Srinivas

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
ΔABC లో a = 3, b = 4, sin A = \(\frac{3}{4}\) అయితే, B కోణాన్ని ‘కనుక్కోండి.
సాధన:
సైను సూత్రం నుంచి \(\frac{a}{\sin A}\) = \(\frac{b}{\sin B}\)
⇒ sin B = \(\frac{\text { b. } \sin A}{a}\) = \(\frac{4}{3} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)\) = 1
⇒ sin B = 1 ⇒ B = 90°

ప్రశ్న 2.
ఒక త్రిభుజం భుజాల పొడవులు 3, 4, 5 అయితే, ఆ త్రిభుజ పరివృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ 3² + 4² = 5²
∴ కనుక త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.
దాని కర్ణం = 5 = పరివృత్త వ్యాసం
∴ పరివృత్త వ్యాసార్థం = \(\frac{1}{2}\)(కర్ణం) = \(\frac{5}{2}\) సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
a = 6, b = 5, c = 9 అయితే A, కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ cos A = \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\)(కోసైను సూత్రం)
= \(\frac{5^2+9^2-6^2}{2(5)(9)}\) = \(\frac{25+81-36}{2(5)(9)}\)
= \(\frac{70}{90}\) = \(\frac{7}{9}\)

ప్రశ్న 4.
ΔABC లో Σ(b + c) cos A = 2s అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C
= (b cos A + c cos A) + (c cos B + a cos B) + (a cos C + b cos C)
= (b cos C + c cos B) + (a cos C + ccos A) + (a cos B + b cos A)
= a + b + c = R.H.S.

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజ భుజాలు 13, 14, 15 అయినప్పుడు, పరివృత్త వ్యాసాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a = 13, b = 14, c = 15
2s = a + b + c = \(\frac{13+14+15}{2}\) = \(\frac{42}{2}\)
∴ s = 21
s – a = 21 – 13 = 8
s – b = 21 – 14 = 7
s – c = 21 – 15 = 6
Δ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\)
= \(\sqrt{21 \times 21 \times 16}\) = 21 × 4 = 84
∴ Δ = \(\frac{a b c}{4 R}\)
⇒ 4R = \(\frac{a b c}{\Delta}\) = \(\frac{13 \times 14 \times 15}{84}\) = \(\frac{65}{2}\)
∴ R = \(\frac{65}{8}\)
∴ పరివృత్త వ్యాసం (2R) = 2′ × \(\frac{65}{8}\) = \(\frac{65}{4}\) సెం. మీ

ప్రశ్న 6.
ΔABC s, (a + b + c) (b + c − a) = 3abc, అయితే A ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(a + b + c) (b + c − a) = 3bc
⇒ [(b + c) + a] [(b + c) – a] = 3bc
⇒ (b + c)² – a² = 3bc
⇒ b² + c² + 2bc – a² = 3bc
⇒ b² + c² – a² = bc
⇒ \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ cos A = \(\frac{1}{2}\) = 60°
A = 60°

ప్రశ్న 7.
a = 4, b = 5, c = 7 అయితే cos \(\frac{B}{2}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = a + b + c = 4 + 5 + 7 = 16
⇒ s = 8, s – b = 8 – 5 = 3
cos \(\frac{\mathrm{B}}{2}\) = \(\sqrt{\frac{s(s-b)}{a c}}\) = \(\sqrt{\frac{8 \times 3}{4 \times 7}}\) = \(\sqrt{\frac{6}{7}}\)

ప్రశ్న 8.
ΔABC లో, b cos² \(\frac{C}{2}\) + c cos² \(\frac{B}{2}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
b cos² \(\frac{C}{2}\) + c cos² \(\frac{B}{2}\)= b.
= \(\text { b. } \frac{s(s-c)}{a b}\) + \(\text { c. } \frac{s(s-b)}{c a}\)
= \(\frac{s(s-c)}{a}\) + \(\frac{s(s-b)}{a}\) = \(\frac{s}{a}\)(s – c + s – b)
= \(\frac{s}{a}\)(a + b + c − c − b) = \(\frac{s}{a} a\) = s

ప్రశ్న 9.
tan \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{5}{6}\), tan \(\frac{C}{2}\) = \(\frac{2}{5}\) అయితే a, b, c ల మధ్య సంబంధాన్ని నిర్ధారించండి. (May 05)
సాధన:
tan \(\frac{A}{2}\). tan \(\frac{C}{2}\) = \(\frac{5}{6}\). \(\frac{2}{5}\)
\(\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\) = \(\frac{2}{6}\)
⇒ \(\frac{s-b}{s}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇒ 3s – 3b = s ⇒ 2s = 3b
⇒ a + b + c = 3b ⇒ a + c = 2b
a, b, c లు A.P.లో ఉన్నవి

ప్రశ్న 10.
cot \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\), అయితే, B కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
tan \(\left(\frac{\mathbf{C}-\mathbf{A}}{2}\right)\) = k cot \(\frac{\mathrm{B}}{2}\) అయితే, k ని కనుక్కోండి.
సాధన:
టాంజంట్ సూత్రం నుంచి
tan \(\left(\frac{\mathrm{C}-\mathrm{A}}{2}\right)\) = \(\left(\frac{c-a}{c+a}\right)\) cot \(\frac{B}{2}\)
కనుక k = \(\frac{c-a}{c+a}\)

ప్రశ్న 12.
ΔABC లో \(\frac{\mathbf{b}^2-\mathbf{c}^2}{\mathbf{a}^2}\) = \(\frac{\sin (B-C)}{\sin (B+C)}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
a² cot A + b² cot B + c² cot C = \(\frac{a b c}{\mathbf{R}}\) అని చూపండి. (Mar. 14)
సాధన:
L.H.S. = a² cot A + b² cot B + c² cot C
= 4R² sin² A. \(\frac{\cos A}{\sin A}\) + 4R² sin²B. \(\frac{\cos B}{\sin B}\) + 4R² sin² C. \(\frac{\cos C}{\sin C}\) (సైను సూత్రం ద్వారా)
= 2R² (2 sin A cos A + 2 sin B cos B + 2 sin C cos C)
= 2R² (sin 2A + sin 2B + sin 2C)
= 2R² (4 sin A sin B sin C) (సర్వ సమానతల నుంచి)
= \(\frac{1}{R}\)(2R sin A) (2R sin B) (2R sin C)
= \(\frac{a b c}{R}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 14.
(b – c)² cos² \(\frac{A}{2}\) + (b + c)² sin² \(\frac{A}{2}\) = a² అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = (b² + c² – 2bc) cos² \(\frac{A}{2}\) + (b² + c² + 2bc) sin² \(\frac{A}{2}\)
= (b² + c²) [cos² \(\frac{A}{2}\) + sin² \(\frac{A}{2}\)] – 2bc (cos² \(\frac{A}{2}\) – sin² \(\frac{A}{2}\)) = b² + c² – 2bc cos A
= a²

ప్రశ్న 15.
a (b cos c – c cos B) = b² – c² అని చూపండి. (Mar. 07)
సాధన:
L.H.S. = ab cos C – ca cos B
= \(\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)\) – \(\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)\)
కోనైన్ సూత్రం నుంచి
= \(\frac{1}{2}\)[a² + b² – c² – c² – a² + b²]
= b² – c² = R.H.S.

ప్రశ్న 16.
\(\frac{c-b \cos A}{b-c \cos A}\) = \(\frac{\cos B}{\cos C}\) -అని చూపండి.
సాధన:
లంబవిక్షేప సూత్రం నుంచి
c = a cos B + b cos A
b = c cos A + a cos C

ప్రశ్న 17.
ΔABC లో, \(\frac{1}{a+c}\) + \(\frac{1}{b+c}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\) అయితే, C = 60° అని చూపండి.
సాధన:
\(\frac{1}{a+c}\) + \(\frac{1}{b+c}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\)
⇒ \(\frac{b+c+a+c}{(a+c)(b+c)}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\)
⇒ 3(a + c) (b + c) = (a + b + 2c) (a + b + c)
⇒ 3(ab + ac + bc + c²) = (a² + b² + 2ab) + 3c(a + b) + 2c²
⇒ ab = a² + b² – c²
⇒ ab = a² + b² – c²
= 2ab cos C (కోసైను సూత్రం నుంచి)
⇒ cos C = \(\frac{1}{2}\) ⇒ C = 60°

ప్రశ్న 18.
a = (b – c) sec θ అయితే, tan θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b-c}\) sin \(\frac{\mathbf{A}}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
a = (b – c) sec θ ⇒ sec θ = \(\frac{a}{b-c}\)

ప్రశ్న 19.
ΔABC లో (a + b + c) (tan \(\frac{A}{2}\) + tan \(\frac{B}{2}\)) = 2c cot \(\frac{C}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
b² sin 2C + c² sin 2B = 2bc sin A అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = b² sin 2C + c² sin 2B
= 4R² sin2 B (2 sin C cos C) + 4R² sin² C (2 sin B cos B)
= 8R² sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C)
= 8R² sin B sin C sin (B + C)
= 2(2R sin B) (2R sin C) sin A
= 2bc sin A
= R.H.S.

ప్రశ్న 21.
cot A + cot B + cot C = \(\frac{a^2+b^2+c^2}{4 \Delta}\) అని రుజువు చేయండి. ((T.S) Mar. 15)
సాధన:

ప్రశ్న 22.
a cos² \(\frac{A}{2}\) + b cos² \(\frac{B}{2}\) + c cos² \(\frac{C}{2}\) = s + \(\frac{\Delta}{\mathbf{R}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 23.
ΔABC లో a cos A = b cos B అయితే, త్రిభుజం సమద్విబాహు లేదా లంబకోణ త్రిభుజమని రుజువు చేయండి.
సాధన:
a cos A = b cos B
⇒ 2R sin A cos A = 2R sin B cos B
⇒ sin 2A = sin 2B (or) = sin (180° – 2B)
కనుక 2A = 2B లేదా 2A = 180° – 2B
⇒ A = B లేదా A = 90° – B
⇒ A = B లేదా A + B = 90°
⇒ C = 90°
∴ త్రిభుజం సమద్విబాహు లేదా లంబకోణ త్రిభుజం.

ప్రశ్న 24.
cot \(\frac{\mathbf{A}}{2}\) : cot \(\frac{\mathbf{B}}{2}\) : cot \(\frac{\mathbf{C}}{2}\) = 3 : 5 : 7 అని చూపండి
సాధన:

అప్పుడు s – a = 3k, s – b = 5k, s – c = 7k
కలుపగా 3s – (a + b + c) = 3k + 5k + 7k
⇒ 3s – 2s = 15k ⇒ s = 15k
ఇప్పుడు a = 12k, b = 10k, c = 8k
∴ a : b : c = 12k : 10k : 8k = 6 : 5 : 4

ప్రశ్న 25.
a³ cos (B – C) + b³ cos (C – A) + C³ cos (A – B) = 3abc అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
L.H.S. = Σa³ cos (B – C)
= Σa² (2R sin A)cos(B – C)
= R Σa² [2 sin (B + C) cos (B – C)]
= R Σa² (sin 2B + sin 2C)
= R Σa² (2 sin B cos B + 2 sin C cos C)
= Σ[a²(2R sin B) cos B + a²(2R sin C) cos C]
= Σ(a² b cos B + a²c cos C)
= (a²b cos B + a² c cos C) + (b²c cos C + b² a cos A) + (c² a cos A + c²b cos B)
= ab (a cos B + b cos A) + bc (b cos C + c cos B) + ca (c cos A + a cos C)
= ab(c) + bc(a) + ca(b) = 3 abc = R.H.S.

ప్రశ్న 26.
p₁, p₂, p₃ లు వరుసగా త్రిభుజ శీర్షాలు A,B, C ల ఉన్నతులయితే \(\frac{1}{p_1^2}\) + \(\frac{1}{p_2^2}\) + \(\frac{1}{p_3^2}\) = \(\frac{\cot A+\cot B+\cot C}{\Delta}\) అని చూపండి
సాధన:

ప్రశ్న 27.
h ఎత్తు గల ఊర్ధ్వంగా ఉండే ఒక స్తంభం PQ పాదం Q గుండా పోయే క్షితిజ రేఖపై A అనే బిందువు నుంచి శిఖర బిందువు P కి ఊర్ధ్వ కోణం 45°. AQ తో 30° కోణం చేసే రేఖపై A నుండి 30 మీటర్ల దూరంలో B అనే బిందువు నుండి P ఊర్థ్వ కోణం 60° అయితే స్తంభం ఎత్తు కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.
ఒక నదికి ఒకేవైపున A, B అనే రెండు చెట్లు ఉన్నాయి. నదిలో C అనే బిందువు నుండి A, B లు వరసగా 250 మీ. 300 మీ. దూరంలో ఉన్నాయి. C వద్ద కోణం 45° అయితే ఆ చెట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి. (\(\sqrt{2}\) = 1.414).
సాధన:
త్రిభుజం ABC నుండి కొసైన్ రూలు ఉపయోగించగా

AB² = 250² + 300² – 2(250) (300) cos 45°
= 100 (625 + 900 – 750\(\sqrt{2}\)) = 46450.
∴ AB = 215.5 మీ. (ఉజ్జాయింపు)

ప్రశ్న 29.
ΔABC, లో \(\frac{1}{r_1}\) + \(\frac{1}{r_2}\) + \(\frac{1}{r_3}\) = \(\frac{1}{r}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
rr₁ r₂ r₃ = Δ² అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
సమబాహు త్రిభుజంలో \(\frac{r}{R}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 32.
ΔABC చుట్టుకొలత 12 సెం.మీ. దీని అంతర వ్యాసార్థం 1 సెం.మీ. అప్పుడు త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = 12 ⇒ s = 6 సెం.మీ.
r = 1 సెం.మీ.
ΔABC వైశాల్యము = Δ = rs = (1) (6) = 6 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 33.
rr₁ = (s – b) (s – c)
సాధన:
L.H.S. = rr₁
= [(s – b) tan \(\frac{\mathrm{B}}{2}\)] [(s – c) cot \(\frac{\mathrm{B}}{2}\)]
= (s – b) (s – c) = R.H.S.

ప్రశ్న 34.
\(\frac{a \cos \mathbf{A}+\mathbf{b} \cos \mathbf{B}+\cos \mathbf{C}}{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}\) ని R, r పదాలలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
ΔABC లో Δ = 6 చ. సెం. మీ, s = 1.5 సెం. మీ అయితే F ను కనుక్కోండి.
సాధన:
r = \(\frac{\Delta}{\mathrm{s}}\) = \(\frac{6}{1.5}\) = 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 36.
rr₁ cot \(\frac{A}{2}\) = Δ అని చూపండి.
సాధన:
rr₁ cot \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{\Delta}{s}\left(s \tan \frac{A}{2}\right)\) cot \(\frac{A}{2}\) = Δ

ప్రశ్న 37.
a = 13, b = 14, c = 15 అయితే r₂ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = a + b + c = 42
⇒ s = 21
s – a = 8, s – b = 7, s – c = 6
Δ² = 21 × 8 × 7 × 6
⇒ A = 7 × 12 = 84 చ. యూనిట్లు

ప్రశ్న 38.
rr₂ = r₁r₃ అయితే, B కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
ΔABC లో భుజాలు a, b, c లు A.P.లో ఉండటానికి r₁, r₂, r₃ లు H.P. లో ఉండాలనేది ఆవశ్యక, పర్యాప్త
నియమమని చూపండి.
సాధన:
r₁,r₂, r₃ లు H.P. లో ఉన్నాయి.
⇔ \(\frac{1}{r_1}\), \(\frac{1}{r_2}\), \(\frac{1}{r_3}\) లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ \(\frac{s-a}{\Delta}\), \(\frac{s-b}{\Delta}\), \(\frac{s-c}{\Delta}\) లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ s – a, s – b, s – c లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ -a, -b, -c లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ a, b, c లు A.P. లో ఉంటాయి.

ప్రశ్న 40.
A = 90° అయితే 2(r + R) = b + c అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S= 2r+ 2R
= 2(s – a) tan \(\frac{A}{2}\) + 2R. 1
= 2(s – a) tan 45° + 2R sin A (∵ A = 90°)
= (2s – 2a). 1 + a
= b + c = R.H.S.

ప్రశ్న 41.
(r₂ – r₁) (r₃ – r₁) = 2r₂r₃ అయితే A = 90°
అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
\(\frac{r_1\left(r_2+r_3\right)}{\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1}}\) = a అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 43.
\(\frac{1}{r^2}\) + \(\frac{1}{r_1^2}\) + \(\frac{1}{r_2^2}\) + \(\frac{1}{r_3^2}\) = \(\frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 44.
Σ(r + r₁) tan \(\left(\frac{\mathbf{B}-\mathbf{C}}{2}\right)\) = 0 అని రుజువు చెయ్య౦డి
సాధన:

ప్రశ్న 45.
\(\frac{r_1}{b c}\) + \(\frac{r_2}{c a}\) + \(\frac{r_3}{a b}\) = \(\frac{1}{r}\)
– \(\frac{1}{2 R}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 46.
r : R : r₁ = 2 : 5 : 12 అయితే, ఆ త్రిభుజంలో A లంబకోణమని రుజువు చేయండి.
సాధన:
r: R: r₁ = 2 : 5 : 12
అప్పుడు r = 2k, R = 5k, r₁ = 12K
r₁ – r = 12k – 2k = 10k = 2(5k) = 2R
⇒ 4R sin \(\frac{A}{2}\)[cos \(\frac{B}{2}\)cos \(\frac{C}{2}\) – sin \(\frac{B}{2}\)sin \(\frac{C}{2}\)] = 2R

కనుక త్రిభుజములో A లంబకోణం.

ప్రశ్న 47.
r + r₃ + r₁ – r₂ = 4R cos B అని చూపండి. (Mar. ’13)
సాధన:

ప్రశ్న 48.
A, A₁, A₂, A₃ లు వరుసగా త్రిభుజ అంతరవృత్త, బాహ్య వృత్త వైశాల్యాలయితే \(\frac{1}{\sqrt{A_1}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{A_2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{A_3}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{A}}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
r, r₁, r₂, r₃ లు వరుసగా అంతర, బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు, వాటి వైశాల్యాలు A, A₁, A₂, A₃ లు అయితే

ప్రశ్న 49.
(r₁ + r₂) sec² \(\frac{C}{2}\) = (r₂ + r₃) sec² \(\frac{A}{2}\) = (r₃ + r₁) sec²\(\frac{B}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 50.
ΔABC లో AD, BE, CF లు A, B, C శీర్షాల నుంచి ఎదుటి భుజాలకు గీచిన లంబాలయితే
i) \(\frac{1}{A D}\) + \(\frac{1}{B E}\) + \(\frac{1}{C F}\) = \(\frac{1}{r}\)
ii) AD. BE. CF = \(\frac{(a b c)^2}{8 R^3}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 51.
ΔABC లో r₁ = 8, r₂ = 12, r₃ = 24 అయితే a, b, c లను కనుక్కోండి. (May ’13)
సాధన:
∵ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{1}{r_1}\) + \(\frac{1}{r_2}\) + \(\frac{1}{r_3}\)
⇒ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{12}\) + \(\frac{1}{24}\)
⇒ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{3+2+1}{24}\)
⇒ r = 4
కానీ Δ² = = rr₁r₂r₃ = 4 × 8 × 12 × 24
= (8 × 12)²

ప్రశ్న 52.
\(\frac{a b-r_1 r_2}{r_3}\) = \(\frac{b c-r_2 r_3}{r_1}\) = \(\frac{c a-r_3 r_1}{r_2}\) అని చూపండి. (Mar. ’08; May ’06)
సాధన:

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 8 విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 8 విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

1. క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin^-1 \(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
సాధన:
sin^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\) = –\(\frac{\pi}{6}\)
–\(\frac{\pi}{6}\) ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)

ii) cos^-1 \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
సాధన:
cos^-1 \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = π – cos^-1\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
= π – \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{5 \pi}{6}\) ∈ [0, π]

iii) tan^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
సాధన:
tan^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) = \(\frac{\pi}{6}\) ∈ (-\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\) )

iv) cot1 (-1)
సాధన:
cot ‘(-1) = π – cot^-1 (1) = π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\) ∈ (0, π)

v) sec^-1 (-\(\sqrt{2}\))
సాధన:
sec^-1 (-\(\sqrt{2}\)) = π – sec^-1 (\(\sqrt{2}\))
= π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\) ∈ (\(\frac{\pi}{2}\), π)

vi) cosec^-1 \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
సాధన:
cosec^-1 \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\) = sin^-1\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = \(\frac{\pi}{3}\) ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\))

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin^-1 (sin \(\frac{4 \pi}{3}\))
సాధన:

ii) cos^-1 \(\left(\cos \frac{4 \pi}{3}\right)\)
సాధన:

iii) tan^-1 (tan \(\frac{4 \pi}{3}\))
సాధన:

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin (cos^-1 \(\frac{5}{13}\))
సాధన:
sin (cos^-1 \(\frac{5}{13}\)) = sin (sin^-1 \(\frac{12}{13}\)) = \(\frac{12}{13}\)

ii) tan (sec^-1 \(\frac{25}{7}\))
సాధన:
tan(sec^-1\(\frac{25}{7}\)) = tan(tan^-1 \(\frac{24}{7}\)) = \(\frac{24}{7}\)

iii) cos (tan^-1 \(\frac{24}{7}\))
సాధన:
cos (tan^-1 \(\frac{24}{7}\)) = cos (cos^-1 \(\frac{7}{25}\)) = \(\frac{7}{25}\)

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin² (tan^-1 \(\frac{3}{4}\))
సాధన:
sin(tan^-1 \(\frac{3}{4}\)) = sin (sin^-1 \(\frac{3}{5}\)) = \(\frac{3}{5}\)
∴ sin² (tan^-1 \(\frac{3}{4}\)) = (\(\frac{3}{5}\))² = \(\frac{9}{25}\)

ii) sin (\(\frac{\pi}{2}\) – sin^-1 \(\left(-\frac{4}{5}\right)\))
సాధన:

iii) cos (cos^-1\(\left(-\frac{2}{3}\right)\) – sin^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\))
సాధన:

iv) sec² (cot^-1 3) + cosec² (tan^-1 2)
సాధన:
cot^-1 (3) = α, tan^-1(2) = β అనుకుంటే
cot α = 3, tan β = 2
⇒ tan α = \(\frac{1}{3}\), cot β = \(\frac{1}{2}\)
ఇప్పుడు sec²(cot^-1 3) + cosec²(tan^-1 β)
= 1 + \(\left(\frac{1}{3}\right)^2\) + 1 + \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
= 2 + \(\frac{1}{9}\) + \(\frac{1}{4}\)
= \(\frac{72+4+9}{36}\) = \(\frac{85}{36}\)

iv) sec²(cot^-1 3) + cosec² (tan^-1 2)
సాధన:
cot^-1 (3) = α, tan^-1 (2) = β అనుకుంటే
cot α = 3, tan β = 2
⇒ tan α = \(\frac{1}{3}\), cot β = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 5.
cot^-1 \(\frac{1}{2}\) + cot^-1 \(\frac{1}{3}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
cot^-1 (\(\frac{1}{2}\)) + cot^-1 (\(\frac{1}{3}\))
= tan^-1 (2) + tan^-1 (3)
∵ x = 3, y = 2, xy > 1
= π + tan^-1 \(\left(\frac{2+3 .}{1-(2)(3)}\right)\)
= π + tan^-1 \(\left(\frac{5}{-5}\right)\)
= π + tan^-1 (-1)
= π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\)

ప్రశ్న 6.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{7}{25}\) = sin^-1 \(\frac{117}{125}\) అని చూపండి. (Mar. ’13)
సాధన:
మొదటి పద్ధతి :

రెండవ పద్ధతి:
x > 0, y > 0, x² + y² < 1 అయితే
sin^-1 x + sin^-1 y = sin (x\(\sqrt{1-y^2}\) + y\(\sqrt{1-x^2}\)), అని మనకు తెలుసు.
∴ sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{7}{25}\)

ప్రశ్న 7.
x ∈ (-1, 1) save 2 tan^-1x = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
∵ x ∈ (-1, 1), tan^-1 x = α అనుకుంటే

ప్రశ్న 8.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{5}{13}\) + sin^-1 \(\left(\frac{16}{25}\right)\) = \(\frac{\pi}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) = α, sin^-1 \(\frac{5}{13}\) = β అనుకుంటే
α, β లు అల్పకోణాలు.
sin α = \(\frac{4}{5}\), sin β = \(\frac{5}{13}\)
కనుక cos α = \(\frac{3}{5}\), cos β = \(\frac{12}{13}\)
ఇప్పుడు
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= \(\frac{3}{5}\). \(\frac{12}{13}\) – \(\frac{4}{5}\) . \(\frac{5}{13}\)
= \(\frac{16}{65}\)
∴ α + β = cos^-1 \(\left(\frac{16}{65}\right)\)

ప్రశ్న 9.
cot^-1 9 + cosec^-1 \(\frac{\sqrt{41}}{4}\) = \(\frac{\pi}{4}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
cot^-1 (9) = α, cosec^-1\(\frac{\sqrt{41}}{4}\) = β అనుకుంటే
cot α = 9, cosec β = \(\frac{\sqrt{41}}{4}\) అవుతాయి.

ప్రశ్న 10.
cot (sin^-1 \(\sqrt{\frac{13}{17}}\)) = sin (tan^-1 \(\frac{2}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
tan ((2 tan^-1 \(\frac{1}{5}\)) – \(\frac{\pi}{4}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + 2 tan^-1 \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{\pi}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
cos (2 tan^-1 \(\frac{1}{7}\)) = sin (4 tan^-1 \(\frac{1}{3}\)) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
sin^-1 x + sin^-1y + sin^-1 z = π, అయితే x⁴ + y⁴ + z⁴ + 4x²y²z² = 2(x²y² + y²z² + z²x²) అని చూపండి.
సాధన:
sin^-1x = A, sin^-1 y = B, sin^-1 (z) = C అనుకుందాం
sin A = x, sin B = y, sin C = z
A + B = π – C
⇒ cos (A + B) = cos(π – C)
⇒ cos A cos B – sin A sin B = -cos C

ప్రశ్న 15.
cos^-1\(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{a}}\) + cos^-1\(\frac{\mathbf{q}}{\mathbf{b}}\) = α, అయితే \(\frac{p^2}{a^2}\) – 2\(\frac{p q}{a b}\) cos α + \(\frac{q^2}{b^2}\) = sin² α అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
x > 0 కు arc sin\(\left(\frac{5}{x}\right)\) + arc sin \(\frac{12}{x}\) = \(\frac{\pi}{2}\)
ను సాధించండి.
సాధన:

⇒ \(\frac{25}{x^2}\) = 1 – \(\frac{144}{x^2}\)
⇒ \(\frac{169}{x^2}\) = 1 ⇒ x² = 169 ⇒ x = ± 13
⇒ x = 13 (∵ x > 0)

ప్రశ్న 17.
sin^-1 \(\left(\frac{3 x}{5}\right)\) + sin^-1 \(\left(\frac{4 x}{5}\right)\) = sin^-1(x) ను సాధించండి.
సాధన:
sin^-1 \(\left(\frac{3 x}{5}\right)\) = α, sin^-1 \(\left(\frac{4 x}{5}\right)\) = β, sin^-1 (x) = γ అనుకుంటే
అప్పుడు sin α = \(\frac{3 x}{5}\), sin β = \(\frac{4 x}{5}\), sin γ = x అవుతాయి

⇒ 25 – 16x² = 9
⇒ 16x² = 16 ⇒ x = ±1
∴ x = 0, +1, -1
x యొక్క ఈ విలువలు దత్త సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి.

ప్రశ్న 18.
sin^-1x + sin^-1 2x = \(\frac{\pi}{3}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వర్గం చేస్తే

ఋణాత్మకాలు. కనుక ఈ విలువ దత్త సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు.
x = \(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}}\) మాత్రమే సాధన.

ప్రశ్న 19.
sin [2 cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)}] = 0, అయితే x ను కనుక్కోండి.
సాధన:
sin [2cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)}] = 0
⇔ 2 cos^-1 [cot (2tan‍^-1 x)] = 0 లేదా π లేదా 2π
(cos^-1 x యొక్క వ్యాప్తి [0, π] కనుక)
⇔ cos^-1 [cot (2 tan^-1 x)] = 0 లేదా \(\frac{\pi}{2}\) లేదా π
⇔ cot (2 tan^-1 x) = 1 లేదా 0 లేదా −1

ప్రశ్న 20.
cos [tan^-1 {sin (cot ^-1x)}] = \(\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
cot^-1 (x) = θ అనుకుందాం.
అప్పుడు cot θ = x, 0 < x < π

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a)

అభ్యాసం – 9 (ఎ)

I. క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) \(\sqrt{x}\) + \(2 x^{\frac{3}{4}}\) + \(3 x^{\frac{5}{6}}\) (x > 0)
సాధన:
y = \(\sqrt{x}\) + \(2 x^{\frac{3}{4}}\) + \(3 x^{\frac{5}{6}}\) (x > 0)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2} \cdot x^{-1 / 2}\) + 2. \(\frac{3}{2}\) . x^-1/4 + 3. \(\frac{3}{2}\) . x^-1/6]

ii) \(\sqrt{2 x-3}\) + \(\sqrt{7-3 x}\) (T.S Mar. ’15)
సాధన:

iii) (x² – 3) (4x³ + 1)
సాధన:
y = (x² – 3) (4x³ + 1)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 3) – (4x³ + 1)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 3) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(4x³ + 1) + (4x³ + 1)\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(x² – 3)
= (x² – 3) (12x²) + (4x³ + 1) (2x)
= 12x⁴ – 36x² + 8x⁴ + 2x
= 20x⁴ – 36x² + 2x

iv) (\(\sqrt{x}\) – 3x) (x + \(\frac{1}{x}\))
సాధన:

v) (\(\sqrt{x}\) + 1)(x² – 4x + 2)(x > 0)
సాధన:
y = (\(\sqrt{x}\) + 1) (x² – 4x + 2) (x > 0)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

vi) (ax + b)ⁿ (cx + d)^m.
సాధన:

vii) 5 sin x + e^x log.x
సాధన:
y = 5 sin x + e^x. log x
\(\frac{d y}{d x}\) = 5 cos x + e^x. \(\frac{d}{d x}(\log x)\) + log x \(\frac{d}{d x}\left(e^x\right)\)
= 5 cos x + e^x . \(\frac{1}{x}\) + (log x) (e^x)

viii) 5^x + log x + x³ e^x
సాధన:
y = 5x + log x + x³ e^x
\(\frac{d y}{d x}\) = 5^x . log 5 + \(\frac{1}{x}\) + x³.e^x + e^x.3x²
= 5^x.l0g 5 + \(\frac{1}{x}\) + x³ e^x + 3x² e^x

ix) e^x + sin x cos x
సాధన:
y = e^x + sin x. cos x
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{d}{d x}\)(e^x) + \(\frac{d}{d x}\)(sin x. cos x)
= e^x + sin x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cos x) + cos x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin x)
= e^x – sin² x + cos² x
= e^x + cos 2x

x)
\(\frac{\mathbf{p} x^2+\mathbf{q} x+\mathbf{r}}{\mathbf{a x}+\mathbf{b}}\)(|a| + |b| ≠ 0)
సాధన:

xi) log₇ (log x) (x > 0)
సాధన:
y = log₇ (log x) (x > 0)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{\log _7} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}\)
= \(\frac{1}{x(\log x)\left(\log _e^7\right)}\) = \(\frac{\log _7{ }^e}{x \log _e x}\)

xii)
\(\frac{1}{a x^2+b x+c}\) (|a| + |b| + |c| ≠ 0)
సాధన:

xiii) e^2x log (3x + 4) (x > \(\frac{-4}{3}\)) (May ’13)
సాధన:
y = e^2x. log (3x + 4) (x > –\(\frac{4}{3}\))
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

xiv) (4 + x²) e^2x
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = (4 + x²) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(e^2x) + e^2x\(\frac{d}{d x}\)(4 + x²)
= (4 + x²). 2e^2x + e^2x (0 + 2x)
= 2e^2x (4 + x² + x]
= 2e^2x (x² + x + 4)

xv) \(\frac{a x+b}{c x+d}\) [|c| + |d| ≠ 0] (May 12)
సాధన:
y = \(\frac{a x+b}{c x+d}\) [|c| + |d| ≠ 0]
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

xvi) a^x. e^x2
సాధన:
y = a^x. e^x2
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 2.
f(x) = 1 + x + x² + …. + x^1oo, అయితే f'(1) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 1 + 2x + 3x²……… + 100 x⁹⁹
f'(1) = 1 + 2 + 3 …….. + 100
= \(\frac{100 \times 101}{2}\) = 5050 (Σx = \(\frac{x(x+1)}{2}\))

ప్రశ్న 3.
f(x) = 2x² + 3x – 5 అయితే f'(0) + 3f'(-1) = 0 అని చూపండి.
సాధన:
f'(x) = 4x + 3
f'(0) = 0 + 3 = 3
f'(-1) = – 4 + 3 = -1
f(0) + 3f'(-1) 3 + 3(-1) = 3 – 3 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
అవకలజం ప్రాథమిక సూత్రం నుంచి కింది ప్రమేయాలు అవకలజాలను కనుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)

i) x³
సాధన:

ii) x² + 4
సాధన:
f(x) = x² + 4
f(x + h) – f(x) = ((x + h)⁴ + 4) – (x⁴ + 4)
= ((x + h)⁴ + 4 – x⁴ – 4
= x⁴ + 4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h⁴ – x⁴

iii) ax² + bx + c
సాధన:
f(x) = ax² + bx + c
f(x + h) = a(x + h)² + b(x + h) + c
= a(x² + 2hx + h²) + b(x + h) + c
= ax² + 2ahx + ah² + bx + bh + c
f(x + h) – f(x) = ax² + 2ahx + ah² + bx + bh + c – ax² – bx – c
= h[2ax + ah + b]

iv) \(\sqrt{x+1}\)
సాధన:

v) sin 2x (May ’13)
సాధన:
f(x) = sin 2x = f(x + h) – f(x)
= sin 2(x + h) – sin 2x
= 2cos \(\frac{2 x+2 h+2 x}{2}\) . sin \(\frac{2 x+2 h-2 x}{2}\)
= 2. cos (2x + h). sin h

vi) cos ax (Mar. ’13, ’11)
సాధన:

vii) tan 2x
సాధన:

viii) cot x
సాధన:
f(x) = cot x
f(x + h) – f(x) = cot (x + h) – cot x

ix) sec 3x
సాధన:
f(x) = sec 3x
f(x + h) − f(x) = sec 3(x + h) – sec 3x

x) x sin x
సాధన:
f(x) = x sin x.
f(x + h) – f(x) = (x + h) sin (x + h) – x sin x
= x (sin (x + h) – sin x) + h. sin (x + h)
= x[2 cos\(\frac{x+h+x}{2}\).sin \(\frac{x+h-x}{2}\)) + h. sin(x + h)

xi) cos² x
సాధన:
f(x) = cos² x
f(x + h) f(x) = cos² (x + h) – cos² x
= -(cos² x – cos² (x + h))
= -sin (x + h + x) sin (x + h – x)

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) \(\frac{1-x \sqrt{x}}{1+x \sqrt{x}}\) (x > 0)
సాధన:

ii) xⁿ. n^x. log (nx) (x > 0, n ∈ N)
సాధన:

iii) ax²ⁿ. log x + bxⁿ e^-x
సాధన:
y = ax²ⁿ. log x + bxⁿ e^-x

iv) (\(\frac{1}{x}\) – x)³. e^x
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ప్రమేయం f(x) = |x| + |x – 1], x ∈ R, 0, 1ల వద్ద తప్ప అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద అవకలనీయం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = │x| + |x – 1| ∀ x ∈ R
f(x) = x + x − 1 = 2x − 1, x ≥ 1
= x – (x − 1) = x – x + 1, = 1, 0 < x < 1
= -x – (x – 1) = -x – x + 1 = 1 – 2x, x ≤ 0
∴ f(x) = 2x – 1, x ≥ 1
= 1, 0 < x < 1 = 1 – 2x, x ≤ 0 x > 1, అయితే f(x)= 2x – 1 = x² లో బహుపది
f(x) అన్ని x > 1 లకు అవకలనీయము.
0 < x < 1, అయితే f(x) = 1
∴ f(x), 0 < x < 1 కు అవకలనీయము.
x < 1, అయితే f(x) = 1 – 2x = x లో బహుపది
∴ f(x) అన్ని x < 1 వద్ద అవకలనీయము
సందర్భం i) : x = 0

∴ f'(0) వ్యవస్థితం కాదు.
f(x) అవకలనీయము కాదు x = 0 వద్ద
సందర్భం ii) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద అవకలనీయము కాదు.
∴ f(x), 0, 1 వద్ద తప్ప x వాస్తవ విలువలన్నింటి వద్ద అవకలనీయము

ప్రశ్న 4.
క్రింది ప్రమేయం 1, 3 ల వద్ద అవకలనీయమేమో చూపండి.

సాధన:
సందర్భం i) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద x = 1 అవకలనీయం కాదు
సందర్భం ii) : x = 3

f(x) వద్ద x = 3 అవకలనీయం కాదు

ప్రశ్న 5.
క్రింది ప్రమేయం 2 వద్ద అవకలనీయమా ? సరి చూడండి.

సాధన:


f'(2-) ≠ f'(2⁺) ; f(x) ప్రమేయం x = 2 వద్ద ఆవకలనీయం కాదు.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(g) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(g)

అభ్యాసం – 10 (జి)

I.

1. అవకలజాన్ని ఉపయోగించకుండా

i) f(x) = 3x + 7 ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం సాధన.
సాధన:
x₁, x₂ ∈ R అయితే x₁ < x₂
3x₁ < 3x₂
ఇరువైపుల 7 కూడగా
3x₁ + 7 < 3x₂ + 7
⇒ f(x₁) < f(x₂)
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) < f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ R
ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.

ii) f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం
సాధన:
f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\)
Let x₁, x₂ ∈ R
అయితే
x₁ < x₂
⇒ \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}\) > \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\)
⇒ f(x₁) > f(x₂) .
R పై f(x) శుద్ధ అవరోహణం.

iii) f(x) = e^3x ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.
సాధన:
f(x) = e^3x
x₁, x₂ ∈ R అయితే x₁ < x₂
W.k.t a > b
అయితే e^a > e^b
⇒ e^3x < e^3x₂
⇒ f(x₁) < f(x₂)
R పై f(x) శుద్ధ ఆరోహణం.

iv) f(x) = 5 – 7x ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = 5 – 7x
x₁ x₂ ∈R
అయిన x₁ < x₂
⇒ 7x₁ < 7x₂
-7x₁ > -7x₂
ఇరువైపులా 5 కూడగా
5 – 7x₁ > 5 – 7x₂
f(x₁) > f(x₂)
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ∀x₁ x₂ ∈ R.
R పై f(x) శుద్ధ అవరోహణం.

ప్రశ్న 2.
f(x) = sin x, x E R ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం లేదా శుద్ధ అవరోహణం కాదని చూపండి.
సాధన:
f(x) = sin x
Since 0 < x < π
Consider 0 < x f(0) < f(x)
sin 0 < sin x
0 < sin x —— (1)
Consider x < π
f(x) < f(π)
sin x < sin π 0 > sin x —— (2)
(1) (2) నుంచి f(x) శుద్ధ ఆరోహణం లేదా శుద్ధ అవరోహణం కాదు.

II.

1. కింద ప్రమేయాలు శుద్ధ ఆరోహణం, శుద్ధ అవరోహణం అయ్యే అంతరాలను కనుక్కోండి.

i) x² + 2x – 5
సాధన:
Let f(x) = x² + 2x – 5
f(x) = 2x + 2
f(x) ఆరోహణం అయితే f'(x) > 0
⇒ 2x + 2< 0 ⇒ x + 1 > 0
x > -1
x ∈ (-1, ∞) వద్ద f(x) ఆరోహణం
f(x) అవరోహణం అయితే f'(x) < 0
⇒ 2x + 2 < 0
⇒ x + 1 < 0
⇒ x < -1
x ∈ (-∞, −1) వద్ద f(x) అవరోహణం.

ii) 6 – 9x – x².
సాధన:
f(x) = 6 – 9x – x²
f'(x) = -9 -2x
f(x) ఆరోహణం అయితే f'(x) > 0
⇒ -9 – 2x > 0
⇒ 2x + 9 < 0
x < \(\frac{-9}{2}\)
x ∈ \(\left(-\infty, \frac{-9}{2}\right)\) అయితే f(x) ఆరోహణం
f(x) అవరోహణం అయితే f'(x) < 0
⇒ 2x + 9 > 0
⇒ x > \(\frac{-9}{2}\)
x ∈ \(\left(\frac{-9}{2}, \infty\right)\) అయితే f(x) అవరోహణం

iii) (x + 1)³ (x – 1)³.
సాధన:
Let f(x) = (x + 1)³ (x + 1)³
= (x² – 1)³
= x⁶ – 1 – 3x⁴ + 3x²
f'(x) = 6x⁵ – 12x³ + 6x
= 6(x⁵ – 2x³ + x)
= 6x(x⁴ – 2x² + 1)
= 6x(x² – 1)²
f'(x) ≤ 0
⇒ 6x(x² – 1) ≤ 0
f(x) అవరోహణ అయితే (-∞, -1) ∪ (1, 0)
f'(x) > 0
f(x) అవరోహణ అయితే (0, 1) ∪ (1, ∞)

iv) x³(x – 2)²
సాధన:
f'(x) = x³. 2(x – 2) + (x – 2)². 3x²
= x²(x – 2) (2x + 3(x – 2))
= x² (x – 2) (2x + 3x – 6)
= x² (x – 2) (5x – 6) ∀ x ∈ R, x² ≥ 0
ఆరోహణ అయితే f'(x) > 0.
x²(x – 2) (5x – 6) > 0
x ∈ \(\left(-\infty, \frac{6}{5}\right)\) ∪ (2, ∞)
అవరోహణ అయితే f'(x) < 0
x²(x – 2) (5x – 6) < 0
x ∈ \(\left(\frac{6}{5}, 2\right)\)

v) f(x) = x e^x
సాధన:
f(x) = x . e^x + e^x. 1 = e^x (x + 1)
e^x, x వాస్తవ
f(x) > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > -1
f(x) ఆరోహణం అయితే x > -1
f'(x) < 0 ⇒ x + 1 < 0 ⇒ x < – 1
f(x) అవరోహణము అయితే x < – 1

vi) f(x) = \(\sqrt{25-4 x^2}\)
సాధన:
f(x) వాస్తవము కావలెనంటే 25 – 4x² ≥ 0
-(4x² – 25) ≥ 0
-(2x + 5) (2x – 5) ≥ 0
∴ x విలువ \(-\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{2}\) మధ్య ఉంటుంది.

f(x) ప్రమేయము (\(-\frac{5}{2}\), 0) లో అవరోహణము
f(x) అవరోహణము అయితే f'(x) < 0
⇒ \(-\frac{4 x}{\sqrt{25-4 x^2}}\) < 0
∴ x > 0
f(x) ప్రమేయము (0, \(\frac{5}{2}\)) లో అవరోహణం.

vii) f(x) = ln (lnx); x > 1
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}\)
f(x) లో ఆరోహణమయితే f'(x) > 0
\(\frac{1}{x \cdot \ln } x\) > 0
⇒x. ln x > 0
In x వాస్తవం అయితే x > 0 కావలెను
∴ ln x < 0 = ln 1 i.e., x > 1
f(x) ప్రమేయము x > 1 ie., (1, ∞) అయిన ఆరోహణం
f(x) ప్రమేయము f'(x) < 0 అయితే అవరోహణం
⇒ In x > 0 ln
i.e., x < 1
f(x) ప్రమేయము (0, 1) లో అయితే అవరోహణం

viii) f(x) = x³ – 3x² – 6x + 12
సాధన:
f'(x) = 3x² + 6x – 6
= 3(x² + 2x – 2)
= 3[(x + 1)² – 3]
= 3( x + 1 + \(\sqrt{3}\)) ( x + 1 – \(\sqrt{3}\))
f'(x) = 3(x+ (\(\sqrt{3}\) + 1))(x + (1 − \(\sqrt{3}\)))
f'(x) ≤ 0 ⇒ 1 + \(\sqrt{3}\) < x < \(\sqrt{3}\) + 1
f(x), (1 + \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) – 1) లో
f'(x) > 0 ⇒ x అవరోహణము
1 – \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) – 1 ల మధ్య ఉండును.
i.e., x < 1 – \(\sqrt{3}\) మరియు x > \(\sqrt{3}\) – 1
f(x), x < 1 – \(\sqrt{3}\), x > \(\sqrt{3}\) – 1 లో ఆరోహణము

ప్రశ్న 2.
(0, π/2) అంతరంపై f(x) = cos²x శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = cos²x
⇒ f'(x) = 2 cos x(-sin x)
= -2 sin x cos X
= -sin 2x
∴ 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 0 < 2x < π
‘sin x’ is +ve మధ్య 0 + π
∴ f'(x) = -ve.
∴ f'(x) < 0
∴ f(x) విలువ తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 3.
[1, ∞) అంతరం పై x + \(\frac{1}{x}\) ఆరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = x + \(\frac{1}{x}\)
f'(x) = 1 – \(\frac{1}{x^2}\) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\)
Since x ∈ [1, ∞) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\) > 0
∴ f(x) > 0
∴ f(x) ఆరోహణం.

ప్రశ్న 4.
ప్రతి x > 0 కి \(\frac{x}{1+x}\) < ln (1 + x) < x ∀ అని చూపండి.
సాధన:

f(x) ప్రమేయము > 0 అయితే ఆరోహణము
∴ f(x) > f(0)

g(x) ప్రమేయము x > 0 లో ఆరోహణము
i.e., g(x) > g(0)
g(0) = 0 – ln = 0 – 0 = 0
∴ x – ln (1 + x) > 0
x > ln (1 + x) —– (2)
(1), (2) ల నుండి
x > 0 అయితే \(\frac{x}{1+x}\)(1 + x) < x

III.

ప్రశ్న 1.
ప్రతి x > 0 కి \(\frac{x}{1+x}\) < ln(1 + x) < x ∀ అని చూపండి.
సాధన:

f(x) ప్రమేయము x > 0 లో ఆరోహణము
f(x) > f(0)
f(0) = tan^-1 0 – 0 = 0 కనుక
i.e., f(x) > 0
⇒ tan^-1x – \(\frac{x}{1+x^2}\) > 0
⇒ tan^-1x > \(\frac{x}{1+x^2}\) —- (1)
g(x) = 1 – tan^-1x అనుకుందాం
g'(x) = 1 – \(\frac{1}{1+x^2}\) = \(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\) = \(\frac{x^2}{1+x^2}\) > 0
g(x) ప్రమేయము x > 0 కు ఆరోహణము
i.e., g(x) > g(0)
g(0) = 0 – tan^-1 = 0 – 0 = 0
∴ x – tan^-1 x > 0
⇒ x > tan^-1 x —— (2)
(1), (2) ల నుండి
x > 0 అయితే \(\frac{x}{1+x^2}\) < tan^-1 x < x

ప్రశ్న 2.
ప్రతి x ∈\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కి tan x > x అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = tan x – x అనుకుందాం
f'(x) = sec² x – 1 > 0, ∀x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\),
∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ఆరోహణము
i.e., f(x) > f(0)
f(0) = tan 0 – 0 = 0 – 0 = 0
∴ tan x – x > 0
⇒ ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు tan x > x

ప్రశ్న 3.
x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) అయితే, \(\frac{2 x}{\pi}\) < sin x < x అని చూడండి
సాధన:
f(x) = x – sinx అనుకుందాం.
f'(x) = 1 – cos x > 0 ∀ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
⇒ f(x) ప్రమేయము ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ఆరోహణము.
⇒ f(x) > f(0)
f(0) = 0 – sin 0 = 0 – 0 = 0
∴ x – sin x > 0
⇒ x > sin x
g(x) = sin x – \(\frac{2 x}{\pi}\) అనుకుందాం.
g'(x) = cos x – \(\frac{2}{\pi}\) > 0 ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ప్రమేయము.
g(x) ప్రమేయము \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) లో ఆరోహణ ప్రమేయము.
g(x) > g(0)
g(0) = sin 0 – 0 = 0 – 0 = 0
∴sin x – \(\frac{2 x}{\pi}\) > 0
⇒ 1 – sin x > \(\frac{2 x}{\pi}\) —- (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{2 x}{\pi}\) < sin x < x ∀ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)

ప్రశ్న 4.
x ∈(0, 1) అయితే 2x < ln \(\left[\frac{(1+x)}{1-x}\right]\) < 2x \(\left[1+\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}\right]\) అని చూపండి.
సాధన:

= \(\frac{2-2+2 x^2}{1-x^2}\)
= \(\frac{2 x^2}{1-x^2}\) > 0 ∀ x ∈ (0, 1)
f(x) ప్రమేయము (0, 1) లో ఆరోహణము
i.e., x > 0 ⇒ f(x) > f(0)
f(0) = ln 1 – 0 = 0 – 0 = 0

g(x) ప్రమేయము x > 0 కు ఆరోహణము
g(x) > g(0)
g(0) = 0 ln 1 = 0 – 0 = 0

(1), (2) ల నుండి
2x < ln \(\frac{(1+x)}{1-x}\) < 2x \(\left(1+\frac{\mathrm{x}^2}{2\left(1-\mathrm{x}^2\right)}\right)\) x ∈ (0, 1)

ప్రశ్న 5.
y = \(\frac{x^3}{6}\) – \(\frac{3 x}{2}\) + \(\frac{11 x}{2}\) + 12 ప్రమేయానికి ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలులు పెరుగుతాయి ?
సాధన:
వక్రం సమీకరణము У = \(\frac{x^3}{6}\) – \(\frac{3}{2} x^2\) + \(\frac{11 x}{2}\) + 12

వాలు ఆరోహణము
⇒ m > 0
x – 3 > 0
x > -3
వాలు (3, ∝) లో ఆరోహణము

ప్రశ్న 6.
(0, ∝) అంతరంలో ln\(\frac{(1+x)}{x}\), \(\frac{x}{(1+x) \ln (1+x)}\) ప్రమేయాలు అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
i)

∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ (0, ∝) లో అవరోహణ ప్రమేయము

ii)
f(x) = \(\frac{x}{(1+x) \ln (1+x)}\) అనుకుందాం


∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ (0, ∝) లో అవరోహణ ప్రమేయము

ప్రశ్న 7.
f(x) = x³ – 3x² + 4 ∀ x ∈ R అంతరంలో శుద్ధ అవరోహణం అవుతుందో కనుక్కోండి
సాధన:
f(x) = x³ – 3x² + 4
f'(x) = 3x² – 6x
f(x) is increasing if f'(x) > 0
3x² – 6x > 0
3x(x – 2) > 0
(x – 0) (x – 2) > 0
f(x) is increasing if x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, ∞)
f(x) is decreasing if f'(x) < 0
(x – 0) (x – 2) < 0
x ∈ (0, 2)

ప్రశ్న 8.
f(x) = sin⁴x + cos⁴x ∀ x ∈ \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\), అంతరాలలో అవరోహణమో, ఆరోహణమో చూపండి.
సాధన:
f(x) = sin⁴x + cos⁴x
f(x) = (sin²x)² + (cos²x)²
= (sin²x + cos²x)² – 2sin²x cos²x
= 1 – \(\frac{1}{2}\) sin² 2x
f'(x) = \(\frac{-1}{2}\) sin 2x. cos 2x(2)
= -2 sin 2x . cos 2x
= -sin 4x
Let 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\)
∴ f(x) విలువ తగ్గుతుంది f'(x) < 0
−sinx < 0 sinx > 0
∴ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\)
f(x) విలువ పెరుగుతుంది f'(x) > 0
– sinx > 0
sinx < 0
x ∈ \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(h) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(h)

అభ్యాసం 10 (హెచ్)

I. క్రింది ప్రమేయాలకు వాటి ప్రక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై స్థానిక అంత్యబిందువులు, స్థానిక అంత్య విలువలు (ఉంటే) కనుక్కోండి.

i) f(x) = x², ∀ x ∈ R.
సాధన:
f(x) = x²
f(x) = 2x = f”(x) = 2
గరిష్టం, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
2x = 0
x = 0
ఇప్పుడు f”(x) = 2 > 0
∴ f(x) వద్ద x = 0 కనిష్ట విలువ ఉంది.
స్థానిక కనిష్ట బిందువు x’ = 0
స్థానిక కనిష్ట విలువ = 0.

ii) f(x) = sin x, [0, π)
సాధన:
ఇచ్చినది f(x) = sinx
⇒ f'(x) = cosx
⇒ f”(x) = – sin x
గరిష్ట లేక కనిష్ట విలువలు
f'(x) = 0
cos x = 0
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3 \pi}{2}\), \(\frac{5 \pi}{2}\), \(\frac{7 \pi}{2}\)

i) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = \(-\sin \frac{\pi}{2}\) = -1 < 0
f(x) = sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = \(\frac{\pi}{2}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ x = 1

ii) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\)
= – sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = -1 > 0
f(x) = sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = -1
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = \(\frac{3 \pi}{2}\)
స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = -1

iii) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{5 \pi}{2}\right)\)
= -sin \(\frac{5 \pi}{2}\) = -1 < 0
f(x) = sin \(\frac{5 \pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = \(\frac{5 \pi}{2}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ x = 1

iv) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = -sin \(\frac{7 \pi}{2}\) = 1 > 0
f(x) = sin \(\frac{7 \pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = \(\frac{7 \pi}{2}\)
స్థానిక కనిష్ట విలువ x = -1

ii) f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15
సాధన:
f'(x) = 3x² – 12x + 9 ⇒ f”(x) = 6x – 12
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ 3x² – 12x + 9 = 0
⇒ x² – 4x + 3 = 0
⇒(x – 1) (x – 3) = 0.
⇒ x = 1 లేదా 3
ఇప్పుడు f”(1) = 6(1) – 12 = -6 < 0
∴ f(x), x = 1 వద్ద గరిష్టము
గరిష్ఠ విలువ f(1)= 1³ – 6 (1)² + 9(1) + 15
= 1 – 6 + 9 + 15 = 19
f”(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0
∴ f(x), x = 35 g వద్ద కనిష్టము
కనిష్ఠ విలువ = f(3) = 3³ – 6.3² + 9.3 + 15
= 27 – 54 + 27 + 15
= 15

iv) f(x) = \(x \sqrt{(1-x)}\) ∀ x = (0, 1)
సాధన:

గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0

v) f(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\) ∀ x ∈ R
సాధన:

∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ \(\frac{-2 x}{\left(x^2+2\right)^2}\) = 0 ⇒ x = 0
f”(0) = \(\frac{2(0-2)}{(0+2)^3}\) = \(\frac{-4}{8}\) = \(\frac{-1}{2}\) < 0
∴ f(x), x = 0 వద్ద గరిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(0) = \(\frac{1}{0+2}\) = \(\frac{1}{2}\)

vi) f(x) = x³ – 3x ∀ x ∈R
సాధన:
f'(x) = 3x² – 3 మరియు f'(x) = 6x
∴గరిష్ఠ, కనిష్ట విలువలకు f'(x) = 0
⇒ 3x² – 3 = 0
⇒ x² – 1 = 0
⇒ x = ±1
ఇప్పుడు f”(1) = 6(1) = 6 > 0
∴ f(x), x = 1 ల వద్ద కనిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(1) = 1³ – 3 (1) = -2
f”(-1) = 6(-1) = -6 < 0
∴ f(x) కు x = 1 వద్ద గరిష్ఠం
గరిష్ఠ విలువ = f(-1) = (-1)³ – 3(-1)
= -1 + 3 = 2

vii) f(x) = (x – 1)(x + 2)² ∀ x ∈ R
సాధన:
f'(x) = (x – 1) (x + 2)²
f(x) = (x – 1)2(x + 2) + (x + 2)²
= 2(x – 1) (x + 2) + (x + 2)²
f”(x) = 2(x – 1) + 2(x + 2) + 2(x + 2)
= 2(x – 1 + x + 2 + x + 2)
= 2(3x + 3) = 6(x + 1)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
2(x – 1)(x + 2) + (x + 2)² = o
(x + 2) [2(x – 1) + (x + 2)] = 0
⇒ (x + 2) (3x) = 0
⇒ x = 0, x = -2
ఇప్పుడు f”(0) = 6(0 + 1) = 6 > 0
∴ f(x), x = -2 వద్ద కనిష్ఠము
కనిష్ఠ విలువ f(0) = (0 – 1)(0 + 2)² = -4
f”(-2) = 6(-2 + 1) = -6 < 0
∴ f(x), x = -2 వద్ద గరిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(-2) = (-2 – 1)(-2 + 2)² = 0

viii) f(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\) ∀ x ∈ R
సాధన:
f'(x) = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{x^2}\) మరియు f”(x) = \(\frac{4}{x^3}\)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}\) = 0 ⇒ x² – 4 = 0 ⇒ x = ±2
f”(2) = \(\frac{4}{2^3}\) = \(\frac{1}{2}\) > 0 (x > 0 కనుక)
∴ f(x), x = 2 వద్ద కనిష్ఠ విలువ ఉంది
కనిష్ఠ విలువ = f(2) = \(\frac{2}{2}\) + \(\frac{2}{2}\) = 1 + 1 = 2

ix) f(x) = -(x – 1)³ (x + 1)² ∀ x ∈ R
సాధన:
f(x) = -(x – 1)³ (x + 1)² = (1 – x)³ (x + 1)²
f'(x) = (1 – x)³ 2(x + 1) + 3(1 – x)² (-1) (x + 1)
= (1 – x²) (x + 1) {2(1 – x) – 3(x + 1)}
= (1 – x)²(x + 1){2 – 2x – 3x – 3} = 0
= (1 – x)²(x + 1)(-1 – 5x)
f’'(x) = (1 – x)²(x + 1)(-5) + (1 – x)²(-1 – 5x) + (x + 1)(-1 – 5x) 2(1 – x)(-1)
= -5 (1 – x)² (x + 1) — (1 + 5x) (1 – x)² + (x + 1)(1 + 5x)2(1 – x)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
(1 – x)² (x + 1) (-1 – 5x) = 0
⇒ x = ±1 లేదా -1/5
f’'(1) = 0 – 0 + 0 ⇒ x = 0
f”(1 + 1)²(-1) = 0 – (1 – 5) + 0 = 16 > 0
∴ f(x), x = -1 వద్ద కనిష్ఠం
కనిష్ఠ విలువ f(-1) = (1 + 1)³(-1 + 1)² = o
f”\(\left(-\frac{1}{5}\right)\) < 0
⇒ f(x), x = \(-\frac{1}{5}\) వద్ద గరిష్టము
గరిష్ఠ విలువ f\(\left(-\frac{1}{5}\right)\) = \(\frac{3456}{3125}\)

x) f(x) = x² e^3x x ∈R
సాధన:
f'(x) = x² e^3x . 3 + e^3x. 2x
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
3x² e^3x + 2e^3x.x = 0
x² e^3x (3x + 2) = 0
x = 0, x = \(\frac{-2}{3}\) మరియు e^3x = 0
ఇప్పుడు f”(x) = 3(x² e^3x. 3 + e^3x 2x) + e^3x 2 + 2x e^3x f”(x)
= 9x²e^3x + 6x e^3x + 2 e^3x + 6xe^3x
= 9x²e^3x + 12xe^3x + 2e^3x
f”(0) = 2 > 0
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు = 0
స్థానిక కనిష్ట విలువ = 0
\(f^{\prime \prime}\left(\frac{-2}{3}\right)\) = \(\frac{-2}{e^2}\) < 0
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు = \(\frac{-2}{3}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ = \(\frac{4}{9 e^2}\)

II. క్రింది ప్రమేయాలకు వాటి ప్రక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై గరిష్ఠత్వ, పరమ కనిష్ఠం చూపండి.

i) f(x) = e^x
సాధన:
f'(x) = e^x మరియు f”(x) = e^x
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0 ⇒ e^x = 0 ⇒ e^x = 0
⇒ x నిర్వచితం కాదు
దత్త ప్రమేయానికి గరిష్ఠ, కనిష్టాలు లేవు.

ii) f(x) = log x (0, ∝)
సాధన:
f'(x) = \(\frac{1}{x}\) మరియు f”(x) = \(-\frac{1}{x^2}\)
f'(x) = 0 = x నిర్వచితం కాదు
⇒ f(x) కు గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు లేవు

iii) f(x) = x³ + x² + x + 1
సాధన:
f(x) = 3x² + 2x + 1 = 0 కు వాస్తవ విలువలు లేవు.
⇒ f(x) కు గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు లేవు.

II. క్రింది ప్రమేయాలకు పక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలను (ఉంటే) కనుక్కోండి.

i) f(x) = x³ ; [-2, 2]
సాధన:
f'(x) = 3x² > 0 కనుక f ఆరోహణము f”(x) = 6x
కనిష్ఠ విలువ f(-2) = (-2)³ = 8
గరిష్ఠ విలువ f(2) = 2³ = 8

ii) f(x) = (x – 1)² + 3 ; [-3, 1]
సాధన:
x = 1 వద్ద కనిష్ఠము
కనిష్ఠ విలువ = f(1) = 0 + 3 = 3
(-3, 1) లో f ఆరోహణము రిష్ట విలువ
f(-3) = (-3, -1)² + 3 = 16 + 3 = 19
f(1) = 0 + 3 = 3
గరిష్ఠ విలువ = 19
కనిష్ఠ విలువ = 3

iii) f(x) = 2|x| on [-1, 6]
సాధన:
f'(x) = \(\frac{2|x|}{x}\)
గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు f'(x) = 0
\(\frac{2|x|}{x}\) = 0 ⇒ x = 0
f(0) = 0
f(-1) = 2(-1) = 2
f(6) = 2(6) = 12
కనిష్ఠ విలువ = 0
గరిష్ఠ విలువ = 12

iv) f(x) = sin x + cos x ; [0, π]
సాధన:
f(x) = cos x – sin x ప్రతి x ∈ (0, π) కు వ్యవస్థితం
f'(x) = 0 ⇒ cos x – sin x = 0 కనుక
⇒ tan x = 1
⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\) ∈(0,π)
f(0) = sin 0 + cos 0 = 1 కనుక
\(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = sin \(\frac{\pi}{4}\) + cos \(\frac{\pi}{4}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = \(\sqrt{2}\)
∴ కనిష్ట విలువ -1
గరిష్ఠ విలువ \(\sqrt{2}\)

v) f(x) = x + sin 2x ; [0, 2π]
సాధన:
f(x) = x + sin 2x
f'(x) = 1 + 2 cos 2x
f'(x) = 0 ⇒ 2 cos 2x + 1 = 0
⇒ cos 2x = \(-\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ 2x = \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\) ∈ (0, 2π)
f(0) = 0 + sin 2(0) = 0
f\(\left(\frac{\pi}{3}\right)\) = \(\frac{\pi}{3}\) + sin 2. \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{3}\) + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
f(2π) 2π + sin 2. 2л = 2л + 0 = 2π
కనిష్ట విలువ = 0
గరిష్ఠ విలువ = 2π

ప్రశ్న 2.
మొదటి అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x³ – 12x ప్రమేయానికి R పై స్థానిక అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x³ – 12x
f(x) = 3x² – 12
f”(x) = 6x
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x = ± 2
f”(2) = 12 > 0
స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = 2
స్థానిక గరిష్ట విలువ = -16
f”(-2) = -12 < 0
స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = -1
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 16

ప్రశ్న 3.
మొదటి అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x² – 6x + 8 ∀ x ∈ Rకు స్థానిక అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x² – 6x + 8
f'(x) = 2x – 6 ⇒ f”(x) = 2
గరిష్ట, కనిష్ట విలువకు f(x) = 0.
2x – 6 = 0
x = 3
f”(3) = 2 > 0
x = 3
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = 3
స్థానిక కనిష్ట విలువ = -1

ప్రశ్న 4.
రెండో అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x³ – 9x² – 48x + 72 ∀ x ∈ Rకు స్థానిక అంత్య విలవులు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x³ – 9x³ – 48x + 72.
f'(x) = 3x² – 18x – 48
= 3(x – 8) (x + 2)
విరామ బిందువులు – 2 & 8
f”(x) = 6x – 18 = 6(x – 3)
At x = 8, f”(8) = 30 > 0.
∴ (8) = (8)³ – 9(8)² – 48(8) + 72
= 512 – 576 – 384 + 72
= -376
At x = -2, f”(-2) = -30 < 0
f(-2) = (-2)³ – 9(-2)² – 48(-2) + 72
= -8 – 36 + 96 + 72
= 124
స్థానిక కనిష్ట బిందువు = -376
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 124

ప్రశ్న 5.
రెండో అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి
f(x) = -x³ + 12x⁵ – 5 ∀ x ∈ R కు స్థానిక అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = -x³ + 12x² – 5
⇒ f(x) = -3x² + 24x
= -3x(x – 8)
విరామ బిందువులు 0, 8
f”(x) = -6x + 24
At x = 0, f”(0) = 24 > 0.
f(0) = -5
At x = 8, f”(8) = -24 < 0
f(8) = 8³ + 12(8)² – 5
= -512 + 768 – 5
= 251
స్థానిక కనిష్ట విలువ = -5
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 251

ప్రశ్న 6.
\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = -sin 2x – x కు స్థానిక గరిష్ట, స్థానిక కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = -sin 2x – x
f'(x) = -2cos 2x – 1
f”(x) = 4 sin 2x

స్థానిక కనిష్ట విలువ = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) – \(\frac{\pi}{3}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 7.
[0, 5] పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2 కు స్థానిక గరిష్ట, స్థానిక కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2
f(x) = 6x² – 6x – 36
f”(x) = 12x – 6
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
6x² – 6x – 36 = 0
x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x(x + 3) + 2(x – 3) = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x = 3, -2
f”(3) = 30 > 0
x = 3 వద్ద f(x)కు గరిష్ట/కనిష్ట విలువ
f(3) = 2(3)³ – 3(3)² – 36(3) + 2
= 54 – 27 – 108 + 2
= -79
స్థానిక గరిష్ట విలువ = – 79
0 ≤ x ≤ 5
∴ f(0) = 0 – 0 – 0 + 2
= 2
∴ స్థానిక గరిష్ట విలువ = 2.

ప్రశ్న 8.
[-2, \(\frac{9}{2}\)] పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\) అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\)
f'(x) = 4 – x
f”(x) = -1
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ f'(x) = 0
4 – x = 0
x = 4
f”'(4) = −1 <0
x = 4 వద్ద కు గరిష్ట విలువ
f(4) = 16 – \(\frac{16}{2}\) = 8.
∵ -2 ≤ x ≤ \(\frac{9}{2}\)
∴ f(-2) = -8 – \(\frac{4}{2}\)
= -8 – 2 = -10
∴ స్థానిక కనిష్ట విలువ = -10
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 8

ప్రశ్న 9.
ఒక కంపెనీ లాభప్రమేయం P(x) = -41 + 72x – 18x² అయితే కంపెనీ గరిష్ట లాభాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన;
P(x) = -41 + 72x – 18x²
\(\frac{d p(x)}{d x}\) = 72 – 36x
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ
72 – 36x = 0
x = 2
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = -36′ < 0
∴ x = 2 వద్ద f(x) కు గరిష్ట లాభం
గరిష్ట లాభం P(2) = -41 + 72(2) – 18(4)
= 31

ప్రశ్న 10.
ఒక కంపెనీ ఒక వస్తువును x యూనిట్లను అమ్మితే వచ్చే P(x) = -x² + 9x² – 15x – 13 (x యూనిట్లు వెలలో) ఆ కంపెనీ 6000 వస్తువులను తయారు (ఉత్పత్తి) చేసే సామర్థ్యం ఉంటే గరిష్ట లాభాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x) = -x³ + 9x² – 15x – 13
\(\frac{\mathrm{dp}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = -3x² + 18x – 15
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు \(\frac{d p}{d x}\) = 0
-3x² + 18x – 15 = 0
x² – 6x + 5 = 0
x² – 5x – x + 5 = 0
x(x – 5) – 1(x – 5) = 0
(x – 1) (x – 5) = 0
x = 1, 5
P(1) = -1 + 9 – 15 – 13 = -10
P(5) = -125 + 225 – 75 – 13 = 12
∴ గరిష్ట లాభం = 12.

III.

ప్రశ్న 1.
ఒక కంపెనీ రోజుకు X సంఖ్యలో ఒక వస్తువును అమ్మితే వచ్చే లాభ ప్రమేయం P(x) = (150 – x) x – 1000. అది గరిష్ట లాభాన్ని పొందడానికి కంపెనీ ఆ వస్తువును ఎన్ని తయారు (ఉత్పత్తి) చేయాలి. గరిష్ట లాభాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
లాభ ప్రమేయం
P(x) = (150 – x) x – 1000.
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ \(\frac{d p}{d x}\) = 0
(150 – x(1) – x (-1) = 0
150 – 2x = 0
x = 75
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = -2 < 0
∴ x = 75 వద్ద గరిష్ట లాభం
గరిష్ట లాభాన్ని పొందటానికి కంపెనీ 75 వస్తువులు అమ్మాలి.
గరిష్ట లాభం P(75) = 4625.

ప్రశ్న 2.
f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8 ∀ x ∈ R [-8, 2] పరమ గరిష్టం, పరమ కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8.
f'(x) = 24x² + 162x – 42 = 0
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f(x) = 0
24x² + 162x – 42 = 0
4x² + 27x – 7 = 0
4x² + 28x – x – 7 = 0
4x(x + 7) – 1(x + 7) = 0
(x + 7) (4x – 1) = 0
x = – 7 లేదా \(\frac{1}{4}\)
f(-8) = 8(-8)³ + 81(-8)² – 42(-8) – 8
= -8(512) + 81(64) + 336 – 8
= – 4096 + 5184 + 336 – 8
= 5520 – 4104 = 1416
f(2) = 8(2)³ + 81(2)² – 42(2) – 8
= 64 + 324 – 84 – 8
= 296

పరమ గరిష్ట విలువ = 1416
పరమ కనిష్ట విలువ = \(\frac{-213}{16}\)

ప్రశ్న 3.
రెండు సంఖ్యల మొత్తం 16గా ఉంటూ వాటి వర్గాల మొత్తం కనిష్టంగా ఉండే సంఖ్యలను కనుక్కోండి.
సాధన:
x, yలు రెండు సంఖ్యలు అనుకోండి.
x + y = 16
⇒ у = 16 – x
f(x) = x² + y² = x² + (16 – x)²
= x² + 256 + x² – 32x
f'(x) = 4x – 32
కనిష్ట, గరిష్ట విలువలు f'(x) = 0
⇒ 4x – 32 = 0
4x = 32
x = 8
f”(x) = 4 > 0
∴ x = 8 వద్ద f(x) కనిష్ఠం
y = 16 – x = 16 – 8 = 9
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 8, 8.

ప్రశ్న 4.
x + y = 60, xy³ మహిష్ఠం అయ్యేటట్లుగా రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలు x, y లను కనుక్కోండి ధనాత్మక సంఖ్యలు x, y లను కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
x + y = 60 ⇒ y = 60 – x – (1)
p = xy³ = x(60 – x)³.
= -3(60 – x)²(-1) + (60 – x)³
=-3x (60 – x)² + (60 – x)³
= (60 – x)² – 3x + 60 – x]
= (60 – x)² (60 – 4x) = 4(60 – x)² (15 – x)
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = 4[(60 – x)² (-1) + (15 – x) 2(60 – x) (-1)].
= 4(60 – x) [-60 + x – 30 + 2x]
= 4(60 – x) (3x – 90)
= 12 (60 – x) (x – 30)
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు \(\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}\) = 0
⇒ 4(60 – x)² (15 – x) = 0
⇒ 4(60 – x)² (15 – x) = 0
⇒ x = 60 లేదా x = 15 ; x అనేది 60 అవ్వదు.
∴ x = 15 ⇒ y = 60 – 15 = 45
\(\left(\frac{d^2 p}{d x^2}\right)_{x=15}\) = 12(60 – 15) (15 – 3x) < 0
⇒ p గరిష్టము
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 15, 45.

ప్రశ్న 5.
30 సెం.మీ × 80 సెం.మీ కొలతలుగా ఉండే ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు రేకు ముక్క నాలుగు మూలల నుంచి x భుజంగా ఉండే చతురస్రాకార ముక్కలను కత్తిరించి మిగిలిన రేకులు మడిచి మూతలేని పెట్టెను తయారుచేశారు. ఆ పెట్టె ఘనపరిమాణం గరిష్టం అయితే x విలువ కనుక్కోండి ? (Mar. ’14)
సాధన:
పెట్టె యొక్క పొడవు = 80 – 2x = l
పెట్టె యొక్క వెడల్పు = 30 – 2x = b

పెట్టె ఎత్తు = x = h
ఘన పరిమాణము = lbh= (80 – 2x) (30 – 2x). x
= x (2400 – 220 x + 4x²)
f(x) = 4x³ – 220x² + 2400x
f”(x) = 12x² – 440x + 2400
= 4[3x² – 110 x + 600]
f’ (x) = 0 = 3x² – 110x + 600 = 0
x = \(\frac{110 \pm \sqrt{12100-7200}}{6}\)
= \(\frac{110 \pm 70}{6}\) = \(\frac{180}{6}\) లేదా \(\frac{40}{6}\) = \(\frac{30}{3}\) లేదా \(\frac{20}{3}\)
x = 30, b = 30 – 2x = 30 – 2 (30) = -30 < 0 అయితే
⇒ x ≠ 30
∴ x = \(\frac{20}{3}\)
f”(x) = 24x – 440
x = \(\frac{20}{3}\), అయితే f”(x) = 24. \(\frac{20}{3}\) – 440
= 160 – 440
= -280 < 0
f(x) విలువ x = \(\frac{20}{3}\) వద్ద గరిష్టము
x = \(\frac{20}{3}\) సెం. మీ వద్ద పెట్టె ఘనపరిమాణము గరిష్టము

ప్రశ్న 6.
దీర్ఘచతురస్రంపై అర్థవృత్తం ఉన్న ఆకారంలో ఉన్న కిటికీ చుట్టుకొలత 20 అడుగులు ఉండేటట్లు తయారుచేసే కిటికీలన్నింటికీ వైశాల్యాలలో గరిష్ఠ వైశాల్యాన్ని కోరుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు = 2x అనుకొనుము. మరియు వెడల్పు = y అనుకుంటే అర్ధవృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం = x అవుతుంది.

చుట్టుకొలత = 2x + 2y + π. x = 20
2y = 20 – 2x – πx
y = 10 – x – \(\frac{\pi}{2} \cdot x\)
వైశాల్యం = 2xy + \(\frac{\pi}{2} \cdot x^2\)
= 2x \(\left(10-x-\frac{\pi x}{2}\right)\) + \(\frac{\pi}{2} x^2\)
= 20x – 2x² – πx² + \(\frac{\pi}{2} \mathrm{x}^2\)
f(x) = 20x − 2x² – \(\frac{\pi}{2} x^2\)
f'(x) = 0 ⇒ 20x – 2x² – \(\frac{\pi}{2} x^2\)
f'(x) = 0 ⇒ 20 – 4x – πx = 0
(π + 4) x = 20
x = \(\frac{20}{\pi+4}\)
f”(x) = -4 – π < 0
f(x) ను గరిష్ఠం అనుకుంటే x = \(\frac{20}{\pi+4}\)

ప్రశ్న 7.
వ్యాసార్ధం గల గోళంలో అంతర్లిఖిత స్థూపాలలో (లంబవృత్త) వక్రతల వైశాల్యం గరిష్ఠమయ్యే స్థూపం ఎత్తు \(\sqrt{2}\)r అని చూపండి. (May ’11 ’13; Mar. ’13, ’08, ’04; June ’04)
సాధన:
స్థూపం వ్యాసార్ధము r, ఎత్తు h, అనుకొందాం.

ప్రశ్న 8.
l పొడవు ఉండే తీగను రెండు ముక్కలు చేసి ఒక ముక్కను చతురస్రాకారంగాను, రెండో ముక్కను వృత్తాకారంగాను వంచగా ఏర్పడిన వైశాల్యాల మొత్తం అల్పిష్ఠం కావాలంటే ఆ ముక్కల పొడవు ఎంత ?
సాధన:
చతురస్రం భుజము X, వృత్త వ్యాసార్ధం r, అనుకొందాం.

4x + 2πr = l అని ఇవ్వబడింది.
4x = l – 2πr
x = \(\frac{l-2 \pi \mathrm{r}}{4}\)
వైశాల్యాల మొత్తం = x² + πr²


ఇచ్చిన తీగ \(\frac{\pi l}{\pi+4}\) మరియు \(\frac{4 l}{\pi+4}\) ముక్కలుగా విడగొడితే వైశాల్యాల మొత్తము కనిష్ఠము.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(f) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(f)

అభ్యాసం – 10 (ఎఫ్)

I.

1. క్రింది ప్రమేయాలకు రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి.

i) x² – 1; [–1, 1] పై [Mar. ’14, May ’13]
సాధన:
f(x) = x² – 1
f ప్రమేయం [-1, 1] పై అవిచ్ఛిన్నం, కనుక
f(-1) = f(1) = 0 మరియు
[-1, 1] లో f అవకలనీయం
∴ రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం c ∈ (-1, 1) అయ్యేటట్లు f'(c) = 0.
f(x) = 2x = 0
∴ = f'(c) = 0
2c = 0
c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1)
కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.

ii) sin x – sin 2x; [0, π] పై
సాధన:
f(x) = sin x – sin x
f ప్రమేయం [0, π] పై అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(0) = f(π) = 0 మరియు
లో f అవకలనీయం [0, π]
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం C ∈(0, π)
f'(c) = 0
f'(x) = cos x – 2 cos 2x
f'(c) = 0 ⇒ cosc – 2 cos 2c = 0
⇒ cos c – 2(2cos²c – 1) = 0
⇒ cosc – 4 cos²c + 2 = 0
4 cos²c – cos c – 2 = 0
cos c = \(\frac{1 \pm \sqrt{1+32}}{8}\) = \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\)
∴ c = cos^-1 \(\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)\)

iii) log (x² + 2) – log 3, [-1, 1] పై [A.P Mar. 15]
సాధన:
f(x) = log (x + 2) – log 3
f ప్రమేయంపై [-1, 1] పై అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(-1) = f(1) = 0 మరియు f[-1, 1] లో f అవకలనం
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం c ∈ (-1, 1)
∴ f'(c) = 0
f'(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\)(2x)
f'(c) = \(\frac{2 c}{c^2+2}\) = 0
2c = 0
c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1).

ప్రశ్న 2.
f(x) = x² + bx² + ax ప్రమేయానికి [1, 3] పై రోల్ సిద్ధాంతం ధ్రువపడుతుంది. c = 2t + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) అయితే a, b ల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి f(x) = x³ + bx² + ax
f'(x) = 3x² + 2bx + a
∴ f'(x) = 0 ⇔ 3c² + 2bc + a = 0

ప్రశ్న 3.
x² – 3x + k = 0 సమీకరణానికి [0, 1] లో రెండు విభిన్న మూలాలు ఉండేటట్లుగా, k అనే వాస్తవ సంఖ్య ఉండదని చూపండి.
సాధన:
f(0) = f(c)
0 – 0 + k = 1 – 3 + k
0 = -2
ఇది సాధ్యపడదు, కనుక X అనే వాస్తవ సంఖ్య.

ప్రశ్న 4.
y = (x – 3)² వక్రంపై (3, 0), (4, 1) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యాకు, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుకోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు (3, 0) and (4, 1)
జ్యావాలు = \(\frac{1-0}{4-3}\) = 1
y = (x – 3)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 3)
⇒ వాలు = 2(x – 3)
1 = 2(x – 3)
\(\frac{1}{2}\) = x – 3
x = \(\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{7}{2}\)
y = (x – 3)² = (\(\frac{7}{2}\) – 3) = \(\frac{1}{4}\)
వక్రంపై బిందువు (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{1}{4}\))

ప్రశ్న 5.
y = x³ వక్రంపై (1, 1), (3, 27) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యా, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు (1, 1) and (3, 27)
జ్యా వాలు = \(\frac{27-1}{3-1}\) = 13
y = x³

ప్రశ్న 6.
క్రింది సందర్భాలలో f‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ఉండే ‘C’ ని కనుక్కోండి.

i) f(x) = x² – 3x – 1, a = \(\frac{-11}{7}\), b = \(\frac{13}{7}\)
సాధన:

ii) f(x) = e^x; a = 0, b = 1
సాధన:
f(b) = f(1) = e’ = e
f(a) = f(0) = e° = 1
Given f(x) = e^x
f'(x) = e^x
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
e^c = \(\frac{e-1}{1-0}\) a^x = N
e^c = e – 1 ⇔ \(\log _a^N\) = x
⇒ \(\log _{\mathrm{e}}^{(\mathrm{e}-1)}\) = c

ప్రశ్న 7.
(x² – 1) (x – 2) ప్రమేయానికి [−1, 2] పై రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి. అంతరంలో ఏ బిందువు వద్ద అవకలజం సున్న అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = (x² – 1) (x – 2) = x³ – 2x² – x + 2
f ప్రమేయం [−1, 2] లో అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(-1) = f(2) = 0 మరియు f
[−1, 2] లో f అవకలనం
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ∃ C ∈ (−1, 2)
f'(c) = 0
f'(x) = 3x² – 4x – 1
f'(c) = 0
3c² – 4c – 1 = 0
c = \(\frac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}\)
c = \(\frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}\)
c = \(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\)

ప్రశ్న 8.
కింది ప్రమేయాలకు వాటి పక్క సూచించిన సంవృతాంతరాలపై లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం సరిచూడండి. ప్రతి సందర్భంలో, సిద్ధాంతంలో ఉన్న విధంగా బిందువు ‘C’ ని కనుక్కోండి.

i) x² – 1 on [2, 3]
సాధన:
f(x) = x² – 1
f ప్రమేయం [2, 3] లో
అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
కనుక f(x) = x² – 1
f'(x) = 2x
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం
C ∈(2, 3)
f'(c) = \(\frac{f(3)-f(2)}{3-2}\)
2c = \(\frac{8-3}{1}\)
2c = 5
c = \(\frac{5}{2}\)
c = \(\frac{5}{2}\) ∈ (2, 3)

ii) sin x – sin 2x, పై [0, π]
సాధన:
f(x) = sin x – sin 2x
f ప్రమేయం [0, π] లో అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
f(x) = sin x – sin 2x
f(x) = cos x – 2 cos 2x
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం C ∈ (0, π)
f(c) = \(\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0}\)
cosc – 2 cos 2c = 0
cosc – 2(2cos² – 1) = 0
cosc – 4 cos²c + 2 = 0
4 cos²c – cos c – 2 = 0
cos c = \(\frac{1 \pm \sqrt{1+32}}{8}\) = \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\)
c = cos^-1\(\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)\)

iii) log x on [1, 2].
సాధన:
f(x) = log x
f ప్రమేయం [1, 2] లో
అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
కనుక f(x) = log x
f(x) = \(\frac{1}{x}\)
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ సిద్ధాంతం ప్రకారం
c ∈(1, 2) such that
f'(c) = \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\)
\(\frac{1}{c}\) = \(\frac{\log 2-\log 1}{1}\)
\(\frac{1}{c}\) = \(\frac{\log 2-\log 1}{1}\)
\(\frac{1}{c}\) = log 2
c = \(\frac{1}{\log _e^2}\) = \(\log _2^e \text {. }\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(a)

అభ్యాసం – 10 (ఎ)

1.  కింది ప్రమేయాలకు ఎదురుగా సూచించిన x, Δx విలువలకు Δy, yలను కనుక్కోండి.

i) y = x² + 3x + 6, x = 10, Δx = 0.01 (T.S Mar. ’15, ’14, ’11, ’05)
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(10.01) – f(10)
= [(10.01)² + 3(10.01) + 6] – [10² + 3(10) + 6]
= 100.2001 + 30.03 + 6 – 100 – 30 – 6
= 0.2001 + 0.03
= 0.2301
y = x² + 3x + 6
dy = (2x + 3) dx
= (2.10 + 3) (0.01) = 0.23

ii) y = e^x + x, x = 5, Δx = 0.02
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(5 + 0.02) – f(5)
= f(5.02) – f(5)
= e^5.02 – e⁵ – 5
= e^5.02 – e⁵ + 0.02
= e⁵ (e^0.02 – 1) + 0.02
dy = f'(x) Δx = (e^x + 1) Δx
= (e⁵ + 1)(0.02)

iii) y = 5x² + 6x + 6, x = 2, Δx = 0.001
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(2 + 0.001) – f(2)
= f(2.001) – f(2)
= 5(2.001)² + 6(2.001) + 6(5(2)² + 6(2) + 6)
= 20.0200 + 12.0060 + 6 – 20 – 12 – 6
= 0.026005
dy = f'(x) Δx = (10x + 6) Δx
= (26) (0.001) = 0.0260.

iv) y = \(\frac{1}{x+2}\), x = 8, Δx = 0.02
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{x+2}\) = \(\frac{1}{10}\) = 0.1000
f(x + Δx) = \(\frac{1}{x+\Delta x+2}\) = \(\frac{1}{10+0.02}\) = \(\frac{1}{10.02}\) = 0.0998
Δy = f(x + Δx) – f(x)
Δy = f(x + Δx – f(x))
= \(\frac{1}{x+\Delta x+2}\) – \(\frac{1}{x+2}\) = \(\frac{1}{10.02}\) – \(\frac{1}{10}\)
= 0.0998 003992 – 0.1000
= -0.0001996
dy = f'(x)Δx = \(\frac{-1}{(x+2)^2}\)Δx
= \(\frac{-1}{100}\)(0.002) = -0.0002

v) y = cos x, x = 60°, Δx = 1°
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= cos (x + Δx) – cos x
= cos (60° + 1°) – cos 60°
= cos 61° – cos 60°
= 0.4848 – \(\frac{1}{2}\)
= 0.4848 – 0.5
= -0.0152
dy = f'(x) Δx
= -sin x Δx
= -sin 60°(1°) = \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)(0.0174)
= -(0.8660) (0.0174) = – 0.0151.

II.

1. కింది వాటికి ఉజ్జాయింపు విలువలు కనుక్కోండి.

i) \(\sqrt{82}\)
సాధన:
82 = 81 + 1 = 81(1 + \(\frac{1}{81}\))
∴ x = 8, Δx = -0.2, f(x) = \(\sqrt{x}\)
dy = f'(x). Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) . Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{81}}\) . 1
= \(\frac{1}{18}\) = 0.0555
Δy = f(x + δx) – f(x) ≈ dy
f(x + δx) f(x) ≈ f(x) + dy
= \(\sqrt{81}\) + 0.0555
= 9 + 0.0555
i.e., \(\sqrt{82}\) = 9.0555 = 9.056

ii)
\(\sqrt[3]{65}\)
సాధన:
x = 64, Δx = 1, f(x) = \(\sqrt[3]{x}\)

iii)
\(\sqrt{25.001}\)
సాధన:
x = 25
Δx = 0.001
f(x) = \(\sqrt{x}\)
dy = f'(x) Δx
= \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{25}}\)(0.001) = \(\frac{0.001}{10}\)
= 0.0001

f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) \(\sqrt{25}\) + 0.0001
\(\sqrt{25}\) 5.0001

iv) \(\sqrt[3]{7.8}\)
సాధన:
x = 8, Δx = -0.2, f(x) = \(\sqrt[3]{x}\)
dy = f'(x). Δx
= \(\frac{1}{3} x^{-2 / 3}\) . Δx = \(\frac{1}{3 x^{2 / 3}}\) . Δx
dy = \(\frac{1}{3(8)^{2 / 3}}\) (-0.2)
= –\(\frac{0.2}{3 \times 4}\) = –\(\frac{0.2}{12}\) = -0.0166
f(x + δx) – (x) \(\simeq\) dy
f(x + δx) \(\simeq\) f(x) + dy
= \(\sqrt[3]{8}\) – 0.0166
= 2 – 0.01 66
∴ \(\sqrt[3]{7.8}\) = 1.9834

v) sin (62°)
సాధన:
x = 60°, Δx = 2°, f(x) = sin x
dy = f(x) Δx
= cosx Δx
= cos 60° Δx
= \(\frac{1}{2}\left(2^{\circ}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\)(0.0174) = 0.0174
f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) sin 60° + 0.01 74
\(\cong\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 0.0174
\(\cong\) 0.8660 + 0.01 74
\(\cong\) 0.8834

vi) cos (60° 5′)
సాధన:
x = 60°, Δx = 5′
= \(\frac{5}{60}\) × \(\frac{\pi}{180}\) = \(\frac{\pi}{2160}\)
= 0.00143
f(x) = cos x
dy = f'(x)Δx = -sin x Δx
= -sin 60° (0.001453)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)(0.001453)
= – 0.8660 (0.001453)
= -0.001258
f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) cos x + dy
\(\cong\) cos 60° + 0.001258
\(\cong\) 0.5 – 0.001258
\(\cong\) 0.4987.

vii) \(\sqrt[4]{17}\)
సాధన:
x = 16, Δx = 1
f(x) = \(\sqrt[4]{x}\) = \(x^{\frac{1}{4}}\)

f(x + Δx) f(x) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) \(\sqrt[4]{x}\) + 0.0312
\(\cong\) 2 + 0.0312
\(\cong\) 2.0312

ప్రశ్న 2.
ఒక చతురస్ర భుజంలో పెరుగుదల 4% అయితే ఆ చతురస్రపు వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రం భుజం పొడవు x, వైశాల్యం A = x² అనుకుంటే
ఇచ్చినది \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 4
A = x²
ΔA = 2x Δx
\(\frac{\Delta A}{A}\) × 100 = \(\frac{2 x \Delta x}{x^2}\) × 100
= \(\frac{2 \Delta x}{x}\) × 100
= 2(4)
= 8.

ప్రశ్న 3.
ఒక గోళ వ్యాసార్థం 14 సెం.మీ.గా కొలిచారు. తరవాత ఈ వ్యాసార్థం కొలవడంలో 0.02 సెం.మీ. దోషం ఉన్నట్లుగా గమనించారు. గోళ ఉపరితల వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు దోషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
గోళ ఉపరితల వైశాల్యం 5 అనుకుంటే
r = 14, Δr = 0.02
s = 4πr²
Δs = 4π 2r Δr
Δs = 8π (14) (0.02)
= 2.24π
= 2.24 (3.14)
= 7.0336.

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళ వ్యాసం 40 సెం.మీ.గా కొలిచారు. దీనిని కొలవడంలో 0.02 సెం.మీ. దోషం ఉంటే గోళపు ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యాలలో ఉజ్జాయింపు దోషాలను కనుక్కోండి. సాధన. గోళపు ఘనపరిమాణం అనుకొనుము.
సాధన:
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యం v అనుకుంటే
v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\) = \(\frac{4 \pi}{3}\left[\frac{\mathrm{d}}{2}\right]^3\)
= \(\frac{4 \pi}{3} \frac{d^3}{8}\)
= \(\frac{\pi \mathrm{d}^3}{6}\)
Δv = \(\frac{\pi}{6}\)3d² Δd
= \(\frac{\pi}{2}\)(40)²(0.02)
= π(1600)(0.01)
= 16π.
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యం 5 అనుకుంటే
s = \(4 \pi\left[\frac{\mathrm{d}}{2}\right]^2\)
s = \(4 \pi \frac{d^2}{4}\)
s = πd²
Δs = π2d Δd
= π2(40) (0.02)
= 1.6π

ప్రశ్న 5.
గురుత్వ స్థిరాంకం g, లోలకం పొడవు l, డోలనావర్తన కాలం t ల మధ్య సంబంధం t = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\). lను గణించడంలో దోష శాతం 1 అయితే tలో ఉజ్జాయింపు దోష శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
T = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)
log t = log (2π) + \(\frac{1}{2}\){(log (l) – log g)

∴ g లో దోషము = -0.02% (లేదా)
g లో దోష శాతము = -0.02

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(e)

అభ్యాసం – 10 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
సరళరేఖపై చలించే ఒక కణం t సమయంలో చలించే దూరం’ s = -4t² + 2t. t = 2 సెకన్లు, t = 8 సెకన్లల మధ్య సరాసరి వేగాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
s = -4t² + 2t
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = -8t + 2
వేగం t = 2 వద్ద V = \(\left(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\right)_{\mathrm{t}=2}\)
v = -16 + 2 = -14 యూనిట్లు/సెకను
వేగం t = 8 వద్ద v = \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=8}\)
v = -64 + 2 = -62
సరాసరి వేగం = \(\frac{-62-14}{2}\) = -38 యూనిట్లు/సెకను

ప్రశ్న 2.
y = x⁴ అయితే x = 2, x = 4 ల మధ్య y లో సరాసరి మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x⁴ ⇒ \(\frac{d y}{d t}\) = 4x³
\(\left(\frac{d y}{d t}\right)_{x=2}\) = 32
\(\left(\frac{d y}{d t}\right)_{x=4}\) = 256
సరాసరి మార్పురేటు = \(\frac{256+32}{2}\) = 144.

ప్రశ్న 3.
సరళరేఖలో చలించే కణం కాలం t, దూరం S ల మధ్య సంబంధం s = t³ + 2t + 3. t = 4 సెకన్ల వద్ద ఆ కణ వేగం, త్వరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
s = t³ + 2t + 3
\(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 3t² + 2 , వేగం v = \([latex]\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\)[/latex] = 3ť² + 2
వేగం t వద్ద = 4
⇒ \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=4}\) = 48 + 2 = 50 యూనిట్లు/సెకను
v = 3t² + 2
\(\frac{d v}{d t}\) = 6t ⇒ a = \(\left(\frac{d v}{d t}\right)_{t=4}\) = 24 యూనిట్లు/సికన్’

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖలో చలిస్తున్న కణం, కాలం దూరాల మధ్య సంబంధం s = t³ – 9t² + 24t – 18. దీని వేగం ఎప్పుడు ఎక్కడ నున్న అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
s = t³ – 9t² + 24t – 18 కనుక
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 3t² – 18t + 24
v = 0 ⇒ 3 (t² – 6t + 8) = 0
∴ (t – 2) (t – 4) = 0
∴ t = 2 or 4
వేగము 2 మరియు 4 సెకన్ల తర్వాత సున్నా..
సందర్భం (i) :
t = 2
s = t³ – 9t² + 24t – 18
= 8 – 36 + 48 – 18 = 56 -54 = 2
సందర్భం (ii) :
t = 4; s = t³ – 9t² + 24t – 18
= 64 – 144 + 96 – 18
= 160 – 162 = -2
కణం ‘O’ కు ఇరువైపులా 2 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖలో చలిస్తున్న కణం t కాలంలో పొందిన స్థానభ్రంశం 5 ను s = 45t + 11t² – t³ గా ఇస్తే, ఆ కణం నిశ్చల స్థితికి రావడానికి పట్టే కాలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
s = 45t + 11t² – t³
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 45 + 22t – 3t²
కణం నిశ్చలంగా ఉంటే
⇒ v = 0 = 45 + 22t- 3t² = 0
⇒ 3t² – 22t – 45 = 0
⇒ 3t² – 27t + 5t – 45 = 0
⇒ (3t + 5) (t – 9) = 0 ∴ t = 9 లేదా t = –\(\frac{5}{3}\)
∴ t = 9
∴ కణం 9 సెకన్ల తర్వాత నిశ్చలంగా ఉంటుంది.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం 8 సెం.మీ./సెకను చొప్పున పెరుగుతుంది. ఘనం అంచు 12 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు ఎంత త్వరగా దీని ఉపరితల వైశాల్యం పెరుగుతుందో కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15, ’14)
సాధన:
ఘనం యొక్క అంచు ‘a’ మరియు ఘన పరిమాణం v అనుకొనుము.
v = a³ —- (1)
ఇచ్చినవి \(\frac{d v}{d t}\) = 8 సెం.మీ.³/సెకను
a = 12 cm
ఉపరితల వైశాల్యం S = 6a²

ప్రశ్న 2.
నిలకడగా ఉన్న నీటిలో రాయిని వదిలితే వృత్తాకార అలలు ఏర్పడతాయి. ఈ అలలు 5 సెం.మీ./సెకను చొప్పున కదులుతున్నాయి. వృత్త వ్యాసార్ధం 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు అలల వైశాల్యం పెరిగే రేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాకార అలలు యొక్క వ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకోండి.
వృత్త వైశాల్యం A = πr²
\(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dt}}\) = 2π\(\frac{d r}{d t}\)
ఇచ్చినది r = 8, \(\frac{d r}{d t}\) = 5
\(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dt}}\) = 2π(8)(5)
= 80π సెం.మీ²/సెకను

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం పెరిగే రేటు 0.7 సెం.మీ/సెకను, అయితే దీని చుట్టు కొలతలో మార్పు రేటు ఎంత ?
సాధన:
\(\frac{d r}{d t}\) = 0.7 సెం.మీ/సెకను
చుట్టుకొలత C = 2πr
\(\frac{\mathrm{dc}}{\mathrm{dt}}\) = 2π\(\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}\)
= 2π (0.7) = 1.4π సెం.మీ/సెకను.

ప్రశ్న 4.
ఒక బెల్తూన్న గ్యాస్తో నింపుతుంటే అది గోళరూపంలో ఉంటుంది. దీనిని సెకనుకు 900 ఘన సెంటీమీటర్లతో గ్యాసు నింపుతున్నారు. గోళ వ్యాసార్ధం 15 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు వ్యాసార్ధంలో మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{d v}{d t}\) = 900 సెం.మీ./సెకను
r = 15 సెం.మీ.
గోళము యొక్క ఘన పరిమాణం v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)

ప్రశ్న 5.
గాలి బుడగ వ్యాసార్ధంలో మార్పురేటు \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ./సెకను, గాలి బుడగ వ్యాసార్ధం 1 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు దీని ఘన పరిమాణం ఏ రేటులో పెరుగుతుంది ?
సాధన:
\(\frac{d r}{d t}\) = \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ./సెకను
వ్యాసార్ధం r = 1 సెం.మీ.
గోళము యొక్క ఘన పరిమాణం v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = \(4 \pi r^2 \frac{d r}{d t}\)
= 4π(1)²\(\frac{1}{2}\)
= 2π సెం.మీ./సెకన్.

ప్రశ్న 6.
ఒక వస్తువును 980 మీ./సెకను వేగంతో పైకి విసిరామనుకొందాం. దీని స్థానం s = -4.9 t² + 980 t గా ఉంటుంది. వస్తువు చేరిన గరిష్ట ఎత్తు కనుక్కోండి.
సాధన:
s = -4.9 t² + 980 t
\(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = -9.8 t + 980
v = -9.8 t + 980
గరిష్ఠ ఎత్తు, v = 0
-9.8 t + 980 = 0
980 = 9.8t
\(\frac{980}{9.8}\) = t
100 = t
s = -4.9(100)² + 980(100)
s = -49000 + 98000
s = 49000 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
ఒక రకం బాక్టీరియా t సెకనులలో t^(3/2) వృద్ధి చెందుతుంది. t = 4 గంటలకు బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధి g అనుకొందాం.
అప్పుడు g(t) = t^3/2
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు
g'(t) = \(\frac{3}{2} t^{1 / 2}\)
ఇచ్చినది t = 4 గం.
g'(t) = \(\frac{3}{2}\) (4 × 60 × 60)^1/2
= \(\frac{3}{2}\)(2 × 60) = 180

ప్రశ్న 8.
పొడవు 8 మీ., వెడల్పు 4 మీ., ఎత్తు 3 మీ. గల దీర్ఘ చతుస్రాకారపు చేపల తొట్టి ఉందనుకొందాం. దీనిని 0.4 మీ. 3/సెకను చొప్పున నీటితో నింపుతున్నారను కొందాం. నీటిమట్టం 2.5 మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం ఎత్తులో మార్పురేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి పొడవు l = 8 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి వెడల్పు b = 4 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి ఎత్తు h = 3 మీ.
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 0.4 మీ./సెకన్
v = lbh
= 8(4)(3) = 96
v = lbh
⇒ log v = log l + log b + log h
\(\frac{1}{v} \frac{d v}{d t}\) = \(\frac{1}{h} \frac{d h}{d t}\)
\(\frac{0.4}{96}\) = \(\frac{1}{2.5} \frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{dt}}\)
\(\frac{1}{96}\) = \(\frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{dt}}\) at h = 2.5

గమనిక: Text book Ans. \(\frac{1}{80}\) will get when h = 3.

ప్రశ్న 9.
ఒక విలోమ శంకువు ఆకారపు పాత్ర ఎత్తు 8 మీ., పై వ్యాసార్ధం 6 మీ. దీనిలో 2 మీ. / నిమిషానికి చొప్పున నీటితో నింపినప్పుడు నీటి మట్టం 4 మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం పెరిగే రేటు ఎంత ?
(May 2013)
సాధన:
h = 8m = OC
r = 6m = AB
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 2 మీ.³/ని.
Δ OAB మరియు OCD

సరూప త్రిభుజాలు
\(\frac{C D}{A B}\) = \(\frac{O C}{O A}\)
\(\frac{r}{6}\) = \(\frac{h}{8}\)
r = h\(\frac{3}{4}\)
శంకువు ఘన పరిమాణం v = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువును C(x) యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు C(x) 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000. ఆ వస్తువును 17 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చును కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఖర్చు m అనుకొందాం. అప్పుడు
M = \(\frac{\mathrm{dc}}{\mathrm{dx}}\)
Hence
M = \(\frac{d}{d x}\)(0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000)
= (0.007) (3x²) – (0.003) (2x) + 15
(M)_{x = 17} =
x = 17 వద్ద ఉపాంత ఖర్చు
(M)_{x = 17} = (0.007) 867 – (0.003)’ (34) + 15
= 6.069 – 0.102 + 15
= 20.967.

ప్రశ్న 11.
x సంఖ్యలో ఒక వస్తువును అమ్మగా వచ్చిన మొత్తం ఆదాయం R(x) = 13x² + 26x + 15. x = 7 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఆదాయం m అనుకొందాం. అప్పుడు
m = \(\frac{d R}{d x}\)
ఇక్కడ R(x) = 13x² + 26x + 15
∴ m = 26x + 26
x = 7 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం
(M)_{x = 7} = 26(7) + 26
= 208.

ప్రశ్న 12.
y = 2x² పై P అనే బిందువు కదులుతుంది. P యొక్క x నిరూపకం మార్పురేటు సెకనుకు 4 యూనిట్లు బిందువు (2, 8) వద్ద P యొక్క y ని నిరూపకం పెరిగే రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
y = 2x² కనుక
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x. \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\)
x = 2, అయినప్పుడు \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = 4. \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\)
= 4(2).4 = 32
y నిరూపకము 32 యూనిట్లు/సెకను రేటుకు పెరుగుతుంది.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(c)

అభ్యాసం – 10 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = b sin \(\frac{x}{a}\) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = b. sin \(\frac{x}{a}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = b.cos \(\frac{x}{a} \cdot \frac{1}{a}\) = \(\frac{b}{a}\). cos \(\frac{x}{a}\)

ప్రశ్న 2.
xy = a² అనే వక్రానికి ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపలంబ ఖండం ఆ బిందువు y నిరూపకం ఘనానికి అనుపాతంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము xy = a²
y = \(\frac{a^2}{x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-a^2}{x^2}\)
ఉపలంబ రేఖ పొడవు’= |y₁, .f'(x₁)|

= \(\frac{y_1^3}{a^2}\) ∝ \(y_1^3\) = y నిరూపకం యొక్క ఘనము.

ప్రశ్న 3.
y = be^x/a అనే వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉప స్పర్శఖండం స్థిరమనీ, ఉపలంబ ఖండం \(\frac{y^2}{a}\) అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = be^x/a
y = a(1 – cos t)

II.

ప్రశ్న 1.
x y^k = a^{k + 1} వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద నైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరం కావాలంటే k విలువ కనుక్కోండి ?
సాధన:
వక్రం సమీకరణము x.y^k = a^{k + 1}
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

ఉపలంబ రేఖ పొడవు x, y నిరూపకాల మీద ఆధారపడి మరియు \(\frac{y_1^{k+2}}{k \cdot a^{k+1}}\) విలువ x₁, y₁ ల మీద ఆధారపడి లేదు.
⇒ k + 2 = 0 ⇒ k = – 2

ప్రశ్న 2.
x = a (t + sin t), y = a (1 – cos t) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు t వద్ద స్పర్శరేఖ పొడవు, “అభిలంబరేఖ పొడవు, ఉపస్పర్శ ఖండం, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి. (June ’04)
సాధన:
వక్రం సమీకరణం x = a (t + sin t),
y = a (1 – cost)

ప్రశ్న 3.
y = \(\frac{a}{2}\) (e^x/a + e^-x/a) వక్రానికి ఏదైనా బిందువు వద్ద అఖిలంబ రేఖ పొడవు, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి. (Mar. ’13)
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = \(\frac{a}{2}\)(e^x/a + e^-x/a)
= a. cosh \(\left(\frac{x}{a}\right)\)

ప్రశ్న 4.
x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cos t) వక్రంపై ఏ బిందువు t వద్ద ఉపస్పర్శ రేఖ, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణాలు x = a(cos t + t sin t)

ఉపస్పర్శరేఖ పొడవు = |\(\frac{y_1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)| = |\(\frac{a(\sin t-t \cos t)}{\tan t}\)|
= |a cot t (sin t – t cos t)|
ఉపలంభరేఖ పొడవు = |y₁. f'(x₁)|
= |a(sin t – t cos t) tan t|
= |a tan t(sin t – t cos t)|

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(b)

అభ్యాసం – 10 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = 3x⁴ – 4x వక్రానికి x = 4 వద్ద బిందువు స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = 3x⁴ – 4x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 12x³ – 4
x = 4 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = 12 (4)³ – 4
= 12 × 64 – 4
= 768 – 4
= 764

ప్రశ్న 2.
y = \(\frac{x-1}{x-2}\), x ≠ 2 వక్రానికి x = 10 బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = \(\frac{x-1}{x-2}\)
= \(\frac{x-2+1}{x-2}\)
= 1 + \(\frac{1}{x-2}\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0 + \(\frac{(-1)}{(x-2)^2}\) = –\(\frac{1}{(x-2)^2}\)
x = 10 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{1}{(10-2)^2}\)
= –\(\frac{1}{64}\)

ప్రశ్న 3.
y = y³ – x + 1, వక్రానికి x నిరూపకం 2 అయ్యే. బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – x + 1
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 1
x = 2 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
3(2)² – 1 = 3 × 4 – 1

ప్రశ్న 4.
y = x³ – 3x + 2 వక్రానికి x నిరూపకం 3 అయ్యే బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – 3x + 2
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 3
x = 3 స్పర్శరేఖ వాలు = 3(3)² – 3
= 27 – 3 = 24

ప్రశ్న 5.
x = a cos³ θ, y = a sin³ θ వక్రానికి θ = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = a cos³ θ
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d} \theta}\) = a(3 cos² θ) (-sin θ)
= -3a cos² θ. sin θ
y = a sin³ θ
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} \theta}\) = a (3 sin² θ) cos θ
= 3a sin² θ cos θ

θ = \(\frac{\pi}{4}\), స్పర్శరేఖ వాలు
= -tan \(\frac{\pi}{4}\) = -1
అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = 1

ప్రశ్న 6.
x = 1 – a sin θ, y = b cos² θ వక్రానికి θ = \(\frac{\pi}{2}\) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 1 – a sin θ
\(\frac{d x}{d \theta}\) = – cos θ
y = b cos² θ
\(\frac{d y}{d \theta}\) = b(2 cos θ) (-sin θ) = -2b cos θ sin θ

అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{a}{2 b \sin \theta}\)
θ = \(\frac{\pi}{2}\) వద్ద, అభిలంబరేఖ వాలు = \(\frac{-a}{2 b \sin \frac{\pi}{2}}\)
= \(\frac{-a}{2 b .1}\)
= \(\frac{-a}{2 b}\)

ప్రశ్న 7.
y = x³ – 3x³ – 9x + 7వక్రం పై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖలు X-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటాయో కనుక్కోండి
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – 3x² – 9x + 7
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 6x – 9
స్పర్శరేఖ X – అక్షానికి సమాంతరం
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
3x² – 6x – 9 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 లేదా -1
y = x³ – 3x² – 9x + 7
x = 3y ⇒ 27 – 27 – 27 + 7 = -20
x = -1 ⇒ y = -1 – 3 + 9 + 7 = 12
కావలసిన బిందువులు (3, -20), (-1, 12).

ప్రశ్న 8.
y = (x – 2)² వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ (2, 0), (4, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = (x – 2)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 2)
కలిపే జ్యా వాలు A(2, 0), B(4, 4)
= \(\frac{4-0}{4-2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
స్పర్శరేఖ ఈ జ్యాకి సమాంతరము
2(x – 2) = 2
x – 2 = 1
x = 3
y = (x – 2)² = (3 – 2)² = 1
కావలసిన బిందువు P(3, 1).

ప్రశ్న 9.
y = x³ – 11x + 5 వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద y = x – 11 స్పర్శరేఖ అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = x³ – 11x + 5
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 11
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = x – 11
స్పర్శరేఖ వాలు = 3x² – 11 = 1
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
x = 2 ⇒ y = 2 – 11 = -9
వక్రం మీది బిందువు P.(2, -9).

ప్రశ్న 10.
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) వక్రానికి వాలు ‘0’ అయ్యే ‘ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{-1}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\{2(x-1)\}\)
= \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
⇒ \(\frac{-2(x \cdot-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
x = 1 వద్ద,
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) = \(\frac{1}{1-2+3}\) = \(\frac{1}{2}\)
P నిరూపకాలు (1, \(\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
కావలసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణము
У – \(\frac{1}{2}\) = 0(x – 1)
2y – 1 = 0

II.

1. కింది వక్రాలకు, ఎదురుగా సూచించిన బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.

i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5; (0, 5).
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x³ – 18x² + 26x – 10
x = 0 వద్ద,
స్పర్శరేఖ వాలు = 0 − 0 + 0 – 10 = -10
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y − 5 = – 10(x – 0)
= -10x
10x + y – 5 = 0
అభిలంబ రేఖ వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = \(\frac{1}{10}\)
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y − 5 = \(\frac{1}{10}\)(x – 0)
10y – 50 = x ⇒ x – 10y + 50 = 0

ii) y = x³; (1, 1).
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-1}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\{2(x-1)\}\) = \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
స్పర్శరేఖ వాలు =
⇒ \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\) = 0
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
x = 1 వద్ద
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) = \(\frac{1}{1-2+3}\) = \(\frac{1}{2}\)
P నిరూపకాలు(1, \(\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
కావలసిన స్పర్శ రేఖ సమీకరణ
y – \(\frac{1}{2}\) = 0(x – 1)
2y – 1 = 0

iii) y = x²; (0, 0).
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x²
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 2x
P(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = 2 – 0 = 0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – 0 = 0(x – 0)
y = 0
అభిలంబరేఖ స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.
అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = k.
అభిలంబరేఖ (0,0) గుండా పోతూ ⇒ k = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము×= 0.

iv) x = cost, y = sint ; t = \(\frac{\pi}{4}\).
సాధన:

v) y = x² – 4x + 2; (4, 2).
సాధన:
వక్రం సమీకరణ y = x² – 4x + 2
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 4
P(4, 2) వద్ద, స్పర్శరేఖ వాలు = 2.4 – 4
= 8 – 4 = 4
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y – 2 = 4(x – 4)
= 4x – 16
4x – y – 14 = 0
అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{4}\)
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – 2 = –\(\frac{1}{4}\) (x – 4)
4y – 8 = -x + 4
x + 4y – 12 = 0

vi) y = \(\frac{1}{1+x^2}\); (0, 1).
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)
(0, 1) వద్ద, x = 0, స్పర్శరేఖ వాలు = 0
P(0, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – 1 = 0(x – 0)
y = 1
అభిలంబరేఖ స్పర్శరేఖకు లంబం.
అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = k.
అభిలంబరేఖ P(0, 1) గుండా పోతూ ⇒ 0 = k
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = 0.

ప్రశ్న 2.
xy = 10 వక్రానికి (2, 5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం xy = 10.
y = \(\frac{10}{x}\) ; \(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{10}{x^2}\)
P(2, 5), f'(x₁) = –\(\frac{10}{4}\) = –\(\frac{5}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y − y₁ = f(x₁) (x – x₁)
y – 5 = –\(\frac{5}{2}\)(x – 2)
2y – 10 = -5x + 10
5x + 2y – 20 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = \(-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y – 5 = \(\frac{2}{5}\)(x – 2)
5y – 25 = 2x – 4
i.e., 2x − 5y + 21 = 0

ప్రశ్న 3.
y = x³ + 4x² వక్రానికి (-1, 3) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ + 4x²
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² + 8x
P(-1, 3) వద్ద,
స్పర్శరేఖ వాలు = 3(-1)² + 8(-1)
= 3 – 8 = -5
స్పర్శరేఖ సమీకరణము P(-1, 3)
y – y₁ = f'(x₁) (x – x₁)
y – 3 = -5(x + 1) = -5x − 5
5x + y + 2 = 0
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = –\(\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\) (x – x₁)
y – 3 = \(\frac{1}{5}\)(x + 1)
5y – 15 = x + 1
x – 5y + 16 = 0

ప్రశ్న 4.
x² – 2xy + 4y = 0 వక్రంపై ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు –\(\frac{3}{2}\) అయితే, ఆ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం. సమీకరణము
x² – 2xy + 4y = 0
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
2x – 2x.\(\frac{d y}{d x}\) – 2y + 4. \(\frac{d y}{d x}\) = 0
2(x – y) = 2(x – 2)\(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2(x-y)}{2(x-2)}\) = \(\frac{x-y}{x-2}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{3}{2}\)
∴ \(\frac{x-y}{x-2}\) = \(-\frac{3}{2}\)
2x – 2y = -3x + 6
5x – 2y = 6
2y = 5x – 6 —— (2)
P(x, y) బిందువు (1) మీద ఉంది.
x² – x(5x – 6) + 2(5x – 6) = 0
x² – 5x² + 6x + 10x – 12 = 0
-4x² + 16x – 12 = 0
-4(x² – 4x + 3) = 0
x² – 4x + 3 = 0
(x – 1) (x – 3) = 0
x – 1 = 0 లేదా x – 3 = 0
∴ x = 1 లేదా x = 3
సందర్భం (i) : x = 1
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
1 – 2y + 4y = 0
2y = -1 ⇒ y = \(-\frac{1}{2}\)
కావలసిన బిందువు P(1, \(-\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y + \(\frac{1}{2}\) = –\(\frac{3}{2}\)(x – 1)
\(\frac{2 y+1}{2}\) = \(\frac{-3(x-1)}{2}\)
2y + 1 = -3x + 3
3x + 2y – 2 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 1)
\(\frac{2 y+1}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 1)
6y + 3 = 4x – 4
4x – 6y – 7 = 0
సందర్భ౦ (ii) : x = 3
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 9 – 6y + 4y = 0
2y = 9⇒ y = \(\frac{9}{2}\)
∴ కావలసిన బిందువు (3, \(\frac{9}{2}\))
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – \(\frac{9}{2}\) = –\(\frac{3}{2}\)(x – 3)
\(\frac{2 y-9}{2}\) = \(\frac{-3(x-3)}{2}\)
2y – 9 = -3x + 9
3x + 2y – 18 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y – \(\frac{9}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 3)
\(\frac{2 y-9}{2}\) = \(\frac{2(x-3)}{3}\)
6y – 27 = 4x – 12
i.e., 4x – 6y + 15 = 0

ప్రశ్న 5.
y = x log x వక్రంపై ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు \(\frac{3}{2}\) అయితే, ఆ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x log x
\(\frac{d y}{d x}\) = x . \(\frac{1}{x}\) + log x. 1 = 1 + log x.
1 + log x = \(\frac{3}{2}\)
log_e x = \(\frac{1}{2}\) ⇒ x = e^1/2 = \(\sqrt{\mathrm{e}}\)
∴ y = \(\sqrt{\mathrm{e}}\) . log \(\sqrt{\mathrm{e}}\) = \(\frac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\)
కావలసిన బిందువు P(\(\sqrt{\mathrm{e}}, \frac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\))

ప్రశ్న 6.
y = 2e^-x/3 వక్రం Y− అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు వద్ద ఆ వక్రానికి స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణాలు y = 2e^-x/3
Y- అక్షం సమీకరణము x = 0.
y = 2.e° = 2.1 = 2
కావలసిన బిందువు P(0, 2)
\(\frac{d y}{d x}\) = 2\(\left(-\frac{1}{3}\right)\). e^-x/3
ఇప్పుడు x = 0 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(-\frac{2}{3} \cdot \mathrm{e}^0\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – y₁ = f'(x₁)(x – x₁)
y – 2 = –\(\frac{2}{3}\)(x – 0)
3y – 6 = -2x
2x + 3y – 6 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణం
y – y₁ = \(-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y – 2 = \(\frac{3}{2}\)(x – 0)
2y – 4 = 3x; 3x – 2y + 4 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
\(\sqrt{\mathbf{x}}\) + \(\sqrt{\mathbf{y}}\) = \(\sqrt{\mathbf{a}}\) వక్రం పై బిందువు వద్ద స్పర్శ రేఖ సమీకరణం \(y y_1^{-1 / 2}\) + \(x x_1^{-1 / 2}\) = a^1/2 అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము \(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{y}\) = \(\sqrt{a}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
\(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) + \(\frac{1}{2 \sqrt{y}}\).\(\frac{d y}{d x}\) = 0

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖవాలు = \(-\frac{\left(y_1\right)^{1 / 2}}{\left(x_1\right)^{1 / 2}}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము

(P వక్రం మీది బిందువు)
P వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(y \cdot y_1{ }^{-1 / 2}\) + \(x \cdot x_1^{-1 / 2}\) = a^1/2

ప్రశ్న 2.
x² – y² = 2 వక్రంపై ఏ బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు 2కు సమానమవుతోంది ?
సాధన:
స్పర్శరేఖ సమీకరణము x² – y² = 2 ….. (1)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
2x – 2y.\(\frac{d y}{d x}\) = 0
స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{d y}{d x}\) = 2
∴ 2x – 4y = 0; x = 2y
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 4y² – y² = 2
3y² = 2
y² = \(\frac{2}{3}\) ⇒ y = ± \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
x = 2y = ±2\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
∴ కావలసిన బిందువు P(\(2 \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\)) మరియు Q(\(-2 \sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\))

ప్రశ్న 3.
x² + y² = 2, 3x² + y² = 4x వక్రాలకు (1, 1) బిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
మొదటి వక్రం సమీకరణము x² + y² = 2
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) = 0
2y\(\frac{d y}{d x}\) = -2x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{2 x}{2 y}\) = \(-\frac{x}{y}\)
P (1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{-1}{1}\) = -1
రెండవ వక్రం సమీకరణము 3x² + y² = 4x
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
6x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4
2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4 – 6x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{4-6 x}{2 y}\) = \(\frac{2-3 x}{y}\)
P (1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{2-3}{1}\)
= \(-\frac{1}{1}\) = -1
రెండవ వక్రం సమీకరణము P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలులు (1, 1) బిందువు గుండా పోతున్నాయి
∴ దత్త వక్రాలకు P (1, 1) వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
x³ + y³ = 3axy వక్రంపై (x₁, y₁) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం (\(x_1^2\) – ay₁)x + (\(y_1^2\) – ax₁) y = ax₁ y₁ అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము x³ + y³
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
3x² + 3y².\(\frac{d y}{d x}\) = 3a(x.\(\frac{d y}{d x}\) + y)
x² + y²\(\frac{d y}{d x}\) = a(x.\(\frac{d y}{d x}\) + y)
= ax.\(\frac{d y}{d x}\) + ay
(y² – ax)\(\frac{d y}{d x}\) = ay – x²
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{a y-x^2}{y^2-a x}\) = \(-\frac{\left(x^2-a y\right)}{\left(y^2-a x\right)}\)
P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{\left(x_1^2-a y_1\right)}{\left(y_1^2-a x_1\right)}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము (x₁, y₁)

ప్రశ్న 5.
y (1 – x) = x వక్రం పై P (2, −2) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలపై సమాన పొడవు గల అంతర ఖండాలు చేస్తుందని, ఆ బిందువు వద్ద అభిలంబరేఖ మూల బిందువు ద్వారా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y (1 – x) = x
y = \(\frac{x}{1-x}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(1-x) \cdot 1-x(-1)}{(1-x)^2}\)
= \(\frac{1-x+x}{(1-x)^2}\) = \(\frac{1}{(1-x)^2}\)
P(2, -2) వద్ద, f'(x₁) = \(\frac{1}{(1-2)^2}\) = 1 = m
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y + 2 = 1(x – 2) = x – 2 ; x – y = 4
\(\frac{x}{4}\) – \(\frac{y}{4}\) = 1 ⇒ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{(-4)}\) = 1
∴ a = 4, b = -4
∴ స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాల మీద సమానమైన గుర్తులు గల ఇతర ఖండాలు అభిలంబ రేఖా సమీకరణము.
y – y₁ = \(\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y + 2 = -(x – 2) = -x + 2
x + y = 0
సమీకరణంలో స్థిరపదం లేదు.
∴ P(2, -2) వద్ద అభిలంబరేఖ మూల బిందువు గుండా పోతుంది.

ప్రశ్న 6.
x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B బిందువులలో ఖండిస్తే, AB పొడవు స్థిరమని చూపండి. (Mar. ’14, ’13, ’08, ’07, ’05) (T.S Mar. ’15)

సాధన:
వక్రం సమీకరణం x^2/3 + y^2/3 = a^2/3
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 7.
x^myⁿ = a^m+n (mn ≠ 0) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు P వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B బిందువులలో ఖండిస్తే, AP : PB స్థిరమని చూపండి.

సాధన:
వక్రం సమీకరణం xⁿ. yⁿ = a^m+n
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{m y_1}{n x_1}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము


A నిరూపకాలు \(\left[\frac{m+n}{m}, x_1, 0\right]\) మరియు
B నిరూపకాలు \(\left[0, \frac{m+n}{n}, y_1\right]\)
P బిందువు AB ని k : l నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

∴P బిందువు AB ని n : m నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
i.e., AP : PB = n : m = స్థిరము.