AP 10th Class Maths Notes 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

→ ఆర్యభట్ట క్రీ.శ. 476 మార్చి 21

• ఆర్యభట్ట క్రీ.శ. 476 మార్చి 21 న పాటలీపుత్రంలో జన్మించాడు. ఆర్యభట్ట భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో అతిప్రసిద్ధుడు. ఆర్యభట్టీయం గ్రంథ రచనతో ఇతడు ప్రసిద్ధికెక్కాడు.
• π = \(\frac{62832}{20000}\) = 3.1416 అని, అది ఎల్లప్పుడు స్థిరమని, అయితే ఆ π విలువ ఉజ్జాయింపు మాత్రమేనని చెప్పడం ద్వారా విలువను మొదటి నాలుగు దశాంశాల వరకు ఇవ్వడమే గాక, అది అకరణీయ సంఖ్యకాదు అని ప్రపంచానికి మొదటి సారిగా తెలియజేశాడు.
• ఇతడు ax + by = c (a, b, c లు పూర్ణసంఖ్యలు) వంటి సాధారణ సమీకరణాలను “పల్వరైజర్” అనే పద్ధతి ద్వారా సాధించాడు. ఆర్యభట్టకు ముందే మనకు గణితం ఉన్నప్పటికి, ఆ కాలం తర్వాత భారతీయ గణిత పునర్జీవనం ఆర్యభటతోనే ప్రారంభమైనదనవచ్చును. ఒక ప్రామాణిక గణిత గ్రంథ రచనకు ఆద్యుడు ఆర్యభట్ట.
• భారతదేశం ప్రయోగించిన మొదటి ఉపగ్రహానికి ఇతని పేరునే “ఆర్యభట్ట”గా నామకరణం చేశారు.

→* రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం : రెండు చరరాశులతో కూడియున్న ప్రథమ పరిమాణ సమీకరణాన్ని రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం అంటారు.
ఉదా : 5x + 7y = 3 సాధారణంగా ax + by + c = 0 రూపంలో ఉండి a, b,c లు వాస్తవ సంఖ్యలై a² + b² ≠ 0 అయ్యేటట్లు
ఉన్న సమీకరణాన్ని రెండు చరరాశులు x, y లలో రేఖీయ సమీకరణం అంటారు. (a² + b² ≠ 0, a, b ∈ R , కావాలంటే a, b లలో కనీసం ఒకటైనా సున్న కాకూడదు.)

→ రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత : a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + C₂ = 0. a₁, a₂, b₁, , b₂, c₁, c₂, లు వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0 రూపంలో గల రేఖీయ సమీకరణాల ద్వయాన్ని రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు.

→ రేఖీయ సమీకరణాల జత సాధన : రెండు చరరాశులలోని, రేఖీయ సమీకరణాల జతను ఉమ్మడిగా తృప్తిపరచే x, y విలువలను రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన అంటారు.

ఉదా : x + 2y = 8 మరియు 3x – 4y = 4.
పై రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు రెండు చరరాశులలో ఒక రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచిస్తాయి.

• x = 4, y = 2 విలువలు x + 2y = 8లో రాయగా 4 + 2(2)= 8 అలాగే, 3x – 4y = 4 లో రాయగా 3(4) – 4(2) = 12 – 8 = 4.
• x = 4, y = 2, రేఖీయ సమీకరణాల జతలోని రెండు సమీకరణాలను తృప్తి పరుస్తున్నాయి. కావున X = 4, y = 2.
• x + 2y = 8 మరియు 3x – 4y = 4 అనే రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన అవుతుంది.

→ రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత-రకాలు : రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలు రెండు రకాలు.

1. సంగత రేఖీయ సమీకరణాలు
2. అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు

→ సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత : కనీసం ఒక సాధననైనా కలిగివున్న రేఖీయ సమీకరణాల జతను సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు. సంగత సమీకరణాలు రెండు రకాలు : అవి :

1. పరస్పర స్వతంత్ర సమీకరణాల జత
2. పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత

→ పరస్పర స్వతంత్ర సమీకరణాల జత ఒకే ఒక సాధనను కలిగి ఉంటుంది. a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 లు పరస్పర స్వతంత్ర సమీకరణాల జత అయితే \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)

→ ‘పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అనంతమైన సాధనలు కలిగి ఉంటుంది. a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₁x + b₁y + c₁ = 0 లు పరస్పరాధారితాలైతే ఆ \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) పరస్పరాధారిత సమీకరణాలలో ఒక సమీకరణాన్ని ఒక స్థిరసంఖ్యతో గుణించడం వలన మరొకటి వస్తుంది.
ax + by + c = 0 మరియు kax + kby + kc = 0, k ≠ 0 లు పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అవుతుంది. పరస్పం ఖీ య సమీకరణాల జత ax + by + c = 0 మరియు k (ax + by + c) = 0 రూపంలో ఉంటుంది.

→ పరస్పర స్వతంత్ర సమీకరణాల జత రెండు ఖండన రేఖలను సూచిస్తే, పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రెండు రేఖలను సూచిస్తుంది.

→ అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత : సాధన లేనటువంటి రేఖీయ సమీకరణాల జతను అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు. a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 లు ఒక అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచిస్తే a
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత రెండు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుంది.
అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధన సమితి శూన్యసమితి అవుతుంది.

→ రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధనను కనుగొనే పద్ధతులు :

1. జ్యా మితీయ పద్ధతి లేక గ్రాఫ్ పద్ధతి
2. బీజీయ పద్ధతులు
   • ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి
   • చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి
   • చరరాశిని పోల్చు పద్ధతి
   • సూత్రపద్ధతి (అడ్డ గుణకార పద్ధతి) మొదలగు పద్ధతులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధనను కనుగొంటారు.

→ జ్యా మితీయ పద్ధతి (లేక) గ్రాఫ్ పద్ధతి : ax + by + C= 0 అనే రేఖీయ సమీకరణం జ్యా మితీయంగా ఒక సరళరేఖను సూచిస్తుంది. ఈ రేఖపై గల వాస్తవ సంఖ్యాక్రమయుగ్మాలు (x, y) అన్నీ రేఖీయ సమీకరణం యొక్క సాధనలు అవుతాయి.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 అనే సమీకరణాల జత, ఒక తలంలో రెండు సరళరేఖలను సూచిస్తుంది. ఈ రెండు సరళరేఖలపై ఉమ్మడిగా గల క్రమయుగ్మాలు (x, y) రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధనలు అవుతాయి.
ఒక తలంలో రెండు సరళరేఖలు ఉంటే క్రింది మూడు సందర్భాలలో ఒకటి మాత్రమే సాధ్యము.

→ సందర్భం 1 – ఖండనరేఖలు :

రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత ఖండించుకొనే రేఖలను సూచిస్తుంది. ఈ రేఖల ఖండ బిందువు (x, y) రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో ు a₁x + by₁+c₁ మరియ a₂x + b₂y + c = 0 సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అవుతుంది \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) అవుతుంది.

→ సందర్భం 2 – సమాంతర రేఖలు :

రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత ఒక సమాంతర రేఖల జతను సూచిస్తుంది. ఇటువంటి రేఖలకు . ఉమ్మడి బిందువులు ఉండవు. అనగా రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఉండదు. కావున రేఖీయ సమీకరణాల జత a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 -అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) అవుతుంది.

→ సందర్భం 3 – ఏకీభవించే రేఖలు :

రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రెండు రేఖలను సూచిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో సరళరేఖపై గల ప్రతి బిందువు రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన అవుతుంది. అనగా రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి. a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0లు సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచిస్తాయి. మరియు పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అవుతుంది. \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అవుతుంది.
L₁ = ax + by + c = 0 అయి L₁, L₂లు పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అయితే L₂ = KL₁అవుతుంది. K ∈ R
∴ L₂ = k (ax + by + c) = 0.

→ గ్రాఫ్ పద్ధతిలో రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలను సాధించే సోపాన క్రమము :
L₁ = a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు L₂ = a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జత అయితే.

→ సోపానం 1 : y ని X పదాలలో రాయాలి.
y = \(\frac{-\left(a_{1} x+c_{1}\right)}{b_{1}}\)
y = \(\frac{-\left(a_{2} x+c_{2}\right)}{b_{2}}\)

సోపానం 2 : x యొక్క కనీసం రెండు విలువలకు సోపానం 1 నుండి y యొక్క విలువను రెండు సమీకరణాలకు . వేర్వేరుగా లెక్కించి ప్రతి రేఖ యొక్క క్రమయుగ్మాలు (x,y) రాయాలి.

సోపానం 3 : 2వ సోపానంలో పొందిన బిందువులను గ్రాఫ్ పై గుర్తించి రెండు సరళరేఖలు L₁, మరియు L₂ లను గీయాలి.

సోపానం 4 :

• సోపానం 3లోని సరళరేఖలు L₁ మరియు L₂లు ఖండన రేఖలు అయి ఖండన బిందువు (α, β) అయితే (x = α) అయితే మరియు (y = β)ను సాధనగా రాయాలి.
• L₁, L₂ రేఖలు సమాంతరాలైతే ఉమ్మడిబిందువులు ఉండవు కావున సాధన లేదని గుర్తించాలి.
• L₁, L₂ లు ఏకీభవించే రేఖలైతే రేఖ పై గల ప్రతి బిందువు సాధన అవుతుంది. అనంత సాధనలు కలిగి ఉంటాయని గుర్తించాలి.

గమనిక : సరళరేఖ గీయడానికి మూడు బిందువులను కనుగొనడం ఒక ఉత్తమ పద్ధతి.

→ బీజీయ పద్దతులు : a) ప్రతిక్షేపణ పద్దతి : రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలోని ఒక సమీకరణంలోని ఒక చరరాశిని మరొక చరరాశి పదాలలో రాసి, తద్వారా రెండవ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి సాధనను కనుగొంటాము.

ఈ విధానంలోని సోపానాలక్రమం :

• సోపానం 1 : ఒక సమీకరణంలో ఒక చరరాశిని వేరొక చరరాశి పదాలలో రాయాలి. అనగా ‘ ని x పదాలలో లేదా x ని y పదాలలో రాయాలి.
• సోపానం 2 : సోపానం 1లో వచ్చిన చరరాశి లేదా x విలువను రెండవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
• సోపానం 3 : సోపానం 2లో వచ్చిన సమీకరణాన్ని సూక్ష్మీకరించి x లేదా y విలువను కనుగొనాలి.
• సోపానం 4 : సోపానం 3లో వచ్చిన x లేదా y విలువలను ఇచ్చిన ఏదో ఒక సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి y లేదా x ను సాధించాలి.
• సోపానం 5 : వచ్చిన సాధన x, y విలువలు రెండవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి సరిచూసుకోవాలి.

ఉదాహరణ : x + 2y – 7 = 0, 4x – 3y – 6 = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిలో సాధిద్దాము.
సాధన : x + 2y – 7 = 0. ………………. (1)
4x – 3y- 6 = 0 ……………… (2)
(1) నుండి x = 7-2y (సోపానం 1)
x = 7 – 2yని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
4(7- 2y) – 3y- 6 = 0 (సోపానం 2)
28 – 8y – 3y – 6 = 0
22 – 11y = 0
-11y = -22
11y = 22,

y= 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా

4x – 3 (2) – 6 = 0
4x – 6 – 6 = 0
4x – 12 = 0
4x = 12

సాధన : x = 3, y = 2
సరిచూడటం :
x = 3, y = 2 ను (1) లో రా యగా
3 + 2(2) – 7 = 0
3 + 4 -7 = 0
7 – 7 = 0
0 = 0 (సోపానం 5)
∴ సాధన X= 3, y = 2 (1) ని సంతృప్తిపరుస్తున్నది.

(b) చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి :
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలోని రెండు సమీకరణాలలోను ఒక చరరాశి గుణకాలను సమానం చేయడం ద్వారా ఆ చరరాశిని తొలగిస్తాము. దీని వలన ఏక చరరాశిలో ఒకే రేఖీయ సమీకరణం ఏర్పడుతుంది. దీనిని సాధించడం ద్వారా రెండవ చరరాశి వస్తుంది. ఈ చరరాశి సహాయంతో మొదట తొలగించిన చరరాశిని కనుగొంటాము.

గమనిక : సాధారణంగా రెండు సమీకరణాలలోను తొలగించాల్సిన చరరాశి యొక్క గుణకాలను, గుణకాల యొక్క క.సా.గు.కు సమానం అయ్యేటట్లు పెంచుతాము. ఈ పద్ధతి మోడల్ పద్ధతిని పోలి ఉంటుంది.

ఈ విధానంలో సోపాన క్రమం :

• సోపానం 1 : ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలను
  a₁x + b₁y = c₁
  a₂x + b₂y = c₂, గా రా యాలి.
• సోపానం 2 : రెండు సమీకరణాలను సరియగు వాస్తవసంఖ్యతో గుణించి తొలగించాల్సిన చరరాశి గుణకాలను వాని క.సా.గుకు సమానం చేయాలి.
• సోపానం 3 : 2వ సోపానంలోని రెండు సమీకరణాలలోని తొలగించాల్సిన చరరాశి గుణకాలు ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటే ‘ఒక సమీకరణం నుండి మరొక సమీకరణాన్ని తీసివేయడం ద్వారా మనకు ఏక చరరాశి రేఖీయ సమీకరణం వస్తుంది. అదే గుణకాలకు వ్యతిరేక గుర్తులు ఉంటే కూడాలి.
• సోపానం 4 : సోపానం 3 లోని ఏక చరరాశి రేఖీయ సమీకరణాన్ని సాధించి చరరాశి విలువను రాబట్టాలి.
• సోపానం 5 : సోపానం 4లో వచ్చిన చరరాశి. సహాయంతో ఇచ్చిన ఏదో ఒక సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి 3వ సోపానంలో తొలగించిన చరరాశిని రాబట్టాలి.
• సోపానం 6 : చరరాశి విలువలను రెండవ సమీకరణాలలో ప్రతిక్షేపించి సరిచూసుకోవాలి.

ఉదాహరణ : x + 2y – 7 = 0, 4x – 3y — 6 = 0
లను చరరాశి తొలగింపు పద్ధతిలో సాధిద్దాము.
సాధన : x + 2y = 1 …………… (1)
4x – 3y = 6 …………… (2)
రెండు సమికరణాల నుండి y ని తొలగిద్దాము y గుణకాలు 2, 3 ల క.సా.గు 6. . . . .

X = 3ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా –
3 + 2y = 7
2y = 7 – 3 ⇒ 2y = 4
y = \(\frac{4}{2}\) = 2
సాధన X = 3, V = 2. . (సోపానం 5)

సరిచూడటం :
x = 3, y = 2ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
4(3) – 3 (2) = 6
12 – 6 = 6
6 = 6
∴ సాధన x = 3, y = 2 (2)వ సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తున్నది.

గమనిక : సోపానం 2, సోపానం 3 లను సోపానం 4 (సోపానం 1) లోని కనుగొన్న చరరాశి తర్వాత కనుగొనాల్సిన మరొక రెండు సమీకరణాల నుండి ని తొలగిద్దాము. చరరాశికి కూడా పునరావృతం చేసి రెండవ చరరాశిని కనుగొనవచ్చును. ఇది సోపానం 5 అవుతుంది.

ఉదాహరణ : పై ఉదాహరణలో 4వ సోపానంలో x = 3 కనుగొన్న తర్వాత y కోసం క్రింది విధంగా కూడా ప్రయత్నించవచ్చును.

∴ సాధన x = 3, y = 2.

* c) చరరాశిని పోల్చు పద్దతి : రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలో రెండు సమీకరణాలోని ఒక చరరాశిని మరొక చరరాశి పదాలలో రాశి పోల్చడం ద్వారా సాధిస్తాము.
సాధన సోపాన క్రమము .
a₁x + b₁y + c₁ = o …………..(1)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 ………….. (2)

సోపానం 1 : ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి
(1) ⇒ y = \(\frac{-\left(a_{1} x+c_{1}\right)}{b_{1}}\)
(2) ⇒ y = \(\frac{\left(a_{2} x+c_{2}\right)}{b_{2}}\) గా రాయాలి
సోపానం 2 : సోపానం 1 లోని y విలువలను సమానం చేసి Xలో ఏక చరరాశి సమీకరణాన్ని రాబట్టాలి.
సోపానం 3 : సోపానం 2లోని ఏక చరరాశి సమీకరణాల నుండి X విలువను కనుగొనాలి.
సోపానం 4: X విలువ సహాయంతో (1) వ సోపానంలోని ఏదేని సమీకరణం నుండి y విలువను కనుగొనాలి. సోపానం 5 : సాధనను సరిచూసుకోవాలి.
ఉదాహరణ : x + 2y – 7 = 0, 4x – 3y – 6 = 0 లను చరరాశి పోల్చు పద్ధతిలో సాధిద్దాము.

సాధన : x + 2y-7 = 0. ………… (1)
4x – 3y – 6 = 0 …………(2)
(1) ⇒ 2y = 7 – x
y = \(\frac{7-x}{2}\) …………(3)
(2) ⇒ 3y = 6 – 4x
3y = 4x – 6
x = \(\frac{4 x-6}{3}\)………. (4) (1వ సోపానం)
(3) మరియు (4) ల నుండి
3 (7 – x) = 2 (4x – 6)
21 – 3x = 8x – 12 (2వ సోపానం)
11x = 33
x = \(\frac{33}{11}\) = 3 (3వ సోపానం)
3 ను (3) లో రాయగా
\(\frac{7-3}{2} \quad \frac{4}{2}\) = 2 (4వ సోపానం) .
సాధన x = 3 , y = 2
సరిచూడటం ఇంతకు మునుపు పద్ధతులలో లాగానే ‘ చేయాలి. (5వ సోపానం)

(d) సూత్ర పద్ధతి (అడ్డగుణకార పద్ధతి)
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 లు రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు అయితే
x = \(\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\)
y = \(\frac{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\)
a₁b₂ – a₂b₁ # 0 అనే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సాధనను కనుగొంటాము.
(లేదా )
x, y గుణాకాలను కింది విధంగా రాసుకొని అడ్డ గుణాకార పద్ధతిలో సాధిస్తాము

దీని నుండి సూక్ష్మీకరిస్తే పై సూత్రాలు వస్తాయి

ఉదాహరణ : x + 2y – 7 = 0
4x – 3y – 6 = 0
సమీకరణాల జతను సూత్ర పద్ధతిలో సాధిద్దాము

సాధన : a, = 1, b, = 2, c = -7
a = 4, b) = -3, c, = -6

\(\frac{y}{-22}=\frac{1}{-11} \Rightarrow y=\frac{-22}{-11}\) = 2
సాధన x = 3, y = 2.

→ రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలుగా మార్చగలిగే సమీకరణాల సాధన :
a₁x +b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 రూపంలో లేని కొన్ని సమీకరణాల జతలను కొన్ని ప్రత్యేక ప్రతిక్షేపణలు లేదా సూక్ష్మీకరణాల ద్వారా వాటిని రేఖీయ సమీకరణాలుగా మార్చి సాధించవచ్చును.

ఉదా : \(\frac{3}{x}-\frac{1}{y}\) = -9 మరియు \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) =5
\(\frac{1}{x}\) = u, \(\frac{1}{y}\) = v గా తీసుకొని పై సమీకరణాలలో రాయగా,. పై సమీకరణాలు 3u – v = -9 మరియు 2u + 3v = 5 అనే u, v లలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలుగా మారుతాయి.

ఉదా : \(\frac{x+y}{x y}\) = 2 మరియు \(\frac{x-y}{x y}\) = 6 లను సాధిద్దాము.
సాధన. \(\frac{x}{x y}+\frac{-y}{x y}\) = 2 మరియు \(\frac{x}{x y}-\frac{-y}{x y}\) = 6 గా రాసి సూక్ష్మీకరిస్తాము.

అపుడు \(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\) = 2 మరియు\(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\) – 6
\(\frac{1}{y}\) =u, \(\frac{1}{x}\) = v అనుకొందాం. అపుడు u + v = 2 మరియు u – V = 6 అనే u, v లలో రేఖీయ సమీకరణాల జతగా మారుతాయి.