Inter 2nd Year

Students can go through AP Inter 2nd Year History Notes 2nd Lesson ప్రపంచ ప్రాచీన నాగరికత – మెసపిటోమియా – వ్రాత విధానం – నగర జీవనం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year History Notes 2nd Lesson ప్రపంచ ప్రాచీన నాగరికత – మెసపిటోమియా – వ్రాత విధానం – నగర జీవనం

→ నాగరికత అనగా మానవ సమాజంలో వచ్చిన మేధాసంపత్తి, సాంస్కృతిక, నిత్యజీవన విధానంలో వచ్చిన అభివృద్ధి, సామాజిక, శాస్త్రీయ విషయాలలో అభివృద్ధితో పాటు సాధించిన, శోధించిన విషయాలను వ్రాత పూర్వకంగా భద్రపరచి రాజకీయ, సామాజిక రంగాలకు ఉపయోగపడేదే నాగరికత.

→ మొదట చిన్న చిన్న సముదాయాలుగా ప్రారంభమైన మానవజీవితం సామాజిక జీవన విధానానికి దారి తీసింది. ఆ విధంగా ఏర్పడిన మానవ సముదాయాలు నాగరిక కేంద్రాలుగా అభివృద్ధి చెందాయి.

→ మెసలిటోమియా – ఈజిప్ట్ నాగరికతలు అక్కాచెల్లెళ్లుగా ప్రసిద్ధి చెందాయి.

→ మెసపిటోమియా అనే పదం గ్రీకు భాషలోని మెసోస్, ‘పోటమస్’ అనే పదాల కలయిక. ఈ పదాలకర్థం రెండు నదుల మధ్యప్రదేశం. ప్రస్తుతం దీని నామం ‘ఇరాక్:

→ క్రీ.పూ. 7000 – 6000 సంవత్సరాల మధ్య మెసపిటోమియాలో వ్యవసాయం ఆరంభమయింది. ఇక్కడి ప్రజలు పశుపోషకులు, గొర్రెలను పెంచేవారు.

→ పురావస్తు శాఖ తవ్వకాలలో ‘ఉర్’ ‘బాబిలోనియా’, ‘అబూసలాబిక్, ‘ఉరుక్’ పట్టణాలు బయల్పడ్డాయి.

→ ‘ఉర్’ పట్టణ నిర్మాణానికి సరి అయిన ప్రణాళిక లేదు.

→ మెసలిటోమియా నాగరికతలో త్రండి సంపాదించిన ఆస్తికి కుమారులు మాత్రమే హక్కుదారులు. కుమార్తెలు కొంత మొత్తం బహుమతి రూపంలో లభించేది తప్ప వారికి ఆస్తి హక్కు లేదు.

→ సుమేరియా, బాబిలోనియా, అక్కాడియన్, అస్సీరియా ప్రజలు స్థానిక దేవతలను పూజించే దేవాలయాలను ‘జిగూరత్’ అనేవారు. ప్రజలు ఈ జిగూరత్లను స్వర్గానికి, భూమికి మధ్య వారధిగా భావించేవారు.

→ ప్రపంచ చరితలో మొదటిసారిగా అక్షరాలు రాసే విధానం, జరిగిన సంఘటనలు, లెక్కలు మొదలైనవి రాయడం ప్రారంభించింది మెసటోమియా ప్రజలని కొందరు చరితకారుల భావన.

→ కీ.పూ 1800 సంవత్సరాల నాటి మట్టి బిళ్ళలు మెసలిటోమియా కాలం నాటి గణితశాస్త్ర పరిశోధనలకు నిదర్శనాలు.

→ మెసపిటోమియా వాసులు నేడు మనం వాడుతున్న కాల నిర్ణయ విధానాన్ని కనుగొన్నారు.

Students can go through AP Inter 2nd Year History Notes 1st Lesson తొలికాలపు మానవ చరిత్ర will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year History Notes 1st Lesson సంచారజాతి సామ్రాజ్యాలు మంగోలులు, చంఘీస్ ఖాన్

→ మతగ్రంథం పేర్కొన్న ప్రకారం మానవులు దేవుడి చేత సృష్టించబడినవారు కాదు. పురావస్తు శాస్త్రవేత్తలు, మానవాకృతి శాస్త్రవేత్తలు, సామాజిక శాస్త్రవేత్తలు, చరిత్రకారులు కలిసి త్రవ్వకాలు జరిపి, పరిశోధనలు చేసి ఈ నిర్ణయానికి వచ్చారు.

→ సామాజిక మానవాకృతి శాస్త్రవేత్తలు మానవుని ఆవిర్భావాన్ని క్రీ.పూ. 5 లేదా 6 మిలియన్ సంవత్సరాలుగా గుర్తించారు.

→ 24 మిలియన్ సంవత్సరాల క్రితం ప్రైమేట్స్లోలో ఒక భాగమైన తోమినాయిడ్స్ ఉద్భవించినట్లు తెలుస్తుంది.

→ ఆస్ట్రలోపిథకస్ అనగా దక్షిణప్రాంత ఏప్ అని అర్థం.

→ దొరికిన అవశేషాలను బట్టి హోమో మానవుడిని మూడు వర్గాలుగా విభజించారు. ఏ ప్రాంతంలో అవశేషాలు దొరికితే ఆ ప్రాంతం పేరు పెట్టడం జరిగింది.

→ ప్రాచీన మానవుడు ఆహార సేకరణ, ఆహారాన్ని పోగుచేయడం, జంతువులను వేటాడడం, చేపలు పట్టడం ద్వారా ఆహారాన్ని సంపాదించుకున్నాడు.

→ వేట అనే ప్రక్రియ దాదాపు 5,00,000 సంవత్సరాల క్రిందటిదిగా ఆధారాలను బట్టి తెలుస్తోంది.

→ దక్షిణ ఫ్రాన్స్ లోని లాజరేత్ గుహాలో 12 × 4 మీటర్ల నివాస స్థలాన్ని ప్రాచీన మానవుడు ఏర్పరుచుకున్నట్లుగా ఆధారాలు లభించాయి.

→ కొన్ని చింపాంజీలు తమ పనిముట్లను తామే తయారుచేసుకునేవని ఇథియోపియా, కెన్యా ప్రాంతాలలో దొరికిన పనిముట్లును బట్టి తెలుస్తోంది.

→ ప్రాచీన మానవుడు సుమారు 35,000 సంవత్సరాల క్రితం నుండి జంతువులను వేటాడి చంపుటకు నూతనంగా ఆయుధాలు తయారుచేసుకున్నాడు.

→ క్రీ.పూ 21,000 సంవత్సరం నాటికే బట్టలు కుట్టే సూదులను ఉపయోగించి బట్టలు కుట్టడం ఆరంభించారు.

→ దాదాపు 40,000 – 35,000 సంవత్సరాల క్రితం చిత్రలేఖనం ఆవిర్భవించింది.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(c)

అభ్యాసం 6(సి)

I. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫x sec² x dx, x ∈ I ⊂ R \ {\(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) ; nపూర్ణాంకం}
సాధన:
∫ x sec² x dx = x (tan x) – ∫ tan x dx
= x tan x – log | sec x | + C

ప్రశ్న 2.
∫e^x(Tan^-1 x + \(\frac{1}{1+x^2}\))dx, x ∈ R.
సాధన:
∫e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x. f(x) + C
f(x) = tan^-1 x so that f'(x) = \(\frac{1}{1+x^2}\)
∴ ∫e^x(tan^-1 x + \(\frac{1}{1+x^2}\))dx = e^x tan^-1 x + C

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{\log x}{x^2}\)dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫(log x)² dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:
∫(log x)² dx = (log x)² x – ∫x. 2 log x . \(\frac{1}{x}\) dx
= x (log x)² – 2∫ log x dx
= x(log x)² – 2(x. log x – ∫x\(\frac{1}{x}\) dx)
= x(log x)² – 2x. log x + 2x + C

ప్రశ్న 5.
∫e^x(sec x + sec x tan x) dx, x ∈ I ⊂ R \ {(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) : n ∈ Z}.
సాధన:
∫e^x(sec x + sec x tan x) dx = e^x. sec x + C
[∫e^x[f(x) + f'(x)] dx = e^xf(x) + C]

ప్రశ్న 6.
∫e^x cos x dx, x ∈ R.
సాధన:
I = ∫e^x cos x dx = e^x sin x – ∫sin x. e^x dx
= e^x. sin x + e^x . cos x – ∫e^x . cos x dx
= e^x(sin x + cos x) – I
2I = e^x(sin x + cos x)
I = \(\frac{e^x}{2}\)(sin x + cos x) + C

ప్రశ్న 7.
∫e^x (sin x + cos x)dx, x ∈ R.
సాధన:
∫e^x (sin x + cos x)dx
f(x) = sin x ⇒ f'(x) = cos x
∴ ∫e^x (sin x + cos x)dx = e^x. sin x + C

ప్రశ్న 8.
∫(tan x + log sec x)e^x dx, x ∈ ((2n – \(\frac{1}{2}\)π, (2n + \(\frac{1}{2}\)π)) n ∈ Z. (May. ’07, Mar. 08)
సాధన:
t = log |sec x| ⇒ dt = \(\frac{1}{\sec x}\). sec x. tan x dx
= tan x dx
∫(tan x + log sec x)e^x dx = e^x. log|sec x| + C

II. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫xⁿ log x dx x ∈ (0, ∞), n వాస్తవ సంఖ్య n ≠ -1.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
∫log (1 + x²) dx, x ∈ R.
సాధన:
∫log (1 + x²) dx
= [log(1 + x²) . x – ∫x \(\frac{1}{1+x^2}\) 2x dx
= x log (1 + x²) – 2∫\(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\) dx
= x log (1 + x²) – 2∫dx + 2∫\(\frac{d x}{1+x^2}\)
= x log (1 + x²) – 2x + 2 tan^-1x + C

ప్రశ్న 3.
∫\(\sqrt{\mathbf{x}}\) log x dx, x ∈ (0, ∞). (TS. Mar. 16)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫\(e^{\sqrt{x}}\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫x² cos x dx, x ∈ R.
సాధన:
∫x² cos x dx = x² (sin x) – ∫ sin x (2x dx)
= x² sin x + 2∫x(-sin x) dx
= x². sin x +2 [x cos x – ∫ cos x dx]
= x² sin x + 2x cos x – 2 sin x + C.

ప్రశ్న 6.
∫x sin²x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫x cos²x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
∫cos \(\sqrt{\mathbf{x}}\) dx, x ∈ R.
సాధన:
x = t² ⇒ dx = 2t dt
I = 2∫t . cos t dt = 2(t sin t – ∫ sin t dt)
= 2(t sin t + cos t) + C
= 2\(\sqrt{x}\)sin \(\sqrt{x}\) + 2 cos \(\sqrt{x}\) + C

ప్రశ్న 9.
∫x sec² 2x, x ∈ R \ {(2nπ + 1)\(\frac{\pi}{4}\) : n ∈ Z}
సాధన:

ప్రశ్న 10.
∫x cot² x dx, x ∈ I ⊂ R {nπ : n ∈ Z}.
సాధన:
∫x cot² x dx
= ∫x(cosec²x – 1) dx
= ∫x cosec²x dx – ∫x dx
= x(-cot x) + ∫cot x dx – \(\frac{x^2}{2}\)
= -x cot x + log |sin x| – \(\frac{x^2}{2}\) + C

ప్రశ్న 11.
∫e^x (tan x + sec² x) dx. x ∈ I ⊂ R \ {(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) : n ∈ Z}.(Mar.’06)
సాధన:
f(x) = tanx ⇒ f'(x) = sec²x dx
I = ∫e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x. f(x) + C
= e^x. tan x + C

ప్రశ్న 12.
∫e^x\(\left(\frac{1+x \log x}{x}\right)\)dx, x ∈ (0, ∞) (Mar. 13)
సాధన:
∫e^x\(\left(\frac{1+x \log x}{x}\right)\) dx = ∫e^x(log x + \(\frac{1}{x}\))dx
= e^x. log x + C

ప్రశ్న 13.
∫e^ax sin bx dx , x ∈ R, a, b ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
∫\(\frac{x e^x}{(x+1)^2}\) dx, x ∈ R \ {-1}
సాధన:

ప్రశ్న 15.
∫\(\frac{d x}{\left(x^2+a^2\right)^2}\), (a > 0), x ∈ R.
సాధన:
x = a tan t ప్రతిక్షేపిస్తే
dx = a sec² t dt అవుతాయి.

ప్రశ్న 16.
∫e^xlog (e2x + 5ex + 6) dx, x ∈ R.
సాధన:
∫e^x log (e^2x + 5e^x + 6)dx
∵ e^2x + 5e^x + 6 = (e^x + 2) (e^x + 3)
= ∫e^x. log ((e^x + 2) (e^x + 3)) dx
= ∫e^x {log (e^x + 2) + log (e^x + 3)} dx
= ∫e^x log (e^x + 2)dx + ∫e^x log (e^x + 3) dx
e^x = t ⇒ e^x dx = dt

ప్రశ్న 17.
∫e^x \(\frac{x+2}{(x+3)^2}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {3}.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
∫cos (log x) dx, x = (0, ∞).
సాధన:
log x = t అయితే
x = e^t
dx = e^t. dt
I = ∫e^t. cos t. dt
= e^t sint – ∫sint. e^t dt
= e^t. sin t + cost. e^t – ∫e^t. cost dt
2I = e^t. (sin t + cos t)
I = \(\frac{e^t}{2}\) (sin t + cos t)
= \(\frac{x}{2}\)[sin (log x) + cos (log x)] + C

III. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫x tan^-1 x dx, x ∈ R. (Mar. 05)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
∫x² tan^-1 x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{\tan ^{-1} x}{x^2}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {0}.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫x cos^-1x dx, x ∈ (-1, 1)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫x² sin^-1x dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:

ప్రశ్న 6.
∫x log (1 + x)dx, x ∈ (-1, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫sin \(\sqrt{x}\) dx, x ∈ (0, ∞)
సాధన:
x = t² ⇒ dx = 2t dt
∫sin \(\sqrt{x}\) dx = 2 ∫ t. sin t dt
= 2(t(-cos t) + ∫cos t dt)
= -2t cos t + 2 sin t
= -2\(\sqrt{x}\) cos \(\sqrt{x}\) + 2 sin \(\sqrt{x}\) + C

ప్రశ్న 8.
∫e^axsin(bx + c)dx, (a, b, c ∈ R, b ≠ 0), x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
∫a^x cos 2x dx, x ∈ R (a > 0, a ≠ 1).
సాధన:

ప్రశ్న 10.
∫tan^-1 \(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {-\(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)}.
సాధన:
x = tan t ⇒ dx = sec² t dt

ప్రశ్న 11.
∫sinh^-1x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
∫cosh^-1x dx, x ∈ [-1, ∞].
సాధన:

ప్రశ్న 13.
∫tanh^-1x dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(b)

అభ్యాసం – 6(బి)

I. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫ e^2x dx, x ∈ R.
సాధన:
∫ e^2x dx = \(\frac{e^{2 x}}{2}\) + C

ప్రశ్న 2.
∫ sin 7x dx, x ∈ R
సాధన:
∫ sin 7x dx = –\(\frac{\cos 7 x}{7}\) + C

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{x}{1+x^2}\) dx, x ∈ R
సాధన:
∫\(\frac{\mathrm{x} \cdot \mathrm{dx}}{1+\mathrm{x}^2}\) = \(\frac{1}{2} \int \frac{2 x d x}{1+x^2}\) = \(\frac{1}{2}\) log (1 + x²) + C

ప్రశ్న 4.
∫2x sin(x² + 1) dx, x ∈ R
సాధన:
∫2x. sin(x² + 1) dx
t = x² + 1 ⇒ dt = 2x dx
∫2x. sin(x² + 1) dx = ∫ sin t dt = – cos t + C
= -cos(x² + 1) + C

ప్రశ్న 5.
∫\(\frac{(\log x)^2}{x}\)dx, x ∈ I ⊂ (0, ∞)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
, x ∈ I ⊂ (0, ∞)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
, x ∈ R.
సాధన:
∫\(\frac{\sin \left(\tan ^{-1} x\right)}{1+x^2}\)dx
t = tan^-1x ⇒ dt = \(\frac{d x}{1+x^2}\)
∫\(\frac{\sin \left(\tan ^{-1} x\right)}{1+x^2}\) dx = ∫sin t dt = – cos t + t
= -cos(tan^-1 x) + C

ప్రశ్న 8.
∫\(\frac{1}{8+2 x^2}\)dx, x ∈ R.
సాధన:
∫\(\frac{1}{8+2 x^2}\)dx = \(\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^2+2^2}\)
= \(\frac{1}{2}\).\(\frac{1}{2}\) tan^-1(\(\frac{x}{2}\)) + C
= \(\frac{1}{4}\) tan^-1(\(\frac{x}{2}\)) + C

ప్రశ్న 9.
∫\(\frac{3 x^2}{1+x^6}\) x, x ∈ R.
సాధన:
∫\(\frac{3 x^2 d x}{1+x^6}\)
t = x³ ⇒ dt = 3x² dt
∫\(\frac{3 x^2 d x}{1+x^6}\) = ∫\(\frac{d t}{1+t^2}\) = tan^-1 (t) + C
= tan^-1(x³) + C

ప్రశ్న 10.
∫\(\frac{2}{\sqrt{25+9 x^2}}\) dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
∫\(\frac{3}{\sqrt{9 x^2-1}}\) dx x ∈ (\(\frac{1}{3}\), ∞)
సాధన:

ప్రశ్న 12.
∫sin m x cos nx dx, x ∈ R, m ≠ n, m, n లు ధన పూర్ణాంకాలు.
సాధన:
∫sin m x cos nx dx = \(\frac{1}{2}\) ∫2 sin m x cos nx dx,
= \(\frac{1}{2}\) ∫(sin m + n)x + sin(m – n)x)dx

ప్రశ్న 13.
∫sin mx sin nx dx, x ∈ R, m ≠ n, m, n లు ధన పూర్ణాంకాలు.
సాధన:
∫sin mx. sin nx dx = \(\frac{1}{2}\)∫2 sin m x.sin nx dx
= \(\frac{1}{2}\)∫cos (m – n)x – cos (m + n)x dx
= \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{\sin (m-n) x}{m-n}\) – \(\frac{\sin (m+n) x}{m+n}\)] + c

ప్రశ్న 14.
∫cos mx cos nx dx, x ∈ R, m ≠ n, m, n లు ధన పూర్ణాంకాలు.
సాధన:
∫cos m n. cos nx dx = \(\frac{1}{2}\)∫2 cos mx.cos nx dx
= \(\frac{1}{2}\) ∫(cos (m + n)x + cos (m – n)x) dx
= \(\frac{1}{2}\) sin (\(\frac{\sin (m+n) x}{m+n}\) + \(\frac{\sin (m-n) x}{m-n}\)) + c

ప్రశ్న 15.
∫ sin x sin 2x. sin 3x dx, x ∈ R.
సాధన:
sin 2x. sin 3x = \(\frac{1}{2}\)(2 sin 3x. sin 2x)
= \(\frac{1}{2}\) (cos x – cos 5x)
sin x sin 2x sin 3x

ప్రశ్న 16.
∫\(\frac{\sin x}{\sin (a+x)}\) dx x ∈ I ⊂ R\ {nπ – a : n ∈ Z}
సాధన:
sin x = sin (a + x − a)
= sin (a + x). cos a – cos (a + x) sin a
∫\(\frac{\sin x}{\sin (a+x)}\) dx = cos a ∫ dx – sin a ∫\(\frac{\cos (a+x)}{\sin (a+x)}\) dx
= x cos a – sin a. log sin (a + x) + c

II. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫(3x – 2)^1/2dx, x ∈ (\(\frac{2}{3}\), ∞)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{1}{7 x+3}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {-\(-\frac{3}{7}\)}
సాధన:
∫\(\frac{1}{7 x+3}\) dx
t = 7x + 3 ⇒ dt = 7 dx
= ∫\(\frac{1}{7 x+3} d x\) dx = \(\frac{1}{7} \int \frac{d t}{t}\)
= \(\frac{1}{7} \log |t|\) + C = \(\frac{1}{7}\) log |7x + 3| + C

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{\log (1+x)}{1+x}\) dx, x ∈ (-1, ∞)
సాధన:
∫\(\frac{\log (1+x)}{1+x}\) dx
t = 1 + x ⇒ dt = dx
∫\(\frac{\log (1+x)}{(1+x)}\) dx = ∫\(\frac{\log t}{t}\). dt = \(\frac{(\log \mathrm{t})^2}{2}\) + C
= \(\frac{1}{2}\)[log (1 + x)]² + C

ప్రశ్న 4.
∫(3x² – 4)x dx, x ∈ R.
సాధన:
∫(3x² – 4)x dx
t = 3x² – 4 ⇒ dt = 6x dx
∫(3x² – 4)x dx = \(\frac{1}{6}\)∫t dt = \(\frac{1}{6}\) . \(\frac{\mathrm{t}^2}{2}\) + C
= \(\frac{\left(3 x^2-4\right)^2}{12}\) + C

ప్రశ్న 5.
∫\(\frac{d x}{\sqrt{1+5 x}}\), x ∈ (-\(\frac{1}{5}\), ∞)
సాధన:
∫\(\frac{d x}{\sqrt{1+5 x}}\)
1 + 5x = t² అనుకొందాము
5dx = 2t dt
dx = \(\frac{2}{5} t d t\)

ప్రశ్న 6.
∫(1 – 2x³)x² dx, x ∈ R.
సాధన:
∫(1 – 2x³)x² dx
t = 1 – 2x³ ⇒ -6x² dx
∫(1 – 2x³)x² dx = –\(-\frac{1}{6} \int \mathrm{t} d t\)
= \(-\frac{1}{6} \cdot \frac{t^2}{2}\) + C
= \(\frac{-\left(1-2 x^3\right)^2}{12}\) + C

ప్రశ్న 7.
∫\(\frac{\sec ^2 x}{(1+\tan x)^3}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {nπ – \(\frac{\pi}{4}\) : n ∈ Z}.
సాధన:
∫\(\frac{\sec ^2 x}{(1+\tan x)^3}\) dx
t = 1 + tan x ⇒ dt = sec² x dx
∫\(\frac{\sec ^2 x}{(1+\tan x)^3}\) dx = ∫\(\frac{d t}{t^3}\) = ∫t^-3 dt
= \(\frac{\mathrm{t}^{-2}}{(-2)}\) + C = \(-\frac{1}{2 t^2}\) + C
= –\(\frac{1}{2(1+\tan x)^2}\) + C

ప్రశ్న 8.
∫x³ sin x⁴ dx, x ∈ R
సాధన:
∫x³. sin x⁴ dx
t = x⁴ ⇒ dt = 4x³ dx
∫x³.sin x⁴ dx = \(\frac{1}{4}\)∫sin t. dt = \(-\frac{1}{4}\) cos t + C
= \(-\frac{1}{4}\). cos x⁴ + C

ప్రశ్న 9.
∫\(\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {2nπ + \(\frac{3 \pi}{2}\) : n ∈ Z}.
సాధన:
∫\(\frac{\cos x d x}{(1+\sin x)^2}\)
t = 1 + sin x ⇒ dt = cos x dx
∫\(\frac{\cos x d x}{(1+\sin x)^2}\) = ∫\(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^2}\) = \(-\frac{1}{t}\) + C
= \(-\frac{1}{1+\sin x}\) + C

ప్రశ్న 10.
∫\(\sqrt[3]{\sin x}\) cos x dx, x ∈ [2nπ, (2n + 1)π], (n ∈ Z).
సాధన:
∫\(\sqrt[3]{\sin x}\) cos x
t = sin x ⇒ dt = cos x dx
∫\(\sqrt[3]{\sin x}\) .cos x dx = ∫\(\sqrt[3]{t}\) . dt
= \(\frac{t^{4 / 3}}{(4 / 3)}\) + C
= \(\frac{3}{4} t^{4 / 3}\) + C
= \(\frac{3}{4}\)(sin x)^4/3 + C

ప్రశ్న 11.
∫2x e^x2dx, x ∈ R
సాధన:
∫2x e^x2dx
t = x² ⇒ dt = 2x dx
∫2x e^x2dt = ∫e^t dt = e^t + C
= e^x2 + C

ప్రశ్న 12.
∫\(\frac{e^{\log x}}{x}\) dx, x ∈ (0, ∞)
సాధన:

ప్రశ్న 13.
∫\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) dx, x ∈ I = (-1, 1). (May. 05)
సాధన:

ప్రశ్న 14.
∫\(\frac{2 x^3}{1+x^8}\)dx, x ∈ R.
సాధన:
t = x⁴ ⇒ dt = 4x³ dx
∫\(\frac{2 x^3}{1+x^8}\) = \(\frac{1}{2} \int \frac{d t}{1+t^2}\) = \(\frac{1}{2}\)tan^-1 t + C
= \(\frac{1}{2}\)tan^-1(x⁴) + C

ప్రశ్న 15.
∫\(\frac{x^8}{1+x^{18}}\)dx, x ∈ R. (A.P. Mar. 16)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
∫\(\frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(x e^x\right)}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {x ∈ R : cos (xe^x) = 0}
సాధన:
t = x. e^x
dt = (x. e^x + e^x) dx = e^x (1 + x)dx
∫\(\frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(x \cdot e^x\right)} d x\) = ∫\(\frac{\mathrm{dt}}{\cos ^2 t}\) = ∫sec² t dt
= tan t + C
= tan (x. e^x) + C

ప్రశ్న 17.
, x ∈ I ⊂ R \ {x ∈ R : a + b cot x = 0}, a, b ∈ R, b ≠ 0.
సాధన:
t = a + b cot x అనుకొనుము.
dt = -b cosec² x dx

ప్రశ్న 18.
∫e^x sin e^x dx, x ∈ R.
సాధన:
t = e^x ⇒ dt = e^x dx
∫e^x.sin e^x dx = ∫sint dt = – cos t + C
= -cos(e^x) + C

ప్రశ్న 19.
∫\(\frac{\sin (\log x)}{x}\) dx, x ∈ (0, ∞)
సాధన:
t = log x ⇒ dt = \(\frac{1}{x} d x\)
∫\(\frac{\sin (\log x)}{x} d x\) = ∫sint dt = – cos t + c
= -cos (log x) + c

ప్రశ్న 20.
∫\(\frac{1}{x \log x}\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:
t = log (log x)
dt = \(\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}\) dx
∫\(\frac{1}{x \log x}\) dx = ∫ dt = t + C = log(log x) + C

ప్రశ్న 21.
∫\(\frac{(1+\log x)^n}{x}\)dx, x ∈ (e^-1, ∞), n ≠ 1.
సాధన:
t = 1 + log x

ప్రశ్న 22.
∫\(\frac{\cos (\log x)}{x}\)dx, x ∈ (0, ∞)
సాధన:
t = log x
dt = \(\frac{1}{x} d x\)
∫\(\frac{\cos (\log x) d x}{x}\) = ∫cos t dt = sin t + C
= sin (log x) + C

ప్రశ్న 23.
∫\(\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 24.
∫\(\frac{2 x+1}{x^2+x+1}\)dx, x ∈ R.
సాధన:
t = x² + x + 1
dt = (2x + 1) dx
∫\(\frac{2 x+1}{x^2+x+1}\) dx = \(\int \frac{d t}{t}\)
= log |t| + C
= log |x² + x + 1| + C

ప్రశ్న 25.
∫\(\frac{a x^{n-1}}{b x^n+c}\)dx, n ∈ N, a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు b ≠ 0, x ∈ I ⊂ {x ∈ R : xⁿ ≠ –\(\frac{c}{b}\)}
సాధన:
t = bxⁿ + C
dt = nbx^n-1dx

ప్రశ్న 26.
∫\(\frac{1}{x \log x[\log (\log x)]}\)dx, x ∈ (1, ∞). (Mar. 11)
సాధన:
t = log (log x)
dt = \(\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} d x\)
∫\(\frac{1}{x \log x[\log (\log x)]}\)dx = ∫\(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}\)
= log |t| + C
= log |log (log x)| + C

ప్రశ్న 27.
∫coth x dx = x ∈ R.
సాధన:
t = sinh x ⇒ dt = cosh x dx
∫coth x dx = \(\int \frac{d t}{t}\) = log |t| + C
= log |sinh x| + C

ప్రశ్న 28.
∫\(\frac{1}{\sqrt{1-4 x^2}}\)dx, x ∈ \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 29.
∫\(\frac{d x}{\sqrt{25+x^2}}\), x ∈ R
సాధన:
∫\(\frac{d x}{\sqrt{x^2+25}}\) = ∫\(\frac{d x}{\sqrt{x^2+5^2}}\)
= sinh^-1 \(\left(\frac{x}{5}\right)\) + C

ప్రశ్న 30.
∫\(\frac{1}{(x+3) \sqrt{x+2}}\) dx, x ∈ I ⊂ (-2, ∞)
సాధన:
x + 2 = t²
dx = 2t dt
∫\(\frac{d x}{(x+3) \sqrt{x+2}}\) = ∫\(\frac{2 t d t}{t\left(t^2+1\right)}\)
= 2 ∫\(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^2+1}\)
= 2tan^-1(t) + C
= 2tan^-1\((\sqrt{x+2})\) + C

ప్రశ్న 31.
∫\(\frac{1}{1+\sin 2 x}\) dx
x ∈ I ⊂ R \ {\(\frac{n \pi}{2}\) + (-1)ⁿ\(\frac{\pi}{4}\) : n ∈ Z}
సాధన:

ప్రశ్న 32.
∫\(\frac{x^2+1}{x^4+1}\)dx, x ∈ R.
సాధన:
\(\int \frac{x^2+1}{x^4+1} d x\)
లవ హారాలను x² తో భాగించగా

ప్రశ్న 33.

సాధన:
∫\(\frac{d x}{\cos ^2 x+\sin 2 x}\)
లవ హారాలను cos² x తో భాగించగా

ప్రశ్న 34.
∫\(\sqrt{1-\sin 2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ [2nπ – \(\frac{3 \pi}{4}\) + \(\frac{\pi}{4}\)], n ∈ Z.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
∫\(\sqrt{1+\cos 2 x}\)dx, x ∈ I ⊂ [2nπ – \(\frac{\pi}{2}\), 2nπ + \(\frac{\pi}{2}\)], n ∈ Z.
సాధన:
∫\(\sqrt{1+\cos 2 x}\) dx = ∫\(\sqrt{2 \cos ^2 x}\) dx
= \(\sqrt{2} \int \cos x d x\)
= \(\sqrt{2}\) sin x + C

ప్రశ్న 36.
∫\(\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{1+\sin 2 x}} d x\), x ∈ I ⊂ (2nπ – \(\frac{\pi}{4}\), 2nπ + \(\frac{3 \pi}{4}\)), n ∈ Z
సాధన:

ప్రశ్న 37.
∫\(\frac{\sin 2 x}{(a+b \cos x)^2} d x\), x ∈ x ∈ R, |a| > |b| అయితే {x ∈ I { x ∈ R : a + b cos x ≠ 0}, |a| < |b| అయితే.
సాధన:
a + b cos x = t ⇒ cos x = \(\frac{\mathrm{t}-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\)
అయితే b(-sin x) dx = dt
⇒ sin x dx = \(\frac{-1}{b} d t\)

ప్రశ్న 38.
∫\(\frac{\sec x}{(\sec x+\tan x)^2}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ ({a + nπ : n ∈ Z ∪ {b + nπ : n ∈ Z}).
సాధన:
sec x + tan x = t ప్రతిక్షేపిస్తే
(sec x tan x + sec² x) dx = dt అవుతుంది.
sec x (sec x + tan x) dx = dt

ప్రశ్న 39.
∫\(\frac{d x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cdot \cos ^2 x}\) x ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0.
సాధన:

ప్రశ్న 40.
∫\(\frac{d x}{\sin (x-a) \sin (x-b)}\), x ∈ I ⊂ R \ ({a + nπ : n ∈ Z} ∪ {b + nπ : n ∈ Z})
సాధన:

ప్రశ్న 41.
∫\(\frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ ({a + \(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) : n ∈ Z} ∪ {b + (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) : n ∈ Z})
సాధన:

III. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫\(\frac{\sin 2 x}{a \cos ^2 x+b \sin ^2 x}\), x ∈ I ⊂ R \ {x ∈ R | a cos²x + b sin²x = 0}.
సాధన:
t = a cos² x + b sin² x
⇒ dt = (a (2cos x) (-sin x) + b(2 sin x cos x))dx
= sin 2x (b – a) dx
sin 2x. dx = \(\frac{1}{(b-a)}\)dt

ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {nπ – \(\frac{\pi}{4}\) : n ∈ Z}.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{\cot (\log x)}{x}\)dx, x ∈ I ⊂ (0, ∞) \ {e^nπ : n ∈ Z} (Mar. 05)
సాధన:
t = log x ⇒ dt = \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\)
∫\(\frac{\cot (\log x)}{x}\)dx = ∫cos t dt = log(sin t) + C
= log |sin (log x)| + C

ప్రశ్న 4.
∫e^x . cot e^x dx, x ∈ I ⊂ R \ {log nπ : n ∈ Z}.
సాధన:
t = e^x ⇒ dt = e^x dx
∫e^x. cot e^x dx = ∫cot t dt = log |(sin t)| + C
= log (sin e^x) + c

ప్రశ్న 5.
∫sec(tan x)sec²x dx, x ∈ I ⊂ {x ∈ E : ఏ k ∈ Z కైనా tan x ≠ \(\frac{(2 k+1) \pi}{2}\)} , ఇక్కడ E = R/ {\(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) : n ∈ Z}.
సాధన:
t = tan x dt = sec² x dx
∫ sec (tan x) sec² x dx = ∫ sec t. dt
= log tan (\(\frac{\pi}{4}\) + \(\frac{t}{2}\)) + C
= log(tan(\(\frac{\pi}{4}\) + \(\frac{\tan x}{2}\))) + C

ప్రశ్న 6.
∫\(\sqrt{\sin x}\) cos x dx, x ∈ [2nπ, (2n + 1)π], (n ∈ Z).
సాధన:
t = sin x ⇒ dt = cos x dx
∫\(\sqrt{\sin x}\). cos x dx = ∫\(\sqrt{t} d t\) = \(\frac{2}{3}\) t^3/2 + C
= \(\frac{2}{3}\)(sin x)^3/2 + C

ప్రశ్న 7.
∫tan⁴ sec²x dx, x ∈ I ⊂ R \ {\(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) : n ∈ Z}.
సాధన:
x = tan x ⇒ dt = sec² x dx
∫tan⁴ x . sec² x dx = ∫t⁴ dt
= \(\frac{t^5}{5}\) + C = \(\frac{\tan ^5 x}{5}\) + C

ప్రశ్న 8.
∫\(\frac{2 x+3}{\sqrt{x^2+3 x-4}}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ [-4, 1].
సాధన:
t = x² + 3x – 4
dt = (2x + 3) dx
∫\(\frac{2 x+3}{\sqrt{x^2+3 x-4}}\) = ∫\(\frac{\mathrm{dt}}{\sqrt{\mathrm{t}}}\) = 2\(\sqrt{t}\) + C
= 2\(\sqrt{x^2+3 x-4}\) + C

ప్రశ్న 9.
∫cosec² x\(\sqrt{\cot x}\) dx, x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right]\)
సాధన:
t = cot x = dt = -cosec² x dx
∫cosec² x\(\sqrt{\cot }\) x dx = – ∫\(\sqrt{t}\) dt
= \(-\frac{2}{3} t \sqrt{t}\) + C
= \(-\frac{2}{3}\) cot(x)^3/2 + C

ప్రశ్న 10.
∫sec x log (sec x + tan x) dx, x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\))
సాధన:
t = log (sec x + tan x)
dt = \(\frac{\left(\sec x \cdot \tan x+\sec ^2 x\right) d x}{(\sec x+\tan x)}\)
= sec x dx
∫sec x log (sec x + tan x) dx = ∫t dt
= \(\frac{\mathrm{t}^2}{2}\) + C
= \(\frac{(\log (\sec x+\tan x))^2}{2}\) + C

ప్రశ్న 11.
∫sin³x dx, x ∈ R.
సాధన:
sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x
sin³ x = \(\frac{1}{4}\)(3 sin x – sin 3x)
∫sin³x dx = \(\frac{3}{4}\)∫sin x – \(\frac{1}{4}\)∫sin 3x dx
= –\(\frac{3}{4}\)cos x + \(\frac{1}{12}\) cos 3x + C
= \(\frac{1}{12}\)(cos 3x – 9 cos x) + C

ప్రశ్న 12.
∫cos³x dx, x ∈ R.
సాధన:
cos 3x = 4 cos³ x – 3 cos x
cos³ x = \(\frac{1}{4}\)(3 cos x + cos 3x)
∫cos³x dx = \(\frac{3}{4}\)∫cos x dx + \(\frac{1}{4}\)∫cos 3x dx
= \(\frac{3}{4}\)sin x + \(\frac{1}{12}\) sin 3x + C
= \(\frac{1}{12}\)(9 sin x + sin 3x) + C

ప్రశ్న 13.
∫cos x cos 2x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
∫cos x cos 3x dx, x ∈ R.
సాధన:
cos 3x cos x = \(\frac{1}{2}\)(2cos 3x . cos x)
= \(\frac{1}{2}\)(cos 4x + cos 2x)
∫cos x cos 3x dx = \(\frac{1}{2}\)∫cos 4x dx + \(\frac{1}{2}\)∫cos 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)(\(\frac{\sin 4 x}{4}\) + \(\frac{\sin 2 x}{2}\)) + C
= \(\frac{1}{8}\)(sin 4x + 2 sin 2x) + C

ప్రశ్న 15.
∫cos⁴x dx, x ∈ R.
సాధన:
cos⁴x = (cos²x)² = \(\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right)^2\)
= \(\frac{1}{4}\)(1 + 2 cos 2x + cos² 2x)
= \(\frac{1}{4}\)(1 + 2 cos 2x + \(\frac{1+\cos 4 x}{2}\))
= \(\frac{1}{8}\)(2 + 4 cos 2x + 1 + cos 4x)
= \(\frac{1}{8}\)(3 + 4 cos 2x + cos 4x)
= \(\frac{1}{8}\)(3∫dx + 4∫cos 2x dx + ∫cos 4x dx)
= \(\frac{1}{8}\)(3x + 4\(\frac{\sin 2 x}{2}\) + \(\frac{\sin 4 x}{4}\)) + C
= \(\frac{1}{32}\)(12x + 8 sin 2x + sin 4x) + C

ప్రశ్న 16.
∫x \(\sqrt{4 x+3}\) dx, x ∈ \(\left(-\frac{3}{4}, \infty\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 17.
∫\(\frac{d x}{\sqrt{a^2-(b+c x)^2}}\), x ∈ I ⊂ {x ∈ R : |b + c x| < a}, a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు c ≠ 0, a > 0.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
∫\(\frac{d x}{a^2+(b+c x)^2}\), x ∈ R, a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు c ≠ 0, a > 0.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
∫\(\frac{d x}{1+e^x}\), x ∈ R
సాధన:

ప్రశ్న 20.
∫\(\frac{x^2}{(a+b x)^2}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {-\(\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\)}, a, b లు వాస్తవ సంఖ్యలు b ≠ 0.
సాధన:
t = a + bx అనుకోండి
dt = b dx ⇒ dx = \(\frac{1}{b}\) . dt

ప్రశ్న 21.
∫\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x}}\)dx, x ∈ (-∞, 1).
సాధన:
1 – x = t²
-dx = 2t dt
∫\(\frac{x^2}{\sqrt{1-\dot{x}}}\)dx = ∫(1 – t²)². \(\frac{-2 \mathrm{t}}{\mathrm{t}} \mathrm{dt}\)
= -2∫(1 – 2t² + t⁴)dt
= -2(t – \(\frac{2}{3} t^3\) + \(\frac{t^5}{5}\)) + C
= -2(\(\sqrt{1-x}\) – \(\frac{2}{3}\)(1 – x)^3/2 + \(\frac{1}{5}\)(1 – x)^5/2) + C

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(a)

అభ్యాసం – 6(ఎ)

I. కింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
∫ (x³ – 2x² + 3)dx, x ∈ R.
సాధన:
∫ x³ – 2x² + 3) dx = \(\frac{x^4}{4}\) – \(\frac{2}{3} x^3\) + 3x + c

ప్రశ్న 2.
∫ 2x \(\sqrt{x}\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:
∫ 2x \(\sqrt{x}\) dx = 2∫x^3/2 dx = \(\frac{2 x^{5 / 2}}{(5 / 2)}\) + c
= \(\frac{4}{5} x^{5 / 2}\) + c

ప్రశ్న 3.
∫\(\sqrt[3]{2 x^2} d x\), x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫ \(\frac{x^2+3 x-1}{2 x}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {0}.
సాధన:
∫ \(\frac{x^2+3 x-1}{2 x} d x\)

ప్రశ్న 5.
∫ \(\frac{1-\sqrt{x}}{x} d x\), x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 6.
∫ \(\left(1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}\right) d x\), x ∈ I ⊂ R \ {0}.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫ (x + \(\frac{4}{1+x^2}\)) dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
∫ (e^x – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{\sqrt{x^2-1}}\))dx, x ∈ I ⊂ R \ [-1, 1]
సాధన:

ప్రశ్న 9.
∫ (\(\frac{1}{1-x^2}\) + \(\frac{1}{1+x^2}\))dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:

ప్రశ్న 10.
∫ (\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) + \(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}\))dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:

ప్రశ్న 11.
∫ e^{log(1 + tan2x)} dx, I ⊂ R \ {\(\frac{(2n+1) \pi}{2}\) : n ∈ Z}.
సాధన:
∫ e^{log(1 + tan2x)} dx = ∫ e^{log sec2} dx
∫ sec²x dx = tan x + c

ప్రశ్న 12.
∫ \(\frac{\sin ^2 x}{1+\cos 2 x}\)dx, I ⊂ R \ {(2n ± 1)π : n ∈ Z}.
సాధన:

II. క్రింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫ (1 – x²)³dx, x ∈ (- 1, 1)
సాధన:
∫(1 – x²)³ dx = ∫(1 – 3x² + 3x⁴ – x⁶) dx
= x – x³ + \(\frac{3}{5}\)x⁵ – \(\frac{x^7}{7}\) + c

ప్రశ్న 2.
∫ \(\left(\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}+\frac{1}{3 x^2}\right)\) dx, x ∈ (0, ∞)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
∫ \(\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x}\right)^2\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫ \(\frac{(3 x+1)^2}{2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {0}.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫ \(\left(\frac{2 x-1}{3 \sqrt{x}}\right)^2\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:
∫ \(\left(\frac{(2 x-1)}{3 \sqrt{x}}\right)^2\) dx = ∫ \(\frac{4 x^2-4 x+1}{9 x}\) dx

ప్రశ్న 6.
∫ (\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) + \(\frac{2}{\sqrt{x^2-1}}\) – \(\frac{3}{2 x^2}\)) dx, x ∈ (1, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫ (sec² x – cos x + x²) dx, x ∈ I ⊂ R / {\(\frac{n \pi}{2}\) : n ఒక బేసి పూర్ణాంకం}
సాధన:
∫ (sec² x – cos x + x²) dx.
= ∫ sec² x dx – ∫ cos x dx + ∫x² dx
= tan x – sin x + \(\frac{x^3}{3}\) + C

ప్రశ్న 8.
∫ (sec x tan x + \(\frac{3}{x}\) – 4)dx, x ∈ I ⊂ R / ({\(\frac{\mathbf{n} \pi}{2}\) : n ఒక బేసి పూర్ణాంకం} ∪ {0}).
సాధన:
∫ (sec x tan x + \(\frac{3}{x}\) – 4) dx
= ∫sec x tan x dx + 3 ∫ \(\frac{d x}{x}\) – 4∫dx
= sec x + 3 log |x| – 4x + C

ప్రశ్న 9.
∫ (\(\sqrt{x}\) – \(\frac{2}{1-x^2}\)) dx, x ∈ (0, 1).
సాధన:
∫ (\(\sqrt{x}\) – \(\frac{2}{1-x^2}\)) dx = ∫\(\sqrt{x}\) dx – 2∫\(\frac{d x}{1-x^2}\)
= \(\frac{x^{3 / 2}}{\left(\frac{3}{2}\right)}\) – 2 tanh^-1 + C
= \(\frac{2}{3} x \sqrt{x}\) – 2 tanh^-1x + C

ప్రశ్న 10.
∫ (x³ – cos x + \(\frac{4}{\sqrt{x^2+1}}\)) dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
∫(cosh x + \(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)) dx, x ∈ R
సాధన:

ప్రశ్న 12.
∫(sinh x + \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)^{\frac{1}{2}}}\)) dx, x ∈ I ⊂ R \ {nπ : n ∈ Z} (Mar. 13)
సాధన:

ప్రశ్న 13.
∫ \(\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^x b^x}\) dx, (a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1), x ∈ R.
సాధన:
∫ \(\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^x \cdot b^x} d x\) = x + C
= ∫ \(\frac{a^{2 x}+b^{2 x}-2 a^x b^x}{a^x \cdot b^x}\) dx

ప్రశ్న 14.
∫sec²x cosec² x dx, x ∈ I ⊂ R \ ({nπ : n ∈ Z} ∪ {(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) : n ∈ Z}) (Mar., May 07) (T.S. Mar. 16)
సాధన:
∫sec²x cosec² x dx

ప్రశ్న 15.
∫\(\frac{1+\cos ^2 x}{1-\cos 2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {nπ : n ∈ Z} (Mar. 13)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
∫\(\sqrt{1-\cos 2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ [2nπ, (2n + 1)π], n ∈ Z. (May 06)
సాధన:
∫\(\sqrt{1-\cos 2 x} d x[latex] = ∫[latex]\sqrt{2}\) sin x dx
= –\(\sqrt{2}\) cos x + C

ప్రశ్న 17.
\(\frac{1}{\cosh x+\sinh x} d x\) dx, x ∈ R. (A.P. Mar. 16)
సాధన:

ప్రశ్న 18.
∫\(\frac{1}{1+\cos x}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {(2n + 1)π : n ∈ Z}.
సాధన:

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(d)

అభ్యాసం 6(డి)

I. కింది సమాకలనులను సాధించండి

ప్రశ్న 1.
∫\(\frac{1}{\sqrt{2 x-3 x^2+1}}\)dx
సాధన:

ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{\sin \theta}{\sqrt{2-\cos ^2 \theta}}\) dθ
సాధన:

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{\cos x}{\sin ^2 x+4 \sin x+5}\) dx (Mar. 07)
సాధన:
t = sin x ⇒ dt = cos x dx
I = ∫\(\frac{d t}{t^2+4 t+5}\) = ∫\(\frac{d t}{(t+2)^2+1}\)
= tan^-1(t + 2) + C
= tan^-1(sin x + 2) + C

ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{d x}{1+\cos ^2 x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫\(\frac{d x}{2 \sin ^2 x+3 \cos ^2 x}\)
సాధన:
∫\(\frac{d x}{2 \sin ^2 x+3 \cos ^2 x}\) = ∫\(\frac{\sec ^2 x d x}{2 \tan ^2 x+3}\)
t = tan x ⇒ dt = sec²x dx

ప్రశ్న 6.
∫\(\frac{1}{1+\tan x}\) dx
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫\(\frac{1}{1-\cot x}\) dx
సాధన:

II. కింది సమాకలనులను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
∫\(\sqrt{1+3 x-x^2}\) dx (May ’11)
సాధన:
∫\(\sqrt{1+3 x-x^2}\) = ∫\(\sqrt{1-\left(x^2-3 x\right)}\) dx

ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{9 \cos x-\sin x}{4 \sin x+5 \cos x} d x\) (Mar. 08)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} d x\)
సాధన:
2 cos x + 3 sin x = A(4 cos x + 5 sin x) + B(-4 sin x + 5 cós x) అనుకొండి.
sin x, cos x గుణకాలను సమానం చేయండి
4A + 5B = 2
5A – 4B = 3

= \(\frac{23}{41}\)x – \(\frac{2}{41}\). log |4 cos x + 5 sin x| + C

ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{1}{1+\sin x+\cos x}\)dx
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫\(\frac{1}{3 x^2+x+1}\)dx
సాధన:

ప్రశ్న 6.
∫\(\frac{d x}{\sqrt{5-2 x^2+4 x}}\)
సాధన:
5 – 2x² + 4x

III. కింది సమాకనులను గణించండి

ప్రశ్న 1.
∫\(\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\) dx
సాధన:

ప్రశ్న 2.
∫(6x + 5)\(\sqrt{6-2 x^2+x}\) dx (May 06)
సాధన:
6x + 5 = A(1 – 4x) + B అనుకొండి
x గుణకాలను సమానం చేయండి
6 = -4A ⇒ A = \(\frac{-3}{2}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయండి.
A + B = 5
B = 5 – A = 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{d x}{4+5 \sin x}\) (Mar. 05)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{1}{2-3 \cos 2 x}\) dx
సాధన:
t = tan x ⇒ dt = sec² x dx
= (1 + tan²x) dx
= (1 + t²) dx
dx = \(\frac{d t}{1+t^2}\)

ప్రశ్న 5.
∫x \(\sqrt{1+x-x^2}\) dx
సాధన:
x = A(1 – 2x) + B అనుకుందాం
x గుణకాలు సమానం చేయండి
1 = -2A ⇒ A = –\(\frac{1}{2}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయండి
0 = A + B ⇒ B = -A = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 6.
∫\(\frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\) (May 05)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫\(\frac{d x}{4 \cos x+3 \sin x}\) (Mar. 06)
సాధన:

ప్రశ్న 8.
∫\(\frac{1}{\sin x+\sqrt{3} \cos x}\) dx
సాధన:

ప్రశ్న 9.
∫\(\frac{d x}{5+4 \cos 2 x}\) (Mar. 11)
సాధన:
t = tan x ⇒ dt = sec²x dx

ప్రశ్న 10.
∫\(\frac{2 \sin x+3 \cos x+4}{3 \sin x+4 \cos x+5}\) dx (Mar. 11) (A.P.Mar. 17) (A.P.Mar. 16) (T.S.Mar. 16)
సాధన:
2 sin x + 3 cos x + 4 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B(3 cos x – 4 sin x) + C అనుకో౦డి.
sin x, గుణకాలు సమానం చేయు 3A – 4B = 2
cos x, గుణకాలు సమానం చేయు 4A + 3B = 2


(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
I = \(\frac{18}{25}\) . x + \(\frac{1}{25}\) log |3 sin x + 4 cos x + 5| – \(\frac{4}{5\left(3+\tan \frac{x}{2}\right)}\) + C

ప్రశ్న 11.
∫\(\sqrt{\frac{5-x}{x-2}}\)dx, x ∈ (2, 5)
సాధన:

సజాతీయ పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
-2A = -1 ⇒ A = \(\frac{1}{2}\)
7A + B = 5

ప్రశ్న 12.
∫\(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\) dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:

ప్రశ్న 13.
∫\(\frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\), x ∈ (-1, 3).
సాధన:

ప్రశ్న 14.
∫\(\frac{d x}{(x+2) \sqrt{x+1}}\), x ∈ (-1, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 15.
∫\(\frac{d x}{(2 x+3) \sqrt{x+2}}\), x ∈ I ⊂ (-2, ∞) \ \(\left\{\frac{-3}{2}\right\}\).
సాధన:
x + 2 = t² ⇒ dx = 2t dt మరియు
2x + 3 = 2(t² – 2) + 3 = 2t² – 1

ప్రశ్న 16.
∫\(\frac{1}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^2}}\) dx, x ∈ (0, 1).
సాధన:
∫\(\frac{1}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^2}}\) dx
ప్రతిక్షేపించగా x = t² ⇒ dx = 2t dt

ప్రశ్న 17.
∫\(\frac{d x}{(x+1) \sqrt{2 x^2+3 x+1}}\), x ∈ I ⊂ R \ [-1, \(\frac{-1}{2}\)]
సాధన:

ప్రశ్న 18.
∫\(\sqrt{e^x-4}\) dx, x ∈ [log_e 4, ∞)
సాధన:

ప్రశ్న 19.

సాధన:

ప్రశ్న 20.
∫\(\frac{d x}{1+x^4}\), x ∈ R.
సాధన:

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 12th Lesson వికిరణం, ద్రవ్యాల ద్వంద్వ స్వభావం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 12th Lesson వికిరణం, ద్రవ్యాల ద్వంద్వ స్వభావం

→ కాథోడ్ కిరణాలు ఎలక్ట్రాన్లను కలిగి ఉండును. ఇవి రుణాత్మక ఆవేశ కణాలు.

→ J.J. థామ్సన్ ఎలక్ట్రాను కనుగొన్నాడు.

→ విశిష్టావేశం : ఆవేశం మరియు ద్రవ్యరాశికి గల నిష్పత్తిని విశిష్టావేశం అంటారు.
విశిష్టావేశం = e/m.S.I. పద్ధతిలో ప్రమాణం కులూంబ్/కి.గ్రా.

→ ఎలక్ట్రాన్ వోల్ట్ : ఒక ఎలక్ట్రాన్ 1 వోల్ట్ పొటెన్షియల్ తేడా గల బిందువుల మధ్య ఎలక్ట్రాన్ త్వరణం చెందినపుడు పొందు గతిజశక్తిని ఎలక్ట్రాన్ వోల్ట్ అంటారు.
1 ev = 1.6 × 10^-19 J.

→ విద్యుత్ క్షేత్రం వల్ల ఎలక్ట్రాన్పై బలం F = Ee.

→ అయస్కాంత క్షేత్రంనకు లంబంగా చలించే ఎలక్ట్రాన్పై బలం F

→ ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశంను మిల్లికాన్ ఖచ్చితంగా నిర్ధారించారు.

→ ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం e = 1.6 × 10^-19 C మరియు ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి m = 9.1 × 10^-31 kg.

→ ఒక ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రంలో గురుత్వాకర్షణ వలన స్వేచ్ఛగా క్రిందికి పడే ఆవేశపూరితమైన తైల బిందువు. చలనంను అధ్యయనం చేసి మిల్లికాన్ ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశంను కనుగొన్నాడు.

→ లోహతలంపై తగినంత పౌనఃపున్యం ఉన్న వికిరణం పతనమయినపుడు, ఆ తలం నుంచి ఎలక్ట్రాన్లు ఉద్గారమవుతాయి. ఈ దృగ్విషయంను కాంతి విద్యుత్ ఫలితం అంటారు.

→ ఉద్గార ఎలక్ట్రాన్లను ఫోటో ఎలక్ట్రాన్లు అంటారు.

→ ఎలక్ట్రాన్లను ఉద్గారించు లోహాలను కాంతి లోహాలు అంటారు.
ఉదా : లిథియం, సోడియం, పొటాషియం.

→ నిరోధక పొటెన్షియల్ : ఎలక్ట్రాన్ నిరోధక పొటెన్షియల్ V అయితే, ఎలక్ట్రాన్ శక్తి Ve.
నిరోధక పొటెన్షియల్ పతన కిరణ తీవ్రతపై ఆధారపడదు.

→ క్వాంటం శక్తి E = hv = \(\frac{\mathrm{hc}}{\lambda}\)

→ ఐన్స్టీన్ ఫోటో విద్యుత్ ఫలిత సమీకరణము, hv = \(\frac{1}{2}\)mv² + Φ₀

→ ఫోటో విద్యుత్ ఘటాలు, ఫోటో విద్యుత్ ఫలిత అనువర్తనాలు.

→ కాంతి గుణకారి చాలా బలహీన కాంతి సంకేతాలను వృద్ధిపరచు సాధనం.

→ వేగంగా చలించే ఎలక్ట్రాన్లను లోహాలు ఆకస్మికంగా ఆపితే X-కిరణాల ఉత్పత్తి మరియు హెచ్చు ఉష్ణం వెలువడును.

→ లోహ తలం నుండి ఎలక్ట్రాన్ తప్పించుకుని బయటకు రావటానికి కావల్సిన కనీస శక్తిని, పని ప్రమేయం (Φ₀) అంటారు.

→ ప్లాటినమ్ పని ప్రమేయము ఎక్కువ (Φ₀ = 5.65 eV). సీజియంకు తక్కువ (Φ₀ = 2.14 eV).

→ ఒక లోహ ఉపరితలంపై తగినంత పౌనఃపున్యం ఉన్న కాంతి పతనం అయితే, ఎలక్ట్రాన్లు ఉద్గారమగును. ఈ వెలువడిన ఎలక్ట్రాన్లను ఫోటో ఎలక్ట్రాన్లు అంటారు. ఈ ప్రక్రియను కాంతి విద్యుత్ ఉద్గారం అంటారు.

→ లోహ ఉపరితలం నుంచి ఎలక్ట్రాన్ బయటకు రావడానికి పతన వికిరణానికి ఉండవలసిన కనీస పౌనః పున్యాన్ని ఆరంభ పౌనఃపున్యం (v₀) అంటారు.

→ హైసన్ బర్గ్ అనిశ్చితత్వ సూత్రం : “ఒకే సమయంలో ఖచ్చితంగా, ఒక ఎలక్ట్రాన్ స్థానం మరియు ద్రవ్యవేగంను కొలుచుట అసాధ్యం i.e. Δx Δp = h.

→ నిరోధక పొటెన్షియల్ మరియు గరిష్ట గతిజ శక్తుల మధ్య సంబంధం ev₀ = \(\frac{1}{2}\)mV_max² లేక V₀ ∞ mV_max²

→ శక్తి, E = hv = \(\frac{\mathrm{hc}}{\lambda}\)

→ ద్రవ్యవేగం, P = \(\frac{\mathrm{hv}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{h}}{\lambda}\)

→ ఐన్ స్టీన్ ఫోటో విద్యుత్ సమీకరణము
hv = hv₀ + = mv_max²; \(\frac{1}{2}\) = W + \(\frac{1}{2}\)mυ_max²

→ తరంగదైర్ఘ్యం λ = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{mv}}\)

→ ద్రవ్యరాశి చలనంలో, m = \(\frac{\mathrm{m}_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{\mathrm{c}^2}}}\)

→ λ = \(\frac{12.27}{\sqrt{\mathrm{V}}}\)nm

→ λ = \(\frac{h}{p}=\frac{h}{m v}=\frac{h}{\sqrt{2 m E}}=\frac{h}{\sqrt{2 m e V}}\)

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 11th Lesson విద్యుదయస్కాంత తరంగాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 11th Lesson విద్యుదయస్కాంత తరంగాలు

→ విద్యుత్ వలయంలో కొంత భాగంలో కాలంతో పాటు విద్యుత్ ప్రవాహంలో మార్పురేటు వల్ల జనించే విద్యుత్ను స్థానభ్రంశ విద్యుత్ ప్రవాహం అంటారు.

→ విద్యుదయస్కాంత తరంగాలలో విద్యుత్ మరియు అయస్కాంతక్షేత్రాలు పరస్పరం లంబంగా కాలంతో మారుతూ తరంగ ప్రసార దిశకు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి.

→ విద్యుదయస్కాంత తరంగాలను సైద్ధాంతికంగా మాక్స్వెల్ గుర్తించాడు.

→ ఆంపియర్ వలయనియమాన్ని మాక్స్వెల్ సవరించాడు.

→ మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు స్థిరవిద్యుత్ గాస్ నియమం, అయస్కాంతత్వములో గాన్ నియమం, విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణలో ఫారడే నియమం మరియు ఆంపియర్ వలయనియమం.

→ హెర్ట్ మరియు కొందరు సైంటిస్టులు ప్రయోగ పూర్వకంగా విద్యుదయస్కాంత తరంగాలను ఉత్పత్తి చేసి, అధ్యయనం చేశారు.

→ విద్యుదయస్కాంత తరంగాలు తిర్యక్ స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

→ విద్యుదయస్కాంత తరంగాల వేగం, కాంతి వేగానికి సమానం.

→ త్వరణం చెందే ఆవేశాలు విద్యుదయస్కాంత తరంగాలను జనింపజేస్తాయి.

→ విద్యుదయస్కాంత తరంగాల పౌనఃపున్యము (లేదా) తరంగదైర్ఘ్య మొత్తం అవధిని విద్యుదయస్కాంత వర్ణపటం అంటారు.

→ స్థానభ్రంశ విద్యుత్ (i_D) = ε₀\(\frac{\mathrm{d} \phi_{\mathrm{E}}}{\mathrm{dt}}\)

→ ఆంపియర్ వలయ నియమం, \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}} \ell\) = μ₀(i₀ + ε₀ \(\frac{\mathrm{d} \phi_{\mathrm{E}}}{\mathrm{dt}}\))

→ మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు

• \(\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ds}}\) = q/ε₀ (స్థిరవిద్యుత్ గాస్ నియమం.)
• \(\oint \vec{B} \cdot \overrightarrow{d s}\) = 0 (అయస్కాంతత్వములో గాస్ నియమం.)
• \(\int \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} \ell}=\frac{-\mathrm{d} \phi_{\mathrm{B}}}{\mathrm{dt}}\) (విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణలో ఫారడే నియమం.)
• \(\int \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} \ell}\) = μ₀ (i₀ + ε₀\(\frac{\mathrm{d} \phi_{\mathrm{E}}}{\mathrm{dt}}\))

→ కాంతి వేగము (C) = \(\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\) = 3 × 10⁸ m/s

→ వక్రీభవన గుణకం (μ) = \(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}}=\sqrt{\frac{\mathrm{i} \varepsilon}{\mathrm{i}_0 \varepsilon_0}}\)

→ విద్యుత్ క్షేత్రం యొక్క శక్తి సాంద్రత (U_E) = \(\frac{1}{2}\)ε₀E²

→ అయస్కాంతక్షేత్రం యొక్క శక్తి సాంద్రత (U_B) = \(\frac{\mathrm{B}^2}{2 \mu_0^2}\)

→ పాయింటింగ్ సదిశ \((\overrightarrow{\mathrm{P}})=\frac{1}{\mu_0}(\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\)

→ విద్యుదయస్కాంత తరంగాల తీవ్రత (I) = \(\frac{1}{2}\)ε₀CE₀²

→ పీడనం (P)

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 10th Lesson ఏకాంతర విద్యుత్ ప్రవాహం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 10th Lesson ఏకాంతర విద్యుత్ ప్రవాహం

→ ఏకాంతర విద్యుత్ ప్రవాహం అనగా కాలంతోపాటు పరిమాణం మారుతూ మరియు ఆవర్తనంగా దిశ మారుతుంది.

→ A.C యొక్క సగటు విలువ (లేదా) సరాసరి విలువ నిలకడ విద్యుత్ ప్రవాహానికి సమానం. అదే వలయంలో, అదే కాలంలో ఏకాంతర విద్యుత్ ప్రవాహము, అంటే మొత్తం ఆవేశాన్ని అందిస్తుంది.

→ ఒక పూర్తి భ్రమణం (లేదా) ఆవర్తనంలో తక్షణ ప్రవాహ వర్గాల సరాసరి విలువ వర్గ మూలాన్నిms. విలువ అంటారు.

→ నిరోధం గుండా a.c నింపినప్పుడు వోల్టేజి, విద్యుత్ ప్రవాహము ఒకే దశలో ఉంటాయి.

→ ప్రేరకం గుండా a.c ని పంపినప్పుడు, విద్యుత్ ప్రవాహంకన్నా వోల్టేజి \(\frac{\pi}{2}\) (లేదా) 90° ముందుంటుంది.

→ కెపాసిటర్గుండా a.c ని పంపినప్పుడు, విద్యుత్ ప్రవాహంకన్నా వోల్టేజి \(\frac{\pi}{2}\) (లేదా) 90′

→ ప్రేరకంగుండా a.c ని పంపినప్పుడు కలిగే నిరోధాన్ని ప్రేరకత్వ నిరోధము అంటారు. కెపాసిటర్గుండా a.c ని పంపినప్పుడు కలిగే నిరోధాన్ని కెపాసిటివ్ రియాక్టెన్స్ అంటారు. a.c వలయంలో ఓమిక్ నిరోధము వల్ల సామర్థ్య నష్టం జరుగుతుంది.

→ శుద్ధ ప్రేరక (లేదా) శుద్ధ కెపాసిటర్ వలయంలో సామర్థ్య కారకం ఉంటుంది.

→ పరివర్తకం అన్యొన్య ప్రేరకతపై ఆధారపడుతుంది.

→ పరివర్తకం a.c లో పనిచేస్తుంది మరియు d.c. లో పనిచేయదు.

→ ఏకాంతర అల్ప వోల్టేజి (అధిక విద్యుత్) నుండి అధిక వోల్టేజి (అల్ప విద్యుత్) కు మార్చుటకు పరివర్తకంను ఉపయోగిస్తారు.

→ తక్షణ వోల్టేజి మరియు తక్షణ విద్యుత్ ప్రవాహా లబ్ధమును తక్షణ సామర్థ్యం అంటారు.

→ ప్రేరకం (లేదా) కెపాసిటర్ వద్ద వోల్టేజికి, అనువర్తిత వోల్టేజికి గల నిష్పత్తిని Q-కారకం అంటారు.

→ అనునాద కోణీయ పౌనఃపున్యానికి, పట్టీ వెడల్పుకుగల నిష్పత్తిని అనునాద నైశిత్యం అంటారు.

→ వేష్టన చుట్టను ఉపయోగించి విద్యుత్ సామర్థ్యం నష్టం లేకుండా a.c ని నియంత్రిస్తుంది.

→ జనరేటర్లు మరియు మోటార్లలో నివేశనం మరియు నిర్గమనాలు తారమారవుతాయి.

→ మోటార్ విద్యుత్ శక్తి నివేశనం మరియు యాంత్రికశక్తి నిర్గమనం.

→ జనరేటర్లో యాంత్రికశక్తి నివేశనం మరియు విద్యుత్ శక్తి నిర్గమనం.

→ ఏకాంతర విద్యుత్ ప్రవాహం మరియు వోల్టేజి i = i_m sin ot మరియు υ = v₀ sin ot

→ V_rms = \(\frac{V_m}{\sqrt{2}}\) మరియు i_rms = \(\frac{\mathrm{i}_0}{\sqrt{2}}\)

→ ఇండక్టివ్ రియాక్టెన్స్ (X_L) = ωL

→ కెపాసిటివ్ రియాక్టెన్స్ (X_C) = \(\frac{1}{\omega \mathrm{C}}\)

→ అవరోధము (Z) = \(\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}-\omega L\right)^2}=\sqrt{R^2+\left(X_C-X_L\right)^2}\)

→ Φ = tan^-1\(\left(\frac{\frac{1}{\omega C}-\omega L}{R}\right)\) = tan^-1\(\left[\frac{\mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathbf{X}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{R}}\right]\)

→ f₀ = \(\frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}\)

→ Q- కారకం = \(\frac{\omega_0 \mathrm{~L}}{\mathrm{R}}=\frac{1}{\omega_0 \mathrm{CR}}\)

→ సగటు సామర్థ్యం (p) = V_rms × I_rms × cos Φ

→ పరివర్తకం నిష్పత్తి = \(\frac{N_s}{N_p}=\frac{V_s}{V_p}\)

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 9th Lesson విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 9th Lesson విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ

→ మారే అయస్కాంత క్షేత్రము, విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని జనింపచేస్తుంది.

→ వాహకంలో మొత్తం బలరేఖల సంఖ్యను అయస్కాంత అభివాహం అంటారు.

→ ఫారడే ప్రయోగాల ద్వారా విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ దృగ్విషయం ఆవిష్కరించబడినది.

→ తీగచుట్టలో అయస్కాంత అభివాహం మారితే, దానిలో విద్యుచ్ఛాలక బలం ప్రేరితమవుతుంది.

→ ప్రేరిత విద్యుచ్ఛాలక బలం, అయస్కాంత అభివాహంలో మార్పు రేటుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

→ లెంజ్ నియమం ప్రకారం ప్రేరిత వి.చా.బ దిశ ఎల్లప్పుడూ అధిగమించడానికి ఉపయోగపడిన దానిని వ్యతిరేకిస్తుంది.

→ మారు ప్రవాహాలు (లేదా) ఫోకాల్ట్ ప్రవాహాలు, వాహకంను మారే అయస్కాంత క్షేత్రంలో ఉంచినప్పుడు . ప్రేరితమయ్యే విద్యుత్ ప్రవాహం.

→ ఎడ్జీ ప్రవాహాలు ప్రాయోగిక అనువర్తనాలలో మరియు అవసరంలేని ప్రభావాలలో ఉపయోగిస్తారు.

→ నిరోధాల పెట్టెలలో స్వయం ప్రేరణను తొలగించడానికి ప్రేరకతలేని తీగచుట్టలను వాడతారు.

→ తీగ ప్రేరకంలాగా పనిచేయదు. అందుకు కారణం విస్మరించదగిన అడ్డుకోత వైశాల్యం గల తీగలో అయస్కాంత అభివాహం సున్నా

→ తీగచుట్టలాగా తీగను చుట్టితే, అది ప్రేరకం వలె పనిచేస్తుంది.

→ సాలినాయిడ్ పొడవు, దాని అడ్డుకోత వైశాల్యంతో పోల్చితే చాలా ఎక్కువ.

→ విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ నియమాలు :

• తీగచుట్టలో అయస్కాంత అభివాహం మారితే, వలయంలో విద్యుచ్ఛాలక బలం జనిస్తుంది.
• వలయంలో వి.చా.బ పరిమాణం, అయస్కాంత అభివాహంలో మార్పు రేటుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

→ తీగచుట్టలో విద్యుత్ ప్రవాహము మారితే, అయస్కాంత అభివాహం మారి, దానిలో ప్రేరిత వి.చా.బ. జనిస్తుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని స్వయంప్రేరణ అంటారు.

→ ఒక తీగచుట్టలో విద్యుత్ ప్రవాహము మారితే, అయస్కాంత అభివాహం మారి, మరొక తీగచుట్టలో వి.చా.బ. ప్రేరితమవుతుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని అన్యోన్య ప్రేరణ అంటారు.

→ అయస్కాంత అభివాహం (Φ_B) = B.A = BA cos θ

→ ε = \(\frac{-\mathrm{d} \phi_{\mathrm{B}}}{\mathrm{dt}}\)

→ ε = -N\(\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{dt}}\)

→ చలన వి.చా.బ. (ε) = Blυ.

→ ε = – L\(\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}\)

→ ε = -M₁₂\(\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}\)

→ అయస్కాంత క్షేత్రంలో నిల్వ ఉన్న శక్తి (u) = \(\frac{1}{2}\)LI₀²

→ సాలినాయిడ్ యొక్క స్వయం ప్రేరకత (L) = μ₀n²Al

→ రెండు పొడవైన సాలినాయిడ్ల యొక్క అన్యోన్య ప్రేరకత (M) = μ₀n¹n²Al

→ తక్షణ ప్రేరిత వి.చా.బ (ε) = NBAω sin ωt.

→ F= q\((\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B})\)

→ సామర్థ్యము (p) = \(\frac{\mathrm{B}^2 l^2 v^2}{\mathrm{r}}\)

→ NΦ = LI.

→ NΦ = MI.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(b)

అభ్యాసం – 3(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
y² = 6x పరావలయానికి ధనాత్మక నాభి లంబాగ్రం వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(a, 2a) కాని 4a = 6 ⇒ a = \(\frac{3}{2}\)
(\(\frac{3}{2}\), 3)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము yy₁ = 2a (x + x₁)
yy₁ = 3(x + x₁)
3y = 3(x + \(\frac{3}{2}\))
2y – 2x – 3 = 0 స్పర్శరేఖ సమీకరణము
స్పర్శరేఖ వాలు 1
అభిలంబరేఖ వాలు – 1
అభిలంబరేఖ సమీకరణం y – 3 = -1(x – \(\frac{3}{2}\))
2x + 2y – 9 = 0

ప్రశ్న 2.
x² – 4x 8y + 12 = 0 పరావలయంపై (4, \(\frac{3}{2}\)) వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(x – 2)² – 4 – 8y + 12 = 0
⇒ (x – 2)² – 8y + 8 = 0
⇒ (x – 2)² = 8(y – 1); 4a = 8 ⇒ a = 2
(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
(x – 2) (x₁ – 2) = 2a (y – 1 + y₁ – 1)
⇒ (x – 2) (4 – 2) = 2a (y – 1+ \(\frac{3}{2}\) – 1)
⇒ 2(x – 2) = 4\(\left(\frac{2 y-1}{2}\right)\)
x – 2y – 1 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = m(x – x₁) అనుకుందాం.
m – అభిలంబరేఖ వాలు
స్పర్శరేఖ వాలు \(\frac{1}{2}\)
అభిలంబ రేఖ వాలు – 2
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – \(\frac{3}{2}\) = -2(x – 4)
2y – 3 = – 4x + 16
4x + 2y – 19 = 0

ప్రశ్న 3.
y² = 6x పరావలయానికి 2y = 5x + k స్పర్శరేఖ అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
దత్తరేఖ 2y = 5x + k

ప్రశ్న 4.
y² = 4x పరావలయానికి y – 2x + 5 = 0 రేఖకు సమాంతరంగా గల అభిలంబ రేఖసమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన: ప
రావలయము సమీకరణము y² = 4x
∴ a = 1
దత్తరేఖ సమీకరణము y – 2x + 5 = 0.
వాలు m = 2
అభిలంబ రేఖ y – 2x + 5 = 0 కు సమాంతరము
అభిలంబరేఖ వాలు = 2
రేఖా సమీకరణము ‘t’ వద్ద అభిలంబ
y + tx = 2at + at³
∴ Slope = -t = 2
⇒ t = -2
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – 2x = 2.1 (-2) + 1(-2)
= -4 – 8 = -12
2x – y – 12 = 0.

ప్రశ్న 5.
y² = 16x పరావలయానికి 2x – y + 2 = 0 స్పర్శరేఖ అవుతుంది అని చూపి, స్పర్శబిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ 2x – y + 2 = 0
⇒ y = 2x + 2
y = mx + c తో పోల్చగా m = 2, c = 2
y² = 16x ను y² = 4ax తో పోల్చగా
4a = 16 ⇒ a = 4
\(\frac{a}{m}=\frac{4}{2}\) = 2 = c
∴ స్పర్శబిందువు = \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{2^2}, \frac{2(4)}{2}\right)\)
= (1, 4)

ప్రశ్న 6.
y² = 16x పరావలయానికి, X- అక్షంతో 60° కోణం చేసే స్వర్శలేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. స్వర్శ బిందువును కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
θ = 60°; m = tan 60° = \(\sqrt{3}\)
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
y = \(\sqrt{3x}\) + \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{3y}\) = 3x + 4
స్పర్శబిందువు = \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{3}, \frac{8}{\sqrt{3}}\right)\)

II.

ప్రశ్న 1.
y² = 16x పరావలయానికి సరళరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే, లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. స్పర్శ బిందువులు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 16x
స్పర్శరేఖ 2x – y + 5 = 0కు సమాంతరం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + c
స్పర్శరేఖ నియమము c = \(\frac{a}{m}=\frac{4}{2}\) = 2
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + 2
2x + y + 2 = 0
స్పర్శ బిందువు \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{4} ; \frac{8}{2}\right)\) = (1, 4)
లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m’ = –\(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{2}\)
లంబంగా ఉన్న స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = m’x + c’
= (-\(\frac{1}{2}\)) x + c’
c’ = \(\frac{a}{m^{\prime}}=\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = – 8
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{2}\) x – 8
2y = -x – 16
x + 2y + 16 = 0
స్పర్శ బిందువు \(\left(\frac{a}{m^{\prime^2}}, \frac{2 a}{m^{\prime}}\right)\)
= \(\left(\frac{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}, \frac{8}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\)
= (16, -16).

ప్రశ్న 2.
y² = 4ax పరావలయానికి lx + my + n = 0 అభిలంబరేఖ అయితే al³ + 2alm² + nm² = 0 అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 4ax
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y + tx = 2at + at³
tx + y – (2at + at³) = 0 ………….. (1)
దత్తరేఖ సమీకరణము
lx + my + n = 0 ………. (2)
(1), (2) ఒకేరేఖను సూచిస్తున్నాయి.
గుణకాలను పోల్చగా

m³ తో గుణించగా
-nm² = 2al m² + al³
⇒ al³ + 2alm² + nm² = 0

ప్రశ్న 3.
వృత్తం x² + y² = 2a², పరావలయం y² = 8ax లకు ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు y = ± (x + 2a) అని చూపండి. [Mar. ’06]
సాధన:
పరావలయ స్పర్శరేఖ సమీకరణము y² = 8ax,
y = mx + \(\frac{2 a}{m}\)
m²x – my + 2a = 0 ……………… (1)
(1) రేఖ x² + y² = 2a², వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుంది. (0, 0)
(1) కేంద్రం నుండి లంబదూరము a\(\sqrt{2}\) వ్యాసార్ధము.
\(\left|\frac{2 a}{\sqrt{m^2+m^4}}\right|\) = a\(\sqrt{2}\)
లేదా 4 = 2 (m⁴ + m²)
m⁴ + m² – 2 = 0
(m² + 2) (m² – 1) = 0 లేదా m = ± 1
కావలసిన స్పర్శరేఖలు
y = (1) x + \(\frac{2 a}{(1)}\) , y = (-1) x + \(\frac{2 a}{(-1)}\)
⇒ y = ± (x + 2a)

ప్రశ్న 4.
పరావలయం నాభి జ్యా అగ్రాల వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖలు నియతరేఖ పై లంబంగా ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:

పరావలయ సమీకరణము y² = 4ax
Q(t₁) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము.
t₁y = x + at₁²
R(t₂) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము t₂y = x + at₂²
సాధించగా,
ఖండన బిందువు [at, t₂, a(t₁ + t₂)]
QR జ్యా సమీకరణము (t₁ + t₂) y = 2x + 2at₁t₂

ప్రశ్న 5.
x² = 4ay పరావలయానికి y = mx + c స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
x² = 4ay కు స్పర్శరేఖ, స్పర్శరేఖ వాలు ‘m₁‘ పదాలలో
x = m₁ y + \(\frac{a}{m_1}\)
లేదా y = \(\frac{x}{m_1}-\frac{a}{m_1^2}\) …………… (i)
y = mx + c ………………… (ii)
(1) (2) పోల్చగా
m = \(\frac{1}{m_1}\) ; c = \(\frac{-a}{m_1^2}\)
m₁ = \(\frac{1}{m}\)
∴ c = \(\frac{-a}{(1 / m)^2}\)
c = – am² కావలసిన నియమము

ప్రశ్న 6.
y² = 8x పరావలయానికి (k, 0) నుంచి మూడు అభిలంబ రేఖలు గీశాం, అందులో ఒకటి అక్షరేఖ, మిగిలిన రెండు అభిలంబ రేఖలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయంలో అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + xt = 2at + at³
ఈ అభిలంబరేఖ (k, 0) గుండా పోతుంది.
∴ kt = 2at + at
at³ + (2a – k) t = 0
at² + (2a – k) = 0
m₁ = 0, m₂ m₃ = -1 అని ఇవ్వబడింది.
(-t₂) (-t₃) = -1 t₂ t₃ = -1
\(\frac{2 a-k}{a}\) = – 1
2a – k = -a
k = 2a + a = 3a
పరావలయం సమీకరణము y² = 8x
4a = 8
⇒ a = 2
k = 3a = 3(2) = 6

ప్రశ్న 7.
y² = 4ax కు లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువుల పథం నియతరేఖ x + a = 0 అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం యొక్క ఏదేని స్పర్శరేఖను
y = mx + \(\frac{a}{m}\) -గా తీసుకొనవచ్చును,
ఈ స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) గుండా పోతుంది.
my₁ = m²x₁ + a
m²x₁ – my₁ + a = 0.

స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ m₁m₂ = -1
\(\frac{a}{x_1}\) = -1
x₁ = -a
నియతరేఖ x = -a, అనేది P(x₁, y₁) బిందుపథం

ప్రశ్న 8.
రెండు పరావలయాలు ఒకే శీర్షం, సమాన నాభి లంబం పొడవులు కలిగి ఉన్నాయి. వాటి అక్షాలు లంబంగా ఉన్నాయి. అప్పుడు వాటి ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ, పరావలయ నాభి లంబాగ్రాల వద్ద స్పృశిస్తుందని చూపండి.
సాధన:

పరావలయాల సమీకరణాలు
y² = 4ax
x² = 4ay గా తీసుకుందాం.
x² = 4ay కు (2at, at²) వద్ద స్పర్శరేఖ
2atx = 2a(y + at²)
y = tx – at²
ఇది y² = 4ax కు స్పర్శరేఖ
∴ నియమము C = \(\frac{a}{m}\)
– at² = \(\frac{a}{t}\)
t³ = -1 ⇒ t = -1.
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = -x – a
x + y + a = 0.
L’ (a, – 2a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y (-2a) = 2a (x + a)
x + y + a = 0
∴ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ y² = 4ax పరావలయాన్ని
L (a, -2a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.
L (-2a, a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x² = 4ay
x(-2a) = 2a (y + a)
x + y + a= 0
స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు పరావలయాన్ని L’ (-2a, a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.

ప్రశ్న 9.
y² = 4ax పరావలయ స్పర్శరేఖ పైకి నాభి నుంచి గీసిన లంబపాదాలు, శీర్షం వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన;
పరావలయం యొక్క ఏదేని స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
Q(x₁, y₁) లంబపాదం
∴ y₁ = mx₁ + \(\frac{a}{m}\) …………….. (1)
SQ వాలు = \(\frac{y_1}{x_1-a}\)

⇒ y₁² (a – x₁) = x₁ (a – x₁)² + ay₁²
⇒ ay₁² – x₁y₁² = x₁ (a² + x₁² – 2ax₁) + ay₁²
⇒ x₁ [x₁² – 2ax₁ + a² + y₁²] = 0
⇒ x₁ [(x₁ – a)² + y₁²] = 0
⇒ x₁ = 0
Q (x₁, y₁) బిందుపథం x = 0. i.e., ఇది పరావలయానికి శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ.

ప్రశ్న 10.
పరావలయానికి నాభి జ్యా ఒక కొన వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ, రెండో కొన వద్ద గీసిన అభిలంబ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

P(t₁) వద్ద స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
t₁y = x + at₁²
P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{1}{t_1}\) …………….. (2)
Q(t₂) వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + xt₂ = 2at₂ + at₂³
Q వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు = -t₂ ……………… (3)
(1), (2), (3) ల నుండి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = Q వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు
P వద్ద స్పర్శరేఖ, Q వద్ద అభి లంబరేఖ సమాంతరము.

III.

ప్రశ్న 1.
y² = 4ax పరావలయానికి t₁ వద్ద గీసిన అభిలంబరేఖ పరావలయాన్ని తిరిగి t₂ వద్ద ఖండిస్తే t₁t₂ + t₁² + 2 = 0 అని చూపండి. [May ’07]
సాధన:
అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
y – y₁ = \(\frac{-y_1}{2 a}\) (x – x₁)
y – 2at₁ = \(\frac{-2 \mathrm{at}_1}{2 \mathrm{a}}\) (x – at₁²)
(1) రేఖ పరావలయాన్ని తిరిగి (at₂², 2at₂) వద్ద ఖండిస్తుంది.
∴ 2at₂ – 2at₁ = t₁ (at₂² – at₁²)
–\(\frac{2}{t_1}\) = t₁ + t₂ ⇒ -2 = t₁² + t₁t₂
⇒ t₁² + t₁t₂ + 2 = 0

ప్రశ్న 2.
y² = 4ax పరావలయానికి బాహ్య బిందువు P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు అక్షరేఖతో θ₁, θ₂ కోణాలు చేస్తున్నాయి. cot θ₁ + cot θ₂ విలువ స్థిర సంఖ్య ‘d’ అయితే, అలాంటి P లు క్షితిజ సమాంతర రేఖపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం యొక్క స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
ఈ స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) గుండా పోతుంది.
y₁ = mx₁ + \(\frac{a}{m}\)
my₁ = m²x₁ + a = 0
m²x₁ – my₁ + a = 0
ఈ సమీకరణం మూలాలు m₁, m₂, అయితే
m₁ + m₂ = \(\frac{y_1}{x_1}\), m₁m₂ = \(\frac{a}{x_1}\)
cot θ₁ + cot θ₂ = a అని ఇవ్వబడింది.

P(x₁, y₁) బిందుపథం y = a² ఇది క్షితిజ రేఖ.

ప్రశ్న 3.
2x² + 2y² = a² వృత్తం, y² = 4ax పరావలయానికి ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు y² = – 4ax యొక్క నాభి వద్ద ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త వృత్తము 2x² + 2y² = a²
కేంద్రం = (0, 0); వ్యాసార్ధము = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
దత్త పరావలయము y² = 4ax
y = mx + \(\frac{a}{m}\) స్పర్శరేఖ అనుకుందాం.
2x² + 2y² = a² స్పృశిస్తుంది.
⇒ (0, 0) నుండి లంబదూరము = వ్యాసార్థము
⇒ \(\left|\frac{\frac{a}{m}}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
⇒ \(\frac{\frac{a^2}{m^2}}{m^2+1}=\frac{a^2}{2}\)
⇒ \(\frac{2 a^2}{m^2}\) = a² (m² + 1)
⇒ 2 = m⁴ + m²
⇒m ⇒ m⁴ + m² – 2 = 0
⇒ (m² – 1) (m² + 2) = 0 (∵ m² + 2 ≠ 0)
m² – 1 = 0 ⇒ m = ± 1
y² = – 4ax పరావలయం యొక్క నాభి వద్ద ఖండిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
y² = 4ax పరావలయంపై రెండు బిందువుల y నిరూపకాల మొత్తం, అదే పరావలయంపై వేరొక రెండు బిందువుల y నిరూపకాల మొత్తానికి సమానం అయితే, మొదటి రెండు బిందువులను కలిపే జ్యా, మిగిలిన రెండు బిందువులను కలిపే జ్యాకు సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

పరావలయ సమీకరణము y² = 4ax
P(t) మరియు Q(t) లను కలిపే జ్యా సమీకరణము
(t₁ + t₂) y = 2x + 2 at₁ t₂
PQ వాలు = \(\frac{2}{t_1+t_2}\) ……………… (1)
R(t₃) మరియు S(t₄) లు కలిపే జ్యా సమీకరణము
(t₃ + t₄) y = 2x + 2at₃t₄
RS వాలు = \(\frac{2}{t_3+t_4}\) ………………. (2)
దత్తాంశం ప్రకారం 2at₁ + 2at₂ = 2at₃ + 2at₄
i.e., 2a (t₁ + t₂) = 2a (t₃ + t₄)
t₁ + t₂ = t₃ + t₄ …………….. (3)
(1), (2), (3) ల నుండి PQ వాలు = RS వాలు
i.e., PQ, RS లు సమాంతరాలు.

ప్రశ్న 5.
y² = 4ax పరావలయంపై బిందువు ‘t’ వద్ద అభిలంబ జ్యా, శీర్షం వద్ద లంబకోణం చేస్తే t = ± \(\sqrt{2}\) అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 4ax …………… (1)
‘t’ వద్ద లంబరేఖ సమీకరణాలు
tx + y = 2at + at³

(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే AQ, ARల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
y² = \(\frac{4 a x \cdot(t x+y)}{a\left(2 t+t^3\right)}\)
y² (2t + t³) = 4tx² + 4xy
4tx² + 4xy – (2t + t³) y² = 0
AQ, AR లు లంబంగా ఉన్నాయి.
x² గుణకం + y² గుణకం = 0
4t – 2t – t³ = 0
2t – t³ = 0
-t(t² – 2) = 0
t² – 2 = 0 ⇒ t² = 2
t = ± \(\sqrt{2}\)

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 8th Lesson అయస్కాంతత్వం-ద్రవ్యం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 8th Lesson అయస్కాంతత్వం-ద్రవ్యం

→ సూదంటు రాయి ఒక సహజ అయస్కాంతం. ఇది మాగ్నటైట్ అనే ఇనుప ఖనిజము. సూదంటు రాయి అనగా దారి చూపించునది.

→ అయస్కాంతం యొక్క అయస్కాంత క్షేత్ర రేఖలు అవిచ్ఛిన్న సంవృత ఉచ్చులను ఏర్పరుచును.

→ విద్యుత్ ప్రవాహ ఉచ్చుతో ముడిపడి ఉన్న అయస్కాంత ద్విధ్రువ భ్రామకము m = NIA. ఇక్కడ ఉచ్చులో చుట్ల సంఖ్య N. I విద్యుత్ ప్రవాహము మరియు A సదిశ వైశాల్యం.

→ సాలినాయిడ్ అయస్కాంత భ్రామకం పరిమాణం m = n(2l) I (πa²)

→ ఒక దండాయస్కాంత అక్షీయ అయస్కాంత క్షేత్రము B_A = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \mathrm{~m}}{\mathrm{r}^3}\)

→ ఏకరీతి అయస్కాంత క్షేత్రంలో ద్విధ్రువం (సూది) పై టార్క్ τ = m × B

→ ఒక దండాయస్కాంతం మధ్య లంబక్షేత్రము B_E = \(\frac{\mu_0}{4 \pi}\)

→ అయస్కాంతత్వంలో గాస్ నియమము : ఏదైనా సంవృత తలం ద్వారా నికర, అయస్కాంత అభివాహము సున్న, i.e. ∫_sB.ds = 0

→ అయస్కాంత ఉత్తర మరియు దక్షిణ దృవములను కలుపు ఊహారేఖ ద్వారా పోవు లంబతలంను, ఆ ప్రదేశంలో అయస్కాంత యామ్యోత్తర రేఖ అంటారు.

→ నిజ భౌగోళిక ఉత్తర ధృవము మరియు కంపాసు సూచి చూపు ఉత్తర ధృవమునకు మధ్య గల కోణంను దిక్పాతము అంటారు.

→ భూమి అయస్కాంత మొత్తం తీవ్రత తెలుపు దిశకు మరియు అయస్కాంత యామ్యోత్తర రేఖకు మధ్య కోణంను అవపాతము అంటారు..

→ ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో అయస్కాంత భ్రామకంను అయస్కాంతీకరణం అంటారు.

దీని ప్రమాణము Am^-1 మరియు దీని మితులు L^-1A.

→ 300K వద్ద, రుణ డయా అయస్కాంత పదార్థాలు బిస్మత్, రాగి, వజ్రము, బంగారము, సీసము, పాదరసము, నైట్రోజన్ (S.T.P), వెండి, సిలికాన్,

→ 300K వద్ద, ధన పారా అయస్కాంత పదార్థాలు అల్యూమినియం, కాల్షియం, క్రోమియం, లిథియం, మెగ్నీషియం, నియోబియమ్, ఆక్సిజన్ (STP), ప్లాటినమ్, టంగస్టన్.

→ డయా అయస్కాంత పదార్థాలకు, -1 ≤ χ < 0; 0 ≤ μ_r < 1; μ < μ₀.

→ పారా అయస్కాంత పదార్థాలకు, 0 < χ < ε, 1 < μ_r < 1 + ε; μ > μ₀.

→ ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలకు, χ >> 1; μ_r >> 1; μ < μ₀.

→ పారా అయస్కాంత అయస్కాంతీకరణము, పరమ ఉష్ణోగ్రత T.కు విలోమానుపాతంలో ఉండును.
M = \(\frac{\mu_0}{T}\) లేకు తుల్యంగా, χ = C\(\frac{\mu_0}{T}\)

→ పారా అయస్కాంత నమూనాపై, క్షేత్రం పెంచినా లేక ఉష్ణోగ్రత తగ్గించినా, అయస్కాంతీకరణ సంతృప్త విలువ Ms, చేరు వరకు పెరుగును. ఈ స్థితిలో ధృవాలన్నీ క్షేత్ర దిశలో పూర్తిగా అమరును.

→ ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థ సూక్ష్మ ఘనపరిమాణం (10^-6 cm³ నుండి 10^-2 cm³) ను డొమైన్ అంటారు.

→ డొమైన్ పరిమాణము 1mm మరియు డొమైన్లో పరమాణువుల సంఖ్య 10¹¹.

→ కొన్ని ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలలో అయస్కాంతీకరణ దృఢంగా ఉంటుంది. అటువంటి పదార్థాలను కఠిన అయస్కాంత పదార్థాలు లేక కఠిన ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలంటారు. ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలకు, μ_r > 1000.

→ ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థం, పారా అయస్కాంత పదార్థంగా మారు ఉష్ణోగ్రతను, క్యూరీ ఉష్ణోగ్రత T అంటారు.

→ I మరియు B లు H వెనక ఉండటాన్ని, శైథిల్యం అంటారు.

→ H = 0 వద్ద I విలువను రెటింటివిటి అంటారు.

→ H యొక్క తిరోదిశలో I ను సున్నాకు చేర్చుటకు కావాల్సిన అయస్కాంత బల విలువను కొయిర్సివిటి అంటారు.

→ విద్యుదయస్కాంతాలు, విద్యుత్ గంటలు, లౌడ్ స్పీకర్స్ మరియు టెలిఫోన్ డయఫ్రమ్స్ వాడతారు.

→ కూలుమ్ నియమము, F = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{m}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{r}^2}\) = 10^-7 × \(\frac{\mathrm{m}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{r}^2}\)

→ అయస్కాంత ద్విధ్రువం, \(\overrightarrow{\mathbf{M}}=\mathrm{m}(\overrightarrow{2 l})\)

→ విద్యుత్ లూపు అయస్కాంత భ్రామకము, \(\vec{M}=I \vec{A}\)

→ కక్ష్యా చలనం వల్ల అయస్కాంత భ్రామకము, μ_l = n\(\left(\frac{\mathrm{eh}}{4 \pi \mathrm{m}_{\mathrm{e}}}\right)\)

→ బోర్ మాగ్నిటాన్, μ_B = \(\frac{\mathrm{eh}}{4 \pi \mathrm{m}_{\mathrm{e}}}\)

→ పొట్టి ద్విధ్రువంకు,

→ \(\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{e}}}=\frac{\mu_0}{4 \pi}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{m}}}{\left(\mathrm{r}^2+l^2\right)^{3 / 2}}\) పొట్టి దండాయస్కాంతమునకు, B_e = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{r}^3}\)

→ ఏదైనా బిందువు వద్ద పొట్టి అయస్కాంత ద్విధ్రువం వల్ల అయస్కాంత క్షేత్రము B = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M \sqrt{3 \cos ^2 \theta+1}}{\mathbf{r}^3}\)

→ టార్క్ \(\vec{\tau}=\overrightarrow{\mathrm{m}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)

→ అయస్కాంత క్షేత్రంలో ఒక దండాయస్కాంతమును ఉంచినపుడు స్థితిజ శక్తి U = -m B cos θ = –\(\overrightarrow{\mathrm{m}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)

→ అయస్కాంతత్వంలో గాస్ నియమము \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ds}}\)

→ అయస్కాంత తీవ్రత H = \(\frac{B_0}{\mu_0}\)

→ అయస్కాంతీకరణ తీవ్రత I = \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{m} \times 2 l}{\mathrm{~A} \times 2 l}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}\)

→ అయస్కాంత అభివాహం Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\Delta \mathrm{s}}\)

→ అయస్కాంత ససెప్టిబిల్టి χ_m = \(\frac{I}{H}\)

→ అయస్కాంత పర్మియబిల్టి μ = \(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{H}}\)

→ μ = μ₀ (1 + χ_m) మరియు μ_r = 1 + χ_m

→ క్యూరీ నియమము χ_m α \(\frac{1}{T}\) ⇒ χ_m = T స్థిరాంకం.