AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Ex 6(a)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(a)

అభ్యాసం – 6(ఎ)

I. కింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
∫ (x³ – 2x² + 3)dx, x ∈ R.
సాధన:
∫ x³ – 2x² + 3) dx = \(\frac{x^4}{4}\) – \(\frac{2}{3} x^3\) + 3x + c

ప్రశ్న 2.
∫ 2x \(\sqrt{x}\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:
∫ 2x \(\sqrt{x}\) dx = 2∫x^3/2 dx = \(\frac{2 x^{5 / 2}}{(5 / 2)}\) + c
= \(\frac{4}{5} x^{5 / 2}\) + c

ప్రశ్న 3.
∫\(\sqrt[3]{2 x^2} d x\), x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫ \(\frac{x^2+3 x-1}{2 x}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {0}.
సాధన:
∫ \(\frac{x^2+3 x-1}{2 x} d x\)

ప్రశ్న 5.
∫ \(\frac{1-\sqrt{x}}{x} d x\), x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 6.
∫ \(\left(1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}\right) d x\), x ∈ I ⊂ R \ {0}.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫ (x + \(\frac{4}{1+x^2}\)) dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
∫ (e^x – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{\sqrt{x^2-1}}\))dx, x ∈ I ⊂ R \ [-1, 1]
సాధన:

ప్రశ్న 9.
∫ (\(\frac{1}{1-x^2}\) + \(\frac{1}{1+x^2}\))dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:

ప్రశ్న 10.
∫ (\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) + \(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}\))dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:

ప్రశ్న 11.
∫ e^{log(1 + tan2x)} dx, I ⊂ R \ {\(\frac{(2n+1) \pi}{2}\) : n ∈ Z}.
సాధన:
∫ e^{log(1 + tan2x)} dx = ∫ e^{log sec2} dx
∫ sec²x dx = tan x + c

ప్రశ్న 12.
∫ \(\frac{\sin ^2 x}{1+\cos 2 x}\)dx, I ⊂ R \ {(2n ± 1)π : n ∈ Z}.
సాధన:

II. క్రింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫ (1 – x²)³dx, x ∈ (- 1, 1)
సాధన:
∫(1 – x²)³ dx = ∫(1 – 3x² + 3x⁴ – x⁶) dx
= x – x³ + \(\frac{3}{5}\)x⁵ – \(\frac{x^7}{7}\) + c

ప్రశ్న 2.
∫ \(\left(\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}+\frac{1}{3 x^2}\right)\) dx, x ∈ (0, ∞)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
∫ \(\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x}\right)^2\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫ \(\frac{(3 x+1)^2}{2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {0}.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫ \(\left(\frac{2 x-1}{3 \sqrt{x}}\right)^2\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:
∫ \(\left(\frac{(2 x-1)}{3 \sqrt{x}}\right)^2\) dx = ∫ \(\frac{4 x^2-4 x+1}{9 x}\) dx

ప్రశ్న 6.
∫ (\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) + \(\frac{2}{\sqrt{x^2-1}}\) – \(\frac{3}{2 x^2}\)) dx, x ∈ (1, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫ (sec² x – cos x + x²) dx, x ∈ I ⊂ R / {\(\frac{n \pi}{2}\) : n ఒక బేసి పూర్ణాంకం}
సాధన:
∫ (sec² x – cos x + x²) dx.
= ∫ sec² x dx – ∫ cos x dx + ∫x² dx
= tan x – sin x + \(\frac{x^3}{3}\) + C

ప్రశ్న 8.
∫ (sec x tan x + \(\frac{3}{x}\) – 4)dx, x ∈ I ⊂ R / ({\(\frac{\mathbf{n} \pi}{2}\) : n ఒక బేసి పూర్ణాంకం} ∪ {0}).
సాధన:
∫ (sec x tan x + \(\frac{3}{x}\) – 4) dx
= ∫sec x tan x dx + 3 ∫ \(\frac{d x}{x}\) – 4∫dx
= sec x + 3 log |x| – 4x + C

ప్రశ్న 9.
∫ (\(\sqrt{x}\) – \(\frac{2}{1-x^2}\)) dx, x ∈ (0, 1).
సాధన:
∫ (\(\sqrt{x}\) – \(\frac{2}{1-x^2}\)) dx = ∫\(\sqrt{x}\) dx – 2∫\(\frac{d x}{1-x^2}\)
= \(\frac{x^{3 / 2}}{\left(\frac{3}{2}\right)}\) – 2 tanh^-1 + C
= \(\frac{2}{3} x \sqrt{x}\) – 2 tanh^-1x + C

ప్రశ్న 10.
∫ (x³ – cos x + \(\frac{4}{\sqrt{x^2+1}}\)) dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
∫(cosh x + \(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)) dx, x ∈ R
సాధన:

ప్రశ్న 12.
∫(sinh x + \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)^{\frac{1}{2}}}\)) dx, x ∈ I ⊂ R \ {nπ : n ∈ Z} (Mar. 13)
సాధన:

ప్రశ్న 13.
∫ \(\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^x b^x}\) dx, (a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1), x ∈ R.
సాధన:
∫ \(\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^x \cdot b^x} d x\) = x + C
= ∫ \(\frac{a^{2 x}+b^{2 x}-2 a^x b^x}{a^x \cdot b^x}\) dx

ప్రశ్న 14.
∫sec²x cosec² x dx, x ∈ I ⊂ R \ ({nπ : n ∈ Z} ∪ {(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) : n ∈ Z}) (Mar., May 07) (T.S. Mar. 16)
సాధన:
∫sec²x cosec² x dx

ప్రశ్న 15.
∫\(\frac{1+\cos ^2 x}{1-\cos 2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {nπ : n ∈ Z} (Mar. 13)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
∫\(\sqrt{1-\cos 2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ [2nπ, (2n + 1)π], n ∈ Z. (May 06)
సాధన:
∫\(\sqrt{1-\cos 2 x} d x[latex] = ∫[latex]\sqrt{2}\) sin x dx
= –\(\sqrt{2}\) cos x + C

ప్రశ్న 17.
\(\frac{1}{\cosh x+\sinh x} d x\) dx, x ∈ R. (A.P. Mar. 16)
సాధన:

ప్రశ్న 18.
∫\(\frac{1}{1+\cos x}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {(2n + 1)π : n ∈ Z}.
సాధన: