Srinivas

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(b)

అభ్యాసం 9 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
కింది ప్రమేయాల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) cotⁿ x
సాధన:
f(x) = cotⁿ x, \(\frac{d y}{d x}\) = n. cot^n-1x.\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(cot x)
= n. cot^{n -1} x (- cosec² x)
= – n. cot^{n -1}x. cosec² x

ii) cosec⁴ x
\(\frac{d y}{d x}\) = 4. cosec³ x. \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cosec x)
= 4. cosec³ x (- cosec x. cot x)
= -4. cosec⁴ x. cot x

iii) tan (e^x)
సాధన:
f(x) = tan (e^x)
\(\frac{d y}{d x}\) = sec² (e^x). (e^x)¹ = e^x. sec² (e^x)

iv) \(\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}\)
సాధన:

v)
sin^mx. cosⁿx
సాధన:
f(x) = sin^mx. cosⁿx
\(\frac{d y}{d x}\) = (sin^mx). \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(cosⁿx)\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(sin^mx)
= sin^mxn cos^{n – 1}x(-sin x) + cosⁿx. m sin^{m – 1}x. cos x
= m. cos^{n + 1}x. sin^{m – 1}x – n. sin^{m + 1} x. cos^{n – 1}x.

vi) sin mx. cos nx
సాధన:
f(x) = sin mx. cos nx
\(\frac{d y}{d x}\) = sin mx \(\frac{d}{d x}\)(cos nx) + (cos nx)\(\frac{d}{d x}\)(sin mx)
= sin mx (-n sin nx) + cos nx (m cos mx)
= m. cos mx. cos nx – n. sin mx. sin nx

vii) x tan^-1 x
సాధన:
f(x) = x tan^-1x\(\frac{d y}{d x}\)
= x.\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (tan^-1x) + (tan^-1 x)\(\frac{d}{d x}(x)\)
= \(\frac{x}{1+x^2}\) + tan^-1x

viii) sin^-1 (cos x)
సాధన:
f(x) = sin^-1(cos x) = sin^-1\(\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right]\) = \(\frac{\pi}{2}\) – x
\(\frac{d y}{d x}\) = 0 – 1 = -1

ix) log (tan 5x)
సాధన:
f(x) = log (tan 5x)

x) sinh^-1\(\left(\frac{3 x}{4}\right)\)
సాధన:
f(x) = sinh^-1\(\left(\frac{3 x}{4}\right)\)

xi) tan^-1 (log x)
సాధన:
f(x) = tan^-1(log x)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{1}{1+(\log x)^2}\).\(\frac{d}{d x}(\log x)\)
= \(\frac{1}{x\left(1+(\log x)^2\right)}\)

xii) log \(\left(\frac{x^2+x+2}{x^2-x+2}\right)\) (May ’06)
సాధన:

xiii) log (sin^-1(e^x))
సాధన:
f(x) = log(sin^-1(e^x))

xiv) (sin x)²(sin^-1x)²
సాధన:
f(x) = (sin x)²(sin^-1x)²

xv) \(\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\)
సాధన:

xvi) \(\frac{x\left(1+x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\)
సాధన:

xvii) \(e^{\sin ^{-1} x}\)
సాధన:

xviii) cos (log x + e^x)
సాధన:
f(x) = cos (log x + e^x)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = – sin (log x + e^x) \(\frac{d}{d x}\)(log x + e^x)
= – sin (log x + e^x)(\(\frac{1}{x}\) + e^x)

xix) \(\frac{\sin (x+a)}{\cos x}\)
సాధన:

xx) cot^-1 (cosec 3x)
సాధన:
f(x) = cot^-1 (cosec 3x)

ప్రశ్న 2.
x దృష్ట్యా క్రింది వాటి అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) x = sinh² y
సాధన:
f(x) = x = sinh² y
\(\frac{d x}{d y}\) = 2 sinh y . cosh y

ii) x = tanh^{2/sup> y
సాధన:
f(x) = tanh2/sup> y. \(\frac{d x}{d y}\) = 2 tanh y. sech2 y}

iii) x = e^{sinh y}
సాధన:
\(\frac{d x}{d y}\) = e^{sinh y}\(\frac{d}{d x}(\sinh y)\)
= e^{sinh y}. cosh y
= x . cosh y
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{\left(\frac{d x}{d y}\right)}\) = \(\frac{1}{x \cdot \cosh y}\)

iv) x = tan (e^-y)
సాధన:

v) x = log (1 + sin² y)
సాధన:

vi) x = log (1 + \(\sqrt{\mathbf{y}}\))
సాధన:
1 + \(\sqrt{\mathbf{y}}\) = e^x
\(\sqrt{\mathbf{y}}\) = e^x – 1
y = (e^x – 1)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(e^x – 1). e^x = 2\(\sqrt{y}\). e^x
= 2\(\sqrt{y}\) (\(\sqrt{y}\) + 1)
= 2(y + \(\sqrt{y}\))

II. కింది ప్రమేయాల అవకాలను కనుక్కోండి

i) y = cos (log (cot x))
సాధన:
y = cos (log (cot x))

ii) sinh^-1 \(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
సాధన:
y = sinh^-1\(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
సందర్బ౦: 1. x < -1

సందర్బ౦: 2. x > -1

iii) log (cot(1 – x²))
సాధన:
y = log (cot(1 – x²))

iv) sin (cos (x²))
సాధన:
y = sin (cos (x²))
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = cos (cos (x²)). \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cos (x²))
= cos (cos (x²)) (-sin (x²)). \(\frac{d}{d x}\)(x²)
= -2x. sin (x²). cos (cos (x²))

v) sin (tan^-1 (e^x))
సాధన:
y = sin (tan^-1 (e^x)
\(\frac{d y}{d x}\) = cos (tan^-1(e^x)). \(\frac{d}{d x}\)(tan^-1(e^x))
= cos(tan^-1(e^x)) . \(\left[\frac{1}{1+\left(e^x\right)^2}\right]\)(e^x)
= \(\frac{e^x}{1+e^{2 x}}\). cos(tan^-1(e^x))

vi) \(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
సాధన:

vii) tan^-1\(\left[\tanh \left[\frac{x}{2}\right]\right]\)
సాధన:
y = tan^-1 \(\left[\tanh \left[\frac{x}{2}\right]\right]\)

viii)
sin x. (Tan^-1 x)²
సాధన:
y = sin x. (Tan^-1 x)²

III. కింది ప్రమేయాల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
sin^-1 \(\left(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{a} \sin x}{\mathbf{a}+\mathbf{b} \sin x}\right)\) (a > 0, b > 0)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
cos^-1\(\left(\frac{b+a \cos x}{a+b \cos x}\right)\) (a > 0, b > 0)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
Tan^-1 \(\left[\frac{\cos x}{1+\cos x}\right]\)
సాధన:

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 9 అవకలనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 9 అవకలనం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
f(x) = x² (x ∈ R), అయితే R పై f అవకలనీయమని చూపి దాని అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x² అనుకుందాం.

∴ f ప్రమేయము R మీద అవకలనీయము
f'(x) = 2x ∀ x ∈ R

ప్రశ్న 2.
f(x) = \(\sqrt{x}\) (x > 0). (0, ∞) పై f అవకలనీయం అని నిరూపించి P(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
x ∈ (0, ∞)h ≠ 0 మరియు |h| < 0

f ప్రమేయము (0, ∞) మీద అవకలనీయము f'(x) \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

ప్రశ్న3.
f(x) = \(\frac{1}{x^2+1}\) (x ∈ R) అయితే R పై f అవకలనీయం అని నిరూపించి f'(x) కనుక్కోండి.
సాధన:
x ∈ R మరియు h ≠ 0 అనుకుందాం.

∴ f అవకలనీయము మరియు f'(x) = \(\frac{2 x}{\left(x^2+1\right)^2}\), ∀ x ∈ R

ప్రశ్న 4.
f(x) = sin x (x ∈ R) అయితే R పై f అవకలనీయం, f'(x) = cos x అని చూపండి.
సాధన:
x ∈ R మరియు h ≠ 0 అనుకుందాం.

∴ f ప్రమేయం R మరియు అవకలనీయము f'(x) = cos x వద్ద ∀ x ∈ R

ప్రశ్న 5.
f(x) = |x| (x ∈ R) ప్రమేయం సున్నా వద్ద అవకలనీయం కాదని, ప్రతి x ≠ 0 వద్ద f అవకలనీయమని చూపండి.
సాధన:

∴ 0 వద్ద f అవకలనీయము కాదు.
x ≠ 0 అయితే f అవకలనీయమని మరియు

ప్రశ్న 6.
క్రింద పేర్కొన్న ప్రమేయం సున్నా వద్ద అవకలనీయమేమో చూడండి.

సాధన:


f యొక్క ఎడమ అవకలజము -1, f'(0^–) = -1
∴ f'(0⁺) ≠ f(0^–)
f(x) ప్రమేయము 0 వద్ద అవకలనీయం కాదు.

ప్రశ్న 7.
ఒక అంతరంపై ఏదైనా స్థిర ప్రమేయం అవకలజం సున్నా అని చూపండి.
సాధన:
ప్రమేయము I అంతరంలోని f.
f(x) = C ∀ x ∈ I, c స్థిరము.

∴ f, 0 వద్ద అవకలనీయము f'(a) = 0

ప్రశ్న 8.
అన్ని x, y ∈ R లకు f(x + y) = f(x). f(y) అని f'(0) వ్యవస్థితమని అనుకోండి. అప్పుడు ప్రతీ x ∈ R కు f(x) వ్యవస్థితమని అది f(x). f'(0) కు సమానమని చూపండి.
సాధన:
x ∈ R, h ≠ 0,
\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) = \(\frac{f(x) f(h)-f(x)}{h}\)
= \(f(x) \frac{[f(h)-1]}{h}\) —– (1)
f(0) = f(0 + 0) = f(0) f(0)
⇒ (0) (1 − f(0))
∴ f(0) = 0, f(0) = 1
సందర్భం i) : f(0) = 0 అయితే
f(x) = f(x + 0) = f(x) f(0) = 0 ∀ x ∈ R
∴ f(x) స్థిర ప్రమేయము ⇒ f'(x) = 0
∀ x ∈ R
∴ f'(x) = 0 = f(x).f'(0)
సందర్భం ii) : f(0) = 1 అయితే

∴ f అవకలనీయం మరియు f”(x) = f(x) f'(0).

ప్రశ్న 9.
f(x) = (ax + b)ⁿ (x > \(-\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\)), అయితే f'(x) కనుక్కోండి.
సాధన:
ս = ax + by ⇒ y = uⁿ
f'(x) = \(\frac{d}{d n}\left(u^n\right) \frac{d u}{d x}\)
= n. u^n-1a
= an (ax + b)^n-1

ప్రశ్న 10.
f(x) = e^x (x² + 1) యొక్క అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
u = e^x = x² + 1
\(\frac{d u}{d x}\) = e^x, \(\frac{d v}{d x}\) = 2x
f(x) = u(x). v(x)
f'(x) = u(x). v'(x) + u'(x) . v(x)
= e^x. 2x + (x² + 1) e^x
= e^x (2x + x² + 1)
= e^x (x + 1)²

ప్రశ్న 11.
y = \(\frac{a-\mathbf{x}}{\mathbf{a}+\mathbf{x}}\) (x ≠ -a) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
u = a – x మరియు u = a + x అయితే y = \(\frac{u}{v}\)

ప్రశ్న 12.
f(x) = e^2x.log x (x > 0) అయితే f'(x) కనుక్కోండి.
సాధన:
u = e^2x, v = log x అయితే,
\(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = 2.e^2x, \(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{1}{x}\)
f(x) = u.v
f'(x) = u. \(\frac{d v}{d x}\) + v. \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\)
= e^2x. \(\frac{1}{x}\) + log x (2e^2x)
= e^2x(\(\frac{1}{x}\) + 2logx)

ప్రశ్న 13.
f(x) = \(\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}\) (|x| < 1) అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 14.
f(x) = x² . 2^x log x(x > 0) అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.

సాధన:

ప్రశ్న 16.
f(x) = 7^{x3 +3x} (x > 0) అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = x³ + 3x ⇒ \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = 3x² + 3 = 3 (x² + 1)
f(x) = 7^u ⇒ f'(x) = 7^u log 7
f'(x) = \(\frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\) = (7^u. log 7) [3(x² + 1)]
= 3(x² + 1) 7^{x3 + 3x} log 7

ప్రశ్న 17.
f(x) = x e^x అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = x, v = e^x, w = sin x అనుకుందాం
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 1, \(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\) = e^x. \(\frac{d w}{d x}\) = cos x
f(x) = u.v.w
f”(x) = uv. \(\frac{d w}{d x}\) + uw \(\frac{d v}{d x}\) + vw \(\frac{d u}{d x}\)
= xe^x cos x + x. sinx . e^x + e^x sin x

ప్రశ్న 18.
f(x) sin (log x) (x > 0) అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = log x, y = f(x) ⇒ y = sin u
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{du}}\) = cos u, \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{1}{x}\)
f'(x) = \(\frac{1}{x}\). cos u = \(\frac{1}{x}\) cos (log x)

ప్రశ్న 19.
f(x) = (x³ + 6x² + 12x – 13) అయితే f'(x) కనుక్కోండి.
సాధన:
u = x³ + 6x² + 12x – 13
⇒ \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = 3x² + 12x + 12
= 3(x² + 4x + 4)
= 3(x + 2)²
f(x) = u¹⁰⁰
f(x) = 100.u⁹⁹. \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dv}}\)
= 100(x³ + 6x² + 12x – 13)⁹⁹. 3(x + 2)²
= 300 (x + 2)² (x³ + 6x² + 12x – 13)⁹⁹

ప్రశ్న 20.
f(x) = \(\frac{x \cos x}{\sqrt{1+x^2}}\) యొక్క అవకలజం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
f(x) = log (sec x + tan x) అయితే f'(x) కనుకోండి. (Mar. ’14, May ’11)
సాధన:
u = sec x + tan x, y = log u
\(\frac{d y}{d u}\) = \(\frac{1}{u}\), \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = sec x. tan x + sec²x
= sec x (sec x + tan x)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{du}} \cdot \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\)
= \(\frac{1}{\sec x+\tan x}\). sec x (sec x + tan x) = sec x

ప్రశ్న 22.
y = sin^-1 \(\sqrt{\mathbf{x}}\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) కనుక్కోండి. (Mar. ’13)
సాధన:
u = \(\sqrt{x}\)
y = sin^-1 u.

ప్రశ్న 23.
y = sec \((\sqrt{\tan x})\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
y = \((\sqrt{\tan x})\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.
y = log (cosh 2x) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = cosh 2x, అనుకుంటే y = log u
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x}\) = 2 sin h2x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
= 2 sin h 2x. \(\frac{1}{\cosh 2 x}\) = 2 tan h 2x

ప్రశ్న 26.
y = log (sin(log x)) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
y = (cot^-1x³)² అయితే, \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = cot^-1x³, u = x³, y = u²

ప్రశ్న 28.
y = cosec^-1(e^{2x + 1}) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 29.
y = tan^-1 (cos \(\sqrt{\mathbf{x}}\)), అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
y = tan^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)\), 0 < |x| < 1, అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
y = x² e^x sin x అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
log y = log x². e^x. sin x
= log x² + log e^x + log sin x
= 2 log x + e^x + log sin x
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2}{x}\) + 1 + \(\frac{1}{\sin x}\) . cos x
\(\frac{d y}{d x}\) = y(\(\frac{2}{x}\) + 1 + cot x)

ప్రశ్న 32.
y = x^{tan x} + (sin x)^{cos x} అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి. (Mar. 14, ’11; May ’13)
సాధన:
u = x^{tan x}, v = (sin x)^{cos x}
log u = log x^{tan x} = (tan x) log x

ప్రశ్న 33.
x = a(cos t + log tan\(\left(\frac{t}{2}\right)\)), y = a sin t, అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 34.
x^y = e^{x – y} అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\log x}{(1+\log x)^2}\) అని చూపండి.
సాధన:
x^y = e^{x – y}
log x^y = log e^{x – y}
y log x = x – y (log e = 1)
y(1 + log x) = x

ప్రశ్న 35.
sin y = x sin (a + y) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\sin ^2(a+y)}{\sin a}\) అని చూపండి.
(a అనేది π యొక్క గుణిజం కాదు)
సాధన:

ప్రశ్న 36.
y = x⁴ + tan x అయితే y” కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x⁴ + tan x
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x³ + sec² x
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 12x² + 2 sec²x. tan x

ప్రశ్న 37.
f(x) = sinx sin 2x sin 3x అయితే f”(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{2}\)sin 2x (2 sin 3x sin x)
= \(\frac{1}{2}\)(sin 2x) (cos 2x – cos 4x)
= \(\frac{1}{4}\)(2 sin 2x cos 2x – 2 sin 2x cos 4x)
= \(\frac{1}{4}\)(sin 2x + sin 4x – sin 6x)
f'(x) = \(\frac{1}{4}\)[2 cos 2x + 4 cos 4x – 6 cos 6x]
f”(x) = \(\frac{1}{4}\)(-4 sin 2x – 16 sin 4x + 36 sin 6x)
= 9 sin 6x – 4 sin 4x – sin 2x.

ప్రశ్న 38.
cos²x \(\frac{d y^2}{d x^2}\) + 2x = 2y ని y = x + tan x తృప్తిపరుస్తుందని చూపండి.
సాధన:
y = x + tan x ⇒ y’ = 1 + sec² x
y’ cos² x = 1 + cos²x.
పై సమీకరణాన్ని ఇరువైపులా అవకలనం చేయగా
y” cos² x + y’.2 cos x (-sin x) = 2 cos x (- sin x)
∴ y” cos² x = 2(y’ – 1) sin x cos x
= 2 sec²x sin x cos x = 2 tan x = 2(y – x)
కావలసిన ఫలితము వచ్చినది.

ప్రశ్న 39.
x = a(t – sin t), y = a(1 + cos t) అయితే \(\frac{d^2 y}{d^2}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 40.
y = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) కు రెండో పరిమాణం అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x = tan θ అయితే
y = tan^-1 \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta}\right)\)
y = tan^-1(tan 2θ)
= 2θ = 2 tan^-1 x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2}{1+x^2}\) and \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = \(\frac{-4 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)

ప్రశ్న 41.
y = sin (sin x) అయితే
y” + (tan x) y’ + y cos² x = 0 అని చూపండి.
సాధన:
y = sin (sin x) అయితే
y’ = cos x. cos (sin x) మరియు
y” = – cos²x sin (sin x) – sin x cos (sin x)
= – y cos² x – sin x\(\left(\frac{y^{\prime}}{\cos x}\right)\)
= -y cos² x – y’ tan x
∴ y” + (tan x) y’ + y cos² x = 0.

ప్రశ్న 42.
f(x) = e^x(x∈R) అయితే ప్రాధమిక సూత్రాన్ని అనుసరించి f'(x) = e^x అని చూపండి.
సాధన:
h ≠ 0 కు f(x) = e^x నుంచి

ప్రశ్న 43.
f(x) = log x (x > 0) అయినప్పుడు ప్రాథమిక సూత్రాన్ని అనుసరించి f(x) = \(\frac{1}{x}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 44.
f(x) = x^x (x ∈ R) (a > 0) అయినప్పుడు ప్రాధమిక సూత్రాన్ని అనుసరించి f(x) = a^x అని చూపండి
సాధన:

h→ 0 అయినప్పుడు \(\frac{a^h-1}{h}\) → log a అని మనకు తెలుసు. కాబట్టి f'(x) = a^x. log a.
\(\frac{d}{d x}\left(a^x\right)\) = a^x. log a

ప్రశ్న 45.
y = Tan^-1 \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}(|x|<1)\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
y లో x = cos u (u ∈ (0, π)) ను ప్రతిక్షేపిస్తే


ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిలో వివరించిన f(x), g(x), h(u) ల స్థానంలో వరుసగా ఇక్కడ Tan^-1x \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\), cos u లు ఉంచామని గమనించండి.

ప్రశ్న 46.
y = Tan^-1 \(\left[\frac{2 x}{1-x^2}\right]\) (|x| < 1) అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి. (A.P. Mar. 15)
సాధన:

ప్రశ్న 47.
x = a cos³ t, y = a sin³ t, అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 48.
y = e^t + cos t, x = log t + sin t అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ \(\frac{d y}{d t}\) = e^t – sin t, \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = \(\frac{1}{t} \cos t\)
కాబట్టి \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{t\left(e^t-\sin t\right)}{(1+t \cos t)}\)

ప్రశ్న 49.
f(x) = \(x^{\sin ^{-1}} x\) అవకలజాన్ని g(x) = sin^-1 x దృష్ట్యా కనుక్కుని, \(\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dg}}\) ని గుణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 50.
x³ + y³ – 3axy = 0 అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణం y = f(x) ప్రమేయాన్ని నిర్వచిస్తుందను కొనుము. అంటే x³ – (f(x))³ – 3ax f(x) = 0
ఈ సమీకరణం రెండు వైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే 3x² + 3 (f(x))² f'(x) – [3a. f(x) + 3axf'(x)] = 0
అందువల్ల 3x² + 3y² f'(x) – [3ay + 3ax f'(x)] = 0
కనుక f'(x) = \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{a y-x^2}{y^2-a x}\)

ప్రశ్న 51.
2x² – 3xy + y² + x + 2y – 8 = 0 అయినప్పుడు \(\frac{d y}{d x}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
2x² – 3xy + y² + x + 2y – 8 = 0
y ని x లో ప్రమేయంగా భావించి (1)కి ఇరువైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
4x – 3y – 3xy’ + 2yy’ + 1 + 2y’ = 0.
అందువల్ల \(\frac{d y}{d x}\) = y’ = \(\frac{3 y-4 x-1}{2 y-3 x+2}\)

ప్రశ్న 52.
y = x^x (x > 0) అయినప్పుడు \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x^xకు ఇరువైపులా సంవర్గమానాలను తీసుకొంటే logy = x log x వస్తుంది. రెండువైపులా X దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{y^{\prime}}{y}\) = x. \(\frac{1}{x}\) + log x = 1 + log x.
అందువల్ల \(\frac{d y}{d x}\) = y’ = y(1 + log x)
= x^x (1 + log x)

ప్రశ్న 53.
y = (tan x)^{sin x} [0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)] అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను గణించండి.
సాధన:
y = (tan x)^{sin x} కు రెండు వైపులా సంవర్గమానాలు తీసుకొంటే, log y = sin x. log(tan x) వస్తుంది. దీన్ని రెండు వైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{y^{\prime}}{y}\) = \(\frac{\sin x}{\tan x}\). sec²x + cosx. log (tan x)
= sec x + cos x. log (tan x)
అందువల్ల \(\frac{d y}{d x}\)(tan x)^{sin x} [sec x + cos x log (tan x)]

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
x = 10, Δx = 0.1 అయినప్పుడు y = f(x) = x² + x ప్రమేయానికి dy, Δy విలువలు కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
y = f(x) లోని మార్పు Δy = f(x + Δx) − f(x).
కనక x = 10, Δx = 0.1 లకు ఈ మార్పు
Δy = f(10.1) – f(10)
= {(10.1)² + 10.1} – {10² + 10} = 2.11.
dy = f(x) Δx కనక x = 10, Δx 0.1 లకు
dy = {(2)(10) + 1} 0.1 = 2.1 (∵ \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 2x + 1).

ప్రశ్న 2.
x = 60°, Δx = 1° అయినప్పుడు y = cos x ప్రమేయానికి Δy, dy విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 60°, Δx = 1° లకు Δy, dy లు వరసగా
Δу = cos (60° + 1) – cos (60°) ….. (1)
dy = -sin(60°) (10) ………. (2)
Cos (60°) = 0.5,
Cos (61°) = 0.4848,
Sin (60°) = 0.8660,
1° = 0.0174 రేడియన్లు.
కాబట్టి Δy = -0.0152
dy = -0.0150.

ప్రశ్న 3.
ఒక చతురస్రపు భుజం 3 సెం.మీ. నుంచి 3.01 సెం.మీ. లకు పెరిగింది. ఆ చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రపు భుజం x, వైశాల్యం A అనుకొందాం. అప్పుడు
A = x². …….. (1)
A అనేది x లో ప్రమేయం అనేది స్పష్టం. చతురస్రపు భుజం 3 సెం.మీ. నుంచి 3.01 సెం.మీ.లకు పెరిగింది. కనక x = 3, Δx = 0.01 గా తీసుకొందాం. చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యం
ΔΑ ≈ \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}} \Delta \mathrm{x}\) …. (2)
సమీకరణం (1) ని అనుసరించి, (2)ను ΔA = 2xΔx గా రాయవచ్చు. కాబట్టి చతురస్రపు భుజం 3 నుంచి 3.01కు పెరిగినట్లయితే ఆ చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యం
ΔA ≈ 2(3)(0.01) = 0.06 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళం వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. నుంచి 7.02 సెం.మీ. లకు పెరిగినట్లయితే, దీని ఘన పరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదలను కనుక్కోండి.
సాధన:
గోళ వ్యాసార్ధం r, దీని ఘన పరిమాణం V అనుకొందాం.
అప్పుడు, V = \(\frac{4 \pi r^2}{3}\) ………. (1)
ఇక్కడ V అనేది r లో ప్రమేయం. గోళ వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. నుంచి 7.02 సెం.మీ. కు పెరిగింది కనక r = 7 సెం.మీ., Δr = 0.02 సెం.మీ. గా తీసుకొందాం. ఇప్పుడు గోళ ఘనపరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదలను కనుక్కోవాలి.
∴ ΔV ≈ \(\frac{d V}{d r} \Delta r\) = 4πr² Δr.
కాబట్టి, గోళ ఘనపరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల
\(\frac{4(22)(7)(7)(0.02)}{7}\) = 12.32 సెం.మీ.³.

ప్రశ్న 5.
n, k లు స్థిర సంఖ్యలు అయి y = f(x) = k xⁿ అయితే y లో ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల) x లోని సాపేక్ష దోషానికి (పెరుగుదల) రెట్లు అని
చూపండి.
సాధన:
A సంఖ్య B సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉంటూ B కి సమానం కానట్లయితే A ను B కి ఉజ్జాయింపు సంఖ్య అంటారు.

= n (x లో సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల)).
కాబట్టి y = kxⁿ లోని ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల) x లోని సాపేక్ష దోషానికి (పెరుగుదల) గా రెట్లు.

ప్రశ్న 6.
ఒక చతురస్రపు భుజం పెరుగుదల 2% అయితే దీని వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రపు భుజం x, వైశాల్యం A అనుకోండి. అప్పుడు A = x². వైశాల్యం A లో ఉజ్జాయింపు దోష శాతం
= \(\left(\frac{\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{dx}}}{\mathrm{A}}\right)\) × 100 × Δx (f = A తో A సంఖ్య B
సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉంటూ Bకి సమానం కొనట్లయితే A ను Bకి ఉజ్జాయింపు సంఖ్య అంటారు.
\(\frac{\Delta y}{y}\) × 100 ≈ \(\left[\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right]\) × 100 × Δx
= \(\frac{100(2 x) \Delta x}{x^2}\) = \(\frac{200 \Delta x}{x}\) = 2(2) = 4
(∵ దత్తాంశం నుంచి \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 2 )

ప్రశ్న 7.
ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత 44 సెం.మీ. గా కొలిచారు. దీనిలో దోషం 0.01 సెం.మీ. అయితే దీని వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు, సాపేక్ష దోషాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త వ్యాసార్ధం, చుట్టు కొలత, వైశాల్యాలను వరసగా r, p, A అనుకొందాం.
p = 44 సెం.మీ., Δp = 0.01 గా ఇవ్వడమైంది. ΔA, \(\frac{\Delta \mathrm{A}}{\mathrm{A}}\)ల ఉజ్జాయింపు విలువలను కనుక్కోవాలి. A = πr² అనేది ” లో ప్రమేయం. p, Δp విలువలు తెలుసు. కనక A = πr² ను A = f(p) రూపంలో రాయాలి. 2πr = p సంబంధాన్ని ఉపయోగించి A = f(p) అని రాయవచ్చు.
∴ A = π\(\left(\frac{p}{2 \pi}\right)^2\) = \(\)
కాబట్టి A లో ఉజ్జాయింపు దోషం
A = \(\frac{d A}{d p} \Delta p\) = \(\frac{2 p}{4 \pi} \Delta p\) = \(\frac{\mathrm{p}}{2 \pi} \Delta \mathrm{p}\)
p = 44 సెం.మీ., Δp = 0.01 అయినప్పుడు A లో ఉజ్జాయింపు దోషం = \(\frac{44}{2 \pi}\)(0.01) = 0.07 సెం.మీ.²
A లో ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం

ప్రశ్న 8.
\(\sqrt[3]{999}\) ఉజ్జాయింపు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 1000, Δx = -1 గా తీసుకొని
f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) Δx ….. (1)
ఇక్కడ x = 1000
f(x) = \(\sqrt[3]{x}\), అయినప్పుడు f(1000) ను తేలికగా గణించగలం. కాబట్టి y = f(x) = \(\sqrt[3]{x}\) …. (2)
సమీకరణం (1)
f(x + Δx) = f(x) ≈ f(x) + \(\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \Delta x\)
f(1000 – 1)
≈ f(1000) + \(\frac{1}{3(1000)^{2 / 3}}\) (−1) = 9.9967.

ప్రశ్న 9.
కింది వక్రాలకు ఇచ్చిన బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
i) y = 5x²; (-1, 5) వద్ద
ii) y = \(\frac{1}{x-1} ;\left(3, \frac{1}{2}\right)\) వద్ద
iii) x = a secθ, y = a tanθ; θ = \(\frac{\pi}{6}\) వద్ద
iv) \(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2 ; (a, b) వద్ద
సాధన:
i) y = 5x² అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = 10x.
∴ దత్త బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{(-1,5)}\) = -10.

ii) y = \(\frac{1}{x-1}\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-1}{(x-1)^2}\)
∴ దత్త బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు

iii) x = a sec θ, y = tan θ అయితే

θ = \(\frac{\pi}{6}\) అయిన బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}\) = cosec \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = 2

iv) \(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2
ఇరువైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,

ప్రశ్న 10.
y = 5x⁴ వక్రానికి (1,5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
y = 5x⁴ నుంచి \(\frac{d y}{d x}\) = 20x³ వస్తుంది.
వక్రానికి (1, 5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,5)}\) = 20(1)³ = 20
∴ (1, 5) బిందువు వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు \(\frac{-1}{20} .\)
∴ (1, 5) బిందువు వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖ సమీకరణాలు వరసగా
= y – 5 = 20(x – 1), y – 5 = \(\frac{-1}{20}\)(x – 1) లేదా
= y – 20x – 15, 20y = 101 – x అవుతాయి.

ప్రశ్న 11.
y⁴ = ax³ వక్రానికి (a, a) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
y⁴ = ax³ ను ఇరువైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
4y³y₁ = 3ax² లేదా
У₁ = \(\frac{3 a x^2}{4 y^3}\)
∴ (a, a) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = y_{1(a, a)} \(\frac{3 a \cdot a^2}{4 a^3}\) = \(\frac{3}{4}\)
(a, a) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు = \(\frac{-4}{3}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y – a = \(\frac{3}{4}\)(x – a)
అంటే 4y = 3x + a
అభిలంబరేఖ సమీకరణం y − a = \(\frac{-4}{3}\)(x – a)
అంటే 3y + 4x = 7a అవుతుంది

ప్రశ్న 12.
y = 3x² – x³ వక్రం x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం y = 3x² – x³ = 0 లో, x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు కోసం y = 0 ను ప్రతిక్షేపిస్తే,
3x² – x³ = 0 లేదా x² (3 – x) = 0 వస్తుంది.
అంటే x = 0, x = 3.
అంటే వక్రం X-అక్షాన్ని O(0, 0), A(3, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.
\(\frac{d y}{d x}\) = 6x – 3x² → O(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(0,0)}\) = 0
∴ O(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం y – 0 = 0(x – 0)
లేదా y = 0 అవుతుంది.
అంటే (0, 0) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ X-అక్షం అన్నమాట.
ఇప్పుడు A(3, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(3,0)}\)
= 6(3) – 3(3)² = -9
∴(3, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – 0 = -9 (x – 3) అంటే y + 9x = 27 అవుతుంది

ప్రశ్న 13.
y = sin x వక్రానికి ఏ బిందువు వద్ద క్షితిజ స్పర్శరేఖలు ఉంటాయో కనుక్కోండి.
సాధన:
y = sin x నుంచి \(\frac{d y}{d x}\) = cos x.

స్పర్శరేఖ క్షితిజరేఖ అయితే స్పర్శరేఖ వాలు సున్న.
cos x = 0
అంటే x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\); n ∈ Z.
కాబట్టి దత్త వక్రానికి క్షితిజ స్పర్శరేఖ ఉండే బిందువులు (x_o, y_o)
⇔ x_o = (2n + 1). \(\frac{\pi}{2}\),
y_o = (-1)ⁿ n ∈ Z

ప్రశ్న 14.
y = f(x) = x1/3 వక్రానికి X = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉందేమో పరిశీలించండి.
సాధన:


గమనిక : \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) = ∞ నుంచి, వక్రానికి x నిరూపకం 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ
ఉంటుంది.

ప్రశ్న 15.
y = f(x) = x^2/3 వక్రానికి x = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉందేమో పరిశీలించండి.
సాధన:

h ≠ 0 అయితే, \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) = \(\frac{h^{2 / 3}}{h}\) = \(\frac{1}{h^{1 / 3}}\)
h → 0 అయ్యేటప్పుడు \(\frac{1}{h^{1 / 3}}\) కు ఎడమచేతి అవధి – ∞. కాని కుడిచేతి అవధి ∞. అంటే \({ }_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{~h}^{1 / 3}}\) వ్యవస్థితం కాదు.
∴ గమనిక నుంచి f(x) = x^2/3 వక్రానికి x = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉండదు. ఈ వక్రం రేఖాచిత్రంలో చూడుము.

ప్రశ్న 16.
x = c sec θ, y = c tan θ సూచించే వక్రానికి ఏదైనా బిందువు θ వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం y sin θ = x – c cos θ అని చూపండి.
సాధన:
ఏదైనా బిందువు θ వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ వాలు
(అంటే sec θ, c tan θ వద్ద)

∴ స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – c tan θ = cosec θ (x – c sec θ).
అంటే y sin θ = x – c cos θ

ప్రశ్న 17.
xy = c (c ≠ 0) అనే వక్రానికి ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ అక్షాలతో కలిసి ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తోంది. ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఒక స్థిరరాశి అని చూపండి.
సాధన:
ముందుగా c ≠ 0 అని గమనించండి. ఎందుకంటే xy = 0 అయితే దత్త సమీకరణం నిరూపకాక్షాలను సూచిస్తుంది. ఇది దత్తాంశానికి విరుద్ధం.
xy = c వక్రంపై P(x₁, y₁) ఒక బిందువు అనుకొందాం. అప్పుడు x₁ ≠ 0, y₁ ≠ 0
y = \(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}}\) ⇒ y’ = \(-\frac{c}{x^2}\)
∴ (x₁, y₁) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం

ఈ స్పర్శరేఖతోనూ, నిరూపకాక్షాలతోనూ ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)(2x₁) \(\left(\frac{2 c}{x_1}\right)\) = 2c = ఒక స్థిరరాశి.

ప్రశ్న 18.
\(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2 (a ≠ 0, b ≠ 0) అనే వక్రంపై (a, b) బిందువువద్ద స్పర్శరేఖ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 2 అని చూపండి.
సాధన:

(a, b) బిందువు వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – b = \(\frac{-b}{a}\)(x – a)
అంటే ay – ab = -bx + ab
లేదా bx + aY = 2ab. లేదా \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 2

ప్రశ్న 19.
y² = 4ax వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరమని చూపండి.
సాధన:
y² = 4ax ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
2yy’ = 4a ⇒ y’ = \(\frac{2 a}{y}\)
అంటే yy’ = 2a’.
MG నుంచి వక్రంపై ఏ బిందువు (x, y) వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం |yy’| = |2a| స్థిరం.

ప్రశ్న 20.
y = a^x (a > 0) వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపస్పర్శ ఖండం స్థిరమని చూపండి.
సాధన:
y = a^x ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే y’ = a^x log a
∴ వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం
= |\(\left|\frac{y}{y^{\prime}}\right|\)| = |\(\frac{a^x}{a^3 \log a}\)| = \(\frac{1}{\log a}\) = స్థిరరాశి.

ప్రశ్న 21.
by² = (x + a)³, (b ≠ 0) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం వర్గం, ఆ బిందువు వద్ద ఉపలంబ ఖండంతో అనుపాతంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
by² = (x + a) ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
2by y’ = 3 (x + a)²
∴ వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉపలంబ ఖండం

ప్రశ్న 22.
y = a^{1 – k} x^k వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరమైతే k విలువ ఎంత ?
సాధన:
y = a^{1 – k} x^k ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
y’ = ka^{1 – k} x^{k – 1}
వక్రంపై ఏదైనా బిందువు P(x, y) వద్ద ఉపలంబ ఖండం
= |y y’| = |yka^1-k x^k-1|
= |ka^1-kx^ka^1-kx^k-1 | = ka^2-2k x^{2k – 1}
ఈ విలువ స్థిరం కావాలంటే 2k – 1 = 0 కావాలి.
అంటే k = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 23.
xy = 2, x² + 4y = 0 వక్రాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. (May ’13, ’11)
సాధన:
xy = 2, x² + 4y = 0 వక్రాల ఖండన బిందువులను కనుక్కొందాం.
y = \(\frac{-x^2}{4}\) ను xy = 2లో రాస్తే
x³ = -8 అంటే x = -2,
x = -2 ⇒ y = \(\frac{-x^2}{4}\) = -1
∴ వక్రాల ఖండన బిందువు P(-2, -1)
ఇప్పుడు xy = 2, y’ = \(\frac{-2}{x^2}\)
x² + 4y = 0 ⇒ y’ = \(\frac{-x}{2}\)
xy = 2 వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు

ప్రశ్న 24.
2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి Y-అక్షానికి మధ్యకోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
Y-అక్షం సమీకరణం x = 0
వక్రం 2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\), x = 0 లకు ఖండన బిందువు P(0, \(\frac{1}{2}\))
2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ X-అక్షంతో చేసే కోణం \(\psi\) అయితే

Y-అక్షానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ, 2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి మధ్యకోణం φ అయితే

∴ దత్త వక్రానికి, Y-అక్షానికి మధ్యకోణం tan^-1 4.

ప్రశ్న 25.
ax² + by² = 1 a₁x² + b₁y² = 1 వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకోవడానికి నియమం \(\frac{1}{a}\) – \(\frac{1}{b}\) = \(\frac{1}{a_1}\) – \(\frac{1}{b_1}\) అని చూపండి.
సాధన:
ax² + by² = 1
a₁x² + b₁y² = 1 వక్రాల ఖండన బిందువు P(x₁, y₁) అయితే

వీటి నుంచి అడ్డగుణకాల పద్ధతిన
\(\frac{\mathrm{x}_1^2}{\mathrm{~b}_1-\mathrm{b}}\) = \(\frac{y_1^2}{a_1-a}\) = \(\frac{1}{a b_1-a_1 b}\) ……….. (1)
ax² + by² = 1 ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-a x}{b y}\)
కాబట్టి ax² + by² = 1 వక్రానికి ‘P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు m₁ అయితే, m₁ = \(\frac{-a x_1}{b y y_1}\)
ఇదే విధంగా \(a_1 x^2+b_1 y^2\) = 1 వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు m₂ అయితే, m₂ = \(\frac{-a_1 x_1}{b_1 y_1}\). వక్రాలు లంబంగా ఖండించు కొంటాయని కాబట్టి, m₁m₂ = -1
అంటే \(\frac{a a_1 x_1^2}{b b_1 y_1^2}\) = -1 లేదా \(\frac{x_1^2}{y_1^2}\) = \(\frac{-b b_1}{a a_1}\) …. (2)
ఇప్పుడు (1), (2) ల నుంచి వక్రాలు లంబంగా ఖండించు కోవడానికి నియమం
\(\frac{b_1-b}{a-a_1}\) = \(\frac{-b b_1}{a a_1}\) లేదా (b – a)a₁b₁ = (b₁ – a₁) ab
లేదా \(\frac{1}{a}\) – \(\frac{1}{b}\) = \(\frac{1}{a_1}\) – \(\frac{1}{b_1}\)

ప్రశ్న 26.
y² = 4(x + 1), y² = 36(9 – x) వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకొంటాయని చూపండి (Mar.’11; May ’06, ’05)
సాధన:
y² = 4(x + 1), y = 36 (9 – x) వక్రాలను ఖండన బిందువుల కోసం సాధిస్తే
4(x + 1) = 36 (9 – x)
అంటే 10x = 80 లేదా x = 8
y² = 4(x + 1) ⇒ y² = 4(9) = 36
⇒ y = ±6
∴ రెండు వక్రాలు ఖండన బిందువులు P(8, 6), Q(8, -6)

⇒ వక్రాలు P వద్ద లంబంగా ఖండించుకొంటాయి. ఇదేవిధంగా, వక్రాలు Q వద్ద కూడా లంబంగా ఖండించు కొంటాయని చూపవచ్చు.

ప్రశ్న 27.
t = 2, t = 4 ల మధ్య s = f(t) = 2t² + 3 సరాసరి మార్పురేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
t = 2, t = 4 ల మధ్య x సరాసరి రేటు
\(\frac{f(4)-f(2)}{4-2}\) = \(\frac{35-11}{4-2}\) = 12.

ప్రశ్న 28.
వృత్త వ్యాసార్థం r = 5 సెం.మీ. అయినప్పుడు వ్యాసార్థం దృష్ట్యా వృత్త వైశాల్యంలో మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
r వ్యాసార్థంగా ఉండే వృత్తంపై వైశాల్యం A అనుకొందాం.
అప్పుడు A = πr², ఇప్పుడు A లోని మార్పు రేటు r దృష్ట్యా \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dr}}\) = 2πr. r = 5 సెం.మీ. వద్ద వైశాల్యంలో మార్పురేటు \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dr}}\) = 10π అవుతుంది.
కాబట్టి వృత్తవైశాల్యంలోని మార్పురేటు 10π సెం.మీ.²/సెకను.

ప్రశ్న 29.
ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం 9 సెం.మీ³ /సెకను చొప్పున పెరుగుతుంది. ఘనం అంచు 10 సెంటీమీటర్లు ఉన్నప్పుడు ఎంత త్వరగా దీని ఉపరితల వైశాల్యం పెరుగుతుంది (Ma. 2013)
సాధన:
ఘనం అంచు x సెం.మీ., దీని ఘనపరిమాణం V, ఉపరితల వైశాల్యం S అనుకొందాం. అప్పుడు V = x³, S = 6x².
ఘనపు పరిమాణంలో పెరుగుదల రేటు 9 సెం. మీ.³‘/సెకను.
కాబట్టి \(\frac{d v}{d t}\) = 9 సెం.మీ.³ /సెకను.
V ని t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{d V}{d t}\) = 3x² \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) ⇒ 9 = 3x²\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) వస్తుంది.
అంటే \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = \(\frac{3}{x^2}\)
S ను t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}\) = 12x × \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\)
= 12x × \(\frac{3}{x^2}\) = \(\frac{36}{x}\)
కాబట్టి x = 10 సెం.మీ. వద్ద
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}\) = \(\frac{36}{10}\) = 3.6 సెం.మీ.²/సెకను అవుతుంది.

ప్రశ్న 30.
ఒక సరళరేఖపై చలిస్తున్న కణం, t సెకన్లలో ఒక స్థిర బిందువు నుంచి చలించిన దూరం 5 (సెం.మీ.) మరియు S = f(t) : = 8t + t³ అయితే,
(i) t = 2 సెకన్ల వద్ద కణవేగాన్ని
(ii) ఆ కణం తొలి వేగాన్ని
(iii) t = 2సెకన్ల వద్ద త్వరణాన్ని కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
దూరం s, కాలం t ల మధ్య సంబంధం
s = f(t) = 8t + t³ —– (1)
∴ వేగం v = 8 + 3t² —- (2)
త్వరణం a = \(\frac{d^2 s}{d t^2}\) = 6t —– (3)
i) t = 2 సెకన్ల వద్ద వేగం 8 + 3 (4) = 20 సెం.మీ/సెకను.
ii) తొలి వేగం (t = 0) 8 సెం.మీ./సెకను.
iii) t = 2 సెకన్ల వద్ద త్వరణం 6(2) = 12 సెం.మీ/సెకను²

ప్రశ్న 31.
ఒక విలోమ శంకువు ఆకారపు ఎత్తు 12 సెం.మీ., ఉపరితల వ్యాసార్థం 6 సెం.మీ. దీనిని 12 సెం.మీ./ సెకను చొప్పున నీటితో నింపినప్పుడు, నీటి మట్టం 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం పెరిగే రేటు ఎంత ?
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద నీటిమట్టం ఎత్తు OC అనుకోండి.
త్రిభుజాలు OAB, OCD లు సరూప త్రిభుజాలు. కాబట్టి

\(\frac{C D}{A B}\) = \(\frac{O C}{O A}\) OC = h, CD = r అనుకొందాం.
దత్తాంశం నుంచి AB = 6 సెం.మీ., OA = 12 సెం.మీ.
\(\frac{r}{6}\) = \(\frac{h}{12}\) అంటే r = \(\frac{h}{12}\) …. (1)
శంకువు ఘనపరిమాణం V అనుకొంటే,
V = \(\frac{\pi r^2 h}{3}\) ……. (2)
సమీకరణం (1) నుంచి, V = \(\frac{\pi \mathrm{h}^3}{12}\) …. (3)
సమీకరణం (3) ను t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే

కాబట్టి నీటిమట్టం ఎత్తు 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు నీటిమట్టం ఎత్తు పెరిగే రేటు \(\frac{3}{4 \pi}\) సెం.మీ./సెకను

ప్రశ్న 32.
సరళరేఖపై s = f(t) = 4t³ – 3t² + 5t – 1 సంబంధాన్ని పాటిస్తూ ఒక కణం చలిస్తుంది. ఇక్కడ దూరం S ని మీటర్లలో, కాలం tని సెకన్లలో కొలిచాం. ఆ కణం వేగం, త్వరణం కనుక్కోండి. త్వరణం ఎప్పుడు సున్నా అవుతుంది ? (T.S Mar. ’15, ’13)
సాధన:
f(t) = 4t³ – 3t² + 5t – 1 కనుక t సెకను వద్ద
ఆ కణం వేగం
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 12t² – 6t + 5
త్వరణం a = \(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~s}}{\mathrm{dt}^2}\) = 24t – 6
24t – 6 = 0 అయితే త్వరణం సున్న అవుతుంది.
అంటే t = \(\frac{1}{4}\)
t = \(\frac{1}{4}\) సెకన్ల వద్ద త్వరణం సున్న అవుతుంది.

ప్రశ్న 33.
t సెకన్ల వద్ద రక్తంలో ఒక మందు ఉండే పరిమాణం (mg లలో) q = 3(0.4)^t. t = 2 సెకన్ల వద్ద q తక్షణ మార్పు రేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ q = 3(0.4)^t. కాబట్టి t సెకన్ల వద్ద
\(\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}\) = 3 (0.4)^t log_e (0.4), q లో తక్షణ మార్పురేటు.
t = 2 సెకన్ల వద్ద q లో తక్షణ మార్పురేటు
\(\left(\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}\right)_{t=2}\) = 3(0.4)² log_e (0.4) mg /సెకను

ప్రశ్న 34.
ఒక రకం బాక్టీరియా t సెకనులలో t³ వృద్ధి చెందుతుందను కుందాం. ఏ సమయానికి బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు 300 బాక్టీరియా / సెకను ఉంటుంది ?
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధి g(t) అనుకుందాం. అప్పుడు
g(t) = t³ …. (1)
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు g'(t) = 3t² …. (2)
300 = 3t² (g'(t) = 300 అని తెలుసు కాబట్టి)
t = 10 సెకన్లు
కాబట్టి t= 10 సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు 300 బాక్టీరియా/సెకను ఉంటుంది.

ప్రశ్న 35.
ఒక వస్తువును x యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి అనుగుణంగా అయ్యే మొత్తం ఖర్చు C(x) = 0.005 x³ – 0.02x² + 30x + 500. ఆ వస్తువును 3 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చును కనుక్కోండి. (మొత్తం ఖర్చు మార్పురేటు ఉపాంత ఖర్చు).
సాధన:
ఉపాంత ఖర్చు M అనుకుందాం. అప్పుడు
M = \(\frac{\mathrm{dC}}{\mathrm{dx}}\)
కాబట్టి
M = \(\frac{d}{d x}\)(0.005x³ – 0.02x² + 30x + 500)
= 0.005(3x²) – 0.02(2x) + 30
x = 3 వద్ద
(M)_{x = 3} = 0.05 (27) – 0.02(6) + 30
= 30.015
కాబట్టి 3 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చు రూ.30.02.

ప్రశ్న 36.
ఒక ఉత్పత్తిని x యూనిట్లు అమ్మగా వచ్చిన మొత్తం ఆదాయం R(x) = 3x² + 36x + 5 అని ఇస్తే, x = 5 అయినప్పుడు ఉపాంత ఆదాయం (మొత్తం ఆదాయంలో మార్పుకేటు) కురుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఆదాయం m అనుకొందాం. అప్పుడు
m = \(\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dx}}\) (మొత్తం ఆదాయం R(x))
ఇక్కడ R(x) = 3x² + 36x + 5
∴ m = 6x + 36
x = 5 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం
[m = \(\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dx}}\)]_x=5 = 30 + 36 = 66
కాబట్టి ప్రశ్నలో కోరిన ఉపాంత ఆదాయం 66.

ప్రశ్న 37.
y = f(x) = x² + 4 ప్రమేయానికి [-3, 3] అంతరంలో రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
ఇక్కడ f(x) = x² + 4. ఇంకా f ప్రమేయం [–3, 3] పై అవిచ్ఛిన్నం, ఎందుకంటే x² + 4 బహుపది.
f(3) = f(-3) = 13 (-3, 3) లో f అవకలనీయం.
∴ రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం f'(c) = 0 అయ్యేటట్లు c ∈ (-3, 3) ఉంటుంది. x = 0 కు f'(x) = 2x = 0
c = 0 ∈ (-3, 3). కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.

ప్రశ్న 38.
f(x) = x(x + 3)e^-x/2 ప్రమేయానికి [-3, 0] అంతరంలో రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి.
సాధన:
ఇక్కడ f(-3) = 0, f(0) = 0 దత్త ప్రమేయం f, [- 3, 0]
పై అవిచ్చిన్నమనీ, (- 3, 0) పై అవకలనీయమని గమనించండి. ఇంకా
f'(x) = \(\frac{\left(-x^2+x+6\right)}{2} e^{\frac{-x}{2}}\)
f'(x) = 0 ⇔ −x2 + x + 6 = 0 ⇔ x = -2 లేదా x = 3. ఈ రెండు విలువలలో x = -2 బిందువు వివృతాంతరం (−3, 0) లో ఉంది. కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.

ప్రశ్న 39.
f(x) = (x-1) (x – 2) (x – 3). అంతరం (1, 3)లో f‘(c) = 0 అయ్యేటట్లుగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ‘C’ లు ఉన్నాయని చూపండి.
సాధన:
[1, 3] పై f అవిచ్ఛిన్నమనీ, (1, 3) పై f అవకలనీయమనీ f(1) = f(3) = 0 అని గమనించండి.
f(x) = (x − 1) (x − 2) + (x – 1) (x – 3)+ (x – 2)(x − 3)
= 3x² – 12x + 11.
f'(x) = 0 కు మూలాలు \(\frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}\)
= 2±\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) అవుతాయి.
ఈ రెండు విలువలూ వివృతాంతరం (1, 3) లో అవకలజపు విలువ సున్న అయ్యేటట్లుగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 40.
y = x² వక్రంపై (0, 0), (1, 1) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యాకు, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
జ్యా వాలు \(\frac{1-0}{1-0}\) = 1
అవకలజం \(\frac{d y}{d x}\) = 2x
2x = 1 అయ్యేటట్లు x విలువ కావాలి.
అంటే x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}\) విలువ వివృతాంతం (0,1) లో ఉంది. (లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం). దీనికి అనుగుణంగా వక్రంపై
బిందువు (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\))

ప్రశ్న 41.
y = f(x) రేఖాచిత్రం ఉపయోగించకుండా f(x)= 8x + 2 ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
x₁ < x₂ అవుతూ x₁, x₂ ∈ R అనుకొందాం. అప్పుడు 8x₁ < 8x₂ ఈ సమీకరణానికి ఇరువైపులా 2 కలపగా, 8x₁ + 2 < 8x₂ + 2 వస్తుంది. అంటే f(x₁) < f(x₂). కాబట్టి,
x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ R. కావున f ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.

ప్రశ్న 42.
f(x) = e^x ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం అని చూపండి. (రేఖాచిత్రం వాడకుండా).
సాధన:
x₁, x₂ ∈ R, x₁ < x₂ అనుకుందాం. a > b అయితే e^a > e^b అని తెలుసు.
∴ x₁ < x₂ ⇒ \(e^{x_1}\) < \(e^{x_2}\)
అంటే f(x₁) < f(x₂).
కాబట్టి f ప్రమేయం పై శుద్ధ ఆరోహణం.

ప్రశ్న 43.
f(x) = -x + 2 ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
x₁, x₂ ∈ R, x₁ < x₂ అనుకొందాం.
అప్పుడు
x₁ < x₂ ⇒ -x₁ > -x₂
⇒ -x₁ + 2 > −x₂ + 2
⇒ f(x₁) > f(x₂)
∴ f(x) ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం.

ప్రశ్న 44.
f(x) = x² − 3x + 8 ∀ x ∈ R ప్రమేయం ఏ అంతరంలో ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x² – 3x + 8. దీనిని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే f(x) = 2x – 3. x = 3/2 వద్ద f'(x) = 0. కనుక x = 3/2 సందిగ్ధ బిందువు.

(-∞, 3/2 లో f(x) < 0 కనక \(\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)\) అంతరంపై f(x) శుద్ధ అవరోహణం. ఇంకా \(\left(\frac{3}{2}, \infty\right)\) అంతరంపై f'(x) > 0 కనక \(\left(\frac{3}{2}, \infty\right)\) అంతరంపై f(x) శుద్ధ ఆరోహణం

ప్రశ్న 45.
f(x) = |x|ప్రమేయం (-∞, 0) అంతరంపై శుద్ధ అవరోహణమనీ, (0, ∞) అంతరంపై శుబ్ధ ఆరోహణమనీ చూపండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = |x| అంటే

కాబట్టి c > 0 అయితే f‘(c) : 1, c < 0 అయితే f'(c) = -1, f(0) వ్యవస్థితం కాదు. (0, ∞) అంతరం పై f(c) > 0 కనక (0, ) అంతరం పై f(x)శుద్ధ ఆరోహణం. (−∞, 0) అంతరం పై f‘(c) < 0 కనక (−∞, 0)అంతరంపై శుద్ధ అవరోహణం.

ప్రశ్న 46.
f(x) = x³ + 5x² – 8x + 1 ∀ x ∈ R ప్రమేయం ఏ అంతరాలలో శుద్ధ ఆరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x³ + 5x² – 8x + 1.

ప్రశ్న 47.
f(x) = x,sup>x (x > 0) ప్రమేయం ఏ అంతరాలపై శుద్ధ ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రమేయం f(x) = x^x. దీనికి రెండు వైపులా సంవర్గమానాలు తీసుకొంటే log (f(x)) = x log x. దీనిని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{1}{f(x)}\)f'(x) = 1 + log x,
∴ f'(x) = x^x (1 + log x),
f'(x) = 0 ⇒ x^x (1 + log x) = 0 … (1)
⇒ 1 + log x = 0
⇒ x = 1/e

x < 1/e అయితే log x < log (1/e) (ఆధారం e > 1).
అంటే log x < −1
అంటే 1 + log x < 0 ⇒ x^x (1 + log x) < 0.
అంటే f'(x) < 0
x > 1/e అయితే log x > log (1/e) అంటే
log x > – 1.
⇒ 1 + log (x) > 0
⇒ x^x (1 + log (x)) > 0
⇒ f'(x) > 0
కనక (0, 1/e) అంతరంలో f శుద్ధ అవరోహణం, (1/e, ∞) అంతరంలో f శుద్ధ ఆరోహణం.

ప్రశ్న 48.
f(x) = \(\frac{2}{(x-1)}\) + 18x ∀ x ∈ R\ {0} ప్రమేయం ఏ అంతరాలలో అవరోహణమో, ఆరోహణమో కనుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = \(\frac{2}{(x-1)}\) + 18x. దీనిని x దృష్టా అవకలనం చేస్తే
f'(x) = \(\frac{-1}{(x-1)^2}\). 2 + 1. f'(x) = 0
⇒ \(\frac{2}{(x-1)^2}\) = 18 ⇒ (x – 1)² = 1/9
∴ x – 1 = 1/3 లేదా x – 1 = -(1/3) అయితే
f'(x) = 0.
అంటే x = 4/3 లేదా x = 2/3.
f(x) అవకలజాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
\(\frac{18}{(x-1)^2}\). (x − 2/3) (x − 4/3)

ప్రశ్న 49.
[0, 2π] అంతరంపై f(x) = sin x – అనుకొందాం. ఏ అంతరాలపై f(x) శుద్ధ ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = sin x cos x.
∴ f(x) = cos x + sin x, దీనిని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
∴ f'(x) = \(\sqrt{2}\) sin(x + π/4)
0 < x < 3π/4 అనుకొందాం.
అప్పుడు π/4 < x + π/4 < π. ∴ sin (x + π/4) > 0. అంటే f'(x) > 0.
ఇదే విధంగా (3π/4, 7π/4) పై f'(x) < 0 అనీ
(7π/4, 2π) పై f'(x) < 0 అనీ చూపవచ్చు.

ప్రశ్న 50.
0 ≤ x ≤ π/2 అయితే x ≥ 2 sin x అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = x – sin x అనుకొందాం.
f'(x) = 1 – cos x ≥ 0 ∀ x (∵ -1 ≤ cos x ≤ 1)
∴ f ఆరోహణ ప్రమేయం.
∴ x ≥ 0
⇒ f(x) ≥ f(0)
⇒ x – sin x ≥ 0 [∵ f(0) = 0]
⇒ x ≥ sin x ∀ x ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\)]

ప్రశ్న 51.
f : R → R ప్రమేయాన్ని f(x) = 4x² – 4x + 11 గా నిర్వచిస్తే, ప్రమేయం f పరమ కనిష్ఠ విలువ, పరమ కనిష్ఠ బిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ప్రమేయానికి f(c) పరమ కనిష్ఠ విలువ కావడానికి f(x) ≥ f(c) ∀ x ∈ R అయ్యేటట్లు C ∈ R ఉంటుందా అని చూడాలి.
f(x) = 4x² – 4x + 11 ను పరిగణిద్దాం.
f(x) = (2x – 1)² + 10 ≥ 10 ∀ x ∈ R ….. (1)
ఇప్పుడు f(1/2) = 10 …. (2)
f(x) ≥ f(1/2) ∀ x ∈ R
కాబట్టి f(1/2) = 10, f(x) పరమ కనిష్ఠ విలువ, x = 1/2 పరమ కనిష్ఠ బిందువు.

ప్రశ్న 52.
f: [-2, 2] → R ప్రమేయాన్ని f(x) = |x|గా నిర్వచిస్తే, ఆ ప్రమేయం పరమ గరిష్ఠ విలువ, పరమ గరిష్ఠ బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:

అని తెలుసు. [−2, 2] పై f యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని అనుసరించి. f(x) ≤ f(2), f(x) ≤ f(−2) ∀ x ∈ [-2, 2] అన్నది స్పష్టం.

∴ f(2) = f(−2) = 2, f(x) ప్రమేయానికి పరమ గరిష్ఠ విలువ, −2, 2 లు ప్రమేయం fకు పరమ గరిష్ఠ బిందువులు.

ప్రశ్న 53.
f : R → R ప్రమేయాన్ని f(x) = x² గా నిర్వచిస్తే దీని పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలు (వ్యవస్థితం అయితే) కనుక్కోండి.
సాధన:
వాస్తవ సంఖ్య వర్గం ధనాత్మకం కనుక

f(x) ≥ f(0) ∀ x ∈ R … (1)
ఇంకా f(0) = 0
∴ f(x) ≥ f(0) = 0 ∀ x ∈ R ……. (2)
కాబట్టి పరమ కనిష్ఠ విలువ 0. x = 0 పరమ కనిష్ఠ బిందువు. x₀ ∈ R (x_o > 0 )వద్ద f(x) పరమ గరిష్ఠం అనుకొందాం. అప్పుడు మనం అనుకొన్న దాని ప్రకారం
f(x₀) ≥ f(x) ∀ x ∈ R ….. (3)
x₁ = x₀ + 1గా తీసుకోండి. అప్పుడు x₁ ∈ R, x_o < x₁
∴ \(x_0^2<x_1^2\)
కాబట్టి f(x₀) < (fx₁).
f(x₁) > f(x₀) అయ్యేటట్లు f(x₁) విలువ ఉంది. ఇది (3) కు విరుద్ధం. కాబట్టి f(x) కు పరమ గరిష్ఠం R లో ఉండదు.

ప్రశ్న 54.
f(x) = 3x⁴ – 4x³ + 1, ∀ x ∈ R కు స్థిర బిందువులు కనుక్కోండి. ఈ బిందువులలో ఏవి ప్రమేయం fకు స్థానిక గరిష్టం లేదా స్థానిక కనిష్ఠం అవుతాయో తెలపండి.
సాధన:
f(x) = 3x⁴ – 4x³ + 1, f ప్రదేశం R. f అని అవకలనం చేస్తే,
f'(x) = 12x²(x – 1) …… (1)
f'(x) = 0 అంటే 12x² (x – 1) = 0 మూలాలు విరామ బిందువులు. కాబట్టి x = 0, x = 1 లు విరామ బిందువులు. ఇప్పుడు x = 1 స్థానిక అంత్య బిందువు అవుతుందో లేదో పరిశీలిద్దాం.
f(0.9) = 12(0.9)² (0.9 – 1) ⇒ f'(0.9) రుణాత్మకం,
f(1.1) = 12(1.1)² (1.1 – 1) ⇒ f'(1.1) ధనాత్మకం,
f(x) ప్రమేయం 1 యొక్క ఒక సామీప్యంలో నిర్వచితం. అంటే δ = 0.2 తో (0.8, 1.2) అంతరం 1– యొక్క సామీప్యం.
కాబట్టి x = c వద్ద f(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారితే f కుఁ కనిష్ఠ బిందువు నుంచి x = 1 వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం. కాబట్టి x = 1 స్థానిక అంత్య బిందువు.
ఇప్పుడు మనం x = 0 అంత్య బిందువు అవుతుందో, లేదో పరిశీలిద్దాం. (-0.2, 0.2) అంతరంలో f(x) ప్రమేయం నిర్వచితం.
f'(-0.1) = 12(-0.1)²(-0.1 – 1)
⇒ f(-0.1) రుణాత్మకం,
f(- 0.1) = 12(0.1)² (0.1 – 1) ⇒ f(0.1) రుణాత్మకం,
x = 0 వద్ద f(x) గుర్తు మారడం లేదు. కాబట్టి x = 0 దగ్గర f కు స్థానిక గరిష్ఠం, స్థానిక కనిష్ఠాలు ఉండవు. కాబట్టి x = 0 బిందువు f కు స్థానిక అంత్య బిందువు కాదు.

ప్రశ్న 55.
f(x) = x³ – 6x² + 12x – 8 ∀ x ∈ R ప్రమేయానికి స్థానిక కనిష్ఠ, స్థానిక గరిష్ఠ బిందువులు (ఉన్నట్లయితే) కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x³ – 6x² + 12x – 8, ప్రదేశం R.
ప్రమేయాన్ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
f(x) = 3x² − 12x + 12 వస్తుంది.
అంటే f(x) = 3(x – 2)².
f'(x) కు 2 మూలం కనుక
δ = 0.2 గా తీసుకొందాం. (1.8, 2.2) అంతరం 2 యొక్క 0.2- సామీప్యం అవుతుంది. ఇప్పుడు
f'(1.9) = 3(1.9 – 2)² ⇒ f(1.9) ధనాత్మకం.
f'(2.1) = 3(2.1 – 2)² ⇒ f'(2.1) ధనాత్మకం.
కాబట్టి x = 2 వద్ద f(x) గుర్తు మారలేదు.
కాబట్టి x = c వద్ద f(x) గుర్తు మారనట్లయితే f కు x = c స్థానిక గరిష్ట బిందువు కానీ, స్థానిక కనిష్ట బిందువు కానీ కాదు. x = 2, f కు స్థానిక గరిష్ట బిందువూ కాదు. స్థానిక కనిష్ట బిందువూ కాదు.

ప్రశ్న 56.
f(x) = sin 2x ∀ x ∈ [0, 2π] ప్రమేయానికి స్థానిక కనిష్ఠ, స్థానిక గరిష్ఠ బిందువులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = sin 2x, f ప్రదేశం [0, 2π].
f'(x) = 2cos 2x … (1)
[0, 2π] అంతరంలో ఉండే 2 cos 2x = 0 విరామ బిందువులు \(\frac{\pi}{4}\), 3π/4
x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తిస్తే,

కాబట్టి f(x) గుర్తు x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద ధనాత్మకం నుంచి ఋణాత్మకానికి మారింది.
కాబట్టి x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద f స్థానిక గరిష్ఠం. ఇప్పుడు x = 3π/4 వద్ద మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తిద్దాం.

కాబట్టి x = 3π/4 వద్ద f'(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది. కాబట్టి x = 3π/4 వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం ఉంది.

ప్రశ్న 57.
f(x) = x³ − 9x² – 48x + 6 ∀ x ∈ R ప్రమేయం స్థానిక అంత్య బిందువులను కనుక్కోండి. దీని అంత్య విలువలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం
f(x) = x³ – 9x² – 48x + 6 …….. (1)
ప్రమేయపు ప్రదేశం R (1) ని X దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే, f(x) = 3x² – 18x – 48 = 3(x – 8) (x + 2)…. (2)
కాబట్టి f కు – 2, 8 విరామ బిందువులు (2)ను × దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f”(x) = 6(x – 3) ….. (3) వస్తుంది.
x₁ = – 2, x₂ = 8 అనుకొందాం. ఈ బిందువుల వద్ద రెండో అవకలజపు గుర్తులు తెలుసుకోవడానికి వీటి వద్ద f”(x) విలువలు కనుక్కోవాలి. x = – 2 వద్ద f”(-2) = – 30 దీని గుర్తు రుణాత్మకం.
కాబట్టి x = -2 బిందువు f కు స్థానిక గరిష్ఠ బిందువు, స్థానిక గరిష్ఠ విలువ f(-2) = 58
ఇప్పుడు x₂ = 8 బిందువు వద్ద f”(8) = 30. కాబట్టి x₂ = 8 వద్ద f”(x) ధనాత్మకం. కాబట్టి x₂ = 8 బిందువు f కు స్థానిక కనిష్ట బిందువు, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ
f(8) = – 442.

ప్రశ్న 58.
f(x) = x⁶ ∀ x ∈ R అన్ని స్థానిక అంత్య బిందువులను కనుక్కోండి. దీని అంత్య విలువలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁶ …. (1)
(1) ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f(x) = 6x⁵ …… (2)
(2) ను మళ్ళీ x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f”(x) = 30x⁴ …. (3)
x = 0 మాత్రమే f కు విరామ బిందువు (ఎందుకంటే x = 0 వద్ద మాత్రమే f'(x) = 0)
ఇప్పుడు f'(0) = 0. రెండో అవకలజం పరీక్షననుసరించి స్థానిక అంత్య బిందువు పరంగా x = 0 గురించి నిర్ణయించలేం.
కాబట్టి మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తితం చేద్దాం. f ప్రదేశం R కనుక (-0.2, 0.2) లో f నిర్వచితం, ఇది 0 సామీప్యం. ఇప్పుడు
f(-0.1) = 6(-0.1)5 < 0, f(0.1) = 6(0.1) 5 > 0.
∴ x = 0 వద్ద f(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది.
కాబట్టి ప్రమేయం fకు x = 0 స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ f(0) = 0.

ప్రశ్న 59.
f(x) = cos 4x ∀ x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) కి స్థానిక అంత్య బిందువులు, స్థానిక అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ f(x) = cos 4x …… (1)
దీని ప్రదేశం (0, \(\frac{\pi}{2}\))
∴ f'(x) = -4 sin 4x …. (2)
f”(x) = -16 cos 4x …. (3)
= (0, \(\frac{\pi}{2}\)) అంతరంలో ఉండే f(x) విరామ బిందువులు
f'(x) = 0 కి మూలాలు.
f'(x) = 0 – 4 sin 4x = 0
⇒ x = 0, π/4, π/2, 3π/4, π….
f ప్రదేశంలో ఉండే బిందువు x = π/4 మాత్రమే. కాబట్టి x = π/4 బిందువు f కు విరామ బిందువు. ఇప్పుడు
f'(π/4) = -16 cos(π)
= 16 > 0.
∴ f కు స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు
x = π/4 స్థానిక కనిష్ఠ విలువ
f(π/4) = -1.

ప్రశ్న 60.
రెండు సంఖ్యల మొత్తం 15 గా ఉంటూ వాటి వర్గాల మొత్తం కనిష్టం అయ్యే సంఖ్యలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక సంఖ్య x అనుకొందాం. మరో సంఖ్య15 – x. రెండు సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం S అనుకొంటే
S = x’ + (15 – x)² —– (1)
వస్తుంది.
ఇక్కడ కనిష్ఠం చేయవలసిన రాశి S, X లో ప్రమేయం.
(1) ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dx}}\) = 2x + 2(15 – x) (-1)
= 4x – 30 —— (2)
(2) ను మళ్ళీ x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,

ప్రశ్న 61.
దీర్ఘ చతురస్రపు చుట్టుకొలత 20 స్థిరంగా ఉంటూ ఏర్పడే దీర్ఘ చతురస్రాల వైశాల్యాలలో గరిష్ఠ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘ చతురస్రం పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా x, y అనుకొందాం. దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత 20.
అంటే 2(x + y) = 20.
అంటే x + y = 10 …. (1)
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యాన్ని A అనుకొందాం. అప్పుడు
A = x y ………. (2)
దీనిని గరిష్టం చేయాలి. సమీకరణం (1) ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
y = 10 – x ….. (3)
సమీకరణం (2), (3) లనుంచి
A = x (10 – x)
అంటే A = 10x – x² ……….. (4)
సమీకరణం (4) ను దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d A}{d x}\) = 10 – 2x ….. (5)
10 – 2x = 0 మూలం A కు విరామ బిందువు
∴ A విరామ బిందువు x = 5.
(5) ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~A}}{\mathrm{dx}^2}\) = -2 వస్తుంది
అంటే ఇది రుణాత్మకం. కాబట్టి రెండో అవకలజ పరీక్షను అనుసరించి x = 5 వద్ద A గరిష్ఠం, కాబట్టి y = 10 – 5 = 5, గరిష్ఠ వైశాల్యం A = 5(5) = 25.

ప్రశ్న 62.
(4, 0) నుంచి y² = x వక్రంపై కనిష్ఠ దూరంలో ఉన్న బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:

y² = x పై P(x, y) బిందువు, A(4, 0) అనుకొందాం. PA కనిష్ఠం అయ్యేటట్లు P ని కనుక్కోవాలి
PA = D అనుకొందాం. కనిష్ఠం చేయవలసిన రాశి D.
D = \(\sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2}\) ….. (1)
P(x, y) వక్రంపై బిందువు, కనుక
y² = x ….. (2)
సమీకరణం (1),(2)ల నుంచి
D = \(\sqrt{\left((x-4)^2+x\right)}\)
D = \(\sqrt{\left(x^2-7 x+16\right)}\) …. (3)
సమీకరణం (3)ను దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{\mathrm{dD}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{2 x-7}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-7 x+16}}\) . \(\)
ఇప్పుడు \(\frac{d D}{d x}\) = 0 అయితే x = 7/2. కాబట్టి, Dకి 7/2 విరామ బిందువు. మొదటి అవకలజ పరీక్ష అనువర్తితంతో x = 7/2
కనిష్ఠం అవుతుందో కాదో సరి చూద్దాం.

ఇది ధనాత్మకం.
గుర్తు x = 7/2 వద్ద రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది. కాబట్టి x = 7/2 వద్ద D కనిష్ఠం. x = 7/2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా వచ్చే సమీకరణం y² = 7/2.

A(4,0) కు కనిష్ఠ దూరంలో ఉండే బిందువులు.

ప్రశ్న 63.
ఇచ్చిన శంకువులో అంతర్లిఖించబడే లంబ వృత్తాకార స్థూపం (right circular cylinder) యొక్క వక్రతల ఉపరితల వైశాల్యం గరిష్టం అయితే
సాధన:
శంకువు ఆధార వృత్త కేంద్రం ౦, దీని ఎత్తు h, దీని ఆధార వృత్త వ్యాసార్థం r అనుకొందాం.
అప్పుడు AO = h, OC = r.
శంకువులో అంతర్లిఖించబడిన స్థూప వ్యాసార్థం x(OE),
దీని ఎత్తు U అనుకొందాం. అంటే,
అంటే RO = QE = PD = u.
ఇప్పుడు AOC, QEC త్రిభుజాలు సరూప త్రిభుజాలు. కాబట్టి


స్థూపం వక్రతల ఉపరితల వైశాల్యం S అనుకొందాం. అప్పుడు
S = 2 π xu
సమీకరణం (1) ప్రకారం,
S = 2 πh (r – x – x²)/r
శంకువు యొక్క r, h లు స్థిరరాశులు. కాబట్టి S అనేది x లో మాత్రమే ప్రమేయం. ఇప్పుడు

కాబట్టి గరిష్ఠంగా అంతర్లింభింపబడే స్థూపం వ్యాసార్థం, శంకువు వ్యాసార్థంలో సగం.

ప్రశ్న 64.
ఒక కంపెనీ రోజుకు x వస్తువులు అమ్మగా వచ్చే లాభ ప్రమేయం P(x) = (150 – x)x – 1600. కంపెనీ గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి ఆ కంపెనీ ఎన్ని వస్తువులను తయారు (ఉత్పత్తి) చేయాలో కనుక్కోండి. గరిష్ఠ లాభాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త లాభ ప్రమేయం
P(x) = (150 – x)x – 1600 …. (1)
P(x) యొక్క గరిష్ఠ లేదా కనిష్టాలకు \(\frac{\mathrm{dP}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = 0
∴ (150 − x) (1) + x (-1) = 0
అంటే x = 75.

లాభ ప్రమేయం P(X) గరిష్ఠం కావడానికి x = 75
∴ కంపెనీ గరిష్ఠ లాభాన్ని పొందడానికి అది రోజుకు 75 వస్తువులను తయారు చేయాలి.
కంపెనీ గరిష్ఠ లాభం P(75) = 4025.

ప్రశ్న 65.
ఒక వర్తకుడు ఒక వస్తువును (5 – x/100) చొప్పున X వస్తువులు అమ్మగలడు. x వస్తువులు కొన్న ఖరీదు రూ. (x/5 + 500). వర్తకుడు గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి అతడు అమ్మవలసిన వస్తువులు ఎన్నో కనుక్కోండి.
సాధన:
x వస్తువులు అమ్మిన ధర S(x), కొన్న ఖరీదు C(x) అనుకొందాం. అప్పుడు
S(x) = {వస్తువు యొక్క అమ్మిన ధర}. x
S(x) = (5 – x/100) x = 5x – x²/100,
C(x) = x/5 + 500
లాభ ప్రమేయం P(x) అనుకొంటే,
P(x) = S(x) – C(x).
అంటే P(x) = (5x – x²/100) – (x/5 + 500)
= (24x/5) – (x²/100) – 500 —— (1)
P(x) గరిష్ఠ, కనిష్ఠాలకు \(\frac{\mathrm{dP}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = 0.
అంటే 24/5 – x/50 = 0.
∴ P(x) విరామ బిందువు x = 240. x యొక్క అన్ని విలువలకు
\(\left[\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx} \mathrm{x}^2}\right]\) = –\(\frac{1}{50}\)
కాబట్టి వర్తకుడు గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి అమ్మవలసిన వస్తువుల సంఖ్య 240.

ప్రశ్న 66.
[-2, 2]పై f ప్రమేయాన్ని f(x) = x² గా నిర్వచిస్తే యొక్క పరమ అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
[−2, 2] పై దత్త ప్రమేయం f(x) = x² అవిచ్ఛిన్నం. ఈ ప్రమేయానికి x = 0 ఒకే ఒక స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు, కనిష్ఠ విలువ 0 అని చూపవచ్చు. కాబట్టి f(-2), f(0), f(2) అంటే 4, 0, 4 లలో గరిష్ఠ విలువ f కి పరమ గరిష్ఠ విలువ అవుతుంది.
కాబట్టి f పరమ గరిష్ఠ విలువ 4. ఇదే విధంగా 4, 0, 4 లలో కనిష్ఠ విలువ f కి పరమ కనిష్ఠ విలువ అవుతుంది. కాబట్టి 0, f పరమ కనిష్ఠ విలువ.

ప్రశ్న 67.
[0, 1] అంతరంపై x⁴⁰ – x²⁰ ప్రమేయానికి పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴⁰ – x²⁰ ∀ x ∈ [0, 1] …. (1)
అనుకొంటే [0, 1] అంతరంపై f అవిచ్ఛిన్నం, అంతరం [0, 1] సంవృతాంతరం.
(1) నుంచి
f'(x) = 40 x³⁹ – 20x¹⁹
= 20x¹⁹ (2x²⁰ – 1).
కాబట్టి x = 0 లేదా x = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\) ‘వద్ద
f'(x) = 0.
కాబట్టి f విరామ బిందువులు 0, \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\)
0, f ప్రదేశం చివరి బిందువు. కాబట్టి x = 0 వద్ద f కు స్థానిక అంత్య విలువలు వ్యవస్థితం కావు. ఇప్పుడు
f”(x) = 40(39) x³⁸ – 20(19)x¹⁸
= 20x¹⁸ (78x²⁰ – 19)

కాబట్టి x = (1/2)^(1/20) వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ

కాబట్టి f(0), f(1), f\(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\right)\) లలో అతిపెద్దది f పరమ గరిష్ఠం అవుతుంది.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 9 అతిపరావలయ ప్రమేయాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 9 అతిపరావలయ ప్రమేయాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
ప్రతి x ∈ R sinh (3x) = 3 sinh x + 4sinh³ x అని నిరూపించండి.
సాధన:
LHS = sinh (3x)
= sinh (2x + x)
= sinh (2x) . cosh (x) + cosh (2x) . sinh (x)
= (2 sinh x cosh x) cosh x + (1 + 2 sinh² x) sinh x
= 2 sinh x (cosh² x) + (1 + 2 sinh² x) sinh x
= 2 sinh x (1 + sinh² x) + (1 + 2 sinh² x) sinh x
∵ cosh² x – sinh² x = 1
= 3 sinh x + 4 sinh³ x
∵ sinh (3x) = 3 sinh x + 4 sinh³ x

ప్రశ్న 2.
ప్రతి x ∈ R కు tanh 3x = \(\frac{3 \tanh x+\tanh ^3 x}{1+3 \tanh ^2 x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
cosh x = \(\frac{5}{2}\) అయితే,
i) cosh (2x)
ii) sinh (2x) లువలు కనుక్కోండి (May ’11, ’06)
సాధన:
i) cosh (2x) = 2 cosh² (x) – 1
= 2\(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) – 1 = \(\frac{25}{2}\) – 1 = \(\frac{23}{2}\)

ii) sinh² (2x) = cosh² (2x) – 1
= \(\left(\frac{23}{2}\right)^2\) – 1 = \(\frac{529-4}{4}\) = \(\frac{525}{4}\)
∴ sinh (2x) = ± \(\sqrt{\frac{525}{4}}\) = ± \(\frac{5 \sqrt{21}}{2}\)

ప్రశ్న 4.
cosh x = sec θ అయితే tanh² \(\frac{x}{2}\) = tan² \(\frac{\theta}{2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
tan²\(\frac{x}{2}\) =
\(\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}\) = \(\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}\) = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) = tan^-1 \(\frac{\theta}{2}\)

ప్రశ్న 5.
θ ∈ \(\left(-\frac{p}{4}, \frac{p}{4}\right)\), x = log_e\(\left(\cot \left(\frac{p}{4}+q\right)\right)\)
అయినప్పుడు
(i) cosh x = sec 2θ,
(ii) sinh x = tan 2θ అని నిరూపించండి.
సాధన:

i) cosh (x) = \(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)

∴ cosh x = sec 2θ

ii) sinh x = \(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{2}\)

∴ sinh x = tan 2θ

ప్రశ్న 6.
sinh x = 5 soma x = log_e (5 + \(\sqrt{26}\)) అని చూపండి.
సాధన:
∴ sinh (x) = 5
⇒ x = sinh^-1 (5)

ప్రశ్న 7.
tanh^-1 \(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\frac{1}{2} \log _e 3\) అని చూపండి. (Mar. ’15, ’08, 05; May ’07, ’05)
సాధన:
∵ tanh^-1(x) = \(\frac{1}{2}\)log_e \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\), ∀ x ∈ (-1, 1)
∵ tanh^-1(x) \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)log_e\(\left(\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\)log_e (3)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(c)

అభ్యాసం – 9 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) sin^-1 (3x – 4x³) (May ’11)
సాధన:
x = sin θ ప్రతిక్షేపించగా,
y = sin^-1 (3 sin θ – 4 sin³ θ)
= sin^-1 (sin 3θ)
= 3θ = 3 sin^-1 x.
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

ii) cos^-1 (4x³ – 3x) (Mar. ’14)
సాధన:
x = cos θ ప్రతిక్షేపించగా,
y = cos^-1 (4 cos³ θ – 3 cos θ)
= cos^-1 (cos 3θ) = 3θ = 3 cos^-1x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

iii) sin^-1 \(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) (T.S Mar. ’15)
సాధన:
x = tan θ ⇒ y
= sin^-1 \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\) = sin^-1 (sin 2θ)
= 2θ = 2 tan^-1 x; \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2}{1+x^2}\)

iv) tan^-1 \(\left(\frac{a-x}{1+a x}\right)\)
సాధన:
a = tan α, x = tan θ
y = tan^-1 \(\left(\frac{\tan \alpha-\tan \theta}{1+\tan \alpha \tan \theta}\right)\)
= tan^-1(tan (α – θ)) = α – θ
= tan^-1 a – tan^-1 x;
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0 – \(\frac{1}{1+x^2}\) = –\(\frac{1}{1+x^2}\)

v) tan^-1 \(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
సాధన:

సందర్భము :1.
y = tan^-1\(\left(\tan \frac{x}{2}\right)\) 0 < x < π
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2}\)

సందర్భము : 2.
y = tan^-1 \(\left(-\tan \frac{x}{2}\right)\)0 – π < x < 0
= \(-\frac{x}{2}\)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{1}{2}\)
= \(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{1}{2}\), 0 < x < π అయితే
= –\(\frac{1}{2}\), -π < x < 0 అయితే

vi) sin[cos (x²)]
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = cos [cos (x²)] + \(\frac{d}{d x}\)[cos (x²)]
= cos [cos (x²)]. [- sin (x²)] \(\frac{d}{d x}\left(x^2\right)\)
= cos [cos (x²)] [- sin (x²)]. 2x
= -2x. sin (x²). cos [cos (x²)]

vii) sec^-1 \(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\) \(\left(0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) (Mar. 13)
సాధన:
x = cos θ అనుకొందాం
2x² – 1 = 2 cos² θ – 1 = cos 2θ
y = sec^-1\(\left(\frac{1}{\cos 2 \theta}\right)\) = sec^-1 (sec 2θ) = 2θ
= 2 cos^-1 x
\(\frac{d y}{d x}\) = 2\(\left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) = \(\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}\)

viii) sin [tan^-1 (e^-x)]
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = cos [tan^-1 (e^-x)]. [tan^-1 (e^-x)]¹
= cos (tan^-1 (e^-x)] – \(\frac{1}{1+\left(e^{-x}\right)^2}\)(e^-x)¹
= \(\frac{-e^{-x}}{1+e^{-2 x}}\) . cos [tan^-1 (e^-x)]

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాటికి g(x) దృష్ట్యా f(x) ను అవకలనం చేయండి.

i) f(x) = e^x, g(x) = \(\sqrt{x}\)
సాధన:
y = e^x, z = \(\sqrt{x}\) అనుకుందాం.

ii) f(x) = e^{sin x}, g(x) = sin x
సాధన:
y = e^{sin x}, g(x) = sin x
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{sin x} . cos x, \(\frac{d z}{d x}\) = cos x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dz}}\) = \(\frac{\left(\frac{d y}{d x}\right)}{\left(\frac{d z}{d x}\right)}\) = \(\frac{e^{\sin x} \cdot \cos x}{\cos x}\) = e^{sin x}

iii) f(x) = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\), g(x) = sin^-1 \(\left[\frac{2 x}{1+x^2}\right]\)
సాధన:
y = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) మరియు z = sin^-1 అనుకుందాం.
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,

ప్రశ్న 3.
y = e^{a sin-1x} అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\text { ay }}{\sqrt{1-x^2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
y = e^{a sin-1 x}
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{a sin-1x} x(a sin^-1 x)¹
= e^{a sin-1x}. a \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) = \(\frac{\text { ay }}{\sqrt{1-x^2}}\)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయాల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) tan^-1 \(\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a\left(a^2-3 x^2\right)}\right)\)
సాధన:
x = a tan θ ప్రతిక్షేపించగా,

ii) tan^-1 (sec x + tan x)
సాధన:
y = sec x + tan x

iii)
tan^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
సాధన:
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,

iv) (log x)^{tan x}
సాధన:
log y = log (log x)^{tan x}
= (tan x). log (log x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

v) (x^x)^x
సాధన:
f(x) = x^x
log y = log x^x = x. log x
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}\) = \(x^2 \cdot\left(\frac{\log }{x} x\right)\) + (log x) \(\frac{d}{d x}\)(x²)
= x². \(\frac{1}{x}\) + 2x. log x
= x + 2x log x = x (1 + 2 log x)
= x (log e + log x²)
= x. log (e)x²
\(\frac{d y}{d x}\) = y. x. log (ex²)
= \(x^{x^2}\) .x. log (ex²)
= \(x^{x^2+1}\) + 1 log (ex²)

vi) 20^{log (tan x)}
సాధన:
f(x) = 20^{log (tan x)}
log y = log (20)^{log (tan x)}
= log (tan x) log 20
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

vii) x^x + \(e^{e^x}\)
సాధన:

viii) x. log x. log (log x)
సాధన:
f(x) = x. log x. \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(log. (log x)) + log (log x) log x. 1 + x. log (log x)\(\frac{1}{x}\)
= x log x. \(\frac{1}{\log x}\) . \(\frac{1}{x}\) + log x. log (log x) + log (log x)
= 1 + log (log x) (1 + log x) = 1 + log (log x) + log x log (log x)
= log e + log (log x) + log x. log (log x)
= log (e log x) + log x. log (log x)

ix) \(e^{-a x^2}\) sin (x log x)
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(e^{-a x^2}\) sin (x log x)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\mathrm{e}^{-a x^2}\) . \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin (x log x)) + sin (x log x) \(\frac{d}{d x}\left(e^{-a x^2}\right)\)
= \(e^{-a x^2}\) cos (x log x). (x.\(\frac{1}{x}\) + log x) + sin (x log x) \(\mathrm{e}^{-a x^2}\) (-2ax)
= \(e^{-a x^2}\) (cos (x log x) (1 + log x) -2 ax.sin (x log x))
= \(e^{-a x^2}\) (cos (x log x) (log ex)-2 ax. sin (x log x))

x) sin^-1 \(\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^x}\right)\) (2^x = tan θ ప్రతిక్షేపించండి)
సాధన:

2^x. log 2. \(\frac{d x}{d \theta}\) = sec² θ
= 1 + tan² θ = 1 + (2^x)²
= 1 + 4^x
\(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dx}}\) = 2^x – log 2(1 + 4^x)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d y}{d \theta}\) . \(\frac{d \theta}{d x}\) = 2 . 2^x . log 2/(1 + 4^x)
= 2^{x + 1} . log 2/(1 + 4^x)

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రమేయాలకు \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
i) x = 3 cos t – 2 cos³ t,
y = 3 sin t – 2 sin³t
సాధన:
\(\frac{d x}{d t}\) = – 3 sin t – 2(3 cos² t) (- sin t)
= -3 sin t + 6 cos²t – sin t
= 3 sin t (2 cos² t – 1)
= 3 sin t. cos 2t
y = 3 sin t – 2 sin³ t
\(\frac{d y}{d t}\) = 3 cost – 2 (3 sin² t) – cos t
= 3 cost (1 – 2 sin² t) = 3 cost. cos 2t

ii) x = \(\frac{3 a t}{1+t^3}\), y = \(\frac{3 a t^2}{1+t^3}\)
సాధన:

iii) x = a (cos t + t sin t), y = a (sin t− t cost)
సాధన:
\(\frac{d x}{d t}\) = a(- sin t + t cos t + sin t) = at cos t
y = a (sin t – t cos t)
\(\frac{d y}{d t}\) = a (cos t – cos t + t sin t)

iv) x = a\(\left[\frac{1-t^2}{1+t^2}\right]\), y = \(\frac{2 b t}{1+t^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటిని g(x) దృష్ట్యా f(x) ను అవకలనం చేయండి.

i) f(x) = log_a x, g(x) = a^x
సాధన:
y = f(x) = \(\log _a^x\) = \(\frac{\log x}{\log _e^a}\)
y = \(\log _a x\) = \(\frac{\log x}{\log _{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{x \log _e^a}\)

ii) f(x) = sec^-1 \(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\), g(x) = \(\sqrt{1-x^2}\)
సాధన:

iii) f(x) = tan^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\), g(x) = tan^-1 x
సాధన:

ప్రశ్న 4.
క్రింది సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచితమైన అంతర్లీన ప్రమేయాలు y ల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) x⁴ + y⁴ – a² xy = 0
సాధన:
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
4x³ + 4y³. \(\frac{d y}{d x}\) – (x . \(\frac{d y}{d x}\) + y . 1) = 0
4x³ + 4y³ . \(\frac{d y}{d x}\) – a² x \(\frac{d y}{d x}\) – a² y = 0
(4y³ – a²x)\(\frac{d y}{d x}\) = a²y – 4x³ \(\frac{d y}{d x}\) = \([\frac{a^2 y-4 x^3}{4 y^3-a^2 x}/latex]

ii) y = xy May ’04
సాధన:
log y = log x^y = y log x
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

iii) y^x = x^{sin y}
సాధన:
ఇరువైపులా సంవర్గమానాలు తీసుకొంటే,
log y^x = log x^{sin y} ⇒ x. log y = (sin y) log x
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 5.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.

i) = a (x – y) అయితే
(May ’11; Mar. ’05)
సాధన:

ii)

(A.P. Mar. 15)
సాధన:

iii) x^{log y} = log x, అయితే

సాధన:
x^{log y} = log x, log x^{log y} = log log x
(log y) (log x) = log (log x).
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

iv)

సాధన:
y = x tan θ

v)

సాధన:
x^y = y^x ⇒ log x^y = log y^x
y log x = x log y
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
y. [latex]\frac{1}{x}\) log x. \(\frac{d y}{d x}\) = x. \(\frac{1}{y}\) . \(\frac{d y}{d x}\) + log y

vi) x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(-\sqrt[3]{y / x}\)
సాధన:
x^2/3 + y^2/3 = a^2/3
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా

ప్రశ్న 6.
క్రింద పేర్కొన్న ప్రమేయాలకు \(\frac{d y}{d x}\) లను కనుక్కోండి.

i) y = \(\frac{(1-2 x)^{2 / 3}(1+3 x)^{-3 / 4}}{(1-6 x)^{5 / 6}(1+7 x)^{-6 / 7}}\)
సాధన:

ii) y = \(\frac{x^4 \cdot \sqrt[3]{x^2+4}}{\sqrt{4 x^2-7}}\)
సాధన:

iii) y = \(\frac{(a-x)^2(b-x)^3}{(c-2 x)^3}\)
సాధన:
log y = log \(\frac{(a-x)^2(b-x)^3}{(c-2 x)^3}\)
= log (a – x)² + log (b – x)³ – log (c – 2x)³
= 2 log (a – x) + 3 log (b – x) – 3 log (c – 2x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

iv) y = \(\frac{x^3 \cdot \sqrt{2+3 x}}{(2+x)(1-x)}\)
సాధన:
log y = log \(\frac{x^3(2+3 x)^{1 / 2}}{(2+x)(1-x)}\)
= log x³ + log (2 + 3x)^1/2 – log (2 + x) – log (1 – x)
= 3 log x + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

v) y = \(\sqrt{\frac{(x-3)\left(x^2+4\right)}{3 x^2+4 x+5}}\)
సాధన:

III

1. కింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) (sin x)^{log x} + x^{sin x} (T.S Mar. ’15, ’13)
సాధన:
y₁ = (sin x)^{log x}, y₂ = x^{sin x} y = y₁ + y₂
y₁ = (sin x)^{log x}
log y₁ = log {(sin x)^{log x}} = log x. log (sin x)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ii) (x^x)^x
సాధన:

iii) (sin x)^x + x^{sin x}
సాధన:
y₁ = (sin x)^x, y₂ = x^{sin x} అనుకుంటే
y = y₁ + y₂ అవుతుంది
log y₁ = log (sin x)^x = x. log sin x
\(\frac{1}{y_1} \cdot \frac{d y_1}{d x}\) = x. \(\frac{1}{\sin x}\). cos x + log (sin x)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = y₁ (x cot x + log sin x)
= (sin x)^x (x cot x + log (sin x))
y₂ = x^{sin x} ⇒ log y₂ = log. x^{sin x} = (sin x) log x
\(\frac{1}{y_2} \cdot \frac{d y_2}{d x}\) = sin x. \(\frac{1}{x}\) + (log x) cos x
\(\frac{\mathrm{dy}_2}{\mathrm{dx}}\) = y₂ (\(\frac{\sin x}{x}\) + cos x. (log x))
y = y₁ + y₂
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\mathrm{dy}_1}{\mathrm{dx}}\) + \(\frac{\mathrm{dy}_2}{\mathrm{dx}}\)
= (sin x)^x (x cot x + log (sin x)) + x^{sin x}(\(\frac{\sin x}{x}\) + cos x. (log x))

iv) x^x + (cot x)^x
సాధన:
y₁ = x_x మరియు y₂ = (cot x)^x అనుకుందాం.
log y₁ = log x^x = x – log x

ప్రశ్న 2.
క్రిందివాటిని నిరూపించండి.

i) x^y + y^x = a^b, అయితే
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\left(\frac{y x^{y-1}+y^x \log y}{x^y \log x+x y^{x-1}}\right)\)
సాధన:
y₁ = x^y మరియు y₂ = y^x ⇒ y₁ + y₂ = a^b
log y₁ = log x^y = y log x

ii) f(x) = sin ^-1 \(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-\beta}}\), g(x) = tan^-1 \(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-x}}\), అయితే f'(x) = g'(x) (β< x < α) (Mar. ’06)
సాధన:

iii) f(x) = (a² – b²)^-1/2. cos^-1 \(\left(\frac{a \cos x+b}{a+b \cos x}\right)\), a > b > 0 మరియు 0 < x < π ; అయితే f'(x) = (a + b cos x)^-1
సాధన:

ప్రశ్న 3.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) ను క్రింద చూపిన రెండు పద్ధతులలో అవకలనం చేయండి.
i) లబ్ధ సూత్రం ప్రకారం
ii) బహుపదిని సూక్ష్మీకరించి తర్వాత
iii) సంవర్గమాన అవకలనాన్ని అనుసరించి పై అన్ని పద్ధతులు ఒకే జవాబును ఇస్తున్నాయా ?
సాధన:
లబ్ధ సూత్రం ప్రకారం :
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 5x + 8) \(\frac{d}{d x}\)(x³ + 7x + 9) + (x³ + 7x + 9)\(\frac{d}{d x}\) (x² – 5x + 8)
= (x² – 5x + 8) (3x² + 7) + (x³ + 7x + 9)(2x – 5)
= 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56 + 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11 —- (1)

ii) బహుపదిని సూక్ష్మీకరించి :
సాధన:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= x⁵ +7x³ + 9x² – 5x⁴ – 35x² – 45x + 8x³ + 56x + 72
= x⁵ – 5x⁴ + 15x³ – 26 x² + 11x + 72
\(\frac{d y}{d x}\) = 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52 x + 11 ——— (2)

iii) సంవర్గమాన అవకలనమును అనుసరించి : y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
సాధన:
log y = log (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= log (x² – 5x + 8) + log (x³ + 7x + 9)

= (2x – 5) (x³ + 7x + 9) + (x² – 5x + 8) (3x² + 7)
= 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45 + 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11 —— (3)
(1), (2), (3) ల నుండి అవి ఒకే జవాబును ఇస్తున్నాయి అని గ్రహించగలము.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 8th Lesson గురుత్వాకర్షణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 8th Lesson గురుత్వాకర్షణ

→ ఒక వస్తువు మార్గము నిర్ణీత కాలము పిదప పునరావృతమైనచో ఆ చలనము ఆవర్తన చలనము.

→ వస్తువు తన మార్గములో గల ఒక స్థిర బిందువునకు అటు ఇటు చలనములో ఉన్న, దానిని హరాత్మక చలనం అందురు.

→ వస్తువునకు గల త్వరణము, మార్గములో గల స్థిర బిందువు నుండి గల స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, స్థిరబిందువుకు అభిముఖంగా ఉంటే ఆ చలనాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు.

→ వస్తువు ఒకసారి ముందు, వెనుకలకు ప్రయాణించిన ఒక డోలనము అగును.

→ గరిష్ట స్థానభ్రంశంను కంపన పరిమితి అంటారు.

→ సెకనుకు జరిగే డోలనాల సంఖ్యను పౌనఃపున్యం అంటారు.

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో వేగం స్థానభ్రంశాన్ని బట్టి మారుతుంది. దానికి సమీకరణం V = ω\(\sqrt{A^2-y^2}\). మాధ్యమిక స్థానంవద్ద వేగం గరిష్ఠంగానూ, చరమస్థానం వద్ద శూన్యంగానూ ఉంటుంది. V_{గరిష్టం} = Aω.

→ కణం త్వరణం కూడ స్థానభ్రంశాన్ని బట్టి మారుతుంది. దానికి సమీకరణం a = -ω²y. త్వరణం మాధ్యమిక స్థానం వద్ద శూన్యంగానూ, చరమస్థానం వద్ద గరిష్ఠంగాను ఉంటుంది. a_{గరిష్టం} = Aω²

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం వేగం, త్వరణం కాలంతో కూడా ఆవర్తకంగా మార్పు చెందుతాయి. v = Aω cos ωt, a = Aω²sin ωt వాటి మార్పును సూచిస్తాయి.

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం తత్కాల స్థానం, గమనదిశా పరంగా దాని కంపన స్థితిని “దశ” అంటారు. దీనిని నిర్దేశ వృత్తంపై కోణీయ స్థానభ్రంశం ‘9 ‘ రూపంలో తెలియచేయవచ్చు. 6 = (at ± Φ₀) ఇక్కడ Φ₀ తొలి దశ (t = 0 ఉన్నప్పుడు దశ) దీనిని “ముహూర్త దశ” (Epoch) అంటారు.

→ లఘులోలకం చిన్న చిన్న డోలన పరిమితులలో కంపించేటపుడు సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉంటుంది. దాని డోలనావర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\)

→ భారగ్రస్థ స్ప్రింగ్ చేసే నిలువు కంపనాలు కూడా సరళహరాత్మక డోలనాలే. స్ప్రింగ్ కొనకు వేలాడదీసిన వస్తువు ద్రవ్యరాశి ‘m’ అయితే డోలనావర్తన కాలం T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\)

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం గతిశక్తి K.E = \(\frac{1}{2}\)mω²(A² – y²).

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం స్థితిశక్తి P.E = \(\frac{1}{2}\)mω²y²

→ సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తున్న కణం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\)mω²A²

→ A కంపన పరిమితి, బ కోణీయ పౌనఃపున్యంతో సరళహరాత్మక చలనం
y = A sin (ωt ± θ₀) (లేదా) y = A cos (ωt ± θ₀)

→ సరళహరాత్మక చలనంలో కణం యొక్క వేగం మరియు త్వరణం
v(t) = -ωA sin (ωt + Φ)
a(t) = -ω²Acos (ωt + Φ) = -ω²x(t)

→ అవరుద్ధ డోలనం ఖచ్ఛితంగా సరళ హరాత్మకం కాదు.

→ శూన్య అవరుద్ధం ఉన్న సందర్భంలో అనునాదం వద్ద స.హ.చ. యొక్క కంపన పరిమితి అనంతం.

→ బలాత్కృత డోలనాలలో కణం యొక్క హరాత్మక చలనం దశ, చోదకబలం యొక్క దశ వేరు వేరుగా ఉంటుంది.

→ డోలకం యొక్క సహజ పౌనఃపున్యానికి, చోదకబలం యొక్క పౌనఃపున్యం దగ్గరగా ఉంటే దానిని అనునాదం

→ ఒక పూర్తి డోలనానికి పట్టుకాలాన్ని ఆవర్తన కాలం అంటారు. T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\)

→ స.హ.చ లో ఉన్న కణం యొక్క వేగం మరియు త్వరణాలు
v = Aω cos ωt మరియు a = Aω² sin ωt.

→ ఆల్బర్ట్ ఐన్ స్టీన్ (1879-1955)
జర్మనీలోని ఉల్మ్ అనే ప్రదేశంలో (1879లో జన్మించిన ఆల్బర్ట్ ఐన్స్టీన్ న్ను ప్రపంచములోని అత్యంత విశిష్ట భౌతిక శాస్త్రజ్ఞుల్లో ఒకడిగా నభూతో నభవిష్యతి అన్నట్లుగా పరిగణిస్తారు. 1905వ సంవత్సరములో భౌతిక శాస్త్రానికి ఐన్స్టీన్ చేసిన బృహత్తర కృషికి గుర్తింపుగా, 2005 సంవత్సరా నికి భౌతికశాస్త్రపు అంతర్జాతీయ గా ప్రకటించారు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ

→ ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలు మూడు.

• గురుత్వాకర్షణ బలం,
• విద్యుదయస్కాంత బలం,
• కేంద్రక బలాలు.

→ న్యూటన్ విశ్వ గురుత్వ సిద్ధాంతము : విశ్వములో ప్రతి వస్తువు మరియొక వస్తువుని (ప్రతి కణం మరియొక కణాన్ని) ఆకర్షిస్తుంది. ఈ బలం వాటి ద్రవ్యరాశుల లబ్దమునకు అనులోమానుపాతంలోను, వాటి కేంద్రాల మధ్యదూరం యొక్క వర్గానికి విలోమానుపాతంలోను ఉంటుంది.

→ కణాల మధ్య స్పర్శలేకున్నా వాటి మధ్య ఆకర్షణ బలానికి కారణం గురుత్వ క్షేత్రమని వివరించబడినది.

→ శూన్యంలో గురుత్వ క్షేత్రం కాంతి వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది.

→ చీకటి రంధ్రాలు అనేవి అత్యధిక సాంద్రత గల వస్తువులు. వీటి గురుత్వాకర్షణ వలన కాంతి కూడా ఈ పరిధి నుండి దాటి బయటకు రాలేవు.

→ న్యూటన్ మొదటి నియమం లేదా జఢత్వ నియమాన్ని పాటించే నిర్దేశ చట్రాన్ని జఢత్వ నిర్దేశ చట్రం అంటారు. 7 త్వరణంతో పయనించే చట్రాన్ని అజఢత్వ చట్రం అని అంటారు.

→ గురుత్వ, జఢత్వ ద్రవ్యరాశులు సమానం.

→ జఢత్వ, అజఢత్వ నిర్దేశ చట్రాల సమానత్వాన్ని తుల్యతా నియమం అంటారు.

→ భూమి ఉపరితలం నుండి ఎత్తుతో గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు g_h = g(1 – \(\frac{2 h}{R}\))

→ భూమి ఉపరితలం నుండి లోతుతో గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు g_d = g(1 – \(\frac{d}{R}\))

→ అక్షాంశంతో గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు g_Φ = g – Rω²cos²Φ

→ భూమి ఆకారం వల్ల గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు వస్తుంది.

→ స్థానిక పరిస్థితుల వల్ల కూడా g విలువలో మార్పు వస్తుంది.

→ ప్రక్షిప్తము గావింపబడిన వస్తువు ఎంత వేగంతో తన కక్ష్యలో పరిభ్రమణం చేస్తుందో దాన్ని కక్ష్యవేగం అంటారు.
V₀ = \(\sqrt{g R}=\sqrt{\frac{G M}{R}}\) = 7.92 kms^-1

→ భూమి యొక్క ఆకర్షణ బలాన్ని అధిగమించి అంతరాళంలోనికి పోవుటకు వస్తువుని ఎంత కనీస వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేయాలో ఆ వేగాన్ని పలాయన వేగం అంటారు.
V_e = \(\sqrt{2 g R}=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}\) = 11.2 kms^-1

→ పలాయన వేగం V = √2 × కక్ష్యా వేగం (v₀).

→ భూస్థావర ఉపగ్రహాలు భూమికి సుమారు 36,000 కి.మీ. ఎత్తున నిర్ణీత కక్ష్యలలో ఉంటాయి.

→ కక్ష్యల నియమం: అన్ని గ్రహాలు, సూర్యుడు ఏదో ఒక నాభి వద్ద ఉన్నప్పుడు దాని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతుంటాయి.

→ వైశాల్యాల నియమం : సూర్యుని నుంచి గ్రహానికి గీచిన వ్యాసార్థ సదిశ సమాన కాల వ్యవధుల్లో సమాన వైశాల్యాలు చిమ్ముతుంది.

→ ఆవర్తన కాలాల నియమం : ఒక గ్రహం కక్ష్యావర్తన కాలవర్గం ఆ గ్రహం దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్య అర్థగురు అక్షం ఘనానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
T² ∝ R³

→ గురుత్వ స్థితిజశక్తి (V) = \(\frac{-G m_1 m_2}{r}\)

→ ధ్రువీయ ఉపగ్రహాల ఆవర్తన కాలం 100 నిముషాలు.

→ ధ్రువీయ కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు అల్ప ఉన్నతాంశ ఉపగ్రహాలు. ఈ ఉపగ్రహాలు భూధ్రువాల చుట్టూ ఉత్తర-దక్షిణ దిశలో పరిభ్రమిస్తాయి.

→ జోహాన్నెస్ కెప్లర్ (1571-1630):
జోహాన్నెస్ కెప్లర్ జర్మనీకి చెందిన శాస్త్రవేత్త. ప్రప్రథమంగా ఒక కాంతి కిరణం దూరదర్శనిలోకి ప్రవేశించిన తరవాత ఏమవుతుందో అభివర్ణించడం ద్వారా జ్యామితీయ దృశాశాస్త్రానికి వైద్యునిగా కెప్లర్ పేరు పొందాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు

→ వస్తువు ఏ ధర్మం వల్ల తనలో కలిగిన మార్పులను ప్రతిఘటిస్తుందో మరియు దానిపై ప్రయోగించిన రూపాంతరం చెందించే బలాలను తీసివేయగానే తన తొలి స్థానాన్ని పొందుతుందో ఆ ధర్మాన్నే స్థితిస్థాపకత అంటారు.

→ వస్తువులో ప్రమాణ వైశాల్యంపై ఏర్పడిన పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

→ వస్తువు యొక్క ప్రమాణ పరిమాణంలో ఏర్పడే మార్పునే వికృతి అంటారు.

→ ఎంత గరిష్ఠ ప్రతిబలం లోపున ఒక వస్తువు రూపం మార్చే బలాలను తొలగించిన పిమ్మట పూర్తిగా తన తొలి స్థితిని పొందుతుందో, ఆ ప్రతిబలం విలువని స్థితిస్థాపక అవధి అంటారు.

→ హుక్ నియమం : అనుపాతక అవధి లోపల, వస్తువులోని ప్రతిబలం దానిలో ఏర్పడిన వికృతికి అనులోమాను పాతంలో ఉంటుంది.

→ ఒక తీగ పొడవులో కలిగే మార్పుకి, దాని తొలి పొడవుకి మధ్య గల నిష్పత్తినే అనుదైర్ఘ్య లేదా రేఖీయ వికృతి అంటారు.
రేఖీయ వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{L}}\)

→ రెండు పొరల మధ్య, సాపేక్ష స్థానభ్రంశం మరియు ఆ రెండు పొరల మధ్య గల దూరం నిష్పత్తిని విరూపణ వికృతి (θ) అంటారు.

→ ప్రమాణ తొలి ఘనపరిమాణంలో కలిగే మార్పుని ఆయత లేదా స్థూల వికృతి అంటారు.
ఆయత వికృతి = \(\frac{\Delta v}{V}\)

→ అనుపాతక అవధి లోపల, అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలానికి, అనుదైర్ఘ్య వికృతికి మధ్య గల నిష్పత్తినే స్థితిస్థాపక యంగ్ గుణకం (Y) అంటారు.
Y = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{Ae}}\)

→ అనుపాతక అవధి లోపల, విరూపణ ప్రతిబలానికి, విరూపణ వికృతికి మధ్య గల నిష్పత్తినే స్థితిస్థాపక దృఢతా గుణకం (G) అంటారు.
G = \(\frac{F}{A \theta}\)

→ అనుపాతక అవధి లోపల, స్థూల ప్రతిబలానికి, స్థూల వికృతికి మధ్య గల నిష్పత్తినే స్థితిస్థాపక ఆయత గుణకం (B) అంటారు.
B = \(\frac{-\mathrm{PV}}{\Delta \mathrm{V}}\)

→ కొంతసేపు ఒక వస్తువు అవిచ్ఛిన్నంగా స్థితిస్థాపక వికృతికి లోనయితే అది తన స్థితిస్థాపక ధర్మాన్ని కోల్పోయినట్లు అనిపిస్తుంది. కాని కొంతసేపు విశ్రాంతి పొందిన పిమ్మట తన యథాస్థితిని పొందుతుంది. ఈ ప్రవర్తనని స్థితిస్థాపక అలసట అంటారు.

→ పార్శ్వ సంకోచ వికృతికి, అనుదైర్ఘ్య వ్యాకోచ వికృతికి గల నిష్పత్తిని ఆ వస్తువు తయారయిన పదార్థం యొక్క పాయిజాన్ నిష్పత్తి అంటారు.

→ విమోటన వికృతి 2 × అనుదైర్ఘ్య వికృతి.

→ ఆయత వికృతి = 3 × అనుదైర్ఘ్య వికృతి.

→ ప్రతిబలం – వికృతి రేఖీయ భాగంలో మాత్రమే హుక్ నియమం వర్తిస్తుంది.

→ యంగ్ గుణకం, విమోటన గుణకం కేవలం ఘనపదార్థాలకు మాత్రమే వర్తిస్తాయి. ఆయత గుణకం ఘన, ద్రవ, వాయు పదార్థాలకు వర్తిస్తుంది.

→ మిశ్రమ లోహాలు, ఎలాస్టోమర్లు కంటే లోహాలకు యంగ్ గుణక విలువలు అధికంగా ఉంటాయి.

→ అమ్మ లోహాలకు ఉదాహరణ రాగి, అల్యూమినియమ్, సీసం, బంగారం. పెళుసు లోహాలకు ఉదాహరణ గాజు, సిరామిక్.

→ వస్తువులో విరూపణ వల్ల నిల్వయున్న శక్తిని వికృతి శక్తి అంటారు.

→ ప్రతిబలం సదిశరాశి కాదు.

→ రాబర్ట్ హుక్ (1635 – 1703 A.D.)
ఇంగ్లండ్లోని రైట్ (Wright) ద్వీపం, ఫ్రెష్ వాటర్ (Freshwater) లో 18 జూలై 1635వ సంవత్సరంలో రాబర్ట్ హుక్ జన్మించాడు. 17వ శతాబ్దానికి చెందిన ఆంగ్ల శాస్త్రవేత్తల్లో హుక్ విశిష్టమైన బహుముఖ ప్రజ్ఞాశాలి.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు

→ ప్రవాహిలోని వేరువేరు పొరల మధ్య సాపేక్ష వేగాన్ని నిరోధించే ధర్మాన్ని స్నిగ్ధత అంటారు.

→ ప్రవాహంలో ఏదైనా బిందువు వద్ద వేగం కాలంతో మార్పు చెందకుండా ఉంటే దానిని ధారారేఖా ప్రవాహం అంటారు.

→ ధారారేఖా ప్రవాహంలో కణవేగం ఒక ప్రత్యేక వేగం, సందిగ్ధవేగం V_e కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

→ ధారారేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే స్తరీయ ప్రవాహం అంటారు.

→ ఒక వస్తువును ద్రవంలో ముంచిన దానిపై పనిచేసే పీడనంలో తేడా ఉండటంవల్ల వస్తువుపై పైదిశలో అభిబలం ఏర్పడుతుంది. దీనినే ఉత్ల్పవన బలం అంటారు. ఉత్ల్పవన బలం మునిగిన వస్తువు చేసే స్థానభ్రష్ట ద్రవం బరువుకు సమానం. వస్తువు యొక్క కొంత ఘనపరిమాణం మాత్రమే ద్రవంలో మునిగితే వస్తువు సాంద్రతకు, ద్రవ సాంద్రతకు గల నిష్పత్తికి సమానం.

→ చలనంలో ఉండే ద్రవాలను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రాన్ని ప్రవాహి గతిశాస్త్రం అంటారు. ద్రవాల ప్రవాహం రెండు రకాలు

• ధారారేఖ ప్రవాహం,
• సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం.

→ ప్రవాహి ప్రవాహం

• స్థిర (నిలకడ) లేదా అస్థిర (నిలకడలేని),
• భ్రమణం లేదా అభ్రమణం,
• సంపీడ్యమాన లేదా అసంపీడ్యమాన,
• స్నిగ్ధత లేదా అస్నిగ్ధత ప్రవాహంలా ఉండవచ్చు.

→ ధారారేఖకు ఒక బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ ఆ బిందువు వద్ద ప్రవాహి వేగ దిశను సూచిస్తుంది. దీనినే ధారారేఖా ప్రవాహం అంటారు. ప్రవాహి వేగం ఎక్కువవున్న చోట ధారా ప్రవాహరేఖల సాంద్రత ఎక్కువ. ప్రవాహ రేఖల సమూహాన్ని ప్రవాహ నాళిక అంటారు.

→ ద్రవంలో ఏ బిందువు వద్ద అయినా వేగం కాలంతో పాటు మారుతుంటే దానిని సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం అంటారు.

→ ఏ వేగం వద్ద ధారారేఖా ప్రవాహం సంక్షుబ్ధ ప్రవాహంగా మారుతుందో ఆ వేగాన్ని సందిగ్ధ వేగం అంటారు.

→ ఒక గొట్టంలో ప్రవహించే ధారారేఖా ప్రవాహంలో ఒక బిందువు వద్ద ప్రవాహ వేగం, మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం లబ్దం స్థిరం. Av = స్థిరం. దీనినే సాంతత్వ సమీకరణం అంటారు.

→ ప్రవాహి ప్రవాహాన్ని బెర్నూలి సిద్ధాంతం ద్వారా అర్థంచేసుకోవచ్చు. దీని ప్రకారం స్థిరవేగంతో ప్రవహిస్తున్న స్నిగ్ధతలేని, అసంపీడ్య ప్రవాహి పీడన గతిజ, స్థితిజ శక్తుల మొత్తం ఆ గమన పథంలో అన్ని బిందువుల వద్ద సమానం.
P + ρgh + \(\frac{1}{2}\)ρv² = స్థిరరాశి.

→ ద్రవాల పొరల మధ్య ఉన్న ఘర్షణ బలాన్ని స్నిగ్ధతా బలం అంటారు. ఈ బలం ప్రవాహి వేగాన్ని కుదిస్తుంది. ప్రవాహి రెండు పొరల మధ్య సాపేక్ష వేగాన్ని తగ్గించే ధర్మాన్నే స్నిగ్ధత అంటారు.

→ స్నిగ్ధతా బలం F కింది వాటికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

• పొర వైశాల్యం,
• వేగ ప్రవణత

F ∝ -A\(\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)\)
F = -ηA\(\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)\)
η స్నిగ్ధతా గుణకం, ప్రవాహి దిశకు లంబంగా పొరల మధ్య ఏకాంక వేగ ప్రవణత ఉన్నప్పుడు ఏకాంక వైశాల్యం గల పొరల మీద పనిచేసే స్నిగ్ధతా బల పరిమాణమే ఆ ద్రవం యొక్క స్నిగ్ధతా గుణకం అంటారు.

→ స్టోక్ ఫార్ములా : ప్రవాహిలో క్రిందికి పడుతున్న నునుపైన గోళాకారపు వస్తువుపై పనిచేసే నిరోధక బలంను క్రింది విధంగా రాయవచ్చు.
F = 6πηrv
η స్నిగ్ధతా గుణకం, ” గోళాకారపు వస్తువు వ్యాసార్థం, v ప్రవాహిలో వస్తువు వేగం.

→ ఏకాంక వైశాల్యంపై చర్య జరిపే అభిలంబ బలాన్ని సగటు పీడనం (P_av = F/A) అంటారు.

→ ఒక పదార్థ సాంద్రత, 4°C వద్ద నీటి సాంద్రతకు గల నిష్పత్తిని, ఆ పదార్థ సాపేక్ష సాంద్రత అంటారు.

→ పాస్కల్నయమం : విరామ స్థితిలో ఉన్న ఒక ప్రవాహిలో ఒకే ఎత్తులో ఉన్న అన్ని బిందువుల వద్ద, పీడనం ఒకే విలువను కలిగి ఉంటుంది.

→ ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం : ఏదైనా ఒక ప్రవాహిలో ఒక వస్తువు పూర్తిగానో, పాక్షికంగానో మునిగి ఉన్నప్పుడు ఆ వస్తువు భారంలో కలిగే నష్టం అది తొలగించిన ప్రవాహి భారానికి సమానం.

→ అసంపీడ్య ప్రవాహి యొక్క ప్రవాహ వడిని కొలిచే సాధనమే వెంటురి-మీటర్.

→ ఉష్ణోగ్రత పెరిగే కొద్దీ ద్రవాల స్నిగ్ధత తగ్గుతూ ఉంటుంది. అదే వాయువుల విషయంలో స్నిగ్ధత పెరుగుతుంది.

→ రెనాల్డు సంఖ్య R_e < 1000, ధారా రేఖా ప్రవాహం
R_e < 2000, సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం
1000 < R_e < 2000, నిలకడ రహిత ప్రవాహం

→ ద్రవ ఉమ్మడి తలం యొక్క ఏకాంక వైశాల్యానికి గల తలశక్తి, తలతన్యత (S) కు సమానం.

→ నీరు, గాజుల మధ్య ఉండే స్పర్శకోణం, లఘుకోణం (θ < 90°), కాబట్టి కేశనాళికలోకి ఎగబాకిన నీరు పుటాకారంగా ఉంటుంది.

→ ఒక ద్రవం, దాని చుట్టూ ఉండే తలానికి మధ్యగల ఉమ్మడి తలంపై ఏకాంకపొడవుకు పనిచేసే బలాన్ని తలతన్యత అంటారు.

→ ఆర్కిమెడిస్ (287 – 212 B.C.)
ఆర్కిమెడిస్ ఒక గ్రీకు తత్వవేత్త, గణితవేత్త, శాస్త్రవేత్త మరియు ఒక ఇంజనీరు. అతడు వడిసెల (cata- pult) ను ఆవిష్కరించాడు. మోయ లేని అధిక బరువులను తరలించ డానికి కష్ఠీలు, తులాదండాలతో ఒక వ్యవస్థను రూపొందించాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు

→ ఒక వస్తువు వేడిమిని లేక చల్లదనాన్ని ఉష్ణోగ్రత సాపేక్షంగా సూచిస్తారు.

→ ఉష్ణోగ్రత అనేది ఒక వస్తువు లేదా వ్యవస్థ యొక్క స్థూల ధర్మం. ఇది అదిశరాశి.

→ ఉష్ణోగ్రతా భేదం వలన రెండు వ్యవస్థల మధ్య వినిమయం జరిగే శక్తి రూపంగా ఉష్ణాన్ని నిర్వచించవచ్చు. ఉష్ణోగ్రతను కొలిచే పరికరాన్ని, ఉష్ణమాపకం (థర్మామీటర్) అంటారు.

→ సెల్సియస్, ఫారెన్ హీట్, రైమర్ మరియు కెల్విన్ స్కేలుల మధ్య సంబంధం, \(\frac{C-0}{100}=\frac{F-32}{180}=\frac{R-0}{80}=\frac{k-273}{100}\)

→ ఘన పదార్థాలలో స్ఫటిక జాలక రూపంలో పరమాణువులు క్రమబద్ధంగా అమరిఉండును.

→ అంతర పరమాణువుల మధ్య ఆకర్షణ బలం, వాని మధ్య దూరంపై ఆధారపడును.

→ ఉష్ణోగ్రత పెరిగిన, పరమాణువుల కంపనాల, కంపన పరిమితులు పెరుగును.

→ ఘన పదార్థంను వేడిచేస్తే దాని పొడవు, వైశాల్యం మరియు ఘనపరిమాణంలు పెరుగుతాయి.

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ పొడవులో పెరుగుదలను దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_l = \(\frac{\Delta l}{l \times \Delta \mathrm{T}}\)/°C

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ పొడవులో పెరుగుదలను దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_A = \(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a} \times \Delta \mathrm{t}}\)/°C

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ ఘన పరిమాణంలో పెరుగుదలను ఘన పరిమాణ వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_A = \(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{v} \times \Delta \mathrm{t}}\)/°C

→ α_l = α_A = α_v = 1: 2 : 3 (లేక) \(\frac{\alpha_l}{1}: \frac{\alpha_A}{2}: \frac{\alpha_v}{3}\)

→ ఒక పదార్థం శోషణం చేసుకున్న ఉష్ణరాశి ΔQ కు, పదార్థ ఉష్ణోగ్రతలోని తేడాకుగల నిష్పత్తిని, ఉష్ణధారణ సామర్థ్యం అంటారు. S = \(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}\)

→ ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుటకు, శోషణం లేక విసర్జించిన ఉష్ణంను, విశిష్టోష్ణం అంటారు.
S = \(\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{m}} \frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}\)

→ ఒక మోల్ పదార్థ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుటకు, శోషణం లేక విసర్జించిన ఉష్ణంను మోలార్ విశిష్టోష్ణం అంటారు.
C = \(\frac{s}{\mu}=\frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T}\)

→ పునర్ ఘనీభవన దృగ్విషయాన్ని పునర్ఘనీభవనం (Regelation) అంటారు.

→ ఉష్ణోగ్రతలో మార్పులేకుండ, ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థ స్థితి మార్పులో శోషణం (లేక) విసర్జించిన ఉష్ణరాశిని గుప్తోష్ణం అంటారు.

→ ఒకే ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థము ఘన స్థితినుండి ద్రవ స్థితికి మార్పులో గ్రహించిన ఉష్ణరాశిని, ఘనీభవన గుప్తోష్ణం (L_f) అంటారు.

→ ఒకే ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థము ద్రవస్థితినుండి ఆవిరిస్థితి మార్పులో గ్రహించిన ఉష్ణరాశిని, ఆవిరి గుప్తోష్ణం (L_v) అంటారు.

→ పదార్థంలో హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశం నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశంనకు ఉష్ణ ప్రసారం మూడు రీతులలో జరుగును. అవి వహనం, సంవనం, మరియు వికిరణం.

→ పదార్థంలో ఉష్ణ వహనం, అణువుల మధ్య అభిఘాతాల వల్ల జరిగే శక్తి వినిమయం రూపంలో సాధ్యమవుతుంది. స్థూలంగా పదార్థం నిశ్చలంగానే ఉన్నా, అందులోని అణువులు తమ మాథ్యమిక స్థానాల పరంగా కంపించడంవల్ల అభిఘాతాలు జరుగుతాయి.

→ పదార్థం నుండి పదార్థంనకు ఉష్ణవహన సామర్థ్యం మారును. దీనిని ఉష్ణ వహన గుణకం అనే రాశితో కొలుస్తారు.

→ ప్రవాహి స్థూలంగా చలనంలో ఉన్నప్పుడు జరిగే శక్తి వినిమయంను సంవహనం అంటారు.

→ సంవహనం రెండు రకాలు

• సహజ సంవహనం
• బలాత్కృత సంవహనం.

→ గురుత్వంవల్ల, సాంద్రతలలో తేడావల్ల ప్రవాహి చలనంను సహజ సంవహనం అంటారు.

→ వస్తువుపై ఉష్ణోగ్రతలలో తేడ వల్ల, ప్రవాహి బలవంతంగా చలిస్తే, దానిని బలాత్కృత సంవహనం అంటారు.

→ ఉష్ణ వికిరణానికి పదార్థయానకం అవసరంలేదు.

→ ప్రతి వస్తువూ పరమ శూన్యం కన్నా హెచ్చు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఉష్ణ వికిరణాన్ని వెలువరిస్తూ, పరిసరాలతో ఉష్ణ వినిమయం చేసుకుంటుంది. దీనినే ప్రీవోస్ట్ సిద్ధాంతం అంటారు.

→ వస్తు ఏకాంక తల వైశాల్యం నుండి వెలువడే వికిరణ శక్తి అభివాహాన్ని, దాని ఉద్గార సామర్థ్యం అంటారు. దీని ప్రమాణం Jm²s^-1 లేక Wm^-2 మితి ఫార్ములా [MT^-3].

→ నిర్దిష్ట సమయంలో, శోషణ అభివాహ శక్తికి, అదేకాలంలో వస్తువుపై పతనమయిన మొత్తం అభివాహంనకు గల నిష్పత్తిని శోషణ సామర్థ్యం ‘a’ అంటారు. ‘a’ ఒకటి కన్నా ఎక్కువ ఉండదు. అన్ని తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద కృష్ణ వస్తు శోషణ సామర్థ్యం 1.

→ నియమిత ఉష్ణోగ్రతా తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద ఉద్గార, శోషణ సామర్థ్యాల నిష్పత్తి అన్ని వస్తువులకు స్థిరంగా అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి సమానం. దీనినే కిర్కాఫ్ నియమము అంటారు. ఉత్తమ శోషకాలు, ఉత్తమ ఉద్గారులు.

→ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రత నాల్గవ ఘాతానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
P = σAT⁴. P ఉద్గార సామర్థ్యం, σ స్టిఫాన్స్ స్థిరాంకం మరియు σ = 5.67 × 10^-8W/m²k⁴
వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యం, P = e_λσAT⁴
ఇచ్చట e_λ వస్తువు ఉద్గారత.

→ న్యూటన్ శీతలీకరణ సూత్రము : వస్తువుకు, పరిసరములకు మధ్య స్వల్ప ఉష్ణోగ్రతా భేదం ఉన్నప్పుడు ఆ వస్తువు ఉష్ణాన్ని కోల్పోయే రేటు వస్తువుకూ, దాని పరిసరములకు మధ్యగల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును. దీనినే న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమము అంటారు.
\(\frac{-\mathrm{dQ}}{\mathrm{dt}}\) = α(T – T₀)

→ రూడాల్ఫ్ క్లాసియస్ (1822-1888)
పోలాండ్లో జన్మించిన రూడాల్ఫ్ క్లాసియస్ ఉష్ణగతికశాస్త్ర రెండవ నియమ ఆవిష్కర్తగా గుర్తింపు పొందాడు. వాయువుల అణుచలన సిద్ధాంతం మీద కూడా కృషిచేసి, అణు పరిమాణం, వడి, స్వేచ్ఛా పథమధ్యమాలకు విశ్వసనీయ మైన మదింపులను ఇచ్చాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం

→ రెండు వ్యవస్థలు (A,B) వేర్వేరుగా, మూడో వ్యవస్థతో సమతాస్థితిలో ఉంటే, రెండు వ్యవస్థలు (A, B) లు సమతా స్థితిలో ఉంటాయి. దీనినే ఉష్ణగతికశాస్త్ర శూన్యంక నియమం అంటారు.

→ ఉష్ణగతిక శూన్యంక నియమము ఉష్ణోగ్రతా భావనను ఇస్తుంది.

→ ఒక ప్రక్రియను సూటి ప్రక్రియలో ఏఏ దశల గుండా ప్రయాణం చేసిందో అదే దశల గుండా వెనుకకు తీసుకురాగల్గితే ఆ ప్రక్రియను ఉత్కృమణీయ ప్రక్రియ అంటారు.

→ వ్యతిరేఖ దిశలో వెనుకకు మరలించి తీసుకురాలేని ప్రక్రియను అనుత్కమణీయ ప్రక్రియ అంటారు.

→ ఉష్ణంకు, యాంత్రిక శక్తికి మధ్యగల సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసేది ఉష్ణగతికశాస్త్రం.

→ వ్యవస్థ సమతాస్థితిలో ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఉష్ణగతిక శాస్త్రాన్ని అన్వయించాలి.

→ ఒకవస్తువు యొక్క ఉష్ణస్థితిని తెలియజేయునది ఉష్ణోగ్రత. అది వస్తువు సాపేక్షంగా వేడిగా ఉందో, చల్లగా ఉందో తెలియజేస్తుంది.

→ ఉష్ణగతిక శూన్యాంక నియమము గణిత రూపం f (P, V, T) = 0.

→ ఉష్ణోగ్రతా భేదం వల్ల ఒక వవ్యస్థకు దాని పరిసరాలకు మధ్యశక్తి వినిమయం జరిగితే, ఆ శక్తిని ఉష్ణం అంటారు.

→ ప్రమాణ ఉష్ణరాశిని ఉత్పత్తి చేయటంలో జరిగిన యాంత్రిక పనిని, యాంత్రిక తుల్యాంకం అంటారు.
J = \(\frac{W}{Q}\) C.C.S వ్యవస్థలో J విలువ 4.2 × 10⁷ ఎర్గ్/కెలరీ
S.I. వ్యవస్థలో J ఒకటికీ సమానం.

→ ఒక వ్యవస్థకు అందజేసిన ఉష్ణరాశి dQ దాని అంతర్గత శక్తిలోని మార్పు dU మరియు చేసిన పని dw ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియమము ప్రకారం, dQ = dU + dw.

→ శక్తి నిత్యత్వ నియమ మరొక రూపమే ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియము.

→ అర్ధస్థితిక ప్రక్రియ అనేది అతి నెమ్మదిగా జరిగే ప్రక్రియ. ఈ ప్రక్రియలో ప్రతీ మాధ్యమిక స్థితి వద్ద వ్యవస్థ పరిసరాలతో ఉష్ణ మరియు యాంత్రిక సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

→ చక్రీయ ప్రక్రియలో పీడనం, ఘనపరిమాణం మరియు ఉష్ణోగ్రతలలో మార్పులు పొందే వేరు వేరు దశల తరువాత ఒక వ్యవస్థ తిరిగి మరల తొలి స్థితిని పొందుతుంది.

→ సమభాలిక ప్రక్రియలో పీడనం స్థిరం. సమఘన పరిమాణ ప్రక్రియలో ఘనపరిమాణం స్థిరం.

→ కార్నో యంత్రం (ఉష్ణాశయం) ఉష్ణోగ్రత, T₁, మరియు (శీతలాశయం) ఉష్ణోగ్రత T₂, ల మధ్య పనిచేయు ఒక ద్విగత యంత్రం. కార్నో యంత్రం దక్షత η = 1 – \(\frac{T_2}{T_1}\)

→ C_p విలువ C_v, కన్నా ఎల్లప్పుడు ఎక్కువ
∴ C_p – C_v = R మరియు \(\frac{C_p}{C_v}\) = γ
ఏక పరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{5}{3}\)
ద్విపరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{7}{5}\)
త్రి పరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{4}{3}\)

→ సమఉష్ణోగ్రత మార్పు : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయువు పీడనం, ఘన పరిమాణంలో మార్పులు ఉష్ణ వినిమయంతో పాటు జరిగితే వాటిని సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ అంటారు.
PV = స్థిరాంకం

→ ఆదర్శవాయు సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో జరిగిన పని W = RT log_e\(\frac{V_2}{V_1}\) (లేక) W = 2.303 RT log_e\(\left|\frac{v_2}{v_1}\right|\)

→ స్థిరోషక మార్పు : ఒక విముక్త వ్యవస్థలో ఉష్ణ వినిమయం లేకుండా ఉష్ణోగ్రతలో మార్పులను తెచ్చే పీడన ఘనపరిమాణాలలో మార్పులను, స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ అంటారు.

→ స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో P₁V₁^γ = P₂V₂^γ, T₁V₁^γ-1 = T₂V₂^1-γ, T₁P₁ = T₂P₂^1-γ

→ స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో జరిగిన పని W = \(\frac{\mu \mathrm{R}}{\gamma-1}\)(T₁ – T₂)

→ క్లాసియస్ ఉష్ణోగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమము : బాహ్య ప్రమేయం లేకుండా ఉష్ణాన్ని ఒక వస్తువు నుండి హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత గల ఇంకొక వస్తువునకు సరఫరా చేయటం ఎటువంటి స్వయంపోషక యంత్రానికైనా అసాధ్యం.

→ కెల్విన్ ఫ్లాంక్ ఉష్ణగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమము: “ఒక వస్తువు నుండి గ్రహించిన ఉష్ణశక్తి మొత్తాన్ని యాంత్రిక శక్తిగా మార్చే చక్రీయ ఉష్ణయంత్రాన్ని నిర్మించడం అసాధ్యం”.

→ ద్రవీభవన గుప్తోష్టం (L) : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, 1kg ద్రవ్యరాశి గల పదార్థాన్ని ఘనస్థితి నుంచి పూర్తిగా ద్రవ్యస్థితికి మార్చడానికి అవసరమైన ఉష్ణరాశిని ఆ పదార్థ ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం అంటారు. L = \(\frac{Q}{M}\)

→ ‘L’ ప్రమాణం: జౌల్/ కి.గ్రా
L మితి ఫార్ములా = \(\frac{Q}{M}\) = L²T^-2

→ మంచుద్రవీభవన గుప్తోష్టం L_ice = 80 cal/gm = 0.335 × 10⁶ J kg^-1
ఆవిరి గుప్తోష్ణం L_{ఆవిరి} = 540 cal/gm = 2.26 × 10⁶ kg^-1

→ లార్డ్ కెల్విన్ (1824-1907)
ఐర్లాండ్ లో జన్మించిన లార్డ్ కెల్విన్ 19వ శతాబ్దంలోని బ్రిటిష్ శాస్త్ర వేత్తలందరిలో ప్రథముడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం

→ ఒక అణువు రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య సరళరేఖలో చలిస్తుంది. రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య అణువు ప్రయాణం చేసిన దూరంను స్వేచ్ఛాపథ మధ్యమం అంటారు.

→ స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు యొక్క ఘనపరిమాణం, దాని పీడనంనకు విలోమానుపాతంలో ఉండును.
V ∝ \(\frac{1}{p}\) (స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద)

→ చార్లెస్ నియమాలు :

• స్థిర పీడనం వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
• స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయు పీడనం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

→ ఆదర్శ వాయువుల మిశ్రమం మొత్తం పీడనం, ఆ మిశ్రమంలోని వివిధ వాయువులు కలుగజేసే పాక్షిక పీడనాల మొత్తానికి సమానం. దీనినే డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం అంటారు.

→ వాయు అణువుల సగటు వేగ వర్గాల మొత్తం యొక్క వర్గమూలంను సగటువర్గ మధ్యమ మూలవడి (rms) అంటారు.
V_rms = \(\sqrt{\frac{3 K_B T}{m}}\)

→ జాన్ డాల్టన్ (1766-1844):
ఇతను ఇంగ్లీష్ రసాయన శాస్త్రజ్ఞుడు. వివిధ రకాల పరమాణువులు సంయోగం చెందినప్పుడు, అవి నిర్దుష్ట సరళ నియమాలను పాటిస్తాయి. డాల్టన్ పరమాణు సిద్ధాంతం, ఈ సూత్రాలను సరళమైన పంథాలో వివరించింది. ధత్వంకు సిద్ధాంతాన్ని ఆయన ఇచ్చాడు.