Mahesh

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(e)

అభ్యాసం – 3 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
(1, \(\sqrt{3}\) ) (2, 0), (0, 0) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
O(0, 0), A (1, \(\sqrt{3}\)), B (2, 0) లు ∆ ABC శీర్షాలు

ప్రశ్న 2.
x + y + 10 = 0, x – y − 2 = 0, 2x + y +7 = 0 భుజాలుగా గల త్రిభుజ లంబకేంద్రం కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
AB సమీకరణము x + y + 10 = 0 …………….. (1)
BC సమీకరణము x – y – 2 = 0 ………………… (2)
AC సమీకరణము 2x + y – 7 = 0 ……………… (3)

(1), (2) లను సాధించగా B నిరూపకాలు (-4, -6)
(1), (3) లను సాధించగా A నిరూపకాలు (17, 27)
BC సమీకరణము x – y – 2 = 0
AD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
AD సమీకరణము x + y + k = 0
AD రేఖ A (17, −27) గుండా పోతుంది.
17 – 27 + k = 0 ⇒ k = 10
∴ AB సమీకరణము x + y + 10 = 0 ……………. (1)
AC సమీకరణము 2x + y – 7 = 0
BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
DE సమీకరణము x – 2y = k
BE సమీకరణము B (-4, -6)
-4 + 12k = k ⇒ k = 8
BE సమీకరణము x – 2y = 8

3y = -18 ⇒ y = -6
x + y + 10 = 0 ⇒ x – 6 + 10 = 0
x = 6 – 10 = -4
∆ ABC యొక్క లంబకేంద్రం (-4, – 6)

ప్రశ్న 3.
4x – 7y + 10 = 0, x + y = 5, 7x + 4y = 15 భుజాలుగా గల త్రిభుజ లంబకేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము 4x – 7y + 10 = 0 ……………. (1)
BC సమీకరణము x + y = 5 ………………… (2)
AC సమీకరణము 7x + 4y – 15 = 0 ………………. (3)
AB, AC లు లంబంగా ఉన్నాయి. ∠A = 90°
∴ ABC లంబకోణ త్రిభుజం
లంబకోణ శీర్షం A లంబకేంద్రం
(1), (3) లను సాధించగా

లంబకేంద్రం O (1, 2)

ప్రశ్న 4.
x = 1, y = 1, x + y = 1 భుజాలుగా గల త్రిభుజ పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x = 1
BC సమీకరణము y = 1
AC సమీకరణము x + y = 1

AB, BC లు లంబాలు
∴ ABC ఒక లంకోణ త్రిభుజము ∠B = 90°
AC మధ్య బిందువు, AC పరికేంద్రము
A నిరూపకాలు (1, 0), C నిరూపకాలు (0, 1).
పరికేంద్రము \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)

ప్రశ్న 5.
x = 1, y = 1, x + y = 1 లు భుజాలుగా గల త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము X = 1
BC సమీకరణము y = 1
AC సమీకరణము x + y = 1
సాధించగా A(1, 0), B (1, 1), C (0, 1) లు శీర్షాలు

ప్రశ్న 6.
(1, 0),(–1, 2), (3, 2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
A (1, 0), B (-1, 2), C (3, 2) లు ∆ ABC త్రిభుజ శీర్షాలు

S (x, y) ∆ ABC యొక్క పరికేంద్రం
SA = SB = SC
SA = SB ⇒ SA² = SB²
(x – 1)² + y² = (x + 1)² + (y – 2)²
x² – 2x + 1 + y² = x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4
4x – 4y = -4 ⇒ x – y = -1 ………………. (1)
SB SC ⇒ SB² = SC²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3) + (y – 2)²
x² + 2x + 1 = x² – 6x + 9
8x = 8 ⇒ x = 1
(1) నుండి 1 – y = -1
y = 2
∴ పరికేంద్రము (1, 2)

ప్రశ్న 7.
kx + y + 9 = 0, 3x – y = 4 సరళరేఖల మధ్యకోణం 45° అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
kx + y + 9 = 0
3x – y + 4 = 0
cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{|3 k-1|}{\sqrt{k^2+1} \sqrt{9+1}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{|3 k-1|}{\sqrt{10} \sqrt{k^2+1}}\)
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
5k² + 5 = (3k – 1)² = 9k² – 6k + 1
4k² – 6k – 4 = 0
2k² – 3k – 2 = 0
(k – 2) (2k + 1) = 0
k = 2 లేదా -1/2

ప్రశ్న 8.
మూల బిందువు గుండాను 2x + y + 5 = 0, x + y + 1 = 0 సరళ రేఖల ఖండన బిందువు గుండాను పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణము L₁ = 2x – y + 5 = 0
AC సమీకరణము L₂ = x + y + 1 = 0
A గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + KL₂ = 0
(2x – y + 5) +k (x + y + 1) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 0 (0, 0) ల గుండా పోతుంది.
5 + k = 0 ⇒ k = -5
(1) నుండి ప్రతిక్షేపించగా OA సమీకరణం
(2x + y + 5) − 5(x + y + 1) = 0
2x – y + 5 – 5x – 5y – 5 = 0
-3x – 6y = 0 ⇒ x + 2y = 0

ప్రశ్న 9.
3x + 4y,= 7 రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటూ, x – 2y – 3 = x + 3y – 6 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
L₁ = x – 2y – 3 = 0 మరియు
L₂ = x + 3y – 6 = 0
ఖండన బిందువు గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂ = 0
(x – 2y – 3) + k(x + 3y – 6) = 0
(1 + k)x + (-2 + 3k)y + (-3 – 6k) = 0
ఈ రేఖ 3x + 4y = 7 కు సమాంతరం.
a₁b₂ = a₂b₁
3(−2 + 3k) = (1 + k) 4
– 6 + 9k = 4 + 4k
⇒ 5k = 10 ⇒ k = 2 +
కావలసిన రేఖ సమీకరణం 3x + 4y – 15 = 0

ప్రశ్న 10.
2x + 3y = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ x + 3y – 1 = 0, x − 2y + 4 = 0 రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + 3y – 1 = 0
AC సమీకరణము X -2y + 4 = 0

A గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
(x + 3y – 1) + k(x – 2y + 4) = 0
(1 + k)x + (3 – 2k)y + (4k – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 2x + 3y = 0 కు లంబము
a₁a₂ + b₁b₂ = 0
2(1 + k) + 3(3 – 2k) = 0
2 + 2k + 9 – 6k = 0
4k = 11 ⇒ k = \(\frac{11}{4}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే AD సమీకరణము
\(\left(1+\frac{11}{4}\right)\) x + \(\left(3-\frac{11}{2}\right)\) y + (11 – 1) = 0
\(\frac{15}{4}\) x – \(\frac{5}{2}\) y + 10 = 0
15x – 10y + 40 = 0
3x – 2y + 8 = 0

ప్రశ్న 11.
నిరూపకాక్షాలతో శూన్యేతర సమాన అంతర ఖండాలు చేస్తూ, 2x – 5y + 1 = 0, x – 3y – 4 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
L₁ = 2x – 5y + 1 = 0
L₂ = x – 3y – 4 = 0
ఈ రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోతే
ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂ = 0
(2x – 5y + 1) + k(x – 3y – 4) = 0
(2 + k)x – (5+ 3k)y + (1 – 4k) = 0 …………….. (1)
అంతర ఖండాలు సమానం
2 + k – 5 – 3k
4k = -7
⇒ k = -7/4
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా కావలసిన రేఖ సమీకరణము
\(\left(2-\frac{7}{4}\right)\) x – \(\left(5-\frac{21}{4}\right)\) y + (1 + 7) = 0
\(\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{4}\)y + 8 = 0
⇒ x + y + 32 = 0

ప్రశ్న 12.
3x + 2y + 4 = 0, 2x + 5y − 1 = 0, రేఖల ఖండన బిందువు నుంచి 7x + 24y – 15 0 సరళరేఖకు గల లంబదూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
3x + 2y + 4 = 0
2x + 5y – 1 = 0

P నిరూపకాలు (-2, 1)
రేఖ సమీకరణము 7x + 24y – 15 = 0
లంబ దూరము
= \(\left|\frac{-14+24-15}{\sqrt{49+576}}\right|=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 13.
3x + 4y – 8 = 0 సరళరేఖల నుంచి (2, 3), (-4, a) బిందువుల దూరాలు సమానమయితే ‘a’ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ సమీకరణము 3x + 4y – 8 – 0
P (2, 3), Q (-4, a) లు దత్త బిందువులు.
PP’, QQ’ లు P, ల నుండి లంబం

PP’ = QQ’
\(\frac{|3.2+4.3-8|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|3 \cdot(-4)+4 a-8|}{\sqrt{9+16}}\)
10 = |4a – 20|
4a – 20 = ±10 ⇒ 4a = 20 ± 10 = 30 లేదా 10
a = \(\frac{30}{4}\) లేదా \(\frac{10}{4}\)
i.e., a = \(\frac{15}{2}\) లేదా 5/2

ప్రశ్న 14.
x + y = 0, 2x + y + 5 = 0, x – y = 2 భుజాలుగా గల త్రిభుజ పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + y = 0 ………………. (1)
BC సమీకరణము 2x + y + 5 = 0 ……………… (2)
AC సమీకరణము x – y = 2 ……………. (3)

(1), (2) లను సాధిస్తే, B నిరూపకాలు (-5, 5)
(2), (3) లను సాధిస్తే, A నిరూపకాలు (-1,-3)
(1), (3) సాధిస్తే A నిరూపకాలు (1, -1)
S(x, y) పరికేంద్రం అనుకుందాం.
SA = SB = SC
SA = SB ⇒ SA² = SB²
(x + 5)² + (y − 5)² = (x + 1)² + (y + 3)²
x² + 10x + 25 + y² – 10y + 25
= x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9
8x – 16y = -40
x – 2y = -5 ………………. (1)
SB = SC ⇒ SB² = SC²
(x + 1)² + (y + 3)² = (x – 1)² + (y + 1)²
x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9
x² – 2x + 1 + y² + 2y + 1
4x + 4y = -8
x + y = -2 …………… (2)
(2) – (1) 3y = 3 ⇒ y = 1
x + 1 = -2 ⇒ x = -3
పరికేంద్ము S(-3, 1)

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1, \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 రేఖల మధ్య కోణం θ అయితే a > b అయినప్పుడు sin θ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 ⇒ bx + ay = ab
AC సమీకరణము \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 ⇒ bx + ay = ab

II.

ప్రశ్న 1.
(−10, 4) బిందువు గుండా పోతూ x – 2y = 10 రేఖతో θ కోణాన్ని tan θ = 2 అయ్యేటట్లు చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి:
సాధన:
QR సమీకరణము x – 2y = 10

PQ వాలు m అనుకుందాం.
PQ రేఖ P(-10, 4) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – 4 = m(x + 10) У
= mx + 10m …………….. (1)
i.e., mxy + (10m + 4) = 0
tan θ = 2 ⇒ cos θ = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{|m+2|}{\sqrt{1+4} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డగుణకారము చేయగా
m² + 1 = (m + 2)²
= m² + 4m + 4
4m + 3 = 0
m = –\(\frac{3}{4}\)

సందర్భం (i) : m² = 0
⇒ ఒక మూలము ∞
PR ఊర్ధ్వ రేఖ
∴ PR సమీకరణము x + 10 = 0

సందర్భం (ii) : m = –\(\frac{3}{4}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
PQ సమీకరణము –\(\frac{3}{4}\) x – y + \(\left(-\frac{30}{4}+4\right)\) = 0
\(\frac{-3 x-4 y-14}{4}\) = 0
⇒ 3x + 4y + 14 = 0

ప్రశ్న 2.
(1, 2) బిందువు గుండా పోతూ \(\sqrt{3}\) x + y + 2 = సరళరేఖతో 60° కోణాన్ని చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
QR సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x + y + 2 = 0

PQ, PR లు P(1, 2) గుండా పోతూ QR తో 60° కోణం చేస్తున్నాయి.
PQ వాలు m అనుకుందాం.
PQ వాలు у – 2 = m(x − 1)
= mx – m
mx – y + (2 – m) = 0 ………………. (1)
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
cos 60° = \(\frac{|\sqrt{3} m-1|}{\sqrt{3+1} \sqrt{m^2+1}}\)
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{|\sqrt{3} m-1|}{2 \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
m² + 1 = (\(\sqrt{3}\)m – 1)²
= 3m² + 1 – 2\(\sqrt{3}\) m
2m² – 2\(\sqrt{3}\) m = 0
2m(m – \(\sqrt{3}\)) = 0
m = 0 లేదా \(\sqrt{3}\)
సందర్భం (i) : m = 0
PQ సమీకరణము -y + 2 = 0 లేదా y – 2 = 0
సందర్భం (ii) : m = \(\sqrt{3}\)
PQ సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x – y + (2 – \(\sqrt{3}\)) = 0

ప్రశ్న 3.
ఒక సమబాహు త్రిభుజం భూమి x + y – 2 = 0, ఎదుటి శీర్షం (2, −1) అయితే మిగిలిన భుజాల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ABC సమబాహు త్రిభుజము
∴ ∠B = ∠C = 60°

BC సమీకరణము x + y – 2 = 0
AB రేఖ A(2, -1) గుండా పోతుంది.
AB వాలు = m అనుకుందాం.
AB సమీకరణము y + 1 = m(x – 2)
= mx – 2m
mx – y – (2m + 1) = 0 ………………. (1)
cos 60° = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{|m-1|}{\sqrt{1+1} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డగుణకారము చేయగా,
m² + 1 = 2 (m − 1)² = 2 (m² – 2m + 1)
= 2m² – 4m + 2
m² – 4m + 1 = 0
m = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}\) = \(\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\) = 2 ± \(\sqrt{3}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
AB సమీకరణము y + 1 = (2 + \(\sqrt{3}\)) (x – 2)
AC సమీకరణము y + 1 = (2\(\sqrt{3}\)) (x – 2)

ప్రశ్న 4.
కింద సూచించిన శీర్షాలు గల త్రిభుజం లంబకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’15, ’12, ’07, ’04]
i) (-2, -1), (6, -1), (2, 5)
ii) (5,-2), (-1, 2), (1, 4)
సాధన:
i) A(-2, -1), B(6, -1), C(2, 5) ∆ ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు

AD కి BC లు లంబంగా ఉంది.
AD వాలు = \(\frac{2}{3}\)
AD సమీకరణము
y + 1 = \(\frac{2}{3}\) (x + 2)
2x – 3y + 1 = 0 ………………. (1)
AC వాలు = \(\frac{5+1}{2+2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
BE కి AC లు లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = –\(\frac{2}{3}\)
BE సమీకరణము
y + 1 = –\(\frac{2}{3}\) (x – 6)
2x + 3y – 9 = 0 ………………… (2)

ii) (5,-2), (1, 2), (1, 4)
A(5,-2), B(-1, 2), C(1, 4) ∆ ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు
BC వాలు = \(\frac{2-4}{-1-1}=\frac{-2}{-2}\) = 1
AD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.

AD వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = -1
AD సమీకరణము y + 2 = -(x – 5)
= -x + 5
x + y – 3 = 0 ………………. (1)
BE రేఖ AC’కి లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = \(\frac{2}{3}\)
BE సమీకరణము y – 2 = 1 (x + 1)
3y – 6 = 2x + 2
2x – 3y + 8 = 0 ………………… (2)
(1), (2) ల నుండి అడ్డగుణకార సూత్రం ప్రకారం

ప్రశ్న 5.
కింద ఇచ్చిన శీర్షాలు గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
i) (-2, 3) (2, -1), (4, 0) [Mar. ’11]
ii) (1, 3), (0, -2), (-3, 1) [May ’06]
సాధన:
i) A(-2, 3), B(2, −1), C(4, 0) ∆ ABC లు శీర్షాలు
BC మధ్య బిందువు D

D నిరూపకాలు \(\left(\frac{2+4}{2}, \frac{-1+0}{2}\right)\)
= \(\left(3, \frac{-1}{2}\right)\)
BC వాలు = \(\frac{-1-0}{2-4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\)
SD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
SD వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = -2
SD సమీకరణము y + \(\frac{1}{2}\) = -2(x – 3)
2y + 1 = -4(x – 3)
= – 4x + 12
4x + 2y – 11 = 0 ………………. (1)
AC కి మధ్య బిందువు E
E నిరూపకాలు \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right)=\left(1, \frac{3}{2}\right)\)
AC వాలు = \(\frac{3-0}{-2-4}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)
SE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
SE వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = 2
SE సమీకరణము y – \(\frac{3}{2}\) = 2(x – 1)
2y – 3 = 4(x – 1)
= 4x – 4
4x – 2y – 1 = 0 ……………….. (2)
4x + 2y – 11 = 0 …………….. (1)
(1), (2) ల నుండి ⇒ 8x – 12 = 0
8x = 12
x = \(\frac{12}{8}\) = \(\frac{3}{2}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2y = 11 – 4x = 11 – 4 . \(\frac{3}{2}\) = 11 – 6 = 5
y = \(\frac{5}{2}\)
∴ S నిరూపకాలు \(\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

ii) (1, 3), (0, −2) మరియు (−3, 1)

లో ∆ ABC,
A = (1, 3), B = (0,-2), C = (-3, 1)
D మధ్య బిందువు BC
D = \(\left(\frac{0-3}{2}, \frac{-2+1}{2}\right)=\left(\frac{-3}{2}, \frac{-1}{2}\right)\)
BC వాలు = \(\frac{1+2}{-3-0}\) = -1
SD రేఖ BC కి లంబం.
SD వాలు = 1
SD సమీకరణము
y + \(\frac{1}{2}\) = 1(x + \(\frac{3}{2}\))
⇒ 2y + 1 = 2x + 3
⇒2x – 2y + 2 = 0
⇒x – y + 1 = 0
CA కి మధ్య బిందువు E
⇒ E = \(\left(\frac{-3+1}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (-1, 2)
CA వాలు = \(\frac{1-3}{-3-1}=\frac{1}{2}\)
SE రేఖ CA కి లంబం.
SE వాలు = -2
SE సమీకరణము
y – 2 = -2(x + 1)
⇒ y – 2 = 2x – 2
⇒ 2x + y = 0 ……………… (2)
(1), (2) లను సాధించగా

ప్రశ్న 6.
P(2, 2), Q (6, – 1), R(7, 3) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజానిక \(\overleftrightarrow{\mathrm{P S}}\) మధ్యగతం అయితే (1, -1) గుండా పోతూ \(\overleftrightarrow{\mathrm{P S}}\) మధ్యగత రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
P(2, 2), Q(6, -1), R(7, 3) లు ∆ABC శీర్షాలు
S మధ్య బిందువు QR
S నిరూపకాలు \(\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)=\left(\frac{13}{2}, 1\right)\)
PS వాలు = \(\frac{1-2}{\frac{13}{2}-2}=-\frac{1}{\left(\frac{9}{2}\right)}=-\frac{2}{9}\)
AB కి సమాంతరంగా మరియు A(1, -1) గుండా పోతుంది.
AB సమీకరణము y + 1 = – \(\frac{2}{9}\) (x – 1)
9y + 9 = -2x + 2
2x + 9y + 7 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x + 2y = 0, 4x + 3y – 5 = 0, 3x + y = 0 రేఖలతో ఏర్పడిన త్రిభుజానికి లంబకేంద్రం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణం x + 2y = 0 ……………… (1)
BC సమీకరణం 4x + 3y – 5 = 0 ……………… (2)
AC సమీకరణం 3x + y = 0 ………………. (3)
(1), (2) లను సాధిస్తే A నిరూపకాలు (0,0)

4x – 8 = 0 ⇒ 4x = 8, x = 2
B నిరూపకాలు (2, -1)
BC సమీకరణము 4x + 3y – 5 = 0
AB రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
ఇది (0, 0) గుండా పోతుంది.
AB సమీకరణము 3x – 4y = 0 ……………… (1)
BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
∴ BE సమీకరణము x – 3y = k
BE రేఖ B (2, -1) గుండా పోతుంది.
2 + 3 = k ⇒ k = 5
BE సమీకరణము x – 3y – 5 = 0 ……………….. (2)

x = -4, y = -3
∴ లంబకేంద్రం 0 (- 4, – 3)

ప్రశ్న 2.
x + y + 2 = 0, 5x-y-2= 0, x – 2y + 5 = 0 భుజాలుగా గల త్రిభుజానికి పరికేంద్రం కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
దత్త రేఖలు x + y + 2 = 0 ……………… (1)
5x – y – 2 = 0 ……………. (2)
x – 2y + 5 = 0 …………….. (3)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు A = (0, -2)
(2), (3) ల ఖండన బిందువు B = (1, 3)
(1), (3) ల ఖండన బిందువు C = (-3, 1)
S = (α, β) ∆ ABC త్రిభుజానికి పరికేంద్రం.
SA = SB = SC
⇒ SA² = SB² = SC²
⇒ (α – 0)² + (β + 2)² = (α – 1)² + (β – 3)²
= (α + 3)² + (β – 1)²

(a) = (b) ⇒ α² + β² + 4β + 4 = α² + β² – 2α – 6β + 10
⇒ 2α + 10β – 6 = 0
⇒ α + 5β – 3 = 0 …………….. (4)
(a) = (c) α² + β² + 4β + 4 = α² + β² + 6α – 2β + 10
⇒ 6α – 6β + 6 = 0
⇒ α – β + 1 = 0 ……………… (5)
(4), (5) ల నుండి

ప్రశ్న 3.
(1, 1) గుండాపోతూ, (-2, 3) నుంచి 3 యూనిట్ల దూరంలో గల సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AB రేఖ A(1, 1) గుండా పోతుంది.
AB వాలు ‘m’ అనుకుందాం.
AB సమీకరణము y – 1 = m(x – 1)
mx – m
mx – y + (1 – m) = 0. ……………… (1)
(−2, 3) నుండి AB కి లంబదూరము = 3
\(\frac{|-2 m-3+1-m|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 3
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
(3m + 2)² = 9(m² + 1)
9m² + 4 + 12m = 9m² + 9
12m = 5 ⇒ m = \(\frac{5}{12}\)
m² గుణకం = 0 ⇒ m = ∞

i) m = ∞
AB ఊర్ధ్వ రేఖ
AB సమీకరణము x = a
AB రేఖ A(1, 1) గుండా పోతుంది.
∴ a = 1
AB సమీకరణము x = 1

ii) m = \(\frac{5}{12}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
AB సమీకరణము \(\frac{5}{12}\) x – y + [1 – \(\frac{5}{12}\)] = 0
\(\frac{5}{12}\) x – y + \(\frac{7}{12}\) = 0
5x – 12y + 7 = 0

ప్రశ్న 4.
x sec α + y cosec α = a, x cos α y sin α = a cos 2α మూలబిందువు నుంచి లంబదూరాలు p, q అయితే 4p² + q² = a² అని చూపండి. [May ’13]
సాధన:
AB సమీకరణము x sec α + y cosec α = a,
\(\frac{x}{\cos \alpha}+\frac{y}{\sin \alpha}\) = a
x sin α + y cos α = a sin α cos α
x sin α + y cos α – a sin α cos α = 0
p = 0 ల నుండి AB మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-a \sin \alpha \cos \alpha|}{\sqrt{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}}\)
= a sin α. cos α = a . \(\frac{\sin 2 \alpha}{2}\)
2p = a sin 2α ………………. (1)
CD సమీకరణము x cos α – y sin α = a cos 2α
x cos α – y sin α – a cos 2α = 0
q = 0 నుండి CD మీదకు లంబదూరము
\(\frac{|0+0-a \cos 2 \alpha|}{\sqrt{\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha}}\) = a cos 2α ……………… (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించగా
4p² + q² = a² sin² 2α + a² cos² 2α
= a² (sin2 2α + cos2 2α)
= a².1
= a²

ప్రశ్న 5.
4x + 5y = 0, 7x + 2y = 0 లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఆసన్న భుజాలు 11x + 7y = 9 దాని ఒక వికర్ణం అయితే మిగిలిన రెండు భుజాలు, మరో వికర్ణం సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\overleftrightarrow{O A}\), \(\overleftrightarrow{O B}\) లు సమాంతర చతుర్భుజ ఆసన్న భుజాలు
OA, OB ల సమీకరణాలు
4x + 5y = 0 ……………….. (1)
7x + 2y = 0 ………………. (2)
\(\overleftrightarrow{A B}\) 11x + 7y – 9 = 0 ………………… (3)

(1), (2) లను సాధించగా O = (0, 0)
(1), (3) లను సాధించగా

AB మధ్యబిందువు P\(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). OP వాలు 1.
x = y
BC రేఖ BA కు సమాంతరము
BC సమీకరణము 4x + 5y = k
BC రేఖ B\(\left(-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)\) గుండా పోతుంది.
\(4\left(-\frac{2}{5}+51 \frac{7}{3}\right)\) = k
k = \(\frac{35-8}{3}=\frac{27}{3}\) = 9
BC సమీకరణము 4x + 5y = 9
AC రేఖ OB సమాంతరము
AC సమీకరణము 7x + 2y = k
AC రేఖ A\(\left(\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\right)\) గుండా పోతుంది.
7\(\left(\frac{5}{3}\right)\) + 2\(\left(-\frac{4}{3}\right)\) = k
k = \(\frac{35-8}{3}=\frac{27}{3}\) = 9
AC సమీకరణము 7x + 2y = 9.

ప్రశ్న 6.
కింద ఇచ్చిన భుజాలు గల త్రిభుజం అంతరకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
i) x + 1 = 0, 3x – 4y = 5, 5x + 12y = 27
ii) x + y – 7 = 0, x – y + 1 = 0, x – 3y + 5 = 0
సాధన:
i)

∆ ABC
AC సమీకరణము
x + 1 = 0 …………….. (1)
AB సమీకరణము
3x – 4y – 5 = 0 …………….. (2)
BC సమీకరణము
5x + 12y – 27 = 0 ………………. (3)
(1) నుండి x = -1
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా ⇒ 3 (-1) – 4y – 5 = 0
4y = – 8
y = -2
(1), (2) ల ఖండన బిందువు
A = (-1,-2)
(2), (3) లను సాధించగా

(2), (3) ల ఖండన బిందువు B = (3, 1)
(1) నుండి x = -1
(3) లో ప్రతిక్షేపించగా
-5 + 12y – 27 = 0
12y = 32
y = \(\frac{32}{12}\) = \(\frac{8}{3}\)
(3), (1) ల ఖండన బిందువు

∴ అంతర కేంద్రము = \(\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

ii)

∆ ABC,
AC సమీకరణము x + y – 7 = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము’ x – y + 1 = 0 ……………….. (2)
BC సమీకరణము x – 3y + 5 = 0 ……………… (3)
(1), (2), (3) లను సాధిస్తే
శీర్షాలు A (3, 4) B (1, 2), C (4, 3)

ప్రశ్న 7.
ax + by + c = 0, lx + my + n = 0, px + qy + r = 0 రేఖలతో ఒక త్రిభుజం ఏర్పడింది. అది సమకోణ త్రిభుజం కాకపోతే,
\(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+n}{l p+m q}\) -సమీకరణం సూచించే సరళరేఖ ఆ త్రిభుజం లంబకేంద్రం గుండా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
దత్త త్రిభుజము

ax + by + c = 0 ………………. (1)
lx + my + n = 0 ………………. (2)
px + qy + r = 0 ………………. (3)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు గుండా పోతే రేఖ సమీకరణం.
ax + by + c + k (lx + my + n) = 0
(a + kl) x + (b + km)y + (c + nk) = 0
ఇది (3) కి లంబం కనుక
p(a + kl) + q(b + km) = 0
⇒ k = –\(\frac{\mathrm{ap}+\mathrm{bq}}{l p+\mathrm{m} q}\)
(4) లో ప్రతిక్షేపించగా
(ap + bq + c) – \(\left(\frac{a p+b q}{l p+m q}\right)\) (lx + my + n) = 0
∴ \(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+n}{l p+m q}\)
కావలసిన రేఖ AD సమీకరణము
ఈ ఉన్నతి A గుండాపోతుంది.
∴ ఈ రేఖ. \(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+y}{l p+m q}\)
త్రిభుజ లంబకేంద్రం గుండాపోతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక త్రిభుజం భుజాలు \(\overleftrightarrow{B C}, \overleftrightarrow{C A}, \overleftrightarrow{A B}\) కార్టీసియన్ సమీకరణాలు క్రమంగా u_r = a_rx + b_ry + c_r = 0, r = 1, 2, 3. A గుండాపోతూ \(\overleftrightarrow{B C}\) ని సమద్విఖండన చేసే సరళరేఖ సమీకరణం \(\frac{u_3}{a_3 b_1-a_1 b_3}=\frac{u_2}{a_1 b_2-a_2 b_1}\) అని చూపండి.
సాధన:
u₂ = 0, u₃ = 0 ల ఖండన బిందువు A.
∴ A గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
u₂ + λu₃ = 0⇒ (a₂x + b₂y + c₂) + λ(a₃x + b₃y + C₃) = 0 ………………. (1)
⇒ (a₂ + λa₃)x + (b₂ + λb₃) y + (c₂ + λc₃) = 0
ఈ రేఖ a₁x + b₁y + c₁ = 0 కి సమానం.
\(-\frac{\left(a_2+\lambda a_3\right)}{\left(b_2+\lambda b_3\right)}=-\frac{a_1}{b_1}\)
⇒ (a₂ + λa₃) b₁ = (b₂ + λb₃) a₁
⇒ a₂b₁ +λa₃b₁ = a₁b₂ + λa₁ b₃
⇒ λ (a₃b₁ − a₁b₃) = – (a₂b₁ – a₁b₂)
⇒ λ = – \(\frac{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}{a_3 b_1-a_1 b_3}\)
λ విలువను (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే కావలసిన సమీకరణము
(a₂x + b₂y + c₂) – \(\frac{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}{\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right)}\) (a₃x + b₃y + c₃) = 0
⇒ (a₃b₁ – a₁b₃) (a₂x + b₂y + c₂) – (a₂b₁ – a₁b₂) (a₃x + b₃y + c₃) = 0
⇒ (a₃b₁ − a₁b₃) u₂ – (a₂b₁ – a₁b₂) u₃ = 0
⇒ (a₃b₁ – a₁b₃) u₂ = (a₂b₁ – a₁b₂) u₃
⇒ \(\frac{u_3}{\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right)}=\frac{u_2}{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(a)

I.

Question 1.
f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}
x+2, x>1 \\
2,-1 \leq x \leq 1 \\
x-1,-3<x<-1 \end{array}\right.\) గా నిర్వచిస్తే, కింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) f(3)
(ii) f(0)
(iii) f(-1.5)
(iv) f(2) + f(-2)
(v) f(-5)
Solution:
(i) f(3)
x > 1, f(x) = x + 2
∴ f(3) = 3 + 2 = 5

(ii) f(0)
-1 ≤ x ≤ 1, f(x) = 2
∴ f(0) = 2

(iii) f(-1.5)
-3 < x < -1, f(x) = x – 1
∴ f(-1.5) = -1.5 – 1 = 2.5

(iv) f(2) + f(-2)
x > 1, f(x) = x + 2
∴ f(2) = 2 + 2 = 4
-3 < x < -1, f(x) = x – 1
∴ f(-2) = -2 – 1 = -3
∴ f(2) + f(-2) = 4 + (-3) = 1

(v) f(-5)
f ప్రదేశం {x/x ∈ (-3, ∞)} కనుక f(-5) నిర్వచితం కాదు.

Question 2.
f: R – (0) → R ను f(x) = \(x^3-\frac{1}{x^3}\) గా నిర్వచిస్తే, f(x) + f(\(\frac{1}{x}\)) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
f: R → R ను f(x) = \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\), గా నిర్వచిస్తే, f(tan θ) = cos 2θ అని చూపండి.
Solution:

Question 4.
f : R – {±1} → R f(x) = \(\log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|\) గా నిర్వచిస్తే, \(f\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) = 2 f(x) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
A = {-2, -1, 0, 1, 2), అయితే f : A → B సంగ్రస్త ప్రమేయం f(x) = x² + x + 1 గా నిర్వచిస్తే, B కనుక్కోండి.
Solution:
A = {-2, -1, 0, 1, 2}
f: A → B, f(x) = x² + x + 1
f : A → B సంగ్రస్త ప్రమేయం కనుక
f(-2) = (-2)² + (-2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3
f(-1) = (-1)² + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 = 1
f(0) = 0² + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
f(1) = 1² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
f(2) = 2² + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7
∴ B = f(A) = {3, 1, 7}

Question 6.
A = {1, 2, 3, 4}, అయితే f : A → R ను f(x) = \(\frac{x^2-x+1}{x+1}\) గా నిర్వచిస్తే f వ్యాప్తి కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
f(x + y) = f(xy) ∀ x, y అయితే f స్థిరప్రమేయం అని చూపండి.
Solution:
f(x + y) = f(xy), x, y ∈ R
x = y = 0 అనుకొంటే
⇒ f(0) = f(0) …….(1)
అప్పుడు x = 1, y = 0
⇒ f(1) = f(0) …….(2)
Let x = 1, y = 1
f(2) = f(1) …….(3)
(1) ,(2), (3) నుండి
f(0) = f(1) = f(2)
⇒ f(0) = f(2)
⇒ f(3) = f(0)
⇒ f(4) = f (0)
.
.
.
f(n) = f(0)
∴ f అనునది స్థిర ప్రమేయము.

II.

Question 1.
A = {x/-1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x², g(x) = x³, గా నిర్వచిస్తే, కింది ప్రమేయాలలో ఏవి సంగ్రస్తాలు?
(i) f : A → A
(ii) g : A → A
Solution:
(i) f : A → A
∵ A = {x/-1 ≤ x ≤ 1], f(x) = x²
⇒ f(x) అనేది A నుంచి A కు ప్రమేయం
(i.e.,) f : A → A
y ∈ A అనుకొందాం.
f(x) = y అయ్యేటట్లుగా x² = y అవుతుంది.
⇒ x = √y
y = -1 అయితే x = √-1 ∉ A
కనుక f : A → A సంగ్రస్త ప్రమేయం కాదు.

(ii) g : A → A
∵ A = {x/-1 ≤ x ≤ 1], g(x) = x³
⇒ g : A → A
y ∈ A అనుకొందాం.
అప్పుడు g(x) = y
⇒ x³ = y
⇒ x = \(y^{1 / 3}\) ∈ A
y = -1 అయితే x = -1 ∈ A
y = 0 అయితే x = 0 ∈ A
y = 1 అయితే x = 1 ∈ A
∴ g : A → A సంగ్రస్త ప్రమేయం.

Question 2.
కింది వాటిలో ఏవి సంగ్రస్తం, అన్వేకం, ద్విగుణం అవుతాయో నిర్ణయించండి.
(i) f : R → R ను f(x) = \(\frac{2 x+1}{3}\) గా నిర్వచించాం. [Mar. ’15]
Solution:

(ii) f : R → (0, ∞) ను f(x) = 2^x గా నిర్వచించాం.
Solution:

(iii) f : (0, ∞) → R ను f(x) = log_ex గా నిర్వచించాం.
Solution:

(iv) f : [0, ∞) → [0, ∞) ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ [0, ∞) (i.e.,) f ప్రదేశం .
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = x₂ [∵ x₁, x₂ ≥ 0]
∴ f(x) = x², f : {0, ∞) → {0, ∞) అన్వేకం
y ∈ (0, ∞), (సహ ప్రదేశం) కు
y = x²
⇒ x = √y, [∵y ≥ 0]
అప్పుడు f(x) = x²
= (√y)²
= y
∴ f : (0, ∞) → (0, ∞) సంగ్రస్తం
∴ f ద్విగుణ ప్రమేయం

(v) f : R → [0, ∞) ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ R.
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = ±x₂, [∵ x₁, x₂ ∈ R]
f అన్వేకం కాదు.
y ∈ [0, ∞)
y = x²
⇒ x = √y, y ∈ [0, ∞)
అప్పుడు f(x) = x²
= (√y)²
= y
∴ f : R → (0, ∞) సంగ్రస్తం కనుక f ద్విగుణ ప్రమేయం కాదు.

(vi) f : R → R ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ R, (f ప్రదేశం)
∴ f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = ±x₂, [∵ x₁, x₂ ∈ R]
∴ f(x) అన్వేకం కాదు.
(-∞, 0) సహప్రదేశంలో ఉన్న మూలకానికి పూర్వబింబం లేదు. కనుక f సంగ్రస్తం కాదు.
∴ f ద్విగుణ ప్రమేయం కాదు.

Question 3.
g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}. ఇది A = {1, 2, 3, 4} నుంచి B = {1, 3, 5, 7} ప్రమేయం అవుతుందా? g(x) = ax + b గా నిర్వచిస్తే, a, b విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 3, 5, 7}
g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
కనుక g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 5, g(4) = 7
A లో ప్రతీ a ∈ A కి అనురూపంగా (a, b) ∈ g అయ్యేటట్లు B లో ఒకే ఒక్క b వ్యవస్థితం అవుతుంది.
కనుక g : A → B ప్రమేయం అవుతుంది.
ఇప్పుడు g(x) = ax + b,
g(1) = a(1) + b = 1
⇒ a + b = 1 ……(1)
g(2) = a(2) + b
⇒ 2a + b = 3 …….(2)
(1), (2) ను సాధించగా a = 2, b = -1.

Question 4.
f : R → R ను f(x) = \(\frac{3^x+3^{-x}}{2}\) గా నిర్వచిస్తే, f(x + y) + f(x – y) = 2 f(x) f(y) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
f : R → R ను f(x) = \(\frac{4^x}{4^x+2}\) గా నిర్వచిస్తే f(1 – x) = 1 – f(x) అని చూపండి. f(1/4) + 2f(1/2) + f(3/4) విలువ రాబట్టండి.
Solution:
f : R → R, f(x) = \(\frac{4^x}{4^x+2}\)
ఇప్పుడు f(1 – x) = \(\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}\)

Question 6.
f : (-1, 1) → (0, 2) ను f(x) = ax + b గా నిర్వచించిన ప్రమేయం సంగ్రస్తమయితే a, b విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
f : {-1, 1} → {0, 2}, f(x) = ax + b సంగ్రస్తం కనుక
f(-1) = 0, f(1) = 2 (or) f(-1) = 2, f(1) = 0
సందర్భం (i) f(-1) = 0, f(1) = 2
∴ a(-1) + b = 0 ⇒ a + b = 0 ……..(1)
a(1) + b = 2 ⇒ a + b = 2 ………(2)
(1), (2) ల నుండి a = 1, b = 1
సందర్భం (ii) f(-1) = 2, f(1) = 0
a(-1) + b = 2 ⇒ -a + b = 2 ……..(3)
a(1) + b = 0 ⇒ a + b = 0 ………(4)
(3), (4) ల నుండి a = -1, b = 1
∴ a = ±1, b = 1

Question 7.
f(x) = cos(log x) అయితే \(f\left(\frac{1}{x}\right) \cdot f\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(x y)\right]\) = 0 అని చూపండి.
Solution:
f(x) = cos (log x)
\(f\left(\frac{1}{x}\right)=\cos \left(\log \left(\frac{1}{x}\right)\right)\)
= cos (log 1 – log x)
= cos (-log x)
= cos (log x)
ఇదే విధంగా
f(\(\frac{1}{y}\)) = cos (log y)
f(\(\frac{x}{y}\)) = cos log (\(\frac{x}{y}\))
= cos (log x – log y)
f(xy) = cos log(xy)
= cos (log x + log y)
f(\(\frac{x}{y}\)) + f(xy) = cos (log x – log y) + cos (log x + log y)
= 2 cos (log x) cos (log y)
∴ cos (A – B) + cos (A + B) = 2 cos A . cos B
LHS = \(f\left(\frac{1}{x}\right) \cdot f\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(x y)\right]\)
= cos (log x) cos (log y) – \(\frac{1}{2}\) [2 cos (log x) cos (log y)]
= 0

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(a)

అభ్యాసం – 3 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
x + y = 0, x – y = 0 రేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
సాధన:
x + y = 0 రేఖ వాలు – \(\frac{a}{b}\) = -1
x – y = 0 రేఖ వాలు = 1

ప్రశ్న 2.
(2, -3), (0, -3) బిందువులు ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణము
(y – y₁) (x₁ – x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y + 3) (2 – 0) = (x – 2) (-3 + 3)
2(y + 3) = 0
= y + 3 = 0

ప్రశ్న 3.
(1, 2), (1, -2) బిందువులు ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణం
(y – y₁) (x₁ − x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y – 2) (1 – 1) = (x – 1) (2 + 2)
0 = 4(x – 1)
x – 1 = 0.

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖ y = \(\sqrt{3}\)x – 4 Y – అక్షంతో చేసే కోణం, కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణము y = \(\sqrt{3}\)x – 4
వాలు = m = \(\sqrt{3}\) = tan \(\frac{\pi}{3}\)
X- అక్షంతో చేసే కోణం = \(\frac{\pi}{3}\)
Y- అక్షంతో చేసే కోణం = \(\frac{\pi}{2}\) – \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{6}\)

ప్రశ్న 5.
Y- అక్షంలో X = 1 రేఖకు ప్రతిబింబం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ సమీకరణము x = 1
Y-అక్షం దృష్ట్యా X = -1 యొక్క ప్రతిబింబము
i.e., x + 1 = 0

ప్రశ్న 6.
ab = 0 అయినప్పుడు (a, 0), (h, k), (0, b) బిందువులు సరేఖీయాలు కావడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(a, 0), B(h, k), C(0, b) లు సరేఖీయాలు.
⇒ AB వాలు = AC వాలు
\(\frac{k-0}{h-a}=\frac{-b}{a}\)
ak = – bh + ab
bh + ak = ab
\(\frac{h}{a}+\frac{k}{b}\) = 1

ప్రశ్న 7.
X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ
i) X- అక్షానికి ఎగువన 3 యూనిట్ల దూరంలో
ii) X- అక్షానికి దిగువన 4 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న సరళరేఖల సమీకరణాలు రాయండి.
సాధన:
i)

AB సమీకరణము y = 3

ii)

AB సమీకరణము y = -4
y + 4 = 0

ప్రశ్న 8.
Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ
i) Y- అక్షానికి కుడివైపున 2 యూనిట్ల దూరంలో
ii) Y- అక్షానికి ఎడమవైపున 5 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న సరళరేఖల సమీకరణాలను రాయండి.
సాధన:
i)

కావలసిన AB సమీకరణము X = 2 లేదా X – 2 = 0

ii)

కావలసిన AB సమీకరణము
x = -5
x + 5 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన బిందు యుగ్మాల ద్వారా పోయే సరళరేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
i) (-3, 8) (10, 5)
ii) (3, 4) (7, -6)
iii) (8, 1), (-1, 7)
iv) (-p, q) (q, -p) (pq ≠ 0)
సాధన:
i) వాలు = \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{8-5}{-3-10}=\frac{-3}{13}\)
ii) వాలు = \(\frac{4+6}{3-7}=\frac{10}{-4}=\frac{-5}{2}\)
iii) వాలు = \(\frac{1-7}{8+1}=\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3}\)
iv) వాలు = \(\frac{q+p}{-p-q}=\frac{(p+q)}{-(p+q)}=-1\)

ప్రశ్న 2.
(2, 5), (x, 3) బిందువులగుండా పోయే సరళరేఖ వాలు 2 అయితే X విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
వాలు = \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{5-3}{2-x}\) = 2
2 = 2(2 – x) ⇒ 1 = 12 – x
x = 2 – 1 = 1

ప్రశ్న 3.
(3, y), (2, 7) బిందువులను కలిపే రేఖ (−1, 4), (0, 6) బిందువులను కలిపే రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటే y విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
A(3, y), B(2, 7), P (-1, 4), Q(0, 6) లు దత్త బిందువులు.
m₁ = AB వాలు = \(\frac{y-7}{3-2}\) = y – 7
m₂ = PQ వాలు = \(\frac{4-6}{-1-0}=\frac{-2}{-1}\) = 2

AB, PQ లు సమాంతరాలు.
m₁ = m₂ ⇒ y – 7 = 2
y = 2 + 7 = 9

ప్రశ్న 4.
(6, 3), (- 4, 5) బిందువుల గుండా పోయే రేఖకు
(i) సమాంతరంగా
(ii) లంబంగా ఉన్న సరళరేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
సాధన:
(6, 3), B(-4, 5) లు దత్త బిందువులు.
m = AB వాలు = \(\frac{3-5}{6+4}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}\)

PQ కు సమాంతరం AB
PQ వాలు = m = –\(\frac{1}{5}\)
RS కు లంబంగా AB
RS వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = 5

ప్రశ్న 5.
ధన X-అక్షంతో ధనదిశలో క్రింద ఇచ్చిన కోణాలు చేస్తూ, దత్త బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
i) \(\frac{\pi}{4}\), (0,0)
ii) \(\frac{\pi}{3}\), (1, 2)
ili) 135°, (3, -2)
iv) 150°, (-2, -1)
సాధన:
i) m = వాలు = tan 45° = 1
రేఖా సమీకరణము y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 1(x – 0)
i.e., y = x
లేదా x – y = 0

ii) m = tan 60° = \(\sqrt{3}\)
రేఖా సమీకరణము
y – 2 = \(\sqrt{3}\)(x – 1)
= \(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}\)x – y +(2 – \(\sqrt{3}\)) = 0

iii) m = tan 135° tan (180° – 45°)
– tan 45° = -1 .
రేఖా సమీకరణము y + 2 = 1 (x + 3)
= – x + 3
i.e., x + y – 1 = 0

iv) m = tan 150 ° = tan (180° – 30)
= -tan 30° = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
రేఖా సమీకరణము
y + 1 = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (x + 2)
\(\sqrt{3}\)y + \(\sqrt{3}\) = -x – 2
x + \(\sqrt{3}\)y + (2 + \(\sqrt{3}\)) = 0

ప్రశ్న 6.
మూల బిందువు గుండాపోతూ నిరూపకాక్షాలతో సమాన కోణాలు చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : PP’ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో 45° కోణం చేస్తుంది.
m = tan 45° = 1
PP’ రేఖ (0, 0) గుండా పోతుంది.
PP’ సమీకరణము y – 0 = 1(x – 0)
y = x

సందర్భం ii) : QQ’ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో 135° కోణం చేస్తుంది.
m = tan 135° =tan (180° – 45°) = -tan 45°
QQ’ సమీకరణము y – 0 = -1(x – 0)
y = -x

ప్రశ్న 7.
సరళరేఖ ధన X- అక్షం ధన దిశతో చేసే కోణం, దాని Y-అంతర ఖండం క్రింద ఇచ్చాం. ఆ సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
i) 60°, 3
ii) 150°, 2
iii) 45°, -2
iv) tan^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\), 3
సాధన:
i) రేఖ సమీకరణము y = mx + c
m = tan 60° = \(\sqrt{3}\), c = 3
రేఖ సమీకరణము y = \(\sqrt{3}\)x + 3
\(\sqrt{3}\)x – y + 3 = 0

ii) m = tan 150° = tan (180° – 30°)
= – tan 30° = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\), c = 2
రేఖ సమీకరణము y = −x + 2
\(\sqrt{3}\)y = -x + 2\(\sqrt{3}\)
x + \(\sqrt{3}\)y – 2\(\sqrt{3}\) = 0

iii) m = tan 45° = 1
c = -2
రేఖ సమీకరణము
y = x – 2
x – y – 2 = 0

iv) θ = tan^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\) ⇒ m = tan θ = \(\frac{2}{3}\), c = 3
రేఖా సమీకరణము y = \(\frac{2}{3}\)x + 3
3y = 2x + 9
2x – 3y + 9 = 0

ప్రశ్న 8.
(- 4, 5) బిందువుగుండా పోతూ నిరూపకాక్షాలలో సమాన శూన్యేతర అంతరఖండాలు చేసే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15; May ’13]
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశము ప్రకారము a = b
రేఖా సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
⇒ x + y = a
ఈ రేఖ P(- 4, 5) గుండా పోతుంది.
– 4 + 5 = a ⇒ a = 1
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
x + y = 1
లేదా x + y – 1 = 0

ప్రశ్న 9.
(-2, 4) బిందువు గుండా పోతూ శూన్యేతర అంతర ఖండాల మొత్తము సున్న అయ్యే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశము ప్రకారం a + b = 0 ⇒ b = -a
రేఖ సమీకరణము \(\frac{x}{a}-\frac{y}{a}\) = 1
⇒ x – y = a
ఈ రేఖ P(−2, 4) గుండా పోతుంది.
∴ -2 – 4 = a ⇒ a = -6
కావలసిన రేఖ సమీకరణము x – y = -6
x − y + 6 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
(3, – 4) బిందువు గుండా పోతూ X, Y- అంతరఖండాలు 2:3 నిష్పత్తిలో గల సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశం ప్రకారం \(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\) ⇒ b = \(\frac{3 a}{2}\)
రేఖ సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{2 y}{3 a}\) = 1
3x + 2y = 3a
ఈ రేఖ P(3, – 4) గుండా పోతుంది.
9 – 8 = 3a ⇒ 3a = 1
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 3x + y = 1
3x + 2y – 1 = 0

ప్రశ్న 2.
(4, -3) బిందువు గుండా పోతూ (1, 1), (2, 3) బిందువుల ద్వారా పోయే సరళరేఖకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(1, 1); B(2, 3) లు దత్త బిందువులు.
m = AB వాలు = \(\frac{1-3}{1-2}=\frac{-2}{-1}\) = 2

PQ రేఖ AB కి లంబంగా ఉంది.
PQ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{2}\)
PQ రేఖ (4, -3) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – y₁ = m(x – x₁)
y + 3 = –\(\frac{1}{2}\) (x – 4)
2y + 6 = -x + 4
x + 2y + 2 = 0

ప్రశ్న 3.
కింది బిందువులు సరేఖీయాలని చూపి కలిగి ఉండే L సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
i) (-5, 1), (5, 5), (10, 7)
ii) (1, 3), (-2, -6), (2, 6)
iii) (a, b + c), (b, c + a), (c, a + b)
సాధన:
i) A(-5, 1), B(5, 5), C(10, 7) లు దత్త బిందువులు.
AB సమీకరణము
(y – y₁) (x, – x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y – 1) (-5 – 5) = (x + 5) (1 – 5)
-10y + 10 = -4x – 20
4x – 10y + 30 = 0
లేదా 2x – 5y + 15 = 0
C (10, 7)
2x – 5y + 15 = 2.10 – 5.7 + 15
= 20 – 35 + 15 = 0
A,B,C లు సరేఖీయాలు.
దత్త బిందువుల గుండా పోయే రేఖ సమీకరణం
2x – 5y + 15 = 0

ii) A(1, 3), B(-2, -6), C(2, 6)
AB సమీకరణం
(y – 3)(1 + 2) = (x – 1) (3 + 6)
3(y – 3) = 9(x – 1)
y – 3 = 3x – 3
3x – y = 0
C(2, 6)
3x – y = 3.2 – 6 = 6 – 6 = 0
∴ దత్త బిందువులు A, B, C లు సరేఖీయాలు,
A,B,C ల గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
3x – y = 0

iii) A(a, b + c), B(b, c + a), C(c, a + b)
AB సమీకరణము
(y – (b + c)) (a – b) = (x – a) (b + c – c – a)
(y – b – c) (a – b) = -(a – b) (x − a)
y – b – c = -x + a
లేదా x + y – (a + b + c) = 0
C(c, a + b)
c + a + b – a – b – c = 0
బిందువు AB మీద ఉంది.
A, B, C లు సరేఖీయాలు.
ఈ రేఖ సమీకరణము x + y = a + b + c

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజానికి A(10, 4), B(-4, 9), C(-2, -1) లు శీర్షాలు.
i) \(\overleftrightarrow{A B}\)
ii) A ద్వారా పోయే మధ్యగత రేఖ
iii) B ద్వారా పోయే ఉన్నతి
iv) భుజం \(\overleftrightarrow{A B}\) కి లంబ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
i) A(10, 4), B(-4, 9)లు దత్త బిందువులు.
AB సమీకరణము
(y – 4) (10 + 4) = (x – 10) (4 – 9)
14y – 56 = -5x + 50
5x + 14y – 106 = 0

ii) D బిందువు BC మధ్య బిందువు
D నిరూపకాలు \(\left(\frac{-4-2}{2}, \frac{9-1}{2}\right)\)
= (-3, 4)

A (10, 4) మూడవ శీర్షంలో AD సమీకరణం
(y – 4) (10 + 3) = (x + 3) (4 −4)
13(y – 4) = 0 ⇒ y – 4 = 0 (లేదా) y = 4

iii)

BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = \(\frac{-1}{m}=\frac{-12}{5}\)
BE రేఖ B(-4, 9) గుండా పోతుంది.
BE సమీకరణం ఉన్నతి
y – 9 = \(\frac{-12}{5}\) (x + 4)
5y – 45 = -12x – 48
12x + 5y + 3 = 0

iv) మధ్య బిందువు AB

PQ రేఖ AB కి లంబంగా ఉంది.
PQ వాలు = \(\frac{-1}{m}=\frac{14}{5}\)
AB లంబ సమద్విఖండన రేఖ సమీకరణము
У – \(\frac{13}{2}\) = \(\frac{14}{5}\) (x – 3)
5y – \(\frac{65}{2}\) = 14x – 42
14x – 5y + \(\left(\frac{65}{2}-42\right)\) = 0
14x – 5y – \(\frac{19}{2}\) = 0
28x – 10y – 19 = 0

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(d)

I.

Question 1.
కింది మాత్రికల నిర్ధారకాలు కనుక్కోండి.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = ad – bc
= 2(-5) – 1(1)
= -10 – 1
= -11

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 4(2) – (-6)(5)
= 8 + 30
= 38

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{i} & 0 \\
0 & -\mathbf{i}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = -i² – 0
= 1 – 0
= 1

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 0(0 – 1) – 1(0 – 1) + 1(1 – 0)
= 1 + 1
= 2

(v) \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 1(-6 – 28) – 4(12 + 12) + 2(14 – 3)
= -34 – 96 + 22
= -108

(vi) \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 2(-3 – 2) + 1(4 – 1) + 4(8 + 3)
= -10 + 3 + 44
= 37

(vii) \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 0,
∵ R₁ మరియు R₃ ల అనురూప మూలకాలు సమాన నిష్పత్తిలో ఉన్నవి.

(viii) \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{h} & \mathbf{g} \\
\mathbf{h} & \mathbf{b} & \mathbf{f} \\
\mathbf{g} & \mathbf{f} & \mathbf{c}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = a(bc – f²) – h(ch – fg) + g(hf – bg)
= abc – af² – ch² + fgh + fgh – bg²
= abc + 2fgh – af² – bg² – ch²

(ix) \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \boldsymbol{b} & \mathbf{c} \\
\mathbf{b} & \mathbf{c} & \mathbf{a} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{b}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = a(bc – a²) – b(b² – ac) + c(ab – c²)
= abc – a³ – b³ + abc + abc – c³
= 3abc – a³ – b³ – c³

(x) \(\left[\begin{array}{ccc}
\mathbf{1}^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 9 \\
4 & 9 & 16 \\
9 & 16 & 25
\end{array}\right|\)
= 1(225 – 256) – 4(100 – 144) + 9(64 – 81)
= -31 + 176 – 153
= -184 + 176
= -8

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right]\) అయి, det A = 45 అయితే x విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’07, ’03]
Solution:
det A = 45
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right|\) = 45
⇒ 3x + 24 = 45
⇒ 3x – 45 + 24 = 0
⇒ 3x – 21 = 0
⇒ x = 7

II.

Question 1.
\(\left|\begin{array}{lll}
b c & b+c & 1 \\
c a & c+a & 1 \\
a b & a+b & 1
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & c+a & a+b \\
a+b & b+c & c+a \\
a & b & c
\end{array}\right|\) = a³ + b³ + c³ – 3abc అని చూపండి. [May ’13, ’07; Mar. ’08]
Solution:

= (a + b + c) [(-ac + b²) – (-c² + ab) + (-bc + a²))
= (a + b + c) (-ac + b² + c² – ab – bc + a²)
= (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
= a³ + b³ + c³ – 3abc

Question 3.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{y}+\mathbf{z} & \mathbf{x} & \mathbf{x} \\
\mathbf{y} & \mathbf{z}+\mathbf{x} & \mathbf{y} \\
\mathbf{z} & \mathbf{z} & \mathbf{x}+\mathbf{y}
\end{array}\right|\) = 4xyz అని చూపండి.
Solution:
L.H.S. = \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{y}+\mathbf{z} & \mathbf{x} & \mathbf{x} \\
\mathbf{y} & \mathbf{z}+\mathbf{x} & \mathbf{y} \\
\mathbf{z} & \mathbf{z} & \mathbf{x}+\mathbf{y}
\end{array}\right|\)
= (y + z) [(z + x) (x + y) – yz] – x[y(x + y) – yz] + x[yz – z(z + x)]
= (y + z) (zx + yz + x² + xy – yz) – x(xy + y² – yz) + x(yz – z² – zx)
= (y + z) (zx + x² + xy) – x(xy + y² – yz) + x(yz – z² – zx)
= xyz + x²y + xy² + xz² + x²z + xyz – x²y – xy² + xyz + xyz – xz² – x²z
= 4xyz

Question 4.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & 1+a^3 \\
b & b^2 & 1+b^3 \\
c & c^2 & 1+c^3
\end{array}\right|\) = 0, \(\left|\begin{array}{lll}
a & a^2 & 1 \\
b & b^2 & 1 \\
c & c^2 & 1
\end{array}\right|\) ≠ 0 అయితే abc = -1 అని చూపండి.
సూచన: ఒక చతురస్ర మాత్రికలో ఏదైనా ఒక అడ్డు వరుస (లేదా నిలువు వరుస) లోని ప్రతీ మూలకం రెండు సంఖ్యల మొత్తంగా ఉంటే, ఆ మాత్రిక నిర్ధారకాన్ని రెండు మాత్రికల నిర్ధారకాలు మొత్తంగా వ్రాయవచ్చు.
Solution:

∴ 1 + abc = 0
⇒ abc = -1

Question 5.
నిర్ధారకాన్ని విస్తరించండి.
(i) \(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & b c \\
b & b^2 & c a \\
c & c^2 & a b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
1 & b^2 & b^3 \\
1 & c^2 & c^3
\end{array}\right|\)
Solution:

(ii) \(\begin{array}{ccc}
a x & b y & c z \\
x^2 & y^2 & z^2 \\
1 & 1 & 1
\end{array}=\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
x & y & z \\
y z & z x & x y
\end{array}\right|\)
Solution:

(iii) \(\begin{array}{lll}
1 & b c & b+c \\
1 & c a & c+a \\
1 & a b & a+b
\end{array}=\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 6.
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
a_1^2+b_1+c_1 & a_1 a_2+b_2+c_2 & a_1 a_3+b_3+c_3 \\
b_1 b_2+c_1 & b_2^2+c_2 & b_2 b_3+c_3 \\
c_3 c_1 & c_3 c_2 & c_3^2
\end{array}\right|\) మరియు Δ₂ = \(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_2 & c_2 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|\), అయితే \(\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\) విలువ కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \alpha & 1
\end{array}\right|\), Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\), Δ₁ = Δ₂ అయితే cos²α + cos²β + cos²γ = 1 అని చూపండి.
Solution:
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \alpha & 1
\end{array}\right|\)
= 1(1 – cos²γ) – cos α (cos α – cos β cos γ) + cos β (cos α cos γ – cos β)
= 1 – cos²γ – cos²α + cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ – cos²β
= 1 – cos²γ – cos²α – cos²β + 2 cos α cos β cos γ
Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\)
= 0(0 – cos²γ) – cos α (0 – cos γ cos β) + cos β (cos α cos γ – 0)
= cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ
= 2 cos α cos β cos γ
ఇచ్చినది Δ₁ = Δ₂
1 – cos²γ – cos²α – cos²β + 2 cos α cos β cos γ = 2 cos α cos β cos γ
1 – cos²α – cos²β – cos²γ = 0
1 = cos²α + cos²β + cos²γ

III.

Question 1.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{2 c} & \mathbf{a} & \mathbf{b} \\
\mathbf{c} & \mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{2 a} & \mathbf{b} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{a}+\mathbf{2 b}
\end{array}\right|\) = 2(a + b + c)³ అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \\
\mathbf{b} & \mathbf{c} & \mathbf{a} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{b}
\end{array}\right|^2\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 b c-a^2 & c^2 & b^2 \\
c^2 & 2 a c-b^2 & a^2 \\
b^2 & a^2 & 2 a b-c^2
\end{array}\right|\) = (a³ + b³ + c³ – 3abc)² అని చూపండి. [Mar. ’01]
Solution:

Question 3.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a^2+2 a & 2 a+1 & 1 \\
2 a+1 & a+2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{array}\right|\) = (a – 1)³ అని చూపండి. [Mar. ’13, ’07]
Solution:

= (a – 1)² [0(6 – 3) – 0[3(a + 1) – 3) + 1(a + 1 – 2)]
= (a – 1)² (a – 1)
= (a – 1)³
= R.H.S.

Question 4.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2 \\
a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|\) = abc (a – b) (b – c) (c – a) అని చూపండి. [May ’06]
Solution:

= abc (a – b) (b – c) [0(c² – c(b + c) – 0(c² – c(a + b) + 1(b + c – a – b)]
= abc (a – b) (b – c) (c – a)

Question 5.
\(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & \mathbf{a}+\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} \\
\mathbf{a}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{b} & \mathbf{b}+\mathbf{c} \\
\mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 4(a + b) (b + c) (c + a) అని చూపండి.
Solution:

= 0 [∵ R₁ = R₃]
∴ (a + b), Δ కు కారణరాశి.
ఇదేవిధంగా b + c, c + a లు కూడా Δ కు కారణరాశులు.
∴ Δ అనునది a, b, c లలో 3వ పరిమాణం.
Δ = k(a + b) (b + c) (c + a), k శూన్యేతర సంఖ్య.
a = 1, b = 1, c = 1 అయిన
\(\left|\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & 2 \\
2 & -2 & 2 \\
2 & 2 & -2
\end{array}\right|\) = k(1 + 1) (1 + 1) (1 + 1)
⇒ -2(4 – 4) – 2(-4 – 4) + 2(4 + 4) = 8k
⇒ 16 + 16 = 8k
⇒ k = 4
∴ Δ = 4(a + b) (b + c) (c + a)
∴ \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & \mathbf{a}+\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} \\
\mathbf{a}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{b} & \mathbf{b}+\mathbf{c} \\
\mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 4(a + b) (b + c) (c + a).

Question 6.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{a}-\mathbf{b} & \mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{c}-\mathbf{a} \\
\mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{c}-\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} \\
\mathbf{c}-\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} & \mathbf{b}-\mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 7.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2-b c \\
1 & b & b^2-c a \\
1 & c & c^2-a b
\end{array}\right|\) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 8.
\(\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{x} & \mathbf{a} & \mathbf{a} \\
\mathbf{a} & \mathbf{x} & \mathbf{a} \\
\mathbf{a} & \mathbf{a} & \mathbf{x}
\end{array}\right|\) = (x + 2a) (x – a)² అని చూపండి.
Solution:

= (x + 2a) [1(x – a)² – a(0(x – a) – 0)] + a[0 – 0(x – a)]
= (x + 2a) (x – a)²
= R.H.S.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a)

I. గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతీ n ∈ N కు కిందివాటిని రుజువు చేయండి.

Question 1.
1² + 2² + 3² + ….. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Solution:
1² + 2² + 3² + ….. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
S(n) = 1² + 2² + 3² + ….. + n²
S(1) = \(\frac{(1)(2)(3)}{6}\) = 1
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.
i.e., 1² + 2² + 3² + ….. + k² = \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}\) అని చూపాలి.
(S(k) = 1² + 2² + 3² + ….. + k²)
S(k + 1) = 1² + 2² + 3² + ……. + (k)² + (k + 1)² = S(k) + (k + 1)²


∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుండి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1² + 2² + 3² + ……. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\), ∀ n ∈ N

Question 2.
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) [Mar. ’13; May ’06]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం = (n + 1)(n + 2)
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ………. + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి మొత్తం S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = 2 . 3 = \(\frac{(1)(1+6+11)}{3}\) = 6
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = 2 . 3 + 3 . 4 + …….. + (k + 1) (k + 2) = \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
i.e., S(k + 1) = (k + 1) \(\left[\frac{(k+1)^2+6(k+1)+11}{3}\right]\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. + (k + 1)
(k + 2) + (k + 2) (k + 3) = S(k) + (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\) + (k + 2) (k + 3)

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …… + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\), ∀ n ∈ N

Question 3.
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
Solution:
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.3}=\frac{1}{1(2+1)}=\frac{1}{1.3}\)
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 \mathrm{k}-1)(2 \mathrm{k}+1)}\) = \(\frac{k}{2 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\), ∀ n ∈ N

Question 4.
4³ + 8³ + 12³ + ……. n పదాల వరకు = 16n² (n + 1)².
Solution:
4, 8, 12, … లు A.P. లో ఉన్నవి.
n వ పదం (4n)
4³ + 8³ + 12³ + ……. + (4n)³ = 16n² (n + 1)² అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 4³ = 16(1²) (1 + 1)² = 16(4) = 64 =4³
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొనుము.
i.e., S(k) = 4³ + 8³ + (12)³ + …… + (4k)³ = 16k² (k + 1)²
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = 16(k + 1)² (k + 2)² అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4³ + 8³ + 12³ + …… + (4k)³ + [4(k + 1)]³
= S(k) + [4(k + 1)]³
= 16k² (k + 1)² + 4³ (k + 1)³
= 16(k + 1)² [k² + 4(k + 1))
= 16(k + 1)² [k² + 4k + 4]
= 16(k + 1)² (k + 2)²
= 16(k + 1)² (\(\overline{k+1}\) + 1)²
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 4³ + 8³ + 12³ + …… + (4n)³ = 16n² (n + 1)².

Question 5.
a + (a + d) + (a + 2d) + …..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d].
Solution:
a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = a = \(\frac{1}{2}\) [2a + (1 – 1)d] = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (k – 1)d] = \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d]
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\left(\frac{k+1}{2}\right)\) [2a + kd] అని చూపాలి.
S(k + 1) = a + (a + d) + (a + 2d) + …… + [a + (k – 1)d] + (a + kd)
= S(k) + (a + kd)
= \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d] + (a + kd)
= \(\frac{k[2 a+(k-1) d]+2(a+k d)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [2ak + k(k – 1)d + 2a + 2kd]
= \(\frac{1}{2}\) [2a(k + 1) + k(k – 1 + 2)d]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (2a + kd).
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]

Question 6.
a + ar + ar² + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1. [Mar. ’11]
Solution:
a + ar + a . r² + ……… + a . r^n-1 = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = a = \(\frac{a\left(r^1-1\right)}{r-1}\) = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + ar + ar² + …….. + a. r^k-1 = \(\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{a\left(r^{k+1}-1\right)}{r-1}\) అని చూపాలి.
ఇప్పుడు S(k + 1) = a + ar + ar² + …… + a r^k-1 + ar^k
= S(k) + a . r^k

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + ar + ar² + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1

Question 7.
2 + 7 + 12 + ……+ (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\)
Solution:
2 + 7 + 12 + ……. + (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి వైపుమొత్తాన్ని S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 2 = \(\frac{1(5 \times 1-1)}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) = \(\frac{k(5 k-1)}{2}\)
S(k+1) = \(\frac{(k+1)(5 k+4)}{2}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) + (5k + 2)
= S(k) + (5k + 2)
= \(\frac{k(5 k-1)}{2}\) + (5k + 2)
= \(\frac{5 k^2-k+2(5 k+2)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [5k² + 9k + 4]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (5k + 4)
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) [5(k + 1) – 1]
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 2 + 7 + 12 + …… + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\)

Question 8.
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² [(A.P) Mar. ’15]
Solution:
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొనుము.
S(1) = 1 + 3 = 4 = (1 + 1)² = 4
n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = K కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.

= (k + 1)² + 2k + 3
= k² + 2k + 1 + 2k + 3
= k² + 4k + 4
= (k + 2)²
= (k + 1 + 1)²
n = k + 1 కు నిజం.
n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.

Question 9.
(2n + 7) < (n + 3)²
Solution:
(2n + 7) < (n + 3)² అనే ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
n = 1
9 < 16
n = 1 కు నిజం
n = k కు నిజం అనుకొందాం.
(2k + 7) < (k + 3)²
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
2(k + 1) + 7 = 2k + 7 + 2 < (k + 3)² + 2
< k² + 6k + 9 + 2 + 2k + 5 – 2k – 5
< (k + 4)² – (2k + 5)
< (k + 4)² < (k + 1 + 3)²
n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం అవుతుంది.

Question 10.
1² + 2² + ….. + n² > \(\frac{n^3}{3}\)
Solution:
1² + 2² + …… + n² > \(\frac{n^3}{3}\) అనే ప్రవచనాన్ని P(n) అనుకొందాం.
n = 1 అయితే
1 > \(\frac{1}{3}\)
n = 1 కు p(n) నిజం అనుకొండి.
1² + 2² + ….. + k² > \(\frac{k^3}{3}\)
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
1² + 2² + 3²…… + k² + (k + 1)² > \(\frac{k^3}{3}\) + (k + 1)²

n = k + 1 కు నిజం.
గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.

Question 11.
4ⁿ – 3n – 1 ను 9 భాగిస్తుంది.
Solution:
4ⁿ – 3n – 1 ని 9 భాగిస్తుంది. అనే ప్రవచనాన్ని p(n) అనుకుందాం.
4¹ – 3(1) – 1 = 0
కాబట్టి n = 1 కి దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 4^k – 3k – 1, 9 చే భాగించబడుతుంది.
4^k – 3k – 1 = 9t, t ∈ N ……(1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4^k+1 – 3(k + 1) – 1 ని 9 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి,
4^k = 9t + 3k + 1
∴ S(k + 1) = 4 . 4^k – 3(k + 1) – 1
= 4(9t + 3k + 1) – 3k – 3 – 1
= 4(9t) + 9k
= 9[4t + k]
S(k + 1) ని 9 భాగిస్తుంది.
4t + k పూర్ణాంకం కనుక
∴ 4^k+1 – 3(k+1) – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) 4ⁿ – 3n – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.

Question 12.
3 . 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది. [May ’12, ’08]
Solution:
3 . 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
3 . 5²⁽¹⁾⁺¹ + 2³⁽¹⁾⁺¹
= 3 . 5³ + 2⁴
= 3(125) + 16
= 375 + 16
= 391
= 17(23) ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు దత్తప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 3 . 5^2k+1 + 2^3k+1 ను 17 భాగిస్తుంది అనుకోండి.
3 . 5^2k+1 + 2^3k+1 = 17t, t ∈ N …….(1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది అని చూపాలి.
(1) నుంచి, 3. 5^2k+1 + 2^3k+1 = 17t
∴ 3 . 5^2k+1 = 17t – 2^3k+1
∴ 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1
= 3.5^2k+1 . 5² + 2^3k+1 . 2³
= 25 [3 . 5^2k+1] + 8 . 2^3k+1
= 25 [17t – 2^3k+1] + 8 . 2^3k+1
= 17 (25t) + 17 . 2^3k+1
= 17 [25t + 2^3k+1]
ఇచ్చట 25t + 2^3k+1 పూర్ణాంకం.
∴ 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 3. 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది.

Question 13.
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5+…. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) [(T.S) Mar. ’15, ’08]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = (n) (n + 1) (n + 2)
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…..+ (n)(n+1)(n+2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1.2.3 = \(\frac{(1)(1+1)(1+2)(1+3)}{4}\) = 1.2.3
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …… + k(k+1) (k+2) = \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + …… + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= S(k) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\) + (k + 1)(k + 2)(k + 3)
= (k + 1)(k + 2)(k + 3) (\(\frac{k}{4}\) + 1)
= \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1.2.3 +2.3.4. + 3.4.5+…..+ (n)(n + 1)(n + 2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

Question 14.
\(\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}+\ldots\) ………(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{24}\) [2n² + 9n + 13]. [Mar. ’14, ’07, ’05]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం

Question 15.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\) [Mar. ’12]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం
(1² + 2² + 3² + ……+ n²)
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) +…….. + (1² + 2² + ….. + n²) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 1² = \(\frac{1(1+1)^2(1+2)}{12}\) = 1 = 1²
కాబట్టి n = 1 కు ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1² + (1² + 2²) + …… + (1² + 2² + ……. + k²) = \(\frac{k(k+1)^2(k+2)}{12}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)^2(k+3)}{12}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1² + (1² + 2²) + …… + (1² + 2² + 3² + ….. + k²) + [1² + 2² + …… + k² + (k + 1)²]
= S(k) + [1² + 2² + …… + k² + (k + 1)²]


∴ n = k + 1 కు ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N, p(n) నిజం.
(i.e.,) 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ………. (1² + 2² + ….. + n²) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Solutions Exercise 1(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(c)

I.

Question 1.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\) [Mar. ’14]
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\) ∈ R
⇔ (x² – 1) (x + 3) ≠ 0
⇔ (x + 1)(x – 1)(x + 3) ≠ 0
⇔ x ≠ -1, 1, -3
∴ f ప్రదేశం = R – {-1, 1, -3}

(ii) f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) ∈ R
⇔ (x – 1) (x – 2) (x – 3) ≠ 0
⇔ x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3
∴ f ప్రదేశం = R – {1, 2, 3)

(iii) f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\) ∈ R
⇔ log(2 – x) ≠ 0, 2 – x>0
⇔ (2 – x) ≠ 1, 2 > x
⇔ x ≠ 1, x < 2 x ∈ (-∞, 1) ∪ (1, 2)
లేదా x ∈ (-∞, 2) – {1}
∴ f ప్రదేశం = {(-∞, 2) – {1}}.

(iv) f(x) = |x – 3|
Solution:
f(x) = |x – 3| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం = R

(v) f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\) ∈ R
⇔ 4x – x² ≥ 0
⇔ x(4 – x) ≥ 0
⇔ x ∈ [0, 4]
∴ f ప్రదేశం = [0, 4]

(vi) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) [May ’05]
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ∈ R
⇔ 1 – x² > 0
⇔ (1 + x) (1 – x) > 0
⇔ x ∈ (-1, 1)
∴ f ప్రదేశం = {x/x ∈ (-1, 1)}

(vii) f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\) ∈ R
⇔ 3x ∈ R, ∀ x ∈ R, x + 1 ≠ 0
⇔ x ∈ R, x ≠ -1
∴ f ప్రదేశం = R – {-1}.

(viii) f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\) ∈ R
⇔ x² – 25 ≥ 0
⇔ (x + 5) (x – 5) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, -5] ∪ [5, ∞)
⇔ x ∈ R – (-5, 5)
∴ f ప్రదేశం = R – (-5, 5).

(ix) f(x) = \(\sqrt{x-[x]}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x-[x]}\) ∈ R
⇔ x – [x] ≥ 0
⇔ x ≥ [x]
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R.

(x) f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ [x] ≥ x
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ Z
∴ f ప్రదేశం z. (z పూర్ణాంకాల సమితి)

Question 2.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
(i) log |4 – x²|
Solution:
y = f(x) = log |4 – x²| అనుకోండి.
f(x) ∈ R
⇔ 4 – x² ≠ 0
⇔ x ≠ ±2
y = log |4 – x²|
⇒ |4 – x²| = e^y
∵ e^y > 0 ∀ y ∈ R
∴ f వ్యాప్తి R.

(ii) \(\sqrt{[x]-x}\)
Solution:
y = f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\) అనుకోండి.
f(x) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ Z
∴ f ప్రదేశం Z.
f వ్యాప్తి {0}

(iii) \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R
x ∈ R, [x] పూర్ణాంకం
sin π[x] = 0, ∀ x ∈ R
∴ f వ్యాప్తి {0}

(iv) \(\frac{x^2-4}{x-2}\)
Solution:
y = f(x) = \(\frac{x^2-4}{x-2}\) ∈ R అనుకోండి.
⇔ У = \(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\)
⇔ x ≠ 2
∴ f ప్రదేశం R – {2}
అప్పుడు y = x + 2
∵ x ≠ 2, y ≠ 4
f వ్యాప్తి R – {4}

(v) \(\sqrt{9+x^2}\)
Solution:
y = f(x) = \(\sqrt{9+x^2}\) ∈ R అనుకోండి.
f ప్రదేశం R
x = 0 అయిన f(0) = √9 = 3
∀ x ∈ R – {0}, f(x) > 3
∴ f వ్యాప్తి [3, ∞).

Question 3.
f, g వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలను f(x) = 2x – 1, g(x) = x² గా నిర్వచిస్తే, కింది వాటిని కనుక్కోండి.
(i) (3f – 2g) (x)
(ii) (fg) (x)
(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)
(iv) (f + g + 2) (x) లను కనుక్కోండి.
Solution:
(i) (3f – 2g) (x)
f(x) = 2x – 1, g(x) = x²
(3f – 2g) (x) = 3 f(x) – 2 g(x)
= 3(2x – 1) – 2x²
= -2x² + 6x – 3
(ii) (fg) (x)
= f(x) . g(x)
= (2x – 1) (x²)
= 2x³ – x²
(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)
\(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}=\frac{\sqrt{2 x-1}}{x^2}\)
(iv) (f + g + 2) (x)
= f(x) + g(x) + 2
= (2x – 1) + x² + 2
= x² + 2x + 1
= (x + 1)²

Question 4.
f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}, అయితే, కింది వాటిని కనుక్కోండి. [May ’08]
(i) 2f
(ii) 2 + f
(iii) f²
(iv) √f
Solution:
f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}
(i) 2f = {(1, 2(2)), (2, 2(-3), (3, 2(-1))}
= {(1, 4), (2, -6), (3, -2)}
(ii) 2 + f = {(1, 2 + 2), (2, 2 + (-3)), (3, 2 + (-1)}
= {(1, 4), (2, -1), (3, 1)}
(iii) f² = {(1, 2²), (2, (-3)²), (3, (-1)²)}
= {(1, 4), (2, 9), (3, 1)}
(iv) √f = {(1, √2)}
∵ √-3, √-1 లు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.

II.

Question 1.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలకు ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\) ∈ R
⇔ x² – 3x + 2 ≥ 0
⇔ (x – 1) (x – 2) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, 1] [2, ∞]
∴ f ప్రదేశం R – (1, 2)

(ii) f(x) = log(x² – 4x + 3) [May ’11; Mar. ’08]
Solution:
f(x) = log(x² – 4x + 3) ∈ R
⇔ x² – 4x + 3 > 0
⇔ (x – 1) (x – 3) > 0
⇔ x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, ∞)
∴ f ప్రదేశం R – [1, 3]

(iii) f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\) ∈ R
⇔ 2 + x ≥ 0, 2 – x ≥ 0, x ≠ 0
⇔ x² ≥ -2, x ≤ 2, x ≠ 0
⇔ -2 ≤ x ≤ 2, x ≠ 0
⇔ x ∈ [-2, 2] – {0}
∴ f ప్రదేశం [-2, 2] – {0}

(iv) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)} \log _{(4-x)} 10}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)} \log _{(4-x)} 10}\) ∈ R
⇔ 4 – x > 0, 4 – x ≠ 1 and x – 2 ≠ 0
⇔ x < 4, x ≠ 3, x ≠ 2
∴ f ప్రదేశం (-∞, 4) – {2, 3}

(v) f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\) ∈ R
సందర్భం (i) 4 – x2 ≥ 0 మరియు [x] + 2 > 0
(లేదా)
సందర్భం (ii) 4 – x² ≤ 0, [x] + 2 < 0
సందర్భం (i) 4 – x² ≥ 0, [x] + 2 > 0
⇔ (2 – x) (2 + x) ≥ 0, [x] > -2
⇔ x ∈ [-2, 2], x ∈ [-1, ∞]
⇔ x ∈ [-1, 2] ……(1)
సందర్భం (ii) 4 – x² ≤ 0 మరియు [x] + 2 < 0
⇔ (2 + x) (2 – x) ≤ 0, [x] < -2
⇔ x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, ∞]
⇔ x ∈ (-∞, -2) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
∴ f ప్రదేశం (-∞, -2) ∪ [-1, 2].

(vi) f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\) ∈ R
అప్పుడు log_0.3(x – x²) ≥ 0
⇒ x – x² ≤ (0.3)⁰
⇒ x – x² ≤ 1
⇒ -x² + x – 1 ≤ 0
(లేదా) x² – x + 1 ≥ 0
∀ x ∈ R కు ఇది సత్యం ……..(1)
మరియు x – x² ≥ 0
⇒ x² – x ≤ 0
⇒ x(x – 1) ≤ 0
⇒ x ∈ (0, 1) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
f ప్రదేశం R ∩ (0, 1) = (0, 1)
∴ f ప్రదేశం (0, 1)

(vii) f(x) = \(\frac{1}{x+|x|}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{x+|x|}\) ∈ R
⇔ x + |x| ≠ 0
⇔ x ∈ (0, ∞)
∵ |x| = x, అయినప్పుడు x ≥ 0
|x| = -x, అయినప్పుడు x < 0
∴ f ప్రదేశం (0, ∞).

Question 2.
R – {0} పై వాస్తవ మూల్య ప్రమేయం f(x) = \(\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+1\) సరి ప్రమేయం అని చూపండి.
Solution:


∵ f(-x) = f(x)
⇒ f(x), R – {0} మీద సరి ప్రమేయం

Question 3.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు, వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∵ [x] పూర్ణాంకం కనుక tan π[x], sin π[x] లు ∀ x ∈ R కు సున్నాలు అవుతాయి.
∴ f ప్రదేశం R
వ్యాప్తి = {0}.

(ii) f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) ∈ R
⇔ 2 – 3x ≠ 0
⇔ x ≠ \(\frac{2}{3}\)
∴ f ప్రదేశం R – {\(\frac{2}{3}\)}
y = f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) అనుకోండి.
⇒ y = \(\frac{x}{2-3 x}\)
⇒ 2y – 3xy = x
⇒ 2y = x(1 + 3y)
∴ x = \(\frac{2 y}{1+3 y}\)
∵ x ∈ R – [latex]\frac{2}{3}[/latex]
1 + 3y ≠ 0
⇒ y ≠ \(\frac{-1}{3}\)
∴ f వ్యాప్తి R – {\(\frac{-1}{3}\)}

(iii) f(x) = |x| + |1 + x|
Solution:
f(x) = |x| + |1 + x| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R
∵ |x| = x, x ≥ 0 అయినప్పుడు
= -x, x < 0 అయినప్పుడు
|1 + x| = 1 + x, x ≥ -1 అయినప్పుడు
= -(1 + x), x < -1 అయినప్పుడు
x = 0, f(0) = |0| + |1 + 0| = 1
x = 1, f(1) = |1| + |1 + 1| = 1 + 2 = 3
x = 2, f(2) = |2| + |1 + 2| = 2 + 3 = 5
x = -2, f(-2) = |-2| + |1 + (-2)| = |2 + 1| = 3
x = -1, f(-1) = |-1| + |1 + (-1)| = 1 + 0 = 1
∴ f వ్యాప్తి [1, ∞].

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(a)

అభ్యాసం – 5 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
P (3, −2, 4) బిందువుకు మూలబిందువు నుంచి దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OP = \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
= \(\sqrt{9+4+16}\)
= \(\sqrt{29}\) యూనిట్లు

ప్రశ్న 2.
(3, 4, -2), (1,0,7) బిందువుల మధ్యదూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ = \(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+\left(z_1-z_2\right)^2}\)
= \(\sqrt{(3-1)^2+(4-0)^2+(-2-7)^2}\)
= \(\sqrt{4+16+81}\)
= \(\sqrt{101}\) యూనిట్లు

II.

ప్రశ్న 1.
(5, -1, 7), (x, 5,1)ల మధ్యదూరం 9 యూనిట్లు అయితే X ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(5, -1, 7), Q(x, 5, 1) లు దత్త బిందువులు
PQ = 9
PQ = \(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+\left(z_1-z_2\right)^2}\) = 9
\(\sqrt{(5-x)^2+(-1-5)^2+(7-1)^2}\) = 9
(5 – x)² + 36 + 36 = 81
(5 – x)² = 81 – 72 = 9
5 – x = ±3
5 – x = 3 లేదా 5 – x = -3
x = 5 – 3 లేదా x = 5 + 3
= 2 లేదా 8

ప్రశ్న 2.
(2, 3, 5), (−1, 5, -1), (4, -3, 2) బిందువులు సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A (2, 3, 5), B (-1, 5, -1), C (4, -3, 2) లు దత్త
బిందువుల
AB² = (2 + 1)² + (3 – 5)² + (5 + 1)²
= 9 + 4 + 36
= 49
BC² = (-1 – 4² + (5 + 3)² + (-1 – 2)²
= 25 + 64 + 9
= 98
CA² = (4 – 2)² + (-3 – 3)² + (2 – 5)²
= 4 + 36 + 9
= 49
AB² = CA²
⇒ AB² + CA² = 49 + 49 = 98 = BC²
ABC లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం

ప్రశ్న 3.
(1, 2 ,3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) బిందువులు ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A(1, 2, 3), B(2, 3, 1) మరియు C (3, 1, 2) లు దత్త బిందువులు
AB² = (1 – 2)² + (2 – 3)² + (3 – 1)²
= 1 + 1 +4
= 6
BC² = (2 – 3)² + (3 – 1)² + (1 – 2)²
= 1 + 4 + 1
= 6
CA² = (3 – 1)² + (1 – 2)² + (2 – 3)²
= 4 + 1 + 1
= 6
AB² = BC² = CA²
⇒ AB = BC = CA
ABC సమబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 4.
A = (-2, 2, 3), B = (13, -3, 13)∞r Bow Dowser. 3PA = 2PB అయ్యేటట్లు చలించే బిందువు P యొక్క నిరూపకాలు
x² + y² + z² + 28x – 12y + 10z – 247 = 0 సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A(-2, 2, 3) మరియు B(13, -3, 13) లు దత్త బిందువులు P(x,y,z) బిందువు బిందుపథం మీది దత్త నియమము
3PA = 2PB ⇒ 9 PA² 4PB²
9[(x + 2)² + (y – 2)² + (z – 3)²]
= 4 [(x – 13)² + (y + 3)² + (z – 13)²]
⇒ 9(x² + 4x +4 + y² – 4y + 4 + z² – 6z + 9)
= 4(x² – 26x + 169 + y² + 6y + 9 + z² – 26z + 169)
= 9x² + 9y² + 9z² + 36x – 36y – 54z + 153
= 4x² + 4y² + 4z² – 104x + 24y – 104z + 1388
5x² + 5y² +5z² + 140x – 60y + 50z – 1235 = 0
5 తో భాగించగా P బిందు పధము x² + y² + z² + 28x – 12y + 10z – 247 = 0

ప్రశ్న 5.
(1, 2, 3) (7, 0, 1), (-2, 3, 4) లు సరేఖీయాలు అని చూపండి. [Mar. ’13]
సాధన:
A (1, 2, 3), B(7, 0, 1) C(-2, 3, 4) లు దత్త బిందువులు
AB = \(\sqrt{(1-7)^2+(2-0)^2+(3-1)^2}\)
= \(\sqrt{36+4+4}=\sqrt{44}\)
= \(2 \sqrt{11}\)
BC = \(\sqrt{(7+2)^2+(0-3)^2+(1-4)^2}\)
= \(\sqrt{81+9+9}=\sqrt{99}\)
= \(3 \sqrt{11}\)
CA = \(\sqrt{(-2-1)^2+(3-2)^2+(4-3)^2}\)
= \(\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}\)
AB + AC = \(2 \sqrt{11}\) + \(\sqrt{11}\) = \(2 \sqrt{11}\) = BC
A, B, C లు సరేఖీయాలు

ప్రశ్న 6.
(0, 4, 1), (2, 3, 1), (4, 5, 0), (2, 6, 2) లు వరసగా A, B, C, D బిందువులని సూచిస్తే ABCD ఒక చతురస్రం అని చూపండి.
సాధన:
A(0, 4, 1), B(2, 3, -1) C(4, 5, 0), D(2, 6, 2) లు దత్త బిందువులు
AB² = (0 − 2)² + (4 – 3)² + (1 + 1)²
= 4 + 1 + 4
= 9
BC² = (2 – 4)² + (3 – 5)² + (-1 + 0)²
= 4 + 4 + 1
= 9
CD² = (4 – 2)² + (5 – 6)² + (0 − 2)²
= 4 + 1 + 4
= 9
DA² = (2 – 0)² + (6 – 4)² + (2 – 1)²
= 4 + 4 + 1
= 9
AB² = BC² = CD² = DA²
⇒ AB = BC = CD = DA
AC² = (0 – 4)² + (4 – 5)² + (1 – 0)²
= 16 + 1 + 1
= 18
BD² = (2 – 2)² + (3 – 6)² + (-1 – 2)²
= 9 + 9
= 18
AC² = BD² → AC = BD
AB² + BC² = 9 + 9 = 18 = AC²
⇒ ∠ABC 90°
A, B, C, D లు చతురస్ర శీర్షాలు

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(h) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(h)

I. కింది సమీకరణ వ్యవస్థలను
(i) గుణక మాత్రిక సాధారణమైనపుడు క్రేమర్ నియమంతోనూ, మాత్రికా విలోమ పద్ధతిలోనూ సాధించండి.
(ii) గౌన్ – జోర్డాన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సాధించండి. ఇంకా వ్యవస్థకు ఏకైక సాధన ఉందా, అనంత సాధనలు ఉన్నాయా, సాధన లేదా అనేది తెలపండి. సాధన ఉంటే సాధించండి.

Question 1.
5x – 6y + 4z = 15
7x + 4y – 3z = 19
2x + y + 6z = 46
సూచన : x = \(\frac{\Delta_1}{\Delta}\), y = \(\frac{\Delta_2}{\Delta}\), z = \(\frac{\Delta_3}{\Delta}\)
Solution:

Question 2.
x + y + z = 1
2x + 2y + 3z = 6
x + 4y + 9z = 3
Solution:

Question 3.
x – y + 3z = 5
4x + 2y – z = 0
-x + 3y + z = 5 [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

Question 4.
2x + 6y + 11 = 0
6x + 20y – 6z + 3 = 0
6y – 18z + 1 = 0
Solution:
∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 6 & 0 \\
6 & 20 & -6 \\
0 & 6 & -18
\end{array}\right|\)
= 2(-360 + 36) – 6(-108 – 0)
= -648 + 648
= 0
∵ ∆ = 0 కనుక.
క్రేమర్ నియమంతోను, మాత్రిక విలోమ పద్ధతిని సాధించలేము.
(ii) గౌస్ – జోర్డాన్ పద్ధతి :

ρ(A) = 2, ρ(AB) = 3
ρ(A) ≠ ρ(AB)
∴ దత్త వ్యవస్థ అసంగతం. సాధన లేదు.

Question 5.
2x – y + 3z = 9
x + y + z = 6
x – y + z = 2 [Mar. ’14, ’05, ’02; May ’13]
Solution:

Question 6.
2x – y + 8z = 13
3x + 4y + 5z = 18
5x – 2y + 7z = 20 [Mar. ’04, ’03, ’01]
Solution:

Question 7.
2x – y + 3z = 8
-x + 2y + z = 4
3x + y – 4z = 0
Solution:

Question 8.
x + y + z = 9
2x + 5y + 7z = 52
2x + y – z = 0
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(d)

అభ్యాసం – 3 (డి)

I. కింది సరళరేఖల మధ్య లఘుకోణాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
y = 4 – 2x, y = 3x + 7
సాధన:
y = 4 – 2x ⇒ 2x + y − 4 = 0
3x – y + 7 = 0

ప్రశ్న 2.
3x + 5y = 7, 2x – y + 4 = 0
సాధన:
cos θ = \(\frac{|6-5|}{\sqrt{9+25} \sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{170}}\)
⇒ θ = cos^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{170}}\right)\)

ప్రశ్న 3.
y = –\(\sqrt{3}\)x + 5, y = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)x – \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
సాధన:
m₁ = –\(\sqrt{3}\), m₂ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
m₁m₂ = (-\(\sqrt{3}\)) /\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = -1
θ = \(\frac{\pi}{2}\) రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 4.
ax + by = a + b, a(x − y) + b(x + y) = 2b
సాధన:
ax + by = a + b, (a + b) x + ( a + b) y = 2b

కింది సరళరేఖల మీదికి ఎదురుగా ఇచ్చిన బిందువు నుంచి లంబదూరాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 5.
5x – 2y + 4 = 0, (−2, −3)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{\left|a x_1+b y_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
= \(\frac{|5(-2)-2(-3)+4|}{\sqrt{25+4}}=\frac{|-10+10|}{\sqrt{29}}\) = 0

ప్రశ్న 6.
3x – 4y + 10 = 0, (3, 4)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{|3.3-4.4+10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 7.
x – 3y – 4 = 0, (0, 0)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1+9}}=\frac{4}{\sqrt{10}}\)

కింది సమాంతర రేఖల మధ్యదూరాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 8.
3x – 4y = 12, 3x – 4y = 7
సాధన:
దత్త రేఖలు 3x – 4y – 12 = 0.
3x – 4y – 7 = 0
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరము
= \(\frac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-12+7|}{\sqrt{9+16}}=\frac{5}{5}\) = 1

ప్రశ్న 9.
5x – 3y – 4 = 0, 10x – 6y – 9 = 0 [Mar. ’12]
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
10x – 6y – 8 – 0
10x – 6y – 9 = 0 గా తీసుకొనవచ్చు.
సమాంతర రేఖల మధ్యదూరం
= \(\frac{|-8+9|}{\sqrt{100+36}}=\frac{1}{2 \sqrt{34}}\)

ప్రశ్న 10.
2x + 3y + 7 = 0 రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటూ (5, 4) బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 2x + 3y + 7 = 0
కావలసిన రేఖ ఈ రేఖకు సమాంతరము.
సమాంతర రేఖ సమీకరణము 2x + 3y = k
ఈ రేఖ p (5, 4) గుండా పోతుంది.
10 + 12 = k ⇒ k = 22
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 2x + 3y = 22
2x + 3y – 22 = 0

ప్రశ్న 11.
5x – 3y + 1 = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ (4, 3) బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 5x – 3y + 1 = 0
ఈ రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణము
3x + 5y + k = 0
ఈ రేఖ P (4, -3) గుండా పోతుంది.
– 12 – 15 + k = 0 ⇒ k = 3
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
3x + 5y + 3 = 0

ప్రశ్న 12.
6x – 10y + 3 = 0, kx – 5y + 8 = 0 సరళరేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
6x – 10y + 3 = 0
kx – 5y + 8 = 0
ఈ రేఖలు సమాంతరాలు.
a₁b₂ = a₂b₁
-30 = -10 k
k = 3

ప్రశ్న 13.
3x + 7y – 1 = 0, 7x – py + 3 = 0 సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే p విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
3x + 7y – 1 = 0
7x – py + 3 = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ = 0
3.7 + 7(- p) = 0
7p = 21 = p = 3

ప్రశ్న 14.
y – 3kx + 4 = 0, (2k – 1)x – (8k – 1)y – 6 = 0 సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
-3kx + y + 4 =0
(2k – 1)x – (8k – 1)y – 6 = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
-3k(2k – 1) – 1(8k – 1) = 0
– 6k² + 3k – 8k + 1 = 0
6k² + 5k – 1 = 0
(k + 1) (6k – 1) = 0
k = -1 లేదా 1/6

ప్రశ్న 15.
ఒక చతురస్రం ఒక శీర్షం (-4, 5), దాని వికర్ణం 7x y + 8 = 0 అయితే రెండో వికర్ణం సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
ABCD చతురస్ర వికర్ణం AC సమీకరణము
7x – y + 8 = 0
రెండో వికర్ణం BD AC కి లంబంగా ఉంది.
BD సమీకరణాన్ని X + 7y + k = 0 గా తీసుకొనవచ్చు.
BDD (- 4, 5) గుండా పోతుంది.
– 4 + 35 + k= 0 ⇒ k = 4 – 35 = -31
BD సమీకరణము x + 7y – 31 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
బిందువు (1, 3) గుండా పోతూ (3, -5), (−6, 1) బిందువులను కలిపే రేఖకు i) సమాంతరంగా ii) లంబంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.

సాధన:
A (3, -5), B(-6, 1) లు దత్త బిందువులు.
AB వాలు = \(\frac{-5-1}{3+6}=\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3}\)

i) కావలసిన రేఖ AB కి సమాంతరంగా ఉంటూ (1, 3) గుండా పోతుంది.
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
y – 3 = \(\frac{-2}{3}\)(x – 1)
3y – 9 = -2x + 2
2x + 3y – 11 = 0

ii) AE రేఖ AD కి లంబంగా ఉంది.
AE సమీకరణము 3x – 2 y + k = 0
A (1, 3) గుండా పోతుంది.
3 – 6 + k = 0 ⇒ k = 6 – 3 = 3
AE సమీకరణము 3x – 2 y + 3 = 0.

ప్రశ్న 2.
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 1 రేఖ X – అక్షాన్ని P వద్ద కలుస్తుంది. P గుండా పోతూ, ఈ రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

PQ సమీకరణము \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 1
X – అక్షం సమీకరణము y = 0
\(\frac{x}{a}\) = 1 ⇒ x = a
P నిరూపకాలు (a, 0)
PR రేఖ PQ కి లంబంగా ఉంది.
PR సమీకరణము = \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = k
PR రేఖ P(a, 0) గుండా పోతుంది.
\(\frac{a}{b}\) + 0 = k ⇒ k = a/b
PR. సమీకరణము \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = \(\frac{a}{b}\)

ప్రశ్న 3.
3x + 4y + 6 = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ X – అక్షం మీద – 4 అంతర ఖండం చేసే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x + 4y + 6 = 0
లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణము
4x – 3y = k
\(\frac{4 x}{k}-\frac{3 y}{k}\) = 1
\(\frac{x}{\left(\frac{k}{4}\right)}+\frac{y}{\left(-\frac{k}{3}\right)}\) = 1
X- అంతరఖండం = \(\frac{k}{4}\) – 4 ⇒ k = -16
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 4x – 3y = -16
⇒ 4x – 3y + 16 = 0

ప్రశ్న 4.
XY-తలంలో ఒక చతురస్రానికి A (-1, 1), B (5, 3) లు ఎదురెదురు శీర్షాలు అయితే ఆ చతురస్రం మరొక వికర్ణం (A, B ల గుండా పోని) సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A (-1, 1), B (5, 3) లు చతురస్రంలో ఎదుటి శీర్షాలు.
AB వాలు = \(\frac{1-3}{-1-5}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}\)

రెండవ వికర్ణము AB కి లంబము.
CD వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = -3
‘O’ వికర్ణాల ఖండన బిందువు O
O నిరూపకాలు \(\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (2, 2)
CD రేఖ O (2, 2) గుండా పోతుంది.
CD సమీకరణము y – 2 = -3 (x – 2)
= -3x + 6
3x + y – 8 = 0

ప్రశ్న 5.
(4, 1) నుంచి 3x 4y + 12 = 0 సరళరేఖకు గీసిన లంబపాదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 3x – 4y + 12 = 0
(x₁, y₁) నుండి ఈ రేఖ మీదకు లంబపాదం (x₂, y₂) అయితే
ax + by + c = 0, అప్పుడు

ప్రశ్న 6.
(3, 0) నుంచి 5x + 12y 41 = 0 సరళరేఖకు గీసిన లంబపాదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 5x + 12y – 41 = 0
(x₂, y₂) నుండి (x₁, y₁) లంబపాదము (x₂, y₂) అయితే
ax + by + c = 0,

ప్రశ్న 7.
A, B బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం లంబసమద్వి ఖండన రేఖ x – 3y – 5 – 0. బిందువు A నిరూపకాలు (−1, −3) అయితే B నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

PQ రేఖ AB కి లంబ సమద్విఖండన రేఖ అయితే
PQ దృష్ట్యా A యొక్క ప్రతిబింబము PQ సమీకరణము x – 3y – 5 = 0

A నిరూపకాలు (-1, -3)
ax + by + c = 0 (x₁, y₁) ప్రతిబింబము (x₂, y₂) అయితే

ప్రశ్న 8.
సరళరేఖ 3x + 4y – 1 = 0 లో బిందువు (1, 2) ప్రతిబింబాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x + 4y – 1 = 0
(x₁, y₁) దృష్ట్యా ప్రతిబింబము (x₂, y₂) అయితే

ప్రశ్న 9.
(6, -2) నుండి రేఖ 4x + 3y = 12 కు దూరం, బిందువు (3, 4) నుంచి రేఖ 4x 3y = 12కు దూరంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

AB సమీకరణము 4x + 3y 12 = 0
PQ = P నుండి లంబపాదము
P = \(\frac{|24-6-12|}{\sqrt{16+9}}=\frac{6}{5}\)
CD సమీకరణము 4x – 3y – 12 = 0
RS = R నుండి లంబదూరము
R = \(\frac{|12-12-12|}{\sqrt{16+9}}=\frac{12}{5}\)
∴ PQ = \(\frac{1}{2}\) RS

ప్రశ్న 10.
స్థిర బిందువు (a, b) గుండాపోయే చల సరళరేఖలకు మూల బిందువు నుంచి లంబపాదాల బిందు పధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

AB రేఖ వాలు m అనుకుందాం.
AB సమీకరణము у – b = m (x – a)
= mx – ma
mx – y + (b – ma) = 0 ………………….. (1)
మూల బిందువు గుండా పోయే AB కి లంబం K నిరూపకాలు (x, y) అనుకుందాం.
AB సమీకరణము x + my = 0 ………………… (2)

m = -x/y
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
–\(\frac{x^2}{y}\) – y + b + \(\frac{x}{y}\) . a = 0
– x² – y² + by + ax = 0
లేదా x² + y² – ax – by = 0
K బిందు పధము x² + y² – ax – by = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x – 7y – 22 = 0, 3x + 4y + 9 = 0, 7x + y – 54 = 0 రేఖలు ఒక సమద్విబాహు సమకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు x – 7y – 22 = 0 ……………… (1)
3x + 4y + 9 = 0 ………………… (2)
7x + y – 54 = 0 …………………. (3)

(1), (2) రేఖల మధ్యకోణం ‘A’ అనుకుందాం.

B = 45°
(1), (2) రేఖల మధ్యకోణం ‘A’ అనుకుందాం.
(3), (1) రేఖల మధ్యకోణం ‘C’ అనుకుందాం.
cos C = \(\frac{7-7}{\sqrt{1+49} \sqrt{49+1}}\) = 0 = cos 90°
C = 90°
∠A = ∠B = 45°
∠C = 90°
∴ దత్త రేఖలు లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
(-3, 2) బిందువు గుండా పోతూ 3x + y + 4 = 0 రేఖలో 45° కోణాన్ని చేసే రేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువు
P(x₁, y₁) = (-3, 2)
దత్త రేఖ 3x – y + 4 = 0 ……………….. (1)
వాలు = m = – \(\frac{a}{b}\) = 3

tan 45° = \(\frac{m-3}{1+3 m}\)
\(\left|\frac{m-3}{1+3 m}\right|\) = 1 ⇒ \(\frac{m-3}{1+3 m}\) = 1
m – 3 = 1 + 3m
2m = -4 లేదా 3 m = −2
\(\frac{m-3}{1+3 m}\) = -1 ⇒ m – 3 = -1 – 3m
4m = 2 ⇒ m = 1/2
సందర్భం (i) : m = -2
PQ సమీకరణము
y – 2 = -2(x + 3)
= -2x – 6
2x + y + 4 = 0
సందర్భం (ii) : m = \(\frac{1}{2}\)
PR సమీకరణము
y − 2 = \(\frac{1}{2}\) (x + 3)
2y – 4 = x + 3
x – 2y + 7 = 0

ప్రశ్న 3.
x + y – 4 = 0, 2x+y-6= 0, 5x + 3y – 15 = 0 రేఖలు భుజాలుగా గల త్రిభుజం కోణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + y – 4 = 0
BC సమీకరణము 2x + y – 6 = 0
AC సమీకరణము 5x + 3y – 15 = 0

ప్రశ్న 4.
మూల బిందువు x + y = 4, x+5y = 26, 15x – 27y = 424 రేఖల మీదకి గీసిన లంబపాదాలు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు
x + y – 4 = 0 ………………. (1)
x + 5y – 26 = 0 ……………… (2)
15x – 27y – 424 = 0 ……………… (3)
(x₁, y₁) నుండి (1) మీదకు లంబపాదము (x₂, y₂)
(x₁, y₁) = (0, 0) నుండి (1)
⇒ \(\frac{x_2-0}{1}=\frac{y_2-0}{1}=\frac{-(0+0-4)}{1+1}=\frac{4}{2}\) = 2
⇒ x₂ – 0 = 2, y₂ – 0 = 2
⇒ x₂ = 2, y₂ = 2
∴ P = (2, 2)
(x₁, y₁) నుండి (2) కు లంబపాదము (x₃, y₃)
= (0, 0) నుండి (2).
\(\frac{x_3-0}{1}=\frac{y_3-0}{5}=\frac{-(0+0-26)}{1+25}=\frac{26}{26}\) = 1
x₃ = 1, y₃ = 5 ⇒ Q = (1, 5)
(x₁, y₁) నుండి (3) కు లంబపాదము.
R(x₄, y₄) = (0, 0) నుండి (3)

R = (x₄, y₄) = (\(\frac{1060}{159}\), -12)
P,Q రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-2}{5-2}\) ⇒ 3x + y – 8 = 0 ………… (4)
(4) లో (x₄, y₄) ను ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ (\(\frac{1060}{159}\)) – 12 – 8
= 20 – 20 = 0
∴ మూల బిందువు నుండి లంబ దత్త రేఖలకు గీసిన లంబపాదాలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 5.
3x + 2y + 4 = 0, 2x+5y=15 ఖండన బిందువు గుండా పోతూ (2, -1) నుంచి 2 యూనిట్లు దూరంలో గల సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
L₁ = 3x + 2y + 4 = 0, L₂ = 2x + 5y – 1 = 0
రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
L₁ + 2λ₂ = 0
(3x + 2y +4)+ 2 λ (2x + 5y – 1) = 0
(3 + 2λ) x + (2 + 5λ) y + (4 – λ) = 0 …………… (1)
(2,−1) నుండి (1) కు లంబదూరము = 2
\(\frac{|(3+2 \lambda) 2+(2+5 \lambda)(-1)+(4-\lambda)|}{\sqrt{(3+2 \lambda)^2+(2+5 \lambda)^2}}\) = 2
⇒ \(\frac{|-2 \lambda+8|}{\sqrt{(3+2 \lambda)^2+(2+5 \lambda)^2}}\) = 2
⇒ (−λ + 4)² = 9 + 4λ² + 12λ + 4
⇒ 28λ² + 40λ – 3 = 0
⇒ 28λ² – 2λ + 42λ – 3 = 0
⇒ (2λ + 3) (14λ – 1) = 0
⇒ λ = \(\frac{1}{14}\), λ = –\(\frac{3}{2}\)
λ = \(\frac{1}{14}\) అయితే
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 4x + 3y + 5 = 0
λ = –\(\frac{3}{2}\) అయితే
⇒ y – 1 = 0 కావలసిన రేఖ సమీకరణము.

ప్రశ్న 6.
ఒక చతురస్రం ప్రతి భుజం పొడవు 4 యూనిట్లు. ఆ చతురస్ర కేంద్రం(3, 7). దాని ఒక వికర్ణం రేఖ y = x కు సమాంతరంగా ఉంటే, దాని శీర్షాల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ABCD చతురస్రం వికర్ణాల ఖండన బిందువు దాని కేంద్రం. అవుతుంది. దాని నిరూపకాలు P(3, 7)

P నుండి AB కి లంబము AB
AB మధ్య బిందువు M.
∴ AM = MB = PM
వికర్ణం y = x కు సమాంతరం కనుక భుజాల నిరూపకాలకు సమానం.
M(3, 5) ⇒ A(1, 5), B(5, 5), C(5, 9), D(1, 9)

ప్రశ్న 7.
ab > 0 అయినప్పుడు ax + by + c = 0 అనే నాలుగు సరళరేఖలతో ఆవృతమైన సమలంబ చతుర్భుజం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము ax + by + c = 0 …………….. (1)
CD సమీకరణము ax + by – c = 0 ……………… (2)
BC సమీకరణము ax – by + c = 0 …………….. (3)
AD సమీకరణము ax – by – c = 0 ……………… (4)

(1), (3) లను సాధిస్తే B నిరూపకాలు \(\left(-\frac{c}{a}, 0\right)\)
(1), (4) సాధిస్తే A నిరూపకాలు \(\left(0,-\frac{c}{b}\right)\)
(2), (3) సాధిస్తే నిరూపకాలు \(\left(0, \frac{c}{b}\right)\)
(2), (4) లను సాధిస్తే D నిరూపకాలు \(\left(\frac{c}{a}, 0\right)\)
ABCD సమ చతుర్భుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |Σx₁ (y₂ – y₄) |
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 0) – \(\frac{c}{a}\left(\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\right)\) + 0 (0 – 0) + \(\frac{-c}{a}\left(\frac{c}{b}+\frac{-c}{b}\right)\) |
= \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4 c^2}{a b}=\frac{2 c^2}{a b}\) చ॥ యూనిట్లు.

ప్రశ్న 8.
3x + 4y + 5 = 0, 3x + 4y – 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0, 2x + 3y – 7 = 0 సరళరేఖలు భుజాలుగా గల సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త భుజాలు
3x + 4y + 5 = 0 ……………… (1)
3x + 4y – 2 = 0 ………………… (2)
2x + 3y + 1 = 0 …………………. (3)
2x + 3y – 7 = 0 ……………….. (4)

ప్రశ్న 9.
2x + 3y + 4 = 0, 3x + 4y – 5 5 = 0 లతో సూచించిన రెండు రుజు మార్గంలో ఉండే దారులు కూడలి వద్ద ఒక వ్యక్తి నిలబడ్డాడు. అక్కడి నుంచి 6x – 7y + 8 = 0 తో సూచించిన దారికి కనిష్ఠ సమయంలో చేరాలని అనుకున్నాడు. కూడలి నుంచి ఏదారి వెంబడి నడిస్తే కనిష్ఠ సమయంలో 6x – 7y + 8 = 0 నిర్దేశించే దారిని చేరుతాదో ఆ దారిని సూచించే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
2x + 3y + 4 = 0
3x + 4y – 5 = 0

ఇచ్చిన సరళరేఖ 6x – 7y + 8 = 0
సరళరేఖ సమీకరణం 7x + 6y + k = 0 …………. (1)
Eq(1) pass high \(\)
7\(\left(\frac{-1}{17}\right)\) + 6\(\left(\frac{22}{17}\right)\) + k = 0
-7 + 132 + 17k = 0
17k = -125
k = \(\frac{-125}{17}\)
From (1) 7x + 6y – \(\frac{125}{17}\) = 0
119x + 102y – 125 = 0

ప్రశ్న 10.
ఒక కాంతి కిరణం (1,2) బిందువు గుండాపోతూ X – అక్షాన్ని A బిందువు వద్ద తాకి అక్కడ నుంచి పరావర్తనం. చెందిన కిరణం (5,3) బిందువుగుండా పోతే A నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(1, 2) బిందువు గుండాపోయే సమీకరణం యొక్క వాలు ‘m’ అనుకోండి.
y – 2 = m(x – 1)
\(\frac{y-2}{x-1}\) = m

(5,3) బిందువు గుండా
పోయే సమీకరణం వాలు – m అనుకోండి
y – 3 = -m(x – 5)
\(\frac{y-3}{5-x}\) = m
\(\frac{y-2}{x-1}=\frac{y-3}{5-x}\)
A నిరూపకము X అక్షంపై ఉన్నది కనుక y = 0.
\(\frac{-2}{x-1}=\frac{-3}{5-x}\)
10 – 2x = 3x – 3
13 = 5x
x = \(\frac{13}{5}\)
∴ A = \(\left(\frac{13}{5}, 0\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(c)

అభ్యాసం 4 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
x² + y² = 1, x + y = 1 ల ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖల సమీకరణన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వక్రాలు x² + y ² = 1 ………………. (1)
x + y = 1 ………………. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం

x² + y² = (x + y)²
= x² + y² + 2xy
i.e., 2xy = 0 ⇒ xy = 0

ప్రశ్న 2.
y² = x, x + y = 1 ల ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y² = x ……………. (1)
AB సమీకరణం x + y = 1 ……………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
y² = x(x + y) = x²+ xy
x² + xy – y² = 0
a + b = 1 – 1 = 0
OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి.
∴ ∠AOB

II.

ప్రశ్న 1.
x – y – \(\sqrt{2}\) = 0 అనే సరళరేఖల x² – xy + y² + 3x + 3y + 2 = 0 అనే వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయని చూపండి. [A.P Mar. ’15, ’12; May. ’12]
సాధన:

వక్రం సమీకరణం
x² – xy + y² + 3x + 3y – 2 = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము x – y – \(\sqrt{2}\) = 0
x – y = \(\sqrt{2}\)
\(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\) = 1 ……………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
x² – xy + y² + 3x.1 + 3y.1 – 2.1² = 0
x² – xy + y² + 3(x + y) \(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\) – 2 \(\frac{(x-y)^2}{2}\) = 0
x² – xy + y² + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (x² – y²) – (x² – 2xy + y²) = 0
x² – xy + y² + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) x² – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) y² – x² + 2xy – y² = 0
\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)x² + xy – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y² = 0
a + b = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) = 0
∴ OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 2.
x + 2y = k అనే రేఖ 2x² – 2xy + 3y² + 2x – y – 1 = 0 అనేక వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటే, k విలువలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
దత్త వక్రం సమీకరణం
S ≡ 2x² + 2xy + 3y² + 2x – y – 1 = 0 ……………….. (1)
AB సమీకరణము x + 2y = k

(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
2x² – 2xy + 3y² + 2x.1 – y.1 – 1² = 0
2x² – 2xy + 3y² + 2x \(\frac{(x+2 y)}{k}\) – y \(\frac{(x+2 y)}{k}\) – \(\frac{(x+2 y)^2}{k^2}\) = 0
k² తో గుణించగా
2k²x² – 2k²xy + 3k²y² + 2kx (x + 2y) – ky (x + 2y) – (x + 2y)² = 0
2k²x² – 2k²xy + 3k²y² + 2kx² + 4kxy – kxy – 2ky² – x² – 4xy – 4y² = 0
(2k² + 2k – 1) x² + (- 2k² + 3k – 4) xy + (3k² – 2k – 4) y² = 0
OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి కనుక
x² గుణకం + y² గుణకం 0.
2k² + 2k – 1 + 3k² – 2k – 4 = 0
5k² = 5 ⇒ k² = 1
∴ k = ±1

ప్రశ్న 3.
3x – y + 1 = 0 అనే రేఖ x² + 2xy + y² + 2x + 2y – 5 = 0 అనే వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖల మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13, ’07; May ’11; June ’04]
సాధన:

వక్రం సమీకరణం
x² + 2xy + y² + 2x + 2y – 5 = 0 ……………… (1)
AB సమీకరణము 3x – y + 1 = 0
y – 3x = 1 ……………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే OA, OB ల
ఉమ్మడి సమీకరణం
x² + 2xy + y² + 2x.1 + 2y.1 – 5.1² = 0
x² + 2xy + y² + 2x (y – 3x) + 2y (y – 3x) − 5 (y – 3x)² = 0
x² + 2xy + y² + 2xy – 6x² + 2y² – 6xy – 5(y² + 9x² – 6xy) = 0
-5x² – 2xy + 3y² – 5y² – 45x² + 30 xy = 0
-50x²+ 28xy – 2y² = 0
i.e, 25x² – 14xy + y² = 0
OA, OB ల మధ్య కోణము θ అనుకొందాం.

III.

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు కేంద్రంగా గల వృత్తం x² + y² = a² కు lx + my = 1 అనేది ఒక జ్యా. ఈ జ్యా మూలబిందువు వద్ద లంబకోణం చేయడానికి నియమాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14, May ’13]
సాధన:

వృత్త సమీకరణము x² + y² = a² ……………….. (1)
AB సమీకరణము lx + my = 1 ……………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OBల ఉమ్మడి సమీకరణం
x² + y² = a² . 1²
x² + y² = a² (lx + my)²
= a²(l²x² + m²y² + 2lmxy)
= a²l²x² + a²m²y² + 2a²lmxy
i.e., a²l²x² + 2a² lmxy + a² m²y² – x² – y² = 0
(a²l² – 1) x² + 2a² lmxy + (a²m² – 1) y² = 0
OA, OB లు లంబాలు కనుక
x² గుణకం + y² గుణకం = 0
a² l² – 1 + a²m² – 1 = 0
a²(l² + m²) = 2
ఇది కావలసిన నియమము.

ప్రశ్న 2.
lx + my = 1 అనే రేఖ x² + y² = a² అనే వృత్తాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు ఏకీభవించడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:

వృత్త సమీకరణము x² + y² = a² …………….. (1)
AB సమీకరణము lx + my = 1 ………………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం.
x² + y² = a² . 1²
= a² (lx + my) ²
= a²(l²x² + m²y² + 2lmxy)
i.e., x² + y² · a²l²x² + a² m²y² + 2a²lmxy
(a²l² – 1) x² + 2a²lmxy + (a²m² – 1) y² = 0
OA, OB లు వక్రీభవిస్తున్నాయి.
⇒ h² = ab
a⁴ l²m² = (a² l² – 1)(a²m² – 1)
a⁴ l²m² = a⁴ l²m² – a² l² – a² m² + 1
∴ a² l² – a²m² + 1 = 0
a² (l² + m²) = 1
ఇది కావలసిన నియమము.

ప్రశ్న 3.
6x − y + 8 = 0 అనే రేఖ 3x² + 4xy – 4y² – 11x + 2y + 6 = 0 అనే సరళరేఖాయుగ్మాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు నిరూపకాక్షాలతో సమానకోణాలు చేస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖాయుగ్మం
3x² + 4xy – 4y² – 11 x + 2y + 6 = 0 ……………… (1)
దత్త రేఖ సమీకరణము
6x – y + 8 = 0 ⇒ \(\frac{6 x-y}{-8}\) = 1
⇒ \(\frac{y-6 x}{8}\) = 1
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా
3x² + 4xy – 4y² – (11x – 2y) \(\left(\frac{y-6 x}{8}\right)\) + 6 \(\left(\frac{y-6 x}{8}\right)^2\) = 0
= 64 [3x² + 4xy – 4y²] – 8[11xy – 66x² – 2y² + 12xy] + 6[y² + 36x² – 12xy] = 0
936x² + 256 xy – 256 xy – 234y² = 0
∴ 468 x² – 117 y² = 0
⇒ 4x² – y² = 0
ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపే రేఖాయుగ్మ సమీకరణం
(3) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణాలు
h(x² – y²) – (a – b) xy = 0
0 (x² – y ) – (4 – 1) xy = 0
⇒ xy = 0
x = 0 లేదా y
= 0 [నిరూపకాక్షాల సమీకరణాలు]
∴ దత్త రేఖల నిరూపకాక్షాల సమాన నిమ్నత కలిగి ఉన్నాయి.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(b)

అభ్యాసం – 4 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0 లు సూచించే సరళ రేఖల మధ్యకోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0
2x² + xy – 6y² = 2x² + 4xy – 3xy – 6y²
= 2x (x + 2y) – 3y (x + 2y)
= (2x – 3y) (x + 2y)
2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0 = (2x – 3y + c₁) (x + 2y + c₂)
x గుణకాలు సమానం చేస్తే c₁ + 2 = 0
y గుణకాలు సమానం చేస్తే 2c₁ – 3c₂ = 7
సాధించగా c₁ = 2, c₂ = -1
సరళరేఖల సమీకరణాలు 2x – 3y + 2 = 0, x + 2y – 1 = 0

ప్రశ్న 2.
2x² + 3xy – 2y² + 3x + y + 1 = 0 సమీకరణం ఒక లంబరేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందని నిరూపించండి.
సాధన:
a = 2, f = 1/2
b = -2 , g = 3/2
c = 1, h = 3/2
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 2(-2)(1) + 2.\(\frac{1}{2}\) . \(\frac{31}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) – 2 . \(\frac{1}{4}\) + 2 . \(\frac{9}{4}\) – 1 \(\frac{9}{4}\)
= -4 + \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{18}{4}\) – \(\frac{9}{4}\)
= -4 + \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{9}{2}\) – \(\frac{9}{4}\)
= 0
h² – ab = \(\frac{9}{4}\) + 4 = \(\frac{25}{4}\) > 0,
g² – ac = \(\frac{9}{4}\) – 2 = \(\frac{1}{4}\) > 0,
f² – bc = \(\frac{1}{4}\) + 2 = \(\frac{9}{4}\) > 0
a + b = 2 – 2 = 0 దత్తరేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

II.

ప్రశ్న 1.
3x² + 7xy + 2y² + 5x + 5y + 2 సమీకరణం ఒక సరళరేఖాయుగ్నాన్ని సూచిస్తుందని నిరూపించి, ఆ సరళరేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి
సాధన:
3x² + 7xy +2y² + 5x + 5y + 2 = 0
పోల్చగా a= 3 ; 2f = 5 ⇒ f = \(\frac{5}{2}\)
b = 2 ; 2g = 5 ⇒ g = \(\frac{5}{2}\)
c = 2 ; 2h = 7 ⇒ h = \(\frac{7}{2}\)
∆ = abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 3(2) (2) + 2 . \(\frac{5}{2}\) . \(\frac{5}{2}\) . \(\frac{7}{2}\)– 3 . \(\frac{25}{4}\) – 2 . \(\frac{25}{4}\) – 2 . \(\frac{49}{4}\)
= \(\frac{1}{2}\) (48 + 175 – 75 – 50 – 98)
= \(\frac{1}{2}\) (223 – 223) = 0
h² – ab = \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\) – 2.6 = \(\frac{49}{4}\) – 12 = \(\frac{1}{4}\) > 0
f² – bc = \(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) – 2.2 = \(\frac{25}{4}\) – 4 = \(\frac{9}{4}\) > 0
g² – ac = \(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) – 3.2 = \(\frac{25}{4}\) – 6 = \(\frac{1}{4}\) > 0
∴ దత్త సమీకరణము రేఖాయుగ్మాన్ని సూచించే ఖండన బిందువు

ప్రశ్న 2.
2x² + kxy – 6y² + 3x + y + 1 = 0 సమీకరణం ఒక సరళరేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే K విలువ కనుక్కోండి. K యొక్క ఆ విలువకు ఆ సరళరేఖల ఖండన బిందువును, వాటి మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము
2x² + kxy – 6y² + 3x + y + 1 = 0
a = 2. ; 2f = 1 ⇒ f = \(\frac{1}{2}\)
b = -6 ; 2g = 3 ⇒ g = \(\frac{3}{2}\)
c = 1 ; 2h = k ⇒ h = \(\frac{k}{2}\)
దత్త సమీకరణము రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే
abc + 2fgh – af² – bg² – ch² = 0
-12 + 2 . \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) . (+\(\frac{k}{2}\)) – 2 . \(\frac{1}{4}\) + 6 . \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{k^2}{4}\) = 0
-48 + 3k – 2 + 54 – k² = 0
-k² + 3k + 4 = 0 ⇒ k² – 3k – 4 = 0
(k – 4) (k + 1) = 0
k = 4 లేదా. – 1.
సందర్భం i) : k = -1
ఖండన బిందువు

ప్రశ్న 3.
x² – y² – x + 3y – 2 0 సమీకరణం రెండు లంబరేఖలను సూచిస్తుందని నిరూపించి, వాటి సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
పోల్చగా a = 1 ; f = \(\frac{3}{2}\)
b = -1 ; g = –\(\frac{1}{2}\)
c = -2 ; h = 0
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 1 (-1) (-2) + 0 – 1 . \(\frac{9}{4}\) + 1 . \(\frac{1}{4}\) + 0
= +2 – \(\frac{9}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = 0
h² – ab = 0 – 1 (-1) = 1 > 0,
f² – bc = \(\frac{9}{4}\) – 2 = \(\frac{1}{4}\) > 0
g² – ac = \(\frac{1}{4}\) + 2 = \(\frac{9}{4}\) > 0
a + b = 1 – 1 = 0
దత్త సమీకరణము లంబరేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
x² – y² – x + 3y – 2 = (x + y + c₁) (x – y + c₂)
x గుణకాలు సమానం చేయగా,
⇒ c₁ + c₂ = -1
y గుణకాలు సమానం చేయగా,
⇒ -c₁ + c₂ = 3
కూడగా 2c₂ = 2 ⇒ c₂ = 1
c₁ + c₂ = 1 ⇒ c₁ + 1 = -1
c₁ = -2
రేఖల సమీకరణాలు x + y – 2 = 0 మరియు x – y + 1 = 0

ప్రశ్న 4.
x² + 2xy – 35y² – 4x + 44y – 12 = 0 సూచించే రేఖాయుగ్మం 5x + 2y – 8 = 0 అనే సరళరేఖ అనుషక్తాలవుతాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
x² + 2xy – 35y² – 4x + 44y – 12 = 0
a = 1 ; f = 22
b = -35 ; g = -2
c = – 12 ; h = 1

P బిందువు 5x + 2y – 8 = 0 రేఖ మీద ఉంది.
∴ దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇచ్చిన సమాంతర రేఖాయుగ్మాల మధ్య దూరాలను కనుక్కోండి.
i) 9x² – 6xy + y² + 18x – 6y + 8 = 0
సాధన:
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం = 2\(\sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\)
= \(2 \sqrt{\frac{9^2-9.8}{9(9+1)}}=2 \sqrt{\frac{9}{9.10}}\)
= \(\sqrt{\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{2}{5}}\)

ii) x² + 2\(\sqrt{3}\)xy + 3y² – 3x – 3\(\sqrt{3}\)y – 4 = 0
సాధన:
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం = 2\(\sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\)
= \(2 \sqrt{\frac{\frac{9}{4}+4}{1(1+3)}}=2 \sqrt{\frac{25}{4.4}}=\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న 6.
3x² + 8xy – 3y² = 0, 3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y – 1 = 0 అనే రేఖాయుగ్మాలతో ఒక చతురస్రం ఏర్పడుతుందని నిరూపించండి.

సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
3x² + 8xy – 3y²
(x + 3y) (3x – y) = 0
3x – y = 0, x + 3y = 0
OA సమీకరణము 3x – y = 0 ……………….. (1)
OB సమీకరణము x + 3y = 0 ………………. (2)
CA, CB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y + 1 = 0
3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y + 1 = (3x – y + c₁)(x + 3y + c₂)
x గుణకాలను సమానం చేయగా c₁ + 3c₂ = 2
y గుణకాలను సమానం చేయగా 3c₁ + c₂ = – 4

BC సమీకరణం 3x – y – 1 = 0 ……………… (3)
AC సమీకరణం x + 3y + 1 = 0 ……………… (4)
OA, BC లు సమీకరణాలు స్థిరపదాలలో మాత్రమే చేధిస్తున్నా
⇒ OA, BC లు సమాంతరాలు
OB, CA లు సమీకరణాలు స్థిరపదాలలో మాత్రమే చేధిస్తున్నా
⇒ OB, AC లు సమాంతరాలు
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము.
a + b = 3 – 3 = 0, OACB దీర్ఘచతురస్రం.
OA = 0నుండి AC మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1+9}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
OB = 0 నుండి BC మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{9+1}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
OA = OB మరియు OACB దీర్ఘచతురస్రం
OACB చతురస్రం.

III.

ప్రశ్న 1.
(2, 1) బిందువు నుంచి 12x² + 25xy + 12y² 10x + 11y + 2 = 0 సూచించే సరళరేఖలకు ఉన్న లంబ. దూరాల లబ్దం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB, AC ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2 = 0
12x² + 25xy + 12y²
= 12x² + 16xy + 9xy + 12y² = 0
= 4x (3x+4y) + 3y (3x+4y)
= (3x + 4y) (4x + 3y)
12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2
= (3x + 4y + c₁) (4x + 3y + c₂)
x గుణకాలను సమానం చేయగా,
4c₁ +3c₂ = 10 ……………. (1)
y గుణకాలను సమానం చేయగా,
3c₁ + 4c₂ = 11 ……………… (2)
i.e., 4c₁ + 3c₂ – 10 = 0
3c₁ + 4c₂ – 11 = 0

AB సమీకరణం 3x + 4y + 1 = 0
AC సమీకరణం 4x + 3y + 2 = 0
PQ = P నుండి AB మీదకు లంబదూరము
AB = \(\frac{6+4+1}{\sqrt{9+16}}=\frac{11}{5}\)
PR = P నుండి AC మీదకు లంబదూరము
AC = \(\frac{|8+3+2|}{\sqrt{16+9}}=\frac{13}{5}\)
లంబదూరాల లబ్దము
= PQ × PR = \(\frac{11}{5}\) × \(\frac{13}{5}\) = \(\frac{143}{25}\)

ప్రశ్న 2.
y² – 4y + 3 = 0, x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0 అనే సరళరేఖాయుగ్మాలతో ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడుతుందని నిరూపించి, దాని భుజాల పొడవులను కనుక్కోండి.

సాధన:
మొదటి రేఖాయుగ్మం సమీకరణం y² – 4y + 3 = 0
(y – 1) (y – 3) = 0
y – 1 = 0 లేదా y – 3 = 0
AB సమీకరణం y – 1 = 0 …………… (1)
CD సమీకరణం y – 3 = 0 ……………. (2)
AB, CDల సమీకరణాలలో స్థిరపదంలో మాత్రమే తేడా ఉంది.
∴ AB, CD లు సమాంతరాలు.
రెండవ రేఖా యుగ్మం సమీకరణం
x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0
(x + 2y)² + 5(x + 2y ) + 4 = 0
(x + 2y)² + 4 (x + 2y) + (x + 2y) + 4 = 0
(x + 2y)(x + 2y + 4) + 1 (x + 2y + 4) = 0
(x + 2y + 1) (x + 2y + 4) = 0
x + 2 y + 1 = 0, x + 2 y + 4 = 0
AD సమీకరణం x + 2y + 1 = 0 ……………… (3)
BC సమీకరణం x + 2 y + 4 = 0 …………….. (4)
AD, BC లు సమాంతరాలు.
(1); (3) లను సాధించగా x + 2 + 1 = 0
x = -3
A నిరూపకాలు (-3, 1)
x = 3
(2), (3) లను సాధించగా x + 6 + 1 = = 0
x = -7
D నిరూపకాలు (-7, 3)
(1), (4) లను సాధించగా x + 2 + 4 = 0
x = – 6
B నిరూపకాలు (−6, 1)
AB = \(\sqrt{(-3+6)^2+(1-1)^2}\)
= \(\sqrt{9+0}\)
= 3
AD = \(\sqrt{(-3+7)^2+(1-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+4}\)
= \(\sqrt{20}=2 \sqrt{5}\)
సమాంతర చతుర్భుజ భుజాల పొడవులు 3, \(2 \sqrt{5}\).

ప్రశ్న 3.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 అనే సమీకరణం రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే, మూలబిందువు నుంచి ఈ సరళరేఖలకు ఉన్న దూరాల లబ్ధం \(\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
l₁ x + m₁y + n₁ = 0 ………………… (1)
l₂ x + m₂y + n₂ = 0 ………………. (2)
⇒ ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c
= (l₁ x + m₁y + n₁)(l₂ x + m₂y + n₂)
l₁l₂ = a,
m₁m₂ = b, l₁m₂ + l₂m₁ = 2h,
l₁n₂ + l₂n₁ = 2g,
m₁n₂ + m₂n₁ = 2f,
n₁n₂ = c
మూలబిందువు నుండి (1) కి లంబదూరము = \(\frac{\left|n_1\right|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2}}\)
మూలబిందువు నుండి (2) కి లంబదూరము = \(\frac{\left|n_2\right|}{\sqrt{l_2^2+m_2^2}}\)
లంబాల లబ్ధం

ప్రశ్న 4.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 అనే సమీకరణం ఒక వ్యతిచ్ఛేదక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే, మూలబిందువు నుంచి వీటి ఖండన బిందువు దూరానికి వర్గం \(\frac{c(a+b)-f^2-g^2}{a b-h^2}\) అవుతుందని చూపండి. దత్త సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే ఈ దూరం యొక్క వర్గం \(\frac{f^2+g^2}{h^2+b^2}\) అని కూడ నిరూపించండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందనుకొందాం.
l₁x + m₁y + n₁ = 0 ……………… (1)
l₂x + m₂y + n₂ = 0 ………………. (2)
(l₁x + m₁y + n₁)(l₂x + m₂y + n₂)
= ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c
l₁l₂ = a, m₁m₂ = b, n₁n₂ = c
l₁m₂ + l₂m₁ = 2h, l₁n₂ + l₂n₁, = 2g,
m₁n₂ + m₂n₁ = 2f
(1); (2) లను సాధించగా

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(c)

అభ్యాసం – 3 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
కింద సూచించిన సరళరేఖలు దత్త బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాలను విభజించే నిష్పత్తులను కనుక్కోండి. ఆ బిందువులు సరళరేఖకు ఒకే వైపున ఉన్నాయో, చెరొక వైపున ఉన్నాయో తెలపండి.
i) 3x −4y=7, (2, -7), (−1, 3)
సాధన:
3x – 4y – 7 = 0

L₁₁, L₂₂ లు వ్యతిరేక గుర్తులు కలిగి వున్నాయి.

ii) 3x + 4y = 6, (2, -1), (1, 1)
సాధన:
సరళరేఖ సమీకరణము 3x + 4y – 6 = 0

దత్త బిందువులు రేఖకు వ్యతిరేక దిశలలో ఉంటాయి.

iii) 2x + 3y = 5, (0, 0), (-2, 1) [Mar. ’14]
సాధన:
2x + 3y – 5 = 0.
\(\frac{l}{m}=\frac{-(0+0-5)}{-4+3-5}\)
= \(\frac{-5}{6}\)
దత్త బిందువులు రేఖకు ఒకే వైపున ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
కింది రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.

i) 4x + 8y 1 = 0, 2x − y + 1 = 0
సాధన:
4x + 8y – 1 = 0, 2x – y + 1 = 0
ఖండన బిందువు

ii) 7x + y + 3 = 0, x + y = 0
సాధన:
7x + y + 3 = 0, x + y = 0

ప్రశ్న 3.
(a – b) x + (b – c) y = c – a, (b – c)x + (c – a)y = (a – b), (c – a)x + (a – b)y b – c సరళరేఖలు అనుషక్తాలని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
(a – b) x + (b – c) y = c – a ……………… (1)
(b-c) x + (c – a) y = a – b ……………… (2)
(c – a) x + (a – b) y = b – c …………….. (3)
(1), (2) ల నుండి


(1), (2) ల ఖండన బిందువు P (-1, -1)
(3) లో ప్రతిక్షేపించగా
(c − a) (-1) + (a – b) (−1) = c + a – a + b = b – c
∴ P (−1, −1) బిందువు (3) మీద ఉంది.
దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 4.
కింద ఇచ్చిన సమీకరణాలను L₁ + λL₂ = 0 రూపంలోకి మార్చండి. ఈ సమీకరణం సూచించే సరళరేఖా కుటుంబం అనుషక్త బిందువును కనుక్కోండి.
i) (2 + 5k)x – 3(1 + 2k)y + (2 − k) = 0
సాధన:
(2 + 5k)x − 3(1 + 2k)y + (2 – k) = 0
(2x – 3y+ 2) + k (5x – 6y – 1) = 0
ఇది L₁ + λL₂ = 0 రూపంలో ఉంది.
L₁ = 2x – 3y + 2 = 0
L₂ = 5x – 6y – 1 = 0

P(5, 4) అనుషక్త బిందువు.

ii) (k + 1)x + (k + 2) y + 5 = 0
సాధన:
(k + 1)x + (k + 2) y + 5 = 0
k (x + y) + (x + 2y + 5) = 0
i.e., (x + 2y + 5) + k (x + y) = 0
ఇది L₁ + λL₂ = 0 రూపంలో ఉంది.
∴ L₁ = x + 2y + 5 = 0
L₂ = x + y = 0

అనుషక్త బిందువు P(5, – 5).

ప్రశ్న 5.
x + p = 0, y + 2 = 0, 3x + 2y + 5 = 0 సరళరేఖలు అనుషకాలయితే p విలువను కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
సాధన:
దత్తరేఖల సమీకరణాలు
x + p = 0 …………… (1)
y + 2 = 0 …………… (2)
3x + 2y + 5 = 0 ……………… (3)
(2) నుండి y = -2
(3) లో ప్రతిక్షేపించగా 3x – 4 + 5 = 0
3x = 4 – 5 = -1
x = –\(\frac{1}{3}\)
(2), (3) ల ఖండన బిందువు P(-\(\frac{1}{3}\), 2)
దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.
బిందువు x + p = 0 పై ఉంది.
–\(\frac{1}{3}\) + p = 0 ⇒ p = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 6.
నిరూపకాక్షాలతోను, కింద సూచించిన సరళరేఖలతోను ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాలను కనుక్కోండి.
i) x – 4y + 2 = 0
సాధన:
AB సమీకరణము x – 4y + 2 = 0
– x + 4y = 2
\(\frac{x}{-2}+\frac{y}{\left(\frac{1}{2}\right)}\) = 1
a = -2, b = \(\frac{1}{2}\)
∆OAB వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\)|ab|
= \(\frac{1}{2}\) |-2 × \(\frac{1}{2}\)| = \(\frac{1}{2}\) చ. యూనిట్లు.

ii) 3x – 4y + 12 = 0 [A.P Mar. ’15]
సాధన:
AB సమీకరణము 3x – 4y + 12 = 0
– 3x + 4y = 12
\(\frac{x}{-4}+\frac{y}{3}\) = 1
a = – 4, b = 3
∆OAB వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\)|ab|
= \(\frac{1}{2}\)|(-4) (3)|= \(\frac{1}{2}\) (12)
= 6 చ. యూనిట్లు.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B లలో కలుస్తుంది.
i) (−5, 2) వద్ద 2 : 3 నిష్పత్తిలో \(\overline{\mathrm{A B}}\) విభజించబడినప్పుడు
సాధన:

OA = a, OB = b అనుకుందాం.
A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
P బిందువు AB ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{3 a}{5}, \frac{2 b}{5}\right)\) = (-5,2)
\(\frac{3 a}{5}\) = -5, \(\frac{3 b}{5}\) = 2
a = – \(\frac{25}{3}\), b = 5
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{x}{\left(-\frac{25}{3}\right)}+\frac{y}{5}\) = 1
\(\frac{-3 x}{25}+\frac{y}{5}\) = 1
-3x + 5y = 25
3x – 5y + 25 = 0

ii) (-5, 4) వద్ద 1:2 నిష్పత్తిలో \(\overline{\mathrm{A B}}\) ని విభజించబడినప్పుడు
సాధన:
OA = a, OB = b అనుకుందాం.
– A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
P బిందువు AB ని 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{2 a}{3}, \frac{b}{3}\right)\) = (-5, 4)
\(\frac{2 a}{3}\) = -5, \(\frac{b}{3}\) = 4
a = –\(\frac{15}{2}\), b = 12
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{x}{\left(-\frac{15}{2}\right)}+\frac{y}{12}\) = 1
\(\frac{-2 x}{15}+\frac{y}{12}\) = 1
– 8x + 5y = 60
8x – 5y + 60 = 0

iii) (p, q) బిందువు \(\overline{\mathrm{A B}}\) ని సమద్విఖండన చేసినప్పుడు ఆ సరకరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OA = a, OB = b అనుకుందాం.
A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
AB మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) = (p, q)
\(\frac{a}{2}\) = p, \(\frac{b}{2}\) = q
a = 2p, b = 2q
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{x}{2p}+\frac{y}{2q}\) = 1
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 2

ప్రశ్న 2.
(−1, 2), (5, –1) బిందువుల గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కొని, ఈ రేఖతోను, నిరూపకాక్షాలతోను ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
P (-1, 2), Q (5, – 1) లు దత్త బిందువులు.
PQ సమీకరణము
(y − y₁) (x₁ − x₂) = (x − x₁) (y₁ – y₂)
(y – 2) (−1 – 5) = (x + 1) (2 + 1)
-6 (y – 2) = 3 (x + 1)
−2y + 4 = x + 1
x + 2y – 3 = 0

∆ OAB వైశాల్యము = \(\frac{c^2}{2|a b|}=\frac{9}{2|1.2|}=\frac{9}{4}\) చ. యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
నిరూపకాక్షాలతో, ఒక సరళరేఖతోను మొదటి పాదంలో ఏర్పడిన త్రిభుజవైశాల్యం 24 చ. యూనిట్లు. ఆ సరళరేఖ (3, 4) బిందువు గుండా పోతూంటే, దాని సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో AB సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
ఈ రేఖ P (3, 4) గుండా పోతుంది.
\(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}\) = 1
\(\frac{4}{b}=1-\frac{3}{a}=\frac{a-3}{a}\)
b = \(\frac{4 a}{a-3}\)
∆ OAB వైశాల్యము = 24 ⇒ \(\frac{1}{2}\) |ab| = 24
\(\frac{1}{2} \frac{4 a^2}{a-3}\) = 24
a² = 12 (a – 3)
= 12a – 36
a² – 12a + 36 = 0
(a – 6)² = 0 ⇒ a = 6
b = \(\frac{4 a}{a-3}=\frac{24}{3}\) = 8
AB సమీకరణము \(\frac{x}{6}+\frac{y}{8}\) = 1
4x + 3y = 24
4x + 3y – 24 = 0

ప్రశ్న 4.
వాలు 1 కలిగి Q(- 3, 5) గుండా పోయే సరళరేఖ x + y − 6 = 0 సరళరేఖను P వద్ద ఖండిస్తోంది. PQ దూరాన్ని కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]

సాధన:
వాలు = 1
tan α = 1 = tan 45°
α = 45°
ఈ రేఖ Q (−3, 5) గుండా పోతుంది.
P నిరూపకాలు (x₁ + r cos α₁, y₁ + r sin α)
= (-3 + r cos 45°, 5 + r sin 45°)
= \(\left(-3+\frac{r}{\sqrt{2}}, 5+\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\)
P బిందువు x + y − 6 = 0 రేఖపై ఉంది.
– 3 + \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) + 5 + \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) – 6 = 0
2 . \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) = 4 ⇒ r = \(\frac{4 \sqrt{2}}{2}\) = 2\(\sqrt{2}\)
PQ = 2\(\sqrt{2}\)

ప్రశ్న 5.
(1, 2), (3, 4) బిందువులు 3x – 5y + a = 0 సరళరేఖకు ఒకే వైపున ఉంటే a విలువల సమితిని కనుక్కోంది.
సాధన:
P (1, 2), Q (3, 4) లు దత్త బిందువులు.
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x – 5y + a = 0
L₁₁ = 3.1 − 5.2 + a = a − 7
L₂₂ = 3.3 – 5.4 + a = a – 11
a – 7, a – 11 లు రెండూ ధనాత్మకాలు లేదా రెండూ ఋణాత్మకాలు కావాలి.
సందర్భం (i): a – 7 > 0, a – 11 > 0
a > 7, a > 11
∴ a > 7. 11 ⇒ a ∈ (11, α)

సందర్భం (ii) : a – 7 < 0, a – 17 < 0
a < 7, a < 17
⇒ a < 17 ⇒ a = (-α, 27)
∴ a ∈ (α, 7) U (11, α)

ప్రశ్న 6.
2x + y – 3 = 0, 3x + 2y – 2 = 0, 2x – 3y – 23 = 0 సరళరేఖలు అనుషక్తాలని చూపి, అనుషక్త బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
2x + y – 3 = 0 ………………. (1)
3x + 2y – 2 = 0 ………………… (2)
2x – 3y – 23 = 0 …………………… (3)

x = 4, y = -5
ఖండన బిందువు P నిరూపకాలు (4, -5)
2x – 3y – 23 = 2(4) – 3(-5) – 23
= 8 + 15 – 23 = 0
P బిందువు (3) మీద ఉంది.
దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.
అనుషక్త బిందువు P (4, -5)

ప్రశ్న 7.
క్రింది రేఖలు అనుపకాలయితే, ఆ విలువ కనుక్కోండి.
(i) 3x + 4y = 5, 2x + 3y = 4, px + 4y = 6
(ii) 4x – 3y – 7 = 0, 2x + py + 2 = 0, 6x + 5y – 1 = 0. [May ’06]
సాధన:
(i) దత్తరేఖల సమీకరణాలు 3x + 4y – 5 = 0
2x + 3y – 4 = 0

x = −1, y = 2
(1), (2) ల ఖండన బిందువు P (-1, 2)
దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.
P బిందువు px + 4y = 6 మీద ఉంది.
-p + 8 = 6 ⇒ p = 8 – 6 = 2

(ii) దత్తరేఖల సమీకరణాలు 4x – 3y – 7 = 0
6x + 5y – 10

x = 1, y = -1
P నిరూపకాలు (1, −1)
దత్తరేఖలు అనుషక్తాలు.
P బిందువు 2x + py + 2 = 0 పై ఉంది.
2 – p + 2 = 0
p = 4

ప్రశ్న 8.
x + 2y – 3 = 0, 3x + 4y – 7 = 0, 2x + 3y – 4 = 0, 4x + 5y – 6 = 0 అనే నాలుగు సరళరేఖలు అనుషక్తాలు అవునో, కాదో నిర్ధారించండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
x + 2y – 3 = 0 …………………. (1)
3x + 4y – 7 = 0 ……………….. (2)
2x + 3y – 4 = 0 ……………….. (3)
4x + 5y – 6 = 0 ………………. (4)
(1), (2) లను సాధించగా

x = 1, y = 1
(1), (2) ల ఖండన బిందువు P (1, 1)
2x + 3y – 4 = 2.1 + 3.1 – 4 = 5 – 4 = 1 ≠ 0
4x + 5y – 6 = 4.1 + 5.1 – 6 = 9 – 6 = 3 ≠ 0
∴ P (1, 1) బిందువు (3), (4) ల మీద బిందువు కాదు.
∴ దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు కావు.

ప్రశ్న 9.
3a + 2b + 4c = 0 అయితే ax + by + c = 0 సమీకరణము అనుషక్త రేఖల కుటుంబాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి. అనుషక్త బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త నియమము 3a + 2b + 4c = 0
\(\left(\frac{3}{4}\right)\)a + \(\left(\frac{1}{2}\right)\)b + c = 0
a, b ల అన్ని విలువలలో ax + by + c = 0 రేఖ
\(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right)\) బిందువు గుండా పోతుంది.
ax + by + c = 0 సమీకరణం అనుషక్త రేఖలను సూచిస్తుంది.
అనుషక్త బిందువు \(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right)\)

ప్రశ్న 10.
శూన్యేతర సంఖ్యలు a, b, c లు హరాత్మక శ్రేఢిలో ఉంటే \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{1}{c}\) = 0 సమీకరణం ఒక అనుషక్త రేఖల కుటుంబాన్ని సూచిస్తుందని చూపి, అనుషక్త బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు H.P. లో వున్నాయి.
∴ \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{(-2)}{b}+\frac{1}{c}\) = 0
∴ a, b, c అన్ని విలువలకు
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{1}{c}\) = 0
రేఖ (1, – 2) బిందువు గుండా పోయే రేఖను సూచిస్తుంది.
∴ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{1}{c}\) = 0 అనుషక్త రేఖలను సూచిస్తున్నాయి.
అనుషక్త బిందువు P (1, – 2)

III.

ప్రశ్న 1.
(−5, 6), (3, 2) బిందువుల నుంచి సమదూరంలో ఉంటూ, 3x + y + 4 = 0 సరళరేఖపై ఉన్న బిందువును కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
సాధన:
P(x, y) బిందువు 3x + y + 4 = 0 మీద ఉంది.
3x + y + 4 = 0 …………….. (1)
దత్తాంశం ప్రకారం PA = PB ⇒ PA² = PB²

(x₁ + 5)² + (y₁ – 6)² = (x₁ – 3)² + (y₁ – 2)²
x₁² + 10x₁ + 25 + y₁² – 12y₁ + 36
= x₁² – 6x₁ + 9 + y₁² – 4y₁ + 4
16x₁ – 8y₁ +48 = 0
2x₁ – y₁ + 6 = 0 ………………. (2)
3x₁ + y₁ +4 = 0 ………………. (1)
కూడగా 5x₁ + 10 = 0 ⇒ x₁ = -2
(1) నుండి -6 + y₁ + 4 = 0
У₁ = 6 – 4 = 2
P నిరూపకాలు (-2, 2)

ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ P (3, 4) గుండా పోతూ X – అక్షం ధన దిశతో 60° కోణం చేస్తుంది. P నుండి 5 యూనిట్ల దూరంలో ఆ రేఖపై ఉన్న బిందువులు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ మీది ఏదేని బిందువు Q నిరూపకాలు
(x₁ + r cos θ, y₁ + r sin θ)
దత్తాంశం (x₁, y₁) = (3, 4) i.e., x₁ = 3, y₁ = 4
θ = 60° ⇒ cos = cos 60° = \(\frac{1}{2}\), sin θ = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
సందర్భం (i) : r = 5

ప్రశ్న 3.
ఒక సరళరేఖ Q (\(\sqrt{3}\), 2) గుండా పోతూ, X – అక్షం ధన దిశలో \(\frac{\pi}{6}\) కోణం చేస్తుంది. ఆ సరళరేఖ \(\sqrt{3}\)x − 4y + 8 = 0 రేఖను P వద్ద ఖండిస్తూంటే PQ దూరం కనుక్కోండి. [Mar. ’04]
సూచన : AB, PQ లు లంబంగా లేవు.
కనుక మొదటి పద్ధతినుపయోగించాలి.
సాధన:

PQ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో \(\frac{\pi}{6}\) కోణం చేస్తుంది.
m = PQ వాలు = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
PQ రేఖ Q (\(\sqrt{3}\), 2) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – 2 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)(x – \(\sqrt{3}\))
\(\sqrt{3}\)y – 2\(\sqrt{3}\) = x – \(\sqrt{3}\)
x – \(\sqrt{3}\) y = – \(\sqrt{3}\) …………….. (1)
AB సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x – 4y + 8 = 0
\(\sqrt{3}\)x – 4y = – 8 ………………. (2)
(1) × √3 = \(\sqrt{3}\)x – 3y = -3
తీసివేయగా – y = -5
y = 5
(1) నుండి x = \(\sqrt{3}\)y – \(\sqrt{3}\)
= 5\(\sqrt{3}\) – \(\sqrt{3}\) = 4\(\sqrt{3}\)
P నిరూపకాలు (4\(\sqrt{3}\), 5)
Q నిరూపకాలు (\(\sqrt{3}\), 2)
PQ² = (4\(\sqrt{3}\) – \(\sqrt{3}\))² + (5 – 2)²
27 + 9 = 36
PQ = 6 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
(2, 1), (3, – 2), (− 4, -1) బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం లోపల మూలబిందువు ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
ABC త్రిభుజ శీర్షాలు
A (2, 1), B = (3,-2), C (-4, -1)

CA సమీకరణము
\(\frac{y+1}{x+4}=\frac{-1-1}{-4-2}\)
⇒ \(\frac{y+1}{x+4}=\frac{-2}{-6}\)
⇒ \(\frac{y+1}{x+4}=\frac{1}{3}\)
⇒ 3y + 3 = x + 4
⇒ L’ = x – 3y + 1 = 0 ……………….. (2)
AB సమీకరణము
\(\frac{y-1}{x-2}=\frac{1+2}{2-3}\)
⇒ \(\frac{y-1}{x-2}=\frac{3}{-1}\)
⇒ 3x – 6 = -y + 1
L” = -3x + y – 7 = 0 ………………. (3)
L” (-4, -1) = 3(-4) – 1 – 7
= – 20 ఋణాత్మకము.
L” (0, 0) = 3(0) + 0 – 7
= – 7 ఋణాత్మకము.
(- 4, -1), (0, 0) లు AB కి ఒకవైపున ఉంటాయి.
O (0, 0) – AB కి ఎడమవైపున ఉంది. ……………. (4)
L’ (3, -2) = 3 – 3 (-2) + 1
= 10 ధనాత్మకము .
L” (0, 0) = 0 – 3 (0) + 1
= 1 ధనాత్మకము
(0, 0), (3, -2) లు AC కి ఒకవైపున ఉంటాయి. …………….. (5)
L (2, 1) = 2 + 7 (1) + 11
= 20 ధనాత్మకం
L (0, 0) = 0 + 7 (0) + 11
= 11 ధనాత్మకం
(0, 0), (2, 1) లు BC కి ఒకే వైపున ఉంటాయి.
(0, 0) బిందువు BC కి ఎగువన ఉంది. …………….. (6)
(4), (5), (6) ల నుండి 0 (0,0) బిందువు AC కి దిగువన,
BC కి ఎగువన, AB కి ఎడమవైపున ఉంటుంది.
O (0, 0) బిందువు ∆ ABC లోపల ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖ Q(2, 3) గుండా పోతూ X – అక్షం రుణ దిశ \(\frac{3\pi}{4}\) కోణం చేస్తోంది. x + y – 7 = 0 రేఖను P వద్ద ఆ సరళరేఖ ఖండిస్తూంటే, PQ దూరాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
PQ రేఖ X – అక్షం ఋణదిశలో \(\frac{3\pi}{4}\) కోణం చేస్తుంది. PQ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో π – \(\frac{3\pi}{4}\) = \(\frac{\pi}{4}\) కోణం చేస్తుంది.
Q నిరూపకాలు (2, 3)
P నిరూపకాలు (x₁ + r cos θ, y₁ + r sin θ)
= (2 + r. cos \(\frac{\pi}{4}\), 3 + r . sin \(\frac{\pi}{4}\))
= \(\left(2+\frac{r}{\sqrt{2}}, 3+\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\)
P బిందువు x + y − 7 = 0 రేఖపై ఉంది.
2 + \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) + 3 + \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) – 7 = 0
2 . \(\frac{r}{\sqrt{2}}\) = 7 – 2 – 3 = 2
∴ r = \(\sqrt{2}\)
PQ = r = \(\sqrt{2}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 6.
x + y = 0, 3x + y – 4 = 0, x + 3y – 4 = 0 సరళరేఖలు ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు
x + y = 0 ………………… (1)
3x + y – 4 = 0 ……………….. (2)
x + 3y – 4 = 0 ………………. (3)
(1), (2) రేఖల మధ్యకోణము 8 అయితే

(3), (1) రేఖల మధ్యకోణము θ₃ అయితే
cos θ₃ = \(\frac{1+3}{\sqrt{1+1} \sqrt{1+9}}\)
= \(\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
⇒ θ₃ = cos^-1 \(\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\)
θ₁ = θ₃
∴ కనుక దత్త త్రిభుజము సమద్విబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 7.
2x – y – 5 = 0, x – 5y + 11 = 0, x + y – 1 = 0 సరళరేఖలతో ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు
2x – y – 5 = 0 ………………. (1)
x – 5y + 11 = 0 ………………. (2)
x + y – 1 = 0 ………………… (3)
(1), (2) లను సాధించగా

C నిరూపకాలు = (4, 3)
(2), (3) లను సాధించగా

x = \(\frac{-6}{-3}\) = 2, y = \(\frac{3}{-3}\) = -1
∴ B నిరూపకాలు = (2, -1)
∆ ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ll}
x_1-x_2 & x_1-x_3 \\
y_1-y_2 & y_1-y_3
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}
4+1 & 4-2 \\
3-2 & 3+1
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
1 & 4
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\) |20 – 2|
= \(\frac{1}{2}\) × 18 = 9 చ. యూనిట్లు .