Inter 1st Year

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 12th Lesson Emerging Trends in Business will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 12th Lesson Emerging Trends in Business

→ E-Business refers to the integration of business tools based on ICT to improve the functioning of the company.

→ E-Business refers to the use of online support for the relationship building between a company and clients.

→ E-Commerce refers to transacting (or) facilitating business through the Internet. E-commerce is short for “Electronic Commerce”.

→ The 21st-century businesses are opening up many opportunities for entrepreneurs to grow and also equally pose many challenges.

→ One of the biggest challenges of 21st-century businesses is Human Resources-finding the right staff, training, and retaining them are concerns of the HR function.

→ e- వ్యాపారము ICT పై ఆధారపడి, సంస్థ పనితీరును మెరుగుపరచడానికి వ్యాపార పద్ధతులను సమైక్య పరచటం. e – వాణిజ్యాన్ని e – వ్యాపారములో ఒక అంశముగా ఉండి ఆన్లైన్ సహాయముతో కంపెనీకి, ఖాతాదారుల మధ్య సంబంధాలను ఏర్పరుస్తుంది.

→ e – వ్యాపారము యొక్క ధ్యేయమేమిటంటే కంపెనీ, దాని అంతర్గత నిర్వహణ పద్ధతుల మధ్య సమాచార వ్యవస్థను ఏర్పరచి, కంపెనీ యొక్క అంతర్గత, బహిర్గత అంశాలను సమర్థవంతంగా నిర్వర్తించడం.

→ నేడు ఆర్థిక సరళీకరణ కారణముగా ఇంట్రానెట్, ఇంటర్ నెట్ల వేగం ఆపాదించడం వలన e – వ్యాపారం యొక్క అవగాహన పెరుగుతున్నది. e – వ్యాపారాన్ని మూడు భాగాలుగా విభజించవచ్చు. అవి.

• సంస్థలో
• వ్యాపారము నుంచి వ్యాపార వ్యవహారాలు
• వ్యాపారము నుంచి వినియోగదారుల లావాదేవీలు,

→ 21వ శతాబ్దపు వ్యాపారము, వ్యాపార వేత్తలకు అనేక అవకాశాలను, సవాళ్ళను సృష్టిస్తున్నది.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 13th Lesson కర్బన రసాయన శాస్త్రం – సామాన్య సూత్రాలు, విధానాలు Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 13th Lesson కర్బన రసాయన శాస్త్రం – సామాన్య సూత్రాలు, విధానాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బెంజీన్ ను మిథైల్ బెంజీన్ గా మార్చడానికి అవసరమైన కారకాలు రాయండి.
జవాబు:
“ఫ్రీడల్ క్రాఫ్ట్ మిథైలేషన్” విధానంలో బెంజీన్ ను మిథైల్ బెంజీన్ గా మారుస్తారు.

ఈ చర్యకు అవసరమైన కారకాలు :
బెంజీన్, మిథైల్ క్లోరైడ్ మరియు అనార్ద్ర AlCl₃.

చర్యా సమీకరణం :

ప్రశ్న 2.
నైట్రో బెంజీన్ ను ఎలా తయారు చేస్తారు?
జవాబు:
బెంజీన్ ను నైట్రేషన్ మిశ్రమం (గాఢ HNO₃ + గాఢ H₂SO₄) తో 60°C కన్న తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య జరుపగా నైట్రోబెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ఈథేన్ అనురూపకాలను రాయండి.
జవాబు:

ఈథేన్ – అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు :
ఈథేన్ అణువులో ఒక కర్బన పరమాణువు స్థానమును స్థిరీకరించి, రెండవ కర్బన పరమాణువును ‘C – C’ బంధ అక్షముపై చక్ర భ్రమణము చేయుటవలన అనేక ప్రాదేశిక అమరికలు గల రూపములు లభించును. ఈ రూపములను అనురూపాత్మక సాదృశ్యములందురు.

ఈథేన్ ప్రధాన అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు :
i) గ్రహణ ఆకృతి (eclipsed form)
ii) అస్తవ్యస్త ఆకృతి (staggered form)

ప్రశ్న 4.
ఇథిలీన్ నుంచి ఈథైల్ క్లోరైడ్ను ఎలా తయారుచేస్తారు?
జవాబు:
ఇథిలీన్ ను హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్తో సంకలనం చేయగా ఈథైల్ క్లోరైడ్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
కింది నిర్మాణాల IUPAC నామాలు రాయండి.
a) CH₃ – CH₂ – CH₂ – CH = CH₂

జవాబు:
a) CH₃ – CH₂ – CH₂ – CH = CH₂

ప్రశ్న 6.
కింది వాటి నిర్మాణాలను రాయండి.
i) ట్రైక్లోరో ఇథనాయిక్ ఆమ్లం,
ii) నియోపెంటేన్
iii) p-నైట్రో బెంజాల్డిహైడ్
జవాబు:
ట్రైక్లోరో ఇధనాయిక్ ఆమ్లం – CCl₃ – COOH

ప్రశ్న 7.
లాసజీన్ చర్యను వివరించండి.
జవాబు:

• పొడిగా ఉన్న చిన్న Na లోహాన్ని గలన స్థితిలో మారే వరకు గలన నాళికలో వేడి చేయవలెను.
• ఈ గలన Na కు కర్బన సమ్మేళనం కలిసి ఎర్రగా మారేవరకు వేడి చేయవలెను.
• చైనా పాత్రలో ఈ ఎర్రగా కాలిన నాళికను వేసి నీటిని కలిపి మరిగించి చల్లబరచి వడపోయవలెను.
• ఈ వడపోత ద్రావణాన్ని లాసైన్ కషాయం అంటారు.
• ఈ పరీక్ష N, S, హలోజన్లను గుర్తించుటకు ఉపయోగపడను.

నైట్రోజన్ న్ను గుర్తించుట :
లాసైన్ కషాయానికి సజల NaOH, అపుడే తయారు చేసిన FeSO₄, కలిపి వేడిచేసి కొద్ది చుక్కల FeCl₃, కలపవలెను మరియు ఆమ్లీకృతం చేయుటకు HCL (లేదా) H₂SO₄ కలుపవలెను. ప్రశ్యన్ బ్లూ రంగు ఏర్పడినది.
Na + C + N → NaCN
2NaCN + FeSO₄ → Na₂SO₄ + Fe(CN)₂
Fe(CN)₂ + 4NaCN → Na₄[Fe(N)₆]
3Na₄[Fe(CN)₆] + 4FeCl₃ → Fe₄[Fe(CN)₆]₃ + 12NaCl
ప్రశ్యన్ బ్లూ

ప్రశ్న 8.
క్రొమటోగ్రఫీ సిద్ధాంతాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
క్రోమటోగ్రఫీ :
స్వెట్ (Tswett 1906) ఒక వృక్ష శాస్త్రవేత్త. ఈయన వృక్షాల నుంచి నిష్కరించిన క్లోరోఫిల్, క్సాంతోఫిల్ ఇతర సమ్మేళనాలను కాల్షియం కార్బొనేట్ కాలమ్ ద్వారా ప్రసరింపచేసి (Percolate) వేరు పరచాడు. ఇక్కడ కాల్షియం కార్బొనేట్ కాలమ్ అధిశోషకంగా (adsorbent) గా పనిచేస్తుంది. విభిన్న సమ్మేళనాలు విభిన్న పరిమితుల్లో అధిశోషణం చెందడం వల్ల కాలమ్లో విభిన్న స్థానాల్లో విభిన్న రంగుల పట్టీలు వచ్చాయి. స్వెట్ ఈ రంగుల పట్టీలకు క్రోమటోగ్రామ్ అని పేరు పెట్టాడు. ఈ పద్ధతిని క్రోమటోగ్రఫీ అన్నాడు. కాల్షియం కార్బొనేట్ కాలమ్ కదలిక లేనిది కాబట్టి దీనిని స్థిర (Stationary) ప్రావస్థ అంటారు. వృక్ష సంబంధ నిష్కర్ష పదార్థాల ద్రావణాన్ని చలనశీల (Mobile) ప్రావస్థ అంటారు. క్రోమటోగ్రఫీని ఒక మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలను స్థిరప్రావస్థ, చలనశీల ప్రావస్థ అనే రెండు ప్రావస్థతి మధ్య వేరు పరచే విధానంగా అభివృద్ధి చేశారు.

ప్రశ్న 9.
జలభాష్ప స్వేదనంలో కర్బన ద్రవం దాని బాష్పీభవన స్థానం కంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఎందుకు ఆవిరిగా మారుతుంది?
జవాబు:
జల బాష్ప స్వేదనం (Steam distillation) :
ఈ పద్ధతిలో నీటిలో కరగని, బాష్పీభవన స్థానం ఎక్కువగా ఉన్న, జల బాష్పంతో బాష్పశీలత పొందే ద్రవాల్ని శుద్ధి చేస్తారు. ఈ విధానంలో వేడి మలిన ద్రవంలోకి నీటి ఆవిరిని పంపుతారు. నీటి ఆవిరి, ద్రవపు బాష్పం కలిసి బయటకొస్తాయి. దీనికి కారణం నీటి బాష్పం, ద్రవ బాష్పం రెండింటి మొత్తం పీడనం బాహ్య వాతావరణ పీడనానికి సమానమవడమే. ఈ నీటి ఆవిరి ద్రవ బాష్పం రెండూ కండెన్సర్ ద్వారా ప్రయాణించి ద్రవ మిశ్రమమై సంగ్రహణ పాత్రలో చేరతాయి. అవి ఒకదానితో ఒకటి కలిసిపోవు కాబట్టి వేర్పాటు గరాటుతో వేరు చేయవచ్చు.

ప్రశ్న 10.
కింది వాటిని వివరించండి.
(a) స్ఫటికీకరణం (b) స్వేదనం
జవాబు:
a) స్ఫటికీకరణం (Crystalisation) :
ఇందులో ఉన్న సూత్రం ఇచ్చిన ద్రావణిలో మలినాలు అసలు కరగకపోవడం లేదా ఏ ఉష్ణోగ్రత దగ్గరైనా పూర్తిగా కరగడం గాలితం (filtrate) లోకి రావడం కర్బన రసాయన పదార్ధం మాత్రం గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆ ద్రావణిలో దాదాపు కరగకుండా ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద అంటే ద్రావణి బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రత దగ్గర కరిగిపోవడం.

b) ఉత్పతనం (Sublimation) :
కొన్ని ఘన పదార్థాలు వేడి చేసినప్పుడు కరిగి ద్రవస్థితికి రాకుండా నేరుగా బాష్పస్థితికి వెళ్ళడం మనకు తెలుసు. ఆ బాష్పాలు తిరిగి చల్లబరచినప్పుడు ద్రవంగా ద్రవీకరణం చెందకుండా నేరుగా ఘనపదార్థాన్నిస్తాయి. ఈ విధానాన్నే ఉత్పతనం అంటారు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
కింది చర్యలను పూరించి A,B,C ఉత్పన్నాల నామాలు రాయండి. [T.S. Mar. ’15]

జవాబు:

ప్రశ్న 2.
కింది చర్యలో ఏర్పడిన A,B,C ఉత్పన్నాల పేర్లను రాసి, చర్యా సమీకరణాన్ని రాయండి. [T.S. Mar. ’15.]

జవాబు:

ప్రశ్న 3.
ఎసిటిలీన్ a. బ్రోమిన్ b. హైడ్రోజన్తో ఎట్లా చర్య జరుపుతుంది? పై చర్యలకు సమీకరణాలు రాసి ఉత్పన్నాల పేర్లను తెలపండి.
జవాబు:
a. బ్రోమిన్తో చర్య :
ఎసిటిలీన్ను బ్రోమిన్ సంకలనం చేయగా మొదట ఎసిటిలీన్ డైబ్రోమైడ్ పిదప ఎసిటిలీన్ టెట్రాబ్రోమైడ్ ఏర్పడుతుంది.

b. హైడ్రోజన్తో చర్య :
ఎసిటిలీన్ ను నికెల్ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో హైడ్రోజన్తో వేడిచేయగా సంకలనం చెంది మొదట ఇథిలిన్ పిదప ఈథేన్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 4.
ప్రతిక్షేపణ చర్య అంటే ఏమిటి? ఏవైనా రెండు బెంజీన్ ప్రతిక్షేపక చర్యలను తెలపండి.
జవాబు:
ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్య :
కర్బన సమ్మేళనంలోని ఏదేని పరమాణువు లేక పరమాణువుల సమూహాన్ని ధనావేశిత ఆయాన్ (ఎలక్ట్రోఫైల్)తో ప్రతిక్షేపించుటను ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్య అంటారు.

బెంజీన్ ప్రతిక్షేపణ చర్యలు :
1. సల్ఫోనీకరణం :
బెంజీన్, సధూమ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంతో చర్య జరుపగా బెంజీన్ సల్ఫోనిక్ ఆమ్లం ఏర్పడుతుంది.

2. ఎసిటైలేషన్:
బెంజీన్ అనార్ద్ర అల్యూమినియం క్లోరైడ్ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో ఎసిటైల్ క్లోరైడ్ (CH₃ COCI) తో చర్య జరుపగా ఎసిటోఫినోస్ (మిథైల్ ఫినైల్ కీటోన్) ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
డీహైడ్రోహాలోజినేషన్ చర్య అంటే ఏమిటి? ఆల్కైల్ హాలైడ్ నుంచి ఆల్కీన్ ఏర్పడే చర్యను రాయండి.
జవాబు:
డీహైడ్రోహాలోజనీకరణం :
ఒక సమ్మేళనంలో ప్రక్కప్రక్కన గల కార్బన్ పరమాణువుల నుండి హైడ్రోజన్ మరియు హేలోజన్ పరమాణువులను హైడ్రోజన్ హేలైడ్ అణువుగా తొలగించు చర్యను డీహైడ్రో హేలోజనీకరణం అంటారు.

ఆల్కైల్ హాలైడ్ నుండి ఆల్కీన్ ఏర్పడు చర్య :
ఆల్కైల్ హేలైడ్ను ఆల్కహాలిక్ పోటాషియం హైడ్రాక్సైడ్తో వేడిచేయగా డీహైడ్రో హేలోజనీకరణం చెంది ఆల్కీన్ (ఇథిలిన్) ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఓజోన్ తో ఎటువంటి సమ్మేళనాలు చర్యనొందుతాయి? ఏదైనా ఒక ఉదాహరణతో వివరించండి.
జవాబు:
ఓజొనోలిసిస్ :
అసంతృప్త హైడ్రోకార్బన్లు ఓజోన్ తో చర్య జరుపగా అస్థిరమైన ఓజోనైడ్లు ఏర్పడతాయి. ఇవి జలవిశ్లేషణ చెంది కార్బోనైల్ సమ్మేళనాలను ఏర్పరుస్తాయి. ఈ చర్యను ఓజోనీకరణం (ఓజొనోలిసిస్) అంటారు.

అసంతృప్త హైడ్రోకార్బన్లు ఓజొనీకరణంలో పాల్గొంటాయి. ఉదా : ఇథిలిన్, ఓజోన్తో చర్య జరుపగా అస్థిరమైన ఇథిలిన్ ఓజోనైడ్ ఏర్పడుతుంది. ఇది జలవిశ్లేషణ చెంది ఫార్మాల్డిహైడ్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 7.
స్థాన సాదృశ్యానికీ, ప్రమేయ సాదృశ్యానికీ క్రమంగా రెండు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. [Mar. ’14]
జవాబు:
ప్రమేయ సమూహ సాదృశ్యం :
“ఒకే అణుఫార్ములా కలిగి వాటి ప్రమేయ సమూహంలో భేదాన్ని ప్రదర్శించు కర్బన సమ్మేళనాలను ప్రమేయ సమూహ సాదృశ్యాలు అని, ఆ ధర్మాన్ని ప్రమేయ సమూహ సాదృశ్యం అని అంటారు”.
ఉదా : C₂H₆O కు రెండు ప్రమేయ సాదృశ్యాలు కలవు.

స్థానసాదృశ్యం :
“ఒకే అణుఫార్ములా కలిగి వాటి ప్రమేయ సమూహం లేక ప్రతిక్షేపకం యొక్క స్థానంలో భేదాన్ని ప్రదర్శించు కర్బన సమ్మేళనాలను స్థాన సాదృశ్యాలు అని, ఆ ధర్మాన్ని స్థాన సాదృశ్యం అని అంటారు”.

ప్రశ్న 8.
మీథేన్ హాలోజనీకరణం చర్యాగతిని రాయండి.
జవాబు:
మీథేన్ సూర్యకాంతి సమక్షంలో క్లోరిన్తో చర్య జరుపగా అనేక ప్రతిక్షేపణ ఉత్పన్నాలు ఏర్పడతాయి. ఈ చర్యలలో ప్రతి దశలోనూ మీథేన్లోని ఒక హైడ్రోజన్, క్లోరిన్ పరమాణువుచే ప్రతిక్షేపించబడుతుంది.

ప్రశ్న 9.
ఈథైల్ ఆల్కహాల్ నుంచి ఇథిలీన్ ను ఎట్లా తయారుచేస్తారు?
జవాబు:
ఇథైల్ ఆల్కహాల్ 170°C వద్ద H₂SO₄ తో చర్యనొంది నిర్జలీకరణమునకు లోనై ఇథిలీన్ ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
కింది వాటితో ఎసిటిలీన్ చర్యలను వివరించండి.
a) Na/NH, b) క్రోమిక్ ఆమ్లం సమీకరణాలను, ఉత్పన్నాల పేర్లను రాయండి.
జవాబు:
a) అమ్మోనియాలో సోడియం లోహంతో చర్య :
ఎసిటిలీన్ పై కారకంతో చర్యనొంది మోనోసోడియం ఎసిటిలైడ్ మరియు డైసోడియం ఎసిటిలైట్లనిస్తుంది.
H – C ≡ C – H + Na → H – C ≡ C – Na + \(\frac{1}{2}\)H₂
H – C ≡ C -Na → Na – C ≡ C – Na + \(\frac{1}{2}\)H₂

b) క్రోమిక్ ఆమ్లంతో చర్య :
క్రోమిక్ ఆమ్లంతో ఎసిటిలీన్ ఆక్సీకరణానికి లోనై ఎసిటిక్ ఆమ్లమునిచ్చును.

ప్రశ్న 11.
కర్బన ద్రవాలను శుద్ధిచేసే ప్రక్రియలు – స్ఫటికీకరణం, ఉత్పతనాలను వివరించండి.
జవాబు:
స్ఫటికీకరణం (Crystalisation) :
ఇందులో ఉన్న సూత్రం ఇచ్చిన ద్రావణిలో మలినాలు అసలు కరగకపోవడం లేదా ఏ ఉష్ణోగ్రత దగ్గరైనా పూర్తిగా కరగడం గాలితం (filtrate) లోకి రావడం కర్బన రసాయన పదార్ధం మాత్రం గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆ ద్రావణిలో దాదాపు కరగకుండా ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద అంటే ద్రావణి బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రత దగ్గర కరిగిపోవడం.

పద్ధతి :
మలిన సమ్మేళనాన్ని సరయిన ద్రావణిలో ఉంచాలి. కొన్ని మలినాలు కరిగితే మరికొన్ని కరగకపోవచ్చు. వేడి చేస్తుంటే సమ్మేళనం కరగడం మొదలవుతుంది. ఉష్ణోగ్రత పెరిగే కొద్దీ సమ్మేళనం కరుగుదల పెరుగుతుంది. ఈ విధంగా సమ్మేళనాన్ని సాధ్యమయినంత తక్కువ ద్రావణిలో దాని బాష్పీభవన స్థానం దగ్గరలో కరిగించి ద్రావణాన్ని దాదాపు సంతృప్త ద్రావణం వచ్చే వరకు మరిగించి గాఢత పెంచాలి. వెంటనే ఆ వేడి ద్రావణాన్ని వడపోయాలి. ద్రావణాన్ని నెమ్మదిగా చల్లారనిస్తే సమ్మేళనం స్ఫటికీకరణం చెందుతుంది. స్ఫటికాలను బక నర్ గరాటు ఉపయోగించి తక్కువ పీడనంలో వడపోసి వేరు చేయాలి. కరిగిన మలినాలు ద్రావణంలో మిగిలిపోతాయి. స్ఫటికీకరణం అనేకమార్లు చేయాలి. ఏవైనా రంగు మలినాలుంటే వాటిని ఉత్తేజిత బొగ్గుపై అధిశోషణం చెందించాలి. ఈ పద్దతి ఘన సమ్మేళనాలను శుద్ధి చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.

ఉత్పతనం (Sublimation) :
కొన్ని ఘన పదార్థాలు వేడి చేసినప్పుడు కరిగి ద్రవస్థితికి రాకుండా నేరుగా బాష్పస్థితికి వెళ్ళడం మనకు తెలుసు. ఆ బాష్పాలు తిరిగి చల్లబరచినప్పుడు ద్రవంగా ద్రవీకరణం చెందకుండా నేరుగా ఘనపదార్థాన్నిస్తాయి. ఈ విధానాన్నే ఉత్పతనం అంటారు.

పద్ధతి:
సమ్మేళనానికి దాని ద్రవీభవన స్థానం కంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రతలోనే అధిక బాష్పపీడనం ఉండి వేడి చేసినప్పుడు ఉత్పతనం చెందితే మలినాలు ఉత్పతనం చెందకపోతే అలాంటి అపరిశుద్ధ సమ్మేళనాన్ని ఒక వాచ్గాసుతో మూసి ఉన్న బీకరులో తీసుకొని ఒక ఎలక్ట్రిక్ ప్లేటు మీద పెట్టి వేడి చేయాలి. సమ్మేళనం ఉత్పతనం చెంది వాచ్స్ అడుగు భాగాన ఘనీభవిస్తుంది. మలినాలు బీకర్లో ఉంటాయి. శుద్ధ సమ్మేళనాన్ని గీరి వాచ్స్ నుంచి వేరు చేస్తారు. ఉత్పతనం చెందవలసిన పదార్థాలు బాష్పపీడనం తక్కువ గలపై వేడి చేసినప్పుడు ఉత్పతనం చెందే మండే వియోగం చెందుతుంటే వాటిని అల్పపీడనాల్లో ఉత్పతనం చెందించాలి. ఉత్పతనం కూడా ఘన పదార్థాలను శుద్ధి చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

ప్రశ్న 12.
సమ్మేళనాన్ని శుద్ధిచేసే ద్రావణ నిష్కర్షణాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
ద్రావణి నిష్కర్షణ :
ఒక కర్బన పదార్థం ‘A’ నీటిలో కరగని కర్బన ద్రావణిలో నీటిలో కంటే అధికంగా కరుగుతుంది. కాని నీటిలో కరిగివున్నదనుకొంటే అప్పుడు ఆ జలద్రావణాన్ని కర్బన ద్రావణితో కలిపి కుదిపితే ‘A’ కర్బన ద్రావణిలోకి అధికంగా వెళ్ళిపోతుంది. కర్బన ద్రావణాన్ని వేరు చేసి స్వేదనం చేస్తే కర్బన ద్రావణి బాష్పరూపంలో కర్బన సమ్మేళనం నుంచి వేరవుతుంది. సమ్మేళనం స్వేదన కుప్పెలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
కర్బన సమ్మేళనంలోని ఫాస్ఫరస్, సల్ఫర్ల భారశాతాన్ని కనుక్కొనే విధానాలు తెలపండి.
జవాబు:
ఫాస్ఫరస్ భార శాతం: ఫాస్పరస్ భారశాతాన్ని కనుక్కోడానికి తెలిసిన ద్రవ్యరాశి గల కర్బన పదార్థాన్ని కేరియస్ నాళికలో సధూమ నైట్రిక్లామంతో వేడి చేయాలి. ఫాస్ఫరస్ ఫాస్ఫారిక్ ఆమ్లంగా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. ఈ ఆమ్లాన్ని అమోనియా, అమోనియం మోలిబ్దేట్ ద్రావణాలు కలిపి అమోనియం ఫాస్ఫోమోలిబ్రేటి (NH₄)₃PO₄ 12M0O₃ గా అవక్షేపించాలి. కొన్ని సమయాల్లో ఆమ్లాన్ని మెగ్నీషియం మిశ్రమం కలిపి అవక్షేపిస్తారు. (మెగ్నీషియం మిశ్రమమంటే 100.0g. ల MgCl₂, 6H₂O. 100.0g. ల NH₄Cl లను నీటిలో కరిగించి ఆ ద్రావణాన్ని 1000 ml లకు విలీనం చేస్తే వచ్చే ద్రావణం) అప్పుడు మెగ్నీషియం అమోనియం ఫాస్ఫేట్ అవక్షేపమేర్పడుతుంది. (Mg NH PO ) దీనిని జ్వలనం చేస్తే మెగ్నీషియం పైరో ఫాస్ఫేట్ (Mg₂P₂O₇) వస్తుంది.

పరిశీలనలు, గణనలు :
‘a’ g ల కర్బన సమ్మేళనం తీసికొంటే ‘b’ g ల అమోనియం ఫాస్ఫో మోలిప్డేట్ ఏర్పడిందనుకొందాం.
అమోనియం ఫాస్ఫోమోలిబ్రేట్ అణు ద్రవ్యరాశి (NH₄)₃ PO₄ 12M0O₃ = 1877
1877 gల (NH₄)₃PO₄ 12MoO₃లో 31.0g ల ‘P’ ఉంటే ‘b’g ల (NH₄)₃PO₄ 12M0O₃ లో ‘P’ ఎంత ఉంటుంది?

సల్ఫర్ భార శాతం
కర్బన్ సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ భారశాతం కనుక్కోవడానికి తెలిసిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని సోడియం పెరాక్సైడ్ లేదా సధూమనైట్రికామ్లంతో కేరియస్ నాళికలో వేడిచేస్తారు. సల్ఫర్ గనుక సమ్మేళనంలో ఉంటే అది సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంగా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. ఈ ఆమ్లాన్ని అధికంగా బేరియం క్లోరైడ్ ద్రావణం కలిపి బేరియం సల్ఫేట్గా అవక్షేపిస్తారు. ఈ అవక్షేపాన్ని వడపోత ద్వారా వేరు చేసి కడిగి, పొడి (dry) బేసి (నిర్జలీకరణం) భారాన్ని కనుగొంటారు.

పరిశీలనలు, గణనలు :
కర్బన సమ్మేళనం భారం a g అనుకొందాం.
ఏర్పడిన బేరియం సల్ఫేట్ భారం bg అనుకొందాం.
బేరియం సల్ఫేట్ అణు ద్రవ్యరాశి = 233
1 మోల్ BaSO₄ లో లేదా 233.0 g ల BaSO₄ లో 32.0 gల సల్ఫర్ ఉంటుంది.
‘b’ g ల BaSO4 లో ఎంత సల్ఫర్ ఉంటుంది? ⇒ \(\frac{b}{233}\) × 32 g
‘a’ g ల కర్బన సమ్మేళనంలో \(\frac{b}{233}\) × 32 g సల్ఫర్ ఉంది.
100 g ల సమ్మేళనంలో ఎంత సల్ఫర్ ఉంటుంది?
\(\frac{100g}{a}\times\frac{b\times32}{233}\)

ప్రశ్న 14.
ప్రోపీన్తో HBr సంకలన చర్యను అయానిక చర్యాగతితో వివరించండి.
జవాబు:
i) CH₂ – CH = CH₂ కు HBr సంకలనానికి ఎలక్ట్రోఫిలిక్ చర్యా విధానము మార్కొనికాఫ్ నియమమును అనుసరిస్తుంది.

ii) CH₂ − CH = CH₂ కు HBr సంకలనానికి స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక సంకలన చర్యా విధానము యాంటి మార్కొనికాఫ్ నియమమును అనుసరిస్తుంది.

ప్రశ్న 15.
సోడియం ప్రోపనోయేట్ను సోడాలైమ్తో వేడిచేస్తే ఏ ఉత్పన్నం ఏర్పడుతుంది.?
జవాబు:
ఈథేన్ ఏర్పడుతుంది.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
హైడ్రోకార్బన్ల వర్గీకరణను వివరించండి.
జవాబు:
హైడ్రోకార్బన్ల వర్గీకరణ:-

ప్రశ్న 2.
కింది సమ్మేళనాల IUPAC నామాలు రాయండి.

జవాబు:
a) 1, 3 బ్యుటాడయీన్
b) పెంట్, 1-ఈన్, 3 – అయిన్
c) 2 – మిథైల్ 2 – బ్యుటీన్
d) 4 – ఫినైల్ 1 – బ్యుటీన్
e) 4 – ఇథైల్ డెక్ 1, 5, 8 ట్రయీన్

ప్రశ్న 3.
ఈథేనన్ను తయారుచేసే రెండు పద్ధతులను, ఏవైనా ఈథేన్ మూడు చర్యలను రాయండి.
జవాబు:
ఈథేనన్ను (1) సబటీర్ – శాండరన్స్ క్షయకరణం (2) ఉర్జ్ చర్య పద్ధతుల ద్వారా తయారు చేయవచ్చు.

1. సబటీర్ – శాండరన్స్ చర్య (Sabatier – Sanderence Reaction) :
ఇథిలీన్ ను 200°C వద్ద చూర్ణస్థితిలోని Ni ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో హైడ్రోజనీకరణం చేయగా ఈథేన్ ఏర్పడుతుంది.

2. ఉర్ట్ చర్య (Wurtz Reaction) :
మీథైల్ అయొడైడ్ పొడి ఈథర్ సమక్షంలో సోడియం లోహముతో చర్య జరుపగా ఈథేన్ ఏర్పడుతుంది.

ఈథేన్ యొక్క మూడు రసాయన ధర్మాలు :
1. హేలోజనీకరణం (Halogenation) :
ఈథేన్ సూర్యకాంతి సమక్షంలో క్లోరిన్ తో చర్య జరుపగా ఈథేన్ లో గల హైడ్రోజన్ పరమాణువులన్నీ ఒకదాని తరువాత ఒకటి క్లోరిన్ పరమాణువుల చేత ప్రతిక్షేపించబడి హెక్సాక్లోరో ఈథేన్ అంతిమ ఉత్పన్నంగా ఏర్పడుతుంది.

2. నైట్రోకరణం (Nitration) :
ఈథేన్ ను సధూమ నత్రికామ్లంతో 400°C వద్ద వేడిచేయగా నైట్రో ఈథేన్ ఏర్పడుతుంది.

3. దహనము (Combustion) :
ఈథేన్ను గాలిలో మండించగా కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ మరియు నీటి ఆవిరి ఏర్పడతాయి. ఈ చర్యలో ఉష్ణం విడుదలవుతుంది.
2C₂H₆ + 7O₂ → 4CO₂ + 6H₂O + 3116.6 కి. జౌ .

ప్రశ్న 4.
కింద ఇచ్చిన ఫార్ములాలు ఏర్పరచగలిగిన సాదృశ్యాలను రాసి వాటి నిర్మాణాలు, IUPAC పేర్లు రాయండి :
a) C₄H₈ (ఒక ద్విబంధం)
b) C₅H₈ (ఒక త్రిబంధం)
c) C₅H₁₂ (బహుబంధాలు లేవు)
జవాబు:
a) C₄H₈ (ఒక ద్విబంధం): సాదృశ్యాలు

b) C₅H₈ (ఒక త్రిబంధం) సాదృశ్యాలు :

c) C₅H₁₂ (బహు బంధాలు లేవు) సాదృశ్యాలు :

ప్రశ్న 5.
కింది హైడ్రోకార్బన్లు దహనచర్యలో జరిపే చర్యలను సమీకరణ రూపంలో రాయండి.
a) బ్యూటేన్
b) పెంటీన్
c) హెక్సెన్
జవాబు:
a) బ్యూటేన్ దహనచర్య
C₄H₁₀ + \(\frac{13}{2}\)O₂ → 4CO₂ + 5 H₂O + శక్తి

b) పెంటీన్ దహనచర్య
C₅H₁₀ + \(\frac{15}{2}\)O₂ → 5CO₂ + 5 H₂O + శక్తి

c) హెక్సెన్ దహన చర్య
C₆H₁₀ + \(\frac{17}{2}\)O₂ → 6CO₂ + 5H₂O + శక్తి

ప్రశ్న 6.
ప్రోపీన్తో HBr సంకలనం చెంది 2-బ్రోమో ప్రోపేనన్ను ఇస్తుంది. అదే బెంజాయిల్ పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో 1-బ్రోమోప్రోపేన్ ఏర్పడుతుంది. చర్యాగతిని రాసి తేడాను వివరించండి.
జవాబు:
i) CH₃ – CH = CH₂ కు HBr సంకలనానికి ఎలక్ట్రోఫిలిక్ చర్యా విధానము మార్కొనికాఫ్ నియమమును అనుసరిస్తుంది.

ii) CH₃ – CH CH₂కు HBr సంకలనానికి స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక సంకలన చర్యా విధానము యాంటి మార్కొనికాఫ్ నియమమును అనుసరిస్తుంది.

ప్రశ్న 7.
ఇథిలీన్ తయారుచేయడానికి రెండు విధానాలు తెలపండి. ఇథిలీన్ కింది వాటితో ఏర్పరిచే ఉత్పన్నాల చర్యలను తెలపండి. [Mar. ’14]
1) ఓజోన్
2) హైపోహాలస్ ఆమ్లం
3) చల్లని విలీన క్షార KMnO
4) అధిక పీడనం వద్ద తో వేడిచేయుట
జవాబు:
ఇథిలీన్ న్ను (1) డీ హైడ్రోహేలోజనీకరణం (2) డీహేలోజనీకరణం పద్ధతుల ద్వారా తయారుచేయవచ్చు.

1. డీహైడ్రోహేలోజనీకరణం :
ఇథైల్ క్లోరైడ్ లేక ఇథైల్ బ్రోమైడ్ లేక ఇథైల్ అయొడైడ్లను ఆల్కహాలిక్ పొటాషియం హైడ్రాక్సైడ్తో వేడిచేయగా ఆసన్న కార్బన్ పరమాణువుల నుండి హైడ్రోజన్ హేలైడ్ తొలగింపబడి ఇథిలీన్ ఏర్పడుతుంది.

2. డీ హేలోజనీకరణం :
1, 2 డైబ్రోమో ఈథేన్ ఆల్కహాల్ సమక్షంలో జింక్ పొడితో వేడిచేయగా ఆసన్న కార్బన్ పరమాణువుల నుండి బ్రోమిన్ అణువు తొలగించబడి ఇథిలీన్ ఏర్పడుతుంది.

ఇథిలీన్ చర్యలు :
a) ఓజోన్తో చర్య :
ఇథిలీన్, ఓజోన్తో చర్య జరుపగా అస్థిరమైన ఇథిలీన్ ఓజోనైడ్ ఏర్పడుతుంది. ఇది zn/H₂O నీరు సమక్షంలో వియోగం చెంది ఫార్మాల్డిహైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.

b) హైపోహాలస్ ఆమ్లం (HOCl) తో చర్య :
ఇథిలీన్, HOCl తో సంకలన చర్య జరిపి ఇథిలీన్ క్లోరోహైడ్రిన్ను ఏర్పరుస్తుంది.

c) చల్లని విలీన, క్షార KMnO తో :
పై కారకంతో ఇథిలీన్ చర్య జరిపి ఇథిలీన్ గ్లైకాల్నిస్తుంది.

d) అధిక పీడనాల వద్ద ‘O₂‘ తో చర్య :
అధిక పీడనాల వద్ద మరియు 200° C వద్ద ఇథిలీన్ ను O₂ తో చర్య జరిపిస్తే పాలిమరీకరణానికిలోనై పాలిథీన్ ను ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
కింది వాటితో ఇథిలీన్ చర్యలు రాయండి. సమీకరణాలు రాసి ఉత్పన్నాల పేర్లు రాయండి.
a) హైడ్రోజన్ హాలైడ్ b) హైడ్రోజన్ c) బ్రోమీన్ d) నీరు e) సిల్వర్ సమక్షంలో 200°C దగ్గర ఆక్సిజన్ చర్య
జవాబు:
ఇథిలీన్ – చర్యలు :
a) హైడ్రోజన్ హాలైడ్ (H – X) తో చర్య :
ఇథిలీన్, H – X తో చర్య జరిపి ఇథైల్ హాలైడ్లనిస్తుంది.
CH₂ = CH₂ + HX → CH₃ – CH₂ – X

b) హైడ్రోజన్తో చర్య :
Ni సమక్షంలో హైడ్రోజన్ ఇథిలీన్ చర్య జరిపి ఈథేన్ నన్ను ఇస్తుంది.

c) బ్రోమిన్తో చర్య :
ఇథిలీన్, బ్రోమిన్తో సంకలన చర్య జరిపి 1, 2 – డైబ్రోమో ఈథేన్ ను ఏర్పరుస్తుంది.

d) నీటితో చర్య :
ఆమ్లీకృత నీటితో చర్య జరిపి ఇథిలీన్, ఆల్కహాల్నిస్తుంది.

e) సిల్వర్ సమక్షంలో ‘O₂‘ తో చర్య :
200 -400°C వద్ద సిల్వర్ సమక్షంలో ఇథిలీన్ ఆక్సిజన్తో చర్య జరిపి ఇథిలీన్ ఆక్సైడినిస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
‘A’ అను ఆల్కీన్ ఓజోనాలిసిస్ చర్యలో పాల్గొని ఇథనాల్, పెంటేన్-3-ఓన్ల మిశ్రమాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. చర్యను రాసి, ఉత్పన్నాల, ఆల్కీన్-A ల నిర్మాణాలు రాసి వాటి IUPAC పేరును తెల్పండి.
జవాబు:

‘A’ యొక్క IUPAC నామం

ప్రశ్న 10.
‘A’ అనే ఆల్కీన్ లో మూడు C – C, ఎనిమిది C – H బంధాలు, ఒక C = C ద్విబంధం ఉన్నాయి. ఓజోనాలిసిస్ చర్యలో ‘A’ ఆల్కీన్ రెండు అణువుల ఆల్డిహైడ్ (అణుభారం 44)ను ఏర్పరుస్తుంది. ‘A’ యొక్క IUPAC పేరును రాయండి.
జవాబు:

A లో 3 (C – C), 8 (C – H), 1 (C = C) బంధాలు కలవు.
→ A యొక్క IUPAC నామం : – 2 – బ్యుటీన్

ప్రశ్న 11.
ఎసిటిలీన్ తయారుచేయడానికి రెండు పద్ధతులను తెలపండి. ఎసిటిలీన్ నీటితో, ఓజోన్తో జరుపు చర్యలు రాయండి.
జవాబు:
ఎసిటిలీన్ ను తయారుచేయు పద్ధతులు :
1. కాల్షియం కార్బైడ్ నుండి :
కాల్షియం కార్బైడు జలవిశ్లేషణ చేయుట ద్వారా పారిశ్రామికంగా ఎసిటిలీన్ ను తయారుచేస్తారు.

2. క్లోరోఫారం నుండి :
క్లోరోఫారంను సిల్వర్ పొడితో వేడిచేయగా ఎసిటిలీన్ ఏర్పడుతుంది.

3. కోల్బే విద్యుత్ విశ్లేషణ :
పొటాషియం మాలియేట్ జలద్రావణాన్ని విద్యుత్ విశ్లేషణ చేయగా ఆనోడ్ వద్ద ఎసిటిలీన్ ఏర్పడుతుంది.

ఎసిటిలీన్ రసాయన చర్యలు :
1. ఓజోన్ చర్య :
ఎసిటిలీన్, ఓజోన్ తో సంకలనం చెందగా అస్థిరమైన ఎసిటిలీన్ ఓజొనైడ్ ఏర్పడుతుంది. ఇది zn/ H₂O సమక్షంలో వియోగం చెంది గ్లైఆక్సాల్ మరియు హైడ్రోజన్ పెరాక్సైడ్లు ఏర్పడతాయి.

2. నీటితో చర్య :
ఎసిటిలీన్, మెర్క్యురిక్ సల్ఫేట్ మరియు విలీన సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం సమక్షంలో 60°C వద్ద నీటితో సంకలనం చెంది అస్థిరమైన వినైల్ ఆల్కహాల్ను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది పునర్వ్యవస్థీకరణం (Tautomerism) చెంది అసిటాల్డిహైడ్న ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 12.
ఎసిటిలీన్ కిందివానితో ఏవిధంగా చర్య జరుపుతుంది? ఉత్పన్నాల పేర్లు రాసి చర్యలు రాయండి. a) ఎసిటిక్ ఆమ్లం b) నీరు c) హైడ్రోజన్ d) హాలోజన్లు e) హైడ్రోజన్ హాలైడ్ f) అమ్మోనికల్ సిల్వర్ నైట్రేట్, Cu₂Cl₂.
జవాబు:
a) ఎసిటిక్ ఆమ్లంతో చర్య :
ఎసిటిలీన్, Hg²⁺ అయానుల సమక్షంలో ఎసిటిక్ ఆమ్లముతో సంకలనం చెంది మొదట వినైల్ ఎసిటేట్ పిదప ఇథిలిడిన్ ఎసిటేట్ ఏర్పడుతుంది.

b) నీటితో చర్య :
ఎసిటిలిన్, విలీన సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం, మెర్క్యురిక్ సల్ఫేట్ల సమక్షంలో 60°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద నీటితో సంకలనం చెంది మొదట అస్థిరమైన వినైల్ ఆల్కహాల్ ఏర్పడి పిదప అది ఎసిటాల్డిహైడ్గా పునర్వ్యవస్థీకరణ చెందుతుంది.

c) హైడ్రోజన్ చర్య :
ఎసిటిలీన్ ను నికెల్ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో హైడ్రోజన్తో వేడిచేయగా సంకలనం చెంది మొదట ఇథిలీన్ పిదప ఈథేన్ ఏర్పడతాయి. ఈ చర్యను సెబాటియర్ – సెండరెన్స్ చర్య అంటారు.

d) హాలోజన్లతో :
ఎసిటిలీన్ హాలోజన్లతో సంకలన చర్య జరిపి 1, 1, 2, 2 – టెట్రా హాలో ఈథేన్ను ఏర్పరచును.

e) హైడ్రోజన్ హాలైడ్లో :
ఎసిటిలీన్, హైడ్రోజన్ హాలైడ్ (HCl) తో చర్యనొంది ఇథిలిడిన్ క్లోరైడ్ నిస్తుంది.

f) అమ్మోనికల్ AgNO₃ మరియు Cu₂Cl₂ తో చర్యలు :
ఎసిటిలీన్ వాయువును అమ్మోనికల్ AgNO₃ ద్రావణం గుండా పంపినపుడు, సిల్వర్ ఎసిటిలైడ్ అవక్షేపం ఏర్పడుతుంది.

ఎసిటిలీన్ వాయువును అమ్మోనికల్ Cu₂Cl₂ ద్రావణం గుండా పంపినపుడు, క్యూప్రస్ ఎసిటిలైడ్ అవక్షేపం ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 13.
బెంజీన్ ను తయారుచేసే ఏవైనా రెండు పద్ధతులను రాసి వాటి సమీకరణాలు రాయండి. బెంజీన్ ఆల్కీన్ లక్షణాలను చూపించదు –ఎందుకని? బెంజీన్ నుంచి మీథైల్ బెంజీన్ ను ఎలా తయారుచేస్తారు? [A.P. Mar. ’15]
జవాబు:
i) బెంజీన్ను తయారుచేయు పద్ధతులు :
a) డీకార్బాక్సిలీకరణం :
సోడియం బెంజోయేట్ను సోడాలైమ్ (NaOH + CaO) తో వేడిచేయగా బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

b) ఫినోల్ క్షయకరణం :
ఫినోల్ను జింక్ పొడితో వేడిచేయగా అది క్షయకరణం చెంది బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

ii) బెంజీన్ నుండి టోలిన్ ఏర్పడుట :
బెంజీన్, అనార్ద్ర AlCl₃ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో మీథైల్ క్లోరైడ్తో చర్య జరుపగా మిథైల్ బెంజీన్ లేక టోలిన్ ఏర్పడుతుంది. దీనినే ఫ్రీడెల్ క్రాఫ్ట్ ఆల్కైలేషన్ చర్య అంటారు.

iii) బెంజీన్ అణు ఫార్ములా అసంతృప్తతను (ఆల్కీన్వలె) తెలియజేసినప్పటికీ, ఇది అత్యంత స్థిరంగావుంటూ సంకలన చర్యలలో కన్నా ప్రతిక్షేపణ చర్యలవైపు మొగ్గు చూపుతుంది. దీనికి కారణం బెంజీన్లోని π – ఎలక్ట్రాన్లు అస్థానీకృతం చెందుతాయి. దీనివలన బెంజీన్కు రెజొనెన్స్ నిర్మాణం వస్తుంది. బెంజీన్ కున్న అధిక రెజొనెన్స్ శక్తి వలన దానికి అధిక స్థిరత్వం వస్తుంది. ఈ కారణాల వలన బెంజీన్ అసంతృప్త సమ్మేళమయినప్పటికి ఆల్కీన్ వలె ప్రవర్తించదు.

ప్రశ్న 14.
ఎసిటిలీన్ నుంచి బెంజీన్ ఎట్లా ఏర్పడుతుంది ? సమీకరణం రాయండి. బెంజీన్ యొక్క హాలోజినేషన్, ఆల్కైలేషన్, ఎసైలేషన్, నైట్రేషన్, సల్ఫోనేషన్ చర్యలను వివరించండి. [A.P. Mar. ’15 Mar. ’14]
జవాబు:
ఎసిటిలీన్ నుండి బెంజీన్ నన్ను తయారుచేయుట:
ఎసిటిలీన్ వాయువును ఎర్రగా కాలుచున్న కాపర్ గొట్టాల గుండా పంపినపుడు మూడు అణువులు ఎసిటిలీన్ పొలిమరీకరణం చెంది బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్య :
కర్బన సమ్మేళనంలోని ఏదేని పరమాణువు లేక పరమాణువుల సమూహాన్ని ధనావేశిత అయాన్ (ఎలక్ట్రోఫైల్) తో ప్రతిక్షేపించుటను ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్య అంటారు.

బెంజీన్ అణువులో ఆరు π ఎలక్ట్రాన్లతో ఏర్పడిన మేఘం కలదు. కనుక బెంజీన్ అణువు ధనావేశిత అయాన్ (ఎలక్ట్రోఫైల్) లను ఆకర్షిస్తుంది. ఈ ధనావేశిత అయాన్లు బెంజీన్లోని ఏదేని ఒక హైడ్రోజన్ ను స్థానభ్రంశం చేయుట ద్వారా ప్రతిక్షేపణ ఉత్పన్నం ఏర్పడుతుంది. ఈ చర్యను ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్య అంటారు.

బెంజీన్ యొక్క ప్రతిక్షేపణ చర్యలు :
1. హాలోజనీకరణం :
బెంజీన్ ను FeCl₃ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో క్లోరిన్తో చర్య జరుపగా క్లోరో బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

2. నైట్రోకరణం :
బెంజీన్ ను నైట్రోషన్ మిశ్రమం (గాఢ HNO₃ + గాఢ H₂SO₄) తో 60°C కన్న తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య జరుపగా నైట్రోబెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

3. సల్ఫోనీకరణం :
బెంజీన్ సుథూమ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంతో చర్య జరిపి బెంజీన్ సల్ఫోనిక్ ఆమ్లమునిస్తుంది.

4. ఆల్కైనీకరణం :
బెంజీన్ AlCl₃ సమక్షంలో ఆల్కైల్ హాలైడ్లతో చర్య జరిపి ఆల్కైల్ బెంజీన్ ఇస్తుంది.

5. ఎసైలేషన్ :
బెంజీన్, AlCl₃ సమక్షంలో ఎసైల్ క్లోరైడ్తో చర్య జరిపి ఎసైల్ బెంజీన్ ఇస్తుంది.

ప్రశ్న 15.
నిర్మాణ సాదృశ్యాలు, త్రిమితీయ సాదృశ్యాల మధ్య తేడాలు వివరించండి.
జవాబు:
నిర్మాణాత్మక సాదృశ్యము :
అణువులోని పరమాణువులు లేదా సమూహాల అమరికలో తేడా వలన సాదృశ్యం ఏర్పడును. ఈ సాదృశ్యములను నిర్మాణాత్మక సాదృశ్యాలు అంటారు. ఈ సాదృశ్యములకు ఒకే అణుఫార్ములా వుండి వేరు వేరు నిర్మాణాత్మక ఫార్ములాలు ఉంటాయి.

త్రిమితీయ సాదృశ్యము :
ఒకే అణుఫార్ములా మరియు నిర్మాణాత్మక ఫార్ములా కలిగివుండి, త్రిమితీయంగా పరమాణువుల (లేదా) గ్రూపుల, ప్రాదేశిక అమరికలో భేదంవల్ల వచ్చు సాదృశ్యమును త్రిమితీయ సాదృశ్యము అంటారు. పరమాణువుల (లేదా) గ్రూపుల త్రిమితీయ అమరికనే అణువు యొక్క కానిఫిగరేషన్ అంటారు.

ప్రశ్న 16.
సరళ శృంఖలాలు అనురూపత, విన్యాసంలందు తేడా ఏమిటి?
జవాబు:
అనురూపత (లేదా) అనురూపక సాదృశ్యాలు :

• ఇవి త్రిమితీయ సాదృశ్యాలు. ఒక రూపం నుండి మరొక రూపంలోనికి C – C బంధాల భ్రమణం వల్ల మార్పు.. చెందుతాయి. ఇవి ఒకదానికొకటి గతిక సమతాస్థితిలో ఉంటాయి.
• సాధారణ పరిస్థితులలో వీటిని వేరుచేయలేము.

విన్యాసం (లేదా) విన్యాస సాదృశ్యాలు :

• ఇవి కూడా త్రిమితీయ సాదృశ్యాలు. ఇవి స్థిరమైనవి. ఇవి ఒక రూపం నుండి మరొక రూపంలోకి మార్పు చెందవు.
• ఒక రూపం నుండి వేరొక రూపంలోనికి మార్పు చెందుటకు బంధాలు విడిపోయి కలుపవలెను.
• ఇవి అధ్యారోహితాలు కావు.
• వీటిని ఎనాన్షియోమర్లు, డయాస్టీరియోమర్లు, క్షేత్ర సాదృశ్యాలుగా వర్గీకరించారు.

ప్రశ్న 17.
క్షేత్ర సాదృశ్యం అంటే ఏమిటి? 2 – బ్యూటీన్ క్షేత్ర సాదృశ్యాలను రాయండి.
జవాబు:
జ్యామితీయ సాదృశ్యము :
“ఒకే నిర్మాణాత్మక ఫార్ములాను కలిగివుండి అణువులో ద్విబంధం మీద కార్బన్లపైవున్న ప్రతిక్షేపకాల ప్రాదేశిక అమరికలో భేదంవలన వచ్చు సాదృశ్యమును జ్యామితీయ (లేక) క్షేత్ర సాదృశ్యము అంటారు.”

ఒకే రకమైన సమూహాలు ద్విబంధానికి ఒకేవైపున బంధాలేర్పరచివుంటే ఆ సాదృశ్యమును సిస్ సాదృశ్యమని, ఒకే రకమైన సమూహాలు ద్విబంధానికి వ్యతిరేక దిశలో బంధాలేర్పరచివుంటే ఆ సాదృశ్యమును ట్రాన్స్ సాదృశ్యమని అంటారు.

అందువలన ఈ సాదృశ్యమును సిస్ ట్రాన్స్ సాదృశ్యమంటారు. ద్విబంధం ఏర్పరచే కార్బన్లలో ఏ ఒక్కదాని మీదనైనా రెండు సమానమైన ప్రతిక్షేపకాలుంటే జ్యామితీయ సాదృశ్యం వీలుకాదు.
ఉదా : 1 – బ్యూటీన్కు జ్యామితీయ సాదృశ్యాలు వీలుకావు.
2 – బ్యూటీన్ కు జ్యామితీయ సాదృశ్యానికి మంచి ఉదాహరణ

ప్రశ్న 18.
E – Z విన్యాసాలను గుర్తించే పద్దతిని తెలిపి, CHCl = CFBr అణువుకు క్షేత్ర సాద్యశాలను రాయండి.
జవాబు:
ద్విబంధం మీద కార్బన్లపై ఉన్న ప్రతిక్షేపకాలు ఒకే విధమయినచో (లేదా) నిర్మాణాత్మకంగా సారూప్యం (లేదా) ఏక రూపం కలిగినవో అయితే వాటి విన్యాసాల్ని సిస్ – ట్రాన్స్ విన్యాసాలుగా చెప్పవచ్చు.

అయితే ఒక కార్బన్ మీద గ్రూపులు మరియు రెండో కార్బన్ మీద ఏ నిర్దేశ గ్రూపులకు సమరూపకంగా ఉన్నాయో స్పష్టంగా తెలియకపోతే సిస్ ట్రాన్స్ సాదృశ్యాలు సంశయాత్మకమవుతాయి. ఈ సమస్యను తొలగించడానికి ప్రవేశపెట్టిన పద్ధతి

E – Z పద్ధతి :
ఇది పరమాణు సంఖ్యలపై ఆధారపడి వుంటుంది. “ద్విబంధ కార్బన్ల మీద గ్రూపులు అధిక పరమాణు సంఖ్యగల పరమాణువుల ద్వారా ద్విబంధ కార్బన్లకు ఒకే వైపున బంధాలేర్పరచివుంటే దానికి ‘Z’ విన్యాసమని, అదే అధిక పరమాణు సంఖ్యగల పరమాణువులు ద్విబంధానికి వ్యతిరేక దిశలలో బంధించబడి ఉంటే దానిని ”E’ విన్యాసమని అంటారు.” అధిక పరమాణు సంఖ్య

ప్రశ్న 19.
ఒక ఆల్కీన్లో ద్విబంధం వద్ద ఉన్న కార్బన్లపై Cl, Br – CH₂ – CH₂ OH, CH(CH₃)₂ సమూహాలుంటే దాని E, Z విన్యాసాలు రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 20.
కింది వాటిని వివరించండి:
a) స్వేదనం b) అంశిక స్వేదనం c) తక్కువ పీడనంలో స్వేదనం d) జలబాష్ప స్వేదనం.
జవాబు:
a) స్వేదనం :
ఈ పద్ధతి అబాష్పశీల పదార్థాలు మలినాలుగా ఉన్న ద్రవాలను శుద్ధి చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది. స్వేదన కుప్పెలో మలిన ద్రవాన్ని తీసికొని మరిగించితే దాని బాష్పం వస్తుంది. ఆ బాష్పాన్ని కండెన్సర్ ద్వారా పంపి ద్రవీకరించి సంగ్రహణ పాత్రలో గ్రహించవచ్చు. ఈ పద్ధతిని ద్రవాల మిశ్రమాన్ని వేరు చేయడానికి కూడా వాడవచ్చు. ఐతే ఆ ద్రవాల బాష్పీభవన స్థానాలలో భేదం 40° C కంటే ఎక్కువ ఉండాలి. 40° C తక్కువ బాష్పీభవన స్థానాల భేదం ఉన్న ద్రవాలను పాక్షిక అంశిక స్వేదనం ద్వారా వేరు చేయవచ్చు.

b) పాక్షిక అంశిక స్వేదనం (Fractional distillation) :
రకరకాల డిజైన్లు, ఆకారాలతో పొడవైన గాజు నాళికలుంటాయి. వీటిని అంశిక నాళికలంటారు. ద్రవ మిశ్రమాన్ని స్వేదన కుప్పెలో తీసికొని దాని మూతికి అంశిక నాళికను బిగిస్తారు. నాళిక పై భాగాన్ని నీటి కండెన్సర్కు కలిపే వీలుంటుంది. మిశ్రమంలో రెండు ద్రవాలు A, B లు ఉన్నాయనుకొందాం. అందులో Aకు B కంటే ఎక్కువ బాష్పీభవన స్థానం ఉంటుందనుకొందాం. మిశ్రమాన్ని వేడి చేస్తే A, B లు రెండింటికీ చాలా దగ్గర బాష్పీభవన స్థానాలుండటం వల్ల అంశిక నాళిక ద్వారా రెండింటి బాష్పాలు పైకి ప్రయాణిస్తాయి. ఐతే ‘B’ బాష్పం అధికంగా ఉంటుంది. అంశికనాళిక ద్వారా ప్రయాణించేప్పుడు బాష్పాలు అనేక అడుగు ఉపరితలాలనెదుర్కొంటాయి. ఆ సమయంలో కింది నుంచి పైకి పై నుంచి కిందికి వచ్చే బాష్పాల మధ్య ఉష్ణ వినిమయం జరిగి బాష్పాల ఉష్ణోగ్రత తగ్గుతుంది.

ఆ ఉష్ణోగ్రత ‘A’ బాష్పీభవన స్థానం కంటే తక్కువయితే ‘A’ ద్రవీకరణం చెంది తిరిగి స్వేదన కుప్పెలోకి చేరుకుంటుంది. ద్రవీకరణం ఉష్ణమోచక చర్య అందువల్ల ‘A’ ద్రవీకరణం చెందగా వచ్చిన ఉష్ణశక్తి ‘B’ బాష్పాన్ని వేడిచేసి బాష్పస్థితిలోనే అంశిక నాళిక నుంచి బయటకు శుద్ధమైన ‘B’ బాష్పంగా వచ్చేందుకు ఉపయోగపడుతుంది. ఈ ‘B’ బాష్పం కండెన్సర్ ద్వారా ప్రయాణించి ద్రవీకరణం చెందుతుంది. ఆ విధంగా వచ్చిన ద్రవం సంగ్రహణ పాత్రలోకి వస్తుంది.

c) నిర్వాత (లేదా) తక్కువ పీడనంలో స్వేదనం (Distillation under reduced pressure) :
ఈ విధానం అధిక బాష్పీభవన స్థానాలున్న ద్రవాల్ని లేదా బాష్పీభవన స్థానాలకంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్దనే వియోగం చెందే ద్రవాల్ని శుద్ధి చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది. బాహ్య పీడనం తగ్గిస్తే ద్రవం తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్దే ఎలాంటి వియోగం చెందకుండా బాష్పీభవనం చెందుతోంది. వచ్చిన బాష్పాల్ని చల్లబరచి పరిశుద్ధ ద్రవాన్ని పొందవచ్చు. మలినాలు స్వేదన కుప్పెలో మిగిలిపోతాయి.

d) జల బాష్ప స్వేదనం (Steam distillation) :
ఈ పద్ధతిలో నీటిలో కరగని, బాష్పీభవన స్థానం ఎక్కువగా ఉన్న, జల బాష్పంతో బాష్పశీలత పొందే ద్రవాల్ని శుద్ధి చేస్తారు. ఈ విధానంలో వేడి మలిన ద్రవంలోకి నీటి ఆవిరిని పంపుతారు. నీటి ఆవిరి, ద్రవపు బాష్పం కలిసి బయటకొస్తాయి. దీనికి కారణం నీటి బాష్పం, ద్రవ బాష్పం రెండింటి మొత్తం పీడనం బాహ్య వాతావరణ పీడనానికి సమానమవడమే. ఈ నీటి ఆవిరి ద్రవ బాష్పం రెండూ కండెన్సర్ ద్వారా ప్రయాణించి ద్రవ మిశ్రమమై సంగ్రహణ పాత్రలో చేరతాయి. అవి ఒక దానితో ఒకటి కలిసిపోవు కాబట్టి వేర్పాటు గరాటుతో వేరు చేయవచ్చు.

ప్రశ్న 21.
క్రోమటోగ్రఫీని విశదీకరించండి.
జవాబు:
క్రోమటోగ్రఫీ :
స్వెట్ (Tswett 1906) ఒక వృక్ష శాస్త్రవేత్త. ఈయన వృక్షాల నుంచి నిష్కరించిన క్లోరోఫిల్, క్సాంతోఫిల్ ఇతర సమ్మేళనాలను కాల్షియం కార్బొనేట్ కాలమ్ ద్వారా ప్రసరింపచేసి (Percolate) వేరు పరచాడు. ఇక్కడ కాల్షియం కార్బొనేట్ కాలమ్ అధిశోషకంగా (adsorbent) గా పనిచేస్తుంది. విభిన్న సమ్మేళనాలు విభిన్న పరిమితుల్లో అధిశోషణం చెందడం వల్ల కాలమ్ విభిన్న స్థానాల్లో విభిన్న రంగుల పట్టీలు వచ్చాయి. స్వెట్ ఈ రంగుల పట్టీలకు క్రోమటోగ్రామ్ అని పేరు పెట్టాడు. ఈ పద్ధతిని క్రోమటోగ్రఫీ అన్నాడు. కాల్షియం కార్బొనేట్ కాలమ్ కదలిక లేనిది కాబట్టి దీనిని స్థిర (Stationary) ప్రావస్థ అంటారు. వృక్ష సంబంధ నిష్కర్ష పదార్థాల ద్రావణాన్ని చలనశీల (Mobile) ప్రావస్థ అంటారు. క్రోమటోగ్రఫీని ఒక మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలను స్థిరప్రావస్థ, చలనశీల ప్రావస్థ అనే రెండు ప్రావస్థతి మధ్య వేరు పరచే విధానంగా అభివృద్ధి చేశారు.

క్రోమటోగ్రఫీలో కింద పేర్కొన్న మూడు దశలు ఇమిడి ఉంటాయి.
a. స్థిరప్రావస్థ మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలను అధిశోషించుకొని స్థిరంగా పట్టి ఉంచుతుంది. చలన శీల ప్రావస్థ అధిశోషించుకోబడిన అనుఘటకాలను వేరు పరచి స్థిరప్రావస్థపై విభిన్న దూరాలకు తీసికొనిపోతుంది.

b. పైవిధంగా వేరుపర్చబడిన అనుఘటకాలను చలనశీల ప్రావస్థను ఆపకుండా పంపి తిరిగి పొందడం దీనినే నిక్షాలన పద్ధతి (elution) అంటారు.

c. గుణాత్మక, పరిమాణాత్మక విశ్లేషణల ద్వారా నిక్షాలన చేసి, సాధించిన సమ్మేళనాలను తెలుసుకోవడం.

క్రోమటోగ్రఫీ పద్ధతుల వర్గీకరణ :
స్థిరప్రావస్థ, చలనశీల ప్రావస్థల భౌతిక స్థితులపై ఆధారపడి కాని, స్థిరప్రావస్థపై పదార్థాలు అధిశోషించుకోబడిన సూత్రంపై ఆధారపడికాని, అనుఘటకాలు స్థిరప్రావస్థ, చలనశీల ప్రావస్థల మధ్య వితరణం (Partition) మీద ఆధారపడి గానీ క్రోమటోగ్రఫీని రకరకాలుగా వర్గీకరిస్తారు.

కోమటోగ్రఫీ పద్ధతి వర్గీకరణ

స్థిరప్రావస్థ మీదుగా పదార్థాల మిశ్రమాన్ని పంపాలి. స్థిరప్రావస్థ ఘనపదార్థం లేదా ద్రవం ఉంటుంది. ఒక శుద్ధ ద్రావణి లేదా ద్రావణుల మిశ్రమం లేదా వాయువును నెమ్మదిగా స్థిరప్రావస్థ పైకి పంపాలి. అప్పుడు మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలు క్రమంగా ఒకదాని నుంచి ఒకటి విడిపోతాయి. ఈ కదిలే ప్రావస్థనే చలనశీల ప్రావస్థ అంటారు.

కింది సాధారణ క్రోమటోగ్రఫీలో ఉండే రెండు సాంకేతిక సూత్రాలను గూర్చి తెలుసుకొంటాం. అవి :

1. అధిశోషణ క్రోమటోగ్రఫీ
2. వితరణ క్రోమటోగ్రఫీ

అధిశోషణ క్రోమటోగ్రఫీలో అధిశోషణిపై వివిధ సమ్మేళనాలు వివిధ అవధుల్లో అధిశోషణం చెందుతాయి. సాధారణంగా వాడే అధిశోషణులు సిలికాజెల్ లేదా అల్యూమినా, చలన శీల ప్రావస్థను స్థిరప్రావస్థపై పంపినప్పుడు చలనశీల ప్రావస్థలోని వివిధ అనుఘటకాలు స్థిరప్రావస్థపై వివిధ దూరాలలో అధిశోషితం చెందుతాయి.

భేదాత్మక అధిశోషణం సూత్రాన్ని ఎ. కాలమ్ క్రోమటోగ్రఫీలోనూ బి. పలుచటి పొర క్రోమటోగ్రఫీలోనూ, వాడతారు.

ప్రశ్న 22.
కింది వాటిని వివరించండి.
a) కాలమ్ క్రోమటోగ్రఫి b) పలుచని పొర క్రోమటోగ్రఫీ c) వితరణ క్రోమటోగ్రఫి.
జవాబు:

a) కాలమ్ క్రోమటోగ్రఫి :
కాలమ్ క్రోమటోగ్రఫిలో మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలను ఒక గాజుగొట్టంలో నింపి ఉన్న అధిశోషకం (స్థిరప్రావస్థ)పై భాగాన ఉంచాలి. గాజు గొట్టానికి కింద ఒక స్టాప్ కాక ఉంటుంది. ఒక సరియైన నిక్షాలకాన్ని అది ఒకే ద్రావణి కావచ్చు లేదా కొన్ని ద్రావణుల మిశ్రమం కావచ్చు, తీసికొని కాలమ్ పైనుంచి కిందికి నెమ్మదిగా ప్రవహింప జేయాలి. అప్పుడు మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలు విభిన్న అవధుల్లో అధిశోషణం చెంది వేరవుతాయి.

b) పలుచని పొర క్రోమటోగ్రఫీ :
ఇది కూడా అధిశోషణాల్లో భేదం వల్లనే ఇక్కడ అధిశోషకం సితికాజెల్ లేదా అల్యూమినాను ఒక గాజు ప్లేటుపై పలుచనిపొర (0.2 mm మందం) గా పూత పూస్తారు. ఈ ప్లేటును టిఎల్సి ప్లేటు లేదా క్రోమెప్లేటు అంటారు. అనుఘటకాలను కలిగి ఉన్న మిశ్రమ ద్రావణాన్ని ప్లేట్ కింది నుంచి రెండు సెంటీ మీటర్ల (2 cm) దూరంలో ఒక చిన్న చుక్క లేదా బొట్టుగా ఉంచుతారు. ఇప్పుడు ప్లేటును నిక్షాలకం ఉన్న ఒక మూసిన పాత్రలో ఉంచుతారు. నిక్షాలకం ప్లేటు పైకి ప్రవహిస్తూ తనతోపాటు మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలను తీసికొని పోతుంది కాని అనుఘటకాల అధిశోషణ అవధులపై ఆధారపడి అవి వివిధ దూరాలు ప్రయాణించి వేరు వేరు దూరాల్లో అధిశోషితమవుతాయి.

ఒక అనుఘటకం సాపేక్ష అధిశోషణం దాని మందనం గుణకం (Retardation factor) Rf విలువతో తెలుపుతారు.

రంగులున్న అనుఘటకాల్ని తేలికగా గుర్తించవచ్చు. రంగులేని వాటిని వాటి ప్రతిదీప్తి ధర్మం ఆధారంగా చేసుకొని అతినీలలోహిత (UV) కిరణాలను ఉపయోగించి గుర్తిస్తారు. కొన్ని సమయాల్లో అనుఘటకాల స్థానాలను అయోడిన్ను అధిశోషింపజేసి గుర్తిస్తారు. ఆ స్థానాలు వాటిపై అయోడిన్ ఆవిర్లు ఊదినప్పుడు గోధుమ రంగుకు మారతాయి. కొన్ని సమయాల్లో ఒక కారకాన్ని చల్లి (Spray) అనుఘటకాల్ని గుర్తిస్తారు. ఎమినో ఆమ్లాల గుర్తింపుకు నిన్ హైడ్రిన్ను వాడతారు.

d) వితరణ క్రోమటోగ్రఫీ :
ఇది మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలు ఆగకుండా స్థిరప్రావస్థ, చలనశీల ప్రావస్థల మధ్య భేదాత్మకంగా వితరణం చెందుతాయి. పేపర్ క్రోమటోగ్రఫీలో ఒక ప్రత్యేకమయిన క్రోమాటోగ్రఫీ పేపరు తీసికొని నీటిని దానిలో ఉంచుతారు (Trap). ఈ నీరు స్థిర ప్రావస్థగా పనిచేస్తుంది. ఈ క్రోమటోగ్రఫీ పేపర్ ఆధారపీఠ గీతపై అనుఘటకాల మిశ్రమ ద్రావణాన్ని చుక్కగా పెట్టి పేపర్ను ఒక సరియైన ద్రావణి (అది ఒకటే ద్రావణి లేదా కొన్ని ద్రావణుల మిశ్రమం కావచ్చు) దీనిలో వేలాడదీస్తారు. ఇక్కడ ద్రావణి చలన శీలప్రావస్థగా పనిచేస్తుంది. ద్రావణి పేపర్పై కాపిలరీ యాక్షన్ (Capillary action) ద్వారా పైకి ప్రయాణించి మిశ్రమపు బొట్టు పైగా పోతుంది.

అప్పుడు పేపర్ విభిన్న అనుఘటకాల్ని ప్రత్యేకంగా తనపై నిలుపుకొంటుంది. అనుఘటకాలు వాటి అభిలాక్షిణిక ధర్మాలపై ఆధారపడి స్థిరప్రావస్థ, చలనశీల ప్రావస్థల మధ్య వేర్వేరుగా వితరణ (Partition) చెందుతాయి. డెవలప్ చేసిన పేపరు క్రోమెటోగ్రాం అంటారు. విడగొట్టబడిన రంగుల అనుఘటకాల చుక్కలను పేపరుపై గుర్తించవచ్చు. రంగులేని అనుఘటకాలను ఇతర కారకాలను చల్లడం వంటి ప్రయత్నాల ద్వారా గుర్తించవచ్చు.

ప్రశ్న 23.
కర్బన సమ్మేళనంలో ఉన్న నైట్రోజన్ భార శాతాన్ని కింది విధానాలలో కనుక్కొనే పద్ధతిని రాయండి. a) డ్యూమాస్ పద్ధతి b) జెల్దాల్ పద్ధతి.
జవాబు:
నైట్రోజన్ భారశాతం : దీనికి రెండు పద్ధతులున్నాయి. అవి :
a) డ్యూమా పద్ధతి (Duma’s method)
b) జెల్దాల్ పద్ధతి (Kjeldahl’s method)

a) డ్యూమా పద్ధతి :
ఈ పద్ధతిలో తెలిసిన భారమున్న కర్బన పదార్థాన్ని ముతక క్యూప్రిక్ ఆక్సైడ్తో కలిపి తీసికొని ప్రబలంగా వేడి చేస్తారు. కార్బన్, హైడ్రోజన్లు కార్బన్ డయాక్సైడ్, నీటి ఆవిర్లుగా ఆక్సీకరణం చెందుతాయి. నైట్రోజన్ ఉంటే అది నైట్రోజన్ వాయువుగా మారుతుంది. కొంత నైట్రోజన్ ఆక్సైడ్లుగా మారినా, ఆక్సైడ్లను వేడి కాపర్ జాలకం (Gauze) తో నైట్రోజన్గా క్షయకరణం చెందుతాయి. ఉత్పన్న వాయువులను KOH ద్రావణం ద్వారా పంపి సంగ్రహిస్తారు. CO₂ వాయువు KOH ద్రావణంలో శోషణం చెందుతుంది. నైట్రోజన్ KOH ద్రావణంపై చేరుతుంది. దాని ఘనపరిమాణాన్ని కొలుస్తారు.

‘a’ g కర్బన పదార్థం V₁ ml నైట్రోజన్ ను TK, ‘P’ mm వాతావరణ పీడనం వద్ద ఇచ్చిందనుకొందాం. ‘p’ mm ని T, K వద్ద నీటి బాష్పపీడనంగా తీసికొంటే నైట్రోజన్ వాయువు పీడనం (P – p) = P₁. నైట్రోజన్ ఘనపరిమాణాన్ని 273, 760 mm కు గణించాలంటే (ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద)

b) జెల్దాల్ (Kjeldah’s) పద్ధతి :
నైట్రోజన్ భార శాతం కనుక్కోవడానికి ఇది ఇంకో పద్ధతి. దీనిలో తెలిపిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనం CuSO₄ సమక్షంలో గాఢ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంతో వేడి చేస్తారు. కర్బన పదార్థంలోని నైట్రోజన్ అంతా పరిమాణాత్మకంగా అమ్మోనియం సల్ఫేట్గా మారుతుంది. ప్రయోగ పాత్రలోని అనుఘటకాలన్నీ వేరే పాత్రలోకి మార్చి అధిక సోడియం హైడ్రాక్సైడ్ ద్రావణంతో వేడిచేస్తే అమ్మోనియా వాయువు విడుదల అవుతుంది. ఈ అమ్మోనియా వాయువును గాఢత, ఘనపరిమాణం తెలిసిన, అమ్మోనియా వాయువు మొత్తాన్ని తటస్థీకరణం చేయడానికి కావలసిన దానికన్నా ఎక్కువ పరిమాణంలో ఉన్న గాఢ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంలోకి పంపి తటస్థీకరణం చెందించగా మిగిలిన ఆమ్లాన్ని ప్రమాణక్షారంతో అంశమాపనం చేస్తారు. దీని నుంచి అమ్మోనియాను తటస్థీకరించడానికి పట్టిన ఆమ్ల ప్రమాణాన్ని గణిస్తారు. దీని నుంచి ఎంత అమ్మోనియా ఏర్పడిందో గణించి దాని నుంచి నైట్రోజన్ భార శాతం లెక్కిస్తారు.
కర్బన పదార్థం + H₂SO₄ → (NH₄)₂SO₄
(NH₄)₂SO₄ + 2 NaOH → Na₂SO₄ + 2H₂O + 2NH₃
2NH₃ + H₂SO₄ → (NH₄)₂SO₄
గణన : కర్బన పదార్ధం ‘a’ g. అనుకొందాం.

మొదటగా తీసికొన్న సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం గాఢత ‘M’ ఘన పరిమాణం ‘V_ml‘ అనుకొంటే

అమ్మోనియా వాయువును పంపిన తరువాత మిగిలిన ఆమ్లాన్ని ‘M’ మోలార్ NaOH ద్రావణంతో తటస్థీకరించడానికి V₁ ml. ల NaOH పట్టిందనుకొంటే
= \(\frac{MV_1}{n_1}\)(NaOH) = \(\frac{MV_2}{n_2}\)(H₂SO₄)
స్థాయికియోమెట్రిక్ సమీకరణం ప్రకారం
2NaOH + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + 2H₂O
n₁ = NaOH మోల్ల సంఖ్య
n₂ = H₂SO₄ మోల్ల సంఖ్య

ప్రశ్న 24.
ప్రేరేపక ప్రభావాన్ని ఒక ఉదాహరణ ఇచ్చి వివరించండి.
జవాబు:
“కర్బన సమ్మేళనపు అణువులో ఒక బంధమునకు ఒక దిశలో ధృవాత్మకత ఉన్నప్పుడు, అణువులోని కార్బన్ శృంఖలము వెంట అదే దిశలో ధృవాత్మకతను కలుగజేయుటను ప్రేరేపక ప్రభావము అందురు”.

ధృవాత్మక సమూహము నుండి దూరము పెరిగే కొలది ప్రేరేపక ప్రభావము తగ్గిపోవును. ఈ ప్రభావము కార్బన్ శృంఖలములో నాల్గవ కార్బన్ తరువాత ఉండదు.

ప్రేరేపక ప్రభావమంటే ధ్రువణం చెందిన ఒక బంధం ప్రక్కనే వేరొక σ బంధంపై ప్రభావం చూపి దానిని కూడా ధ్రువణం చెందించడం అని చెప్పవచ్చు.

ప్రేరేపక ప్రభావం కార్బన్పై ఉన్న ప్రతిక్షేపకాల ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతను దానం చేసే లేదా ఆకర్షించే స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ స్వభావం ఆధారంగా ప్రతిక్షేపకాలను హైడ్రోజన్తో పోల్చి హైడ్రోజన్ కంటే ఎక్కువగా ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతను ఆకర్షించే వాటిని ఎలక్ట్రాన్ ఆకర్షక లేదా ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత తగ్గించే గ్రూపులనీ హైడ్రోజన్తో పోల్చినప్పుడు ఎలక్ట్రాన్లు ఎక్కువగా విడుదల చేసే గ్రూపులను ఎలక్ట్రాన్ దాన గ్రూపులనీ చెబుతారు.

హాలోజన్లు – NO₂, – CN, – COOH, – COOR, – OArలు ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత ఆకర్షించే గ్రూపులు. వీటి ప్రేరేపక ప్రభావాన్ని (- I) గా చూపుతారు. ఆల్కైల్ గ్రూపులు ఎలక్ట్రాన్ దాతలు. వీటి ప్రేరేపక ప్రభావాన్ని (+ I) గా చూపుతారు.

ప్రేరేపక ప్రభావం ముఖ్య లక్షణాలు :
ఇది శాశ్వత ప్రభావం, ప్రేరేపక ఎలక్ట్రాన్ స్థానభ్రంశాల వల్ల బంధంలో జరుగుతుంది. ప్రభావం శృంఖలం పెరిగే కొద్దీ తగ్గుతుంది. మూడో కార్బన్ తరువాత ప్రభావం లేనట్లే భావించవచ్చు. రసాయన చర్యాశీలతపై ప్రభావం చూపుతుంది. భౌతిక ధర్మాలపై ప్రభావం చూపుతుంది.

ప్రశ్న 25.
మీసోమరిక్ ప్రభావాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
మీసోమరిక్ ప్రభావం (Mesomeric effect (M)) :
అణువులోని ఎలక్ట్రాన్లు వీలైనంత వరకు అస్థానీకృతం చెంది అణువుకు స్థిరత్వం తెస్తాయి. ఒంటరి జంటలు, సంయుగ్మతా వ్యవస్థలు ఈ అస్థానీకృతాన్ని ఎక్కువగా చూపుతాయి.

ఒక శృంఖలంలో సంయుగ్మ విధానంలో ఒక పరమాణువు లేదా గ్రూపు ఎలక్ట్రాన్ జంటలను స్థాన భ్రంశం చేసే విధానాన్ని మీసోమరిక్ ప్రభావం అంటారు.

మీసోమరిక్ ప్రభావం ప్రధాన లక్షణాలు :

1. ఇది స్థిరమైన ప్రభావం. అణువు భూస్థితిలో ఉన్నప్పుడు జరుగుతుంది.
2. ఒంటరి జతలు, π ఎలక్ట్రాన్లతో సంయుగ్మ విధానంలో ఎలక్ట్రాన్ స్థానభ్రంశం జరుగుతుంది.
3. ఇది భౌతిక ధర్మాల్ని, చర్యావేగాల్ని ప్రభావితం చేస్తుంది.

ఏ గ్రూపులయితే మిగిలిన అణుభారంతో ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతను పెంచుతాయో వాటికి (+M) ప్రభావముంది అంటారు.
ఉదాహరణకు : -NH₂ గ్రూపుకు + M ప్రభావం ఉన్నట్లుగా భావించాలి. ఏ గ్రూపులయితే ఎలక్ట్రాన్లను తమవైపుకు ఆకర్షించి మిగిలిన అణుభాగంపై ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతను తగ్గిస్తాయో వాటికి (- M) ప్రభావం ఉన్నట్లుగా భావించాలి.

ఉదాహరణకు :
ఇక్కడ > C = O గ్రూపు మిగిలిన అణుభాగంపై ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతను తగ్గిస్తుంది. దీనికి – M ప్రభావం ఉంటుంది.
+ M ప్రభావం చూపే గ్రూపులు – F > – Cl > – Br > – I – NR₂ > OR > F – NH₂ > – OH > – F; – OR > – SR > SeR; – O > – OR

– M ప్రభావం చూపే గ్రూపులు = O > – NR > = CR₂, = R₂ < = NR; N > CR.
– O, – OH, – H, – OH, – CH₃ – NH్క లకు కూడా (- M) ప్రభావం ఉంటుంది.

హాలోజన్లకు – I ప్రభావం ఉంటుంది. కాని వాటి ఒంటరి జతలతో (+ M) ఉంటుంది. ఈ రెండూ వ్యతిరేక దిశల్లో పని చేస్తాయి.

ప్రశ్న 26.
రెజోనెన్స్ ప్రభావాన్ని ఒక ఉదాహరణతో వివరించండి.
జవాబు:
రెజోనెన్స్ ఫలితం :
పక్క పక్క పరమాణువుల మధ్య రెండు T బంధాల లేదా ఒక T బంధం ఒక ఒంటరి జంటల మధ్య జరిగే అంతర్ చర్యల వల్ల ఉత్పన్నమయిన ధ్రువణాన్ని రెజోనెన్స్ ఫలితం అంటారు.

ఈ ఫలితం శృంఖలం ద్వారా ప్రసారమవుతుంది.

ఎలక్ట్రాన్ల బదలాయింపు ప్రతిక్షేపక పరమాణువు లేదా గ్రూపు నుంచి అణువుపైకి సంయుగ్మ వ్యవస్థ ద్వారా జరిగితే దానిని (+ R) తో చూపుతారు. దీని వల్ల అణువులోని కొన్ని స్థానాల్లో ఎక్కువ ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత వస్తుంది. ఎనిలిన్ అణువు ఉదాహరణగా చూడవచ్చు. అదే ఎలక్ట్రాన్ బదలాయింపు ప్రతిక్షేపక పరమాణువులే గ్రూపు వైపుకయితే దానిని (- R) తో చూపుతారు. నైట్రోబెంజీన్ దీనికి ఉదాహరణ.

ఒక అణువు అసలు శక్తికి అత్యంత స్థిరమైన కనోనికల్ (Canonical) నిర్మాణం శక్తికి మధ్య భేదమే రెజొనెన్స్ శక్తి అంటారు.

(+ R) ప్రభావం చూపే గ్రూపులు : X, – OH, – OR, – COOR, – NH₂, -NHR, – NR₂, – NHCOR మొదలైనవి.
(- R) ప్రభావం చూపే గ్రూపులు : -COOH, CHO, > C = O, – CN, – NO₂ మొదలయినవి.

ఒక వివృత లేదా వలయ శృంఖలంలో ఏకబంధాలు, ద్విబంధాలు ఒకటి తర్వాత ఒకటి ఏకాంతరంగా ఉన్న వ్యవస్థను సంయుగ్మ (conjugated) వ్యవస్థ అంటారు.

రెజొనెన్స్ శక్తి :
అసలైన నిర్మాణం (రెజొనెన్స్ సంకర రూపం) శక్తికి అత్యంత స్థిరమైన రెజొనెన్స్ నిర్మాణం శక్తికి మధ్య భేదమే రెజొనెన్స్ శక్తి (+ R) ఫలితం.

ప్రశ్న 27.
కర్బన రసాయన చర్యలు ఎన్ని రకాలో వివరించండి.
జవాబు:
సాధారణ కర్బన రసాయన చర్యలు :
i) ప్రతిక్షేపణ (Substitution) చర్యలు,
ii) సంకలనాత్మక (Addition) చర్యలు,
iii) విలోపన (Elimination) చర్యలు,
iv) అణుపునరమరికలు (Molecular rearrangements) అని నాలుగు వర్గాలుగా విభజించవచ్చు.

i) సంకలనాత్మక చర్యలు : ఈ చర్యల్లో క్రియాధారం, కారకం రెండూ కలిసి ఒక ఉత్పన్నాన్ని ఇస్తాయి.

నెమ్మదిగా జరిగే చర్యావేగ నిర్ధారణదశలో సంకలనం చెందే కారకాన్ని బట్టి సంకలనాత్మక చర్యలను a) ఎలక్ట్రోఫిలిక్ సంకలనాత్మక చర్య, b) న్యూక్లియోలిక్ సంకలనాత్మక చర్య, c) స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక సంకలనాత్మక చర్య అని వర్గీకరించవచ్చు.

ii) ప్రతిక్షేపణ చర్యలు :
ఈ చర్యల్లో ఒక పరమాణువు లేదా గ్రూపు క్రియాధారంలోని వేరే పరమాణువు లేదా గ్రూపును స్థానభ్రంశం చేసి క్రియాధారంతో బంధమేర్పరుస్తుంది.

iii) విలోపన చర్యలు :
ఇక్కడ రెండు లేక అంతకంటే ఎక్కువ పరమాణువులు లేదా గ్రూపులు క్రియాధారం నుంచి విలోపనం చెందుతాయి. దీని వల్ల ద్విబంధం లేదా త్రికబంధం ఉత్పన్నంలో ఏర్పడతాయి.

iv) అణుపునరమరికలు :
ఇక్కడ ఒక కర్బన పదార్ధం (సాధారణంగా తక్కువ స్థిరత్వం గలది), వేరే కర్బన పదార్ధంగా (ఎక్కువ స్థిరత్వం గలది) పునరమరిక చెందుతుంది.
ఉదా : ఫ్రీస్ పునరమరిక చర్య :
0 ఎసైలేటెడ్ ఫినాల్ గతిక నియంత్రిత ఉత్పన్నం. ఫినాల్ను సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్ల సమక్షంలో కార్బాక్సిలిక్ ఆమ్ల ఎన్హెడ్రేడ్లతో చర్య జరిపితే ఎక్టర్ వస్తుంది. అది తిరిగి AlCl₃ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో పునరమరిక చెంది ఎక్కువ స్థిరత్వం గల C-acyl సాదృశ్యాన్నిస్తుంది.

ప్రశ్న 28.
ఈథేన్ అనురూపకాలను రాసి వాటిలో దేనికి స్థిరత్వం ఎక్కువో తెలపండి.
జవాబు:
అనురూపాత్మక సాదృశ్యకములు (Conformers) :
అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు ఒక రకమయిన ప్రాదేశిక సాదృశ్యములు. ఏక బంధంచే కలుపబడిన రెండు పరమాణువులు వాటిపై ఉండే సమూహలతో సహా బంధపు అక్షంపై చక్ర భ్రమణం చేయుట వలన భిన్న ప్రాదేశిక అమరికలు గల రూపములు లభించును. ఈ రూపములను అనురూపాత్మక సాదృశ్యకములు (లేక) చక్ర భ్రమణ సాదృశ్యకము అందురు.

ఈథేన్ – అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు :
ఈథేన్ అణువులో ఒక కర్బన పరమాణువు స్థానమును స్థిరీకరించి, రెండవ కర్బన పరమాణువును ‘C – C’ బంధ అక్షముపై చక్ర భ్రమణము చేయుటవలన అనేక ప్రాదేశిక అమరికలు గల రూపములు లభించును. ఈ రూపములను అనురూపాత్మక సాదృశ్యములందురు.

ఈథేన్ ప్రధాన అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు :

1. గ్రహణ ఆకృతి (eclipsed form)
2. అస్తవ్యస్త ఆకృతి (staggered form)

గ్రహణ ఆకృతిలో రెండు కర్బన పరమాణవులపై గల హైడ్రోజన్ పరమాణువులు అతిసన్నిహితంగా ఉండుట వలన వీటిమధ్య వికర్షణ బలములు అధికము. శక్తి అధికము. కనుక ఈ రూపమునకు స్థిరత్వము తక్కువ.

అస్తవ్యస్త ఆకృతిలో రెండు కర్బన పరమాణువులపై గల హైడ్రోజన్ పరమాణువులు వీలయినంత దూరంగా ఉండుటవలన, ఈ రూపములో వికర్షణ బలములు అతి స్వల్పము. కనుక శక్తి తక్కువ. అందువలన దీనికి స్థిరత్వము అధికము.

ఈథేన్ అణువులు నిరంతరము ఒకదానితో ఒకటి తాడనము చెందుటవలన వాటి శక్తి మారుతూ ఉండును. కనుక ఈ రూపములు కూడా నిరంతరము ఒకదాని నుండి ఇంకొకటి మారుతూవుండును. ఈ రూపముల మధ్య శక్తి తేడా చాలా తక్కువ కావున, ఈ రూపములను వేరుచేయుట సాధ్యం కాదు.

ప్రశ్న 29.
బెంజీన్ యొక్క ఏరోమాటిక్ ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యలను వివరించండి.
జవాబు:
బెంజీన్ ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ఏరోమాటిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యల చర్యా విధానం :
బెంజీన్ ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యలు రెండు దశలలో జరుగుతాయి.

1. ఎలక్ట్రోఫైల్ ఏర్పడటం.
2. ఎ. కార్బొకాటియాన్ మధ్యస్థం ఏర్పడటం.
   బి. కార్బొనేటియాన్ మధ్యస్థం నుంచి ప్రోటీన్ తొలగించడం.

1. బెంజీన్ హాలోజనీకరణం, ఆల్కైలేషన్, ఎసైలేషన్ చర్యల్లో నిర్జన AlCl₃, అనే లూయీ ఆమ్లం క్లోరిన్ లేదా హాలోజన్తో, (X₂) ఆల్కైల్ హాలైడ్తో లేదా ఎసైల్ హాలైడ్ తో చర్య జరిపి X⁺ క్లోరిన్ అయితే C⁺, R⁺, RCO⁺ లను వరుసగా ఇస్తుంది.

II) a) కార్బొకాటియాన్ ఏర్పడటం :
పైన ఉత్పన్నమయిన ఎలక్ట్రోఫైల్ ఒక బెంజీన్ అణువులోని కార్బన్పై చర్య జరిపి దానిని sp³ కార్బన్ మారుస్తుంది. ఆ విధంగా ఏర్పడిన (అర్రీనియం అయాన్) కార్బొకాటియాన్ రెజొనెన్స్ ద్వారా స్థిరత్వం పొందుతుంది.

b) ప్రోటాన్ వదులుకోవడం :
తిరిగి ఏరోమాటిక్ లక్షణం పొందడానికి అరీనియం అయాన్ sp³ కార్బన్ నుంచి ఒక ప్రోటాను కోల్పోతుంది. ఇది హాలోజనీకరణం, ఆల్కైలేషన్, ఎసైలేషన్లలో (AlCl₄)^– తో చర్య జరపడం ద్వారా, నైట్రేషన్లో చర్య ద్వారా.

బెంజీన్ యొక్క ప్రతిక్షేపణ చర్యలు :
1. హాలోజనీకరణం :
బెంజీన్ ను FeCl₃ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో క్లోరిన్ తో చర్య జరుపగా క్లోరో బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

2. నైట్రోకరణం :
బెంజీన్ ను నైట్రోషన్ మిశ్రమం (గాఢ HNO₃ + గాఢ H₂SO₄) తో 60°C కన్న తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య జరుపగా నైట్రోబెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

3. సల్ఫోనీకరణం :
బెంజీన్ సుథూమ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంతో చర్య జరిపి బెంజీన్ సల్ఫోనిక్ ఆమ్లమునిస్తుంది.

4. ఆల్కైనీకరణం :
బెంజీన్ AlCl₃ సమక్షంలో ఆల్కైల్ హాలైడ్లతో చర్య జరిపి ఆల్కైల్ బెంజీన్ ఇస్తుంది.

5. ఎసైలేషన్ :
బెంజీన్, AlCl₃ సమక్షంలో ఎసైలోరైడ్తో చర్య జరిపి ఎసైల్ బెంజీన్ ఇస్తుంది.

ప్రశ్న 30.
ఇథిలీన్ సంకలన చర్యలను (ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్) చర్యాగతిని వివరించండి.
జవాబు:
ఇథిలీన్ ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్ సంకలన చర్యా విధానము :
ఇథిలీన్ కార్బన్ – కార్బన్ మధ్యవున్న ద్విబంధంలోని π – ఎలక్ట్రాన్లు ఎలక్ట్రోఫైల్కు అందుబాటులో ఉంటాయి. ద్విబంధంపై ఎలక్ట్రోఫైల్ సంకలన చర్యలో రెండు క్రొత్త σ – బంధాలు ఏర్పడతాయి. ద్విబంధంలోని π – బంధవిచ్ఛేదన వల్ల ఈ క్రొత్త σ – బంధాలేర్పడతాయి.

మొదటిదశ :
ఇథిలీన్ పై ఎలక్ట్రోఫైల్ (E⁺) చర్యలో కార్బోనియం అయాన్ ఏర్పడుతుంది.

రెండవ దశ :
పైదశలో ఏర్పడిన కార్బోనియం అయాన్ పై న్యూక్లియోఫైల్ (Nu^–) చర్యలలో అంతిమ ఉత్పన్నమేర్పడుతుంది.

చర్యా విధానము :

ప్రశ్న 31.
చర్యా సంవిధానం (mechansim of the reaction) ద్వారా ఆల్కేన్ స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక హాలేజినేషన్ చర్యను వివరించండి.
జవాబు:
హాలోజనేషన్ లేదా హాలోజనీకరణం : ఈథేన్ హాలోజన్లతో వ్యాపన సూర్యరశ్మి లేదా UV కిరణాలతో లేదా 700 K కంటే పై ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య జరుపుతుంది.

చర్య ఇక్కడితో ఆగదు. హైడ్రోజన్ల స్థానభ్రంశం అన్ని హైడ్రోజన్లతో జరగవచ్చు. ఈ విధంగా C₂H₄Cl₂, C₂H₃Cl₃ C₂Cl₆ వరకు వస్తాయి. అందుకే ఈథేన్తో క్లోరిన్ చర్యలో అనేక క్లోరో ఉత్పన్నాల మిశ్రమం వస్తుంది. దీనికి కారణం ఈథేన్లలో ఒక హైడ్రోజన్ పరమాణువు నుంచి ఆరు హైడ్రోజన్ పరమాణువుల వరకు మొత్తం హైడ్రోజన్లు క్లోరిన్ పరమాణువులతో ప్రతిక్షేపింపబడే అవకాశం ఉండడమే.

హాలోజనీకరణం స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదికా విధానంలో జరుగుతుంది.

చర్యా విధానం :
క్లోరినీకరణ చర్య తీసుకొంటే ఈ చర్య మూడు దశల్లో జరుగుతుంది. ఆ దశలు i) శృంఖల చర్యల ప్రారంభం (Initiation), ii) శృంఖల చర్యల వ్యాప్తి (Propagation), iii) శృంఖల చర్యల ముగింపు (Termination)

1. అయితే శృంఖల సాదృశ్యాల్లో పక్క శృంఖలాలు పెరిగే కొద్దీ బాష్పీభవన స్థానాలు తగ్గుతాయి.
i) శృంఖల చర్య ప్రారంభ చర్య :
ఇక్కడ క్లోరిన్ అణువు శక్తిని గ్రహించి క్లోరిన్ స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదికలుగా విడిపోతుంది. C – C, C – H బంధాలు సాపేక్షంగా బలమైనవి కావడం వల్ల ఈ దశలో అవి విచ్ఛిన్నం కావు.

ii) శృంఖల చర్య వ్యాప్తి :
పైన ఏర్పడిన క్లోరిన్ స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదికలు ఈథేన్ అణువుతో చర్య జరుపుతాయి. ఇది రెండో దశ.

(a), (b) చర్యలు అనేక మార్లు పునరావృతమై చర్యను శృంఖల చర్యగా మారుస్తాయి. అందుకే (a), (b) లను చర్యావ్యాప్తి చర్యలు అంటారు. ఈ దశలోనే ప్రధాన ఉత్పన్నాలు ఏర్పడతాయి.

(a), (b) తో పాటు ఇంకా ఇతర హైడ్రోజన్లను కూడా ప్రతిక్షేపించే ఇతర చర్యలు జరుగుతాయి.

iii) శృంఖల చర్యల ముగింపు :
స్వేచ్ఛాప్రాతిపదికలు నేరుగా కలిసిపోయి శృంఖల చర్యలు అంతమవుతాయి. ఇది సాధారణంగా ఒక క్రియాజనకం పూర్తిగా చర్యలో పాల్గొని ఇంకా చర్య జరిపేందుకు ఏమీ మిగలకపోవడం లేదా ఇతర ప్రక్క చర్యలు జరగడం వంటి కారణాల వల్ల జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 32.
మార్కొనికాఫ్ నియమం, ఖరాష్ ప్రభావాల్ని వివరించండి.
జవాబు:
i) మార్కొనికాఫ్ నియమం నిర్వచనం :
ఈ నియమం ప్రకారం ఒక అసమ కారకం (unsymmetrical reagent) (C = C) ద్విబంధం దగ్గర సంకలనం చెందేప్పుడు దాని ధనావేశ భాగం ఎక్కువ స్థిరత్వముండే కార్బొకాటియాన్ మధ్యస్థం ఏర్పడేందుకు వీలుగా ఉన్న ద్విబంధ కార్బన్పై సంకలనం చెందుతుంది.

చర్యా విధానం :
ద్విబంధంలోని II ఎలక్ట్రాన్ జంట ఎలక్ట్రోఫైల్ అయిన HX పై చర్య జరిపి ఎకైరల్ ట్రై గొనల్ సమతల కార్బొకాటియాను ఇస్తుంది. అప్పుడు హాలైడ్ అయాన్ (X^–) ధన విద్యుదావేశ కార్బన్పై ముందు, వెనుక ఏ వైపు నుంచైనా చర్య జరిపి ఆల్కైల్ హాలెడ్ ఉత్పన్నం ఇస్తుంది.
స్థిరత్వంలో టెర్షియరీ C⁺ > సెకండరీ C⁺ > ప్రైమరీ C⁺ గా ఉంటుంది.

ii) యాంటి మార్కొనికాఫ్ సంకలనం, పెరాక్సైడ్ ప్రభావం లేదా ఖరాష్ ప్రభావం ఉత్సనం :
(Anti Markownikoff’s addition or peroxide effect or Kharasch effect)
పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో (R – O – O – R) HBr ను ప్రొపీన్ లాంటి ఒక అసమ ఆల్కీను కలిపినపుడు సంకలనం మార్కోనీకాఫ్ నియమానికి వ్యతిరేకంగా జరుగుతుంది. నియమం ప్రకారం ప్రొపీన్ లాంటి అసౌష్ఠవ ఆల్కీన్కు HBr ను పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో జరిపినపుడు కారకంలోని H ద్విబంధం వద్ద ఏ కార్బన్పై తక్కువ హైడ్రోజన్లు ఉంటాయో దానితో బంధమేర్పరుస్తుంది.

2° స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక కంటే 1° స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక ఎక్కువ స్థిరత్వం గలది. అందువల్ల 1-బ్రోమోప్రొపేన్ ప్రధాన ఉత్పన్నం.

ప్రశ్న 33.
బెంజీన్ నుండి ఈ క్రింది వాటిని ఏ విధంగా పొందవచ్చు?
a) క్లోరో బెంజీన్ b) టోలీస్ c) p- నైట్రో టోలీన్
జవాబు:
a) బెంజీన్ క్లోరిన్తో FeCl₃ సమక్షంలో చర్య జరిపి క్లోరో బెంజీన్ ను ఏర్పరచును.

b) బెంజీన్ CH₃Cl తో AlCl₃ సమక్షంలో చర్య జరిపి టోలీన్ ను ఏర్పరచును. (ఫ్రీడల్ క్రాఫ్ట్ చర్య)

c) బెంజీన్ నుండి p- నైట్రోటోలీన్ ఈ క్రింది విధంగా ఏర్పడును.

ప్రశ్న 34.
బేసి సంఖ్యలో కార్బన్లున్న ఆల్కేన్లను ఉర్ట్ చర్య ద్వారా ఎందుకు తయారుచేయలేరు? ఏదైనా ఉదాహరణతో వివరించండి.
జవాబు:
ఉర్జ్ చర్య :
ఆల్కైల్ హేలైడ్లు సోడియం లోహంతో పొడి ఈథర్ సమక్షంలో చర్య జరిపి ఆల్కేన్లను ఏర్పరచును.

• ఉర్ట్జ్ చర్యను బేసి సంఖ్యలో కార్బన్లు ఉన్న ఆల్కేన్లను తయారుచేయుటకు ఎక్కువగా ఉపయోగించరు.
• బేసి సంఖ్యలో కార్బన్లు ఉన్న ఆల్కేన్లను తయారుచేయుటకు రెండు విభిన్నమైన ఆల్కైల్ హాలైడ్లను తీసుకొనవలెను.
• ఏర్పడే ఉత్పన్నం తక్కువ మొత్తంలో ఏర్పడును. ఎందువలన అనగా ఉత్పన్నం మిశ్రమ రూపంలో ఏర్పడును.
• మీథేన్ ను ఈ చర్య ద్వారా తయారుచేయలేము.

ప్రశ్న 35.
కర్బన సమ్మేళనాలలో నైట్రోజన్, సల్ఫర్, హాలోజన్లను గుణాత్మకంగా విశ్లేషించే సమీకరణాలను రాయండి.
జవాబు:
హాలోజన్లు, నైట్రోజన్, సల్ఫర్లను గుర్తించడం :
(లాసైన్ పరీక్ష లేదా సోడియం నిష్కర్షణ పరీక్ష) :
లాసైన్ పరీక్షలో సమ్మేళనాన్ని ఒక జ్వలన నాళిక (Ignition tube) లో సోడియం లోహంతోపాటు తీసికొని నాళిక ఎర్రగా మారే వరకు వేడిచేస్తే సమ్మేళనం, సోడియం కరుగుతాయి. అప్పుడు క్రింది చర్యలు జరుగుతాయి.
నైట్రోజన్ కనుక కర్బన పదార్థంలో ఉంటే NaCN వస్తుంది.

కర్బన పదార్థంలో సల్ఫర్ ఉంటే (Nazs) ఏర్పడుతుంది.
2 Na + S → Na₂S
కర్బన పదార్థంలో హాలోజన్లు ఉంటే
2 Na + X₂ → 2NaX(X = Cl, Br, I)

ఎర్రని వేడి జ్వలన నాళికను స్వేదన జలంలో ముంచి పైన వచ్చిన కరిగిన ద్రవ్యరాశిని నీటితో నిష్కర్షణ చేసి ద్రావణాన్ని పది నిముషాల పాటు మరిగించి వడపోయాలి. గాలిత ద్రవాన్ని సోడియం నిష్కర్షణ (Sodium extract) అంటారు.

i) నైట్రోజన్ పరీక్ష :
ఒక భాగం సోడియం నిష్కర్షణను తీసికొని అది క్షార ద్రావణం కాకపోతే కొంత NaOH ద్రావణాన్ని కలిపి అప్పుడే తయారు చేసిన ఫెర్రస్ సల్ఫేట్ ద్రావణాన్ని కలపాలి. దీనికి 2 లేదా 3 చుక్కల FeCl₃ ద్రావణం కలిపి, చల్లబరచి గాఢ HCl ద్రావణంతో ఆమ్లీకృతం చేయాలి. ప్రసన్ బ్లూ (Prhssian blue) లేదా ఆకుపచ్చని రంగు లేదా అవక్షేపం వస్తే నైట్రోజన్ ఉన్నట్లు.

ii) సల్ఫర్ పరీక్ష :
ఒక భాగం సోడియం నిష్కర్షణ తీసుకొని దానికి తాజాగా తయారుచేసిన సోడియం నైట్రోప్రసైడ్ ద్రావణం కలపాలి. ముదురు ఉదారంగు వస్తుంది.

N, S రెండూ ఉంటే Na + C + N + S → NaSCN సోడియం ఢయోసైనేట్.
దీనికి FeCl₃ ద్రావణాన్ని కలిపితే Fe³⁺ + SCN^– → [Fe(SCN)]²⁺ రక్తపు రంగు.

రక్తపు రంగు రాకుంటే N లేదా SS లేవని అర్థం. సోడియం ఎక్కువగా తీసికొని సోడియం నిష్కర్షణ తయారు చేస్తే ధయోసయనేటి వియోగం చెంది CN, S^2- వస్తాయి.
Na SCN + 2Na → NaCN + Na₂S

సోడియం ప్యూజిన్ ఎక్స్ట్రాక్ట్ లేదా సోడియం ద్రవ నిష్కర్షణను ఎసిటిక్ ఆమ్లంతో ఆమ్లీకృతం చేసి లెడ్ ఎసిటేట్ ద్రావణాన్ని కలిపితే నల్లని అవక్షేపం వస్తుంది.
Pb² + S^2- → PbS

iii) హాలోజన్ల పరీక్ష :
సోడియం ఎక్స్ట్రాక్ట్ను నైట్రికామ్లంతో ఆమ్లీకృతం చేసి AgNO, ద్రావణాన్ని కలపాలి.
Ag⁺ + X^– → AgX

తెల్లని అవక్షేపం ఏర్పడి, అది NH₄OH ద్రావణంలో కరిగితే ఆ హాలైడ్ Cl^–. అంటే క్లోరిన్ ఉన్నట్లు లేత పసుపు పచ్చ అవక్షేపం ఏర్పడి, అది NH₄OH ద్రావణంలో అతి తక్కువగా కరిగితే అది Br^–. అంటే బ్రోమిన్ ఉన్నట్లు, పసుపు పచ్చని అవక్షేపం ఏర్పడి, అది NH₄OH ద్రావణంలో దాదాపు కరగకపోతే అది అయోడైడ్ (I^–). అంటే అయోడిన్ ఉన్నట్లు.

c) ఫాస్ఫరస్ ను గుర్తించడం: సమ్మేళనాన్ని సోడియం పెరాక్సైడ్ వంటి ఆక్సీకరణితో వేడి చేసినప్పుడు సమ్మేళనంలోని ఫాస్ఫరస్ ఆక్సీకరణం చెంది PO 3 ద్రావణాన్ని HNO తో మరిగించి అమ్మోనియం మోలిబ్రేట్ తో చర్య జరపాలి. అప్పుడు కానరీపక్షి రంగును పోలిన పసుపు పచ్చని అవక్షేపం వస్తే ఫాస్ఫరస్ ఉన్నట్లు.
Na₃PO₄ + 3HNO₃ → H₃PO₄ + 3NaNO₃.
H₃PO₄ + 12(NH₄)₂M0O₄ + 21HNO₃ → (NH₄)₃ PO₄. 12M0O₃ + 12H₂O అమ్మోనియం ఫాస్ఫోమోలిబేట్.

d) ఆక్సిజన్ను గుర్తించడం ఆక్సిజన్కు ప్రత్యక్ష పరీక్ష లేదు. అయితే కర్బన పదార్థాన్ని నైట్రోజన్ వాతావరణంలో వేడిచేస్తే పరీక్షనాళిక గోడలపై నీటిబిందువులు కనబడితే ఆక్సిజన్ ఉన్నట్లు. OH, CHO, COOH, NO వంటి ప్రమేయ సమూహాలను గుర్తిస్తే ఆక్సిజన్ ఉన్నట్లుగా గ్రహించవచ్చు. ఈ విధంగా కాకుండా సమ్మేళనం సంఘటన శాతం కనుగొన్న తరువాత మొత్తం 100% కు రాకుంటే ఆ భేదం ఆక్సిజన్ వలన అనుకోవచ్చు.

ప్రశ్న 36.
కర్బన సమ్మేళనంలో కార్బన్, హైడ్రోజన్ల భారశాతాన్ని కనుక్కోవడానికి అనువైన సమీకరణాలను రాయండి.
జవాబు:
కార్బన్, హైడ్రోజన్ల భార శాతం కనుక్కోవడం: ఒకే ప్రయోగంలో ఒకేసారిగా రెండు మూలకాల భారశాతం కనుక్కోవచ్చు. తెలిసిన భారం గల కర్బన పదార్థాన్ని తీసికొని దానిని కాపర్ (II) ఆక్సైడ్ సమక్షంలో అధిక గాలి సమక్షంలో పూర్తిగా దహనం చెందించాలి. ( దహనం చెంది CO్క గాను H దహనం చెంది H2O గాను మారతాయి.
C_x H_y + x + \(\frac{y}{2}\)O₂ → x CO₂ + \(\frac{y}{2}\) H₂O.

ఆ విధంగా లభించిన CO₂.H₂O లను ముందుగానే తూచి వరుసగా ఉంచిన నిర్జల కాల్షియం క్లోరైడ్, కాస్టిక్ పొటాష్లతో ఉన్న విడి విడి U గొట్టాలలోకి పంపుతారు. కాల్షియం క్లోరైడ్ ఏ గొట్టంలో పెరిగిన బరువు వెలువడిన నీటి ఆవిరి బరువుగాను కాస్టిక్ పొటాష్ U గొట్టంలో పెరిగిన బరువు విడుదలయిన CO₂ భారంగాను ఉంటాయి.

‘a’ గ్రాముల కర్బన పదార్థం దహనం చెంది ‘b’ గ్రాముల నీటి ఆవిరి, ‘C’ గ్రాముల CO₂ ల, నిచ్చాయని అనుకొందాం. ఇప్పుడు CO₂ భారశాతం గణించే విధానం చూద్దాం.

కార్బన్ భార శాతం (%): 12g. కార్బన్ 44g. CO₂ లో ఉంది.
? ← + ‘C’ g. of CO₂
⇒ \(\frac{22}{44}\) × C g ల కార్బన్
‘a’ గ్రాముల కర్బన పదార్థంలో \(\frac{22}{44}\) × C g కార్బన్ ఉంటే
100 గ్రాముల కర్బన పదార్థంలో ఎంత కార్బన్ ఉంది ? = \(\frac{100}{a}\times\frac{2}{18}\) × c g.

హైడ్రోజన్ భారశాతం (%) :
18 గ్రాముల నీటిలో 2 గ్రా.ల హైడ్రోజన్ ఉన్నది.
‘b’ గ్రాముల నీటిలో ఎన్ని గ్రా. హైడ్రోజన్ ఉన్నది?
⇒ \(\frac{b}{18}\) × 2g
‘a’ g కర్బన పదార్ధంలో \(\frac{b}{18}\) × 2g హైడ్రోజన్ ఉన్నది

100 గ్రాముల కర్బన పదార్ధంలో ఎన్ని (?) గ్రాముల హైడ్రోజన్ ఉన్నది.
\(\frac{b\times2}{18}\times\frac{100}{a}\)

ప్రశ్న 37.
నైట్రోజన్ భారశాతాన్ని డ్యూమాస్, జెల్దాల్ పద్ధతిలో కనుక్కొనే విధానాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
నైట్రోజన్ భారశాతం : దీనికి రెండు పద్ధతులున్నాయి. అవి :
i) డ్యూమా పద్ధతి (Duma’s method)
ii) జెల్దాల్ పద్ధతి (Kjeldahl’s method)

i) డ్యూమా పద్ధతి :
ఈ పద్ధతిలో తెలిసిన భారమున్న కర్బన పదార్థాన్ని ముతక క్యూప్రిక్ ఆక్సైడ్తో కలిపి తీసికొని ప్రబలంగా వేడి చేస్తారు. కార్బన్, హైడ్రోజన్లు కార్బన్ డయాక్సైడ్, నీటి ఆవిర్లుగా ఆక్సీకరణం చెందుతాయి. నైట్రోజన్ ఉంటే అది నైట్రోజన్ వాయువుగా మారుతుంది. కొంత నైట్రోజన్ ఆక్సైడ్లుగా మారినా, ఆక్సైడ్లను వేడి కాపర్ జాలకం (Gauze) తో నైట్రోజన్గా క్షయకరణం చెందుతాయి. ఉత్పన్న వాయువులను KOH ద్రావణం ద్వారా పంపి సంగ్రహిస్తారు. CO₂ వాయువు KOH ద్రావణంలో శోషణం చెందుతుంది. నైట్రోజన్ KOH ద్రావణంపై చేరుతుంది. దాని ఘనపరిమాణాన్ని కొలుస్తారు.

‘a’ g కర్బన పదార్థం V₁ ml నైట్రోజన్ ను TK, ‘P’ mm వాతావరణ పీడనం వద్ద ఇచ్చిందనుకొందాం. ‘p’ mm ని T, K వద్ద నీటి బాష్పపీడనంగా తీసికొంటే నైట్రోజన్ వాయువు పీడనం (P – p) = P₁. నైట్రోజన్ ఘనపరిమాణాన్ని 273, 760 mm కు గణించాలంటే (ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద)

ii) జెల్దాల్ (Kjeldahl’s) పద్ధతి :
నైట్రోజన్ భార శాతం కనుక్కోవడానికి ఇది ఇంకో పద్ధతి. దీనిలో తెలిపిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనం CuSO₄ సమక్షంలో గాఢ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంతో వేడి చేస్తారు. కర్బన పదార్థంలోని నైట్రోజన్ అంతా పరిమాణాత్మకంగా అమ్మోనియం సల్ఫేట్గా మారుతుంది. ప్రయోగ పాత్రలోని అనుఘటకాలన్నీ వేరే పాత్రలోకి మార్చి అధిక సోడియం హైడ్రాక్సైడ్ ద్రావణంతో వేడిచేస్తే అమ్మోనియా వాయువు విడుదల అవుతుంది. ఈ అమ్మోనియా వాయువును గాఢత, ఘనపరిమాణం తెలిసిన, అమ్మోనియా వాయువు మొత్తాన్ని తటస్థీకరణం చేయడానికి కావలసిన దానికన్నా ఎక్కువ పరిమాణంలో ఉన్న గాఢ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంలోకి పంపి తటస్థీకరణం చెందించగా మిగిలిన ఆమ్లాన్ని ప్రమాణక్షారంతో అంశమాపనం చేస్తారు. దీని నుంచి అమ్మోనియాను తటస్థీకరించడానికి పట్టిన ఆమ్ల ప్రమాణాన్ని గణిస్తారు. దీని నుంచి ఎంత అమ్మోనియా ఏర్పడిందో గణించి దాని నుంచి నైట్రోజన్ భార శాతం లెక్కిస్తారు.
కర్బన పదార్థం + H₂SO₄ → (NH₄)₂SO₄
(NH₄)₂SO₄ + 2 NaOH → Na₂SO₄ + 2H₂O + 2NH₃
2NH₃ + H₂SO₄ → (NH₄)₂SO₄

గణన : కర్బన పదార్ధం ‘a’ g. అనుకొందాం.
మొదటగా తీసికొన్న సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం గాఢత ‘M’ ఘన పరిమాణం ‘V_ml‘ అనుకొంటే
అమ్మోనియా వాయువును పంపిన తరువాత మిగిలిన ఆమ్లాన్ని ‘M’ మోలార్ NaOH ద్రావణంతో తటస్థీకరించడానికి V₁ ml. ల NaOH పట్టిందనుకొంటే

ప్రశ్న 38.
కర్బన సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్, ఫాస్ఫరస్, ఆక్సిజన్ల పరిమాణాత్మక విశ్లేషణను వివరించండి.
జవాబు:
1) ఫాస్ఫరస్ భార శాతం :
ఫాస్పరస్ భారశాతాన్ని కనుక్కోడానికి తెలిసిన ద్రవ్యరాశి గల కర్బన పదార్థాన్ని కేరియస్ నాళికలో సధూమ నైట్రిక్లామంతో వేడి చేయాలి. ఫాస్ఫరస్ ఫాస్ఫారిక్ ఆమ్లంగా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. ఈ ఆమ్లాన్ని అమ్మోనియా, అమ్మోనియం మోలిబేట్ ద్రావణాలు కలిపి అమ్మోనియం ఫాస్ఫోమోలిబ్దేటి (NH₄)₃ PO₄ 12M0O₃ గా అవక్షేపించాలి. కొన్ని సమయాల్లో ఆమ్లాన్ని మెగ్నీషియం మిశ్రమం కలిపి అవక్షేపిస్తారు. (మెగ్నీషియం మిశ్రమమంటే 100.0g. ల MgCl₂, 6H₂O. 100.0g. ల NH₄Cl లను నీటిలో కరిగించి ఆ ద్రావణాన్ని 1000 ml లకు విలీనం చేస్తే వచ్చే ద్రావణం) అప్పుడు మెగ్నీషియం అమ్మోనియం ఫాస్ఫేట్ అవక్షేపమేర్పడుతుంది. (Mg NH₄ PO₄) దీనిని జ్వలనం చేస్తే మెగ్నీషియం పైరో ఫాస్ఫేట్ (Mg₂P₂O₇) వస్తుంది.

పరిశీలనలు, గణనలు :
‘a’ y’ ల కర్బన సమ్మేళనం తీసుకుంటే ‘b’ g ల అమ్మోనియం ఫాస్ఫో మోలిబ్రేట్ ఏర్పడిందనుకొందాం.
అమ్మోనియం ఫాస్ఫోమోలిబ్రేట్ అణు ద్రవ్యరాశి (NH₄)₃PO₄ 12MoO₃ = 1877
1877 ge) (NH₄)₃PO₄ 12MoO₃లో 31.0g ల ‘P’ ఉంటే ‘b’g ల (NH₄)₃ PO₄ 12M0O₃ లో ‘P’ ఎంత ఉంటుంది?
\(\frac{b}{1877}\) × 31.0 g
‘a’ g ల కర్బన పదార్థంలో
\(\frac{b}{1877}\) × 31.0 g ల ‘p’ ఉంటే 100g. కర్బన పదార్థంలలో ఎన్ని g ల ‘p’ ఉంటుంది.

2) సల్ఫర్ భార శాతం :
కర్బన్ సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ భారశాతం కనుక్కోవవడానికి తెలిసిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని సోడియం పెరాక్సైడ్ లేదా సధూమనైట్రికామ్లంతో కేరియస్ నాళికలో వేడిచేస్తారు. సల్ఫర్ గనుక సమ్మేళనంలో ఉంటే అది సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంగా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. ఈ ఆమ్లాన్ని అధికంగా బేరియం క్లోరైడ్ ద్రావణం కలిపి బేరియం సల్ఫేట్గా అవక్షేపిస్తారు. ఈ అవక్షేపాన్ని వడపోత ద్వారా వేరు చేసి కడిగి, పొడి (dry) బేసి (నిర్జలీకరణం) భారాన్ని కనుగొంటారు.

పరిశీలనలు, గణనలు :
కర్బన సమ్మేళనం భారం a g అనుకొందాం.
ఏర్పడిన బేరియం సల్ఫేట్ భారం bg అనుకొందాం.
బేరియం సల్ఫేట్ అణుద్రవ్యరాశి = 233
1మోల్ BaSO₄ లో లేదా 233.0 g ల BaSO₄ లో 32.0 g ల సల్ఫర్ ఉంటుంది.
‘b’ g ల BaSO₄ లో ఎంత సల్ఫర్ ఉంటుంది ?

3) ఆక్సిజన్ భారశాతము :
తెలిసిన ద్రవ్యరాశి గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని నైట్రోజన్ వాయువు సమక్షంలో వేడి చేసి వియోగం చెందిస్తారు. వెలువడిన ఉత్పన్న ఆక్సైడ్ వాయువుల మిశ్రమాన్ని ఎర్రటి వేడి బొగ్గుపైకి పంపి మొత్తం ఆక్సైడ్లలో ఉన్న ఆక్సిజన్ను CO గా మార్చుతారు. ఆ తర్వాత మిశ్రమ వాయువులను వేడి I₂O₅ పైకి పంపితే CO తిరిగి CO₂ గా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. అయోడిన్ వెలువడుతుంది.

గణనలు :
కర్బన సమ్మేళనం భారం ‘a’ g అనుకొంటే, వచ్చిన CO₂ ద్రవ్యరాశి ‘b’ g అనుకొంటే 44g ల CO₂లో 32 g ల ఆక్సిజన్ ఉన్నది ‘b’ g ల CO₂ లో ఎంత ఆక్సిజన్ ఉన్నది?

గమనిక :
ఆక్సిజన్ భారశాతాన్ని పరోక్ష పద్ధతిలో ఈ విధంగా కనుగొంటారు.
ఆక్సిజన్ భారశాతం= (100 – మిగిలిన మూలకాల మొత్తం భారాల శాతం)

ప్రశ్న 39.
కేరియస్ పద్ధతిలో జరిపే కర్బన సమ్మేళనంలోని హాలోజన్ను పరిమాణాత్మక విశ్లేషణ వివరించండి.
జవాబు:
హాలోజన్ భారశాతం:
హాలోజన్ భారశాతాలను కేరియస్ (Carius) పద్ధతిలో తెలిసిన ద్రవ్యరాశి గల కర్బన రసాయన పదార్ధాన్ని సధూమ నైట్రికామ్లం (Fuming nitric acid) తో సిల్వర్ నైట్రేట్ సమక్షంలో ఒక ప్రత్యేకమయిన బలమయిన గాజు నాళికలో వేడి చేస్తారు. ఈ గాజునాళికలను కేరియస్ నాళిక అంటారు. సమ్మేళనంలోని కార్బన్, హైడ్రోజన్లు CO₂, H₂O లుగా ఆక్సీకరణం చెందుతాయి. హాలోజన్ సిల్వర్ హాలైడ్గా మారుతుంది. ఈ విధంగా వచ్చిన సిల్వర్ హాలైడ్ను (AgX) వడపోత ద్వారా వేరు చేసి కడిగి పొడిగా చేసి భారం కనుక్కొంటారు.

పరిశీలనలు, గణనలు :
కర్బన సమ్మేళనం ద్రవ్యరాశి ‘a’ g అనుకొందాం.
ఏర్పడిన AgX ద్రవ్యరాశీ

మూడు హాలోజన్లు (Cl, Br, I) కు గణనాలు
i) క్లోరిన్ :
పరమాణు ద్రవ్యరాశులు క్లోరిన్, సిల్వర్లకు వరుసగా 35.5, 108 సిల్వర్ క్లోరైడ్ ఆణుద్రవ్యరాశి = 35.5 + 108 = 143.5

ii) బ్రోమిన్ :
బ్రోమిన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 80 ; AgBr = అణు ద్రవ్యరాశి = 188

iii) అయోడిన్ :
అయోడిన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి 127 ; AgI అణురాశి = 235

ప్రశ్న 40.
కార్సినోజెనిసిటీ అంటే ఏమిటి? రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:

• బెంజీన్, ఇంకా అనేక బహు కేంద్రక వలయాల హైడ్రోకార్బన్లు విషపదార్థాలే కాక క్యాన్సర్ కారకాలు.
• వాటిలో ఎక్కువ పదార్థాలు పొగాకు, పెట్రోలియం, బొగ్గు వంటి కర్బన పదార్థాలు పూర్తిగా దహనం చెందకుంటే ఏర్పడతాయి.
• ఇవి మానవ శరీరాల్లో అనేక రసాయన చర్యలకు లోనై DNA ను నాశనం చేసి క్యాన్సర్ను కలుగజేస్తాయి.
  

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
కింద ఇచ్చిన పరమాణువులలో ఎన్ని σ, π బంధాలు ఉన్నాయి?
(a) HC ≡ CCH = CHCH₃
(b) CH₂ = C = CHCH₃
సాధన:
(a) σ_C-C : 4; σ_C-H: 6; π_C-C : 1, π C ≡ C : 2
(b) σ_C-C : 3; σ_C-H: 6; π_C-C : 2.

ప్రశ్న 2.
ఈ కింది సమ్మేళనాలలోని ప్రతి కార్బన్ యొక్క సంకర కరణాన్ని గుర్తించండి.
(a) CH₃Cl, (b) (CH₃)₂CO, (c) CH₃, (d)HCONH₂, (e) CH₃CH = CHCN
సాధన:
(a) sp³,
(b) sp³, sp³,
(c) sp³, sp,
(d) sp²,
(e) sp³, sp², sp², sp

ప్రశ్న 3.
ఈ కింది సమ్మేళనాలలోని కార్బన్ల సంకరకరణస్థితి, నిర్మాణాకృతిని రాయండి.
(a)H₂C = 0, (b) CH₃F, (c) HC ≡ N.
సాధన:
(a) sp² సంకరకరణ కార్బన్, సమతల త్రిభుజాకారం
(b) sp³ సంకరకరణ కార్బన్, టెట్రాహెడ్రల్
(c) sp సంకరకరణ కార్బన్, రేఖీయ సౌష్ఠవం

ప్రశ్న 4.
కింద ఇచ్చిన సంక్షిప్త ఫార్ములాలను సంపూర్ణ సాంకేతిక నిర్మాణాలుగా రాయండి.
(a) CH₃ CH₂COCH₂ CH₃
(b) CH₃CH = CH(CH₂)₃ CH₃
సాధన:

ప్రశ్న 5.
ఈ కింది సమ్మేళనాలకు సంక్షిప్త, బంధగీత ఫార్ములాలను రాయండి.

సాధన:
సంక్షిప్త ఫార్ములా :
(a) HO(CH₂)₃CH(CH₃)CH(CH₃)₂
(b) HOCH(CN)₂

బంధ-గీత ఫార్ములాలు :

ప్రశ్న 6.
కింద ఇచ్చిన బంధగీత ఫార్ములాలను విశదీకరించి కార్బన్, హైడ్రోజన్తో సహా అన్ని పరమాణువులను చూపించండి.

సాధన:

ప్రశ్న 7.
కొన్ని హైడ్రోకార్బన్ల నిర్మాణాలు, IUPAC నామాలను కింద ఇవ్వడమైంది. వీటికి బ్రాకెట్లలో రాసిన పేర్లు ఎందుకు సరైనవో కాదో తెలపండి.

సాధన:
(a) తక్కువ కార్బన్ సంఖ్యా సూచకం ప్రకారం 2, 5, 6 స్థానాలు 3, 4, 7 స్థానాల కంటే తక్కువలో ఉన్నాయి.

(b) ప్రతిక్షేపాలు సమస్థానాలలో ఉన్నాయి. ఆంగ్ల అక్షర క్రమంలో ముందు వచ్చే ప్రతిక్షేపానికి తక్కువ సంఖ్యను ఇవ్వడం జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 8.
కింద ఇచ్చిన కర్బన సమ్మేళనాలు i-iv కు వాటి నిర్మాణాన్ని బట్టి IUPAC నామాలు రాయండి.

సాధన:

• ప్రమేయ సమూహం ఆల్కహాల్ (OH) కాబట్టి పదానుబంధం (suffix) ఓల్ అవుతుంది.
• – OH సమూహం ఉన్న అతిపెద్ద కర్బన శృంఖలంలో ఎనిమిది కార్బన్లు ఉన్నాయి కాబట్టి సంతృప్త హైడ్రో కార్బన్ – ఆక్టేన్.
• 3వ కార్బన్ మీద OH, 6వ కార్బన్ మీద మిథైల్ సమూహాలు జతపడి ఉన్నాయి.
  కాబట్టి ఈ సమ్మేళనం సరైన పేరు 6- మిథైల్ ఆక్టేన్ – 3-ఓల్.

సాధన:
ప్రమేయ సమూహం కీటోన్ (>C=O) కాబట్టి పదానుబంధం ‘ఓన్’. రెండు కీటో సమూహాలు ఉన్నాయి కాబట్టి ‘డై’, పదానుబంధం ‘డైఓన్’ అవుతుంది. కీటో సమూహాలు అతిపెద్ద
అధ్యాయం 13 కర్బన రసాయన శాస్త్రం- సామాన్య సూత్రాలు, విధానాలు కార్బన్ శృంఖలంమీద 2, 4 స్థానాలలో ఉన్నాయి. శృంఖలంలో 6 కార్బన్లున్నాయి కాబట్టి సమ్మేళనం IUPAC నామం హెక్సేన్-2, 4-డైఓన్.

సాధన:
ఈ సమ్మేళనంలో కీటో, కార్బాక్సీ ఆమ్లం అనే రెండు ప్రమేయ సమూహాలు ఉన్నాయి. COOH ప్రాముఖ్య ప్రమేయం కాబట్టి ‘ఓయిక్ ఆమ్లం’ పదానుబంధంగా వాడాలి. సంఖ్యాసూచిక COOH కార్బన్ నుంచి మొదలవుతుంది. 5వ కార్బన్ వద్ద ఉన్న కీటో సమూహం ఆక్సో (oxo) గా రాయాలి. అతిపెద్ద శృంఖలంలో 6 కార్బన్లు ఉన్నాయి కాబట్టి సమ్మేళనం పేరు 5-ఆక్సో-హెక్సనోయిక్ ఆమ్లం.

సాధన:
ఈ సమ్మేళనంలో రెండు C=C ప్రమేయ సమూహాలు 1, 3 స్థానాలలో, C = C ప్రమేయం 5వ కార్బన్ వద్ద ఉన్నాయి. ఈ ప్రమేయాలను ‘డైఈన్’, ‘ఐన్’ పదానుబంధాలుగా సూచించాలి. కార్బన్ శృంఖలంలో 6 కార్బన్లు ఉన్నాయి కాబట్టి సమ్మేళనం పేరు `హెక్స-1,3-డైఈన్-5-ఐన్.

ప్రశ్న 9.
(i) 2 – క్లోరోహెక్సేన్,
(ii) పెంట్ -4-ఈన్-2-ఓల్,
(iii) 3-నైట్రోసైక్లోహెక్సీన్,
(iv) సైక్లోహెక్స్-2-ఈన్-1-ఓల్,
(v) 6-హైడ్రాక్సీ హెప్టనాల్ల నిర్మాణాలు రాయుము.
సాధన:
i) హెక్సేన్ శృంఖలంలో ఆరు కార్బన్లను సూచిస్తుంది. క్లోరిన్ ప్రమేయ సమూహం 2వ కార్బన్ వద్ద ఉంది. కనక ఈ సమ్మేళన నిర్మాణం
CH₃CH₂CH₂CH₂CH(CD)CH₃.

(ii) “పెంట్’ అనే పదం శృంఖలంలోని 5 కార్బన్లను, ‘ఈన్’, ‘ఓల్’లు (=C, – OH ప్రమేయ సమూహాలను 4, 2 కార్బన్ల వద్ద ఉన్నాయని తెలుపుతాయి. సమ్మేళన నిర్మాణం
CH₂ = CHCH₂CH (OH)CH₃.

(iii) సైక్లోహెక్సీన్ C = C బంధం ఉన్న ఆరు కార్బన్ల (I) వలయాన్ని సూచిస్తుంది. 3 నైట్రో అనే పూర్వపదం నైట్రో ప్రమేయం 3వ కార్బన్ మీద ఉన్నట్లు తెలుపుతుంది (II). పూర్తి నిర్మాణం

C = C పదానుబంధ ప్రమేయం, NO, పూర్వపద ప్రమేయం (prefix). కాబట్టి సంఖ్యా సూచికల్లో C = C కార్బన్లు నైట్రో ప్రమేయం ఉన్న కార్బన్ కంటే ముందు వస్తాయి.

(iv) 1-ఓల్ అంటే OH సమూహం 1వ కార్బన్ మీద ఉన్నట్లు, OH పదానుబంధ ప్రమేయం కాబట్టి C = C బంధం కంటే ప్రాముఖ్యం పొందుతుంది.
∴ సరైన నిర్మాణం (II).

(v) ‘హెప్టనాల్’ అనగా మాతృశృంఖలంలో ఏడు కార్బన్లు ఉన్న అల్డిహైడ్, 6-హైడ్రాకీ అంటే — OH సమూహం 6వ కార్బన్ మీద ఉంది. సమ్మేళనం నిర్మాణంలో – CHO ప్రమేయం మొదటిస్థానం పొందుతుంది. ఈ నిర్మాణం :
CH₃CH(OH)CH₂CH₂CH₂CH₂CHO

ప్రశ్న 10.
కింది సమ్మేళనాల నిర్మాణ సంకేతాలను రాయండి.
(a) o-ఈథైల్ ఎనిసోల్, (b) p-నైట్రోఎనిలీన్ (c) 2,3 – డైబ్రోమో – 1 – ఫీనైల్ పెంటేన్ (d) 4 ఈథైల్ – 1 – ఫ్లోరో – 2 – నైట్రో బెంజీన్
సాధన:

ప్రశ్న 11.
కింది సమయోజనీయ బంధాలు అసమ విచ్ఛిత్తి చెంది ఏర్పరిచే చర్యా మధ్యస్థానాలను వక్రబాణం (curved- arrow) తో చూపండి.
(a) CH₃ – SCH₃, (b) CH₃ – CN, (c) CH₃ – Cu
సాధన:

ప్రశ్న 12.
కింది అణువులు / అయాన్ల ను న్యూక్లియోఫైల్లు, ఎలక్ట్రోఫైల్లుగా విభజించి, సమర్థించండి.
HS^–, BF₃, C₂H₅O^–, (CH₃)₃ N :,

సాధన:
న్యూక్లియోఫైల్లు :
HS^–, C₂H₅O^–, (CH₃)₃ N., H₂N^– : ఇవి ఎలక్ట్రాన్ల జతను ఎలక్ట్రోఫైల్కు దానం చేస్తాయి.
ఇవి న్యూక్లియోఫైల్ నుంచి ఎలక్ట్రాన్లను గ్రహించి ఆక్టేట్ను పూర్తి చేసుకొంటాయి.

ప్రశ్న 13.
కింది వాటిలో ఎలక్ట్రోఫిలిక్ స్థానాన్ని గుర్తించండి.
CH₃CH = 0, CH₃CN, CH₃I.
సాధన:
CH₃HC* = O, H₃ CC* ≡ N, H₃C*-I.

కార్బన్ పరమాణువులు ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్ స్థానాలు ఎందుకంటే వాటికి పార్షిక ధనావేశం ఉంది.

ప్రశ్న 14.
కింది అణువుల జంటలలో ఏ బంధం ఎక్కువ ధ్రువణతను చూపిస్తుంది?
(a) H₃C – H, H₃C – Br
(b) H₃C – NH₂, H₃C – ON
(c) H₃C – OH, H₃C – SH
సాధన:
(a) C – Br
(b) C – O Br, 0 ల రుణవిద్యుదాత్మకత క్రమంగా
(c) C – 0 H, N, S కంటే ఎక్కువ

ప్రశ్న 15.
CH₃CH₂CH₂ Br నందు ఏ C – C బంధంలో ప్రేరేపక ప్రభావం తక్కువలో తక్కువ ఉండవచ్చు?
సాధన:
ప్రేరేపక ప్రభావం బంధాలు పెరిగేకొద్దీ తగ్గుతుంది. కాబట్టి ఈ ప్రభావం C₃ కార్బన్, హైడ్రోజన్ బంధంలో తక్కువ.

ప్రశ్న 16.
CH₃COO_– రెజోనెన్స్ నిర్మాణాలు రాసి ఎలక్ట్రాన్ల కదలికలను బాణం గుర్తుల ద్వారా తెలపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
CH₂ = CH – CHO రెజోనెన్స్ నిర్మాణం రాసి వాటి స్థిరత్వాన్ని క్రమపద్ధతిలో చూపించండి.
సాధన:

I : ఎక్కువ స్థిరత్వం – అత్యధిక సమయోజనీయ బంధాలు, ప్రతి పరమాణువుకు అష్టకప్రాప్తి, విద్యుదావేశాలు వేరుచేసి లేవు.
II : అధిక రుణవిద్యుదాత్మకత గల ఆక్సిజన్ మీద రుణావేశం, ధన విద్యుదాత్మకత కార్బన్ మీద ధనావేశం
III : ఆక్సిజన్ మీద +ve ఆవేశం కార్బన్ మీద ve ఆవేశం ఉండటం వల్ల స్థిరత్వం ఉండదు.

ప్రశ్న 18.
CH₃COOCH₃ కి I, II నిర్మాణాలు సంకర నిర్మాణానికి ఎక్కువగా ఎందుకు దోహదం చేయవు?

సాధన:
రెండు నిర్మాణాలూ అతి తక్కువ ప్రాముఖ్యమైనవి (విద్యుదా వేశాలు వేరుగా ఉండటం వల్ల) అంతేకాక I నిర్మాణంలో కార్బన్ అష్టకం పూర్తి కాలేదు.

ప్రశ్న 19.

సాధన:

ప్రశ్న 20.
0.246 గ్రాము కర్బన సమ్మేళనాన్ని దహనం చేసినప్పుడు 0.198 గ్రా. CO₂ 0.1014 గ్రా.ల నీటి ఆవిరి వెలు వడ్డాయి. కార్బన్, హైడ్రోజన్ల భారశాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
డ్యూమాన్ పద్ధతిలో 0.3 గ్రా.ల కర్బన సమ్మేళనం 300K, 715mm పీడనం దగ్గర 50ml ల నైట్రోజన్ను ఇస్తే సమ్మేళనంలో నైట్రోజన్ సంఘటన శాతాన్ని కనుక్కోండి. (జలబాష్ప పీడనం 300K వద్ద = 15 mm)
సాధన:
300K, 715mm పీడనం వద్ద
నైట్రోజన్ ఘనపరిమాణం = 50 mL
నైట్రోజన్ పీడనం = 715 – 15 =700 mm

ప్రశ్న 22.
జెల్దాల్ పద్ధతిలో ఒక కర్బన సమ్మేళనంలోని నైట్రోజన్ ను పరిమాణాత్మక విశ్లేషణ చేసేటప్పుడు 0.5 g కర్బన పదార్థం నుంచి వెలువడిన అమ్మోనియా వాయువును తటస్థీకరించ డానికి 1 M గాఢత కలిగిన H₂SO₄ ఆమ్లం 10 mL పడుతుంది. కర్బన సమ్మేళనంలోని నైట్రోజన్ భారశాతం కనుక్కోండి.
సాధన:
1 M గాఢత కలిగిన 10 mL H₂SO ₄ = 1M 20 mL NH₃
1000 mL 1 M అమ్మోనియా 14 g ల నైట్రోజన్ ఉంటుంది.

ప్రశ్న 23.
కేరియస్ పద్ధతిలో హాలోజన్ల పరిమాణాత్మక విశ్లేషణ చేసేటప్పుడు 0.15 g కర్బన సమ్మేళనం 0.12 g లAgBr ను ఏర్పరిచింది. బ్రోమిన్ భార శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AgBr అణు ద్రవ్యరాశి = 108 + 80 = 188 g mol^-1
188 g ల AgBr లో 80 g ల బ్రోమిన్ ఉంది.

ప్రశ్న 24.
సల్ఫర్ పరిమాణాత్మక విశ్లేషణలో 0.157 g ల కర్బన సమ్మేళనం 0.4813 g ల బేరియం సల్ఫేట్ను ఏర్పరు స్తుంది. సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ భారశాతం ఎంత?
సాధన:
BaSO₄ అణుభారం = 137 +32 + 64 = 233g
233 g ల బేరియం సల్ఫేట్ నందు 32 g సల్ఫర్ ఉంది.

ప్రశ్న 25.
C₆H₁₄, అణు సంకేతం గల ఆల్కేన్ శృంఖల సాదృశ్యాల నిర్మాణాలను రాసి వాటి IUPAC నామాలను రాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
C₅H₁₁, అణు సంకేతం ఏర్పరచగల ఆల్కైల్ సమూహ సాదృశ్యాల నిర్మాణాలు రాయండి. వీటికి – OH సమూహాన్ని జతచేస్తే ఏర్పడే ఆల్కహాల్ IUPAC పేర్లను తెలపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
కింది సమ్మేళనాలకు IUPAC నామం రాయండి.
(i) (CH₃)₃ C CH₂C(CH₃)₃
(ii) (CH₃)₂C(C₂H₅)₂
(iii) టెట్రా-టెర్షియరీ బ్యూటైల్మీథేన్
సాధన:
(i) 2, 2, 4, 4-టెట్రా మీథైల్ పెంటేన్
(ii) 3, 3-డైమీథైల్ పెంటేన్
(iii)3,3-డైటెర్షియరీ బ్యూటైల్ -2, 2, 4, 4 – టెట్రామీథైల్ పెంటేన్

ప్రశ్న 28.
కింది సమ్మేళనాల నిర్మాణాత్మక సంకేతాలను రాయండి :
(i) 3, 4, 4, 5–టెట్రామీథైల్ హెప్టేన్
(ii) 2,5-డైమీథైల్ హెక్సేన్
సాధన:

ప్రశ్న 29.
కింది సమ్మేళనాల నిర్మాణాలు రాయండి. ఇచ్చిన పేర్లు ఎందుకు సరైనవికావో తెలిపి వాటి సరైన IUPAC పేర్లు రాయండి.
(i) 2- ఈథైల్వెంటేన్
(ii) 5-ఈథైల్ – 3-మీథైల్ హెప్టేన్
సాధన:

ఈథైల్ సమూహానికి తక్కువ సంఖ్య ఇచ్చే చివర నుంచి సంఖ్యాసూచికను రాయాలి. కాబట్టి సరైన పేరు :
3 – ఈథైల్ – 5-మీథైల్ హెప్టేన్

ప్రశ్న 30.
ప్రోపేన్ తయారుచేయడానికి ఏ కార్బాక్సిలిక్ ఆమ్ల లవణం కావాలి? ఈ చర్య సమీకరణాన్ని రాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
కింది సమ్మేళనాల IUPAC నామాలు రాయండి.

సాధన:
(i) 2, 8 – డైమిథైల్ – 3, 6 – డెకాడైఈన్
(ii) 1, 3, 5, 7 ఆక్టాటెట్రాఈన్;
(iii) 2 – n – ప్రోపైల్వెంట్ – 1 – ఈన్;
(iv) 4 – ఈథైల్ – 2, 6 – డైమీథైల్ – డెక్ – 4 – ఈన్;

ప్రశ్న 32.
పైన ఇచ్చిన i-iv నిర్మాణాలలో ఎన్ని ఆ బంధాలు, ఎన్ని T బంధాలు ఉన్నాయో లెక్కించండి.
సాధన:
(i) σ బంధాలు : 33, π బంధాలు : 2
(ii) σ బంధాలు : 17, π బంధాలు : 4
(iii) σ బంధాలు : 23, π బంధాలు : 1
(iv) σ బంధాలు : 41, π బంధాలు : 1

ప్రశ్న 33.
C₅H₁₀ అణు సంకేతం గల ఆల్కీన్ల నిర్మాణాత్మక సాదృశ్యాల నిర్మాణాలు వాటి IUPAC పేర్లను రాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 34.
కింది సమ్మేళనాల సిస్, ట్రాన్స్ సాదృశ్యాలను గీసి వాటి IUPAC పేర్లను రాయండి :
(i) CHCl = CHCl
(ii) C₂H₅CCH₃ = CCH₃C₂H₅
సాధన:

ప్రశ్న 35.
కింది సమ్మేళనాలలో ఏవి సిస్, ట్రాన్స్ సాదృశ్యాలను చూపిస్తాయి?
(i) (CH₃)₂C = CH – C₂H₅
(ii) CH₂ = CBr₂
(iii) C₆H₅CH = CH – CH₃
(iv) CH₃CH = CCl CH₃
సాధన:
(iii), (iv) చూపిస్తాయి. (i), (ii) లలో ఒకే రకమైన సమూహాలు ద్విబంధంలోని ఒకే కార్బన్కు జత చేయబడి ఉన్నాయి. కాబట్టి క్షేత్ర సాదృశ్యం చూపవు.

ప్రశ్న 36.
హెక్స్ -1- ఈన్ HBr లో ఏర్పరచే సంకలన ఉత్పన్నాల IUPAC పేర్లను రాయండి.
(i) పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో (ii) పెరాక్సైడ్ లేకుండా
సాధన:

ప్రశ్న 37.
ఆల్మైన్ సమూహంలోని 5వ ఆల్కైనక్కు ఏర్పడగల సాదృశ్యాలను రాసి వాటి IUPAC పేర్లను రాయండి. వేర్వేరు జతల సాదృశ్యాలు ఎటువంటి సాదృశ్యాన్ని చూపిస్తాయో తెలపండి.
సాధన:
ఆల్కైన్లలో 5వ ఆల్మైన్ ఫార్ములా C₆H₁₀ సాదృశ్యాల నిర్మాణాలు :

వేర్వేరు జతలు స్థాన, శృంఖల సాదృశ్యాలను చూపిస్తాయి.

ప్రశ్న 38.
ఈథనోయిక్ ఆమ్లంని బెంజీన్ గా ఎలా మారుస్తారు?
సాధన:

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలో హుక్ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
“స్థితిస్థాపక అవధి లోపల ప్రతిబలం, వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది”.
ప్రతిబలం ∝ వికృతి
ప్రతిబలం = k వికృతి

ఇక్కడ k అనునది స్థితిస్థాపక గుణకం

ప్రశ్న 2.
ప్రతిబలానికి మితులు, ప్రమాణాలు తెలపండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 3.
స్థితిస్థాపక గుణకానికి ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

ప్రమాణాలు → N/m² (లేదా) పాస్కల్
మితి సం సూత్రం → [ML^-1T^-2].

ప్రశ్న 4.
యంగ్ గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

ప్రమాణాలు → N/m² (లేదా) పాస్కల్
మితి సం సూత్రం → [ML^-1T^-2].

ప్రశ్న 5.
దృఢతా గుణకం ప్రమాణాలు, మితులు తెలపండి.
జవాబు:

ప్రమాణాలు → N/m² (లేదా) పాస్కల్
మితి సం సూత్రం → [ML^-1T^-2].

ప్రశ్న 6.
ఆయత గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

ప్రమాణాలు → N/m² (లేదా) పాస్కల్
మితి సం సూత్రం → [ML^-1T^-2].

ప్రశ్న 7.
సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక, ప్లాస్టిక్ కు సమీపంగా ఉండే వస్తువులకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
పరిపూర్ణ స్థితిస్థాపక వస్తువుకు దగ్గరగా ఉండేది క్వార్ట్జ్ తంతువు.
పరిపూర్ణ ప్లాస్టిక్ వస్తువులు మైదా, మట్టిముద్ద మొదలగునవి.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
హుక్ నియమం, అనుపాత అవధి, శాశ్వత స్థితి, విచ్ఛేదన ప్రతిబలం పదాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
హుక్స్ నియమం : స్థితిస్థాపక అవధి లోపల ప్రతిబలం, వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
ప్రతిబలం ∝ వికృతి
ప్రతిబలం = k × వికృతి
ఇక్కడ k అనునది స్థితిస్థాపక గుణకం.

అనుపాత అవధి :
వస్తువులో గరిష్ఠ ప్రతిబలం ఏర్పడినప్పటికీ, అది హుక్స్ నియమాన్ని పాటిస్తే, దానిని అనుపాత అవధి అంటారు.

శాశ్వత స్థితి :
స్థితిస్థాపక అవధిని దాటి వస్తువును సాగదీస్తే, శాశ్వతంగా దాని ఆకారం మారిపోతే దానిని శాశ్వత స్థితి అంటారు.

విచ్ఛేదన ప్రతిబలం :
వస్తువుపై గరిష్ఠ ప్రతిబలాన్ని కలిగిస్తే, అది భరించలేక తెగిపోతుంది. దానిని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
స్థితిస్థాపక గుణకం, ప్రతిబలం, వికృతి, ప్వాజూన్ నిష్పత్తులను నిర్వచించండి.
జవాబు:
స్థితిస్థాపక గుణకం :
వస్తువుపై ప్రయోగించిన ప్రతిబలానికి, దానిలో జనించిన వికృతికి గల నిష్పత్తిని స్థితిస్థాపక గుణకం అంటారు.

ప్రమాణాలు → N/m² (లేదా) పాస్కల్

ప్రతిబలం :
ఏకాంక వైశాల్యంపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

S.I ప్రమాణాలు – N/m² (లేదా) పాస్కల్

వికృతి :
వస్తువుపై విరూపణ బలాలు పనిచేసినప్పుడు, దానిలో జనించే విరూపణ భిన్నంను వికృతి అంటారు. దీనికి ప్రమాణాలు ఉండవు.

ప్వాజూన్ నిష్పత్తి (σ) :
పార్శ్వీయ వికృతికి, అనుదైర్ఘ్య వికృతికి గల నిష్పత్తిని ప్వాజూన్ నిష్పత్తి అంటారు.

ప్రశ్న 3.
యంగ్ గుణకం, ఆయత గుణకం, దృఢతా గుణకాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
యంగ్ గుణకం (y) :
స్థితిస్థాపక అవధి లోపల, అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలానికి, అనుదైర్ఘ్య వికృతికి గల నిష్పత్తిని యంగ్ గుణకం అంటారు.

ఆయత గుణకం (B) :
స్థితిస్థాపక అవధి లోపల, స్థూల ప్రతిబింబానికి, స్థూల వికృతికి గల నిష్పత్తిని ఆయత గుణకం అంటారు.

దృఢతా గుణకం (G) :
స్థితిస్థాపక అవధి లోపల, విరూపణ ప్రతిబలానికి, విరూపణ వికృతికి గల నిష్పత్తిని దృఢతా గుణకం అంటారు.

ప్రశ్న 4.
ప్రతిబలం నిర్వచనం తెలిపి వివిధ రకాల ప్రతిబలాలను వివరించండి.
జవాబు:
ప్రతిబలం :
ప్రమాణ వైశాల్యంలో పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రతిబలం మూడు రకాలు.

1. అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలం
2. ఘనపరిమాణ (లేదా) స్థూల ప్రతిబలం
3. విమోటన (లేదా) విరూపణ ప్రతిబలం.

1) అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలం :
వస్తువు పొడవులో మార్పు కలుగజేస్తే అభిలంబ ప్రతిబలాన్ని అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలం అంటారు.
అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలం = \(\frac{F}{A}\)

2) ఘనపరిమాణ (లేదా) స్థూల ప్రతిబలం :
ఒక వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణంలో మార్పు కలిగించే అభిలంబ ప్రతిబలాన్ని ఘనపరిమాణ (లేదా) స్థూల ప్రతిబలం అంటారు.

3) విమోటన (లేదా) విరూపణ ప్రతిబలం :
తలానికి సమాంతరంగా బలాలను ప్రయోగించడం వల్ల ప్రతిబలం తలానికి స్పర్శీయంగా ఉంటే, ఆ ప్రతిబలాన్ని విమోటన (లేదా) విరూపణ ప్రతిబలం అంటారు.
విమోటన ప్రతిబలం = \(\frac{F}{A}\)

ప్రశ్న 5.
వికృతిని నిర్వచించి, వివిధ రకాల వికృతులను వివరించండి.
జవాబు:
వికృతి :
వస్తువు యొక్క మితులలో మార్పుకు, తొలి మితులకు గల నిష్పత్తిని వికృతి అంటారు.

వికృతి మూడు రకాలు.
అధ్యాయం 10 ఘన పదార్థాల యాంత్రిక ధర్మాలు
1) అనుదైర్ఘ్య వికృతి :
పొడవులో మార్పుకు, తొలి పొడవుకు గల నిష్పత్తిని అనుదైర్ఘ్య వికృతి అంటారు.

2) విరూపణ (లేదా) విమోటన వికృతి :
వస్తువు పొర యొక్క ఉపరితల స్థానభ్రంశానికి, స్థిర పొర నుంచి దానికి గల దూరానికి గల నిష్పత్తిని విరూపణ వికృతి అంటారు.

విరూపణ వికృతి (θ) = \(\frac{l}{L}\)

3) స్థూల (లేదా) ఘనపరిమాణ వికృతి :
ఘనపరిమాణంలో మార్పుకు, తొలి ఘనపరిమాణంకు గల నిష్పత్తిని స్థూల (లేదా) ఘనపరిమాణ వికృతి అంటారు.

ప్రశ్న 6.
వికృతి శక్తి అంటే ఏమిటో తెలిపి, దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. [Mar. ’14]
జవాబు:
వికృతిశక్తి :
వస్తువును సాగదీసినప్పుడు, దానిలో నిల్వ ఉండే స్థితిజ శక్తిని వికృతిశక్తి అంటారు.

ఒక తీగ యొక్క పొడవు L మరియు అడ్డుకోత వైశాల్యం A అనుకొనుము. తీగపై F బలాన్ని ఉపయోగించి సాగదీసినప్పుడు దాని పొడవులో మార్పు x అనుకొనుము.

ఈ పని దానిలో స్థితిజశక్తి రూపంలో నిల్వ ఉంటుంది.

ప్రశ్న 7.
భారీ పని యంత్రాలలోనూ, నిర్మాణరంగ రూపకల్పనలోనూ రాగి, ఇత్తడి, అల్యూమినియంలతో పోల్చితే ఉక్కును ఎందుకు వాడతారు?
జవాబు:
మన దైనందిన జీవితంలో పదార్థాల యొక్క స్థితిస్థాపకత చాలా ప్రముఖ పాత్ర వహిస్తుంది. భవన నిర్మాణంలో, పిల్లర్ల డిజైన్లోను, స్థంభాలు మరియు ఆధారాల డిజైన్ ను దృఢమైన పదార్థాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

వస్తువుపై బాహ్య బలం పనిచేసినప్పుడు, దానిలో ప్రతిబలం ఏర్పడుటకు కారణం పదార్థాల యొక్క స్థితిస్థాపకత. పదార్థాల స్థితిస్థాపకత స్వభావం అధికంగా ఉంటే దానిలో ఏర్పడే ప్రతిబలం (లేదా) పునఃస్థాపక బలం అధికంగా ఉంటుంది. ఉక్కు, రాగి, ఇత్తడి, అల్యూమినియమ్ మొదలగు వాటిపై ఒకే వికృతిని కలిగిస్తే, వీటన్నింటికన్నా ఉక్కులో ప్రతిబలం అధికం. అందువల్ల ఉక్కు ఎక్కువ స్థితిస్థాపకతను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి భారీ పనియంత్రాలలోనూ, నిర్మాణ రంగంలోనూ ఉక్కును వాడతారు.

ప్రశ్న 8.
క్రమంగా భారం పెంచుతూ పోయినప్పుడు తీగ ప్రవర్తన ఏ విధంగా ఉంటుందో విశదీకరించండి. [Mar., May ’13]
జవాబు:
తీగపై క్రమంగా భారాన్ని పెంచి, ప్రతిబలాన్ని y – అక్షంపైన, వాటి వికృతులను x – అక్షంపైన తీసుకొని గ్రాఫ్ను గీయాలి.

1) అనుపాత అవధి :
OA రేఖీయ భాగంలో ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. అనగా తీగ A బిందువు వరకు హుక్ నియమాన్ని పాటిస్తుంది. ఇది సరళరేఖను సూచిస్తుంది. వద్ద సాగదీసిన బలాలను తీసివేస్తే, తీగ తన తొలి పొడవును పొందుతుంది. Aను అనుపాత అవధి అంటారు.

2) స్థితిస్థాపక అవధి :
గ్రాఫ్ B బిందువు స్థితిస్థాపక అవధి, తీగ B వద్ద హుక్ నియమాన్ని పాటించదు. B వద్ద తీగపై సాగదీసే బలాన్ని తొలగిస్తే, అది తన తొలిరూపాన్ని పొందుతుంది. B బిందువు వరకు తీగ స్థితిస్థాపకతను ప్రదర్శిస్తుంది.

3) శాశ్వత స్థితి (లేదా) ఈగే బిందువు :
గ్రాఫ్లో C బిందువును ఈగే బిందువు అంటారు. C వద్ద తీగపై సాగదీసిన బలాలను తొలగిస్తే తీగ తన తొలి పొడవును పొందలేదు. దాని పొడవు శాశ్వతంగా పెరుగుతుంది. ఈ స్థితిలో తీగ ప్రవహించే స్నిగ్ధతా ద్రవం వలె ఉంటుంది. ఁ బిందువు తర్వాత, తీగ ప్లాస్టిక్ లక్షణాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది. C బిందువును శాశ్వత స్థితి (లేదా) ఈగే బిందువు అంటారు.

4) విచ్ఛేదన బిందువు :
తీగపై ప్రతిబలాన్ని పెంచితే తీగ ఇంకా, ఇంకా సన్నబడుతుంది. ప్రతిబలంను ఒక అవధి వరకు పెంచితే, తీగ తెగిపోతుంది. ఏ ప్రతిబలం వద్ద తీగ తెగిపోతుందో దానిని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం మరియు D బిందువును విచ్ఛేదన బిందువు అంటారు.

5) స్థితిస్థాపక బడలిక :
అవిచ్ఛిన్నంగా వస్తువు వికృతికి లోనైతే, అది తాత్కాలికంగా స్థితిస్థాపకతను కోల్పోతుంది. దానిని స్థితిస్థాపక బడలిక అంటారు. వస్తువుపై అదే పనిగా స్థితిస్థాపక అవధి లోపల అవిచ్ఛిన్నంగా వికృతిని కలిగిస్తే, అది తాత్కాలికంగా స్థితిస్థాపకతను కోల్పోయి బలహీనపడుతుంది.

ప్రశ్న 9.
ఏనుగు దంతంతో, బంక మట్టితో చేసిన రెండు సర్వసమాన బంతులను కొంత ఎత్తు నుంచి కిందికి వేసినారు. నేలను తాకిన తరవాత రెండింటిలో ఏది ఎక్కువ ఎత్తుకు లేస్తుంది? ఎందువల్ల?
జవాబు:
ఏనుగు దంతముతో చేసిన బంతి నేలను తాకిన తర్వాత ఎక్కువ ఎత్తుకు చేరుతుంది. నేలను తాకిన తర్వాత ఏనుగు దంతముతో చేసిన బంతి తన తొలి ఆకారాన్ని పొందుతుంది. అనగా ఈ బంతి యొక్క స్థితిస్థాపకత అధికం. బంకమట్టితో చేసిన బంతి నేలను తాకిన తర్వాత తన తొలి స్థితిని పొందలేదు. బంకమట్టితో చేసిన బంతి ప్లాస్టిక్ వస్తువు వలె పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
వంతెనలు, భవనాల నిర్మాణంలో భారం వితరణ చెందని స్థంభాల కంటే వితరిత స్థంభాలను వాడతారు, ఎందుకు?
జవాబు:

భవనాలు మరియు వంతెనల నిర్మాణంలో పిల్లర్లు (లేదా) స్థంభాలను ఉపయోగించడం సర్వ సాధారణం. కొనల వద్ద వితరిత ఆకృతి ఉన్న స్థంభం కంటే వితరణ చెందని స్థంభాలు తక్కువ భారాన్ని మోస్తాయి. అందువలన వంతెన (లేదా) భవన నిర్మాణంలో సరియైన డిజైన్తో నిర్మించి దాని జీవితకాలాన్ని పెంచి, ఖర్చును తగ్గించుకొని అది ఎక్కువ కాలం పనిచేసేటట్లు చేయవచ్చు.

ప్రశ్న 11.
భూమిపై పర్వతాల గరిష్ఠ ఎత్తు సుమారు 10 km మాత్రమే ఎందుకు ఉంటుందో వివరించండి.
జవాబు:
రాళ్ళ యొక్క స్థితిస్థాపక ధర్మం ప్రకారం, భూమిపై పర్వతాల ఎత్తు సుమారుగా 10 km ఉంటుంది. పర్వతం యొక్క అడుగుభాగం ఏకరీతిగా సంపీడనం ఉండదు. దీనివల్ల తేలుచున్న రాళ్ళపై విమోటన ప్రతిబలం కలుగుతుంది. పర్వతం పై భాగంలో ఉన్న మొత్తం పదార్థం కలిగించే ప్రతిబలం, రాళ్ళలో కదలికలు తెచ్చే విమోటన ప్రతిబలం కంటే తక్కువగా ఉండాలి.

అడుగు వద్ద పర్వతం యొక్క ఎత్తు h, పర్వతం భారం వల్ల ప్రమాణ వైశాల్యంపై కలిగే బలం hpg. ఇక్కడ p అనునది పర్వతం యొక్క సాంద్రత. అడుగున ఉన్న పదార్థంపై ఈ బలం నిట్టనిలువు దిశగా పనిచేస్తుంది మరియు పర్వతం యొక్క ప్రక్కతలాలు స్వేచ్ఛగా ఉంటాయి. కాబట్టి అది పీడనం (లేదా) ఆయత సంపీడనానికి చెందింది కాదు.

ఇక్కడ hρg దాదాపుగా విమోటన అంశము

ప్రశ్న 12.
సాగదీసిన తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తి భావనను వివరించి దానికి సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
“తీగపై వ్యాపన ప్రతిబలం కలిగించాలంటే అంతర పరమాణు బలాలకు వ్యతిరేకంగా పని జరగాలి. ఈ పని ఆ తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజ శక్తి రూపంలో ఉంటుంది”.

స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తికి సమీకరణంను రాబట్టుట :
తీగ పొడవు L మరియు అడ్డుకోత వైశాల్యం A అయిన తీగ పొడవు వెంబడి పనిచేసే విరూపణ బలం F అప్పుడు తీగలో సాగుదల l అనుకొనుము.

ఇక్కడ జరిగిన పని తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తి రూపంలో ఉంటుంది.
∴ ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తి (U) = \(\frac{1}{2}\) σ ε

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్న

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలోని హుక్ నియమాన్ని నిర్వచించి, తీగ పదార్థపు యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కొనే ప్రయోగాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
హుక్స్ నియమం :
స్థితిస్థాపక అవధి లోపల ప్రతిబలం, వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
ప్రతిబలం ∝ వికృతి
ప్రతిబలం = k × వికృతి
ఇక్కడ k అనునది స్థితిస్థాపక గుణకం.

తీగ పదార్థం యొక్క యంగ్ గుణకంను కనుగొనుట :

1. ఒకే పొడవు మరియు ఒకే అడ్డుకోత వైశాల్యం గల రెండు పొడవైన తిన్నని తీగలను ప్రక్కప్రక్కనే దృఢమైన ఆధారం నుండి వ్రేలాడదీయాలి.
2. తీగ A (నిర్దేశ తీగ) కు మిల్లీమీటరు స్కేలు M మరియు భారాలు ఉంచేందుకు పళ్ళెంను వ్రేలాడదీస్తారు.
3. తీగ B (ప్రాయోగిక తీగ) కు తెలిసిన బరువులు ఉంచేందుకు పళ్ళెంను వ్రేలాడదీస్తారు.
4. ప్రాయోగిక తీగ B అడుగున సూచీని వెర్నియర్ స్కేలు (V) తో కలపాలి. మరియు ప్రధాన స్కేలు Mను తీగ Aకు అమర్చాలి.
5. పళ్ళెంలో భారాలను ఉంచి, వెర్నియర్ అమరిక ద్వారా తీగ యొక్క సాగుదలను కనుక్కోవాలి.
6. గది ఉష్ణోగ్రత మారి, తీగ పొడవు మారితే దానిని భర్తీ చేసేందుకు నిర్దేశ తీగ ఉపయోగపడుతుంది.
7. నిర్దేశ తీగ మరియు ప్రాయోగిక తీగలు తిన్నగా ఉండటానికి తొలిగా చిన్న బరువులను వేసి వెర్నియర్ రీడింగ్ను గుర్తించాలి.
8. ఇప్పుడు ప్రాయోగిక తీగపై అదనపు బరువులను వేసి మరలా వెర్నియర్ రీడింగ్ను గుర్తించాలి.
9. రెండు వెర్నియర్ రీడింగులలో తేడా, తీగలో సాగుదలను ఇస్తుంది.
10. మరియు L అనునవి ప్రాయోగిక తీగ యొక్క వ్యాసార్థము మరియు తొలి పొడవు అనుకొనుము. M ద్రవ్యరాశికి తీగలో సాగుదల ∆L అనుకొనుము.

ప్రాయోగిక తీగ పదార్థ యంగ్ గుణకం

పై సమీకరణం నుండి తీగ పదార్థ యంగ్ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు.

లెక్కలు (Problems)

ప్రశ్న 1.
1mm వ్యాసం ఉన్న రాగి తీగను 10N బలం అనువర్తించి సాగదీశారు. ఆ తీగలోని ప్రతిబలం కనుక్కోండి.
సాధన:
D = 1 m.m = 10^-3
r = \(\frac{D}{2}\) = 0.5 × 10^-3 m.
F = 10 N

ప్రశ్న 2.
20 cm పొడవు ఉన్న టంగ్స్టన్ తీగను 0.1 cm అదనంగా సాగదీశారు. తీగలోని వికృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:
L = 20 × 10^-2 m, ∆L = 0.1 × 10^-2 m.

ప్రశ్న 3.
ఇనుప తీగను 1% సాగదీసినట్లయితే దానిలో వచ్చిన వికృతి ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 4.
1mm వ్యాసం, 2 m పొడవున్న ఇత్తడి తీగపై 20N బలం ప్రయోగించి సాగదీశారు. పొడవులో పెరుగుదల 0.51 mm అయితే, (i) తీగ ప్రతి బలం, (ii) వికృతి, (iii) యంగ్ గుణకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
D = 1 m.m, r = \(\frac{D}{2}\) = 0.5 × 10^-3 m
L = 2 m, F = 20 N
∆L = 0.51 m.m = 0.51
mm = 0.51 × 10^-3 m

ప్రశ్న 5.
రాగి, అల్యూమినియం తీగల పొడవుల నిష్పత్తి 3:2, వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి 2:3, వీటి పై అనువర్తిత బలాల నిష్పత్తి 4:5 గా ఉన్నాయి. రెండు తీగల పొడవుల పెరుగుదల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
(Y_cu = 1.1 × 10^-11 Nm^-2, Y_Al = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2).
సాధన:

ప్రశ్న 6.
2 mm² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఇత్తడి తీగ ఒక కొనను దృఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు100 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న వస్తువును కట్టారు. వస్తువును నీటిలో పూర్తిగా ముంచినప్పుడు తీగ పొడవు 0.11 mm తగ్గింది. తీగ సహజ పొడవును కనుక్కోండి.
(Y_{ఇత్తడి} = 0.91 × 10¹¹ Nm^-2, ρ_నీరు = 10³ kg m^-3).
సాధన:
A = πr² = 2 × 10^-6 m²
V = 100 × 10^-6 = 10^-4 m³
Y_{ఇత్తడి} = 0.91 × 10¹¹ Nm²
ρ = 10³ kg m³

ప్రశ్న 7.
ఒకే పదార్థంతో చేసిన రెండు తీగల వ్యాసార్థాల, పొడవుల నిష్పత్తులు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి. ఆ నిష్పత్తి 1:2 రెండింటిలోనూ వచ్చిన దైర్ఘ్యవృద్ధి సమంగా ఉంటే, వాటిపై వేసిన భారాల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 8.
వేరు వేరు పదార్థాలతో చేసిన రెండు తీగలు ఒకే పొడవు, మధ్యచ్ఛేదాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. వీటిపై సమానమైన బలాలను అనువర్తించినప్పుడు రెండింటి పొడవుల పెరుగుదల నిష్పత్తి ఎంత? (Y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm^-2, Y₂ = 3.6 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm², y₂ = 3.6 × 10¹¹ Nm²

ప్రశ్న 9.
2.5 m పొడవు, 1.5 × 10^-6 m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న లోహ తీగను 2 mm సాగదీశారు. తీగ యంగ్ గుణకం 1.25 × 10¹¹ Nm² అయితే దానిలో ఉండే తన్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
L = 2.5 m
A = 1.5 × 10^-6 m²
∆L = 2 × 10^-3 m,
y = 1.25 × 10¹¹ N/m²

ప్రశ్న 10.
ఒకే పొడవు, మధ్యచ్ఛేదం ఉన్న అల్యూమినియం, ఉక్కు తీగల కొనలను కలిపారు. ఈ మిశ్రమ తీగ ఒక కొనను ద్రఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు భారాన్ని వేలాడదీశారు. మిశ్రమ తీగ పొడవులో పెరుగుదల 1.35 mm ఉంటే (i) రెండు తీగలపై పనిచేసే ప్రతిబలాల (ii) రెండు తీగలలో వచ్చే వికృతుల నిష్పత్తులను కనుక్కోండి. (Y_Al = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2, Y_steel = 2 × 10¹¹ Nm^-2).
సాధన:
y_Al = 0.7 × 10¹¹ Nm², y_{స్టీలు} = 2 × 10¹¹ Nm²

ప్రశ్న 11.
ఒక పదార్థంతో చేసిన 2 cm భుజం కలిగిన ఘనంపై ప్రయోగించిన 0.3 N స్పర్శాబలం దాని పై తలాన్ని 0.15 cm స్థానభ్రంశం చెందించింది. ఘనం కింది తలాన్ని స్థిరంగా ఉంచారు. పదార్థం విమోటన గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:
L = 2 × 10^-2 m
A = L² = 4 × 10^-4 m²
∆x = 0.15 × 10^-2 m
F = 0.3 N

ప్రశ్న 12.
1000 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న గోళాకార బంతిపై 10 atm పీడనాన్ని ప్రయోగించారు. ఘనపరిమాణంలో వచ్చిన మార్పు 103 cm³. బంతిని ఇనుముతో తయారుచేసినట్లయితే దాని యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
(1 atm = 1 × 10⁵ Nm^-2).
సాధన:
v = 1000 cm³ = 1000 × 10^-6 = 10^-3 m³
p = 1 atm = 1 × 10⁵ = 10⁵ N/m²
-∆v = 10^-2 cm³ = 10^-2 × 10^-6 = 10^-8m³

ప్రశ్న 13.
cm భుజం ఉన్న రాగి ఘనాన్ని 100 atm పీడనానికి గురిచేశారు. రాగి ఆయత గుణకం 1.4 × 10¹¹ Nm^-2 అయితే ఘనపరిమాణంలో వచ్చే మార్పును కనుక్కోండి.
(1 atm = 1 × 10⁵ Nm^-2).
సాధన:
l = 1 cm = 10^-2 m
V = ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం = l³ = 1 cm³
= 10^-6 m³
P = 100 atm = 100 × 10⁵= 10⁷ N/m²
B = 1.4 × 10¹¹ N/m²

ప్రశ్న 14.
ఇచ్చిన నీటి ఘనపరిమాణాన్ని 2% తగ్గించడానికి ఎంత పీడనం అవసరం అవుతుంది? నీటి ఆయత గుణకం 2.2 × 10⁹ Nm^-2.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
20 cm పొడవు ఉన్న ఉక్కు తీగను సాగదీసి దాని పొడవును 0.2 cm పెంచారు. ఉక్కు స్వాజూన్ నిష్పత్తి 0.19 అయితే, తీగలో వచ్చే పార్శ్వ వికృతి ఎంత?
సాధన:
L = 20 cm 20 × 10^-2 m
∆L = 0.2 × 10^-2 m
σ = 0.19

అదనపు లెక్కలు (Additional Problems)

ప్రశ్న 1.
4.7 m పొడవు, 3.0 × 10^-5 m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఉక్కు తీగ, 3.5 m పొడవు, 4.0 × 10^-5 m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న రాగి తీగ రెండూ ఇచ్చిన భారం వల్ల సమానంగా సాగాయి. ఉక్కు, రాగి యంగ్ గుణకాల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన:
స్టీల్ తీగ యొక్క a₁ = 3.0 × 10^-5 m²
l₁ = 4.7 m
∆l₁ = ∆l, F₁ = F

రాగి తీగ యొక్క a₂ = 4.0 × 10^-5 m²
l₂ = 3.5 m, ∆l₂ = ∆l, F₂ = F
y₁ మరియు y₂లు స్టీలు మరియు రాగి తీగల యొక్క యంగ్ గుణకాలు

ప్రశ్న 2.
పటంలో ఒక పదార్థం వికృతి – ప్రతిబలం వక్రం చూపించడమైంది. ఈ పదార్థం (a) యంగ్ గుణకం, (b) ఉజ్జాయింపు ఈగే సామర్థ్యం ఎంత?

సాధన:
a) గ్రాఫ్ నుండి, ప్రతిబలం = 150 × 10⁶ Nm^-2
దాని సంబంధిత వికృతి = 0.002

b) సుమారు ఈగుబాటు సత్వం, స్థితిస్థాపక అవధి దాటకుండా దానిపై పనిచేసే గరిష్ట ప్రతిబలానికి సమానం. కాబట్టి సుమారు ఈగుబాటు సత్వం
= 300 × 10⁶ Nm^-2
= 3 × 10⁸ Nm^-2

ప్రశ్న 3.
రెండు పదార్థాలు A, B ప్రతిబలం – వికృతి వక్రాలను పటంలో ఇవ్వడమైంది. రెండు వక్రాలను ఒకే స్కేలు ప్రకారం గీశారు.

a) రెండు పదార్థాల్లో ఏ పదార్థం యంగ్ గుణకం ఎక్కువ?
b) రెండు పదార్థాలలో ఏది బలమైంది?
సాధన:
a) ఇచ్చిన రెండు ప్రతిబలం, వికృతి గ్రాఫ్లలో B కన్నా A లో ప్రతిబలం అధికం. కాబట్టి యంగ్ గుణకం (= ప్రతిబలం/వికృతి) B కన్నా Aకి ఎక్కువ.

b) B కన్నా A బలమైనది. పదార్థం యొక్క సత్వంను కొలవడానికి పగుళ్ళు ఏర్పడటానికి అవసరమైన ప్రతిబలం పగుళ్ళు ఏర్పడే బిందువు.

ప్రశ్న 4.
క్రింద ఇచ్చిన రెండు ప్రవచనాలను జాగ్రత్తగా చదివి అది తప్పా, ఒప్పా కారణాలతో వివరించండి.
a) రబ్బరు యంగ్ గుణకం ఉక్కు కంటే ఎక్కువ.
b) తీగచుట్ట సాగుదలను దాని విమోటన గుణకం ఆధారంగా నిర్ణయించవచ్చు.
సాధన:
a) తప్పు, రబ్బరులో, స్టీలు కన్నా ఇచ్చిన ప్రతిబలానికి, వికృతి ఎక్కువ. మరియు స్థితిస్థాపక గుణకం, వికృతికి విలోమానుపాతంలో ఉండును.

b) ఒప్పు, తీగ చుట్టను సాగదీస్తే, తీగ పొడవు మారకుండా, దాని ఆకారం మారుతుంది. అందుకు కారణం విరూపణ స్థితిస్థాపక గుణకం ఇమిడి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపించినట్లు 0.25 cm వ్యాసం ఉన్న ఉక్కు, ఇత్తడి తీగలను భారయుతం చేశారు. భారరహిత స్థితిలో ఉన్న ఉక్కు తీగ పొడవు 1.5 m, ఇత్తడి తీగ పొడవు 1.0 m. ఉక్కు, ఇత్తడి తీగలలో వచ్చే దైర్ఘ్య వృద్ధి లెక్కించండి.

సాధన:
స్టీలు తీగకు :
మొత్తం బలం
F₁ = 4 + 6 10 kg, f = 10 × 9.8 N
l₁ = 1.5 m, ∆l₁ = ?, 2r₁ = 0.25 cm
(లేదా) r₁ = (0.25/2) cm = 0.125 × 10^-2 m
y₁ = 2.0 × 10¹¹ pa

ఇత్తడి తీగకు F₂ = 6.0 kg, f = 6 × 9.8. N
r₂ = 0.25 cm

(లేదా) r₂ = (0.25/2) cm = 0.125 × 10^-2 m,
y₂ = 0.91 × 10¹¹ pa, l₂ = 1.0 m, ∆l₂ = ?

ప్రశ్న 6.
అల్యూమినియం ఘనం అంచు పొడవు 10 cm. ఘనం ఒక తలాన్ని నిలువు గోడకు గట్టిగా బిగించారు. ఘనం ఎదురు తలానికి 100 kg ద్రవ్యరాశిని తగిలించారు. అల్యూమినియం విమోటన గుణకం 25GPa. ఈ తలం నిట్టనిలువు అపవర్తనం ఎంత?
సాధన:
A = 0.10 × 0.10 = 10^-2 m², F = mg = 100 × 10 N

ప్రశ్న 7.
50,000 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న భారీ కట్టడానికి ఆధారంగా నాలుగు బోలు స్థూపాకార మృదు ఉక్కుస్తంభాలు ఉన్నాయి. ప్రతీ స్తంభం లోపలి, బాహ్య వ్యాసార్థాలు వరుసగా 30, 60 cm గా ఉన్నాయి. భార వితరణ ఏకరీతిగా ఉన్నదనుకొని ప్రతీ స్తంభంలో వచ్చే సంపీడన వికృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
15.2 mm × 19.1 mm కొలతలు ఉన్న దీర్ఘ చతురస్రాకార రాగి ముక్కను 44,500 N తన్యత బలంతో కేవలం స్థితిస్థాపక విరూపణ కలిగే విధంగా లాగారు. దాని మూలంగా కలిగే ఫలిత వికృతిని గణించండి.
సాధన:
ఇక్కడ A = 15.2 × 19.2 × 10^-6 m²
F = 44
500 N, η = 42 × 10⁹ Nm^-2

ప్రశ్న 9.
స్టీయింగ్ ప్రాంతంలో ఉన్న చైర్అఫ్ట్ (chair lift) ను మోసే ఉక్కు కేబుల్ వ్యాసార్థం 1.5 cm. గరిష్ట ప్రతిబలం విలువ 10⁸ N m^-2 ను దాటకూడదు అంటే, కేబుల్ గరిష్ఠంగా ఎంత బరువును మోయగలదు?
సాధన:
గరిష్ట భారం = గరిష్ట ప్రతిబలం × అడ్డుకోత వైశాల్యం
= 10⁸πr²
= 10⁸ × \(\frac{22}{7}\) × (1.5 × 10^-2)²
= 7.07 × 104N.

ప్రశ్న 10.
15 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న దృఢమైన కడ్డీని సౌష్ఠవంగా అమర్చి ఉన్న మూడు తీగలు మోస్తున్నాయి. ప్రతి తీగ పొడవు 2.0 m. రెండు చివరల ఉన్న తీగలు రాగివి కాగా, మధ్యలో తీగ ఇనుముతో తయారయింది. అన్ని సమాన తన్యతను కలిగి ఉండాలంటే, వాటి వ్యాసాల నిష్పత్తులు ఎలా ఉండాలి?
సాధన:
ప్రతి తీగ ఒకే తన్యత Fను కలిగి, దృఢంగా ఉన్న కడ్డీ ద్రవ్యరాశి వలన ఒకే సాగుదల ప్రతి తీగలో ఉంటుంది. ప్రతి తీగ ఒకే పొడవు ఉంది కాబట్టి ప్రతి తీగ ఒకే వికృతి కలిగి ఉంటుంది. తీగ వ్యాసం D అయితే

ప్రశ్న 11.
1.0 m సహజ పొడవు ఉన్న ఉక్కు తీగ ఒక చివర 14.5 kg ద్రవ్యరాశిని కట్టి నిలువు తలంలో వృత్తాకారంగా తిప్పారు. దాని కనిష్ట బిందువు వద్ద కోణీయ వేగం 2 rev/s. తీగ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం 0.065 cm3. ద్రవ్యరాశి వృత్తాకార పథంలో కనిష్ఠ బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు తీగలో వచ్చే దైర్ఘ్యవృద్ధిని లెక్కించండి.
సాధన:
ఇక్కడ m = 14.5 kg, l = r = 1m, v = 2rps,
A = 0.065 × 10⁴m²

తీగపై మొత్తం లాగే బలం, నిలువు తలంలో అధోబిందువు వద్ద

ప్రశ్న 12.
కింద ఇచ్చిన దత్తాంశం సహాయంతో నీటి ఆయత గుణకాన్ని కనుక్కోండి. తొలి ఘనపరిమాణం = 100.0 litre, పీడనం పెరుగుదల 100.0 atm (1 atm = 1.013 × 10⁵ Pa), తుది ఘన పరిమాణం = 100.5 litre. నీటి ఆయతన గుణకాన్ని గాలి (స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద) ఆయత గుణకంతో పోల్చండి. ఈ నిష్పత్తి ఎందుకు చాలా అధికంగా ఉంటుందో సులభరీతిలో వివరించండి.
సాధన:
ఇక్కడ V = 100 లీటర్లు = 100 × 10^-3 m³,
P = 100 atm = 100 × 1.013 × 10⁵ Pa
V + ∆V = 100.5 లీటర్లు (లేదా)
ΔV = (V + AV) – V
= 100.5 – 100
= 0.5 litre = 0.5 × 10^-3 m³

కారణం ద్రవాల కన్నా, వాయువుల సంపీడ్యత ఎక్కువ. వాయువులలో అణువులు ద్రవాల కన్నా తక్కువ బంధాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

ప్రశ్న 13.
ఉపరితలంపైకి నీటి సాంద్రత 1.03 × 103 kg m గా ఉన్నట్లయితే, 80.0 atm పీడనం ఉండే లోతులో నీటిసాంద్రత ఎంత ఉంటుంది?
సాధన:
ఇక్కడ P = 80.0 atm = 80.0 × 1.013 × 10⁵ pa,
సంపీడ్యత, = \(\frac{1}{B}\)= 45.8 × 10^-11 pa^-1
ఉపరితలం వద్ద నీటి యొక్క సాంద్రత,
ρ = 1.03 × 10³ kg m^-3

p¹ అనునది ఇచ్చినలోతు వద్ద నీటి సాంద్రత. v మరియు v¹ అనునవి ఉపరితలం మరియు లోతు వద్ద M ద్రవ్యరాశి గల సముద్రపు నీటి ఘనపరిమాణాలు అయిన

ఈ విలువను (i)లో ప్రతిక్షేపించగా

ప్రశ్న 14.
10 atm హైడ్రాలిక్ పీడనానికి గురిచేసిన గాజు పలక ఘనపరిమాణంలో వచ్చే అంశిక మార్పు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ P = 10 atm = 10 × 1.013 × 10⁵ pa,
B = 37 × 10⁹ Nm^-2

ప్రశ్న 15.
7.0 × 10⁶ Pa హైడ్రాలిక్ పీడనానికి గురయిన 10 cm భుజం ఉన్న ఘన రాగి ఘనం ఏర్పడే ఘనపరిమాణ సంకోచాన్ని నిర్ణయించండి.
సాధన:
ఇక్కడ L = 10 cm = 0.10m; P = 7 × 10⁹pa
B = 140Gpa = 140 × 10⁹ pa

ప్రశ్న 16.
ఒక లీటరు నీటిని 0.10% సంపీడనం చెందించడానికి ఎంత పీడనం అవసరం?
సాధన:
ఇక్కడ ఘనపరిమాణం V = 1 లీటరు = 10^-3m³;
ΔV/V = 0.10/100 = 10^-3

ప్రశ్న 17.
అధిక పీడనాల వద్ద పదార్థాల ప్రవర్తనను తెలుసుకోవడానికి పటంలో చూపిన ఆకృతిలో ఉన్న ఏక స్పటిక వజ్రం (స్వర్ణకారులు వాడేది) దాగిలి (Anvil) ని వాడతారు. సన్నకొన వద్ద ఉండే సమతలం వ్యాసం 0.50 mm. వెడల్పు కొనను 50,000 N సంపీడ్యత బలానికి గురి చేశారు. దాగిలి మొన (tip) పై పనిచేసే పీడనం ఎంత?

సాధన:
ఇక్కడ D = 0.5 mm = 0.5 × 10^-3m
= 5 × 10^-4m
F = 50,000 N = 5 × 10⁴N
పట్టెడ మొనవద్ద పీడనం

ప్రశ్న 18.
పటంలో చూపించినట్లు 1.05 m పొడవున్న ఉపేక్షణీయమైన బరువు ఉన్న కడ్డీని రెండు చివరల సమాన పొడవు ఉన్న ఉక్కుతీగ (తీగ A), అల్యూమినియం తీగ (తీగ B) ల సహాయంతో వేలాడదీశారు. A, B తీగల మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యాలు వరుసగా 1.0 mm², 2.0 mm², ఉక్కు, అల్యూమినియం తీగలలో (a) సమాన ప్రతిబలం, (b) సమాన వికృతిని కల్పించడానికి కడ్డీ మీద ఏ బిందువు దగ్గర ద్రవ్యరాశి mను వేలాడదీయాలి?

సాధన:
స్టీలు తీగ A, l₂ = 1, A, = 1mm²
Y₁ = 2 × 10¹¹Nm^-2
అల్యూమినియమ్ తీగ B, l₂ = l ;
A₂ = 2mm² ; Y₂ = 7 × 10¹⁰ Nm^-2

a) A నుండి × దూరంలో m ద్రవ్యరాశిని వ్రేలాడదీశా మనుకొనుము. రెండు తీగలలో తన్యతలు F₁ మరియు F₂ రెండు తీగలపై సమాన ప్రతిబలం ఉంటే

కడ్డీలో ద్రవ్యరాశిని వ్రేలాడదీసిన బిందువుపరంగా బలాల యొక్క భ్రామకాన్ని తీసుకుంటే

(లేదా) 2.10 – 2x = x (లేదా) x = 0.70m = 70cm

b)m ద్రవ్యరాశిని A చివర నుండి దూరంలో వ్రేలాడదీస్తే, తీగలలో తన్యతలు F, మరియు F2 అనుకుంటే, రెండు తీగలపై సమాన వికృతి కలిగిస్తే

ప్రశ్న 19.
రెండు స్థంభాల మధ్య స్థితిస్థాపక అవధిలో 1.0 m పొడవు, 0.50 × 10^-2 cm² మధ్యచ్ఛేదం ఉన్న మృదు ఉక్కు తీగను సమాంతరంగా సాగదీసి కట్టారు. తీగ మధ్య బిందువు వద్ద 100 g ద్రవ్యరాశిని వేలాడదీశారు. మధ్య బిందువు వద్ద వచ్చే నిమ్నతను కనుక్కోండి.
సాధన:
మధ్యబిందువు వద్ద పల్లము x అనుకొనుము.
అనగా CD = x
పటం నుండి, AC = CB = l = 0.5m
m = 100g = 0.100 kg
AD = BD = (l² + x²)^1/2

ప్రశ్న 20.
రెండు లోహ పలకలను ఒకదానితో ఒకటి చివరల నాలుగు రివెట్లను ఉపయోగించి బిగించారు. ప్రతి రివెట్ వ్యాసం 6.0mm. ప్రతి రివెట్పై విమోటన బలం 6.9 × 10⁷ Pa దాటకూడదు. రివెట్లు కట్టిన లోహ పలకల వల్ల కలిగే గరిష్ఠ తన్యత ఎంత? ప్రతి రివెట్ భారంలో నాలుగో వంతును భరిస్తుందనుకోండి.
సాధన:
ఇక్కడ, r = 6/2 = 3mm 3 × 10^-3 m,
గరిష్ట ప్రతిబలం 6.9 × 10⁷ Pa
ఇనుప మేకుపై గరిష్ట భారం = గరిష్ట ప్రతిబలం × అడ్డుకోత వైశాల్యం
= 6.9 × 10⁷ × (22/7) × (3 × 10^-3)²

∴ గరిష్ట తన్యత
= 4 (69 × 10⁷ ×\(\frac{22}{7}\) × 9 × 10^-6)
= 7.8 × 10³N.

ప్రశ్న 21.
పసిఫిక్ మహాసముద్రంలో ఉన్న మరీనా అగాధం లోతు ఒక చోట ఉపరితలం నుంచి 11 km ఉంటుంది. అగాధం అడుగు భాగంలో ద్రవ పీడనం సుమారు 1.1 × 10<sup8 Pa గా ఉంటుంది. సముద్రంలో 0.32 m³ తొలి ఘనపరిమాణం ఉన్న ఉక్కు బంతిని వదిలినప్పుడు అది అగాధం అడుగుకు చేరుకొంది. అక్కడ బంతి ఘనపరిమాణంలో వచ్చే మార్పు ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ P = 1.1 × 10⁸ Pa, V = 0.32 m³,
B = 16 × 10¹¹Pa

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
నిర్మాణంలో ఉపయోగించే ఒక ఉక్కు కడ్డీ 10 mm వ్యాసార్థం, 1.0 m పొడవును కలిగి ఉంది. 100 KN బలం దీనిని పొడవువరంగా సాగదీసినట్లయితే కడ్డీలో ఏర్పడే (a) ప్రతిబలం, (b) దైర్ఘ్యవృద్ధి (elongation), (c) వికృతి విలువలను కనుక్కోండి. ఉక్కుకడ్డీ యంగ్
గుణకం 2.0 × 10¹¹ Nm^-2.
సాధన:
ఉక్కు కడ్డీ కొనను స్థిర ఆధారానికి బిగించి రెండవ కొన వద్ద F బలాన్ని కడ్డీ పొడవుకు సమాంతరంగా అనువర్తించాం అనుకొందాం. ఇప్పుడు కడ్డీపై పనిచేసే ప్రతిబలం

ప్రశ్న 2.
ఒకే వ్యాసం 3.0 mm కలిగిన రాగి, ఉక్కు తీగల కొనలను కలిపారు. రాగి తీగ పొడవు 2.2 m, ఉక్కు తీగ పొడవు 1.6 m. భారాన్ని అనువర్తింప చేసి తీగలను సాగదీయగా నికర దైర్ఘ్యవృద్ధి 0.70 mm గా నమోదు అయ్యింది. అనువర్తించిన భారం ఎంత?
సాధన:
ఒకే తన్యత (భారం W కు సమానమైన), ఒకే మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం A రెండింటికి ఉంది కాబట్టి రాగి, ఉక్కు రెండు తీగలపై ఒకే తన్యజ ప్రతిబలం పనిచేస్తుంది.
ప్రతిబలం = వికృతి × యంగ్ గుణకం
W/A = Y_c × (ΔL_c/L_c) = Y_s × (ΔL_s/L_s)

ఇక్కడ c, s అక్షరాలు రాగి, ఉక్కు పదార్థాలను సూచిస్తాయి.
ΔL_c/ΔL_s = (Y_s/Y_c) × (L_c/L_s)

దత్తాంశం ప్రకారం L_c = 2.2 m, L_s = 1.6 m,
Y=1.1 x 1011 N.m2,
Y_c = 2.0 × 10¹¹ N.m^-2.
Y_s 2.0 × 10¹¹ N.m^-2

ప్రశ్న 3.
సర్కస్ లో చేసే మానవ పిరమిడ్ విన్యాసంలో మొత్తం సమూహం సంతులిత భారం కింద భాగంలో వీపుపై పడుకున్న వ్యక్తి కాళ్ళపై (పటంలో చూపిన విధంగా) ఆధారపడి ఉంటుంది. విన్యాసంలో పాల్గొన్న కళాకారులందరి ద్రవ్యరాశి, దీనిలో వాడిన బల్ల, చెక్కల మొత్తం ద్రవ్యరాశి 280 kg. పిరమిడ్ అడుగున పడుకున్న కళాకారుని ద్రవ్యరాశి 60 kg. ఈ కళాకారుని ప్రతి తొడ ఎముక (femur) పొడవు 50 cm, ప్రభావాత్మక వ్యాసార్థం 2.0 cm. అదనపు భారం ప్రతి తొడ ఎముక ఎంత సంపీడనం చెందుతుందో నిర్ణయించండి.

సాధన:
కళాకారులు, బల్ల, చెక్కల మొత్తం ద్రవ్యరాశి = 280 kg
కిందపడుకున్న కళాకారుని ద్రవ్యరాశి = 60 kg
పిరమిడ్ అడుగున పడుకున్న కళాకారుడు కాళ్ళమీద భారాన్ని కలిగించే ద్రవ్యరాశి = 280 – 60
= 220 kg

ఈ ద్రవ్యరాశి వల్ల కలిగే భారం
= 220 kg wt.
= 220 × 9.8 N
= 2156 N

కళాకారుని ప్రతి తొడ ఎముక భరించే భారం
= \(\frac{1}{2}\) (2156) N = 1078 N.

ఎముక యంగ్ గుణకం
Y = 9.4 × 10⁹ Nm^-2 (సంపీడనం)

ప్రతి తొడ ఎముక పొడవు = L 0.5 m
తొడ ఎముక వ్యాసార్థం = 2.0 cm
తొడ ఎముక మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం
A = π × (2 × 10^-2)² m²
= 1.26 × 10^-3 m².

ప్రతి తొడ ఎముకలో కలిగే సంపీడనం ∆L ని కింది విధంగా లెక్కించవచ్చు.

ఈ మార్పు చాలా స్వల్పం. తొడ ఎముక పొడవులో కలిగే అంశిక తగ్గుదల
∆L/L = 0.000091
(లేదా) 0.0091%.

ప్రశ్న 4.
భుజం 50 cm, మందం 10 cm ఉన్న చతురస్ర ఆకార సీసపు దిమ్మెను 9.0 × 10⁴ N విరూపణ బలానికి (సన్నని తలంపై గురిచేశారు. కింది అంచును నేలకు బిగించారు. పై అంచులో వచ్చే స్థానభ్రంశం ఎంత?
సాధన:
పటంలో చూపించిన విధంగా సీసపు దిమ్మెను నేలకు
బిగించారు. బలాన్ని సన్నని తలానికి సమాంతరంగా అనువర్తించారు. బలం అనువర్తించిన తలం వైశాల్యం
A = 50 cm × 10 cm
= 0.5 m × 0.1 m
= 0.05 m²

∴ అనుర్తించిన ప్రతిబలం = (9.4 × 10⁴ N/0.05 m²)
= 1.80 × 10⁶ N.m²

ప్రశ్న 5.
హిందూ మహాసముద్రం సరాసరి లోతు సుమారు 3000 m. మహాసముద్రం అడుగు భాగంలో నీటి అంశిక సంపీడనం ∆V/V లెక్కించండి. నీటి ఆయత గుణకం 2.2 × 10⁹ Nm^-2. (g = 10 ms^-2 గా తీసుకోండి.)
సాధన:
3000 m నీటి స్థంభం (column) వల్ల కింది పొరపై కలిగే పీడనం
p = hρ g
= 3000 m × 1000 kg m^-3 × 10ms^-2
= 3 × 10⁷kg m^-1s^-2
= 3 × 10⁷ Nm^-2

అంశిక పీడనం ∆V/V = ప్రతిబలం/ B
= (3 × 10⁷Nm^-2) / (2.2 × 10°Nm^-2)
= 1.36 × 10^-2 లేదా 1.36%

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకం (G) ప్రమాణాలను, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 2.
నూటన్ గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని సదిశా రూపంలో వ్యక్తీకరించండి.
జవాబు:
న్యూటన్ గురుత్వాకర్షణ నియమం యొక్క సదిశా రూపం
F = \(\frac{-G m_1 m_2}{r^3} \hat{r}\) ఇక్కడ \(\hat{r}\) అనునది ఏకాంక సదిశ.

ప్రశ్న 3.
చంద్రునిపై భూమి గురుత్వాకర్షణ బలం F అయితే, భూమిపై చంద్రుని గురుత్వాకర్షణ బలం ఎంత? ఈ బలాలు చర్య-ప్రతిచర్య జంటను ఏర్పరుస్తాయా?
జవాబు:
F. అవును. ఈ బలాలు చర్య-ప్రతిచర్యల జంటను ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న 4.
భూమి ద్రవ్యరాశిని స్థిరంగా ఉంచుతూనే, భూమి వ్యాసార్థం 2% తగ్గిస్తే, దాని ఉపరితలం వద్ద గురుత్వ త్వరణం విలువ (g)లో వచ్చే మార్పు ఎంత ఉంటుంది?
జవాబు:

ప్రశ్న 5.
మనం ఒక గ్రహం నుంచి మరొక గ్రహానికి మారుతూ ఉంటే వస్తువు a) ద్రవ్యరాశి b) భారం ఎలా మారుతుంటాయి?
జవాబు:
a) ద్రవ్యరాశి మారదు.
b) ఒక గ్రహం నుండి వేరొక గ్రహానికి మారితే భారం (w = mg) కూడా మారుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక లఘులోలకం పొడవును స్థిరంగా ఉంచినప్పుడు, అన్ని గ్రహాల మీద దాని డోలనావర్తన కాలం సమానంగా ఉంటుందా? కారణంతో సహా మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
జవాబు:
ఉండదు. ఆవర్తన కాలం, గురుత్వ త్వరణంపై ఆధారపడుతుంది. T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) విలువ ఒక్కో గ్రహానికి ఒక్కో విధంగా ఉంటుంది. కావున ఆవర్తన కాలం మారుతుంది.

ప్రశ్న 7.
భూఉపరితలం నుంచి d లోతులో ఉన్న బిందువు వద్ద గురుత్వ త్వరణానికి సమీకరణాన్ని తెలపండి. భూకేంద్రం వద్ద g విలువ ఎంత?
జవాబు:

1. g_d = g(1- \(\frac{d}{R}\)) ఇక్కడ d = లోతు, R = వ్యాసార్ధం.
2. భూకేంద్రం వద్ద g = 0.

ప్రశ్న 8.
g విలువను భూమధ్యరేఖ వద్ద కనిష్ఠంగా, ధ్రువాల వద్ద గరిష్ఠంగా ఉండే విధంగా చేసే అంశాలేమిటో తెలపండి.
జవాబు:

1. g విలువ ధ్రువాల వద్ద అధికంగా ఉండుటకు కారణం (a) భూభ్రమణం వల్ల (b) ధ్రువాల వద్ద భూమి చదునుగా ఉండటం (c) ధ్రువాల వద్ద లంబ వ్యాసార్థం తక్కువగా ఉండటం.
2. భూమధ్యరేఖ వద్ద g విలువ తక్కువగా ఉండుటకు కారణం (a) భూభ్రమణం వల్ల (b) భూమధ్యరేఖ వద్ద ఉబ్బెత్తుగా ఉండటం.

ప్రశ్న 9.
“హైడ్రోజన్ సూర్యుని చుట్టూ పుష్కలంగా ఉంది. కాని భూమి చుట్టూ అంత పుష్కలంగా లేదు”. వివరించండి.
జవాబు:
సూర్యుడిపై పలాయన వేగం 620 km/s మరియు భూమిపై పలాయన వేగం 11.2 km/s హైడ్రోజన్ వాయువు పలాయన వేగం (2 km/s), సూర్యుడిపై పలాయన వేగం కన్నా బాగా తక్కువ. అందువలన హైడ్రోజన్ సూర్యుడి చుట్టూ పుష్కలంగాను, భూమి చుట్టూ పలుచగాను ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
ఒక భూస్థావర ఉపగ్రహం పరిభ్రమణావర్తన కాలం ఎంత? అది పశ్చిమం నుంచి తూర్పుకి లేదా తూర్పు నుంచి పశ్చిమానికి తిరుగుతుందా?
జవాబు:
భూస్థావర ఉపగ్రహం యొక్క ఆవర్తన కాలం 24 గంటలు. ఇది పశ్చిమం నుంచి తూర్పు వైపుకు తిరుగుతుంది.

ప్రశ్న 11.
ధ్రువీయ ఉపగ్రహాలు అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
తక్కువ ఎత్తులో (500 నుండి 800 km) తిరిగే ఉపగ్రహాలను ధ్రువీయ ఉపగ్రహాలు అంటారు. ఇవి భూమి యొక్క ధ్రువాల చుట్టూ ఉత్తరం నుండి దక్షిణ దిశలో తిరుగుతాయి. వీటి ఆవర్తన కాలం దాదాపు 100 నిముషాలు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
కెప్లర్ గ్రహ గమన నియమాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
కెప్లర్ యొక్క మూడు నియమాలను ఈ విధంగా తెలపవచ్చు.

1. కక్ష్యల నియమం :
సూర్యుడిని కేంద్రంగా చేసుకొని అన్ని గ్రహాలు సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతాయి.

2. వైశాల్యాల నియమం :
గ్రహం నుండి సూర్యుడిని కలిపే రేఖ సమాన కాలవ్యవధులలో సమాన వైశాల్యాలను చిమ్ముతుంది.

3. ఆవర్తన కాలాల నియమం :
గ్రహం యొక్క పరిభ్రమణ ఆవర్తన కాల వర్గము, ఆ గ్రహ దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్య అర్థగురు అక్షం పొడవు ఘనానికి అనులోమాను పాతంలో ఉండును.
T² α R³

ప్రశ్న 2.
ఒక గ్రహం ఉపరితలంపై గురుత్వ త్వరణం విలువ (g), విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకం (G)ల మధ్య సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు గ్రహం యొక్క ఉపరితలంపై ఉంది అనుకొనుము.
భూమి వ్యాసార్థం R మరియు భూమి ద్రవ్యరాశి M అనుకొనుము.
వస్తువు గ్రహం యొక్క గురుత్వాకర్షణ బలం (F) = mg ………… (1)

న్యూటన్ గురుత్వాకర్షణ నియమం ప్రకారం, వస్తువుపై బలం
F = \(\frac{GMm}{R^2}\) …………… (2)
(1) మరియు (2) సమీకరణాల నుండి mg = \(\frac{GMm}{R^2}\)
g = \(\frac{GM}{R^2}\) ఇది g మరియు Gల మధ్య సంబంధం.
భూమి ద్రవ్యరాశి (M) = ఘనపరిమాణం × భూమి యొక్క సాంద్రత
M = \(\frac{4}{3}\) πR³ × ρ
g = \(\frac{4}{3}\) πGRρ

ప్రశ్న 3.
సమాన విలువలు కలిగిన ఎత్తు (h), లోతు (d)లకు గురుత్వ త్వరణం విలువ ఏ విధంగా మారుతుంది?
జవాబు:

ప్రశ్న 4.
కక్ష్యా వేగం అంటే ఏమిటి? దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. [Mar. 14]
జవాబు:

కక్ష్యా వేగం (V) :
ఒక గ్రహం చుట్టూ నిర్ణీత కక్ష్యలో వృత్తాకార మార్గంలో పరిభ్రమించడానికి వస్తువుకు కావలసిన కనీస క్షితిజ సమాంతర వేగాన్ని కక్ష్యావేగం అంటారు.

కక్ష్యా వేగానికి సమీకరణంను రాబట్టుట :
భూమి చుట్టూ m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు (ఉపగ్రహం) వృత్తాకారంగా పరిభ్రమిస్తున్నది అనుకొనుము. భూమి నుండి ఉపగ్రహం ఎత్తు అనుకొనుము. అపుడు కక్ష్యా వ్యాసార్థం . (R + b) అవుతుంది.

వస్తువుపై భూమి కలిగించే గురుత్వాకర్షణ బలం (F) = \(\frac{GMm}{(R+h)^2}\) ………. (1)
ఇక్కడ M = భూమి ద్రవ్యరాశి, R = భూమి యొక్క వ్యాసార్థం,
G = విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం, V_o అనునది వస్తువు యొక్క కక్ష్యా వేగం అయితే

వస్తువుపై పనిచేసే అపకేంద్ర బలం (F) = \(\frac{mv^2_0}{(R+h)^2}\) ………. (2)

వస్తువు సమవడితో వృత్తాకార కక్ష్యలో తిరగడానికి అవసరమయ్యే అపకేంద్ర బలాన్ని, వస్తువుపై గ్రహం కలుగచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం అందించును.

ప్రశ్న 5.
పలాయన వడి అంటే ఏమిటి? దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. [Mar. ’13]
జవాబు:
పలాయన వేగం :
ఒక వస్తువును భూమి గురుత్వాకర్షణను అధిగమించి తప్పించుకుపోవడానికి, ఎంత కనీసవేగంతో ప్రక్షిప్తం చేయాలో ఆ వేగాన్ని పలాయన వేగం అంటారు.

పలాయన వేగానికి సమీకరణం :
m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును v_e వేగంతో విసిరామనుకొనుము.
గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\)mv²_e ………….. (1)
భూమి ద్రవ్యరాశి M, వ్యాసార్థం R అయిన m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువుపై గురుత్వాకర్షణ బలం

గతిజశక్తి = స్థితిజశక్తి అయితే వస్తువు పలాయనం చేస్తుంది.

∴ పలాయన వేగం, కక్ష్యావేగానికి √2 రెట్లుండును.

ప్రశ్న 6.
భూస్థావర ఉపగ్రహం అంటే ఏమిటి? వాటి ఉపయోగాలను తెలపండి. [May ’13]
జవాబు:
భూస్థావర ఉపగ్రహం :
కృత్రిమ ఉపగ్రహం యొక్క కక్ష్యావర్తన కాలము, భూమి యొక్క ఆత్మభ్రమణ కాలానికి సమానమైతే అటువంటి ఉపగ్రహాన్ని భూస్థావర ఉపగ్రహం అంటారు.

ఉపయోగాలు :

1. వాతావరణ పైపొరలను అధ్యయనం చేయవచ్చు.
2. వాతావరణంలో కలిగే మార్పులను తెలుసుకోవచ్చును.
3. భూమి ఆకారాన్ని, పరిమాణాన్ని అంచనా వేయవచ్చును.
4. భూఉపరితలంపై, భూగర్భంలోను గల సహజ ఖనిజ సంపదను గుర్తించవచ్చును.
5. టెలివిజన్ కార్యక్రమాలను సుదూర ప్రాంతాలకు ప్రసారం చేయవచ్చును.
6. అంతరిక్ష పరిశోధన చేసి గ్రహాలు, ఉపగ్రహాలు, తోకచుక్కలు మొదలగు వాటి గూర్చి పరిశోధించవచ్చు.

ప్రశ్న 7.
సరాసరి సముద్ర మట్టం నుంచి రెండు ప్రదేశాలు ఒకే ఎత్తులో ఉన్నాయనుకొందాం. ఒకటి పర్వతం మీద ఉంది. మరొకటి గాలిలో ఉంది. ఎక్కడ ‘g’ ఎక్కువగా ఉంటుంది? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
గాలిలో కన్నా పర్వతం మీద గురుత్వ త్వరణం విలువ ఎక్కువ.
g = \(\frac{GM}{(R+h)^2}\) ………. (1)
ద్రవ్యరాశి (M) = ఘనపరిమాణం × సాంద్రత (ρ)
M = \(\frac{4}{3}\)πR³ × ρ

కాబట్టి పర్వతం సాంద్రత ఎక్కువ కాబట్టి పర్వతం మీద g విలువ ఎక్కువ.

ప్రశ్న 8.
ఒక వస్తువు భారం భూమధ్యరేఖ వద్ద కంటే ధ్రువాల వద్ద ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఒకే బరువుకు ఈ రెండు ప్రదేశాల్లో ఎక్కడ ఎక్కువ చక్కెర (sugar) వస్తుంది? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
ధ్రువాల వద్ద వస్తువు యొక్క భారం = m_pg_p (∵ w = mg)
భూమధ్యరేఖ వద్ద వస్తువు యొక్క భారం = m_eg_e
ధ్రువాల వద్ద వస్తువు యొక్క భారం > భూమధ్యరేఖ వద్ద వస్తువు యొక్క భారం
m_p g_p > m_e g_e
g_p > g_e అని మనకు తెలుసు కాబట్టి m_p < m_e
అందువలన భూమధ్యరేఖ వద్ద మనం ఎక్కువ చక్కెరను పొందగలం.

ప్రశ్న 9.
భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం చీల (nut) వదులై దాని నుంచి వేరయిపోతే అది భూమి వైపు కిందకు పడుతుందా? లేదా భూమి చుట్టూ తిరుగుతుందా? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
కృత్రిమ ఉపగ్రహం నుండి ఒక చీల క్రిందపడితే, అది ఉపగ్రహం యొక్క వేగంతోనే చలించడం ప్రారంభిస్తుంది. ఉపగ్రహం యొక్క కక్ష్యా వేగం దాని ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు. అభికేంద్ర బలం వల్ల చీల కూడా ఉపగ్రహం దిశలోనే తిరుగుతూ ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువును 11.2 km.s^-1 వేగంతో లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేసినప్పుడు అది తిరిగి భూమికి చేరుకోలేదు. కారణాలతో వివరించండి.
జవాబు:
భూమిపై పలాయన వేగం (v_e) = 11.2 km/s ఏ వస్తువునైనా 11.2 km/s వేగం (లేదా) అంతకన్నా ఎక్కువ వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేస్తే, ఆ వస్తువు ఎప్పటికీ భూమికి తిరిగిరాదు. అందుకు కారణం అది భూమ్యాకర్షణను అధిగమిస్తుంది. కాబట్టి వస్తువు ఎప్పటికీ భూమికి తిరిగిరాదు.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
గురుత్వ స్థితిజశక్తిని నిర్వచించండి. m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు కణాలకు సంబంధించిన గురుత్వ స్థితిజశక్తికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
గురుత్వ స్థితిజశక్తి :
ఒక వస్తువు యొక్క గురుత్వ క్షేత్రంలోని ఒక బిందువు వద్దకు మరొక వస్తువును అనంతదూరం నుండి త్వరణం లేకుండా తేవడానికి చేయవలసిన పనిని గురుత్వ స్థితిజశక్తి అంటారు.

గురుత్వ స్థితిజశక్తికి సమీకరణంను రాబట్టుట :
M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్థం గల భూమి వలన గురుత్వ క్షేత్రాన్ని తీసుకుందాం.

భూమి ద్రవ్యరాశి, దాని కేంద్రం ‘O’ వద్ద కేంద్రీకృతం అయినది అనుకుందాం.

m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు యొక్క గురుత్వ స్థితిజశక్తిని గురుత్వ క్షేత్రంలో p బిందువు వద్ద లెక్కిద్దాం.
ఇక్కడ OP = r మరియు r > R. OA = x మరియు AB = dx అనుకొనుము.

వస్తువును dx దూరం త్వరణం లేకుండా తేవడానికి జరిగిన మొత్తం పని

ఇక్కడ జరిగిన పని వస్తువులో గురుత్వ స్థితిజశక్తి రూపంలో నిల్వ ఉంటుంది.
∴ గురుత్వ స్థితిజశక్తి (U) = –\(\frac{GMm}{r}\) ………….. (4)
r దూరంలో ఉన్న m, మరియు m2 ద్రవ్యరాశులు గల రెండు కణాలలో గురుత్వ స్థితిజశక్తి
U = –\(\frac{GM_1m_2}{r}\) …………. (5) (r → ∝ అయితే, U = 0 అవుతుంది).

ప్రశ్న 2.
గురుత్వ త్వరణం (a) భూమి ఉపరితలం పైన, (b) భూమి ఉపరితలం లోపల ఎలా మారుతుందో తెలిపే సమీకరణాలను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
(i) ఎత్తుతోపాటు g విలువలో మార్పు :
వస్తువు భూమి ఉపరితలంపై ఉన్నప్పుడు, దూరం r = R భూమి వ్యాసార్ధం అవుతుంది.
g = \(\frac{GM}{R^2}\) ………….. (1)
ఇక్కడ G విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం, M = భూమి యొక్క ద్రవ్యరాశి.
భూమి ఉపరితలం నుండి, వస్తువును h ఎత్తుకు తీసుకుపోతే, r = R + h అవుతుంది.
∴ g_h = \(\frac{GM}{(R+h)^2}\) ………….. (2)

ఎత్తుకు పోవుకొలది g విలువ తగ్గుతుంది.

(ii) లోతునుబట్టి g విలువలో మార్పు :

లోతుతోపాటు g విలువ తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 3.
న్యూటన్ విశ్వగురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని పేర్కొనండి. కావెండిష్ పద్ధతి ద్వారా విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం (G) విలువను ఎలా కనుక్కొంటారో వివరించండి.
జవాబు:

న్యూటన్ విశ్వగురుత్వాకర్షణ నియమం :
“విశ్వంలో ప్రతి వస్తువు, మరొక వస్తువును ఆకర్షించే బలం వాటి ద్రవ్యరాశుల లబ్దానికి అనులోమానుపాతంలోను, వాటిమధ్య దూరం యొక్క వర్గానికి విలోమానుపాతంలోను ఉంటుంది.

కావెండిష్ పద్ధతి ద్వారా G విలువను కనుగొనుట :

1. 1798వ సంవత్సరంలో హెన్రీ కావెండిష్ G విలువను ప్రయోగపూర్వకంగా కనుగొన్నాడు.
2. ఒక కడ్డీ AB యొక్క రెండు చివరల వద్ద రెండు చిన్న సీసపు గోళాలు అతకబడి ఉన్నాయి.
3. ఈ కడ్డీని అతిసన్నని తీగతో దృఢమైన ఆధారం నుండి వ్రేలాడదీయాలి.
4. పటంలో చూపినట్లుగా రెండు పెద్ద సీసపు గోళాలను వ్యతిరేక దిశలలో, చిన్నగోళాల దగ్గరకు తీసుకుపోవాలి.
5. పెద్దగోళాలు, వాటికి దగ్గరలో ఉన్న చిన్న గోళాలను సమాన మరియు వ్యతిరేక బలాలతో పటంలో చూపినట్లుగా ఆకర్షిస్తాయి.
6. కడ్డీ మీద ఫలితబలం లేదు, కాని కేవలం టార్క్ మాత్రమే ఉంది, ఇది స్పష్టంగా కడ్డీ పొడవుకు F రెట్లుండును. ఇక్కడ F అనునది పెద్ద గోళం మరియు దాని ప్రక్కనే ఉన్న చిన్న గోళం మధ్య ఆకర్షణ బలం.
7. ఈ టార్క్ వలన, వ్రేలాడదీసిన తీగ మెలి తిరుగుతుంది, ఆ సమయంలో తీగ యొక్క పునఃస్థాపక టార్క్, గురుత్వాకర్షణ టార్క్క సమానం.
   పునఃస్థాపక టార్క్ = τ θ ……………. (1)
   ఇక్కడ τ అనునది ప్రమాణ పురికి పునఃస్థాపక బలయుగ్మం’ రి అనునది కోణం.
8. M మరియు m ద్రవ్యరాశులు గల పెద్ద మరియు చిన్న గోళాల మధ్య దూరం d అయిన
   గురుత్వాకర్షణ బలం (F) = \(\frac{GMm}{d^2}\) …………… (2)
9. AB కడ్డీ పొడవు L. Fను Lచే గుణించగా టార్క్ ఏర్పడుతుంది. సమతాస్థితి వద్ద ఇది పునఃస్థాపక టార్క్కు సమానం.
   \(\frac{GMm}{d^2}\) = τ θ …………. (3)
   θ విలువలను పరిశీలించి, G విలువను లెక్కించవచ్చు.
   ప్రయోగపూర్వకంగా కనుగొన్న G విలువ = 6.67 × 10^-11 Nm²/ Kg².

లెక్కలు (Problems)
(విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం ‘G’ = 6.67 × 10^-11 Nm²kg^-2; భూమి వ్యాసార్థం ‘R’ 6400 km; భూమి ద్రవ్యరాశి ‘M_E‘ = 6 × 10²⁴ kg)

ప్రశ్న 1.
ఒక్కొక్కటి 1 kg ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు గోళాకార బంతుల్ని 1 cm దూరంలో ఉంచారు. వాటి మధ్య ఉండే గురుత్వాకర్షణ బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
m₁ = m₂ = 1 kg, d = 1 cm = 1 × 10^-2 m

ప్రశ్న 2.
ఒక బంతి ద్రవ్యరాశి వేరొక బంతి ద్రవ్యరాశికి 4 రెట్లు ఉంది. ఈ బంతులను 10 cm దూరంలో ఉంచినప్పుడు వాటి మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలం 6.67 × 10⁷ N అయితే ఆ బంతుల ద్రవ్యరాశు లను కనుక్కోండి.
సాధన:
m₁ = m, m₂ = 4m, d = 10 = 10 × 10^-2 m,
F = 6.67 × 10^-7 N

ప్రశ్న 3.
1 m భుజం పొడవు కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజం మూడు శీర్షాల వద్ద 1 kg, 2kg, 3 kg ల ద్రవ్యరాశులు కలిగిన గోళాకార బంతులను ఉంచారు. 1 kg ద్రవ్యరాశిపై 2 kg, 3kgల ద్రవ్యరాశులు ప్రయోగించే గురుత్వాకర్షణ బలాన్ని గణించండి.
సాధన:
2 kg ల ద్రవ్యరాశిపై 1 kg ద్రవ్యరాశి కలిగించే ఆకర్షణ బలం

ప్రశ్న 4.
భూఉపరితలం నుంచి ఒక నిర్ణీత ఎత్తులో గురుత్వ త్వరణం భూఉపరితలంపై ఉన్న విలువలో 4% ఉంది. అయితే ఆ ఎత్తు ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 5.
ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం 1000 km ఎత్తులో భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్నది దాని కక్ష్యా వడి ఎంత?
సాధన:
h = 1000 km

ప్రశ్న 6.
భూవ్యాసార్ధానికి సమానమైన ఎత్తులో ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్నది. దాని (i) కక్ష్యావడి, (ii) పరిభ్రమణావర్తన కాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ h = R

ప్రశ్న 7.
రెండు వస్తువుల మధ్య ఉన్న దూరాన్ని 4 m పెంచితే, వాటి మధ్య ఉన్న గురుత్వాకర్షణ బలం 36% తగ్గింది. వాటి మధ్య ఉన్న తొలిదూరం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 8.
a భుజం ఉన్న ఒక చతురస్రం ప్రతి శీర్షం వద్ద సర్వసమానమైన ద్రవ్యరాశులు mలను ఉంచారు. ఒక ద్రవ్యరాశిపై మిగతా మూడు ద్రవ్యరాశులు ప్రయోగించే గురుత్వబలాన్ని గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
1 kg, 4 kg ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు గోళాకార బంతుల మధ్యదూరం 12 cm. 1 kg ద్రవ్యరాశి నుంచి ఎంత దూరంలో ఉన్న బిందువు వద్ద ఏ ద్రవ్యరాశి మీదనైనా పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం శూన్యం అవుతుంది.
సాధన:
m₁ = 1 kg, m₂ = 4 kg, r = 12 cm

x = 4 cm వద్ద గురుత్వాకర్షణ బలం శూన్యం.

ప్రశ్న 10.
ఒక్కొక్కటి ద్రవ్యరాశి m, వ్యాసార్థం R ఉన్నట్టి మూడు ఏకరీతి గోళాలను, అందులో ప్రతి ఒకటి మిగతా రెండింటిని తాకే విధంగా అమర్చారు. వాటిలో ఏ ఒక్క గోళం పైనైనా మిగతా రెండు గోళాల వల్ల కలిగే గురుత్వాకర్షణ బల పరిమాణాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
రెండు కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు వేరువేరు ఎత్తులలో భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తున్నాయి. వాటి కక్ష్యా వడుల నిష్పత్తి 2 : 1. అందులో ఒకటి 100 km ఎత్తులో ఉంటే, మరొకటి ఎంత ఎత్తులో ఉంటుంది?
సాధన:

ప్రశ్న 12.
గురుత్వ త్వరణం విలువ 8 ms ఉన్నటు వంటి ఒక ఎత్తు వద్ద ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం 8 ms వడితో వృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతున్నది. భూఉపరితలం నుంచి ఉపగ్రహం ఎంత ఎత్తులో ఉన్నట్లు?
(గ్రహం వ్యాసార్థం = 6000 km)
సాధన:
v₀ = 8 km/s 8000 m/s
g_h = 8 m/s², R 6000 km
= 6000 × 10³ m

ప్రశ్న 13.
(a) భూఉపరితలం నుంచి ఒక వస్తువు పలాయన వడిని కనుక్కోండి. (b) ఒక వేళ భూమి కర్రతో గనుక తయారై ఉంటే, దాని ద్రవ్యరాశి భూమి ప్రస్తుత ద్రవ్యరాశితో 10% ఉండేది. భూమి కర్రతో తయారై ఉండి ఉంటే, పలాయన వడి ఎంత?
సాధన:

అదనపు లెక్కలు (Additional Problems)

ప్రశ్న 1.
కింది వాటికి సమాధానాలు రాయండి.
a) ఒక విద్యుదావేశాన్ని ఒక బోలు వాహకం లోపల ఉంచడం ద్వారా దానిపై విద్యుత్ బలం పనిచేయకుండా రక్షణ కల్పించవచ్చు. ఒక వస్తువును ఒక బోలు గోళం లోపల ఉంచడం ద్వారా లేదా మరే ఇతర పద్ధతిలో నైనా దానికి దగ్గరలో ఉన్న ద్రవ్యం యొక్క గురుత్వాకర్షణ బలం నుంచి రక్షించవచ్చా?
b) భూమిచుట్టూ తిరుగుతున్న ఒక చిన్న వ్యోమ నౌకలోని వ్యోమగామి గురుత్వాకర్షణ బలం ఉనికిని గుర్తించలేడు. భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న వ్యోమనౌక చాలా పెద్దదిగా ఉంటే గురుత్వాకర్షణ బలం ఉనికిని గుర్తించగలనని అతడు ఆశించ వచ్చా?
c) సూర్యుని మూలంగా భూమిపై కలిగే గురుత్వ త్వరణం, చంద్రుని మూలంగా భూమిపై కలిగే గురుత్వ త్వరణాలను పోల్చినప్పుడు చంద్రుని ఆకర్షణ కంటే సూర్యుని ఆకర్షణ ఎక్కువగా ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది. (తరువాతి అభ్యాసాలలో లభ్యమయ్యే సమాచారాన్ని వినియోగించుకొని మీరీ విషయాన్ని స్వయంగా సరిచూసుకోవచ్చు).
సాధన:
a) దగ్గరలో ఉన్న ద్రవ్యం నుండి, వస్తువుపై గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం లేకుండా రక్షించలేము. అందుకు కారణం దగ్గరలో ఉన్న ద్రవ్యం వల్ల, వస్తువుపై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలాలు, మరొక ద్రవ్యం వల్ల పనిచేసే వాటిపై ఆధారపడవు. విద్యుత్ బలాలలో గురుత్వ బలాల వలె సాధ్యం కాదు.

b) అవును, భూమి చుట్టూ పరిభ్రమించే అంతరిక్ష నౌక పరిమాణం పెద్దది అయినా, అంతరిక్ష నౌక లోపల ఉన్న వ్యోమగామి gలో మార్పును కనుగొనవచ్చు.

c) ఆటుపోటులు, దూరం యొక్క ఘనానికి విలోమాను పాతంలో ఉంటాయి. చంద్రుడి నుండి సముద్రం వరకు దూరం, సూర్యుడి నుండి సముద్రం వరకు దూరం కన్నా తక్కువ. అందువల్ల సూర్యుడి వల్ల కన్నా చంద్రుడి ప్రభావం ఆటుపోటులపై ఎక్కువ.

ప్రశ్న 2.
సరియైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఎంచుకోండి.
a) ఉన్నతాంశం పెరుగుతున్నకొద్దీ గురుత్వ త్వరణం పెరుగుతుంది/తగ్గుతుంది.
b) లోతు పెరుగుతున్న కొద్దీ గురుత్వ త్వరణం పెరుగుతుంది/తగ్గుతుంది. (భూమిని ఏకరీతి సాంద్రత కలిగిన గోళంగా పరిగణించండి.)
c) భూమి ద్రవ్యరాశి / వస్తువు ద్రవ్యరాశిపై గురుత్వ త్వరణం ఆధారపడి ఉండదు.
d) భూకేంద్రం నుంచి r₁, r₂ దూరాలలో ఉన్న రెండు బిందువుల మధ్య స్థితిజశక్తి భేదానికి సూత్రం −GMm (1/r₂ – 1/r₁) అనేది సూత్రం mg(r₂ – r₁) కంటే ఎక్కువ/తక్కువ.
సాధన:
a) తగ్గుతుంది
b) తగ్గుతుంది
c) వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి
d) అధికం

ప్రశ్న 3.
సూర్యుని చుట్టూ భూమి కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ వడితో తిరిగే ఒక గ్రహం ఉందను కొందాం. భూమితో పోల్చినప్పుడు దాని కక్ష్యా పరిమాణం (orbital size) ఎంత ఉంటుంది?
సాధన:

ప్రశ్న 4.
బృహస్పతి గ్రహానికి ఉన్న ఒకానొక ఉపగ్రహం ఇయో (Io) కక్ష్యావర్తన కాలం 1.769 రోజులు. కక్ష్యావ్యాసార్ధం 4.22 × 10⁸m అయితే బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి, సూర్యుని ద్రవ్యరాశిలో దాదాపు వెయ్యవ వంతు ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
బృహస్పతి యొక్క ఉపగ్రహం, కక్ష్యావర్తన కాలం,
T₁ = 1.769 రోజులు = 1.769 × 24 × 60 × 60
ఉపగ్రహం యొక్క కక్ష్యా వ్యాసార్థం.
T₁ = = 4.22 × 10⁸ m
బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి

భూమి, సూర్యుడి చుట్టూ తిరిగే ఆవర్తన కాలం
T = 1 సంవత్సరం = 365.25 × 24 × 60 × 60
కక్ష్యా వ్యాసార్థం, r = 1 A.U = 1.496 × 10¹¹m

ప్రశ్న 5.
ఒక్కొక్కటి సౌర ద్రవ్యరాశికి సమానమైన ద్రవ్యరాశి ఉన్న 2.5 × 10¹¹నక్షత్రాలు మన నక్షత్ర మండలం (galaxy)లో ఉన్నాయని ఊహిద్దాం. నక్షత్రమండల కేంద్రం నుంచి 50,000 కాంతి సంవత్సరాల దూరంలో ఉన్న ఒక నక్షత్రం ఒక పూర్తి పరిభ్రమణానికి ఎంత కాలం తీసుకొంటుంది? మన నక్షత్ర మండలమైన పాలపుంత వ్యాసం 10⁵ ly (ly = light year = కాంతి సంవత్సరం) గా తీసుకోండి.
సాధన:
ఇక్కడ r = 50,000 కాంతి సంవత్సరాలు
= 50,000 × 9.46 × 10¹⁵ m
= 4.73 × 10²⁰ m
M = 2.5 × 10¹¹ సూర్యుడి ద్రవ్యరాశి
= 2.5 × 10¹¹ × 2 × 10³⁰ kg
= 5 × 10⁴¹ kg

ప్రశ్న 6.
సరియైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఎంచుకోండి.
a) స్థితిజశక్తి శూన్య విలువను అనంత దూరం వద్ద తీసుకొంటే, పరిభ్రమిస్తున్న ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తి దాని గతిజశక్తి/స్థితిజశక్తికి రుణాత్మకం.
b) పరిభ్రమిస్తున్న ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహాన్ని భూమ్యాకర్షణ ప్రభావానికి ఆవల వరకు సంధించడానికి అవసరమయ్యే శక్తి కృత్రిమ ఉపగ్రహం ఉన్న ఎత్తులోనే నిశ్చలంగా ఉన్న ఒక ప్రక్షేపకాన్ని భూమ్యాకర్షణ ప్రభావా న్నుంచి ప్రక్షిప్తం చెయ్యడానికి అవసరమయ్యే శక్తి కంటే ఎక్కువ/తక్కువ.
జవాబు:
a) గతిజ శక్తి
b) తక్కువ

ప్రశ్న 7.
భూమి నుంచి ఒక వస్తువు పలాయన వడి ఈ అంశాలపై ఆధారపడుతుందా? (a) వస్తువు ద్రవ్యరాశి, (b) వస్తువు ప్రక్షిప్తం చేసిన స్థానం, (c) ప్రక్షిప్తం చేసిన దిశ, (d) వస్తువును ప్రక్షేపించిన స్థానం ఎత్తు.
జవాబు:
పలాయన వేగం వస్తువు ద్రవ్యరాశిపై, ప్రక్షిప్త వేగంపై ఆధారపడదు. ఇది ప్రక్షిప్తం చేసిన బిందువు వద్ద గురుత్వ పొటెన్షియల్పై ఆధారపడుతుంది. ఈ పొటెన్షియల్ అక్షాంశం మరియు బిందువు ఎత్తుపై స్వల్పంగా ఆధారపడుతుంది. కాబట్టి పలాయన వేగం ఈ మూడు అంశాలపై స్వల్పంగా ఆధారపడుతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక తోకచుక్క సూర్యుని చుట్టూ ఒక అత్యధిక అర్థగురు అక్షంగల దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతున్నది. ఈ తోకచుక్క కక్ష్య యావత్తు ఈ రాశులు స్థిరంగా ఉంటాయా? (a) రేఖీయ వడి, (b) కోణీయ వడి, (c) కోణీయ ద్రవ్యవేగం, (d) గతిజశక్తి, (e) స్థితిజశక్తి, (f) మొత్తం యాంత్రిక శక్తి. తోకచుక్క సూర్యునికి దగ్గరగా వచ్చినప్పుడు అది ఏమైనా ద్రవ్యరాశిని కోల్పోతే ఆ ద్రవ్యరాశిని ఉపేక్షించండి.
జవాబు:
సూర్యుడి చుట్టూ పరిభ్రమించే తోకచుక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగం మరియు అన్ని స్థానాల వద్ద మొత్తం శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది. కాని అన్ని స్థానాల వద్ద మిగిలిన రాశులు మారతాయి.

ప్రశ్న 9.
ఈ లక్షణాలలో ఏది రోదసిలోని వ్యోమగామికి హాని కలిగించవచ్చు. (a) కాళ్ళవాపు, (b) ముఖం వాపు, (c) తలనొప్పి, (d) దిగ్విన్యాస (orienta- tional problem) సమస్య.
జవాబు:
a) గురుత్వాకర్షణ వల్ల సాధారణ స్థితిలో మన కాళ్ళు, శరీరం యొక్క బరువును మోస్తాయి. అంతరిక్షంలో అంతరిక్ష యాత్రికుడు భారరహితంగా ఉంటాడు. కాబట్టి అతని పాదాలు పనిచేయకపోయినా అతని పనితీరుపై ప్రభావం చూపదు.

b) భారరహితస్థితిలో, వ్యోమగామి ముఖం ఉబ్బుతుంది. అలాగే కళ్ళు, చెవులు, ముక్కు, నోరు మొదలగునవి. లోపలకు పీక్కుపోతాయి. అందువలన అంతరిక్షంలో చూడటం, వినడం, తినడం, వాసన చూడటంపై ప్రభావం ఉంటుంది.

c) భూమిపై ఉన్నప్పటి వలెనే అంతరిక్షంలో కూడా వ్యోమగామికి తలనొప్పి ఒకేవిధంగా ఉంటుంది.

d) అంతరిక్షం కూడా ఓరియంటేషన్ కలిగి ఉండుటవల్ల అంతరిక్షంలో నిర్దేశ చట్రాలను మనం కలిగి ఉన్నాము. కాబట్టి అంతరిక్షంలో వ్యోమగామిపై ఓరియంటేషన్ ప్రభావం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
ఈ దిగువ ఉన్న రెండు అభ్యాసాల్లో ఇచ్చిన వాటి నుంచి సరియైన సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి. ఏకరీతి ద్రవ్యరాశి సాంద్రత (mass density) కలిగిన ఒక అర్థగోళాకార కర్పరం కేంద్రం దగ్గర ఉండే గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత దిశ పటంలో బాణం గుర్తు సూచించిన విధంగా ఉంది. (i) a, (ii) b, (iii) c, (iv) 0.

జవాబు:
గోళాకార కర్పరం (బోలు గోళం)లో గురుత్వ పొటెన్షియల్ లోపలి వైపు అన్ని బిందువుల వద్ద స్థిరం. కాబట్టి అన్ని బిందువుల వద్ద గురుత్వ పొటెన్షియల్ ప్రవణత బోలు గోళం లోపల శూన్యం [అనగా v స్థిరం, \(\frac{dv}{dt}\) = 0]. గురుత్వ తీవ్రత, గురుత్వ పొటెన్షియల్ గ్రేడియంట్ రుణ విలువకు సమానం. కావున గురుత్వ తీవ్రత అన్ని బిందువుల వద్ద శూన్యం.

బోలుగోళం లోపల ఏ బిందువు వద్దనైనా గురుత్వాకర్షణ బలాలు సౌష్టంగా ఉంటాయి. పై అర్థభాగాన్ని తొలగిస్తే, కేంద్రం Q వద్ద ఉన్న కణంపై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం (లేదా) P బిందువు వద్ద కూడా గురుత్వ తీవ్రత దిశలోనే క్రిందకు పని చేస్తాయి. అనగా ఒక బిందువు వద్ద గురుత్వక్షేత్ర తీవ్రత, ఆ బిందువు వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశిపై గురుత్వాకర్షణ బలం అవుతుంది. కాబట్టి గురుత్వ క్షేత్ర తీవ్రత, కేంద్రం వద్ద ఁ దిశలో ఉంటుంది. అనగా (iii) వ ఆప్షన్ సరియైనది.

ప్రశ్న 11.
పై సమస్యలో ఒకానొక యాదృచ్ఛిక బిందువు Pవద్ద ఉండే గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత దిశను బాణం గుర్తుతో సూచించడమైంది.
(i) d, (ii) e, (iii) f, (iv) g.
జవాబు:
P వద్ద గురుత్వక్షేత్ర తీవ్రత ఆ దిశలో ఉంటుంది. కావున (ii) సరియైనది.

ప్రశ్న 12.
భూమి నుంచి సూర్యుని వైపు దూసుకెళ్లే విధంగా ఒక రాకెట్ను పేల్చారు. భూకేంద్రం నుంచి ఎంత ఎత్తులో రాకెట్పై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం శూన్యమవుతుంది? సూర్యుని ద్రవ్యరాశి 2 × 10³⁰ kg, భూమి ద్రవ్యరాశి = 6 × 10²⁴ kg మిగతా ఉపగ్రహాల ప్రభావాన్ని ఉపేక్షించండి. (కక్ష్యా వ్యాసార్థం = 1.5 × 10¹¹m).
సాధన:
M_s = 2 × 10³⁰kg, M_e = 6 × 10²⁴ kg;
r = 1.5 × 10¹¹ m

x అనునది భూమి మరియు సూర్యుడి వల్ల రాకెట్పై గురుత్వాకర్షణ బలం సమానం మరియు వ్యతిరేకం అయిన చోట భూమి నుండి బిందువు వరకు దూరం. సూర్యుడి నుండి రాకెట్ వరకు దూరం = r – x. రాకెట్ ద్రవ్యరాశి m.

ప్రశ్న 13.
సూర్యుని ఎలా తూచుతారు? అంటే దాని ద్రవ్యరాశిని అంచనా వేయండి. సూర్యుని చుట్టూ భూమి సరాసరి కక్ష్యా వ్యాసార్ధం 1.5 × 10⁸ km.
సాధన:
సూర్యుడి ద్రవ్యరాశి కనుక్కోవడానికి, దాని ఏదైనా ఒక గ్రహం ఆవర్తన కాలం T అవసరం (భూమిని తీసుకుందాం). M_s, M_e సూర్యుడు, భూమి ద్రవ్యరాశులు మరియు r అనునది సూర్యుడి నుండి, భూమి కక్ష్యా వ్యాసార్థం. సూర్యుడి వలన, భూమిపై గురుత్వాకర్షణ బలం

ప్రశ్న 14.
శని సంవత్సరం భూసంవత్సరానికి 29.5 రెట్లు ఉంటుంది. సూర్యుని నుంచి భూమి 1.50 × 10⁸ km దూరంలో ఉన్నట్లయితే సూర్యుని నుంచి శనిగ్రహం దూరం ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ T_s = 29.5 T_e; R_e = 1.5 × 10⁸ km; R_s = ?

ప్రశ్న 15.
భూఉపరితలంపై ఒక వస్తువు 63 N బరువు ఉంటుంది. భూవ్యాసార్థానికి సగం ఎత్తులో భూమి పరంగా ఆ వస్తువుపై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం ఎంత?
సాధన:
వస్తువు యొక్క భారం = mg = 63 N
h ఎత్తు వద్ద g విలువ,

ప్రశ్న 16.
భూమిని ఒక ఏకరీతి ద్రవ్యరాశి సాంద్రత గల గోళంగా పరిగణిస్తే, భూఉపరితలంపై 250 N భారం కలిగిన వస్తువు భూకేంద్రం వైపు పోతున్న ప్పుడు కేంద్రానికి సగం దూరంలో ఎంత భారం కలిగి ఉంటుంది?
సాధన:

ప్రశ్న 17.
భూఉపరితలం నుంచి ఒక రాకెట్ను 5 kms^-1 వడితో నిట్టనిలువుగా పేల్చారు. భూమికి తిరిగి వచ్చేలోగా అది భూమి నుంచి ఎంత దూరం పోతుంది? భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg ; భూమి సగటు వ్యాసార్థం = 6.4 × 10⁶ m; G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2.
సాధన:
భూమిపై నుండి రాకెట్ υ వేగంతో పైకి పేల్చబడింది.
దాని వేగం సున్నా అయ్యేసరికి అది h ఎత్తుకు చేరినది అనుకొనుము.
భూమిపై రాకెట్ మొత్తం శక్తి = K.E + P.E

ప్రశ్న 18.
భూఉపరితలంపై ఒక ప్రక్షేపకం పలాయన వడి 11.2 kms^-1. దీనికి మూడు రెట్లు వేగంతో ఒక వస్తువును ప్రక్షిప్తం చేశారు. భూమి నుండి సుదూరంలో (అంటే అనంతదూరంలో) వస్తువు వడి ఎంత? సూర్యుడు, ఇతర గ్రహాల ఉనికిని విస్మరించండి.
సాధన:
ఇక్కడ υe = 11.2 kms^-1,
వస్తువు ప్రక్షిప్త వేగం υ = 3υe. ప్రక్షేపకం ద్రవ్యరాశి m, భూమి నుండి దూరంగా పోయినపుడు ప్రక్షేపకం వేగం υ₀. శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం

ప్రశ్న 19.
భూఉపరితలం నుంచి 400 km ఎత్తున ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం పరిభ్రమిస్తుంది. భూమి గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం నుంచి కృత్రిమ ఉపగ్రహాన్ని తప్పించడానికి ఎంత శక్తిని వెచ్చించాలి? కృత్రిమ ఉపగ్రహం ద్రవ్యరాశి = 200 kg; భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg; భూవ్యాసార్థం = 6.4 × 1⁶ m; G = 6.67 × 10^-11 Nm²kg ^-2.
సాధన:
h ఎత్తులో తిరుగుతున్న ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తి

ప్రశ్న 20.
ఒక్కొక్కటి సూర్యుని ద్రవ్యరాశి (= 2 × 10³⁰ kg) కి సమానమైన ద్రవ్యరాశి కలిగిన రెండు నక్షత్రాలు ముఖాముఖీ అభిఘాతం చెందేవిధంగా పరస్పరం సమీపిస్తున్నాయి. వాటి మధ్యదూరం 10⁹ kmగా ఉన్నప్పుడు వాటి వడులు విస్మరింప దగినవిగా ఉన్నాయి. అవి ఏ వడితో అభిఘాతం చెందుతాయి? ప్రతి నక్షత్రం వ్యాసార్ధం 10⁴ km. పరస్పరం అభిఘాతం చెందేంత వరకు అవి విరూపణ చెందకుండా ఉంటాయని అనుకొందాం. (తెలిసిన G విలువ ఉపయోగించండి.)
సాధన:
ప్రతి నక్షత్రం ద్రవ్యరాశి, M = 2 × 10³⁰ kg
రెండు నక్షత్రాల మధ్యదూరం, r = 10⁹ = 10¹²
వ్యవస్థ యొక్క తొలి స్థితిజశక్తి = –\(\frac{GMM}{r}\)

ప్రశ్న 21.
ఒక క్షితిజ సమాంతర బల్లపై ఒక్కొక్కటి 100 kg ద్రవ్యరాశి, 0.1 m వ్యాసార్ధం ఉన్న రెండు బరువైన గోళాలు 1.0 m దూరంలో ఉన్నాయి. ఆ గోళ కేంద్రాలను కలిపే రేఖ మధ్యబిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ బలం, పొటెన్షియల్ ఎంత ఉంటాయి? ఆ బిందువు వద్ద ఉంచిన వస్తువు సమతాస్థితిలో ఉంటుందా? ఒకవేళ ఉంటే, ఆ వస్తువు స్థిర సమతాస్థితిలో ఉంటుందా? అస్థిర సమతాస్థితిలో ఉంటుందా?
సాధన:
రెండు గోళాలను కలిపే రేఖపై మధ్యబిందువు వద్ద గురుత్వక్షేత్రం

మధ్యబిందువు వద్ద వస్తువుపై ప్రభావిత బలం శూన్యం. కాబట్టి వస్తువు సమతాస్థితిలో ఉంది. మాధ్యమిక స్థానం నుండి వస్తువును కొద్దిగా స్థానభ్రంశం చెందిస్తే, ఇది మరలా తిరిగి మాధ్యమిక స్థానానికి రాదు. కాబట్టి వస్తువు అస్థిర సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 22.
మీరు నేర్చుకున్నట్లుగా, ఒక భూస్థావర ఉపగ్రహం భూమి ఉపరితలం నుంచి 36,000 km ఎత్తులో ఉన్న కక్ష్యలో భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తుంది. ఉపగ్రహం ఉన్న ప్రదేశంలో భూమి గురుత్వం మూలంగా కలిగే పొటెన్షియల్ ఎంత? (అనంత దూరం వద్ద పొటెన్షియల్ సున్నాగా తీసుకోండి) భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg, భూవ్యాసార్థం = 6400 km).
సాధన:
భూమి నుండి h ఎత్తులో గురుత్వ పొటెన్షియల్

ప్రశ్న 23.
సూర్యుని ద్రవ్యరాశికి 2.5 రెట్లు ద్రవ్యరాశిని కలిగి, 12 km పరిమాణానికి కుంచించుకు పోయిన ఒక నక్షత్రం సెకనుకు 1.2 పరిభ్రమణాల వడితో తిరుగుతుంది. (ఈ రకమైన నక్షత్రాలను ‘న్యూట్రాన్ నక్షత్రాలు’ అంటారు. pulsars అని పిలవబడే కొన్ని ఖగోళ వస్తువులు ఈ కోవకు చెందినవే). ఆ నక్షత్ర మధ్యరేఖ (equator) పై ఉంచిన వస్తువు గురుత్వాకర్షణ వల్ల దానికే అతుక్కొని పోతుందా?
(సూర్యుని ద్రవ్యరాశి = 2 × 10³⁰ kg)
సాధన:
నక్షత్రం గురుత్వాకర్షణ వల్ల వస్తువు నిలబడి ఉంటుంది. అపకేంద్ర త్వరణం కన్నా గురుత్వ త్వరణం అధికం.

అపకేంద్ర త్వరణం (g) = rω²
= r(2πv)²
= 12000 (2π × 1.5)²
= 1.1 × 10⁶ ms^-2
g > rω² కాబట్టి వస్తువు నక్షత్రంపై నిలిచి ఉంది.

ప్రశ్న 24.
అంగారక గ్రహంపై ఒక వ్యోమనౌక నిలిచి ఉంది. సౌర వ్యవస్థకు ఆవల దానిని పంపించాలంటే వ్యోమనౌకకు ఎంత శక్తిని వినియోగించాలి? వ్యోమనౌక ద్రవ్యరాశి = 1000 kg ; సూర్యుని ద్రవ్యరాశి = = 2 × 10³⁰ kg ; అంగారకుని ద్రవ్యరాశి = 6.4 × 10²³ kg; అంగారకుని వ్యాసార్థం 3395 km ; అంగారకుని కక్ష్యా వ్యాసార్థం 2.28 × 10⁸ km; G = 6.67 × 10^-11 Nm² kg^-2.
సాధన:
అంగారక గ్రహం కక్ష్యా వ్యాసార్థం R అనుకొనుము. మరియు R’ అంగారక గ్రహం వ్యాసార్థం. సూర్యుడి ద్రవ్యరాశి M మరియు అంగారకుడి ద్రవ్యరాశి M. అంతరిక్ష నౌక ద్రవ్యరాశి m అయితే
సూర్యుడి గురుత్వాకర్షణ వల్ల అంతరిక్ష నౌక యొక్క స్థితిజ శక్తి = \(\frac{-GMm}{R}\)

అంగారక గ్రహం గురుత్వాకర్షణ వల్ల అంతరిక్ష నౌక స్థితిజ శక్తి = \(\frac{GM^1m}{R^1}\)
అంతరిక్ష నౌక గతిజశక్తి శూన్యం. కాబట్టి

ప్రశ్న 25.
అంగారక గ్రహం ఉపరితలం నుంచి 2 kms వడితో ఒక రాకెట్ను నిట్టనిలువుగా పేల్చారు. అంగారక గ్రహ వాతావరణ నిరోధం వల్ల దాని తొలిశక్తిలో 20% హరించుకుపోతే, అంగారక గ్రహానికి అది తిరిగి వచ్చేలోగా దాని ఉపరితలం నుంచి ఆ రాకెట్ ఎంత దూరం వరకు దూసుకెళ్ల గలుగుతుంది?
అంగారకుని ద్రవ్యరాశి = 6.4 × 10²³ kg.
అంగారకుని వ్యాసార్థం = 3395 km;
G = 6.67 × 10^-11 N m²kg^-2.
సాధన:
రాకెట్ ద్రవ్యరాశి = m, అంగారకుడి ద్రవ్యరాశి = M
అంగారకుడి వ్యాసార్థం = R
రాకెట్ తొలివేగం v

రాకెట్ అంగారకుడి ఉపరితలం నుండి, h ఎత్తుకు చేరితే, దాని గతిజ శక్తి శూన్యం మరియు స్థితిజ శక్తి

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
పటంలో చూపిన విధంగా సూర్య సమీప బిందువు P వద్ద గ్రహం వడి υ_p అని, సూర్యుడు-గ్రహం మధ్యదూరం SP ని r_p స్త్రీ అని అనుకొందాం. ఈ {r_p, v_p}లను సూర్య సుదూర

బిందువు వద్ద వాటికి అనురూపమైన రాశులు (r₄, υ₄) లతో అనుసంధానించండి. BAC, CPB పథాలను పూర్తి చేయడానికి గ్రహం ఒకే సమయాన్ని తీసుకొంటుందా?
సాధన:
జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తే, r_p, v_p లు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయని తెలుస్తుంది. అందువల్ల P వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిమాణం L_p = m_pr_pυ_p అవుతుంది. అదేవిధంగా, L_A = m_pr_AV_A అవుతుంది.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని అనుసరించి,
m_Pr_Pυ_P = m_Pr_Aυ_A

పటంలో దీర్ఘవృత్తం, సదిశ వ్యాసార్థాలు SB, SC ల వల్ల బంధితమైన క్షేత్ర వైశాల్యం SBAC, వైశాల్యం SBPC కంటే ఎక్కువగా ఉంది. కెప్లర్ రెండవ నియమం ప్రకారం సమాన కాలవ్యవధులలో గ్రహం సమాన వైశాల్యాలను చిమ్ముతుంది. కాబట్టి గ్రహం CPB మార్గాన్ని పూర్తి చేయడాని కంటే, BAC మార్గాన్ని పూర్తిచేయడానికి ఎక్కువ సమయాన్ని తీసుకొంటుంది.

ప్రశ్న 2.
ఒక సమబాహు త్రిభుజం ABC మూడు శీర్షాల వద్ద ఒక్కొక్కటి m kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న మూడు వస్తువులు అమర్చి ఉన్నాయి.
a) ఆ త్రిభుజ కేంద్రాభం O వద్ద 2m ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు ఉంచితే, దానిపై పనిచేసే బలం ఎంత?
b) శీర్షం A వద్ద ఉన్న వస్తువు ద్రవ్యరాశిని రెండు రెట్లు చేస్తే అప్పుడు దానిపై పనిచేసే బలం ఎంత?
AG = BO = CO = 1 mగా తీసుకోండి. (పటంను పరిశీలించండి.)
సాధన:
(a) OC, ధన x-అక్షం మధ్యకోణం 30° అదేవిధంగా OB రుణ X-అక్షం మధ్య కోణం కూడా 30°. సదిశా రూపంలో, విడివిడిగా బలాలను కిందివిధంగా రాయవచ్చు.

∆ABC మూడు శీర్షాల వద్ద సమాన ద్రవ్యరాశి ఉన్న మూడు వస్తువులను ఉంచారు. త్రిభుజ కేంద్రాభం వద్ద 2m ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువును ఉంచడమైంది.

O వద్ద ఉన్న 2m ద్రవ్యరాశిపై పనిచేసే ఫలితబలం F_R అయితే, అధ్యారోపణ సూత్రం, సదిశా సంకలన నియమాల ప్రకారం,

ఈ సమస్యకు ఇంకోరకంగా సులభంగా సాధించవచ్చు. సౌష్టవం (symmetry) ప్రాతిపదికగా విశ్లేశిస్తే ఫలిత బలం శూన్యం అయి తీరాలని, మనం సులభంగానే అంచనావేయవచ్చు.
(b)సౌష్టవం పరంగా విశ్లేషిస్తే, బలం X అంశం రద్దవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
భుజం పొడవు 1 గా ఉన్న ఒక చతురస్రం యొక్క ప్రతీ శీర్షం వద్ద ఒక్కో కణాన్ని ఉంచితే, ఆ నాలుగు కణాల వ్యవస్థ మొత్తం స్థితిజశక్తిని కనుక్కోండి. ఆ చతురస్ర కేంద్రం వద్ద పొటెన్షియల్ను కూడా గణించండి.
సాధన:
భుజం పొడవు ఉన్నటువంటి ఒక చతురస్రం ప్రతీ శీర్షం వద్ద m ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక్కో కణాన్ని ఉంచామనుకోండి. పటంని పరిశీలిస్తే, l దూరంలో నాలుగు ద్రవ్యరాశుల జతలు, √2l దూరంలో కర్ణాల పరంగా రెండు ద్రవ్య రాశుల జతలూ మనకు కనిపిస్తాయి. కాబట్టి,

చతురస్ర కేంద్రం U(r) వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తి
(r = √2// 2) అయితే,
U(r) = -4√2 \(\frac{GM}{l}\)

ప్రశ్న 4.
పటంలో చూపించిన విధంగా ఒకే వ్యాసార్థం R, భిన్న ద్రవ్యరాశులు M, 4Mలను కలిగిన రెండు ఏకరీతి ఘనగోళాలను వాటి కేంద్రాల మధ్య ఎడం 6R ఉండేటట్లుగా అమర్చారు. రెండు గోళాలను స్థిరంగా పట్టి ఉంచారు. m ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక ప్రక్షేపకాన్ని M ద్రవ్యరాశి ఉన్న గోళం ఉపరితలం నుంచి నేరుగా రెండవ గోళ కేంద్రం వైపుకు విసిరినప్పుడు ప్రక్షేపకం రెండవ గోళం ఉపరితలాన్ని చేరుకోవాలంటే ప్రక్షేపకానికి ఉండ వలసిన కనిష్ఠ వడి vకి సమీకరణాన్ని రాబట్టండి.

సాధన:
ప్రక్షేపకం రెండు గోళాలకు సంబంధించిన రెండు పరస్పర వ్యతిరేక గురుత్వాకర్షణ బలాల ప్రభావానికి లోనవుతుంది. ఈ రెండు బలాలు ఒకదానికొకటి సరిగ్గా ఏ స్థానం వద్ద రద్దు చేసుకొంటాయో ఆ స్థానాన్ని తటస్థ బిందువు N (పటం చూడండి)గా నిర్వచిస్తాం.
ఒకవేళ ON = r అయితే,

O నుంచి తటస్థ బిందువుకు ఉన్న దూరం = – 6R అవ ఈ ఉదాహరణలో వర్తించదు. కాబట్టి ON = r = 2Rను మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. మొదటగా మనం ప్రక్షేపకాన్ని Nను చేరుకొనేంత వడితో విసిరితే సరిపోతుంది. ఆ తరవాత 4M ద్రవ్యరాశి ఉన్న గోళం యొక్క అత్యధిక గురుత్వాకర్షణ బలమే దానిని తనవైపు లాక్కోవడానికి సరిపోతుంది. M ద్రవ్యరాశి ఉన్న గోళ ఉపరితలం వద్ద యాంత్రిక శక్తి E అయితే,

తటస్థ బిందువు N వద్ద ప్రక్షేపకం వడి సున్నాను సమీపిస్తుంది. N వద్ద ప్రక్షేపకం యాంత్రిక శక్తి యావత్తూ పూర్తిగా దాని స్థితిజ శక్తి రూపంలోనే ఉంటుంది. N వద్ద ప్రక్షేపకం యాంత్రిక శక్తి E_N అయితే

ప్రశ్న 5.
కుజ గ్రహానికి ఫోబోస్ (phobos), డెల్మోస్ (delmos) అనే రెండు ఉపగ్రహాలు ఉన్నాయి. (i) ఫోటాస్ కక్ష్యావర్తన కాలం 7 గం. 39 నిమిషాలు. దాని కక్ష్యా వ్యాసార్థం 9.4 × 10³ km. కుజుని ద్రవ్యరాశిని కనుక్కోండి. (i) భూమి, కుజుడూ సూర్యుని చుట్టూ వృత్తాకార కక్ష్యల్లో, కుజుని కక్ష్యా వ్యాసార్ధం భూకక్ష్యా వ్యాసార్థానికి 1.52 రెట్లు ఉండేవిధంగా తిరుగుతున్నాయనుకొందాం. అప్పుడు ఒక కుజ సంవత్సరంలో ఎన్ని రోజు లుంటాయి?
సాధన:
(i) సమీకరణం T’ = K(R_E + h)³ లో భూమి ద్రవ్యరాశికి బదులుగా కుజుని ద్రవ్యరాశి M_mను ప్రతిక్షేపిస్తే,

ఇక్కడ R_MS కుజునికి, సూర్యునికి మధ్యదూరం, R_ES’ భూమికి సూర్యునికి మధ్యదూరం
∴ TM = (1.52)^3/2 × 365 = 684 రోజులు

ప్రశ్న 6.
భూమిని తూచడం (Weighing the Earth) ; కింది సమాచారాన్ని మీకిచ్చారు :
g = 9.81 ms^-2; R_E = 6.37 ×10⁶ m చంద్రునికి ఉన్న దూరం R = 3.84 ×10⁸ m, చంద్రుని పరిభ్రమణావర్తన కాలం 27.3 రోజులు. భూమి ద్రవ్యరాశి M_Eని రెండు విభిన్న పద్ధతుల్లో రాబట్టండి.
సాధన:

రెండు పద్ధతుల ద్వారా దాదాపు ఒకే ఫలితం వచ్చింది. ఆయా పద్ధతుల ద్వారా వచ్చిన విలువల్లో తేడా 1% కంటే తక్కువగానే ఉంది.

ప్రశ్న 7.
స్థిరాంకం Kని రోజుల్లోను, కిలోమీటర్లలోను వ్యక్తీకరించండి. k = 10^-13s²m^-3 భూమి నుంచి చంద్రునికి ఉన్న దూరం 3.84 ×10⁵ km. చంద్రుని పరిభ్రమణావర్తన కాలాన్ని రోజుల్లో లెక్కించండి.
సాధన:

ఈ K విలువను, సమీకరణం T² = K(R_E + h)³ ని ఉపయోగించి చంద్రుని పరిభ్రమణావర్తన కాలాన్ని లెక్కకట్టవచ్చు.
T² = (1.33 × 10^-14) (3.84 ×10⁵)³
T = 27.3 d
సమీకరణం T² = K(R_E + b)³ లోని (R_E + h) స్థానంలో దీర్ఘవృత్తం అర్థగురు అక్షం పొడవును ప్రతిక్షేపిస్తే, సమీకరణం (9.38) దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలకు కూడా వర్తిస్తుంది. అప్పుడు దీర్ఘవృత్తం ఏదోఒక నాభి వద్ద భూమి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 8.
400 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం భూమి చుట్టూ 2R_E వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యలో పరిభ్రమిస్తుంది. దాన్ని 4R_E వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యలోకి ప్రవేశపెట్టాలంటే ఎంత శక్తి అవసరమవుతుంది? గతిజశక్తి, స్థితిజశక్తిలో వచ్చే మార్పులు ఏమిటి?
సాధన:

తక్కువ వ్యాసార్థం ఉన్న కక్ష్య నుంచి ఎక్కువ వ్యాసార్థం ఉన్న కక్ష్యకు ఉపగ్రహం బదిలీ అయితే, గతిజ శక్తి తగ్గుతుంది. అది ∆Eని అనుకరిస్తుంది. ఎలా అంటే,
∆K = K_f – K_i;
= -3.13 × 10⁹ J
ఇదే సందర్భంలో స్థితిజ శక్తిలోని మార్పు మొత్తం శక్తిలోని మార్పుకు రెండు రెట్లు ఉంటుంది. ఎలా అంటే,
∆V = V_f – V_i
= – 6.25 ×10⁹ J

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 9 అతిపరావలయ ప్రమేయాలు Exercise 9(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 9 అతిపరావలయ ప్రమేయాలు Exercise 9(a)

Question 1.
sinh x = \(\frac{3}{4}\) అయితే cosh (2x), sinh (2x) విలువలు కనుక్కోండి. [Mar. ’14, ’12]
Solution:

Question 2.
sinh x = 3 అయినప్పుడు x = log_e(3 + √10) అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
(i) tanh (x – y) = \(\frac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x \tanh y}\)
Solution:

(ii) coth (x – y) = \(\frac{{coth} x \cdot {coth} y-1}{{coth} y-{coth} x}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 4.
ప్రతి n ∈ R కు,
(i) (cosh x – sinh x)ⁿ = cosh (nx) – sinh (nx) [(T.S) Mar. ’15, ’07, ’06]
Solution:

(ii) (cosh x + sinh x)ⁿ = cosh (nx) + sinh (nx) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 5.
x ≠ 0 అయితే \(\frac{\tanh x}{{sech} x-1}+\frac{\tanh x}{{sech} x+1}\) = -2 cosech x నిరూపించండి.
Solution:

Question 6.
x ≠ 0 అయితే \(\frac{\cosh x}{1-\tanh x}+\frac{\sinh x}{1-{coth} x}\) = sinh x + cosh x అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 7.
ప్రతీ x ∈ R కు cosh⁴x – sinh⁴x = cosh (2x) అని నిరూపించండి.
Solution:
LH.S. = cosh⁴x – sinh⁴x
= (cosh²x)² – (sinh²x)²
= [cosh²x – sinh²x] [cosh²x + sinh²x]
= (1) cosh (2x)
= cosh (2x)
∴ cosh⁴x – sinh⁴x = cosh (2x)

Question 8.
u = \(\log _e\left(\tan \left(\frac{p}{4}+\frac{q}{2}\right)\right)\), cos θ > 0, అయితే cosh u = sec θ అని నిరూపించండి.
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు Exercise 10(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు Exercise 10(b)

I. ఈ అభ్యాసం లోని అన్ని సమస్యలు ∆ABC కి సంబంధించినవి.

Question 1.
Σ r₁ cot \(\frac{A}{2}\) ని s పదాలలో వ్యక్తపరచండి. [May ’11]
Solution:
Σ r₁ cot \(\frac{A}{2}\)
= Σ (s tan \(\frac{A}{2}\)) cot \(\frac{A}{2}\)
= Σ s
= s + s + s
= 3s

Question 2.
Σ a cot A = 2(R + r) అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
r₁ + r₂ + r₃ – r = 4R అని నిరూపించండి. [Mar. ’06]
Solution:

Question 4.
r + r₁ + r₂ – r₃ = 4R cos C అని నిరూపించండి. [May ’06]
Solution:

Question 5.
r₁ + r₂ = r₃ – r అయితే, C = 90° అని చూపండి.
Solution:

II.

Question 1.
4(r₁r₂ + r₂r₃ + r₃r₁) = (a + b + c)² అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 2.
\(\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}\right)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2}\right)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_3}\right)=\frac{a b c}{\Delta^3}=\frac{4 R}{r^2 s^2}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 3.
r(r₁ + r₂ + r₃) = ab + bc + ca – s² అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 4.
\(\sum \frac{r_1}{(s-b)(s-c)}=\frac{3}{r}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
(r₁ + r₂) tan \(\frac{C}{2}\) = (r₃ – r) cot \(\frac{C}{2}\) = c అని చూపండి.
Solution:

Question 6.
r₁r₂r₃ = \(r^3 \cot ^2 \frac{A}{2} \cdot \cot ^2 \frac{B}{2} \cdot \cot ^2 \frac{C}{2}\) అని చూపండి.
Solution:

III.

Question 1.
cos A + cos B + cos C = 1 + \(\frac{r}{R}\) అని చూపండి.
Solution:
L.H.S. = cos A + cos B + cos C

Question 2.
\(\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2}=2+\frac{r}{2 R}\) అని చూపండి. [Mar. ’05]
Solution:

Question 3.
\(\sin ^2 \frac{A}{2}+\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2}=1-\frac{r}{2 R}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 4.
(i) a = (r₂ + r₃) \(\sqrt{\frac{r r_1}{r_2 r_3}}\)
(ii) ∆ = r₁r₂ \(\sqrt{\frac{4 R-r_1-r_2}{r_1+r_2}}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
\(r_1^2+r_2^2+r_3^2+r^2\) = 16R² – (a² + b² + c²) అని నిరూపించండి.
Solution:

= 2(3s² – 2s(2s) + (ab + bc + ca))
= 2(3s² – 4s² + (ab + bc + ca))
= -2s² + 2(ab + bc + ca) ………(3)
(2) నుంచి \(r_1^2+r_2^2+r_3^2+r^2\)
= 16R² – 2s² + 2(ab + bc + ca) – 2s²
= 16R² – (4s² – 2(ab + bc + ca))
= 16R² – ((a + b + c)² – 2(ab + bc + ca))
= 16R² – (a² + b² + c²)

Question 6.
A, B, C శీర్షాల నుంచి ఎదుటి భుజాలకు గీసిన ఉన్నతులు P₁, P₂, P₃ అయితే,
(i) \(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}=\frac{1}{r}\)
(ii) \(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}-\frac{1}{p_3}=\frac{1}{r_3}\)
(iii) p₁ . p₂ . p₃ = \(\frac{(a b c)^2}{8 R^3}=\frac{8 \Delta^3}{a b c}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 7.
a = 13, b = 14, c = 15 అయితే, R = \(\frac{65}{8}\), r = 4, r₁ = \(\frac{21}{2}\), r₂ = 12, r₃ = 14 అని చూపండి. [(A.P) Mar. ’15, ’14; May ’11]
Solution:

Question 8.
r₁ = 2, r₂ = 3, r₃ = 6, r = 1 అయితే, a = 3, b = 4, c = 5 అని చూపండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 8 విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలు Exercise 8(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 8 విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలు Exercise 8(a)

I.

Question 1.
క్రింది వాటి విలువలను కనుక్కోండి.
(i) \(\sin ^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\)
Solution:

(ii) \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
Solution:

(iii) sec^-1(-√2)
Solution:

(iv) cot^-1(-√3)
Solution:

(v) \(\sin \left(\frac{\pi}{3}-\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)\)
Solution:

(vi) \(\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)\)
Solution:

(vii) \(\cos ^{-1}\left(\cos \frac{5 \pi}{4}\right)\)
Solution:

Question 2.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.
(i) \(\sin \left(\cos ^{-1} \frac{3}{5}\right)\)
Solution:

(ii) \(\tan \left({cosec}^{-1} \frac{65}{63}\right)\)
Solution:

(iii) \(\sin \left(2 \sin ^{-1} \frac{4}{5}\right)\)
Solution:

(iv) \(\sin ^{-1}\left(\sin \frac{33 \pi}{7}\right)\)
Solution:

(v) \(\cos ^{-1}\left(\cos \frac{17 \pi}{6}\right)\)
Solution:

Question 3.
క్రింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) \(\tan ^{-1}\left[\frac{\sin x}{1+\cos x}\right]\)
Solution:

(ii) tan^-1(sec x + tan x)
Solution:

(iii) \(\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
Solution:

(iv) sin^-1(2 cos²θ – 1) + cos^-1(1 – 2 sin²θ)
Solution:
sin^-1(cos 2θ) + cos^-1(cos 2θ)
= sin^-1[sin(90° – 2θ°)] + cos^-1(cos 2θ)
= 90° – 2θ° + 2θ°
= 90°

(v) \(\tan ^{-1}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\); x ∈ R
Solution:

II.

Question 1.
క్రింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) \(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} \frac{8}{17}=\cos ^{-1}\left(\frac{36}{85}\right)\) [May ’12]
Solution:

(ii) \(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cos ^{-1} \frac{12}{13}=\cos ^{-1} \frac{33}{65}\)
Solution:

(iii) \(\tan \left[\cot ^{-1} 9+{cosec}^{-1} \frac{\sqrt{41}}{4}\right]=1\)
Solution:

(iv) \(\cos ^{-1} \frac{4}{5}+\sin ^{-1} \frac{3}{\sqrt{34}}=\tan ^{-1} \frac{27}{11}\) [May ’13]
Solution:

Question 2.
క్రింది వాటి విలువలను కనుక్కోండి.
(i) \(\sin \left(\cos ^{-1} \frac{3}{5}+\cos ^{-1} \frac{12}{13}\right)\)
Solution:

(ii) \(\tan \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cos ^{-1} \frac{5}{\sqrt{34}}\right)\)
Solution:

(iii) \(\cos \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} \frac{5}{13}\right)\)
Solution:

Question 3.
కింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) \(\cos \left[2 \tan ^{-1} \frac{1}{7}\right]=\sin \left[2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}\right]\)
Solution:
\(\tan ^{-1} \frac{1}{7}\) = α
⇒ tan α = \(\frac{1}{7}\)

(ii) \(\tan \left[2 \tan ^{-1} \cdot\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\right]=2\)
Solution:

(iii) \(\cos \left\{2\left[\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)\right]\right\}=\frac{3}{5}\)
Solution:

Question 4.
కింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) \(\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{13}-\tan ^{-1} \frac{2}{9}=0\)
Solution:

(ii) \(\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{4}\) [(A.P) Mar. ’15, ’11; May ’06]
Solution:

(iii) \(\tan ^{-1} \frac{3}{4}+\tan ^{-1} \frac{3}{5}-\tan ^{-1} \frac{8}{19}=\frac{\pi}{4}\)
Solution:

(iv) \(\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)\) = \(\cot ^{-1}\left(\frac{201}{43}\right)+\cot ^{-1}(18)\)
Solution:

Question 5.
(i) sec²(tan^-1 2) + cosec²(cot^-1 2) = 10 అని చూపండి.
Solution:
Let α = tan^-1 2 ⇒ tan α = 2
sec²α = 1 + tan²α = 1 + 4 = 5
Let β = cot^-1 2 ⇒ cot β = 2
cosec²β = 1 + cot²β = 1 + 4 = 5
L.H.S. = sec²(tan^-1 2) + cosec² (cot^-1 2)
= 5 + 5
= 10
= R.H.S.

(ii) \(\tan \left(\cos ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}\right)\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

(iii) sin^-1 x – cos^-1 x = \(\frac{\pi}{6}\) అయితే x విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

III.

Question 1.
క్రింది వాటిని రుజువు చేయండి.
(i) \(2 \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)-\cos ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{323}{325}\right)\) [Mar. ’14]
Solution:

(ii) \(\sin ^{-1} \frac{4}{5}+2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{\pi}{2}\) [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

(iii) \(4 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)+\tan ^{-1} \frac{1}{99}-\tan ^{-1} \frac{1}{70}=\frac{\pi}{4}\)
Solution:

Question 2.
(i) α = \(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}\right)\), అయితే x² = sin 2α అని చూపండి.
Solution:

(ii) \(\tan \left\{2-\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\right\}\) = x అని చూపండి.
Solution:

(iii) \(\sin \left[\cot ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2}+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right]\) = 1 అని చూపండి.
Solution:

(iv) \(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{a}{b}\right)+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{a}{b}\right)\) = \(\frac{2 b}{a}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
(i) cos^-1 p + cos^-1 q + cos^-1 r = π అయితే p² + q² + r² + 2pqr = 1 అని చూపండి. [June ’04]
Solution:
cos^-1 p = A, cos^-1 q = B, cos^-1 r = C అయితే
A + B + C = π అవుతుంది …….(1)
⇒ p = cos A, q = cos B, r = cos C
ఇప్పుడు p² + q² + r² = cos²A + cos²B + cos²C
= cos²A + (1 – sin²B) + cos²C
= 1 + (cos²A – sin²B + cos²C)
= 1 + cos(A + B) . cos (A – B) + cos²C
= 1+ cos(π – C) cos(A – B) + cos²C ((1) నుంచి)
= 1 – cos C cos(A – B) + cos²C
= 1 – cos C [cos(A – B) – cos C]
= 1 – cos C [cos(A – B) – cos (180° – \(\overline{A+B}\)]
= 1 – cos C [cos(A – B) + cos(A + B)]
= 1 – cos C [2 cos A cos B]
= 1 – 2pqr
∴ p² + q² + r² + 2pqr = 1

(ii) \(\sin ^{-1}\left[\frac{2 p}{1+p^2}\right]-\cos ^{-1}\left(\frac{1-q^2}{1+q^2}\right)\) = \(\tan ^{-1}\left[\frac{2 x}{1-x^2}\right]\), అయితే x = \(\frac{p-q}{1+p q}\) అని చూపండి.
Solution:

(iii) a, b, c లు ఒకే గుర్తు గల విభిన్న శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే \(\cot ^{-1}\left(\frac{a b+1}{a-b}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{b c+1}{b-c}\right)\) + \(\cot ^{-1}\left(\frac{c a+1}{c-a}\right)\) = π లేదా 2π అని చూపండి.
Solution:
∵ (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0
(a – b), (b – c), (c – a) లన్నింటికీ ఒకే గుర్తు ఉండదు. రెండు సందర్భాలు వస్తాయి. పై మూడింటిలో ఏవేని రెండు ధనాత్మకాలు, ఒకటి ఋణాత్మకం, లేదా రెండు ఋణాత్మకాలు, ఒకటి ధనాత్మకం.
సందర్భం (i): (a – b), (b – c) లు ధనాత్మకాలు, (c – a) ఋణాత్మకం అనుకోండి.

(iv) sin^-1 x + sin^-1 y + sin^-1 z = π అయితే \(x \sqrt{1-x^2}+y \sqrt{1-y^2}+z \sqrt{1-z^2}\) = 2xyz అని చూపండి. [Mar. ’06; May ’05]
Solution:
sin^-1(x) = A, sin^-1(y) = B, sin^-1(z) = C అయిన
A + B + C = π ……(1)
x = sin A, y = sin B, z = sin C
L.H.S. = \(x \sqrt{1-x^2}+y \sqrt{1-y^2}+z \sqrt{1-z^2}\)
= sin A \(\sqrt{1-\sin ^2 A}\) + sin B \(\sqrt{1-\sin ^2 B}\) + sin C \(\sqrt{1-\sin ^2 C}\)
= sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C
= \(\frac{1}{2}\) [sin 2A + sin 2B + sin 2C]
= \(\frac{1}{2}\) [2 . sin(A + B) cos(A – B) + sin 2C]
= \(\frac{1}{2}\) [2 sin(π – c). cos (A – B) + sin 2C]
= \(\frac{1}{2}\) [2 sin C cos (A – B) + 2 sin C cos C]
= \(\frac{1}{2}\) (2 sin C) [cos (A – B) + cos C]
= sin C [cos(A – B) + cos (180° – \(\overline{A+B}\)]
= sin C [cos(A – B) – cos(A + B)]
= sin C [2 sin A sin B]
= 2xyz
∴ x \sqrt{1-x^2}+y \sqrt{1-y^2}+z \sqrt{1-z^2} = 2xyz

(v) (a) tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = π, అయితే x + y + z = xyz
Solution:
A = tan^-1 x, B = tan^-1 y, C = tan^-1 z
⇒ tan A = x, tan B = y, tan C = z
A + B + C = π ……….(1)
A + B = π – C
tan(A + B) = tan(π – C)
\(\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}\) = -tan C
\(\frac{x+y}{1-x y}\) = -z
x + y = -z + xyz
∴ x + y + z = xyz

(b) tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = \(\frac{\pi}{2}\) అయితే, xy + yz + zx = 1
Solution:

Question 4.
క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) \({tan}^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)+{tan}^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{\pi}{4}\)
Solution:

(ii) \(\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4 x+1}\right)\) = \(\tan ^{-1}\left(\frac{2}{x^2}\right)\)
Solution:

x² (3x + 1) = 2x (4x + 3)
x[x(3x + 1) – 2(4x + 3)] = 0
⇒ x = 0 (లేదా) 3x² – 7x – 6 = 0
⇒ x = 0 (లేదా) 3x² – 9x + 2x – 6 = 0
⇒ x = 0 (లేదా) 3x(x – 3) + 2(x – 3) = 0
⇒ x = 0 (లేదా) (3x + 2) (x – 3) = 0
⇒ x = 0 (లేదా) 3 (లేదా) \(\frac{-2}{3}\)

(iii) \(3 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)-4 \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) + \(2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)=\frac{\pi}{3}\)
Solution:

(iv) sin^-1(1 – x) – 2 sin^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)
Solution:
sin^-1(1 – x) – 2 sin^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)
sin^-1(1 – x) = α, sin^-1(x) = β అనుకుంటే
sin α = (1 – x), sin β = x
cos α = \(\sqrt{1-(1-x)^2}\), cos β = \(\sqrt{1-x^2}\)
ఇప్పుడు sin^-1(1 – x) – 2 sin^-1(x) = \(\frac{\pi}{2}\)
α – 2β = \(\frac{\pi}{2}\)
α = \(\frac{\pi}{2}\) + 2β
⇒ sin α = sin[\(\frac{\pi}{2}\) + 2β]
⇒ sin α = cos 2β
⇒ 1 – x = 1 – 2 sin²β
⇒ 1 – x = 1 – 2x²
⇒ 2x² – x = 0
⇒ x(2x – 1) = 0
⇒ x = 0 (లేదా) x = \(\frac{1}{2}\)
కాని x = \(\frac{1}{2}\) అయినప్పుడు

కాబట్టి x = 0 ఒకటి మాత్రమే దత్త సమీకరణానికి సాధన.

Question 5.
కింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) \(\cot ^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{1}{2} \cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\), x > 0, x ≠ 1
Solution:

x = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) కాబట్టి ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పర్చలేదు.
∴ x = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\)

(ii) \(\tan \left[\cos ^{-1} \frac{1}{x}\right]=\sin \left[\cot ^{-1} \frac{1}{2}\right]\); x ≠ 0
Solution:

(iii) \(\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}\)
Solution:

(iv) cos^-1(√3 . x) + cos^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)
Solution:
α = cos^-1(√3x)
⇒ cos α = √3x అనుకుందాం.
β = cos^-1x
⇒ cos β = x
cos (α + β) = cos \(\frac{\pi}{2}\)
cos α cos β – sin α sin β = 0
⇒ \((\sqrt{3 x}) x-\left(\sqrt{1-3 x^2}\right)\left(\sqrt{1-x^2}\right)=0\)
⇒ \(\sqrt{3 x^2}=\sqrt{\left(1-3 x^2\right)\left(1-x^2\right)}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
⇒ 3x⁴ = 1 – x² – 3x² + 3x⁴
⇒ 0 = 1 – 4x²
⇒ 4x² = 1
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)

(v) \(\sin \left[\sin ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)+\cos ^{-1} x\right]=1\)
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు Exercise 10(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు Exercise 10(a)

I. ఈ అభ్యాసములోని అన్ని సమస్యలు ΔABC కి సంబంధించినవి.

Question 1.
Σa(sin B – sin C) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
a = √3 + 1 సెం.మీ., ∠B = 30°, ∠C = 45°, అయితే C ని కనుక్కోండి.
Solution:
∠B = 30°, ∠C = 45°, a = (√3 + 1) సెం.మీ.
A = 180° – (B + C)
= 180° – (30° + 45°)
= 180° – 75°
= 105°

Question 3.
a = 2 సెం.మీ., b = 3 సెం.మీ., c = 4 సెం.మీ., అయితే cos A ని కనుక్కోండి.
Solution:
a = 2 సెం.మీ., b = 3 సెం.మీ., c = 4 సెం.మీ.

Question 4.
a = 26 సెం.మీ., b = 30 సెం.మీ., cos C = \(\frac{63}{65}\) అయితే, c ని కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
Solution:
a = 260 సెం.మీ., b = 30 సెం.మీ., cos C = \(\frac{63}{65}\)
∵ c² = a² + b² – 2ab cos C
⇒ c² = 676 + 900 – 2 × 26 × 30 × \(\frac{63}{65}\)
⇒ c² = 1576 – 151
⇒ c² = 64
⇒ c = 8 సెం.మీ.

Question 5.
కోణాలు 1 : 5 : 6 నిష్పత్తిలో ఉంటే, దాని భుజాల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి. [May ’07]
Solution:
\(\frac{A}{1}=\frac{B}{5}=\frac{C}{6}\)
B = 5A, C = 6A
A + B + C = 180°
⇒ A + 5A + 6A = 180°
⇒ 12A = 180°
⇒ A = 15°
B = 5A = 75°
C = 6A = 90°
a : b : c = sin A : sin B : sin C
= sin 15° : sin 75° : sin 90°
= \(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}: \frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}: 1\)
= (√3 – 1) : (√3 + 1) : 2√2

Question 6.
2(bc cos A + ca cos B + ab cos C) = a² + b² + c² అని చూపండి. [Mar. ’05]
Solution:
L.H.S. = Σ2bc cos A
= Σ2bc \(\frac{\left(b^2+c^2-a^2\right)}{2 b c}\)
= Σ(b² + c² – a²)
= b² + c² – a² + c² + a² – b² + a² + b² – c²
= a² + b² + c²
= R.H.S.

Question 7.
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{c^2+a^2-b^2}=\frac{\tan B}{\tan C}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 8.
(b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C = a + b + c అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S. = (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C
= (b cos A + c cos A) + (c cos B + a cos B) + (a cos C + b cos C)
= (b cos C + c cos B) + (a cos C+ c cos A) + (a cos B + b cos A)
= a + b + c
= R.H.S.

Question 9.
(b – a cos C) sin A = a cos A sin C అని నిరూపించండి. [Mar. ’06]
Solution:
(b – a cos C) sin A
= (a cos C + c cos A – a cos C) sin A
= c cos A sin A [∵ b = a cos C + c cos A]
= (2R sin C) cos A sin A
= a cos A sin C (∵ 2R sin A = a)

Question 10.
ఒక త్రిభుజం భుజాలు 4, 5 అవుతూ ఆ భుజాల మధ్య కోణం 60° అయితే, దాని వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:
a = 4, b = 5 వాటి మధ్య కోణం C = 60 ° అనుకుందాం.
ΔABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 4 × 5 × sin 60°
= 2 × 5 × sin 60°
= 2 × 5 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= 5√3 చ. సెం.మీ.

Question 11.
\(b \cos ^2 \frac{C}{2}+c \cos ^2 \frac{B}{2}\) = s అని చూపండి.
Solution:

Question 12.
\(\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}\) అయితే, ΔABC సమబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
Solution:

Question 13.
\(\sin \left(\frac{B-C}{2}\right)=\frac{b-c}{a} \cos \left(\frac{A}{2}\right)\) అని నిరూపించండి.
Solution:

II.

Question 1.
a cos A + b cos B + c cos C = 4R sin A sin B sin C అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S. = (2R sin A) cos A + (2R sin B) cos B + (2R sin C) cos C
= R (sin 2A + sin 2B + sin 2C)
= R (2 sin(A + B) cos(A – B) + sin 2C)
= R[2 sin(180° – C) cos (A – B) + sin 2C]
= R(2 sin C . cos(A – B) + 2 sin C . cos C)
= 2R sin C (cos(A – B) + cos C)
= 2R sin C (cos(A – B) + cos(180° – \(\overline{A+B}\))
= 2R sin C [cos(A – B) – cos(A + B)]
= 2R sin C (2 sin A sin B)
= 4R sin A sin B sin C
= R.H.S.

Question 2.
Σa³ sin(B – C) = 0 అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S. = Σ a² [a sin(B – C)]
= Σa² (2R. sin A sin (B-C)]
= RΣa² (2 sin(180° – \(\overline{B+C}\)) sin (B – C))
= RΣa² (2 sin(B + C) . sin(B – C)]
= RΣa² (sin²B – sin²C)
= 2R Σa² \(\left(\frac{b^2}{4 R^2}-\frac{c^2}{4 R^2}\right)\)
= \(\frac{1}{2R}\) Σ[a² (b² – c²)]
= \(\frac{1}{2R}\) [a² (b² – c²) + b² (c² – a²) + c² (a² – b²)]
= \(\frac{1}{2R}\) (a²b² – a²c² + b²c² – a²b²+ a²c² – b²c²)
= \(\frac{1}{2R}\) . 0
= 0
= R.H.S.

Question 3.
\(\frac{a \sin (B-C)}{b^2-c^2}=\frac{b \sin (C-A)}{c^2-a^2}=\frac{c \sin (A-B)}{a^2-b^2}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 4.
\(\sum \frac{a^2 \sin (B-C)}{\sin B+\sin C}=0\) అని నిరూపించండి.
Solution:

= Σa . 2R(sin B – sin C)
= Σa(2R sin B – 2R sin C)
= Σa(b – c)
= a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)
= ab – ac + bc – ab + ca – bc
= 0

Question 5.
\(\frac{a}{b c}+\frac{\cos A}{a}=\frac{b}{c a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{c}{a b}+\frac{\cos C}{c}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 6.
\(\frac{1+\cos (A-B) \cos C}{1+\cos (A-C) \cos B}=\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 7.
C = 60°, అయితే
(i) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=1\)
(ii) \(\frac{b}{c^2-a^2}+\frac{a}{c^2-b^2}=0\) అని చూపండి.
Solution:
∠C = 60°
⇒ c² = a² + b² – 2ab cos C
⇒ c² = a² + b² – 2ab cos 60°
⇒ c² = a² + b² – 2ab (\(\frac{1}{2}\))
⇒ c² = a² + b² – ab ………(1)

Question 8.
a : b : c = 7 : 8 : 9 అయితే, cos A : cos B : cos C ను కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:

Question 9.
\(\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2 a b c}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 10.
(b – a) cos C + c (cos B – cos A) = \(c \sin \frac{A-B}{2} \cdot {cosec} \frac{A+B}{2}\) అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S. = b cos C – a cos C + c cos B – c cos A
= (b cos C + c cos B) – (a cos C + c cos A)
= a – b
= 2R (sin A – sin B)

Question 11.
\(\text { a. } \sin ^2 \frac{C}{2}+\text { c. } \sin ^2 \frac{A}{2}\) ను s, a, b, c లలో వ్యక్తపరచండి.
Solution:

Question 12.
b + c = 3a అయితే, \(\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2}\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 13.
\((b+c) \cos \frac{B+C}{2}=a \cos \frac{B-C}{2}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 14.
∆ABC లో \(\frac{b^2-c^2}{a^2}=\sin \frac{(B-C)}{(B+C)}\) అని చూపండి. [(A.P) Mar. ’15]
Solution:

III.

Question 1.
(i) \(\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}=\frac{s^2}{\Delta}\)
(ii) \(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}\) = \(\frac{b c+c a+a b-s^2}{\Delta}\)
(iii) \(\frac{\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}}{\cot A+\cot B+\cot C}\) = \(\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 2.
(i) \(\Sigma(a+b) \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)=0\)
(ii) \(\frac{\mathbf{b}-c}{\mathbf{b}+c} \cot \frac{A}{2}+\frac{b+c}{b-c} \tan \frac{A}{2}\) = 2 cosec(B – C) అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
(i) sin θ = \(\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}+\mathbf{c}}\) అయితే, cos θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b+c} \cos \frac{A}{2}\) అని చూపండి. [Mar. ’12]
Solution:

(ii) a = (b + c) cos θ అయితే, sin θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b+c} \cos \frac{A}{2}\) అని నిరూపించండి. [May ’11]
Solution:

(iii) ఏదైనా కోణం ‘θ’ కు a cos θ = b cos(C + θ) + c cos(B – θ) అని చూపండి.
Solution:
b cos(C + θ) + c cos(B – θ)
= b (cos C . cos θ – sin C sin θ) + c (cos B cos θ + sin B sin θ)
= (b cos C + c cos B) cos θ + (-b sin C + C sin B) sin θ
= a cos θ + (-2R sin B sin C + 2R sin B sin C) sin θ
= a cos θ

Question 4.
ΔABC లోని కోణాలు A.P. లో ఉంటూ b : c = √3 : √2 అయితే, A = 75° అని చూపండి.
Solution:
∵ త్రిభుజ కోణాలు A, B, C లు A.P. లో ఉన్నవి కనుక
⇒ 2B = A + C
⇒ 3B = A + B + C
⇒ 3B = A + B + C
⇒ 3B = 180°
⇒ B = 60°

⇒ C = 45°
∴ A = 180° – 60° – 45° = 75°

Question 5.
\(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{\sin C}{\sin (A-B)}\) అయితే, ΔABC సమద్విబాహు లేదా లంబకోణ త్రిభుజమని నిరూపించండి.
Solution:


⇒ sin 2A = sin 2B
⇒ A = B
⇒ ΔABC సమద్విబాహు లేదా
2A = 180° – 2B
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°
∴ ΔABC లంబకోణ త్రిభుజం. [∵ A ≠ B]
∴ ABC సమద్విబాహు లేదా లంబకోణ త్రిభుజం.

Question 6.
cos A + cos B + cos C = \(\frac{3}{2}\) అయితే, ΔABC సమబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
Solution:

Question 7.
cos²A + cos²B + cos²C = 1 అయితే, ΔABC లంబకోణ త్రిభుజమని నిరూపించండి.
Solution:
cos²A + cos²B + cos²C = 1 …….(1)
ఇప్పుడు cos²A + cos²B + cos²C
= cos²A + 1 – sin²B + cos²C
= 1 + (cos²A – sin²B) + cos²C
= 1 + cos (A + B) cos (A – B) + cos²C
= 1 + cos (180° – C) cos (A – B) + cos²C
= 1 – cos C . cos (A – B) + cos²C
= 1 – cos C (cos (A – B) – cos C)
= 1 – cos C (cos (A – B) – cos (180° – \(\overline{A+B}\)))
= 1 – cos C (cos (A – B) + cos (A + B))
= 1 – cos C (2 cos A cos B)
= 1 – 2 cos A cos B cos C
(1) నుండి, 1 – 2 cos A cos B cos C = 1
⇒ 2 cos A cos B cos C = 0
⇒ cos A = 0 లేదా cos B = 0 లేదా cos C = 0
⇒ A = 90° లేదా B = 90° లేదా C = 90°
∴ ΔABC లంబకోణ త్రిభుజం.

Question 8.
a² + b² + c² = 8R² అయితే, ΔABC లంబకోణ త్రిభుజమని నిరూపించండి.
Solution:
a² + b² + c² = 8R²
⇒ 4R² (sin²A + sin²B + sin²C) = 8R²
⇒ sin²A + sin²B + sin²C = 2 ……..(1)
ఇప్పుడు sin²A + sin²B + sin²C
= 1 – cos²A + sin²B + sin²C
= 1 – (cos²A – sin²B) + sin²C
= 1 – cos (A + B) . cos (A – B) + sin²C
= 1 – cos (180° – C) cos (A – B) + sin²C
= 1 + cos C cos (A – B) + 1 – cos²C
= 2 + cos C (cos (A – B) – cos C)
= 2 + cos C (cos (A – B) – cos (180° – \(\overline{A+B}\)))
= 2 + cos C (cos (A – B) + cos (A + B))
= 2 + cos C (2 cos A cos B)
= 2 + 2 cos A cos B cos C
(1) లో వ్రాయగా
2 + 2 cos A cos B cos C = 2
⇒ 2 cos A cos B cos C = 0
⇒ cos A = 0 లేదా cos B = 0 లేదా cos C = 0
⇒ A = 90° లేదా B = 90° లేదా C = 90°
∴ ΔABC లంబకోణ త్రిభుజము.

Question 9.
\(\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}\) లు A.P. లో ఉంటే a, b, c లు A.P. లో ఉంటాయని చూపండి.
Solution:
∵ \(\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}\) లు A.P. లో ఉన్నవి.
⇒ \(\frac{(\mathrm{s})(\mathrm{s}-\mathrm{a})}{\Delta}, \frac{(\mathrm{s})(\mathrm{s}-\mathrm{b})}{\Delta}, \frac{(\mathrm{s})(\mathrm{s}-\mathrm{c})}{\Delta}\) లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇒ s – a, s – b, s – c లు A.P. లో ఉన్నాయి.
⇒ -a, -b, -c లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇒ a, b, c లు A.P. లో ఉంటాయి.

Question 10.
\(\sin ^2 \frac{A}{2}, \sin ^2 \frac{B}{2}, \sin ^2 \frac{C}{2}\) లు H.P. లో ఉంటే a, b, c లు H.P. లో ఉంటాయని చూపండి.
Solution:

Question 11.
C = 90° అయితే \(\left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right)\) sin (A – B) = 1 అని నిరూపించండి.
Solution:
∵ C = 90° అప్పుడు c² = a² + b²
LHS = \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\) sin (A – B)
= \(\frac{c^2}{a^2-b^2}\) sin (A – B)

Question 12.
\(\frac{a^2}{4}\) sin 2C + \(\frac{c^2}{4}\) sin 2A = ∆ అని చూపండి.
Solution:
\(\frac{a^2}{4}\) sin 2C + \(\frac{c^2}{4}\) sin 2A
= \(\frac{4 R^2 \sin ^2 A}{4}\) 2 sin C cos C + \(\frac{4 R^2 \sin ^2 C}{4}\) 2 sin A cos A
= 2R² sin²A sin C cos C + 2R² sin²C sin A cos A
= 2R² sin A sin C (sin A cos C + cos A sin C)
= 2R² sin A sin C sin (A + C)
= 2R² sin A sin C sin (180° – B)
= 2R² sin A sin B sin C
= ∆
= RHS

Question 13.
ఒక త్రిభుజాకార స్థలం ABCలో, AC మధ్యబిందువు M వద్ద ఒక దీపస్తంభం ఉంది. BC = 7 మీ., CA = 8 మీ. AB = 9 మీ., ఇంకా B వద్ద దీపస్తంభం చేసే కోణం 15° అయితే దీపస్తంభం ఎత్తు ఎంత?
Solution:

దీప స్తంభము ఎత్తు MP అనుకొండి.
MP = h అనుకొనుము.
∆BMP నుండి tan 15° = \(\frac{h}{BM}\)
(2 – √3) BM = h
ఇచ్చింది AB = 9, BC = 7, AC = 8

Question 14.
ఒక రేవు వద్ద రెండు ఓడలు ఒకే సమయంలో బయలు దేరాయి. ఒకటి గంటకు 24 కి.మీ. వేగంతో N45°E దిశలో, మరొకటి గంటకు 32 కి.మీ. వేగంతో S75°E దిశలో ప్రయాణం చేస్తే, 3 గంటల తరువాత ఓడల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

మొదటి ఓడ గంటకు 24 కి. మీ వెళ్తుంది. కనుక 3 గంటల తర్వాత, ఆ ఓడ 72 కి.మీ ప్రయాణం చేస్తుంది.
రెండవ ఓడ గంటకు 32 km వెళ్తుంది. కనుక 3 గంటల తర్వాత, ఆ ఒడ 96 km ప్రయాణం చేస్తుంది.
AB = x అనుకొండి.
∠AOB = 180° – (75° + 45°) = 60°
cosine rule for ∆AOB,
cos 60° = \(\frac{(72)^2+(96)^2-x^2}{2(72)(96)}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{5184+9216-x^2}{13824}\)
⇒ 13824 = 28800 – 2x²
⇒ 2x² = 14976
⇒ x² = 7488
⇒ x = 86.4 (Appx)
∴ 3 గంటల తర్వాత రెండు ఓడల మధ్య దూరం 86.4 km.

Question 15.
కొండవాలుపై నిటారుగా ఒక చెట్టు ఉన్నది. చెట్టు పాదం నుంచి 35 మీ. దూరంలో A అనే బిందువు నుంచి చెట్టు పై భాగానికి ఊర్థ్వ కోణం 60°. చెట్టు పాదానికి A నుంచి చేసే ఊర్ధ్వ కోణం 15° అయితే చెట్టు ఎత్తు ఎంత?
Solution:
చెట్టు ఎత్తు BC అనుకొండి.
BC = h
BD = x, AD = y అనుకొండి.
AB = 35 m
∆ADB నుంచి, sin 15° = \(\frac{x}{35}\)
\(35\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}\right)\) = x

Question 16.
ఒక స్తంభం పాదం నుంచి క్షితిజంపై 40 మీ. దూరంలో ఉన్న బిందువుతో స్తంభం యొక్క \(\frac{3}{4}\)వ పై భాగం \(\tan ^{-1} \frac{3}{5}\) కోణం చేస్తుంది. క్షితిజం నుండి 100 మీ కంటే తక్కువైన ఎత్తుతో స్తంభం ఉంటే స్తంభం ఎత్తు కనుక్కోండి.
Solution:


6400 + h² = 200h
h² – 200h + 6400 = 0
h² – 160h – 40h + 6400 = 0
h(h – 160) – 40(h – 160) = 0
(h – 160) (h – 40) = 0
h = 40 or 160
∴ స్తంభం ఎత్తు 100 మీ కంటే తక్కువ కనుక h = 40 m

Question 17.
ఊర్ధ్వంగా ఉండే ఒక స్తంభం AB పాదం B భూమట్టంపైనా, శీర్షం వద్దనూ ఉన్నాయి. ఒక వ్యక్తి భూమి మీద C అనే బిందువు నుండి A ఊర్ధ్వ కోసం 60° గా గమనించాడు. BC రేఖ మీదుగా స్తంభానికి దూరంగా CD = 7మీటర్లు గాగల లి అనే బిందువు వద్దకు వెళ్ళి అక్కడ నుంచి A ఊర్ధ్వ కోణం 45° ఉన్నట్లుగా గమనించాడు. ఆ స్తంభం ఎత్తు ఎంత?
Solution:
స్తంభం ఎత్తు ‘h’ అనుకొండి.
AB = h
CD = 7
∠ACB = 60°, ∠ADB = 45°, Let BC = x

Question 18.
క్షితిజ తలం నుండి h సెం.మీ. ఎత్తులో ఒక లక్ష్యం ఉంది. క్షితిజంతో 15° కోణం చేసే ఒక రేఖపై 10 సెం.మీ. దూరంలో గల P, Q అనే బిందువుల నుండి ఆ లక్ష్యం ఊర్ధ్వ కోణాలు వరసగా 30°, 60° కోణాలు చేస్తే h కనుక్కోండి.
Solution:

A నుంచి లక్ష్యం B యొక్క ఎత్తు = h మీ.
P & Q లు రెండు లక్ష్యాలు
PQ = 10 సెం.మీ.
∆APB నుండి
∠P = 30°; ∠A = 90°; ∠B = ?
A + P + B = 180°
⇒ 90° + 30° + B = 180°
⇒ B = 180° – 120°
⇒ B = 60°
∆BQC నుండి
∠Q = 60°; ∠C = 90°; ∠B = ?
Q + C + B = 180°
⇒ 60° + 90° + B = 180°
⇒ B = 180° – 150°
⇒ B = 30°
∆BQP నుండి
∠P = 15°; ∠B = 30°; ∠Q = ?
P + B + Q = 180°
⇒ 15° + 30° + Q = 180°
⇒ Q = 180° – 45°
⇒ Q = 135°
Sine rule ఉపయోగించగా


√2 . 10 = BP
∆PAB నుండి
⇒ sin 30° = \(\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BP}}\)
⇒ BP . sin 30° = AB = h
⇒ √2 . 105 . \(\frac{1}{2}\) = AB = h
⇒ 5√2 = AB = h
⇒ h = 5√2 సెం.మీ.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఏ వ్యవస్థకైనా దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి తప్పక ఉండవలసిన అవసరం ఉందా?
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవలసిన అవసరం లేదు.
ఉదా : బోలుగోళం యొక్క కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక అమ్మాయి బరువులున్న ఒక సంచీని ఒక చేతిలో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఇంకొక అమ్మాయి అంతే బరువు ఉన్న రెండు సంచులను తన రెండు చేతులతో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఆ అమ్మాయిల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాలలో మార్పులెలా ఉంటాయి?
జవాబు:
ఒక చేతిలో బరువున్న సంచీ గల అమ్మాయి, ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానం, సంచీ ఉన్నవైపుకు జరుగును. కాని రెండు చేతులలో ఒకే బరువులున్న సంచులు గల అమ్మాయి, ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానంలో మార్పు ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
రెండు దృఢ వస్తువుల జఢత్వ భ్రామకాలు, వాటి సౌష్ఠవాక్షాల పరంగా సమానం. ఆ రెండింటిలో దేని గతిజశక్తి అధికంగా ఉంటుంది?
జవాబు:
వస్తువు భ్రమణ గతిజశక్తి E = \(\frac{1}{2}\)I ω² = \(\frac{1}{2}\frac{L^2}{l}\)
⇒ E ∝ \(\frac{l}{l}\) (∵ L = స్థిరం)
జడత్వ భ్రామకం తక్కువున్న వస్తువు, అధిక గతిజశక్తిని కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 4.
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) ఎందుకు అమర్చుతారు?
జవాబు:
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) కల్పితే, చక్రం ద్రవ్యరాశి రిమ్ వెంట ఎక్కువగా ఉండి, జడత్వ భ్రామకంను పెంచును. ఫలితంగా సైకిల్ ఏకరీతి చలనంను కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 5.
మడత బందుల (hinges) వద్ద బలాన్ని ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవడం లేదా మూయడం సాధ్యం కాదు. ఎందువల్ల?
జవాబు:
మడత బందు వద్ద బలంను ప్రయోగిస్తే, బలరేఖా చర్య, మడత బందు భ్రమణ అక్షం ద్వారా పోవును. కావున మడత బందు వద్ద బలంను ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవలేము లేక మూయలేము.

ప్రశ్న 6.
భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (మరను త్రిప్పడానికి వాడే ఉపకరణం) కంటే భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను మనమెందుకు ఎక్కువగా ఎంచుకొంటాం?
జవాబు:
స్పానర్ ప్రయోగించు టార్క్ (T) = rF sin θ
భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ (r_L), భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (r_s) కన్నా ఎక్కువ. రెండింటి టార్క్లు సమానం కావటానికి, భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్కు, తక్కువ బలం, భుజం తక్కువ పొడవున్న స్పానర్కు ఎక్కువ బలం అవసరం. కావున భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను ఎంచుకుంటాం.

ప్రశ్న 7.
టేబుల్ తలంపై ఒక గుడ్డును బొంగరంవలె తిప్పి అది ఉడికినదీ లేనిదీ ఎలా నిర్ధారించగలం? [Mar. ’13]
జవాబు:
ఉడకని గుడ్డు కోణీయ ద్రవ్యవేగం L_r = I_rω_r
ఉడికిన గుడ్డు కోణీయ ద్రవ్యవేగం L_b = I_bω_b

ఉడకని గుడ్డును తిప్పితే అపకేంద్రబలం వల్ల, ద్రవ కణాలను అంచువైపుకు నెట్టి, జడత్వ భ్రామకంను పెంచును.

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం L, స్థిరం అయిన ω ∝ \(\frac{1}{l}\) కావున ω_b > ω_r. ఉడికిన గుడ్డు కోణీయ వేగం,

ఉడకని గుడ్డు కోణీయ వేగం కన్నా ఎక్కువ.
∴ ఉడకని గుడ్డు అయితే తిప్పిన తరువాత త్వరగా ఆగుతుంది.
అదే ఉడికిన గుడ్డు అయితే తిప్పిన తరువాత నిదానంగా ఆగుతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక హెలికాప్టర్కు ఎందుకు రెండు ప్రొపెల్లర్లు (propellers – ముందుకు నడిపే యంత్రం) తప్పక ఉండి తీరాలి?
జవాబు:
హెలికాఫ్టర్ ఒకే ఒక ప్రొపెల్లర్ కల్గి ఉంటే, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం వల్ల, హెలికాఫ్టర్ తనంతట తాను వ్యతిరేక దిశలో తిరుగును. కావున హెలికాప్టర్ను క్షేమంగా ముందుకు నడపాలంటే, రెండు ప్రొపెల్లర్లు తప్పనిసరి.

ప్రశ్న 9.
భూగోళ ధ్రువాల వద్ద ఉన్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే ఒకరోజు కాలవ్యవధి ఏ విధంగా ప్రభావిత మౌతుంది?
జవాబు:
భూమి తన ధృవ అక్షం వెంట భ్రమణం చెందుతుంది.

భూమి ధృవాల వద్ద మంచు పర్వతాలు ద్రవీభవనం చెందితే, భ్రమణాక్షం వెంట కేంద్రీకృతమైన ద్రవ్యరాశి వెలుపలకు నెట్టబడును. కావున జఢత్వ భ్రామకము పెరుగును.

బాహ్య టార్క్ పనిచేయకపోతే, L = I × ω = I(\(\frac{2 \pi}{T}\)) = స్థిరాంకము. I పెరుగుదలతో, T కూడ పెరుగును. i.e., రోజులో కాలం పెరుగుదల ఉండును.

ప్రశ్న 10.
కదిలే సైకిల్ను సులభంగా అటూ, ఇటూ ఒరగకుండా నిలుపవచ్చు. ఎందుకు ?
జవాబు:
సైకిల్ చలనంలో ఉన్నప్పుడు, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ సూత్రం వల్ల, సైకిల్ను తేలికగా బ్యాలన్స్ చేయవచ్చును.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభుల మధ్య భేదాలను గుర్తించండి. [Mar. ’14, ’13; May ;’13]
జవాబు:

ప్రశ్న 2.
బాహ్య బల ప్రభావానికి గురయిన ఒక కణవ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా గమనంలో ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
m₁, m₂, m₃, ………… m_n ద్రవ్యరాశులు గల n కణాల వ్యవస్థ భావిద్దాం. వాని స్థాన సదిశలు r₁, r₂, r₃, ….. r_n. ద్రవ్యరాశి కేంద్ర నిర్వచనం ప్రకారం

ఇక్కడ F_{బాహ్య} కణాల వ్యవస్థపై పనిచేయు బాహ్య బలాల మొత్తంను సూచించును.

బాహ్య బల ప్రభావానికి గురయిన ఒక కణ వ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా గమనంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
భూమి – చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా సూర్యుని చుట్టూ దాని భ్రమణాలను వివరించండి.
జవాబు:

సౌర వ్యవస్థలో గ్రహాలు వేర్వేరు వేగాలతో, సంక్లిష్ట ద్విమితీయ చలనం కల్గి ఉండును. కాని గ్రహం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర చలనం సరళం మరియు స్థానాంతరణము. భూమి మరియు చంద్రుని వ్యవస్థ భావిద్దాము.

భూమి సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుచున్నదనుకొనుము. చంద్రుడు, భూమి చుట్టూ వృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగును. భూమి చంద్రుని యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘కూడా సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యలోనే తిరుగును.

భూమి, చంద్రుని యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం కూడా సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యలోనే తిరుగును.

భూమికి, చంద్రునికి మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు, అంతర బలాలు అవుతాయి. కావున ఇవి ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని ప్రభావితం చేయవు. కాని సూర్యునికి, భూమికి మధ్య లేదా సూర్యునికి, చంద్రునికి మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు, బాహ్య బలాలవుతాయి. కావున ఇవి ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని ప్రభావితం చేస్తాయి.

ప్రశ్న 4.
సదిశాలబ్దాన్ని నిర్వచించండి. సదిశా లబ్ద ధర్మాలను రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సదిశ లబ్దము :
రెండు సదిశల యొక్క పరిమాణాన్ని, ఆ రెండు సదిశల మధ్య కోణము యొక్క sin విలువకు గల లబ్దాన్ని సదిశ లబ్దము అంటారు. దీనినే వజ్ర లబ్దం అంటారు.

ప్రశ్న 5.
కోణీయ వేగానికి నిర్వచనం తెలపండి. v = r ω రాబట్టండి.
జవాబు:
కోణీయ వేగం(ω) :
ఒక వస్తువు కోణీయ స్థానభ్రంశంలోని మార్పు రేటును కోణీయ వేగం అంటారు.
i.e., ω = \(\frac{d \theta}{dt}\)

v = rω ఉత్పాదన :
ఒక దృఢ వస్తువు r వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్త పరిధిపై V ఏకరీతి వడితో చలిస్తుందనుకొందాము. వస్తువు స్వల్పకాలం ∆t లో A నుండి B కు స్థానభ్రంశం చెందితే కేంద్రము వద్ద కోణము ∆θ. A నుండి Bకు రేఖీయ స్థానభ్రంశం ∆x.
వృత్త ధర్మం ప్రకారం, ∆x = r ∆θ

ప్రశ్న 6.
కోణీయ త్వరణాన్ని, టార్క్ను నిర్వచించండి. ఈ రెండు రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:

కోణీయ త్వరణము : కోణీయ వేగంలోని మార్పు రేటును కోణీయ త్వరణం అంటారు.
i.e., α = \(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\)
టార్క్ :
కోణీయ ద్రవ్య వేగంలోని మార్పు రేటును టార్క్ అంటారు.

కోణీయ త్వరణము మరియు టార్క్ మధ్య సంబంధము :
M ద్రవ్యరాశి ఉన్న దృఢ వస్తువు R. వ్యాసార్థం గల వృత్తపథంలో, ఆ కోణీయ వేగంతో స్థిర అక్షం వెంట భ్రమణం చెందుతుందని భావిద్దాం.

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థిర అక్షం పరంగా భ్రమణం చేస్తున్న కణం గమన సమీకరణాలను రాయండి. జ. స్థిర అక్షం వెంట భ్రమణం చెందుతున్న కణం చలన సమీకరణాలు
జవాబు:

ప్రశ్న 8.
సమతలంపై నిశ్చల స్థితి నుంచి స్లిప్కకుండా దొర్లుతూ ఉన్న ఒక వస్తువు తుది వేగం, మొత్తం శక్తికి సమాసాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
వాలు తలంపై కిందికి దొర్లుతున్న ఒక వస్తువు వేగ సమీకరణము :
M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్థం గల ఒక దృఢ వస్తువు, h ఎత్తు నుండి వాలుతలంపై క్రిందికి దొర్లుతున్నట్లు భావిద్దాం. వస్తువు తలం వెంట క్రిందకు v రేఖీయ వడితో చేరినట్లు తీసుకుందాము. దాని భ్రమణ వ్యాసార్థం K.

శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, వాలు తలంపైన వస్తువు స్థితిజశక్తి (P.E) = వాలు తలం క్రింద వస్తువు యొక్క గతిజశక్తి (K.E).

h ఎత్తు గల వాలు తలం నుండి ఒక వస్తువు దొర్లుతూ ఉన్నప్పుడు, శక్తినిత్యత్వ నియమాన్ని అనువర్తింపవచ్చును.
i. e., వాలుతలంపైన P.E = స్థానాంతరణ K.E + భ్రమణ K.E

వాలు తలంపై క్రిందికి దొర్లుతున్న వస్తువు యొక్క మొత్తం శక్తికి సమాసం :
ఒక వస్తువు (గోళం) తలంపై దొర్లుతుందని భావిద్దాం. దాని చలనంను, ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాంతరణ మరియు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ద్వారా పోవు అక్షం వెంట భ్రమణ చలనాల సంయోగముగా తీసుకోవచ్చును. మొత్తం శక్తి Eని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
a) సమాంతరాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.

b) పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళకు, దాని వ్యాసం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్థం k. పటంలో చూపినట్లు బిళ్ళను వ్యాసం AB వెంబడి రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించినప్పుడు, AB పరంగా ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం కనుక్కోండి.
జవాబు:
a) నిర్వచనం :
ఏదైనా అక్షం పరంగా దృఢ వస్తువు యొక్క జఢత్వ భ్రామకము, ఆ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము మరియు దృఢ వస్తు ద్రవ్యరాశి మరియు ఆ రెండు అక్షముల దూర వర్గముల లబ్దానికి సమానం.
i.e., I₀ = I_g + Mr²
I_g = ‘O’ గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
M = ∑m = వస్తువు ద్రవ్యరాశి
r = అక్షముల మధ్య దూరము
I_g = ‘G’ గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము

నిరూపణ :
వస్తువులో P వద్ద ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల కణమును తీసుకొనుము. PO ను PG లను కలుపవలెను. OG ను కలుపగా వచ్చిన గీతకు లంబంగా P నుండి రేఖ PQను గీయవలెను.
‘O’ గుండా గల అక్షం పరంగా ‘P’ వద్ద కణం జఢత్వ భ్రామకం = m × OP².
‘O’ గుండా గల అక్షం పరంగా కణం యొక్క జఢత్వ భ్రామకం = m × PG².
‘G’ గుండా గల అక్షం పరంగా కణం యొక్క జఢత్వ భ్రామకం = I_g = ∑m.PG²

OPQ త్రిభుజంలో OP² = OQ² + PQ²
OP² = (OG² + GQ²)+ PQ² [∵ OQ = OG + GQ]
OP² = OG² + GQ² + 2OG. GQ + PQ²
OP² = OG² + GP² + 2OG.GQ [∵ GQ2 + PQ² = GP²]
కానీ I₀ = ∑m OP²
I₀ = Σm (OG² + GP² + 2 OG. GQ)
I₀ = ∑m (OG² + GP² + 2 OG. GQ)
I₀ = Σm.OG² +Σm. Gp² + Σm. 2OG. GQ
I₀ = Mr² + I_G + Σm. 2.OG. GQ
ఇక్కడ Σm = M, OG = r
I_G = Σm PG²
∴ I₀ = I_G + Mr² + 2 OG. Σm. GQ
కాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా వస్తువులోని అన్ని కణాల గురుత్వాకర్షణ బలాల భ్రామకాల బీజీయాల మొత్తం శూన్యం.
కావున Σm. GQ = 0
∴ I₀ = I_G + Mr²

(b) పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళ (డిస్క్) వ్యాసం, AB వెంట భ్రమణ వ్యాసార్థం
K = \(\sqrt{\frac{1}{M}}\)
ఇక్కడ M = బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి; I = బిళ్ళ జఢత్వ భ్రామకము
AB వెంట బిళ్ళను రెండు సగభాగాలుగా కత్తిరించిన, ఒక్కొక్క ముక్క ద్రవ్యరాశి M’ = \(\frac{M}{2}\) మరియు ఒక్కొక్క ముక్క
జఢత్వ భ్రామకము, I’ = \(\frac{1}{2}\)
ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం,

ప్రశ్న 2.
a) లంబాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
అధ్యాయం కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం
b) ఒక సన్నని వృత్తాకార కంకణం, ఒక పలుచని చదునైన వృత్తాకార బిళ్ళలు సమాన ద్రవ్యరాశి, వాటి వాటి వ్యాసాల పరంగా సమాన జఢత్వ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జవాబు:
a) నిర్వచనం :
ఒక సమతల పటలానికి లంబంగా ఒక బిందువు గుండా పోయే అక్షంపరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకము, అదే బిందువు గుండా పోతూ పరస్పరం లంబంగా ఉన్న అక్షముల పరంగా ఉన్న జఢత్వ భ్రామకాల మొత్తంనకు సమానము.
i.e., I_z = I_x + I_y
ఇక్కడ I_z = z – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
I_x = X – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
I_y = Y – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము

నిరూపణ :
‘m’ ద్రవ్యరాశి గల కణము P వద్ద XOY తలంలో ఉన్నదనుకొనుము.
దీని నిరూపకాలు (x, y). ఈ కణం Y – అక్షం నుండి ‘x’ లంబ దూరంలో, X – అక్షం నుండి ‘y’ లంబదూరంలో, Z – అక్షం నుండి ‘r’ లంబ దూరంలో ఉన్నదనుకొనుము.
Y – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము mx²
Y – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_y = Σmx² ……………. (1)
X – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = my²
X – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_x = Σmy² ……………. (2)
Z – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = mr²
Z – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_z = Σmz² ……………. (3)

పటం నుండి, r² = x² + y²
I_z = Σmr² = Σm (x² + y²) = Σm x² + Σmy²
(1), (2) సమీకరణముల నుండి I_y = Imx²; L_y = Σmy²
I_z = I_y + I_x
∴ I_z = I_y + I_x ∴ లంబాక్ష సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ప్రశ్న 3.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి నిరూపించండి. ఈ నియమాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
నిర్వచనం :
ఒక వ్యవస్థపై పనిచేసే బాహ్య టార్క్ శూన్యమైన, ఆ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుంది.
L = Iω = స్థిరాంకము (లేక) I₁ ω₁ = I₂ ω₂

ఒక వస్తువు యొక్క జఢత్వ భ్రామకం (I) తగ్గిన, ఆ వస్తువు యొక్క కోణీయ వేగం (ω) పెరుగును.

నిరూపణ :
కోణీయ ద్రవ్య వేగంలోని మార్పు రేటును టార్క్ అంటారు.

ఉదా :
1) ఒక వ్యక్తి భ్రమణాలు చేయుచున్న పలకపై నిలుచుని, అతని చేతులు చాచి (డంబెల్స్) సమాన బరువులను పట్టుకొని ఉన్నాడనుకొనుము. అతడు పలకపై భ్రమణాలు స్థిర కోణీయ వేగంతో చేయుచున్నాడు. చేతులు చాచినపుడు జఢత్వ భ్రామకం I₁, కోణీయ వేగం ω₁. అతడు తన చేతులను ముడుచుకొన్నచో (బరువుల నుండి భ్రమణాక్షానికి గల దూరం తగ్గి) జఢత్వ భ్రామకం (I₂) తగ్గి, దానికి అనుగుణంగా వ్యక్తి యొక్క కోణీయ వేగము (ω₂) పెరుగును.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం,
I₁ ω₁ = I₂ ω₂
కాని I₁ > I₂
∴ ω₁ < ω₂
నాట్యము చేయువారు, స్కేటర్లు, నీటిలోనికి డైవ్ చేయువారు కోణీయ ద్రవ్యవేగ నియమం ఉపయోగించుకొని స్థిరత్వమును పొందుతారు.

ఉదా – 2 :
నిలువు అక్షంపై స్వేచ్ఛగా భ్రమణాలు చేయుచున్న గుండ్రని బల్లపై ఒక పరిశీలకుడు నిశ్చలంగా కూర్చొని ఉన్నాడు. అతని చేతిలో నిలువు అక్షంపై స్వేచ్ఛగా సవ్యదిశలో భ్రమణాలు చేయుచున్న సైకిలు చక్రం చట్రం ఉంది. ఇప్పుడు అతడు చట్రాన్ని తలక్రిందులుగా త్రిప్పితే చక్రం ఈసారి అపసవ్య దిశలో తిరుగుతూ ఉంటుంది. బల్ల, వ్యక్తి, చక్రం, ఒకే వ్యవస్థ కాబట్టి దీనికి కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వం వర్తిస్తుంది. కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంచేందుకు బల్ల సవ్య దిశలో తిరుగుతుంది. బల్లను తిరిగా ఆపాలంటే చక్రాన్ని తలక్రిందులుగా చేసి తొలి దశలో తిరిగేటట్లు చేయాలి.

లెక్కలు (Problems)

ప్రశ్న 1.
a. (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallele-piped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
ఒక దీర్ఘఘనాకారం మూడు సదిశలను ఏర్పరు స్తుందని తీసుకుందాము.

ఇది దీర్ఘఘనాకారం ఘనపరిమాణ పరిమాణంనకు సమానం.

ప్రశ్న 2.
3kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్థూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్థూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై జారదు అని భావించండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి M = 3kg, R = 40 cm = 0.4 m
బోలు స్థూపం అక్షం వెంట జఢత్వ భ్రామకం
I = MR² = 3(0.4)² = 0.48 kgm²
ప్రయోగించిన బలం F = 30 N
∴ టార్క్, τ = F × R= 30 × 0.4 = 12 N – m
కోణీయ స్థానభ్రంశం α ఏర్పడితే, అప్పుడు τ = Iα
α = \(\frac{\tau}{1}=\frac{12}{0.48}\) = 25 rads^-2
రేఖీయ త్వరణం, a = Rα = 0.48 × 25 = 10 m/s².

ప్రశ్న 3.
క్షితిజ తలంలో భ్రమణం చెందే తిరుగుడు బల్లపై దాని కేంద్రం నుంచి 10 cm దూరంలో ఒక నాణాన్ని ఉంచారు. తిరుగుడు బల్ల, నాణాల మధ్య స్థితిక ఘర్షణ గుణకం 0.8 అయితే, నాణెం బల్లపై జారడం మొదలు పెట్టడానికి తిరుగుడు బల్ల భ్రమణ పౌనఃపున్యం ఎంత ఉండాలి?
సాధన:
ఇచ్చినవి, వ్యాసార్థం r = 10cm 0.1m;
µ_s = 0.8; F = µmg
mrω² = µmg
rω² = μg

n = 1.409 × 60 = 84.54 rpm = 84.54 rpm

ప్రశ్న 4.
ఒక మీటర్ స్కేలుపై 1cm, 2cm, 3cm…… 100cm ల గుర్తుల వద్ద వరుసగా 1g, 2g, 3g, ….100g ద్రవ్యరాశులు గల కణాలను ఉంచారు. మీటర్ స్కేలు మధ్యలంబరేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
అన్ని కణాల ద్రవ్యరాశులను కూడగా,
M 5050g = 5.050 kg = 5.1 kg
మరియు L = 1m
స్కేలు యొక్క జఢత్వ భ్రామకం \(\frac{Ml^2}{12}= \frac{5.1\times1^2}{12}\)
= 0.425kg m²
= 0.43kg -m²

ప్రశ్న 5.
10 cm భుజం కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100g ద్రవ్యరాశి ఉన్న మూడు కణాలను ఉంచారు. ఆ త్రిభుజ కేంద్రాభం ద్వారా పోతూ, త్రిభుజ తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా ఈ వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
m = 100 g = 100 × 10^-3 kg
భుజం a = 10 cm

ప్రశ్న 6.
10 cm భుజం ఉన్న చతురస్ర శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు కణాలను ఉంచారు. చతురస్రం మధ్య బిందువు ద్వారా పోతూ, దాని తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి. వ్యవస్థ భ్రమణ వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 100g
= 100 × 10^-3kg
m = 4m = 400 × 10^-3kg
వ్యాసార్థం = 10cm
= 10 × 10^-2m
జఢత్వ భ్రామకం
I = mr²

ప్రశ్న 7.
1 kg ద్రవ్యరాశి, 20 cm వ్యాసార్థం ఉన్న రెండు ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మెలు ఒకదానినొకటి స్పృశించుకునేటట్లుగా స్పర్శారేఖ స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయేటట్లు అమర్చారు. స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయే స్పర్శారేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 1kg

ప్రశ్న 8.
2a వ్యాసం, ‘m’ ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు గోళాల కేంద్రాలను b భుజంగా ఉన్న ఒక చతురస్ర నాలుగు శీర్షాల వద్ద ఉంచారు. ఒకే భుజం భ్రమణ అక్షంగా ఈ వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్ను అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత? (గమనిక : మర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్ను వ్యతిరేకిస్తుంది) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి ω = 200 rad/s
టార్క్, τ = 180 N – m, సామర్థ్యం p = ?
p = τ ω
∴ p = 180 × 200
= 3600 watt
= 36 kw.

ప్రశ్న 10.
ఒక మీటరు స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తి మొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 5g ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమర్చేటట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:
ఒక మీటర్ స్టిక్ ద్రవ్యరాశి M, L = 50 cm
గుర్తు వద్ద కేంద్రీకరించినట్లు భావిద్దాం.
స్టిక్, G’ = 45 cm గుర్తు వద్ద సమతాస్థితిలో ఉంటే
10g (45-12) = Mg(50 – 45)
10 g × 33 = mg × 5
M = \(\frac{10\times33}{5}\) = 66 gram.

ప్రశ్న 11.
వృత్త పరిధిపై ఏదో ఒక బిందువు ద్వారా పోతూ, తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా 60 rpm వడితో భ్రమణం చెందే ఒక వృత్తాకార దిమ్మె గతిజశక్తిని కనుక్కోండి. దిమ్మె ద్రవ్యరాశి 5kg, వ్యాసార్థం 1m.
సాధన:
ఇచ్చట M = 5kg; R = 1m;
ω
0 = 2π × \(\frac{N}{t}\)
= 2π × \(\frac{60}{60}\)rad/s = 2π rad/s

వృత్తాకార పరిధిపై ఏదైనా బిందువు గుండాపోవు, సమాంతర అక్షం పరంగా బిళ్ళ జఢత్వ భ్రామకం

ప్రశ్న 12.
ఒక్కొక్కటి m ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై U వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి m₁ = m₂ = m;

ప్రశ్న 13.
నిమిషానికి 300 భ్రమణాలు చేసే ఒక గతిపాలక చక్రం (fly wheel) జఢత్వ భ్రామకం 0.3 kgm² 20 సెకన్లలో దీన్ని నిశ్చల స్థితికి తీసుకు రావడానికి అవసరమైన టార్ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
ఒక గతిపాలకచక్రం (fly wheel) పై 100J పని జరిగినప్పుడు దాని కోణీయవేగం 60 rpm నుంచి180 rpm కి పెరిగింది. చక్రం జఢత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
తొలి పౌనఃపున్యము,
n₁ = \(\frac{60}{60}\) = 1Hz
తొలి కోణీయ వేగం ω₁ = 2π n₁
= 2π rad/sec

తుది పౌనఃపున్యం,
n₂ = \(\frac{180}{60}\) = 3Hz
తుది కోణీయ వేగం
ω₂ = 2π n₂ = 2π × 3 = 6π rad/sec
జరిగిన పని = 100 j
పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారము,
జరిగిన పని = K.E. లో మార్పు

అదనపు లెక్కలు (Additional Problems)

ప్రశ్న 1.
ఏకరీతి సాంద్రత ఉన్న (i) గోళం, (ii) స్థూపం, (iii) కంకణం, (iv) ఘనాల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని గుర్తించండి. వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం తప్పక ఆ వస్తువులో ఉండి తీరాలా?
జవాబు:
అన్ని నాలుగు సందర్భాలలో, ద్రవ్యరాశి సాంద్రత ఏకరీతిగా ఉండును. జ్యామితీయ కేంద్రాల వద్ద ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉంటుంది.
వస్తువుపై ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉండాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణకు, వృత్తాకార రింగ్ సందర్భంలో రింగ్ కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి లేకపోయినా, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
HCl అణువులో రెండు పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య దూరం దాదాపు 1.27Å (1 Å = 10 10m). ఈ అణువు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని ఉజ్జాయింపుగా కనుక్కోండి. హైడ్రోజన్ పరమాణువుతో పోలిస్తే క్లోరీన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి సుమారు 35.5 రెట్లు ఉంటుంది. పరమాణు ద్రవ్యరాశి అంతా కేంద్రకం వద్దనే కేంద్రీకృతమవుతుందని ఊహించండి.
సాధన:
H పరమాణువు ద్రవ్యరాశి = m యూనిట్
Cl పరమాణువు ద్రవ్యరాశి = 35.5 m యూనిట్స్
H పరమాణువు నుండి xÅ దూరం వద్ద c.mను తీసుకుందాము.
∴ Cl పరమాణువు నుండి c.m దూరం = (1.27 – x)Å
మూలబిందువు వద్ద c.m తీసుకుంటే, అప్పుడు
mx + (1.27 – x) 55.5m = 0
mx = (1.27 – x) 35.5m.
c.mకు కుడివైపున Cl పరమాణువు ధనాత్మక గుర్తును, ఎడమవైపున ఋణగుర్తును సూచించును. ఋణగుర్తును వదిలెస్తే,
x + 35.5 x = 1.27 x 35.5
36.5 x = 45.085
x = \(\frac{45.085}{36.5}\)
= 1.235
x = 1.235 Å
H మరియు cl పరమాణువుల కేంద్రాలను కలుపు రేఖపై H నుండి 1.235 Å వద్ద c.m ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
నున్నని క్షితిజ సమాంతర నేలపై V వడితో సమరీతి గమనం కలిగిన ఒక ట్రాలీ (trolley – చక్రాలున్న పొడవైన బండి) మీద ఒక చివర ఒక బాలుడు నిశ్చలంగా కూర్చుని ఉన్నాడు. బాలుడు లేచి ట్రాలీపై ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ట్రాలీ – బాలుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి ఎంత?
సాధన:
పిల్లవాడు ట్రాలీపై లేచి పరుగెత్తితే, వ్యవస్థ (ట్రాలీ + పిల్లవాడు) ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి మారదు. బలాలు అంతర్గత బలాలే. వ్యవస్థపై బాహ్యబలం పని చేయదు. వ్యవస్థ వేగంలో మార్పు ఉండదు.

ప్రశ్న 4.
సదిశలు a, bలు భుజాలుగా కలిగి ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం a × b పరిమాణంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
\(\overrightarrow{OP}\) మరియు \(\overrightarrow{O Q}\) లు \(\overrightarrow{a}\) మరియు \(\overrightarrow{b}\) ను సూచించునట్లు తీసుకుందాం.
∠POQ = θ సమాంతర చతుర్భుజం

OPRQ ను పూర్తిచేద్దాం.
PQ ను కలుపుదాం. ON ⊥ OP

ప్రశ్న 5.
a. (b × c) పరిమాణం a, b, cసదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallele- piped) ఘన పరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:

దీర్ఘఘనాకార గొట్టం ఘనపరిమాణం, పరిమాణంనకు సమానము.

ప్రశ్న 6.
ఒక కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం 1 x, y, z అక్షాల వెంబడి అంశాలను కనుక్కోండి. కణం స్థాన సదిశ r అంశాలు x, y, z లు. రేఖీయ ద్రవ్యవేగం p అంశాలు p_x p_y, p_z ఒకవేళ కణం కేవలం x−y తలంలోనే గమనంలో ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగం z-అంశాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
3D చలనంలో, స్థానభ్రంశ సదిశ \(\overrightarrow{r}\) మరియు రేఖీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ \(\overrightarrow{p}\) ను క్రింది దీర్ఘచతురస్ర అంశాలుగా వ్రాయవచ్చును.

L_z = xp_y – yp_x·
∴ కణం x – y తలంలో చలించును.
కోణీయ ద్రవ్యవేగం మాత్రం ఒకే z–అంశాన్ని కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 7.
ఒక్కొక్కటి m ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై V వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికరణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
x₁ y₁ పై ఏదైనా బిందువు A వెంట రెండు కణాల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం సదిశ,

x₂y₂ పై ఏదైనా బిందువు B వెంట రెండు కణాల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం సదిశ,

AC = x అయ్యేటట్లు, ABపై మరియొక బిందువు ఁను భావిద్దాం.
∴ c వెంట రెండు కణాల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం సదిశ

ప్రశ్న 8.
ఒక అసమరీతి, Wభారం ఉన్న కడ్డీని ఉపేక్షించ దగ్గ ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు దారాలతో, పటంలో చూపినట్లు నిశ్చల స్థితిలో ఉండేటట్లు వేలాడ దీశారు. క్షితిజ లంబరేఖతో దారాలు చేసే కోణాలు వరుసగా 36.99, 53.1°. కడ్డీ పొడవు 2 m. కడ్డీ ఎడమ చివర నుంచి గరిమనాభి ఉండే దూరం dని లెక్కించండి.
సాధన:

పటం నుండి స్పష్టంగా,
θ₁ = 36.9°, θ₂ = 53.1°
రెండు తీగలలో తన్యతలు T₁, T₂
తీగ క్షితిజ సమాంతరంగా సమతాస్థితిలో ఉంటే

కడ్డీ ఎడమ చివరి నుండి d దూరంలో ద్రవ్యరాశి కేంద్రం d తీసుకుందాము.
c వెంట భ్రమణ సమతాస్థితిలో,
T₁ cos θ₁ Xd = T₂ cos θ2 (2 – d)
T₁ cos 36.9° × d = T₂ cos 53.1° (2 – d)
T₁ × 0.8366 d = T₂ × 0.6718 (2 – d)
T₁ = 1.3523 T₂ ను ఉంచి సాధించగా
d = 0.745 m.

ప్రశ్న 9.
ఒక కారు 1800 kg బరువుంది. ముందు వెనకాల ఇరుసుల మధ్య దూరం 1.8 m. కారు గరిమనాభి, ముందు ఇరుసు వెనక 1.05 m దూరంలో ఉంది. సమతలంగా ఉన్న భూమి వల్ల ముందు వెనక గల చక్రాలొక్కక్కటి పై ప్రయోగించే బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
m = 1800 kg
ముందు మరియు వెనుక యాక్సిల్స్ మధ్యదూరం = 1.8m
ముందు యాక్సిల్ వెనుక గురుత్వాకేంద్రం (C) దూరం = 1.05 m
ముందు మరియు వెనుక యాక్సిల్స్పై సమాంతరంగా భూమి ప్రయోగించు బలాలు R₁ మరియు R₂. స్పష్టంగా పటం నుండి
R₁ + R₂ = mg = 1800 × 9.8

C వెంట భ్రమణ సమతాస్థితిలో

ప్రశ్న 10.
(a) ఘన గోళానికి స్పర్శరేఖ పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి. గోళం వ్యాసంపరంగా జఢత్వ భ్రామకం 2 MR²/5 గా ఇచ్చారు. M గోళం ద్రవ్యరాశి, R దాని వ్యాసార్థం.
(b) M ద్రవ్యరాశి, వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తాకార దిమ్మె జఢత్వ భ్రామకం, వ్యాసం పరంగా MR²/4, దిమ్మె ఒక అంచునుంచి పోతూ దిమ్మె తలానికి లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
a) ఏదైనా వ్యాసం వెంట గోళం జఢత్వ భ్రామకం = \(\frac{2}{5}\)MR²
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతంను అనువర్తింపచేయగా,
గోళం స్పర్శరేఖ వెంట గోళం జఢత్వ భ్రామకం
= \(\frac{2}{5}\)MR² + M(R)² = \(\frac{7}{5}\)MR²

b) ఏదైనా వ్యాసం వెంట డిస్క్ జఢత్వ భ్రామకము = \(\frac{1}{4}\)MR².
i) లంబాక్ష సిద్ధాంతం ఉపయోగించి, డిస్క్ కేంద్రం గుండాపోతూ తలంనకు లంబంగా పోవు అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకం
= 2 × \(\frac{1}{4}\) MR²
= \(\frac{1}{2}\)MR².

ii) సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ఉపయోగించి, డిస్ అంచుపై ఉన్న బిందువు గుండాపోతూ, డిస్కు లంబంగా ఉన్న అక్షంపరంగా జఢత్వ భ్రామకం
= \(\frac{1}{2}\) MR² + MR² = \(\frac{3}{2}\)MR².

ప్రశ్న 11.
సమాన ద్రవ్యరాశి, సమాన వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం, ఒక ఘనగోళంపై సమాన పరిమాణం ఉన్న టార్క్ ను ప్రయోగించారు. స్తూపం దాని సౌష్టవాక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. గోళం దాని కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. వీటిల్లో, ఇచ్చిన కాల వ్యవధిలో, ఏది అధిక కోణీయ వేగాన్ని పొందుతుంది?
సాధన:
బోలు స్థూపం మరియు ఘనస్థూపం ద్రవ్యరాశి M మరియు వ్యాసార్థము R.
సౌష్ఠవ అక్షం వెంట బోలు స్థూపం జఢత్వ భ్రామకం, I₁ = MR²
కేంద్రం ద్వారా పోవు అక్షం పరంగా ఘనగోళం జఢత్వ భ్రామకం, I₂ = \(\frac{2}{5}\)MR²
ప్రయోగించిన టార్క్, τ = I₁ α₁ = I₂ α₂

α₂ > α₁
ω = ω₀ +αt నుండి, ω₀ మరియు tలను కనుగొంటే, ω₂ > ω₁ i.e., ఘనగోళం కోణీయ వడి, బోలు స్థూపం కోణీయ వడి కన్నా ఎక్కువ.

ప్రశ్న 12.
20 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక ఘన స్థూపం దాని అక్షంపరంగా 100 rad s^-1 కోణీయ వడితో భ్రమణాలు చేస్తుంది. స్థూపం వ్యాసార్థం 0.25m. స్తూపం గతిజశక్తి ఎంత ? స్థూపం అక్షంపరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిమాణం ఎంత?
సాధన:
M = 20 kg, R = 0.25 m, w = 100 g^-1
ఘనస్థూపం జఢత్వ భ్రామకము

ప్రశ్న 13.
(a) ఒక తిరుగుడు బల్ల కేంద్రం వద్ద ఒక బాలుడు తన చేతులను బయటకు చాచి నిలబడి ఉన్నాడు. తిరుగుడు బల్ల 40 భ్రమణాలు / నిమిషం కోణీయ వడితో భ్రమణం చేసేట్లు దాన్ని తిప్పారు. ఇలా తిరుగుతున్న బల్ల మీద బాలుడు తన చేతులను అతని జఢత్వ భ్రామకం తొలి విలువకు 2/5 వంతులు అయ్యేట్లు ముడిస్తే అతని కోణీయ వడి ఎంత? తిరుగుడు బల్ల ఘర్షణ లేకుండా భ్రమణాలు చేస్తుందని భావించండి.
సాధన:
తొలి కోణీయ వడి, ω₁ = 40 rev/min,
ω₂ = ?
తుది జఢత్వ భ్రామకం, I₂ = \(\frac{2}{5}\)I,
ఈ ప్రక్రియలో బాహ్య టార్క్ పనిచేయకపోతే,
L = స్థిరాంకం

b) బాలుని కొత్త భ్రమణ గతిజశక్తి తొలి గతిజశక్తి కంటే ఎక్కువ అని చూపండి. అతని భ్రమణ గతిజశక్తి పెరుగుదలకు కారణాన్ని వివరించండి.

∴ భ్రమణ K.E పెరుగును. ఇది చేతులను వెనుకకు మడవటంలో పిల్లవానికి అంతరిక శక్తి ఖర్చు అగును.

ప్రశ్న 14.
3kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్తూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్తూపంపై స్లిప్ కాదు అని భావించండి.
సాధన:
M = 3kg, R = 40 cm = 0.4 m
బోలు స్థూపం దాని అక్షం వెంట జఢత్వ భ్రామకం
I = MR² = 3(0.4)² = 0.48 kgm²
ప్రయోగించిన బలం F = 30 N
∴ టార్క్, τ = F × R = 30 × 0.4
= 12 N – m

α కోణీయ త్వరణం అయితే,
అప్పుడు τ = Iα
రేఖీయ త్వరణం, a = Rα
= 0.4 × 25
= 10m/s².

ప్రశ్న 15.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్ను అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమ కోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్ను వ్యతిరేకిస్తుంది.) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
ω = 200 rad/s,
టార్క్ τ = 180 N
సామర్థ్యం p = ?
p = ω
∴ p = 180 × 200
= 36 kw.

ప్రశ్న 16.
R వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మె నుంచి R/2 వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార ముక్కను వేరుచేసి రంధ్రాన్ని చేశారు. రంధ్రం కేంద్రం అసలు దిమ్మె కేంద్రం నుంచి R/2 దూరంలో
ఉంది. ఫలితంగా ఏర్పడిన చదును వస్తువు గరిమనాభి స్థానాన్ని తెలపండి.
సాధన:
డిస్క్ ప్రమాణ వైశాల్యంపై ద్రవ్యరాశి = M
∴ డిస్క్ యదార్థ ద్రవ్యరాశి M = πR² × m

పటంలో, M ద్రవ్యరాశి O వద్ద కేంద్రీకృతమవుతుంది.
మరియు M’ ద్రవ్యరాశి ‘ వద్ద కేంద్రీకృతమవుతుంది.
OO’ = \(\frac{R}{2}\)
M’ ద్రవ్యరాశి వృత్తాకార డిస్క్న తొలగించిన తరువాత, మిగిలిన భాగం రెండు ద్రవ్యరాశుల వ్యవస్థ 0 వద్ద M మరియు -M’గా పరిగణిద్దాం.
O’ వద్ద ద్రవ్యరాశి = \(\frac{-M}{4}\)
మిగిలిన భాగం నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్ర దూరం X అయితే, అప్పుడు

ఋణగుర్తు p, O కు ఎడమవైపు ఉండుటను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 17.
ఒక మీటరు స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తి మొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 5g ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తి మొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:
పుల్ల c (50 cm) వద్ద m ద్రవ్యరాశి కేంద్రీకృత మయినట్లు తీసుకుందాము.
(45 cm)c’ వెంట సమతాస్థితిలో ఉంటే,
10g (45 – 12) = mg(50 – 45)
10 g × 33 = mg × 5
m = \(\frac{10\times33}{5}\)
= 66 gram.

ప్రశ్న 18.
ఒక ఘనగోళం వరుస క్రమంలో, సమాన ఎత్తులున్న రెండు భిన్న వాలు కోణాలున్న వాలు తలాలపై కిందికి దొర్లింది. (a) ప్రతి వాలు తలంపై దొర్లుతూ అడుగు భాగానికి చేరినప్పుడు గోళం సమాన వడి కలిగి ఉంటుందా? (b) ఒక వాలు తలంపై దొర్లడానికి తీసుకునే కాలం, రెండవ దానిపై తీసుకొన్న కాలం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా? (c) అలా అయితే ఏ వాలు తలంపై ఎక్కువ సమయం తీసుకుంటుంది? ఎందుకు?
సాధన:
వాలుతలం అడుగున ఘనగోళం వడి v.
శక్తి నిత్యత్వ సూత్రంను అనువర్తించగా

రెండు సందర్భాలలో h సమానం, v సమానం. తలాల వెంబడి దొర్లుటకు పట్టుకాలాలు సమానం.

ప్రశ్న 19.
2m వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక కంకణం 100 kgల బరువు కలిగి ఉంది. అది ఒక క్షితిజ సమాంతర తలంపై, దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం 20 cm/s వడితో గమనంలో ఉండేటట్లు దొర్లుతున్నది. దీన్ని నిశ్చలస్థితికి తేవడానికి ఎంతపని చేయవలసి ఉంటుంది?
సాధన:
R = 2m, M = 100 kg
v = 20 cm/s = 0.2 m/s
హూప్ మొత్తం శక్తి = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)Iw²
= \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)(MR)² w² = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)mv²
= mv²

హూప న్ను ఆపుటకు కావాల్సిన పని =హూప్ మొత్తం శక్తి
w = mv² = 100(0.2)² = 4 joule.

ప్రశ్న 20.
ఆక్సిజన్ అణువు ద్రవ్యరాశి 5.30 × 10^-26 kg. ఈ అణువులోని పరమాణువులను కలిపే రేఖకు గల మధ్య లంబరేఖ పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకం 1.94 × 10^-46kg m². ఇటువంటి అణువులున్న ఒక వాయువులో అణువు సగటు వడి 500 m/s, అణువు భ్రమణ గతిజశక్తి దాని స్థానాంతరణ గతిజశక్తిలో 2/3 వంతులు ఉన్నది అనుకొంటే అణువు సగటు కోణీయ వేగం ఎంత?
సాధన:
m = 5.30 × 10^-26 kg
I = 1.94 × 10^-46 kgm²
v = 500 m/s
ప్రతి ఆక్సిజన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి \(\frac{m}{2}\). రెండు ఆక్సిజన్ పరమాణువుల మధ్యదూరం 2r

ప్రశ్న 21.
ఒక ఘన స్తూపం 30° వాలు కోణం ఉన్న ఒక వాలు తలంపై కింది నుంచి పైకి దొర్లుతోంది. వాలుతలం కింది అంచువద్ద స్తూపం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వడి 5 m/s.
a) స్తూపం ఎంత దూరం వాలుతలం మీద పైకి దొర్లుతుంది?
b) మళ్ళీ అడుగుకు చేరడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన:
θ = 30°, v = θm/s
స్థూపం వాలుతలంపైకి h ఎత్తుకు చేరినట్లు తీసుకుందాము.

అదనపు అభ్యాసాలు (Additional Exercises)

ప్రశ్న 1.
A వద్ద మడత బందుతో కలిపి రెండు భాగాలున్న ఒక నిచ్చెన పటంలో చూపినట్లు ఉంది. నిచ్చెన భాగాలు BA, CA ల పొడవు 1.6 m. BA, CA ల మధ్య బిందువులకు 0.5 m ల పొడవు ఉన్న ఒక తాడు DE కట్టారు. BA నిచ్చెన భాగానికి B నుంచి 1.2 m దూరంలో F బిందువు వద్ద 40 kg బరువు వేలాడదీశారు. నిచ్చెన భారం ఉపేక్షించదగినదనీ, నిచ్చెనకూ నేలకూ మధ్య ఘర్షణ లేదనీ భావించి, తాడులోని తన్యతనూ, నేల నిచ్చెనపై ప్రయోగించే బలాలనూ కనుక్కోండి. (g = 9.8 m/s²) గా తీసుకోండి.)

(Hint : నిచ్చెన రెండు భాగాలకూ విడివిడిగా సమతాస్థితిని పరిగణించండి.)
సాధన:
దత్తాంశం పూర్తిగా ఇవ్వలేదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక వ్యక్తి తన ప్రతి చేతిలోనూ 5 kg ల బరువును పట్టుకొని, చేతులను క్షితిజ సమాంతరంగా చాచి భ్రమణం చేస్తున్న ఒక వేదిక (ప్లాట్ఫాం)పై దాని కేంద్రం వద్ద నిలబడ్డాడు. ప్లాట్ఫాం కోణీయ వడి 30 భ్రమణాలు / నిమిషం. భ్రమణాక్షం నుంచి చేతిలోని ప్రతి బరువు దూరం 90cm నుంచి 20 cm కు మారేటట్లుగా వ్యక్తి తన చేతులను దేహానికి దగ్గరగా తీసుకువచ్చాడు. ప్లాట్ఫాంతో పాటుగా వ్యక్తి జఢత్వ భ్రామకం స్థిరం అనీ, దాని విలువ 7.6 kg m² అనుకొంటే (a) వ్యక్తి కోణీయ వడి (కొత్త విలువ) ఎంత? (ఘర్షణను ఉపేక్షించండి.)
b) ఈ ప్రక్రియలో గతిజశక్తి నిత్యత్వమౌతుందా? ఒకవేళ నిత్యత్వం కాకపోతే మార్పు ఏ కారణంగా వస్తుంది?
సాధన:
ఇక్కడ l₁ = 7.6 × 2 × 5 (0.9) 2 = 15.7 kgm²
ω₁ = 30 rpm
l₂ = 7.6 + 2 × 5(0.2)² = 8.0 kgm²
ω₂ = ?
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము
l₂ω₂ = l₁ω₁
ω₂ = \(\frac{l_1}{l_2}\)ω₁ = \(\frac{15.7\times30}{8.0}\) = 58.88 rpm.

ఈ ప్రక్రియలో గతిజశక్తి నిత్యత్వం కాదు. వాస్తవంగా జఢత్వ భ్రామకం తగ్గును. భ్రమణ K.E పెరుగును. ఈ మార్పు వ్యక్తి చేతులను అతని శరీరం దగ్గరకు తెచ్చుటలో జరిగిన పనికి సమానం.

ప్రశ్న 3.
10 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక తుపాకి గుండును 500 m/s వేగంతో ఒక తలుపువైపు పేల్చితే అది సరిగ్గా తలుపు కేంద్రం వద్ద దానిలో ఇమిడి పోయింది. తలుపు 1.0 m వెడల్పు, ద్రవ్యరాశి 12 kg కలిగి ఉంది. తలుపు ఒక అంచువద్ద మడత బందులతో, నిట్టనిలువు అక్షం పరంగా ఘర్షణ లేకుండా భ్రమణం చెందగలదు. తుపాకి గుండు తలుపులో ఇమిడిన వెంటనే తలుపు కోణీయ వడిని కనుక్కోండి.
(Hint : తలుపు జఢత్వ భ్రామకం, ఒక అంచు నుంచి పోయే నిట్టనిలువు అక్షం పరంగా ML³/3.)
సాధన:
బుల్లెట్ కోణీయ ద్రవ్యవేగం

ప్రశ్న 4.
వాటివాటి అక్షాల పరంగా (తలాలకు లంబంగా, కేంద్రం నుంచి పోయే) రెండు వృత్తాకార దిమ్మెల జఢత్వ భ్రామకాలు వరుసగా 14,12. 0, 002 కోణీయ వడులతో భ్రమణంలో ఉన్న ఈ దిమ్మెలను వాటి అక్షాలు ఏకీభవించేట్లు వాటి ముఖ తలాలను ఒకదానినొకటి తాకునట్లు ఉంచారు. (a) రెండు దిమ్మెల వ్యవస్థ కోణీయ వడి ఎంత? (b) దిమ్మెల సంయోగ వ్యవస్థ గతిజ శక్తి ఆ రెండు దిమ్మెల తొలి గతిజ శక్తుల మొత్తానికంటే తక్కువగా ఉంటుందని చూపండి. శక్తిలో తరుగుదలకు కారణమేమిటి? (ω₁ ≠ ω₂ అని తీసుకోండి.)
సాధన:
a) రెండు డిస్క్లల మొత్తం తొలి కోణీయ ద్రవ్యవేగం
L₁ = I₁ω₁ + I₂ω₂
ఇచ్చిన షరతులకు లోబడి, రెండు డిస్క్ వ్యవస్థ
జఢత్వభ్రామకం = (I₁ + I₂)
సంయోగ వ్యవస్థ కోణీయ వడి ω, వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం

E₁ > E₂ లేక E₂ < E₁
ఈ ప్రక్రియలో K.Eలో నష్టం కలిగి ఉండును.
శక్తిలో నష్టము = E₁ – E₂.

రెండు డిస్క్లను స్పృశించుటలో ఘర్షణ వల్ల నష్టం కలిగి ఉండును. ఘర్షణ వల్ల టార్క్, ఒక్క ఆంతరిక టార్క్ కోణీయ ద్రవ్యవేగం నిత్యత్వం అగును.

ప్రశ్న 5.
a) లంబాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించండి. (Hint : x −yతలంలో ఉన్న ఒక బిందువు (x, y) దూరం వర్గం, తలానికి లంబంగా మూలబిందువు నుంచి పోయే అక్షం నుంచి x² + y²
b) సమాంతరాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించండి.
(Hint : ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని మూల బిందువుగా తీసుకుంటే ∑m_ir_i = 0).
సాధన:
నిర్వచనం :
ఒక సమతల పటలానికి లంబంగా ఒక బిందువు గుండా పోయే అక్షంపరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకము, అదే బిందువు గుండా పోతూ పరస్పరం లంబంగా ఉన్న అక్షముల పరంగా ఉన్న జఢత్వ భ్రామకాల మొత్తంనకు సమానము.
ie., I_z = I_x + I_y
ఇక్కడ I_z = Z – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
I_x = X – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
I_y = Y – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము

నిరూపణ :
‘m’ ద్రవ్యరాశి గల కణము P వద్ద XOY తలంలో ఉన్నదనుకొనుము.

దీని నిరూపకాలు (x, y). ఈ కణం Y – అక్షం నుండి ‘x’ లంబ దూరంలో, X – అక్షం నుండి ‘y’ లంబదూరంలో, 2 – అక్షం నుండి ‘r’ లంబ దూరంలో ఉన్నదనుకొనుము.
Y – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = mx²
Y – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_y = ∑mx² …………. (1)
X – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = my²
X – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_x = ∑my² …………. (2)
Z – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = mr²
Z – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_z = ∑mr² …………. (3)

పటం నుండి, r² = x² + y²
I_z = Σmr² = Σm (x² + y²) = Σm x² + Σmy²
(1), (2) సమీకరణముల నుండి
I_y = Σmx² ; I_y = Σmy²
I_z = I_y + I_x
∴ I_z = I_x + I_y
∴ లంబాక్ష సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నిర్వచనం :
ఏదైనా అక్షం పరంగా దృఢ వస్తువు యొక్క జఢత్వ భ్రామకము, ఆ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము మరియు దృఢ వస్తు ద్రవ్యరాశి మరియు ఆ రెండు అక్షముల దూర వర్గముల లబ్దానికి సమానం.
I₀ = I_g + Mr²
I_g = ‘O’ గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
M = Σm = వస్తువు ద్రవ్యరాశి
r = అక్షముల మధ్య దూరము
I_G = ‘G’ గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము

నిరూపణ :
వస్తువులో P వద్ద ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల కణమును తీసుకొనుము. PO ను PG లను కలుపవలెను. OG ను కలుపగా వచ్చిన గీతకు లంబంగా P నుండి రేఖ PQను గీయవలెను.

‘O’ గుండా గల అక్షం పరంగా ‘P’ వద్ద కణం జఢత్వ భ్రామకం = m × OP².
‘O’ గుండా గల అక్షం పరంగా కణం యొక్క జఢత్వ భ్రామకం = m × PG².
‘G’ గుండా గల అక్షం పరంగా కణం యొక్క జఢత్వ భ్రామకం = I_G = ∑m. PG²

OPQ త్రిభుజంలో OP² = OQ² + PQ²
OP² = (OG² + GQ²)+ PQ² [∵ OQ = OG + GQ]
OP² = OG² + GQ² + 2OG. GQ + PQ²
OP² = OG² + GP² + 20G.GQ [∵ GQ² + PQ² = GP²]
కానీ I₀ = Σm Op²
I₀ = Σm (OG² + GP² + 2 OG. GQ)
I₀ = Σm (OG² + GP² + 20G. GQ)
I₀ = Σm.OG² +Σm. Gp² + Σm. 20G. GQ
I₀ = Mr² + I_G + Σm. 2.OG. GQ
ఇక్కడ Σm M, OG = r
I_G = Σm PG²
∴ I₀ = I_G + Mr² + 2 OG. Σm. GQ
కాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా వస్తువులోని అన్ని కణాల గురుత్వాకర్షణ బలాల భ్రామకాల బీజీయాల మొత్తం శూన్యం.
కావున Σm. GQ = 0
∴ I₀ = I_G + Mr²

ప్రశ్న 6.
h ఎత్తున్న వాలుతలంపై దొర్లుతున్న వస్తువు (కంకణం, వృత్తాకార దిమ్మె, స్తూపం లేదా గోళం) వాలుతలం అడుగు భాగం చేరినప్పుడు దాని స్థానాంతరణ వేగం υ అయితే

అని గతికశాస్త్ర భావనలు (బలాలూ, టార్క్లూ) ఉపయోగించి నిరూపించండి. వస్తువు సౌష్ఠవాక్షం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్థం k, వస్తువు వ్యాసార్థం R. వస్తువు వాలుతలం పై భాగం నుంచి నిశ్చల స్థితి నుంచి గమనం ప్రారంభించిందని ఊహించండి.
సాధన:
h ఎత్తు గల వాలు తలం క్రింది దిశలో వస్తువు దొర్లుతూ ఉన్నప్పుడు, శక్తి నిత్యత్వసూత్రంను అనువర్తింపచేద్దాము.

ప్రశ్న 7.
ఘర్షణ లేని ఒక బల్లపై ఏ విధమైన తోపుడు లేకుండా, తన అక్షం పరంగా ω₀ కోణీయ వడితో భ్రమణం చెందుతున్న వృత్తాకార బిళ్ళను ఉంచారు. దిమ్మె వ్యాసార్థం R దిమ్మెలోని బిందువులు A, B, C ల రేఖీయ వేగాలు ఎంతెంత ? పటంలో సూచించిన దిశలో దిమ్మె దొర్లుతుందా?

సాధన:
v = rω సంబంధంను ఉపయోగించి,
బిందువుకు, V_A = Rω_o, AX వెంబడి
B బిందువుకు, V_B = Rω_o, BX వెంబడి
C బిందువు, V_C (\(\frac{1}{2}\))ω_o, AXకు సమాంతరంగా

డిస్క్ భ్రమణం చెందదు, కారణం ఘర్షణలేని బల్లపై ఉంచబడింది. ఘర్షణ లేకుండా, దొర్లుడు సాధ్యం కాదు.

ప్రశ్న 8.
పటంలో సూచించిన దిశలో దిమ్మె దొర్లడానికి ఘర్షణ ఎందుకు అవసరమో వివరించండి.
(a) శుద్ద దొర్లుడు గమనానికి ముందు బిందువు B, ఘర్షణ బలం దిశ, ఘర్షణ వల్ల టార్క్ దిశలను ఇవ్వండి.
(b) శుద్ధ దొర్లుడు గమనం ప్రారంభమైన తరువాత ఘర్షణ బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
డిస్క్ దొర్లుటకు, టార్క్ కావాలి, దీనిని స్పర్శియ బలం సమకూరుస్తుంది. ఈ సందర్భంలో ఘర్షణ బలం, స్పర్శీయ బలం మాత్రమే, ఇది అవసరము.
(a) B వద్ద ఘర్షణ బలంను; వేగం ఎడమవైపు వ్యతిరేకించును. ఘర్షణ బలం కుడివైపు పని చేయును. ఘర్షణ టార్క్ డిస్క్ తలంనకు లంబంగా వెలుపల వైపుకు పని చేయును.
(b) B వద్ద ఘర్షణ బలం, Bతో తాకిన తలం బిందువు వద్ద వేగంను తగ్గించును. బిందువు B వేగం సున్నా అయిన తరువాత దొర్లుట మొదలవుతుంది. ఈ స్టేజిలో ఘర్షణ బలం కూడా శూన్యమగును.

ప్రశ్న 9.
10 π rad s^-1 తొలి కోణీయ వడితో భ్రమణం చేస్తున్న ఒక ఘన వృత్తాకార బిళ్ళ, ఒక కంకణం ఏకకాలంలో క్షితిజ సమాంతర బల్లపై ఉంచడం జరిగింది. వాటి వ్యాసార్థాలు 10 cm. ఈ రెండింటిలో ఏది మొదటగా దొర్లడం ప్రారంభిస్తుంది గతిక ఘర్షణ గుణకం µ _k= 0.2.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి కేంద్ర తొలివేగం సున్నా ie, u = ఘర్షణ బలం
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం త్వరణానికి కారణమగును.
μ_k mg = ma ∴ a = µ_k g
v = u + at ∴ v = 0 + μ_kgt

ఘర్షణ వల్ల టార్క్ అపత్వరణానికి కారణం. తొలికోణీయ వడి ω₀.


(vi) మరియు (vii) పోల్చగా, డిస్క్ రింగ్ కన్నా ముందు దొర్లుట ప్రారంభించును.

μ_k, g, R మరియు ω₀ తెలిసిన విలువలను ఉపయోగించి (vi) మరియు (vii) నుండి t విలువలను గణించవచ్చును.

ప్రశ్న 10.
10kg ద్రవ్యరాశి, 15 cm వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక స్తూపం 30° వాలు కోణం ఉన్న ఒక వాలు తలంపై శుద్ధ దొర్లుడు గమనంలో ఉంది. స్థితిక ఘర్షణ గుణకం μ_s = 0.25.
(a) ఎంత ఘర్షణ బలం స్తూపంపై ఉంటుంది?
(b) దొర్లుతూ ఉన్నప్పుడు ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా ఎంతపని జరుగుతుంది?
(c) వాలు కోణం 6 ను పెంచితే ఏ 6 విలువ వద్ద స్తూపం జారుతుంది, గమనం శుద్ధ దొర్లుడు గమనం కాకుండా పోతుంది?
సాధన:
m = 10 kg, r = 15 cm = 0.15 cm
θ = 30°, μ_s = 0.25
వాలుతలం క్రింది దిశలో స్థూపం త్వరణం,

b) దొర్లుతున్నప్పుడు, స్పర్శబిందువు విరామస్థితిలో ఉండును. ఘర్షణబలంనకు వ్యతిరేకంగా జరిగిన పని సున్నా.

c) జారకుండా దొర్లుటకు μ = \(\frac{1}{2}\) tan θ
tan θ = 3μ = 3 × 0.25
θ = 37°

ప్రశ్న 11.
కింద ఇచ్చిన వాక్యాలను జాగ్రత్తగా చదివి, తగిన కారణాలతో అవి ఒప్పో, తప్పో తెలపండి.
(a) దొర్లుడు గమనంలో ఘర్షణ బలం వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర గమన దిశలోనే పని చేస్తుంది.
(b)దొర్లుడు గమనంలో స్పర్శా బిందువు తాక్షణిక వడి శూన్యం.
(c) దొర్లుడు గమనంలో స్పర్శా బిందువు తాక్షణిక త్వరణం శూన్యం.
(d) శుద్ధ దొర్లుడు గమనానికి, ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా చేసిన పని శూన్యం.
(e) ఘర్షణ రహిత వాలు తలం వెంట కిందికి గమనంలో ఉన్న ఒక చక్రం స్లిప్ అవుతుంది. (శుద్ధ దొర్లుడు గమనం కలిగి ఉండదు).
సాధన:
a) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ తప్పు.
b) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ ఒప్పు. దొర్లుతున్నప్పుడు భూమితో స్పృశిస్తున్న బిందువు వడి సున్నా.
c) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ తప్పు. కారణం దొర్లుడు వస్తు క్షణిక త్వరణం సున్నాకాదు.
d) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ ఒప్పు. దీనికి కారణం పరిపూర్ణ దొర్లుడు ఆరంభమయిన, ఘర్షణబలం సున్నా. కావున ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా పని జరుగును.
e) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ ఒప్పు. దొర్లుడుకు అవసరమైన ఘర్షణను, స్పర్శబలం టార్క్ వల్ల ఏర్పరచును. వాలుతలం పరిపూర్ణంగా నున్నగా ఉంటే, దాని భారం వల్ల జారును.

ప్రశ్న 12.
ఒక కణవ్యవస్థ గమనాన్ని – ఆ వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర గమనంగా, ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరమైన గమనంగా విభజించడం.
(a) p = p’_i; + m_i V అని చూపండి.
p_ii వ కణం (m; ద్రవ్యరాశి గల) రేఖీయ ద్రవ్యవేగం p’_i = m_iv’_i. ఇక్కడ v’_i ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపరంగా iవ కణం వేగమని గుర్తించండి. ‘అలాగే ద్రవ్యరాశి కేంద్ర నిర్వచనాన్ని బట్టి ∑P’_i = 0 అని నిరూపించండి.

(b) K = K’ + ½MV² అని చూపండి.
K కణ వ్యవస్థ మొత్తం గతిజశక్తి, K’ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా కణాల వేగాలను తీసుకొంటే వ్యవస్థ మొత్తం గతిజశక్తి, MV²/2 వ్యవస్థను ఏక మొత్తంగా తీసుకొన్నప్పుడు (అంటే వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం) దాని స్థానాంతరణ గతిజశక్తి విభాగం 7.14 లో ఈ ఫలితాన్ని ఉపయోగించాం.

(c) L = L’ + R × MV అని చూపండి.
L’ = ∑r’₁ P’₁, వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా (అంటే కణాల వేగాలను ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా లెక్కిస్తే), r’₁ = r₁ – R అని గుర్తుంచుకోండి. మిగతా సంకేతనాలు (notations) ఈ అధ్యాయంలో ఉపయోగించిన ప్రామాణిక సంకేతనాలే. L’, MR × V లు వరుసగా ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా కణవ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం, వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర ద్రవ్యవేగాలు.

τ_ext = ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపరంగా వ్యవస్థపై గల బాహ్య టార్క్లన్నింటి మొత్తం.
(Hint : ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిర్వచనాన్ని, న్యూటన్ మూడో గమన నియమాన్ని ఉపయోగించండి. రెండు కణాల మధ్య అంతర బలాలు ఆ రెండు కణాలను కలిపే రేఖ వెంబడి ఉంటాయని భావించండి).
సాధన:
a) మూలబిందువు ‘O’ పరంగా, m₁, m₂, …… m_i
ద్రవ్యరాశులు గల కణాల స్థాన సదిశలు \(\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_i}\)1,2, గా తీసుకుందాం.
ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానసదిశ \(\overrightarrow{O P}\)గా తీసుకుంటే

ఇక్కడ మూలబిందువును O’కు మారిస్తే ద్రవ్యరాశి కేంద్రం p’ వద్ద ఉందని ఊహిద్దాం. అప్పుడు

(1) వ సమీకరణాన్ని m; తో గుణించి, ఆ తరువాత
కాలం దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

మూలబిందువు మార్చినప్పటికి ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానంలో
మార్పు ఉండదు. ∴ ∑ P’_i = 0

b) భ్రమణ శుద్ధగతికశాస్త్రం ప్రకారం, కణాల వ్యవస్థ మొత్తం గతిజశక్తి = K.E_T. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా తీసుకున్న వ్యవస్థ కణాల మొత్తం గతిజశక్తి + వ్యవస్థ స్థానాంతరణ గతిజశక్తి

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
0.5 m భుజం ఉన్న ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉన్న మూడు కణాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. కణాల ద్రవ్యరాశులు వరుసగా 100g, 150 g, 200g
సాధన:

పటంలో చూపినట్లు X -, y- అక్షాలను ఎంచుకొంటే సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందువులు 0, A, B ల నిరూపకాలు వరుసగా (0, 0), (0, 5, 0), (0.25,0:25 √3) . 100 g, 150g, 200g ద్రవ్యరాశులు వరుసగా O, A, B ల వద్ద ఉన్నాయనుకొంటే,

ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ( ను పటంలో చూపడమైంది. ఈ బిందువు త్రిభుజం OAB జ్యామితీయ కేంద్రం కాదని గమనించండి.

ప్రశ్న 2.
ఒక త్రిభుజాకార పటలం (lamina) (పలక) ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
భూమి (MN) కి సమాంతరంగా ఉండే సన్నటి పట్టీలుగా పటలం (∆LMN) ను పటంలో చూపినట్లు విభజించ వచ్చు. ప్రతి పట్టీ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, సౌష్టవాన్ని అనుసరించి, పట్టీ మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది. అన్ని పట్టీల మధ్య బిందువులను కలుపుతూ ఒక రేఖను గీస్తే అది త్రిభుజ మధ్యగత రేఖ (median) అవుతుంది. మొత్తం మీద, త్రిభుజ పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఈ మధ్యగత రేఖపై ఉండాలి.

అదే విధంగా ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మధ్యగత రేఖలు MQ, NR లపై ఉంటుందని నిరూపించవచ్చు. అంటే ఈ మధ్యగత రేఖల ఖండన బిందువు వద్ద ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉంటుంది. అంటే త్రిభుజ కేంద్రాభం వద్ద ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉంటుందన్నమాట.

ప్రశ్న 3.
L – ఆకారంలో ఉన్న పల్చని ఏకరీతి పలక (పటలం) ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. దాని కొలతలు పటంలో చూపడమైనది. పలక ద్రవ్యరాశి 3 kg.
సాధన:
పటంలో చూపినట్లు X, Y అక్షాలను తీసుకుంటే L – ఆకారం ఉన్న పటలం శీర్షాలు 0(0, 0), A(2, 0), B(2, 1), D(1, 1), E(1, 2), F(0, 2) అవుతాయి. ఈ పటలాన్ని 1m భుజం ఉన్న మూడు చతుస్రాలుగా భావించ వచ్చు. ఈ చతురస్రాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాలు C₁, C₂, C₃లు సౌష్టవం వల్ల, ఆయా చతురస్రాల జ్యామితీయ కేంద్రాలవుతాయి. వాటి నిరూపకాలు వరుసగా (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) అని తెలుసుకోవచ్చు.

చతురస్రాల ద్రవ్యరాశులు ఈ బిందువుల వద్ద కేంద్రీకృత మైనట్లుగా మనం భావించవచ్చు. ఈ మూడు ద్రవ్యరాశి ‘బిందువుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రమే, మొత్తంగా L. ఆకారం ఉన్న పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం (X, Y) అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
20 kg ద్రవ్యరాశి, 3m పొడవు ఉన్న ఒక నిచ్చెన ఘర్షణలేని ఒక గోడకు వాలి ఉంది. నిచ్చెన కింది కొన నేలపై గోడనుంచి 1 m దూరంలో, (పటంలో చూపినట్లు) గోడ, నేలల ప్రతిచర్య బలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

నిచ్చెన AB పొడవు 3 m, దీని కింద కొన A, గోడ నుంచి AC = 1m దూరంలో ఉంది. పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని అనుసరించి BC = 2√2 m. నిచ్చెనపై బలాలు గరిమనాభి D ద్వారా ఉండే నిచ్చెన భారం W, గోడ, నేలల వల్ల కలిగే ప్రతిచర్య బలాలు వరుసగా F₁, F₂. గోడవల్ల ఘర్షణ లేనందున బలం F₁ గోడకు లంబంగా ఉంటుంది.

బలం F₂ ను రెండు అంశాలుగా, ఒకటి అభిలంబ ప్రతిచర్య N గానూ, రెండవ అంశం ఘర్షణ బలం F గానూ విభజించవచ్చు. బలం F నిచ్చెన గోడ నుంచి దూరంగా జారిపోకుండా నిరోధిస్తుంది. అందువల్ల F దిశ గోడవైపు ఉంటుంది.
స్థానాంతరణ సమతాస్థితి కోసం,
క్షితిజ లంబదిశలో బలాలు తీసుకొంటే
N – W = 0 ………….. (i)
క్షితిజ సమాంతర బలాలు తీసుకొంటే
F – F₁ = 0 ………….. (ii)

భ్రమణ సమతాస్థితి కోసం, A బిందువు పరంగా బల భ్రామకాలను తీసుకొంటే,
2√2 F, – (1/2) W = 0 ………….. (iii)
ఇప్పుడు W = 20 g = 20 ×9.8 N = 196.0 N
(i) నుంచి N 196.0
(iii) నుంచి F₁ = W/ 4√2 = 196.0/4√2
= 34.6 N

(ii) నుంచి F = F₁ = 34.6 N
F2 = \(\sqrt{F^2+N^2}\)\sqrt{F^2+N^2}= 199.0 N

బలం F₂ క్షితిజంతో α కోణం చేస్తుంది.
tan α = N/F = 4√2, α = tan^-1(4√2)>80°

ప్రశ్న 5.
రెండు సదిశలు

ల అదిశ, సదిశా లబ్దాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
ω = ω + αt ను ప్రాథమిక సూత్రాల నుంచి రాబట్టండి.
సాధన:
కోణీయ త్వరణం ఏకరీతిగా ఉంటే,
\(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\) = α = : స్థిరాంకం …….. (i)
ఈ సమీకరణాన్ని సమాకలనం చేయగా,
ω = ∫αdt + c = at + c (α స్థిరాంకం)
t = 0 వద్ద, ω = ω₀ (ఇచ్చారు)
(i) నుంచి t = 0 వద్ద, ω = c = ω₀
ఆ విధంగా, ω = αt + ω₀ అవుతుంది.

ω = \(\frac{d \theta}{dt}\) నిర్వచనంతో పాటు ω = ω₀ + αt ను సమాకలనం చేస్తే θ = θ₀ + ω₀t + αt² మీకై ఒక అభ్యాసంగా వదిలేస్తున్నాం.

ప్రశ్న 7.
ఒక మోటారు చక్రం కోణీయ వడిని 1200 rpm నుంచి 3120 rpm కు 16 సెకన్లలో పెంచారు. (i) కోణీయ త్వరణం స్థిరమని భావించి, కోణీయ త్వరణాన్ని లెక్కించండి. (ii) ఈ సమయంలో ఇంజను ఎన్ని భ్రమణాలు చేస్తుంది?
సాధన:
(i) ω = ω₀ + αt ను ఉపయోగించాలి.
ω₀ = తొలి కోణీయ (వేగం) వడి rad/s

(ii) t కాలం తరువాత కోణీయ స్థానభ్రంశం

ప్రశ్న 8.
బలం (\(7\hat{\mathbf{i}}+3\hat{\mathbf{j}}-5\hat{\mathbf{k}}\)) వల్ల, మూలబిందువు పరంగా టార్క్ను కనుక్కోండి. బలం ప్రయోగించిన కణం స్థానసదిశ \(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}\) [Mar. ’14, ’13; May ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 9.
స్థిర వేగంతో గమనంలో ఉన్న ఒక కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం, ఏ బిందువు పరంగానైనా, దాని గమనమంతటా స్థిరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
ఒకానొక కాలం వద్ద, కణం P బిందువు వద్ద ఉందనీ, దాని వేగం V అనీ అనుకొందాం. ఏదైనా ఒక బిందువు ౦ పరంగా ఆ కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుక్కోవాలని మనం అనుకొంటున్నాం.

కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం l = r × mv. దీని పరిమాణం mvr sin θ. r, v ల మధ్య కోణం θ. కణం స్థానం కాలంతోపాటు మారుతున్నా, వేగం దిశ స్థిరంగా ఉండటం వల్ల OM = r sin θ స్థిరంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
బలభ్రామకాలను ఏ బిందువు పరంగా లెక్కిస్తామో ఆ బిందువు స్థానంపై బలయుగ్మ భ్రామకం ఆధారపడదని చూపండి.
సాధన:

పటంలో చూపినట్లు ఒక దృఢ వస్తువుపై ప్రయోగించిన బలయుగ్మాన్ని ఊహించండి. F, -F బలాలను వరుసగా బిందువులు B, A ల వద్ద ప్రయోగించారు. మూల బిందువు O పరంగా A, Bల స్థానసదిశలు r₁, r₂. మూలబిందువు పరంగా బలభ్రామకాలను లెక్కిద్దాం.

బలయుగ్మభ్రామకం = బలయుగ్మాన్ని ఏర్పరచే బలాల బలభ్రామకాల మొత్తం
= r₁ × (-F) + r₂ × F
= r₂ × F – r₁ × F
= (r₂ − r₁) × F
కాని r₁ + AB = r₂ కాబట్టి AB = r₂ – r₁.

అందువల్ల బలయుగ్మ భ్రామకం AB × F.

ఈ ఫలితం మూలబిందువు స్థానంతో సంబంధం లేకుండా స్వతంత్రంగా ఉంది (ఏ బిందువు పరంగా బలభ్రామకాలను కొలిచామో ఆ స్థానంతో సంబంధం లేదు).

ప్రశ్న 11.
ఒక వృత్తాకార పళ్ళెం (disc) జఢత్వ భ్రామకం, దాని ఏదైనా ఒక వ్యాసం పరంగా ఎంత?

పళ్ళెం తలానికి లంబంగా ఉంటూ, దాని కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకం ఇచ్చినప్పుడు, పళ్ళెం, జఢత్వ భ్రామకాన్ని, దాని వ్యాసం వరంగా కనుక్కోవడం.
సాధన:
పళ్ళెం తలానికి లంబంగా ఉండి, దాని కేంద్రం నుంచి పోయే అక్షం పరంగా పళ్ళెం జఢత్వ భ్రామకం మనకు తెలుసు అనుకొందాం. ఆ విలువ MR²/2, M పళ్ళెం ద్రవ్యరాశి, R దాని వ్యాసార్థం.

పళ్ళెం ఒక పలక వంటిదని భావించవచ్చు. అందువల్ల లంబాక్షాల సిద్ధాంతం ఈ సందర్భంలో అనువర్తనీయం. పటంలో చూపినట్లు మనం మూడు అనుషక్త అక్షాలు, x, y z అక్షాలను • బిందువు ద్వారా పోతున్నాయి అనుకొందాం. x, y – అక్షాలు పళ్ళెం తలంలోనే ఉన్నాయి. z అక్షం పళ్ళెం తలానికి లంబంగా ఉంది. లంబాక్షాల సిద్ధాంతం ప్రకారం
I_z = I_x = I_y

x, y అక్షాలు పళ్ళెం వ్యాసం వెంబడి ఉన్న అక్షాలు; సౌష్ఠవాన్ని అనుసరించి ఏ వ్యాసం పరంగానైనా పళ్ళెం జఢత్వ భ్రామకం సమానంగానే ఉండాలి. అందువల్ల
I_x = I_y
I_z = 2I_x
కాని I_z = MR²/2
అందువల్ల, చివరగా I_x = I_z/2 = MR²/4

ఆ విధంగా పళ్ళెం (ఏదైనా) వ్యాసం పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకం MR²/4.

ప్రశ్న 12.
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న ఒక కడ్డీకి లంబంగా, ఒక కొన ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకం ఎంత?
సాధన:
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి I = Ml² / 12.
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం

2M ద్రవ్యరాశి, 21 పొడవు ఉన్న కడ్డీ మధ్య బిందువు నుంచి పోతూ, పొడవుకు లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకంలో సగం I’ అవ్వడం వల్ల ఈ ఫలితాన్ని స్వతంత్రంగానే సరిచూడవచ్చు.

ప్రశ్న 13.
ఒక కంకణం స్పర్శరేఖ పరంగా కంకణ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కంకణ తలానికి సమాంతరంగా ఉన్న కంకణం స్పర్శరేఖ ఒకానొక కంకణ వ్యాసానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. (పటం). ఈ రెండు సమాంతర అక్షాల మధ్య దూరం, కంకణ వ్యాసార్థం R అవుతుంది.

ప్రశ్న 14.
20 kg ద్రవ్యరాశి, 20 cm వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక గతిపాలక చక్రం అంచువెంట తేలికైన దారం చుట్టడమైంది. వేలాడే దారం చివర ఒక లాగే బలాన్ని 25 N ల పరిమాణం కలది. పటంలో చూపినట్లు ప్రయోగించారు. గతిపాలక చక్రాన్ని క్షితిజ సమాంతర ఇరుసుకు ఘర్షణ లేని బేరింగులతో అమర్చారు.
(a) చక్రీయ కోణీయ త్వరణం లెక్కకట్టండి.
(b) 2m పొడవు దారం విచ్చుకొనేటట్లు లాగడానికి చేయవలసిన పనిని కనుక్కోండి.
(c) (b) లోని స్థితిని చేరడంలో గతిజ శక్తి కనుక్కోండి. చక్రం నిశ్చల స్థితి నుంచి
తిరగటం ప్రారంభించిందని భావించండి.
(d) (b), (c) లోని సమాధానాలను పోల్చండి.
సాధన:

(a) Iα = τ
టార్క్ τ = FR
25 × 0.20 Nm(R = 0.20m)
= 5.0 Nm
I = దాని అక్షం పరంగా గతిపాలక చక్రం జడత్వభ్రామకం = \(\frac{MR^2}{2}\)
= \(\frac{20.0\times(0.2)^2}{2}\)
= 0.4kg m²
α = కోణీయ త్వరణం
= 5.0 Nm/0.4_kg m² 12.5 C^-2
(b) 2m దారం చుట్టు విప్పడానికి జరిగిన పని
= 25 N × 2m = 50 J

(c) తుది కోణీయ వేగం ॥ అనుకొందాం. పొందిన గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω²

నిశ్చల స్థితి నుంచి భ్రమణం ప్రారంభమైనది కాబట్టి ఇప్పుడు
ω₂ = ω²₀ +2αθ, ω₀ = θ
కోణీయ స్థానభ్రంశం θ =
(విచ్చుకున్న దారం పొడవు) / (చక్రం వ్యాసార్థం)
= 2m/0.2 m = 10 rad
ω² = 2 × 12.5 ×10.0 = 250 (rad/s)²

పొందిన గతిజ శక్తి (K.E) = \(\frac{1}{2}\) × 0.4 × 250
= 50 J

(d) రెండింటి సమాధానం ఒకటే, అంటే చక్రం పొందిన గతిజశక్తి = బలం వల్ల జరిగిన పని. ఘర్షణ వల్ల శక్తి నష్టం జరగలేదు.

ప్రశ్న 15.
మూడు వస్తువులు, ఒక కంకణం, ఒక ఘన స్తూపం, ఒక ఘన గోళం, ఒకే వాలుతలంపై స్లిప్ కాకుండా దొర్లుతున్నాయి. అవి అన్నీ నిశ్చల స్థితి నుంచి దొర్లడం ప్రారంభించాయి. అన్నింటి వ్యాసార్థాలూ సమానం. ఏ వస్తువు గరిష్ఠ వేగంతో భూమిని (వాలు తలం కింది అంచును) చేరుతుంది?
సాధన:
దొర్లే వస్తువులకు శక్తి నిత్యత్వ సూత్రం వర్తిస్తుందని భావిద్దాం. అంటే ఘర్షణ వంటి బలాల వల్ల శక్తి నష్టం ఉండదని అనుకొందాం. అందువల్ల వాలుతలం వెంబడి కిందికి దొర్లే వస్తువు స్థితిజశక్తిలో తగ్గుదల (= mgh) వస్తువు గతిజశక్తిలో పెరుగుదలకు సమానం కావాలి (పటంలో చూడండి). వస్తువులు నిశ్చల స్థితి నుంచి బయలుదేరాయి. కాబట్టి అవి పొందిన గతిజశక్తి వాటి తుది గతిజశక్తికి సమానం.


υ² విలువ దొర్లే వస్తువు ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు;
కంకణానికి, k² = R²

పై ఫలితాల నుంచి క్షితిజ తలాన్ని చేరినప్పుడు మూడు వస్తువుల్లోనూ గోళానికి వేగం గరిష్టంగా, కంకణానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వేగం కనిష్టంగా ఉంటుందని తెలుస్తోంది. వస్తువులు సమాన ద్రవ్యరాశి కలిగి ఉన్నాయనుకోండి.

Students can go through AP Inter 1st Year History Notes 2nd Lesson ప్రాచీన నాగరికత – సంస్కృతులు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year History Notes 2nd Lesson ప్రాచీన నాగరికత – సంస్కృతులు

→ ప్రాచీన భారతదేశ చరిత్ర క్రీ.పూ. 4,00,000 – 2,00,000 ల సంవత్సరాల శిలాయుగానికి విస్తరించింది.

→ ప్రాచీన శిలాయుగంలో మానవుడు ఉపయోగించిన పనిముట్లు రాజస్థాన్, గుజరాత్, బీహార్, దక్షిణ భారతదేశాల్లో లభించాయి.

→ కుల్లీ సంస్కృతి ప్రజలు. చిన్నచిన్న రాతిపెట్టెలను చేసి పైన రేఖలతో అలంకరించేవారు.

→ క్రీ.శ. 1921వ సంవత్సరములో మొదటిసారిగా పాకిస్థాన్ లోని పశ్చిమ పంజాబ్లో గల హరప్పా ప్రాంతంలో హరప్పా నాగరికత కనుగొన్నారు.

→ పాకిస్థాన్లోని పంజాబ్లో ఉన్న హరప్పా, సింధూలోని మొహంజోదారోలు రెండూ ప్రధానమైన నగరాలు.

→ హరప్పా లిపిని తొలిసారిగా క్రీ.శ. 1853లో కనుగొన్నారు.

→ సింధూ ప్రజల్లో నాలుగు జాతులు ఉండేవి.

→ హరప్పా ప్రజలు వ్యవసాయాన్ని చేసినప్పటికీ అధికంగా జంతువులను కూడా పోషించారు.

→ హరప్పా ప్రజలు కుమ్మని చక్రాన్ని ఉపయోగించడంలో సిద్ధహస్తులు.

→ క్రీ.శ. 1953వ సంవత్సరంలో సర్ మార్టిమర్ వీలర్ హరప్పా నాగరికత పతనానికి ఆర్యుల దండయాత్రలే కారణం అని కనుగొన్నాడు.

→ ఆర్యులు భారతదేశానికి రావడంతో వేదకాలం ప్రారంభమైనది.

→ ఆర్యులు అనే పదం ‘ఆర్య’ అనే సంస్కృత పదం నుండి ఉద్భవించింది.

→ వేద అనే పదమునకు జ్ఞానం అని అర్థం.

→ వేదాలు నాలుగు అవి.

• ఋగ్వేదం
• యజుర్వేదం
• సామవేదం
• అధర్వణ వేదం

→ తొలి ఆర్యులు ఏడు నదుల ప్రాంతమైన ‘సప్తసింధు’ ప్రాంతంలో నివసించారు.

Students can go through AP Inter 1st Year History Notes 1st Lesson చరిత్ర అంటే ఏమిటి? will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year History Notes 1st Lesson చరిత్ర అంటే ఏమిటి?

→ అనాది కాలం నుండి మానవ కార్యకలాపాలకు చెందిన వివరాలను తెలిపేదే చరిత్ర.

→ ‘చరిత్ర’ అనేది మానవ జీవితానికి సంబంధించిన గతకాల విశ్లేషణ అయినా, అర్థవంతంగా నాటకీయంగా సాగే చరిత్ర అధ్యయనం ఆసక్తిని కలిగిస్తుంది.

→ “జీవితాన్ని గురించి, జీవితం కోసం, జీవితాన్ని ప్రేమించే స్వభావాన్ని కలిగించే చమత్కారాలతో కూడినదే చరిత్ర” అని A.L. రౌజ్ చరిత్రను నిర్వచించాడు.

→ చరిత్ర పితామహుడు హెరొడోటస్ (క్రీ.పూ. 484-430).

→ చరిత్ర విశ్వశక్తిని తెలుసుకొనే సాధనం.

→ చరిత్రకు ఇతర శాస్త్రాలతో సంబంధం కలదు.

→ సాంఘిక శాస్త్రాలకు చరిత్ర మాతృక

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(c)

I.

Question 1.
కింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) cos 100° cos 40° + sin 100° sin 40° [May ’12]
Solution:
cos 100° cos 40° + sin 100° sin 40° = cos(100° – 40°)
= cos 60°
= \(\frac{1}{2}\)

(ii) \(\frac{\cot 55 – \cot 35}{\cot 55+\cot 35}\)
Solution:
\(\frac{\cot 55 – \cot 35}{\cot 55+\cot 35}\) = cot(55° + 35°)
= cot (90°)
= 0

(iii) \(\tan \left[\frac{\pi}{4}+\theta\right] \cdot \tan \left[\frac{\pi}{4}-\theta\right]\)
Solution:
\(\left[\frac{1+\tan A}{1-\tan A}\right]\left[\frac{1-\tan A}{1+\tan A}\right]=1\)

(iv) tan 75° + cot 75°
Solution:
tan 75° + cot 75° = 2 + √3 + 2 – √3 = 4

(v) sin 1140° cos 390° – cos 780° sin 750°
Solution:
sin 1140° cos 390° – cos 780° sin 750°
= sin(3 × 360° + 60°) cos(360° + 30°) – cos(2 × 360° + 60°) sin(2 × 360° + 30°)
= sin 60° . cos 30° – cos 60° . sin 30°
= sin(60° – 30°)
= sin 30°
= \(\frac{1}{2}\)

Question 2.
(i) \(\frac{\sqrt{3} \cos 25+\sin 25}{2}\) ను sine కోణంగా రాయండి.
Solution:
\(\frac{\sqrt{3} \cos 25+\sin 25}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos 25° + \(\frac{1}{2}\) sin 25°
= sin 60° . cos 25° + cos 60° . sin 25°
= sin(60° + 25°)
= sin 85°

(ii) (cos θ – sin θ) ను cosine కోణంగా రాయండి.
Solution:
(cos θ – sin θ)
√2 ని భాగించి, గుణించగా

(iii) sin(θ + α) = cos(θ + α) అయితే, tan θ ను tan α పదాలలో రాయండి.
Solution:
tan θ in term of tan α, if sin(θ + α) = cos(θ + α)
ఇచ్చినది sin(θ + α) = cos(θ + α)
sin θ cos α + cos θ sin α = cos θ cos α – sin θ sin α
cos θ cos α తో భాగించగా
\(\frac{\sin \theta \cos \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}+\frac{\cos \theta \sin \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}\) = \(\frac{\cos \theta \cos \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}-\frac{\sin \theta \sin \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}\)
⇒ tan θ + tan α = 1 – tan θ tan α
⇒ tan θ + tan θ tan α = 1 – tan α
⇒ tan θ (1 + tan α) = 1 – tan α
⇒ tan θ = \(\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}\)

Question 3.
(i) tan θ = \(\frac{\cos 11^{\circ}+\sin 11^{\circ}}{\cos 11^{\circ}-\sin 11^{\circ}}\), θ మూడవ పాదంలో లేని కోణం θ ను కనుక్కోండి.
Solution:
ఇచ్చినది tan θ = \(\frac{\cos 11^{\circ}+\sin 11^{\circ}}{\cos 11^{\circ}-\sin 11^{\circ}}\)
= \(\frac{1+\tan 11^{\circ}}{1-\tan 11^{\circ}}\)
= tan(45° + 11°)
= tan(56°)
= tan(180° + 56°)
= tan 236°
θ = 236°

(ii) 0° < A, B < 90°, అయితే cos A = \(\frac{5}{13}\), sin B = \(\frac{4}{5}\), అయితే sin(A – B) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

(iii) tan 20° + tan 40° + √3 tan 20° tan 40° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
consider 20° + 40° = 60°
tan(20° + 40°) = tan 60°
\(\frac{\tan 20^{\circ}+\tan 40^{\circ}}{1-\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}}\) = √3
tan 20° + tan 40° = √3 – √3 tan 20° tan 40°
tan 20° + tan 40° + √3 tan 20° tan 40° = √3

(iv) tan 56° – tan 11° – tan 56° tan 11° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
consider 56° – 11° = 45°
tan(56° – 11°) = tan 45°
\(\frac{\tan 56^{\circ}-\tan 11^{\circ}}{1+\tan 56^{\circ} \tan 11^{\circ}}\) = 1
tan 56° – tan 11° = 1 + tan 56° tan 11°
tan 56° – tan 11° – tan 56° tan 11° = 1

(v) cos A, cos B, cos C లలో ఏ ఒక్కటీ సున్నా కాకపోతే, \(\sum \frac{\sin (A+B) \sin (A-B)}{\cos ^2 A \cos ^2 B}\) ను గణించండి.
Solution:
\(\sum \frac{\sin (A+B) \sin (A-B)}{\cos ^2 A \cos ^2 B}\)

(vi) sin A, sin B, sin C లలో ఏ ఒక్కటీ సున్నా కాకపోతే, \(\sum \frac{\sin (C-A)}{\sin C \sin A}\) ను గణించండి.
Solution:

Question 4.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) cos 35° + cos 85° + cos 155° = 0
Solution:
cos 35° + cos 85° + cos 155°
= -cos 85° + 2 cos(\(\frac{35+155}{2}\)) cos(\(\frac{35-155}{2}\))
= -cos 85° + 2 cos 85° cos 60°
= -cos 85° + 2 cos 85° (\(\frac{1}{2}\))
= -cos 85° + cos 85°
= 0

(ii) tan 72° = tan 18° + 2 tan 54°
Solution:
cot A – tan A = \(\frac{1}{\tan A}\) – tan A
= \(\frac{1-\tan ^2 \mathrm{~A}}{\tan \mathrm{A}}\)
= \(\frac{2\left(1-\tan ^2 \mathrm{~A}\right)}{2 \tan \mathrm{A}}\)
= \(\frac{2}{\tan 2 A}\)
= 2 cot 2A
cot A = tan A + 2 cot 2A
put A = 18°
cot 18° = tan 18° + 2 cot 36°
cot(90° – 72°) = tan 18° + 2 cot(90° – 54°)
tan 72° = tan 18° + 2 tan 54°

(iii) sin 750° cos 480° + cos 120° cos 60° = \(\frac{-1}{2}\)
Solution:
sin 750° = sin(2 × 360° + 30°)
= sin 30°
= \(\frac{1}{2}\)
cos 480° = cos(360° + 120°)
= cos 120°
= \(\frac{-1}{2}\)
L.H.S. = sin 750° cos 480° + cos 120° cos 60°

(iv) cos A + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) – A) + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) + A) = 0
Solution:
cos A + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) – A) + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) + A)
= cos A + 2 cos \(\frac{4 \pi}{3}\) cos A [∵ cos(A + B) + cos(A – B) = 2 cos A cos B]
= cos A + 2(\(\frac{-1}{2}\)) cos A
= cos A – cos A
= 0

(v) \(\cos ^2 \theta+\cos ^2\left(\frac{2 \pi}{3}+\theta\right)+\cos ^2\left(\frac{2 \pi}{3}-\theta\right)=\frac{3}{2}\)
Solution:

Question 5.
క్రింది వాటిని గణించండి.
(i) \(\sin ^2 82 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 22 \frac{1^{\circ}}{2}\)
Solution:

(ii) \(\cos ^2 112 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 52 \frac{1}{2}\)
Solution:

(iii) \(\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right]-\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right]\)
Solution:
\(\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right]-\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right]\)

(iv) \(\cos ^2 52 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
Solution:

Question 6.
కింది వాటికి కనిష్ఠ, గరిష్ఠ విలువలు కనుక్కోండి.
(i) 3 cos x + 4 sin x
Solution:
a = 4, b = 3, c = 0
కనిష్ట విలువ = \(c-\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}\) = -5
గరిష్ఠ విలువ = \(c+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}\) = 5

(ii) sin 2x – cos 2x
Solution:
a = 1, b = -1, c = 0
కనిష్ట విలువ = \(c-\sqrt{a^2+b^2}=-\sqrt{1+1}\) = -√2
గరిష్ఠ విలువ = \(c+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+1}\) = √2

Question 7.
కింది వాటికి వ్యాప్తి కనుక్కోండి.
(i) 7 cos x – 24 sin x + 5
Solution:
a = 24, b = 7, c = 5

(ii) 13 cos x + 3√3 sin x – 4
Solution:
a = 3√3, b = 13, c = -4

II.

Question 1.
(i) \(\frac{\pi}{2}\) < α < π, 0 < β < \(\frac{\pi}{2}\), cos α = \(\frac{-3}{5}\), sin β = \(\frac{7}{25}\) అయితే tan(α + β), sin(α + β) ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:

(ii) 0 < A < B < \(\frac{\pi}{4}\), sin(A + B) = \(\frac{24}{25}\), cos(A – B) = \(\frac{4}{5}\) అయితే tan 2A విలువను కనుక్కోండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

(iii) A + B, A లు లఘు కోణాలు అవుతూ sin(A + B) = \(\frac{24}{25}\), tan A = \(\frac{3}{4}\) అయితే, cos B విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

(iv) tan α – tan β = m, cot α – cot β = n అయితే, cot(α – β) = \(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\) అని చూపండి.
Solution:
tan α – tan β = m
⇒ \(\frac{1}{\cot \alpha}-\frac{1}{\cot \beta}\) = m

(v) α, β లు ప్రథమ పాదంలోని కోణాలు, tan(α – β) = \(\frac{7}{24}\), tan α = \(\frac{4}{3}\) అయితే, α + β = \(\frac{\pi}{2}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
(i) sin(A + B – C) విస్తరణను కనుక్కోండి.
Solution:
sin(A + B – C)
= sin[(A + B) – C]
= sin(A + B) . cos C – cos(A + B) sin C
= (sin A cos B + cos A sin B) cos C – (cos A cos B – sin A sin B) sin C
= sin A cos B cos C + cos A sin B cos C – cos A cos B sin C + sin A sin B sin C

(ii) cos(A – B – C) విస్తరణను కనుక్కోండి.
Solution:
cos(A – B – C)
= cos{(A – B) – C}
= cos(A – B) cos C + sin(A – B) sin C
= (cos A cos B + sin A sin B) cos C + (sin A cos B – cos A sin B) sin C
= cos A cos B cos C + sin A sin B cos C + sin A cos B sin C – cos A sin B sin C

(iii) ∆ABC లో A గురు కోణం, sin A = \(\frac{3}{5}\), sin B = \(\frac{5}{13}\) అయితే, sin C = \(\frac{16}{65}\) అని చూపండి.
Solution:
ఇచ్చినది sin A = \(\frac{3}{5}\)
cos²A = 1 – sin²A
= 1 – \(\frac{9}{25}\)
= \(\frac{16}{25}\)
cos A = ±\(\frac{4}{5}\)
A గురు కోణం ⇒ 90° < A < 180°
tan A in II quadrant ⇒ cos A is negative
∴ cos A = \(\frac{-4}{5}\)
ఇచ్చినది sin β = \(\frac{5}{13}\)
cos²β = 1 – sin²β
= 1 – \(\frac{25}{169}\)
= \(\frac{144}{169}\)
cos β = ±\(\frac{1}{2}\)
β is acute ⇒ cos b is possible
sin β = \(\frac{12}{13}\)
A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)
sin C = sin(180° – (A + B))
= sin(A + B)
= sin A cos B + cos A sin B
= \(\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right)+\left(\frac{-4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right)\)
= \(\frac{16}{65}\)
∴ sec C = \(\frac{16}{65}\)

(iv) \(\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin (\alpha-\beta)}=\frac{a+b}{a-b}\) అయితే, a tan β = tan α అని చూపండి.
Solution:

III.

Question 1.
(i) A – B = \(\frac{3 \pi}{4}\) అయితే, (1 – tan A) (1 + tan B) = 2 అని చూపండి.
Solution:
A – B = \(\frac{3 \pi}{4}\)
tan(A – B) = tan \(\frac{3 \pi}{4}\)
\(\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}\) = -1
tan A – tan B = -1 – tan A tan B
1 = -tan A + tan B – tan A tan B
2 = 1 – tan A + tan B – tan A tan B
2 = (1 – tan A) – tan B(1 – tan A)
(1 – tan A) (1 – tan B) = 2

(ii) A + B + C = \(\frac{\pi}{2}\), A, B, C లలో ఏ ఒక్కటీ \(\frac{\pi}{2}\) కి బేసి గుణిజం కాకపోతే
(a) cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C అని చూపండి.
(b) tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1 అని చూపి, దాని నుంచి \(\sum \frac{\cos (B+C)}{\cos B \cos C}\) = 2 అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
(i) sin²α + cos²(α + β) + 2 sin α sin β cos(α + β) అనేది α పై ఆధారపడదని చూపండి.
Solution:
sin²α + cos²(α + β) + 2 sin α cos(α + β)
= sin²α + cos(α + β) (cos(α + β) + 2 sin α sin β)
= sin²α + cos(α + β) (cos α cos β – sin α sin β + 2 sin α sin β)
= sin²α + cos(α + β) (cos α cos β + sin α sin β)
= sin²α + cos(α + β) cos(α – β)
= sin²α + cos²β – sin²α
= cos²β

(ii) cos²(α – β) + cos²β – 2 cos(α – β) cos α cos β అనేది β పై ఆధారపడదని చూపండి.
Solution:
cos²(α – β) + cos²β – 2 cos(α – β) cos α cos β
= cos²(α – β) + cos²β – cos(α – β) [cos(α + β) + cos(α – β)]
= cos²(α – β) + cos²β – cos(α – β) cos(α + β) – cos²(α – β)
= cos²β – [cos²β – sin²α]
= cos²β – cos²β + sin²α
= sin²α