఉష్ణ మార్పు స్థిరపీడనం వద్ద కొలిచిందిగా భావించవచ్చు. (పటం 6.8). దీనిని qp గా రాస్తే ∆H కు సమానమవుతుంది. ∆H = qp (స్థిర పీడనం వద్ద). కాబట్టి స్థిర పీడనం వద్ద కొలిచిన ఉష్ణ మార్పు చర్యోష్ణం (అది వెలువడిన ఉష్ణం కావచ్చు లేదా గ్రహించబడిన ఉష్ణం కావచ్చు) లేదా చర్యా ఎంథాల్పి ∆rH అవుతుంది.

ఉష్ణమోచక చర్యలో ఉష్ణం వెలువడుతుంది. అంటే వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు ఉష్ణం ఇవ్వబడుతుంది. అందువల్ల qp రుణాత్మకమవుతుంది. ∆rH కూడా రుణాత్మకం. అదే విధంగా ఉష్ణగ్రాహక చర్యలో వ్యవస్థ లేదా చర్య ఉష్ణం గ్రహిస్తుంది. అంటే పరిసరాల నుంచి చర్యకు ఉష్ణం ఇవ్వబడుతుంది. దీనికి qp ధనాత్మకం, ∆rH కూడా ధనాత్మకమే.
స్థిర పీడనం వద్ద ఉష్ణశక్తి మార్పులు కొలవడానికి ఉపయోగించే కెలోరిమీటర్ (వాతావరణ పీడనం వద్ద)

ప్రశ్న 17.
చర్యా ఎంథాల్పీ అంటే ఏమిటి? ప్రమాణ చర్యా ఎంథాల్పీని వివరించండి.
జవాబు:
ఎంథాల్పీ (H) :
స్థిరపీడనం మరియు ఉష్ణోగ్రత వద్ద వ్యవస్థకు పరిసరాలకు మధ్య మార్పిడి జరిగే ఉష్ణ పరిమాణాన్ని ఎంథాల్పీ. (H) అంటారు.
ఎంథాల్పీ మార్పు ∆H = ∆U + P ∆V
∆U = ఆంతరిక శక్తి మార్పు
ఎంథాల్పీ అనునది స్థితి ప్రమేయం
ΔΗ = [Hక్రియాజన్యాలు – Hక్రియాజనకాలు]
ΔΗ = ΔU + ΔnRT

ప్రశ్న 18.
“సంఘటనోష్ణం”ను నిర్వచించండి. ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు:
ఒక మోల్ పదార్థం ఏర్పడినపుడు ఆ చర్యలో జరిగే ఉష్ణమార్పును సంఘటనోష్ణం అంటారు.
‘చర్యలోని పదార్థాలన్నీ ప్రమాణస్థితిలో ఉంటే ఆ ఎంథాల్పీని ప్రమాణ సంఘటనోష్ణం అంటారు.

ఉదా : 1) C(గ్రాఫైట్) + 2S(వా) → CS2, ΔH = 91.9 KJ
2) S(రాంబిక్) + O2(వా) → SO(వా), ΔH = -297.5 KJ

ప్రశ్న 19.
ప్రావస్థ మార్పు ఎంథాల్పీని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ప్రావస్థ మార్పు ఎంథాల్పీ :
ఒక మోల్ పదార్థం ప్రావస్థ (లేదా) భౌతిక స్థితి మార్పు చెందినపుడు జరిగిన ఉష్ణమార్పును ప్రావస్థ మార్పు ఎంథాల్పీ అంటారు.
a) మోలార్ ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ : (ΔfusH°) :
ప్రమాణ స్థితిలో ఉన్నటువంటి ఒక మోల్ ఘనపదార్థాన్ని ద్రవీభవనం చేయుటకు అవసరమగు ఎంథాల్పీ మార్పును మోల్దార్ ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : H2O(ఘ) →H2O(ద్ర) ΔfusH° = 6.0 KJ mole

b) మోలార్ బాష్పీభవన ఎంథాల్పీ : (ΔvapH°) :
ప్రమాణస్థితిలో ఉన్నటువంటి ఒక మోల్ ద్రవాన్ని బాష్పీభవనం చేయుటకు అవసరమగు ఎంథాల్పీ మార్పును మోలార్ బాష్పీభవన ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : H2O(ద్ర) → H22O(వా) ΔvapH° = 40.79 KJ mole

c) మోలార్ ఉత్పాతన ఎంథాల్పీ : (ΔsubH°) :
ప్రమాణస్థితిలో ఉన్నటువంటి ఒక మోల్ ఘన పదార్థం నేరుగా బాష్పీభవనం చేయుటకు అవసరమగు ఎంథాల్పీ మార్పును మోలార్ ఉత్పాతన ఎంథాల్పీ అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 12

ప్రశ్న 20.
ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ (మోలార్ ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ)ని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
మోలార్ ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ : (ΔfusH°) :
ప్రమాణ స్థితిలో ఉన్నటువంటి ఒక మోల్ ఘనపదార్థాన్ని ద్రవీభవనం చేయుటకు అవసరమగు ఎంథాల్పీ మార్పును మోలార్ ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : H2O(ఘ) → H2O(ద్ర) ΔfusH° = 6.0 KJ mole

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 21.
బాష్పీభవన ఎంథాల్పీ (మోలార్ బాష్పీభవన ఎంథాల్పీ)ని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
మోలార్ బాష్పీభవన ఎంథాల్పీ : (ΔvapH°) :
ప్రమాణస్థితిలో ఉన్నటువంటి ఒక మోల్ ద్రవాన్ని బాష్పీభవనం చేయుటకు అవసరమగు ఎంథాల్పీ మార్పును మోలార్ బాష్పీభవన ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : H2O(ద్ర) → H2O(వా) ΔvapH° = 40.79 KJ mole

ప్రశ్న 22.
ప్రమాణ ఉత్పతన ఎంథాల్పీని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
మోలార్ ఉత్పాతన ఎంథాల్పీ : (ΔsubH°) :
ప్రమాణస్థితిలో ఉన్నటువంటి ఒక మోల్ ఘన పదార్థం నేరుగా బాష్పీభవనం చేయుటకు అవసరమగు ఎంథాల్పీ మార్పును మోలార్ ఉత్పాతన ఎంథాల్పీ అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 13

ప్రశ్న 23.
ప్రమాణ సంఘటనోష్ణం (సంశ్లేషనోష్ణం ) (ΔfHθ) ను నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ఒక మోల్ పదార్థం ఏర్పడినపుడు ఆ చర్యలో జరిగే ఉష్ణమార్పును సంఘటనోష్ణం అంటారు. చర్యలోని పదార్థాలన్నీ ప్రమాణస్థితిలో ఉంటే ఆ ఎంథాల్పీని ప్రమాణ సంఘటనోష్ణం అంటారు.
ఉదా : 1) C(గ్రాఫైట్) + 2S(వా) → CS2, ΔH = 91.9 KJ
2) S(రాంబిక్) + O2(వా) → SO2(వా), ΔH = – 297.5 KJ

ప్రశ్న 24.
హెస్ స్థిరోష్ణ నియమాన్ని నిర్వచించి వివరించండి. [A.P. Mar. ’15 Mar. ’14]
జవాబు:
హెస్ నియమము :
“ఒక రసాయన చర్య ఒక దశలో జరిగినా లేక ఎక్కువ దశలలో జరిగినా గ్రహించిన లేదా వెలువడిన మొత్తం ఉష్ణ పరిమాణం ఒకే విలువలో ఉంటుంది”.

వివరణ :
(i) సాధారణ సమీకరణం ద్వారా :
A అనే పదార్థం రెండు భిన్న మార్గాల ద్వారా చర్య జరిపి D అనే పదార్థాన్ని ఇస్తుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 14
ఏక దశ : A → D, ΔH = Q
అనేక దశలు : A → B, ΔH1 = q1
B → C, ΔH2 = q2
C → D, ΔH3 = q3
ΔH1 + ΔH2 + ΔH3 = q1 + q2 + q3
హెస్ నియమం ప్రకారం, Q = q1 + q2 + q3 అవుతుంది.

(ii) విశిష్ట ఉదాహరణ ద్వారా :
CO(వా) నుC(గ్రాఫైట్) O(వా) ల నుంచి రెండు విధాలుగా పొందవచ్చు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 15

ప్రశ్న 25.
దహనచర్య ఎంథాల్పీ (ΔHθ) ను నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:

  • నిర్ధిష్ట ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఒక మోల్ పదార్థాన్ని దహనం చేయునపుడు జరుగు ఎంథాల్పీ మార్పును దహన చర్య ఎంథాల్పీ అంటారు.
  • ఇచ్చట క్రియాజనకాలు, జన్యాలు ప్రమాణస్థితిలో ఉండవలెను.
    AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 16
    పై చర్య బ్యూటేన్ యొక్క దహనచర్య. ఇచ్చట దహన చర్య ఎంథాల్పీ = -2658 kJ/mole

ప్రశ్న 26.
ΔaHθ, పరమాణీకరణ ఎంథాల్పీని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
వాయుస్థితిలో ఉన్న ఒక మోల్ సరళ అణువు, పరమాణువులుగా విఘటనం చెందుటకు అవసరమైన ఎంథాల్పీని పరమాణీకరణ
ఎంథాల్పీ అంటారు. (ΔaHθ)
→ ఇది ఉష్ణగ్రాహక చర్య
ఉదా : N2(వా) → 2N(వా) ΔH = 937.4 KJ
O2(వా) → 2O(వా) ΔH = 489.5 KJ

ప్రశ్న 27.
బంధ ఎంథాల్పీ (ΔbondHθ) నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
బంధ ఎంథాల్పీ (ΔbondHθ) :
వాయు స్థితిలో ఉన్న ఒక సంయోజనీయ సమ్మేళనంలోని ఒక మోల్ సంయోజనీయ బంధాన్ని విఘటనం చేసి వాయుస్థితిలో ఉత్పన్నాలను ఏర్పరచుటకు అవసరమైన ఎంథాల్పీని బంధ ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : H2(వా) → 2H(వా) ΔH= 435.9 KJ / mole

ప్రశ్న 28.
CH4 లోని C – H బంధ ఎంథాల్పీని వివరించండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 17

ప్రశ్న 29.
ద్రావణోష్ణం (ΔsolHθ), విలీన ప్రక్రియ ఉష్ణం (ΔsolHθ) లను నిర్వచించి వివరిచండి.
జవాబు:
ద్రావణోష్ణం (ΔsolHθ) :
ఒక మోల్ ద్రావితం, అధికమొత్తం ద్రావణిలో కరిగినపుడు శోషించబడిన (లేదా) విడుదల చేయబడ్డ ఉష్ణాన్ని ద్రావణోష్ణం అంటారు.
ఉదా : KCl(ఘ) + జలద్రావణం → KCl(జ) ΔH = 19.75 kJ

విలీన ప్రక్రియోష్టం :
ఒక మోల్ ద్రావితం కలిగియున్న ద్రావణంను విలీనం చేసి ఒక గాఢత నుండి వేరొక గాఢతకు మార్చునపుడు జరిగే ఎంథాల్పీ మార్పును విలీన ప్రక్రియోష్టం అంటారు.
ఉదా : HCl(వా) + జలద్రావణం → HCl(జ) ΔH = -75.4 kJ

ప్రశ్న 30.
అయొనైజేషన్ ఎంథాల్పీ, ఎలక్ట్రాన్ స్వీకరణ ఎంథాల్పీలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
అయొనైజేషన్ శక్తి, ఎలక్ట్రాన్ ఎఫినిటీ :
ఈ రెండింటిని పరమ ఉష్ణోగ్రత సున్న (absolute zero లేదా OK) దగ్గర నిర్వచించేవారు. ఎందుకంటే ఏ ఇతర ఉష్ణోగ్రతలైనా తీసుకొంటే క్రియాజనకాల, క్రియాజన్యాల ఉష్ణధారణ విలువలు పరిగణనలోకి తీసుకోవలసి ఉంటుంది. చర్యా ఎంథాల్పీలు కింది చర్యలకు చూడండి :
M(వా) → M+(వా) + e– (అయొనైజేషన్కు)
M(వా) + e– → M–(వా) (ఎలక్ట్రాన్ స్వీకరించినప్పుడు)
పై రెండు చర్యలు ‘T’ ఉష్ణోగ్రత వద్ద జరిగితే
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 18

ప్రతి కణానికి (species) CP విలువ పై చర్యల్లో 5/2 R (అదే Cv = 3/2R)
కాబట్టి ΔrCpᎾ = + 5/2 R (అయొనైజేషన్కు)
ΔrCpᎾ = -5/2 R (ఎలక్ట్రాన్ స్వీకరణకు)

కాబట్టి,
ΔrHᎾ (అయొనైజేషన్ ఎంథాల్పీ)
= E0 (అయొనైజేషన్ శక్తి) + (5/2) RT
ΔrHᎾ (ఎలక్ట్రాన్ స్వీకరణ (gain) ఎంథాల్పీ)
= -A (ఎలక్ట్రాన్ ఎఫినిటీ) – (5/2) RT

ప్రశ్న 31.
ఒక ప్రక్రియ అయత్నీకృతాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
అయత్నీకృత చర్య :
ఏ రూపంలో అయినా బయటి (బాహ్య) ఏజన్సీని ఉపయోగించకుండా స్వచ్ఛందంగా జరిగే చర్యలను అయత్నీకృత చర్యలు అంటారు.

  • సహజ సిద్ధమైన ప్రక్రియలు అయత్నీకృతమైనవి.
    అన్ని అయత్నీకృత చర్యలలో ఎంట్రోపీ పెరుగును.
  • అయత్మీకృత చర్య యొక్క నిబంధనను వివరించడానికి “గిబ్స్” ఒక ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రమేయాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. దీనిలో ఎంథాల్పీ (H), ఎంట్రోపీ (S) ప్రమేయాలున్నాయి. దీన్ని G = H – TS) గా వ్రాస్తారు.
    ‘G’ ని “గిబ్స్ శక్తి” (లేక) “గిబ్స్ ప్రమేయం” అంటారు.
    అన్ని అయత్నీకృత చర్యలు (లేదా) ప్రక్రియలకు ΔG = ఋణవిలువ.

అయత్నీకృత చర్యలు – నిబంధనలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 19

ప్రశ్న 32.
ఒక అయత్నీకృత ప్రక్రియకు కారణం ఎంథాల్పీ తగ్గుదల మాత్రమే కారణమా? వివరించండి.
జవాబు:
ఎంథాల్పీ మార్పు ΔH = రుణాత్మకం (−ve) అనునది స్వచ్ఛంద చర్యలకు ఒక తోడ్పడే అంశమే కానీ అన్ని సందర్భాలలో కాదు.
ఈ క్రింది అయత్నీకృత చర్యలను గమనించగా
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 20

చర్య (1) లో ΔH = —ve, చర్య (2) లో ΔH = +ve కావున ఎంథాల్పీ మార్పు ΔH = రుణాత్మకం (-ve) తగ్గుదల ఒక తోడ్పడే అంశమే కానీ అన్ని సందర్భాలలో కాదు.

ప్రశ్న 33.
ఎంట్రోపీ అంటే ఏమిటి? ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
ఎంట్రోపి (S) :
“ఒక వ్యవస్థలోని అణువుల క్రమరాహిత్యాన్ని (లేదా) అనియత స్వభావాన్ని (randomness) కొలిచేదే “ఎంట్రోపి”.

  • అణువుల క్రమరాహిత్యం పెరిగినకొద్దీ దాని ఎంట్రోపీ కూడా పెరుగుతుంది.
  • అంతరిక శక్తి లాగానే ఇది కూడా ఒక స్థితి ప్రమేయము.
  • ఒక వివక్త వ్యవస్థలో జరిగే అయత్మీకృత ప్రక్రియకు ఎంట్రోపీ మార్పు (ΔS) ధన విలువలో ఉంటుంది.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 21

ప్రశ్న 34.
ఎంట్రోపీ పెరుగుదలే అయత్నీకృత ప్రక్రియకు కారణం. వివరించండి.
జవాబు:
ఎంట్రోపీ మార్పు ΔS = ధనాత్మకం (+ve) అనునది అయత్నీకృత చర్యలకు ఒక తోడ్పడే అంశమే కానీ అన్ని సందర్భాలలో కాదు.

  • అయత్నీకృత చర్యలకు ΔS = +ve
  • ΔS = +ve (తిరోగామి చర్య అయత్నీకృతం)
    ΔS = 0 (సమతాస్థితి చర్య)
  • ΔH = -ve, ΔS = +ve, ΔG = -ve అయిన అన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద చర్య అయత్నీకృతం.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 35.
ΔU, ΔS ఉత్రమణీయ, అనుత్రమణీయ ప్రక్రియలను వివరించగలుగుతాయా? వివరించండి.
జవాబు:
ΔU = ఆంతరిక శక్తి మార్పు

  • ఉష్ణమోచక చర్య – ఆంతరిక శక్తి తగ్గును – చర్య అయత్నీకృతం
  • ఉత్రమణీయ చర్యలలో ఆంతరిక శక్తి తగ్గేవైపుకు చర్య జరుగును.
    ఎంట్రోపీ మార్పు ΔS = ధనాత్మకం (+ve) అనునది అయత్నీకృత చర్యలకు ఒక తోడ్పడే అంశమే కానీ అన్ని సందర్భాలలో కాదు
  • అయత్నీకృత చర్యలకు ΔS = +ve
  • ΔS = -ve (తిరోగామి చర్య అయత్నీకృతం)
    ΔS = 0 (సమతాస్థితి చర్య)
  • ΔH = =ve, ΔS = +ve, ΔG = -ve అయిన అన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద చర్య అయత్నీకృతం.

ప్రశ్న 36.
4Fe(ఘ) + 3O2(వా) → 2Fe2O3(ఘ) అనే ఐరన్ ఆక్సీకరణ చర్యకు 298K వద్ద ఎంట్రోపీ మార్పు -549.45JK-1 mol-1 దీనికి రుణాత్మక ఎంట్రోపీ ఉన్నా చర్య అయత్నీ కృతంగా జరుగుతుంది. ఎందువల్ల?
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 22
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 23
మొత్తం ఎంట్రోపీ మార్పు
ΔrSమొత్తం = 5530 – 549.4
= 4980.6 J/K mole

ప్రశ్న 37.
కింది వాటిల్లో ఏ ఫార్ములాలు సరైనవి?
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 24
జవాబు:
a) సరైనది
b) స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద సరైనది
c) సరైనది
d) సరైనది
e) సరైనది కాదు

ప్రశ్న 38.
ఆక్సిజన్ను ఓజోన్ గా మార్చడానికి ΔrGθ ను 298K. వద్ద గణించండి. చర్య Kp విలువ 2.47 × 10-29.
జవాబు:
ΔG° = -2.303 RT log Kp
= -2.303 × 8.314 x 298 × log 2.43 × 10-29
= -16300 J/mole
= 163 kJ/mole

ప్రశ్న 39.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం రెండో నియమాన్ని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ఉష్ణగతికశాస్త్ర రెండవ నియమం :
ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచించవచ్చు.

  1. బాహ్య కారకం ప్రమేయం లేకుండా తక్కువ ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశం నుంచి ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశానికి ఉష్ణాన్ని ప్రసరింపచేయగలిగి, చక్రీయంగా పనిచేసే యంత్రాన్ని నిర్మాణం చేయడానికి వీలుకాదు.
  2. వ్యవస్థలో లేదా దాని పరిసరాలలో శాశ్వత మార్పులను కలిగించకుండా ఉష్ణశక్తిని పూర్తిగా పనిగా మార్చలేం.
  3. అన్ని అయత్నీకృత చర్యలు, ఉష్ణగతిక శాస్త్రాన్ని అనుసరించి అద్విగత చర్యలే. ఈ అయత్నీకృత చర్యలు అన్నింటిలో వ్యవస్థ ఎంట్రోపి పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 40.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం మూడో నియమాన్ని నిర్వచించండి. దీన్ని గురించి మీకు ఏమి తెలిసింది?
జవాబు:
ఉష్ణగతికశాస్త్రం మూడవ నియమం : పరిపూర్ణ శుద్ధ స్ఫటిక పదార్థాల ఎంట్రోపి విలువ పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత వద్ద (- 273° C) శూన్య విలువను కలిగి వుంటుంది.
Sఅవధిక T → 0 = 0

ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని అనుసరించి ఏ పదార్థానికైనా ఉష్ణోగ్రత మీద, ‘Cp‘ విలువ ఏవిధంగా ఆధారపడి వుంది అనే విషయం తెలిసినట్లయితే ఆ పదార్థానికి వుండే ఎంట్రోపి (S) విలువను లెక్కించవచ్చు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 25

రసాయనిక చర్యలలోని ఎంట్రోపి (∆S) మార్పును లెక్కించడంలో, మూడవ నియమం ఎంతగానో ఉపయోగపడుతుంది.

మూడవ నియమం ప్రాముఖ్యత :

  1. ఎంట్రోపి విలువ అవధిని గురించి తెలుపుతుంది.
  2. రసాయన చర్యలో ఎంట్రోపి మార్పులను గణించడంలో ఉపయోగపడుతుంది.
  3. మొత్తం ఎంట్రోపి మార్పు (∆Sమొత్తం) ఏ స్వచ్ఛంద ప్రక్రియకైనా లేదా చర్యకైనా ధన విలువ ఉండాలి.
    ∆Sమొత్తం = {∆Sమొత్తం + ∆Sసరిసరాలు}

ప్రశ్న 41.
ఎంట్రోపీ భావనను వివరించండి.
జవాబు:
ఎంట్రోపి (S) :
“ఒక వ్యవస్థలోని అణువుల క్రమరాహిత్యాన్ని (లేదా) అనియత స్వభావాన్ని (randomness) కొలిచేదే “ఎంట్రోపి”.

  • అణువుల క్రమరాహిత్యం పెరిగినకొద్దీ దాని ఎంట్రోపీ కూడా పెరుగుతుంది.
  • అంతరిక శక్తి లాగానే ఇది కూడా ఒక స్థితి ప్రమేయము.
  • ఒక వివక్త వ్యవస్థలో జరిగే అయత్నీకృత ప్రక్రియకు ఎంట్రోపీ మార్పు (∆S) ధన విలువలో ఉంటుంది.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 26

ప్రశ్న 42.
గిబ్స్ శక్తిపరంగా ప్రక్రియ అయత్నీకృత మార్పును వివరించండి.
జవాబు:
అయత్నీకృత చర్య యొక్క నిబంధనను వివరించడానికి “గిబ్స్” ఒక ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రమేయాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. దీనిలో ఎంథాల్పీ (H), ఎంట్రోపీ (S) ప్రమేయాలున్నాయి. దీన్ని G = H – TS గా వ్రాస్తారు.
‘G’ ని “గిబ్స్ శక్తి” (లేక) “గిబ్స్ ప్రమేయం” అంటారు.
అన్ని అయత్నీకృత చర్యలు (లేదా) ప్రక్రియలకు ∆G = ఋణవిలువ.

అయత్నీకృత చర్యలు – నిబంధనలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 27

ప్రశ్న 43.
గిబ్స్ శక్తి మార్పు విలువ, గుర్తుల ఆధారంగా ఒక రసాయనిక చర్య అయత్నీకృత మార్పును, దాని నుంచి లభించే ఉపయోగకరమైన పనిని తెలుసుకోవచ్చు. దీన్ని వివరించండి.
జవాబు:
∆G = ∆H – T∆S
∆Gవ్యవస్థ = ఋణ విలువ, అయత్నీకృత చర్యలకు, (∆G < 0)
∆Gవ్యవస్థ = ధన విలువ, అయత్నీకృతం కాని చర్యలకు, (∆G > 0)
∆Gవ్యవస్థ = 0, సమతాస్థితి చర్యలకు (∆G = 0)

∆G = -ve, ∆S = +ve, ∆H = -ve అయితే అన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద చర్య అయత్నీకృతమగును.

గిబ్స్ శక్తి మరియు విలువ, గుర్తుల ఆధారంగా ఒక రసాయనిక చర్య అయత్నీకృత మార్పును, దాని నుండి లభించే ఉపయోగకరమైన పనిని తెలుసుకోవచ్చు.

∆G = ∆G° + RTlnK
∆G = 0 సమతాస్థితి వద్ద .
∆G° = -RTlnK = -2.303 RT log k
∆G° = ∆rH° – T∆rS° = -RT log k
ఉష్ణగ్రాహక చర్యకు ∆rH° > 0.
ఇచ్చట K < 1

ఉష్ణమోచక చర్యకు ∆rH° < 0 ఇచ్చట K > 1
అధిక K విలువ, ∆rG° < 0, ∆rS° > 0 అనునవి చర్య దిగుబడి (ఉత్పన్నాలను ఊహించుటకు అంశాలు.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 44.
ఒక ప్రక్రియలో 701 J ల ఉష్ణం వ్యవస్థ గ్రహించగా వ్యవస్థ 394 J పనిని చేసింది. వ్యవస్థ అంతరిక శక్తి మార్పు ఎంత?
జవాబు:
∆U = q + w q = 701 J
∆U = 701-394 w = -394 J.
= 307 J

ప్రశ్న 45.
సయనమైడ్ NH2CN, డైఆక్సిజన్ల మధ్య బాంబ్ కెలోరిమీటర్ లో 298 K వద్ద చర్య జరిగితే ∆U = – 742, 7ku mol-1. ఇదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఎంథాల్పీ మార్పు ఎంత?
NH2CN(వా) + \(\frac{3}{2}\)O2(వా) → N2(వా) + CO2(వా) + H2O(ద్ర)
జవాబు:
NH2CN(వా) + \(\frac{3}{2}\)O2(వా) → N2(వా) + H2O(ద్ర)
∆H = ∆U + ∆n RT ∆n = 2 – \(\frac{5}{2}\) = -0.5
∆H = -742 + (-0.5) × 8.314 × 10-3 × 298 ∆U = – 742 kJ/mole
= -742.7-1.238
= -743.94 kJ/mole

ప్రశ్న 46.
60 g అల్యూమినియం ఉష్ణోగ్రతను 35°C నుంచి 55°C కు మార్చడానికి ఎన్ని ఉష్ణం కావాలి ? అల్యూమినియం మోలార్ ఉష్ణధారణ = 24 J mol-1 K-1.
జవాబు:
అల్యూమినియం మోలార్ ఉష్ణధారణ = 24 J mol-1 K-1
= \(\frac{24}{27}\) J/gm.k
35°C నుండి 55°C ఉష్ణోగ్రత మార్చునపుడు 60 గ్రా. Al కు అవసరమైన ఉష్ణం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 28

ప్రశ్న 47.
1.0 mol నీటిని 10°C నుంచి మంచుగా 10°C కు మార్చడానికి ఎంత ఎంథాల్పీ మార్పు తేవాలి?
∆fus H = 6.03 kJ mol-1 at 0°C వద్ద.
Cp [H2O(ద్ర)] = 75.3J mol-1 K-1
Cp [H2O(ఘ)] = 36.8 J mol-1 K-1
జవాబు:
∆H Cp dt = Cp × ∆t
= 75.3 × 10
= 753 kJ
10°c నుండి 0°c కు ఉష్ణోగ్రత తగ్గించినపుడు ఒక మోల్ నీరు ఘనీభవించినది

∆Hfus = 6.03 kJ fus
ఒక మోల్ నీరు – 10°C నుండి 0°C ను పెంచినపుడు
∆H = Cp × ∆T = 36.5 × -10
= – 3650 kJ = -0.368 kJ.

మొత్తం ఎంథాల్పీ = 6.03 +0.753 -0.368
= 6.415 kJ/mole.

ప్రశ్న 48.
C(ఘ) ను CO2 మార్చడానికి దహనక్రియ ఎంథాల్పీ – 393.5 kJ mol-1. కార్బన్, డై ఆక్సిజన్ వాయువు నుంచి 35.2 g CO2 ఏర్పడినపుడు విడుదలయ్యే ఉష్ణశక్తి ఎంత? [T.S. Mar. ’15]
జవాబు:
C(ఘ) O2(వా) + → CO2(వా) ∆H = -393.5 kJ/mole
44గ్రా. CO2 → -393.5 kJ
35.2గ్రా. CO2 → ?
\(\frac{35.2\times393.5}{44}\) = -314.8 kJ

ప్రశ్న 49.
CO(వా), CO2(వా), N2O(వా), N2O4 (వా) ల సంఘటన ఎంథాల్పీలు వరుసగా -110, -393, 81, 9.7 kJ mol-1. కింది చర్య ∆rH.విలువ కనుక్కోండి.
N2O4(వా) + 3CO(వా) → N2O(వా) + 3CO2(వా)
జవాబు:
N2O4(వా) + 3CO(వా) → N2O(వా) + зCO2(వా)
∆H = క్రియాజన్యాల మొత్తం ఎంథాల్నీ – క్రియాజనకాల మొత్తం ఎంథాల్పీ.
∆HCO = -110 KJ, ∆HCO2 = -393 KJ
∆HNN2O= – 81 KJ, ∆HN2O4 = -9.7 KJ
∆H = -1017-(-320.3)
∆H = -696.7kJ

ప్రశ్న 50.
N2(వా) + 3H2(వా) → 2NH3(వా) ; ∆rHᎾ = – 92.4 kJ mol-1. అయితే అమ్మోనియా ప్రమాణ సంఘటన ఎంథాల్పీ ఎంత?
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 29

ప్రశ్న 51.
CH3OH(ద్ర) ప్రమాణ సంఘటన ఎంథాల్పీని కింది చర్యల ద్వారా గణించండి.
CH3OH(వా) + \(\frac{3}{2}\)O2(వా) → CO2(వా) + 2H2O(ద్ర); ∆rHᎾ = -726 kJ mol-1
C(గ్రాఫైట్) + O2(వా) → CO2(వా) ; ∆cHᎾ = -393 kJ mol-1
H2(వా) + \(\frac{1}{2}\)O2(వా) → H2O(ద్ర) ; ∆fHᎾ = -286 kJ mol-1.
జవాబు:
∆fH° (CO2) = -393 KJ mole
∆fH°(H2O) = -286 KJ mole
CH3OH + \(\frac{3}{2}\)O2(వా) → CO2(వా) + 2H2O(ద్ర) ∆Hr0 = -726 KJ mol-1
∆rH° = ఉత్పన్నాల ∆H° – క్రియాజనకాల ∆H°
-726 = -393 + 2 (-286) – [∆H° (CH3OH)]
=- 239 KJ/mole

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 52.
CCl4 (వా) → C(వా) + 4 Cl(వా) చర్యకు ఎంథాల్పీ మార్పు గణించండి.
CCl4 లోని C – C బంధానికి బంధ ఎంథాల్పీ ఎంత?
∆vapHᎾ(CCl4) = 30.5 kJ mol-1.
∆fHᎾ (CCl4) = 135.5 kJ mol-1.
∆aHᎾ(C) = 715.0 kJ mol-1, ఇక్కడ ∆aHᎾ అనేది పరమాణీకరణ ఎంథాల్పీ.
∆aHᎾ(Cl2) = 242 kJ mol-1
జవాబు:
CCl4(వా) → C(వా) + 4Cl(వా)
∆vapH°(CCl4) = 30.5 KJ/mole
∆rH°(CCl4) = -135 KJ/mole
∆H°(C) = 715 KJ/mole
∆H° (Cl2) : = 242 KJ/mole
∆rH° = [AH (ఉత్పన్నాలు) ] – [AH (క్రియాజనకాలు)]
= 715 + 484 + 135.5 – 30.5
= 1334.5 – 30.5 = 1304 kJ
C – Cl బంధ ఎంథాల్పీ = \(\frac{1304}{4}\) = 326 KJ/mole

ప్రశ్న 53.
ఒక వివిక్త వ్యవస్థ ∆U = 0 అయితే ∆S ఏమవుతుంది?
జవాబు:
వివక్త వ్యవస్థ ఇవ్వబడినది.
వివక్త వ్యవస్థకు ∆U = 0
∆H = ∆U + ∆nRT
∆H = ∆nRT
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 30

ప్రశ్న 54.
298 K వద్ద 2A + B → C చర్యకు ∆H = 400 kJ mor-1, ∆S = 0.2 kU K-1 mol-1 ఉష్ణోగ్రతా విస్తృతిలో ∆H, ∆S లు స్థిరంగా ఉంటాయనుకొంటే ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య అయత్నీకృతం అవుతుంది?
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 31

ప్రశ్న 55.
2Cl(వా) → Cl2(వా) చర్యకు ∆H, ∆S ల గుర్తులు ఇవ్వండి.
జవాబు:
2Cl(వా) → C2(వా)
పై చర్యలో క్లోరిన్ పరమాణువులు స్థిరమైన Cl2 అణువులుగా ఏర్పడ్డాయి. ఇది ఉష్ణమోచక చర్య.
కావున ∆H = – ve, ∆S = + ve

ప్రశ్న 56.
2A(వా) + B(వా) → 2D (వా) చర్యకు ∆UᎾ = – 10.5 kJ ∆SᎾ = – 44.1 JK-1 చర్యకు 25°C వద్ద ∆GᎾ విలువ ఎంత? చర్య అయత్నీకృతమా, కాదా?
జవాబు:
2A(వా) + B(వా) → 2D(వా)
n(g) = 2 – 3 = -1
ΔΗ = ∆U + ng RT
∆H = – 10.5 + (-1) × \(\frac{8.314}{10^{3}}\) × 298
= -10.5 – 2.477 = -12.977 KJ/mole
∆S = – 44.1 J/ mole
∆G° = ∆H – T∆S
∆G° = -12.977 – 298 (-44.1)
= – 12977 +13141.8
= 1648 J (లేదా) 0.1648 kJ
∴ ∆G° = ధనాత్మకం (> 0)
కావున చర్య అయత్నీకృతం కాదు.

ప్రశ్న 57.
ఒక చర్యకు 300 K సమతాస్థితి స్థిరాంకం 10. దీనికి ∆GᎾ విలువ ఎంత?
R = 8.314 JK1 mol-1.
జవాబు:
∆G°=- RT/nk
∆G° = -2.303 RT log k
∆G° = – 2.303 × 8.314 × 300 × log 10
= -5744 J/mole
∆G° = -5.744 KJ/mole

ప్రశ్న 58.
ఉష్ణగతిక శాస్త్రం ప్రథమ నియమం నిర్వచించండి. దాని గణితరూప సమీకరణం రాయండి.
జవాబు:
ఉష్ణగతిక శాస్త్ర మొదటి నియమము :
ఈ నియమాన్ని “శక్తినిత్యత్వ నియమం” అని కూడా అంటారు.

నిర్వచనాలు :

  • “శక్తిని ఒక ప్రక్రియలో ఒక రూపం నుంచి వేరొక రూపంలోకి మార్పు చెందించవచ్చు. కాని శక్తిన జనింపచేయడం లేదా నశింపచేయడం వీలుపడదు”.
  • “మొదటి రకం సతత చలన యంత్రాన్ని నిర్మించలేము”.
  • “వ్యవస్థ, పరిసరాల మొత్తం శక్తి స్థిరం (లేదా) నిత్యత్వం చేయబడుతుంది”.

గణిత రూపంలో :
స్థితి ‘A’ లో అంతరిక శక్తి EA గల ఒక వ్యవస్థ, పరిసరాల నుంచి ఉష్ణశక్తిని (Q) గ్రహించి స్థితి ‘B’ కి మారింది అనుకుందాము. స్థితి ‘B’ లో అంతరిక శక్తి, ‘EB‘ మరియు వ్యవస్థ అంతరిక శక్తిలో పెరుగుదల ∆E అనుకుందాము.
అప్పుడు ∆E = EB – EA

‘W’ ఈ ప్రక్రియలో వ్యవస్థ జరిపిన పని అయితే శక్తిలో నికర లాభం (Q – W) అవుతుంది. ఇది మొదటి నియమాన్ని అనుసరించి ∆E కి సమానం అయివుండాలి. కాబట్టి అంతరిక శక్తిలో పెరుగుదల.
ΔΕ = (EB – EA) = (Q – W)
(లేదా) Q = ∆E + W
అతి తక్కువ మార్పులకు q = ∆E + W

ప్రశ్న 59.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం రెండో నియమానికి ఏవైనా రెండు వేరువేరు నిర్వచనాలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఉష్ణగతికశాస్త్ర రెండవ నియమం : ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచించవచ్చు.

  1. బాహ్య కారకం ప్రమేయం లేకుండా తక్కువ ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశం నుంచి ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశానికి ఉష్ణాన్ని ప్రసరింపచేయగలిగి, చక్రీయంగా పనిచేసే యంత్రాన్ని నిర్మాణం చేయడానికి వీలుకాదు.
  2. వ్యవస్థలో లేదా దాని పరిసరాలలో శాశ్వత మార్పులను కలిగించకుండా ఉష్ణశక్తిని పూర్తిగా పనిగా మార్చలేం.
  3. అన్ని అయతీకృత చర్యలు, ఉష్ణగతిక శాస్త్రాన్ని అనుసరించి అద్విగత చర్యలే. ఈ అయత్నికృత చర్యలు అన్నింటిలో వ్యవస్థ ఎంట్రోపి పెరుగుతుంది.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 60.
గిబ్స్ శక్తిని వివరించండి.
జవాబు:
గిబ్స్ శక్తి (G) :
అయత్నీకృత చర్యల నిబంధనను వివరించడానికి ‘గిబ్స్’ ఒక ఉష్ణగతికశాస్త్ర ప్రమేయాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. దీనిలో ఎంథాల్పీ (H), ఎంట్రోపి (S) ప్రమేయాలున్నాయి. దీన్ని స్వేచ్ఛాశక్తి (G) అంటారు.
క్రింది సమీకరణం ద్వారా ఈ ప్రమేయాన్ని వ్యక్తం చేస్తారు.
G = H – TS
‘G’ ని ప్రస్తుతం “గిబ్స్ శక్తి” (లేదా) “గిబ్స్ ప్రమేయం” అంటారు.
∆G = ∆H – T ∆S
∆Gవ్యవస్థ = ఋణ విలువ, అయత్నీకృత చర్యలకు, (∆G < 0)
∆Gవ్యవస్థ = ధన విలువ, అయత్నీకృతం కాని చర్యలకు, (∆G > 0)
∆Gవ్యవస్థ = 0, సమతాస్థితి చర్యలకు (∆G = 0)

ప్రశ్న 61.
చర్య అయత్నీకృతాన్ని గిబ్స్ శక్తితో వివరించండి.
జవాబు:
∆G = ∆H – T ∆S
∆Gవ్యవస్థ = ఋణ విలువ, అయత్నీకృత చర్యలకు, (∆G < 0)
∆Gవ్యవస్థ = ధన విలువ, అయత్నీకృతం కాని చర్యలకు, (∆G > 0)
∆Gవ్యవస్థ = 0, సమతాస్థితి చర్యలకు (∆G = 0)

∆G = -ve, ∆S = +ve, ∆H = -ve అయితే అన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద చర్య అయత్నీకృతమగును.

గిబ్స్ శక్తి మరియు విలువ, గుర్తుల ఆధారంగా ఒక రసాయనిక చర్య అయత్నీకృత మార్పును, దాని నుండి లభించే ఉపయోగకరమైన పనిని తెలుసుకోవచ్చు.
∆G = ∆G° + RTŪnK
∆G = 0 సమతాస్థితి వద్ద
∆G° = -RTlnK = -2.303 RT log k
∆rG° = ∆rH° – T∆rS° = -RT log k

ఉష్ణగ్రాహక చర్యకు ∆rH° > 0
ఇచ్చట K < 1

ఉష్ణమోచక చర్యకు ∆rH° < 0 ఇచ్చట K > 1
అధిక K విలువ, ∆rG° < 0, ∆rS° > 0 అనునవి చర్య దిగుబడి (ఉత్పన్నాలను) ఊహించుటకు అంశాలు.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
హెస్ స్థిర ఉష్ణ సంకలనం నియమం నిర్వచించి వివరించండి. ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
హెస్ నియమము :
“ఒక రసాయన చర్య ఒక దశలో జరిగినా లేక ఎక్కువ దశలలో జరిగినా గ్రహించిన లేదా వెలువడిన మొత్తం ఉష్ణ పరిమాణం ఒకే విలువలో ఉంటుంది”.

వివరణ :
(i) సాధారణ సమీకరణం ద్వారా :
A అనే పదార్థం రెండు భిన్న మార్గాల ద్వారా చర్య జరిపి D అనే పదార్థాన్ని ఇస్తుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 14
ఏక దశ : A → D, ∆H = Q
అనేక దశలు :
A → B, ∆H1 = q1
B → C, ∆H2 = q2
C → D, ∆H3 = q3
∆H1 + ∆H2 + ∆H3 = q1 + q2 + q3
హెస్ నియమం ప్రకారం, Q = q1 + q2 + q3 అవుతుంది.

(ii) విశిష్ట ఉదాహరణ ద్వారా :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 32
రెండు ∆H విలువలు సమానం.

హెస్ నియమం ఉపయోగాలు :

  1. ప్రయోగం ద్వారా ప్రత్యక్షంగా నిర్ణయించడానికి వీలుకాని, మాధ్యమిక సమ్మేళనాల సంఘటనోష్టాన్ని హెస్ నియమం ద్వారా గణించవచ్చు.
    ఉదా : ‘CO’ సంశ్లేషణోష్ణమును లెక్కించుట.
  2. నెమ్మదిగా జరిగే చర్యల చర్యోష్ణాన్ని సులభంగా నిర్ణయించవచ్చు. ఉదా : α – సల్ఫర్ → B – సల్ఫర్
  3. కొన్ని సంయోగ పదార్థాల (C2H2) ఎంథాల్పీ విలువలను గణించవచ్చు.
  4. అయానిక పదార్థాల స్ఫటికజాలక శక్తిని నిర్ణయించవచ్చు. ఉదా : NaCl స్ఫటికజాలక శక్తి, (V) ని నిర్ణయించడం.

ప్రశ్న 2.
ప్రయోగపూర్వకంగా ఒక ప్రక్రియలో అంతరిక శక్తి మార్పు కొలిచే విధానం వివరించండి.
జవాబు:
ఆంతరిక శక్తి (U) :
స్థిర ఉష్ణోగ్రత మరియు పీడనాల వద్ద ఒక పదార్థంలో నిల్వ ఉంచబడిన మొత్తం శక్తిని ఆంతరిక శక్తి అంటారు.
ఇది స్థితి ప్రమేయం మరియు విస్తార ధర్మం.

ఆంతరిక శక్తి మార్పు ∆U = UP – UR
UP = క్రియాజన్యాల ఆంతరిక శక్తి
UR = క్రియాజనకాల ఆంతరిక శక్తి
∆U = Q – W
Q = ఉష్ణం
W = పని

ఆంతరిక శక్తి స్థితిప్రమేయం ఇది తొలి మరియు తుది స్థితులపై ఆధారపడును.

ఆంతరిక శక్తి మార్పు ∆U కొలిచే విధానం :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 10
రసాయన చర్యల్లో స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద గ్రహించబడిన ఉష్ణాన్ని బాంబ్ కెలోరిమీటర్లో కొలుస్తారు. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఒక దృఢమైన గోడలు గల ఉక్కుపాత్ర. ఇది ఒక జలతాపకం (water battle) లో ముంచబడి ఉంటుంది. ఈ మొత్తం పాత్రల అమరికనే కెలోరిమీటర్ అంటారు. తేలికగా దహనం (combustion) చెందే పదార్థాన్ని ఉక్కు బాంబులో ఉంచి ఆక్సిజన్ను కలిపి దహనం చేస్తారు. చర్య ఉష్ణమోచకమై (దహన చర్యలు ఉష్ణమోచక చర్యలు) ఉష్ణం వెలువడుతుంది. ఇది కెలోరిమీటర్ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుతుంది. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఉష్ణబంధకం చేయబడి ఉంటుంది. అందువల్ల కెలోరి మీటర్ నుంచి పరిసరాలకు ఉష్ణ వినిమయం జరగదు.

బాంబ్ కెలోరిమీటర్ చర్య జరిగేటప్పుడు పూర్తిగా మూసి ఉంచబడి ఉంటుంది కాబట్టి దాని ఘనపరిమాణంలో మార్పు ఉండదు. అంటే చర్యలో శక్తి మార్పులు స్థిర ఘనపరిమాణంలో జరిగిన వాటిగా అనుకొని బాంబ్ కొలతలు చేయాలి.స్థిర ఘనపరిమాణమంటే ∆V = 0, W = p∆V = 0, అంటే పని ఏమీ జరగదు. చర్యలో వాయు పదార్థాలున్నప్పటికీ ఘనపరిమాణంలో మార్పు రాదు. చర్య వల్ల కెలోరిమీటర్ పెరిగిన ఉష్ణోగ్రతను ఉపయోగించి కెలోరిమీటర్ ద్రవ్యరాశి, దాని ఉష్ణధారణ విలువల ద్వారా వెలువడిన ఉష్ణాన్ని (qv) నుంచి
q = c × m × ∆T = C∆T గణించవచ్చు.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 3.
ప్రయోగ పూర్వకంగా ఒక ప్రక్రియలో ఎంథాల్పీ మార్పు కొలిచే విధానం వివరించండి.
జవాబు:
ఎంథాల్పీ (H) :
స్థిరపీడనం మరియు ఉష్ణోగ్రత వద్ద వ్యవస్థకు పరిసరాలకు మధ్య మార్పిడి జరిగే ఉష్ణ పరిమాణాన్ని ఎంథాల్పీ (H) అంటారు.
ఎంథాల్పీ మార్పు ∆H = ∆U + P ∆V
∆U = ఆంతరిక శక్తి మార్పు
ఎంథాల్పీ అనునది స్థితి ప్రమేయం
∆H = [Hక్రియాజన్యాలు – Hక్రియాజనకాలు]
∆H = ∆U + AnRT

స్థిర పీడనం వద్ద ఉష్ణశక్తి (∆H) ని కొలవడం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 11
మూత లేకుండా తెరచి ఉన్న కెలోరిమీటర్ సాధారణంగా వాతావరణ పీడనం దగ్గర ఉంటుంది. వాతావరణ పీడనం స్థిరంగా ఉంటుంది (కనీసం ప్రయోగం జరిగిన సమయం వరకు) కాబట్టి కెలోరీ మీటర్ చర్య వల్ల వచ్చిన ఉష్ణ మార్పు స్థిరపీడనం వద్ద కొలిచిందిగా భావించవచ్చు. (పటం 6.8). దీనిని qp గా రాస్తే ∆H కు సమానమవుతుంది. ∆H = qp (స్థిర పీడనం వద్ద). కాబట్టి స్థిర పీడనం వద్ద కొలిచిన ఉష్ణ మార్పు చర్యోష్ణం (అది వెలువడిన ఉష్ణం కావచ్చు లేదా గ్రహించబడిన ఉష్ణం కావచ్చు) లేదా చర్యా ఎంథాల్పి ∆rH అవుతుంది.

ఉష్ణమోచక చర్యలో ఉష్ణం వెలువడుతుంది. అంటే వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు ఉష్ణం ఇవ్వబడుతుంది. అందువల్ల qp రుణాత్మకమవుతుంది. ∆rH కూడా రుణాత్మకం. అదే విధంగా ఉష్ణగ్రాహక చర్యలో వ్యవస్థ లేదా చర్య ఉష్ణం గ్రహిస్తుంది. అంటే పరిసరాల నుంచి చర్యకు ఉష్ణం ఇవ్వబడుతుంది. దీనికి qp ధనాత్మకం, ∆rH కూడా ధనాత్మకమే.

ప్రశ్న 4.
ఒక చర్య అయత్నీకృతమా కాదా అన్నది ఎంథాల్పీ, ఎంట్రోపీ, గిబ్స్ శక్తులు ఉపయోగించి వివరించండి.
జవాబు:
అయల్నీకృత చర్య:
“బాహ్య కారకం ప్రమేయం లేకుండా స్వచ్ఛందంగా జరిగే చర్యను “అయత్నీకృత చర్య” అంటారు. అయత్నీకృత చర్యలు అన్నీ ఉష్ణగతిక శాస్త్ర పరంగా “అద్విగత చర్యలే”.

  • ప్రకృతిలో జరిగే చర్యలు అన్నీ అయత్నీకృత చర్యలే.
  • అన్ని అయత్నీకృత చర్యలలో ఎంట్రోపి పెరుగుదల ఉంటుంది.
  • అయత్నీకృత చర్యలలో, ఎంట్రోపి మార్పు (∆S) = ధనాత్మకం.
  • అయత్నీకృత చర్యలలో, ఎంథాల్నీ మార్పు (∆H) = ఋణాత్మకం.
  • అయత్నీకృత చర్య యొక్క నిబంధనను వివరించడానికీ “గిబ్స్” ఒక ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రమేయాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు.

దీనిలో ఎంథాల్నీ (H), ఎంట్రోపీ (S) ప్రమేయాలున్నాయి. దీన్ని G = H – TS గా వ్రాస్తారు.
‘G’ ని “గిబ్స్ శక్తి” (లేక) “గిబ్స్ ప్రమేయం” అంటారు.

అన్ని అయత్నీకృత్త చర్యలు (లేదా) ప్రక్రియలకు ∆G = ఋణవిలువ.

అయత్నీకృత చర్యలు – నిబంధనలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 33

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థలోని అంతరిక శక్తి మార్పును కింద ఇచ్చిన పరిస్థితుల్లో తెలపండి.
(i) వ్యవస్థపై పని జరుగుతుంది కానీ వ్యవస్థ ఉష్ణశక్తిని గ్రహించదు. ఈ వ్యవస్థ గోడ ఎలాంటిది?
(ii) వ్యవస్థ మీద పని జరగదు కానీ ”q’ పరి మాణంలో వ్యవస్థ ఉష్ణశక్తిని పరిసరాలకు కోల్పోతే అది ఎలాంటి వ్యవస్థ?
(iii) ‘w’ పరిమాణంలో వ్యవస్థ పని చేస్తుంది. q పరిమాణంలో ఉష్ణశక్తి వ్యవస్థకు ఇవ్వబడింది. ఇది ఎలాంటి వ్యవస్థ?
సాధన:
(i) ∆U = wస్థిరోష్ణక, స్థిరోష్ణక గోడ

(i) ∆U = – q, ఉష్ణవాహక గోడలు

(ii) ∆ U = q – w, సంవృత వ్యవస్థ

ప్రశ్న 2.
రెండు లీటర్ల ఘనపరిమాణం గల ఒక ఆదర్శ వాయువు సమోష్ణక విధానంలో పది లీటర్ల ఘనపరిమాణం వరకు శూన్యంలోకి వ్యాకోచించింది. వాయువు పీడనం పది అట్మాస్ఫియర్లయితే ఈ వ్యాకోచంలో గ్రహించిన ఉష్ణమెంత? వ్యాకోచంలో ఎంతపని జరిగింది?
సాధన:
ఇక్కడ వాయువు శూన్యంలోకి స్వేచ్ఛగా వ్యాకోచించింది.
Vతుది = 10 L; Vతొలి = 2L
q = – W = pబాహ్య (Vతుది – Vతొలి) = 0(10 – 2) = 0
అంటే పని ఏమీ జరగదు. అదేవిధంగా ఉష్ణం ఏమీ గ్రహింపబడదు.

ప్రశ్న 3.
పై సమస్యనే తీసుకొని వాయువు వ్యాకోచం శూన్యంలోకి కాకుండా బాహ్య పీడనం ఒక అట్మాస్ఫియర్ అయినప్పుడు q, W తెలపండి. (V తుది – V తొలి)
సాధన. 9 = – W = Pబాహ్య (Vతుది – Vతొలి)
= 1 atm (10 – 2)L
= 8 L. atm

ప్రశ్న 4.
పై వ్యాకోచాన్ని ఉత్రమణీయంగా జరిపితే గ్రహించే ఉష్ణం, జరిగే పనిని తెలపండి.
సాధన:
ఆదర్శ వాయువుకి pV = nRT, p = 10 atm,
V = 2 L
nRT = 10 × 2 = 20 L. atm
q = -w = 2.303 × 20 L.atm log \(\frac{10}{2}\)
= 32.2 L-atm

ప్రశ్న 5.
నీటి బాష్పాన్ని ఒక ఆదర్శ వాయువుగా తీసుకొంటే ఒక మోల్ నీటిని 1 బార్, 100°C వద్ద బాష్పీ కరించినప్పుడు బాష్పీభవన మోలార్ ఎంథాల్పీ 41 kJ mol-1. అంతరికశక్తిని కింది పరిస్థితుల్లో గణించండి.
(i) 1 బార్ పీడనం 100° C ఉష్ణోగ్రత వద్ద 1 మోల్ నీరు బాష్పీకరణం చెందితే.
(ii) ఒక మోల్ నీరు మంచు (ice) గా మార్చితే.
సాధన:
(i) H2O (ద్రవం) → H2O (వాయువు) మార్పు
∆Η = ∆U + ∆ngRT
or ∆U = ∆H – ∆ngRT ̧
∆ng = వాయు స్థితిలోని క్రియాజన్యాల అణువులు వాయు స్థితిలోని క్రియాజనకాల అణువులు
= 1 – 0 = 1; ∆H = 41 ki mol-1
T = 373 K, R = 8.3J mol-1 K-1;
∆U = 41.00 kJ mol-1 – 1 × 8.3 J mol-1 K-1 × 373 K
= 41.00 ki mol-1 – 3.096 ki mol-1
= 37.904 kJ mol-1

(ii) H2O (ద్రవం) → H2O (ఘన)
ఈ మార్పులో ఘనపరిమాణం మార్పు అతి స్వల్పం, పరిగణించదగింది కాదు. కాబట్టి
p∆V = ∆n RT ≈ 0, కాబట్టి
∆Η ≅ ΔU
కాబట్టి ∆U = 41.00 kJ mol-1

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 6.
298 K. 1 అట్మాస్ఫియర్ పీడనం వద్ద 1 g. గ్రాఫైట్ను అధిక ఆక్సిజన్ సమక్షంలో దహన పరిస్తే చర్య ద్వారా కెలోరిమీటర్ ఉష్ణోగ్రత 298 K నుంచి 299K కు పెరిగింది. బాంబ్ కెలోరి మీటర్ ఉష్ణధారణ 20.7 kJ/K. 1 అట్మాస్ఫియర్ పీడనం, 298 K వద్ద పై చర్యలో ఎంథాల్పీ మార్పు ఎంత?
C(గ్రాఫైట్) + O2 (వా) → CO2 (వా)
సాధన:
చర్యలో చర్యామిశ్రమం నుంచి q పరిమాణంలో ఉష్ణం వెలువడిందనుకొందాం. Cv, కెలోరిమీటర్ ఉష్ణధారణ అనుకొందాం. అప్పుడు కెలోరిమీటర్ గ్రహించిన ఉష్ణం q = Cv × ∆T

చర్యలో విడుదలైన ఉష్ణం పరిమాణం కెలోరిమీటర్ గ్రహించిన ఉష్ణానికి సమానం కానీ వాటి సంజ్ఞలు మారతాయి.
q = – Cv × ∆T = – 20.7 kJ/K × (299 – 298) K
= – 20.7 kJ

రుణ సంజ్ఞ చర్య ఉష్ణమోచక చర్య అని తెలియజేస్తుంది) అప్పుడు 19 గ్రాఫైట్ దహనమైతే
∆U = – 20.7 kJ
ఒక మోల్ గ్రాఫైట్ దహనమైతే వెలువడే ఉష్ణం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 34

∆n (వా) = 1 (క్రియాజన్యం CO2) – 1 (క్రియాజనకం) = 0,
∆H = ∆U = – 2.48 × 10² kJ mol-1.

ప్రశ్న 7.
ఒక నీటి కొలను నుంచి బయటకు వచ్చిన ఈతగాడి వంటి మీద 18 గ్రా. బరువు గల నీటి ఫిల్మ్ ఏర్పడింది. దీనిని 298 K దగ్గర ఇగర్చడానికి (evaporisation)ఎంత ఉష్ణం కావాలి? 100° C వద్ద అంతరిక బాష్పీభవన శక్తిని కనుక్కోండి.
373 K వద్ద నీటి బాష్పీభవనోష్ణం
∆vap HΘ = 40.66 kJ mol-1.
సాధన:
ఇగిర్చే (evaporation) ప్రక్రియను కింది సమీకరణంలో చూడండి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 35
నీటి ఆవిరిని ఆదర్శ వాయువులా భావిస్తే
∆vap HΘ – ∆ng RT = 40.66 kJ mol-1 – (1 mol)
(8.314 JK-1 mol-1) (373K) (10-3 kJ J-1)
∆vap UΘ = 40.66 kJ mol-1 – 3.10 kJ mol-1
= 37.56 kJ mol-1

ప్రశ్న 8.
298 K, 1 అట్మా పీడనాల వద్ద ఒక మోల్ బెంజీన్ దహనం చెంది CO2 (వా), H2O (ద్ర)లను ఇస్తూ 3267.0 kJ ఉష్ణాన్ని విడుదల చేస్తుంది. బెంజీన్ ప్రమాణ సంఘటన ఎంథాల్పీని (Stan- dard enthalpy of formation) గణించండి. ప్రమాణ సంఘటన ఎంథాల్పీలు CO2 (వా), H2O (ద్ర) లకు వరసగా – 393.5 kJ mol-1, – 285.83 kJ mol-1.
సాధన:
బెంజీన్ తన అనుఘటక మూలకాల నుంచి ఏర్పడే చర్యను కింది విధంగా రాయాలి.
6C (గ్రాఫైట్, s) + 3H2(వా) → C6H6 (వా) ; ∆f HΘ = ? …………. (i)
ఈ చర్య ఎంథాల్పీ మార్పు ∆f HΘ కనుక్కోవాలి.
1 మోల్ బెంజీన్ దహన చర్య సమీకరణం:
C6H6(ద్ర) \(\frac{15}{2}\) (వా) → 6CO2 (వా) + 3H2O(ద్ర) ;
∆c HΘ = 3267 kJ mol-1 …. (ii)
1 మోల్ CO2 (g) ఏర్పడినప్పుడు ఎంథాల్పీ మార్పిడి అంటే CO2 (g) సంఘటన ఎంథాల్పీ
C (గ్రాఫైట్) + O2 (వా) → CO2 (వా);
∆f HΘ = – 393.5 kJ mol-1 …………. (iii)
1 మోల్ H2O (ద్ర) ఏర్పడినప్పుడు ఎంథాల్పీ మార్పిడి అంటే H2O (ద్ర) సంఘటన ఎంథాల్పీ :
H2(వా) + \(\frac{1}{2}\)O2 (వా) → H2O (ద్ర) ;
∆f HΘ = – 285.83 ki mol-1 …. (iv)
సమీకరణం (ii) ను, 6 తోను సమీకరణం (iv) ను 3తోను గుణిస్తే
6C (గ్రాఫైట్) 6O2 (వా) → 6CO2 (వా);
∆f HΘ = -2361 kJ mol-1
3H2(వా) + \(\frac{3}{2}\)O2 (వా) → 3H2O (ద్ర);
∆f HΘ = -857.49 kJ mol-1
రెండు సమీకరణాల్ని కలిపితే
6C (గ్రాఫైట్) + 3H2(వా) + \(\frac{15}{2}\)O2 (వా) → 6CO2(వా) + 3H2O (ద్ర);
∆f HΘ = -3218.49 kJ mol-1 …. (v)
సమీకరణం (ii) ను ఉత్రమం చేసి రాస్తే
6CO2(వా) + 3H2O(ద్ర) → C6H6(ద్ర) ;
∆f HΘ = 3267.0 kJ mol-1 …. (vi)
(v), (vi) సమీకరణాల్ని కలిపితే
6C (గ్రాఫైట్) + 3H2(వా) → C6H6(ద్ర);
∆f HΘ = 48.51 kJ mol-1

ప్రశ్న 9.
కింది చర్యలు లేదా ప్రక్రియల్లో దేనికి ఎంట్రోపీ పెరుగుతుంది, దేనికి తగ్గుతుంది చెప్పండి.
(i) ఒక ద్రవం ఘనపదార్థంగా స్ఫటికీకరణం చెందింది.
(ii) ఒక స్ఫటిక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రత 0K నుంచి 115 K కు పెరిగంది.
(iii) 2NaHCO3(ఘ) Na2CO3(ఘ) + CO2(వా) + H2O(వా)
(iv) H2(వా) → 2H(వా)
సాధన:
(i) ద్రవం నుంచి ఘనంగా మారితే కణాల అమరికలో క్రమత్వం పెరుగుతుంది. అందువల్ల ఎంట్రోపీ తగ్గుతుంది.

(ii) OK దగ్గర అనుఘటక కణాలు స్థిరంగా ఉండి అత్యల్ప ఎంట్రోపీతో ఉంటాయి. ఉష్ణోగ్రత 115K పెరిగితే లాటిస్ అనుఘటక కణాలు సమతా స్థానాల్లో డోలనాలు చేస్తుంటాయి. అంటే కదలిక పెరుగుతుంది. ఫలితంగా వ్యవస్థ క్రమరాహిత్యం పెరుగుతుంది. అంటే ఎంట్రోపీ పెరుగుతుంది.

(iii) క్రియాజనకం_NaHCO3 ఘనపదార్థం. అంటే ఎంట్రోపీ తక్కువ. క్రియాజన్యాల్లో ఒక ఘనపదార్థం (Na2CO3), రెండు వాయు పదార్థాలు (CO2, H2O) ఉన్నాయి. కాబట్టి క్రియాజన్యాల వల్ల అధిక ఎంట్రోపీ వస్తుంది.

(iv)ఇక్కడ ఒక అణువు రెండు పరమాణువులనిస్తుంది. అంటే కణాల సంఖ్య పెరుగుతుంది. అంటే ఎంట్రోపీ పెరుగుతుంది. దీనికి కారణం ఒక మోల్ డై హైడ్రోజన్ అణువు కంటే రెండు మోల్ల హైడ్రోజన్ పరమాణువుల్లో ఎంట్రోపీ ఎక్కువ.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

ప్రశ్న 10.
ఐరన్ ఆక్సీకరణానికి
4 Fe (ఘ) + 3O2 (వా) – 2Fe2O, (ఘ)
298 K వద్ద ఎంట్రోపీ మార్పు – 549.4JK1 mol-1. దీనికి రుణ విలువలో ఎంట్రోపీ ఉన్నప్పటికి చర్య స్వచ్ఛందంగా జరుగుతుంది. ఎందుకు?
(ఈ చర్యకు ∆r HΘ = -1648 × 10³ mol-1)
సాధన:
చర్య స్వచ్ఛందతను నిర్ణయించాలంటే మనం ∆Stotal i.e., (∆Ssys + ∆Ssurr) గణించాలి. ∆Ssurr గణించాలంటే పరిసరాలు గ్రహించిన ఉష్ణశక్తి తెలుసుకోవాలి. ఇది ∆r HΘ ఇవ్వబడింది. ఉష్ణోగ్రత T తెలియాలి ఇవ్వబడింది.
పరిసరాల ఎంట్రోపీ మార్పు ∆Ssurr = ∆r HΘ/T (స్థిరపీడనం వద్ద)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 36
∆Stotal ధనాత్మకం కాబట్టి చర్య అయత్నకృతం లేదా స్వచ్ఛందం.

ప్రశ్న 11.
ఆక్సిజన్ ను ఓజోన్గా మార్చే చర్య (3/2) O2(వా) → O3(వా) కు 298 K వద్ద Kp విలువ 2.47 × 10-29 అయితే ఈ చర్యకు ∆r GΘ గణించండి.
సాధన:
∆r GΘ = -2.303 RT log Kp,
R = 8.314 JK-1 mol-1
-కాబట్టి, ∆r GΘ =
– 2.303 (8.314 J K-1 mol-1) × (298 K) (log 2.47 × 10-29)
= 163000 J mol-1
= 163 kJ mol-1.

ప్రశ్న 12.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 37
(జల) + H2O (ద్ర) చర్యకు 298 K ఉష్ణోగ్రత వద్ద ప్రమాణ గిబ్స్ శక్తి మార్పు ∆G = – 13.6 J mol-1 అయితే ఆ చర్య సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువను అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 38

ప్రశ్న 13.
60° C వద్ద డైనైట్రోజన్ టెట్రాక్సైడ్ 50% వియోజనం చెందింది. దీనికి అదే ఉష్ణోగ్రత, 1 atm పీడనం వద్ద ప్రమాణ స్వేచ్ఛాశక్తి (గిబ్స్ శక్తి) మార్పు గణించండి.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 6 ఉష్ణగతిక శాస్త్రం 39

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

by

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 1.
nP4  = 1680 అయిన n విలువ ఎంత ?
సాధన:
np4  = 1680
= n(n – 1) (n – 2) (n – 3) = 8 x 7 x 6 x 5
∴ n = 8

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 2.
12Pr  = 1320 అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
12Pr  = 1320
= 10 x 132 = 10 x 11 x 12
= 12 x 11 x 10 = 12P3
∴ r = 3.

ప్రశ్న 3.
(n+1)P5 : nP5 = 3:2 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 1

ప్రశ్న 4.
56P(r+6) : 54P(r+3) = 30800 : 1 అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 2

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 5.
9 గణితశాస్త్ర పరీక్షాపత్రాలను, వాటిలో (శేష్ఠమయినది (the best), హీనమైనది (the worst)
(i) కలిసి ఉండేట్లుగా
(ii) వేరు వేరుగా ఉండేట్లు ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:
(i) ఈ రెండు రకాలైన పేపర్లను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే మనకి మొత్తం 9-2+1=7+1=8 పేపర్లు ఉన్నాయి. వీటిని 8! విధాలుగా అమర్చవచ్చు, ఆ రెండు పేపర్లను 2! విధాలుగా వాటిలో వాటిని అమర్చవచ్చు. కనుక కావలసిన అమరికల సంఖ్య (ఆ రెండు పేపర్లు కలిసి ఉండేట్లుగా) 8! 2!.

ii) మొత్తం 9 పేపర్లను అమర్చే విధానాలు 9!.వీటిలో శేేష్రమైనది, హీనమైనది కలిసి ఉండేట్లుగా అమర్చే విధానాలు 8! 2!. కనుక, రెండు గణితశాస్త్ర పేపర్లు వేరు వేరుగా ఉండేట్లుగా అమర్చే విధానాలు
9! – 8! 2! (9-2)=8 ! × 7

ప్రశ్న 6.
ఆరుగురు బాలురు, ఆరుగురు బాలికలను ఒక వరసలో అమర్చగలిగే విధానాలెన్ని ? వాటిలో ఎన్నిటిలో
(i) బాలికలందరూ కలిసి ఉంటారు.
(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్క పక్కన రాకుండా ఉంటారు.
(iii) బాలారం, బాలికలా ఒకరిశరువాత ఒకరంగా ఉంటారా.
సాధన:
ఆరుగురు బాలురు, ఆరుగురు బాలికలు కలిపి మొత్తం 12 మంది వ్యక్తులున్నారు. కనుక వీరిని ఒక వరసలో అమర్చ గలిగే విధానాలు 12 !

(i) ఆరుగురు బాలికలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, అప్పుడు ఆరుగురు బాలురు + ఒక బాలికల యూనిట్ ఉంటాయి. వాటిని ఒక వరసలో 7! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు, ఆరుగురు బాలికలను వారిలో వారిని 6! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక ఆరుగురు బాలికలు కలిసి ఉండేలా అమర్చగలిగే విధానాలు.
=7 ! × 6 !

(ii) ముందుగా ఆరుగురు బాలురను ఒక వరసలో 6 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. అప్పుడు బాలుర మధ్యలో మొదట, చివర మొత్తం.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 3

7 ఖాళీలుంటాయి (పైన ఖాళీలను x తో సూచించాం).
ఈ 7 ఖాళీలలో ఆరుగురు బాలికలను అమర్చే విధానాలు 7P6 కనుక ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్క పక్కన రాకుండా అమర్చే విధానాలు. 6! ×7P6 =7.6 !. 6 !

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

(iii) వరస బాలుడు లేదా బాలికతో మొదలు కావచ్చు అంటే అవి 2 విధాలు ఉదాహరణకు బాలుడితో మొదలయిందను కొందాం. అప్పుడు బాలురు, బాలికలు ఏకాంతంగా రావాలంటే బాలురను బేసిసంఖ్య గల స్థానాల్లో బాలికలను సరిసంఖ్య గల స్థానాల్లో అమర్చాలి. కనుక ఆరుగురు బాలురను సరి సంఖ్యగల 6 స్థానాలలో అమర్చే విధానాలు = 6!
ఆరుగురు బాలికలను బేసి సంఖ్య గల 6 స్థానాలలో అమర్చే విధానాలు =6 !
కనుక కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య =2 ×6! × 6!

ప్రశ్న 7.
MIRACLE పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి 4 ఆక్షరాల పదాలు ఎన్ని తయారు చేయవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని పదాలు
(i) అచ్చుతో మొదలవుతాయి ?
(ii) అచ్చుతో మొదలయి, అచ్చులో అంతమవుతాయి ?
(iii) హల్లుతో అంతమవుతాయి.
సాధన:
MIRACLE పదంలో 7 అక్షరాలున్నాయి. కనుక వీటిని ఉపయోగించి ఏర్పరిచే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్ర
7P4 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840
ఇప్పుడు నాలుగు ఖాళీ స్థానాలు తీసుకుందాం.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 4

(i) మొదటి స్థానాన్ని ఇచ్చిన పదంలోని 3 అచ్చులలో {I, A,E} ఏదో ఒకదానితో 3 విధాలుగా నింపవచ్చు మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 6 అక్షరాలతో నింపే విధానాల సంఖ్య
=6P3  =6 × 5 × 4 = 120
కనుక అచ్చుతో మొదలయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
=3 × 120 = 360

(ii) ముందుగా మొదటి, చివరి స్థానాలను అచ్చులతో { I, A,E) నింపే విధానాల సంఖ్య 3P2 2= 3 × 2 = 6
మిగిలిన 2 స్థానాలను మిగిలిన 5 అక్షరాలలో నింపే విదానాల సంఖ్య 5P2 = 5 × 4 = 20 కనుక అచ్చుతో మొదలయ్యి అచ్చుతో అంతమయ్యే 4 అక్షరాల పదాలు = 6 × 20=120

(iii) చివరి స్థానాన్ని 4 హల్లులలో ఒక దానితో నింపే విధానాలు = 4P1 =4
మిగిలిన 3 స్థానాలు విగిలిన 6 అక్షరాలతో నింపే విధానాల సంఖ్య =  6P3=6 × 5 × 4=120
కనుక హల్లుతో అంతమయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
= 4 × 120 = 480

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 8.
PICTURE అనే పదంలోని అక్షాలన్నింటినీ ఉపహాగించి ఏర్పరిచే ప్రస్తారాలలో ఎన్నిటిలో
(i) అచ్చులన్నీ కలిసి ఉంటాయి
(ii) ఏ రండు అచ్చులు పక్క పక్కన లేకుండా ఉంటాయి?
(iii) అచ్చులు, హల్లులు సాపేక్ష స్థానాలు మారకుండా ఉంటాయి.
సాధన:
పదంలో 3 అచ్చులు (I, U, E), 4 హల్లులు (P, C, T, R) ఉన్నాయి.

(i) 3 అచ్చును ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, 4 హల్లులు + 1 యూనిట్ అచ్చులు మొత్తం 5 అవుతాయి. ఈ ఐదింటిని 5 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు 3 అచ్చులను వాటిలో వాటిని 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక ప్రాథమిక సూత్రం ప్రకారం, ఈ రెండు పనులను 5 ! × 3 ! విధాలుగా చేయవచ్చు. కనుక మూడు అచ్చులు కอిసి వుండే ప్రస్తారాల సంఖ్య
= 5! × 3 ! = 120 × 6 = 720

(ii) ముందుగా 4 హల్లులను.ఒక వరసలో 4 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు హల్లుల మధ్యలో మూడు, మొదట, చివర మొత్తం 5 ఖాళీ స్థానాలు ఉంటాయి వీటిని x తో సూచిందాం
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 5
ఈ 5 ఖాళీలలో 3 అచ్చులను 5P3 విధాలుగా అమర్చవచ్చు
కనుక ఏ రెండు అచ్చులు పక్క పక్కన రాకుండా అమర్చే
విధానాలు
= 4! × 5P3
=24 × 5 × 4 × 3 = 1440

(iii) మూడు హల్లలను వాటి సాపేక్ష స్థానాలలో 3 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. అదే విధంగా 4 అచ్చులను వాటి సాపేక్ష స్థానాలలో 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 6
కనుక కావలసిన ప్రస్తారాలు సంఖ్య 3!  4! = 144

ప్రశ్న 9.
PRISON పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, (పునరావృతం లేకండా) ఆ (క్రమంలో దాని మొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం
I  N  O P R S
నిఘంటువులో ముందుగా I తో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. ఆతరువాత N తో మొదలయ్యేవి, O తో మొదలయ్యే పదాలు వస్తాయి. వీటి తరువాత P తో మొదలయ్యే పదాలు వస్తాయి. వీటిలోనే మనకు కాలసిన పదం PRISON ఉంది. కనుక వీటి నిఘంటువు క్రమాన్ని గమనిస్తే వీటిలో ముందుగా PI తో మొదలయ్యే, పదాలు తదుపరి PN తో, ఆ తరువాత PR తో మొదలయ్యేవి వస్తాయి. ఈ విధంగా PRISON అనే పదం వచ్చేంత వరకు లెక్కించాలి.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ముందుగా I తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్యను గణించ డానికి I ని మొదటి స్థానంలో ఉంచి మిగిలిన 5 అక్షరాలను రకరకాలుగా అమర్చాలి. ఈ రకమైన అమరికలు 5! ఉంటాయి. అంటే I మొదటి అక్షరంగా గల పదాల సంఖ్య 5! అన్నమాట, ఈ విధంగా PRISON అనే పదం వచ్చే వరకు కింది విధంగా గణిస్తాం.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 7
కనుక PRISON అనే పదం కోటి
= 3 x 5! +3 x 4 + 2 x 2! +1+1
= 360 + 72 + 4 + 1 + 1 = 438

ప్రశ్న 10.
2,3,5,6,8 అంకెలనుపయోగించి పునరావృతం లేకుండా ఎన్ని 4 అంకెల సంఖ్లలు తయారు చేయవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని
(i) 2
(ii) 3
(iii) 4
(iv) 5
(v) 25
సాధన:
2, 3, 5, 6, 8 అనే.5 అంకెలనుపయోగించి తయారు చేయగల 4 అంకెల సంఖ్లలు 5P4 = 120.

(i) 2తో భాగించబడేవి : ఒక సంఖ్య 2తో భాగించబడటానికి దాని చివర (ఒకట్ల) స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. అంటే ఈ స్థానాన్ని 2 లేదా 6 లేదా 8 తో నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన 3 స్థానాలను.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 8
మిగిలిన 4 అంకెలతో 4P3 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక =3 x 4P3 = 3 x 24=72

(ii) 3 తో భాగించబడేవి : ఒక సంఖ్య 3 తో భాగించబడటానికి ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 తో భాగించబడాలి. మనకు ఇచ్చిన 5 అంకెల మొత్తం 24 కనుక వీటి నుంచి 4 అంకెలను ఆ అంకెల మొత్తం 3 తో భాగించబడే విధంగా 2 రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు,
(i) 2,5,6,8
(ii) 2,3,5,8

పైన చెప్పిన రెండు సందర్భాలలో ప్రతిసారి 4 అంకెలతో తయారు చేయగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య 4 ! (ఇవి అన్నీ 3 తో భాగించబడతాయి). కనుక 3 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య
2 × (4!)=2 × 24 = 48

(iii) 4 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 4 తో భాగించ బడాలంటే చివరి రెండు స్థానాల్లో అంటే పదులు, ఒకట్ల స్థానాల్లో ఉన్న రెండంకెల సంఖ్య 4తో భాగించబడాలి.
కనుక ఈ రెండు స్థానాలను 28,32,36,52,56 అనే సంఖ్యలతో నింపాలి.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 9
అంటీ 5 విధాలుగా ఈ రెండు స్థానాలు నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన రెండు స్థానాలను 3 అంకెలతో 3P2 విధాలుగా సంఖ్.
= 5 × 3P2=30.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

(iv) 5 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 5 తో భాగించ బడాలంటే చివరి (ఒకట్ల) స్థానంలో 5 ఉండాలి. (‘0’ కూడా ఉండవచ్చు కాని దత్త అంకెలలో ‘0’ లేదు). కనుక ఒకట్ల స్థానంలో5ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో 4P3 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 5 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్ల 4P3 =24.

(v) 25 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 25 తో భాగించ బడాలంటే చివరి రెండు స్థానాలను 25 మాత్రమే నింపాలి (50 లేదా 00తో కూడా నింపవచ్చు కాని .దత్త అంకెలలో ‘ 0 ‘ లేదు) అంటే ఈ స్థానాలు ఒక విధంగా మాత్రమే నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన 2 స్థానాలను మిగిలిన 3 అంకెలతో 3P2 విధాలుగా నింపవచ్చు.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 10

ప్రశ్న 11.
1, 3,5,7,9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
1,3,5,7,9 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్ల సంఖ్  5P4 = 120.
ఇప్పుడు ఈ 120 సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవాలి. ముందుగా మనం ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం. ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో  4P3  విధాలుగా నింపవచ్చు.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 11
అంటే పైన చెప్పివ 120 నాలుగంకెల సంఖ్యలలో 4P3 సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 1 వస్తుంది. ఇదేవిధంగా 3, 5, 7, 9 అంకెలు ఒక్కొక్కటి 4P3 సార్లు ఒకట్ల స్థానంలో వస్తాయి. ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం.
= 4P3 x 1 + 4P3 x 3 + 4P3  x 5
= 4P3 x 7 + 4P3 x 9
= 4P3 (1+3+5+7+9)
= 4P3  (25)
ఇదే విధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా పైన చెప్పిన అంకెలు మాత్రమే వస్తాయి. కనుక పదుల స్థానంలోని అంకెలు మొత్తం కూడా 4P3 x 25 కాని ఇది పదుల స్థానంలోని మొత్తం కనుక దాని విలువ 4P3 x 25 x 10. ఇలాగే వందల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం విలువ 4P3 x 25 x 100  కనుక 1,3,5,7,9 అంకెలనుపయోగించి ఏర్పరిస్తే వచ్చే 4 అంకెల సంఖ్ల మొత్తం.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 12

ప్రశ్న 12.
1,2,5,7,8,9 అంకెలలో ఎన్ని 4 అంకెల సంఖ్యలా సంఖ్యలు ఎన్ని?
సాధన:
1, 2, 5, 7, 8,9 అంకెలతో ఏర్పడే నాలుగు అంకెల సంఖ్యలు 4P2 = 360 ఇప్వుడు మొదటి స్థినాన్ని 9తో, చివరిస్థానాన్ని 2 తో నింపే విధానాల సంఖ్య 1.4P2 = 12.

ప్రశ్న 13.
5 మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 7 మూలకాలున్న సమితి B క గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య కనుక్కొండి.
సాధన:
A లోని మొదటి మూలకానికి ప్రతిబింబాన్ని B లోని 7 మూలకాలలో ఏదో ఒక మూలకంగా అంటే 7 విధాలుగా నిర్వచించవచ్చు.A లోని రెండవ మూలకానికి, (ప్రతిబింభాన్ని B లోని మిగిలిన 6 మూలకాలలో ఏదో ఒక మూల కంగా అంటే 6 విధాలుగా మాత్రమే నిర్వచించ గలం.
ఇలా చేసుకుంటూ పోతే A నుంచి B కి గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్ల = 7P5
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2,520
గమనిక : సమితి A లోని m మూలకాలు, సమితి B లోని n మూలకాలుంటే A నుంచి B కి నిర్వచించగల అన్వేక (ప్రమేయాల సంఖ్య
= nPm m ≤ n అయితే
0, m ≤ n అయితే

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 14.
ఉత్తరాలను వాటికి సంబంధించిన చిరునామాలు ఉన్న 4 కవర్లలో ఏ ఉత్తరమా దానికి సంబంధించిన కవరులోకి ఏోకుండా ఉండేలా, ఒక్కొక్క కవరులో ఒక్కొక్క ఉత్తరం ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా ఆమర్చవచ్చు.
సాధన:
కావలసిన అమరికల సంఖ్య \( = 4 !\left(\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}\right)\)
= 12 – 4 + 1 = 9

ప్రశ్న 15.
MIXTURE పదంలోని అక్షరాలతో, పునరావృతాన్ని అనుమతించినపడు, ఏర్పరచగల 5 ఆక్షరాల పదాలలో అచ్చుతో మొదలయ్యే పదాలెన్ని?
సాధన:
MIXTURE పదంలో 7 అక్షరాలున్నవి. అందు 3 అచ్చులు (I, U, E), 4హల్లలలు (M, X,T, R)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 13
కనుక మొదటి స్థానాన్ని ఒక అచ్చుతో 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 4 స్థానాలలో ఒక్కొస్థానాన్ని 7 విధాలుగా నింపవచ్చు. (పునరావృతాన్ని అనుమతించాం కనుక)
∴  అచ్చుతో మొదలయ్యే 5 అక్షరాల పదాలు
= 3 × 7 × 7 × 7 × 7=3 × 74

ప్రశ్న 16.
(a) m మూలకాలాన్న ఒక సమితి A నుండి n మాలకాలున్న సమితి B అన్ని (ప్రమేయాలు నిర్వచించవచ్చు ?
సాధన:
A = {a1,a2,………….. am}
B = {b1,b2,………….. bm}
గా తీసుకొందాం. ముందుగా a1 ప్రతిబింబానికి B లో ఒక మూలకం ఎంచుకోవాలి. దీనిని మనం n విధాలుగా ఎంచుకోవాలి. ఈ విధంగా A లో ఉన్న m మూలకాలలో ప్రతి మూలకం యొక్క (పతిబింబాన్ని n విధాలుగా నిర్వబించ వచ్చు. ఒక ప్రమేయాన్ని నిర్వచించినపుడు ఒకటి కన్నా ఎక్కువ మూలకాలకు ఒకే (పతిబింబం ఉండవచ్చు. కనుక A లోని m మూలకాల ప్రతిబింబాలను
n × n × …………….. x n (m సార్లు) = nm
విధాలుగా నిర్వచించవచ్చు. కనుక A నుండి B కి గల ప్రమేయాల సంఖ్య nm

(b) n మూలకాలున్న ఒక సమితి A నుంచి 2 మాలకాలున్న సమితి B కు ఎన్ని సంగ్రస్త ప్రమేయాలు నిర్వచించ వచ్చు ?
సాధన:
A = {a1,a2,………….. an} గా తీసుకొందాం. పై సమస్య ప్రకారం A నుండి B కి గల [ప్రమేయాల సంఖ్య 2n ఒక ప్రమేయం సంగ్రస్తం కావాలంటే B లోని రెండు మాలకాల x, y లు ప్రమేయం వ్యాప్తిలో ఉండాలి.కనుక (ప్రమేయం సంగ్రస్తం కాకుండా ఉండాలంటే హ్యాప్తిలో x (లేదా y) మాత్రమే ఉండేలా A లోని అన్ని మూలకాల (ప్రతిబింబాలు x (లేదా y) అ ్లేటటట్లు నిర్వచించాలి. ఈ విధమైన ప్రమేయాలు రెండు మాత్రమే ఉంటాయి. కనుక A నుండి B కి నిర్వచించగల 2n (ప్రేయాల్లో 2 ప్రమేయాలు సంగ్రస్తం కావు. అంటే A సుంచి B కి గల సంగ్రస్త ప్రమేయాల సంఖ్య 2n– 2.

ప్రశ్న 17.
ప్రావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 1, 2, 3, 4, 5, 6 అంకెలలో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్లల సంఖ్యను కనుక్రోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 14 పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 4 స్థానాలను ఇచ్చిన 6 అంకెలతో నింపే విధానాలు
= 6 × 6 × 6 × 6=64=1,296

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 18.
పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 1,2,3,4,5,6 అంకెలతో ఏర్పరిచే 4 అంకెల సంఖ్యలలో ఎన్ని
(i) 2 (ii) 3 తో ఖాగించబడతాయి?
సాధన:
(i) 2 తో భాగించణడే సంఖ్లలు 4 ఖాళీస్థానాలు తీసుకొందాం. ఒక సంఖ్య 2 తో భాగించ బడాలంటే
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 15
ఒకట్ల స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. కనుక ముందుగా ఒకట్ల స్థానాన్ని ఒక సరిసంఖ్య (2 లేదా 4 లేదా 6) తో ‘3’ విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 3 స్థానాలలో ఒక్కో స్థానాన్ని ఇచ్చిన 6 అంకెలలో దేనితోనైనా 6 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 2 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య
= 3 × 63=3 × 216 = 648

(ii) 3తో భాగించణడే సంఖ్యలు
మొదటి 3 స్థానాలలో ఒక్కో స్థానాన్ని 6 విధాలుగా, అంటే మొత్తం 63 విధాలుగా నింపవచ్చు.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 16
ఈ విధంగా మొదటి. మూడు స్థానాలు నింపాక ఒకట్ల స్థానం నింపడానికి 6 వరుస పూర్ణాంకాలున్నాయి. వీటితో ఒకట్ల స్థానాన్ని నింపితే 6 వరుస ధన సంఖ్యలు వస్తాయి. ప్రతి 3 వరుస ధనపూర్ణాంకాల్లో ఖచ్చితంగా ఒక సంఖ్య 3తో భాగింపబడుతుందని మనకు తెలుసు. కనుక పైన చెప్పిన 6 వరుస ధన పూర్ణాంకాల్లో ఖచ్చితంగా 2 మాత్రమే 3 తో భాగించబడతాయి. అంటే ఒకట్ల స్ధానాన్ని 2 విధాలుగా మాత్రమే నింపవచ్చు కనుక 3 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య.
= 63 × 2 = 216 × 2 = 432

ప్రశ్న 19.
ఫునరావృతాన్ని అనుమతించినపుడు EXPLAIN పదం లోని అక్షరాలతో మొదట, చివర అచ్చులు ఉండేటట్లు 5 అక్షరాల పదాలు ఎన్ని ఏర్చరచవచ్చు ?
సాధన:
EXPLAIN పదములో 7 అక్షరాలున్నవి అందులో 3 అచ్చులు (A,E,I) లు ఉన్నాయి. కనుక AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 17 మొదటి, చివరి స్థానాలలోను అచ్చులతో ఒక్కోదాన్ని 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన మూడు స్థానాలలో ఒక్కోదాన్ని ఇచ్చిన పదంలోని 7 అక్షరాలలో ఏదో ఒక అక్షరంతో 7 విధాలుగా నింపవచ్చు.
కనుక మొదటి, చివిరి అచ్చులు ఉండే 5 అక్షరాల పదాల సంఖ్య.
=3 × 7 ×7 ×7 × 3
=9 × 343=3,087

ప్రశ్న 20.
SINGING పదంలోని అక్షరాలను
(i) Iతో మొదలయి, Iతో అంతమయ్యేలా
(ii) రెండు Gలుకలిసి ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
(iii) అచ్చులు, హల్లులు సాపేక్ష స్థానాలు మారకుండా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన.
SINGING పదంలో 2I లు, 2G లు, 2Nలు, ఒక S మొత్తం 7 అక్షాాలున్నవి.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

(i) ముందుగా మొదటి,చివరి స్థానాలను రెండు Iలతో
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 18
నింపితే ఇంకా 5 స్థానాలు, 5 అక్షరాలు ఉంటాయి. కనుక వీటిని అమర్చే విధానాలు \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) (రెండు N లు)
రెండు G లు ఉన్నాయి. కనుక I లు రెండూ ఒకే రకంగా ఉన్నందువల్ల వాటిలో వాటిని ఒక రకంగా మాత్రమే మార్చగలం.
కనుక కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{5 !}{2 ! ~ 2 !}\) = 30

(ii) రెండు ‘G’ లను.ఒక యూనిట్ గా భావిస్తే, విగిలిన 5 అక్షరాలు + 1 యూనిట్= 6 వీటిలో 2I లు, 2N లు ఉన్నాయి. కనుక
ఈ 6 అక్షరాలను అమర్చే విధానాలు \(\frac{6 !}{2 ! 2 !}=\frac{720}{2 \times 2}=180\)
ఇప్పుడు ఒక యూనిట్ లో ఉన్న G లను వాటిలో
కనుక రెండు G లు కలసి ఉండే పదాల సంఖ్ల = 180

(iii) SINGING పదంలో రెండు అచ్చులు (1,1). 5 హల్లులు (రెండు nలు, రెండు Gలు ఒక S) ఉన్నాయి. రెండు అచ్చులను వాటిలో వాటిని అమర్జే విధానాలు \(=\frac{2 !}{2 !}\) 1.5 హల్లులను వాటిలో వాటిని అమర్చే విధానాలు \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) = 30
C V C C V C C (ఇక్కడ V ఒక అచ్చుని, C ఒక హల్లుని
∴ కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య = 130 x 30=30

ప్రశ్న 21.
a4, b3, c5 పదంలోని అక్షరాలను విస్తరించి రాసి వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే (ప్రస్తారాల సంఖ్లను కనుక్రోండి.
సాధన:
a4, b3, c5 విస్తరించి రాస్తే
aaaa bbb ccccc
దీనిలో 12 అక్షరాలున్నాయి. వాటిలో 4 ‘a’ లు, 3 ‘b’ లు, 5 ‘c’ లు. కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే (ప్రస్తారాల సంఖ్య
\(\frac{12 !}{4 ! 3 ! 5 !}\)

ప్రశ్న 22.
1,1,2,2,3 అనే అంకెలతో ఏర్పర్గగ 5 అంకెల సంఖ్లెన్ని ? వీటిలో సరిసంఖ్యలన్ని ?
సాధన:
1, 1, 2, 2, 3 అనే 5 అంకెలలో రెండు ‘1’ లు, రెండు ‘2’ లు ఉన్నాయి. కనుక వీటి నుంచి ఏర్పరచగల 5 అంకెల
సంఖ్య = \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) = 30
ఇప్పుడు సరి సంఖ్యలు కనుక్కోవడానికి ఒకట్ల స్థానాన్ని 2 తో నింపుదాం.
మిగిలిన 4 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో (1,1,2,3) నింపే విధానాలు \(\frac{4 !}{2 !}=12\)
కనుక దత్త అంకెలతో ఏర్పరచగల 5 అంకెల సరి సంఖ్యల సంఖ్య =12

ప్రశ్న 23.
మూడు వేర్వేరు పుస్తకాలకు ఒక్రోదానికి నాలుగు ప్రతులున్నాయి. ఈ 12 పస్తకాలను ఒక అరలో ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
దత్తాంశం (ప్రకారం, ఇచ్చిన 12 పుస్తకాలలో 4 పుస్తకాలు ఒక రకంగా, 4 పుస్తకాలు రెండో రకంగా, 4 పుస్తకాలు మూడో రకంగా ఉన్నాయి. కనుక సిద్ధాంతం 5.5 .2 (ప్రకారం ఈ 12 పుస్తకాలను ఒక అరలో అమర్చే విధానాలు.
\(\frac{12 !}{4 ! 4 ! 4 !}\)

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 24.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తపదం EAMCET లోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రడుం ACEEMT నిఘంటువులో ముందుగా A తో మొదలజ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. కనుక మొదటిి స్థానాన్ని A తో నింపితే మిగిలిన 5 అక్షరాలను \(\frac{5 !}{2 !}\) విధాలుగా (2E’ లు ఉన్నవి కనుక) అమర్చవచ్చు. ఈ విధంగా చేసుకొంటూ EAMCET పదం వచ్చే వరకూ కింది విధంగా గణిస్తాం.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 19

ప్రశ్న 25.
ఎనిమిదిమంది పురుషును, నలుగురు స్త్రీలను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ? వీటిలో ఎన్ని (ప్తస్తారాలలో
(i) స్త్రీలంతా ఒకేచోట ఉంటారు.
(ii) ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన రాకుండా ఉంటారు.
సాధన:
మొత్తం వ్యక్తుల సంఖ్య = 12 (ఎనిమిదిమంది పురుషులు + నలుగురు స్త్రీలు
కనుక వీరిని వృత్లాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలా = (11)!

(i) నలుగురు స్త్రీలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, ఎనిమిది మంది పురుషులు ఎనిమిది యూనిట్లు అనుకుంటే ఈ తామ్మిది యూనిట్లను వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు= 8!
ఇప్పుడు నలుగురు స్త్రీలను వారిలో వారిని 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
∴ స్త్రీలంతా ఒకచోట ఉండేలా అమర్చగల విధానాల సoఖ్య = 8! × 4!

(ii) ముందుగా ఎనిమిది మంది పురుషులను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు =(8-1)! = 7! వీరిలో ప్రతి ఇద్దరు పురుషుల మధ్య
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 20
ఒక్కో ఖాళీ చొప్పున మొత్తం 8 ఖాళీలు ఉంటాయి. (ఈ ఖాళీలను పైన పటంలో x అనే గుర్తుతో సూచించాం) ఇప్పుడు ఈ 8 ఖాళీలలో నలుగురు స్త్రీలను అమర్చే విధానాలు= 8P4 కనుక ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన లేని వృత్తాకార ప్రస్తారాల సoఖ్య 7! × 8P4.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 26.
అయిదురుగురు భారతీయులను, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను ఒక వృత్తాకార ఐల్ల చుట్టా
(i) భారతీయులంతా ఒకే చోట కలిసి ఉండేలా
(ii) ఏ ఇద్దరు రష్యా దేశస్థులు పక్క పక్కన లేకుండా
(iii) ఒక దేతానికి చెందిన వారందరూ ఒకేచోట ఉండేలా ఎన్నిరకాలుగా అమర్చవచ్చు) ?
సాధన:
(i) అయిదుగురు భారీీయలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులు, ముగ్గరు రష్యా దేశస్థులు. 1 యూనిట్ భారతీయులు అంటే 8 మంది వ్యక్తులుంటారు. వీరిని ఒక వృత్తారార బల్లచుట్టూ అమర్చే విధానాలు
= (8-1)! = 7 !
ఇప్పుడు అయిదుగురు భారతీయులను వారిలో వారిని 5! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక కావలసిన వృత్తాకార [ప్రస్తారాల సంఖ్య =7! × 5 !

(ii) ముందుగా ముగ్గరు రష్యా దేశస్థులను ఒక పక్కుగా ఉంచి, మిగిలిన 9 మంది వ్యక్తులను (అయిదుగురు భారతీయులు + నలుగురు అమెరికా దేశస్థులు) ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు =(9-1)!=8 ! ఇప్పుడు, ఈ 9 మంది వ్యక్తుల మధ్యలో ఖాళీలు 9 ఉంటాయి.
ఈ 9 ఖాళీలలో ముగ్నురు రష్లా దేశస్థులను అమర్చే విధానాలు 9P3
కనుక కావలసిన వృత్తాకార (ప్రస్తారాల సంఖ్య 8! × 9P3

(iii) అయిదుగురు భారతీయులను ఒక యూనిట్, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను రెండ్ర యూనిట్గానూ ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను మూడో యూనిట్గాను భావిస్తే 3 యూనిట్లు అవుతాయి. ఈ మూడు యూనిట్లతో వచ్చే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్ =(3-1) !=2 !
ఇప్పుడు అయిదుగురు భారతీయులను వారిలో వారిని అమర్చే విధానాలు 5!. ఇదే విధంగా నలుగురు అమెరికా దేశస్కులను 4! విధాలుగానూ, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను 3! విధాలుగానూ అమర్చవచ్చు, కనుక కావలసిన విధానాలు
=2! × 5! × 4! × 3!

ప్రశ్న 27.
విభిన్నమైన రంగుల హూసలతో ఏర్పరచగల పూసల గొలుసుల సంఖ్యను కనుక్రోండి.
సాధన:
n అసరూప వస్తువులతో ఏర్పరచగల వేలాడే రకం వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}(n-1)\) ! అని మనకు తెలుసు.
కనుక ఇచ్చిన 7 పూసలతో ఏర్పరచగల దండల సంఖ్య
\(\frac{1}{2}(n-7) !=\frac{1}{2}(6 !)=360\)

ప్రశ్న 28.
7 విభిన్నమైన ఎర్ర గులాబీలు, 4 విభిన్నమైన పసుపు రంగు గులాబీలతో 3 రెండు పసుపు రంగు గులాబీలు పక్క పక్కన రాకుండా ఎన్ని రకాలుగా దండలు తయారు చేయవచ్చు?
సాధన:
ముందుగా 7 విభిన్నమైన ఎర్రగులాబీలతో ఏర్పరచగల వృత్తాకార (ప్తస్తారాల సంఖ్య =(7-1)!=6!
ఈ 7 ఎర్రగులాబీల మధ్యలో ఉన్న 7 ఖాళీలలో 4 పసుఫు రంగుగులాబీలను 7P4 విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక మొత్తం వృత్తాకార (ప్రస్తారాల సంఖ్య = 6 ! × 7P4
కాని పువ్వుల దండలు వేలాడే వృత్తాకార ప్రస్తారాల కోవలోకి వస్తాయి. కనుక కావలసిన (ప్రస్తారాల సంఖ్య
\(=\frac{1}{2}\left(6 ! \times{ }^7 P_4\right)\)

ప్రశ్న 29.
ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ 14మంది వ్యక్తులు కూర్చొని ఉన్నారు. వారిలో ఇద్దరు వ్యక్తలను (ప్కక్క పక్కన లేకుండా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన. మనకు ఇచ్చిన 14 మంది వ్యక్తులు వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ a1  a2 …………………… a14 క్రమంలో పటంలోలాగా కూర్చొని ఉన్నారనుకొందాం.
ఈ 14 మంది వ్యక్తుల నుంచి ఇద్దరిని ఎంచుకొనే విధానాలు = 14C2 =91.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 21
ఈ విధానాలలో ఎంచుకొన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు పక్క పక్కనే ఉండే విధానాలు a1, a2, a2, a3, ……………….. a13,a14, a14, a15 అంటే 14 విధానాలు కనుక ఎంచుకొన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు పక్కపక్కన లేని విధానాలు =91-14 = 77

ప్రశ్న 30.
ఎనిమిది మంది బాలురు, అయిదుగురు బాలికల నుంచి నలుగురు బాలురు, ముగ్నురు బాలికలు ఉండేలా ఎన్ని కమిటీలా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
ఇచ్చిన ఎనిమిది మంది బాలుర నుంచి నలుగురు బాలురను ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య = 8C4
ఇంకా అయిదుగురు బాలికల నుంచి ముగ్గురు బాలికలను ఎంచుకొనే విధానాలు = 5C3
కనుక, ప్రాఠామిక సూత్రం ప్రకారం నలుగురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలను ఎంచుకొనే విధానాలు.
= 8C4 × 5C3 = 70 × 10 = 700

ప్రశ్న 31.
విభిన్నమైన 7 ఇంగ్లీష, 6 తెలుగు, 5 హిందీ పుస్తకాల నుంచి 4 ఇంగ్లీష, 3 తెలుగు, 2 హిందీ పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు ఎన్ని?
సాధన:
ముందుగా 7 ఇంగ్లీషు పుస్తకాల నుంచి 4 పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = 7C4
6 తెలుగు పుస్తకాల నుంచి 3 తెలుగు పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = 6C3
5 హిందీ పుస్తకాల నుంచి 2 హిందీ పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = 5C2
కనుక, కావలసిన విధానాలు
= 7C4 x 6C3 x 5C2

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 32.
ఆరుగురు బాలురు, నలుగురు బాలికలనుంచి కనీసం ఒక బాలిక ఉండేలా నలుగురు సభ్యలున్న కమిటీలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్బు ?
సాధన:
ఏ నిబంధనా లేకుండా మొత్తం 10 మంది వ్యక్తుల (ఆరుగురు బాలురు + నలుగురు బాలికలు) నుంచి నలుగురు సభ్యులున్న కమిటీని ఎంచుకొనే విధాలు 10C4 వీటిలో అసలు బాలికలు లేకుండా బాలురు మాత్రమే ఉండేటట్లు కమిటీ ఎంచుకొనే విధాలు 6C4 కనుక కనీసం ఒక బాలికైనా ఉండే కమిటీల సంఖ్య
= 10C4  – 6C4= 210 – 15 = 195.

ప్రశ్న 33.
ఏడుగురు బాట్స్మెన్, అరుగురు బౌలర్లు, ఇద్దరు వికెట్ కీపర్లు నుంచి కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఒక వికెట్ కీపరు ఉండేలా 11 మంది ఆటగాళ్ళతో క్రికట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఉండాలంటే టీమును కింద చూపిన విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 22
కనుక కోరిన విధంగా క్రికెట్ టిముని ఎంచుకొనె విధానాలు =315+210+35=560.

ప్రశ్న 34.
‘m’ సమాంతర రేఖలా మరాక ‘n’ సమాంతరరేఖలను (మొదటి రేఖలకు సమాంతరంగా లేని) ఖండిస్తే ఎన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలేర్పడతాయి ?
సాధన:
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడాలంటే మొదటి m సరళరీఖల నుంచి 2 సరళరేఖలు ఎంచుకోవాలి. ఈ విధానాలు mC2 రెండో సమితిలోని n సరళ రేఖల నుంచి 2 సరళరేఖలు ఎంచుకోవాలి. ఈ విధానాల సంఖ్య nC2 కనుక, దత్త సరళరేఖలు ఖండించుకోవడం వల్ల ఏర్పడే సమాంతర చతుర్భుజాల సంఖ్య = mC2 x nC2

ప్రశ్న 35.
ఒక తలంలో m బిందువులున్నాయి. వాటిలో p బిందువులు సరేఖీయాలు,మిగిలిన బిందువులలో 3 మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాకపోతే, ఈ బిందువులను రేఖాఖండాల ద్వారా కలిపితే వచ్చే విఖిన్న
(i) రేఖా ఖండాలెన్ని?
(ii) త్రిభజాలెన్ని ?
సాధన.
(i) ఇచ్చిన m బిందువుల నుంచి రెండు బిందువులను ఎంచుకొని కలిపితే ఒక రేఖాఖండం వస్తుంది. కనుక mC2 రేఖాఖండాలు రావాలి. కాని m బిందువులలో p బిందువులు సరేఖీలయాలు కనుక ఈ బిందువులను వాటిలో వాటిని రెండు బిందువుల చాప్పున కలిపితే pC2 రేఖాఖండాలు రావడానికి బదులుగా 1 రేఖాఖండం మాత్రమే వస్తుంది. కనుక దత్త m బిందువులను కలపడం ద్వారా వచ్చే విభిన్న రేఖాఖండాల సంఖ్య = mC2 – pC2 +1

(ii) ఇచ్చిన m బిందువులను 3 బిందువుల చొప్పున కలిపితే తిిభుజాలు ఏర్పడతాయి. కనుక mC3 తిిభుజాలు రావాలి.కాని ఈ m బిందువులలో P బిందువులు సరేఖీయాలు కనుక ఈ p బిందువుల నుంచి 3 బిందువుల చాప్పున ఎంచుకొని కలిపితే pC3 (తిభుజాలు దావడానికి బదులుగా ఒక రేఖాఖండం వస్తుంది. (అంటే ఒక్క (యిభుజం కూడా రాదు.) కనుక ఇచ్చిన m బిందువులను కలపడం ద్వారా ఏర్పడే తి่భుజాల సంఖ్య = mC3 – pC3 

ప్రశ్న 36.
ఒక ఉపాధ్యాయుడు పదిమంది విద్యార్థులను పార్కుకు తీసుకువెళ్ళాలి. ఒక్కొక్కసారి ముగ్నురు విద్యార్థుల చొప్పున తీసుకు వెళ్ళగలరు. కాని ఏ ముగ్గురు విద్యార్థుల బృందాన్నైనా ఒక్కసారి మాత్రమే తీసుకాని వెళ్ళాలి ?
(i) ప్రతీ విద్యార్థికి ఎన్ని సార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉoది?
(ii) ఉపాధ్యాయుడు ఎన్నిసార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉoది ?
సాధన:
(i) పదిమంది విద్యార్థులలో x ఒకరు అనుకొందాం. పార్కుకు x వెళ్ళే (పతిసారి ఇంకా ఇరువురు విద్యార్థులను మిగిలిన తొమ్మిది మంది విద్యార్థుల నుంచి ఎంచుకోవాలి. ఈ పనిని 9C2 విధాలుగా చేయవచ్చు.అంటే
x పార్కుకు 9C2 = 36 సార్లు వెళతాడు.

(ii) పదిమంది విద్యార్థుల నుంచి ముగ్గురు విద్యార్థును ఎంపిక చేసిన ప్రతిసారి ఉపాధ్లాయుడు పార్కుకు వెళ్తాడు. కనుక ఉపాధ్యాయుడు 10C3 =120 సార్లు పార్కుకు వెళతాడు.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 37.
ఒక రెండంతస్తుల బస్సుకు కింది అంతస్తులో 8 సీట్లు, పై అంతస్తులో 10 సీట్లు ఉన్నాయి. ఈ బస్సులో (ప్రయాణించవలసిన 18 ప్రయాకులల్లో ముగ్గురు పిల్లలు పై అంతస్తులో మాత్రమే వెళ్ళాలి. ఇంకా నలుగురు వృద్దులు పైఅంతస్తుకు వెళ్ళలేరు అని ఇస్తే వారిని ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
ముగ్గురు పల్లలు పై అంతస్థులోనూ, నలుగురు వృద్ధులు కింది అంతస్తులోనూ ప్రయాణిస్తారనుకాంటే మిగిలిన ప్రయాణీకులు 11 మంది ప్రయాణీకులలో 7 కింది అంతస్తులో, 7 మంది పై అంతస్తులో ప్రయాణించాలి. కనుక 11 మంది 7 ఎంచుకొనే విదానాలు
11C7 కింది అంతస్తులోని 8 సీట్లలో 8! విధాలు గానూ, పై అంతస్థులోని 10 సీట్లలో (10)! విధాలుగానూ అమర్చవచ్చు. కనుక
మొత్తం విధానాల సంఖ్య = 11C7 × 10! × 8!

ప్రశ్న 38.
(i) \({ }^{10} C_3+{ }^{10} C_6={ }^{11} C_4\)
(ii) \({ }^{25} C_4+\sum_{r=0}^4{ }^{(29-r)} C_3={ }^{30} C_4\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 23

ప్రశ్న 39.
(i) \({ }^{12} \mathrm{C}_{s+1}={ }^{12} \mathrm{C}_{2 \mathrm{~s}-5^{\prime}}\) అయితే s కనుక్కోండి.
(ii)\({ }^n C_{21}={ }^n C_{27} \text {, అయితే }{ }^{50} C_n\) విలువ కనుక్కోండి
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు 24

ప్రశ్న 40.
ఒకే రకమైన 5 కలాలు, ఒకేరకమైన 6 పెన్సిళ్ళు, ఒకే రకమైన 7 రబ్బర్లు ఉన్నాయి. వాటి నుంచి ఎన్ని వస్తువులనైనా (కనీసం ఒకటి) ఎంచుకొనే విధానాలు సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య
= (5+1) (6+1) (7+1) -1 = 335

ప్రశ్న 41.
1080 సంఖ్యకు (1 సంఖ్యతో సహా) ధన భాజకాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన.
1080=23 × 33 × 51 (ప్రధాన అంకెల లబ్దం)
= (3+1) (3+1) (1+1)
= 4 × 4 × 2 = 32

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

by

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 5th Lesson స్టాయికియోమెట్రీ Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 5th Lesson స్టాయికియోమెట్రీ

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
540 gm ల గ్లూకోజ్లో ఎన్ని మోల్ల గ్లూకోజ్ ఉంది? [Mar. ’14]
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 1

ప్రశ్న 2.
0.1 మోల్ సోడియమ్ కార్బొనేట్ భారాన్ని లెక్కగట్టండి.
జవాబు:
a) Na2CO3 అణుభారం = 106
1 మోల్ Na2CO3 భారం = 106 గ్రాములు.
∴ 0.1 మోల్ Na2CO3 అణుభారం = 0.1 × 106 = 10.6 గ్రాములు.

ప్రశ్న 3.
5.23 g ల గ్లూకోజ్లో ఎన్ని అణువులుంటాయి? (గ్లూకోజ్ అణుభారం 180 u).
జవాబు:
అణువుల సంఖ్య = మోల్ల సంఖ్య × అవగాడ్రో సంఖ్య
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 2
మోల్ల సంఖ్య = 0.02906 × 6.023 × 1023 = 1.75 × 1022 అణువులు

ప్రశ్న 4.
STP వద్ద 1.12 × 10-7 c.c. ల వాయువులో ఉండే అణువుల సంఖ్యను లెక్కకట్టండి.
(c.c. cubic centimeters = cm³).
జవాబు:
STP వద్ద ఒక మోల్ వాయువు 22400 cc ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది.
ఒక మోల్ వాయువు 6.023 × 1023 అణువులు కలిగి ఉంటాయి.
STP వద్ద 1.12 × 10-7 cc ఘనపరిమాణం గల వాయువు – ?
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 3

ప్రశ్న 5.
ఒక సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములా CH2O. దాని అణుభారం 90. ఆ సమ్మేళనం అణు ఫార్ములాను కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
జవాబు:
అణుభారం = 90
అనుభావిక ఫార్ములా = CH2O
అనుభావిక భారం = 30
అణుఫార్ములా = n (అనుభావిక ఫార్ములా
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 4
అణుఫార్ములా = 3 (CH2O) = C3H6O3

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 6.
కింది సమీకరణాన్ని ఆక్సిడేషన్ సంఖ్య పద్ధతిలో తుల్యం చేయండి.
Cr(ఘ) + Pb(NO3)2 (జల) → Cr (NO3) (జల) + Pb(ఘ)
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 5
తుల్యం చేయబడిన సమీకరణం 2Cr + 3Pb(NO3)2 → 2Cr(NO3)3 + 3Pb

ప్రశ్న 7.
0.795 g ల CuO ని Cu, H2O లుగా క్షయకరణం చేయడానికి STP వద్ద ఎంత ఘనపరిమాణం H2 అవసరమవుతుంది?
జవాబు:
ఇవ్వబడిన సమీకరణం
CuO + H2 → Cu + H2O

79.5గ్రా. → 1 మోల్ H2 వాయువు (క్షయకరణం చెందించుటకు) అవసరం
→ 22.4 లీ. ఘనపరిమాణం STP వద్ద
79.5 గ్రా CuO → 22.4 లీ. H2 వాయువు
0.795 గ్రా – ?
\(\frac{0.795\times22.4}{79.55}\)= 0.224లీ

ప్రశ్న 8.
100 mL ల ఎసిటిలీన్ని పూర్తిగా దహనం చేయడానికి కావలసిన ౦2 ఘనపరిమాణాన్ని STP వద్ద లెక్కకట్టండి.
జవాబు:
ఎసిటలీన్ దహన ప్రక్రియ సమీకరణం
2C2H2 + 5O2 → 4CO2 + 2H2O
2 మోల్ల C2H2 వాయువు దహనం చేయుటకు 5 మోల్ల O2 అవసరం
2 × 22400 మి.లీ. C2H2 – 5 × 22400 ml ల O2 (STP వద్ద)
100 మి.లీ. C2H2 – ?
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 6

ప్రశ్న 9.
ప్రస్తుత కాలంలో ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత తగ్గుదలను ఆక్సీకరణం అనీ, ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత పెరగడాన్ని క్షయకరణం అనీ అంటారు. దీన్ని మీరు సమర్థించండి.
జవాబు:
ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతలో తగ్గుదలంటే ఎలక్ట్రాన్లను కోల్పోవడం. దీనినే ఆక్సీకరణం అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 7

ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతలో పెరుగుదలంటే ఎలక్ట్రాన్లను స్వీకరించడం. దీనినే క్షయకరణం అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 8

ప్రశ్న 10.
ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ భావన అంటే ఏమిటి? ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
రిడాక్స్ భావన :
ఎలక్ట్రాన్లను కోల్పోయే ప్రక్రియను ఆక్సీకరణ చర్య అని, ఎలక్ట్రాన్లను గ్రహించే ప్రక్రియను క్షయకరణ చర్య అని అంటారు. ఈ రెండింటి మొత్తం చర్యను “ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ” లేదా కుదింపుగా ‘రిడాక్స్ చర్య’ అని పిలుస్తారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 9

ప్రశ్న 11.
సోడియమ్ సల్ఫేట్ (Na2SO4) లోని వివిధ మూలకాల ద్రవ్యరాశి శాతాలను గణించండి.
జవాబు:
ఇవ్వబడిన సమ్మేళనం Na2SO4
అణుభారం = 2(23) + 1(32) + 4(16)
= 142

Step – 1 :
Na ద్రవ్యరాశి శాతం
142 గ్రా. Na2SO4 → 46గ్రా. Na
100గ్రా. Na2SO4 →
\(\frac{100\times46}{142}\) = 32.39%

Step – III :
‘S’ ద్రవ్యరాశి శాతం
142 గ్రా. Na2SO4 → 32 గ్రా. ‘S’
100 గ్రా. Na2SO4 → ?
\(\frac{100\times32}{142}\) = 22.53%

Step – III :
‘0’ ద్రవ్యరాశి శాతం
142 గ్రా. Na2SO4 → 64 గ్రా. ఆక్సిజన్
100 గ్రా. Na2SO4 → ?
\(\frac{100\times64}{142}\) = 45.07%
Na, S, O ల ద్రవ్యరాశి శాతాలు 32.39, 22.53, 45.07.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 12.
సార్థక అంకెలు అంటే మీరు ఏమి చెబుతారు?
జవాబు:
ప్రాయోగికంగా (లేదా) సిద్ధాంతరీత్యా రాబట్టిన విలువలలో అనిశ్చితత్వం ఉంటుంది. దానిని సార్థక అంకెలలో సూచిస్తారు. కచ్చితంగా తెలిసిన అర్థవంతమైన అంకెలను సార్థక అంకెలు అంటారు.

ప్రశ్న 13.
కాంతి వేగం 3.0 × 108 ms-1 అయితే 2 నానో సెకన్లలో అది ప్రయాణించే దూరాన్ని లెక్క కట్టండి.
జవాబు:
కాంతి వేగం = 3 × 108 మీ / సెకన్
1 సెకన్ → 3 × 108 మీ.
రెండో నానో సెకన్స్లో → ?
2 × 10-9 సెకన్ → ?
\(\frac{2 \times 10^{-9} \times 3 \times 10^8}{1}\) = 6 × 10-1 = 0.6 మీ.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సోడియమ్ కార్బొనేట్ తయారీ నెలకు సుమారు 424 × 108 g, మిథైల్ ఆల్కహాల్ 320 × 106 g. అయితే ఏది ఎక్కువ మోల్లు తయారవుతుంది?
జవాబు:
ఒక నెలకు Na2SO3 తయారీ = 424 × 106 గ్రా.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 10
CH3OH ఎక్కువ మోల్లు తయారు అగును.

ప్రశ్న 2.
1.5 atm పీడనం, 127 °C వద్ద 0.112 L O2 పూర్తిగా చర్య జరిపి CO2 ఏర్పడటానికి STP వద్ద CO ఘనపరిమాణం కనీసం ఎంత కావాలి?
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 11

ప్రశ్న 3.
కర్బన సమ్మేళనంలోని మూలకాల రసాయన విశ్లేషణ చేశారు. భారాత్మకంగా వాటి సంఘటన శాతాలు కింది విధంగా ఉన్నాయి. కార్బన్ = 10.06%, హైడ్రోజన్ = 0.84%, క్లోరిన్ = 89.10%. సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 12
ఇవ్వబడిన సమ్మేళన అనుభావిక ఫార్ములా C1H1Cl3 = CHCl3

ప్రశ్న 4.
ఒక కర్బన సమ్మేళనాన్ని విశ్లేషించగా కింది సంఘటన శాతాలను ఇచ్చింది. కార్బన్ = 14.5%, హైడ్రోజన్ = 1.8%, క్లోరిన్ = 64.46%, ఆక్సిజన్ = 19.24%. సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 13
సమ్మేళన ఫార్ములా = C1H1.5 Cl1.5 O1
సమ్మేళన అనుభావిక ఫార్ములా = C2 H3 Cl3 O2

ప్రశ్న 5.
కింది సంఘటన శాతం ఉన్న సమ్మేళనపు అనుభావిక ఫార్ములాను కనుక్కోండి. పొటాషియమ్ (K) = 26.57, క్రోమియమ్ (Cr) = 35.36; ఆక్సిజన్ (0) = 38.07. (K, Cr, O ల పరమాణు భారాలు వరుసగా 39, 52, 16 ఉంటాయి).
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 14
సమ్మేళన ఫార్ములా = K1 Cr1 O3.5
సమ్మేళన అనుభావిక ఫార్ములా = K2 Cr2 O7

ప్రశ్న 6.
ఒక కర్బన సమ్మేళనంలో 12.8% కార్బన్, 2.1% హైడ్రోజన్, 85.1% బ్రోమిన్ ఉంటాయి. దాని అణుభారం 187.9. దాని అణుఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 15
సమ్మేళన అనుభావిక ఫార్ములా = C1 H2 Br
అణుఫార్ములా = n (అనుభావిక ఫార్ములా)
అనుభావిక భారం = 94 (CH2 Br)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 16

ప్రశ్న 7.
ఒక కార్బనిక సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములా CH2 Br. 0.188 g ల సమ్మేళనం 14 °C ఉష్ణోగ్రత వద్ద, 752 mm ల పీడనం వద్ద 24.2 c.c. ల గాలిని స్థానభ్రంశం చేసింది. అయితే సమ్మేళనం అణుఫార్ములాను కనుక్కోండి. (జలబాష్పపీడనం 14°C వద్ద 12mm).
జవాబు:
అనుభావిక ఫార్ములా = CH2Br
సమ్మేళన భారం = 0.188గ్రా.
వాయు ఘనపరిమాణం = 24.2 CC
ఉష్ణోగ్రత = 14°C = 287 K
పీడనం = 752 మి.మీ.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 17
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 18

0.188గ్రా. ల కర్బన సమ్మేళనం 22.414 CC గాలి (వాయువు)ని స్థానభ్రంశం చెందించినది
– ? కర్బన సమ్మేళనం 22400 CC గాలి (వాయువు)ని స్థానభ్రంశం చెందిస్తుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 19

ప్రశ్న 8.
420 kg ల HCZ ని తయారు చేయడానికి 90% H2SO4 ఎంత అవసరమవుతుంది?
2 NaCl + H2SO4 → Na2SO4 + 2HCl
జవాబు:
ఇవ్వబడిన సమీకరణం
2 NaCl + H2SO4 → Na2SO4 + 2HCl
1 మోల్ H2SO4 → 2 మోల్స్ HCl
98 గ్రా. H2SO4 → 2 × 36.5 = 73 గ్రా. HCl
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 20
420 × 10³ గ్రా. HCI తయారీకి 626.5 × 103 గ్రా. 90% H,SO అవసరము.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 9.
ఒక అంతరిక్ష ప్రయాణికుడికి 34g ల సుక్రోజ్ను దహనం చేయటం వల్ల వచ్చే శక్తి తన శరీరానికి ఒక గంటకు అవసరం అవుతుంది. ఒక రోజుకు తనకు కావలసిన శక్తి కోసం అతడు ఎంత ఆక్సిజన్ను తనతో తీసుకుపోవాలి?
జవాబు:
ఒక గంటకు అంతరిక్ష ప్రయాణికుడికి అవసరమగు సుక్రోజ్ = 34 గ్రా
ఒక రోజుకు అవసరమగు సుక్రోజ్ = 34 × 24 గ్రా
సుక్రోజ్ దహన ప్రక్రియ సమీకరణం
C12 H22 O11 + 12O2 → 12CO2 + 11 H2O + శక్తి
1 మోల్ సుక్రోజ్ → 12 మోల్స్ O2
342 గ్రా. సుక్రోజ్ → 12 × 32 గ్రా. O2
34 × 24 గ్రా. సుక్రోజ్ → ?
\(\frac{34\times34}{342}\) × 12 × 32 = 916.21గ్రా.
∴ అంతరిక్ష ప్రయాణికునికి ఒక రోజుకి 916.21 గ్రా. ఆక్సిజన్ అవసరం.

ప్రశ్న 10.
4g ల CaCO3 వేడిచేస్తే STP వద్ద వెలువడే CO, ఘనపరిమాణం ఎంత?
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 21
100 గ్రా. CaCO3 నుండి వెలువడిన CO2 STP వద్ద 22.4 లీ. ఘ.ప. ఆక్రమిస్తుంది.
∴ 4 గ్రా. CaCO3 – ?
\(\frac{4\times22.4}{100}\) = 0.894 లీ. STP వద్ద.

ప్రశ్న 11.
50 g ల గంధక నమూనా (s) గాలిలో మండిస్తే 4% నమూనా మిగిలిపోయింది. STP వద్ద 21% ఆక్సిజన్ ఘనపరిమాణం గల గాలి ఘనపరిమాణాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
50 గ్రా. గంధక నమూనా (s) మండిస్తే 4% నమూనా మిగిలినది.
50 గ్రా. s → 48 గ్రా. సల్ఫర్ మండినది.
s + O2 → SO2
32 గ్రా. S – 22.4 లీ. O2 (STP వద్ద)
48 గ్రా. s – ?
\(\frac{48\times22.4}{32}\) = 33.6.
100 లీ. గాలిలో 21 మి.లీ. ఆక్సిజన్ కలదు
33.6 లీ. ల ఆక్సిజన్ – ఘ.ప. గాలిలో కలదు
\(\frac{33.6\times100}{21}\) = 160 లీ.
దహన ప్రక్రియకు అవసరమగు గాలి = 160 లీ.

ప్రశ్న 12.
20°C, 770 mm Hg పీడనం వద్ద 10 cc మిథేన్ న్ను పూర్తిగా దహనం చేయడానికి STP పరిస్థితిలలో కావలసిన ఆక్సిజన్ ఘనపరిమాణాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
10 cc CH4, 20°C, 770 మి.లీ. పీడనం వద్ద దహనం జరిగినది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 22
STP వద్ద CH4 ఘనపరిమాణం = 9.44 cc.
CH4 + 2O2 → CO2 + H2O
1 మోల్ CH4 → 2 మోల్స్ ఆక్సిజన్
22,400 cc CH4 → 2 × 22400 cc ఆక్సిజన్
9.44 cc CH4 → ?
\(\frac{9.44}{22400}\) × 2 × 22400 = 18.88 cc
STP వద్ద ఆక్సిజన్ వాయు ఘనపరిమాణం = 18.88 cc.

ప్రశ్న 13.
27°C, 760mm Hg పీడనం వద్ద 0.6g మెగ్నీషియంపై అధిక సజల HCl సమక్షంలో వెలువడే H2 ఘనపరిమాణం గణించండి.
జవాబు:
Mg + 2HCl → MgCl2 + H2
24 గ్రా. ల Mg – 1→ 1 మోల్ H2 (STP వద్ద)
= 22.4 లీ. (STP వద్ద)
0.6 గ్రా. Mg → ?
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 23
27°C, 760 మి.మీ. పీడనం వద్ద H2 ఘనపరిమాణం 615.4 మి.లీ.

ప్రశ్న 14.
అంశమాపక పద్ధతిలో గాల్వనో ఘటంలో రెడాక్స్ చర్యల పాత్రను వివరించండి.
జవాబు:
ఎ) అంశమాపక పరిమాణాత్మక విశ్లేషణలో రిడాక్స్ చర్యలు :
అంశమాపక విశ్లేషణలో గాఢత తెలిసిన పదార్థ ద్రావణాన్ని సాధారణంగా టైట్రంట్ అనీ, అంశమాపనం చేయవలసిన పదార్ధ ద్రావణాన్ని టైట్రంట్ అనీ అందురు. ప్రమాణద్రావణాన్ని చర్య పూర్తయ్యే వరకు కలపడాన్ని అంశమాపనం అంటారు. ఏ కనీస స్థానం వద్దనైతే టైట్రంట్ అప్పుడే పూర్తిగా చర్య జరిపి ఉంటుందో ఆ స్థానాన్ని తుల్యత స్థానం లేదా సిద్ధాంత స్థానం లేదా అంతిమ స్థానం అంటారు. రిడాక్స్ చర్యలలో అంశమాపనం పూర్తయిన విధానం ఒక అనువైన పద్ధతిలో గుర్తిస్తారు. అలాంటి కొన్ని పద్ధతులు.

i) ఒక భౌతిక ధర్మాన్ని పరిశీలించండి.
ఉదా : KMnO4 ద్రావణపు లేతగులాబి రంగును పరిశీలించడం.

ii) ‘సూచిక’ అనే కారకం ఉపయోగించి, అది తెచ్చే “చూసి గుర్తించగల మార్పు”ను గమనించవచ్చు. రంగులో మార్పు కన్పించే స్థానాన్ని అంతిమ స్థానం అంటారు.
1. Cr2O-27 అంశమాపక చర్యల్లో డైఫినైల్ ఎమైన్ను సూచికగా వాడతారు. ఇది అంతిమ స్థానం వద్ద Cr2O-27 చేత ఆక్సీకరణం చెందించబడి ముదురు నీలిరంగునిస్తుంది.
K2Cr2O7 + 7H2SO4 + 6FeSO4 → K2SO4 + Cr2(SO4)3 + 3Fe2(SO4)3 + 7H2O

2. Cu2+, I– అంశమాపక చర్యల్లో ఏర్పడిన అయోడిన్ స్టార్చ్ ద్రావణంలో ముదురు నీలిరంగునిస్తుంది.
2Cu2+ (జ.ద్రా) + 4I– (జ. ద్రా) → Cu2I2 (ఘ) + I2 (జ. ద్రా)
ఇది ఒక రిడాక్స్ చర్య.

3. I2, S2O2-3 ల చర్యలో స్టాయికియోమెట్రిక్ సమీకరణం
I2 (జ. ద్రా) + 2S2O-23 (జ. ద్రా) → 2I (జ. ద్రా) + S4O2-6 (జ. ద్రా)
ఈ విధంగా రిడాక్స్ చర్యలను అంశమాపక విశ్లేషణంలో ఉపయోగిస్తారు.

బి) రిడాక్స్ చర్యలు – గాల్వానిక్ ఘటాలు :
గాల్వానిక్ ఘటంలో జరుగు ఘటక చర్య (రిడాక్స్ చర్య) :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 24

జింక్ నుంచి Cu2+ కు ఎలక్ట్రాన్ల బదిలీ నేరుగా జరుగుతుంది. దీనిని పరోక్షంగా జరపడానికి Zn కడ్డీని జింక్ సల్ఫేట్ ద్రావణంలో ఒక బీకరులో వుంచుతారు. ఇంకో బీకరులో CuSO, ద్రావణాన్ని తీసికొని దానిలో కాపర్ కడ్డీని వుంచుతారు. రెండు బీకర్లు ఇప్పుడు ఆయా పదార్థాల ఆక్సీకరణ, క్షయకరణ స్థితుల రూపాలతో వుంటాయి. కాపర్ సల్ఫేట్, కాపర్ కడ్డీ ఉన్న బీకరులో కాపర్ కడ్డీ అంతర తలం. దగ్గర Cu, Cu2+ రూపాలుంటాయి. అదే రెండో బీకరులో జింక్ కడ్డీ అంతర తలం దగ్గర Zn, Zn2+ రెండు రూపాలుంటాయి. ఒక పదార్థపు ఆక్సీకరణ, క్షయకరణ రూపాల్ని రిడాక్స్ కపుల్ (లేదా) రిడాక్స్ యుగ్మం అంటారు. ఇవి ఆక్సీకరణ అర్థచర్యలో (లేదా) క్షయకరణ అర్థచర్యలో పాల్గొంటాయి. రెండు బీకర్లలో ఒక్కొక్క రిడాక్స్ కపుల్ వుంటుంది. పై అమరికలో రెండు రిడాక్స్ యుగ్మాలను Zn2+ / Zn, Cu2+ / Cu లుగా సూచిస్తారు. గాల్వానిక్ ఘటాన్ని ఈవిధంగా సూచిస్తారు. Zn/zn2+//Cu2+/Cu.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 15.
మోలార్ ద్రవ్యరాశిని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
మోలార్ ద్రవ్యరాశి : ఒక మోల్ ఏ పదార్థం ద్రవ్యరాశియైనా గ్రాముల్లో చెబితే అది దాని మోలార్ ద్రవ్యరాశి.
ఉదా :
i) సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం మోలార్ ద్రవ్యరాశి 98 గ్రా.
ii) ఒక గ్రాము పరమాణువు ద్రవ్యరాశి హైడ్రోజన్ అంటే ఒక గ్రాము హైడ్రోజన్, ఒక గ్రాము అణు ద్రవ్యరాశి హైడ్రోజన్ అంటే రెండు గ్రాముల హైడ్రోజన్.

ప్రశ్న 16.
అసౌష్ఠవ విఘటన చర్యలు (అననుపాత చర్యలు) (డిస్ ప్రపోర్షనేషన్ చర్యలు) ఏవి ? ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
అననుపాత చర్యలు (Disproportionation Reactions) :
ఈ చర్యల్లో ఒకే మూలకం ఇచ్చిన స్థితినుంచి ఆక్సీకరణం, క్షయకరణం రెండూ ఒకే సమయంలో పొందుతుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 25
పై చర్యలో ‘Cl2‘ నే ఆక్సీకరణానికి మరియు క్షయకరణానికి కూడా లోనవుతుంది.

ప్రశ్న 17.
కంప్రపోర్షనేషన్ (సహానుపాత) చర్యలను ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సహానుపాత చర్యలు (Comproportionation reactions) :
ఈ చర్యల్లో రెండు వేరు వేరు ఆక్సీకరణ స్థితుల్లో ఉన్న ఒక మూలకం క్రియాజనకాలుగా మధ్యస్థ ఆక్సీకరణ స్థితి వున్నా క్రియాజన్యాన్నిస్తుంది.
ఈ చర్య అననుపాత చర్యకు తిరోగామిచర్య.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 26

ప్రశ్న 18.
69.9% ఐరన్, 30.1% డై ఆక్సిజన్ గల ఐరన్ ఆక్సైడ్ అనుభావిక ఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 27
సమ్మేళన ఫార్ములా = Fe1 O1.5
అనుభావిక ఫార్ములా = Fe2O3

ప్రశ్న 19.
82.0245 g mol-1 మోలార్ ద్రవ్యరాశి గల సోడియం ఎసిటేట్ 500 mL 0.375 మోలార్ జల ద్రావణాన్ని తయారుచేయడానికి కావలసిన సోడియం ఎసిటేట్ (CH3 COONa) ద్రవ్యరాశిని గణించండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 28

ప్రశ్న 20.
20 g షుగర్ (C12H22O11) ని 2L నీటిలో కరిగిస్తే వచ్చే గాఢత ఎంత?
జవాబు:
[C12H22OH] అణుభారం = 342
V = 2 లీ
భార = 20 gms
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 29

ప్రశ్న 21.
ఈ కింది వాటిలో ఎన్ని సార్థక అంకెలు ఉన్నాయో తెలపండి.
(i) 0.0025 (ii) 208 (iii) 5005 (iv) 126,000 (v) 500.0 (vi) 2.0034
జవాబు:
i) 0.0025 కు 2 సార్థక అంకెలు కలవు
ii) 208 కు 3 సార్థక అంకెలు కలవు
iii) 5005 కు 4 సార్థక అంకెలు కలవు
iv) 126,000 కు 3 సార్థక అంకెలు కలవు
v) 500.0 కు 4 సార్థక అంకెలు కలవు
vi) 2.0034 కు 5 సార్థక అంకెలు కలవు

ప్రశ్న 22.
ఈ కింది వాటిని మూడు సార్థక అంకెల వరకు సరిదిద్దండి.
(i) 34.216 (ii) 10.4107 (iii) 0.04597 (iv) 2808
జవాబు:
i) 34.216 – 34.2
ii) 10,4107- 10.4
iii) 0.04597 – 0.046
iv) 2808-281

ప్రశ్న 23.
0.040 మోల్ భాగం ఉన్న ఇథనోల్ జలద్రావణంలో ఇథనోల్ మొలారిటీని గణించండి. (నీటి సాంద్రతను ఒకటిగా తీసుకోండి).
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 30
ఇథనోల్ మొలారిటీ = 2.09 M

ప్రశ్న 24.
కింది పట్టికలోని దత్తాంశాలనుపయోగించి ప్రకృతిసిద్ధంగా లభించే ఆర్గాన్ ఐసోటోప్ల మోలార్ ద్రవ్యరాశిని గణించండి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 31
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 32

ప్రశ్న 25.
వెల్డింగ్ చేసే వాయు ఇంధనంలో కార్బన్, హైడ్రోజన్ మాత్రమే ఉంటాయి. కొద్ది నమూనాను ఆక్సిజన్ సమక్షంలో మండిస్తే 3.38 g కార్బన్ డైఆక్సైడ్, 0.690 g నీరు ఏర్పడ్డాయి. మరి ఏ ఇతర ఉత్పన్న పదార్థం రాలేదు. 10.0 L (STP వద్ద కొలిచిన) ఈ వెల్డింగ్ వాయువు 11.6 g బరువు ఉన్నది. దాని (i) అనుభావిక ఫార్ములా, (ii) వాయువు ద్రవ్యరాశి, (iii) అణుఫార్ములా గణించండి.
జవాబు:
1 గ్రా. వాయువు మండించబడినది అని అనుకొనుము.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 33
అనుభావిక ఫార్ములా = C1H1 = CH

ii) STP వద్ద 10 లీ. వాయు భారం – 11.6 గ్రా.
22.4 లీ. వాయువు STP వద్ద —– ?
\(\frac{22.4\times11.6}{10}\) = 25.984 గ్రా.
∴ వాయువు అణుభారం = 25.984 గ్రా.

iii) అణుఫార్ములా = n (అనుభావిక ఫార్ములా)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 34

ప్రశ్న 26.
కాల్షియం కార్బొనేట్ సజల HCl తో చర్య జరిపి CaCl2 ను, CO2 ను ఇచ్చే రసాయన చర్య.
CaCO3 (ఘ) + 2 HCl (జల) → CaCl2 (జల) + CO2 (వా) + H2O (ద్ర)
25 mL ల 0.75 M HCI సజల ద్రావణంతో పూర్తిగా చర్య జరగడానికి కావలసిన CaCO3 ద్రవ్యరాశి ఎంత?
జవాబు:
CaCO3 + 2HCl → CaCl2 + CO2 + H2O
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 35

ప్రశ్న 27.
50ml 0.1 N సోడియం కార్బొనేట్ ద్రావణానికి 150 ml నీటిని కలిపితే వచ్చిన ద్రావణం నార్మాలిటీని గణించండి.
జవాబు:
N1 = 0.1 N
V1 = 50 మి.లీ.
N2 = ?
V2 = 50 + 150 = 200 మి.లీ.
N1V1 = N2V2
0.1 × 50 = N2 × 200
N2 = 0.025 N

ప్రశ్న 28.
200 ml 0.2 సోడియం హైడ్రాక్సైడ్ ద్రావణాన్ని తటస్థీకరించడానికి కావలసిన 0.1N సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం ఘనపరిమాణాన్ని గణించండి.
(ఇది ఆమ్ల – క్షార తటస్థీకరణ చర్య కాబట్టి తటస్థీకరణ స్థానం వద్ద, ఆమ్ల తుల్యతలు = క్షార తుల్యతలు)
జవాబు:
N1 = 0.1 N, V1 = 1 ?
V2 = 200 మి.లీ. N2 = 0.2 N
V1 = 400 మి.లీ.
N1V1 = N2V2
0.1 × V1 = 0.2 × 200

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 29.
250 ml ల 0.2 N సోడియం హైడ్రాక్సైడ్ (NaOH) ని తటస్థీకరించడానికి ఎంత నార్మాలిటీ గల 50 ml H2SO4 కావాలి?
జవాబు:
N1 = ?,
N2 = 0.1 N,
V1 = 50 మి.లీ.
V2 = 250 మి.లీ.
N1V1 = N2V2
N1 × 50 = 0.1 × 250
N1 = 0.5 N

ప్రశ్న 30.
100 ml ల 0.1 M H2C2O4.2H2O ద్రావణంతో సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం సమక్షంలో చర్య జరపడానికి కావలసిన 0.1 M KMnO4 ద్రావణం ఘనపరిమాణాన్ని గణించండి.
జవాబు:
రసాయన సమీకరణం
2 KMnO4 + 5H2C2O4 + 3H2SO4 → 2 MnSO4 + 8 H2O + 10 CO2
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 36

ప్రశ్న 31.
కింది పదార్థాల్లో కింద గీతతో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ స్థితులు తెలపండి.
a) NaH2PO4
b) NaHSO4
c) H4P2O7
d) K2MnO4
e) CaO2
f) NaBH4
g) H2S2O7
h) Kal(SO4)2.12 H2O
జవాబు:
a) NaH2PO4
1(1) + 2(1) + x + 4 (- 2) = 0
x = + 5

b) NaHSO4
1(1) +1(1) + x + 4 (- 2) = 0
x = + 6

c) H4P2O7
4(1)+ 2x + 7(-2) = 0
4 + 2x – 14 = 0
x = + 5

d) K2MnO4
2(1) + x + 4(-2) = 0
x = + 6

e) CaO2
2 + 2x =0
x = -1

f) NaBH4
1(1) + x + 4(-1) = 0
x = + 3

g) H2S2O7
2(1) + 2x + 7(-2) = 0
x = + 6

h) Kal(SO4)2.12 H2O
పొటాష్ ఆలం ఇవ్వబడినది.
∴ Al2(SO4)3 ⇒ 2x + 3(-2) = 0 ⇒ x = 3

ప్రశ్న 32.
కింది పదార్థాల్లో కింద గీతతో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ స్థితులు ఇవ్వండి. మీరిచ్చిన ఆక్సీకరణ స్థితులను ఎలా వివరిస్తారు? a) KI3 b) H2S4O6 c) Fe3O4
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 37

ప్రశ్న 33.
కింది ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ (redox) చర్యలను వివరించండి.
a) CuO (ఘ) + H2(వా) → Cu (ఘ) + H2O(వా)
b) Fe2O3 (ఘ) + 3CO(వా) → 2 Fe (ఘ) + 3 CO2(వా)
c) 4 BCl3(వా) + 3 LiAlH4(ఘ) → 2 B2H6(వా) + 3 LiCl (ఘ) + 3 AlCl3(ఘ)
d) 2 K (ఘ) + F2(వా) → 2 K+F –(ఘ)
e) 4 NH3(వా) + 5 O2(వా) → 4 NO(వా) + 6 H2O(వా)
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 38
కావున ఇది రిడాక్స్ చర్య
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 39
కావున ఇది రిడాక్స్ చర్య

c) 4BCl3 + 3 LiAlH4 → 2B2H6 + 3 LiCl + 4 AlCl3
ఈ సమీకరణంలో మూలకాల ఆక్సీకరణ స్థితులలో మార్పు లేదు కావున ఇది రిడాక్స్ చర్యకాదు
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 40
కావున ఇది రిడాక్స్ చర్య

ప్రశ్న 34.
ఫ్లోరిన్ మంచుతో చర్య జరిపి కింది మార్పును ఇస్తుంది.
H2O(ఘ) + F2(వా) → HF(వా) + HOF(వా)
ఇది ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ (redox) చర్యగా వివరించండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 41

ప్రశ్న 36.
H2SO5, Xρ2O2-7, NO–3 లలో S, Cr, N ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను ఇవ్వండి. ఆ అణువు లేదా అయానుల నిర్మాణాలు రాయండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 42

ప్రశ్న 37.
కింది సంయోగ పదార్థాల ఫార్ములాలు రాయండి.
(a) మెర్క్యురీ (II) క్లోరైడ్
(b) నికెల్ (III) సల్ఫేట్
(c) టిన్ (IV) ఆక్సైడ్
(d) థాలియం (I) సల్ఫేట్
(e) ఐరన్ (III) సల్ఫేట్
(f) క్రోమియం (III) ఆక్సైడ్
జవాబు:
a) HgCl2
b) NiSO4
c) SnCl4
d) Tl2SO4
e) Fe2(SO4)3
f) Cr2O3

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 38.
కార్బన్ -4 నుంచి + 4 వరకు నైట్రోజన్ – 3 నుంచి +5 వరకు ఆక్సీకరణ స్థితులు చూపే కొన్ని పదార్థాల పట్టిక ఇవ్వండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 43

ప్రశ్న 39.
SO2, H2O2 లు ఆక్సీకరణులుగాను, క్షయకరణులుగాను రెండు విధాలుగా పనిచేస్తాయి. కానీ HNO3 కేవలం ఆక్సీకరణిగానే పనిచేస్తుంది. ఎందువల్ల?
జవాబు:

  • SO3 మరియు H2O2 రెండును ఆక్సీకరణి, క్షయకారిణులుగా పనిచేస్తాయి.
  • ఓజోన్ ఆమ్ల యానకంలో బలమైన ఆక్సీకారిణిగా పనిచేయును (ఓజోన్ కొన్ని చర్యలలో క్షయకారిణిగా కూడా పనిచేయును).
  • HNO3 బలమైన ఆక్సీకారిణి. ఇది H+ అయాన్ను త్వరితగతిన దానం చేయును మరియు ‘N’ ఆక్సీకరణ స్థితి HNO3 లో +5 కావున ఇది బలమైన ఆక్సీకారిణి.

ప్రశ్న 40.
a) 6CO2 (వా) + 6H2O (ద్ర) → C6H12O6 (జల) + 6O2(వా)
b) O3(వా) + H2O2(ద్ర) → H2O(ద్ర) + 2O2(వా)
పైన ఇచ్చిన చర్యలను కింది విధంగా రాస్తే ఇంకా ఎక్కువ అర్థవంతంగా ఉంటుంది. ఎందువల్ల?
a) 6CO2(వా) + 12H2O(ద్ర) → C6H12O6(జల) + 6H2O(ద్ర) + 6O2(వా)
b) O3(వా) + H2O2 (ద్ర) → H2O(ద్ర) + 2O2 (వా) + O2(వా)
(a), (b) చర్యాగతలు శోధనకు సాంకేతిక ప్రక్రియలను వివరించండి.
జవాబు:
a) 6 CO2 (వా) + 12 H2O(ద్ర) → C6H12O6 (జల)+ 6H2O(ద్ర) + 6O2 (వా)
ఈ చర్యను ఇలా వ్రాయడం అర్థవంతంగా ఉంటుంది. ఎందువలన అనగా ఆక్సీజన్ విడుదల H2O నుండి జరుగును కానీ CO2 నుండికాదు.

b) O3 (వా) + H2O2 (ద్ర) → H2O (ద్ర) + O2(వా)
ఈ చర్యను ఇలా వ్రాయడం అర్ధవంతంగా ఉంటుంది. ఎందువలన అనగా ఈ చర్యలో ఏది ఆక్సీకరణం చెందునో ఏది క్షయకారణం చెందునో సరిగా వివరించబడినది.

ప్రశ్న 41.
AgF2 సంయోగ పదార్థం చాలా అస్థిరమైంది. అది ఏర్పడితే ఒక బలమైన ఆక్సీకరణిగా పనిచేస్తుంది. ఎందువల్ల?
జవాబు:

  • AgF2 అనునది చాలా అస్థిరమైన సమ్మేళనం.
  • ఇది ఒక వేళ ఏర్పడినచో బలమైన ఆక్సీకారిణి.

వివరణ :

  • AgF2 F2 వాయువును విడుదల చేస్తుంది. F2 అనునది బలమైన ఆక్సీకారిణి.
  • కావున AgF2 ఒక మంచి (బలమైన) ఆక్సీకారిణి.

ప్రశ్న 42.
ఒక ఆక్సీకరణి, ఒక క్షయకరణిల మధ్య చర్య జరిగితే క్షయకరణి అధికంగా ఉన్నప్పుడు తక్కువ ఆక్సీకరణస్థితి సంయోగ పదార్థం, ఆక్సీకరణి అధికంగా ఉంటే ఎక్కువ ఆక్సీకరణస్థితి సంయోగ పదార్థం ఏర్పడతాయి. దీనిని కనీసం మూడు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 44

ప్రశ్న 43.
ఈ కింది వాటిని ఏ విధంగా వివరిస్తారు?
(a) క్షారీకృత KMnO4, ఆమ్లీకృత KMnO4 లు ఆక్సీకరణులైనా టొల్వీన్ నుంచి బెంజోయిక్ ఆమ్లం తయారీలో ఆల్కహాలిక్ KMnO4 ను ఆక్సీకరణిగా వాడతారు. ఎందువల్ల ? చర్యకు తుల్య ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ సమీకరణం రాయండి.
(b) మూలక రసాయన మిశ్రమంలో క్లోరైడ్ ఉంటే దానికి గాఢ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం కలిపినప్పుడు ఘాటైన వాసనగల HCl వాయువు వెలువడుతుంది. ఐతే మిశ్రమంలో బ్రోమైడ్ లవణం ఉంటే ఎర్రటి బ్రోమిన్ వస్తుంది. ఎందువల్ల?
జవాబు:
a) KMnO4/H+ యొక్క తుల్య సమీకరణం (ఆమ్లయానకం)
MnO–4 + 8H+ + 5e– → Mn+2 + 4H2O

KMnO4/ OH– యొక్క తుల్య సమీకరణం (క్షారయానకం)
MnO–4 + 2H2O + 3e– → MnO2 + 4OH–
టోలీన్ ను బెంజోయిక్ ఆమ్లంగా ఆక్సీకరణం చేయును
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 45

b) గాఢ H2SO4 NaCl తో చర్య జరిపి HCl వాయువును విడుదల చేస్తుంది.
2NaCl + H2SO4 → Na2SO4 + 2 HCl
గాఢ H2SO4, KBr తో చర్య జరిపి చివరగా Br2 భాష్పాలను ఏర్పరచును.
2 KBr + H2SO4 → Na2SO4 + 2 HBr
2 MBr + H2SO4 → 2 H2O + SO2 + Br2 (ఎర్రటి బ్రోమిన్)

ప్రశ్న 44.
కింది చర్యల్లో ఆక్సీకరణి, క్షయకరణి, ఆక్సీకరణం చెందిన పదార్థం, క్షయకరణం చెందిన పదార్థం తెలపండి.
(a) 2AgBr (ఘ) + C6H6O2 (జల) → 2Ag(ఘ) + 2HBr(జల) + C6H4O2 (జల)
(b) HCHO(l) + 2[Ag(NH3)2]+ (జల) + 3OH–(జల) → 2Ag(ఘ) + HCOO– (జల) + 4NH3 (జల) + 2H2O(ద్ర)
(c) HCHO(ద్ర) + 2Cu2+ (జల) + 5OH–(జల) → Cu2O(ఘ) + HCOO–(జల)
(d) N2H4 (ద్ర) + 2H2O2 (ద్ర) → N2(వా) + 4H2O(ద్ర)
(e) Pb (ఘ) + PbO2(ఘ) + 2H2SO4 (జల) → 2PbSO4(ఘ) + 2H2O (X)
జవాబు:
(a) ఇవ్వబడిన సమీకరణం
(a) 2AgBr (ఘ) + C6H6O2 (జల) → 2Ag(ఘ) + 2HBr(జల) + C6H4O2 (జల)

  • C6H6O2 ఆక్సీకరణం చెంది C6H4O2 గా మారును.
  • Ag+ Br– క్షయకరణం చెంది Ag గా మారును.
  • ఆక్సీకరణి Ag+
  • క్షయకరణి C6H6O2.

(b) ఇవ్వబడిన సమీకరణం
HCHO(వా) + 2[Ag(NH3)2]+(జల) + 30H–(జల) → 2Ag(ఘ) + HCOO–(జల) + 4NH3(జల) + 2H2O(ద్ర)

  • HCHO ఆక్సీకరణం చెంది HCOO– గా మారును.
  • [Ag(NH3)2]+ క్షయకరణం చెంది Ag గా మారును.
  • ఇందు ఆక్సీకరణి [Ag(NH3)2]+
  • క్షయకరణి HCHO

(c) ఇవ్వబడిన సమీకరణం
HCHO (ద్ర) + 2Cu+2 (జల) + 5OH– (జల) → Cu2O(ఘ) + HCOO–(జల) + 3 H2O (ద్ర)

  • HCHO ఆక్సీకరణం చెంది HCOO– గా మారును.
  • Cu+2 క్షయకరణం చెంది Cu+ గా మారును. (Cu2O లో)
  • Cu+2 అయాన్లు ఆక్సీకరణి
  • క్షయకరణి HCHO

(d) ఇవ్వబడిన సమీకరణం
N2H4 (ద్ర) + 2H2O2 (ద్ర) → N2(వా) + 4 H2O (ఘ)

  • N-2 ఆక్సీకరణం చెంది N2గా మారును.
  • O2-2 క్షయకరణం చెంది O-2 గా మారును.
  • H2O2 ఆక్సీకరణి
  • N2H4 క్షయకరణి

(e) ఇవ్వబడిన సమీకరణం
Pb (ఘ) + PbO2(ఘ) + 2H2SO4 (జల) → 2PbSO4 (ఘ) + 2H2O (ఘ)

  • Pb ఆక్సీకరణం చెంది Pb+2 గా మారును.
  • PbO2 క్షయకరణం చెంది Pb+2 గా మారును.
  • PbO2 ఆక్సీకరణి
  • Pb క్షయకరణి

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 45.
2S2O32- (జల) + I2 (ఘ) → S4O62- (జల) + 2I– (జల)
S2O32- (జల) + 2Br2 (ద్ర) + 5H2O (ద్ర) → 2SO42- (జల) + 4Br– (జల) + 10H+ (జల).
లలో Br2 I2 లు వేరువేరు విధానాల్లో చర్య జరుపుతున్నాయి. ఎందువల్ల?
జవాబు:

  • థయో సల్ఫేట్ అయాన్ ఒక బలహీనమైన క్షయకరణి.
  • I2 ఒక బలహీనమైన ఆక్సీకరణి
  • I2 మరియు థయో సల్ఫేట్ మధ్య చర్య జరిగి (టెట్రాథయోనేట్) S4O2-6 అయాన్ ఏర్పడును.
    2S2O-23 (జల) + I2(ఘ) → S4O-26 (జల) + 2I– (జల)
  • పై సమీకరణం ఎక్కువ చర్యారేటు కలిగి ఉంటుంది.
  • థయో సల్ఫేట్ మరియు బ్రోమిన్ల మధ్య చర్యలో సల్ఫేట్ అయాన్ ఏర్పడును.
    S2O-23(జల) + 2Br2 (ద్ర) + 5H2O (ద్ర) → 2SO-24 (జల) + 4Br– (జల) + 10H+ (జల). లల
  • కావున Br2 I2 కన్నా బలమైన క్షయకారిణి.
    కావున పై చర్యలలో విభిన్నత్వం గమనించబడినది.

ప్రశ్న 46.
హాలోజన్లలో ఫ్లోరిన్ బలమైన ఆక్సీకరణి, హైడ్రో హాలిక్ సంయోగ పదార్థాల్లో హైడ్రో అయొడిక్ ఆమ్లం బలమైన క్షయకరణి వివరించండి.
జవాబు:
a) ఒక పదార్థం యొక్క ఆక్సీకరణ సామర్థ్యం కొన్ని శక్తి అంశాలపై ఆధారపడును. (చర్య ఎంథాల్పీ, ప్రమాణ విద్యుత్ పొటెన్షియల్.)

ఫ్లోరిన్కు ఎంథాల్పీ విలువ ఎక్కువ. ఎంథాల్పీ నందు ఋణాత్మక మార్పు ఎక్కువగా ఉన్నచో ఆక్సీకరణ శక్తి ఎక్కువగా ఉండును.

ఫ్లోరిన్ యొక్క ఆక్సీకరణ స్వభావాన్ని ఈ కింది చర్యలు బలపరుస్తాయి.
C + 2 F2 → CF4

ఫ్లోరిన్కు సూపర్ హాలోజన్ అని కూడా అంటారు.

హైడ్రోహాలిక్ సమ్మేళనాల మంచి క్షయకారిణులు, వాటి స్థిరత్వ క్రమం
HF >> HCl > HBr > HI

HI కు తక్కువ స్థిరత్వం కలిగి బలమైన క్షయకారిణిగా పనిచేయును.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 46

ప్రశ్న 47.
కింది చర్య ఎందుకు జరుగుతుంది?
XeO4-6(జల) + 2F– (జల) + 6H+ (జల) → XeO3(వా) + F2 (వా) + 3H2O (ద్ర)
ఈ చర్య నుంచి Na4XeO6 అనే పదార్థం (దీనిలో XeO4-6 ఒక భాగం) గురించి ఏమి నిర్థారించవచ్చు?
జవాబు:
ఇవ్వబడిన సమీకరణం
XeO4-6 (జల) + 2F– (జల) + 6H+ (జల) → XeO3(వా) + F2 (వా) + 3H2O (ద్ర)

  • పై చర్యలో Xe క్షయకరణం చెందును.
  • F– అయాన్ F2 గా ఆక్సీకరణం చెందును. XeO4-6 అయాన్ బలమైన ఆక్సీకారిణి
  • ఈ పర్బీనేట్ (XeO4-6) అయాన్ క్షారద్రావణంలో స్థిరమైనది.
  • Na4XeO6 అనునది బలమైన ఆక్సీకారిణి.

ప్రశ్న 48.
కింది చర్యలను పరిశీలించండి.
(a)H3PO2 (జల) + 4 AgNO3 (జల) + 2H2O (ద్ర) → H3PO4 (జల) + 4Ag (ఘ) + 4HNO3 (జల)
(b)H3PO2 (జల)+ 2CuSO4 (జల) + 2H2O (ద్ర) → H3PO4 (జల) + 2Cu (ఘ) + H2SO4 (జల)
(c) C6H5CHO (ద్ర) + 2[Ag (NH3)2]+ (జల) + 3OH– (జల) → C6H5COO– (జల) + 2Ag (ఘ) + 4NH3 (జల) + 2H2O (ద్ర)
(d) C6H5CHO (ద్ర) + 2Cu2+ (జల) + 5OH– (జల) → మార్పు లేదు.
ఈ చర్యల నుంచి Ag+, Cu2+ ల ప్రవృత్తి గురించి మీరు ఏమని నిర్ధారించగలరు?
జవాబు:

  • H3PO2 బలమైన క్షయకారిణి కావున ఇది Ag+ ను Ag గా మరియు Cu+2 ను Cu గా క్షయకరణం చెందించును.
  • C6H5CHO క్షయకారిణి.
    ఇది Ag+ ను Ag గా టాలెన్స్ కారకంలో క్షయకరణం చెందించింది.
    కాని Cu+2 ను Cu గా క్షయకరణం చెందించలేదు.

ప్రశ్న 49.
కింది ఆక్సీకరణ- క్షయీకరణ చర్యలను అయాన్ – ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి ద్వారా తుల్యం చేయండి. [T.S. Mar. ’15; Mar. ’14]
(a) MnO–4 (జల) + I– (జల) → MnO2 (ఘ) + I2(ఘ) (క్షార యానకంలో)
(b)MnO–4 (జల) + SO2 (వా) → Mn2+ (జల) + HSO–4 (జల) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
(c) H2O2 (జల) + Fe2+ (జల) → Fe3+ (జల) + H2O (ద్ర) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
(d) Cr2O72- + SO2 (వా) → Cr3+ (జల) + SO42- (జల) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
జవాబు:
a) MnO4– + I– → MnO2 + I2 (క్షార యానకంలో)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 47
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 48
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 49

ప్రశ్న 50.
ఈ కింది సమీకరణాలను క్షార యానకంలో అయాన్ – ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి ద్వారా, ఆక్సీకరణ సంఖ్యా పద్ధతి ద్వారా తుల్యం చేసి, ఆక్సీకరణ కారకాన్ని, క్షయీకరణ కారకాన్ని గుర్తించండి.
(a) P4(ఘ) + OH (జల) → PH3(వా) + HPO2–(జల)
(b) N2H4 + ClO3–(జల) → NO(వా) + Cl–(వా)
(c) Cl2O7(వా) + H2O2(జల) → ClO2–(జల) + O2(వా) + H+
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 50
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 51
P4 + 12H2O + 12e– → 4PH3 + 12 OH–
3P4 + 24 OH– → 12H2PO2– + 12e–
4P4 + 12H2O + 12OH– → 12H2PO2– +4PH3
ఇచ్చట P4 ఆక్సీకారిణి, క్షయకారిణిగా పనిచేయును.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 52
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 53
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 54

ప్రశ్న 51.
కింది చర్య ద్వారా మీకు ఏమి తెలుస్తోంది?
(CN)2(వా) + 2OH– (జల) → CN– (జల) + CNO– (జల) + H2O (ద్ర)
జవాబు:
(CN)2(వా) + 2OH–(జల) → CN–(జల) + CNO–(జల) + H2O(ద్ర)
(CN)2 + 2e– → 2 CN– (క్షయకరణం)
(జల)
(CN)2 + 2H2O → 2 CNO– + 4H+ + 2e– (ఆక్సీకరణం)
ఇచ్చట (CN)2 ఆక్సీకరణం మరియు క్షయకరణం చెందును.
కావున ఇది అననుపాత చర్య.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 52.
Mn3+ అయాన్ ద్రావణంలో అస్థిరంగా ఉండి, అననుపాతం చెంది Mn2+, MnO2, H+ అయాన్లనిస్తుంది. ఈ చర్యకు తుల్య అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 55

ప్రశ్న 53.
Cs, Ne, I, F
(a) రుణ ఆక్సీకరణస్థితిని మాత్రమే ప్రదర్శించే మూలకం ఏది?
(b) ధన ఆక్సీకరణస్థితిని మాత్రమే ప్రదర్శించే మూలకం ఏది?
(c) ధన, రుణ ఆక్సీకరణ స్థితులు రెండింటినీ ప్రదర్శించే మూలకం ఏది?
(d) ధన, రుణ ఆక్సీకరణ స్థితులలో దేనిని కూడా ప్రదర్శించని మూలకం ఏది?
జవాబు:
a) ‘F’ (ఫ్లోరిన్) మూలకం మాత్రమే రుణ ఆక్సీకరణస్థితిని ప్రదర్శిస్తుంది.

b) ‘Cs’ (సీజియం) మూలకం మాత్రమే ధన ఆక్సీకరణస్థితిని ప్రదర్శిస్తుంది.

c) ‘I (అయోడిన్) మూలకం ధన, రుణ ఆక్సీకరణ స్థితులను ప్రదర్శిస్తుంది.

d) ‘Ne’ (నియాన్) మూలకం ధన, రుణ ఆక్సీకరణ స్థితులలో దేనిని ప్రదర్శించదు.

ప్రశ్న 54.
తాగునీటిని శుద్ది చేయడానికి క్లోరినన్ను వాడతారు. అధిక క్లోరిన్ హానికరమైంది. అధికంగా ఉన్న క్లోరిన్ను సల్ఫర్ డైఆక్సైడ్తో చర్యనొందించి తొలగిస్తారు. నీటిలో జరిగే ఈ ఆక్సీకరణ క్షయీకరణ మార్పుకు తుల్య సమీకరణాన్ని ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఇవ్వబడిన సమాచారమునకు తుల్య సమీకరణం
Cl2 + SO2 + H2O + SO3 + 2H+ + Cl–

ప్రశ్న 55.
మీ పుస్తకంలో ఇచ్చిన ఆవర్తన పట్టికను పరిశీలించి, కింది ప్రశ్నలకు జవాబు ఇవ్వండి.
(a) అననుపాత చర్యలను ప్రదర్శించే అలోహాలను ఎంపిక చేయండి.
(b) అననుపాత చర్యలను ప్రదర్శించే మూడు లోహాలను ఎంపిక చేయండి.
జవాబు:
a) క్లోరిన్, బ్రోమిన్, ఆక్సిజన్, సల్ఫర్, ఫాస్ఫరస్, అయోడిన్ అలోహాలు అననుపాత చర్యలను ప్రదర్శిస్తాయి.

b) క్రోమియం, మాంగనీసు మరియు Pb లోహాలు అననుపాత చర్యలను ప్రదర్శిస్తాయి.

ప్రశ్న 56.
ఆస్వాల్డ్ పద్ధతిలో నత్రికామ్లం తయారుచేసే చర్యల్లో మొదటి అంచెలో అమ్మోనియా ఆక్సిజన్తో ఆక్సీకరణం చెంది నైట్రిక్ ఆక్సైడ్, నీటి ఆవిరి వస్తాయి. చర్యను 10.0 g. అమ్మోనియా 20.0 g ఆక్సిజన్తో జరిపితే గరిష్ఠంగా ఎంత నైట్రిక్ ఆక్సైడ్ వస్తుంది?
జవాబు:
రసాయన చర్య
4NH3 + 5SO2 → 4NO + 6H2O
4 మోల్ల NH3 – 5 మోల్ O2
NH3 (అమ్మోనియా) యొక్క భారము 10 గ్రా అని ఇవ్వబడినది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 56
4 మోల్స్ అమ్మోనియా 5 మోల్ల ఆక్సిజన్ (02 ) తో చర్య జరుపుతుంది.
0.588 మోల్ల NH3 …. ?
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 57

ప్రశ్న 57.
కింది లోహాలను వాటి లవణాల నుంచి ఒక దానితో ఒకటి స్థానభ్రంశం చెందించే క్రమంలో అమర్చండి
Al, Cu, Fe, Mg, Zn.
జవాబు:
Al – -1.66 v
Cu – +0.34 v
Fe – -0.40 v
Mg – -2.37 v
Zn – -0.76 v

పై లోహాలను వాటి లవణాల నుంచి ఒక దానితో ఒకటి స్థానభ్రంశం చెందించే క్రమం Mg > AM > Zn > Fe > Cu,

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
క్షార యానకంలో పర్మాంగనేట్ అయాన్, అయొడైడ్ (I -) అయాను ఆక్సీకరణం చేసి, అయొడిన్ (I2), మాంగనీస్ డై ఆక్సైడ్ (MnO2) ఇచ్చే చర్యకు తుల్య అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
MnO4– + I– → MnO2 + I2 (క్షార యానకం)
(R.H.R) క్షయకరణ చర్య
MnO4– → MnO2

(OHR) ఆక్సీకరణ చర్య
I → I2

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 58

ప్రశ్న 2.
ఆమ్ల యానకంలో పర్మాంగనేట్ అయాన్, సల్ఫైట్ అయాన్లను, సల్ఫేట్ అయాన్లుగా ఆక్సీకరణం చేసే చర్యకు తుల్య సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
MnO4– + SO32- → Mn+2 + SO4-2

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 59

ప్రశ్న 3.
ఆమ్ల యానకంలో ఆక్జాలిక్ ఆమ్లం, పర్మాంగనేట్ అయాన్ తో Mn2+ గా ఆక్సీకరించబడుతుంది. అయాన్ – ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతిలో చర్యను తుల్యం చేయండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 60

ప్రశ్న 4.
ఫాస్ఫరస్ ను NaOH ద్రావణంలో వేడిచేస్తే, ఫాస్ఫేన్ (PH3), H2PO–2 లను ఇస్తుంది. తుల్య సమీకరణాన్ని ఇవ్వండి.
జవాబు:
P4 + NaOH + H2O → PH3 + NaH2PO2
P4 + OH– → PH3 + H2PO2–
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 61
ఈ చర్యలో P4 ఆక్సీకారిణి మరియు క్షయకారిణిగా పనిచేయును.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 5.
కింది సమీకరణాన్ని తుల్యం చేయండి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 62
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 63

ప్రశ్న 6.
కింది సమీకరణాన్ని ఆక్సీకరణ సంఖ్య పద్ధతిలో తుల్యం చేయండి.
MnO-24 + Cl2 → MnO-24‍ + Cl–
జవాబు:
MnO4-2 + Cl2 → MnO4‍-2 + Cl–

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 64

ప్రశ్న 7.
వివిధ రకాల ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ (రెడాక్స్) చర్యలను వివరించండి.
జవాబు:
రెడాక్స్ చర్య :
ఎలక్ట్రాన్లను కోల్పోయే ప్రక్రియను ‘ఆక్సీకరణ చర్య’ అని, ఎలాక్ట్రాన్లను గ్రహించే ప్రక్రియను ‘క్షయకరణ’ చర్య’ అని అంటారు. ఈ రెండింటి మొత్తం చర్యను ‘ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ’ (లేదా) కుదింపుగా ‘రెడాక్స్ చర్య’ అందురు.

రెడాక్స్ చర్యలు – వివిధ రకాలు :
ఎ) రసాయన సంయోగ చర్యలు :
ఈ చర్యలలో రెండు మూలకాలు సంయోగము చెంది ఉత్పన్నాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ ప్రక్రియలో ఒక మూలకము ఆక్సీకరణానికి మరియు రెండవ మూలకం క్షయకరణానికి లోనవుతుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 65

బి) వియోగ చర్యలు :
రసాయన సంయోగ పదార్థాలు రసాయనికంగా రెండు లేక అంతకంటే ఎక్కువ పదార్థాలుగా విడిపోవడాన్ని వియోగచర్యలంటారు. ఇవి చాలావరకు రెడాక్స్ చర్యలు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 66

సి) స్థానభ్రంశ చర్యలు :
ఈ చర్యల్లో సమ్మేళనంలోని ఒక అనుఘటకం వేరే ఘటకంతో ప్రతిక్షేపించబడితే ఆ చర్యను స్థానభ్రంశ చర్య అందురు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 67

డి) అననుపాత చర్యలు :
ఈ చర్యల్లో ఒకే మూలకం ఇచ్చిన స్థితినుంచి ఆక్సీకరణం, క్షయకరణం రెండూ ఒకే సమయంలో పొందుతుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 68

ఇ) సహానుపాత చర్యలు :
ఈ చర్యల్లో రెండు వేరు వేరు ఆక్సీకరణ స్థితుల్లో ఉన్న ఒక మూలకం క్రియాజనకాలుగా చర్య జరిపి మధ్యస్థ ఆక్సీకరణ స్థితివున్నా క్రియాజన్యాన్నిస్తుంది. ఈ చర్యలు, అనుపాత చర్యల తిరోగామిచర్యలు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 69

ప్రశ్న 8.
స్థిరానుపాత నియమాన్ని తెలపండి. ఒక సమస్యను సాధన చేయడం ద్వారా ఈ నియమాన్ని విశదీకరించండి.
జవాబు:
స్థిరానుపాత నియమము :
“ఒక నిర్ధిష్ట రసాయన సంయోగ పదార్ధంలో ఒకే మూలకాలు స్థిరభార నిష్పత్తిలో కలిసి ఉంటాయి.”

ఈ నియమాన్ని “జోసఫ్ ప్రౌస్ట్” ప్రతిపాదించాడు.

ఉదాహరణ :
“ప్రౌస్ట్” రెండు రకాల కాపర్ కార్బొనేట్ నమూనాలను తీసికొన్నాడు. అందులో ఒకటి ప్రకృతిలో లభించింది (సహజం). రెండోది ప్రయోగశాలలో సంశ్లేషణ చేసినది.

రెండు నమూనాల్లోను వివిధ మూలకాల భారశాతాన్ని తెలుసుకొన్నాడు. రెండు నమూనాలూ ఒకే భారశాతం సంఘటనతో వున్నాయి.

మూలకంభారశాతం
సహజ నమూనాప్రయోగశాలలో చేసినది
Cu51.3551.35
O9.749.74
C38.9138.91

అంటే తయారుచేసిన ప్రాంతం, చేసిన వ్యక్తి, తయారుచేసిన విధానంలాంటి వాటితో సంబంధం లేకుండా ఒక సంయోగ పదార్థం ఎల్లప్పుడూ ఒకే రకం మూలకాలను స్థిరభార నిష్పత్తిని కలిగి ఉంటుంది.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 9.
కింది చర్యల అంశమాపనంలో అంతిమ స్థానాలను ఎట్లా గుర్తిస్తారు?
i) MnO-24తో Fe2+ ను ఆక్సీకరించుట
ii) Cr2O2-7 తో Fe2+ ను ఆక్సీకరించుట
iii) Cu2+ తో I– ను ఆక్సీకరించుట
జవాబు:
i) KMnO4 ను ఉపయోగించే అంశమాపనాల్లో ప్రత్యేకంగా సూచికను వాడవలసిన అవసరంలేదు. KMnO4 స్వీయ సూచికగా పనిచేస్తుంది. అంతిమ స్థానం స్థిరమైన గులాబిరంగుగా పరిశీలించవచ్చు.

ii) Cr2O2-7 ను ఉపయోగించే అంశమాపనాల్లో, డైఫినైల్ ఎమీన్ ను సూచికగా వాడతారు. అంతిమస్థానం వద్ద ముదురు నీలిరంగును పరిశీలించవచ్చు.

iii) 2Cu2+ + 4I– → Cu2I2 + I2
ఈ రిడాక్స్ చర్యలో I2 స్టార్చ్ ద్రావణంతో అంతిమస్థానం వద్ద ముదురు నీలిరంగు నిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
కింది చర్యలలో వెలువడే కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ భారాన్ని లెక్కకట్టండి.
(i) గాలిలో ఒక మోల్ కార్బన్ను మండించినప్పుడు
(ii) 16 g డైఆక్సిజన్లో 2 మోల్ల కార్బన్ను మండించినప్పుడు
(iii) 16 g డైఆక్సిజన్లో 2 మోల్ల కార్బన్ను మండించినప్పుడు
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 70

ప్రశ్న 11.
కింది రసాయన సమీకరణాన్ని అనుసరించి, డైనైట్రోజన్ డైహైడ్రోజన్ ఒకదానితో ఒకటి చర్య జరిపినప్పుడు అమ్మోనియా ఏర్పడుతుంది.
N2(వా) + H2(వా) → 2NH3 (వా)
(i) 2.00 × 10³ g డై నైట్రోజన్, 1.00 × 10³ g డైహైడ్రోజన్ తో చర్య జరిపినప్పుడు ఏర్పడే అమ్మోనియా భారాన్ని లెక్కకట్టండి.
(ii) రెండు క్రియాజనకాలలో ఏదైనా చర్య జరపకుండా మిగిలిపోతుందా?
(iii) అవును అయితే, ఏ క్రియాజనకం మిగిలిపోతుంది, దాని భారం ఎంత?
జవాబు:
i) N2 + 3H2 → 2NH3
ఇవ్వబడిన నైట్రోజన్ = 2 × 10³ గ్రా.
మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{2000}{28}\) = 71.4285
ఇవ్వబడిన హైడ్రోజన్ = 1 × 10³ గ్రా
మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{1000}{2}\)
∴ 28 గ్రాముల N2 → 2 × 17 గ్రాముల NH3
2000 గ్రాముల N2 → ?
2000×2×17 \(\frac{2000\times2\times17}{28}\) = 2428.57 గ్రాములు

ii) ఉపయోగింపబడిన హైడ్రోజన్
28 → 6 గ్రా.
1000 గ్రా. → ?
\(\frac{1000\times6}{28}\) = 214.285 గ్రా.

iii) హైడ్రోజన్ భారము మిగిలినది.
= 1000 – 214.285
= 785.715 గ్రాములు.

ప్రశ్న 12.
కింది సమ్మేళనపు అణువులలో కింద గీతలో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను తెలపండి.
(a) NaH2PO4
(b) NaHSO4
(c) H4P2O7
(d) K2MnO4
(e) CaO2
(f) NaBH4
(g) H2S2O7
(h) KAl(SO4)2. 12 H2O
జవాబు:
a) NaH2-pO4 (p)
1(+1) + 2(+1) + x + 4 (- 2) = 0
1 + 2 + x – 8 = 0
x – 5=0
x = + 5
‘P’ యొక్క ఆక్సీకరణ సంఖ్య = + 5

b) NaHSO4 (s)
1(+1) +1(+1) + x+4(-2) = 0
1 + 1 + x – 8 = 0
x = +6
NaHsO4 లో S యొక్క ఆక్సీకరణ సంఖ్య = + 6

c) H4P2O7 (p)
4(+1) + 2x + 7(- 2) = 0
4 + 2x – 14 = 0
2x – 10= 0
x = +5
H4P2O7 లో P యొక్క ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

d) K2MnO4
(+1) + x + 4(-2) = 0
x = + 7
K2MnO4 లో Mn యొక్క ఆక్సీకరణ సంఖ్య = + 7

e) CaO2 (0)
2 + 2x = 0
x = -1
CaO2 లో O యొక్క ఆక్సీకరణ సంఖ్య = -1

f) NaBH4 (B)
1(+1) + x + 4 (- 1) = 0
1 + x – 4 = 0
x = + 3
NaBH4 లో B యొక్క ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +3
‘B’ ఎక్కువ శాతం -3 ఆక్సీకరణ సంఖ్య ప్రదర్శిస్తుంది.

g) H2S2O7 (s)
2(1) + 2x + 7(- 2) = 0
2 + 2x – 14 = 0
2x – 12= 0
x = + 6
H2S2O7లో ‘S’ యొక్క ఆక్సీకరణ సంఖ్య = + 6

h) k Al(SO4)2 12H2O (s)
ఇవ్వబడినది ద్విగుణ లవణము
పైన లవణము నుండి Al2(SO4)3
2x + 3(-2) = 0
x = + 3

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 13.
కింది వాటిలో కింద గీత చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు లెక్కకట్టండి. మీరు ఆ ఫలితాలను ఎలా సమర్థించుకొంటారు?
(a) H2S4O6
(b) Fe3O4
(c) CH3CH2OH
(d) CH3COOH
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 71
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 72
Fe3O4, FeO మరియు Fe2O3 ల మిశ్రమము.
FeO నందు ఐరన్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య +2
Fe2O3 నందు ఐరన్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య + 3.

c) CH3 – CH2 – OH
C2H6O
2x + 6(1) + (-2) = 0
2x = -4
x = -2

d) CH3 COOH
C2H4O2
2x + 4(1) + 2 (-2) = 0
x = 0

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
గ్లూకోజ్ (C6H12O6) అణువుకు అణుద్రవ్యరాశిని లెక్కించండి.
సాధన:
గ్లూకోజ్ (C6H12O6) అణు ద్రవ్యరాశి
6(12.011 u) + 12(1.008 u) + 6(16.00 u)
= (72.066 u) + (12.096 u) + (96.00 u)
= 180.162 u

ప్రశ్న 2.
ఒక సమ్మేళనంలో 4.07 % హైడ్రోజన్, 24.27 % కార్బన్, 71.65 % క్లోరిన్ ఉన్నాయి. దాని మోలార్ ద్రవ్యరాశి 96.96 g. అయితే దాని. అనుభావిక ఫార్ములాను, అణుఫార్ములాను కనుక్కోండి.
సాధన:
1వ దశ :
ద్రవ్యరాశి శాతాన్ని గ్రాముల్లోకి మార్చుకోవడం మనకు ద్రవ్యరాశి శాతం తెలుసు కాబట్టి 100 g ‘సమ్మేళనాన్ని ఆరంభ ద్రవ్యరాశిగా అనుకోవడం వీలుగా ఉంటుంది. అప్పుడు 100gల పై సమ్మేళనంలో 4.07g హైడ్రోజన్ 24.27g కార్బన్ 71.65g క్లోరిన్ ఉంటాయి.

2వ దశ :
ప్రతి మూలకపు ద్రవ్యరాశిని మోల్ల సంఖ్య లుగా మార్చుకోవడం
పైన వచ్చిన ద్రవ్యరాశులను వాటి మూలకాల పరమాణు ద్రవ్యరాశులతో భాగించడం.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 73

3వ దశ :
పైన వచ్చిన మోల్ల సంఖ్యలని వాటిలో అతి తక్కువ దానితో భాగించడం
2.021 అన్నింటికన్నా తక్కువ విలువ. కాబట్టి దానితో భాగిస్తే H:C:Cl నిష్పత్తి 2:1:1 అని వస్తుంది.

ఒకవేళ సరళ నిష్పత్తి పూర్ణాంకాలది కాకపోతే అప్పుడు ఆ నిష్పత్తిని అనువైన గుణకంతో గుణించి పూర్ణాంకాల నిష్పత్తిగా మార్చవచ్చు.

4వ దశ :
ఇలా వచ్చిన సంఖ్యలు మూలకాల పరమాణువుల సాపేక్ష సంఖ్యలను తెలుపుతాయి. ఈ సంఖ్యలను ఆయా మూలకాల సంకేతాలు రాసిన తరవాత పాదాంకాలుగా చూపించి అనుభావిక ఫార్ములాను రాయాలి.

ఆ విధంగా పైన చెప్పిన సమ్మేళనానికి అనుభావిక ఫార్ములా CHCl అవుతుండి.

5వ దశ :
అణు ఫార్ములాని రాయడం
(a) అనుభావిక ఫార్ములా ద్రవ్యరాశిని నిర్ణయించండి. దీనికోసం అనుభావిక ఫార్ములాలో ఉన్న వివిధ మూలకాల మొత్తం పరమాణువుల ద్రవ్యరాశులను కలపాలి.
CH2Cl కి అనుభావిక ఫార్ములా ద్రవ్యరాశి
12.01 + 2 × 1.008+ 35.453
= 49.48 u

(b) అణు ద్రవ్యరాశిని,అనుభావిక ఫార్ములా ద్రవ్యరాశితో భాగిస్తే
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 74

(c) అనుభావిక ఫార్ములాను పైనవచ్చిన ‘n’ తో గుణిస్తే. అణుఫార్ములా వస్తుంది.

అనుభావిక ఫార్ములా – CH2Cl, n = 2. కాబట్టి అణుఫార్ములా C2H4Cl2

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 3.
16g ల మీథేనిని నుండిస్తే తయారయ్యే నీటి పరిమాణాన్ని (గ్రాములలో) గణించండి.
సాధన:
మీథేన్ దహన చర్యకు సమతుల సమీకరణం
CH4(వా) + 2O2 → CO2(వా) + 2H2(వా)

(i) 16 g ల మీథేన్ అంటే 1 మోల్కి సమానం.
(ii) పై సమీకరణం నుంచి 1 మోల్ మీథేన్ వాయువు
CH4(వా), 2 మోల్ల నీరు H2O (వా) ని ఇస్తుంది.
2 మోల్ల నీరు (H2O) = 2 × (2 + 16)
= 2 × 18 = 36 g
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 75

ప్రశ్న 4.
వహన చర్యలో 22 g ల CO2 (వా) ని ఏర్పరచ దానికి ఎన్ని మోత్ల మీథేన్ కావాలి?
సాధన:
కింది రసాయన చర్య ప్రకారం
CH4(వా) + 2O2(వా) → CO2(వా) + 2H2O(వా)
44g CO2 (వా) ని 16 g CH4 (వా) ఇస్తుంది.
[∵ 1 mol CO2 (వా) 1mol CH4 (వా) నుంచి తయారవుతుంది.]
CO2 (వా) మోల్లు
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 76

కాబట్టి 0.5 mol ల CH4 (వా) నుంచి 0.5 mol CO2 (వా) ఏర్పడుతుంది. లేదా 0.5 mol ల CH4 (వా), 22 gCO2 (వా) ని తయారుచేయడానికి అవసరమవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
50.0 kg N2 (వా), 10.0 kg u N2 (వా) కలిపి NH3 (వా) ని తయారు చేశారు. ఏర్పడిన NH3 (వా) ని లెక్క చేయండి.. ఈ పరిస్థితుల్లో NH3 (పా) ని తయారు చేయడానికి ఏదైనా పరిమిత కారకం ఉంటే దానిని గుర్తించండి.
సాధన:
పై చర్యకు సమతుల సమీకరణం కింది విధంగా రాస్తారు. మోల్లను లెక్క చేయడం :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 77
పై చర్యకి సమీకరణం ప్రకారం 1 mol N2 (వా) కి 3 mol H2(వా) అవసరమవుతుంది. కాబట్టి 17.86 × 10² mol ల. N2 కి కావలసిన H2 (వా)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 78

కానీ చర్యకు 4.96 × 10³ mol H2 మాత్రమే ఉంది. కాబట్టి డైహైడ్రోజన్ ఈ చర్యలో పరిమిత కారకం అవుతుంది. కాబట్టి అందుబాటులో ఉన్న ఈ హైడ్రోజన్, అంటే 4.96 × 10³ mol ల నుంచి మాత్రమే NH3 (వా) ఏర్పడుతుంది.
3 mol H2 (వా) 2 mol: NH3 (వా) నిస్తుంది. కాబట్టి
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 79
= 3.30 × 10³ mol NH3 (వా) వస్తుంది.
ఈ మోల్లను గ్రామ్లలోకి మార్చవలసి వస్తే, కింది విధంగా చేస్తారు.
1 mol NH3 (వా) = 17.0 g NH3 (వా)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 80

ప్రశ్న 6.
2g ల ‘A’ ని 18 g ల నీటిలో కలిపి ఒక ద్రావణాన్ని తయారు చేశారు. ద్రావితం ద్రవ్యరాశి శాతాన్ని లెక్క చేయండి.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 81

ప్రశ్న 7.
4 g ల NaOH ని తగినంత నీటిలో కరిగించి 250 mL ద్రావణం చేయగా దాని మొలారిటీని లెక్కగట్టండి.
సాధన:
మొలారిటీ (M)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 82

ప్రశ్న 8.
3 M NaCl ద్రావణం సాంద్రత 1.25 g mL-1 ద్రావణం మొలాలిటీని లెక్క చేయండి.
సాధన:
M = 3 mol L-1
NaCl ద్రవ్యరాశి 1 L ద్రావణంలో ఉంది
= 3 × 58.5 = 175.5 g
1 లీటర్ ద్రావణం ద్రవ్యరాశి = 1000 × 1.25 = 1250g
(సాంద్రత 1.25 g mL-1 కాబట్టి)
ద్రావణంలో ఉన్న నీటి ద్రవ్యరాశి)
= 1250 175.5
= 1074.5 g = 1.0745 kg.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 83
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 84

ప్రశ్న 9.
500 ml ల ద్రావణంలో 6.3 g ల H2C2O4. 2H2O ఉంటే దాని నార్మాలిటీని గణించండి.
సాధన:
దత్తాంశాలు : ద్రావితం భారం = 6.3 g
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 85

ప్రశ్న 10.
250 ml ల 0.5 N ద్రావణాన్ని తయారు చేయడానికి కావలసిన Na2 CO3 ద్రవ్యరాశిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశాలు :
కావలసిన ద్రావణపు నార్మాలిటీ = 0.5 N
ద్రావణపు ఘనపరిమాణం = 250 mL
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 86

ప్రశ్న 11.
కింద ఇచ్చిన చర్యలలో ఆక్సీకరణం, క్షయ కరణం చెందే పదార్థాలను గుర్తించండి.
(i) H2S(వా) + Cl2 (వా) → 2 HCl(వా) + S (ఘ)
(ii) 3Fe3O4 (ఘ) + 8 Al (ఘ) → 9 Fe (ఘ) + 4 Al2O3 (ఘ)
(iii) 2 Na (ఘ) + H2(వా) → 2 NaH (ఘ)
సాధన:
(i) H2S ఆక్సీకరణం చెందింది. అధిక రుణ సాధన. విద్యుదాత్మకత గల క్లోరిన్ని హైడ్రోజన్కి సంకలనం చేయబడింది. (లేదా ఎక్కువ ధన విద్యుదాత్మక మూలకం, హైడ్రోజన్ 5 నుంచి తొలగించబడింది). క్లోరిన్ క్షయకరణం చెందింది. ఎందుకంటే అది హైడ్రోజన్తో సంకలనం చెందింది కనుక.

(ii) ఆక్సిజన్తో సంకలనం చెందింది కాబట్టి అల్యూమినియమ్ ఆక్సీకరణం చెందింది. ఐరన్ ఆక్సైడ్ నుంచి ఆక్సిజన్ని తీసివేశారు. (ఐరన్ ఆక్సైడ్ ఐరన్గా) కాబట్టి అది క్షయకరణం చెందింది.

(iii) ఈ చర్య ఆసక్తికరమైంది. పై నిర్వచనాల ప్రకారం ఈ చర్య క్షయకరణ చర్య మాత్రమే. ఎందుకంటే ఈ చర్యలో సోడియమ్ సంకలనం (ధన విద్యుదాత్మక లోహం) లేదా హైడ్రోజన్ సంకలనం జరిగింది కాబట్టి. కానీ సోడియమ్ ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. హైడ్రోజన్ క్షయకరణం చెందుతుంది. అంటే ఏమిటంటే పై నిర్వచనాలు ఈ చర్యను వివరించలేవు. అవి మనం చూసినట్లుగా కొన్ని పరిమితులను కలిగి ఉంటాయి. అందుకని ఆక్సీకరణం, క్షయకరణాలకు కొత్త భావనని పరిగణనలోకి తీసుకోవలసి ఉంది.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 12.
2 Na (ఘ) + H2 (వా) → 2 NaH (ఘ) ఒక ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్య అని సమర్థించండి.
సాధన:
పై చర్యలో ఏర్పడిన సమ్మేళనం అయానిక సమ్మేళనం కాబట్టి దానిని Na+H– (ఘ) అని సూచించవచ్చు. దీనిని బట్టి ఈ ప్రక్రియలో ఒక అర్ధ చర్యను
2 Na (ఘ) → 2 Na+ (వా) + 2e–
అనీ, ఇంకొక అర్ధ చర్యను
H2 (వా) + 2e– → 2 H– (వా) అని రాయవచ్చు.

చర్యను ఈ విధంగా రెండు అర్ధ చర్యలుగా విడదీయ వచ్చు. అలా చేస్తే సోడియమ్ ఆక్సీకరణం చెందిందని, హైడ్రోజన్ క్షయకరణం చెందిందని తనంతట తానే చర్య తెలుపుతుంది. కాబట్టి పూర్తి చర్య ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్య అవుతుంది.

ప్రశ్న 13.
స్టాక్ శాస్త్రీయ పద్ధతిననుసరించి కింది సమ్మేళనాలను రాయండి :
HAuCl4, Tl2O, FeO, Fe2O3, CuI, CuO, MnO, MnO2.
సాధన:

ఒక సమ్మేళనంలో కావలసిన మూలకం ఆక్సీకరణ సంఖ్యను లెక్కగట్టడానికి వివిధ నియమాలను వర్తింప చేయాలి. ఒక్కొక్క లోహ మూలకం దాని సమ్మేళనంలో చూపించే ఆక్సీకరణ సంఖ్యకు కింది విలువలు ఉంటాయి.
HAuCl4 → Au కి 3 ఆక్సీకరణ సంఖ్య
Τl2Ο → Tl కి 1
FeO → Fe కి 2
Fe2O3 → Fe కి 3
Cul – Cu కి 1
CuO → Cu కి 2
MnO → Mn కి 2
MnO2 → Mn కి 4
కాబట్టి ఈ సమ్మేళనాలను వీటికి అనుగుణంగా రాయవచ్చు.
HAu (III)Cl4, Tl2(I)O, Fe(II)O, Fe2(III)O3, Cu(I)I, Cu(II)O, Mn(II)O, Mn(IV)O2.

ప్రశ్న 14.
2Cu2O (ఘ) + Cu2S (ఘ) → 6Cu(ఘ) + SO2 (వా) ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్య. దీనిని సమర్థించండి. ఆక్సీకరణం క్షయకరణం చెందిన కణాలను గుర్తించండి. వీటిలో ఏది ఆక్సీకరణిగా పనిచేస్తుంది? ఏది క్షయకరణిగా పనిచేస్తుంది?
సాధన:
పరిశీలనలో ఉన్న చర్యలో ప్రతి కణానికి ఆక్సిడేషన్ సంఖ్యను ఇద్దాం. దీని ఫలితంగా వచ్చేది
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 87

కాబట్టి ఈ చర్యలో కాపర్ క్షయీకృతం చెంది ఉంటుంది. ఇది +1 స్థితి నుంచి సున్నా స్థితికి వస్తుంది. సల్ఫర్ – 2 ఆక్సీకరణ స్థితి నుంచి +4 స్థితికి ఆక్సీకరణం చెందు తుంది. అందువలన పై చర్య ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్య. Cu2S లో సల్ఫర్ ఆక్సిడేషన్ సంఖ్య పెరిగేందుకు Cu2O సహాయపడుతుంది. కాబట్టి Cu(I) ఆక్సీకరణి. Cu2S లో సల్ఫర్ Cu2S లో కాపరి, Cu2O లో కాపర్ది ఆక్సిడేషన్ సంఖ్య తగ్గడానికి దోహదం చేస్తుంది. కాబట్టి Cu2S లో S క్షయకరణి.

ప్రశ్న 15.
కింద ఇచ్చిన కణాలలో ఏవి సౌష్ఠవ విఘటనాన్ని జరపవు? ఎందుకు?
CIO–, CIO–2, CIO–3, CIO–4
అననుపాత చర్యను జరిపే ప్రతి ఒక్క కణానికి సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
పైన ఇచ్చిన క్లోరిన్ ఆక్సో ఆనయాన్ల జాబితాలో CIO–4 అసౌష్ఠవ విఘటనం జరపదు. ఇందులో క్లోరిన్ అత్యధిక ఆక్సీకరణ స్థితిలో, అంటే +7 స్థితిలో, ఉండడం దీనికి కారణం. మిగిలిన మూడు క్లోరిన్ ఆక్సో ఆనయాన్లు అననుపాత చర్యలు కింది విధంగా రాస్తారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 88

ప్రశ్న 16.
కింది ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలను వర్గీకరణ ప్రణాళికను ప్రతిపాదించండి.
(a) N2(వా) + O2 (వా) – 2 NO (వా)
(b) 2Pb(NO3)2(ఘ) → 2PbO(ఘ) + 2 NO2(వా) + ½O2 (వా)
(c) NaH(ఘ) + H2O (ద్ర) → NaOH (జల) + H2(వా)
(d) 2NO2 (వా) + 2OH– (జల) → NO–2 (జల) + NO–3(జల) + H2O(ద్ర)
సాధన:
చర్య (a) లో నైట్రోజన్, ఆక్సిజన్ మూలకాలు సంయోగం చెంది నైట్రిక్ ఆక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది. కాబట్టి ఈ చర్య సంకలన ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్య. (b) చర్యలో లెడ్ నైట్రేట్ మూడు ఘటక పదార్థాలుగా వియోజనం చెందుతుంది. కాబట్టి ఈ చర్య విఘటన ఆక్సీకరణ క్షయకరణ చర్య అవుతుంది. చర్య (c) లో హైడ్రైడ్ అయాన్లు నీటిలోని హైడ్రోజనిని స్థానభ్రంశం చేసి డైహైడ్రోజన్ని ఏర్పరుస్తుంది. అందువల్ల ఈ చర్యను స్థానభ్రంశం ఆక్సీకరణ- క్షయకరణ చర్య అని చెప్పవచ్చు. చర్య (d) లో NO2 (+4 స్థితి) అననుపాతం చెంది NO–2 (+3 స్థితి) గాను, N–3 (+5 స్థితి) గాను మారుతుంది. కాబట్టి ఈ చర్యని అననుపాత ఆక్సీకరణం – క్షయకరణం చర్యగా ఉదహరించవచ్చు.

ప్రశ్న 17.
కింది చర్యలు ఎందుకు భిన్నంగా జరుగుతాయి?
Pb3O4 + 8HCl → 3PbCl2 + Cl2 + 4H2O
Pb3O4 + 4HNO3 → 2Pb(NO3)2 + PbO2 + 2H2O
Pb3O4 నిజానికి 2 మోల్ల PbO, 1 మోల్ PbO2 గల స్థాయికియోమెట్రిక్ మిశ్రమం. PbO2 లో లెడ్ +4 ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది. PbO లో లెక్కి స్థిరమైన ఆక్సీకరణ స్థితి +2. PbO2 అప్పుడు ఆక్సీకరణిగా పనిచేయగలదు. అందుకని అది Cl– ని ఆక్సీకరణం చేసి క్లోరిన్ని ఇస్తుంది. ఇంకొక విషయం కూడా మనం దృష్టిలో పెట్టుకోవాలి. PbO ఒక క్షార ఆక్సైడ్. కాబట్టి జరిగే చర్యను
Pb3O4 + 8HCl → 3PbCl2 + Cl2 + 4H2O

రెండుగా విభజించవచ్చు. అవి :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 89
HNO3 ఒక ఆక్సీకరణి. కాబట్టి PbO2, HNO3 ల మధ్య చర్య జరగడం సంభవం కాకపోవచ్చు. అయినప్పటికీ ఆమ్ల క్షార చర్య PbO, HNO3 ల మధ్య చర్య విభిన్న చర్యగా కనిపిస్తుంది.

2PbO + 4HNO3 → 2Pb(NO3)2 + 2H2O
PbO2 తన క్రియారహిత స్వభావాన్ని HNO3 తో చర్యలో చూపిస్తుంది. ఈ స్వభావాన్నే HCl తో చర్య భిన్నంగా ఉండేలా చేస్తుంది.

ప్రశ్న 18.
ఆమ్ల యానకంలో పొటాషియమ్ డైక్రోమేట్ (VI), K2Cr2O7 చర్య సోడియమ్ సల్ఫైట్తో జరుగుతుంది. ద్రావణంలో క్రోమియమ్ (II), సల్ఫేట్ అయాన్లు ఏర్పడతాయి. ఈ ఫలిత చర్యకు అయానిక సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
1వ దశ : సంక్షిప్త అయానిక సమీకరణం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 90
ఈ సమీకరణంలో డైక్రోమేట్ అయాన్ ఆక్సీకరణి (అది సల్ఫైట్ అయాన్ని సల్ఫేట్ అయాన్ ఆక్సీకరణం చెందుతుంది) అనీ, సల్ఫైట్ అయాన్ క్షయకరణి (అది డైక్రోమేట్ అయాన్ని క్రోమియమ్ (III) గా క్షయకరణం చేస్తుంది) అనీ సూచిస్తుంది.

3వ దశ :
ఆయా జాతుల ఆక్సిడేషన్ సంఖ్యల్లో పెరుగుదలను లేదా తగ్గుదలను లెక్కగట్టాలి. తరవాత వాటిని సమం చేయాలి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 91
రెండు Cr3+ లు ఏర్పడ్డాయి కాబట్టి మొత్తం క్షయ కరణంలో 6 యూనిట్లు మార్పు ఉండాలి. SO2-3 ని 3తో హెచ్చవేస్తే అది అవుతుంది.

4వ దశ :
క్రియాజన్యాల గుణకాలను దానికి అనుగుణంగా సరిచేయాలి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 92

5వ దశ :
(a) హైడ్రోజన్ పరమాణువుల కొరత ఉన్న వైపున చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరిగినట్లైతే H+ అయాన్లనీ, క్షార యానకంలో జరిగినట్లైతే H2O ని తగిన సంఖ్యలో
కలపాలి.

(b) ఆక్సిజన్ పరమాణువుల కొరత ఉన్న వైపున చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరిగినట్లైతే H2O ని, క్షార యానకంలో జరిగినట్లైతే OH– అయాన్లను తగిన సంఖ్యలో కలపాలి. (a), (b) ప్రక్రియలని ఎన్నిసార్లైనా చేయవచ్చు. దాగుడు మూతల పద్ధతిలో తుల్యం చేస్తూ చివరకు హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్ పరమాణువులు ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలో రెండువైపులా సమానమయ్యేంతవరకు పొడిగిస్తారు. కావలసిన చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరుగుతుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 93

ప్రశ్న 19.
పెర్మాంగనేట్ అయాన్ క్షార యానకంలో బ్రోమైడ్ అయాన్తో చర్య జరుపుతుంది. మాంగనీస్ డై ఆక్సైడ్, బ్రోమేట్ అయాన్లు ఏర్పడతాయి. దీనికి సమతుల అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
సాధన:
1వ దశ : సంక్షిప్త అయానిక సమీకరణం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 94
ఈ సమీకరణం MnO–4 ఆక్సీకరణి అనీ, Br క్షయకరణి అనీ సూచిస్తుంది.

3వ దశ :
ఒక పరమాణువుకు ఆక్సిడేషన్ సంఖ్యలో పెరుగుదలను లేదా తగ్గుదలను లెక్క చేయండి. తరవాత ఆ మూలకం ఉండే అణువు మొత్తానికి లేదా అయాన్కి కలిగే పెరుగుదలను లేదా తగ్గుదలను కనుక్కోవాలి. ఆక్సీకరణ ప్రక్రియలో వచ్చిన ఆక్సిడేషన్ సంఖ్య యూనిట్ లలో వచ్చిన మార్పు, క్షయకరణ ప్రక్రియలో వచ్చిన ఆక్సిడేషన్ సంఖ్య యూనిట్లలో వచ్చిన మార్పుకు సమానం కావాలి. అలా కాకపోతే ఆక్సీకరణ కారకాన్ని, క్షయకరణ కారకాన్ని అనుకూలమైన సంఖ్యలతో గుణించాలి. అంటే ఆక్సీకరణి MnO–4 ని 2 తోనూ, క్షయకరణి Br– ని 1తోనూ గుణించాలి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 95

ఆక్సీకరణంలో మార్పు వచ్చిన యూనిట్ల సంఖ్య = క్షయకరణంలో మార్పు వచ్చిన యూనిట్ల సంఖ్య

4వ దశ :
క్రియాజన్యాల గుణకాలను సరిచేయాలి.
2MnO–4 (జల) + Br– (జల) → 2MnO2(ఘ) + BrO–3 (జల)

5వ దశ :
(a) హైడ్రోజన్ పరమాణువుల కొరత ఉన్న వైపున, చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరిగినట్లైతే H+ అయాన్లనీ, క్షార యానకంలో జరిగినట్లైతే H2O ని తగిన సంఖ్యలో కలపాలి.

(b) ఆక్సిజన్ పరమాణువుల కొరత ఉన్న వైపున, చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరిగినట్లైతే H2O ని, క్షార యానకంలో జరిగిన OH– ని, తగిన సంఖ్యలో కలపాలి. (a), (b) ప్రక్రియలను ఎన్నిసార్లైనా చేయవచ్చు. దాగుడుమూతల పద్ధతిలో తుల్యం చేస్తూ చివరకు హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్ పరమాణువులు ఆక్సీకరణం క్షయకరణం చర్యల్లో రెండువైపులా సమానమయ్యే వరకు పొడిగిస్తారు. ఈ చర్య క్షార యానకంలో జరుగుతుంది.
2MnO–4(జల) + Br– (జల) + H2O (ద్ర) → 2MnO2(ఘ) + BrO–3(జల) + 2OH– (జల)

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ

ప్రశ్న 20.
పెర్మాంగనేట్ (VII) అయాన్, MnO–4 క్షార యానకంలో అయొడైడ్ అయాన్ని (I– ని) ఆక్సీ కరణం చేసి అయొడిన్ అణువులను (I2 ని), మాంగనీస్ (IV), ఆక్సైడ్ (MnO2) ని ఇస్తుంది. ఈ ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యకి సమతుల అయానిక, సమీకరణాన్ని రాయండి.
సాధన:
1వ దశ :
మొదటగా సంక్షిప్త అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
MnO–4 (జల) + I–(జల) → MnO2 (ఘ) + I2 (ఘ)
2వ దశ : రెండు అర్ధ చర్యలను రాయాలి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 5 స్టాయికియోమెట్రీ 96

3వ దశ :
| పరమాణువులను ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యలో తుల్యం చేయడానికి,
2I–(జల) → I2 (ఘ)

4వ దశ :
చర్య క్షారయానకంలో జరుగుతుంది కాబట్టి ౦ పరమాణువులను తుల్యం చేయడానికి క్షయకరణ అర్ధ చర్యలో OH– అయాన్లను తగిన సంఖ్యలో కలపాలి.
MnO–4(జల) → MnO2(ఘ) + 2 HO– (ద్ర)

H పరమాణువులను తుల్యం చేయడానికి ఎడమ పక్కన రెండు H2O అణువులను కలపాలి.
MnO–4(జల) + 2 H2O (జల) → MnO2(ఘ) + 2HO– (ద్ర)

H, O పరమాణువులను దాగుడుమూతల పద్ధతిలో తుల్యం చేయాలి. అవసరమైతే ఈ పద్ధతిని చాలాసార్లు చేయాలి. ఫలితంగా వచ్చే సమీకరణం
MnO–4(జల) + 2 H2O (ద్ర) → MnO2(ఘ) + 4OH– (జల)

గమనిక :
H, O పరమాణువులను తుల్యం చేసేటప్పుడు ఇతర కణాల గుణకాలను మార్చరాదు. (ఆక్సీకరణి, క్షయకరణి, క్రియాజన్యాలు).

5వ దశ :
ఈ దశలో రెండు అర్థ చర్యలలోను ఆవేశాలను తుల్యం చేస్తాం. దీనికి ముందు చెప్పిన పద్ధతిని ఉపయో గించుకొంటాం.
2I–(జల) → I2(ఘ) + 2e–
MnO–4(జల) + 2 H2O (ద్ర) + 3e– → MnO2(ఘ) + 4OH– (జల)

ఇప్పుడు ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్యలను సమానం చేయడానికి ఆక్సీకరణం అర్ధ చర్యను 3 పెట్టి, క్షయకరణం అర్ధ చర్యను 2 పెట్టి హెచ్చవేయాలి.
6I–(జల) → 3I2 (ఘ) + 6e–
2 MnO–4(జల) + 4H2O (ద్ర) + 6e– → 2MnO2 (ఘ) + 8OH– (జల

6వ దశ :
రెండు అర్థ చర్యలను కలిపితే మొత్తం మీది చర్య వస్తుంది. రెండు వైపుల ఎలక్ట్రాన్లను కొట్టివేయాలి.
6I–(జల) + 2MnO–4(జల) + 4H2O (ద్ర) → 3I2(ఘ) + 2MnO2(ఘ) + 8OH– (జల)

7వ దశ :
చివరగా సమీకరణాన్ని పరమాణువులు, ఆవేశాల పరంగా రెండువైపులా సరిచూసుకోవాలి.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

by

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 1.
2,3,6 లు మూలాలుగా గల 3 వ తరగతి ఏక బహంపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణ
(x-2)(x-3)(x-6) = 0
⇒ x3-11 x2+36 x-36=0

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 2.
3x3-10x2+7 x+10=0 ఘన సమీకరణం యొక్క మాలాలు, గుణకాల మధ్య సంబంధాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
3x3-10x2+7x + 10 = 0 ……………. (1)
(1) ను ax3+bx2+c x+d=0 తో పోల్చగా
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 1

ప్రశ్న 3.
x4-2x3+4x2+6 x-21=0 ద్వివర్గ సమీకరణం యొక్క మాలాలు, గుణకాల మధ్య సంణంధాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం
x4-2x3+4x2+6 x-21=0
ax4+b x3+cx2+dx+e=0  తో పోల్చగా
a=1, b=-2, c=4, d=6, e=-21
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 2

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 4.
x4+a x3+b x2+c x+d=0 సమీకరణం మొక్క మూలాలు 1, 2, 3, 4 బయితే a, b, c, d విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణ మూలాలు 1, 2, 3, 4
కనుక  x4+a x3+b x2+c x+d
≡ (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)=0
≡ x4-10x3+35x2– 50x+24=0
ఇరువైపుల పదాల గుణకాలను పోల్చగా
a=-10, b=35, c=-50, d=24

ప్రశ్న 5.
సమీకరణం x3-p x2+q x-r=0 మూలాలు a,b,c ల అయి, r ≠ 0 అయితే, అప్పుడు \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) ను p, q, r లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు
x3-p x2+q x-r=0 కు మూలాలు
a+b+c=p, a b+b c+c a=q, a b c=r
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 3

ప్రశ్న 6.
x3-p x2+q x-r=0 సమీకరణ యొక్క మాలాల వర్గాల మొత్తాన్ని, ఘనాల మెత్తాన్ని p q r  లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 4

ప్రశ్న 7.
x3+p1 x2+p2 x+p3=0 సమీకరణం యొక్క మూలాల వర్గాలు మూలాలాగా ఉండే ఘన సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 5

ప్రశ్న 8.
x3+px2+qx+r =0 మాలాలు α, β, γ లు అయితే కింది వాటిని కనుక్కోండి.
(i) ∑ a2
(ii) ∑ \(\frac{1}{\alpha}\)
(iii) ∑ a3
(iv) ∑ β2 γ2
(v) (α + β) (β + γ ) (γ + α )

(i) ∑ a2
సాధన:
α2 + β2 +  γ2
=(α+β+γ)2 -2(αβ + βγ+ γ α)
p2 – 2q

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

(ii) ∑ \(\frac{1}{\alpha}\)
సాధన:
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\gamma \alpha+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{-q}{r}\)

(iii) ∑ α3
సాధన:
∑ α3 
= (α+ β + γ) (a2 + β2 + γ2 – αβ + βγ +γα)+3αβγ
= (- p)(p2 -2q – q) – 3r
= – p(p2– 3q) – 3r
∴ ∑ α3 = – p3 + 3pq – 3r = 3pq – p3– 3r

(iv) ∑ β2 γ2
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 6

(v) (α + β) (β + γ ) (γ + α )
సాధన:
α + β + γ = – p
⇒ α + β = – p – γ మరియు β + γ = – p – α
= γ + α = – p – β
∴ (α + β) (β + γ) (γ + α)
= ( – p – γ)( – p – α) ( – p – β)
=-p3-p2 (α + β + γ) – p (αβ+βγ+γα)-αβγ
= -p3 + p3-pq + r = r – pq

ప్రశ్న 9.
x3+ax2+b x+c=0 మూలాలు α,β,γ లు అయితే ను కనుక్కోండి.
సాధన:
α,β,γ లు దత్త సమీకరణం యొక్క మూలాలు కనుక
α + β + γ = – α, αβ + βγ + γα = b, αβγ = c
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 8

ప్రశ్న 10.
α,β,γ లు x3+p2+q x+r=0 మూలాలు అయితన,  లు మూలాలుగా గల ఏక ఘన సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 9

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 11.
x3-3x2-16 x+48=0 ను సాధించండి.
సాధన:
f(x)=x3-3 x2-16 x+48 అనుకోండి
యత్న – దోష పద్ధతిన f(3)=0
కనుక f(x)=0 కు 3 మూలం
f(x) ను (x-3) చే భాగించగా
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 10

ప్రశ్న 12.
x4-16 x3+86x2-176 x+105=0 యึక్క మాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 11

∴ g(x) & =(x-3)(x2-12 x+35)
=(x-3)(x-5)(x-7)
∴ f(x) & =(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు 1,3,5,7

ప్రశ్న 13.
x3-7x2+36=0 సమీకరణం మొక్క ఒక మాలం మరో దానికి రెట్టింప అయితే, సమీంరాాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x3-7x2+36=0 కు మూలాలు α, β, γ లు అనుకోండి.
β =2α అనుకుందాం
అయిన α + β + γ = 7
⇒ 3α + γ  =7 ………….. (1)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 12

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 14.
x3-6x2+3 x+10=0 సమీకరాానికి ఒక మూలం 2 అయితే, మిగిలిన మాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x)=x3-6x2+3 x+10 అనుకానుము.
f(x)=0 కు 2 మూలం కనుక f(x) ను (x-2) చే భాగించగా
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 13
x3-6x2+3 x+10 = (x – 2)(x2 – 4x – 5)
(x-2) (x+ 1) (x-5)

ప్రశ్న 15.
4x3+20x2-23 x+6=0 సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు సమానమైతే, సమీకరణం యొక్క మాలాలన్నింటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
α,β,γ లు  4x3+20x2-23 x+6=0  కు మూలాలు. రెండు మూలాలు సమానం కనుక α = β అనుకోండి.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 18
పరిశీలనవల్ల
α = \(\frac{1}{2}\) దత్త సమీకరణానికి మూలం
(2) ⇒ γ = – 6
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-6\)

ప్రశ్న 16.
x4– 2x3+4x3+6 x-21=0 సమీకరణం మొక్కరెండు మూలాల మొత్తం సున్న అయితే, సమీకరణ మొక్క మూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β, γ, δ లు దత్త సమీకరణ మూలాలు,
రెండు మూలాల మొత్తం సున్నీ కనుక
α + β = 0 అనుకొనుము.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 19

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 17.
4x3-24x2+23x+18=0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు అంకశేఢిలో ఉంటీ, సమీంరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
a – d, a, a + d లు దత్త సమీకరణ మూలాలు అనుకోండి మూలాల మొత్తం
a – d + a + a + d = \(\frac{24}{4}\)
3a = 6
a = 2
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 20
ప్రశ్న 18.
x3-7x2+14x-8=0, సమీకరణం మూలాలు గుణరీశేధిలో ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం మూలాలు \(\frac{a}{r}\), a, అనుకుందాం. అప్పుడు
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 21

ప్రశ్న 19.
x4-5x3+5x3+5 x-6=0 సమీకరణం మొక్క రెండు మూలాల లబ్దం 3 అయితే ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
α, β, γ, δ లు మూలాలు అనుకుంటే.
వాటి లబ్దం αβγδ =-6
αβ=3 ( రెండు మూలాల లబ్దం 3)
∴ αβγδ = -6
γδ = – 2
α +β = p, γ, δ + q అనుకోండి
αβ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x2-(α +β) x + αβ =0
x2-p x+3=0
γ ,δ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x2 – (γ + δ)x + γδ = 0
x2 – qx – 2 = 0
x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6
= (x2-px-t- 3)(x2– qx – 2)
= x4 – (p + q) x3 + (1 + pq) x2 +(2p-3q)x-6
సరిపదాల గుణకాలను పోల్చగా
p+q=5, 2p-3 q=5
∴ 2 p-3 q=5
3 p+3 q=15
5 p=20 ⇒ p=4
∴ q = 1
x2 -4x+3=0 ⇒ (x-3)(x-1)=0
⇒ x=1,3
x2-x-2=0 ⇒ (x-2)(x+1)=0
⇒ x = -1,2
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -1,2,1,3

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 20.
x4+4x3-2x2-12x+9=0 సమీకరణానికి రంండు జతల సమాన మూలాలు ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 22
x2 + 2x+p = 0 = x2+2x – 3 = 0
⇒ (x-1-3) (x – 1) = 0
⇒ x = – 3,1
దత్త సమీకరణం మూలాలు -3, – 3, 1 ,1

ప్రశ్న 21.
p3 – 4 p q+8 r=0 అయితేనే x4+px3+q x2 + rx+s=0 మొక్క రెండు మాలాల మొత్తం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తానికి సమానమని నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం రెండు మూలాల మొత్తం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తానికి సకానమని అనుకుందాం. α β γ δ అయ్యేటట్లు సమీకరణం మూలాలను α + β = γ + δ అనుకుందాం.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 24
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 25

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 22.
\(4+\sqrt{3}, 4-\sqrt{3}, 2+i, 2-i\) లను మాలాలుగా గల 4వ తరగతి ఏక ఱహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
\(4+\sqrt{3}, 4-\sqrt{3}\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
2+i, 2 – i లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x2-4 x+5=0
కావలసిన సమీకరణం
(x2-8 x+13)(x2-4 x+5)=0
∴ x4-12x3+50x2-92 x+65=0

ప్రశ్న 23.
6x4-13 x3-35 x2-x+3=0 సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం. \(2+\sqrt{3}\) అయితే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 26

ప్రశ్న 24.
x4-6 x3+7x2-2 x+1=0 సమీకరణం మొక్క మూలాల వ్యతిరేక గుర్తులతో మాలాలు గల నాలుగో తరగతి ణహబపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡  x4-6x3+7x2-2 x+1=0
కావలసిన సమీకరణం f(-x)=0
i.e., (-x)4-6(-x)3+7(-x)2-2(-x)+1=0
∴ x4+6x3+7x2+2x+1=0

ప్రశ్న 25.
6x4-7x3+8x2-7x+2=0 సమీకరణం మొక్క మాలాలకు 3 రెట్లున్న మాలాలు గల నాలుగో తరగతి బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ 6x4-7x3+8x2-7 x+2=0
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 27

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 26.
\(x^3+\frac{x^2}{4}-\frac{x}{16}+\frac{1}{72}\) = 0 సమీకరణ మూలాలకు m రెట్లున్న మూలాలు గల మూడో తరగతి సమీకరణాన్ని రూపొందించి, m = 12 సందర్భానికి సమీకరణాన్ని రాణట్టండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 29
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 30

ప్రశ్న 27.
x5+4 x3-x2+11=0 సమీకరణ మూలాలు -3 తో మార్పు చెందగా వచ్చే విలువలను మూలాలుగా కలిగిన 5వ తరగతి ణహంపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f ≡ x5+4 x3-x2+11=0
కావలసిన సమీకరణం f(x+3)=0
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 31

ప్రశ్న 28.
4x4+32x3+83x2+76 x+21=0 మూలాలు 2 తో మార్పు చెందగా వచ్చే విలువలను మాలాలుగా గల 4 వ తరగతి బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ 4x4+32x3+83x2+76 x+21=0
కావలసిన సమీకరణం f(x-2)=0
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 32

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 29.
x4+3x3-6 x2+2 x-4=0 సమీకరణ మాలాల వ్వత్కమ్మాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 33

ప్రశ్న 30.
x3-x3+8 x-6=0 మాలాల వర్గాలు మాలాలుగా గల ఐహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 34

ప్రశ్న 31.
2x3+5x2+5 x+2=0 ఒకటో కోవకు చెందిన వ్కత్రమ సమీకరణమని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 2x3+5x2+5 x+2=0
P0 =2, P1 =5, P2 =5, P3 =2
ఇచ్చట P0 = P3, P1 = P2
∴ 2x3+5x2+5 x+2=0 సమీకరణం ఒకటో కోవకు చెందిన వ్యుత్రమ సమీకరణం.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 32.
సాధించండి : 4x3-13x2-13 x+4=0
సాధన:
4x3-13x2-13x+4=0
ఒకటో కోవకు చెందిన బేసి పరిమాణ వ్యుత్కమమ సమీకరణం కనుక -1 దీనికి ఒక మూలం
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 35
4x2-17 x+4=0 4x2-16 x-x+4=0
4x(x-4)-1(x-4)=0
(x-4)(4 x-1)=0
x=4 (లేదా) \(\frac{1}{4}\)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -1,4, \(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 33.
సాధించండి :
6x4-35x3+62x2-35 x+6=0
సాధన:
6x4-35x3+62x2-35 x+6=0
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 36

ప్రశ్న 34.
సాధించండ: :
x5-5x4+9x3-9x2+5 x-1=0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
x5-5x4+9x3-9x2+5 x-1=0 రండో కోవకు చెందిన బేసి పరిమాణ వ్రుత్రమ సమీకరణం
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 37
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 38

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 35.
సాధించండి :
6x6-25x5+31x4-31x2+25 x-6=0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
6x6-25x5+3 x4-31x2+25 x-6=0 ఇది రెండవ కోవకు చెందిన సరి పరిమాణ వ్యుత్కమ సమీకరణం
∴ x2 -1 అనేది
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 39
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం 40

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

by

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 4th Lesson పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 4th Lesson పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వాయు అణువుల మధ్య ఉండే వివిధ రకాల అంతరఅణుబలాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
విక్షేపణ బలాలు, ద్విధృవ – ద్విధృవ ఆకర్షణ బలాలు, ద్విధృవ – ప్రేరిత ద్విధృవ బలాలు, హైడ్రోజన్ బంధం మొ||నవి అంతరఅణుబలాలు.

ప్రశ్న 2.
బాయిల్ నియమాన్ని తెలిపి, దాని గణితాత్మక రూపం తెలపండి.
జవాబు:
బాయిల్ నియమం : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి ఉన్న వాయువు ఘనపరిమాణం దాని పీడనానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
V ∝ \(\frac{1}{P}\)
V = వాయు ఘనపరిమాణం
P = వాయు పీడనం

ప్రశ్న 3.
ఛార్లెస్ నియమాన్ని తెలిపి, దాని గణితాత్మక రూపం తెలపండి.
జవాబు:
ఛార్లెస్ నియమం :
స్థిర పీడనం వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం ప్రతి 1°C ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలకు 0° C వద్ద దాని ఘనపరిమాణంలో \(\frac{1}{273}\) పెరుగుతుంది.
Vt = V0 (1 + \(\frac{t}{273}\))

నియమిత భారం గల వాయువు ఘనపరిమాణం స్థిరపీడనం వద్ద దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
P ∝ T లేదా \(\frac{P}{T}\) = స్థిరాంకం ;
అనగా \(\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}\)

ప్రశ్న 4.
సమోష్ణోగ్రతరేఖలు (Isotherms) అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
ఒక వాయువు స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఘనపరిమాణాన్ని X – అక్షం మీద పీడనాన్ని Y – అక్షం మీద తీసుకుని గ్రాఫ్ గీయగా ఒక చతురస్రాకార పరావలయం లభిస్తుంది. ఇది స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, నిర్ణీత భారం గల వాయువుకు P, V ల మధ్య సంబంధాన్ని తెలుపుతుంది. దీనినే సమోష్ణోగ్రతా రేఖ అంటారు.

ప్రశ్న 5.
పరమ ఉష్ణోగ్రత అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
దీనినే కెల్విన్ ఉష్ణోగ్రత అంటారు. ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్దనైతే పరమ (లేదా) కెల్విన్ స్కేల్ సున్నా – 273.16° C వద్ద ఉంటుందో దానినే పరమ ఉష్ణోగ్రత అంటారు.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 6.
సమపీడన రేఖలు (lsobars) అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
స్థిర పీడనం వద్ద గీయు గ్రాఫ్లను సమపీడన రేఖలు (Isobars) అంటారు.
ఉదా : ఘనపరిమాణం, ఉష్ణోగ్రత మధ్య గీయు గ్రాఫు.

ప్రశ్న 7.
పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 1
వాయు ఘనపరిమాణానికి, ఉష్ణోగ్రతకు సంబంధించిన గ్రాఫ్ ప్రకారం – 273°C వద్ద ప్రతి వాయువు ఘనపరిమాణం సున్న అవుతుంది. ఈ ఉష్ణోగ్రతను పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత అంటారు.

ప్రశ్న 8.
అవొగాడ్రో నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
అవొగాడ్రో నియమం :
“స్థిర ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద సమాన ఘనపరిమాణం గల వాయువులన్నింటిలో సమాన సంఖ్యలో అణువులుంటాయి.” గణితం ప్రకారం ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తారు.
V ∝ n (P, T లు స్థిరం) లేక \(\frac{V}{n}\) = స్థిరం (P, Tలు స్థిరం)

ప్రశ్న 9.
స్థిర ఘనపరిమాణ రేఖలు (Isochores) అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
ఒక వాయువులో ఉష్ణోగ్రతా, పీడనాల మధ్య మార్పును స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద గమనించుటకు గీయు గ్రాఫ్లను సమ ఘనపరిమాణ రేఖలు అంటారు (Isochores).

ప్రశ్న 10.
STP పరిస్థితులను తెలపండి.
జవాబు:
STP అనగా ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రతా పీడనాలు
ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రత = 273 K
ప్రమాణ పీడనం = 1 atm = 76 cm = 760 mm. Hg.
STP వద్ద ఒక మోల్ వాయువు 22.4 లీ. ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది.

ప్రశ్న 11.
గ్రామ్ మోలార్ ఘనపరిమాణం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
వాయుస్థితిలో ఒక గ్రామ్మోల్ వాయువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణాన్ని గ్రామ్ మోలార్ ఘనపరిమాణం అంటారు.

STP వద్ద ఒక మోల్ వాయువు 22.4 లీ. ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 12.
ఆదర్శ వాయువు అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
అన్ని ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద వాయు నియమాలన్నింటినీ (లేక) వాయు సమీకరణాన్ని తృప్తిపరిచే వాయువును ఆదర్శ వాయువు అంటారు.

ప్రశ్న 13.
వాయు స్థిరాంకం ‘R’ ను విశ్వవాయు స్థిరాంకం అని ఎందుకు పిలుస్తారు?
జవాబు:
R అనునది ఒక స్థిరాంకం. దీని విలువ అన్ని వాయువులకు ఒకే విధంగా ఉండుటచే దీనిని సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం అంటారు.

ప్రశ్న 14.
ఆదర్శ వాయు సమీకరణాన్ని స్థితి సమీకరణం అని ఎందుకు అంటారు?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయు సమీకరణాన్ని స్థితి సమీకరణం అని అంటారు. ఎందువలన అనగా ఈ సమీకరణం నాలుగు చరాంకాల మధ్య సంబంధం (P, V, n, T) మరియు ఇది ఏ వాయువు స్థితినైనా వివరిస్తుంది.

ప్రశ్న 15.
వాయు స్థిరాంకం ‘R’ విలువను వివిధ ప్రమాణాల్లో తెలపండి.
జవాబు:
R = 0.0821 lit. atm. k-1 mol-1
= 8.314 J. k1 mol-1
= 1.987 cal. k-1 mol-1
= 8.314 × 107 ergs. k-1 mol-1

ప్రశ్న 16.
ఒక వాయువు యొక్క సాంద్రత, మోలార్ ద్రవ్యరాశుల మధ్య సంబంధాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 2

ప్రశ్న 17.
గ్రాహం వాయు వ్యాపన నియమాన్ని తెలపండి. [Mar, ’14]
జవాబు:
ఒక వాయువు వ్యాపన రేటు దాని సాంద్రత వర్గమూలానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
r ∝ \(\frac{1}{\sqrt{d}}\)
r = వాయు వ్యాపన వేగం
d = వాయు సాంద్రత

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 18.
N2, O2, CH4, వాయువులలో ఏది త్వరితంగా వ్యాపనం చెందుతుంది. ఎందువల్ల? [T.S. Mar. ’15]
జవాబు:
N2 అణుభారం = 28
O2 అణుభారం = 32
CH4 అణుభారం = 16
∴ తక్కువ అణుభారం గల వాయువు త్వరగా వ్యాపనం చెందుతుంది. కాబట్టి, ఈ పై ఇవ్వబడిన సమస్యలో CH4 త్వరగా వ్యాపనం చెందుతుంది.

ప్రశ్న 19.
సల్ఫర్ డయాక్సైడ్ కంటే మిథేన్ ఎన్ని రెట్లు త్వరితంగా వ్యాపనం చెందుతుంది ?
జవాబు:
రెండు రెట్లు వేగంగా వ్యాపిస్తుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 3

ప్రశ్న 20.
డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమాన్ని తెలపండి. [Mar. ’14]
జవాబు:
స్థిర ఉష్ణోగ్రతా ఘనపరిమాణాలలో ఒక వాయు మిశ్రమం కలిగించే పీడనం ఆ మిశ్రమంలోని అనుఘటక వాయువుల పాక్షిక పీడనాల మొత్తానికి సమానం.
p = p1 + p2 + p3
p వాయు మిశ్రమం పీడనం
p1, p2, p3 = పాక్షిక పీడనాలు.

ప్రశ్న 21.
ఒక వాయువు పాక్షిక పీడనానికి, దాని మోల్ భాగానికి గల సంబంధాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
పాక్షిక పీడనం = మొత్తం పీడనం × మోల్ భాగం.
PA = PT × XA

ప్రశ్న 22.
నీటి ఆవిరి సంతృప్త బాష్పపీడనం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
నీటి ఆవిరి, ద్రవరూప నీటితో సమతాస్థితిలో ఉన్నపుడు ఉత్పత్తి అయ్యే పీడనాన్ని నీటి ఆవిరి సంతృప్త బాష్పపీడనం అంటారు.

ప్రశ్న 23.
వాయువుల అణుచలన సిద్ధాంతంలోని ఏ రెండు అంశాలు ఆదర్శ ప్రవర్తన నుంచి నిజవాయువుల విచలనాన్ని వివరించలేవు?
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతంలోని ఈ క్రింది అంశాలు ఆదర్శ ప్రవర్తన నుంచి నిజ వాయువుల విచలనాన్ని వివరించలేదు.

  • వాయు అణువుల మధ్య ఎటువంటి ఆకర్షణ మరియు వికర్షణ బలాలు లేవు.
  • వాయువు ఆక్రమించు ప్రదేశంతో పోల్చితే వాయు అణువుల ఘనపరిమాణం లెక్కలో తీసుకోదగినది కాదు.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 24.
చలద్వాయు సమీకరణాన్ని రాసి, దానిలోని పదాలను తెలపండి.
జవాబు:
చలద్వాయు సమీకరణం: PV = \(\frac{1}{2}\) mnu²
ఇచ్చట P = వాయు పీడనం ; V = వాయు ఘనపరిమాణం ; m = వాయు అణువు ద్రవ్యరాశి ; n = వాయు అణువుల సంఖ్య ; u = RMS వేగం.

ప్రశ్న 25.
వాయు అణువుల గతిజశక్తిని లెక్కకట్టుటకు సమీకరణాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 4
దీనిలో ‘k’ ను బోల్ట్స్మన్ స్థిరాంకం అంటారు. దీనినే ఒక అణువుకు వాయు స్థిరాంకం అంటారు.
దీని విలువ 1.38 × 10-16 ఎర్గ్. డిగ్రీ-1. అణువు-1 (లేక) 1.38 × 10-23 జౌల్. డిగ్రీ-1. అణువు-1
‘n’ మోల్ల వాయువులోని గతిశక్తి = n, Ek = \(\frac{3}{2}\) nRT

ప్రశ్న 26.
బోల్ట్మన్ స్థిరాంకం అంటే ఏమిటి? దాని విలువను తెలపండి.
జవాబు:
ఒక అణువుకు గల వాయు స్థిరాంకము విలువను బోల్ట్మన్ స్థిరాంకము అంటారు.
K = \(\frac{R}{N}\) దీని విలువ K = 1.38 × 10-23 జౌల్స్. డిగ్రీ-1. అణువు-1.

ప్రశ్న 27.
RMS వేగం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
RMS వేగం (Urms) :
వాయు అణువుల వేగాల వర్గాల సరాసరి యొక్క వర్గమూలాన్ని RMS వేగం అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 5

ప్రశ్న 28.
సగటు వేగం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
సగటు వేగం (Uav) :
ఒక వాయువులో అన్ని అణువుల వేగాల సగటు విలువ.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 6
సగటు వేగం = 0.9213 × RMS వేగం.

ప్రశ్న 29.
గరిష్ఠ సంభావ్యత వేగం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
వాయువులోని అధిక సంఖ్య అణువులకు ఉండే వేగాన్ని గరిష్ఠ సంభావ్యతా వేగం అంటారు. (Ump).
U = \(\sqrt{\frac{2RT}{M}}\)mp 2RT

ప్రశ్న 30.
వాయు అణువుల వేగాలపై ఉష్ణోగ్రత ప్రభావమేమిటి?
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారం గతిజశక్తి, పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఉష్ణోగ్రతను పెంచితే వాయు అణువుల గతిశక్తి పెరిగి, వేగం పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 31.
వాయు అణువుల గతిజశక్తిపై ఉష్ణోగ్రత ప్రభావమేమిటి?
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారం వాయు అణువుల గతిశక్తి పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
KE ∝ T(పరమ)

ప్రశ్న 32.
వాయు అణువుల RMS వేగం, సగటు వేగం, గరిష్ఠ సంభావ్యత వేగాల నిష్పత్తిని తెలపండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 7

ప్రశ్న 33.
చలద్వాయు సమీకరణంలో RMS వేగాన్ని ఎందుకు తీసుకుంటారు?
జవాబు:
ఇచ్చిన వాయువులోని అణువులన్నింటి వేగాలు సమానంగా ఉండవు. వాయువు ఒక అణువు వేగం కూడా తాడనాల వలన నిరంతరం మారుతూ ఉంటుంది. కనుక అణువుల సగటు వేగాన్ని మాత్రమే లెక్కగట్టగలము.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 8

ప్రశ్న 34.
సంపీడన గుణకం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
ఒకే ఉష్ణోగ్రత పీడనాలలో నిజవాయువు అసలైన మోలార్ ఘనపరిమాణం, ఆదర్శవాయు మోలార్ ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి
Z = \(\frac{PV}{nRT}\)
ఆదర్శ వాయువులకు 2 = 1.

ప్రశ్న 35.
బాయిల్ ఉష్ణోగ్రత అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
కొంత పీడన పరిధిలో ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్దనైతే నిజవాయువులు ఆదర్శ వాయు స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటాయో ఆ బాయిల్ ఉష్ణోగ్రత అంటారు.

ప్రశ్న 36.
సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత అంటే ఏమిటి? CO2 కు దాని విలువ ఇవ్వండి.
జవాబు:
సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత (Tc) :
“ఏ ఉష్ణోగ్రత కన్నా ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద పీడనాన్ని ఉపయోగించి వాయువును ద్రవీకరించలేమో ఆ ఉష్ణోగ్రతను వాయువు యొక్క సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత అందురు.” దీనిని ‘Tc‘ తో సూచించెదరు. Tc విలువ వాయువు యొక్క అభిలాక్షణిక ధర్మం.

ప్రశ్న 37.
సందిగ్ధ ఘనపరిమాణం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
సందిగ్ధ ఘనపరిమాణం (Vc) : సందిగ్ధ పీడనం, సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఒక గ్రామ్ మోల్ వాయువు ఆక్రమించు ఘనపరిమాణంను సందిగ్ధ ఘనపరిమాణం అందురు. దీనిని ‘V’ తో సూచించెదరు.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 38.
సందిగ్ధ పీడనం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
సందిగ్ధ పీడనం (Pc) :
సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఒక మోల్ వాయువును ద్రవీకరించుటకు అవసరమయిన పీడనంను సందిగ్ధ పీడనం అంటారు. దీనిని ‘Pc‘ తో సూచించెదరు.

ప్రశ్న 39.
సందిగ్ధ స్థిరాంకాలు అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
సందిగ్ధ పీడనం, సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత, సందిగ్ధ ఘనపరిమాణాలను సందిగ్ధ స్థిరాంకాలు అందురు.

ప్రశ్న 40.
ద్రవం బాష్ప పీడనాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
ద్రవం ఉపరితలంపై బాష్పం ఉత్పత్తి చేయు పీడనంను బాష్పపీడనం అంటారు. ద్రవం మరియు బాష్పం సమతాస్థితిలో ఉండవలెను.

ప్రశ్న 41.
సాధారణ, ప్రమాణ బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రతలు అంటే ఏమిటి? H2O కు వాటి విలువలు ఇవ్వండి.
జవాబు:

  • 1 అట్మాస్పియర్ పీడనం వద్ద బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రతలను సాధారణ బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రతలు అంటారు.
  • 1 బార్ పీడనం వద్ద బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రతలను ప్రమాణ బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రతలు అంటారు.
  • నీటి సాధారణ బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రత – 100° C.
  • నీటి ప్రమాణ బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రత – 99.6° C.

ప్రశ్న 42.
కొండల మీద వంట చేయడానికి ప్రెజర్ కుక్కర్లను ఎందుకు వాడతారు?
జవాబు:
కొండ ప్రాంతంలో ఆహారం వండుటకు ప్రెషర్ కుక్కర్ ఉపయోగిస్తారు. ఎందువలన అనగా ఎత్తైన ప్రాంతాలలో తక్కువ వాతావరణ పీడనం ఉంటుంది. ఎత్తైన ప్రాంతాలలో ద్రవాలు తక్కువ ఉష్ణోగ్రతలలో బాష్పీభవనం చెందును. కావున నీరు కొండ ప్రాంతాలలో తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద బాష్పీభవనం చెందును.

ప్రశ్న 43.
తలతన్యత అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
తలతన్యత :
మెర్క్యురీని ద్రవం బొట్లు కొన్నింటిని ఒక తలంపై ఉంచినప్పుడు అది తలం మీద విస్తరణ చెందకుండా గోళాకార గుండుగా మారుతుంది. ఈ ప్రక్రియలు ద్రవాల ఒక అభిలాక్షణిక ధర్మంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ ధర్మానే తలతన్యత అంటారు.

ప్రశ్న 44.
దళ ప్రవాహం (Laminar flow) అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
ఒక ద్రవంలో ఒక్కొక్క పొరలోని అణువులు వేరు వేరు వేగాలలో ప్రయాణిస్తూ, ఒక క్రమపద్ధతిలో వేగాల్లో భేదాలున్న ఈ పొరల ప్రవాహాన్ని దళప్రవాహం (Laminar flow) అంటారు.

ప్రశ్న 45.
స్నిగ్ధతా గుణకం అంటే ఏమిటి? దాని ప్రమాణాలు తెలపండి.
జవాబు:
F = η A\(\frac{du}{dx}\) ; η (ఈటా) అనేది అనుపాత స్థిరాంకం. దీన్నే స్నిగ్ధతా గుణకం అంటారు.

స్నిగ్ధతా గుణకాన్ని వేగ ప్రవీణత స్పర్శా వైశాల్యాలు ఒక్కొక్కటి ఒక యూనిట్గా ఉన్నప్పుడు కావలసిన బలం అని నిర్వచించవచ్చు.
ప్రమాణాలు : g. cm-1 sec-1.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బాయిల్ నియమాన్ని తెలిపి, వివరించండి.
జవాబు:
బాయిల్ నియమం :
‘స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయు ఘనపరిమాణం దాని పీడనానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.” దీనిని గణితం ప్రకారం ఈ క్రింది విధంగా సూచిస్తారు.
V ∝ \(\frac{1}{P}\) (T స్థిరం) లేక V = k × \(\frac{1}{P}\) (T స్థిరం) లేక PV = K (T స్థిరం)
బాయిల్ నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా కూడా నిర్వచించవచ్చు.

“స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం మరియు పీడనాల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది.”

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 2.
ఛార్లెస్ నియమాన్ని తెలిపి, వివరించండి.
జవాబు:
ఛార్లెస్ నియమం :
“స్థిర పీడనం వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది”. ఇదే ఛార్లెస్ నియమం.
V ∝ T
V = kT
\(\frac{V}{T}\) = k
ఇక్కడ V = ఘనపరిమాణం
T = పరమ ఉష్ణోగ్రత
k = స్థిరాంకం

స్థిర పీడనం వద్ద ఒక వాయువు ఘనపరిమాణాలు T1 మరియు T2 పరమ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద V1 మరియు V2 లు అయిన
\(\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\) = k

ప్రశ్న 3.
ఆదర్శ వాయు సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఆదర్శవాయు సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించుట :
వాయువు ఘనపరిమాణం, పీడనం, మోల్ల సంఖ్య మరియు పరమ ఉష్ణోగ్రతల మధ్యగల సంబంధాన్ని తెలియచేసే సమీకరణాన్ని ఆదర్శవాయు సమీకరణం అంటారు. బాయిల్, చార్లెస్, అవగాడ్రో నియమాలనుండి దీనిని ఈ క్రింది విధంగా ఉత్పాదిస్తారు.
బాయిల్ నియమం ప్రకారం, V ∝ \(\frac{1}{P}\) (T స్థిరం) ……………. (1)
చార్లెస్ నియమం ప్రకారం, V ∝ T (P స్థిరం) ……………. (2)
అవగాడ్రో నియమం ప్రకారం, V ∝ n (P, T లు స్థిరం) …………. (3)

పై మూడు సమీకరణాలను కలిపితే V ∝ \(\frac{1}{P}\) × T × n లేక V = R × \(\frac{1}{P}\) × T × n లేక PV = nRT
దీనినే ఆదర్శ వాయు సమీకరణం అంటారు.

ఇచ్చట P = వాయు పీడనం, V = వాయు ఘనపరిమాణం, T = వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రత, n = వాయువులోని మోల్ల సంఖ్య, Rను మోలార్ వాయు స్థిరాంకం అని, సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం అని అంటారు.
n = 1 అయితే అంటే ఒక మోల్ వాయువును తీసుకుంటే పై ఆదర్శవాయు సమీకరణం, PV = RT గా మారుతుంది. లేక \(\frac{PV}{T}\) = R

ప్రశ్న 4.
గ్రాహం వాయు వ్యాపన నియమాన్ని తెలిపి, వివరించండి.
జవాబు:
గ్రాహం వాయు వ్యాపన నియమము :
“స్థిర ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఒక వాయువు వ్యాపన రేటు దాని సాంద్రత యొక్క వర్గమూలానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది”. గణితాత్మకముగా, ఈ నియమాన్ని క్రింది విధంగా వ్రాస్తారు.
r ∝ \(\frac{1}{\sqrt{d}}\) (T, P లు స్థిరం) లేక r = K. \(\frac{1}{\sqrt{d}}\)
ఇచ్చట K ను వ్యాపనరేటు స్థిరాంకం ; n = వ్యాపన రేటు ; d వాయు సాంద్రత.

స్థిర ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద రెండు వాయువుల వ్యాపన వేగాలు r1, r2 లు అని వాటి సాంద్రతలు d1, d2 లు అని అనుకుంటే, అపుడు గ్రాహం నియమం ప్రకారం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 9

ప్రశ్న 5.
డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమాన్ని తెలిపి, వివరించండి.
జవాబు:
“స్థిర ఉష్ణోగ్రతా ఘనపరిమాణాలలో ఒక వాయు మిశ్రమం కలిగించే పీడనం ఆ మిశ్రమంలోని అనుఘటక వాయువుల పాక్షిక పీడనాల మొత్తానికి సమానం”. ఇదే డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం.

ఒక వాయు మిశ్రమంలో మూడు వాయువులు ఒక పాత్రలో ఉన్నాయనుకుందాం. వాటి పాక్షిక పీడనాల P1, P2, P3 అనుకుందాం. మిశ్రమం మొత్తం పీడనం ‘P’ అయితే డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం ప్రకారం.
P = P1 + P2 + P3

ఆ మిశ్రమంలోని మూడు వాయువుల మోల్ సంఖ్యలు n1, n2, n3 అనుకుందాం. “T” పరమ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆ మిశ్రమం ఘనపరిమాణం “V” అయితే ఆదర్శవాయు సమీకరణం ప్రకారం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 10
∴ మిశ్రమం మొత్తం పీడనం ‘P’ విలువ, P = P1 + P2 + P3
డాల్టన్ నియమం ప్రకారం వాయు మిశ్రమం కలుగచేసే మొత్తం పీడనం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 11
∴ సాధారణంగా, పాక్షిక పీడనం = మొత్తం పీడనం × మోల్ భాగం.

ప్రశ్న 6.
చలద్వాయు సమీకరణం నుండి (a) బాయిల్ నియమం (b) ఛార్లెస్ నియమం రాబట్టండి. [T.S. Mar. ’15]
జవాబు:
a) బాయిల్ నియమం :
చలద్వాయు సమీకరణం : PV = \(\frac{1}{3}\) mnu²
ఇచ్చట P = వాయు పీడనం; V = వాయు ఘనపరిమాణం ; m = వాయు అణువు ద్రవ్యరాశి ; n = వాయు అణువుల సంఖ్య ; u = RMS వేగం.
వాయువు సగటు గతిశక్తి = \(\frac{1}{3}\) mnu²
అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారం = \(\frac{1}{3}\) mnu² ∝ T (లేక) \(\frac{1}{3}\) mnu² = kT
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 12
బాయిల్ నియమములో ఉష్ణోగ్రత స్థిరం, V = స్థిరం × \(\frac{1}{P}\) అవుతుంది.
(లేక) V ∝ \(\frac{1}{P}\) = (T స్థిరం)
ఇదే బాయిల్ నియమం.

b) చార్లెస్ నియమం :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 13
స్థిర పీడనం వద్ద, \(\frac{2K}{3P}\) ఒక స్థిరాంకము.
\(\frac{V}{T}\) = స్థిరాంకము (స్థిరపీడనం వద్ద)
⇒ V = KT
⇒ V ∝ T. ఇదే ఛార్లెస్ నియమం.

ప్రశ్న 7.
చలద్వాయు సమీకరణం నుండి (a) గ్రాహం నియమం (b) డాల్టన్ నియమం రాబట్టండి. [A.P. & T.S. Mar. ’15’]
జవాబు:
(a) గ్రాహమ్ వాయువ్యాపన నియమం :
చలద్వాయు సమీకరణం ప్రకారం PV = \(\frac{1}{3}\) mnu²
ఇందులో ‘mn’ వాయువు మొత్తం ద్రవ్యరాశిని సూచిస్తుంది.
‘n’ అవగాడ్రో సంఖ్య అయితే ‘m’ ఒక అణువు ద్రవ్యరాశి అనుకుంటే, అప్పుడు ‘mn’ విలువ గ్రాము అణుభారం (M) కు సమానమవుతుంది..
కాబట్టి PV = \(\frac{1}{3}\) Mu²
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 14
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 15

ఇదే గ్రాహమ్ వాయు వ్యాపన నియమం.

b) డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమము :
‘V’ ఘనపరిమాణం గల ఒక పాత్రలో ఒక వాయువు ఒక్కొక్క అణువు ‘m1‘ గ్రాముల భారం గల ‘n1‘ అణువులను, u1, RMS వేగం కలిగి ఉందనుకుందాం. ఆ వాయువు పీడనం ‘P1‘ అయితే
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 16

ఈ వాయువును రెండో వాయువుతో తొలగించామనుకుందాం. రెండో వాయువు ఘనపరిమాణం V, పీడనం ‘P2‘ అనుకుంటే రెండో వాయువుకు ‘n2‘ అణువులు ఒక్కొక్క అణువు ‘m2‘ గ్రాముల భారంతో “u2” RMS వేగంతో ఉన్నాయనుకుంటే
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 17

ఇప్పుడు ఒకేసారి ఆ రెండు వాయువులను అదే పాత్రలో తీసికొంటే మిశ్రమం పీడనం ‘P’ అయితే
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 18
ఇదే డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం.

ప్రశ్న 8.
వాయు అణువుల గతిజశక్తికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
వాయువులో ఒక మోల్ అణువులు ఉన్నపుడు ‘n’ విలువ అవగాడ్రో సంఖ్య ‘N’ కు సమానమవుతుంది. అంటే ‘mN’ విలువ అణుభారం ‘M’ అవుతుంది.
చలద్వాయు సమీకరణం, PV = \(\frac{1}{3}\) mnu²
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 19
ఇచ్చట Ek అంటే 1 మోల్ వాయువు గతిశక్తి.
ఒక మోల్ వాయువుకు ఆదర్శ వాయు సమీకరణం : PV = RT
∴ \(\frac{2}{3}\) = Ek = RT (లేక) Ek = \(\frac{3}{2}\) RT
Ek విలువ ‘R’ ప్రమాణాల పైన ఆధారపడి, పరమ ఉష్ణోగ్రతకు (T) అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. వాయువు స్వభావంతో సంబంధం లేదు.
Ek ∝ T
అంటే ఒకే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న ఒక మోల్ అన్ని వాయువుల్లోని గతిజశక్తులు సమానం.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 20

దీనిలో ‘k’ ను బోల్ట్స్మన్ స్థిరాంకం అంటారు. దీనినే ఒక అణువుకు వాయు స్థిరాంకం అంటారు.
దీని విలువ 1.38 × 10-16 ఎర్గ్. డిగ్రీ-1 అణువు-1
(లేక) 1.38 × 10-23 జౌల్. డిగ్రీ-1, అణువు-1
‘n’ మోల్ల వాయువులోని గతిశక్తి = n, Ek = \(\frac{3}{2}\) nRT

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 9.
వాయు అణువుల (a) rms (b) సగటు వేగం (c) గరిష్ఠ సంభావ్యత వేగాలను నిర్వచించి, వాటి మధ్యగల సంబంధాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
వాయువులోని అణువులకు మూడు రకాల వేగాలు వాడుకలో ఉన్నాయి. అవి గరిష్ఠ సంభావ్యతా వేగం, సగటు వేగం మరియు RMS వేగం.

గరిష్ట సంభావ్యతా వేగం (Ump) :
గరిష్ఠ సంఖ్యలోని అణువులకు గల వేగాన్ని గరిష్ఠ సంభావ్యతా వేగం అంటారు.

RMS వేగం (urms) :
వాయు అణువుల వేగాల వర్గాల సరాసరి యొక్క వర్గమూలాన్ని RMS వేగం అంటారు.

సగటు వేగం (uav) :
ఒక వాయువులో అన్ని అణువులు వేగాల సగటు విలువ.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 21

వీటిలో M = వాయువు అణుభారం, T = పరమ ఉష్ణోగ్రత, R వాయు స్థిరాంకం.
ఒక వాయువులో ‘n’ అణువులు ఉన్నాయని, వాటి వేగాలు వరుసగా u1, u2, …………. అనుకుంటే,
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 22
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 23

ప్రశ్న 10.
వాండర్ వాల్స్ స్థిరాంకాల భౌతిక ప్రాధాన్యతను వివరించండి.
జవాబు:
వాండర్ వాల్స్ సమీకరణం : (P + \(\frac{an^2}{V^2}\)) [V – nb] = nRT
P = వాయు పీడనము
n = వాయు మోల్ల సంఖ్య
a, b = వాండర్ వాల్ పారామీటర్లు
V = పాత్ర ఘనపరిమాణము
R = వాయు స్థిరాంకము
T = ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రత
‘a’ ప్రమాణాలు – bar. lit-2. mole-2
‘b’ ప్రమాణాలు – lit. mol-1

a, b ప్రాధాన్యత :-

  • ‘a’ వాయువులోని అంతర అణుబలాలు కొలమానం. ఇది ఉష్ణోగ్రత పీడనాలపై ఆధారపడదు. ‘a’ విలువ ఎక్కువగా ఉన్నపుడు వాయువు త్వరగా ద్రవీకరింపబడును.
  • ‘b’ వాయువు యొక్క ప్రభావిత ఘనపరిమాణంను సూచిస్తుంది. ఇది వాయు అణువుల ప్రభావిత పరిమాణంను సూచిస్తుంది. ‘b’ విలువ ఎక్కువ పరిధిలో పీడన, ఉష్ణోగ్రతల వద్ద స్థిరంగా ఉన్నపుడు వాయువును సంపీడనం చేయుట కష్టం.

ప్రశ్న 11.
ద్రవాల తలతన్యత అంటే ఏమిటి? ద్రవాల తలతన్యతపై ఉష్ణోగ్రత ప్రభావాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
తలతన్యత :
మెర్క్యురీని ద్రవం బొట్లు కొన్నింటిని ఒక తలంపై ఉంచినప్పుడు అది తలం మీద విస్తరణ చెందకుండా, గోళాకార గుండుగా మారుతుంది. ఈ ప్రక్రియలు ద్రవాల ఒక అభిలాక్షిణిక ధర్మంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ ధర్మానే తలతన్యత అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 24

ద్రవం లోపలి అణువు ఒకదాన్ని ఉదాహరణగా తీసుకుంటే దానిపై పనిచేసే అంతరణు బలాలు అన్ని దిశల్లోనూ ఉండి దానిపై పనిచేసే నికర బలం ఏమీ ఉండదు. అదే ఉపరితల అణువును చూస్తే దానిపై అంతరణు బలాలు కేవలం లోపలి వైపునే పనిచేస్తాయి. దీని వల్ల ఆ అణువుపై నికర ఆకర్షణ బలాలు అణువును ద్రవం లోపలికి లాగుతాయి. దీనివల్ల ద్రవం ఉపరితల వైశాల్యం సాధ్యమైనంతగా తగ్గడానికి ప్రయత్నిస్తుంది. తలతన్యతను γ(gamma) అనే గ్రీకు అక్షరంతో సూచిస్తారు.

తలతన్యత సంఖ్యాపరంగానూ, మితులపరంగానూ ఉపరితల శక్తికి సమానంగా ఉంటుంది. దీని మితులు kg.s-2 లేదా SI ప్రమాణాల్లో Nm-1.

20° C వద్ద తలతన్యత ద్రవంdynes/cm తలతన్యత
డై ఇథైల్ ఈథర్16.9
ఎసిటోన్23.7
కార్బన్ టెట్రా క్లోరైడ్26.9
ఇథనోల్22.3
నీరు72.8

ప్రశ్న 12.
ద్రవాల బాష్ప పీడనం అంటే ఏమిటి ? ద్రవాల బాష్ప పీడనం, వాటి బాష్పీ భవన ఉష్ణోగ్రతల మధ్య సంబంధాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
ద్రవము మరియు ద్రవం యొక్క భాష్పము సమతాస్థితిలో ఉన్నపుడు భాష్పం ఉత్పత్తి చేయు పీడనాన్ని భాష్పపీడనం అంటారు.

  • ఉష్ణోగ్రత పెరిగినపుడు వాయు అణువుల సగటు గతిశక్తి పెరిగి భాష్పపీడనం కూడా పెరుగును.
  • ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్దనైతే వాతావరణ పీడనం మరియు ద్రవం యొక్క భాష్పపీడనం సమానమవుతుందో ఆ ఉష్ణోగ్రతను భాష్పీ భవన స్థానం అంటారు.
  • బాహ్య పీడనం పెంచినపుడు ద్రవం యొక్క భాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రత పెరుగును.

ప్రశ్న 13.
స్నిగ్ధత, స్నిగ్ధతా గుణకాలను నిర్వచించండి. ద్రవాల స్నిగ్ధత ఉష్ణోగ్రతతో ఏవిధంగా మారుతుంది?
జవాబు:
స్నిగ్ధత :
స్నిగ్ధత అనేది ద్రవం ప్రవహించడానికి వీలుకాకుండా వ్యతిరేకించే బలాలను తెలియజెప్పేది (లేదా) కొలిచేది. ఘన ఉపరితలం మీద ఉండే ద్రవపు పొరలోని అణువులు దాదాపు కదలిక లేకుండా స్థిరంగా ఉంటాయి. తరువాతి పొరలోని అణువులు ఇంకొంత ఎక్కువ వేగంతో కదులుతాయి. ఈ విధంగా ఘన ఉపరితలం నుంచి ఒక ద్రవపు పొర ఎంత దూరంగా ఉంటే ఆ పొరలోని అణువులు అంత వేగంగా కదులుతున్నాయి. ఈ విధంగా ఒక్కొక్క పొరలోని అణువులు ఒక్కొక్క వేగంతో ప్రయాణిస్తూ ఒక క్రమ పద్ధతిలో వేగాల్లో భేదాలున్న ఈ పొరల ప్రవాహాన్ని లామినార్ ప్రవాహం అంటారు.

ఘన ఉపరితలం నుంచి మనం తీసుకున్న పొర dx దూరంలో ఉందనుకుందాం. దాని వేగంలో మార్పు ‘dv’ అనుకుందాం. అప్పుడు దాని వేగ ప్రవీణత \(\frac{dv}{dx}\) అవుతుంది. పొరల ప్రవాహాన్ని నడపడానికి ఒక బలం కావాలి. ఈ బలం పొరలు ఘన తలంపై స్పర్శిస్తున్న వైశాల్యం మీద, వేగ ప్రవణత మీద ఆధారపడి ఉంటాయి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 25

F = η A \(\frac{dv}{dx}\); n (ఈటా) అనేది అనుపాత స్థిరాంకం. దీన్నే స్నిగ్ధతా గుణకం అంటారు.

స్నిగ్ధతా గుణకాన్ని వేగ ప్రవీణత స్పర్శా వైశాల్యాలు ఒక్కొక్కటి ఒక యూనిట్గా ఉన్నప్పుడు కావలసిన బలం అని నిర్వచించవచ్చు.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
అంతరఅణుబలాలను వివరించండి.
జవాబు:
అంతరఅణు బలాలు :
i) అయాన్-ద్విధ్రువ బలాలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 26
నీటి అణువులు ధ్రువాణువులు. ఈ అణువుల్లో హైడ్రోజన్ పరమాణువులపై పాక్షిక ధనావేశం ఆక్సిజన్పై పాక్షిక ఋణావేశం ఉంటాయి. దీనికి కారణం హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్ల మధ్య ఉన్న ఋణ విద్యుదాత్మకత భేదమే. సోడియం క్లోరైడ్ లాంటి అయానిక సమ్మేళనాలను నీటిలో కరిగించినప్పుడు అవి Na+, Cl– లాంటి ఘటక అయాన్లుగా విడిపోతాయి. అప్పుడు నీటి అణువులు ద్విధ్రువ అణువులు కాబట్టి వాటి ధనావేశం ఋణ అయాన్ వైపు, ఋణావేశం ధన అయాన్ వైపు దిగ్విన్యాసం చెందుతాయి. అంతర్ ఆకర్షణ శక్తి పరిమాణం అయాన్ మీది విద్యుదావేశం ‘Z’ మీద, ద్విధ్రువ బలం మీద, ద్విధ్రువం, అయానుల మధ్య దూరం వర్గానికి (r²) విలోమానుపాతంగాను ఉంటాయి. E = Zµ/ r² అయాన్-ద్విధ్రువ భ్రామక ఆకర్షణలు సోడియం క్లోరైడ్ వంటి అయానిక పదార్థాల జలద్రావణాల్లో ప్రధానమయినవి. అయాన్ల చుట్టూ ద్రావణి ద్విధ్రువ అణువులు చేరతాయి.

ii) ద్విధృవ-ద్విధృవ ఆకర్షణలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 27
ద్విధ్రువ అణువులు తటస్థ అణువులైనప్పటికీ ద్విధృవ -ద్విధృవ ఆకర్షణలకు లోనవుతాయి. ఇవి పక్క పక్క ద్విధ్రువ అణువుల మధ్యగల విద్యుదాకర్షణల వల్ల ఇవి జరుగుతాయి. ఈ బలాలు కూడా విజాతీయ ధ్రువాల మధ్య ఆకర్షణ, సజాతీయ ధ్రువాల మధ్య వికర్షణ చూపిస్తాయి. ఇవి అణువులు దిగ్విన్యాసంపై కూడా ఆధారపడి ఉంటాయి. ఒక అధిక సంఖ్య అణువుల మధ్య అంతిమ ఆకర్షణ, వికర్షణ శక్తుల ఘటక అణువులు విడివిడిగా చూపించే అంతరీల తలంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఇవి సాధారణంగా బలహీనమయిన బలాలు, అందుకే ఈ అణువులు అతి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ప్రాముఖ్యతను సంతరించుకుంటాయి.

iii) లండన్ విక్షేపణ బలాలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 28
తాత్కాల ద్విధ్రువ భ్రామకం చుట్టుప్రక్కలనున్న పరమాణువుల్లో తాత్కాలిక ద్విధ్రువ భ్రామకాలను ప్రేరేపిస్తుంది. దీని ఫలితంగా బలహీనమైన ఆకర్షణ బలాలు వృద్ధి చెందుతాయి. వీటిని లండన్ బలాలు లేదా విక్షేపణ బలాలు అంటారు. ఇవి చాలా తక్కువ విలువల్లో ఉంటాయి. వీటి శక్తుల విలువలు 1 – 10k J mol-1 ల మధ్య ఉంటాయి. ఈ విలువ ఒక అణువు ఎలక్ట్రాన్ మేఘం ఎంత తేలికగా ప్రక్కనున్న విద్యుత్ క్షేత్రంతో విరూపణ చెందుతుందనే దాని మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ ధర్మాన్నే ధ్రువణశీలత అంటారు. అణువు లేదా పరమాణువు చిన్నదైతే దాని ధ్రువణశీలత తక్కువగా ఉండి తక్కువ విక్షేపణ బలాలతో ఉంటుంది. దీనికి కారణం ఒక పెద్ద అణువు లేదా పరమాణువుకు ఎక్కువ ధ్రువణశీలత ఉండి అధిక విక్షేపణ బలాలు ఉంటాయి. దీనికి కారణం వీటిల్లో ఆకర్షణ బలాలు ఉన్న ఎలక్ట్రాన్లు తక్కువగా ఉండటమే. దీనికి కారణం వీటిల్లో అధిక సంఖ్యలో ఎలక్ట్రాన్లు ఉండి అందులో కొన్ని కేంద్రకానికి దూరంగా ఉండి తక్కువ ఆకర్షణతో బంధించడమే.

iv) ద్విధృవ-ప్రేరిత ద్విధృవ బలాలు :
ఇవి శాశ్వత ద్విధ్రువభ్రామకం ఉన్న అణువులకు శాశ్వత ద్విధ్రువ భ్రామకం లేని అణువులకు మధ్య ఉత్పన్నమవుతాయి. శాశ్వత ద్విధ్రువ భ్రామకంతో ధ్రువాణువులు తటస్థ అణువుల ఎలక్ట్రాన్ మేఘాలను విరూపకత చెందిస్తాయి. ఆ తటస్థ అణువుల్లో ద్విధ్రువ లక్షణాన్ని ప్రేరేపిస్తాయి. ఇక్కడ కూడా అంతర్ ప్రభావిత శక్తి 1/2 కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ” అనేది అణువుల మధ్య దూరం. ఈ ప్రేరిత ద్విధ్రువ భ్రామకం విలువ తిరిగి శాశ్వత ద్విధృవ అణువు ద్విధ్రువ భ్రామకం విలువ మీద, తటస్థ అణువు ధ్రువణ శీలత మీద కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది. పెద్ద అణువులు తేలికగా ధ్రువణం చెందుతాయి. ఇక్కడ కూడా విక్షేపణ బలాల సంచాయక ప్రభావం ద్విధ్రువ – ప్రేరిత ద్విధ్రువ ఆకర్షణలు ఉంటాయి.

ఎలక్ట్రాన్ – ఎలక్ట్రాన్ లేదా కేంద్రం – కేంద్రంల మధ్య వికర్షణ బలాల వల్ల పరమాణువులు, అణువులు లేదా అయాన్ల మధ్య వికర్షణలు ఉంటాయి.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 2.
బాయిల్, ఛార్లెస్, అవొగాడ్రో నియమాలను తెలిపి, ఆదర్శ వాయు సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
వాయు ధర్మాలైన ఉష్ణోగ్రత (T), పీడనం (P), ఘనపరిమాణం (V), మోల్ల సంఖ్య (n) మధ్య గల సంబంధాలను తెలియచేసే వాటిని వాయు నియమాలు అంటారు. ఇవి ముఖ్యంగా మూడు ఉన్నాయి.

  1. బాయిల్ నియమం
  2. చార్లెస్ నియమం
  3. అవగాడ్రో నియమం

1. బాయిల్ నియమం :
“స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయు ఘనపరిమాణం దాని పీడనానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.” దీనిని గణితం ప్రకారం ఈ క్రింది విధంగా సూచిస్తారు.
V ∝ \(\frac{1}{P}\) (T స్థిరం) లేక V = k × \(\frac{1}{P}\) (T స్థిరం) లేక PV = K (T స్థిరం)

బాయిల్ నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా కూడా నిర్వచించవచ్చు.

“స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం మరియు పీడనాల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది.”

2. ఛార్లెస్ నియమం :
“స్థిర పీడనం వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది”. ఇదే చార్లెస్ నియమం.
V ∝ T
V = kT
\(\frac{V}{T}\) = k
ఇక్కడ V = ఘనపరిమాణం
T= పరమ ఉష్ణోగ్రత
k = స్థిరాంకం

స్థిర పీడనం వద్ద ఒక వాయువు ఘనపరిమాణాలు T1 మరియు T2 పరమ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద V1 మరియు V2 లు అయిన
\(\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\) = k

3. అవగాడ్రో నియమం :
“స్థిర ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద సమాన ఘనపరిమాణం గల వాయువులన్నింటిలో సమాన సంఖ్యలో అణువులుంటాయి.” గణితం ప్రకారం ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తారు.
V ∝ n (P, T లు స్థిరం) లేక \(\frac{V}{n}\) = స్థిరం (P, Tలు స్థిరం)

ఆదర్శవాయు సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించుట:
వాయువు ఘనపరిమాణం, పీడనం, మోల్ల సంఖ్య మరియు పరమ ఉష్ణోగ్రతల మధ్యగల సంబంధాన్ని తెలియచేసే సమీకరణాన్ని ఆదర్శవాయు సమీకరణం అంటారు. బాయిల్, చార్లెస్, అవగాడ్రో నియమాలనుండి దీనిని ఈ క్రింది విధంగా ఉత్పాదిస్తారు.
బాయిల్ నియమం ప్రకారం,
V ∝ \(\frac{1}{P}\) (T స్థిరం) …………… (1)
ఛార్లెస్ నియమం ప్రకారం, V∝ T (P స్థిరం) ……………. (2)
అవగాడ్రో నియమం ప్రకారం, V ∝ n (P, T లు స్థిరం) ……………. (3)
పై మూడు సమీకరణాలను కలిపితే V ∝ \(\frac{1}{P}\) × T × n (లేక) V = R × \(\frac{1}{P}\) × T × n లేక PV = nRT
దీనినే ఆదర్శ వాయు సమీకరణం అంటారు.

ఇచ్చట P వాయు పీడనం, V = వాయు ఘనపరిమాణం, T వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రత, n = వాయువులోని మోల్ల సంఖ్య, R ను మోలార్ వాయు స్థిరాంకం అని, సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం అని అంటారు.

n = 1 అయితే అంటే ఒక మోల్ వాయువును తీసుకుంటే పై ఆదర్శవాయు సమీకరణం, PV = RT గా మారుతుంది. లేక
\(\frac{PV}{T}\) = R

ప్రశ్న 3.
వాయువుల వ్యాపనంపై వ్యాసం రాయండి.
జవాబు:
గ్రాహం వాయు వ్యాపన నియమము :
“స్థిర ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఒక వాయువు వ్యాపన రేటు దాని సాంద్రత యొక్క వర్గమూలానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది”. గణితాత్మకముగా, ఈ నియమాన్ని క్రింది విధంగా వ్రాస్తారు.

r ∝ \(\frac{1}{\sqrt{d}}\) (T, P లు స్థిరం) లేక r = K. \(\frac{1}{\sqrt{d}}\)

ఇచ్చట K ను వ్యాపనరేటు స్థిరాంకం ; n = వ్యాపన రేటు ; d వాయు సాంద్రత.

స్థిర ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద రెండు వాయువుల వ్యాపన వేగాలు r1, r2 లు అని వాటి సాంద్రతలు d1, d2 లు అని అనుకుంటే, అపుడు గ్రాహం నియమం ప్రకారం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 29

∴ వాయు సాంద్రత = బాష్ప సాంద్రత × H2 సాంద్రత.
రెండు వాయువుల బాష్ప సాంద్రతలు వరుసగా VD1, VD2 లు అని అనుకుంటే,
d1 = VD1 × H2 సాంద్రత, d2 = VD2 × H2 సాంద్రత అవుతుంది.
d1, d2 విలువలను పై సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 30

కాబట్టి, గ్రాహం నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా కూడా వ్రాయవచ్చు.

స్థిర ఉష్ణోగ్రతా పీడన పరిస్థితుల వద్ద ఒక వాయువు యొక్క వ్యాపన రేటు దాని సాంద్రత, లేక బాష్ప సాంద్రత లేక అణుభారం యొక్క వర్గమూలానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ఒక వాయువు t1 సెకన్ల కాలంలో V1 మి.లీ., మరొక వాయువు t2 సెకన్ల కాలంలో V2 మి.లీ. వ్యాపనం చెందినవి అనుకుంటే, అపుడు వ్యాపనరేటు నిర్వచనం ప్రకారం,
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 31

2. రెండు వాయువుల వ్యాపన ఘనపరిమాణాలు సమానం అయితే (i.e., V = V, అయితే) అపుడు
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 32

అనువర్తనాలు :

  1. రెండు వాయువుల వ్యాపన వేగాలను పోల్చుట ద్వారా ఒకదాని అణుభారం తెలిస్తే రెండవదాని అణుభారం లెక్కగట్టవచ్చు.
  2. ఒక మూలకం యొక్క సమస్థానీయాలను విడదీయవచ్చు.
  3. మార్ష్ గ్యాస్ అలారం దీనిపై ఆధారపడి పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల సిద్ధాంతాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
“స్థిర ఉష్ణోగ్రతా ఘనపరిమాణాలలో ఒక వాయు మిశ్రమం కలిగించే పీడనం ఆ మిశ్రమంలోని అనుఘటక వాయువుల పాక్షిక పీడనాల మొత్తానికి సమానం”. ఇదే డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం.
ఒక వాయు మిశ్రమంలో మూడు వాయువులు ఒక పాత్రలో ఉన్నాయనుకుందాం. వాటి పాక్షిక పీడనాలు P, P2, P3 అనుకుందాం. మిశ్రమం మొత్తం పీడనం ‘P’ అయితే డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం ప్రకారం.
P = P1 + P2 + P3

ఆ మిశ్రమంలోని మూడు వాయువుల మోల్ల సంఖ్యలు n1, n2, n3 అనుకుందాం. “గా పరమ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆ మిశ్రమం ఘనపరిమాణం “V” అయితే ఆదర్శవాయు సమీకరణం ప్రకారం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 10

∴ మిశ్రమం మొత్తం పీడనం ‘P’ విలువ, P = P1 + P2 + P3
డాల్టన్ నియమం ప్రకారం, వాయుమిశ్రమం కలుగచేసే మొత్తం పీడనం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 33

సాధారణంగా, పాక్షిక పీడనం = మొత్తం పీడనం × మోల్ భాగం.

ప్రశ్న 5.
వాయువుల అణుచలన సిద్ధాంతంలోని అంశాలను రాయండి.
జవాబు:
అణుచలన సిద్ధాంతంలోని ముఖ్యాంశాలు :

  1. ప్రతి వాయువులోనూ సూక్ష్మాతి సూక్ష్మమైన అణువులు అనబడే కణాలు ఉంటాయి.
  2. వాయు అణువులు నిరంతరం క్రమరాహిత్యంగా ఋజుమార్గంలో అత్యధిక వేగాలతో అన్ని దిశలలో ప్రయాణిస్తూ ఉంటాయి. అలా ప్రయాణించేటప్పుడు అవి తమలోతాము లేక పాత్రల యొక్క గోడలతో ఢీకొంటాయి. అందువలన వాటి దిశలో మార్పు వస్తుందేకాని శక్తి నష్టం మాత్రం జరగదు. అందువలననే వీటిని స్థితిస్థాపక తాడనాలు అంటారు.
  3. వాయువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణంతో పోలిస్తే వాయు అణువులు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణం చాలా తక్కువ.
  4. వాయు అణువుల మధ్య ఏవిధమైన ఆకర్షణలు, వికర్షణలు ఉండవు.
  5. వాయు అణువుల చలనాలపై భూమ్యాకర్షణ ప్రభావం ఉండదు.
  6. వాయు అణువులు పాత్ర యొక్క గోడలపై తాడనాలు జరుపుట వలన వాయువులకు పీడనం ఏర్పడుతుంది. 7. వాయు అణువుల సగటు గతిశక్తి దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. Ek ∝ T.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 6.
చలద్వాయు సమీకరణం నుంచి వాయు నియమాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
a) బాయిల్ నియమం :
చలద్వాయు సమీకరణం : PV = \(\frac{1}{2}\)mnu²
ఇచ్చట P = వాయు పీడనం ; V = వాయు ఘనపరిమాణం ; m = వాయు అణువు ద్రవ్యరాశి ; n = వాయు అణువుల సంఖ్య ; u = RMS వేగం.
వాయువు సగటు గతిశక్తి PV = \(\frac{1}{2}\)mnu²
అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారం \(\frac{1}{2}\)mnu² ∝ T (లేక) \(\frac{1}{2}\)mnu² = kT
చలద్వాయు సమీకరణం : PV = \(\frac{1}{2}\)mnu²
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 34

బాయిల్ నియమములో ఉష్ణోగ్రత స్థిరం, V = స్థిరం × \(\frac{1}{P}\) అవుతుంది.
(లేక) V ∝ \(\frac{1}{P}\) (T స్థిరం)
ఇదే బాయిల్ నియమం.

b) గ్రాహమ్ వాయువ్యాపన నియమం :
1, 2 అనే రెండు వాయువులను తీసికొనుము. అపుడు రెండు వాయువులకు చలద్వాయు సమీకరణాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 35

ఇచ్చట రెండు సమీకరణాలలోనూ P = పీడనం ; V = ఘనపరిమాణం ; m = అణువు ద్రవ్యరాశి ; n = అణువుల సంఖ్య ; u = RMS వేగం.
రెండు వాయువులు ఒకే పీడనం వద్ద ఉన్నాయని అనుకుంటే (i.e.,) P1 = P2.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 36

వాయు వ్యాపన వేగం (r) దాని RMS వేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. కాబట్టి r ∝ \(\frac{1}{\sqrt{d}}\) అవుతుంది. ఇదే గ్రాహం వాయు వ్యాపన నియమం.

c) చార్లెస్- నియమం :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 37

ప్రశ్న 7.
మాక్స్వెల్ – బోల్ట్జ్మన్ అణువేగాల పంపిణీ వక్రరేఖలను వివరించండి. ఈ రేఖల ఆధారంగా తెలిసిన అంశాలేమిటి? అణువేగాల పంపిణీపై ఉష్ణోగ్రత ప్రభావాన్ని చర్చించండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 38
ఒక వాయువులోని అణువులన్నీ వివిధ వేగాలతో ప్రయాణిస్తూ ఉంటాయి. అవి తమలో తాము ఢీకొనడం వలన వాటి వేగాలు నిరంతరం మారుతూనే ఉంటాయి. అణువులు ‘0’ నుండి అత్యధిక విలువ వరకు ఉన్న అన్ని వేగాలతో చలిస్తూ ఉంటాయి.

అణువుల పరస్పర తాడనాల వల్ల వాటి వేగాలు ఎల్లప్పుడూ మారుతున్నప్పటికీ ఒక నిర్ణీత వేగం ఉన్న అణువుల సంఖ్యకు, మొత్తం అణువుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి స్థిరంగా ఉంటుంది. ఈ నిష్పత్తిని సాంఖ్యక విధానాల ద్వారా గణిస్తారు. ఇలా లెక్కగట్టిన ఫలితాలు పటంలో చూపబడ్డాయి. ఈ పటాన్ని మాక్స్వెల్ – బోల్ట్మన్ అణువేగా వితరణ వక్రం అంటారు.

ఈ వక్రం క్రింది విషయాలు తెలియజేస్తుంది.

  1. అతి తక్కువ వేగాలు, అత్యధిక వేగాలు ఉన్న అణువులు తక్కువగా ఉంటాయి.
  2. వాయువులోని ఎక్కువ అణువుల వేగాలు ఒక గరిష్ఠ వేగానికి దగ్గరలో ఉంటాయి. వాయువులోని ఎక్కువ అణువులకు గల ఈ వేగాన్నే గరిష్ఠ సంభావ్యతా వేగం అంటారు.
  3. అణువుల సగటు వేగం, గరిష్ఠ సంభావ్యతా వేగం కంటే ఎక్కువ. RMS వేగం సగటు వేగం కంటే ఎక్కువ.
  4. వాయువులోని అధిక అణువుల వేగాలు, గరిష్ఠ సంభావ్యత లేదా సగటు వేగాల పరిధిలో ఉంటాయి.
  5. ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే వక్రం కుడివైపుకు జరిగి, ఎత్తు తగ్గి, వెడల్పు పెరుగుతుంది. అంటే అధిక ఉష్ణోగ్రత వద్ద తక్కువ వేగాలు ఉన్న అణువుల సంఖ్య తగ్గి, ఎక్కువ వేగాలు ఉన్న అణువుల సంఖ్య పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 8.
నిజ వాయువుల ప్రవర్తన, ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తన నుంచి విచలనాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
నిజవాయువుల ధర్మాలను తెలుసుకోవడానికి సంపీడన గుణకం చాలా అవసరం. దీన్ని ‘Z’ తో సూచిస్తారు. దీని విలువ ఒకే ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల్లో నిజవాయువు అసలైన మోలార్ ఘనపరిమాణం, ఆదర్శవాయు మోలార్ ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 39
ఆదర్శ వాయువుకు ఏ పీడనం వద్దనైనా 2 = 1 ఉండాలి. ఇచ్చిన వాయువుల్లో O°C వద్ద హైడ్రోజన్ ఏ పీడనానికైనా ధన విచలనం చూపిస్తుంది. మిగిలిన వాయువులు ముందుగా ఋణ విచలనం చూపి పీడనాలు పెరిగిన తరువాత ధన విచలనం చూపిస్తున్నాయి. ఋణ విచలనాలు అంతరణు ఆకర్షణల వల్ల, ధన విచలనాలు అంతరణు వికర్షణల వల్ల వస్తాయి.

ఆదర్శ వాయువుకు Z = 1 కాబట్టి Z విలువ 7 నుంచి ఎంత మారుతుందనేది ఒక నిజవాయువు ఆదర్శ వాయు లక్షణం నుంచి ఎంత విచలనంతో ఉందో తెలియజేస్తుంది.

నిజ వాయువులకు Z విలువ పీడనంతో మారుతుంది. తక్కువ పీడనాల వద్ద కొన్ని వాయువులకు Z> 1 గా ఉంది. అంటే వాటి మోలార్ ఘనపరిమాణాలు ఆదర్శ వాయువుల కంటే తక్కువ. దీని అర్థం ఏమిటంటే ఇక్కడ అణువులు దగ్గర దగ్గరగా. గుచ్ఛాలుగా మారి ఆకర్షణ బలాలు ఎక్కువ కలిగి ఉంటాయని అధిక పీడనాల వద్ద దాదాపు అన్ని వాయువులకు Z విలువ ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

మధ్యస్థ పీడనాల్లో అధిక భాగం వాయువులకు Z < 1 ఉంటుంది. దీన్ని బట్టి నిజ వాయువులకు ఎక్కువ ఘనపరిమాణం ఉన్నప్పుడు ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తన ఉంటుంది. కారణం అణువుల మధ్య దూరం ఎక్కువై అణువులు ఆక్రమించే వాస్తవ ఘనపరిమాణం పరిగణించదగినంత లేకపోవడమే.

ప్రశ్న 9.
వాండర్ వాల్స్ స్థితి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. వాండర్ వాల్స్ సమీకరణం ప్రాముఖ్యతను వివరించండి.
జవాబు:
వాండర్ వాల్స్ స్థితి సమీకరణం :
J. వాండర్ వాల్స్ అంతర్ అణు అన్యోన్య చర్యలను పరిగణనలోకి తీసుకొని ఒక స్థితి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించాడు. ఇది నిజ వాయువులు, ఆదర్శ వాయు కోణాల నుంచి విచలనం చెందడానికి గల కారణాలను వివరిస్తుంది. దీన్ని క్రింది విధంగా వివరించవచ్చు.

రెండు అణువుల మధ్య వికర్షణ బలాలు ఆ రెండింటిని కొంత దూరాన్ని దాటి దగ్గరకు రానీయవు. అందువలన ఆ వాయు అణువులకు స్వేచ్ఛగా తిరిగేందుకు పాత్ర ఘనపరిమాణం మొత్తం (V) అందుబాటులో ఉండదు. దీనికి కారణం వాయువులోని ప్రతి అణువు కొంత ఘనపరిమాణం ఆక్రమించి ఇతర అణువులకు ఆ ఘనపరిమాణాన్ని స్వేచ్ఛగా తిరిగేందుకు లేకుండా చేస్తాయి. అందువల్ల ఆదర్శ వాయు సమీకరణంలో ఘనపరిమాణంలో సవరణ చేసి బదులు (V – nb) గా వ్రాయవచ్చు. ఇక్కడ ‘b’ అనుపాత స్థిరాంకం. ఇది పాత్ర తగ్గిన ఘనపరిమాణానికి అణువుల పరిమాణానికి సంబంధించిన స్థిరాంకం.
P = \(\frac{nRT}{V-nb}\)

పీడనం తక్కువైతే పాత్ర ఘనపరిమాణం అణువుల నిజ ఘనపరిమాణంతో పోల్చినప్పుడు చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది. అంటే (V > > nb) అందువల్ల ‘nb’ ని వదిలివేయవచ్చు. అప్పుడు సమీకరణం ఆదర్శ వాయు సమీకరణం అవుతుంది. అంటే వాయువు ఆదర్శ వాయువు లక్షణాలతో ఉంటుంది.

అంతర్ అణు ఆకర్షణ బలాల వల్ల అణువులు పాత్ర గోడలపై చేసే పీడనం ఆదర్శ వాయు అణువులు కలుగజేసే పీడనం కంటే తక్కువ. ఒక అణువుపై మిగతా అణువుల ఆకర్షణ బలాలు వాయువు గాఢత (n/V) కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. ఆకర్షణ బలాల వల్ల అణువుల వేగం తగ్గుతుంది. అందువల్ల అవి పాత్ర గోడలపై ఢీకొనే పౌనఃపున్యం తగ్గుతుంది. అభిఘాతాలు కూడా బలహీనపడతాయి. అందువల్ల పీడనంలో తగ్గుదల వాయువు మోలార్ గాఢత వర్గానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఒక గాఢత విలువ అణువుల అభిఘాతాల పౌనఃపున్యం తగ్గుదల పరంగా, రెండో గాఢత విలువ అణువుల అభిఘాతం బలహీనపడటం.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 40

‘a’, ‘b’ లను వాండర్ వాల్స్ పారామీటర్లంటారు.

a, b ప్రాధాన్యత :

  • ‘a’ వాయువులోని అంతర అణుబలాలు కొలమానం. ఇది ఉష్ణోగ్రత పీడనాలపై ఆధారపడదు. ‘a’ విలువ ఎక్కువగా ఉన్నపుడు వాయువు త్వరగా ద్రవీకరింపబడును.
  • ‘b’ వాయువు యొక్క ప్రభావిత ఘనపరిమాణంను సూచిస్తుంది. ఇది వాయు అణువుల ప్రభావిత పరిమాణంను సూచిస్తుంది. ‘b’ విలువ ఎక్కువ పరిధిలో పీడన, ఉష్ణోగ్రతల వద్ద స్థిరంగా ఉన్నపుడు వాయువును సంపీడనం చేయుట కష్టం.

ప్రశ్న 10.
వాయువుల ద్రవీకరణలో ఇమిడి ఉన్న సూత్రాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
ఏ వాయువైనా ద్రవీకరించబడాలంటే ముందు ఆ వాయువును దాని సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత కంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రతకు చల్లబరచాలి. ఇచ్చిన పీడనం వద్ద ఒక వాయువును ద్రవీకరించాలంటే అది దాని ద్రవం బాష్పీభవన స్థానం కంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రతకు చల్లబరచాలి. ఉదాహరణకు, క్లోరిన్ ను గది పీడనం 1 అట్మాస్ఫియర్ వద్ద ద్రవీకరించాలంటే దాన్ని 34.0°C కు పొడి ఐస్బత్ లో చల్లబర్చాలి. నైట్రోజన్, ఆక్సిజన్లకు తక్కువ బాష్పీభవన స్థానాలు – 196°C, – 193°C ఉంటాయి. అందువల్ల వీటిని క్లోరిన్ ను ద్రవీకరించినంత తేలికగా ద్రవీకరించలేం. వీటిని ద్రవీకరించడానికి అంతర్ అణు బలాల సాంకేతిక పరిజ్ఞానాన్ని వాడతారు. ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది. ముందు అణువుల వేగాల్ని తగినంత తగ్గిస్తే అణువుల మధ్య దూరాలు తగ్గి ఆకర్షణలు పెరుగుతాయి.

దానివల్ల చల్లబడ్డ వాయువులు ద్రవీకరణం చెందుతాయి. దీని కోసం అణువులను వీలున్న ఘనపరిమాణంలోకి వ్యాకోచింపచేస్తూ ఎలాంటి ఉష్ణశక్తి అందకుండా చూస్తారు. అప్పుడు అణువులు పక్క అణువుల అంతర్ అణు ఆకర్షణలను అధిగమించడానికి వాటి గతిజశక్తిలో కొంత భాగాన్ని స్థితిశక్తిగా మారుస్తాయి. అంటే అణువుల చలనవేగం తగ్గిపోతుంది. అందువల్ల అణువులు నెమ్మదిగా కదులుతాయి. వేగం తగ్గటం వల్ల వాయువు ఉష్ణోగ్రత తగ్గుతుంది. అంటే అది వ్యాకోచించక ముందు కంటే తక్కువగా చల్లబడుతుంది. దీని కోసం వాయువును ఒక సన్నని రంధ్రం ద్వారా వ్యాకోచింపజేస్తారు. ఈ విధంగా వాయువును అధిక పీడనం నుంచి తక్కువ పీడనం వైపుకు వ్యాకోంచిపజేసి చల్లబరచడాన్ని జౌల్ – థామ్సన్ ప్రభావం అంటారు. హైడ్రోజన్ ను సాధారణ పీడనాలు, ఉష్ణోగ్రతల వద్ద వ్యాకోచంలో వికర్షణ బలాలు ఎక్కువ కావడం వల్ల, Z > 1 అవుతుంది.

దీని వల్ల జౌల్ – థామ్సన్ వ్యాకోచంలో ఇది వేడక్కుతుంది. హైడ్రోజన్ లాంటి వాయువులను కూడా జౌల్ – థామ్సన్ వ్యాకోచంలో చల్లబరచాలంటే ముందు వాటిని ఒక కనీస ఉష్ణోగ్రతకు చల్లబరచాలి. దీన్ని ఆ వాయువు విలోమ ఉష్ణోగ్రత అంటారు. ఆ విధంగా చల్లబరచిన తరువాత దాన్ని వ్యాకోచింపజేయాలి. ఈ ప్రక్రియను అనేక సార్లు పునరావృతం చేస్తే అంటే చల్లబడిన వాయువును తిరిగి మిగిలిన వాయువుతో కలిపి ప్రసరింపచేస్తే చివరకు పాయు అణువులు చల్లబడి ద్రవంగా మారతాయి.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 11.
ద్రవాల క్రింది ధర్మాలను వివరించండి. (a) బాష్ప పీడనం (b) తలతన్యత (c) స్నిగ్ధత.
జవాబు:
a) ద్రవము మరియు ద్రవం యొక్క భాష్పము సమతాస్థితిలో ఉన్నపుడు భాష్పం ఉత్పత్తి చేయు పీడనాన్ని భాష్పపీడనం అంటారు.
ఉష్ణోగ్రత పెరిగినపుడు వాయు అణువుల సగటు గతిశక్తి పెరిగి భాష్పపీడనం కూడా పెరుగును.

  • ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్దనైతే వాతావరణ పీడనం మరియు ద్రవం యొక్క భాష్పపీడనం సమానమవుతుందో ఆ ఉష్ణోగ్రతను భాష్పీ భవన స్థానం అంటారు.
  • బాహ్య పీడనం పెంచినపుడు ద్రవం యొక్క భాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రత పెరుగును.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 24
b) తలతన్యత :
మెర్క్యురీని ద్రవం బొట్లు. కొన్నింటిని ఒక తలంపై ఉంచినప్పుడు అది తలం మీద విస్తరణ చెందకుండా గోళాకార గుండుగా మారుతుంది. ఈ ప్రక్రియలు ద్రవాల ఒక అభిలాక్షణిక ధర్మంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ ధర్మానే తలతన్యత అంటారు. ద్రవం లోపలి అణువు ఒకదాన్ని ఉదాహరణగా తీసుకుంటే దానిపై పనిచేసే అంతరణు బలాలు అన్ని దిశల్లోనూ ఉండి దానిపై పనిచేసే నికర బలం ఏమీ ఉండదు. అదే ఉపరితల అణువును చూస్తే దానిపై అంతరణు బలాలు కేవలం లోపలి వైపునే పనిచేస్తాయి. దీని వల్ల ఆ అణువుపై నికర ఆకర్షణ బలాలు అణువును ద్రవం లోపలికి లాగుతాయి. దీనివల్ల ద్రవం ఉపరితల వైశాల్యం సాధ్యమైనంతగా తగ్గడానికి ప్రయత్నిస్తుంది.

తలతన్యతను γ(gamma) అనే గ్రీకు అక్షరంతో సూచిస్తారు.
తలతన్యత సంఖ్యాపరంగానూ, మితులపరంగానూ ఉపరితల శక్తికి సమానంగా ఉంటుంది. దీని మితులు kg.s-2 లేదా SI ప్రమాణాల్లో Nm-1.

20° C వద్ద తలతన్యత ద్రవంdynes/cm తలతన్యత
డై ఇథైల్ ఈథర్16.9
ఎసిటోన్23.7
కార్బన్ టెట్రా క్లోరైడ్26.9
ఇథనోల్22.3
నీరు72.8

c) స్నిగ్ధత :
స్నిగ్ధత అనేది ద్రవం ప్రవహించడానికి వీలుకాకుండా వ్యతిరేకించే బలాలను తెలియజెప్పేది (లేదా) కొలిచేది. ఘన ఉపరితలం మీద ఉండే ద్రవపు పొరలోని అణువులు దాదాపు కదలిక లేకుండా స్థిరంగా ఉంటాయి. తరువాతి పొరలోని అణువులు ఇంకొంత ఎక్కువ వేగంతో కదులుతాయి. ఈ విధంగా ఘన ఉపరితలం నుంచి ఒక ద్రవపు పొర ఎంత దూరంగా ఉంటే ఆ పొరలోని అణువులు అంత వేగంగా కదులుతున్నాయి. ఈ విధంగా ఒక్కొక్క పొరలోని అణువులు ఒక్కొక్క వేగంతో ప్రయాణిస్తూ ఒక క్రమ పద్ధతిలో వేగాల్లో భేదాలున్న ఈ పొరల ప్రవాహాన్ని లామినార్ ప్రవాహం అంటారు.

ఘన ఉపరితలం నుంచి మనం తీసుకున్న పొర dx దూరంలో ఉందనుకుందాం. దాని వేగంలో మార్పు ‘dv’ అనుకుందాం. అప్పుడు దాని వేగ ప్రవీణత \(\frac{dv}{dx}\) అవుతుంది. పొరల ప్రవాహాన్ని నడపడానికి ఒక బలం కావాలి. ఈ బలం పొరలు ఘన తలంపై స్పర్శిస్తున్న వైశాల్యం మీద, వేగ ప్రవణత మీద ఆధారపడి ఉంటాయి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 25

F = ηA. \(\frac{dv}{dx}\); η (ఈటా) అనేది అనుపాత స్థిరాంకం. దీన్నే స్నిగ్ధతా గుణకం అంటారు.

స్నిగ్ధతా గుణకాన్ని వేగ ప్రవీణత స్పర్శా వైశాల్యాలు ఒక్కొక్కటి ఒక యూనిట్గా ఉన్నప్పుడు కావలసిన బలం అని నిర్వచించవచ్చు.

లెక్కలు (Problems)

ప్రశ్న 1.
30° C వద్ద 500 dm ఘనపరిమాణం 1 bar పీడనం గల గాలిని 200 dm3 ఘనపరిమాణానికి సంపీడనం చెందించడానికి కావలసిన కనిష్ట పీడనం ఎంత?
సాధన:
సూత్రము :
P1V1 = P2V2
P1 = 1 bar
V1 = 500 dm³
V2 = 200 dm³
P2 = ?
1 × 500 = P2 × 200
ρ2 = \(\frac{5}{2}\) = 2.5 bar.

ప్రశ్న 2.
35 °C 1.2 bar పీడనం వద్ద 120 mL ఘన పరిమాణం గల పాత్రలో కొంత పరిమాణం గల వాయువున్నది. ఈ వాయువును 180 mL ఘనపరిమాణం గల పాత్రలోనికి మార్చినపుడు దాని పీడనం ఎంత ఉంటుంది.
సాధన:
సూత్రము
P1V1 = P2V2
P1 = 1.2 bar
V1 = 120 మి.లీ.
V2 = 180 మి.లీ.
P2 = ?
1.2 × 120 = P2 × 180
P2 = \(\frac{2.4}{3}\) = 0.8 bar

ప్రశ్న 3.
pV = nRT స్థితి సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఒక వాయువు సాంద్రత దాని పీడనానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
స్థితి సమీకరణం PV = nRT
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 41
పై సమీకరణం నుండి P ∝ d

ప్రశ్న 4.
0°C వద్ద 2 bar పీడనం వద్ద ఒక వాయువు ఆక్సైడ్ సాంద్రత, 5 bar పీడనం వద్ద డైనైట్రోజన్ సాంద్రతకు సమానమవుతుంది. ఆక్సైడ్ మోలార్ ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన.
రెండు వాయువులు ఇవ్వబడ్డాయి, మొదటిది డైనైట్రోజన్ రెండవది తెలియనిది.
→ రెండు వాయువుల సాంద్రత సమానము.

సూత్రము :
ఇవ్వబడినవి
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 42

ప్రశ్న 5.
27 °C వద్ద 1 గ్రామ్ ఆదర్శ వాయువు A 2 bar పీడనం కలిగి ఉన్నది. అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద అదే పాత్రలోనికి 2g మరొక ఆదర్శవాయువు B ను పంపినపుడు పీడనం 3 barకు పెరిగింది. A, B వాయువుల మోలార్ ద్రవ్యరాశుల మధ్య సంబంధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇవ్వబడినవి
‘A’ వాయువు భారము = 1 గ్రా.
‘B’ వాయువు భారము = 2గ్రా.
‘A’ వాయువు అణుభారము = MA
‘B’ వాయువు అణుభారము = MB
‘A’ వాయువు పీడనం = PA = 2 bar
మొత్తము పీడనం PA + PB = 3 bar
∴ PB = 3 – 2 = 2 bar
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 43

ప్రశ్న 6.
డ్రైనేజ్లను శుభ్రపరిచే డ్రైనెక్స్ కొద్ది పాళ్ళలో అల్యూమినియం కలిగి ఉండి కాస్టిక్ సోడాతో చర్యనొంది డైహైడ్రోజన్ను ఇస్తుంది. 20°C 1 bar పీడనం వద్ద 0.15g అల్యూమినియం చర్యనొందిన, ఎంత ఘనపరిమాణం గల డైహైడ్రోజన్ విడుదలవుతుంది?
సాధన:
రసాయన సమీకరణం
2Al + 2 NaOH + 2H2O → 2NaAlO2 + 3H2
పై సమీకరణం నుండి
2 గ్రా. పరమాణువుల ‘Al’ 3 మోల్ల H2 వాయువును
STP వద్ద విడుదల చేయును.
2 × 27 గ్రా. Al → 2 × 22.4 లీ H2
0.15 గ్రా. Al → ?
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 44

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 7.
27 °C వద్ద 9 dm’ పాత్రలో 3.2 g మిథేన్, 4.4 g కార్బన్ డైఆక్సైడ్ కలిగి ఉన్న వాయు మిశ్రమం కలిగించే పీడనం ఎంత?
సాధన:
3.2 గ్రా. CH4 ఇవ్వబడినది
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 45
∴ n = nCH4 + nCO2
= 0.2 +0.1 = 0.3
R = 8.314
T = 27°C = 300 K
V = 9 dm³
సూత్రము :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 46

ప్రశ్న 8.
27°C వద్ద 1L పాత్రలోనికి 0.8 బార్ పీడనం కలిగిన 0.5 L డైహైడ్రోజన్, 0.7 బార్ కలిగిన 2.0 L డైఆక్సిజన్ పంపినపుడు ఆ వాయు మిశ్రమం కలిగించే పీడనం ఎంత ?
సాధన:
Case – I హైడ్రోజన్ వాయువు
P1 = 0.8 bar
P2 = ?
V1 = 0.5 లీ,
V2 = 1 లీ.
P1V1 = P2V2
P2 = \(\frac{0.8\times0.5}{1}\)
= 0.4 bar
H2 యొక్క పాక్షిక పీడనం = 0.4 bar
Case – II : ఆక్సిజన్ వాయువు
P1 = 0.7 bar ; P2 = ?
V1 = 2 lit
V2 = 1 lit
P1V1 = P2V2
P2 = \(\frac{0.7\times2}{1}\) = 1.4 bar.
O2 యొక్క పాక్షిక పీడనం = 1.4 bar.
మొత్తం పీడనం = PH2 + PO2
= 0.4 + 1.4 = 1.8 bar

ప్రశ్న 9.
27 °C, 2 బార్ పీడనం వద్ద ఒక వాయువు సాంద్రత 5.46 g/dm³ ఉంటే, STP వద్ద దాని సాంద్రత ఎంత?
సాధన:
ఇవ్వబడినవి
d1 = 5.46 గ్రా/dm³
T1 = 27° C = 300 K
P1 = 2 bar
P2 = 1.013 bar (STP)
T2 = 273 K (STP) d2 = ?
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 47

ప్రశ్న 10.
546 °C, 0.1 బార్ పీడనం వద్ద 34.05 mL ఫాస్ఫరస్ బాష్పం భారం 0.0625 g ఉంటే, ఫాస్ఫరస్ మోలార్ ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:
P = 0.1 bar
w = 0.0625 గ్రా
R = 0.083 bar dm³/ k.mole
V = 340.5 × 10-3 లీ.
T = 546° C = 819 K
సూత్రము :
PV = nRT
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 48

ప్రశ్న 11.
27 °C వద్ద ప్రయోగం చేసేటప్పుడు ఒక విద్యార్థి పాత్రలో చర్యా మిశ్రమాన్ని తీసుకోవడం మర్చి పోయి, పాత్రను వేడి చేస్తున్నాడు. కొంత సమయానికి తప్పు తెలుసుకొని, పాత్ర ఉష్ణోగ్రతను పైరో మీటర్ ద్వారా చూస్తే, ఉష్ణోగ్రత 477 °C ఉన్నది. ఎంత భాగం గాలి బయటకు పోయిందో లెక్క కట్టండి.
సాధన:
T1 = 27° C = 300 K
T2 = 477° C = 750 K
సూత్రము :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 49

ప్రశ్న 12.
3.32 బార్ పీడనం వద్ద 4.0 మోల్ల వాయువు 5 dm³ ఘనపరిమాణం ఆక్రమించిన, ఆ వాయువు ఉష్ణోగ్రతను లెక్కకట్టండి.
(R = 0.083 bar dm³ K-1 mol-1)
సాధన:
P = 3.32 bar
V = 5 dm³
R = 0.083 bar dm³/ k.mole
n = 4 మోల్లు
సూత్రము :
PV = nRT
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 50

ప్రశ్న 13.
1.4 g డైనైట్రోజన్ వాయువులో ఉన్న మొత్తం ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్యను లెక్కకట్టండి.
సాధన:
14గ్రా. N2 వాయువులో 6.023 × 1023 పరమాణువులు కలవు
1.4 గ్రా. N2 వాయువులో 6.023 × 1022 పరమాణువులు కలవు
ప్రతి ‘N’ పరమాణువులో 7 ఎలక్ట్రాన్లు కలవు. 1.4 గ్రా. నైట్రోజన్లో ఉండు ఎలక్ట్రాన్లు
= 6.023 × 1022 x 7
= 4.2161 × 1023 ఎలక్ట్రాన్లు.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 14.
ప్రతి సెకనుకు 1010 ధాన్యపు గింజలను పంచు కుంటూ పోతే అవొగాడ్రో సంఖ్య ధాన్యపు గింజలను పంచటానికి ఎంత కాలం పడుతుంది?
సాధన:
ప్రతి సెకను కాలంలో 1010 ధాన్యపు గింజలను పంచ బడును అవగాడ్రో సంఖ్య అనగా 6.023 × 1023
∴ 6.023 × 1023 ధాన్యపు గింజలను పంచుటకు పట్టు సమయము.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 51

ప్రశ్న 15.
ఒక సన్నని రంధ్రం గుండా అమ్మోనియా వాయువు వ్యాపనం రేటు 0.5 lit min-1 అదే పరిస్థితులలో క్లోరిన్ వాయువు వ్యాపనం రేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
NH3 వ్యాపనరేటు r1 = 0.5 లీ. min-1
NH3 అణుభారం M1 = 17
Cl2 వ్యాపన రేట r2 = ?
Cl అణుభారం M2 = 71

సూత్రము :
గ్రాహం నియమం ఆధారంగా
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 52

ప్రశ్న 16.
CO2, Cl2 వాయువులు సాపేక్ష వ్యాపనం రేట్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
సూత్రం :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 53

ప్రశ్న 17.
150 ml కార్బన్ మోనాక్సైడ్ నిస్సరణం చెందడానికి 25 సెకనుల కాలం పట్టిన, అదే కాలంలో ఎంత ఘనపరిమాణం గల మిథేన్ వాయువు నిస్సరణం చెందుతుంది?
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 54

ప్రశ్న 18.
ఒక 100 మీటర్ల గొట్టంలోకి ‘A’ వైపు నుంచి హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ వాయువును ‘B’ వైపు నుంచి అమ్మోనియా వాయువును ఒకే పరిస్థితులలో పంపినట్లయితే, ‘A’ నుంచి ఎంత దూరంలో రెండు వాయువు కలుసుకొంటాయి?
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 55

  • HCl మరియు NH3 రెండు వాయువులు ఒక గొట్టంలోని రెండు చివరలు A మరియు B నుండి వ్యాపనం చెందుతున్నాయి.
  • ఈ రెండు వాయువులు ‘O’ అను బిందువు వద్ద కలుసుకొనబడ్డాయి. దీనికి సూచనగా NH4Cl ఒక తెల్లటి వలయంగా ఏర్పడునది.
  • పటము నుండి AO దూరం = × మీ
  • పటము నుండి OB దూరం = (100 – x) మీ.
    గ్రాహం వాయు వ్యాపన నియమం ప్రకారం
    HC మరియు NH3 వ్యాపన రేట్లు

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 56

కావున ఈ రెండు వాయువులు A నుండి 40.48 మీ. దూరంలో కలుసుకొనబడ్డాయి.

ప్రశ్న 19.
27 °C వద్ద 1 dm³ పాత్రలో ఉన్న 8 g డైఆక్సిజన్, 4gడైహైడ్రోజన్ వాయువుల మిశ్రమం కలిగించే పీడనాన్ని లెక్కకట్టండి. (R = 0.083 bar dm³ K-1 mol-1.)
సాధన:
P = ?
V = 1 dm³
R = 0.083 bar dm³ /k.mole
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 57
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 58

ప్రశ్న 20.
27°C వద్ద 5dm’ పాత్రలో ఉన్న 3.5g డైనైట్రోజన్, 3.0g డైహైడ్రోజన్, 8.0g డై ఆక్సిజన్ వాయు వుల మిశ్రమం కలిగించే మొత్తం పీడనాన్ని కనుక్కోండి.
(R = 0. 083 bar dm³ k-1 mol-1)
సాధన:
V = 5 dm³
R = 0.083 bar dm³ (k.mole
T = 27°C = 300 K
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 59

ప్రశ్న 21.
స్థానభ్రంశం చెందిన గాలి ద్రవ్యరాశి, బెలూన్ ద్రవ్యరాశుల మధ్య భేదాన్ని పేలోడ్గా వ్యవహరిస్తారు. 27°C, 11.6 బార్ పీడనం వద్ద 10 మీ వ్యాసార్థం, 100 kg ద్రవ్యరాశి గల ఒక బెలూన్ను హీలియం వాయువుతో నింపినప్పుడు, బెలూన్ పేలోడ్ను లెక్కకట్టండి. (గాలి సాంద్రత 1.2 kg m3, R = 0.083 bar dm³ K-1 mol-1).
సాధన:
r = 10 మీ
m = 100 kg
T = 27° C = 300K
d = 1.22 kg/m³
బెలూన్ ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) πr³
=\(\frac{4}{3}\times\frac{22}{7}\) × 10³
= 4190.5 m³
P = 1.66 bar
T = 300 K
V = 4190.5 m³
R = 0.083 bar dm³ /k.mole
PV = nRT
సూత్రం :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 60

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 22.
31.1°C, 1 bar పీడనం వద్ద 8.8 g CO వాయువు ఆక్రమించే మనపరిమాణాన్ని లెక్కకట్టండి.
R = 0.083 bar L K-1 mol-1.
సాధన:
PV = nRT
P = 1 bar
T = 31.1°C = 304.1 K
R = 0.083 bar dm³ × k-1 mol-1
n = \(\frac{8.8}{44}\) = 0.2
PV = nRT
1 × V = 0.2 × 0.083 × 304.1
= 5.04806 లీ.

ప్రశ్న 23.
95 °C వద్ద 2.9g ద్రవ్యరాశి గల ఒక వాయువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణం, అదే పీడనం వద్ద 17 °C వద్ద 0.184 g డైహైడ్రోజన్ ఆక్రమించే ఘనపరిమాణానికి సమానము. అయితే వాయువు మోలార్ ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:
డై హైడ్రోజన్ మరియు తెలియని వాయువు ఇవ్వబడ్డాయి. తెలియని వాయువు
V1 = V
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 61

ప్రశ్న 24.
1 బార్ పీడనం వద్ద డైహైడ్రోజన్, డై ఆక్సిజన్ వాయువుల మిశ్రమంలో డైహైడ్రోజన్ భార శాతము 20% అయినా, డైహైడ్రోజన్ పాక్షిక పీడనాన్ని లెక్కకట్టండి.
సాధన:
మిశ్రమం నందు 20% H, భారాత్మకంగా కలదు. కావున
80% ఆక్సిజన్ మిగిలియుండును.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 62
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 63

డైహైడ్రోజన్ పాక్షిక పీడనం = H2మోల్ భాగం మొత్తం పీడనం
= 0.8 × 1 = 0.8 bar

ప్రశ్న 25.
pV²T²/n విలువకు SI ప్రమాణమేమిటి ?
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 64

ప్రశ్న 26.
ఛార్లెస్ నియమం ప్రకారం – 273°C ను అత్యల్ప ఉష్ణోగ్రతగా ఎందుకు భావిస్తారో వివరించండి.
సాధన:
ఛార్లెస్ నియమం ప్రకారం t = – 273° C ను ఈ క్రింది సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 65

  • ఇచ్చట ఘనపరిమాణం సున్నా అగును.
  • కావున ఆ వాయువు ఉనికి లేదు.
  • అన్ని వాయువులు ఈ ఉష్ణోగ్రత ముందే ద్రవీకరింపబడతాయి.

ప్రశ్న 27.
కార్బన్ డైఆక్సైడ్, మిథేన్ల సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రతలు వరుసగా 31.1°C, – 81.9°C అయినా, వీటిలో ఏ వాయువులో బలమైన అంతరఅణు ఆకర్షణ బలాలుంటాయి?
సాధన:
CO2 యొక్క సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత TC(CO2) = 31.1° C
CH4 యొక్క సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత TC(CH4) = – 81.9° C
→ ఏ వాయువుకు అయితే అధిక సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రతను కలిగి యుండునో ఆ వాయువు నందు అంతర అణుబలాలు పెరిగి త్వరగా ద్రవీకరింపబడును.
∴ కావున CO2 వాయువు త్వరగా ద్రవీకరింపబడును.

ప్రశ్న 28.
గాలిని 25°C నుండి 0°C కు చల్లబరిచిన, అణువుల rms వేగంలో కలిగే తగ్గుదలను లెక్కకట్టండి.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 66
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 67
1.045 యూనిట్ల నందు 0.045 తగ్గుదల గలదు
100 యూనిట్ల నందు – \(\frac{100}{1.045}\) × 0.045 = 4.3 %
rms వేగంలో తగ్గుదల = 4.3 % (సుమారుగా)

ప్రశ్న 29.
27°c వద్ద 50, వాయువు RMS వేగం, సగటు వేగం, గరిష్ఠ సంభావ్యతా వేగాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 68

ప్రశ్న 30.
27°C వద్ద 0, RMS, సగటు, గరిష్ఠ సంభావ్యతా వేగాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 69
= 4.835 × 104 cm/sec
T = 27° C = 300 K
M = 32 (O2)
u(సగటు) = 0.9213 × urms
= 0.9213 × 4.835 × 104
= 4.455 × 104 cm/sec.
ump = 0.8166 × urms
= 3.948 × 104 cm/sec.

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
ఒక బెలూన్ గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద హైడ్రోజన్ వాయువుతో నింపారు. పీడనం 0.2 bar కంటే ఎక్కువయితే బెలూన్ పగిలిపోతుంది. 1 bar పీడనం వద్ద వాయువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణము 2.27 L అయితే ఎంత ఘనపరిమాణం వరకు బెలూన్ను వ్యాకోచింపచేయవచ్చు.
సాధన:
బాయిల్ నియమం ప్రకారం p1V1 = p2V2
p1 = 1 bar, అయితే V1 = 2.27 L
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 70
1.2 బార్ పీడనం వద్ద బెలూన్ పగిలిపోతుంది. కాబట్టి బెలూన్ ఘనపరిమాణం 11.35 కంటే తక్కువ ఉండాలి.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 2.
23.4° C ఉష్ణోగ్రత వద్ద పసిఫిక్ మహాసముద్రంలో ప్రయాణిస్తున్న ఓడలో 2 L గాలితో నింపిన బెలూన్ ఉంది. ఆ ఓడ 26.1° C ఉష్ణోగ్రత వద్ద నున్న హిందూ మహాసముద్రం చేరుకొన్నప్పుడు, బెలూన్ ఘనపరిమాణం ఎంత ఉంటుంది?
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 71

ప్రశ్న 3.
25° C, 760 mm పాదరసం పీడనం వద్ద ఒక వాయువు 600 mL ఘనపరిమాణాన్ని ఆక్రమి స్తుంది. ఉష్ణోగ్రత 10° C వద్ద దాని ఘనపరిమాణం 640 mL ఉంటే, ఆ వాయువు పీడనం ఎంత ?
సాధన:
p1 = 760 mm (పాదరసపు పీడనం), V1 = 600 mL
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 72

ప్రశ్న 4.
360 cm³ మిథేన్ వాయువు 15 నిమిషాల్లో ఒక సచ్ఛిద్ర పాత్ర నుండి వ్యాపనం చెందింది. అదే పరిస్థితుల్లో 120 cm³ ఒక వాయువు 10 నిమిషాల్లో వ్యాపనం చెందినట్లయితే ఆ వాయువు మోలార్ ద్రవ్యరాశిని కనుక్కోండి.
సాధన:
మిథేన్ (CH4) వాయువు
మిథేన్ వాయువు వ్యాపనం రేటు
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 73
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 74

ప్రశ్న 5.
కార్బన్ డయాక్సైడ్, మరొక వాయువు ‘X’ ల వ్యాపనం రేట్లు వరుసగా 0.290cc s-1, 0.271 cc s-1 అయితే, ‘X’ వాయువు బాష్ప సాంద్రత కనుక్కోండి. కార్బన్ డయాక్సైడ్ బాష్ప సాంద్రత 22.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 75

ప్రశ్న 6.
70.6g డై ఆక్సిజన్, 167.5 g నియాన్ వాయువులు గల వాయు మిశ్రమం కలుగజేసే పీడనం 25 bar. అయితే డై ఆక్సిజన్, నియాన్ వాయువుల పాక్షిక పీడనాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 76
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 77

ప్రశ్న 7.
27° C వద్ద CO2 వాయువు RMS, సగటు, గరిష్ఠ సంభావ్యత వేగాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
T = 27 + 273 = 300 K ;
R = 8.314 J mol-1K-1
M = CO2 మోలార్ ద్రవ్యరాశి = 44g mol-1.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 78
= 4.12 × 10²m s-1
సగటు వేగం (u) = 0.9213 × RMS వేగం
= 0.9213 × 4.12 × 10²m s-1
= 3.8 × 10² m s-1

గరిష్ఠ సంభావ్యత వేగం
(ump) = 0.8166 × 4.12 × 10²m s-1
= 3.36 × 10²m s-1.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 8.
27° C వద్ద 5 మోల్ల డైనైట్రోజన్ వాయువు గతిజశక్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
గతిజశక్తి = \(\frac{3}{2}\)nRT
n = 5 మోల్లు; R = 8.314 J mol-1 k-1
T = 27° C + 273 = 300 K
గతిజశక్తి
Ek = \(\frac{3}{2}\) × 5 mol × 8.314 Jmol-1 K-1 × 300 K
= 18706.50 J

ప్రశ్న 9.
– 73°C వద్ద 4g. మిథేన్ వాయువు గతిజశక్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 79
T = -73°C + 273 = 200 K
గతిజశక్తి (E) = \(\frac{3}{2}\) nRT
= \(\frac{3}{2}\) × 0.25 mol × 8.314 J mol-1 K-1 × 200 K
= 623.6 J.

ప్రశ్న 10.
ఒకే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న 3g H2, 4g O2 వాయువుల గతిజశక్తి నిష్పత్తిని లెక్కకట్టండి.
సాధన:
రెండు వాయువులు ఒకే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్నాయి. కాబట్టి వాటి గతిజశక్తుల నిష్పత్తి వాటి మోల్ సంఖ్యల నిష్పత్తికి సమానం అవుతుంది. H2, O2 గతిజశక్తుల నిష్పత్తి
H2 మోల్ : O2 మోల్
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు వాయువులు, ద్రవాలు 80

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 4 పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

ప్రశ్న 11.
వాయువుల అభిలాక్షణిక ధర్మమైన సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత వాయు అణువుల మధ్య ఉండే అంతర అణు ఆకర్షణ బలాల పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అమ్మోనియా, కార్బన్ డైఆక్సైడ్ వాయువులు సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రతలు వరసగా 405.5 K, 304.10 K. 500 K నుండి సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రతకు చల్లబరిచినపుడు వీటిలో ఏ వాయువు ముందుగా ద్రవీకరించబడుతుంది?
సాధన:
అమ్మోనియా వాయువు ముందుగా ద్రవీకరించబడు తుంది. దీనికి కారణం దాని సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత ముందుగా వస్తుంది. CO2 ద్రవీకరణకు అధిక చల్లదనం అవసరం.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f)

by

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(f) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(f)

Question 1.
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలయితే, కింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) sin 2A – sin 2B + sin 2C = 4 cos A sin B cos C
Solution:
∵ A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలు, కాబట్టి
A + B + C = 180° ………(1)
L.H.S. = sin 2A – sin 2B + sin 2C
= sin 2A + sin 2C – sin 2B
= 2 sin\(\left(\frac{2 A+2 C}{2}\right)\) . cos\(\left(\frac{2 A-2 C}{2}\right)\) – sin 2B
= 2 sin(A + C) cos(A – C) – sin 2B
= 2 sin(180° – B) cos(A – C) – 2 sin B cos B
= 2 sin B cos(A – C) – 2 sin B cos B
= 2 sin B [cos(A – C) – cos B]
= 2 sin B [cos(A – C) cos (180° – (A + C)]
=2 sin B [cos(A – C) + cos(A + C)]
= 2 sin B (2 cos A cos C)
= 4 cos A sin B cos C
∴ sin 2A – sin 2B + sin 2C = 4 cos A sin B cos C

(ii) cos 2A – cos 2B + cos 2C = 1 – 4 sin A cos B sin C
Solution:
L.H.S. = -(cos 2B – cos 2A) + cos 2C
= -2 sin(A + B) sin(A – B) + cos 2C
= -2 sin(180° – C) sin(A – B) + cos 2C
= -2 sin C sin(A – B) + 1 – 2 sin2C
= 1 – 2 sinC (sin(A – B) + sin C)
= 1 – 2 sin C (sin(A – B) + sin(180° – \(\overline{A+B}\))
= 1 – 2 sin C (sin(A – B) + sin(A + B))
= 1 – 2 sin C (2 sin A cos B)
= 1 – 4 sin A cos B sin C
= R.H.S.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f)

Question 2.
A, B, C లు త్రిభుజం కోణాలయితే, కింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) sin A + sin B – sin C = \(4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q2(i)

(ii) cos A + cos B – cos C = -1 + \(4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\) [May ’06]
Solution:
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలు, కాబట్టి
A + B + C = 180° ………(1)
L.H.S. = cos A + cos B – cos C
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q2(ii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q2(ii).1

Question 3.
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలయితే, కింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) sin2A + sin2B – sin2C = 2 sin A sin B cos C
Solution:
A + B + C = 180°
L.H.S. = sin2A + [sin2B – sin2C]
= sin2A + sin(B + C) sin(B – C)
= sin2A + sin(180° – A) . sin(B – C)
= sin2A + sin A . sin(B – C)
= sin A (sin A + sin(B – C))
= sin A [sin(180° – \(\overline{B+C}\)) + sin(B – C)]
= sin A [sin(B + C) + sin(B – C)]
= sin A [2 sin B cos C]
= 2 sin A sin B cos C
= R.H.S.

(ii) cos2A + cos2B – cos2C = 1 – 2 sin A sin B cos C
Solution:
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలు
A + B + C = 180° ……..(1)
L.H.S. = cos2A + cos2B – cos2C
= cos2A + cos2B – cos2C
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q3(ii)
= 1 + cos(A + B) cos(A – B) – cos2C
= 1 + cos(180° – C) cos(A – B) – cos2C [(1) నుండి]
= 1 – cos C cos(A – B) – cos2C
= 1 – cos C [cos(A – B) + cos C]
= 1 – cos C [cos(A – B) + cos(180° – \(\overline{A+B}\))] (సమీ. (1) నుండి)
= 1 – cos C [cos(A – B) – cos(A + B)]
= 1 – cos C [2 sin A sin B]
= 1 – 2 sin A sin B cos C
∴ cos2A + cos2B – cos2C = 1 – 2 sin A sin B cos C

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f)

Question 4.
A + B + C = π అయితే కింది ఫలితాలు రుజువు చేయండి. [(A.P & T.S) Mar. ’12, Mar. ’15]
(i) \(\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2}=2\) \(\left[1+\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\right]\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q4(i)

(ii) \(\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}-\cos ^2 \frac{C}{2}\) = \(2 \cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q4(ii)

Question 5.
ABC త్రిభుజంలో, కింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) \(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}\) = \(4 \cos \frac{\pi-A}{4} \cos \frac{\pi-B}{4} \cos \frac{\pi-C}{4}\) [May ’13]
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q5(i)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q5(i).1
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q5(i).2

(ii) \(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}-\cos \frac{C}{2}\) = \(4 \cos \frac{\pi+A}{4} \cdot \cos \frac{\pi+B}{4} \cdot \cos \frac{\pi-C}{4}\) [Mar. ’05]
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q5(ii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q5(ii).1

(iii) \(\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}-\sin \frac{C}{2}\) = \(1+4 \cos \frac{\pi-A}{4} \cos \frac{\pi-B}{4} \sin \frac{\pi-C}{4}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q5(iii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q5(iii).1
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q5(iii).2

Question 6.
A + B + C = π/2 అయితే cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 + 4 sin A sin B sin C అని చూపండి.
Solution:
A + B + C = π/2 ……..(1)
L.H.S = cos 2A + cos 2B + cos 2C
= 2 cos\(\left(\frac{2 A+2 B}{2}\right)\) cos\(\left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)\) + cos 2C
= 2 cos(A + B) . cos(A – B) + cos 2C
= 2 cos(π/2 – C) cos(A – B) + cos 2C
= 2 sin C cos(A – B) + (1 – 2 sin2C)
= 1 + 2 sin C [cos(A – B) – sin C]
= 1 + 2 sin C [cos(A – B) sin(π/2 – \(\overline{A+B}\))]
= 1 + 2 sin C [cos(A – B) – cos(A + B)]
= 1 + 2 sin C [2 sin A sin B]
= 1 + 4 sin A sin B sin C
∴ cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 + 4 sin A sin B sin C

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f)

Question 7.
A + B + C = 3π/2 అయితే, కింది వాటిని ఋజువు చేయండి.
(i) cos2A + cos2B – cos2C = -2 cos A cos B sin C
Solution:
A + B + C = 3π/2 ……..(1)
L.H.S. = cos2A + cos2B – cos2C
= cos2A + (1 – sin2B) – cos2C
= (cos2A – sin2B) + (1 – cos2C)
= cos(A + B) cos(A – B) + sin2C
= cos(3π/2 – C) cos(A – B) + sin2C
= -sin C cos(A – B) + sin2C
= sin C [sin C – cos(A – B)]
= sin C [sin(270° – \(\overline{A+B}\)) – cos(A – B)]
= sin C [-cos(A + B) – cos(A – B)]
= -sin C [cos(A + B) + cos(A – B)]
= -sin C [2 cos A cos B]
= -2 cos A cos B sin C
∴ cos2A + cos2B – cos2C = -2 cos A cos B sin C

(ii) sin 2A + sin 2B – sin 2C = -4 sin A sin B cos C
Solution:
A + B + C = 270° …….(1)
L.H.S = sin 2A + sin 2B – sin 2C
= 2 sin\(\left(\frac{2 A+2 B}{2}\right)\) cos\(\left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)\) – sin 2C
= 2 sin(A + B) . cos(A – B) – 2 sin C cos C
= 2 sin(270° – C) cos(A – B) – 2 sin C cos C
= -2 cos C cos(A – B) – 2 sin C cos C
= -2 cos C [cos(A – B) + sin C]
= -2 cos C [cos(A – B) + sin(270° – \(\overline{A+B}\))]
= -2 cos C [cos(A – B) – cos(A + B)]
= -2 cos C (2 sin A sin B)
= -4 sin A sin B cos C
∴ sin 2A + sin 2B – sin 2C = -4 sin A sin B cos C

Question 8.
A + B + C = 0 అయితే, కింది వాటిని ఋజువు చేయండి.
(i) sin 2A + sin 2B + sin 2C = -4 sin A sin B sin C
Solution:
A + B + C = 0 …….(1)
L.H.S.= sin 2A + sin 2B + sin 2C
= 2 sin\(\left(\frac{2 A+2 B}{2}\right)\) cos\(\left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)\) + sin 2C
= 2 sin(A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C
= 2 sin(-C) cos(A – B) + 2 sin C cos C
= -2 sin C cos(A – B) + 2 sin C cos C
= -2 sin C [cos(A – B) – cos C]
= -2 sin C [cos(A – B) – cos(-A – B))
= -2 sin C [cos(A – B) – cos (A + B)]
= -2 sin C [2 sin A sin B]
= -4 sin A sin B sin C
∴ sin 2A + sin 2B + sin 2C = -4 sin A sin B sin C

(ii) sin A + sin B – sin C = \(-4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\)
Solution:
A + B + C = 0°
L.H.S = sin A + sin B – sin C
= \(2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin C\)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q8(ii)

Question 9.
A + B + C + D = 2π అయితే, కింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) sin A – sin B + sin C – sin D = \(-4 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A+D}{2}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q9(i)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q9(i).1
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q9(i).2

(ii) cos 2A + cos 2B + cos 2C + cos 2D = 4 cos(A + B) cos(A + C) cos(A + D)
Solution:
A + B + C + D = 360° …….(1)
L.H.S = cos 2A + cos 2B + cos 2C + cos 2D
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q9(ii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q9(ii).1

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f)

Question 10.
A + B + C = 2S అయితే, కింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) sin(S – A) + sin(S – B) + sin C = \(4 \cos \frac{S-A}{2} \cos \frac{S-B}{2} \sin \frac{C}{2}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q10(i)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q10(i).1

(ii) cos(S – A) + cos(S – B) + cos C = \(-1+4 \cos \frac{S-A}{2} \cos \frac{S-B}{2} \cos \frac{C}{2}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(f) I Q10(ii)

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e)

by

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(e)

I.

Question 1.
sin 50° – sin 70° + sin 10° = 0 అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S = sin 50° – sin 70° + sin 10°
= 2 cos\(\left(\frac{50^{\circ}+70^{\circ}}{2}\right)\) sin\(\left(\frac{50^{\circ}-70^{\circ}}{2}\right)\) + sin 10°
= 2 cos 60° . sin(-10°) + sin 10°
= 2(\(\frac{1}{2}\)) (-sin 10°) + sin 10°
= -sin 10° + sin 10°
= 0
∴ sin 50° – sin 70° + sin 10° = 0

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e)

Question 2.
\(\frac{\sin 70^{\circ}-\cos 40^{\circ}}{\cos 50^{\circ}-\sin 20^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) అని నిరూపించండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) I Q2

Question 3.
cos 55° + cos 65° + cos 175° = 0 అని రుజువు చేయండి.
Solution:
L.H.S = cos 55° + cos 65° + cos 175°
= cos 65° + cos 55° + cos(180° – 5°)
= 2 cos\(\left(\frac{65^{\circ}+55^{\circ}}{2}\right)\) . cos\(\left(\frac{65^{\circ}-55^{\circ}}{2}\right)\) – cos 5°
= 2 cos (60°) . cos (5°) – cos 5°
= 2(\(\frac{1}{2}\)) cos 5° – cos 5°
= cos 5° – cos 5°
= 0
∴ cos 55° + cos 65° + cos 175° = 0

Question 4.
4(cos 66° + sin 84°) = √3 + √15 అని నిరూపించండి.
Solution:
LHS = 4(cos 66° + sin 84°)
= 4[cos 66° + sin (90° – 6°)]
= 4[cos 66° + cos 6°]
= \(4\left[2 \cdot \cos \left(\frac{66^{\circ}+6^{\circ}}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{66^{\circ}-6^{\circ}}{2}\right)\right]\)
= 8 . cos 30° . cos 36°
= \(8 \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)\)
= √3(√5 + 1)
= √3 + √15
∴ 4(cos 66°+ sin 84°) = √3 + √15

Question 5.
cos 20° cos 40° – sin 5° sin 25° = \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\) అని రుజువు చేయండి.
Solution:
cos 20° cos 40° – sin 5° sin 25°
= \(\frac{1}{2}\) [2 cos 20° cos 40° – 2 sin 5° sin 25°]
= \(\frac{1}{2}\) [cos(20° + 40°) + cos(20° – 40°) – {cos (5° – 25°) cos (5° + 25°)}]
= \(\frac{1}{2}\) [cos 60° + cos 20° – cos 20° + cos 30°]
= \(\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\)
= \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)
∴ cos 20° cos 40° – sin 5° sin 25° = \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e)

Question 6.
cos 48° . cos 12° = \(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\) అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S = cos 48° . cos 12°
= \(\frac{1}{2}\) (2 cos 48° . cos 12°)
= \(\frac{1}{2}\) [cos (48° + 12°) + cos (48° – 12°)]
= \(\frac{1}{2}\) [cos 60° + cos 36°]
= \(\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right]\)
= \(\frac{1}{2}\left[\frac{2+\sqrt{5}+1}{4}\right]\)
= \(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\)
∴ cos 48° . cos 12° = \(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\)

II.

Question 1.
cos θ + cos[\(\frac{2 \pi}{3}\) + θ] + cos[\(\frac{4 \pi}{3}\) + θ] = 0 అని చూపండి.
Solution:
LHS = cos θ + cos(120° + θ) + cos(240° + θ)
= cos θ + {cos 120° cos θ – sin 120° sin θ} + {cos 240° cos θ – sin 240° . sin θ}
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) II Q1
= cos θ – cos θ
= 0
∴ cos θ + cos(120° + θ) + cos(240° + θ) = 0

Question 2.
sin2(α – π/4) + sin2(α + π/2) – sin2(α – π/2) = \(\frac{1}{2}\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) II Q2
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) II Q2.1

Question 3.
sin x + sin y = \(\frac{1}{y}\), cos x + cos y = \(\frac{1}{3}\) అయితే (i) \(\tan \left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{3}{4}\) (ii) cot(x + y) = \(\frac{7}{24}\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) II Q3

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e)

Question 4.
\(\left[A-\frac{\pi}{12}\right] \cdot\left[A-\frac{5 \pi}{12}\right]\) అనేవి π కి పూర్ణాంక గుణిజం కాకపొతే cot(π/2 – A) + tan(π/12 + A) = \(\frac{4 \cos 2 A}{1-2 \sin 2 A}\) అని నిరూపించండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) II Q4

Question 5.
4 cos 12° cos 48° cos 72° = cos 36° అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S. = 4 cos 12° cos 48° cos 72°
= 2 cos 12° {2 cos 72° cos 48°}
= 2 cos 12° {cos(72° + 48°) + cos(72° – 48°)}
= 2 cos 12° {cos(120°) + cos 24°}
= 2 cos 12° {\(-\frac{1}{2}\) + cos 24°}
= 2 cos 12° \(\left\{\frac{-1+2 \cos 24^{\circ}}{2}\right\}\)
= -cos 12° + 2 cos 24° cos 12°
= -cos 12° + {cos(24° + 12°) + cos(24° – 12°)}
= -cos 12° + cos 36° + cos 12°
= cos 36°
∴ 4 cos 12° cos 48° cos 72° = cos 36°

Question 6.
sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50° = sin 70° + sin 80° అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S. = sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50°
= (sin 50°+ sin 10°) + (sin 40° + sin 20°)
= 2 sin\(\left(\frac{50^{\circ}+10^{\circ}}{2}\right)\) . cos\(\left(\frac{50^{\circ}-10^{\circ}}{2}\right)\) + 2 sin\(\left(\frac{40^{\circ}+20^{\circ}}{2}\right)\) . cos\(\left(\frac{40^{\circ}-20^{\circ}}{2}\right)\)
= 2 sin 30° . cos 20° + 2 sin 30° . cos 10°
= 2 sin 30° (cos 20° + cos 10°)
= 2(\(\frac{1}{2}\)) [cos(90° – 70°) + cos(90° – 80°)]
= sin 70° + sin 80°
∴ sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50° = sin 70° + sin 80°

III.

Question 1.
cos x + cos y = \(\frac{4}{5}\), cos x – cos y = \(\frac{2}{7}\) అయితే \(14 \tan \frac{x-y}{2}+5 \cot \frac{x+y}{2}\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q1
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q1.1

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e)

Question 2.
కింది సమీకరణంలో హారాలు సున్నా కానప్పుడు,
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q2
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q2.1

Question 3.
sin A = sin B, cos A = cos B అయితే A = 2nπ + B (n ∈ Z) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q3

Question 4.
cos nα ≠ 0, cos \(\frac{\alpha}{2}\) ≠ 0 అయితే \(\frac{\sin (n+1) \alpha-\sin (n-1) \alpha}{\cos (n+1) \alpha+2 \cos n \alpha+\cos (n-1) \alpha}\) = tan \(\frac{\alpha}{2}\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q4

Question 5.
sec(θ + α) + sec(θ – α) = 2 sec θ, cos α ≠ 1 అయితే, cos θ = ±√2 cos α/2 అని చూపండి.
Solution:
cos α ≠ 1,
sec(θ + α) + sec(θ – α) = 2 sec θ
⇒ \(\frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}+\frac{1}{\cos (\theta-\alpha)}=\frac{2}{\cos \theta}\)
⇒ \(\frac{\cos (\theta-\alpha)+\cos (\theta+\alpha)}{\cos (\theta+\alpha) \cdot \cos (\theta-\alpha)}=\frac{2}{\cos \theta}\)
⇒ \(\frac{2 \cos \theta \cdot \cos \alpha}{\cos ^2 \theta-\sin ^2 \alpha}=\frac{2}{\cos \theta}\)
⇒ cos2θ cos α = cos2θ – sin2α
⇒ cos2θ (cos α – 1) = -sin2α
⇒ cos2θ (1 – cos α) = sin2α
⇒ cos2θ (1 – cos α) = 1 – cos2α
⇒ cos2θ = 1 + cos α, [∵ cos α ≠ 1]
⇒ cos2θ = 2 cos2(α/2)
∴ cos θ = ±√2 cos(α/2)

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e)

Question 6.
x, y, z లు ఏవీ \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజాలు కాకపోయి, sin(y + z – x), sin(z + x – y), sin(x + y – z) లు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే, tan x, tan y, tan z లు కూడా అంకశ్రేఢిలో ఉంటాయని చూపండి.
Solution:
sin(y + z – x), sin(z + x – y), sin(x + y – z) లు A.P. లో ఉన్నవి.
⇒ sin(z + x – y) – sin(y + z – x) = sin(x + y – z) – sin(z + x – y)
⇒ 2 cos z sin(x – y) = 2 cos x sin(y – z)
⇒ cos z [sin x cos y – cos x sin y] = cos x [sin y cos z – cos y sin z]
cos x, cos y, cos z చే భాగించగా
⇒ \(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{\sin y}{\cos y}-\frac{\sin z}{\cos z}\)
⇒ tan x – tan y = tan y – tan z
⇒ tan x + tan z = 2 tan y
∴ tan x, tan y, tan z లు A.P. లో వున్నాయి.

Question 7.
x, y, z ∈ R – {0}, x cos θ = y cos(θ + \(\frac{2 \pi}{3}\)) = z cos(θ + \(\frac{4 \pi}{3}\)), θ ∈ R అయితే xy + yz + zx = 0 అని చూపండి.
Solution:
x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0,
x cos θ = y cos(θ + \(\frac{2 \pi}{3}\)) = z cos(θ + \(\frac{4 \pi}{3}\)) = λ అనుకుంటే
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q7
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q7.1

Question 8.
A, A + B లు \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజాలు కావు, m sin B = n sin(2A + B) అయితే (m + n) tan A = (m – n) tan(A + B) అని చూపండి.
Solution:
A, (A + B) లు \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజాలు కావు.
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q8

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e)

Question 9.
tan(A + B) = λ tan(A – B) అయితే, (λ + 1) sin 2B = (λ – 1) sin 2A అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(e) III Q9

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d)

by

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(d)

I.

Question 1.
కింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) \(\frac{\sin 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}\)
Solution:
\(\frac{\sin 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}\)
= \(\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \cos ^2 \theta}\)
= tan θ

(ii) \(\frac{3 \cos \theta+\cos 3 \theta}{3 \sin \theta-\sin 3 \theta}\)
Solution:
\(\frac{3 \cos \theta+4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta}{3 \sin \theta-\left(3 \sin \theta-4 \sin ^3 \theta\right)}=\frac{4 \cos ^3 \theta}{4 \sin ^3 \theta}=\cot ^3 \theta\)

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d)

Question 2.
కింది వాటిని గణించండి.
(i) 6 sin 20° – 8 sin320°
Solution:
6 sin 20° – 8 sin320°
= 2(3 sin 20° – 4 sin320°)
= 2 sin(3 × 20)
= 2 sin 60°
= 2(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
= √3

(ii) cos272° – sin254°
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q2(ii)

(iii) sin242° – sin212°
sin242° – sin212°
= sin(42° + 12°) sin(42° – 12°)
= sin 54° . sin 30°
= \(\left[\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right] \frac{1}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{5}+1}{8}\)

Question 3.
(i) \(\frac{\sin 4 \theta}{\sin \theta}\) ను cos3θ, cos θ పదాలలో రాయండి.
Solution:
sin 4θ = sin(3θ + θ)
= sin 3θ cos θ + cos 3θ sin θ
= (3 sin θ – 4 sin3θ) cos θ + (4 cos3θ – 3 cos θ) sin θ
= 3 sin θ cos θ – 4 sin3θ cos θ + 4 cos3θ sin θ – 3 cos θ sin θ
= 4 cos3θ sin θ – 4 sin3θ cos θ
= sin θ (4 cos3θ – 4 sin2θ cos θ)
\(\frac{\sin 4 \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin \theta\left(4 \cos ^3 \theta-4 \sin ^2 \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta}\)
= 4 cos3θ – 4(1 – cos2θ) cos θ
= 4 cos3θ – 4 cos θ + 4 cos3θ
= 8 cos3θ – 4 cos θ

(ii) cos6A + sin6A ను sin 2A పదాలలో రాయండి.
Solution:
cos6A + sin6A
= (cos2A)3 + (sin2A)3
= (cos2A + sin2A)3 – 3 cos2A sin2A (cos2A + sin2A)
= 1 – 3 cos2A sin2A
= 1 – \(\frac{3}{4}\) (4 cos2A sin2A)
= 1 – \(\frac{3}{4}\) sin22A

(iii) \(\frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}\) ను tan θ/2 పదాలలో రాయండి.
Solution:
\(\frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}\)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q3(iii)

Question 4.
(i) \(\frac{\pi}{2}\) < α < π, sin α = \(\frac{3}{5}\), అయితే cos 3α ను, tan 2α విలువలను గణించండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q4(i)

(ii) \(\frac{3 \pi}{2}\) < A < 2π, cos A = \(\frac{7}{25}\), అయితే cot A/2 విలువ కనుక్కోండి.
Solution:
cos A = \(\frac{7}{25}\)
ఇచ్చినవి \(\frac{3 \pi}{2}\) < A < 2π
⇒ \(\frac{3 \pi}{4}<\frac{A}{2}<\pi\)
∴ A, 4వ పాదంలో ఉంది మరియు \(\frac{A}{2}\) రెండవ పాదంలో ఉంది.
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q4(ii)

(iii) 0 < θ < \(\frac{\pi}{8}\), అయితే \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta)}}}=2 \cos (\theta / 2)\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q4(iii)

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d)

Question 5.
(i) cos 2x + cos2x లకు అంతిమ విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
cos 2x + cos2x = 2 cos2x – 1 + cos2x = 3 cos2x – 1
-1 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ cos2x ≤ 1
0 ≤ 3cos2x ≤ 3
-1 ≤ 3cos2x – 1 ≤ 2
గరిష్ట విలువ = 2, కనిష్ఠ విలువ = -1

(ii) 3 sin2x + 5 cos2x లకు అంతిమ విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
3 sin2x + 5 cos2x
= 3(1 – cos2x) + 5cos2x
= 3 – 3 cos2x + 5 cos2x
= 3 + 2 cos2x
-1 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ cos2x ≤ 1
0 ≤ 2 cos2x ≤ 2
3 ≤ 3 + 2 cos2x ≤ 5
గరిష్ఠ విలువ = 5, కనిష్ఠ విలువ = 3

Question 6.
a ≤ cos θ + 3√2 sin[θ + \(\frac{\pi}{4}\)] + 6 ≤ b a గరిష్ట విలువ, b కనిష్ఠ విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q6

Question 7.
కింది ప్రమేయాల ఆవర్తనాలు కనుక్కోండి.
(i) cos4x
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q7(i)

(ii) \(2 \sin \left[\frac{\pi x}{4}\right]+3 \cos \left[\frac{\pi x}{3}\right]\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q7(ii)

(iii) sin2x + 2cos2x
Solution:
Let f(x) = sin2x + 2cos2x
= 1 – cos2x + 2cos2x
= 1 + cos2x
= 1 + \(\frac{1+\cos 2 x}{2}\)
∴ cos 2x = \(\frac{2 \pi}{2}\) = π ఆవర్తనం
∴ f(x) = π ఆవర్తనం

(iv) 2sin[\(\frac{\pi}{4}\) + x] cos x
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) I Q7(iv)

(v) \(\frac{5 \sin x+3 \cos x}{4 \sin 2 x+5 \cos x}\)
Solution:
Let f(x) = \(\frac{5 \sin x+3 \cos x}{4 \sin 2 x+5 \cos x}\)
sin x = 2π ఆవర్తనం
cos x = 2π ఆవర్తనం
sin 2x = \(\frac{2 \pi}{2}\) = π ఆవర్తనం
cos x = 2π ఆవర్తనం
L.C.M. of (2π, 2π, π‚ 2π) = 2π ఆవర్తనం
∴ f(x) = 2π ఆవర్తనం

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d)

II.

Question 1.
(i) 0 < A < \(\frac{\pi}{4}\), cos A = \(\frac{4}{5}\) అయితే sin 2A, cos 2A విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q1(i)

(ii) \(\frac{\cot ^3 A-3 \cot A}{3 \cot ^2 A-1}\) ధనాత్మకం అయ్యేటట్లు ప్రథమ పాదంలోని A విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q1(ii)

(iii) \(\frac{\cos 3 A+\sin 3 A}{\cos A-\sin A}\) = 1 + 2 sin 2A అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q1(iii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q1(iii).1

Question 2.
(i) \(\cot \left[\frac{\pi}{4}-\theta\right]=\frac{\cos 2 \theta}{1-\sin 2 \theta}\) అని చూపి దాని నుంచి cot 15° విలువను రాబట్టండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q2(i)

(ii) sin θ = \(\frac{-4}{5}\), θ మూడవ పాదంలోకి కోణం అయితే cosec(θ/2), tan(θ/2) ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q2(ii)

(iii) 450°< θ < 540°, sin θ = \(\frac{12}{13}\), అయితే sin(θ/2), cos(θ/2) ల విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q2(iii)

(iv) \(\frac{1}{\cos 290^{\circ}}+\frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^{\circ}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q2(iv)

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d)

Question 3.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{\sin 2 A}{(1-\cos 2 A)} \cdot \frac{(1-\cos A)}{\cos A}=\tan \frac{A}{2}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q3(i)

(ii) \(\frac{\sin 2 x}{(\sec x+1)} \cdot \frac{\sec 2 x}{(\sec 2 x+1)}=\tan \left[\frac{x}{2}\right]\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q3(ii)

(iii) \(\frac{\left(\cos ^3 \theta-\cos 3 \theta\right)}{\cos \theta}+\frac{\left(\sin ^3 \theta+\sin 3 \theta\right)}{\sin \theta}=3\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q3(iii)

Question 4.
(i) cos A = \(\frac{\cos 3 A}{(2 \cos 2 A-1)}\) అని చూపి, దాని నుంచి cos 15° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q4(i)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q4(i).1

(ii) sin A = \(\frac{\sin 3 A}{1+2 \cos 2 A}\) అని చూపి, దాని నుంచి sin 15° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q4(ii)

(iii) tan α = \(\frac{\sin 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}\) అని చూపి, దాని నుంచి tan 15°, tan 22\(\frac{1^{\circ}}{2}\) ల విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q4(iii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q4(iii).1

Question 5.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}=4\) [June ’04]
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q5(i)

(ii) √3 cosec 20° – sec 20° = 4
Solution:
L.H.S. = √3 cosec 20° – sec 20°
= \(\frac{\sqrt{3}}{\sin 20}-\frac{1}{\cos 20}\)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q5(ii)

(iii) tan 9° – tan 27° – cot 27° + cot 9° = 4.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q5(iii)

(iv) \(\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\cos \alpha}{b}\) అయితే a sin 2α + b cos 2α = b.
Solution:
ఇచ్చినది \(\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\cos \alpha}{b}\)
⇒ b sin α = a cos α
L.H.S. = a sin 2α + b cos 2α
= a 2 sin α cos α + b(1 – 2 sin2α)
= 2 sin α (a cos α) + b – 2b sin2α
= 2 sin α (b sin α) + b – 2b sin2α
= 2b sin2α + b – 2b sin2α
= b

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d)

Question 6.
(i) ABC త్రిభుజంలో \(\tan \frac{A}{2}=\frac{5}{6}, \tan \frac{B}{2}=\frac{20}{37}\) అయితే, \(\tan \left[\frac{C}{2}\right]=\frac{2}{5}\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q6(i)

(ii) cos θ = \(\frac{5}{13}\), 270° < θ < 360° అయితే, sin(θ/2), cos(θ/2) లను గణించండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q6(ii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q6(ii).1

(iii) 180°< θ < 270°, sin θ = \(\frac{-4}{5}\) అయితే, sin(θ/2), cos(θ/2) లను గణించండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q6(iii)

Question 7.
(i) \(\cos ^2 \frac{\pi}{8}+\cos ^2 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^2 \frac{5 \pi}{8}+\cos ^2 \frac{7 \pi}{8}\) = 2 అని నిరూపించండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q7(i)

(ii) \(\cos ^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos ^4\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\cos ^4\left(\frac{5 \pi}{8}\right)+\cos ^4\left(\frac{7 \pi}{8}\right)\) = \(\frac{3}{2}\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) II Q7(ii)

III.

Question 1.
(i) \(\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\tan \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)=3\), అయితే tan 3x = 1 అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q1(i)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q1(i).1

(ii) \(\sin \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{2 \pi}{5} \cdot \sin \frac{3 \pi}{5} \cdot \sin \frac{4 \pi}{5}=\frac{5}{16}\) అని నిరూపించండి. [Mar. ’13]
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q1(ii)

(iii) \(\cos ^2\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos ^2\left(\frac{2 \pi}{5}\right)+\cos ^2\left(\frac{3 \pi}{5}\right)\) + \(\cos ^2\left(\frac{9 \pi}{10}\right)\) = 2 అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q1(iii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q1(iii).1

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d)

Question 2.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1-\sec 8 \alpha}{1-\sec 4 \alpha}=\frac{\tan 8 \alpha}{\tan 2 \alpha}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q2(i)

(ii) \(\left[1+\cos \frac{\pi}{10}\right]\left[1+\cos \frac{3 \pi}{10}\right]\left[1+\cos \frac{7 \pi}{10}\right]\) \(\left[1+\cos \frac{9 \pi}{10}\right]=\frac{1}{16}\) [(AP) Mar. ’15]
Solution:
\(\left(1+\cos \frac{\pi}{10}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{10}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{10}\right)\)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q2(ii)

Question 3.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\cos \frac{2 \pi}{7} \cdot \cos \frac{4 \pi}{7} \cdot \cos \frac{8 \pi}{7}\) = \(\frac{1}{8}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q3(i)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q3(i).1

(ii) \(\cos \frac{\pi}{11} \cdot \cos \frac{2 \pi}{11} \cdot \cos \frac{3 \pi}{11} \cdot \cos \frac{4 \pi}{11} \cdot \cos \frac{5 \pi}{11}\) = \(\frac{1}{32}\)
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q3(ii)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q3(ii).1

Question 4.
(i) α, β లు లఘు కోణాలు, cos α = \(\frac{3}{5}\), cos β = \(\frac{5}{13}\) అయితే, (a) \(\sin ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\frac{1}{65}\) (b) \(\cos ^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{16}{65}\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q4(i)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d) III Q4(i).1

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Ex 6(d)

(ii) A అనేది π యొక్క పూర్ణాంక గుణిజం కాకపోతే, cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A = \(\frac{\sin 16 A}{16 \sin A}\) అని నిరూపించండి. దీని నుంచి \(\cos \frac{2 \pi}{15} \cdot \cos \frac{4 \pi}{15} \cdot \cos \frac{8 \pi}{15} \cdot \cos \frac{16 \pi}{15}=\frac{1}{16}\) అని చూపండి. [May ’13; Mar. ’12]
Solution:
16 sin A {cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A}
= 8(2 sin A . cos A) cos 2A . cos 4A . cos 8A
= 8 sin 2A . cos 2A . cos 4A . cos 8A
= 4(2 sin 2A . cos 2A) . cos 4A . cos 8A
= 4 sin 4A . cos 4A . cos 8A
= 2(2 sin 4A . cos 4A) . cos 8A
= 2 sin 8A . cos 8A
= sin(16A)
∴ 16 sin A {cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A} = sin(16A)
∴ cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A = \(\frac{\sin 16 A}{16 \sin A}\)