AP 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు

→ జార్జి కాంటర్: 1845 -1918:

• జార్జికాంటర్ మార్చి 3, 1845న రష్యాలో జన్మించి, పదకొండేళ్ళ వయస్సులో తండ్రితో పాటు జర్మనీకి వలస వెళ్ళాడు.
• కాంటర్ ఆధునిక గణితం అనేక శాఖలుగా అభివృద్ధి చెందడానికి ఆధారమైన సమితి వాదాన్ని ప్రతిపాదించి, అభివృద్ధిపరచి ఆధునిక గణిత భాషకు ఆద్యుడైనాడు. కాంటర్ సమితివాద శక్తి గణిత శాఖలన్నింటిని ఏకీకృతం చేయడంలో ప్రధానపాత్ర వహిస్తోంది.
• “ఊహించగల, సంభవించగల ఆలోచనల రూపమే సమితి” అన్న కాంటర్ భావనను ఆనాటి సాంప్రదాయవాదులు ఒక నూతన గణితానికి ఆరంభంగా అంగీకరించలేక పోయారు. అదసలు గణితమే కాదన్నారు. కాంటర్ ప్రతిపాదనలు, ఆలోచనలు కొత్తవిగాను, వింతగాను భావించిన సహచరులు నిరుత్సాహపరచడం, అగౌరవపరచడం చేసేవారు.
• కోవలోనే తన గురువు క్రోనేకర్ కూడా ఉండటంతో సున్నితమనస్కుడైన కాంటర్ తట్టుకోలేకపోయాడు. తన సిద్ధాంతాలపట్ల సమకాలీన గణిత ప్రపంచంలో ఏర్పడిన వైరుధ్యాల ఒత్తిడికి నిలవలేక మానసిక ఆరోగ్యం కోల్పోయి, చివరకు జనవరి 6, 1918లో మరణించాడు. “కాంటర్ మనకోసం గణిత ప్రపంచంలో ఓ స్వర్గం సృష్టించి, అనుభవించ లేక పిచ్చివాడయ్యా డు”. – డేవిడ్ హిలిబర్ట్

→ సమితి’: సునిర్వచిత వస్తువుల సముదాయాన్ని సమితి అంటారు.
సునిర్వచితం అనగా : 1. సమితిలోని వస్తువులన్నీ ఒకే విధమైన సామాన్య పోలిక లేదా ధర్మం కలిగి ఉండాలి. మరియు 2. ఏదైనా ఒక వస్తువు సమితికి చెందినది, లేనిదీ నిర్ధారించేటట్లు ఉండాలి.

→ సమితులను ఆంగ్ల భాషలోని పెద్ద అక్షరాలతో సూచిస్తారు.
ఉదా : A అనేది 6 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్యల సమితి. A = {1, 2, 3, 4, 5}

→ సమితికి చెందిన వస్తువులను ఆ సమితి యొక్క మూలకాలు అంటారు.
ఉదా : A = {1, 2, 3, 4, 5} అయిన 1, 2, 3, 4, 5 అనేవి సమితి A యొక్క మూలకాలు.

→ ఒక మూలకము ఒక సమితికి చెందినది అని తెలుపుటకు 6 (belonging to) గుర్తుని ఉపయోగిస్తారు.
B = {2, 4, 6, 8} అయిన 2 ∈ B, 4 ∈ B, 6 ∈ B, 8 ∈ B,
10 ∉ B అనగా B అనే సమితికి 10 చెందదు అని అర్థం.

→ సమితులను సూచించే /రాసే పద్ధతులు : సమితులను సాధారణంగా

• రోస్టర్ రూపం (జాబితా రూపం),
• సమితి నిర్మాణ రూపం (లాక్షణిక రూపం) మరియు
• వెన్ చిత్రాల రూపంలో సూచిస్తారు.

→ రోస్టర్ రూపం : సమితిలోని మూలకాలన్నింటిని వరుసగా కామా (,) లతో వేరు చేస్తూ జాబితాగా రాసి ఫ్లవర్ బ్రాకెట్ { } ల మధ్యలో రాసే పద్ధతి.

→ రోస్టర్ రూపంలో మూలకాలను ఏ క్రమంలోనైనా రాయవచ్చును మరియు ఒకే మూలకాన్ని మళ్ళీ మళ్ళీ రాయకూడదు.
ఉదా : A అనే సమితి SCHOOL లోని అక్షరాలతో ఏర్పడే సమితి.

• A = {S, C, H, O, L} లేదా
• A = {C, H, L, O, S} లేదా
• A = {L, 0, H, C, S} …… గా రాయవచ్చు.
• A = {S, C, H, 0, 0, L} గా రాయకూడదు.

→ సమితి నిర్మాణ రూపం : సమితికి చెందిన మూలకాల సామాన్య లక్షణం లేదా ధర్మాలను తెలియజేస్తూ రాసే పద్ధతిని ‘సమితి నిర్మాణ రూపం అంటారు. సమితిలోని మూలకాన్ని x గా సూచిస్తూ, .x ప్రక్కన / గాని, : గాని ఉంచి ఆ సమితికి చెందిన మూలకాల యొక్క లక్షణాలు లేదా ధర్మాలను గాని రాస్తాము. మొత్తాన్ని ఫ్లవర్ బ్రాకెట్లలో { } ఉంచుతాము. ఉదా : సమితి P 13 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యల సమితి.
P= {x/ X అనేది 13 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య } లేదా
P = {x : X అనేది 13 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య }

→ సమితుల రకాలు :
శూన్య సమితి : ఎలాంటి మూలకాలు లేనటువంటి సమితిని శూన్యసమితి అంటారు. శూన్యసమితిని (phi) లేదా { } తో సూచిస్తారు.
ఉదా : A = {x : X అనేది 1 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్య}
B = {x: X అనేది సంవత్సరంలో 35 రోజులు గల నెల}
C = {x : x = 3, X ఒక అకరణీయ సంఖ్య }
సూచన : Φ, {Φ} మరియు {0} లు వేర్వేరు సమితులు. {Φ}, {0} అనేవి శూన్య సమితులు కావు. ఎందుకనగా {Φ} లో ‘Φ’ అనే మూలకము, { 0 } లో ‘0’ అనే మూలకము ఉన్నాయి.

→ పరిమిత సమితి : పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగిన సమితిని పరిమిత సమితి అంటారు. అంటే పరిమిత సమితిలోని మూలకాలను లెక్కించగలమన్న మాట.

ఉదా : A = {తరగతిలోని విద్యార్థులు}
B = {a, b, c, d, e, ………., x, y, z}
C = {x : X అనేది 10 కన్నా తక్కువైన సహజసంఖ్య }

→ అపరిమిత సమితి : మూలకాల సంఖ్య అపరిమితంగా గల సమితిని అపరిమిత సమితి అంటారు.

ఉదా : E = {x: X ఒక సరిసంఖ్య }
G = {x : X అనేది 5 యొక్క గుణిజము}
గమనిక : ఒక సమితి పరిమిత సమితి కాకపోతే అపరిమిత సమితి అవుతుంది.

→ కార్డినల్ సంఖ్య : పరిమిత సమితిలోని మూలకాల సంఖ్యను ఆ సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య అంటారు.
ఉదా : A = {1, 2, 4, 8, 16} అయిన
A యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య = 5 A సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను n(A) గా సూచిస్తాము.

గమనిక :

• శూన్య సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య సున్న (n (Φ) = 0).
• అపరిమిత సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను నిర్ణయించలేము.

→ ఉపసమితి, ఉన్నత సమితి : A సమితిలోనున్న ప్రతి మూలకము సమితి B లో . ఉంటే A సమితిని B యొక్క ఉపసమితి అని, B ని A యొక్క ఉన్నత సమితి అని అంటారు. దీనిని A ⊆ B గా రాస్తాము. A ⊆ B ని B ⊆ A గా కూడా రాయవచ్చును. ఉపసమితిని క్రింది విధంగా కూడా నిర్వచించవచ్చును.

A, B లు రెండు సమితులు. a ∈ A అయిన A ⊆ B ⇒ a ∈ B. a, A కి మూలకం అయి A, B కి ఉపసమితి అయితే a అనేది B కి కూడా మూలకం అవుతుంది.

ఉదా : A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} .
2 ∈ A, 2 ∈ B
4 ∈ A, 4 ∈ B
6 ∈ A, 6 ∈ B సమితి Aలోని మూలకాలన్నీ సమితి B లో కలవు. కావున A ⊂ B.

→ క్రమ ఉపసమితి (శుద్ధ ఉపసమితి) : A ⊆ B అయి A ≠ B అయితే ‘A’ ని Bకి క్రమ ఉపసమితి లేదా శుద్ధ ఉపసమితి అంటారు. దీనిని A ⊂ B గా సూచిస్తారు. A; B కి క్రమ ఉపసమితి కావాలంటే A లోని అన్ని మూలకాలు B లో ఉంటూ A లో లేనటువంటి కనీసం ఒక మూలకం B లో ఉండాలి.

ఉదా : A = {2, 4, 6}, B = {2, 4, 6, 8} A లోని మూలకాలన్నీ B లో కలవు మరియు Aలో లేని 8 అనే మూలకం B లో కలదు. కావున A సమితి B కి క్రమ ఉపసమితి అవుతుంది.
A ⊂ B. Ac B అయిన n(A) < n(B).

సూచన :

• శూన్యసమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి.
• ప్రతి సమితి దానికదే ఉపసమితి.
• n మూలకాలు కలిగిన సమితికి సాధ్యమయ్యే ఉపసమితుల సంఖ్య 2″ అవుతుంది.
• n మూలకాలు కలిగిన సమితికి సాధ్యమయ్యే క్రమ ఉపసమితుల సంఖ్య 2″ – 1 అవుతుంది.

→ విశ్వసమితి (సార్వత్రిక సమితి) : ఒక పరిశీలనలోకి తీసుకొన్న సతులన్నింటిని ఉపసమితులుగా కలిగిన సమితిని విశ్వసమితి లేదా సార్వత్రిక సమితి అంటారు. విశ్వసమితిని ∪ లేదా μ తో సూచిస్తారు.

ఉదా – 1: A = {8వ తరగతి విద్యార్థులు}
B = {9వ తరగతి విద్యార్థులు}
C = {10వ తరగతి విద్యార్థులు}
D = {పాఠశాలలోని విద్యార్థులు} అనుకొనుము.

A ⊂ D, B ⊂ D మరియు C ⊂ D. Dని విశ్వసమితి అంటారు.
ఉదా – 2: A = {2, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 6, 8}
C = {1, 3, 5, 7, 9} అయితే విశ్వసమితి μ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} అవుతుంది.

→ సమసమితులు : A మరియు Bలలో ఒకే మూలకాలున్నట్లయితే A, B లను సమసమితులు అంటారు. A, B లు సమసమితులైతే, సమితి A లో గల మూలకాలన్నీ సమితి B లో, సమితి B లోని మూలకాలన్నీ సమితి A లో ఉంటాయి. A ⊂ B మరియు B ⊂ A ↔ A = B
A, B లు సమసమితులైతే n(A) = n(B).

ఉదా : A = {x: x అనేది 11 లోపు సరి సహజసంఖ్య}
B = {x : x అనేది 12 కన్నా తక్కువైన 2 యొక్క గుణిజం}.
A మరియు B సమితులు ఒకే మూలకాలు 2, 4, 6, 8, 10 లను కలిగి ఉంటాయి. A = B మరియు n(A) = n(B).
సూచన : n(A) = n(B) అయితే A, B లు సమసమితులు కాకపోవచ్చును.

→ వెన్ చిత్రాలు : సమితిని సంవృత వక్రంగా సూచిస్తూ, సమితిలోని మూలకాలన్నింటిని వక్రం లోపలి బిందువులుగా చూపిస్తాము. వీటిని “జాన్వెన్” అనే ఆంగ్ల గణితశాస్త్రవేత్త మొదటిసారిగా ఉపయోగించాడు. స్విట్జర్లాండ్ కు చెందిన లెనార్డు ఆయిలర్ కూడా వీటిని ఉపయోగించాడు. కావున వీనిని వెన్-ఆయిలర్ చిత్రాలు అని కూడా అంటారు.
సమితులను సూచించడానికి మనం ఏ సరళ సంవృత పటాన్నైనా ఉపయోగించవచ్చును. సాధారణంగా వెన్ చిత్రాలుగా దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు, త్రిభుజాలు, సంవృతవక్రాలు, వృత్తాలు, దీర్ఘవృత్తాలను ఉపయోగిస్తాము. విశ్వసమితి (μ) ను సాధారణంగా దీర్ఘచతురస్రంగా సూచిస్తాము.
(i) A = {1, 2, 3, 4, 5} అయితే సమితి Aని వెన్ చిత్రంగా ప్రక్క విధంగా సూచిస్తాము.

(ii) A ⊂ B ని వెన్ చిత్రంగా చూపడం :

→ సమితుల ప్రాథమిక పరిక్రియలు : సమితుల సమ్మేళనం, ఛేదనం, భేదాలను సమితుల ప్రాథమిక పరిక్రియలు అంటారు.

→ సమితుల సమ్మేళనం : A సమితిలోని మూలకాలతోపాటు ‘B సమితిలోని మూలకాలు చేర్చి వ్రాయగా వచ్చే నూతన సమితిని A, B ల సమ్మేళనం అంటారు. దీనిని A ∪ B తో సూచిస్తూ A యూనియన్ B అని చదువుతారు. అనగా A లో కాని లేక B లో కాని లేక రెండింటిలోకాని ఉన్న మూలకాలన్నింటిని కలిగిన సమితి A ∪ B.
A ∪ B = {x : x ∈ A లేదా x ∈ B}
A మరియు B సమితుల సమ్మేళనాన్ని వెన్ చిత్రంగా క్రింది విధంగా చూపిస్తాము.

షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతం A ∪ B ని సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ : A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7} అయిన A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

సూచన :

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ Φ = Φ ∪ A = A
• A ∪ μ = μ ∪ A = μ
• ACB అయితే A ∪ B = B
• A ⊂ A ∪ B మరియు B ⊂ A ∪ B

→ సమితుల ఛేదనం : A సమితి మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకాలతో ఏర్పడే నూతన సమితిని A, B ల ఛేదనం అంటారు. దీనిని A ∩ B తో సూచిస్తూ, A ఇంటర్ సెక్షన్ B గా చదువుతారు. అనగా A ∩ B అనే సమితి A మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది.
A ∩ B = {x : x ∈ A మరియు x ∈ B}

A మరియు B సమితుల ఛేదన వెన్ చిత్రం :

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం A ∩ B ని సూచిస్తుంది.
BAB ఉదా : A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7} అయిన A ∩ B = {3, 5, 7}. . .

సూచన :

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ Φ = Φ ∩ A = 0
• A ∩ u = A
• A ⊂ B అయితే A ∩ B = A.
• A ∩ BCA మరియు A ∩ B ⊂ B

→ వియుక్త సమితులు : A, B సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేకుంటే A, B సమితులను వియుక్త సమితులు అంటారు.
A, B లు వియుక్త సమితులైతే A ∩ B = d.
వియుక్త సమితుల వెన్ చిత్రం :

ఉదా : A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} A, B లలో కనీసం ఒక ఉమ్మడి మూలకం కూడా
∴ A, B లు వియుక్త సమితులు.

→ సమితుల భేదం : సమితి A కు మాత్రం చెంది, సమితి B కి చెందకుండా ఉండే మూలకాలతో ఏర్పడే సమితిని A, Bల భేదం అంటారు. అనగా A – B లోని మూలకాలు A లో మాత్రమే ఉంటాయి. కాని B లో ఉండవు.
A – B = {x: x ∈ A మరియు x ∉ B}

A, B ల భేదం – వెన్ చిత్రం :

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం A – B ని సూచిస్తుంది.

B, A ల భేదం – వెన్ చిత్రం

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం B – A ని సూచిస్తుంది.

సూచన :

• A – B ≠ B – A
• A – Φ = A
• Φ – A = Φ
• A ⊂ B.అయితే A – B = Φ
• A, B లు వియుక్త సమితులైతే A – B = A మరియు B – A = B.
• A – B; B – A మరియు A ∩ B లు వియుక్త సమితులు అవుతాయి.

కావున
(a) (A – B) ∩ (B – A) = Φ
(b) (A – B) ∩ (A ∩ B) = Φ
(c) (B – A) ∩ (A ∩ B) = Φ

→ n(A), n(B), n(A ∪ B), n (A ∩ B) ల మధ్యగల సంబంధము :

• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
• A, B లు వియుక్త సమితులైతే n(A ∩ B) = 0 అవుతుంది.
  ∴ n (A ∪ B) = n (A) + n(B).