Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు to understand and remember the concept easily.
AP Board 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు
→ జార్జి కాంటర్: 1845 -1918:
- జార్జికాంటర్ మార్చి 3, 1845న రష్యాలో జన్మించి, పదకొండేళ్ళ వయస్సులో తండ్రితో పాటు జర్మనీకి వలస వెళ్ళాడు.
- కాంటర్ ఆధునిక గణితం అనేక శాఖలుగా అభివృద్ధి చెందడానికి ఆధారమైన సమితి వాదాన్ని ప్రతిపాదించి, అభివృద్ధిపరచి ఆధునిక గణిత భాషకు ఆద్యుడైనాడు. కాంటర్ సమితివాద శక్తి గణిత శాఖలన్నింటిని ఏకీకృతం చేయడంలో ప్రధానపాత్ర వహిస్తోంది.
- “ఊహించగల, సంభవించగల ఆలోచనల రూపమే సమితి” అన్న కాంటర్ భావనను ఆనాటి సాంప్రదాయవాదులు ఒక నూతన గణితానికి ఆరంభంగా అంగీకరించలేక పోయారు. అదసలు గణితమే కాదన్నారు. కాంటర్ ప్రతిపాదనలు, ఆలోచనలు కొత్తవిగాను, వింతగాను భావించిన సహచరులు నిరుత్సాహపరచడం, అగౌరవపరచడం చేసేవారు.
- కోవలోనే తన గురువు క్రోనేకర్ కూడా ఉండటంతో సున్నితమనస్కుడైన కాంటర్ తట్టుకోలేకపోయాడు. తన సిద్ధాంతాలపట్ల సమకాలీన గణిత ప్రపంచంలో ఏర్పడిన వైరుధ్యాల ఒత్తిడికి నిలవలేక మానసిక ఆరోగ్యం కోల్పోయి, చివరకు జనవరి 6, 1918లో మరణించాడు. “కాంటర్ మనకోసం గణిత ప్రపంచంలో ఓ స్వర్గం సృష్టించి, అనుభవించ లేక పిచ్చివాడయ్యా డు”. – డేవిడ్ హిలిబర్ట్
→ సమితి’: సునిర్వచిత వస్తువుల సముదాయాన్ని సమితి అంటారు.
సునిర్వచితం అనగా : 1. సమితిలోని వస్తువులన్నీ ఒకే విధమైన సామాన్య పోలిక లేదా ధర్మం కలిగి ఉండాలి. మరియు 2. ఏదైనా ఒక వస్తువు సమితికి చెందినది, లేనిదీ నిర్ధారించేటట్లు ఉండాలి.
→ సమితులను ఆంగ్ల భాషలోని పెద్ద అక్షరాలతో సూచిస్తారు.
ఉదా : A అనేది 6 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్యల సమితి. A = {1, 2, 3, 4, 5}
→ సమితికి చెందిన వస్తువులను ఆ సమితి యొక్క మూలకాలు అంటారు.
ఉదా : A = {1, 2, 3, 4, 5} అయిన 1, 2, 3, 4, 5 అనేవి సమితి A యొక్క మూలకాలు.
→ ఒక మూలకము ఒక సమితికి చెందినది అని తెలుపుటకు 6 (belonging to) గుర్తుని ఉపయోగిస్తారు.
B = {2, 4, 6, 8} అయిన 2 ∈ B, 4 ∈ B, 6 ∈ B, 8 ∈ B,
10 ∉ B అనగా B అనే సమితికి 10 చెందదు అని అర్థం.
→ సమితులను సూచించే /రాసే పద్ధతులు : సమితులను సాధారణంగా
- రోస్టర్ రూపం (జాబితా రూపం),
- సమితి నిర్మాణ రూపం (లాక్షణిక రూపం) మరియు
- వెన్ చిత్రాల రూపంలో సూచిస్తారు.
→ రోస్టర్ రూపం : సమితిలోని మూలకాలన్నింటిని వరుసగా కామా (,) లతో వేరు చేస్తూ జాబితాగా రాసి ఫ్లవర్ బ్రాకెట్ { } ల మధ్యలో రాసే పద్ధతి.
→ రోస్టర్ రూపంలో మూలకాలను ఏ క్రమంలోనైనా రాయవచ్చును మరియు ఒకే మూలకాన్ని మళ్ళీ మళ్ళీ రాయకూడదు.
ఉదా : A అనే సమితి SCHOOL లోని అక్షరాలతో ఏర్పడే సమితి.
- A = {S, C, H, O, L} లేదా
- A = {C, H, L, O, S} లేదా
- A = {L, 0, H, C, S} …… గా రాయవచ్చు.
- A = {S, C, H, 0, 0, L} గా రాయకూడదు.
→ సమితి నిర్మాణ రూపం : సమితికి చెందిన మూలకాల సామాన్య లక్షణం లేదా ధర్మాలను తెలియజేస్తూ రాసే పద్ధతిని ‘సమితి నిర్మాణ రూపం అంటారు. సమితిలోని మూలకాన్ని x గా సూచిస్తూ, .x ప్రక్కన / గాని, : గాని ఉంచి ఆ సమితికి చెందిన మూలకాల యొక్క లక్షణాలు లేదా ధర్మాలను గాని రాస్తాము. మొత్తాన్ని ఫ్లవర్ బ్రాకెట్లలో { } ఉంచుతాము. ఉదా : సమితి P 13 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యల సమితి.
P= {x/ X అనేది 13 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య } లేదా
P = {x : X అనేది 13 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య }
→ సమితుల రకాలు :
శూన్య సమితి : ఎలాంటి మూలకాలు లేనటువంటి సమితిని శూన్యసమితి అంటారు. శూన్యసమితిని (phi) లేదా { } తో సూచిస్తారు.
ఉదా : A = {x : X అనేది 1 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్య}
B = {x: X అనేది సంవత్సరంలో 35 రోజులు గల నెల}
C = {x : x = 3, X ఒక అకరణీయ సంఖ్య }
సూచన : Φ, {Φ} మరియు {0} లు వేర్వేరు సమితులు. {Φ}, {0} అనేవి శూన్య సమితులు కావు. ఎందుకనగా {Φ} లో ‘Φ’ అనే మూలకము, { 0 } లో ‘0’ అనే మూలకము ఉన్నాయి.
→ పరిమిత సమితి : పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగిన సమితిని పరిమిత సమితి అంటారు. అంటే పరిమిత సమితిలోని మూలకాలను లెక్కించగలమన్న మాట.
ఉదా : A = {తరగతిలోని విద్యార్థులు}
B = {a, b, c, d, e, ………., x, y, z}
C = {x : X అనేది 10 కన్నా తక్కువైన సహజసంఖ్య }
→ అపరిమిత సమితి : మూలకాల సంఖ్య అపరిమితంగా గల సమితిని అపరిమిత సమితి అంటారు.
ఉదా : E = {x: X ఒక సరిసంఖ్య }
G = {x : X అనేది 5 యొక్క గుణిజము}
గమనిక : ఒక సమితి పరిమిత సమితి కాకపోతే అపరిమిత సమితి అవుతుంది.
→ కార్డినల్ సంఖ్య : పరిమిత సమితిలోని మూలకాల సంఖ్యను ఆ సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య అంటారు.
ఉదా : A = {1, 2, 4, 8, 16} అయిన
A యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య = 5 A సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను n(A) గా సూచిస్తాము.
గమనిక :
- శూన్య సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య సున్న (n (Φ) = 0).
- అపరిమిత సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను నిర్ణయించలేము.
→ ఉపసమితి, ఉన్నత సమితి : A సమితిలోనున్న ప్రతి మూలకము సమితి B లో . ఉంటే A సమితిని B యొక్క ఉపసమితి అని, B ని A యొక్క ఉన్నత సమితి అని అంటారు. దీనిని A ⊆ B గా రాస్తాము. A ⊆ B ని B ⊆ A గా కూడా రాయవచ్చును. ఉపసమితిని క్రింది విధంగా కూడా నిర్వచించవచ్చును.
A, B లు రెండు సమితులు. a ∈ A అయిన A ⊆ B ⇒ a ∈ B. a, A కి మూలకం అయి A, B కి ఉపసమితి అయితే a అనేది B కి కూడా మూలకం అవుతుంది.
ఉదా : A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} .
2 ∈ A, 2 ∈ B
4 ∈ A, 4 ∈ B
6 ∈ A, 6 ∈ B సమితి Aలోని మూలకాలన్నీ సమితి B లో కలవు. కావున A ⊂ B.
→ క్రమ ఉపసమితి (శుద్ధ ఉపసమితి) : A ⊆ B అయి A ≠ B అయితే ‘A’ ని Bకి క్రమ ఉపసమితి లేదా శుద్ధ ఉపసమితి అంటారు. దీనిని A ⊂ B గా సూచిస్తారు. A; B కి క్రమ ఉపసమితి కావాలంటే A లోని అన్ని మూలకాలు B లో ఉంటూ A లో లేనటువంటి కనీసం ఒక మూలకం B లో ఉండాలి.
ఉదా : A = {2, 4, 6}, B = {2, 4, 6, 8} A లోని మూలకాలన్నీ B లో కలవు మరియు Aలో లేని 8 అనే మూలకం B లో కలదు. కావున A సమితి B కి క్రమ ఉపసమితి అవుతుంది.
A ⊂ B. Ac B అయిన n(A) < n(B).
సూచన :
- శూన్యసమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి.
- ప్రతి సమితి దానికదే ఉపసమితి.
- n మూలకాలు కలిగిన సమితికి సాధ్యమయ్యే ఉపసమితుల సంఖ్య 2″ అవుతుంది.
- n మూలకాలు కలిగిన సమితికి సాధ్యమయ్యే క్రమ ఉపసమితుల సంఖ్య 2″ – 1 అవుతుంది.
→ విశ్వసమితి (సార్వత్రిక సమితి) : ఒక పరిశీలనలోకి తీసుకొన్న సతులన్నింటిని ఉపసమితులుగా కలిగిన సమితిని విశ్వసమితి లేదా సార్వత్రిక సమితి అంటారు. విశ్వసమితిని ∪ లేదా μ తో సూచిస్తారు.
ఉదా – 1: A = {8వ తరగతి విద్యార్థులు}
B = {9వ తరగతి విద్యార్థులు}
C = {10వ తరగతి విద్యార్థులు}
D = {పాఠశాలలోని విద్యార్థులు} అనుకొనుము.
A ⊂ D, B ⊂ D మరియు C ⊂ D. Dని విశ్వసమితి అంటారు.
ఉదా – 2: A = {2, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 6, 8}
C = {1, 3, 5, 7, 9} అయితే విశ్వసమితి μ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} అవుతుంది.
→ సమసమితులు : A మరియు Bలలో ఒకే మూలకాలున్నట్లయితే A, B లను సమసమితులు అంటారు. A, B లు సమసమితులైతే, సమితి A లో గల మూలకాలన్నీ సమితి B లో, సమితి B లోని మూలకాలన్నీ సమితి A లో ఉంటాయి. A ⊂ B మరియు B ⊂ A ↔ A = B
A, B లు సమసమితులైతే n(A) = n(B).
ఉదా : A = {x: x అనేది 11 లోపు సరి సహజసంఖ్య}
B = {x : x అనేది 12 కన్నా తక్కువైన 2 యొక్క గుణిజం}.
A మరియు B సమితులు ఒకే మూలకాలు 2, 4, 6, 8, 10 లను కలిగి ఉంటాయి. A = B మరియు n(A) = n(B).
సూచన : n(A) = n(B) అయితే A, B లు సమసమితులు కాకపోవచ్చును.
→ వెన్ చిత్రాలు : సమితిని సంవృత వక్రంగా సూచిస్తూ, సమితిలోని మూలకాలన్నింటిని వక్రం లోపలి బిందువులుగా చూపిస్తాము. వీటిని “జాన్వెన్” అనే ఆంగ్ల గణితశాస్త్రవేత్త మొదటిసారిగా ఉపయోగించాడు. స్విట్జర్లాండ్ కు చెందిన లెనార్డు ఆయిలర్ కూడా వీటిని ఉపయోగించాడు. కావున వీనిని వెన్-ఆయిలర్ చిత్రాలు అని కూడా అంటారు.
సమితులను సూచించడానికి మనం ఏ సరళ సంవృత పటాన్నైనా ఉపయోగించవచ్చును. సాధారణంగా వెన్ చిత్రాలుగా దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు, త్రిభుజాలు, సంవృతవక్రాలు, వృత్తాలు, దీర్ఘవృత్తాలను ఉపయోగిస్తాము. విశ్వసమితి (μ) ను సాధారణంగా దీర్ఘచతురస్రంగా సూచిస్తాము.
(i) A = {1, 2, 3, 4, 5} అయితే సమితి Aని వెన్ చిత్రంగా ప్రక్క విధంగా సూచిస్తాము.
(ii) A ⊂ B ని వెన్ చిత్రంగా చూపడం :
→ సమితుల ప్రాథమిక పరిక్రియలు : సమితుల సమ్మేళనం, ఛేదనం, భేదాలను సమితుల ప్రాథమిక పరిక్రియలు అంటారు.
→ సమితుల సమ్మేళనం : A సమితిలోని మూలకాలతోపాటు ‘B సమితిలోని మూలకాలు చేర్చి వ్రాయగా వచ్చే నూతన సమితిని A, B ల సమ్మేళనం అంటారు. దీనిని A ∪ B తో సూచిస్తూ A యూనియన్ B అని చదువుతారు. అనగా A లో కాని లేక B లో కాని లేక రెండింటిలోకాని ఉన్న మూలకాలన్నింటిని కలిగిన సమితి A ∪ B.
A ∪ B = {x : x ∈ A లేదా x ∈ B}
A మరియు B సమితుల సమ్మేళనాన్ని వెన్ చిత్రంగా క్రింది విధంగా చూపిస్తాము.
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతం A ∪ B ని సూచిస్తుంది.
ఉదాహరణ : A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7} అయిన A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}
సూచన :
- A ∪ B = B ∪ A
- A ∪ Φ = Φ ∪ A = A
- A ∪ μ = μ ∪ A = μ
- ACB అయితే A ∪ B = B
- A ⊂ A ∪ B మరియు B ⊂ A ∪ B
→ సమితుల ఛేదనం : A సమితి మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకాలతో ఏర్పడే నూతన సమితిని A, B ల ఛేదనం అంటారు. దీనిని A ∩ B తో సూచిస్తూ, A ఇంటర్ సెక్షన్ B గా చదువుతారు. అనగా A ∩ B అనే సమితి A మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది.
A ∩ B = {x : x ∈ A మరియు x ∈ B}
A మరియు B సమితుల ఛేదన వెన్ చిత్రం :
షేడ్ చేసిన ప్రాంతం A ∩ B ని సూచిస్తుంది.
BAB ఉదా : A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7} అయిన A ∩ B = {3, 5, 7}. . .
సూచన :
- A ∩ B = B ∩ A
- A ∩ Φ = Φ ∩ A = 0
- A ∩ u = A
- A ⊂ B అయితే A ∩ B = A.
- A ∩ BCA మరియు A ∩ B ⊂ B
→ వియుక్త సమితులు : A, B సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేకుంటే A, B సమితులను వియుక్త సమితులు అంటారు.
A, B లు వియుక్త సమితులైతే A ∩ B = d.
వియుక్త సమితుల వెన్ చిత్రం :
ఉదా : A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} A, B లలో కనీసం ఒక ఉమ్మడి మూలకం కూడా
∴ A, B లు వియుక్త సమితులు.
→ సమితుల భేదం : సమితి A కు మాత్రం చెంది, సమితి B కి చెందకుండా ఉండే మూలకాలతో ఏర్పడే సమితిని A, Bల భేదం అంటారు. అనగా A – B లోని మూలకాలు A లో మాత్రమే ఉంటాయి. కాని B లో ఉండవు.
A – B = {x: x ∈ A మరియు x ∉ B}
A, B ల భేదం – వెన్ చిత్రం :
షేడ్ చేసిన ప్రాంతం A – B ని సూచిస్తుంది.
B, A ల భేదం – వెన్ చిత్రం
షేడ్ చేసిన ప్రాంతం B – A ని సూచిస్తుంది.
సూచన :
- A – B ≠ B – A
- A – Φ = A
- Φ – A = Φ
- A ⊂ B.అయితే A – B = Φ
- A, B లు వియుక్త సమితులైతే A – B = A మరియు B – A = B.
- A – B; B – A మరియు A ∩ B లు వియుక్త సమితులు అవుతాయి.
కావున
(a) (A – B) ∩ (B – A) = Φ
(b) (A – B) ∩ (A ∩ B) = Φ
(c) (B – A) ∩ (A ∩ B) = Φ
→ n(A), n(B), n(A ∪ B), n (A ∩ B) ల మధ్యగల సంబంధము :
- n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
- A, B లు వియుక్త సమితులైతే n(A ∩ B) = 0 అవుతుంది.
∴ n (A ∪ B) = n (A) + n(B).