Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 13th Lesson సంభావ్యత to understand and remember the concept easily.
AP Board 10th Class Maths Notes 13th Lesson సంభావ్యత
→ పియర్ సిమ్సన్ లాప్లేస్ (1749-1827)
- “సంభావ్యత” అను నిర్వచనాన్ని మొదటగా పియర్ సిమ్సన్ లాప్లేస్ 1795లో ఇచ్చారు.
- “ది బుక్ ఆన్ గేమ్స్ ఆఫ్ ఛాన్స్” అనే పుస్తకంలో సంభావ్యతకు చెందిన సిద్ధాంతాన్ని ఇటాలియన్ ఫిజీషియన్ మరియు గణిత శాస్త్రవేత్త అయిన జె. కార్డన్ 16వ శతాబ్దములో ఇచ్చారు.
- ఇంకా సంభావ్యతపై విశేష కృషిగావించినవారు జేమ్స్ బెర్నౌలి. ఎ.డి. మావియర్ మరియు పియర్ సిమ్సన్ లాప్లేన్లు.
- ప్రస్తుత కాలంలో సంభావ్యతను జీవశాస్త్రం, అర్థశాస్త్రం, భౌతికశాస్త్రం, సామాజికశాస్త్రం, భౌతికశాస్త్రం, ఆర్థికశాస్త్రం మొదలైన రంగాలలో విశేషంగా వాడుతున్నారు.
→ సంభావ్యతకు చెందిన సిద్ధాంతం 16వ శతాబ్ద కాలానిది.
→ “ది బుక్ ఆన్ గేమ్స్ ఆఫ్ ఛాన్స్” అనే పుస్తకాన్ని ఇటాలియన్ ఫిజీషియన్ మరియు గణితవేత్త అయిన జె. కార్డన్ రచించారు.
→ జేమ్స్ బెర్నౌలి, ఎ. డి. మావియర్ మరియు పియర్ సిమ్సన్ లాప్లేన్లు సంభావ్యత సిద్ధాంతంపై విశేషమైన కృషిచేశారు.
→ ప్రయోగిక సంభావ్యత : ప్రయోగపూర్వక ఫలితాలను ఆధారం చేసుకొని లెక్కించిన సంభావ్యతను “ప్రయోగిక సంభావ్యత” అంటారు. ఉదా : ఒక నాణేన్ని 1000 సార్లు ఎగురవేసినపుడు 455సార్లు బొమ్మ, 545 సార్లు బొరుసు పడినది. బొమ్మపడే సంభవాన్ని ప్రమాణీకరణము చేస్తే 1000కి 455 సార్లు అనగా \(\frac{455}{1000}\) = 0.455.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య సైద్ధాంతిక (లేదా) సాంప్రదాయక సంభావ్యత : ప్రయోగం చేయకుండానే అన్ని పర్యవసానాలను బట్టి ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను అంచనావేయుటను సైద్ధాంతిక సంభావ్యత లేదా సాంప్రదాయక సంభావ్యత అంటారు. పియర్ సిమ్సన్ లాప్లేస్ ఈ క్రింది నిర్వచనాన్ని ఇచ్చారు.
ఉదా : ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన బొమ్మ పడు సంభావ్యత
ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ పడుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2 (బొమ్మ, బొరుసు)
గమనిక : ఒక ప్రయోగాన్ని అనేకసార్లు నిర్వచించినపుడు ప్రయోగిక సంభావ్యత దాదాపుగా సైద్ధాంతిక సంభావ్యతను సమీపించును. అనగా రెండింటి విలువలు ఒకే విధంగా ఉండును (దాదాపుగా సమానంగా ఉండును).
| పదం | నిర్వచనం | ఉదాహరణ |
| సమసంభవ ఘటనలు | ఒక ప్రయోగంలో రెండు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ ఘటనలు సంభవించడానికి సమాన అవకాశములు ఉంటే వాటిని సమసంభవ ఘటనలు అంటారు. | ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ లేదా బొరుసు పడే ఘటనలు. |
| పరస్పర వర్జిత ఘటనలు | ఒక ప్రయోగంలోని రెండు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ ఘటనలలో ఒక ఘటన యొక్క సంభవము మిగిలిన అన్ని ఘటనల సంభవమును నిరోధిస్తే ఆ ఘటనలను | నాణేన్ని ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ పడు ఘటన, బొరుసు పడు ఘటనలు. |
| పూరక ఘటనలు | ఒక ప్రయోగములో ఒక ఘటన యొక్క అనుకూల పర్యవసానములు కాని, ప్రతిరూప ఆవరణలోని మిగిలిన అన్ని పర్యవసానములు గల ఘటనను మొదటి దాని యొక్క పూరక ఘటన అంటారు. | పాచిక వేసినపుడు బేసిసంఖ్య పడే సంభావ్యత (E) అయితే బేసిసంఖ్య కానిది అయ్యే (E) ఘటన. |
| పూర్ణ ఘటనలు | ఒక ప్రయోగములోని అన్ని ఘటనల సమ్మేళనము ప్రతిరూప ఆవరణము అయిన, వానిని పూర్ణఘటనలు అంటారు. | పాచిక వేసినపుడు బేసి ‘ లేదా సరిసంఖ్యలు పడు ఘటన. |
| కచ్చిత లేక దృఢ ఘటన | ఒక ప్రయోగములో ఒక ఘటన యొక్క సంభవము కచ్చితము అయితే దానిని కచ్చిత ఘటన (లేదా) ధృడ ఘటన అంటారు దీని సంభావ్యత 1. | పాచిక వేసినపుడు 6 లేదా 6 కంటే చిన్న సంఖ్య పడే ఘటన. |
| అసాధ్య ఘటన అసంభవ ఘటన | ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన ఎప్పుడూ సాధ్యపడకపోతే దానిని అసాధ్య ఘటన అంటారు. దీని సంభావ్యత ‘0’. | ఒక పాచికను వేసిన ‘7’ను పొందు ఘటన. |
→ కచ్చిత ఘటన యొక్క సంభావ్యత 1.
→ అసంభవ ఘటన యొక్క సంభావ్యత ‘0’.
→ ఒక ఘటన (E) యొక్క సంభావ్యత P(E) అయిన 0 ≤ P(E) ≤ 1 అగును.
→ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1.
→ కొన్ని పరిశీలనలు :
- ఒక ప్రయోగములో ఒక ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానము ఒక్కటి మాత్రమే అయిన దానిని ప్రాథమిక ఘటన (Elementary event) అంటారు.
- ఒక ప్రయోగంలో Y, R, B లు ప్రాథమిక ఘటనలు అయితే P(Y) + P(R) + P(B) = 1. – ఒక ప్రయోగంలో అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల యొక్క సంభావ్యతల మొత్తము 1 అవుతుంది.
- పాచికను దొర్లించుటలో 3 కన్నా తక్కువ పడు ఘటనలు కానీ, 3 లేక అంతకన్నా ఎక్కువ పడు ఘటనలు కానీ ఈ ప్రాథమిక ఘటనలు కావు. కానీ రెండు నాణెములను ఎగురవేసినప్పుడు {HH}, {HT}, {TH}, {TT}లు ప్రాథమిక ఘటనలు.
→ పేక ముక్కలు (కార్డులు) – సంభావ్యత (Playing Cards – Probability):
మీరు ఎప్పుడైనా పేక ముక్కలను చూశారా? ఒక కట్టలో 52 కార్డులు ఉంటాయి. వాటిలో ఒక్కొక్కటి 13 కార్డులు గల 4 విభాగాలు ఉంటాయి. ఆ విభాగాల గుర్తులు నలుపు స్పేట్లు , ఎరుపు హృదయం గుర్తులు , ఎరుపు డైమండులు మరియు నలుపు కళావరులు మరలా ఒక్కొక్క విభాగంలో ఏస్, రాజు, రాణి, జాకీలకు 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 గుర్తించబడిన 13 కార్డులు ఉంటాయి. రాజు, రాణి, జాక్ కార్డులను ముఖకార్డులంటారు. ఒక కట్టలోని అన్ని కార్డులు, కొన్ని కార్డులు లేక రెండు కట్టలను ఉపయోగించి రకరకాల ఆటలను ఆడుతారు. ఈ కార్డులను పంచుటలో, ఎదుటివారి వద్ద ఉన్న కార్డులను ఊహించుటలో, గెలుచుటకు ఎత్తులు వేయుటలో సంభావ్యత ఎంతగానో ఉపయోగపడుతుంది.
ఉదా : ఒక పేక కట్ట నుండి ఒక పేక ముక్కను తీసిన అది ఎరుపు లేదా నలుపు ముక్క అగుట-సమ సంభవ ఘటన.
→ ఏస్ లేదా రాజు ‘కార్డు పొందుట – పరస్పర వర్జిత ఘటన.
→ ఏస్ లేదా హృదయాకార కార్డు పొందుట – ఇది పరస్పర వర్జిత ఘటన కాదు. ఎందుకనగా హృదయాకార కార్డులు ఏస్ ను కూడా కలిగి ఉంటాయి.
→ ఒక నాణేన్ని ఎగురవేస్తే వచ్చు పర్యవసానాలు H, T.
→ ఒక పాచికను దొర్లిస్తే వచ్చు పర్యవసానాలు 1, 2, 3, 4, 5 & 6.
→ ఒక నాణేన్ని ‘n’ సార్లు ఎగురవేస్తే వచ్చు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2n.
→ ఒక పాచికను ‘n’ సార్లు ఎగురవేస్తే వచ్చు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6n.
