AP State Important Questions

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు will help students prepare well for the exams

AP Board 10th Class Maths 12th Lesson Important Questions and Answers త్రికోణమితి అనువర్తనాలు

ప్రశ్న 1.
ఒక బాలుడు విద్యుత్ స్తంభం అడుగు భాగం నుండి 10 మీ. దూరంలో ఉన్న బిందువు నుండి విద్యుత్ 2. స్తంభం పై భాగాన్ని 30° ఊర్ధ్వకోణంతో పరిశీలించాడు. ఈ సందర్భానికి సరిపడు పటాన్ని గీయండి.
సాధన.

AB = విద్యుత్ స్తంభం ఎత్తు
AC = విద్యుత్ స్తంభం
అడుగు భాగం నుండి పరిశీలకునికి గల దూరం = 10 మీ.
ఊర్థ్వకోణం = 30°.

ప్రశ్న 2.
క్రింది సన్నివేశంలో గాలిపటం ఎత్తు కనుగొనుటకు తగిన పటాన్ని గీయండి. “ఒక వ్యక్తి ‘I’ పొడవు గల దారంతో కూడిన గాలిపటాన్ని ‘d ఊర్ధ్వకోణంతో ఎగుర వేయుచున్నాడు”.
సాధన.

‘B’ వద్ద గాలిపటం ఉంది.
BC = దారం పొడవు = ‘l’

ప్రశ్న 3.
ఒక టవర్ ఎత్తు 100√3 మీటర్లు. దాని పాదం నుండి 100 మీటర్ల దూరంలో గల ఒక బిందువు నుండి ఆ టవర్ పై భాగాన్ని చూడాలంటే ఎంత ఊర్థ్వ కోణంతో చూడాలో కనుగొనండి.
సాధన.

టవర్ ఎత్తు AB = 100√3 మీ.
టవర్ అడుగు భాగం నుండి పరిశీలకునికి గల దూరం BC = 100 మీ.
∆ABC లో tan θ = \(\frac{100 \sqrt{3}}{100}\) = √3
= tan 60°
⇒ θ = 60°.

ప్రశ్న 4.
రెహమాన్ ఒక గుడి గోపురం అడుగు భాగం నుండి 24 మీ. దూరంలో గల పరిశీలక స్థానం నుండి గోపుర శిఖరాన్ని 30° ఊర్ద్వకోణంతో పరిశీలించిన ఆ గోపురం ఎతును కనుక్కోండి.
సాధన.

పరిశీలకునికి, గుడి గోపురం అడుగుభాగానికి మధ్య గల దూరం = 24 మీ.
గుడి గోపురం ఎత్తు = h మీ. .
θ = 30°
∆ABC నుండి
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{24}\)
⇒ h = \(\frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = 8√3 మీ…
గుడి గోపురం ఎత్తు = 8√3.మీ.

ప్రశ్న 5.
1.8 మీ. ఎత్తు కల్గిన ‘ఒక పరిశీలకుడు 13.2 మీ. దూరంలో గల చెట్టు పైభాగాన్ని తన కంటి నుండి 45° ఊర్ధ్వకోణంతో పరిశీలిస్తున్నాడు. అయిన ఆ తాటిచెట్టు ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.
పరిశీలకుని ఎత్తు = 1.8 మీ. = AB
చెట్టు నుండి దూరము = 13.2 మీ. = AE = BD
ఊర్థ్వకోణము = ∠CBD = 45°

∆ BCD లో tan 45° = \(\frac{C D}{B D}\)
⇒ 1 = \(\frac{\mathrm{CD}}{13.2}\)
CD = 13.2 మీ.
∴ తాటిచెట్టు ఎత్తు = CE
= CD + DE
= 13.2 మీ. + 1.8 = 15 మీ.

ప్రశ్న 6.
7 మీ. పొడవుగల ఒక జెండా స్థంభము 8మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరుచును. అదే సమయములో దగ్గరలో గల ఒక భవనము 32 మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన ఆ భవనము ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

∆ABC ~ ∆DEF;
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\)
\(\frac{7}{\mathrm{DE}}=\frac{8}{32}\)
∴ DE = 28 మీ.

ప్రశ్న 7.
6 మీ. మరియు 11 మీ. పొడవు గల స్తంభాలు ఒక చదునైన నేలపై కలవు. నేలపై ఆ రెండు స్తంభాల అడుగు భాగాల మధ్య దూరము 12 మీ. అయిన ఆ రెండు స్తంభాల పైభాగముల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం,
మొదటి స్తంభము పొడవు = AB = 6 మీ.
రెండవ స్తంభము పొడవు = CD = 11 మీ.

రెండు స్తంభాల అడుగు భాగాల మధ్య దూరము = AC = 12 మీ.
రెండు స్తంభాల పైభాగముల మధ్యదూరము = BD
పటం ప్రకారం,
BE = AC = 12 మీ.;
AB = EC = 6 మీ.
∴ DE = DC – EC
= 11 – 6 = 5 మీ.
BD² = DE² + BE²
= 5² + 12²
= 25 + 144 = 169
∴ BD = √169 = 13 మీ.

ప్రశ్న 8.
900 మీ. ఎత్తులో ఎగురుతున్న విమానం నుండి ఒక పరిశీలకుడు అతనికి ముందు వైపు అదే రేఖలో రెండు నావలను 60° మరియు 30° నిమ్నకోణాలతో గమనించిన ఆ రెండు నావల మధ్య దూరమెంత ?
సాధన.

∆ABC లో tan 60 = \(\frac{900}{x}\)
√3 = \(\frac{900}{x}\)
⇒ x = \(\frac{900}{\sqrt{3}}\) = 300√3
∆ABD లో tan 30 = \(\frac{900}{x+d}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{900}{300 \sqrt{3}+d}\)
d = 600√3 మీ.

ప్రశ్న 9.
భూమితో 30°ల ఊర్ధ్వ కోణము చేస్తూ 24 మీటర్ల పొడవున్న ఒక దృఢమైన లోహపు తీగ ఆధారంగా ఒక విద్యుత్ స్థంభము నిలబెట్టబడి ఉంది. తీగ పొడవు చాలా ఎక్కువ ఉన్న కారణంగా తీగలో కొంత భాగము కత్తిరించి, మిగిలిన దానిని భూమితో 60° కోణము చేస్తూ అమర్చబడినది. అయిన కత్తిరించిన తీగ పొడవు ఎంత?
సాధన.
కత్తిరించకముందు లోహపు తీగ పొడవు (AD) = 24 మీ.
కత్తిరించిన తదుపరి లోహపు తీగ పొడవు (AC) = x మీ.
కరెంటు స్తంభము ఎత్తు = AB
ఊర్వకోణము ∠BDA = 30°; ∠BCA = 60°
లంబకోణ త్రిభుజము ABD నుండి

sin 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{AB}}{24}\)
2AB = 24
AB = 12 మీ.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC నుండి
sin 60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{\mathrm{AC}}\)
√3 AC = 24
⇒AC = \(\frac{24}{\sqrt{3}}\) = 8√3 మీ.
= 8 × 1.732 = 13.856 మీ.
కత్తిరించిన తీగ పొడవు = 24 – 13.856 = 10.144 మీ.

ప్రశ్న 10.
ఒక వ్యక్తి నిలువాటి టవర్ పై భాగం నుండి సమవేగంతో తనవైపు వస్తున్న కారును 30° నిమ్నకోణంతో పరిశీలిస్తున్నాడు. 12 సెకండ్ల తర్వాత నిమ్నకోణం 30° నుండి 60° కు మారిన ఆ స్థానం నుండి పరిశీలక స్థానం చేరుటకు ఎంతకాలం పట్టును ?
సాధన.
పటం నుండి,
సెకండ్లలో కారు ప్రయాణించిన దూరం = AB = x మీటర్లు
టవర్ ఎత్తు CD = h మీటర్లు

కారు ప్రయాణించాల్సిన మిగిలిన దూరం BC = d మీటర్లు
AC = AB + BC = (x + d) మీటర్లు
∠PDA = ∠DAC = 30°
∠PDB = ∠DBC = 60°
∆BCD నుండి, tan 60° = \(\frac{C D}{B C}\)
√3 = \(\frac{h}{d}\)
⇒ h = √3d ………… (1)
∆ACD నుండి,
tan 30° = \(\frac{C D}{A C}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{(x+d)}\)
⇒ h = \(\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}\) …………… (2)
(1) మరియు (2)ల నుండి,
\(\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}\) = √3d
⇒ x + d = 3d
⇒ x = 2d
⇒ d = A
‘x’ మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 12 సెకండ్లు
‘d’ = \(\frac{x}{2}\) మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు – కాలం = 6 సెకండ్లు.

ప్రశ్న 11.
60 మీటర్ల ఎత్తు గల ఒక గుడి పైభాగాన్ని దానికి ఇరువైపులా గల ఇద్దరు బాలురు 60° మరియు 30° ఊర్ధ్వకోణాలతో గమనిస్తే ఆ బాలురు మధ్య గల దూరాన్ని కనుగొనంది.
సాధన.
పటము నుండి దేవాలయం ఎత్తు BD = 60 మీటర్లు
మొదటి బాలుడు పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్ధ్వకోణం ∠BAD = 60°
రెండవ బాలుడు పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్థ్వకోణం ∠BCD = 30°
మొదటి బాలుడు నుండి గుడి దూరం AD = x,
రెండవ బాలుడు నుండి గుడి దూరం CD = d అనుకొనగా

∆BAD నుండి ∆BCD నుండి
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}\)
√3 = \(\frac{60}{x}\)
x = \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) …………..(1)

tan 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{d}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{d}\)
d = 60√3 ……………. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య దూరం
= AD + AC = x + d
= \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) + 60√3
= \(\frac{60+180}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{240}{\sqrt{3}}\)
= 80√3 మీటర్లు.

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 11th Lesson త్రికోణమితి will help students prepare well for the exams

AP Board 10th Class Maths 11th Lesson Important Questions and Answers త్రికోణమితి

ప్రశ్న 1.
sin A = cos A అయిన A విలువను డిగ్రీలలో తెల్పండి.
సాధన.
sin A = cos A
⇒ sin A = sin (90 – A) (∵ A = 90 – A)
⇒ 2A = 90
⇒ A = \(\frac{90}{2}\) = 45°

ప్రశ్న 2.
2 sin x = √3 అయినచో x విలువెంత?
సాధన.
2 sin x = √3
⇒ sin x = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin x = sin 60°
⇒ x = 60°.

ప్రశ్న 3.
గణించుము:
(i) cos 76° – sin 14°
(ii) \(\frac{\tan 73^{\circ}}{\cot 17^{\circ}}\)
సాధన.
(i) cos 76° – sin 14° = cos (90 – 14) – sin 14
= sin 14° – sin 14° (∵ cos (90 – θ) = sin θ)
= 0
∴ cos 76° – sin 14° = 0 ………….(i)

(i) \(\frac{\tan 73^{\circ}}{\cot 17^{\circ}}\) = \(\frac{\tan (90-17)}{\cot 17}=\frac{\cot 17^{\circ}}{\cot 17^{\circ}}\)
= 1
∴ \(\frac{\tan 73^{\circ}}{\cot 17^{\circ}}\) = 1

ప్రశ్న 4.
tan² 45° + cot² 30° విలువను కనుక్కోండి.
సాధన.
tan 45° + cot² 30°
= (1)² + (√3)²
= 1 + 3 = 4.

ప్రశ్న 5.
sin² 30° + cos² 60° విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
sin 30° = \(\frac{1}{2}\), cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin² 30° + cos² 60° = (\(\frac{1}{2}\))² + (\(\frac{1}{2}\))²
= \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
∴ sin² 30° + cos² 60° = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 6.
sin (A + B) = 1 మరియు cos B = \(\frac{1}{2}\) ∠A, ∠Bలను కనుగొనుము. (0°< A + B ≤ 90°)
సాధన.
sin (A + B) = 1
sin (A + B) = sin 90°
A + B = 90°
cos B = \(\frac{1}{2}\)
cos B = cos 60°
∴ ∠B = 60°
∴ ∠A = 90° – 60° = 30°.

ప్రశ్న 7.
cot² θ – \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\) ను సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
\(\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}-\frac{1}{\sin ^{2} \theta}=\frac{\cos ^{2} \theta-1}{\sin ^{2} \theta}=\frac{\sin ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}\) = 1

ప్రశ్న 8.
‘θ’ ఏదేని అల్పకోణమైతే sin θ = \(\frac{5}{3}\); వ్యవస్థితమగునా? .. కారణం తెలపండి.
సాధన.
‘θ’ అల్పకోణము = 0° < θ < 90°
కనుక sin 0° = 0 మరియు sin 90° = 1
కనుక 0° < θ < 90°కు sin θ విలువ 0 మరియు 1ల మధ్య ఉంటుంది.
కనుక sin θ విలువ 1 కంటే ఎక్కువ ఉండదు.
∴ sin θ = \(\frac{5}{3}\) వ్యవస్థతము కాదు.

ప్రశ్న 9.
sin x = \(\frac{3}{4}\) అయితే cosec x విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
sin x = \(\frac{3}{4}\) అయితే
cosec x = \(\frac{1}{\sin x}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\)

ప్రశ్న 10.
sin 90°, cos 90°, tan 90°, cot 90°, sec 90° మరియు cosec 90° లలో ఏది( వి) నిర్వహించబడదు?
సాధన.
sin 90° = 1
cos 90° = 0
tan 90° = నిర్వహించబడదు
cot 90° = 0
sec 90° = నిర్వహించబడదు
cosec 90° = 1
∴ tan 90°, sec 90° లు నిర్వహించబడవు.

ప్రశ్న 11.
(sec² x – 1) (cot² x) ను సూక్ష్మ రూపంలో తెల్పండి.
సాధన.
(sec² x – 1) (cot² x) = (tan² x) (cot² x) [∵ sec²A – tan² A = 1]
= \(\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \cdot \frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}\)[tan A = \(\frac{\sin A}{\cos A}\), cot A = \(\frac{\cos A}{\sin A}\)]
= 1.

ప్రశ్న 12.
tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) మరియు sin A = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) అయినచో ∠B మరియు cos B ల విలువలు కనుగొనండి (A, B < 90°)
సాధన.
tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ tan (A – B) = tan 30°
∴ A – B = 30°
sin A = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin A = sin 60°
∴ A = 60° ప్రతిక్షేపించిన
A – B = 30°
⇒ 60° – B = 30°
⇒ B = 30°
⇒ cos B = cos 30°
⇒ cos B = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ప్రశ్న 13.
tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) మరియు tan B = √3 అయిన sin A . cos B + cos A . sin B విలువను కనుగొనుము (A, B < 90°)
సాధన.
tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) మరియు tan B = √3 (A, B < 90°)
∴ tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30° (∵ A < 90°)
⇒ A = 30° మరియు tan B = √3 = tan 60° ⇒ B = 60°
(∵ AB < 90°)
⇒ A = 30°, B = 60° అయిన
sin A cos B + cos A sin B విలువ = sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60°
∴ sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}\)
= 1

IInd method :
sin A cos B + cos A sin. B = sin (A + B) నందు
A = 30°, B = 60° ప్రతిక్షేపించిన
sin (A + B) = sin (30° + 60°)
= sin 90° = 1.

ప్రశ్న 14.
tan² A – sin² A = tan² A . sin² A అని చూపండి.
సాధన.
tan² A – sin² A = \(\frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A}\) – sin² A
= sin² A (\(\frac{1}{\cos ^{2} A}\) – 1)
= sin² A (sec² A – 1)
= sin² A. tan² A

ప్రశ్న 15.
cos A = \(\frac{7}{25}\) అయిన sin A మరియు cosec A లను కనుగొనండి. నీవేమి గమనించితివి ?
సాధన.

∆ABC లంబకోణ త్రిభుజరీలో
cos A = \(\frac{7}{25}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
x² + 7² = 25²
x² = 25² – 7² = 576
x = 24
sin A = \(\frac{24}{25}\) cosec A = \(\frac{25}{24}\)
cosec A = \(\frac{1}{\sin A}\) అని పరిశీలించితిని.

ప్రశ్న 16.
tan 2A = cot (A – 18°), 2A ఒక అల్పకోణము అయితే A యొక్క విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
tan 2A = cot(A – 18°)
= cot[90 – (90 – (A – 18°)]]
tan 2A = tan [90 – (A – 18°)]
2A = 90 – (A – 18°)
= 90 – A + 18°
⇒ 3A = 108°
∴ A = 36°

ప్రశ్న 17.
4 tan θ = 3 అయిన sec e మరియు cosec 2ల విలువలు కనుగొనుము.
సాధన.
4 tan θ = 3
⇒ tan θ = \(\frac{3}{4}\)

AC = \(\sqrt{\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+3^{2}}\) = 5
sec θ = \(\frac{5}{4}\); cosec θ = \(\frac{5}{3}\).

ప్రశ్న 18.
tan 2A = cot (A – 27), 2A అల్పకోణమైన A విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం, 2A అల్పకోణము
tan 2A = cot (A – 27)
⇒ 2A + A – 27 = 90
⇒ 2A + A = 90 + 27 (∵ tan (90 – θ) = cot θ)
⇒ 3A = 117
⇒ A = \(\frac{117}{3}\) = 39
∴ A = 39°

ప్రశ్న 19.
\(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A అని చూపండి.
సాధన.
\(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\)
(లవ, హారాలను \(\sqrt{1+\sin A}\) తో గుణించిన)

ప్రశ్న 20.
(sin x – cos x)² + (sin x + cos x)² విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
(sin x – cos x)² + (sin x + cos x)² = sin² x + cos² x – 2 sin x cos x + sin² x + cos² x + 2 sin x cos x
= 2(sin² x + cos² x) = 2(1) = 2

ప్రశ్న 21.
cos A = \(\frac{12}{13}\) అయితే sin A మరియు tan A విలువను కనుగొనండి.
సాధన.

AC² = AB² + BC²
13² = 12² + x²
169 = 144 + x²
x² = 25
⇒ x = 5
sin A = \(\frac{5}{13}\)
tan A = \(\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{13} \times \frac{13}{12}=\frac{5}{12}\)
∴ sin A = \(\frac{5}{13}\), tan A = \(\frac{5}{12}\).

ప్రశ్న 22.
4 sin² θ – 1 = 0 అయిన (θ < 90) θ విలువ కనుగొని cos² θ + tan² θ విలువను కనుగొనండి
సాధన.
4 sin² θ – 1 = 0
⇒ 4 sin² θ = 1
sin² θ = \(\frac{1}{4}\)
⇒ sin θ = ± \(\sqrt{\frac{1}{4}}\)
= ± \(\frac{1}{2}\)
θ < 90°. అని ఇవ్వబడింది
కాబట్టి sin θ = \(\frac{1}{2}\)
∴ θ = 30°
cos θ = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
tan θ = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
cos² θ + tan² θ = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}=\frac{9+4}{12}=\frac{13}{12}\)

ప్రశ్న 23.
(sin θ – cosec θ)² + (cos θ – sec θ)² = cot θ + tan² θ – 1 అని నిరూపించండి.
సాధన.
(sin θ – cosec θ)² + (cos θ – sec θ)² = sin² θ + cosec² θ – 2 sin θ . cosec θ + cos² θ + sec² θ – 2 cos θ · sec θ
= (sin² θ + cos² θ) + cosec² θ + sec² θ – 2 – 2
= 1 + (1 + cot² θ) + (1 + tan² θ) – 2 – 2
= cot² θ + tan² θ + 3 – 4
= cot² θ + tan ² θ – 1.

ప్రశ్న 24.
cosec θ + cot θ = p అయితే \(\frac{p^{2}+1}{p^{2}-1}\) = sec θ అని చూపండి.
సాధన.
cosec θ + cot θ = p.
∴ cosec θ – cot θ = \(\frac{1}{p}\)
cosec θ + cot θ = p
2 cosec θ = p + \(\frac{1}{p}\)
cosec θ – cot θ = \(\frac{1}{p}\)
2 cot θ = p – \(\frac{1}{p}\)
= \(\frac{p^{2}-1}{p}\)
\(\frac{\frac{p^{2}+1}{p}}{\frac{p^{2}-1}{p}}=\frac{2 \cosec \theta}{2 \cot \theta}\)

\(\frac{\mathrm{p}^{2}+1}{\mathrm{p}^{2}-1}=\frac{\frac{1}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}=\frac{1}{\cos \theta}\) = sec θ.

ప్రశ్న 25.
sec θ + tan θ = p. అయిన sin θ = \(\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}\) అని నిరూపించండి.
సాధన.
sec θ + tan θ = p
sec² θ – tan² θ = 1
(sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
p. (sec θ – tan θ) = 1

ప్రశ్న 26.
cot θ = \(\frac{7}{8}\) అయిన
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) \(\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\) విలువలు కనుగొన౦డి.
సాధన.
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\) = \(\frac{1-\sin ^{2} \theta}{1-\cos ^{2} \theta}=\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}\)
= cot² θ.
= \(\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}\) → (1)
(∵ sin² θ + cos² θ = 1)

(ii) \(\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\) = \(\frac{1}{\sin \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
= cosec θ + cot θ
cot θ = \(\frac{7}{8}\) కావున, (1 + cot² θ) = cosec² θ
⇒ 1 + (\(\frac{7}{8}\))² = cosec² θ
⇒ 1 + \(\frac{49}{64}\) = \(\frac{64+49}{64}=\frac{113}{64}\)
∴ cosec θ = \(\sqrt{\frac{113}{64}}\)
∴ \(\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\) = cosec θ + cot θ
= \(\frac{\sqrt{113}}{8}+\frac{7}{8}=\frac{7+\sqrt{113}}{8}\).

ప్రశ్న 27.
sec² θ + cosec² θ = sec² θ . cosec² θ .
సాధన.
sec² θ + cosec² θ = \(\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}\)

= \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}\)

= \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)

= cosec² θ . sec² θ

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 10th Lesson క్షేత్రమితి will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 10th Lesson Important Questions and Answers క్షేత్రమితి

ప్రశ్న 1.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల అర్ధగోళ సంపూర్ణతల – వైశాల్యంను కనుగొనుము.
సాధన.
అర్ధగోళం వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ.
అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 3πr²
= 3 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 462 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 14 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన క్రమ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం కనుగొనండి.
సాధన.
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3 × 3 × 14
= 132 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 3.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 10 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యము కనుగొనండి.
సాధన.
2స్థూపం యొక్క వ్యాసార్ధము (r) = 7 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 10 సెం.మీ. స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 10
= 440 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక ఫుట్ బాల్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము 616 చ.సెం.మీ. అయిన ఆ బంతి వ్యాసార్ధమును కనుగొనుము. (π = 22/7)
సాధన.
ఒక ఫుట్ బాల్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము (గోళం) = 4πr²
4πr² = 616
πr² = 154
r² = 154 × \(\frac{7}{22}\)
r² = 7 × 7 = 49
∴ r = 7 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణము 4481 సెం.మీ. 3 మరియు ఎత్తు 7 సెం.మీ. అయిన స్థూపము యొక్క వ్యాసార్ధము కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపము ఘనపరిమాణము = πr²h = 448π
ఇచ్చట h = 7 సెం.మీ. , r = r
πr² × 7 = 448π
7r² = 448
r² = \(\frac{448}{7}\) = 64
∴ వ్యాసార్ధము (r) = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
ఒక గోళము యొక్క వ్యాసార్ధము 14 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) గా తీసుకొనుము)
సాధన.
గోళము యొక్క వ్యాసార్ధము = (r) = 14 సెం.మీ.
గోళఉపరితల వైశాల్యమునకు సూత్రము = 4πr²
∴ గోళ ఉపరితల వైశాల్యము = 4 × \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14
= 88 × 28
= 2464 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 7.
సమాన భూ వ్యాసార్ధము కలిగిన శంఖువు మరియు స్టూపములను జతగా కలుపగా ఏర్పడే ఘనాకార వస్తువు యొక్క చిత్తు పటమును గీయుము.
సాధన.

శంఖువు మరియు స్థూపముల సమాన భూవ్యాసార్ధము = AB

ప్రశ్న 8.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం, 14 సెం.మీ. ఏటవాలు ఎత్తు కలిగిన ఒక శంఖాకార జోకర్ క్యాప్ తయారు చేయడానికి అవసరమైన పేపర్ షీటు యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం, వ్యాసార్ధం = 7 సెం.మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు = 14 సెం.మీ.
పేపర్ షీటు యొక్క వైశాల్యం = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 14
= 22 × 14 = 308 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 9.
ఒక గోళం యొక్క వ్యాసం, ఘనం యొక్క భుజంకు సమానం అయితే, వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
గోళం యొక్క వ్యాసం = d = ఘనం యొక్క భుజం అనుకొనుము.
∴ గోళం యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{d}{2}\),
గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}=\frac{4}{3} \pi \frac{d^{3}}{8}=\frac{\pi}{6} d^{3}\)
మరియు ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం = d³
∴ గోళం ఘనపరిమాణం మరియు ఘనం ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = \(\frac{\pi}{6}\)d³ : d³
= \(\frac{\pi}{6}\) : 1

ప్రశ్న 10.
125 ఘనపు సెం.మీ. ఘనపరిమాణం గల రెండు 1 ఘనములు కలుపబడినవి. అప్పుడు ఏర్పడిన దీర్ఘ ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
ఒక ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము = 125 సెం.మీ³
a³ = 125 సెం.మీ.³ = (5 సెం.మీ)³.
∴ ఆ ఘనం యొక్క భుజం = 5 సెం.మీ.
అటువంటి రెండు ఘనములు కలుపబడినపుడు ఏర్పడిన దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు (l) = 10 సెం.మీ.
వెడల్పు (b) = 5 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 5 సెం.మీ.

∴ దీర్ఘ ఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2 (lb + bh + lh)
= 2[(10 × 5) + (5 × 5) + (5 × 10)]
= 2[50 + 25 + 50]
= 2(125) = 250 సెం.మీ²
∴ రెండు ఘనములు కలుపగా ఏర్పడిన దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 250 సెం.మీ²

ప్రశ్న 11.
ఒక శంకువు యొక్క భూ వైశాల్యం 616 చ.సెం.మీ., దాని ఎత్తు 48 సెం.మీ. అయిన దాని సంపూర్ణతల వైశాల్యం కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు భూ వ్యాసార్ధం = r సెం.మీ. అనుకొనుము.
మరియు ఎత్తు = h = 48 సెం.మీ.
∴ శంఖువు భూ వైశాల్యం = πr²

= \(\frac{22}{7}\) × r² = 616 సెం.మీ²
⇒ r² = \(\frac{616 \times 7}{22}\)
= 28 × 7
= 2 × 7 × 2 × 7 = 142
∴ శంఖువు భూ వ్యాసార్ధం r = 14 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{14^{2}+48^{2}}\)
= \(\sqrt{196+2304}=\sqrt{2500}\)
∴ l = 50 సెం.మీ.
శంఖువు సం||తల వైశాల్యము = నేల వైశాల్యము + ప్రక్కతల వైశాల్యము
= πr² + πrl
= πr(r + l)
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × (14 + 50)
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 64
= 44 × 64 = 2816
∴ ఆ శంఖువు సం||తల వైశాల్యము = 2816 సెం.మీ²

ప్రశ్న 12.
ఒక శంఖువు యొక్క శీర్షకోణములో, సగము 60° మరియు దాని ఎతు 3 సెం.మీ. అయిన శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం కనుగొనుము.
సాధన.
‘B’ అనేది శంఖువు భూ కేంద్రము మరియు
వ్యాసార్ధము = BC
నిలువుటెత్తు AB = 3 సెం.మీ.
∠BAC = 60° అని ఇవ్వబడింది.

∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజం,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ √3 = B
⇒ BC = 3√3 ‘సెం.మీ.
ఇచ్చట h = 3 సెం.మీ., r = 3√3 సెం.మీ.
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) π(3√3)² × 3
= 27 πసెం.మీ³
(లేదా)
= \(\frac{594}{7}\) = 84.86 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 13.
ఒక దీర్ఘ ఘనము యొక్క పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా (log 125 + log 8), (log 1000 – log 10) మరియు log 10 అయినచో దాని సంపూర్ణతల వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన. దీర్ఘఘనము పొడవు (1) = (log 125 + log 8)
దీర్ఘఘనము వెడల్పు (b) = (log 1000 – log 10)
దీర్ఘఘనము ఎత్తు (h) = log 10
∴ (l) = log (125 × 8)
= log 1000
= log 10³ = 3 log 10 = 3
(b) = log 1000 – log 10
= log \(\frac{1000}{10}\)
= log 100
= log 10² = 2
(h) = log 10 = 1
దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2(lb + bh + lh)
= 2 (3 × 2 + 2 × 1 + 1 × 3)
= 2 (6 + 2 + 3)
= 2(11) = 22 చ|| యూనిట్లు.

ప్రశ్న 14.
ఒక గోళం యొక్క వ్యాసార్థం 3.5 సెం.మీ. దాని ఉపరితల వైశాల్యం కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం r = 3.5 సెం.మీ.
గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= \(\frac{88 \times 12.25}{7}\)
= 154 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 15.
ఒక శంఖువు యొక్క ఘపరిమాణాన్ని అదే ఆధారం మరియు ఎత్తును కలిగిన క్రమవృత్తాకార స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణంలో వ్యక్తీకరించి నీవు దానిని ఎలా చేరుకున్నావో వివరించండి.
సాధన.
శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) πr²h
స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణం = πr²h అని మనకు తెలుసు.
కావున, శంఖువు ఘనపరిమాణం : స్థూపం ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) πr² : πr²h
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) × స్థూపం ఘనపరిమాణం.

ప్రశ్న 16.
శంఖాకారంలో ఉన్న గుడారం భూ వ్యాసార్థం 5 మీ. దాని ఎత్తు 12 మీ. ఆ గుడారం నిర్మించుటకు కావలసిన గుడ్డ వెడల్పు 2 మీ. అయినపుడు పొడవెంత ?
సాధన.
శంఖాకారపు గుడారము వ్యాసార్ధము (r) = 5 మీ.
గుడారము ఎత్తు (h) = 12 మీ.
∴ శంఖువు వాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}+12^{2}}\)
= \(\sqrt{25+144}=\sqrt{169}\) = 13 మీ.
గుడారపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = πrl .
= \(\frac{22}{7}\) × 5 × 13 = \(\frac{1430}{7}\) చ.మీ.
ఉపయోగింపబడిన కొన్వాసు గుడ్డ ‘వైశాల్యం = \(\frac{1430}{7}\) చ.మీ.
కాన్వాసు గుడ్డ వెడల్పు 2 మీ. అని ఇవ్వబడింది.
కనుక కాన్వాసు గుడ్డ పొడవు = వైశాల్యము / వెడల్పు
= \(\frac{1430}{7} \times \frac{1}{2}\) = 102.14 మీ.

ప్రశ్న 17.
66 సెం.మీ. భుజము కొలతగా గల ఒక సీసపు ఘనమును 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన ఎన్ని గోళాకార బంతులుగా మార్చవచ్చు ? ”
సాధన.
ఘనం యొక్క భుజము (s) = 66 సెం.మీ.
గోళాకార బంతి వ్యాసార్ధము (r) = 3 సెం.మీ.
తయారుచేయగల గోళాకార బంతుల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
n × గోళాకార బంతి ఘనపరిమాణం = ఘనం ఘనపరిమాణం
⇒ n × \(\frac{4}{3}\)πr³ = s³
⇒ n × \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3 × 3 × 3 = (66)³
⇒ n = 66 × 66 × 66 × \(\frac{3}{4} \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\)
∴ n = 2541
తయారుచేయగల గోళాకార బంతుల సంఖ్య = 2541.

ప్రశ్న 18.
స్థూపాకృతిలో ఉన్న ‘నూనె పీపా 2 మీ. భూవ్యాసం మరియు 7 మీ. ఎత్తును కల్గియున్నది. పీపాకు రంగు వేయడానికి పెయింటర్ 1 చ.మీ. కు .₹ 5 లను తీసుకుంటుంటే, 10 నూనె పీపాలకు రంగు వేయడానికి ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ?
సాధన.

స్థూపాకృతిలో ఉన్న నూనె పీపా భూ వ్యాసం = d = 2 మీ.
పీపా వ్యాసార్ధం = r= 2
ఎత్తు = h = 7 మీ.
స్థూపాకార నూనె పీపా యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr(r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 1 × (1 + 7)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 8
= \(\frac{352}{7}\) = 50.28 చ.మీ.
1 చ.మీ.కు రంగు వేయుటకు ఖర్చు = రూ. 5 అటువంటి 10 పీపాలకు రంగు వేయడానికి అయ్యే ఖర్చు = 50.28 × 5 × 10 = రూ. 2514

ప్రశ్న 19.
ఒక సమ ఘనాకార చెక్కదిమ్మ నుండి దాని భుజము పొడవునకు సమాన పొడవు వ్యాసముగా కల్గిన అర్ధగోళము కత్తిరించబడినది. ఘనము యొక్క అంచు. పొడవు 21 సెం.మీ. అయిన మిగిలిన చెక్కదిమ్మ యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము కనుగొనుము.
సాధన.
అర్ధగోళం వ్యాసము = 1 = 21 సెం.మీ. అనుకొనుము
అర్ధగోళం వ్యాసార్థం = \(\frac{l}{2}=\frac{21}{2}\) సెం.మీ.
ఘనపు అంచు పొడవు = l = 21. సెం.మీ.
మిగిలిన చెక్కదిమ్మ సంపూర్ణతల వైశాల్యం =

ప్రశ్న 20.
6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలు కలిగిన రెండు లోహపు గోళాలను మరొక గోళముతో కలిపి కరిగించి ఒక పెద్ద గోళంగా తయారు చేయగా, దాని వ్యాసార్ధము 12 సెం.మీ. అయినది. అయిన మూడవ గోళము యొక్క వ్యాసార్ధము కనుగొనుము.
సాధన.
రెండు గోళాల వ్యాసార్ధాలు = r₁ = 6 సెం.మీ.
r₂ = 8 సెం.మీ.
గోళాల ఘనపరిమాణాలు = \(\frac{4}{3}\) πr₁³, \(\frac{4}{3}\) πr₂³
∴ పెద్ద గోళము యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) π(r₁³ + r₂³)
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × (6³ + 8³)
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 728 ………….. (1)
మూడవ గోళము వ్యాసార్ధము= ‘x’ సెం.మీ. అనుకొనిన మూడింటితో తయారైన గోళ ఘనపరిమాణం
= \(\frac{4}{3}\) π(r₁³ + r₂³ + x³)
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) (728 + x³) …………………..(2)
పెద్ద గోళం వ్యాసార్ధము = 12 సెం.మీ.
పెద్ద గోళం ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) π.12³
∴ (2) = (3)
\(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) (728 + x³) = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 12³
⇒ 728 + x³ = 12³
⇒ x³ = 12³ – 728
= 1728 – 728
= 1000 సెం.మీ.
⇒ x = 10 సెం.మీ.

ప్రశ్న 21.
ఒక్కొక్కటి 216 ఘనపు సెం.మీ. ఘనపరిమాణము గల రెండు ఘనములు కలుపబడినవి అయిన ఏర్పడిన కొత్త దీర్ఘ ఘనము యొక్క సంపూర్ణ తల వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం, ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం V = a³ = 216 సెం.మీ³
∴ a³ = 6 × 6 × 6 = 6³
కావున, a = 6 సెం.మీ. –

రెండు ఘనములను కలిపినపుడు, దీర్ఘఘనము యొక్క పొడవు = 2a = 2 × 6 = 12 సెం.మీ.,
వెడల్పు = a = 6 సెం.మీ.,
ఎత్తు = a = 6 సెం.మీ.
∴ దీర్ఘ ఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2(lb + bh + th)
= 2(12 × 6 + 6 × 6 + 12 × 6)
= 2(72 + 36 + 72) = 2 × 180
= 360 సెం.మీ.²
∴ కొత్తగా ఏర్పడిన దీర్ఘ ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం 360 సెం.మీ.²

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 9th Lesson Important Questions and Answers వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటంలో గల వృత్తానికి a, b, భాగాలను ఏమని పిలుస్తారు ?
సాధన.

a ని అల్ప వృత్తఖండము మరియు b ని అధిక వృత్తఖండం అని పిలుస్తారు.

ప్రశ్న 2.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముగా కల్గిన వృత్త కేంద్రం నుండి 25 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్న బిందువు నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము OA = 25 సెం.మీ.,
OB = r = 7 సెం.మీ.
∆AOB లో ∠B = 90°

∴ OA² = OB² + AB²
⇒ AB² = OA² – OB² = 25² – 7²
⇒ AB = √(25² – 7²)
= √(625 – 49)
= √576 = 24 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్త కేంద్రం నుండి 5 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్న ఒక బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.

∆OAB అనునది లంబకోణ త్రిభుజము.
OA² = OB² + AB²
5² = OB² + 4²
⇒ OB² = 25 – 16 = 9
∴ OB = √9 = 3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఇవ్వబడిన పటంలో షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = అర్ధవృత్త వైశాల్యం – త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{\pi \mathrm{r}^{2}}{2}\) – \(\frac{1}{2}\)bh
= \(\frac{\frac{22}{7} \times 7 \times 7}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) × 14 × 6
= 11 × 7 – 7 × 6
= 77 – 42 = 35 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
7 సెం.మీ. వృత్త వ్యాసార్ధము మరియు కేంద్రం వద్ద కోణం 60° గా గల వృత్త సెక్టారు యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి.
సాధన.
వ్యాసార్ధం = 7 సెం.మీ., కేంద్రం వద్ద కోణం = 60°
సెక్టారు యొక్క వైశాల్యము = \(\frac{x}{360}\) × πr
= \(\frac{60 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7}{360}=\frac{154}{6}\)
= 25.66 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 6.
3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముతో వృత్తాన్ని గీచి, వృత్త పరిధిపై బిందువు ‘P’ ను గుర్తించి దానిగుండా పోయే స్పర్శరేఖను గీయండి.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమము : –

1) “O” కేంద్రముగా 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముతో వృత్తమును గీచితిని. వృత్త పరిధిపై ‘P’ బిందువును గుర్తించి \(\overline{\mathrm{OP}}\)ని గీచితిని.
2) \(\overline{\mathrm{OP}}\) కు లంబంగా \(\overline{\mathrm{XY}}\) ను నిర్మించితిని.
∴ \(\overline{\mathrm{XY}} \perp \overline{\mathrm{OP}}\)
3) \(\overline{\mathrm{XY}}\) వృత్తానికి ‘P’ గుండా పోయే స్పర్శరేఖ అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
3 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల వృత్తాన్ని గీయండి. దాని కేంద్రం నుండి 5 సెం.మీ. దూరంలో ‘P’ అనే బిందువును గుర్తించి, P నుండి వృత్తానికి 2 స్పర్శరేఖలు గీయండి.
సాధన.
నిర్మాణక్రమం : .
i) 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయుము.

ii) 0 నుండి 5 సెం.మీ. దూరంలో P గుర్తించి, OP ని కలుపుము.
iii) OPను లంబ సమద్వి ఖండన చేయగా అది OP ని Mవద్ద ఖండించినచో M కేంద్రంగా MO లేదా MP వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయుము.
iv) వృత్తాల ఖండన బిందువుల నుండి స్పర్శరేఖలు గీయుము.

ప్రశ్న 8.
4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముతో ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. కేంద్రము నుండి 7.5 సెం.మీ. దూరములో గల బిందువు నుండి ఒక జత, స్పర్శరేఖలు గీయండి.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమము :

1) 0 కేంద్రంగా 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముతో వృత్తంను గీయుము.
2) 0 కేంద్రంగా 7.5 సెం.మీ. దూరంలో P బిందువును గుర్తించి, OP ని కలుపుము.
3) OP ను లంబ సమద్విఖండన చేసి M ను గుర్తించి
M కేంద్రంగా MO లేదా MP వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయుము.
4) P నుండి వృత్తాల ఖండన బిందువులకు స్పర్శరేఖలు CPA మరియు PB గీయుము.

ప్రశ్న 9.
5 సెం.మీ. వ్యాసార్థము గల వృత్తమును గీచి, వృత్త కేంద్రము నుండి 8 సెం.మీ. దూరములో గల బిందువు నుండి ఒక జత స్పర్శరేఖలను నిర్మించుము.
సాధన.

నిర్మాణము :
1) ‘O’ కేంద్రముగా 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీచితిని.
2) ‘0’ నుండి 8 సెం.మీ. దూరంలో ‘P’ గుర్తించి, OP ని కలిపితిని.
3) OP ను లంబ సమద్విఖండన చేయగా అది OPని ‘M’ వద్ద ఖండించినది. M కేంద్రంగా MO లేదా MP వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీచితిని.
4) P నుండి వృత్తాల ఖండన బిందువులైన T, , T, లకు స్పర్శరేఖలు PT, మరియు PT, లను గీచితిని.

ప్రశ్న 10.
4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. కేంద్రం నుండి 6 సెం.మీ. దూరములో గల బిందువు వద్ద ఖండించుకొనునట్లు ఒక జత స్పర్శరేఖలను గీయండి. .
సాధన.

నిర్మాణ క్రమము :
i) 0 కేంద్రముగా 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీచితిని.
ii) 0 నుండి 6.సెం.మీ. దూరంలో P గుర్తించి, OP కలిపితిని.
iii)OPను లంబ సమద్విఖండన చేయగా అది OPని M వద్ద ఖండించును. M కేంద్రంగా MO లేదా MP వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీచితిని.
iv)వృత్తాల ఖండన బిందువుల నుండి స్పర్శరేఖలు గీచితిని.

ప్రశ్న 11.
కింది పటం ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో PQ = 12 సెం.మీ., PR = 5 సెం.మీ., వ్యాసం QR అయిన షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. (ఇక్కడ TT = 22 గా తీసుకొనుము)

సాధన.
ఇక్కడ ‘PQ’ = 12 సెం.మీ.
‘PR’ = 5 సెం.మీ.
‘QR’ వ్యాసము
PQOR ఒక అర్ధవృత్తము అర్ధవృత్తములో కోణము = 90°.
∴ ∆QPR = 90°
∴ ∆POR ఒక లంబకోణ త్రిభుజము .
∴ ∆PQR వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) bh
= \(\frac{1}{2}\) × PQ × PR
= \(\frac{1}{2}\) × 12 × 5 = 30 సెం.మీ² …………..(1)
షేడ్ చేయబడిన వృత్తఖండ వైశాల్యం = అర్ధవృత్త వైశాల్యం – ∆PQR వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) πr² – 30 సెం.మీ.² . ………(2)
∆PQR లో QR² = PQ² + PR²2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
QR²2 = 12² + 5²
= 144 + 25 = 169 = 13²
∴ QR = 13
వృత్త వ్యాసార్ధము (r) = QO = \(\frac{\mathrm{QR}}{2}\)
= \(\frac{13}{2}\) = 6.5 సెం.మీ.
అర్ధవృత్త వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) πr²
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{13}{2}\) × \(\frac{13}{2}\)
= 66.39 సెం.మీ.² ………..(3)
(1) మరియు (3) లను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
∴ షేడ్ చేయబడిన వృత్తఖండ వైశాల్యం
= (66.39 – 30)
= 36.39 సెం.మీ.²

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 8th Lesson Important Questions and Answers సరూప త్రిభుజాలు

ప్రశ్న 1.
ఒక చతురస్రం దీర్ఘ చతురస్రానికి సరూపాలా ? సమర్థించండి.
సాధన.
ఒక చదరము మరియు ఒక దీర్ఘచతురస్రమునందు అనురూపకోణాలు సమానముగా ఉండును. కాని అనురూప భుజాలు అనుపాతములో ఉండవు.

∴ ఒక చదరము మరియు ఒక దీర్ఘచతురస్రములు సరూపములు కావు.

ప్రశ్న 2.
∆ABC లో LM//BC మరియు \(\frac{A L}{L B}=\frac{2}{3}\) AM = 5 సెం.మీ. అయిన AC ఎంత?
సాధన.

\(\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LB}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}}\)
\(\frac{2}{3}=\frac{5}{M C}\)
MC = \(\frac{15}{2}\) = 7.5 సెం.మీ.
AC = AM + MC = 5 + 7.5 = 12.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
∆ABC త్రిభుజములో DE || BC మరియు AC = 5.6 సెం.మీ., AE = 2.1 సెం.మీ. అయిన AD : DB ను కనుగొనుము. June 2018
సాధన.

∆ABC లో DE || BC,
AE = 2.1 సెం.మీ.
EC = AC – AE
= 5.6 – 2.1 BL
= 3.5 సెం.మీ.
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం ప్రకారం AD : DB = AE : EC
= 2.1 : 3.5 = 3 : 5

ప్రశ్న 4.
ఇవ్వబడిన పటంలో \(\overline{\mathbf{A B}}\) || \(\overline{\mathbf{Q R}}\) మరియు PA= 2 సెం.మీ., AQ = 3 సెం.మీ. అయిన ∆POR మరియు ∆PAB ల యొక్క వైశాల్యాల నిష్పత్తి కనుగొనండి.
సాధన.

దత్తాంశము AB || QR; PA = 2, AQ = 3
∆POR ~ ∆PAB
∴ PQ = 2 + 3 = 5
∴ సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి, వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము.

ప్రశ్న 5.

పై పటంలో ∠BAC = ∠CED అయితే ‘x’ యొక్క విలువ 3 అగునో, కాదో సరిచూడుము.
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం, ∆ABC మరియు ∆ECD లో
∠A = ∠E
∠ACB = ∠ECD [∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠B = ∠D[∵ ఉమ్మడి కోణం ]
∴ ∆ABC ~ ∆EDC
⇒ \(\frac{A B}{E D}=\frac{B C}{D C}=\frac{A C}{E C}\)
⇒ \(\frac{36}{12}=\frac{9}{x}\)
⇒ 36x = 108
⇒ x = \(\frac{108}{36}\) = 3.

ప్రశ్న 6.
7.2 సెం.మీ. పొడవు గల ఒక రేఖాఖండమును గీచి దానిని 5 : 3 నిష్పత్తిలో (వృత్తలేఖని, స్కేలును ఉపయోగించి) విభజించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 7.
4.2 సెం.మీ., 5.1 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ. కొలతలతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. దీనితో సరూపంగా ఉంటూ ఈ త్రిభుజ భుజాలకు 2/3 రెట్లు అనురూప భుజాలు గల కొలతలతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణం :
1. AB = 4.2 cm, BC = 5.1 cm, CA = 6 cm కొలతలతో ∆ABC నిర్మించితిని.
2. BCకు శీర్షం A ఉన్నవైపుకు వ్యతిరేక దిశలో అల్పకోణం చేయునట్లు BX కిరణమును గీచితిని.
3. BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ అగునట్లు BX కిరణముపై B₁, B₂, B₃ అనే మూడు బిందువులు గుర్తించితిని.
4. B₃, C లను కలిపితిని. B₃C కి సమాంతరంగా ఉండునట్లు B₂C¹ ను BC పై గీచితిని.
5. C¹ నుండి CA కి సమాంతరంగా AB మీదకు ఒక రేఖ గీచితిని. అది AB ని A¹ వద్ద ఖండించినది.
6. ∆A¹BC¹ కావలసిన త్రిభుజము.

ప్రశ్న 8.
QR = 5.5 సెం.మీ., ∠Q = 65°, PQ = 6 సెం.మీ. కొలతలు గల త్రిభుజం PQR ని నిర్మించి, దీనితో సరూపంగా వుంటూ, త్రిభుజ భుజాలకు 2/3 రెట్లు అనురూప భుజాల కొలతలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణక్రమము :
1) QR = 5.5 సెం.మీ., ∠Q = 65°, PQ = 6 సెం.మీ., కొలతలు గల ∆PQR నిర్మించితిని…
2) Q వద్ద ∠RQX అల్పకోణ కిరణం గీచితిని.
3) \(\overline{\mathrm{QX}}\) పై QS₁ = S₁S₂ = S₂S₃ అగునట్లు S₁, S₂, S₃ గుర్తించితిని.
4) S₃ R కలిపితిని.
5) S₃ R కు సమాంతరంగా S₂ R’ మరియు PR కు సమాంతరంగా P’R’ గీచితిని. .
∴ ∆POR ~ ∆P’QR’.

ప్రశ్న 9.
(i) ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతాన్ని ప్రవచించి, నిరూపించండి.
(ii) పై సిద్దాంతాన్ని ఉపయోగించి క్రింది పటంలో ఇవ్వబడిన AE పొడవును కనుగొనండి. AD = 1.8 సెం.మీ., BD = 5.4 సెం.మీ., EC = 7.2 సెం.మీ.
సాధన.

ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను వేరు వేరు బిందువులలో ఖండించిన, ఆ మిగిలిన రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజింపబడతాయి.
దత్తాంశము : ∆ABC లో DE || BC, DE రేఖ AB, AC భుజాలను వరుసగా D మరియు E వద్ద ఖండించును.
సారాంశము : \(\)
నిర్మాణము : B; E మరియు C, D లను కలుపుము మరియు DM ⊥ AC, EN ⊥ AB లను గీయుము.
ఉపపత్తి : ∆ADE వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × AD × EN
∆BDE వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × BD × EN

కావున

మరల ∆ADE వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × AE × DM
∆CDE వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × EC × DM
= \(\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{AE} \times \mathrm{DM}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{EC} \times \mathrm{DM}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) …………….. (2)
∆BDE, ∆CDE లు ఒకే భూమి DE మరియు సమాంతర రేఖలు BC మరియు DE ల మధ్య ఉన్నట్లు గమనించవచ్చును.
కావున ∆BDE వైశాల్యము = ∆CDE వైశాల్యము …………….. (3)
(1), (2), (3) ల నుండి \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) కావున సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

(ii)
AD = 1.8 cm, BD = 5.4 cm, EC = 7.2 cm
పై సిద్ధాంతమునుండి \(\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}\)
⇒ AE = \(\frac{(\mathrm{AD})(\mathrm{EC})}{\mathrm{BD}}=\frac{1.8 \times 7.2}{5.4}\) = 2.4
∴ AE = 2.4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 10.
4.3 సెం.మీ., 5.2 సెం.మీ. మరియు 6.5 సెం.మీ. భుజాలుగా కల్గిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించి, దానికి సరూపంగా ఉంటూ అనురూప భుజాలలో 3/5 భాగం కల్గిన వేరొక త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. …
సాధన.

నిర్మాణం :
1. AB = 4.3 సెం.మీ., BC = 5.2 సెం.మీ. , CA = 6.5 సెం.మీ. కొలతలతో AABC నిర్మించితిని.
2. BC కు శీర్షం A ఉన్నవైపుకు వ్యతిరేక దిశలో అల్పకోణం చేయునట్లు BX కిరణమును గీచితిని.
3. BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅ అగునట్లు BX కిరణముపై B₁, B₂, B₃, B₄, B₅. అనే ఐదు బిందువులు గుర్తించితిని.
4. B₅, C లను కలిపితిని: B₃C కి సమాంతరంగా ఉండునట్లు B, C’ను BC పై గీచితిని.
5. C’ నుండి CA కి సమాంతరంగా AB మీదకు ఒక రేఖ గీచితిని అది ABని A’ వద్ద ఖండించినది.
6. ∆A’BC’ కావలసిన త్రిభుజము.

ప్రశ్న 11.
AB = 4 సెం.మీ., BC = 6 సెం.మీ. మరియు AC = 4 సెం.మీ. కొలతలు గల త్రిభుజం ABC, నిర్మించుము. ఈ త్రిభుజానికి సరూపంగా ఉంటూ, ఈ త్రిభుజ భుజాలకు 3/4 రెట్లు అనురూప భుజాల కొలతలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 7th Lesson రేఖాగణితం will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 7th Lesson Important Questions and Answers రేఖాగణితం

ప్రశ్న 1.
(2, 0) మరియు (0, 2) బిందువులను కలుపు రేఖా
ఖండాన్ని 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకా . లను కనుగొనండి.
సాధన.
x₁ = 2 ; x₂ = 0; y₁ = 0; y₂ = 2
1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందు నిరూపకాలు (లేదా) మధ్య బిందువు నిరూపకాలు
= \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right)\)
= (1, 1).

ప్రశ్న 2.
(a cos θ, 0) మరియు (0, a sin θ) బిందువుల మధ్య దూరము కనుగొనుము.
సాధన.
(a cos θ, 0) మరియు (0, a sin θ) బిందువుల మధ్య దూరం (x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరమునకు సూత్రము :
= (x, – X2)2 + (y! – y )2 నందు
x₁ = a cos θ, y₁ = 0;
x₂ = 0, y₂ = a sin θ ప్రతిక్షేపించగా
పై బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{(a \cos \theta-0)^{2}+(0-a \sin \theta)^{2}}\)
= \(\sqrt{\mathrm{a}^{2} \cos ^{2} \theta+\dot{\mathrm{a}}^{2} \sin ^{2} \theta}\)
= \(\sqrt{a^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)}\)
= \(\sqrt{a^{2}(1)}=\sqrt{a^{2}}\) = a
∴ వాని మధ్య దూరం = a యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
A(4, 0), B(0, y) మరియు AB = 5 అయిన లకు సాధ్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
A(4, 0); B(0 y); AB = 5 .
\(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\) = 5
\(\sqrt{16+y^{2}}\) = 5
√16 + y² = 5
16 + y² = 25
y² = 25 – 16 = 9
y = ± √9 = ± 3
yకు సాధ్యపడు విలువలు 3 లేదా – 3.

ప్రశ్న 4.
(3, 2) కేంద్రంగా ఉంటూ (4, – 1) బిందువు గుండా పోయే వృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.

వ్యాసార్ధం = AB
బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

వ్యాసార్థం ‘r’ = \(\sqrt{(4-3)^{2}+(-1-2)^{2}}\)

= \(\sqrt{(1)^{2}+(-3)^{2}}\)

= \(\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\) యూ.

ప్రశ్న 5.
∆ABC త్రిభుజము యొక్క మూడు శీర్షాలు A(3, – 2), B(- 5, 4) మరియు C(2, – 2) అయిన దాని గురుత్వ కేంద్రము గురించి ఏమి పరిశీలించితివి?
సాధన.
త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{3+(-5)+2}{3}, \frac{-2+4+(-2)}{3}\right)\) = (0,0)
గురుత్వ కేంద్రము మూలబిందువు అని పరిశీలించితిని.

ప్రశ్న 6.
(6, 2), (0, 0) మరియు (4, – 5) శీర్ష బిందువులుగా కల్గిన త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.

త్రిభుజ శీర్షబిందువులు = (6, 2) (0, 0) మరియు (4, – 5)
గురుత్వ కేంద్రము = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6+0+4}{3}, \frac{2+0-5}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-3}{3}\right)=\left(\frac{10}{3},-1\right)\)

ప్రశ్న 7.
(3, 2) బిందువు కేంద్రంగా (-5, 6) బిందువు గుండా పోయే వృత్తవ్యాసార్ధమును కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం, వృత్తం A (3, 2) బిందువు కేంద్రంగా B (- 5, 6) బిందువు గుండా పోతుంది.

వ్యాసార్ధం = AB [∵ వృత్త కేంద్రం నుండి బిందువుకు గల దూరం]
దూరం = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2} \cdot-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
వ్యాసార్ధం ‘r’ = \(\sqrt{(-5-3)^{2}+(6-2)^{2}}\)
= √64 + 16 = √80
= √16 x 5 = 4√5 యూ.

ప్రశ్న 8.
(0, – sin x) మరియు (- cos x, 0) ల మధ్య దూరం కనుగొనండి.
సాధన.
(0, – sin x) మరియు (- cos x, 0) ల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-\cos x-0)^{2}+(0+\sin x)^{2}}\)
= \(\sqrt{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}\) = √1 = 1 యూ.

ప్రశ్న 9.
బిందువులు (0, – 3) మరియు (-8, 0) లు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయో తెల్పండి.
సాధన.
(0, – 3) బిందువు నందు X నిరూపకం = 0 కావున ఈ బిందువు Y – అక్షంపై ఉండును. మరియు ఈ బిందువు యొక్క Y నిరూపకం – 3 అనగా ఋణాత్మకం కావున OY పై ఉంటుంది. అదే విధంగా బిందువు (- 8, 0) నందు Y నిరూపకం విలువ ‘O’ కావున ఇది X – అక్షంపై ఉండును. మరియు దీనియొక్క X నిరూపకం – 8 అనగా ఋణాత్మకం కావున OX పై ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
(7, 2), (5, 1) మరియు (3, k) బిందువులు సరేఖీయాలైతే k విలువెంత ?
సాధన.
బిందువులు సరేఖీయాలైన ఆ బిందువులతో ఏర్పడు
త్రిభుజ వైశాల్యం = 0
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) |7(1 – k) + 5(k – 2) + 3(2 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) | – 2k| = 0
∴ k = 0

ప్రశ్న 11.
(- 4, 4), (- 2, 2) మరియు (6, – 6) బిందువులను శీర్షములుగా కలిగిన త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రమును కనుక్కోండి.
సాధన.
త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\)= (0, 0).

ప్రశ్న 12.
బిందువులు (x, 1) మరియు (- 1, 5) ల మధ్య దూరము ‘5’ యూనిట్లు అయిన ‘x’ విలువ ఎంత ?
సాధన.
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right)^{2}}\)
(x, 1), (- 1, 5) బిందువుల మధ్య దూరం = 5
\(\sqrt{[x-(-1)]^{2}+(1-5)^{2}}\) = 5
\(\sqrt{(x+1)^{2}+(-4)^{2}}\) = 5
x² + 1 + 2x + 16 = 25
x² + 2x – 8 = 0
(x + 4) (x – 2) = 0
x = – 4 లేదా x = 2.

ప్రశ్న 13.
5 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 13 సెం.మీ. భుజములుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యమును హెరాన్ సూత్రము ద్వారా, కనుగొనుము.
సాధన.
a = 5 సెం.మీ., b = 12 సెం.మీ., c = 13 సెం.మీ. అనుకొనుము
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+12+13}{2}\) = 15
త్రిభుజ వైశాల్యం (∆) (∆) = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}\)
= 30 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 14.
గ్రాఫ్ ను పరిశీలించి, క్రింది ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి.

(i) A మరియు B బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి.
(ii) \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) సరళరేఖ యొక్క వాలు కనుగొనండి.
సాధన.
(i) ‘A’ బిందు నిరూపకము = (0, 2)
‘B’ బిందు నిరూపకము = (- 3, 0)

(ii) వాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-2}{-3-0}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 15.
(1, 5), (2, 5) మరియు (-2, – 1) బిందువులు సరేఖీయాలు అగునో, కావో కనుగొనండి.
సాధన.
A(1, 5), B(2, 5), C(- 2, – 1)
మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{(2-1)^{2}+(5-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+0}\) = 1

BC = \(\sqrt{(-2-2)^{2}+(-1-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13}\)

CA = \(\sqrt{(1+2)^{2}+(5+1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3 \sqrt{5}\)

ప్రశ్న 16.
AB ఒక వృత్త వ్యాసము. కేంద్రము (2, -3) మరియు B (1, 4) అయితే, A నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన.

మదబిందువు = \(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\)
\(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}\) = a… (1)
\(\frac{x+1}{2}\) = 2
x + 1 = 4
x = 4 – 1 = 3
x = 3

\(\frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\) = b …………. (2)
\(\frac{y+4}{2}\) = – 3
y + 4 = – 6
y = – 10
∴ A = 3, – 10.

ప్రశ్న 17.
ఈ క్రింద ఇవ్వబడిన బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయా ? కాదా ? సరిచూడండి. (1, – 1), (4, 1), (- 2, -3 )
సాధన.
త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ‘సున్న అయితే ఇవ్వబడిన మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి. ఇవ్వబడిన బిందువులు (1, – 1), (4, 1), (- 2, – 3)
త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ∆ = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(1 + 3) + 4(- 3 + 1) – 2 (-1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |4 – 8 + 4|
= \(\frac{1}{2}\) |8 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |0| = 0
కావున, మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 18.
(3, 0), (6, 4) మరియు (-1, 3) బిందువులు లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజ శీర్షాలు అవుతాయో లేదో సరి చూడండి. త్రిభుజ వైశాల్యం కూడా కనుగొనుము.
సాధన.
A(3, 0), B(6, 4) బిందువుల మధ్య దూరం

AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(6-3)^{2}+(4-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}\) = 5 యూ.

B(6, 4), C(- 1, 3) బిందువుల మధ్య దూరం
BC = \(\sqrt{(-1-6)^{2}+(3-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-7)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{50}\) యూ.

C(- 1, 3), A(3, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
CA = \(\sqrt{[3-(-1)]^{2}+(0-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}\) = 5 యూ.
∴ AB² = 25, BC² = 50, CA² = 25,
BC² = AB² + CA² మరియు AB = CA
∴ ∆ ABC లంబకోణ సమద్విబాహు, త్రిభుజం అవుతుంది.
∴ ∆ ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × AB × AC
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 5 = 12.5 చ. యూ.

ప్రశ్న 19.
(2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, – 1) బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యమును హెరాన్ సూత్రమును ఉపయోగించి కనుగొనుము.
సాధన.
(2, 3) (- 1, 3) మరియు (2, – 1) బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను హెరాన్ సూత్రంను ఉపయోగించి కనుగొనుట.
పటంలో చూపినట్లు ∆ABC యొక్క శీర్షాల నిరూపకాలు A(2, 3) ; B(- 1, 3) మరియు C(2, – 1) అనుకుందాం.

∴ ఆ త్రిభుజ భుజాల పొడవులు AB = c, BC = a, CA = b తో సూచిస్తాం.
హెరాన్ సూత్ర పద్ధతిన త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ఇక్కడ s = \(\frac{a+b+c}{2}\) కావున మనం భుజాల పొడవులు కనుగొందాం.

భుజాల పొడవులను \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) సూత్ర సహాయాన కనుగొందాం.
∴ AB = c = (2, 3) మరియు (- 1, 3) బిందువుల మధ్య దూరం.
c = \(\sqrt{(2-(-1))^{2}+(3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2+1)^{2}+0^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+0}=\sqrt{3^{2}}\) = 3

మరియు BC = a = (- 1, 3) మరియు (2, – 1) ల మధ్య దూరం
a = \(\sqrt{(-1-2)^{2}+[3-(-1)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(3+1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5

మరియు CA = b = (2, – 1) మరియు (2, 3) బిందువుల మధ్య దూరం b = \(\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}\) = 4
∴ a = 5, b = 4, c = 3
⇒ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+4+3}{2}=\frac{12}{2}\) = 6
∴ ∆ABC వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6(1)(2)(3)}=\sqrt{6 \times 6}\) = 6 చ||యూ.
∴ ఇచ్చిన త్రిభుజ వైశాల్యము = 6 చ||యూ.

ప్రశ్న 20.
బిందువులు A(6, 1), B (8, 2), C(9, 4) మరియు D(p, 3) లు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజ శీర్యాలయిన,
(i) p యొక్క విలువను కనుగొనుము.
(ii) ▱ ABCD వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
(i) A, B, C, D లు సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు
కావున AC మధ్య బిందువు = BD మధ్య బిందువు

A(6, 1) = (x₁, y₁); C(9, 4) = (x₂, y₂)
AC మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

B(8, 2) = (x₁, y₁); D(p, 3) = (x₂, y₂)
BD మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
∴ \(\frac{8+p}{2}=\frac{15}{2}\)
∴ p = 7.

(ii) ∆ABC వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |6(2 – 4) + 8(4 – 1) + 9(1 – 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 12 + 24 – 9|
= \(\frac{1}{2}\) |3| = \(\frac{3}{2}\)
∴ సమాంతర చతుర్భుజం ABCD వైశాల్యము = 2 × ∆ABC వైశాల్యము
= 2 × \(\frac{3}{2}\) = 3 చ.యూ.

ప్రశ్న 21.
‘k’ యొక్క ఏ విలువకు బిందువులు (3k – 1, k – 2), (k, k – 7) మరియు (k – 1, – k – 2) లు సరేఖీయాలగును?
సాధన.
దత్త బిందువులు సరేఖీయాలు. . అనగా A (3k – 1, k – 2), B (k, k – 7) మరియు C (k – 1, – k – 2) బిందువులు ABC రేఖపై ఉండును.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) ల వాలులు సమానము. (∵ అవి సరేఖీయాలు)
వాలు = y – నిరూపకాల భేదం / x – నిరూపకాల భేదం
= \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

\(\overline{\mathrm{AB}}\) వాలు = \(\frac{(\mathrm{k}-7)-(\mathrm{k}-2)}{\mathrm{k}-(3 \mathrm{k}-1)}\)
= \(\frac{k-7-k+2}{k-3 k+1}\)
= \(\frac{-5}{1-2 k}\) ………………(1)

A(3k – 1, k – 2), C(k – 1, – k – 2)
\(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు = \(\frac{(-k-2)-(k-2)}{(k-1)-(3 k-1)}\)
= \(\frac{-k-2-k+2}{k-1-3 k+1}\)
= \(\frac{-2 \mathrm{k}}{-2 \mathrm{k}}\) = 1
(1) = (2)
⇒ \(\frac{-5}{1-2 k}\) = 1
⇒ 1 – 2k = – 5
⇒ 1 + 5 = 2k
⇒ 2k = 6
∴ k = 3

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 6th Lesson శ్రేఢులు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 6th Lesson Important Questions and Answers శ్రేఢులు

ప్రశ్న 1.
– 25 అనునది 5, 3, 1, …… శ్రేణిలోని పదమేనా ? పరిశీలించండి. B
సాధన.
ఇచ్చట 5, 3, 1, …… అనునది ఒక A. P. (అంకశ్రేణి)
దీనియందు a = 5, d = a₂ – a₁ = 3 – 5 = – 2
పై శ్రేఢి యందు – 25 అనునది n వ పదం అనుకుందాం.
∴ a_n = a + (n – 1)d నందు a, d, a_n విలువలు ప్రతిక్షేపించగా
– 25 = 5 + (n – 1)(- 2)
– 25 = 5 – 2n + 2
– 25 – 5 – 2 = – 2n
– 32 = – 2n
⇒ n = 16 అనగా పై శ్రేణిలో – 25 అనునది 16 వ పదంగా ఉండును.

ప్రశ్న 2.
2, 2√2, 4, ….. గుణశ్రేణిలో సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి = 2, 2√2, 4, ……

సామాన్య నిష్పత్తి (r) = రెండవ పదం / మొదటి పదం
= \(\frac{2 \sqrt{2}}{2}\) = √2
∴ ఇచ్చిన శ్రేఢియందు సామాన్య నిష్పత్తి (r) = √2

ప్రశ్న 3.
1 మరియు 100 మధ్య గల 3 యొక్క గుణిజాల మొత్తం 1683 అని చూపుము.
సాధన.
1 మరియు 100 మధ్యగల 3 యొక్క గుణిజాలు = 3, 6, 9, 12, ….. 99 అనునది ఒక A.P.
దీని యందు a = 3,
సామాన్య భేదం (d) = 6 – 3 = 3
మరియు n వ పదం = 99 అనుకుందాం.
∴ a_n = a + (n – 1) d = 99 నందు
a = 3; d = 3 ప్రతిక్షేపించగా
= 3 + (n – 1) (3) = 99
⇒ (n – 1) (3) = 99 – 3 = 96.
∴ (n – 1) = \(\frac{96}{3}\) = 32
∴ n = 32 + 1 = 33
∴ 1 మరియు 100 ల మధ్య 3 యొక్క గుణిజాలు 33 కలవు.
∴ 3, 6, 9, 12, …… 99 ల మొత్తము = S_n = \(\frac{n}{2}\) (a + l)
= \(\frac{33}{2}\) (3 + 99)
= \(\frac{33 \times 102}{2}\)
= 33 × 51 = 1683
∴ 1 మరియు 100 ల మధ్య గల 3 యొక్క గుణిజాల మొత్తం = 1683.

ప్రశ్న 4.
117, 104, 91, 78, ……. అంకశ్రేణి యొక్క 8వ పదము కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణిలో a₁ = 117, a₂ = 104
సామాన్య భేదము d = a₂ – a₁
= 104 – 117 = – 13
8వ పదము t₈ = a₁ + 7d
= 117 + 7(- 13)
= 117 – 91 = 26

ప్రశ్న 5.
(x – y), (x + y), (x + 3y), ………… అంకశ్రేణిలో సామాన్యభేదం ఎంత ?
సాధన.
అంకశ్రేఢి = (x-y), (x + y), (x + 3y)
సామాన్యభేదం = వరుసపదాల భేదం
= (x + y) – (x + y)
= x + y – x + y = 2y
∴ అంకశ్రేణి సామాన్యభేదం = 2y.

ప్రశ్న 6.
\(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}\), ……………. పదాలు గుణశ్రేణిలో వున్నాయని ఏ విధంగా సమర్థిస్తారు ?
సాధన.
\(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}\),, ………….. లోని పదాలన్నీ శూన్యేతరాలు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{16} \div \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{1}{64} \div \frac{1}{16}=\frac{1}{4}\)
అన్ని సందరాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{1}{4}\) కావున ఇది గుణ శ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
a_n అనేది అంకశ్రేణిలో n వ పదం. a₁ + a₂ + a₃ = 102 మరియు a₁ = 15 అయినa ను కనుగొనుము ?
సాధన.
a₁ + a₂+ a₃ = 102, a = 15
= (a) + (a + d) + (a + 2d) = 102
= 3a + 3d = 102
3(15) + 3d = 102
3d = 102 – 45 = 57
d = \(\frac{57}{3}\) = 19
∴ 10వ పదం a₁₀ = a + 9d
= 15 + 9(19)
= 15 + 171 = 186.

ప్రశ్న 8.
3 చే భాగించబడే మూడంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ?
సాధన.
3 చే భాగించబడే మూడంకెల సంఖ్యల జాబితా : 102, 105, 108, ……. 999
ఇది ఒక అంకశ్రేణి, ఇక్కడ a = 102, d = 3 మరియు a_n = 999.
a_n = a + (n – 1) d = 999
⇒ 102 + (n – 1) 3 = 999
⇒ 102 + 3n – 3 = 999
⇒ 3n + 99 = 999
⇒ 3n = 999 – 99 = 900
900 – 300
∴ n = 3
∴ 3 చే భాగించబడే మూడంకెల సంఖ్యలు 300 కలవు.

ప్రశ్న 9.
అంకశ్రేణిలోని మొదటి పదము 10 మరియు మొదటి 15 పదాల మొత్తం 675 అయిన అందులో 25వ పదము కనుగొనండి.
సాధన.
అంకశ్రేణిలో మొదటి పదము a = 10
సామాన్య భేదము = d అనుకొనుము
మొదటి 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 675
∴ \(\frac{15}{2}\) [2a + 14d] = 675
⇒ [2 × 10 + 144] =\(\frac{675 \times 2}{15}\) = 90
⇒ 14d = 90 – 20 = 70
⇒ d = \(\frac{70}{14}\) = 5
d = 5
25వ పదము a₂₅ = a + 24d
= 10 + 24 × 5
= 10 + 120 = 130.

ప్రశ్న 10.
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క మొదటి పదము 50 మరియు 4వ పదము 1350 అయిన 5వ పదము ఎంత ?
సాధన.
గుణశ్రేణిలో మొదటి పదం ‘a’, సామాన్య నిష్పత్తి ‘r’ అనుకొనుము.
t₁ = a = 50 అని ఇవ్వబడింది.
4వ పదం t₄ = ar³ = 1350
⇒ 50.r³ = 1350
⇒ r³ = \(\frac{1350}{50}\) = 27
∴ r = 3
5వ పదం t₅ = ar⁴
= 50(3)⁴ = 50 (81) = 4050.

ప్రశ్న 11.
-4, – 8, – 16, …. అనే గుణశ్రేణికి – 256 చెందునో, లేదో సరిచూడండి.
సాధన.
గుణశ్రేణి = – 4, – 8, – 16, ………………
∴ a = – 4, r = \(\frac{-8}{-4}\) = 2
∴ t_n = ar^{n – 1} = – 256
⇒ – 4 (2)^{n – 1} = – 256
⇒ 2^{n – 1} = \(\frac{-256}{-4}\) = 64
⇒ 2^{n – 1} = 64 = 2⁶
⇒ n – 1 = 6.
⇒ n = 6 + 1 = 7
∴ దత్తగుణ శ్రేణిలో 7వ పదము – 256 అవుతుంది.

ప్రశ్న 12.
ఒక అంకశ్రేణిలోని మొదటి 7 పదాల మొత్తము, మొదటి 15 పదాల మొత్తము వరుపగా 98 మరియు 390 అయిన మొదటి 10 పదముల మొత్తమును కనుగొనండి.
సాధన.
AP లో మొదటి 7 పదాల మొత్తం = 98
\(\frac{7}{2}\)[22 + (7 – 1)d] = 98
2a + 6d = 98 × \(\frac{2}{7}\)
2a + 6d = 28
a + 3d = 14 …………..(1)
AP లో మొదటి 15 పదాల మొత్తం = 390
\(\frac{15}{2}\) [2a + (15 – 1)d] = 390
2a + 14d = 390 × \(\frac{2}{15}\)
2a + 14d = 52
a + 7d = 26 …………(2)
(1), (2) ల సాధించగా, a = 5 మరియు d = 3
∴ AP లో మొదటి 10 పదాల మొత్తం = \(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1)d]
= 5[2(5) + 9(3)]
= 5[10 +27]
= 5 × 37 = 185.

ప్రశ్న 13.
22, 15, 8, 1, ….. అంకశ్రేణిలో – 321 ఒక పదంగా వుంటుందో లేదో పరిశీలించండి.
సాధన.
22, 15, 8, 1, ………. అను అంకశ్రేణిలో a = 22, d = – 7
అంకశ్రేణిలో 1వ పదం = a_n = a + (n- 1)d
ఈ అంకశ్రేణిలో 1వ పదం = – 321 అనుకొనుము.
⇒ a + (n – 1)d = – 321
⇒ 22 + (n- 1) (- 7) = – 321
⇒ (n – 1) (- 7) = – 343
⇒ n – 1 = – 343 = 49
⇒ n = 49 + 1 = 50 అనగా ఇవ్వబడిన అంకశ్రేణిలో – 321 అనేది 50వ పదముగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 14.
ఒక వ్యక్తి 10 సంవత్సరములలో పొదుపు చేసిన సొమ్ము ₹ 16,500 ప్రతి సంవత్సరము అతను చేయు పొదుపు సొమ్మును గత సంవత్సరం కంటే ₹ 100 పెంచుతూ పోయిన, అతను మొదటి సంవత్సరములో చేసిన పొదుపు సొమ్ము ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం S₁₀ = ₹ 16,500; d = ₹ 100; n = 10; a = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
16,500 = \(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1) 100]
16,500 = 5(2a + 900)
\(\frac{16500}{5}\) =2a + 900
3300 = 2a + 900
2a + 900 = 3300
2a = 2400
a = \(\frac{2400}{2}\) = 1200
అతను మొదటి సంవత్సరములో చేసిన పొదుపు = ₹ 1200.

ప్రశ్న 15.
ఒక అంకశ్రేణిలో 21 పదాలు కలవు. దానిలో 10, 11, 12వ పదాల మొత్తం 129. చివరి మూడు పదాల మొత్తం 237 అయిన ఆ అంకశ్రేణిని కనుగొనండి.
సాధన.
(a + 9d) + (a + 10d) + (a + 11d) = 129
3a + 300 = 129
a + 10d = 43 …….. (1)
(a + 18d) + (a + 19d) + (a + 20d) = 237
3a + 574 = 237
a + 19d = 79 ……… (2)

∴ d = 4
‘d’ విలువను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 10(4) = 43
a = 43 – 40 = 3
∴ a = 3 5
∴ కావలసిన అంకశ్రేణి 3, 7, 11, 15, 19, ……

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 5th Lesson Important Questions and Answers వర్గ సమీకరణాలు

ప్రశ్న 1.
b² – 4ac ≥ 0 అయినపుడు ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలు వ్రాయండి.
సాధన.
b² – 4ac ≥ 0 అయినపుడు
ax² + bx + c = 0 యొక్క మొదటి మూలం = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు రెండవ మూలం \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

ప్రశ్న 2.
రెండు పూరక కోణములలో పెద్ద కోణము చిన్న కోణము కన్నా 18°ఎక్కువ అయిన ఆ కోణములను కనుగొనుము.
సాధన.
చిన్న కోణము = x°
పెద్ద కోణము = y° అనుకొనుము
ఈ రెండు కోణాలు పూరక కోణాలు.
కావున x + y = 90° …………. (1)
పెద్ద కోణం, చిన్న కోణం కంటే 18° ఎక్కువ
కావున y_x = 18°………….. (2)
(1), (2) లను సాధించి x = 36°; y = 54°.

ప్రశ్న 3.
2x² – 4x + 3 = 0 అనే వర్గ సమీకరణము యొక్క విచక్షణి ఎంత ?
సాధన.
ax² + bx + c = 0 అనే వర్గ సమీకరణము యొక్క విచక్షణి = b² – 4ac
దత్తవర్గ సమీకరణము = 2x² – 4x + 3 = 0
దత్తవర్గ సమీకరణాన్ని వర్గ సమీకరణంతో పోల్చగా, a = 2, b = – 4, c = 3
∴ విచక్షణి = b² – 4ac = (- 4)² – 4(2) (3)
= 16 – 24 = – 8
∴ విచక్షణి = – 8..

ప్రశ్న 4.
x + \(\frac{6}{x}\) = 7, x = 0 సమీకరణం మూలాలు కనుగొనండి.
సాధన.
x + \(\frac{6}{x}\) = 7
⇒ \(\frac{x^{2}+6}{x}\) = 7
⇒ x² – 7x + 6 = 0 .
⇒ (x – 6) (x – 1) = 0
x = 6 లేదా 1
∴ మూలములు = 6, 1.

ప్రశ్న 5.
120 చ.ప్ర.ల వైశాల్యం గల దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క పొడవు, దాని వెడల్పు కన్నా 2 ప్రమాణాలు ఎక్కువైన దాని పొడవును కనుగొనండి.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రం వెడల్పు = x
పొడవు = x + 2
వైశాల్యం = 120 చదరపు ప్రమాణాలు
x(x + 2) = 120
x² + 2x – 120 = 0
(x + 12) (x – 10) = 0
x = – 12 లేదా x = 10
వెడల్పు ఋణాత్మకంగా ఉండదు. కావున దీర్ఘచతురస్రం వెడల్పు (x) = 10 ప్రమాణాలు
పొడవు = x + 2 = 12 ప్రమాణాలు.

ప్రశ్న 6.
రెండు సంఖ్యల మధ్య భేదము 4 మరియు ఆ సంఖ్యల లబ్దము 192 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్యను ‘x’ అనుకొనుము.
సంఖ్యల భేదము 4 కనుక చిన్న సంఖ్య = (x – 4)
వీటి లబ్ధము = x(x – 4)
లెక్క ప్రకారం లబ్దము = 192
∴ x(x – 4) = 192
⇒ x2 – 4x – 192 = 0
⇒ x2 – 16x + 12x – 192 = 0
⇒ x(x – 16) + 12(x – 16) = 0
⇒ (x – 16)(x + 12) = 0
⇒ x = 16 or x = – 12
x = 16 అయిన x – 4 = 12
అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు 16 మరియు 12.
x = – 12 అయిన x – 4 = -16
అప్పుడు ఆ సంఖ్యలు – 12 మరియు – 16.

ప్రశ్న 7.
రెండు సంపూరక కోణాలలో పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 58° ఎక్కువ. అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
కావలసిన సంపూరక కోణాలు x మరియు y అనుకొనుము.
∴ x + y = 180° …………….(1)
పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 58° ఎక్కువ.
∴ x – y = 58° ……………….(2)

∴ x = \(\frac{238}{2}\) = 119°
119° + y = 180°
∴ y = 180° – 119° = 61°

ప్రశ్న 8.
(3x – 2)² – 4(3x – 2) + 3 = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన.
(3x – 2)² – 4(3x -2) + 3 = 0.
9x² + 4 – 12x – 12x + 8 + 3 = 0
9x² – 24x + 15 = 0
3x² – 8x + 5 = 0
3x² – 3x – 5x + 5 = 0
3x(x – 1) – 5 (x – 1) = 0
(x + 1) (3x – 5) = 0
x = 1 (లేదా) x = 1
∴ వర్గ సమీకరణ మూలాలు 1, \(\frac{5}{3}\).

ప్రశ్న 9.
3x² + 11x + 10 = 0 వర్గ సమీకరణమును వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుము.
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమీకరణము : 3x² + 11x + 10 = 0
ఇరువైపులా 3 చే భాగించగా
x² + \(\frac{11}{3}\) x + \(\frac{10}{3}\) = 0
x² + \(\frac{11}{3}\) x = – \(\frac{10}{3}\)
ఇరువైపులా (\(\frac{11}{6}\))² ను కూడగా
x² + \(\frac{11}{3}\) x + (\(\frac{11}{6}\))² = – \(\frac{10}{3}\) + (\(\frac{11}{6}\))²

(x + \(\frac{11}{6}\))² = – \(\frac{10}{3}\) + \(\frac{121}{36}\)
= \(\frac{-120+121}{36}\)

x + \(\frac{11}{6}\) = ± \(\sqrt{\frac{1}{36}}\)
x + \(\frac{11}{6}\) = ± \(\frac{1}{6}\)
x + \(\frac{11}{6}\) = \(\frac{1}{6}\) (లేదా) x + \(\frac{11}{6}\) = – \(\frac{1}{6}\)
x = \(\frac{1}{6}\) – \(\frac{11}{6}\) (లేదా) x = – \(\frac{1}{6}\) – \(\frac{11}{6}\)
x = \(\frac{-10}{6}\) (లేదా) x = \(-\frac{12}{6}\)
x = \(\frac{-5}{3}\) (లేదా) x = – 2.

ప్రశ్న 10.
9x² – 9x + 2 = 0 వర్గ సమీకరణాన్ని వర్గాన్ని పూర్తి చేయు పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం 9x² – 9x + 2 = 0
⇒ x² – x + \(\frac{2}{9}\) = 0
⇒ x² – x = – \(\frac{2}{9}\)
⇒ x² – 2 x \(\frac{1}{2}\) + (\(\frac{1}{2}\))² = – \(\frac{2}{9}\) + (\(\frac{1}{2}\))²
⇒ (x – \(\frac{1}{2}\))² = \(-\frac{2}{9}+\frac{1}{4}=\frac{-8+9}{36}=\frac{1}{36}\)
⇒ (x – \(\frac{1}{2}\))² = \(\frac{1}{36}\)
∴ x – \(\frac{1}{2}\) = ± \(\frac{1}{6}\)
∴ x = \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{1}{2}\) (లేదా) – \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{1}{2}\)
∴ x = \(\frac{1+3}{6}\) (లేదా) \(\frac{-1+3}{6}\)
∴ x = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) (లేదా) \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 4th Lesson Important Questions and Answers రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న 1.
x + 2y-3 = 0 మరియు 5x + ky + 7 = 0 సమీకరణాల .వ్యవస్థకు సాధన లేకుంటే ఓ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
x + 2y – 3 = 0
5x + ky + 7 = 0
a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ – 3
a₂ = 5, b₂ = k, c₂ = 7
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతకు సాధన లేకపోతే
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{2}{\mathrm{k}}\)
∴ k = 10
k = 10 అయినప్పుడు ఇచ్చిన పై సమీకరణాల వ్యవసకు సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 2.
2x + ky + 3 = 0, 4x + 6x – 5 = 0 సమీకరణాల జతకు, k యొక్క ఏ విలువకు అవి సమాంతర రేఖలు అవుతాయో కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి
a₁ = 2 b₁ = k c₁ = 3
a₂ = 4 b₂ = 6 c₂ = – 5
ఇచ్చిన సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు అయిన \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున \(\frac{2}{4}=\frac{k}{6}\)
∴ k = 3

ప్రశ్న 3.
2x – ky + 3 = 0, 4x + 6y-5 = 0 సమీకరణాల జత ‘k’ యొక్క ఏ విలువకు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుందో కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి ,
a₁ = 2 b₁ = – k c₁ = 3
a₂ = 4 b₂ = 6 c₂ = – 5
ఇచ్చిన సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు అయిన \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున, \(\frac{2}{4}=\frac{-k}{6} \neq \frac{3}{-5}\)
⇒ – 4k = 12
∴ k = – 3.

ప్రశ్న 4.
\(\) = 13 మరియు \(\) = – 2 (x ≠ 0, y ≠ 0) అనే సమీకరణాల వ్యవస్థను a, b చరరాశులతో కూడిన రేఖీయ సమీకరణాల జతగా మార్చండి.
సాధన.
సమీకరణాల వ్యవస్థ \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13 …………. (1)
\(\frac{5}{x}+\frac{4}{y}\) = – 2 …………….(2)
\(\frac{1}{x}\) = a, \(\frac{1}{y}\) = b అనుకొనుము.
∴ a, b చరరాశులతో కూడిన రేఖీయ సమీకరణాల జత = 2a + 3b = 13 మరియు
5a + 4b = – 2

ప్రశ్న 5.
గ్రాఫ్ లో చూపిన సరళరేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని రాయుము.
సాధన.

సరళరేఖా సమీకరణం = \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}\) = 1
⇒ \(\frac{2 x+y}{6}\) = 1
⇒ 2x + y = 6.

ప్రశ్న 6.
2x – 7y = 3; 4x + y = 21 రేఖీయ సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్దతిలో సాధించండి.
సాధన.
దత్త సమీకరణాలు
2x – 7y = 3 ………….(1)
4x + y = 21 …………..(2)
రెండవ సమీకరణం నుండి y = 21 – 4x ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా
2x – 7(21 – 4x) = 3
⇒ 2x – 147 + 28 x = 3
⇒ 2x + 28x = 3 + 147
⇒ 30 x = 150
∴ x = \(\frac{150}{30}\) = 5
x = 5 ను y = 21 – 4x నందు ప్రతిక్షేపించగా
y = 21 – 4(5) = 21 – 20 = 1
∴ దత్త సమీకరణాల సాధన x = 5; y = 1.

ప్రశ్న 7.
10వ తరగతి చదివే 10 మంది విద్యార్థులు ఒక గణిత క్విజ్ లో పాల్గొన్నారు. దానిలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య, బాలుర సంఖ్య కన్నా 4 ఎక్కువ అయిన ఆ క్విజ్ లో పాల్గొన్న బాలుర, బాలికల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
బాలికల సంఖ్య = x అనుకొనుము
బాలుర సంఖ్య = y అనుకొనుము.
∴ మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య x + y = 10 ………….. (1)
మరియు బాలికల సంఖ్య = బాలుర సంఖ్య + 4
x = y + 4 ……………. (2)
x = y + 4 ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
y + 4 + y = 10
⇒ 2y + 4 = 10
⇒ 2y = 10 – 4 = 6
∴ y = 3 మరియు x = 3 + 4 = 7
అనగా బాలురు 7 గురు బాలికలు ముగ్గురు పాల్గొన్నారు.

ప్రశ్న 8.
3x – y = 40, 4x – 2y = 50 సమీకరణాల జత సంగతమా ? అసంగతమా ? ఎందుకు ?
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమీకరణాలు సంగతము.
కారణం : ఇచ్చిన సమీకరణాలు
3x – y = 40,
4x – 2y = 50
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{3}{4} ; \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{1}{2} ; \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\)
కావున, ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగతము.

ప్రశ్న 9.
(గాఫేతర పద్ధతిలో x + 2y = 5 మరియు 2x – y = 0 లను సాధించుము.
సాధన.
x + 2y = 5 ……. (1)
2x – y = 0 ……. (2)
2x = y
⇒ x = \(\frac{y}{2}\)
‘x’ విలువను సమీకరణం (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{y}{2}\) + 2y = 5
⇒ y + 4y = 10
⇒ 5y = 10
⇒ y = 2
‘y’ విలువను సమీకరణం (2)లో ప్రతిక్షేపించగా
2x – 2 = 0
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
∴ x = 1, y = 2.

ప్రశ్న 10.
పరస్పరాధార సమీకరణ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ సంగతమే”. ఇది సత్యమా? అసత్యమా? సమర్థించండి.
సాధన.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగత జత అవుతుంది. పరస్పరాధారిత జత సాధనలను కలిగి ఉంటుంది. కావున సంగత జత అవుతుంది.
ఎందుకనగా \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

ప్రశ్న 11.
x = 2 అనే రేఖీయ సమీకరణానికి చిత్తు పటం (గ్రాఫ్) గీయండి.
సాధన.
x = 2 యొక్క రేఖీయ సమీకరణము చిత్తు పటము

ప్రశ్న 12.
వంశీ 9 కి.గ్రా. ఉల్లిపాయలు మరియు 2 కి.గ్రా. బంగాళాదుంపలను రూ. 247 కు కొన్నాడు. బంగాళా దుంపల కంటే ఉల్లిపాయల ఖరీదు 1 కి.గ్రా.కు రూ. 3 ఎక్కువ అయితే, ప్రతి కిలోకు వాటి ధరను కనుగొనుము.
సాధన.
1 కి.గ్రా. బంగాళాదుంపల ఖరీదు x. .
అయితే 1 కి.గ్రా. ఉల్లిపాయల ఖరీదు x + 3
x + x + 3 = 247
2x + 3 = 247
⇒ 2x = 244
⇒ x = \(\frac{244}{2}\) = రూ. 122.
1 కి.గ్రా. బంగాళాదుంపల ఖరీదు = రూ. 122
1 కి.గ్రా. ఉల్లిపాయల ఖరీదు = x + 3
= 122 + 3 = రూ. 125.

ప్రశ్న 13.
2x + y – 5 = 0, 3x – 2y – 4 = 0 లను చరరాశి తొలగించు పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాలతో ఏదైనా ఒక చరరాశి గుణకాలను సమానం చేయుట ద్వారా ఈ పద్ధతిన సాధిస్తాం.
దత్త సమీకరణాలు :
2x + y – 5 = 0 …………….(1)
3x – 2y – 4 = 0 ……………..(2)
సమీకరణం (1)నకు ఇరువైపులా 3 చేతను, సమీకరణం (2) నకు ఇరువైపులా 2 చేత గుణించగా

⇒ y = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ y = 1
y = 1 ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా
2x + y = 5
2x + 1 = 5
2x = 5 – 1 = 4
∴ 2x = 4
అయిన x = \(\frac{4}{2}\) = 2
∴ x = 2 .
దత్త సమీకరణాలకు సాధన : x = 2 ; y = 1

సరిచూచుట :
2x + y = 5
2(2) + 1 = 5
4 + 1 = 5
LHS = RHS

5 = 5
3x – 2y – 4 = 0
3(2) – 2(1) – 4 = 0
6 – 2 – 4 = 0
6 – 6 = 0
LHS = RHS.

ప్రశ్న 14.
క్రింది ఇవ్వబడిన సమీకరణాలను గ్రాఫ్ ద్వారా సాధించుము.
\(\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y\) = 1; 2x – \(\frac{1}{3}\)y = – \(\frac{2}{3}\)
సాధన.
\(\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y\) = 1 మరియు 2x – \(\frac{1}{3}\)y = – \(\frac{2}{3}\) ఈ సమీకరణాలను ముందుగా రేఖీయ సమీకరణ రూపం లోకి మార్చుదాం.
\(\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y\) = 1
⇒ \(\frac{2 x-3 y}{6}\) = 1
⇒ 2x- 3y = 6 ……………. (1) మరియు
2x – \(\frac{1}{3}\)y = – \(\frac{2}{3}\)
6x – y = – 2 ……………. (2)

(i) 2x – 3y = 6
⇒ y = \(\frac{2 x-6}{3}\)

ఈ 25 – 3y = 6 రేఖ పై (0; – 2) మరియు (3, 0) బిందువులు గలవు.

(ii) 6x – y = – 2 = y
⇒ y = 6x + 2 –

ఈ 6x – y = – 2 అను రేఖపై (0, 2) (1, 8), (2, 14) అను బిందువులు గలవు.
పై రెండు రేఖలు (0.75, 2.5) బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి. కావున
∴ సాధన x = 0.75, y = 2.5

ప్రశ్న 15.
క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జతను గ్రాఫ్ ద్వారా సాధించండి. 2x + y = 4 మరియు 2x – 3y = 12.
సాధన.
దత్త సమీకరణాలు : –
2x + y – 4 = 0 మరియు 2x – 3y – 12 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{2}\) = 1;\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-3}\) మరియు \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-4}{-12}=\frac{1}{3}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
కనుక సమీకరణాలు సంగత రేఖీయ సమీకరణాలు.
∴ అవి ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొనుట వలన ఒక సాధన మాత్రమే ఉండును.

గ్రాఫు పరిశీలించగా ఇచ్చిన సమీకరణాల సాధన x = 3 మరియు y = – 2.

ప్రశ్న 16.
6 పెన్సిళ్ళు మరియు 4 నోటు పుస్తకముల మొత్తము వెల రూ. 90/-. అలాగే 8 పెన్సిళ్ళు మరియు 3 నోటు పుస్తకముల మొత్తము వెల రూ. 85/-. అయితే ప్రతీ పెన్సిల్ మరియు నోట్ పుస్తకము వెల ఎంత ?
సాధన.
ఒక పెన్సిల్ వెల = రూ. x
నోటు పుస్తకం వెల = రూ. y అనుకొనుము.
6 ‘పెన్సిల్స్, 4 నోటు పుస్తకంల మొత్తం వెల = రూ. 90
⇒ 6x + 4y = 90 …………(1)
8 పెన్సిల్స్, 3 నోటు పుస్తకంల మొత్తం వెల = రూ. 85
⇒ 8x + 3y = 85 …………..(2)
⇒ 1 × 3 = 18x + 12y = 270 ………….(3)
⇒ 2 × 4 = 32x + 12y = 340 ……….(4)

x విలువను (1)లో ప్రతిక్షేపించిన
6 × 5 + 4y = 90
4y = 90 – 30 = 60
y = \(\frac{60}{4}\) = 15
x = 5, y = 15
పెన్సిల్ వెల = రూ. 5
నోటు పుస్తకం వెల = రూ. 15.

ప్రశ్న 17.
క్రింది సమీకరణాల జతను సాధించుము. \(\frac{3}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 2 మరియు \(\frac{9}{x+y}-\frac{4}{x-y}\) = 1.
సాధన.
మనకు ఇచ్చిన సమీకరణాలు
\(3\left(\frac{1}{x+y}\right)+2\left(\frac{1}{x-y}\right)\) = 2 → (1)

\(9\left(\frac{1}{x+y}\right)-4\left(\frac{1}{x-y_{k}}\right)\) = 1 → (2)

మరియు \(\frac{1}{x+y}\) = p మరియు \(\frac{1}{x-y}\) = q
ప్రతిక్షేపించగా, క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏర్పడుతుంది.
3p + 2q = 2 → (3)
9p – 4q = 1 → (4)

q విలువను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా 3p + 2(\(\frac{1}{2}\)) = 2
⇒ 3p + 1 = 2
⇒ 3p = 1
∴ p = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 18.
క్రింది సమీకరణాలను ఒక జత రేఖీయ సమీకరణాలుగా మార్చి సాధించుము.
\(\frac{5}{(x+y)}-\frac{2}{(x-y)}\) = – 1
\(\frac{15}{(x+y)}-\frac{7}{(x-y)}\) = – 10, (x ≠ 0, y ≠ 0)
సాధన.
ఇవ్వబడినవి, \(\frac{5}{(x+y)}-\frac{2}{(x-y)}\) = – 1 మరియు
\(\frac{5}{(x+y)}-\frac{2}{(x-y)}\) = – 10
\(\frac{1}{(x+y)}\) = a, \(\frac{1}{(x-y)}\) = b గా తీసుకొనుము.
ఈ సమీకరణాలు ఈ క్రింది విధంగా మారినవి.
5a – 2b = – 1 ……………….(1)
15a-7b = -10 ………………(2)

b = 7 విలువను సమీకరణం (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
5a – 2(7) = – 1
⇒ 5a = – 1 + 14
⇒ 5a = 13
⇒ a = \(\frac{13}{5}\)

కాని a = \(\frac{1}{x+y}=\frac{13}{5}\)
⇒ x + y = \(\frac{5}{13}\)

b = \(\frac{1}{x-y}\) = 7
⇒ x – y = \(\frac{1}{7}\)
పై సమీకరణాలను సాధించంగా

x = \(\frac{24}{91}\) విలువను x + y = \(\frac{5}{13}\) లో ప్రతిక్షేపించగా .
\(\frac{24}{91}\) + y = \(\frac{5}{13}\)
⇒ y = \(\frac{5}{13}-\frac{24}{91}=\frac{35-24}{91}\)
∴ y = \(\frac{11}{91}\)
∴ సాధన (x, y) = (\(\frac{24}{91}\), \(\frac{11}{91}\))

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 3rd Lesson బహుపదులు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 3rd Lesson Important Questions and Answers బహుపదులు

ప్రశ్న 1.
p(x) = x² – 5x – 6 అయిన p(3) ను కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = x² – 5x – 6 అయిన
P(3) = 3² – 5(3) – 6
= 9 – 15 – 6
= 9 – 21 = 0
∴ p(3) = – 12 అగును.

ప్రశ్న 2.
రెండు వేర్వేరు బహుపదులను రాసి, ప్రతి దానికి రెండు ప్రశ్నలు చొప్పున రూపొందించండి.
సాధన.
(1) p(x) = x² – 4
i) p(x) పరిమాణము ఎంత ?
ii) p(x) యొక్క శూన్యాల మొత్తం కనుగొనుము.

(2) p(x) = 2x + 3
i) p(x) లోని పదాల సంఖ్య ఎంత ?
ii) p(x) యొక్క శూన్య విలువను కనుగొనండి.

ప్రశ్న 3.
2x⁴ + x + k బహుపదిలో ఓ యొక్క ఏ విలువకు 3 బహుపది శూన్య విలువగును?
సాధన.
p(x) = 2x² + x + k బహుపదికి 3 ఒక శూన్యము కనుక
p(3) = 0.
∴ p(3) = 2(3)² + 3 + k = 0
⇒ 21 + k = 0
⇒ k = – 21.

ప్రశ్న 4.
x-y = 0 యొక్క రఫ్ గ్రాఫ్ గీయుము.
సాధన.

ప్రశ్న 5.
7×3 – 3×2 + 5x – 2 ని x + 2 చే భాగించగా శేషం కనుగొనండి.
సాధన.

∴ శేషం = – 80.

ప్రశ్న 6.
p(y) = y³ – 1 అయిన 1, – 1 లు p(y) కు శూన్యాలు అవుతాయో ? లేదో ? సరిచూడండి.
సాధన.
p(y) = y³ – 1
p(1) = 1³ – 1 = 1 – 1 = 0 :
∴ p(y) కు ‘1’ శూన్యం.
p(- 1) = (- 1)³ – 1
= – 1 – 1 = – 2
∴ p(y) కు ‘- 1’ శూన్యం కాదు.

ప్రశ్న 7.
5x² – 4 – 8x వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది = 5x² – 4 – 8x
= 5x² – 8x – 4
= 5x² – 10x + 2x – 4
= 5x(x – 2) + 2(x – 2)
= (x – 2) (5x + 2)
శూన్యాలు కనుగొనుటకు, (x – 2) (5x + 2) = 0
⇒ x – 2 = 0 లేదా 5x + 2 = 0
⇒ x = 2 లేదా x = – \(\frac{2}{5}\)
శూన్యాల మొత్తం = 2 + (- \(\frac{2}{5}\)) = (\(\frac{8}{5}\))
= -(-\(\frac{8}{5}\))
= – x గుణకం / x² గుణకం
శూన్యాల లబ్దం = 2(- \(\frac{2}{5}\))
= \(\frac{-4}{5}\) = స్థిరపగం / x² గుణకం.

ప్రశ్న 8.
\(\frac{2}{3}\) మరియు 2 లు శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదినీ కనుగొనండి.
సాధన.
α, β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపది
ax² + bx + c, a ≠ 0 అనుకోండి.
ఇక్కడ, α = \(\frac{2}{3}\) మరియు β = 2.
శూన్యాల మొత్తం = α + β = \(\frac{2}{3}\)(2) = \(\frac{4}{3}\)
∴ శూన్యాల లబ్ధం = αβ = 1 (2) = 2
∴ కావున, వర్గ బహుపది = [x² – (α + β)x + αβ]
= [x² – \(\frac{8}{3}\)x + \(\frac{4}{3}\)]
∴ కావలసిన వర్గ బహుపది 3x² – 8x + 4.

ప్రశ్న 9.
x² – x – 30 వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది x² – x – 30
శూన్యాలు కనుగొనుటకు x² – x – 30 = 0 అనుకొనుము.
⇒ x² – x – 30 = 0
⇒ x² – 6x + 5x – 30 = 0
⇒ x(x – 6) + 5(x – 6) = 0
⇒ (x – 6) (x + 5) = 0
⇒ x – 6 = 0
⇒ x = 6
∴ a = 6, P = – 5
శూన్యాల మొత్తం = α + β = \(-\frac{b}{a}\)
⇒ 6 – 5 = 1
⇒ 1 = 1
శూన్యాల లబ్దం = αβ = 6(- 5) = \(\frac{c}{a}\)
= – 30 = \(\frac{-30}{1}\).

ప్రశ్న 10.
శూన్యాల మొత్తం – 3 మరియు శూన్యాల వర్గాల మొత్తం 17 గా కలిగిన వర్గ బహుపదిని కనుగొనండి.
సాధన.
శూన్యాల మొత్తం = α + β = – 3
శూన్యాల వర్గాల మొత్తు = 17
(α + β)² = α² + β² + 2αβ
(- 3)² = 17 + 2αβ
2αβ = 9 – 17 = – 8.
∴ వర్గ బహుపది = x² – (α + β)x + αβ
= x² – (- 3) x + (- 4)
= x² + 3x – 4

ప్రశ్న 11.
p మరియు q లు బహుపది 3x² – 5x + 2 యొక్క శూన్యములైన, \(\frac{1}{p}\) మరియు \(\frac{1}{q}\) లు శూన్యాలుగా గల బహుపదిని ‘x’ లో వ్రాయుము.
సాధన.
p, q లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపది 3x² – 5x + 2.
శూన్యాల మొత్తం = p + q = \(\frac{-(-5)}{3}=\frac{5}{3}\) ………. (1)
శూన్యాల లబ్దం = pq = \(\frac{2}{3}\) ……………. (2)
ఇపుడు, \(\frac{1}{p}\) మరియు \(\frac{1}{q}\)

బహుపదిని కనుగొనుట :
శూన్యాల మొత్తం = \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{p+q}{p q}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}\)
శూన్యాల లబ్దం = \(\frac{1}{p} \times \frac{1}{q}=\frac{1}{p q}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
కావున, వర్గ బహుపది x² – (\(\frac{5}{2}\)) x + \(\frac{3}{2}\)
= (2x² – 5x + 3)
∴ కావలసిన వర్గ బహుపది 2x² – 5x + 3.

ప్రశ్న 12.
x² – 3x – 4 వర్గ బహుపదిని గ్రాఫు ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
y = x² – 3x – 4 అనుకొనుము y = x² – 3x – 4 గీయుటకు బిందువులను కనుగొనుము.
y = x² – 3x – 4

ప్రశ్న 13.
బహుపదులు 4x² + 4x – 3 అనే బహుపదికి రేఖాచిత్రమును గీసి, దాని ద్వారా శూన్యాలను కనుగొనుము.
సాధన.

పై వక్రం X – అక్షంను (0.5, 0) మరియు (= 1.5, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
కావున పై బహుపది y = 4x² + 4x – 3 యొక్క శూన్యాలు 0.5 మరియు – 1.5.

ప్రశ్న 14.
p(x) = x² – x – 2 వర్గ బహుపదికి గ్రాఫ్ గీసి, శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
y = x² – x – 2 అనుకొనుము.

∴ బహుపది శూన్యాలు 2, – 1.

ప్రశ్న 15.
p(x) = x² – 3x + 2 వర్గ బహుపది యొక్క రేఖా చిత్రాన్ని గీసి, శూన్యాలను కనుక్కోండి.
సాధన.
y = p(x) = x² – 3x + 2 అనుకొనుము.
x = 0 అయిన y = 0² – 3(0) + 2 = 2; (0, 2)
x = 1 అయిన y = 1² – 3(1) + 2 = 0; (1, 0)
x = 2 అయిన y = 2² – 3(2) + 2 = 0; (2, 0)
x = 3 అయిన y = 3² – 3(3) + 2 = 2; (3, 2)
x = – 1 అయిన y = (- 1)² – 3(-1) + 2
= 1 + 3 + 2 = 6 అయిన (- 1, 6)
x = – 2 అయిన y = (- 2)² – 3(- 2) + 2
= 4 + 6 + 2 = 12 అయిన (- 2, 12)
అనగా పై వర్గ బహుపదిఈ (0, 2), (1, 0), (2, 0), (3, 2), (- 1, 6), (-2, 12) బిందువుల గుండా పోతుంది.

ప్రశ్న 16.
p(x) = x² + x – 20 వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను రేఖాచిత్ర పద్ధతిలో కనుక్కోండి.
సాధన.
y = x² + x – 20 అనుకొనుము.
p(x) = x² + x – 20
p(x) కు విలువలు :

ఫలితము : గ్రాఫును పరిశీలించగా X – అక్షము (4, 0) మరియు (- 5, 0) బిందువుల వద్ద ఖండించును.
∴ ఇచ్చిన బహుపది శూన్యవిలువలు = 4 మరియు – 5.

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 2nd Lesson సమితులు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 2nd Lesson Important Questions and Answers సమితులు

ప్రశ్న 1.
A = {1, 2, 3, 4} ను సమితి నిర్మాణం రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన.
దత్త సమితి A = {1, 2, 3, 4}
దీనిని సమితి నిర్మాణ రూపంలో వ్రాయగా –
A = {x/ x ∈ N, x < 5}

ప్రశ్న 2.
’42’ ను భాగించగల అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితిని రోస్టర్ మరియు సమితి నిర్మాణ రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన.
42 ను భాగించు అన్ని సహజ సంఖ్యలు అనగా
42 యొక్క కారణాంకాలు అగును. అవి 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 … రోస్టర్ రూపం = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} సమితి నిర్మాణరూపం = {x/x ∈ N, x అనేది 42 యొక్క కారణాంకం}.

ప్రశ్న 3.
B = {p, q} సమితికి గల ఉప సమితులు అన్నింటిని వ్రాయండి.
సాధన.
{p}, {q}, {p, q}, { } ఈ నాలుగు సమితులు
B = {p, q} కు ఉప సమితులు.
n(B) = 2 కావున B యొక్క ఉప సమితుల సంఖ్య = 2ⁿ = 2² = 4

ప్రశ్న 4.
{x: x = 2n + 1 మరియు n E N} ను రోస్టరు రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన.
n ∈ N అయిన n = 1, 2, 3, …… అగును.
n = 1 అయిన x = 2n + 1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 మరియు
n = 2 అయిన X = 2n + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 మరియు
n = 3 అయిన x = 2n + 1 = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
కావున {3, 5, 7, 9, …..} అనునది పై సమితి యొక్క రోస్టరు రూపం అగును.

ప్రశ్న 5.
A = {10 కంటే తక్కువైన ప్రధానాంకాలు}, . B = {10 కంటే తక్కువైన ధన బేసి సంఖ్యలు}, అయితే (i) An B (ii) B – A లను కనుగొనుము.
సాధన.
A = {10 కంటే తక్కువైన ప్రధానాంకాలు},
B = {10 కంటే తక్కువైన ధన బేసి సంఖ్యలు
∴ A = {2, 3, 5, 7} మరియు
B = {1, 3, 5, 7, 9}
(i) (A ∩ B) = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 5, 7} …………….. (1) మరియు

(ii) B – A = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7}
(B – A) = {1, 9} – (2)

ప్రశ్న 6.
A = {\(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}\)} అయిన సమితి A ను సమితి నిర్మాణరూపంలో వ్రాయుము.
సాధన.
A = {\(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}\)}
A = {x : x = \(\frac{1}{v}\) y = 2ⁿ. n ∈ N, n ≤ 5} (లేదా)
A = {x : x = \(\frac{1}{2^{n}}\) n ∈ N, n ≤ 5}

ప్రశ్న 7.
A = {3, 9, 27, 81}ను సమితి నిర్మాణ రూపంలో రాయండి.
సాధన.
A = {x : x = 3ⁿ, n < 5, n ∈ N} లేదా
A = {x : x = 3ⁿ, n ≤ 5, n ∈ N}.

ప్రశ్న 8.
A = {\(1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}\)} ను సమితి నిర్మాణ రూపంలో వ్రాయుము.
సాధన.
\(\frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}\) అనునవి \(\frac{1}{p^{2}}\) రూపంలో ఉన్నవి. p విలువ 6 కంటే తక్కువగా ఉన్నది. కావున
A = {x : x = \(\frac{1}{p^{2}}\), p ∈ N, p < 6} అనునది A యొక్క నిర్మాణ రూపం.

ప్రశ్న 9.
A = {2, 4, 8, 16} ను సమితి నిర్మాణ రూపంలో రాయండి.
సాధన.
A = {2ⁿ/n ∈ N మరియు n < 5}

ప్రశ్న 10.
A = {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువైన సరి సంఖ్య }
B = {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య } అయితే A ∩ B ను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము A = {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువైన సరి సంఖ్య}
A = {2, 4, 6, 8} మరియు B = {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువై న్రధాన సంఖ్య}
∴ B = {2, 3, 5, 7}
A ∩ B = {2, 4, 6, 8} n {2, 3, 5, 7}
∴ A ∩ B = {2}

ప్రశ్న 11.
సమితి A, సమితి B కు ఉపసమితి. n(A) = 4 మరియు n(B) = 7 అయిన n(A U B) కనుగొనుము.
సాధన.
A ⊂ B; n(A) = 4 మరియు n(B) = 7 n(A U B) = 7

ప్రశ్న 12.
(i) A U B = B,
(ii) A ∩ B = B.
అగు విధంగా A, B సమితులకు ప్రతీ ప్రశ్నకు ఒక్కొక్క ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
సాధన.
(i) A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5} అనుకొనుము.
A U B = {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5} = B
∴ A U B = B

(ii) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……}, B = {2, 4, 6, 8, 10, …..} అనుకొనుము.
A ∩ B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, …..}
= {2, 4, 6, 8, 10, …..} = B
∴ A ∩ B = B.

ప్రశ్న 13.
క్రింది వెన్ చిత్రాన్ని పరిశీలించి, దిగువ ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.

(i) A U B
(ii) A – B లను కనుగొనండి.
సాధన.
(i) A U B = {1, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12}
(ii) A – B = {1, 5, 6}

ప్రశ్న 14.
A = {5, 6, 7}, B = {6, 7, 8, 9} అయిన A – (A – B) మరియు A ∩ B కనుగొనుము. ఏమి గమనించితివి ?
సాధన.
A = {5, 6, 7}, B = {6, 7, 8, 9}
A – B = {5, 6, 7} – {6, 7, 8, 9} = {5, 6, 7, 8, 9} = {5}
A = (A – B) = {5, 6, 7} – {5} = {6, 7}
A ∩ B = {5, 6, 7} ∩ {6, 7, 8, 9} = {6, 7}
A – (A – B) = A ∩ B అని గమనించితిని.

ప్రశ్న 15.
A = {x : x ఒక సరి సంఖ్య}, B = {x : x ఒక బేసి సంఖ్య}, C = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య } D = {x : x, 5 యొక్క గుణకం} అయిన
(i) A U B,
(ii) A ∩ B
(iii) C – D
(iv) A ∩ C లను కనుగొనుము.
సాధన.
A = {x : x ఒక సరి సంఖ్య } అనగా A = {2, 4, 6, 8, …… }
B = {x : x ఒక బేసి సంఖ్య} అనగా B = {1, 3, 5, 7, …… }
C = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య } అనగా C = {2, 3, 5, 7, 11, …. }
D = {x : x, 5 యొక్క గుణకం} అనగా D = {5, 10, 15, 20, ….. }

(i) A U B = {2, 4, 6, 8, ….} U {1, 3, 5, 7, 9, …. } = {1, 2, 3, 4, 5, …..} అనగా సహజ సంఖ్యా సమితి అగును.
(ii) A ∩ B = {2, 4, 6, 8, ….} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, …. } = { } అనగా ఇది శూన్య సమితి అగును.
(iii) C – D = {2, 3, 5, 7, 11, ….} – {5, 10, 15, 20, ……} = {2, 3, 7, 11, …..} అనగా 5 లేని ప్రధాన సంఖ్యల సమితి
(iv) A ∩ C = {2, 4, 6, 8, 10, ….} ౧12, 3, 5, 7, 11, …. } = { 2 } అనగా సరి ప్రధానసంఖ్య.

ప్రశ్న 16.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 6} అయిన
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ A
(iii) A – B
(iv) B – A లను కనుగొని వాటి నుంచి నీవేమి గమనించితివో వ్యాఖ్యానించుము.
సాధన.
(i) A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {1, 2, 3, 5, 6}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4} 9 {1, 2, 3, 5, 6} = {1, 2, 3}
∴ A ∩ B = {1, 2, 3} ……………… (1)

(ii) A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {1, 2, 3, 5, 6}
B ∩ A = {1, 2, 3, 5, 6} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3} కావున
∴ B ∩ A = {1, 2, 3} …………….. (2)
∴ A ∩ B = B ∩ A అయినది..

(iii) A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {1, 2, 3, 5, 6} అయిన
A – B = {1, 2, 3, 4} – {1, 2, 3, 5, 6} = {4}
కావున A – B = {4}

(iv) B = {1, 2, 3, 5, 6} మరియు A = {1, 2, 3, 4} అయిన
B – A = { 1, 2, 3, 5, 6} – {1, 2, 3, 4} = {5, 6}
∴ B – A = {5, 6}
కావున A – B ≠ B – A అని గమనించవచ్చు.

ప్రశ్న 17.
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20} అయిన A U B = B U A మరియు A – B = B – A అవుతుందా ? సరిచూడుము.
సాధన.
A U B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} U {4, 8, 12, 16, 20} = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 21}
B U A = {4, 8, 12, 15, 16, 20} U {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 21}
∴ A U B = B U A
A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20} = {3, 6, 9, 15, 18, 21}
B – A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} = {4, 8, 16, 20}
A – B ≠ B – A

ప్రశ్న 18.
A = {x: x ఒక సరి సహజ సంఖ్య మరియు x < 12} మరియు B = {x : x ఒక సహజ సంఖ్య మరియు 6ను – భాగిస్తుంది} అయిన,
(i) (A U B) – (A ∩ B),
(ii) (A – B) U (B – A) లను కనుగొనుము. ఫలితం నుండి మీరు ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {1, 2, 3, 6}
A U B = {2, 4, 6, 8, 10} U {1, 2, 3, 6} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
A ∩ B = {2, 4, 6, 8 10} ∩ {1, 2, 3, 6} = {2, 6}
(A U B) – (A ∩ B) = { 1, 2, 3, 4, 6, 6, 10} – {2, 6} = {1, 3, 4, 8, 10}
A – B = {2, 4, 6, 8, 10} – {1, 2, 3, 6} = {4, 8, 10}
B – A = {1, 2, 3, 6} {2, 4, 6, 8, 10} = {1, 3}
(A – B) U (B – A) = {4, 6, 10} U {1, 3} = {1, 3, 4, 8, 10}
(A U B) – (A ∩ B) = (A – B) U (B A) అని గమనించితిని.

ప్రశ్న 19.
A = {x : x ఒక సహజ సంఖ్య}, B = {x : x ఒక సరి సహజ సంఖ్య}, C = {x : x ఒక బేసి సహజ సంఖ్య}, D = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య}, అయిన A U B, A ∩ C, B ∩ C, B ∩ D లను కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
A = {x : x ఒక సహజ సంఖ్య} = {1, 2, 3, …. }
B = {x : x ఒక సరి సహజ సంఖ్య} = {2, 4, 6, …… }
C = {x : x ఒక బేసి సహజ సంఖ్య} = {1, 3, 5, …….}
D = {x : x ఒక ప్రధానాంకము} . = {2, 3, 5, …….. }
A U B = {1, 2, 3, ….} U {2, 4, 6, …. } = {1, 2, 3, …….}
A ∩ C = {1, 2, 3, ….} ∩ {1, 3, 5, …. } = {1, 3, 5, ……}
B ∩ C = {2, 4, 6, ….} ∩ {1, 3, 5, …. } = { } = Φ
B ∩ D = {2, 4, 6, ….} ∩ {2, 3, 5, …. } = { 2 }
A U B = A; A ∩ C = C.

ప్రశ్న 20.
A = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు x < 20} మరియు B = {x : x = 2x + 1, x ∈ W మరియు x < 9), అయిన
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ A
(iii) A – B
(iv) B – A లను కనుగొనుము. నీవు ఏమి గమనించావు ?
సాధన.
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
B = {1, 3, 5, 7}
(i) A ∩ B= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} ∩ {1, 3, 5, 7} = {3, 5, 7}

(ii) B ∩ A = {1, 3, 5, 7} – {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = {3, 5, 7}

(iii) A – B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} – {1, 3, 5, 7} = {2, 11, 13, 17, 19}

(iv) B – A = {1, 3, 5, 7} – {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
= {1}
∴ A ∩ B = B ∩ A
A – B ≠ B – A అని గమనించితిని.

ప్రశ్న 21.
A = {x : x, 6 కన్నా తక్కువైన ఒక సహజ సంఖ్య}, B = {x : x, 60 ను భాగించు ఒక ప్రధాన సంఖ్య} C = {x : x, 10 కంటే తక్కువైన ఒక బేసి సహజ సంఖ్య} D = {x : x, 48 ను భాగించు ఒక సరి సహజ సంఖ్య} అయిన వీటికి రోస్టర్ రూపం రాసి
(i) A U B
(ii) B ∩ C
(iii) A – D
(iv) D – B లను కనుక్కోండి.
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 5} C = {1, 3, 5, 7, 9}; D = {2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
(i) A U B = {1, 2, 3, 4, 5} U {2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) B ∩ C = {2, 3, 5} 0 {1, 3, 5, 7, 9) = {3, 5}
(iii) A – D = {1, 2, 3, 4, 5} -{2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} = {1, 3, 5}
(iv) D – B = {2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} – {2, 3, 5} = {4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

ప్రశ్న 22.
A = {x/x ∈ W, x < 10}, B = {x/x అనేది 10 యొక్క కారణాంకం} C = {12, 22, 33, ……… 102} లు మూడు సమితులు అయితే
(i) A U B
(ii) A ∩ B
(iii) A – C
(iv) B – Cలు కనుగొనుము.
సాధన.
A = {x/x ∈ W x < 101} B = {x/x అనేది 10 యొక కారణాంకం} C = {12, 22, 3, ……….. 102
కావున A = {0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9}
B = {1, 2, 5, 10}
C = {1, 4, 7, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}
(i) A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} U {1, 2, 5, 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} …………… (1)
(ii) A ∩ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ {1, 2, 5, 10} = {1, 2, 5} ……….. (2)
(iii) A – C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} = {0, 2, 3, 5, 6, 7, 8} ………………. (3)
(iv) B – C = { 1, 2, 5, 10} – {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} = {2, 5, 10} ………… (4)

ప్రశ్న 23.
A = {- 2, 1, 3, 4, 5}, B = {7, 3, 5, 2, 8} మరియు C = {- 2, 4, 5, 8, 9} అయిన క్రింది సమితులను కనుగొనుము.
(i) A – (B U C),
(ii) (A – B) ∩ (A – C) ఏమి గమనించితివి ?
సాధన.
A = {-2, 1, 3, 4, 5}; B = {7, 3, 5, 2, 8}, C = {- 2, 4, 5, 8, 9}

(i) A – (B U C)
B U C = {7, 3, 5, 2, 8} U {- 2, 4, 5, 8, 9} = {- 2, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
A – (B U C) = {- 2, 1, 3, 4, 5} – {- 2, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} = {1}

(ii) (A – B) ∩ (A – C)
A – B = {- 2, 1, 3, 4, 5} – {7, 3, 5, 2, 8} = {- 2, 1, 4}
A – C = {-2, 1, 3, 4, 5} – {- 2, 4, 5,8, 9} = {1, 3}
(A – B) ∩ (A – C) = {- 2, 1,4 } ∩ {1, 3} = {1}
A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C)

ప్రశ్న 24.
A = {క్రమ బహుభుజులు}, B = {త్రిభుజములు} మరియు C = {చతుర్భుజములు}. అయిన ,
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ c
(iii) A – B
(iv) A – C లను కనుగొనుము.
సాధన.
A = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్తభుజులు} B = {త్రిభుజములు}; C = {చతుర్భుజములు}
(i) A ∩ B = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్తభుజులు} ∩ {త్రిభుజములు} = {త్రిభుజములు}
(ii) A ∩ C = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్త భుజులు} ∩ {చతుర్భుజములు}= {చతుర్భుజములు}
(iii) A – B = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్తభుజులు} – {త్రిభుజములు | = {చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్త భుజులు}
(iv) A – C = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు. సప్తభుజులు} – {చతుర్భుజములు} = {త్రిభుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్తభుజులు}

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 1st Lesson Important Questions and Answers వాస్తవ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 1.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయాన్ని ఉపయోగించి 60 మరియు 100 ల గ.సా.భా. కనుగొనండి.
సాధన.
100 = 60(1) + 40
60 = 40(1) + 2
40 = 20(2) + 0
కావున 60, 100 ల గ.సా.భా = 20

ప్రశ్న 2.
log₅ √625 విలువను కనుక్కోండి.
సాధన.
log₅ √625 = log₅ 25
= log₅ 5²
= 2 log₅ 5
= 2 × 1 = 2.

ప్రశ్న 3.
\(\frac{36}{99}\)ని దశాంశ సంఖ్యగా వ్రాయుము.
సాధన.
\(\frac{36}{99}=\frac{4 \times 9}{9 \times 11}=\frac{4}{11}=0 . \overline{36}\)

ప్రశ్న 4.
log \(\frac{a^{\mathbf{m}^{\mathbf{n}}} \mathbf{b}^{\mathbf{z}}}{\mathbf{c}^{\mathbf{z}}}\) యొక్క విస్తరణ రూపాన్ని రాయండి.
సాధన.
log \(\frac{a^{\mathbf{m}^{\mathbf{n}}} \mathbf{b}^{\mathbf{z}}}{\mathbf{c}^{\mathbf{z}}}\) = log a^mbⁿ – log c^z [∵ log \(\frac{x}{y}\) = log x – log y]
= log a^m + log bⁿ – log c^z [∵ log xy = log x + log y]
= m log a + n log b – z log c.

ప్రశ్న 5.
x² + y² = 7xy అయిన log \(\left(\frac{x+y}{3}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y) అని నిరూపించుము.
సాధన.
x² + y² = 7xy ఇరువైపులా 2xy కలుపగా
x² + y² + 2xy = 7xy + 2xy = 9xy
(x + y)² = 9xy ఇరువైఫులా వర్గమూలం పరిగణించగా.
\(\sqrt{(x+y)^{2}}=\sqrt{9 x y}\)
∴ \(\frac{x+y}{3}\) = 3√xy
⇒ \(\frac{x+y}{3}\) = √xy = (xy)^1/2
⇒ \(\frac{x+y}{3}\) = (xy)^1/2
ఇరువైపులా సంవర్గమానం పరిగణించగా
log \(\frac{x+y}{3}\) = log (xy)^{\(\frac{1}{2}\)}
= \(\frac{1}{2}\) log(xy)
⇒ log (\(\frac{x+y}{3}\)) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y) అని ఋజువైనది.

ప్రశ్న 6.
యూక్లిడ్ భాగహార శేషవిధి ఆధారంగా 4830 మరియు 759 యొక్క గ.సా.భా.ను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్యలు 4830 మరియు 759
4830 = 759 × 6 + 276
759 = 276 × 2 + 207
276 = 207 × 1 + 69
207 = 69 × 3 + 0
∴ 4830 మరియు 759 ల గ.సా.భా. = 69

ప్రశ్న 7.
1260 మరియు 1440 ల గ.సా.కా. ను యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం ఉపయోగించి కనుక్కోండి. –
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్యలు 1260, 1440.
1440 = 1260 × 1 + 180
1260 = 180 × 7 + 0 .
∴ 1260, 1440 ల గ.సా.కా. = 180.

ప్రశ్న 8.
x² + y² = 10xy అయిన 2 log(x – y) = logx + log y + 3 log 2 అని నిరూపించండి.
సాధన.
x² + y² = 10xy
రెండు వైపులా ‘2xy’ ను తీసివేయగా,
x² + y² – 2xy = 10xy – 2xy = 8xy
(x – y)² = 8xy
రెండువైపులా ‘logarithm’ ను తీసుకొనిన
log (x – y)² = log 8xy = log 8 + log x + log y
⇒ 2 log (x – y) = 3 log 2 + log x + logy.

ప్రశ్న 9.
log₁₀ 5 కరణీయ సంఖ్యా ? అకరణీయ సంఖ్యా ? నీ జవాబును సమర్థించుము.
సాధన.
log₁₀ 5 = x అనుకొనిన
10^x = 5
కాని 5 ను ‘x’ యొక్క ఏ విలువకు 10^x రూపంలో వ్రాయలేము.
∴ log₁₀ 5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న 10.
1.2333333……. ను \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్రాయుము. (p మరియు q లు సాపేక్ష ప్రధానాంకాలు)
సాధన.
x = 1.2333333 అనుకొనుము. = 1.23
= 1.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + …………
= 1.2 + \(\frac{3}{10^{2}}+\frac{3}{10^{3}}+\frac{3}{10^{4}}\) + …………….
= 1.2 + \(\frac{-\frac{3}{10^{2}}}{1-\frac{1}{10}}\)
= 1.2 + \(\frac{1}{30}\) = \(\frac{37}{30}\)

ప్రశ్న 11.
√5 + √7 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించుము.
సాధన.
√5 + √7 ను ముందుగా కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకుందాం.
దీనిని విరుత ద్వారా నిరూపిద్దాం.
∴ √5 + √7 = a అనుకుందాం. (∵ a ఒక అకరణీయ సంఖ్య)
⇒ √7 = a – √5 ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
(√7)2 = (a – √5)
⇒ 7 = a² + 5 – 2a√5
⇒ 2a√5 = a² + 5 – 7 = a² – 2
⇒ √5 = \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\)
దీని యందు L.H.S భాగం √5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
RHS భాగం నందు గల \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\) అనునది ఒక అకరణీయ సంఖ్య ఎదుకనగా ‘a’ ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున.
√5 = \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\) సత్యం కావలెనన్న ఒక కరణీయ సంఖ్య (√5) ఒక ఆకరణీయ సంఖ్య (\(\frac{a^{2}-2}{2 a}\)) కు
సమానం కావలెను. కాని ఇది అసాధ్యం.
కావున మనం తీసుకున్నట్లు √5 + √7 అనునది అకరణీయ సంఖ్య అగుట అసాధ్యం.
కావున √5 + √7 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని ఋజువైనది.

ప్రశ్న 12.
√5 + √11 ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.
√5 + √11 అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని ఊహించండి.
√5 + √11 = 2, ఇందు a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0
∴ √5 = \(\frac{a}{b}\) – 11
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
√5 = \(\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}+11-2 \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \sqrt{11}\)

√11 = \(\frac{a^{2}+6 b^{2}}{b^{2}} \times \frac{b}{2 a}=\frac{a^{2}+6 b^{2}}{2 a b}\)

a, b లు పూర్ణసంఖ్యలు కావున \(\frac{a^{2}+6 b^{2}}{2 a b}\) అకరణీయ సంఖ్య.
కావున √11 ఒక అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √11 కరణీయ సంఖ్య అనేదానికి విరుద్ధం.
∴ √5 + √11 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న 13.
√3 ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.
√3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకొనుము.
√3 = \(\frac{a}{b}\) అయ్యే విధంగా a, b లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు b ≠ 0
⇒ b√3 = a ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
3b² = a²
a² ను 3 భాగించును, a ను కూడా 3 భాగించును.
a = 3c అయ్యే విధంగా c ఒక పూర్ణ సంఖ్య
⇒ a² = 9c²
⇒ 3b² = 9c² (a² = 3b²)
⇒ b² = 3c²
b² ను 3 భాగించును, b ను కూడా భాగించును. ….. (2)
(1), (2) ల నుండి a మరియు b లు 3 చే భాగింపబడును. ఇది a మరియు b లు పరస్పర ప్రధానసంఖ్యలు అనేదానికి విరుద్ధము.
కావున √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనే మన భావన తప్పు. √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న 14.
2 + 5√3 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.
సాధన.
మనం నిరూపించవలసిన భావనకు విరుద్ధంగా 2 + 5√3 ఒక అకరణీయ సంఖ్యగా ఊహించు కుందాం.
⇒ 2 + 5√3 = \(\frac{a}{b}\) అయ్యే విధముగా a, b లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు, b ≠ 0
⇒ 5√3 = \(\frac{a}{b}\) – 2
⇒ √3 = \(\frac{a}{5 b}-\frac{2}{5}\)
ఇందులో RHS నందు
\(\frac{a}{5 b}\), \(\frac{2}{5}\)∈ Q
⇒ \(\frac{a}{5 b}-\frac{2}{5}\) ∈ Q
అందుచే √3 కూడా అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. ఇది అసత్యం.
ఎందుకంటే ₹ 3 ఒక కరణీయసంఖ్య అనే సత్యానికి విరుద్ధభావన. కావున 2 + 5√3 అకరణీయ సంఖ్య అనే మన భావన తప్పు.
కావున మనం 2 + 5√3 అనేది కరణీయ సంఖ్య అని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 15.
(2)^{x + 1} = (3)^{1 – x} అయిన x విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
(2)^{x + 1} = (3)^{1 – x}
(x + 1) log₁₀ 2 = (1 – x) log₁₀ 3
x log₁₀ 2 + 1 log₁₀ 2 = 1 log₁₀ 3 – x log₁₀ 3
x log₁₀ 2 + x log₁₀ 3 = log₁₀ 3 – log₁₀ 2
x (log₁₀ 2 + log₁₀ 3) = log₁₀ 3 – log₁₀ 2
∴ x = \(\frac{\log _{10} 3-\log _{10} 2}{\log _{10} 2+\log _{10} 3}\)

ప్రశ్న 16.
√5 – √3 కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించుము.
సాధన.
√5 – √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొనిన √5 – √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అగును. –
దీనిని \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్రాయగలం.
p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0.
√5 – √3 = \(\frac{p}{q}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
5 + 3 – 2√15 = \(\frac{p^{2}}{q^{2}}\)
√15 = \(\frac{8 q^{2}-p^{2}}{2 q^{2}}\)
∴ p, q ∈ Z మరియు q ≠ 0
8q² – P² మరియు 2q² ∈ Z, 2q² ≠ 0.
∴ \(\frac{8 q^{2}-p^{2}}{2 q^{2}}\) అనేది అకరణీయ సంఖ్య.
2q కానీ √15 ఒక కరణీయ సంఖ్య.
కరణీయ సంఖ్య అకరణీయ సంఖ్య సమానం కాదు.
√5 – √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకోవడం సరికాదు.
∴ √5 – √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య.