Class 8

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది పటాలలో సర్వసమాన పటాల జతలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 184)

సాధన.
పై పటాలలో సర్వసమాన పటాల జతలు (1, 10), (2, 6, 8), (3, 7), (12, 14), (9, 11).

2. క్రింది పటాల జతలను గమనించండి. అవి సర్వసమానాలేమో తెల్పండి. కారణాలు వివరించండి. పటాలను పేర్లతో చెప్పండి. (పేజీ నెం. 185)


సాధన.
i) ΔABC, ΔPQRల నుండి
∠A = ∠Q (కోణాలు సమానాలు)
భుజాలు సమానాలు అని ఇవ్వలేదు. కాని ఆ రెండు పటాలను ఒకదానిపై ఒకటి ఉంచిన అవి ఏకీభవిస్తాయి.
∴ ΔABC ≅ ΔPQR

ii) ΔPLM, ΔQNM ల నుండి
PL = QN (భుజం)
LM = MN (భుజం)
PM = QM (భుజం)
పై రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప భుజాలు సమానం.
∴ ΔPLM ≅ ΔQNM

iii) ΔLMN, ΔPQR ల నుండి
NL ≠ PQ, LM ≠ QR, NM ≠ RP
∴ ΔLMN ≠ ΔPQR
(అనురూపకోణాలు ఇవ్వలేదు)

iv) ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం,
LMNO ఒక దీర్ఘచతురస్రం
దీర్ఘచతురస్రం మరియు సమాంతర చతుర్భుజం ఎప్పుడూ కూడా సర్వసమానాలు కాదు.

v) రెండు వృత్తాల నుండి
r₁ = r₂ = 2 యూ॥
రెండు వృత్తాలు సర్వసమానాలు.

3. క్రింది చిత్రాలలో మొదటి రేఖా చిత్రంతో సరూపంగా ఉన్న రేఖాచిత్రాలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 186)

సాధన.
a) (ii)
b) (ii)

4. ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై ఒక త్రిభుజాన్ని గీచి సూచీ భిన్నం 3గా గల విస్తరణ పటాన్ని గీయండి. ఆ రెండు పటాలు సరూపాలేనా ? (పేజీ నెం. 191)
సాధన.
సోపానం 1 : ΔPQR ని నిర్మించి, త్రిభుజంపై లేని ఏదేని బిందువు ‘C’ ని విస్తరణ కేంద్రంగా గుర్తించుము. ‘C’ ని త్రిభుజ – శీర్షాలతో కలిపి ముందుకు పొడిగించుము.

సోపానం 2 : వృత్తలేఖిని సహాయంతో పొడిగింపు రేఖలపై
CP’ = k (CP) = 3 CP
CQ’ = 3 CQ
CR’ = 3 CR
అగునట్లు P’, Q’ మరియు R’ బిందువులను గుర్తించుము.

సోపానం 3 : P’Q’, Q’R’ మరియు R’P’ లను కలుపుము.
ΔP’Q’R’ ~ ΔPQR అని గమనించవచ్చు.

5. ఒక చతురస్రాన్ని గీచి సూచీ భిన్నాలు 4, 5 గా గల విస్తరణ పటాలను గీయండి. నీవేమి గమనించితివి ? అలాగే ఏదేని ఒక పటాన్ని పొడిగించండి. (పేజీ నెం. 191)
సాధన.
కొన్నిసార్లు మనం పటాలను వాటి వాస్తవ పరిమాణం కన్నా పెద్దదిగా వేయవలసి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు సినిమా కటౌట్ (cut-outs) మీరు చూసి ఉంటారు. మరికొన్ని సార్లు పటాలను చిన్నవిగా గీయవలసి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు నమూనాలు గీచే సందర్భంగా అసలు పరిమాణం కన్నా చిన్నవిగా గీస్తాము. అంటే మనం పటాల ఆకారాలను పెద్దవిగా కాని చిన్నవిగా కాని చేయవలసిన అవసరం నిత్యజీవితంలో ఏర్పడుతూ ఉంటుంది. ఈ విధంగా పెద్ద లేదా చిన్న సరూప పటాలు గీసే పద్ధతిని “సరూప విస్తరణం” అంటారు.

పటంలో ☐ ABCD విస్తరణను గమనించండి. ☐ ABCD ఒక చతురస్రం గ్రాఫ్ కాగితంపై గీయబడినది.
ప్రతి శీర్షాలు A, B, C మరియు D లు ‘O’ నుండి కలుపబడి వాటి 4 రెట్లు దూరాలకు వరుసగా A’, B’, C’ మరియు D’ వరకు పొడిగింపబడినవి. ఇప్పుడు A’, B’, C’,D’ లు కలుపగా ☐ ABCDకు 4 రెట్లు కొలతలు గల చతురస్రమును ఏర్పరచినవి. ఇక్కడ ‘O’ ను విస్తరణ కేంద్రం అని మరియు
\(\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{4}{1}\) = 4 ను సూచీ భిన్నం (scale factor) అని అంటారు.
\(\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{5}{1}\) = 5 ను సూచీ భిన్నం అంటారు.

6. క్రింది ఆకారాలకు సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవరేఖలు గీయండి. (పేజీ నెం. 193)

సాధన.

ప్రయత్నించండి

1. చాపిన చేతిలో ఒక స్కేలుని నిలువుగా పట్టుకొని మీ పాఠశాల భవనం ఏకీభవించునట్లు పాఠశాల నుండి దూరంగా జరుగుతూ సరిచేసుకొనుము. దీనికి సరిపడు పటాన్ని గీచి పాఠశాల భవనం ఎత్తుని అంచనా వేయండి. (పేజీ నెం. 189)
సాధన.
ఉదాహరణ ద్వారా వివరణ:
ఒక భవనం నుండి కొంత దూరములో గల బాలిక తనకెదురుగా గల పాఠశాల భవనం వైపు తన చేతిని చాపి ఒక స్కేలు పట్టుకొని నిలచి ఉన్నది. ఆమె తన చేతిలోని స్కేలు భవనముతో ఏకీభవించినట్లు పటంలో చూపినట్లు గమనించింది. ఈ వివరణను పై ఉదాహరణతో పోలిస్తే


స్కేలు పొడవు, బాలిక చేతి పొడవు మరియు బాలిక నుండి భవనమునకు గల దూరములను కొలచి భవనం ఎత్తును అంచనా వేయవచ్చు.

2. a) కింది వానిలో బిందు సౌష్ఠవం గల వాటిని గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 196)

సాధన.
బిందు సౌష్ఠవం గల పటాలు (i), (ii), (iii), (v)

b) పై పటాలలో రేఖా సౌష్ఠవాన్ని కలిగిన పటాలు ఏవి ?
సాధన.
రేఖా సౌష్ఠవాన్ని కలిగిన పటాలు (i), (iii), (v)

c) రేఖా సౌష్ఠవమునకు మరియు బిందు సౌష్ఠవానికి మధ్యగల సంబంధమేమి ?
సాధన.
ఒక జ్యామితీయ పటానికి రేఖాసౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్య = బిందు సౌష్ఠవ పరిమాణం.

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయుండి

1. ఒక జ్యామితి పటం యొక్క సౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్యకు మరియు దాని భ్రమణ పరిమాణానికి మధ్యగల సంబంధం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 195)
సాధన.
ఒక పటానికి మధ్యగా ఒక రేఖను గీచిన ఆ రేఖకు ఇరువైపులా గల భాగాలు ఒకే విధంగా ఉండి ఒకదానిని ఒకటి ఏకీభవిస్తే ఆ రేఖ ఆ పటానికి సౌష్ఠవ అక్షం అంటారు. భ్రమణ పరిమాణం అనగా ఎన్నిసార్లు ఒక ఆకారాన్ని భ్రమణం చేసి తిప్పగా అది మళ్ళీ మొదటి ఆకారాన్ని పొందుతుందో ఆ సంఖ్యను భ్రమణ పరిమాణం అంటారు.

∴ పై పట్టికను అనుసరించి ఒక జ్యామితి పటం యొక్క సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్య = భ్రమణ పరిమాణం అగును.

2. ఒక క్రమ బహుభుజికి గల సౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్య ఎంత ? ఒక క్రమ బహుభుజి భుజాల సంఖ్యకు మరియు దాని భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణమునకు మధ్యగల సంబంధమేమి ? (పేజీ నెం. 195)
సాధన.
ఒక క్రమ బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య ‘n’ అయిన దాని సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య ‘n’ అవుతుంది. అదేవిధంగా దాని భ్రమణ పరిమాణం కూడా ‘n’ అవుతుంది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. కొందరు భారతీయ క్రికెట్ ఆటగాళ్ళ ఎత్తులు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు మధ్యగతమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 154)

5’10” అనగా 5 అడుగుల 10 అంగుళాలు

సాధన.
దత్తాంశం యొక్క ఆరోహణ క్రమం : 5’3″, 5’5″, 5’7″, 5’8″, 5’9″, 5’11”, 5’11’, 60″, 60″, 6’1″
క్రీడాకారుల సంఖ్య n = 10 ఒక సరి సంఖ్య కావున మధ్యగతం \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) మరియు \(\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)\)ల సరాసరి అవుతుంది.
∴ మధ్యగతం M = \(\frac {10}{2}\), \(\left(\frac{10}{2}+1\right)\) = 5, 6 వ రాశుల సరాసరి

2. ఒక అపార్ట్ మెంట్ భవన సముదాయంలోని 90 మంది వ్యక్తుల వయస్సులు ప్రక్క వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 158)

ఈ దత్తాంశము నుండి క్రింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.
i) దత్తాంశము ఎన్ని తరగతులుగా విభజింపబడినది ?
ii) 21 – 30 తరగతిలో ఎంత మంది కలరు ?
iii) ఏ తరగతి వయస్సు వారు ఎక్కువ మంది కలరు ?
iv) చివరి తరగతిలోని ఇద్దరి వయస్సులు 61, 70 లేదా మరి ఏదైనా వయస్సువారిని చెప్పవచ్చా ?
సాధన.
i) 7 ii) 17 iii) 31 – 40 iv) చెప్పవచ్చు. అవి 62, 63, ……… 69.

3. ఒక తరగతిలోని 30 మంది విద్యార్థులు దుమికిన దూరాలు ఈ విధంగా ఉన్నవి. (పేజీ నెం. 160)

I. ఇచ్చిన తరగతి అంతరాలు విలీన తరగతి అంతరాలా ? మినహాయింపు తరగతి అంతరాలా ?
II. రెండవ తరగతి అంతరంలో ఎంత మంది విద్యార్థులు కలరు ?
III. 3.01 మీ. లేక అంతకన్నా ఎక్కువ దూరం దుమికిన వారెందరు ?
IV. 4.005 మీ. దూరం దుమికిన విద్యార్థి ఏ తరగతికి చెందుతాడు ?
సాధన.
I. విలీన తరగతులు
II. 7
III. 15 + 3 + 1 = 19
IV. 401 – 500

4. పై దత్తాంశములోని తరగతులకు హద్దులు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
హద్దులు :
100.5 – 200.5
200:5 – 300.5
300.5 – 400.5
400.5 – 500.5
500.5 – 600.5

5. పై దత్తాంశములోని ఒక్కొక్క తరగతి అంతరమెంత ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
100

6. క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనములకు పౌనఃపున్య బహుభుజులు నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 174)
i) ఒక తరగతిలోని విద్యార్థుల మధ్య జరిగిన స్నేహపూర్వక క్రికెట్ ఆట నందు వారి పరుగుల వివరాలు

సాధన.

నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1: తరగతి మధ్య విలువలను గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశమునకు సోపాన రేఖా చిత్రమును నిర్మించి ప్రతి సోపానము యొక్క పై వెడల్పుల మధ్య బిందువులు B, C, D, E, F లను గుర్తించి కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతులను ఊహించి వాని పౌనఃపున్యములు ‘0’గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని, చివరి తరగతికి తరువాత తరగతులను ఊహించుకోండి. అంటే 10 – 20 తరగతికి ‘ముందు తరగతిని X – అక్షమునకు ఋణాత్మక దిశలో 0 – 10 గా తీసుకోండి. అదే విధంగా 50 – 60 తరగతికి తరువాత తరగతిని 60 – 70 గా తీసుకోండి. వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించండి.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు B బిందువును Aతోనూ, F బిందువును G తోనూ కలిపితే పౌనఃపున్య బహుభుజి ఏర్పడుతుంది. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మించుటకు ప్రతిసారి సోపాన రేఖా చిత్రము నిర్మించనవసరము లేదు. దీనికి బదులుగా తరగతి మధ్య విలువలను, పౌనఃపున్యములను ఉపయోగించి పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించవలెను.

ii). ఒక నాటక ప్రదర్శన కొరకు అమ్మిన టిక్కెట్ల వివరాలు

సాధన.

నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1 : తరగతి మధ్యవిలువలు ఇచ్చియున్నారు. కావున తరగతి అంతరాలు గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశానికి సోపాన రేఖా చిత్రం నిర్మించి ప్రతి సోపానం యొక్క వెడల్పుపై మధ్య బిందువులను B, C, D, E, F లుగా గుర్తించవలెను. తద్వారా వాటిని కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతిని ఊఊహించి, వాని పౌనఃపున్యాలు ‘0’ గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు ‘0’గా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని 2.5 – 7.5 గాను చివరి తరగతికి తరువాత తరగతిని 32.5 – 37.5 గా ఊహించి వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు A ను B తోను, G ను F తోను కలుపగా ABCDEFG ఒక బహుభుజి ఏర్పడినది.

ప్రయత్నించండి

1. ఏవైనా మూడు సంఖ్యాత్మక దత్తాంశములను, మూడు వివరణాత్మక దత్తాంశములను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 148)
సాధన.
సంఖ్యాత్మక దత్తాంశం :

వివరణాత్మక దత్తాంశం : అమరరాజా ఆదాయంలో 24% వృద్ధి

అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రికార్డు స్థాయి ఆర్థిక ఫలితాలను నమోదు చేసింది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంతో పోల్చినప్పుడు ఆదాయం 24 శాతం, నికరలాభం 23 శాతం పెరిగాయి. ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రూ. 756. 90 నికర అమ్మకాల ఆదాయాన్ని నమోదు చేసింది. దీనిపై రూ. 80 కోట్ల నికరలాభం ఉంది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 613 కోట్లు, నికరలాభం రూ. 65 కోట్లు మాత్రమే కావటం గమనార్హం. ఈ ఆర్థిక సంవత్సరం మొదటి 9 నెలల కాలంలో ఆదాయం రూ. 2,162 కోట్లు, రూ. 227 కోట్ల నికరలాభం ఉన్నాయి. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 1697 కోట్లు కాగా, అప్పట్లో నమోదైన నికరలాభం రూ. 157 కోట్లు. 9 నెలల కాలానికి కూడా ఆదాయంలో 27 శాతం, నికరలాభంలో 44 శాతం వృద్ధి కనిపిస్తున్నాయి. ఆటోమోటివ్ బ్యాటరీల విభాగం, పారిశ్రామిక బ్యాటరీల విభాగం ….. రెండూ కూడా రెండంకెల వృద్ధిని నమోదు చేసినట్లు అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఎం.డి. జయదేవ్ గల్లా పేర్కొన్నారు.

2. పై సందర్భాలకు ఊహించిన అంక మధ్యమము, విచలనాల పట్టికను తయారు చేయండి. విచలనాల సరాసరి ఊహించిన అంక మధ్యమము మరియు నిజమైన అంకగణిత మధ్యమము విలువలను గమనించండి. ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 151)
(సూచన : విచలనాల సరాసరితో పోల్చి చూడండి.)
సాధన.

∴ అసలు సగటు = \(\frac{\Sigma x_{i}}{N}=\frac{80}{5}\) = 16
∴ విచలనాల సరాసరి = \(\frac {-5}{5}\) = -1
∴ అంకగణిత సగటు = ఊహించిన సగటు + విచలనాల సరాసరి
17 + (-1) = 16
∴ ఊహించిన అంకమధ్యమం, నిజమైన అంకమధ్యమం రెండూ సమానం.

3. క్రింది దత్తాంశములకు అంకగణిత మధ్యమాలను అంచనావేసి వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 153)
i) 17, 25, 28, 35, 40
ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
పై సమస్యలను సాధారణ పద్ధతిలో సాధించుట ద్వారా పై సమాధానములను సరిచూడండి.
సాధన.
i) 17, 25, 28, 35, 40
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 35

ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 10

4. 24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల యొక్క మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల ఆరోహణ క్రమం = 12, 15, 24, 35, 45, 65, 85
∴ రాశుల సంఖ్య (n) = 7 ఒక బేసి సంఖ్య
∴ మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}\) = 4 వ రాశి
∴ మధ్యగతం = 35

5. x, 2x, 4x రాశుల మధ్యగతము 12 అయిన ఆ రాశుల సరాసరి ఎంత ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
x, 25, 4x రాశుల మధ్యగతం = 2x
∴ 2x = 12 ⇒ x = 6
2x = 2 × 6 = 12
4x = 4 × 6 = 24
6, 12, 24 ల సరాసరి = \(\frac{6+12+24}{3}=\frac{42}{3}\) = 14

6. 24, 29, 34, 38, X అను దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము 29 అయిన x విలువ (పేజీ నెం. 155)
(i) x > 38 (ii) x < 29 (iii) 29, 34 ల మధ్య (iv) ఏదీకాదు.
సాధన.
24, 29, 34, 38, x ల మధ్యగతం = 29
n = 5 బేసి సంఖ్య
మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{5+1}{2}\) = 3వ రాశి
∴ 29 కంటే x చిన్నదైనపుడు మాత్రమే 29, 3వ రాశి కాగలదు.
∴ x < 29

7. ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………… సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఎగువ హద్దులతో

8. అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………. సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
దిగువ హద్దులతో

9. క్రింది దత్తాంశమునకు ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 165)

సాధన.

10. పై దత్తాంశములో పౌనఃపున్యముల మొత్తం (రాశుల సంఖ్య) ఎంత ? చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము ఎంత ? నీవేమి చెప్పగలవు ? (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
పై దత్తాంశంలో పౌనఃపున్యాల మొత్తం = 30
చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం = 30
∴ రాశుల మొత్తం = చివరి తరగతి ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం

11. ప్రక్క సోపాన రేఖా చిత్రమును పరిశీలించి ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి. (పేజీ నెం. 169)
i) ఈ సోపాన రేఖా చిత్రము ఏ సమాచారమును సూచిస్తున్నది ?
ii) ఏ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు ?
iii) ఎంతమంది విద్యార్థులు 5 గంటలు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సమయం T.V. ను వీక్షిస్తున్నారు ?
iv)ఎంత మంది విద్యార్థులపై సర్వే నిర్వహించబడినది ?
సాధన.
i) వివిధ సమయాలలో టి.వి.లు చూసే విద్యార్థుల సంఖ్య.
ii) 5వ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు.
iii) 35 + 15 + 5 = 55 మంది
iv) సర్వే నిర్వహించబడిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 10 + 15 + 20 + 35 + 15 + 5 = 100 మంది

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక దత్తాంశము యొక్క బాహుళకమునకు సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చగా దత్తాంశపు బాహుళకము ఎట్లు మారును ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
ఒక దత్తాంశం యొక్క బాహుళకానికి సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చినా ఆ దత్తాంశపు బాహుళకంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
ఉదా : 5, 6, 7, 8, 7, 9 ల బాహుళకం = 7
7 నకు 7, 7, 7, 7 లను చేర్చినా బాహుళకంలో మార్పు రాదు.

2. క్రింది రాశుల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7. (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ట విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 7 – 1 = 6
తరగతుల సంఖ్య = 7 అయిన

3. క్రింది సంఖ్యల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 161)
2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 24, 24, 25. (సూచన : విలీన తరగతులను తీసుకోండి.)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 25 – 2 = 23

4. పై రెండు దత్తాంశములలో భేదమేమి ? వాని పౌనఃపున్య విభాజనములను ఏమంటారు ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
మొదటి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు సంలీన తరగతులు, రెండవ పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు విలీన తరగతులు. పై రెండు దత్తాంశాలలో భేదం కేవలం తరగతులలో మాత్రమే కన్పిస్తుంది.

5. పై సమస్యల యొక్క పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలలో దేని నుండి మరలా దత్తాంశములోని రాశులను విడివిడిగా వ్రాయగలము ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
తరగతులు

6. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రములో అన్ని కమ్మీల (పేజీ నెం. 168)
(a) పొడవులు సమానం (b) వెడల్పులు సమానం (c) వైశాల్యములు సమానం (d) విలువలు సమానం
సాధన.
(b) వెడల్పులు సమానం

7. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో ప్రతి కమ్మీ యొక్క పొడవు మిగిలిన కమ్మీల పొడవుపై ఆధారపడి ఉంటుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు

8. ఏదైనా ఒక కమ్మీలో చేసిన మార్పు మిగిలిన కమ్మీలలో మార్పును కలుగజేస్తుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు

9. ఏయే సందర్భములలో నిలువు కమ్మీ లేక అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాము ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
సమాన దూరములు కలిగి, సమాన వెడల్పుల, పౌనఃపున్యాలకు అనుపాతంలో గల పొడవులను సూచించుటకు నిలువు లేదా అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాం.

10. సోపాన చిత్రంలో X – అక్షంపై తరగతి యొక్క హద్దులు గుర్తిస్తాం. కాని అవధులు కాదు. ఎందువల్ల ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
ఒక తరగతి యొక్క ఎగువ, దిగువ హద్దుల భేదం ఆ తరగతి అంతరాన్ని ఇస్తుంది. అందువలన X – అక్షంపై హద్దులు గుర్తిస్తాం.

11. సోపాన చిత్రంలో దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పులను నిర్ణయించు అంశమేది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
తరగతి అంతరం

12. అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల పొడవుల మొత్తం దేనిని సూచిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
పౌనఃపున్యాల మొత్తం.

13. దత్తాంశములోని మొదటి తరగతికి ముందు తరగతి లేనిచో బహుభుజిని ఎట్లు పూరించగలవు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
ముందు తరగతి పౌనఃపున్యం ‘0’ గా తీసుకొని దానిచే బిందువును కలుపవలెను.

14. ఒక దత్తాంశము యొక్క సోపాన రేఖా చిత్రము, పౌనఃపున్య బహుభుజిల వైశాల్యములు సమానము. ఎట్లు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
రెండు చిత్రాలు తరగతి మధ్య విలువలపై ఆధారపడి నిర్మించబడతాయి.

15. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మాణమునకు ముందుగా సోపాన చిత్రము నిర్మించవలెనా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవసరం లేదు

16. విభాజిత శ్రేణి/అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు ‘పౌనఃపున్య బహుభుజి’ని గీయగలమా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
గీయలేము.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Exercise 8.2

ప్రశ్న1.
ఆంగ్ల అక్షరమాలలోని పెద్ద అక్షరాలను (capital) కత్తిరించి నోటు పుస్తకంలో అతికించుము. వాటికి సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి.
i) రేఖా సౌష్ఠవం లేని అక్షరాలు ఎన్ని ?
ii) ఒకే సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు ఎన్ని?
iii) రెండు సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలు ఎన్ని?
iv) రెండు కన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగియున్న అక్షరాలు ఎన్ని ?
v) ఏ అక్షరాలు భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయి?
vi) ఏ అక్షరాలు బిందు సౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయి?
సాధన.


సాధన.
i) రేఖా సౌష్ఠవం లేని అక్షరాలు → F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z.
ii) ఒకే సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → A, B, C, D, E, K, M, T, U, V, W, Y.
iii) రెండు సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → H, I, O, X.
iv) రెండు కన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవాక్షాలు గల అక్షరాలు → O, X.
v) భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → B, D, E, H, I, M, O, S, T, W, X, Z.
vi) బిందు సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → O, X, M, W, H, I, E, D.

ప్రశ్న2.
క్రింది. పటాలకు సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి. వానిలో బిందు సౌష్ఠవం కలిగిన పటాలను గుర్తించండి. సౌష్ఠవ అక్షాలకు, బిందుసౌష్ఠవమునకు మధ్య ఏదేని సంబంధం కలదా ?

సాధన.

ఇచ్చిన పటాలన్నియూ బిందు సౌష్ఠవాలను కలిగి ఉన్నాయి. సౌష్ఠవాక్షం కలిగిన ఆకారాలన్నియూ బిందు సౌష్ఠవం కల్గినవే.

ప్రశ్న3.
ప్రకృతిలో కనీసం ఒక సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉండే ముఖాలు గల వస్తువులను కొన్నింటిని పేర్కొనండి.
సాధన.

1. చందమామ [Moon]
2. అందంగా ఉండే మనిషి ముఖం
3. ఆరెంజ్ పండు
4. తామర పువ్వు
5. తూనీగ

ప్రశ్న4.
ఏవేని మూడు టెస్సలేషన్లను గీచి వానిలో ఉపయోగించిన ప్రాథమిక పటాలను తెల్పండి.
సాధన.
ఈ క్రింది టెస్సలేషన్లను గమనించండి. ఈ క్రింది వాటిని ఏర్పరచుటకు ఉపయోగించిన ప్రాథమిక ఆకృతులు :

ఈ అమరికలను ఏర్పరచుటకు పంచభుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు మరియు సమబాహు త్రిభుజాలు ఉపయోగించారు. ఏ టెస్సలేషన్ అయినా ఈ ఆకృతుల ద్వారానే రూపొందిస్తారు.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Exercise 8.1

ప్రశ్న1.
నిత్యమూ ఉపయోగించే మూడు జతల సర్వసమాన వస్తువులను పేర్కొనండి.
సాధన.
నిత్యం ఉపయోగించే సర్వసమాన వస్తువులు :
i) చెవి రింగుల జత
ii) సైకిల్ చక్రాలు
iii) భుజాల పొడవులు సమానంగా గల రెండు చతురస్రాకార కేకులు

ప్రశ్న2.
a) రెండు సర్వసమాన పటాలను గీయండి. అవి సరూపాలవుతాయా ? వివరించండి.
b) రెండు సరూప పటాలను’ తీసుకోండి. వాటిని జరిపినా, భ్రమణం చెందించినా లేదా త్రిప్పిన అవి సరూపాలుగానే ఉంటాయా ?
సాధన.
a) ∴ ΔABC ≅ ΔPQR

∴ ΔAB = PQ
AC = PR
BC = QR
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
∴ సర్వసమాన త్రిభుజాలు సరూపాలు అగును. కాని సరూప త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు కావు.

∴ ΔXYZ ~ ΔSTU ల నుండి ఇవి సరూప పటాలు వీటిని భ్రమణం చెందించిన అవి మరలా సరూపాలు గానే ఉంటాయి. (∵ సరూపకత స్థిరత్వం).

ప్రశ్న3.
ΔABC ≅ ΔNMO అయిన అనురూప భుజాలను, అనురూప కోణాల జతలను తెల్పండి.
సాధన.

ΔABC ≅ ΔNMO సర్వసమాన త్రిభుజాల నుండి
AB = NM
BC = MO
AC = NO
∠A = ∠N
∠B = ∠M
∠C = ∠O

ప్రశ్న4.
క్రింది ప్రవచనాలు సత్యమవుతాయో, లేదో తెల్పండి. కారణాలను వివరించండి.
i) 3 సెం.మీ. భుజాలుగా గల రెండు చతురస్రాలలో ఒకదానిని 45° మేర భ్రమణం చెందించిన, అవి సర్వసమానాలు.
ii) 5 సెం.మీ. కర్ణాలుగా గల రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.
iii) 4 సెం.మీ. వ్యాసార్థంగా గల రెండు వృత్తాలు సర్వసమానాలు.
iv) 4 సెం.మీ. భుజంగా గల రెండు సమబాహు – త్రిభుజాలు ΔABC మరియు ΔLHN లు సర్వసమానాలు కావు.
v) ఒక బహుభుజి మరియు దాని ప్రతిబింబములు సర్వసమానాలు.
సాధన.
i) సత్యం, ఒక చతురస్రాన్ని 45° మేర భ్రమణం చెందించిన అది మొదటి చతురస్రం వలె ఉండును. అపుడు అవి సర్వసమానాలు అగును.
ii) సత్యం, రెండు లంబకోణ త్రిభుజాల కర్ణాలు సమానమైన వాని అనురూప భుజాలు, కోణాలు కూడా సమానంగా ఉండును.
∴ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానంగా ఉండును.

iii) సత్యం, రెండు వృత్త వ్యా సార్ధాలు (r1 = r2 = 4cm) సమానమైన అవి సర్వసమానాలు.
iv) అసత్యం.

ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలు రెండవ త్రిభుజంలోని రెండు అనురూప భుజాలకు సమానమైన మూడవ భుజాలు కూడా అనుపాతంలో ఉంటాయి.
∴ ΔABC ≅ Δ LHN
కాని ΔABC ≠ ΔLHN అని ఇచ్చారు. కావునా ఇది అసత్యం .
v) సత్యం
ఒక బహుభుజి మరియు దాని ప్రతిబింబాలు ఒకదానికొకటి ఏకీభవిస్తాయి కావునా అవి సర్వసమానాలు.

ప్రశ్న5.
ఒక చతురస్ర బిందు మాపనిపై బహుభుజిని ఒకదానిని గీయండి. మరియు దాని వివిధ దిశలలో సర్వసమాన పటాలు మరియు ప్రతిబింబ పటాన్ని గీయండి.
సాధన.

∴ ABCDEF ~ A’B’C’D’E’F’

ప్రశ్న6.
ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై లేదా చతురస్ర బిందు మాపనిపై ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని గీయండి. దానికి సరూప పటాన్ని నిర్మించండి. ఈ రెండు పటాల వైశాల్యాలు మరియు చుట్టుకొలతలు కనుగొని వాటి వాటి నిష్పత్తులను దీర్ఘచతురస్రాల భుజాల నిష్పత్తులతో పోల్చండి.
సాధన.

ప్రశ్న7.
ఒక ఇనుప కమ్మీ 7 స్థంభాలపై పటంలో చూపినట్లుగా ఉంచబడింది. ఏ రెండు స్థంభాల మధ్య దూరమైనా 1 మీ.కి సమానం మరియు చివరి స్థంభం ఎత్తు 10.5 మీ. అయిన అన్ని స్థంభాల ఎత్తులను కనుగొనండి.

సాధన.

మొదటి స్థంభం ఎత్తు h₁ = \(\frac {1}{7}\) × 10.5 = 1.5 మీ.
2వ స్థంభం ఎత్తు h₂ = \(\frac {2}{7}\) × 10.5 = 3 మీ.
3వ స్తంభం ఎత్తు h₃ = \(\frac {3}{7}\) × 10.5 = 4.5 మీ.
4వ స్తంభం ఎత్తు h₄ = \(\frac {4}{7}\) × 10.5 = 6 మీ.
5వ స్థంభం ఎత్తు h₅ = \(\frac {5}{7}\) × 10.5 = 7.5 మీ.
6వ స్థంభం ఎత్తు h₆ = \(\frac {6}{7}\) × 10.5 = 9 మీ.

ప్రశ్న8.
3 మీ. ఎత్తుగల ఒక నిలువు స్థంభం నుండి 5 మీ. దూరంలో నిలబడి, సుధ, ఒక భవనం పైభాగము మరియు స్థంభం పైభాగం ఒకే సరళరేఖలో ఉన్నట్లు గమనించినది. భవనం మరియు స్థంభాల మధ్య దూరం 10 మీ. అయిన భవనం ఎత్తు అంచనా వేయుము. (సుధ ఎత్తును లెక్కలోనికి తీసుకోకుండా)
సాధన.
ΔOAD ~ ΔOCD
రెండు సరూప త్రిభుజాల
అనురూప భుజాలు
అనుపాతంలో ఉంటాయి.

∴ \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}\)
⇒ \(\frac{5}{15}=\frac{3}{h}\)
⇒ \(\frac{1}{3}=\frac{3}{h}\)
⇒ h = 3 × 3 = 9
h = భవనం ఎత్తు = 9 మీ.

ప్రశ్న9.
ఏదేని ఒక చతుర్భుజాన్ని గీయండి. సూచీ భిన్నం 3 ఉండునట్లు దాని విస్తరణ పటాన్ని గీయండి. వాటి అనురూప భుజాలను కొలిచి ఆ రెండు పటాలు సరూపాలేమో సరిచూడండి.
సాధన.

పై పటం నుండి ☐ ABCD ఒక చతుర్భుజం గ్రాఫ్ కాగితం పై గీయబడినది.
అన్ని శీర్షాలు A B C D లు 0 నుండి కలుపబడి వాటికి మూడు రెట్ల దూరాలు వరుసగా A’B’C’D’ లకు కలుపగా ☐ ABCD కు 3 రెట్లు కొలతలు గల చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరచినవి.
ఇక్కడ ‘0’ ను విస్తరణ కేంద్రం అని
మరియు = \(\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{3}{1}\) = 3 ను సూచీ భిన్నం అని అంటారు.
∴ □ ABCD ~ □ A’B’C’D’
(∵ వాని అనురూప భుజాలు సమానాలు)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}\)

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఈ కింది సంఖ్యలలో దిగువ గీత గీయబడిన అంకెల యొక్క స్థాన విలువలు రాయండి. (పేజీ నెం. 312)
(i) 29879
(ii) 10344
(iii) 98725
సాధన.
(i) 29879
8 యొక్క స్థాన విలువ = 8 × 100 – 800
2 యొక్క స్థాన విలువ – 2 × 10,000 = 20,000
(ii) 10344
4 యొక్క స్థాన విలువ = 4 × 1 = 4
3 యొక్క స్థాన విలువ = 3 × 100 = 300
(iii) 98725
5 యొక్క స్థాన విలువ = 5 × 1 = 5
8 యొక్క స్థాన విలువ = 8 × 1000 = 8,000

2. కింది సంఖ్యలను విస్తరణ రూపంలో వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 313)
(i) 65
(ii) 74
(iii) 153
(iv) 612
సాధన.
సంఖ్య – విస్తరణ రూపం
(i) 65 = 60 + 5 = (6 × 10¹) + (5 × 10⁰)
(ii) 74 = 70 + 4 = (7 × 10¹) + (4 × 10⁰)
(iii) 153 = 100 + 500 + 3 = (1 × 10²) + (5 × 10¹) + (3 × 10⁰)
(iv) 612 = 600 + 10 + 2 = (6 × 10²) + (1 × 10¹) + (2 × 10⁰)

3. కింది సంఖ్యల విస్తరణ రూపాల్ని, సాధారణ రూపంలోకి మార్చండి. (పేజీ నెం. 313)
(i) 10 × 9 + 4
(ii) 100 × 7 + 10 × 4 + 3
సాధన.
విస్తరణ రూపం – సాధారణ రూపం
(i) 10 × 9 + 4 = 90 + 4 = 94
(ii) 100 × 7 + 10 × 4 + 3 = 700 + 400 + 3 = 743

4. కింది ఖాళీలు పూరించండి. (పేజీ నెం. 313)
సాధన.
(i) 100 × 3 + 10 × _______ + 7 = 357 (5)
(ii) 100 × 4 + 10 × 5 + 1 = _______ (451)
(iii) 100 × _______ + 10 × 3 + 7 = 737 (7)
(iv) 100 × _______ + 10 × q + r = \(\overline{\mathrm{pqr}}\) (p)
(v) 100 × x + 10 × y + z = _________ (\(\overline{\mathrm{xyz}}\))

5. దిగువ 82తో ప్రారంభించి సహజసంఖ్యలను వెనుకకు 1 వరకు వ్రాయగా వచ్చు సంఖ్య ఇవ్వబడినది. మీకు ఇది తెలుసా? (పేజీ నెం. 313)
82818079787776757473727170696867666564636261605958575655545352515049484746454443424140393837363534333231302928272625242322212019181716151413
ఇందులో ఎన్ని అంకెలున్నాయి ? ఇంత పెద్దదయిన ఇది ప్రధాన సంఖ్యయో !
సాధన.
ఇందు అంకెల సంఖ్య 155

6. కింది సంఖ్యల యొక్క కారణాంకాలన్నింటిని వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 314)
సాధన.
(a) 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,24
(b) 15 = 1, 3, 5, 15
(c) 21= 1, 3, 7, 21
(d) 27 = 1, 3, 9, 27
(e) 12= 1, 2, 3, 4, 6, 12
(f) 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
(g) 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
(h) 23 = 1, 23
(i) 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

7. కింది సంఖ్యల యొక్క మొదటి 5 గుణిజాలు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 314)
(a) 5
(b) 8
(c) 9
సాధన.
(a) 5 = 5, 10, 15, 20, 25
(b) 8 = 8, 16, 24, 32, 40
(c) 9 = 9, 18, 27, 36, 45

8. కింది సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 314)
(a) 72
(b) 158
(c) 243
సాధన.
(a) 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
(b) 158 = 2 × 79
(c) 243 = 7 × 7 × 7

9. కింది సంఖ్యలు 10 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో, లేదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 315)
(a) 3860
(b) 234
(c) 1200
(d) 10³
(e) 10 + 280 + 20
సాధన.
(a) 3860, (c) 1200, (d) 10³ = 1000, (e) 10 + 280 + 20 = 310ల నుండి (a), (c), (d), (e)లు 10చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.
[∵ పై సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె సున్న]
(b) 234, 10 చే భాగింపబడదు.
[∵ 234లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ కాదు. కావున ఇది 10చే భాగింపబడదు. ]

10. కింది సంఖ్యలు 10 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో లేదో తెలపంది. (పేజీ నెం. 315)
(a) 10¹⁰
(b) 2¹⁰
(c) 10³ + 10¹
సాధన.
a) 10¹⁰ = 10000000000
b) 2¹⁰ = 1024
c) 10³ + 10¹ = 1000 + 10 = 1010
పై సంఖ్యలలో a, c లు 10 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.
b 10చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడదు.
ఎందుకనగా 1024లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె “సున్న” కాదు.

11. కింది సంఖ్యలు 5 చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 315)
(a) 205
(b) 4560
(c) 402
(d) 105
(e) 235785
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ లేక ‘5’ అయి ఉండవలెను.
(a) 205 (d) 105 (e) 235785 సంఖ్యలలోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘5’ కావునా ఇవి ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.
(b) 4560 లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘O’ కావున ఇది (5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
(c) 402 యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘2’ కావున ఇది ‘5’చే భాగింపబడదు.

12. కింది సంఖ్యలు 3 లేక 9 లేక రెండింటితోను నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా తెలపండి. (పేజీ నెం. 318)
(a) 3663
(b) 186
(c) 342
(d) 18871
(e) 120
(f) 3789
(g) 4542
(h) 5779782
సాధన.

13. కింది సంఖ్యలు ‘6’ తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో లేదో తెలపండి.
(a) 1632
(b) 456
(c) 1008
(d) 789
(e) 369
(f) 258
సాధన.

14. కింది సంఖ్యలు ‘6’చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో, లేదో తెలపండి.
(a) 458 + 676
(b) 6³
(c) 6² + 6³
(d) 2² × 3²
సాధన.

15. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అంకెలతో, మొదటి రెండంకెలతో ఏర్పడు సంఖ్య 2చే భాగించబడునట్లు, మొదటి మూడంకెలచే ఏర్పడు సంఖ్య 3చే భాగించబడునట్లు, మొదటి నాలుగంకెలచే ఏర్పడు సంఖ్య 4చే భాగించబడునట్లు మరియు ఇదే క్రమము 9 అంకెల వరకు కొనసాగించగలుగు సంఖ్యను తయారుచేయగలదా? సాధన. 123654987 క్రమపు సంఖ్య సమస్యకు సాధనగా కనిపిస్తుంది. పరీక్షించి సరిచూడండి.
సాధన.

కావున ఈ సంఖ్యను 9 వరకు కొనసాగించలేము.
→ 123654987
2 : 12 → \(\frac {2}{2}\)(R = 0) 2 చే భాగింపబడును.
3 : 123 → 1 + 2 + 3 → \(\frac {6}{3}\)(R = 0) అవును
4 : 1236 → \(\frac {36}{4}\)(R = 0) అవును
5 : 12365 → \(\frac {5}{5}\)(R = 0) అవును

9 123654987 → 1 + 2 + 3 + 6 + 5 + 4 + 9 + 8 + 7 → \(\frac {45}{9}\)(R = 0) అవును
∴ 123654987 క్రమపు సంఖ్యలోని మొదటి రెండంకెలు 2తోను, మొదటి మూడంకెలు 3తోను. ఈ విధంగా చివరి
వరకు అన్ని సందర్భాలలో భాగింపబడుట లేదు.

16. కింది సంఖ్యలు 4 లేక 8 లేక రెండింటితోను భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమం ప్రకారం తెలపండి.
(a) 464 (b) 782 (c) 3688 (d) 100 (e) 1000 (f) 387856 (g) 4⁴ (h) 8³ (పేజీ నెం. 321)
సాధన.
ఒక సంఖ్య 4చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని చివరి రెండంకెలు ‘4’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెను.
ఒక సంఖ్య ‘8’చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని చివరి మూడంకెలు ‘8’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెను.

17. కింది సంఖ్యలు, 11చే భాగింపబడునో లేదో భాజనీయతా నియమము ద్వారా కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 323)
(i) 4867216 (ii) 12221 (iii) 100001
సాధన.
ఒక సంఖ్య ’11’చే భాగింపబడవలెనన్న “ఆ సంఖ్య యొక్క సరి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం మరియు బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తాల భేదం 11 యొక్క గుణిజం లేదా ‘0’ అయి ఉండవలెను.

18. వివిధ సంఖ్యల జతలు తీసుకుని వాటికి పై నాలుగు నియమములు సరి చూడండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
(a) ‘a’ అను సంఖ్య ‘b’ చే భాగింపబడిన అది ‘b’ యొక్క అన్ని కారణాంకములచే భాగింపబడును.
ఉదా : 36 యొక్క కారణాంకం 18
18 యొక్క కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 6, 9, 18
కావున 36, 18 యొక్క అన్ని కారణాంకాలచే భాగింపబడును.
(b) ‘a’, ‘b’ లు పరస్పర ప్రధానసంఖ్యలైనపుడు a మరియు b చే భాగించబడు సంఖ్య a × b తో కూడా భాగింపబడును.
ఉదా : 60 ఒక సంఖ్య. ఇది 3, 4 లచే భాగింపబడును. మరియు 3 × 4 = 12 చే కూడా 60 భాగింపబడును.
(c) “రెండు సంఖ్యలు, వేరువేరుగా మూడవ సంఖ్యతో భాగింపబడుచున్నచో, వాటి మొత్తం కూడా మూడవ సంఖ్యతో భాగింపబడును. ఉదా : ఏవైనా రెండు సంఖ్యలు 18, 9లు తీసుకొందాం. 18, 9 లు 3చే భాగింపబడును. నాటి మొత్తము 18 + 9 = 27 కూడా ‘3’ చే భాగింపబడును.
(d) “రెండు సంఖ్యలు, వేరువేరుగా మూడవ సంఖ్యతో భాగింపబడినట్లయితే, వాటి భేదం కూడా మూడవ సంఖ్యచే భాగింపబడును”.
ఉదా : 25, 30 లు ఏవేని రెండు సంఖ్యలు అనుకొనుము. ఇవి ‘5’ చే భాగింపబడును. వాటి భేదం 30 – 25 = 5 కూడా ‘5’ చే భాగింపబడును.

19. 144, 12 చే భాగించబడును. 144, 12 యొక్క అన్ని కారణాంకములచే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
12 యొక్క కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ 144, 12 యొక్క అన్ని కారణాంకాలచే భాగింపబడును.

20. 2³ + 2⁴ + 2⁵, 2తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. వివరించండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
2³ + 2⁴ + 2⁵ = 8 + 16 + 32 = 56. ఒక సరి సంఖ్య కావునా ఇది ‘2 చే భాగింపబడును.

21. 3³ – 3², 3 తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. వివరించండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
3³ – 3² = 27 – 9 = 18 → 1 + 8 = → \(\frac {9}{3}\) (R = 0) కావున ఇది ‘3’చే భాగింపబడును.

22. రాజు తలచుకున్న సంఖ్యకు బదులుగా కింది సంఖ్యలు తీసుకుని ఫలితమును సరి చూడండి.. (పేజీ నెం. 328)
(i) 37 (ii) 60 (iii) 18 (iv) 89
సాధన.
(i) 37 సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చు సంఖ్య = 73
∴ 37 + 73 → \(\frac {110}{11}\) (R = 0) కావున ఇది ’11’చే భాగింపబడుతుంది.

23. ఒక క్రికెట్ టీమ్ నందు 11 మంది ఆటగాళ్ళు కలరు. క్రికెట్ బోర్డు వారికి 10x + y టీ షర్ట్స్ కొనుగోలు చేసింది. తిరిగి బోర్డ్ 10y + x టీ షర్ట్స్ కొనుగోలు చేసింది. మొత్తం టీ షర్ట్స్ అందరికీ సమంగా పంచితే, ఎన్ని టీ షర్ట్స్ మిగులుతాయి? ఒక్కొక్కరికి ఎన్ని టీ షర్ట్స్ వస్తాయి? (పేజీ నెం. 328)
సాధన.
టీమ్ నందు గల ఆటగాళ్ళ సంఖ్య = 11
మొదట కొనుగోలు చేసిన టీ షర్ట్స్ సంఖ్య = 10x + y
రెండవసారి కొనుగోలు చేసిన టీ షర్ట్స్ సంఖ్య = 10y + x
∴ మొత్తం టీ షర్ట్స్ సంఖ్య = (10x + y) + (10y + x)
= 11x + 11y
∴ 11x + 11y = 11(x + y) టీ షర్టులను 11 మందికి సమంగా పంచగా ఒక్కొక్కరికి లభించు టీషర్ట్స్
= \(\frac{11(x+y)}{11}\) = (x + y)
∴ మిగిలిన టీ షర్టుల సంఖ్య = కొనుగోలు చేసిన టీషర్ట్స్ సంఖ్య – 11 × (ఒక్కొక్కరికి లభించు టీషర్ట్స్ సంఖ్య)
= 11 (x + y) – 11 (x + y) = 0

24. ఒక బుట్టలో 10a + b (a ≠ 0 మరియు a > b) పండ్లు కలవు. అందు 10b + a పండ్లు కుళ్ళినవి. మిగిలిన పండ్లను 9మందికి సమానంగా పంచగలమా ? ఒక్కొక్కరికి ఎన్ని పండ్లు వస్తాయి? (పేజీ నెం. 328)
సాధన.
ఒక బుట్టలో గల పండ్ల సంఖ్య = 10a + b
ఆ బుట్టలో కుళ్ళిన పండ్ల సంఖ్య = 10b + a
ఆ బుట్టలో మిగిలిన మంచి పండ్ల సంఖ్య = (10a + b) – (10b + a)
= 10a + b – 10b – a
= 9a – 9b = 9(a – b)
∴ 9(a – b) పండ్లను 9 మందికి సమానంగా పంచగలము.
∴ 9(a – b) పండ్లను 9 మందికి సమానంగా పంచగా ఒక్కొక్కరికి వచ్చు పండ్ల సంఖ్య = 9(a – b) + 9 = (a – b)

25. పై పజిల్ నందు కింది అంకెలు తీసుకుని పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 329)
(i) 657 (ii) 473 (iii) 167 (iv) 135
సాధన.

26. 21358AB, 99 తో భాగింపబడిన A, B విలువలు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
21358AB, 99 చే భాగింపబడవలెనన్న అది ‘9’చే మరియు ’11’చే భాగింపబడవలెను.
21358AB, 9చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9చే భాగింపబడవలెను.
∴ 2 + 1 + 3 + 5 + 8 + A + B = (9 × 3) = 27 అనుకొనుము.
A + B = 27 – 19 = 8 ⇒ A + B = 8 ………………. (1)
21358AB, ’11’ చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం నుండి సరి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తాన్ని తీసివేయగా వచ్చిన దానిని ’11’ నిశ్శేషంగా భాగించవలెను.
2 1 3 5 8 A B
⇒ (2 + 3 + 8 + B) – (1 + 5 + A) = 11 × 1 అనుకొనుము.
⇒ 13 + B – 6 – A = 11
⇒ B – A = 11 – 7 = 4 ………………. (2)
(1), (2) ల నుండి A = 2, B = 6
∴ 21358AB = 2135826, 99 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

27. 4AB8, వరుసగా 2, 3, 4, 6, 8, 9 లచే భాగింపబడిన A, B విలువలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య 4AE → \(\frac {8}{2}\) (R = 0) కావున ఇది ‘2’ చే భాగింపబడుతుంది.
4AB8 → ‘3’చే భాగింపబడవలెనన్న సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 యొక్క గుణిజం కావలెను.
∴ 4 + A + B + 8 = 3 లేదా 6 లేదా 9/12/15/18
∴ A + B + 12 = 3/6/9/12/15/18 ………………. (1)
4AB8 → \(\frac {B8}{4}\) ⇒ B = 2, 4, 6, 8 కావలెను …………………………. (2)
4AB8 → \(\frac {AB8}{8}\) ⇒ AB = 12, 16, 24, 28, 32, 36, …….
4ABB8 → ‘9’చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9 యొక్క గుణిజం కావలెను.
∴ 4 + A + B + 8 = 9, 18, 27 ……
A + B + 12 = 9, 18, 27, ……. ………………….(3)
(1), (3) ల నుండి A + B + 12 = 9 లేదా 18 తీసుకోనగా
A + B + 12 = 9 అయిన A + B = – 3
∴ ఇది సరైనది కాదు
A + B + 12 = 18 అయిన
⇒ A + B = 18 – 12 = 6
∴ A + B = 6
A = 4, B = 2 అయిన
4AB8 = 4428
→ \(\frac {428}{8}\)(R ≠ 0)
∴ A = 2, B = 4
(లేదా)
A = 2, B = 4 అయిన
4AB8 = 4248
→ \(\frac {248}{8}\) (R = 0)

28. పై పద్ధతి ఉపయోగించి, 7810364 సంఖ్య, 4చే భాగింపబడుతుందో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 333)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 7810364

స్థానవిలువల శేషములను, ఆ సంఖ్య అంకెలతో గుణించగా వచ్చు లబ్దాల మొత్తం = 0 + 0 + 0 + 0 + () + 12 + 4
→ \(\frac {16}{4}\)(R = 0)
∴ 7810364, 4 చే భాగింపబడును.

29. పై పద్ధతి ఉపయోగించి 963451, 6తో భాగింపబడుతుందో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 333)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 963451

స్థాన విలువల శేషములను, ఆ సంఖ్య అంకెలతో గుణించగా వచ్చు లబ్దాల మొత్తం
= 36 + 24 + 12 + 16 + 20 + 1 → \(\frac {109}{6}\) (R ≠ 0)
∴ 963451. 6 చే భాగింపబడదు.

ప్రయత్నించండి

ప్రశ్న 1.
56Z అను సంఖ్య 10 తో భాగించిన వచ్చు శేషము 6. అయితే Z యొక్క విలువ కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 315)
సాధన.
56Z అను సంఖ్యలో Z = 0, 1, 2, 3, 4, …….. 9 గా తీసుకొనవలెను.
10చే భాగించగా శేషం ‘6’ రావలెనన్న Z = 6 ను తీసుకొనగా

ప్రశ్న 2.
4B ను 5 తో భాగించిన ‘1’ శేషము వచ్చును. అయిన Bకు ఏయే విలువలు ఉండవచ్చును ? (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
4B ను 5చే భాగించగా శేషం ‘1’ రావలెనన్న B = {0, 1, 2, 3, …….. 9} నుండి అనగా 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, ……, 49ల నుండి 41, 46 ను తీసుకొనిన ఇవి ‘5’చే భాగించగా శేషం ‘1’ని ఇస్తాయి. ∴ B = {1, 6}

ప్రశ్న 3.
76C ను 5 తో భాగించిన ‘2’ శేషము వచ్చును. అయిన Cకు ఏయే విలువలు ఉండవచ్చును ? (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
76C ను 5 చే భాగించగా శేషం ‘2’ వచ్చుటకు C = {0, 1, ……. 9} నుండి C = 2, 7 గా తీసుకొనిన 762, 767 లు 5చే భాగించిన శేషం ‘2’ను ఇస్తాయి. ∴ C = {2,7}

ప్రశ్న 4.
“ఒక సంఖ్య 10 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, 5తో కూడా నిశ్శేషముగా భాగింపబడుతుంది” ఈ వాక్యము సత్యమో/ అసత్యమో తెలపండి.
దానికి తగు కారణము తెలపండి. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
ఇచ్చిన వాక్యం సత్యం. ఎందుకంటే ఒక సంఖ్య ’10’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ (సున్న) అయి ఉండవలెను.

అదేవిధంగా ఒక సంఖ్య ‘5’చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 0 లేదా 5 ఉండాలి.
∴ 10చే భాగింపబడే ప్రతి సంఖ్య, 5చే కూడా భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
“ఒక సంఖ్య 5తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, 10తో కూడా నిశ్శేషముగా భాగింపబడుతుంది” ఈ వాక్యము సత్యమో/ – అసత్యమో తెలపండి. దానికి తగు కారణము తెలపండి. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
ఇచ్చిన వాక్యం అసత్యం. ఎందుకంటే ఒక సంఖ్య 5 చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ (సున్న) గాని, 5 గాని ఉండవలెను. కాని 10చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకే ‘0’ (సున్న) మాత్రమే అయి ఉండవలెను.
∴ 5 చే భాగింపబడే ప్రతి సంఖ్య 10 చే భాగింపబడదు.

6. కింది సంఖ్యలు 4 లేక 8 లేక రెండింటితోను భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 321)
(a) 4² × 8²
(b) 10³
(c) 10⁵ + 10⁴ + 10³
(d) 4³ + 4² + 4¹ – 2²
సాధన.

7. కింది సంఖ్యలు 7చే భాగించబడుతాయా ? పరీక్షించండి. (పేజీ నెం. 322)
(a) 322 (b) 588 (c) 952 (d) 553 (e) 448
సూచన : ఒక మూడంకెల సంఖ్య ‘7’ చే భాగింపబడవలెనన్న (2a + 3b + C) ‘7’ చే భాగింపబడవలెను.
సాధన.

∴ పై సంఖ్యలన్నియూ ‘7’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

8. నాలుగంకెల సంఖ్యను సాధారణ రూపంలో తీసుకొని ‘7తో భాజనీయతా నియమాన్ని తయారుచేయండి. (పేజీ నెం. 322)
సాధన.
నాలుగంకెల సంఖ్య abcd అనుకొనుము.

∴ ఒక నాలుగు అంకెల సంఖ్య ‘7’చే భాగింపబడవలెనన్న, (6a + 2b + 3c + d) అనేది ‘7’ చే భాగింపబడవలెను.

9. 3192, 7 యొక్క గుణకము “నీ నియమముతో” సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 322)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య → 3192 ⇒ a = 3, b = 1, c = 9, d = 2
6a + 2b + 3c + d = 6 × 3 + 2 × 1 + 3 × 9 + 2
= 18 + 2 + 27 + 2 = 49 → \(\frac {49}{7}\) (R= 0)
∴ 3192 నా నియమం ప్రకారం ‘7’చే భాగింపబడును.

10. (1) 789789, 11చే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 323)
(2) 348348348348, 11చే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి.
(3) 135531 ఒక సరి పాలిండ్రోమ్ సంఖ్య. ఈ సంఖ్య 11చే భాగింపబడునో, లేదో తెలపండి.
(4) 1234321, 11చే భాగింపబడుతుందో, లేదో తెలపండి.
సాధన.

11. 1576 × 1577 × 1578 తో ఏర్పడు సంఖ్య 3తో భాగింపబడునో, లేదో కారణముతో తెలపండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 1576 × 1577 × 1578
ఏ మూడు వరుస సంఖ్యల లబ్దమైనా ‘3’చే భాగింపబడుతుంది.
ఉదా : 4 × 5 × 6 = 120 → \(\frac {120}{3}\) (R = 0)
∴ 1576 × 1577 × 1578 లు మూడు వరుస సంఖ్యలు కావున వాని లబ్ధం ‘3’చే భాగింపబడుతుంది.

12. పై పద్ధతి ద్వారా, 10 అంకెలు కల పెద్ద సంఖ్యను వ్రాసి 11 యొక్క భాజనీయతా సూత్రము సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 326)
సాధన.
10 అంకెల పెద్ద సంఖ్య = 9,99,99,99,999
D C B A
∴ 9 / 999 / 999 / 999
⇒ B + D = 9 + 999 = 1008
A + C = 999 + 999 = 1998
∴ (A + C) – (B + D) = 990 → \(\frac {990}{11}\) (R = 0)
∴ ఈ భాజనీయతా సూత్రము ద్వారా “10 అంకెల పెద్ద సంఖ్య ’11’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది” అని నిరూపించగలం.

13. ఒక మూడు అంకెల సంఖ్యను తీసుకుని, దాని యొక్క అంకెల అమరిక మార్చుతూ (ABC, BCA, CAB అగునట్లు) మూడు సంఖ్యలను తయారుచేయండి. ఆ మూడు సంఖ్యలను కలిపి, వచ్చు ఫలితము ఏయే సంఖ్యలతో భాగింపబడునో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 329)
సాధన.

14. YE × ME = TTT అయిన Y + E + M + T ల మొత్తం కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 332)
(సూచన : TTT = 100T + 10T + T = T(111) = T(37 × 3))
సాధన.
TTT = 100T + 10 T + T
= T(111) = T(37 × 3)
∴ YE × ME = T(37 × 3)
∴ T = {1, 2, 3, ….. 9}
కాని T = {3, 6, 9} అనునవి 3 యొక్క గుణిజాలు

∴ T(37 × 3) = 3(111), 6(111), 9(111) 3 భాగించబడును.
∴ YE × ME = 333 / 666 / 999
∴ YE × ME = 999 = 27 × 37
∴ Y = 2, M = 3, E = 7, T = 3
∴ Y + E + M + T = 2 + 7 + 3 + 3 = 15

15. 88 వస్తువుల ఖరీదు A733B అయిన A, B విలువలు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 332)
సాధన.
A733B, 88 చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్య 8 × 11 చే భాగింపబడవలెను.
ఒక సంఖ్య ’11’ చే భాగింపబడవలేనన్న బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం, సరి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తాల మధ్య గల భేదం ‘0’ లేదా 11చే భాగింపబడవలెను.
A 7 3 3 B ⇒ (A + 3 + B) – (7 + 3) = 0
⇒ A + B = 7
A733B, 8 చే భాగింపబడవలెనన్న చివరి మూడంకెలు 8చే భాగింపబడవలెను.
A733B ⇒ \(\frac {33B}{8}\)
∴ B = 6 [∵ \(\frac {336}{8}\) (R = 0)]
∴ A + B = 7 నుండి B = 6 అయిన
A + 6 = 7 ⇒ A = 7 – 6 = 1
∴ A = 1, B = 6

16. 456456456456 అను సంఖ్య 7, 11 మరియు 13తో కూడా భాగింపబడునో లేదో ప్రయత్నించి చూడండి. (పేజీ నెం. 334)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 456456456456
456456456456 = 456 (1001001001) = 456 × (7 × 11 × 13) × (1000001)
∴ 456456456456 అను సంఖ్య 7, 11 మరియు 13 చే భాగింపబడుతుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక సంఖ్య 5 మరియు 2 చే భాగింపబడునపుడు వచ్చు శేషములు వరుసగా 3 మరియు 1 అయిన ఆ సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానములోని అంకెను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
ఒక సంఖ్య 5 మరియు 2 చే భాగింపబడునపుడు శేషములు 3 మరియు 1 అయిన అందలి ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 3. ఉదా : \(\frac {13}{5}\) ⇒ 3 శేషం \(\frac {13}{2}\) ⇒ 1 శేషం
\(\frac {23}{5}\) ⇒ 3 శేషం \(\frac {23}{2}\) ⇒ 1 శేషం

2. ఒక రెండంకెల సంఖ్యను తీసుకుని వాటి అంకెలను తారుమారు చేసి వ్రాయండి. వచ్చిన సంఖ్యలలో పెద్ద సంఖ్య నుండి చిన్న సంఖ్యను తీసివేయండి. వచ్చిన ఫలితము ఎల్లప్పుడూ 9తో భాగింపబడునా? (పేజీ నెం. 328)
సాధన.

∴ ఫలితము ఎల్లప్పుడూ 9తో భాగింపబడుతుంది.

3. (1) 10²ⁿ – 1, 9 మరియు 11 చే భాగింపబడునని చెప్పగలమా ? వివరించండి.
(2) 10^{2n + 1} – 1, 11 చే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 333)
సాధన.

4. a⁵ + b⁵, (a + b) తో భాగింపబడుతుందో లేదో a, b విలువలు ఏవైనా సహజ సంఖ్యలుగా తీసుకుని ప్రయత్నించండి. (పేజీ. నెం. 334)
సాధన.

5. (a^{2n + 1} + b^{2n + 1}), (a + b) తో భాగింపబడునని చెప్పగలమా? (పేజీ నెం. 334)
సాధన.

∴ a^{2n + 1} + b^{2n + 1} అనునది n యొక్క అన్ని విలువలకు (a + b) చే భాగింపబడుతుంది.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.6

ప్రశ్న 1.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 5చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం కనుగొనండి.
సాధన.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 5చే భాగింపబడు సంఖ్యలు 5, 10, 15, ……… 100
ఆ సంఖ్యల మొత్తం = 5 + 10 + 15 + ……… + 100
= 5 (1 + 2 + ………. + 20)
మొదటి ‘n సహజ సంఖ్యల మొత్తం = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
= \(\frac{5 \times 20(20+1)}{2}\) = 5 × 10 × 21 = 1050 (∵ n = 20)

ప్రశ్న 2.
11 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో 2చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం కనుగొనండి.
సాధన.
11 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో 2చే భాగింపబడు సంఖ్యలు = 12, 14, 16, …………., 48, 50
ఆ సంఖ్యల మొత్తం = 12 + 14 + 16 + …… + 48 + 50.
= (2 + 4 + …… + 50) – (2 + 4 + …… + 10)
= 2(1 + 2 + …… + 25) – 2(1 + 2 + …… + 5)
= 2[25 × \(\frac{(25+1)}{2}-\frac{5 \times(5+1)}{2}\)
= 2[25 × 13 – 5 × 3]
= 2[325 – 15] = 2 × 310 = 620

ప్రశ్న 3.
1 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో 2 మరియు 3చే భాగింపఐదు సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోంది.
సాధన.
1 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో 2. మరియు 3లచే భాగింపబడు సంఖ్యలు అనగా ‘6’చే భాగింపబడు సంఖ్యలను తీసుకొనగా ఆ సంఖ్యల మొత్తం
= 6 + 12 + …… + 48
= 6(1 + 2 + ….. + 8)
= \(\frac {6(8)(8+1)}{2}\)
= 6 × 4 × 9 = 216

ప్రశ్న 4.
(n³ – n), 3చే భాగింపబడును. వివరించండి.
(లేదా)
“n” సహజసంఖ్య అయిన (n³ – n) ఎల్లప్పుడూ 3చే భాగించబడునా ? వివరించుము.
సాధన.
1వ పద్ధతి:

∴ n యొక్క అన్ని విలువలకు (n³ – n), 3 చే భాగింపబడుతుంది.

2వ పద్ధతి:
n² – n = n(n² – 1) = n(n² – 1²) = (n – 1)
n(n + 1) లు మూడు వరుస సంఖ్యల లబ్ధం కావున ఇది 3చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
∴ (n³ – n), 3 చే భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
n వరుస సంఖ్యల మొత్తం (n భసిసంఖ్య) n చే భాగింపబడును. కారణం వివరించండి.
సాధన.
n వరుస బేసిసంఖ్యల మొత్తం = \(\frac{(2 n-1)(2 n)}{2}\) = n(2n – 1)
ఇది n యొక్క గుణిజం కావున ‘n’ చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 6.
1¹¹ + 2¹¹ + 3¹¹ + 4¹¹, 5చే భాగింపబడుతుందా? వివరించండి.
సాధన.
1¹¹ + 2¹¹ + 3¹¹ + 4¹¹ సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం
= 1 + 8 + 7 + 4 = 20 = 20 → \(\frac {0}{5}\) (R = 0)
∴ (1¹¹ + 2¹¹ + 3¹¹ + 4¹¹), 5చే భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 7.

పై బొమ్మలో ఎన్ని దీర్ఘచతురస్రాలున్నాయి ?
సాధన.

∴ పై చిత్రంలోని దీర్ఘచతురస్రాల సంఖ్య
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

ప్రశ్న 8.
రాహుల్ తండ్రి, రాహుల్ పుట్టినరోజునాడు ప్రతి సంవత్సరము కొంత సొమ్ము బ్యాంకులో జమ చేయుచున్నాడు. అతని మొదటి పుట్టినరోజున రూ. 100, రెండవ పుట్టినరోజున రూ. 300, మూడవ పుట్టినరోజున రూ. 600, 4వ పుట్టిన రోజున రూ. 1000, అయితే అతడి 15వ పుట్టినరోజున ఎంత జమచేసి ఉంటాడు?
సాధన.

రాహుల్ తండ్రి ప్రతి పుట్టినరోజుకు 200, 300, 100, ……. చొప్పున పెంచుకుంటూ పోతే 14న పుట్టినరోజుకు అతను రూ. 10,500 జము, చేస్తే 16వ పుట్టినరోజుకు జను చేయు మొత్తం = 10,500 + 1,500 = రూ. 12,000

ప్రశ్న 9.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 2 లేక 5 చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం కనుగొనుము.
సాధన.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 2చే భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం
= 2 + 4 + …… + 100 = 2(1 + 2 + ……. + 50)
= \(\frac{2(50)(50+1)}{2}\) = 50 × 51 = 2550
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 5 చే భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం
= 5 + 10 + 15 + ……. + 100 = 5(1 + 2 + ……. + 20)
= \(\frac{5(20)(20+1)}{2}\)
= 50 × 21 = 1050
∴ 2 మరియు 5చే భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం = 2550 + 1050 = 3600
దీని నుండి 2 మరియు 5చే (రెండింటిచే) భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం తీసివేయవలెను.
2 మరియు 5చే భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం = 10 + 20 + …….. + 100
= 10(1 + 2 + ……. + 10)
= \(\frac{10(10)(10+1)}{2}\)
= 10 × 5 × 11 = 550
∴ కావలసిన సంఖ్యల మొత్తం = 3600 – 550 = 3050

ప్రశ్న 10.
11 నుండి 1000 వరకు గల సంఖ్యలలో 3చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన.
11 నుంది. 1000 వరకు గల సంఖ్యలలో 3చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం
= 12 + 15 + ……. + 999
= 3(4 + 5 + ……. + 333) = 3(1 + 2 + …….. + 333) – 3(1 + 2 + 3)
= 3 × 333 × \(\frac{(333+1)}{2}-\frac{3 \times 3(3+1)}{2}\)
= 3 × 333 × \(\frac{334}{2}-\frac{9 \times 4}{2}\)
= 999 × 167 – 9 × 2
= 166833 – 18 = 166815.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.5

ప్రశ్న 1.
కింది సంకలనములలో లోపించిన అంకెలు అక్షరాలలో ఇవ్వబడినవి. వాటిని కనుక్కోండి.

సాధన.
(a) 1 + A + 7 = 17 ⇒ A = 17 – 8 = 9 ∴ A = 9

(b) 2 + 8 + B = 15 ⇒ B = 15 – 10 = 5
(2వ నిలువ వరుస)
2 + 1 + B = 8 ⇒ B = 8 – 3 = 5 ∴ B = 5

(c) A + 7 + A = 13 ⇒ 2A = 6 ⇒ A = 3
A + A + 1 = 7 ⇒ 24 = 6 ⇒ A = 3 ∴ A = 3

(d) 2 + 9 + 9 + A = 26 (మొదటి నిలువు వరుస)
A = 26 – 20 = 6
లేదా రెండవ నిలువ వరుస నుండి
⇒ 2 + 1 + A = 9 ⇒ A + 9 – 3 = 6 ∴ A = 6

(e) B + 6 + A = 11 లేదా 21 …………………… (1)
B + A + (1 లేదా 2) = 6
A + 1 = 4 ⇒ A = 3
⇒ (1) నుండి B + 6 + 3 = 11 ⇒ B = 2 ∴ A = 3, B = 2

2. కింది వ్యవకలనములలో గల A విలువ కనుక్కోండి.

ప్రశ్న (a)
7A – 16 = A9
సాధన.
(a) 7A – 16 = A9

A – 6 = 9
A = 5 అయిన ఇది సాధ్యం అగును.
∴ A = 5 (లేదా)
7A – 16 = A9
⇒ 7 × 10 + (l × A) – 16 = (A × 10 + 9 × 1)
⇒ 70 + A – 16 = 10A + 9
⇒ 9A = 45 ⇒ A = 5

ప్రశ్న (b)
107 – A9 = 1A
సాధన.
⇒ 107 – (10 × A + 9 × 1) = (l × 10 + A × 1)
⇒ 107 – 10A – 9 = 10A + 9
⇒ 11A = 88 ⇒ A = 8

ప్రశ్న (c)
A36 – 1A4 = 742
సాధన.
⇒ (100 × A + 3 × 10 + 6 × 1) – (1 × 100 + A × 10 + 4 × 1) = 742
⇒ 100A + 36 – 100 – 10A – 4 = 742
⇒ 90A = 810
⇒ A = \(\frac {810}{90}\)
∴ A = 9

ప్రశ్న 3.
కింది గుణకారములోని అక్షరాల విలువలు కనుక్కోంది.

సాధన.
(a) E × 3 = E కావలెనన్న, E = 0 లేదా 5 కావలెను
5 × 3= 15, 0 × 3 = 0
3 × D + 0 = 1D [E = 0 అయిన ]
⇒ 3D = 10 + D
⇒ 2D = 10
⇒ D = 5

∴ F = 1, D = 5, E = 0

(b) H × 6 = H కావలెనన్న, H = 0, 6, 2, 8
G6 = 1G [H = 0 అయిన]
⇒ 6G + 0 = 10 + G
⇒ 5G = 10
⇒ G = \(\frac {10}{5}\) = 2

∴ C = 1, G = 2, H = 0

4. కింది భాగహారములో లోపించిన విలువలు కనుక్కోంది.

ప్రశ్న (a)
73K ÷ 8 = 9L
సాధన.
\(\frac {73k}{8}\) = 9L
73K, 8 చే భాగింపబడవలెనన్న K = [1, 2, 3, ……. 9] సంఖ్యల నుండి ఒక సంఖ్యను ఎన్నుకోవాలి. K = 6
∴ \(\frac {736}{8}\) → (R = 0)
∴ \(\frac {736}{8}\) = 92 = 9L
⇒ 90 + 2 = (9 × 10 + L × 1)
90 + 2 = 90 + L
∴ L = 2
∴ K = 6, L = 2

ప్రశ్న (b)
1MN ÷ 3 = MN
సాధన.
ఒక సంఖ్య (1MN) 3 చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘3’ చే భాగింపబడవలెను.
⇒ 1 + M + N = 3 × (1, 2, 3)
⇒ 1 + M + N = 3 × 2 = 6 అనుకొనిన
M + N = 5 ……………….. (1)
\(\frac {1MN}{3}\) = MN
⇒ IMN = 3MN
⇒ 2MN = 0
MN = 0 ………………… (2)
(1), (2) ల నుండి M = 0 అసాధ్యం (10 స్థానంలోని అంకె కావున)
N= 0 అయిన M = 5 అగును.
∴ M = 5, N= 0 [∵ \(\frac {150}{3}\) = 50]

ప్రశ్న 5.
ABB × 999 = ABC123 (A, B, Cలు అంకెలు) అయిన A, B, Cల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
ABB × 999 = ABC123 నుండి ఒకట్ల స్థానంలోని
సంఖ్యల లబ్దం 3 కావలెను.
∴ B × 9 = ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 3.
∴ B = 7 అయిన

∴ A = 8, B = 7, C = 6
∴ కావలసిన లబ్దం 876123

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.4

ప్రశ్న 1.
25110, 45చే భాగింపబడునో, లేదో సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 25110
25110, 45తో భాగింపబడాలంటే అది 5, 9చే భాగింపబడవలెను.

గమనిక : 5చే భాగింపబడవలెనన్న ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ లేదా 5 అయి ఉండవలెను, 9చే ఒక సంఖ్య భాగింపబడవలెనన్న సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9చే భాగింపబడవలెను.
∴ 25110, 45చే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 2.
61479, 81చే భాగింపబడునో, లేదో సరిచూడండి.
సాధన.
61479, 81చే భాగింపబడవలెనన్న అది 9చే భాగింపబడవలెను.
ఒక సంఖ్య ‘9’ చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 19 చే భాగింపబడవలెను.
∴ 61479 → 6 + 1 + 4 + 7 + 9 → \(\frac {27}{9}\) (R = 0)
∴ 61479, 9 చే భాగింపబడును. (3, 9, 27, 81 లచే కూడా భాగింపబడును)

ప్రశ్న 3.
864, 36చే భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి. మరియు 36 యొక్క కారణాంకములన్నింటిచే 864 భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి.
సాధన.
864, 36చే భాగింపబడవలెనన్న 36 యొక్క కారణాంకాలన్నింటిదే భాగింపబడవలెను.
36 యొక్క కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
864 = 864 → \(\frac {4}{2}\)(R = 0) ‘2’ చే భాగింపబడును.
864 → 8 + 6 + 4 → \(\frac {18}{3}\)(R = 0) ‘3’ చే భాగింపబడును.
864 అనునది 2 మరియు 3 లచే భాగింపబడును కావునా 6చే కూడా భాగింపబడును.
864 = 864 → \(\frac {64}{4}\)(R = 0) ‘4’ చే భాగింపబడును.
864 అనునది 3 మరియు 4 లచే భాగింపబడును కావునా 12చే కూడా భాగింపబడును.
864 → 8 + 6 + 4 → \(\frac {18}{9}\)(R = 0) 9చే భాగింపబడును.
864 అనునది 2 మరియు 9 లతో భాగింపబడును కావున 18చే కూడా భాగింపబడును.
∴ 864 అనునది 4 మరియు 9 లచే భాగింపబడును. కావున ఇది 36చే భాగింపబడును,
∴ 864 అనునది 36 యొక్క కారణాంకములన్నిందిచే భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 4.
756, 42చే భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి. మరియు 42 యొక్క కారణాంకములన్నింటిచే 756 భాగింపబడునో, లేదో తెలపండి.
సాధన.
756, 42చే భాగింపబడవలెనన్న 6 మరియు 7చే భాగింపబడవలెను.
756, 6చే భాగింపబడవలెనన్న అది 2 మరియు 3చే భాగింపబడవలెను.
756 → \(\frac {6}{2}\)(R = 0) ‘2’ చే భాగింపబడుతుంది.
756 → 7 + 5 + 6 → \(\frac {18}{3}\)(R = 0) 3 చే భాగింపబడుతుంది.
756 ⇒ a = 7, b = 5, c = 6
2a + 3b + c = 2 × 7 + 3 × 5 + 6 = 14 + 15 + 6 → \(\frac {35}{7}\)(R = 0)
∴ 756 అనునది 6, 7 లచే భాగింపబడును. కావున ఇది 42చే భాగింపబడును.
756, 2 మరియు 7లచే భాగింపబడుతుంది కావున 14చే భాగింపబడును.
756, 3 మరియు 7 లచే భాగింపబడుతుంది కావున 21చే భాగింపబడుతుంది.
∴ 756, 42 యొక్క కారణాంకాలన్నింటిచే (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42) భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
2156, 11 మరియు 7లచే భాగింపబడునో, లేదో చూడండి. మరియు 2156, 11 మరియు 7 ల యొక్క లబ్దంతో భాగింపబడుతుందో, లేదో పరిశీలించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 6.
1435, 5 మరియు 7 లచే భాగింపబడునో, లేదో చూడండి. మరియు 1435, 5 మరియు 7ల యొక్క లబ్దంతో భాగింప బడునో, లేదో పరిశీలించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 7.
458, 618 సంఖ్యలు అదే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి. మరియు వాటి మొత్తము కూడా 6దే భాగింపబడుతుందో, లేదో తెలపండి.
సాధన.

ప్రశ్న 8.
876, 345 లు 3తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. మరియు వాటి భేదము కూడా 3తో భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి.
సాధన.

ప్రశ్న 9.
2² + 2³ + 2⁴; 2, 4 లేదా రెండింటితోను భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి.
సాధన.

∴ 28 లేదా (2² + 2³ + 2⁴) అనునది 2, 4 మరియు రెండింటితోనూ భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 10.
32², 4 లేదా 8 లేదా రెండింటితోను భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి.
సాధన.

∴ 32², 4 లేదా 8 మరియు రెండింటిచే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 11.
A679B, 72 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన A, B విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
A679B, 72 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్య 8 మరియు 9చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెను.
A6798, 9 చే భాగింపబడవలెనన్న
A + 6 + 7 + 9 + B = A + B + 22 = 27 (9 × 3)
⇒ A + B = 5 …………………(1)
A6 79B → \(\frac {79B}{8}\)
B = [2, 4, 6, 8] నుండి B = 2 అయిన
= \(\frac {792}{8}\) (R = 0)
∴ B = 2
(1) నుండి ⇒ A + 2 = 5
⇒ A = 3
∴ A = 3, B = 2

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.3

ప్రశ్న 1.
కింది సంఖ్యలు ‘6’తో భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా తెలపండి.
(a) 273432 (b) 100533 (c) 784076 (d) 24684
సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింది సంఖ్యలు ‘4’తో భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా తెలపండి.
(a) 3024 (b) 1000 (c) 412 (d) 56240
సాధన.

ప్రశ్న 3.
భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా కింది సంఖ్యలు ‘8’ తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి.
(a) 4808 (b) 1324 (c) 1000 (d) 76728
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘8’చే భాగింపబడవలెనన్న సంఖ్యలోని చివరి మూడంకెలు ‘8’చే భాగింపబడవలెను.

ప్రశ్న 4.
భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా కింది సంఖ్యలు ‘7’ తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి.
(a) 427 (b) 3514 (c) 861 (d) 4676
సాధన.

ప్రశ్న 5.
ఈ కింది సంఖ్యలు ’11’తో భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమాల ఆధారంగా చెప్పండి.
(a) 786764
(b) 536393
(c) 110011
(d) 1210121
(e) 758043
(f) 8338472
(g) 54678
(h) 13431
(i) 423423
(j) 168861
సాధన.

ప్రశ్న 6.
ఒక సంఖ్య ‘8’తో భాగింపబడిన, ‘4’తో కూడా భాగింపబడును. వివరించండి.
సాధన.
ఒక సంఖ్య 8చే భాగింపబడిన అది 4తో కూడా భాగింపబడును.
ఎందుకనగా ఒక సంఖ్య 8చే భాగింపబడిన అది 8 యొక్క కారణాంకాలన్నింటిచే (1, 2, 4, 8) భాగించబడుతుంది.
∴ 4, 8కి ఒక కారణాంకం కావున
8చే భాగించబడే ప్రతి సంఖ్య, 4చే కూడా భాగించబడుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ఒక మూడు అంకెల సంఖ్య 4A3, మరొక మూడు అంకెల సంఖ్య 984 కు కలుపగా ఏర్పడు సంఖ్య 13B7. ఈ సంఖ్య 11చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడు తుంది. అయిన (A + B) కనుక్కోండి. .
సాధన.
ఇచ్చిన మూడంకెల సంఖ్యలు = 4A3, 984
∴ 4A3 + 984 = 13B7. ఇది 11 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడిన
⇒ 1 3 B 7
(1 + B) – (3 + 7)
⇒ (B + 1) – 10 = 0 ⇒ B – 9 = 0
∴ B = 9

⇒ A + 8 = 9 ⇒ A = 9 – 8 = 1
∴ A = 1
∴ A + B = 1 + 9 = 10

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.2

ప్రశ్న 1.
345 A 7, 3 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన ‘A’ యొక్క విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య 3చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘3’ చే భాగింపబడవలెను.
∴ 345A7 → 3 + 4 + 5 + A + 7 = 3 × 7 → 19 + A = 21
A + 19 = 3 × 8 అయిన
⇒ A = 24 – 19 = 5
A = 5
A + 19 = 3 × 9
A = 27 – 19
A = 8
∴ A = 21 – 19 = 2
A = 2
∴ A = {2, 5, 8} అగును.

ప్రశ్న 2.
2791A, 9 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన ‘A’ యొక్క విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘9’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘9’ చే భాగింపబడవలెను.
∴ 2791A → 2 + 7 + 9 + 1 + A = 9 × 3
⇒ 19 + A = 9 × 3= 27
⇒ A = 27 – 19 = 8
∴ A = 8

ప్రశ్న 3.
2, 3, 5, 9 మరియు 10తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడు కొన్ని సంఖ్యలు పేర్కొనండి.
సాధన.
2, 3, 5, 9 మరియు 10లతో భాగింపబడు సంఖ్యలు 90, 180, 270, 360, 450, ……..

ప్రశ్న 4.
2A8 అను సంఖ్య 2తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, Aకు ఎన్ని విలువలు ఉండవచ్చు. ? ఏమి గమనించితిరి ?
సాధన.
2A8 అను సంఖ్య ‘2’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0, 2, 4, 6, 8 అయి ఉండి మిగిలిన
పదుల స్థానంలోని అంకె ఏదైనా ఉండవచ్చు.
∴ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

ప్రశ్న 5.
50B, 5తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, B కు గల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 50B
ఒక సంఖ్య ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న అందు ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ లేదా ‘5’ అయి ఉండాలి.
⇒ B = {0, 5}
∴ 500 → \(\frac {0}{5}\) (R = 0)
505 → \(\frac {5}{5}\) (R = 0)
∴ B = 0 లేదా 5 అయిన 50B ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

ప్రశ్న 6.
2P అను సంఖ్య 2తో, 3తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, P విలువ కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 2P
2తో, 3తో భాగింపబడవలెనన్న
P = 4 కావలెను [∵ 2 + P = 6 ⇒ P = 6 – 2 = 4)
∴ 2P = 24 → \(\frac {4}{2}\)(R = 0)
24 → 2 + 4 → \(\frac {6}{3}\)(R = 0)
∴ P = 4 కావలెను.

ప్రశ్న 7.
54z ను 5 తో భాగించిన 2 శేషము వచ్చును మరియు 3తో భాగించినపుడు 1 శేషం వచ్చును. అయిన ‘Z’ విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
54z ను 3తో భాగించిన శేషం 1 వచ్చు సందర్భంలో
⇒ 5 + 4 + Z = (3 × 4) + 1
9 + z = 13
Z = 13 – 9 = 4 లేదా
9 + Z = (3 × 5) + 1 ⇒ 9 + z = 16 ⇒ z = 7
54z, 5 తో భాగింపబడవలెనన్న ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0 లేదా 5 అయి ఉండవలెను.
= 54(0 + 2) = 542 (Z = 2)
54 (0 + 7) = 547 (Z = 7)
∴ పై రెండు సందర్భాల నుండి Z = 7 అగును.

ప్రశ్న 8.
27Q ను 5తో భాగించినపుడు 3 శేషము, 2తో భాగించినపుడు 1 శేషం వచ్చును. అయిన 3తో భాగించినపుడు వచ్చు శేషము కనుగొనుము.
సాధన.
27Q, 5 చే భాగించబడిన శేషం 3 వచ్చే సందర్భాలు
27Q = 27(0 + 3) = 273 (Z = 3) (T)
= 27 (0 + 8) = 278 (Z = 8)
27Q, 2చే భాగింపబడినపుడు శేషం 1 వచ్చు సందర్భాలు
27Q = 27(0 + 1) = 271 (Z = 1)
27Q = 27 (0 + 3) = 273 (Z = 3)(T)
∴ పై రెండు సందర్భాల నుండి Z = 3 అగును.
∴ 27Q = 273 → 2 + 7 + 3 → \(\frac {12}{3}\)(R= 0)
∴ 273, 3 చే భాగింపబడినపుడు శేషం ‘0’ అగును.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.1

ప్రశ్న 1.
భాజనీయతా సూత్రములుపయోగించి, క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడిన అంకెలు 2, 5, 10 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన అవును అని, భాగింపబడని కాదు అని వ్రాయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
భాజనీయతా నియమము ద్వారా క్రింది సంఖ్యలలో ఏవి ‘2’ తో భాగింపబడునో తెలపండి.
(a) 2144
(b) 1258
(c) 4336
(d) 633
(e) 1352
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘2’ చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0, 2, 4, 6, 8 అయి ఉండవలెను,
(a) 2144
(b) 1252
(c) 433
(d) 1352 లు “2 చే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 3.
భాజనీయతా నియమము ద్వారా కింది సంఖ్యలలో ఏవి ‘5″ తో భాగింపబడునో తెలపండి.
(a) 438750
(b) 179015
(c) 125
(d) 639210
(e) 17852
సాధన.
ఒక సంఖ్య 5’చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంతె 0 లేదా 5 అయి ఉండవలెను.
(a) 438750
(b) 179015
(c) 125
(d) 639210 లు ‘5’చే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 4.
భాజనీయతా నియమము ద్వారా కింది సంఖ్యలలో ఏవి ’10’ తో భాగింపబడునో తెలపంది.
(a) 54450
(b) 10800
(c) 7138965
(d) 7016930
(e) 10101010
సాధన.
ఒక సంఖ్య ’10’చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0 (సున్నా) అయి ఉండవలెను.
(a) 54450
(b) 1080
(d) 7016930
(e) 10101010 లు ’10 చే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 5.
కింది సంఖ్యలకు కారణాంకాల సంఖ్యను కనుగొనండి.
(a) 18 (b) 24 (c) 45 (d) 90 (e) 105
సాధన.

ప్రశ్న6.
2, 5 మరియు 10తో భాగింపబడే ఏవైనా 5 సంఖ్యలను తెలపండి.
సాధన.
2, 5 మరియు 10తో భాగింపబడే సంఖ్యలు 10, 20, 30, 40, 50 ……..

ప్రశ్న 7.
34A అను సంఖ్య ‘2’తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడును. 5తో భాగింపబడిన శేషము ‘1’ అయిన ‘A’ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
34A, 2చే భాగింపబడిన శేషం 0 కావలెనన్న (A = (0, 2, 4, 6, 8 కావలెను)
∴ 340, 342, 344, 346, 348 లలో 5చే భాగించగా శేషం ‘1’ వచ్చు సంఖ్య 346
∴ 346 → \(\frac {6}{5}\) (R = 1)
∴ కావలసిన A విలువ 6.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం (ఘనము-దీర్ఘఘనము) InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 14th Lesson ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఈ క్రింది దీర్ఘఘనముల యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 298)

సాధన.
(i) l = 4 సెం.మీ., b = 4 సెం.మీ., h = 10 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)
= 2(4 × 4 + 4 × 10 + 4 × 10)
= 2(16 + 40 + 40)
= 2 × 96 = 192 చ.సెం.మీ.
(ii) l = 6 సెం.మీ., b = 4 సెం.మీ., h = 2 సెం.మీ.
దీర్ఘ ఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)
= 2 (6 × 4 + 4 × 2+ 6 × 2)
= 2 (24 + 8 + 12)
= 2 × 44 = 88 చ.సెం.మీ.

2. 6 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. మరియు 5 సెం.మీ. కొలతలుగా గల దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 305)

ఒక ఘనపు భుజము సెం.మీ. గా గల ప్రమాణ ఘనములను దీర్ఘఘనము పొడవు వెంబడి పేర్చుము. దీని కొరకు మనకు ఎన్ని ఘనములు అవసరము ? 6 ప్రమాణ ఘనములు అవసరము. వెడల్పు వెంబడి ఎన్ని ప్రమాణు ఘనములు పేర్చవచ్చు ? 4 ప్రమాణ ఘనములు దీనికి గల కారణము దీర్ఘ ఘనము యొక్క వెడల్పు 4 సెం.మీ. అనగా ఒక పారలో 6 × 4 ప్రమాణ ఘనములు ఉంటాయి.

దీర్ఘ ఘనములో ప్రమాణ ఘనములు అమర్చే పొరలు ఎన్ని ? 5 పొరలు అనగా దీర్ఘఘనము యొక్క ఎత్తు 5 సెం.మీ. ప్రతి పౌర 6 × 4 ఘనములు కలవు. కావున 5 పొరలలో 6 × 4 × 5 ప్రమాణ సమఘనాల దిమ్మలు ఉంటాయి. అనగా l × b × hకు సమానం.
పై చర్చ దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణమునకు సూత్రము నిచ్చును.
దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణము = పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు
సాధన.
6 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. మరియు 5 సెం.మీ. కొలతలు గల దీర్ఘ ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం
V= lbh ⇒ V = 6 × 4 × 5 ⇒ V = 120 సెం.మీ³

3. 64 ప్రమాణ ఘనములను ఉపయోగించి మీరు ఏర్పరచగల దీర్ఘఘనములు ఎన్ని ? ప్రతీ అమరిక యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము కనుక్కోండి. సమాన ఘనపరిమాణము కలిగిన ఘనముల యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యములు సమానమేనా ? (పేజీ నెం. 306)
సాధన.
64 ప్రమాణ ఘనములను ఉపయోగించి మీరు ఏర్పరచగల దీర్ఘఘనాల సంఖ్య
64 = 1 × 64 ……….. (1)
= 2 × 32 ………………… (2)
= 4 × 16 ………………….. (3)
ఈ విధంగా 3 విధాలుగా దీర్ఘఘనాలను ఏర్పర్చవచ్చు.
1. l = 64 సెం.మీ. , b = 1 సెం.మీ., h = 1 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2 (lb+ bh + lh)
= 2(64 × 1 + 1 × 1 + 1 × 64)
= 2 (64 + 1 + 64) = 2 × 129 = 258 చ.యూ.

2. l = 32 సెం.మీ., b = 2 సెం.మీ., h = 1 సెం.మీ.
A = 2 (lb + bh + lh)
= 2 (32 × 2 + 2 × 1 + 32 × 1)
= 2 (64 + 2 + 32)
= 2 × 98 = 196 చ.యూ.

3. l = 16 సెం.మీ., b = 4 సెం.మీ., h = 1 సెం.మీ.
A = 2(lb+ bh + lh)
= 2(16 × 4 + 4 × 1 + 16 × 1)
= 2 (64 + 4 + 16)
= 2 × 84 = 168 చ.యూ.

ప్రయత్నించండి

1. (i) సమ ఘనము ‘A’ యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం మరియు ‘B’ యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 300)

సాధన.
a = 10 సెం.మీ.
పటం A యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6a²
= 6 × (10)²
= 6 × 100 = 600 చ.సెం.మీ.
పటం B యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4a²
= 4 × (8)² [∵ a = 8 సెం.మీ. ]
= 4 × 64 = 256 చ.సెం.మీ.

(ii) ‘b’ భుజముగా గల రెండు సమఘనములు పటములో చూపిన విధముగా జతచేయబడి దీర్ఘఘనమును ఏర్పరిస్తే, ఆ దీర్ఘఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
ప్రక్క దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)

= 2(2b × b + b × b + 2b × b)
= 2(2b² + b² + 2b²)
= 2(5b²) = 10b² చ.యూ.

(iii) సమాన భుజము పొడవు గల 12 సమఘనములు ఏ విధముగా జతచేయడము వలన అత్యల్ప సంపూర్ణతల వైశాల్యము కలిగిన దీర్ఘ ఘనము ఏర్పడుతుందో వివరింపుము.

సాధన.
12 సమఘనాలను ఒకదాని ప్రక్క ఒకటి లేదా ఒకదానిపై ఒకటి అమర్చుట ద్వారా అత్యల్ప సంపూర్ణతల వైశాల్యం సంభవించదు.

∴ A = 2(lb + bh + lh)
= 2(12 × 1 + 1 × 1 + 12 × 1)
= 2(12 + 1 + 12)
= 2 × 25 = 50 చ.యూ
కానీ, 3 సమఘనాలపై నాలుగు వరుసలుగా అమర్చుట ద్వారా అత్యల్ప సంపూర్ణతల వైశాల్యం పొందవచ్చు.
∴ A = 2(lb+ bh + lh)
= 2(3 × 1 + 1 × 4 + 3 × 4) (∵ l = 3; b = 1; h = 4)
= 2(3 + 4 + 12) = 2 × 19 = 38 చ.యూ.

(iv) 4 × 4 × 4 కొలతలు గల ఒక సమఘనము రంగు వేయబడినది. ఆ ఘనము 64 సమఘనములుగా విభజింప బడినది. అయితే
(a) ఒక ముఖము మాత్రమే రంగు వేయబడినది. ఘనములు ఎన్ని ?
(b) రెండు ముఖములు రంగు వేయబడిన ఘనములు ఎన్ని ?
(c) మూడు ముఖములు రంగు వేయబడిన ఘనములు ఎన్ని ?
(d) ఏ ముఖము కూడ రంగు వేయబడని ఘనములు ఎన్ని ?
సాధన.
4 × 4 × 4 సమఘనం 64 సమఘనాలుగా విభజింపబడిన ఒక్కొక్క
సమఘనం యొక్క భుజం పొడవు = 1 యూ.

[∵ \(\frac{4 \times 4 \times 4}{64}\) = 1]
(a) ఒక ముఖము మాత్రమే రంగు వేయబడిన (a = 4) సమఘనాల సంఖ్య = 6(a – 2)² = 6(4 – 2)² = 6 × 4 = 24
(b) రెండు ముఖాలు రంగు వేయబడిన సమఘనాల సంఖ్య = 12(a – 2) = 12(4 – 2) = 24
(c) మూడు ముఖాలు రంగు వేయబడిన సమఘనాల సంఖ్య 4 × a = 4 × 2 = 8
(d) ఏ ముఖం కూడా రంగు వేయబడని సమఘనాల సంఖ్య = (a – 2)³ = (4 – 2)³ = (2)³ = 8

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యము = ప్రకృతల వైశాల్యము + 2 × భూవైశాల్యము అని మీరు చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం. 299)

సాధన.
దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం = ప్రక్కతల వైశాల్యం + 2 × భూవైశాల్యం
= 2h(l + b) + 2 × lb
= 2lh +2bh +2lb
= 2(lb + bh + lh)
∴ దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం = ప్రక్కతల వైశాల్యం + 2 × భూవైశాల్యం అని చెప్పగలం.

2. పటము (i)లో చూపిన దీర్ఘఘనము భంగిమను పటము (ii)లో లాగ మార్చిన వాటి ప్రక్కతల వైశాల్యాలు సమానంగా ఉంటాయా ?
సాధన.
దీర్ఘఘనం యొక్క భంగిమను ఏ విధంగా మార్చినా దాని ప్రక్కతల వైశాల్యములు సమానంగా ఉండవు.

3. పొడవు (i), వెడల్పు (b), ఎత్తు (h) ల కొలతలు సమానముగా గల దీర్ఘఘనపు పటమును గీచి దాని ప్రక్కతల వైశాల్యము మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యములకు సూత్రము రాబట్టుము.
సాధన.
దీర్ఘఘనం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం

= 4 × ప్రక్కతల వైశాల్యము
= 2 (l × h) + 2 × (b × h) (1 + 2 + 3 + 4 తలాలు)
= 2h (l + b) చ.యూ. (1 = 3, 4 = 2)
దీర్ఘ ఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 4 × ప్రక్కతల వైశాల్యం + పైన, క్రింది తలాల వైశాల్యం
= 2h (l + b) + 2(lb)
= 2lh + 2bh + 2lb
= 2(lb + bh + lh) చ.యూ.