Inter 2nd Year

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 14th Lesson కేంద్రకాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 14th Lesson కేంద్రకాలు

→ కేంద్రకంలోని ప్రోటాన్ల సంఖ్యను పరమాణు సంఖ్య Z అంటారు.

→ కేంద్రకంలోని ప్రోటాన్లు మరియు న్యూట్రాన్ల సంఖ్యను ద్రవ్యరాశి సంఖ్య A అంటారు.

→ కేంద్రకంలోని ప్రోటాన్లు మరియు న్యూట్రాన్లను న్యూక్లియాన్లు అంటారు. కేంద్రకంను రూథర్ ఫర్డ్ కనుగొన్నాడు.

→ పరమాణు పరిమాణం 10^-10 m.

→ కేంద్రకం పరిమాణం 10^-15 m.

→ న్యూక్లియాన్ ల వ్యాసార్థము A^1/3 కు అనులోమానుపాతంలో ఉండును. ఇక్కడ A ద్రవ్యరాశి సంఖ్య.
R ∝ A^1/3.
∴ R = R₀A^1/3;
R₀ = 1.1 × 10^-15 m.

→ కేంద్రకంలోని విడివిడి ప్రోటాన్లు, న్యూట్రాన్ల ద్రవ్యరాశుల మొత్తానికి, ఆ కేంద్రకం వాస్తవ ద్రవ్యరాశికి మధ్య ఉండే వ్యత్యాసాన్నే ద్రవ్యరాశి లోపం అంటారు. ద్రవ్యరాశి లోపంను పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణం (u) తో తెల్పుతారు. ఒక పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణం ¹²₆ C పరమాణు ద్రవ్యరాశికి \(\frac{1}{12}\) రెట్లు సమానము. ఒక పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణము 1.660565 × 10^-27 kg కు సమానం. ఇది 931.5 MeV శక్తికి సమానం.

→ ఒక కేంద్రకంలో ప్రోటాన్లు మరియు న్యూట్రాన్ల ను విడగొట్టుటకు కావల్సిన శక్తిని బంధనశక్తి అంటారు. బంధనశక్తి = Δm.c² ఇక్కడ Δm ద్రవ్యరాశి లోపము, C కాంతి వేగము.

→ అస్థిరమైన కేంద్రకాలు స్థిరత్వాన్ని పొందడానికై స్వచ్ఛందంగా α, β, γ – కిరణాలను వెలువరించే ప్రక్రియనే సహజ రేడియో ధార్మికత అంటారు.

→ α – కణాలు ధనాత్మక విద్యుదావేశిత కణాల్ని కలిగి ఉంటాయి. ఇందులోని ప్రతి కణం పీలియం కేంద్రకమై ఉంటుంది. β – కణాలు రుణ విద్యుదావేశిత కణాలైన ఎలక్ట్రాన్లను కలిగి ఉంటాయి. γ – కిరణాలు అత్యధిక శక్తిగల ఫోటాన్లను కలిగి ఉంటాయి.

→ ఒక రేడియోధార్మిక ఐసోటోప్, సగానికి విఘటనం చెందటానికి పట్టుకాలంను రేడియోధార్మిక అర్థ జీవిత కాలం T అంటారు. T = 0.693/λ, ఇక్కడ λ విఘటన స్థిరాంకం.

→ ఒక సెకనులో జరిగే విఘటనాల సంఖ్యను ఆ రేడియోధార్మిక పదార్థం యొక్క క్రియాశీలత అంటారు.

→ ఆరంభంలో ఉన్న అన్ని కేంద్రకాల మొత్తం జీవిత కాలాన్ని కేంద్రక మొత్తం సంఖ్యచే భాగిస్తే వచ్చేది సగటు జీవిత కాలం (τ) i.e., τ = 1/λ.

→ న్యూక్లియాన్ ల మధ్య ఆకర్షణ బలమే కేంద్రక బలము. ఈ బలం కేంద్రకంలోని ప్రోటానులు మరియు న్యూట్రానులను దగ్గరగా ఉండేటట్లు చేస్తుంది.

→ కృత్రిమ పద్ధతులలో ఒక మూలకాన్ని వేరొక మూలకంగా పరివర్తన చేసే విధానాన్నే కృత్రిమ పరివర్తన అంటారు. దీనిని రూథర్వర్డ్ కనుగొన్నాడు.

→ చాడ్విక్ ద్వారా న్యూట్రాన్ ఆవిష్కరణకు దారితీసిన కేంద్రక చర్య ⁹₄Be + ⁴₂He + ¹²₆C + ¹₀n + Q.

→ ఒక భారయుత కేంద్రకం మధ్యస్థ ద్రవ్యరాశులుగల రెండు కేంద్రక శకలాలుగా విడిపోవడాన్నే కేంద్రక విచ్ఛిత్తి అంటారు.

→ ²³⁵U కేంద్రకం ఉష్ట్రీయ న్యూట్రాన్లు, అధిక ధ్రుతి న్యూట్రాన్లు రెండింటితోను విచ్ఛిత్తి పొందుతుంది. కాని ²³²Th న్యూట్రాన్లు సూత్రం అధిక ధ్రుతి న్యూట్రాన్లతోను విచ్ఛిత్తినొందుతుంది. అయితే ²³⁹Pu ఉష్ట్రీయ న్యూట్రాన్లు అధిక ధ్రుతి న్యూట్రాన్లు రెండింటితోను విచ్ఛితినొందుతుంది.

→ శృంఖల చర్య : ఒక కేంద్రకం యొక్క విచ్ఛిత్తిలో ఉత్పత్తి అయ్యే న్యూట్రానులు తిరిగి తన పక్కనున్న ఇతర కేంద్రకాలలో విచ్ఛిత్తికి దోహదం చేస్తాయి. తద్వారా పెద్దమొత్తంలో న్యూట్రాన్ల ఉత్పత్తి జరిగి విచ్ఛిత్తికర పదార్థమంతా విఘటనం చెందేదాక కేంద్రక విచ్ఛిత్తి ప్రక్రియ కొనసాగుతుంది. దీనినే శృంఖల చర్య అంటారు.

→ ప్రత్యుత్పాదన కారకం (K) : ప్రస్తుత సంఘటనలో ఉత్పత్తి అయిన న్యూట్రాన్ల సంఖ్యకు అంతకు ముందు సంఘటనలో ఉత్పత్తి అయిన న్యూట్రాన్ల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తినే న్యూట్రాన్ ప్రత్యుత్పాదన కారకం (K) అంటారు.

→ నియంత్రిత శృంఖల చర్య : యురేనియం ద్రవ్యరాశి, ఒక నిర్దిష్టమైన ద్రవ్యరాశికి సమానమైన లేక అంతకన్నా ఎక్కువ రాశియున్న శృంఖల చర్య కొనసాగుతుంది. ఈ ద్రవ్యరాశిని సందిగ్ధ ద్రవ్యరాశి అంటారు.

→ మితకారి : అధిక ధ్రుతి న్యూట్రాన్లను ఉష్ణయ శక్తి విలువలకు తగ్గించగలిగే అల్ప పరమాణు సంఖ్యగల ద్రవ్యాన్నే మితకారి అంటారు. భారజలం (D₂O), గ్రాఫైట్, బెరిలియం మొదలైనవి.

→ నియంత్రణ కడ్డీలు : నియంత్రణ కడ్డీలు న్యూట్రాన్లను శోషణం చేసి విచ్ఛిత్తిరేటును నియంత్రిస్తుంది. కాడ్మియం మరియు బొరాన్లను నియంత్రణ కడ్డీలుగా ఉపయోగిస్తారు.

→ రక్షణ కవచం : విచ్ఛిత్తి చర్యలో, బీటా మరియు గామా కిరణాలు న్యూట్రాన్ లతోపాటు ఉద్గారమవుతాయి. స్టీలు, లెడ్, కాంక్రీటు గోడలను రియాక్టర్ చుట్టూ నిర్మించి, వికిరణ తీవ్రతను శోషించుటకు మరియు తగ్గించుటకు ఉపయోగిస్తారు.

→ శీతలీకరణి : రియాక్టర్ యొక్క క్రియాశీల కోర్లో విచ్ఛిత్తి కారణంగా ఉత్పత్తి అయ్యే ఉష్ణాన్ని గ్రహించడానికి శీతలీకరణులను వాడతారు. అధిక పీడనాలలో ఉంచిన నీరు లేదా ద్రవీకృత సోడియంలను శీతలీకరణులుగా వాడతారు.

→ విద్యుదుత్పత్తి రియాక్టర్లు : కేంద్రక రియాక్టర్ అంతర్భాగంలో అత్యధిక పరిమాణంలో ఉష్ణం వెలువడుతుంది. ఈ రియాక్టర్లు నీటిని ఉపయోగించుకుంటూ పనిచేసే విస్తృతమైన శీతలీకరణ వ్యవస్థలను కలిగి ఉంటాయి. ఈ శీతలీకరణ వ్యవస్థలలోని నీరు ఉష్ణాన్ని గ్రహిస్తుంది. తద్వారా ఆవిరి ఉత్పత్తి అవుతుంది. ఈ ఆవిరి టర్టైన్లను నడిపించటానికి తోడ్పడుతుంది. అప్పుడు విద్యుచ్ఛక్తి ఉత్పత్తి అవుతుంది. ఇట్లాంటి రియాక్టర్లనే విద్యుదుత్పత్తి రియాక్టర్లు అంటారు.

→ కేంద్రక రియాక్టర్ ఉత్పత్తిచేసే సామర్థ్యం, P = \(\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}}\right)\)E ఇక్కడ \(\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}}\right)\) = ఒక సెకనులో సంభవించే విచ్ఛిత్తుల సంఖ్య, E = ఒక్క విచ్ఛిత్తిలో విడుదలయ్యే శక్తి P = \(\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}}\right)\) 200 MeV = \(\left[\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}}\right]\)200 × 106 × 1.6 × 10^-19J.

→ సూర్యునిలో శక్తికి మూలం: సూర్యుడు, నక్షత్రాలు అనేక బిలియన్ సంవత్సరాల నుండి చాలా హెచ్చు పరిమాణంలో శక్తిని ఉద్గారిస్తున్నాయి. సూర్యుడు మరియు నక్షత్రాలలో ఉష్ణోగ్రత 107 K లేక అంతకన్నా ఎక్కువ ఉన్నప్పుడు కేంద్రక సంలీన ప్రక్రియ జరిగి శక్తి వెలువడుతుంది.

→ 1 u = 1.660539 × 10^-27 kg

→ కేంద్రక వ్యాసార్థం R = RA^1/3 ఇక్కడ R = 1.2 × 10^-15 m

→ ద్రవ్యరాశి లోపము ΔM = [Zm_p + (A – Z) m_n] – M

→ బంధన శక్తి E = ΔM × 931.5 (MeV లో)

→ న్యూక్లియాన్కు బంధనశక్తి E_b = \(\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{A}}\)

→ ప్యాకింగ్ భిన్నం = \(\frac{\Delta \mathrm{M}}{\mathrm{A}}\)

→ రేడియోధార్మిక నియమము \(\frac{\mathrm{dN}}{\mathrm{dt}}\) = -λN (లేక N = N₀e^-λt)

→ రేడియోధార్మిక పదార్థ క్రియాశీలత R = –\(\frac{\mathrm{dN}}{\mathrm{dt}}\) (లేక R = R₀e^-λt)

→ రేడియోధార్మిక పదార్థ అర్థ జీవితకాలము T_1/2 = \(\frac{0.693}{\lambda}\)

→ రేడియోధార్మిక పదార్థ సరాసరి కాలం τ = \(\frac{1}{\lambda}\) (లేక T = 0.693 τ_a)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Exercise 4(b)

అభ్యాసం – 4(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
x² + 8y² = 33 దీర్ఘవృత్తంపై (-1, 2) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
\(\frac{xx_1}{a^2}+\frac{y y_1}{b^2}\) = 1
x(-1) + 8y(2) = 33
⇒ – x + 16y = 33
⇒ x – 16y + 33 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
16x + y + k = 0
ఇది P(-1, 2) గుండా పోతుంది.
-16 + 2 + k = 0 ⇒ k = 14
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
16x + y + 14 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + 2y² – 4x + 12y + 14 = 0 దీర్ఘవృత్తంపై (2, – 1) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శరేఖ సమీకరణం
xx₁ + 2yy₁ – 2(x + x₁) + 6(y + y₁) + 14 = 0
⇒ 2x – 2y – 2(x + 2) + 6(y – 1) + 14 = 0
⇒ 4y + 4 = 0
దీర్ఘవృత్త స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = – 1
స్పర్శరేఖ వాలు ‘0’
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము
y + 1 = \(\frac{-1}{0}\)(x – 2)
x = 2

ప్రశ్న 3.
9x² + 16y² = 144 దీర్ఘవృత్తానికి, నిరూపక అక్షాలపై సమాన అంతరఖండాలు చేసే స్పర్శరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము
9x² + 16y² = 144
⇒ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1
స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(\frac{x}{a}\) cos θ + \(\frac{y}{b}\) sin θ = 1
స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{b \cos \theta}{a \sin \theta}\) = -1
cot θ = \(\frac{a}{b}=\frac{4}{3}\)
cos θ = ± \(\frac{4}{5}\), sin θ = ± \(\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 4.
దీర్ఘవృత్తం x² + 3y² = 37 పై ఏ బిందువుల వద్ద గీసిన అభిలంబ రేఖలు 6x – 5y = 2 కు సమాంతరంగా ఉంటాయో. ఆ బిందువు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సౌధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము x² + 3y² = 37

సందర్భం (i) : P నిరూపకాలు, θ మొదటి పాదంలో కోణం
(a cos θ, b sin θ)
\(\left(\sqrt{37}, \frac{5}{\sqrt{37}}, \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}, \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{37}}\right)\) = (5, 2)

సందర్భం (ii) : P నిరూపకాలు, θ మూడవ పాదంలో కోణం (a cos θ, b sin θ)

ప్రశ్న 5.
x² + 3y² = 3 దీర్ఘవృత్తానికి 4x + y + k = 0 స్పర్శరేఖ అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము x² + 3y² = 3
⇒ \(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}\) = 1
a² = 3, b² = 1, రేఖా సమీకరణము 4x + y + k = 0
y = -4x – k
m = -4, c = -k
స్పర్శరేఖ నియమము c² = a²m² + b²
(-k)² = 3(-4)² + 1
k² = 48 + 1 = 49
k = ± 7

ప్రశ్న 6.
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తానికి x cos α + y sin α = p స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 ………….. (1)
సరళరేఖ సమీకరణము x cos α + y sin α = p
y sin α = x cos α + p
y = -x. \(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{p}{\sin \alpha}\)
∴ m = –\(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\), c = \(\frac{\mathrm{p}}{\sin \alpha}\)
స్పర్శరేఖా నియమము c² = a²m² + b²
\(\frac{\mathrm{p}^2}{\sin ^2 \alpha}=a^2 \cdot \frac{\cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha}+b^2\)
లేదా p² = a² cos² α + b² sin² α

II.

ప్రశ్న 1.
2x² + 3y² = 11 దీర్ఘవృత్తానికి y నిరూపకం 1 గా గల బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ, అఖిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం 2x² + 3y² = 11
y = 1 అని ఇవ్వబడింది.
2x² + 3 = 11 ⇒ 2x² = 8
x² = 4
x = ± 2
స్పర్శ బిందువులు P(2, 1) మరియు Q(-2, 1)
సందర్భం (i) : P(2, 1)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము 2x . 2 + 3y. 1 = 11
4x + 3y = 11
అభిలంబ రేఖ, స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంది.
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము
3x – 4y = k
అభిలంబ రేఖ P(2, 1) గుండా పోతుంది
6 – 4 = k ⇒ k = 2
P వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x – 4y = 2
సందర్భం (ii) : Q(-2, 1)
Q వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము
2x(-2) + 3y.1 = 11
– 4x + 3y = 11
4x – 3y + 11 = 0
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము
3x + 4y = k గా తీసుకొనవచ్చును
అభిలంబ రేఖ (-2, 1) గుండా పోతుంది.
– 6 + 4 = k ⇒ k = – 2
Q వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x + 4y = -2
లేదా 3x + 4y + 2 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + 2y² = 3 దీర్ఘవృత్తానికి బిందువు (1, 2) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు, వాటి మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము x² + 2y² = 3

a² = 3, b² = \(\frac{3}{2}\)
స్పర్శరేఖ వాలు m. ఇది P(1, 2) గుండా పోతుంది.
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y – 2 = m (x – 1)
y = mx + (2-m)
= mx – m
స్పర్శరేఖా నియమము c² = a²m² + b²
(2 – m)² = 3(m²) + \(\frac{3}{2}\)
4 + m² – 4m = 3m² + \(\frac{3}{2}\)
2m² + 4m – \(\frac{5}{2}\) = 0
4m² + 8m – 5 = 0
(2m – 1) (2m + 5) = 0
m = \(\frac{1}{2}\) లేదా – \(\frac{5}{2}\)
సందర్భం (i) : m = \(\frac{1}{2}\)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y = \(\frac{1}{2}\)x + 2 – \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{3}{2}\)
2y = x + 3
x – 2y + 3 = 0

సందర్భం (ii) : m = – \(\frac{5}{2}\)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y = – \(\frac{5}{2}\)x + (2 + \(\frac{5}{2}\))
= –\(\frac{5}{2}\)x + \(\frac{9}{2}\)
2y = -5x + 9
లేదా 5x + 2y – 9 = 0
స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము θ అయితే
tan θ = \(\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|\)
= \(\left|\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}\right|=\left|\frac{3}{1-\frac{5}{4}}\right|\)
= |- 12 | = 12
θ = tan^-1 (12)

ప్రశ్న 3.
2x² + y² = 8 దీరప్పత్తానికి కింది నియమాలు పాటించే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
i) x – 2y – 4 = 0 సరళరేఖకు సమాంతరంగా [Mar. ’06; May ’05]
సాధన:
స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{1}{2}\)

స్పర్శరేఖల సమీకరణము 2y – x ± 6 = 0
లేదా x – 2 y ± 6 = 0

ii) x+y+ 2 = 0 సరళరేఖకు లంబంగా
సాధన:
స్పర్శరేఖ దత్తరేఖకు లంబంగా ఉంది కనుక దాని వాలు ‘1’
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
y = x ± \(\sqrt{4+8}\) స్పర్శరేఖా సమీకరణము
y = x ± 2\(\sqrt{3}\)
x – y ± 2\(\sqrt{3}\)

iii) X – అక్షంతో \(\frac{\pi}{4}\) కోణం చేసే
సాధన:
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y = x ± 2\(\sqrt{3}\)

ప్రశ్న 4.
దీర్ఘవృత్తం 3x² + 13y² = 78 తో ఏక కేంద్రీయ వృత్త వ్యాసార్ధం 4 అయితే ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ దీర్ఘాక్షంతో \(\frac{\pi}{4}\) కోణం చేస్తుందని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం 3x² + 13y² = 78
\(\frac{x^2}{26}+\frac{y^2}{6}\) = 1 …………… (1)
దీర్ఘవృత్త కేంద్రం (0, 0)
∴ వృత్త సమీకరణము x² + y² = 16 ……………… (2)
P(θ) వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖా సమీకరణము
x cos θ + y sin θ = 16 ………………. (3)
y = \(\frac{-\cos \theta}{\sin \theta} \cdot x+\frac{16}{\sin \theta}\)
(3) రేఖ దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ.
∴ c² = a²m² + b²
\(\frac{256}{\sin ^2 \theta}\) = 26. \(\frac{\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta}\) + 6
16 = 26 cos²θ + 6 sin²θ
= 26 cos²θ + 6(1 – cos²θ)
= 26 cos²θ + 6 – 6 cos² θ
20 cos² θ = 10
cos² θ = \(\frac{10}{20}\) = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
θ = \(\frac{\pi}{4}\)

III.

ప్రశ్న 1.
దీర్ఘవృత్త కేంద్రం నుంచి ఏదైనా స్పర్శరేఖపైకి గీసిన లంబ పాదాలు వక్రం (x² + y²)² = a²x² + b²y² పై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్త సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1
P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము

ప్రశ్న 2.
దీర్ఘవృత్తపు ఏదైనా స్పర్శరేఖ పైకి నాభుల నుంచి గీసిన లంబపాదాల బిందు పథం అనుబంధ (సహాయక) వృత్తం అని చూపండి.
సాధన.

(± ae, 0) నుండి స్పర్శరేఖ మీద గీయబడిన లంబం సమీకరణము
y = – \(\frac{1}{m}\) (x ± ae)
my = -(x ± ae)
my + x = ± ae ……………… (1)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కలుపగా
(y – mx)² + (my + x)² = a²m² + b² + a²e²
y² + m²x² – 2mxy + m²y² + x² + 2mxy
= a²m² + a² – a²e² + a²e²
(x² + y²) (1 + m²) = a²(1 + m²).
⇒ x² + y² = a²
బిందుపథము సహాయక వృత్తం.
ఇది దీర్ఘవృత్తానికి ఏక కేంద్రీయము.

ప్రశ్న 3.
x² + 4y² = 4 దీర్ఘవృత్తంపై P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖలు వరుసగా దీర్ఘాక్షాన్ని Q, R ల మధ్య ఖండిస్తున్నాయి. 0 < 0 < \(\frac{\pi}{2}\), QR = 2 అయితే θ = cos^-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం x² + 4y² = 4
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}\) = 1
P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{2}\) cos θ + \(\frac{y}{1}\) sin θ = 1
X – అక్షం సమీకరణం y = 0
\(\frac{x}{2}\) cos θ = 1 ⇒ x = \(\frac{2}{\cos \theta}\)
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{2}{\cos \theta}, \theta\right)\)
P(θ) వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణం
\(\frac{a x}{\cos \theta}-\frac{\text { by }}{\sin \theta}\) = a² – b²
\(\frac{2 x}{\cos \theta}-\frac{y}{\sin \theta}\) = 3
y = 0 ప్రతిక్షేపిస్తే

– 3 cos² θ + 4 = 4 cos θ
3 cos² θ + 4 cos θ – 4 = 0
(3 cos θ – 2) (cos θ + 2) = 0
3 cos θ – 2 = 0 లేదా cos θ + 2 = 0
cos θ = \(\frac{2}{3}\) లేదా cos θ = -2
cos θ విలువ ఎల్లప్పుడూ -1, 1 ల మధ్య ఉంటుంది.
∴ cos θ = \(\frac{2}{3}\)
i.e., θ = cos ^-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\)

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 2 వృత్త సరణులు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 2 వృత్త సరణులు

ప్రశ్న 1.
x²+y²+4 x-14 y+28=0, x²+y²+4 x-5=0 వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² + 4x- 14y + 28 = 0
x² + y² + 4x – 5 = 0

ప్రశ్న 2.
x²+y² – 12x-6y+41 =0
x²+y²+kx+6y-59=0
ల మధ్య కోణం 45° అయితే k విలువ కనుక్కోండి
సాధన:
x²+y² – 12x-6y+41 =0 ………………….(1)
మరియు x²+y²+kx+6y-59=0 ………………….(2)
వృత్తాల మధ్య కోణము అనుకుందాం

ప్రశ్న 3.
x²+y²-8x – 2y+16=0 ………….. (1)
x²+y²-4x – 4y-1=0 ……………… (2)
వృత్తాలను లంబ చేదనం చేస్తూ, (1,1) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x²+y²+2gx+2fy+c=0 అనుకుందాం ……………… (3)
(3) వృత్తం (1), (2) వృత్తాలకు లంబంగా వుంది.
∴ లంబంగా ఖండించుకొనే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తే
2g(-4)+2 f(-1)=c+16 ……………… (4)
2 g(-2)+2 f(-2)=c-1 ……………… (5)
వృత్తం (3), (1,1) ల గుండా పోతుంది
∴ 1²+1²+2 g(1)+2 f(1)+c & =0
2 g+2 f+c+2 =0 ……………… (6)
(4), (5) మరియు (6) లను సాధించగా
\(g=-\frac{7}{3}, f=\frac{23}{6}, c=-5\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
3(x²+y²)-14 x+23 y-15=0

ప్రశ్న 4.
x²+y²+2x+17y+4=0 ………….. (1)
x²+y²+7x+6y+11=0 ………….. (2)
x²+y²-x+22y+3=0 …………..  (3)
లకు లంబంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
Answer:
కావలసిన వృత్త సమీకరణం
x²+y²+2gx+2fy+c=0 అనుకుందాం ………….. (4)
(1), (2) మరియు (3) లు ఈ వృత్తాలు లంబంగా ఖండిస్తాయి.
2(g)(1)+2(f)\(\left(\frac{7}{2}\right)\) = c+4 ………….. (5)
2(g)\(\left(\frac{7}{2}\right)\)+2(f)(3)=c+11 ………….. (6)
2(g)\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)+2(f)(11)=c+3 ………….. (7)
(5), (6) మరియు (7) లను సాధించగా g = – 3, f=-2 మరియ c =-44
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x²+y²-6 x – 4y – 44=0

ప్రశ్న 5.
x cos α + y sin α= p ……………. (1) సమీకరణం సూచించే రీఖ x²+y²=a² ……………. (2) వృత్తాన్ని A, B బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే \(\overline{\mathbf{A B}}\) వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణం (x²+y²-a²)-2p(x cos α +y sin α -p )=0 అని చూపండి.
సాధన:
A, B ల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
(x²+y²-a² right)+λ (x cosα +y sin α -p)=0 …………………….. (3)
వృత్త కేంద్రము \(\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2},-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)\)
సమీకరణం (3) సూచించే వృత్తానికి \(\overline{A B}\) వ్యాసం కావాలంటే దీని కేంద్రం (1) పై ఉండాలి.
∴ \(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}(\cos \alpha)-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}(\sin \alpha)=p\)
అంటే \(-\frac{\lambda}{2}\)(cos ²α+sin² α)=p
అంటే λ =-2 p
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x²+y²-a²)-2 p(x cos α+y sin α -p)=0

ప్రశ్న 6.
X² + y²– 8x – 6y + 21 = 0 …………….. (1)
x²+y² – 2x-15= 0 …………….. (2)
వృత్తాల ఖండన బిందువుల గుండా (1,2) బిందువు గుండా పోమే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(1), (2) వృత్తాల ఖండన బిందువు గుండా పోమే వృత్తం
(x²+y²-8 x-6 y+21)
λ (x²+y²-2 x-15)=0 …………….. (3)
ఈ వృత్తం (1,2) గుండా పోతుంది.
(1+4-8-12 +21)
+λ(1+4-2-15)=0
అంటే 6+ λ(-12)=0
అంటే λ = \(\frac{1}{2}\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x²+y²-8 x-6 y+21)
+ \(\frac{1}{2}\) (x²+y²-2 x-15)=0
అంటే 3(x²+y²)-18 x-12 y+27=0

ప్రశ్న 7.
కింది వృత్లాలతో ఏర్పడిన మాలకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
x²+y²-2x+6 y=0 …………….. (1)
x²+y²-4 x-2 y+6=0 ……………. (2)
x²+y²-12 x+2 y+3=0 ……………. (3)
సాధన:
(1), (2), (3) వృత్తాల మూలాక్షాలు
x+4 y-3=0 ……………. (4)
8 x-4 y+3=0 ……………. (5)
10 x+4 y-3=0 ……………. (6) (4), (5) లను సాధిస్తే ఖండన దిందువు \(\left[0, \frac{3}{4}\right]\) ఇది దత్త వృత్త మూలకేంద్రము

ప్రశ్న 8.
S ≡ x²+y²+3 x+5 y+4=0 …………… (1)
S’ ≡ x²+y²+5 x+3 y+4=0 …………… (2)
ల ఉమ్మడి జ్యా సమీంరణం, దాని పొడవును కనుక్రోండి.
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
S ≡ x²+y²+3 x+5 y+4=0 …………… (1)
మరియు S’ ≡ x²+y²+5 x+3 y+4=0 …………… (2)
ఉమ్మడి జ్యసమీకరణం S-S′=0
-2 x+2 y=0
L ≡ x-y=0

ప్రశ్న 9.
S ≡ x²+y² – 2x – 4y -20 = 0 ……….. (1)
S ≡ x² + y² + 6x + 2y – 90 = 0 ……….. (2)
వృత్తాలు అంతరంగా స్పృశించుకుంటాయని చూపండి. ఇంకా స్ర్శబిందువును, ఈ బిందువు వద్ద ఉమ్మడి, స్పర్శరేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ C₂ లు కేంద్రాలు మరియు r₁, r₂ లు వ్యాసార్థాలు
C₁=(1,2) ; C₂=(-3,-1) ; r₁=5 ; r₂=10
C₁ C₂=కేంద్రాల మధ్యదూరము = 5
\(\left|r_1-r_2\right|=|5-10|=5=C_1 C_2\)
∴ దత్త వృత్తాలు అంతరంగా స్పృశించుకుంటాయి. ఉమ్మడి జ్యానే మాలక్షము S-S’=0 దాని సమీకరణము.
4 x+3 y-35=0
ఇప్పుడు స్పర్శ ఐిందువును కనుగొందాం
స్పర్య బిందువు C₁ C₂ ను 5: 10 అంటే 1: 2 నిష్పత్తిలో
బాహ్యంగా విభజిస్తుంది.
స్పర్యు బిందువు = \(\left(\frac{(1)(-3)-2(1)}{1-2}, \frac{(1)(-1)-2(2)}{1-2}\right)\)
= (5,5)

ప్రశ్న 10.
S ≡ x²+y²+2x+3y+1=0 ……………….. (1)
S’ ≡ x²+y²+4x+3y+20 ……………… (2)
ల ఉమ్మడి జ్యా వ్యాసంగా గల వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(1) మరియు (2) ల ఉమ్మడి జ్యానే మూలాక్షం.
సమీకరణం S-S’=0.
అంటే 2x+1=0 ……………… (3)
(1), (3) ల ఖండన బిందువు గుండా ఏదేనా పోమే వృత్తము
(S+λL=0)
(x²+y²+2 x+3 y+1)+λ(2 x+1)=0
x²+y²+2(λ+1) x+3y+ (1+λ)=0 …………………… (4)
వృత్త కేంద్రం  \(\left(-(\lambda+1), \frac{3}{2}\right)\)
సమీకరణం (4) సూచించే వృత్తానికి 2 x+1= 0 ఒక జ్యా. ఈ జ్యా వృత్తం (4) నకు వ్యాసమయితే (4) కేంద్రం (3) మీద ఉంటుంది.
∴ 2{-(λ+1)}+1=0
⇒ λ = – \(\frac{1}{2}\)
(1), (2) ల ఉమ్మడి జ్యా వ్యాసంగా గల వృత్త సమీకరణము
(λ =\(\frac{1}{2}\) ను సమీకరణం (4) లో (ప్రకక్షేపించిన)
2(x²+y²)+2 x+6 y+1=0

ప్రశ్న 11.
(కింది వృత్తాలలోని ప్రతి వృత్తాన్ని లంబ చేదనం చేసే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కొందాం.
S’ ≡ x²+y²+3x+2y+1 =0 ………………  (1)
S’’ ≡ x² + y²-x + 6y + 5 = 0 ………………  (2)
S’’’ ≡ x² + y² + 5x – 8y+ 15 = 0 ……………… (3)
సాధన:
కావలసిన వృత్త కేంద్రం దత్త వృత్తాల మాలకేంద్రం. మూలకేంద్రం నుండి ఈ వృత్లాలకు గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవు కావలసిన వృత్త వ్యాసార్థము
(1), (2) ల మూలాక్షం
x – y = 1 …………….  (4)
(2), (3) ల మూలాక్షము
3 x-7 y=-5 ……………. (5)
(4), (5)ల ఖండన బిందువు (3,2). (1), (2) మరియు (3) వృత్తాల మూలకేంద్రం (3,2)(3,2) నుండి (1) వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
పొడవు \(=\sqrt{3^2+2^2+3(3)+2(2)+1}=3 \sqrt{3}\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x-3)²+(y-2)²=\((3 \sqrt{3})^2\)
x²+y²-6 x-4 y-14=0

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 1st Lesson ఘనస్థితి will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 1st Lesson ఘనస్థితి

→ ఒక పదార్థం స్వాభావిక రీతిలో ఘటక నిర్మాణాత్మక యూనిట్లు నిర్దిష్ట జ్యామితీయ క్రమంలో అమర్చబడియున్న దాన్ని స్ఫటిక ఘన పదార్థం అంటారు.

→ ఒక ఘన పదార్థంలో ఒక పరమాణువు (లేదా) అయాన్కి అత్యంత సమీపంలో ఉన్న పరమాణువులు లేదా అయాన్ల సంఖ్యను దాని ‘సమన్వయ సంఖ్య’ అంటారు.

→ తన ప్రభావం ఉన్నంత మేరకు లోహపు అయాను, చలిస్తున్న ఎల క్ట్రాన్ లతో బంధించి వుంచే బలాలను లోహబంధం అంటారు.

→ Be, Mg, Cd, CO, Zn, Ti, Tl లకు షట్కోణీయ సన్నిహిత కూర్పు (hcp) వుంటుంది. వీటికి కోఆర్డినేషన్ సంఖ్య 12.

→ Na, K, Rb, Cs, Ba, Cr, Mo, W లకు అంతఃకేంద్రిత ఘన రచన (bcc) వుంటుంది.

→ Al, Cu, Au, Pb, Pt, Ni, Ca లకు గోళాల ఫలక కేంద్రిత ఘనరచన (fcc) వుంటుంది.

→ అస్ఫాటిక పదార్థాలలో దీర్ఘ విస్తృత క్రమాలు వుండవు. గలన క్వార్టజ్ను త్వరగా చల్లారిస్తే అస్ఫాటిక ఘనపదార్థం వస్తుంది.

→ అస్ఫాటిక పదార్థాలలో స్ఫటిక నిర్మాణాలుగానీ యూనిట్ సెల్లుగానీ ఉండవు.

→ స్ఫటిక ప్రదేశంలో బిందువులు మళ్ళీ మళ్ళీ వస్తూ క్రమమైన పద్ధతిలో అమరివుంటే దాన్ని ప్రాదేశిక జాలకం అంటారు.

→ త్రిమితీయ మౌలిక నిర్మాణాన్ని “యూనిట్ సెల్” అంటారు.
యూనిట్ సెల్లో బిందువు ఉంటే “మధ్యస్థమయిన యూనిట్ సెల్” అంటారు.

→ స్ఫటికాలను ‘7’ స్ఫటిక వ్యవస్థలుగా విభజించవచ్చు.

→ nλ = 2d sin θ బ్రాగ్ సమీకరణం

→ యూనిట్ సెల్ మూలన ఉన్న జాలక బిందువును 8 యూనిట్ సెల్లు పంచుకొంటాయి.

→ స్ఫటిక పదార్థం సాంద్రతను (ρ) = \(\frac{z M}{N_o a^3}\) ఫార్ములాతో కనుగొనవచ్చు.
ρ = సాంద్రత, z = యూనిట్ సెల్లో పరమాణువుల సంఖ్య, M = జాలక కణం అణుభారం, a = యూనిట్ సెల్ పొడవు.

→ త్రిమితీయంగా ఉన్న పొరల మధ్య ఖాళీలను ‘రంధ్రాలు’ అంటారు. రెండు రకాల రంధ్రాలు సాధ్యం కావచ్చు. అవి టెట్రాహెడ్రల్ రంధ్రాలు, అష్టభుజీయ రంధ్రాలు.

→ స్ఫటిక లోపాల వల్ల స్ఫటిక ధర్మాలు ప్రభావితమవుతాయి.

→ స్పటిక లోపాలు : ఆంతరికలోపాలు, బాహ్యలోపాలు, బిందులోపాలు మరియు విస్తరణలోపాలు.

→ జాలకం సాధారణ స్థానం నుంచి ఒక పరమాణువు లేదా అయాన్ ను తీసివేస్తే వచ్చే బిందు లోపాన్ని షాట్కీలోపం అంటారు. ఈ లోపం అధిక అయానిక స్వభావం గల సమ్మేళనాల్లో ఉంటుంది.

→ సాధారణ జాలక స్థానంలో ఉండే పరమాణువు లేదా అయాన్గాని ఇతర స్థానాల వద్దకు మారతాయి. ఈ బిందు లోపాన్ని ఫ్రెంకెల్ లోపం అంటారు.

→ లోహాల విద్యుద్వాహకత వాటి పరిమాణంలో ఉన్న వేలన్సీ ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్య పై ఆధారపడుతుంది.

→ లోహం వాహకత ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే తక్కువవుతుంది. జాలక బిందువుల్లో కంపనాలు పెరగటం వలన ఇది జరగవచ్చు.

→ శుద్ధ ‘Si’ అవిద్యుద్వాహకం. ‘B’ లేదా ‘AS’ కలిపితే అర్థవాహకం అవుతుంది.

→ ‘Ge’ వాహకత మార్చడానికి B, P, As లను చేర్చడాన్ని ‘డోపింగ్’ అంటారు.

→ V (లేదా) 15 వ గ్రూపు మూలకంతో డోపింగ్ జరిపిన సిలికాన్ను ‘n’ రకం అర్ధవాహకం అంటారు.

→ రంధ్రాన్ని సృష్టించే పదార్థాలతో డోపింగ్ చేసిన సిలికాన్ న్ను ‘P’ రకం అర్ధవాహకం అంటారు.

→ పారా అయస్కాంత పదార్థాలు వర్తిత అయస్కాంత క్షేత్రంలోకి ఆకర్షితమవుతాయి.

→ ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలు వర్తిత అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని తీసివేస్తే కూడా శాశ్వత అయస్కాంత ధర్మాలను చూపిస్తాయి.
ఉదా : Fe, Co, Ni లు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 2nd Lesson విద్యుత్ రసాయనశాస్త్రం – రసాయన గతికశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 2nd Lesson విద్యుత్ రసాయనశాస్త్రం – రసాయన గతికశాస్త్రం

→ రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అనుఘటకాల సజాతీయ మిశ్రమాన్ని ద్రావణం అంటారు. దీని సంఘటనం కొన్ని పరిధిలలో మారుతూ ఉండును.

→ మోల్ భాగం : ఒక ద్విగుణాత్మక ద్రావణంలోని ఒక అనుఘటకం (ద్రావితం/ ద్రావణి) మోల్లల సంఖ్యకు, ద్రావణంలోని మొత్తం అనుఘటకాల మోత్ల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తినే ఆ అనుఘటక మోల్ భాగం అంటారు.

→ మోలారిటీ : ఒక లీటరు ద్రావణంలో కరిగి ఉన్న ద్రావిత మోల్ల సంఖ్యను మోలారిటీ అంటారు.

→ మోలాలిటీ : ఒక కిలోగ్రామ్ ద్రావణిలో ఉన్న ద్రావిత మోల్ల సంఖ్యను మోలాలిటీ అంటారు.

→ హెన్రీ నియమం : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ద్రవంలో వాయువు ద్రావణీయత, ద్రవం లేదా ద్రావణం ఉపరితలంపై ఉన్న వాయువు పాక్షిక పీడనానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

→ ఎ) రౌల్ట్ (బాష్పశీల ద్రావితం) : బాష్పశీల ద్రవాల ద్రావణంలోని ప్రతి అనుఘటక పాక్షిక బాష్పపీడనం, ఆ అనుఘటకం మోల్ భాగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
బి) రౌల్ట్ నియమం (అబాష్పశీల ద్రావితం) : అబాషశీల ద్రావితం కలిగియున్న విలీన ద్రావణంలోని సాపేక్ష బాష్పపీడన నిమ్నత, ద్రావిత మోల్భాగానికి సమానమౌతుంది.

→ ఆదర్శ ద్రావణం : అన్ని గాఢతల అవధులలో రౌల్టి నియమాన్ని పాటించే ద్రావణాలను ఆదర్శ ద్రావణాలు అంటారు. ఆదర్శ ద్రావణాలలో ద్రావిత, ద్రావణిల మధ్య రసాయన చర్యలు జరగవు.

→ ఎబులియోస్కోపిక్ స్థిరాంకం : అబాష్పశీల ద్రావితం కలిగియున్న ఒక మోలాల్ ద్రావణంలో పరిశీలించబడిన బాష్పీభవన స్థాన నిమ్నతను ఎబులియోస్కోపిక్ స్థిరాంకం (లేదా) మోలాల్ ఉన్నతి స్థిరాంకం అంటారు.

→ క్రయోస్కోపిక్ స్థిరాంకం : అబాష్పశీల ద్రావితం కలిగి ఉన్న ఒక మోలాల్ ద్రావణంలో పరిశీలించబడిన ఘనీభవన స్థాన నిమ్నతను క్రయోస్కోపిక్ స్థిరాంకం (లేదా) మోలాల్ నిమ్నత స్థిరాంకం అంటారు.

→ ద్రవాభిసరణ పీడనం : ద్రావణి, ద్రావణం అర్ధ ప్రవేశ్యక పొరతో వేరుపరచినపుడు ద్రావణి ద్రావణంలోకి ప్రవేశించకుండా నివారించుటకు ఉపయోగించు పీడనాన్ని ద్రవాభిసరణ పీడనం అంటారు.

→ ఐసోటోనిక్ ద్రావణాలు : “ఒక స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న ద్రావణాలలో ద్రవాభిసరణ పీడనం సమానంగా ఉన్నట్లయితే వాటిని “ఐసోటోనిక్ ద్రావణాలు” అంటారు.

→ ద్రవ్యరాశి శాతం

→ ఘనపరిమాణ శాతం

→ ppm

→ మోల్ భాగం

→ మోలారిటీ (M)

→ మోలాలిటీ (m)

→ రౌల్ట్ నియమం (విలీన ద్రావణాలకు) = \(\frac{P_0-P_s}{P_o}=\frac{n_s}{n_0}=\frac{w}{m} \times \frac{M}{w}\)

→ బాష్పీభవన స్థాన ఉన్నతి (ΔT_b) = \(\frac{K_b \times 1000 \times w}{m \times W}\)

→ ఘనీభవన స్థాన నిమ్నత (ΔT_f) = \(\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{f}} \times 1000 \times \mathrm{W}}{\mathrm{m} \times \mathrm{W}}\)

→ ద్రవాభిసరణ పీడనం (π) = CRT

→ వాంట్ హాఫ్ గుణకం (i)

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 3rd Lesson విద్యుత్ రసాయనశాస్త్రం – రసాయన గతికశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 3rd Lesson విద్యుత్ రసాయనశాస్త్రం – రసాయన గతికశాస్త్రం

→ ఏ పరికరాలైతే అయత్నీకృతంగా జరిగే రిడాక్స్ చర్యలను ఉపయోగించి రసాయనశక్తిని విద్యుత్ శక్తిగా మార్పు చేస్తాయో వాటిని గాల్వనిక్ ఘటాలు లేదా వోల్టాయిక్ ఘటాలు అంటారు.
ఉదా : డానియల్ ఘటం

→ ఏ ఎలక్ట్రోడ్ యొక్క పొటెన్షియల్ అయితే తెలిసి ఉంటుందో దానిని ప్రమాణ ఎలక్ట్రోడ్ లేదా ప్రమాణ హైడ్రోజన్ ఎలక్ట్రోడ్ అంటారు.
ఒక అర్థఘటం యొక్క పొటెన్షియల్ను హైడ్రోజన్ ఎలక్ట్రోడ్తో కలిపి కనుగొంటాము.

→ నెర్నెస్ట్ సమీకరణం E = E° + \(\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{nF}}\)ln[Mⁿ⁺]

→ మోలార్ వాహకత్వం : ఒక మీటరు లేదా ఒక సెం.మీ ప్రమాణ దూరం ద్వారా వేరు చేయబడిన రెండు సమాంతర ఎలక్ట్రోడ్ మధ్య ఆవృతమై ఉండే ఒక మోలార్ భారం కలిగి ఉండే విద్యుత్ విశ్లేష్యక ద్రావణం వాహకతను మోలార్ వాహకత్వం (A) అంటారు.

→ ఒక విద్యుత్ విశ్లేష్యకం అవధిక మోలార్ విద్యుత్వాహకత్వం, విశ్లేష్యకం సమకూర్చిన కాటయాన్ల ఆనయాన్ల వ్యక్తిగత వాహకత్వాల మొత్తానికి సమానం.
Λ°_m(AB) = Λ°_A⁺ + Λ°_B^–

→ ఫారడే విద్యుద్విశ్లేష్యణ ప్రక్రియ మొదటి నియమం : విద్యుద్విశ్లేషణ ప్రక్రియలో ఎలక్ట్రోడ్ వద్ద జరిగే రసాయన చర్య పరిమాణం విద్యుద్వీశ్లేషక పదార్థంలో ప్రసారమయ్యే విద్యుత్ పరిమాణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
m ∝ Q; m = c × t

→ ఫారడే విద్యుద్విశ్లేషణ ప్రక్రియ రెండవ నియమం: విద్యుద్విశ్లేషణంలో భిన్న విద్యుద్విశ్లేష్యక ద్రావణాల ద్వారా సమాన పరిమాణంలో విద్యుత్ ప్రవహిస్తే ఎలక్ట్రోడ్ వద్ద వెలువడే భిన్న పదార్థాల పరిమాణాలు, వాటి రసాయనిక తుల్య భారాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
m ∝ E

→ ప్రైమరీ బ్యాటరీ : ఏ బ్యాటరీలైతే కొంత కాలం వాడిన తరువాత ఘటక చర్యలు పూర్తయిపోయి పని చేయడం ఆగిపోతాయో వాటిని ప్రైమరీ బ్యాటరీలు అంటారు.
ఉదా : లెక్లాంచి ఘటం, అనార్ధ ఘటం.

→ సెకండరీ బ్యాటరీ : ఏ బ్యాటరీని అయితే డిస్చార్జ్ అయిపోయిన దాన్ని తిరిగి చార్జ్ చేసి వాడుకోవచ్చో దానిని సెకండరీ బ్యాటరీ అంటారు.
ఉదా : సెకండరీ బ్యాటరీకి ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెడ్ నిక్షేప బ్యాటరీ. బ్యాటరీ వాడకంలో ఉన్నప్పుడు కింది ఘటచర్యలు చోటు చేసుకుంటాయి.

→ ఇందన ఘటం : విద్యుత్ రసాయన ప్రక్రియ ఆధారంగా ఇంధనం ఆక్సీకరణ వ్యవస్థలోని రసాయన శక్తిని ప్రత్యక్షంగా విద్యుత్ శక్తిగా మార్చే గాల్వానిక్ ఘటమే ఇంధన ఘటం అంటారు.

→ లోహక్షయం : ఒక లోహం, అది ప్రకృతిలో సహజంగా లభించే సమ్మేళన రూపంలో స్వచ్ఛందంగా మారిపోవడానికి ప్రదర్శించే సంసిద్ధతను లోహక్షయం అంటారు.

→ చర్యవేగం (లేదా) చర్యరేటు: ఒక ప్రమాణ చర్యాకాలం వ్యవధిలో క్రియాజనకాల గాఢతలలో లేదా క్రియాజన్యాల గాఢతలలో కలిగే మార్పుని చర్య వేగం అంటారు.

→ రేటు నియమం : క్రియాజనకాల గాఢతల పదాల మీద చర్యరేటు ఏవిధంగా ఆధారపడి ఉంటుంది అనే విషయాన్ని తెలిపే గణిత సమీకరణాన్ని రేటు సమీకరణం (లేదా) రేటు నియమం అంటారు.

→ చర్యక్రమాంకం : “ఒక చర్య రేటు సమీకరణంలో వివిధ గాఢత పదాల ఘాతాల మొత్తాన్ని, ఆ చర్యకు చెందిన చర్యా క్రమాంకం అంటాం.”

→ చర్య అణుత : “ఏక కాలంలో తాడనాలు జరిపి రసాయన చర్యను జరపడానికి దోహదం చేసే ఈ ప్రాథమిక చర్యలో పాల్గొనే క్రియాజనక పరమాణువులు (లేదా) అయాన్లు (లేదా) అణువుల సంఖ్యను ఆ ప్రాథమిక చర్య అణుత అంటారు”.

→ వాయు స్థితిలో ఉండే ప్రథమ క్రమాంక చర్యలకు ఉదాహరణలు
N₂O_5(వా) → N₂O_4(వా) + \(\frac{1}{2}\)O_2(వా)
SO₂C_2(వా) → SO_2(వా) + Cl_2(వా)

→ ఏ ప్రథమ క్రమాంక చర్యలలో అయితే అణుత ఒకటికన్నా ఎక్కువ ఉంటుందో వాటిని మిథ్యా ప్రథమ క్రమాంక చర్యలు అంటారు.

→ అర్హీనియస్ సమీకరణం
k = A × e^-Ea/RT
k = రేటు స్థిరాంకం
E_a = ఉత్తేజిత శక్తి
R = వాయు స్థిరాంకం
T = ఉష్ణోగ్రత

→ చర్యా ఉష్ణోగ్రతను 10°C పెంచితే, రేటు స్థిరాంకం రెండు రెట్లు అగును. (కొన్ని సందర్భాలలో మూడు రెట్లు అగును)

→ ఒక చర్యలో కాలంతోపాటు క్రియాజనకాల ఆరంభ గాఢత విలువ దీనిలో సగం విలువకు సమానం అనడానికి అవసరమయ్యే కాలాన్ని అర్థాయువు కాలం అంటారు. ఉదా : C-14 యొక్క రేడియో ధార్మిక వియోజన అర్ధాయువు 5730 సం॥రాలు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 4th Lesson ఉపరితల రసాయనశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 4th Lesson ఉపరితల రసాయనశాస్త్రం

→ అధిశోషణం : “ఒక పదార్థం వేరొక ద్రవం లేదా ఘన పదార్థం ఉపరితలంపై గాఢత చెందడాన్ని ‘అధిశోషణం’ అంటారు. ఇది ఒక ఉపరితల దృగ్విషయము.

ఉదా :

• CO₂, SO₂, Cl, లాంటి వాయువులను ఉత్తేజిత బొగ్గు అధిశోషించుకుంటుంది.
• Pt లేక Ni లో హం, హైడ్రోజన్ వాయువుతో సంపర్కంలో ఉంటే ఆ వాయువును అధిశోషించుకుంటుంది.

→ అభిశోషణం : “ఏదైనా ఒక పదార్థపు అణువులు, ఇతర పదార్థపు ఉపరితలంపై మరియు అంతర్భాగంలో కూడా ఏకరీతిగా వ్యాప్తి చెందడాన్ని ‘అభిశోషణం’ అంటారు.
ఇది ఒక ఆయతన దృగ్విషయం.

ఉదా :

• నీటిలో ముంచిన ‘స్పాంజ్’ నీటిని అభిశోషించుకుంటుంది.
• రంగు సిరాలో ఉంచిన సుద్దముక్క సిరాను అభిశోషించుకుంటుంది.

→ ఒక ఉపరితలం నుండి దానిపై అధిశోషణం చెందిన పదార్థాన్ని తొలగించు ప్రక్రియను విశోషణం (డిసార్షన్) అంటారు.
కొన్ని సందర్భాలలో అధిశోషణం, అభిశోషణం రెండు ఒకేసారి జరుగుతాయి. ఈ ప్రక్రియను శోషణం (సార్షన్) అంటారు.

→ అధిశోషణం రెండు రకాలు.

• భౌతిక అధిశోషణం (ఫిజిసార్షన్)
• రసాయన అధిశోషణం (కెమిసారన్)

→ స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఏకాంక ద్రవ్యరాశిగల ఘనస్థితిలోని అధిశోషకంపై అధిశోషణం చెందే వాయువు పరిమాణానికి, వాయువు పీడనానికి మధ్యగల అనుభావిక సంబంధాన్ని తెలిపే రేఖలను అధిశోషణ సమోష్ణరేఖలు అంటారు.
ఫ్రాయిండ్లిష్ సమోష్ణరేఖ సమీకరణం \(\frac{x}{m}\) = k x P^1/n
X = అధిశోషణం చెందిన వాయు పరిమాణం
P = పీడ
m = ద్రవ్యరాశి

→ ఒక చర్యలో క్రియాజనకాలు, ఉత్ప్రేరకం అన్నీ ఒకే ప్రావస్థలో ఉన్నట్లేతే ఆ చర్యను సజాతి ఉత్ప్రేరణం అంటారు. క్రియాజనకాలు ఉత్ప్రేరకం, భిన్న ప్రావస్థలలో ఉండే ఉత్ప్రేరక చర్యను విజాతి ఉత్ప్రేరణం అంటారు.

→ పెట్రోలియం పరిశ్రమలో ఉపయోగించే ముఖ్యమైన జియోలైట్ ఉత్ప్రేరకం ZSM – 5 ఇది ఆల్కహాల్ల అనార్థీకరణ చర్యకు గురిచేసే గాసోలిన్లుగా (పెట్రోల్) పిలిచే హైడ్రోకార్టన్ల మిశ్రమంగా మారుస్తుంది.

→ ప్రాణం గల మొక్కలు, జంతువులు ఉత్పత్తి చేసే సంక్లిష్ట నైట్రోజన్ కర్బన సమ్మేళనాలను ఎంజైమ్లు అంటారు.

→ ఎంజైమ్లు జీవ రసాయనిక ఉత్ప్రేరకాలుగా పని చేస్తాయి.

→ ఆయుఃప్రక్రియ కొనసాగడానికి దోహదం చేసే జంతువులు మొక్కలలో జరిగే చాలా రసాయన చర్యలను ఇవి ఉత్ప్రేరణం చేస్తాయి.

→ ఒక పదార్థంలో పెద్దసైజు కణాలుగా వేరొక పదార్థం విక్షేపణం చెంది ఏర్పరచిన విజాతి వ్యవస్థను కొల్లాయిడ్ ద్రావణం అంటారు.

→ లయోఫిలిక్ కొల్లాయిడ్లు (ద్రవ ప్రియ కొల్లాయిడ్లు) : వీటిలో విక్షేపక యానకంకూ, విక్షిప్త ప్రావస్థకీ మధ్య ఎక్కువ ఆపేక్ష ఉంటుంది. ఉదా: స్టార్చ్ కొల్లాయిడ్ ద్రావణం లయోఫిలిక్.
లయోఫోబిక్ కొల్లాయిడ్లు (ద్రవ విరోధి కొల్లాయిడ్లు) : వీటిలో విక్షిప్త ప్రావస్థకూ, విక్షేపక యానకానికీ మధ్య ఆపేక్ష ఉండదు. ఉదా : గోల్డ్ కొల్లాయిడ్ ద్రావణం లయోఫోబిక్.

→ లయోఫిలిక్ సాల్లు ఉత్కమణీయమైనవి. ఇవి స్కందనం జరుగవు. స్థిరంగా ఉంటాయి. లయోఫోబిక్ సాల్లు అనుత్రమణీయమైనవి. వీటికి విద్యుద్విశ్లేష్యాలను కలిపినపుడు అస్థిరంగామారి స్కంధనం జరుగుతాయి. వీటిని స్థిరంగా మర్చుటకు లయోఫిలిక్ కొల్లాయిడ్లను కలుపవలెను.

→ పెష్టీకరణం : విక్షేపణ యానకంలో ఉన్న ఒక అవక్షేపానికి కొద్ది ప్రయాణంలో ఒక విద్యుద్విశ్లేష్యాన్ని కలిపి బాగా కుదపడం ద్వారా అవక్షేపాన్ని కొల్లాయిడల్ స్థితికి మార్చడాన్ని పెష్టీకరణం అంటారు.

→ డయాలిసిస్ : అనువైన పటలం లేదా పొరను ఉపయోగించి కరిగే స్థితిలో ఉండే పదార్థాలను కొల్లాయిడ్ ద్రావణం నుండి తొలగించే ప్రక్రియను డయాలిసిస్ అంటారు.

→ ఆల్కహాల్ – ఈథర్ 40% మిశ్రమంలో కరిగించిన నైట్రో సెల్యులోజ్ను కొల్లోడియన్ ద్రావణం అంటారు.

→ టిండాల్ ఫలితం: “కాంతి, కొల్లాయిడ్ ద్రావణం ద్వారా ప్రయాణించినప్పుడు, కాంతి మార్గాన్ని మనం ఒక కాంతివంతమైన పుంజంగా చూడవచ్చు. ఈ దృగ్విషయాన్నే “టిండాల్ ఫలితం” అంటారు.

→ బ్రౌనియన్ చలనం : “కొల్లాయిడ్ కణాలు, విక్షేపణ యానకంలో నిరంతరం వేగంగా మరియు అస్తవ్యస్తంగా చలించడాన్ని “బ్రౌనియన్ చలనం” అంటారు.

→ విరుద్ధ ఆవేశాలు గల స్థిర పటలం, విసరిత పటలం మధ్యగల పొటెన్షియల్ బేధాన్ని విద్యుత్ గతిక పొటెన్షియల్ (లేదా) జీటా పొటెన్షియల్ అంటారు. ఇది ధన లేదా ఋణ విలువలో ఉంటుంది.

→ అనువర్తిత emf ప్రభావంతో కొల్లాయిడ్ కణం చలనం చెందే ప్రక్రిను విద్యుదావేశిత కణచలనం (లేదా) ఎలక్ట్రోఫోరసిన్ అంటారు.

→ కొల్లాయిడ్ కణాల చలనాన్ని అనువైన పద్ధతిలో ఆడగల్మీ విక్షేపణ యానకం వ్యతిరేకదిశలో ప్రయాణిస్తుంది. దీనిని విద్యుత్ ద్రవాభిసరణం అంటారు.

→ సామాన్యంగా స్కంధన అయాన్ వేలన్సీ పెరిగిన కొలది దాని స్కంధన సామర్థ్యం పెరుగును. దీనినే హర్డీ – షూల్జ్ నియమం అంటారు.

→ ఎమల్షన్ : “ద్రవ విక్షేపక యానకంలో, సూక్ష్మ విభాజిత ద్రవబిందు కణాలు విక్షిప్తం చెంది ఏర్పరిచే వ్యవస్థ ఎమల్షన్”. (లేదా) విక్షిప్త ప్రావస్థ మరియు విక్షేపక యానకం రెండూ ద్రవాలే అయిన కొల్లాయిడ్ వ్యవస్థను ‘ఎమల్షన్’ అంటారు. ఉదా : పాలు – ద్రవ క్రొవ్వు నీటిలో విక్షిప్తం చెంది ఉండే ఎమల్షన్.

→ ఒక ఎమల్షన్ స్థిరంగా ఉండేందుకు దానికి చేర్చే మూడో పదార్థమే ఎమల్సీకరణ కారకము. ఉదా : సబ్బులు – నీటిలో కిరోసిన్ ఎమల్షన న్ను స్థిరపరుస్తారు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 5th Lesson లోహనిష్కర్షణలో సాధారణ సూత్రాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 5th Lesson లోహనిష్కర్షణలో సాధారణ సూత్రాలు

→ ప్రకృతిసిద్ధంగా భూమి పై పొరలలో లభించే లోహపు సమ్మేళనాలను ఖనిజాలు అంటారు.

→ లోహం పొందటానికి, అత్యంత అనుకూలమైన ఖనిజాన్ని ధాతువు అంటారు.

→ గాంగ్ : ధాతువు భూమి పై పొరలలోని అనవసరపు రసాయన పదార్థాలతో మరియు ఖనిజాలతో మాలిన్యమై ఉండును. ఈ అనవసరపు పదార్థాలను గాంగ్ అంటారు.

→ ఖనిజ ద్రవీభవనస్థానాన్ని తగ్గించుటకు ఖనిజాలకు బయటనుండి చేర్చిన పదార్థాలను ద్రవకారులు అంటారు.

→ లోహమలం : ద్రవకారీని గాంగ్తో చర్య జరిపినపుడు ఏర్పడే గలన పదార్థాన్ని లోహమలం అంటారు.’

→ ‘Al’ ముఖ్య ధాతువులు బాక్సైట్ (Al₂O. 2H₂O), క్రయోలైట్ (Na₃AlF₆).

→ ‘Fe’ ముఖ్య ధాతువులు హెమటైట్ (Fe₂O₃), మాగ్నటైట్ (Fe₃O₄)

→ ‘Cu’ ముఖ్య ధాతువు కాపర్ పైరైటిస్ (CuFeS₂).

→ ‘Zn’ ముఖ్య ధాతువు జింక్ బ్లెండ్ (ZnS).

→ ప్లవన ప్రక్రియ సల్ఫైడ్ ధాతువుల సాంద్రీకరణకు ఉపయోగపడును.

→ ఇవ్వబడిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య పురోగమించుటకు గిబ్స్ శక్తి విలువ ఋణాత్మకం అయి ఉండాలి.

→ భర్జనం : ఖనిజాన్ని విడిగా గాని, ఇతర పదార్థాలతో కలిపిగాని గాలి సమక్షంలో అధిక ఉష్ణోగ్రతలకు వేడిచేయడాన్ని భర్జనం అంటారు.
భస్మీకరణం : ఖనిజం ద్రవీభవించకుండా దానిలో గల బాష్పశీల పదార్థాలను, గాలి తగలకుండా వేడిచేయటం ద్వారా తొలగించే పద్ధతిని భస్మీకరణం అంటారు.

→ లోహ శోధనకు మండల శోధనం, బాష్ప ప్రావస్థ శోధనం మొదలైన వాటిని ఉపయోగిస్తారు.

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 3 పరావలయం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 3 పరావలయం

ప్రశ్న 1.
(కింద పరావలయాలకు శీర్షం, నాభు నిరూపకాలు, నియతరీఖ, అక్షరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
(i) y²=16 x
(ii) x²=-4y
(iii) 3 x²-9 x+5 y-2=0
(iv) y²-x+4 y+5=0
సాధన:
(i) y²=16 x, ను y²=4 a xతో ఏోల్చగా
4a=1.6 ⇒ a=4
శీర్షం నిరూపకాలు =(0,0)
నాభి నిరూపకాలు =(a, 0)=(4,0)
నియతరేఖ సమీకరణము : x+a=0, i.e., x+4=0
అక్షం సమీకరణము y=0

(ii) x²=-4y, ను x²=-4 ay, తో పోల్చగా
4a = 4 ⇒ a=1
శీర్షం నిరూపకాలు =(0,0)
నాభి నిరూపకాలు =(0,-a)=(0,-1)
నియతరేఖ సమీకరణము y-a =0
i.e., y-1=0
అక్షం సమీకరణము x=0

(iii) 3 x²-9 x+5 y-2=0
3(x²-3x)=2-5y

నియతరేఖ సమీకరణము y-k-a=0
i.e. 6y-13=0
అక్షం సమీకరణము x-h=0
i.e., 2 x-3=0

(iv) y²-x+4 y+5=0 ⇒ (y-(-2))²=(x-1) ను
(y-k)² =4 a(x-h), తో పోల్చగా
(h, k)=(1,-2) మరియు a=\(\frac{1}{4}\)
శీర్షం నిరూపకాలు (h, k)=(1,-2)
నాభి నిరూపకాలు (h+a, k) \(=\left(\frac{5}{4},-2\right)\)
నియతరేఖ సమీకరణము x-h+a=0
i.e., 4x-3=0
అక్షం సమీకరణము y-k=0.
i.e., y+2=0

ప్రశ్న 2.
(3,-2) శీర్షంగాను, (3,1) నాభిగాను గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్రోండి.
సాధన:
నాభి శీర్షాల x నిరూపకాలు 3 తో సమానం. పరావలయ అక్షం X=3.
ఇది Y – అక్షానికి సమాంతరంగా శీర్షానికి ఎగువస (పైన) నాభి ఉంటుంది.
a = నాభి, శీర్షాల మధ్యదూరం = 3
∴ పరావలయ సమీకరణం
(x-3)²=4(3)(y+2)
i.e., (x-3)²=12(y+2).

ప్రశ్న 3.
y² =2x పరావలయంపై నాభి దూరం \(\frac{5}{2}\) గల బిందువులు కనుక్కోండి.
సాధన:
P (x₁,y₁) బిందువు పరావలయం మీద ఉంది
y²=2x నాభి నుండి దూరం \(\frac{5}{2}\) కనుక
y₁² = 2x₁ మరియు x₁+a= \(\frac{5}{2}\)
⇒ x₁+\(\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\) ⇒ x₁=2
∴ y₁² = 2(2) = 4 ⇒ y₁=±2
∴  కావలసిన బిందువులు (2,2) మరియు (2,-2)

ప్రశ్న 4.
(-1, 2), (1, -1),(2, 1) బిందువుల గుండా హోతూ x – అక్షానికి సమాంతరంగా అక్షరేఖ గల పరావలయ సమీకరణాన్ని, కనుక్రోండి.
సాధన:
పరావలయం అక్షం X-అక్షానికి సమాంతరం కనుక దాని సమీకరణము.
x =ly²+my+n రూపంలో ఉంటుంది.
పరావలయం (-1,2) గుండా పోతుంది. కనుక -1
= 1(2)²+m(2)+n ⇒ 4l+2 m+n=-1 …………. (1)
పరావలయం (1,-1),(2,1) ల గుండా పోతుంది.
l- m+n =1 …………. (2)
l+m+n = 2 …………. (3)
(1), (2) మరియు (3) సాధించగా
\(l=-\frac{7}{6}, m=\frac{1}{2} \text { మరియు } \mathrm{n}=\frac{8}{3}\)
పరావలయ సమీకరణము
(లేదా) 7y² – 3y + 6x – 16 = 0.

ప్రశ్న 5.
పరావలయం y²=4 ax పై ద్వి y – నిరూపకం పాడవా 8 అయితే, ద్వి y – నిరూపక కొనలను శీర్షానికి కలిపితే వచ్చే రేఖలు లంబంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
P = (at², 2at) మరియు P’ = (at²,-2 at) లు PP’ కానలు
8a = PP’ =\(\sqrt{0+(4 a t)^2}\) + (4at)2 = 4at ⇒ t = 2.
∴ P=(4a,4a), P’ = (4a,-4a)

ప్రశ్న 6.
(i) y²=4 ax నాఖి జ్లా అగగాలు (x₁, y₁),(x₂, y₂) అయితే x₁ x₂=a², y₁ y₂=-4 a² అని రుజువ చేయండ.
(ii) y²=4 ax నాభి జ్యా PQ, SP=l, SQ=l’ అ అయతే \(\frac{1}{l}+\frac{1}{l^{\prime}}=\frac{1}{a}\) అని చూపండి.
సాధన:
(i) P(x₁, y₁)=(a t²₁, 2 at₁) మరియు Q(x₂, y₂)
=(a t²₂, 2at²) నాభి జ్యా కొనలు
P, S, Q లు సరేఖీయాలు

ప్రశ్న 7.
నాఖిగా గల పరావలయం y²=8(x-3) పై, బిందువు P నుంచి నియతరేఖ పైకి గీసిన లంబపాదము Q. SPQ సమబాహు తిిభుజం అయితే భజం పొడవు కనుక్రోండి.
సాధన:
దత్త పరావలయము y²=8(x-3) అయితే,
శీర్షం A=(3,0) నాభి =(5,0)
[∵ 4 a=8 ⇒ a=2] PQS సమబాహు తిరిభుజము కనుక

ప్రశ్న 8.
72 మీటర్ల పొడవు గల ఒక క్షితిజ సమాంతర వంతెన రోడ్డు, ఏకరూప భారవాహక శక్తి గలిగిన పరావలయ ఆకారపు ప్రధాన తీగకు అనుసంధానం చేసిన ఊర్థ్ సహాయ తీగలకు వేలాడుతున్నది. సహాయ తీగ గరిష్ఠ పొడవు 30 మీ, కనిష్ఠ పొడవు 6 మీ. అయితే వంతెన మధ్య పిందువు నుంచి 18 మీ. దూరంలో గల బిందువుల వద్ద గల సహాయక తీగ పౌడవు కనుక్కోండి.

సాధన:
AOBను ప్రధాన తీగ అనుకొందాం. (కనిష్ఠ ఎత్తులోనున్న బిందువు O, గరిష్ఠ ఎత్తులోనున్న బిందువులు A, Be PRQ అనేది వంతెన PR = RQ = 36 మీ.
PA=QB=30 మీ (గరిష్ఠ ఊర్థ్ తీగలు).
OR=6 మీ (వంతెన మధ్య బిందువు R నుంచి నిట్టనిలువుగా ఉండే ఊర్మ్వ తీగ కనిష్ఠ ఎత్తులో ఉండే ఊర్థవీ తీగ అవుతుంది)
O ను మూలబిందువుగాను, (పధాన తీగకు O వద్ద నున్న స్పర్శ రేఖను, X-అక్షంగాను, \(\overleftrightarrow{\mathrm{RO}}\) ను Y- అక్షంగాను తీసుకొందాం.
పరావలయాకారంలో నున్న ప్రధాన తీగ యొక్క సమీకరణం x²=4 ay (a>0) రూపంలో ఉంటుంది.
B=(36,24) కాబట్టి 36²=4a 24 అవుతుంది.
4a=\(\frac{36 \times 36}{24}\)=54 మీ. RS =18 మీ. అనుకొందాం.
S గుండా పోమే ఊర్వ్వ రేఖ X-అక్షాన్ని D వద్ద, ప్రధాన తీగను C వద్ద ఖండిస్తూందనుకొంటే, SC అనేది కావలసిన అనుసంధానం చేసిన ఊర్ధ్వ తీగ అవుతుంది.
అంటే SC పొడపును కనుక్కోవాలి.
SC =l మీ అనుకొంటే, DC =(l-6) మీ అవుతుంది.
అప్పుడు C = (18, l-6) అవుతుంది.
C అనేది పరావలయం మీద పిందువు కాబట్టి
18=4 a(l-6) కావాలి.
l-6=\(\frac{18^2}{4 a}=\frac{18 \times 18}{54}\)=6మీ.
l-12 మీ.

ప్రశ్న 9.
పరావలయం y²=4 a x కు సరళరీఖ
lx+m y+n=0 స్రర్రేేఖ కావడానికి నియమం కనుక్రోండి. స్పర్శ బిందువు నిరూపకాలను కూడా కనుక్రోండి.
సాధన:
lx+m y+n=0 రేఖ y²=4 a x, వద్ద స్పర్శేేఖ.
(at², 2at) P(t) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x-y t+a t²=0
కాబట్టి l x+m y+n=0, x-y t+a t²=0 లు ఒకే  రేఖను సూచిస్తాయి.

ప్రశ్న 10.
y²-7 x-8 y+14=0 పరావలయాన్ని, సరళరీఖ 7 x+6 y=13 స్పృశిస్తుందని.మూపి, స్ర్శబిందువు నిరాపకాలు కనుక్రోండి.
సాధన.
దత్తరీఖ సమీకరణము 7 x+6 y=13, పరావలయం
సమీకరణము y²-7 x-8 y+14=0.
x ను ఠౌలగిస్తే పరావలయం, రేఖల ఖండన బిందువుల నిరూపకాలు వస్తాయి.
కూడగా y²-2 y+1=0. i.e., (y-1)²=0 ⇒ y=1,1.
∴ దత్తరేఖ పరావలయానికి స్పర్శరేఖ,
y=1 అయితే x=1 స్ర్యబిందువు (1,1)

ప్రశ్న 11.
పరావలయం x, y- నిరాపకాలా సమానంగా గల మాల బిందువు కాని బిందువు వద్ద అభిలంబ జ్యా, నాష్ధి వద్ద లంబకోణం ేస్తందని చాపండి.
సాధన.
పరావలయ సమీకరణము
y²=4 a x పై P(at², 2at) ఏదైనా బిందువు …………….. (1)
పరావలయం మీద x, y నిరూపకాలు సమానము.
i.e., a t²=2 a t  ⇒ t=0
లేదా t=2. కాని t ≠ 0. బిండువు (4a, 4a) వద్ద అభిలంబరేఖ
y+2 x=2 a(2)+a(2)³  (లేదా)
y=(12 a – 2x) …………….. (2)
y=12 a-2 x(1) లో పతక్షపంచగా
(12 a-2x)²=4 ax (లేదా)
x²-13 a x+36 a²=(x-4 a)(x-9 a)=0
⇒ x=4 a, 9a
వీటికి అనుబంధ y విలువలు  4 a,-6 a . పరావలయం P వద్ద అభిలంబ రేఖల ఖండన బిందువు Q(9 a,-6 a),
S(a, 0) అని తెలుసు.

ప్రశ్న 12.
పరావలయం y²=4 a x కు బాహ్య బిందువు P నుంచి గీసిన స్రశశరేఖలు అక్షరీఖతో θ₁, θ₂ కోణాలు జేస్త్నాన్నాయి.  tanθ₁ + tanθ₂  విలువ స్థిరం b అయితే y=b x రేఖపై P ఉంటుందని చూపండ.
సాధన.
P నిరూపకాలు (x₁, y₁) పరావలయం సమీకరణము. y²=4 ax. ఏదైనా స్పర్యరేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 13.
y²=4 a x, x²=4 b y పాాలయాలకు ఉమ్మడి స్ర్శరీఖ x a^1/3+y b^1/3+a^2/3 b^/3 =0 అని చాహండి.
సాధన:
దత్త పరావలయాల సమీకరణాలు y²=4 ax మరియు ………….. (1)
x²=4 by ………….. (2)
(1) యొక్క స్పర్యరేఖ రూపము y =m x+\(\frac{a}{m}\) ………….. (3)
(3) సూచించే రేఖ (2) కు స్ర్శరేఖ అయితే వీటికి ఒకే ఖండన బిందువు ఉంటుంది.
(3) నుండి y విలువను (2) లో (ప్రతిక్షేపించగా

ప్రశ్న 14
పరావలయం y²=4 a x(a>0) పై (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) ఐిందువుల వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖలతో ఏర్పడే (తరిభుజ వైశాల్యం \(\frac{1}{16 a} \mid\left(y_1-y_2\right)\left(y_2-y_3\right)\left(y_3-y_1\right) \mid\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
y²=4 a x, x²=4 by అనే పరావలయాల (మూలబిందువు వద్ద కాకుండా) వ్యతిచ్చేదక కోణం
అని చూపండి.
సాధన:
సార్వతతికికానికి భంగం లేకుండా a>0, b>0 అనుకుండాం. పరావలయాలు P(x, y) అనే మూలబిందువు కాని బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయనుకొందాం. అప్పుడు y⁴=16 a² x²

ప్రశ్న 16.
పరావలయం మీది మూడు బిందువుల వద్ద ఉండే స్ర్శరీఖలతో ఏర్పడే కతిియజం లంబకేంద్రం పరావలయం నియత రీఖపై ఉంటుందని చాపండి.
సాధన:
\(A=\left(a t_1^2, 2 a t_1\right), B=\left(a t_2^2, 2 a t_2\right), C=\left(a t_3^2, 2 a t_3\right)\)
అనేవి y²=4 ax అనే పరావలయం మీద బిందువులు.
A, B, C ల వద్ద పరావలయానికి గల స్పర్శరేఖలతో ఏర్పడిన త్రిభుజాన్ని PQR అనుకొంటే,

కాబట్టి PQR, త్రిభుజం యొక్క లంబకేంద్ర – x నిరూపకం -a, అవటం చేత, అది పరావలయ నియతరేఖపై ఉంటుంది.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 6th Lesson p-బ్లాకు మూలకాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 6th Lesson p-బ్లాకు మూలకాలు

15వ గ్రూపు మూలకాలు :

→ N, P, As, Sb, Bi లు 15వ గ్రూపు మూలకాలు. వాటి బాహ్య కక్ష్య ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం nS² nP³.

→ బేరియం జైన్ను ఉష్ణ వియోగ చర్యకు గురి చేయడం ద్వారా అత్యంత స్వచ్ఛమైన డైనైట్రోజన్ ను పొందవచ్చు.
Ba(N₃)₂ → Ba + 3N₂

→ నైట్రోజన్ ద్విపరమాణుక అణువులో రెండు నైట్రోజన్ పరమాణువుల మధ్య త్రికబంధం ఉంటుంది. దీనిని విఘటనం చెందించుటకు అధిక శక్తి (941.4KJ/mole) అవసరం. కావున నైట్రోజన్ అణువు అధిక స్థిరత్వం కలిగి రసాయనికంగా జడత్వం ప్రదర్శిస్తుంది.

→ హేబర్ పద్ధతి ద్వారా అమ్మోనియా తయారీ :

→ ఆస్వాల్డ్ పద్ధతి ద్వారా HNO₃ తయారీ :

→ PCl₃, జల విశ్లేషణ చేయగా H₃PO₃, PCl₅ ను చేయగా H₃PO₄ ఏర్పడతాయి.

16వ గ్రూపు మూలకాలు :

→ O, S, Se, Te, PO లు 16వ గ్రూపు మూలకాలు. వీటి బాహ్య కక్ష్య ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns² np⁴.

→ ఆక్సిజన్ తయారీ :

→ ఆక్సిజన్ ను నిశ్శబ్ద విద్యుత్ ఉత్సర్గానికి గురిచేసే ఓజోన్ ఏర్పడును.
3O₂ → 2O₃

→ SO₂, లో ‘S’ సంకరీకరణం Sp² ఆకృతి కోణీయ సమతల త్రిభుజాకారం.
SO₃, లో ‘S’ సంకరీకరణం Sp² ఆకృతి కోణీయ సమతల త్రిభుజాకారం.

→ సల్ఫర్ పెరాక్స్లో ఆమ్లాలు H₂SO₅, H₂S₂O₈.

→ H₂SO₄ ను స్పర్శ పద్ధతి ద్వారా తయారుచేస్తారు.

17వ గ్రూపు మూలకాలు :

→ F, Cl, Br, I, At లు 17వ గ్రూపు మూలకాలు. వీటి బాహ్య కక్ష్యవిన్యాసం

→ కాల్షియం ఫాస్ఫైడ్ భార జలంతో చర్య జరిపి డ్యుటిరోఫాసీన్ ఏర్పడును.
Ca₃P₂ + 6D₂O → 3 Ca (OD)₂ + 2PD₃

→ క్లోరిన్ ఆక్సో ఆమ్లాలు HOCl, HClO₂, HClO₃, HClO₄.

→ కాపర్ లోహం సజల HNO₃, తో చర్య
3Cu + 8HNO_3(సజల) → 3Cu(NO₃)₂ + 2NO₂ + 4H₂O

→ కాపర్ లోహం గాఢ HNO₃, తో చర్య
Cu + 4HNO_3(సజల) → Cu(NO₃)₂ + 2NO₂ + 2H₂O

18వ గ్రూపు మూలకాలు :

→ He, Ne, Ar, Kr, Xe Rnలు 18వ గ్రూపు మూలకాలు. వీటి ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns² np⁶ (He తప్ప).

→ తెల్ల ఫాస్పరస్, ఎర్ర ఫాస్ఫరస్ ధర్మాల్లోని భేదాలు :

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 7th Lesson d,f – బ్లాక్ మూలకాలు & సమన్వయ సమ్మేళనాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 7th Lesson d,f – బ్లాక్ మూలకాలు & సమన్వయ సమ్మేళనాలు

→ ఏ మూలకాలలో అయితే మూలక స్థితిలో కానీ, అయానిక స్థితిలో కానీ పాక్షికంగా నిండిన d-ఆర్బిటాళ్ళు కలిగి ఉంటాయో వాటిని పరివర్తన మూలకాలు అంటారు. ఉదా : Mn, Co, Ag మొదలైనవి.

→ పరివర్తన మూలకాల సాధారణ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం (n – 1)d^1-10 ns^1-2.

→ పాక్షికంగా నిండిన d-ఆర్బిటాళ్లు కలిగి ఉండుట వలన పరివర్తన మూలకాలు బహుళ ఆక్సీకరణ స్థితి, రంగు ధర్మం, అయస్కాంత ధర్మం, సంక్లిష్ట సమ్మేళనాలను ఏర్పరచే సామర్థ్యం వంటి అభిలాక్షణిక (లేదా) విలక్షణ ధర్మాలను ప్రదర్శిస్తాయి.

→ పరివర్తన మూలకాలు ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఆక్సీకరణ స్థితులు ప్రదర్శిస్తాయి.
కారణం:
→ (n – 1) d ఆర్బిటాల్క ns ఆర్బిటాల్కు మధ్య శక్తి భేదం చాలా తక్కువగా ఉంటుంది. దీని వలన రెండు ఆర్బిటాళ్ళ నుండి ఎలక్ట్రాన్లు కోల్పోతాయి.

→ పరివర్తన లోహ అయాన్ల అయస్కాంత భ్రామకాలు లెక్కకట్టే భ్రమణ-ఆధారిత భ్రామకం
μ = \(\sqrt{n(n+2)}\) BM.

→ “ఒక లోహాన్ని ఇతర లోహాలతో గాని, అర్థ లోహాలతో గాని లేదా ఒక్కొక్కప్పుడు ఆ లోహాలతో బాగా సన్నిహితంగా, కలిపితే ఏర్పడిగాని లోహాల భౌతిక ధర్మాలున్న మిశ్రమ పదార్థాన్ని మిశ్రలోహం. అంటారు”..
ఉదా: ‘కంచు, దీని సంఘటనం 75 – 90% Cu; 10 – 25% Sn.

→ ‘లాంథనైడ్లలో పరమాణు వ్యాసార్థం లేదా పరమాణు పరిమాణం లేదా అయానిక వ్యాసార్థం పరమాణు సంఖ్య పెరిగే కొలది నెమ్మదిగా తగ్గును. దీనినే లాంథనైడ్ సంకోచం అంటారు.

→ మిష్ లోహం అనేది ఒక మిశ్రమ లోహం. దీనిలో లాంథనైడ్ (~95%) లోహం, ఐరన్ (~5%) మరియు S, C, Ca, Al తక్కువ పరిమాణంలో ఉంటాయి.

→ మిష్ లోహాన్ని బుల్లెట్లు, తొడుగులు, తేలిక చకుముకిల తయారీకి ఉపయోగించే Mg- ఆధారిత మిశ్రమ లోహ ఉత్పత్తికి వాడుతారు.

→ సమన్వయ సమ్మేళనాలు పరివర్తన లోహ పరమాణువులు లేదా అయాన్లు అత్యధిక సంఖ్యలో సమ్మేళనాలను ఏర్పరుస్తాయి. వీటిలో ఆనయాన్లు లేదా తటస్థ గ్రూపులు సమన్వయ సంయోజనీయ బంధాల ద్వారా లోహ పరమాణువుకు అయాను బంధితమై ఉంటాయి. వీటిని సమన్వయ సమ్మేళనాలు అంటారు.
ఉదా : [Co(NH₃)₆]³⁺, [Fe(CN)₆]^4-

→ లైగాండ్ : సంక్లిష్టంలో కేంద్ర లోహ పరమాణువుకు లేదా అయాన్కు ఎలక్ట్రాన్ జంటలను దానం చేయడం. ద్వారా సమన్వయ బంధాలను ఏర్పరచే అయాన్ లేదా అణువును లైగాండ్ అంటారు.ఉదా :Cl^–, Br^–, SCN^– మొదలైనవి.

→ రెండు దాత పరమాణువుల గల ఏకదంత లైగాండ్ తనలోని రెండు పరమాణువులలో దేని ద్వారానైనా సమన్వయం చేయగలుగుతుంది. ఇటువంటి లైగాండ్లను ఉభయదంత (ఏంబిడెంటేడ్) లైగాండ్లు లేదా కీలేట్ లైగాండ్లు అంటారు.
ఉదా : C₂O₄^-2, CO₃^-2 etc.

→ హోమోలిప్టిక్, హెటిరోలోప్టిక్ సంక్లిష్టాలు : ఒక సంక్లిష్టంలోని లోహంతో బంధితమైన లైగాండ్లు అన్నీ ఒకే రకం (సమానమైనవి) అయితే ఆ సంక్లిష్టాన్ని హోమోలెప్టిక్ సంక్లిష్టాలు అంటారు. ఉదాహరణకు (Co(NH₃)₆]³⁺. సంక్లిష్టంలో లోహంతో ఒకటి కంటే ఎక్కువ రకాల (భిన్న) లైగాండ్లు బంధితమై ఉంటే ఆ సంక్లిష్టాన్ని హెటిరోలెప్టిక్ సంక్లిష్టం అంటారు. ఉదాహరణకు [Co(NH₃)₄Cl₂]^–.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 8th Lesson పాలిమర్ లు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 8th Lesson పాలిమర్ లు

→ పాలిమర్ : నిర్మాణాత్మక యూనిట్ పునరావృతమవుతూ సంయోజనీయ బంధాల నేర్పరచుకుని సంయోగంచెంది నిర్మితమైన అతిపెద్ద అణువును పాలిమర్ అంటారు.

→ పాలిమర్ల లభ్య స్థానాల ఆధారంగా సహజ, అర్థకృత్రిమ, కృత్రిమ పాలిమర్లుగా వర్గీకరించారు.

→ పాలిమర్ల నిర్మాణం ఆధారంగా రేఖీయ, శాఖాయుత, వ్యత్యస్తబద్ధ పాలిమర్లుగా వర్గీకరించారు. పాలిమరీకణ విధానం ఆధారంగా సంకలన, సంఘనన పాలిమర్లగా వర్గీకరించారు.

→ అణుబలాల ఆధారంగా ఎలాస్టోమర్లు, పోగులు, ధర్మోప్లాస్టిక్ లు, ఉష్ణదృడ పాలిమర్లుగా వర్గీకరించారు.

→ సంకలన పాలిమర్ : ఒకే రకమైన (లేదా) విభిన్నమైన రకాలు అయిన ద్విబంధాలు గల మోనోమర్ అణువుల సంకలన చర్యవలన ఏర్పడిన పాలిమర్ను సంకలన పాలిమర్ అంటారు.

→ సంఘనన పాలీమర్ : పాలిమర్ను ఏర్పరచిన అన్ని మోనోమర్ యూనిట్లలోని మొత్తం పరమాణువుల సంఖ్య కంటే పాలిమర్లో పరమాణువుల సంఖ్య తక్కువగా ఉన్నపుడు ఆ పాలిమర్ను సంఘనన పాలిమర్ అంటారు.

→ సజాతీయ పాలిమర్ : ఏక మోనోమర్ జాతుల పొలిమరీకరణం ద్వారా ఏర్పడిన పాలిమర్లను సజాతీయ పాలిమర్లు అంటారు.

→ ట్రై ఆల్కైల్ అల్యూమినియం మరియు టైటానియం క్లోరైడ్ల మిశ్రమాన్ని జీగ్లర్ – నట్టా ఉత్ప్రేరకం అంటారు.
ఉదా : (C₂H₅)₃ Al + TiCl₄.

→ పాలిమర్ల ముఖ్యమైన అణుద్రవ్యరాశులు:

• సగటు సంఖ్య అణుద్రవ్యరాశి \(\left(\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}\right)\).
• సగటుభార అణుద్రవ్యరాశి \(\left(\bar{M}_w\right)\)

→ ఒక పాలిమర్ సగటు భార అణుద్రవ్యరాశి \(\left(\bar{M}_w\right)\), సగటు సంఖ్య అణుద్రవ్యరాశి \(\left(\bar{M}_n\right)\) మధ్య గల నిష్పత్తిని పాలి విక్షేపణ సూచిక (PDI) అంటారు.
PDI = \(\frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}\)

→ రబ్బరు వల్కనైజేషన్ : ముడి (లేదా) సహజ రబ్బరును సల్ఫర్ (లేదా) సల్ఫర్ సమ్మేళనాలతో వేడిచేసి దాని భౌతిక ధర్మాలు మెరుగుపరచుటను రబ్బరు వల్కనైజేషన్ అంటారు.

→ జీవక్షయీకృత పాలిమర్లు : “ఎంజైమ్లతో ఆక్సీకరణం, జలవిశ్లేషణం వంటి రసాయన చర్యలు జరిపే లక్షణం కల్గి ఉండి, జీవ వ్యవస్థలలో తొందరగా క్షయకరణం చెందే మరియు మానవుడు నిరపాయకరంగా ఉపయోగించగలిగే పాలిమర్లను జీవ క్షయీకృత పాలిమర్లు అంటారు”.