Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు to understand and remember the concept easily.
AP Board 6th Class Maths Notes 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు
→ ద్విమితీయ ఆకారాలు (2D ఆకారాలు) :
చదునైన ఉపరితలంపై ఉండే కాగితం, బోర్డు, చాప మొదలైన వాటిని ద్విమితీయ ఆకారాలు లేదా 2D ఆకారాలు అంటారు.
ద్విమితీయ ఆకారాలు లేదా 2D ఆకారాలు పొడవు, వెడల్పు అనే రెండు కొలతలను కలిగి ఉంటాయి.
→ త్రిమితీయ లేదా 3D – ఆకారాలు :
త్రిమితీయ లేదా 3D – ఆకారాలు పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు (లేదా లోతు) అనే మూడు కొలతలను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణ : ఇటుక, సోపు.
→ తలం : చదునుగా ఉండే ఉపరితలంపై ఉండే బిందు సముదాయాన్ని ‘తలం’ అంటారు. తలం అన్ని దిశలా వ్యాపించి ఉంటుంది.
→ బహుభుజులు : పరిమిత సంఖ్య గల రేఖాఖండాలతో ఏర్పడిన సరళ సంవృత పటాలను ‘బహుభుజులు’ అంటాము. భుజాల సంఖ్యను బట్టి బహుభుజులకు వేర్వేరు పేర్లు కలవు.
బహుభుజి ఏర్పడటానికి కావలసిన కనీస భుజాల సంఖ్య -3.
→ త్రిభుజాలు : మూడు రేఖాఖండాలతో ఏర్పడిన సరళ సంవృత పటాన్ని త్రిభుజం అంటారు. ఈ రేఖాఖండాలను త్రిభుజ భుజాలంటారు. త్రిభుజాన్ని “∆” గుర్తుతో సూచిస్తాము.
త్రిభుజం మూడు భుజాలను, మూడు కోణాలను, మూడు శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది.
→ త్రిభుజ భాగాలు :
భుజాలు : \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CA}}\)
కోణాలు : ∠BAC లేదా ∠A, ∠ABC లేదా ∠B, ∠BCA లేదా ∠C.
శీర్షాలు : A, B, C
→ ఒక తలంలోని త్రిభుజం ఆ తలంలోని బిందువులను మూడు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.
అవి :
- త్రిభుజం అంతరంలోని బిందువులు
- త్రిభుజం మీది బిందువులు
- త్రిభుజానికి బాహ్యంగా ఉన్న బిందువులు.
P, R లు అంతర బిందువులు.
A, B, C, K, M లు త్రిభుజం పై బిందువులు.
M L, X, Y లు బాహ్యబిందువులు.
→ చతుర్భుజం : నాలుగు భుజాలతో ఏర్పడే సరళ సంవృతపటాన్ని చతుర్భుజం అంటారు. చతుర్భుజం నాలుగు భుజాలను, నాలుగు కోణాలను, నాలుగు శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది. ఎదురెదురు శీర్షాలను కలిపే రేఖాఖండాలను కర్ణాలు అంటారు. ABCD చతుర్భుజం యొక్క
- భుజాలు : \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{DA}}\)
- కోణాలు :
- ∠DAB లేదా ∠A
- ∠ABC లేదా ∠B
- ∠BCD లేదా ∠C
- ∠CDA లేదా ∠D
- శీర్షాలు : A, B, C, D.
- కర్ణాలు : \(\overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{BD}}\)
చతుర్భుజంలో ప్రక్కప్రక్కన ఉండే కోణాలను చతుర్భుజ ఆసన్నకోణాలు అంటారు.
∠A కు ఆసన్నకోణాలు ∠D మరియు ∠B.
→ వృత్తం : ఒక స్థిరబిందువు నుండి సమాన దూరంలో గల బిందువులను కలుపగా ఏర్పడే సరళసంవృత పటాన్ని వృత్తం అంటారు. స్థిర బిందువును వృత్త కేంద్రం అంటాము. స్థిరబిందువు నుండి వృత్తం పై గల బిందువుకు గల దూరాన్ని వృత్తకేంద్రం అని, ఆ వృత్తం యొక్క అంచు పొడవును వృత్తపరిధి అని అంటారు.
O – వృత్తకేంద్రము
\(\overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}}, \overline{\mathrm{OC}}\) లు వృత్త వ్యాసార్ధాలు
→ జ్యా, వ్యాసము : వృత్తం పై గల ఏ రెండు బిందువులనైనా కలిపే రేఖాఖండాన్ని వృత్త జ్యా అంటారు. కేంద్రం గుండా పోవు జ్యాను ఆ వృత్త వ్యాసం అంటారు. ఒక వృత్త జ్యాలన్నింటిలోను వ్యాసం పెద్దది. ప్రక్కతలంలో,
O – వృత్తకేంద్రము
\(\overline{\mathrm{XY}}, \overline{\mathrm{PQ}}, \overline{\mathrm{MN}}\) లు జ్యాలు
PQ – వ్యాసము
→ వృత్తచాపము : ఒక వృత్తంపై ఉండే రెండు బిందువుల మధ్య ‘ , “ఉండే వృత్త భాగాన్ని “చాపం” అని అంటారు. ప్రక్కపటంలో చూపిన వృత్తభాగాన్ని \(\widehat{\mathrm{CD}}\) గా రాస్తాము.
→ సౌష్ఠవం :
రేఖాసౌష్ఠవం : ఏ గీత వెంబడి మనం చిత్రాన్ని మడిచినప్పుడు రెండు భాగాలు ఒకదానితో ఒకటి సరిగ్గా ఏకీభవిస్తాయో దానిని రేఖాసౌష్టవమని, ఏ రేఖ వెంబడి కాగితాన్ని మడిచామో ఆ రేఖను సౌష్ఠవరేఖ లేదా సౌష్ఠవాక్షం అని అంటారు.
పై ఉదాహరణల నుండి మనం సౌష్ఠవ రేఖ నిలువుగా లేదా అడ్డంగా లేదా ఒక మూలగా కూడా ఉండవచ్చును. ఒక పటానికి ఒకటి లేదా ఒకటికన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవ రేఖలు ఉండవచ్చును.
→ త్రిమితీయ లేదా 3-D ఆకారాలు :
పొడవు (l), వెడల్పు (b), ఎత్తు లేదా లోతు (h) కలిగిన వస్తువులను త్రిమితీయ లేదా 3-D ఆకారాలు అంటారు.
ఉదా : దీర్ఘఘనం, ఘనం, స్థూపం, …….. . 3D – వస్తువులు తలాలు, అంచులు, శీర్షాలను కలిగి ఉంటాయి.
→ దీర్ఘఘనం (Cuboid) :
అగ్గిపెట్టె, ఇటుక ఆకారంలో గల వస్తువులు దీర్ఘఘనానికి చక్కటి ఉదాహరణలు. శీర్షం కుతలం దీర్ఘఘనం 6 తలాలు, 12 అంచులు, 8 శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది. (తలంను ముఖం అని కూడా అంటారు. )
→ ఘనం (Cube) :
పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు సమానంగా గల దీర్ఘఘనమే ఘనము. . ఘనం కూడా 6 తలాలు, 12 అంచులు, 8 శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది.
→ పట్టకం (Prism):
పట్టక త్రిభుజాకార ముఖాలు, మిగిలిన ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాకారంలోగాని, చతురస్రాకారంలో గాని ఉంటాయి. దీనిని త్రిభుజాకార పట్టకం అంటారు.
త్రిభుజాకార పట్టకం 5 ముఖాలు, 9 అంచులు, 6 శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది.
→ పిరమిడ్ (Pyramid):
భూమి బహుభుజిగాను, ముఖాలు త్రిభుజాకారంలో ఉంటాయి.
పట్టకం భూమి చతురస్రాకారం అయితే దానిని చతురస్రాకార పిరమిడ్ అంటారు. చతురస్రాకార పిరమిడ్ 5 ముఖాలు, 8 అంచులు, 5 శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది.
పిరమిడ్ స్థూపం (Cylinder) :
స్థూపం వక్రతలాన్ని, భూమిని కలిగి ఉంటుంది. దానికి ఎత్తు, వ్యాసంలను పటంలో చూడవచ్చును.
→ శంఖువు (Cone) :
శంఖువు చదునైన వృత్తాకార భూమిని కలిగి, చదునైన వక్రతలాన్ని కలిగి, ఆ వక్రతలం ఒక బిందువు వద్దకు కొనసాగి అంతమవుతుంది. ఈ బిందువును శీర్షం అంటారు.
→ గోళం (Sphere) :
గోళం అన్ని వైపుల నుండి సులువుగా దొర్లే త్రిమితీయ వస్తువు. బంతి, గోళీలు గోళమునకు చక్కటి ఉదాహరణలు. గోళాన్ని అడ్డుకోతగా రెండు సమాన భాగాలుగా కోస్తే ఒక్కొక్క భాగం ఒక అర్ధగోళంగా ఏర్పడుతుంది.
→ 3D – ఆకారాల ముఖాలు (తలాలు) (Faces), అంచులు (Edges), శీర్షాల (Vertices) మధ్య సంబంధం (ఆయిలర్ సూత్రం) (Euler’s Formula) :
F+ V = E + 2
ముఖాల సంఖ్య + శీర్షాల సంఖ్య = అంచుల సంఖ్య + 2
దీనినే ఆయిలర్ సూత్రం అంటారు.