AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

These AP 7th Class English Important Questions 2nd Lesson The Turning Point will help students prepare well for the exams.

AP Board 7th Class English Unit 2 Important Questions and Answers The Turning Point

Reading Comprehension (Seen)

1. Read the following passage carefully.

I was in class V when the Second World War, the largest conflict in human history, was at its peak- Because of the war all the resources were scarce and the prices were not affordable. So, 1 had to take up my first job as a newspaper boy My task was to pick up a bundle of Tamil Newspapers and to deliver them to some local offices, some tea stalls, and occasionally a few homes. Before I set out to distribute, I used to sit on the bench there at the station, open the bundle, and carefully pluck out a copy of the daily newspaper Dinamani. The first page always caught my attention as it was usually filled with photos of fighter aircraft and stories of the Second World War. The German air force called Luftwaffe was sending hundreds of planes and bombers to attack the city and the British Royal Air Force had to deploy their full air force to defend their motherland. The stories would be about brave pilots from both the sides, and how they manoeuvred their aircraft and bombers. As a young boy I used to love the stories of the pilots and their planes. I was curious about planes. I wanted to be a pilot myself. (The Turning Point)

Now, answer the following questions.
1. What was the class that Kalam was in at the time of the Second World War?
Answers:
In class V

2. What made the resources scarce?
Answers:
The Second World War

3. What was his first job?
Answers:
He worked as a newspaper boy.

4. What was the news that was published on the first page of the newspaper?
Answers:
The photos of fighter aircrafts and stories of the Second World War

5. What made the speaker want to become a pilot?
Answer:
The stories of the pilots and their planes in the Second World War

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

2. Read the following passage carefully.

My curiosity grew in science because of a very special teacher when I was a ten-year-old boy in Class V. This was indeed a life-changing event. My science teacher’s name was Shri Siva Subramania Iyer. One day the topic of discussion in our class of sixty-five was ‘how birds fly? He drew a sketch of a bird with a tail, wings, feathers, and head on the board and explained how a bird flew. He explained how a bird could lift elf, fly and change direction by using its wings and the tail. He asked us whether we understood.

We gave a gloomy reply – no. Mr. Iyer did not get upset. That evening he took all of us to the seashore. The sunset, waves, cool breeze, and the chirping of birds all together made it a very pleasant atmosphere. He asked all of us to notice how the birds make a formation in a group and fly. He also told us to notice the shape of the formation made by the birds while flew. He drew our attention towards how they flap their wings to fly higher and how they use the tail to propel directions. Mr. Iyer also made us notice how the bird is powered to fly by itself. In 15 minutes, all the students cheerfully shouted “yes sir, we now understand how birds fly on their own.” (The Turning Point)

Now, answer the following questions.
1. What was the speaker curious for?
Answer:
Science

2. What was the topic of discussion in the class?
Answer:
How birds fly

3. What did the teacher explain?
Answer:
The flight or flying of the bird

4. What did the teacher do to make his students understand the topic well?
Answer:
He took his students to the seashore and showed them how the birds really fly.

5. How was the atmosphere at the seashore?
Answer:
It was very pleasant.

3. Read the following passage carefully.

The flight principle got imprinted in my mind and I decided that in the future I will study subjects related to flight. However, as a little boy I needed guidance to pursue this field. I asked my teacher Mr. Iyer to guide and tell me how to pursue my interest. He told me to study and explore the field of aviation science and aeroplanes.

Whatever I had learnt that day changed my life. 1 was inspired to have an aim. Later I realized how important it was to study Physics. I chose Physics. I opted for Aeronautical Engineering at the Indian Institute of Technology, Madras. Then, I became an Aeronautical Engineer and a space technologist. Mr. Iyer’s class had transformed my life which led me to make a profession out of my passion. Aeronautics, or the science of flight, was special to me. My career began in this field. (The Turning Point)

Now, answer the following questions.
1. What was imprinted in the speaker’s mind?
Answer:
The flight principle

2. What decision did the speaker take to do in future?
Answer:
He wanted to study subjects related to flight.

3. Who guided the speaker to pursue his interest?
Answer:
Mr. Siva Subramania Iyer, his science teacher

4. What did the speaker study at IIT, Madras?
Answer:
Aeronautical Engineering

5. How did the speaker start his career?
Answer:
He started his career as an aeronautical scientist.

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

4. Read the following lines carefully.

This is my prayer to thee, My Lord – strike, strike at the root of penury in my heart.
Give me the strength lightly to bear my joys and sorrows.
Give me the strength to make my love fruitful in service.
Give me the strength never to disown the poor or bend my knees before insolent might.
Give me the strength to raise my mind high above daily trifles.
And give me the strength to surrender my strength to thy will with love. (Give Me Strength)
Now, answer the following questions.

1. Who is praying to whom?
Answer:
The post is playing to God

2. What does the poet pray for?
Answer:
For strength to bear his joys end sorrows

3. What does the poet want the Lord to strike?
Answer:
The root of penury in his hear

4. Who are not to be disowned?
Answer:
The poor

5. What is ‘thy will’ according to the poet?
Answer:
To serve human beings

Reading Comprehension (Unseen)

1. Read the following passage carefully.

Up the river Hudson in North America are the Catskill mountains. They are not so high as the Himalayas in India. In a certain village at the foot of these mountains there lived long ago a man called Rip Van Winkle. He was simple and good natured. A very kind neighbour and a great favourite of all the good wives in the neighbourhood. The women took his side and put the blame on Dam Van Winkle. .

The children of the village too would shout with joy whenever they saw him. He made play things for them. He told them fairy tales. So they liked him.

Now, answer the following questions.
a) Why did children like Rip Van Winkle?
Answer:
Rip Van Winkle used to make play things for children. He told them fairy tales. So children liked Rip Van Winkle very much.

b) What kind of man was Rip Van Winkle?
Answer:
Rip Van Winkle was simple and good natured. He was a very kind neighbour and a great favourite of all the women and children in the village.

Choose the correct answer from the choices given.
c) Where are the Catskill mountains?
i) In South America
ii) In Africa
iii) In North America
Answer:
iii) In North America

d) Where did Rip Van Winkle live?
i) On the top of Catskill mountains
ii) In a village at the foot of the Catskill mountains
iii) In a city in North America
Answer:
ii) In a village at the foot of the Catskill mountains

e) Who liked Rip Van Winkle very much?
i) All the wives in the neighbourhood
ii) All the husbands in the neighbourhood
iii)All the friends in the village
Answer:
i) All the wives in the neighbourhood

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

2. Read the following passage carefully.

In the American War of Independence, a Corporal and a party of soldiers were ordered to raise a heavy beam for a battery that was being repaired. There were too few men for the work, but the Corporal, full of his dignity did nothing but stand by and shout orders, presently an officer, not in uniform rode up. “Hallo,” he said to Corporal, ‘why don’t you lend your men a hand to get that beam up?” “Don’t you know that I am a Corporal ?” was the reply, “Are you ?” said the officer, who then got down from his horse and joined the men. He worked till the sweat streamed down his face. When the beam had been raised and put to its place, he turned to the Corporal and bade him a low bow, “Good day Mr. Corporal. Next time when you have too few men for this kind of work, send for the Commander in Chief and I shall be happy to help you again.”

It was George Washington himself.

Now, answer the following questions.
a) Why did the officer get down from the horse?
Answer:
The officer got down from his horse to help the men in their work.

b) Who was the person that helped the men and the Corporal?
Answer:
The person that helped the man and the Corporal was none other than the President of America, George Washington.

Choose the correct answer from the choices given.
c) What was to be raised?
i) A battery
ii) A cannon
iii) A beam
Answer:
iii) A beam

d) Who was the person that was having dignity?
i) The Corporal
ii) The Soldier
iii) The President
Answer:
i) The Corporal

e) What did the Corporal have?
i) Very few men
ii) Many ment
iii) A lot of soldiers
Answer:
i) Very few men

Interpretation Of Non-Verbal Information

1. In the table given below the data is given about different age groups in different employment sectors.

Read the table and answer the following questions :
AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point 1
Now answer the following questions.
a) What does the above table show?
b) In which sector are very small member of people working?
c) In which sector are maximum number of people working?
d) In which sector are maximum number of young people working?
e) In which sector are maximum number of old people working?
Answer:
a) The above table shows people of different age groups working under different employment sectors.
b) In accountancy very small number of people are working.
c) In manufacturing sector maximum number of people are working.
d) In retail sector maximum number of young people are working.
e) In manufacturing sector maximum number of old people are working.

2. Study the table given below and observe the changing patterns of unemployment in some advanced countries.
AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point 2
Now answer the following questions.
a) How many countries are compared in the given table?
b) What period does the table represent?
c) Which country has the least unemployment rate in 2005?
d) Which country has a decrease of nearly 6% in unemployment rate between 2000 and 2006?
e) In the case of every country we can notice that (Choose the correct answer.)
i) The unemployment rate is steadily increasing.
ii) The unemployment rate is steadily decreasing.
iii) The unemployment rate is fluctuating, i.e. sometimes it rises and sometimes it falls.
f) Which year recorded the highest unemployment rate for many countries?
g) Which country recorded the least fluctuations in the unemployment rate?
Answer:
a) Eight countries are compared in the given table.
b) The table represents the period 2000 – 2006.
c) Japan has the least unemployment rate in 2005.
d) Spain has a decrease of nearly 6% in unemployment rate between 2000 and 2006.
e) iii
f) 2003
g) Germany

Vocabulary

Synonyms
Choose the words with similar meanings (synonyms) from the list given to the words underlined.

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point 3
AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point 4
Answer:
a) a) hand over, b) sometimes
b) a) strike, b) place
c) a) benefit, b) presence
d) a) refreshing, b) observe
e) a) driven, b) joyfully
f) a) direct, b) curiosity

Antonyms

Write the opposites (antonyms) for the underlined words.

a) Because of the war all the resources were scarce (a) and the prices were not affordable (b).
b) Before I set out to distribute (a), I used to sit on the bench there at the station, open (b) the bundle and carefully pluck out a copy of the daily newspaper Dinamani.
c) The stories would be about brave (a) pilots from both the sides, and how they maneuvered their aircraft and bombers. As a young (b) boy, I used to love the stories of the pilots and their planes.
d) My curiosity (a) grew in science because of a very special (b) teacher when I was a ten-year-old boy in class V.
e) The sunset (a), waves, cool breeze, and the chirping of birds all together made it a very pleasant (b) atmosphere.
f) Mr. Iyer also made us notice how the bird is powered (a) to fly by itself. In 15 minutes, all the students cheerfully (b) shouted, “Yes sir, we now understand how birds fly on their own.”
Answer:
a) a) abundant / plentiful, b) unaffordable
b) a) collect, b) close
c) a) timid, b) old
d) a) disinterest, b) ordinary
e) a) sunrise, b) unpleasant
0 a) exhausted, b) sorrowfully

Right Forms of the Words

Fill in the blanks with the right form of the words given in the brackets.

a) I was in class V when the Second World War, the ____ (a) (larger / largest) conflict in human history, was at its peak. Because of the war all the resources were ____ (b) (scarce / scarcity) and the prices were not affordable.
b) The German air force called Luftwaffe was ____ (a) (sending / send) hundreds of planes and bombers to attack the city and the British Royal Air Force had to ____ (b) (deploy / deployment) their full air force to defend their motherland.
c) As a young boy, I used to ____ (a) (love / lover) the stories of the pilots and their planes. I was ____ (b) (curiosity / curious) about planes.
d) My ____ (a) (curious / curiosity) grew in science because of a very ____ (b) (special / speciality) teacher when I was a ten-year-old boy in class V.
e) The sunset, waves, cool breeze and the chirping of birds all together made it a very ____ (a) (pleasant / pleasantly) atmosphere. He asked all of us to notice how the birds make a ____ (b) (formed / formation) in a group and fly.
f) Mr. Iyer’s class had ____ (a) (transformation / transformed) my life which ____ (b) (led / leader) me to make a profession out of my passion.
Answer:
a) a) largest, b) scarce
b) a) sending, b) deploy
c) a) love, b) curious
d) a) curiosity, b) special
e) a) pleasant, b) formation
f) a) transformed, b) led

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

Spelling Test

Type – 1 : Vowel Clusters

Complete the following words using “ae, ai, au, ea, ee, ei, eo, eu, ia, ie, io, oa, oo, ou, ua, ue or ui”.

a) The first page always c _ _ ght my attent _ _ n as it was usually filled with the photos of fighter aircrafts and stories of the Second World War.
b) As a y _ _ ng boy, I used to love the stories of the piiots and their planes. I was cur _ _ us about planes.
c) My curiosity grew in science bee _ _ se of a very special t _ _ cher when 1 was a ten-year-old boy in class V.
d) He asked us whether we underst _ _ d. We gave a gl _ _ my reply – no.
e) The sunset, waves, c _ _ i breeze and the chirping of birds all together made it a very pi _ _ sant atmosphere.
f) Whatever I had l _ _ rnt that day changed my life. I was Inspired to have an _ _ m.
Answer:
a) caught, attention
b) young, curious
c) because, teacher
d) understood, gloomy
e) cool, pleasant
f) learnt, aim

Type – 2 : Suffixes

Complete the following words with the suitable suffixes given in the brackets.

a) The first page always caught my attent ___ (ion / ian) as it was usual ___ (liy / ly) filled with the photos of figher aircrafts and stories of the Second World War.
b) My curio ___ (city / sity) grew in science because of a very special teach ___ (er / or) when 1 was a ten-year-old boy in class V.
c) He explained how a bird could lift itself, fly and change direct ___ (ion/ian) by using its wings and the tail. He asked us whether we understood. We gave a gloom ___ (y / ey) reply – no.
d) He drew our attention towards how they flap their wings to fly high ___ (est /er) and how they use the tail to propel direct ___ (ions / ians).
e) I opted for aero ___ (nautic / nautical) engineering at the Indian Institute of Technology, Madras. Then, I became a space techolog ___ (yist / ist).
Answer:
a) attention, usually
b) curiosity, teacher
c) direction, gloomy
d) higher, directions
e) aeronautical, technologist

Type – 3 . Wronalv Spelt Words

Identify the wrongly spelt word and write its correct spelling in the space provided.
a) canflict, seashore, direction, realize
Answer:
conflict

b) resorce, discussion, chirp, career
Answer:
resource

c) important, field, plesant, deliver
Answer:
pleasant

d) technology, interest, ocassionally explain
Answer:
occasionally

e) caught, discuss, skech, flight
Answer:
sketch

Classification of Words

Arrange the following words under the correct headings.
AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point 5

Choice of the Words

Fill in the blanks choosing the suitable words from those given in the box.
AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point 6
Answer:
a) 1) set out, 2) carefully
b) 1) explained, 2) direction
c) 1) attention, 2) propel
d) 1) pursue, 2) explore

Compound Adjectives

1. Fill in the blanks to complete the given paragraph using the compound adjectives given in the box.
long-sleeved high-heeled open-mouthed sweet-looking well-dressed odd-looking part-time

Mrs. Das has a __(1)__ job in a clothes shop. Yesterday, an __(2)__ woman walked into the shop. She was wearing __(3)__ shoes. A __(4)__ dog was with her. “I want a __(5)__ shirt for my dog, please,” she said. “For your dog?” asked Mrs.Das, __(6)__ in surprise. “Yes,” replied the woman. “I want him to be __(7)__ for my next party.”
Answer:
1) part-time,
2) odd-looking,
3) high-heeled,
4) sweet-looking,
5) long-sleeved,
6) open-mouthed,
7) well-dressed.

2. Match the following words in Set – A with Set – B to make compound adjectives and write them in the space given.

Set – ASet – BCompound Adjective
1. coldA) lastingcold-blooded
2. fourB) bloodedfour-day
3. wellC) daywell-read
4. fiveD) readfive-star
5. longE) starlong-lasting

Grammar

I. Edit the following passage correcting the underlined parts.

1. Tigers lives (a) in different parts of Asia and Siberia. The tiger or (b) the lion are the biggest animals in the cat family. An (c) male tiger is about 10 feet long. Their (d) coat is yellow and black.
Answer:
a) live, b) and, c) A, d) Its

2. Around the earth there was (a) atmosphere who (b) is like a rind round the (c) fruit. It is made up of oxygen, nitrogen, water vapour or (d) a number of other gases.
Answer:
a) is, b) which, c) a, d) and

3. In a village there lived a boy and his mother. There (a) are (b) very poor. The boy collected wood in (c) the forest and sold it. He cuts (d) down small trees also.
Answer:
a) They, b) were, c) from, d) cut

4. The Banyan tree is possibly a (a) biggest and friendliest of all our trees. We did (b) not see many banyan trees in our cities nowadays. This (c) trees require plenty of space for (d) spread themselves.
Answer:
a) the, d) do, c) These, d) to

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

II. Complete the passage choosing the right words from those given below. Each blank is numbered and for each blank four choices are given. Choose the correct answer and write (A), (B), (Q) or (P) in the blanks.

1. Every Sunday Daniel and his family ____(1) to the beach. They live far ____(2) the beach. ____(3) once a week the family gets into the car and Daniel’s father for hours ____(4) they reach the beach.
1) A) goes B) went C) go D) going
2) A) away B) from C) to D) of
3) A) And B) But C) Or D) Yet
4) A) till B) to C) until D) up to
Answer:
1) C 2) B 3) B 4) C

2. Mahatma Gandhi freed India from ____(1) British Empire. He did not ____(2) the British ____(3) guns ____(4) he loved all people.
1) A) a B) an C) the D) some
2) A) fight B)fought C) fighted D) fighting
3) A) from B) by C) with D) ou
4) A) so B) because C) why D) for
A. 1) C 2) A 3) C 4) B

3. Of all ____(1) creatures, butterflies are perhaps ____(2) most beautiful. Thev have such briehtlv ____(3) wings. If vou look at the wings ____(4) a magnifying glass, you will see that they are covered by tiny scales.
1) A) fly B) flying C) flew D) flown
2) A) a B) an C) the D) some
3) A) colour B) colours C) coloured D) colouring
4) A) from B) in C) into D)through
Answer:
1) B 2) C 3) C 4) D

4. Atmosphere makes ____(1) earth a planet of life. It ____(2) us with the air to breathe, protects ____(3) from dangerous solar ravs ____(4) saves us from the extremes of heat and cold.
1) A) a B) an C) the D) that
2) A) supply B) supplies C) supplied D) supplying
3) A) we B) us C) our D) ours
4) A) but B) and C) or D) yet
Answer:
1) C 2) B 3) B 4) B

III. Write the past forms of the words given below.
AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point 7
Answer:
1) belonged
2) grew
3) explained
4) directed
5) understood
6) made
7) shouted
8) decided
9) told
10) opted

IV. Fill in the blanks with past form of the verb given in brackets.

1) He _____ (go) home very late last night.
2) I _____ (meet) her two years ago.
3) They _____ (buy) a new flat last month.
4) Columbus _____ (discover) America.
5) The teacher _____ (appreciate) the students.
Answer:

  1. went
  2. met
  3. bought
  4. discovered
  5. appreciated

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

V. Fill in the blanks with suitable adverbs of time given iii the box.

1) She has _____ finished training.
2) Have you _____ been to Agra?
3) I have lived in Guntur _____ 2015.
4) He has loved in Chennai _____ a long time.
5) Subhash hasn’t arrived _____ .
6) What time does the film start? It has _____ started.
Answer:

  1. just
  2. ever
  3. since
  4. for
  5. yet
  6. already

Creative Writing

1. In Kalam’s autobiography “The Turning Point”, you have learnt that Kalam worked as a newspaper boy while he was studying in class V. You know that those were the days of the Second World War. Kalam used to sit on the bench there at the station and read the stories of war. Kalam was very enthusiastic about those stories. One day he read the war story of the previous day. Then, he distributed the daily newspaper and went to school. That evening, he started to write a diary.
Imagine that you were Kalam and attempt a diary entry.
Answer:
Friday, 10th September 2021
7:30 p.m.

Dear Diary,
In the morning, the photos I saw are really magnificent. They are the photos of war between Britain and Germany. How attractive they are ! The first page of the daily newspaper Dinamani is totally filled with the photos of fighter aircrafts and stories of the Second World War. The German Air Force is sending hundreds of planes and bombers to attack the city and the British Royal Air Force is deploying their full force to defend their motherland. 1 like those stories of brave pilots from both the sides, and how they manoeuvre their aircrafts and bombers. I love the stories of the pilots and their planes. I am really curious about planes. I love the profession of a pilot. I too shall become a pilot myself. I shall operate the planes. But my family is a poor one where nobody is a literate. What can I do ? Yes, I shall take the guidance from our teachers. That’s all for now! I’m really tired and I am going to sleep.
Kalam

2. In the lesson The Turning Point’ you have learnt that the science teacher Mr. Siva Subramania Iyer took the students of class V to the seashore and taught them how birds fly on their own. The flight priniciple got imprinted in Kalam’s mind and he decided that in the future he would study subjects related to flight. He met Mr. Iyer to seek his guidance.

Now, write a possible conversation between Mr. Iyer and Kalam on the above context.
Answer:
Kalam : Good morning, Sir!
Mr. Iyer : Good morning. What brings you here, Kalam?
Kalam : Sir, yesterday you taught us how birds fly. I now understand how they fly on their own.
Mr. Iyer : Very good.
Kalam : Sir, the flight principle got imprinted in my mind and so I decided
Mr. Iyer : Why do you hesitate, boy? You can express your feelings with me freely.
Kalam : I decided that in the future I will study subjects related to flight.
Mr. Iyer : Oh, very nice to hear.
Kalam : Sir, I need your guidance to pursue my interest.
Mr. Iyer : Certainly, I’ll guide you. If you work hard, you’ll achieve your aim.
Kalam : Thank you very much, sir.

3. Use the following information and write a bio-sketch of Dr. Kalam.
Dr. Avul Pakir Jainulabdeen Abdul Kalam
Birth : 15th October 1931 at Rameswaram in Tamil Nadu
Died on : 27th July 2015
Parents : Ashiamma (mother), Jainulabdeen (father)
Education : Schooling at Rameswaram
Childhood friends : Ramanadha Sastry, Aravindan and Sivaprakasan
Alma Matter : St. Joseph’s College, Tiruchirapalli
Madras Institute of Technology
Profession : Professor, author, aerospace scientist
Presidency : 11th President of India on 25th July 2002
Achievements : Evolution of ISRO’s launch vehicle programme, operationalisation of AGNI, PRITHVI missiles
Literary pursuits : Four of his books
– Wings of Fire
– India 2020 – A Vision for the New Millennium
– My Journey
– Ignited Minds
Honours : Honorary doctorate from 30 universities
Awards : Padma Bhushan (1981)
Padma Vibhushan (1990)
Bharat Ratna (1997)
Answer:
Dr. Avul Pakir Jainulabdeen Abdul Kalarn

Abdul Kalam was the 11th President of India. He was born on 15th October 1931 at Rameswaram in Tamil Nadu. His mother was Ashiamma and father Jainulabdeen. He did his schooling at Rameswaram. His childhood friends are Ramanadha Sastry, Aravindan and Sivaprakasan.

He studied at St. Joseph’s College in Tiruchirapalli and completed his professional course at Madras Institute of Technology. He stepped into the shoes of many professions such as a professor, author, and an aerospace scientist.

He was elected as 11th President of India on 25th July 2002. He played a key role in the evolution of ISRO’s launch vehicle programme and in the operationalisation of AGNI, PRITHVI missiles.

The four important literary pursuits of Kalam are Wings of Fire, India 2020 – A Vision for the New Millennium, My Journey and Ignited Minds. He was honoured with a honorary doctorate from 30 universities. He got awards like Padma Bhushan in 1981 and Padma Vibhushan in 1990. He also got the most prestigious award Bharat Ratna in 1997. He passed away on 27th July 2015.

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

4. Write a letter to your father requesting him to allow you to go on an educational tour with your Mends.
Answer:

12-25, Ashok Nagar
Mangalagiri.

15 June, 20xx

My dear father
I am safe here and I hope that you are also safe there. I am studying well and I got 90% of marks in the last monthly tests and I hope that I can get more than 90% in the coming exams.

I am very happy to inform you that our school is arranging an educational tour to visit Mysore and surrounding places. We will visit Brundavan gardens, some industries and educational institutes there. It is a two day programme. Our school teachers will also accompany us. All our friends are going on the trip. I am also interested to go on the tour for which 1 require Rs. 3,000/- for expenses.

Hence, I request you to kindly allow me to go on the tour along with my friends and teachers and send the amount as early as possible. 1 am waiting for your reply. Convey my profound regards to Mummy and best wishes to my brother and sister.

With love
Yours lovingly
Aditya

Address on the Envelope :
To
P. Krishnamurthy
17-761/A
Nehru Nagar
Madanapalli
Chittoor dist.

5. Write a story using the following hints :

Hints : A crow – find a peice of meat – take the piece of meat fly – about to eat – a cunning fox – sees piece of meat – wants to take it – fox says – crow has a sweet voice – to sing a song – vexed with his repeated requests – put the piece of meat – under his leg says – that he has already read the story – get away from there.
Answer:
One day a crow found a piece of meat somewhere. The crow took the piece of the meat in its beak and flew off to a tree nearby. As it was about to eat the meat, a cunning fox came there. The fox saw the piece of the meat. Somehow he wanted to take it away from the crow. Then the fox said that the crow had a sweet voice. He asked the crow to sing a song for him. He repeatedly requested the crow for a song. Having been vexed with his repeated requests, the crow put the piece of the meat under his claw and asked the fox to get away from there. He told the fox that he had already read the story of stupid crow and cunning fox.

AP 7th Class English Important Questions Unit 2 The Turning Point

6. Write a story using the following hints.

Hints : An old farmer – five sons – lazy and selfish – quarrelled one another – old man worried about – his good words – sons did not care – asked servants – bring a bundle of sticks – sons asked to break – but none – bundle loosened – single stick – broken easily – sons understood – unity is strength.
Answer:
The Farmer and His Five Sons
Once there was an old farmer. He had five sons. The sons were lazy and selfish. They always quarrelled with one another. The old man was worried about his sons’ future. He tried to mend their behaviour by saying a few good words. But the sons did not care arid they did not change their ways. So, the old man wanted to teach his sons a lesson and he asked his servants to bring a bundle of sticks. He called his sons and asked them to break the bundle one after another. But they could not break the bundle as it was not an easy task. Then the old man loosened the bundle and gave them a stick each. They could break the sticks easily. Thus the old man tried to make them understand the value of unity like a bundle of sticks. The sons understood the value of unity and they started to believe that unity is strength.
Moral: Unity is strength.

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

These AP 7th Class English Important Questions 1st Lesson Painted House, Friendly Chicken and Me will help students prepare well for the exams.

AP Board 7th Class English Unit 1 Important Questions and Answers Painted House, Friendly Chicken and Me

Reading Comprehension (Seen)

1. Read the following passage carefully.

I am Thandi, an Ndebele girl in South Africa. I am eight years old, and my best friend is a chicken. You may laugh at that, but when I tell my friend secrets, she can talk all she wants but no one can understand her except another chicken, of course.

My chicken listens to my stories; she has other uses too. If you play with her and take her mind off what’s going on, you can quickly – very quickly snatch a feather or two when she is distracted. She doesn’t notice, and the feathers will come in handy later, of course. (Painted House, Friendly Chicken and Me)

Now, answer the following questions.
1. Who is Thandi?
Answer:
A tribal girl / a Ndebele girl in South Africa

2. Thandi treats her chicken as ……………
A) a beast
B) a friend
C) an animal
Answer:
B) a friend

3. Who can understand her chicken better?
Answer:
Another chicken.

4. Why should we take her mind off?
Answer:
To snatch a feather or two / to make her distracted (inattentive)

5. Choose the meaning of ‘come in handy’.
A) as many as you want
B) to be useful or helpful
C) handful of feathers
Answer:
B) to be useful or helpful

2. Read the following passage carefully.

I have two hopes. One is my name, Thandi, which means hope in my language. All children are a hope for their families and many Ndebele girls are named Hope. If you like, you can call yourself Hope, too, in secret, of course. Especially, if you are a boy, of course. The other hope I have is that at the end of this book I can say “Good-bye friend,” not “Good-bye stranger-friend.”

I don’t know why, but Ndebele people do not call anything beautiful. Even that the best thing is described as good. All Ndebele women paint their houses and I want you to know, stranger-friend, no one’s house is as good,as my mother’s. She has started to teach me to paint good, very good designs. (Painted House, Friendly Chicken and Me)

Now, answer the following questions.
1. What are the two hopes as mentioned by the speaker?
Answer:
One is her name, Thandi, which means hope in her language and the second one is she can say ‘Good-bye friend’, not ‘Good-bye stranger-friend’.

2. How are many Ndebele girls named?
A) Friend
B) Hope
C) Thandi
Answer:
B) Hope

3. What do Ndebele people call beautiful?
A) They call their houses beautiful.
B) They call everything beautiful.
C) They do not call anything beautiful.
Answer:
C) They do not call anything beautiful.

4. ‘Especially, if you are a boy, of course.’ What does this sentence indicate?
A) To be born as a boy is a fortunate thing in South Africa.
B) Only boys are born in South Africa.
C) Boys like to be called Hope.
Answer:
A) To be born as a boy is a fortunate thing in South Africa.

5. Whose house is . better than all other houses?
Answer:
The house of the speaker’s mother

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

3. Read the following passage carefully.

When I am taller, I shall have a house so good people will stop in front of my walls and smile, and even laugh out loud.

You should have strong eyes to paint well, and your hand must not shake like a leaf on a tree, for you must fill a chicken’s feather with paint and draw a line as straight as a spear.

You must have the pattern inside your head, even before you dip the feather into the paint. Your hand must be steady to make the patterns sharp, the walls are high, and your legs must be strong. Sometimes my mother and her sisters sit by the fire in winter, or in summer under shade trees, and they make good things with beads. They tell stories as they sort and string and sew. My mother lets me watch her and very soon I shall be making the amaphotho (a beaded apron) and the ghabi (the fringed lion flap), and they will be so good that when 1 dance, the stars will dance with me.
(Painted House, Friendly Chicken and Me)

Now, answer the following questions.
1. What kind of house does the speaker want to have?
Answer:
A very good house where people will stop in front of its walls and smile, and even laugh out loud.

2. Those days paintings are done using…………
A) the leaves of a tree
B) The fingers of a hand
C) The feathers of a chicken
Answer:
C) The feathers of a chicken

3. ‘The strong eyes’ in this passage refers to
A) Big eyes
B) Wide eyes
C) Perfect eyesight
Answer:
C) Perfect eyesight

4. What do the women use to make good things?
Answer:
Beads

5. What appears to be stars while the speaker dances?
Answer:
Beads on her dress appear to be stars.

4. Read the following passage carefully.

My father built us small houses, and my mother painted them. We pretend that we can become small and go inside and have our meal. In my village, the children play with penny whistles and bicycles. Some are so shy that they try to lose themselves in their mothers’ blankets, and some just sit back deep inside themselves and look out at the world.

When my friends and I go to school, we wear the uniforms father bought in the towrl, but when we come home, we start jumping and laughing because we can take off those dry, dull clothes and put on our beads again and look very good.
(Painted House, Friendly Chicken and Me)

Now, answer the following questions.
1. The purpose of the small houses built by her father is
A) to play
B) to sell them
C) to exhibit them
Answer:
A) to play

2. What are the play things of her village as mentioned by the speaker?
Answer:
Penny whistles and bicycles

3. ……..some just sit back deep inside themselves and look out at the world.’ What does this part of the sentence express?
A) The mothers’ care
B) Fear of children
C) Fear of mothers
Answer:
B) Fear of children

4. What do they wear when they go to school?
Answer:
Uniforms

5. Pick out the phrasal verb that means ‘wear’.
Answer:
Put on

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

5. Read the following passage carefully.

Sometimes 1 go to the city with my mother and sisters and aunts in a wagon pulled by four mules. The women wear their best blankets and best neck rings and very good leg rings, of course. 1 am always happy to see the city people stare at my mother and relatives because the city folk have nothing so good as the Ndebele women. All their houses are in one sad colour and the women I see have no beads at all. I feel sorry for them and 1 give them a good smile. It must help because they laugh.

I wonder, if little brothers in your village are as mischievous as my little brother?

He wears a sun cap because he is supposed to tend the sheep, but he is so mischievous that sometimes 1 would like to give him away, to someone far, far away to a good person. (Painted House, Friendly Chicken and Me)

Now, answer the following questions.
1. Who does the speaker go with to the city?
Answer:
With her mother, sisters and aunts

2. What do the women wear when they go to the city?
Answer:
They wear their best blankets, best neck rings and very good leg rings.

3. What makes the speaker happy when she visits the city?
Answer:
The city folk staring at her mother and relatives

4. What kind of a boy is her little brother?
Answer:
He is mischievous.

5. What is her little brother supposed to do?
Answer:
To tend the sheep

6. Read the following passage carefully.

He tries to get into everybody’s business, and even wants to make a chicken his best friend. He will never succeed mainly because you have to know how to speak to animals. My brother can’t help shouting and of course the chicken runs away.

Now, about my very friend – the chicken – she runs from me only when she is on her own errands, but when she is’free, I take her in my arms and whisper something in her language. I can’t tell you because you are not a chicken.

I have enjoyed telling you about my village, my mother, and my squirmy brother, the beads and the painted houses, and my good friend, the chicken. You may call me friend, and I would like to call you friend. If we ever meet, I will let you hold my chicken. She will keep your secrets safe. You know why, of course. (Painted House, Friendly Chicken and Me)

Now, answer the following questions.
1. What makes the shouting of her brother do?
Answer:
It makes the chicken run away.

2. The speaker does not like to reveal the things she told her chicken. Why?
Answer:
The speaker says that as we are not chickens, we cannot understand. So she does not like to tell us.

3. What did the speaker enjoy?
Answer:
Telling us about her village, her mother, and her squirmy brother, the beads and painted houses, and her good friend, the chicken.

4. How did the speaker become a friend to the readers at the end of the lesson?
Answer:
Because she was introduced through this lesson and became familiar to us.

5. When can we hold her chicken?
Answer:
When we ever meet the speaker, we are allowed to hold her chicken.

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

7. Read the following passage.

Tom was a young, imaginative and mischievous twelve-year old boy. Tom’s mother had passed away. He was living with his Aunt Polly on the banks of the river Mississippi. She loved him as much as she loved her sister. The aunt knew that “If you spare the rod, you will spoil the child”, (Tom Paints the Fence)
Now, answer the following questions.
1. What kind of a boy was Tom Sawyer?
Answer:
Tom Sawyer was a young, imaginative and mischievous boy.

2. Who was he living with?
Answer:
He was living with his Aunt Polly.

3. Why was he living with her/him?
Answer:
He was living with her because his mother had passed away.

4. Where were they living?
Answer:
They were living on the banks of the river Mississippi.

5. What did the aunt know?
Answer:
The aunt knew that “If you spare the rod, you will spoil the child”.

8. Read the following passage.

Saturday morning came; it was a bright day. The hill behind the village was cov¬ered with summer green. Tom appeared on the pavement with a bucket of whitewash and a long-handled brush. He surveyed the fence, thirty yards of broad fence and nine feet high. Life to him seemed hollow, and existence but a burden.
(Tom Paints the Fence)

Now, answer the following questions.
1. How was the day?
Answer:
The day was bright.

2. What was the hill covered with?
Answer:
The hill was covered with summer green.

3. Where did Tom appear?
Answer:
Tom appeared on the pavement with a bucket of whitewash and a long-handled brush.

4. Why did he appear there?
Answer:
He appeared there to paint the fence.

5. Why did he survey the fence?
Answer:
He surveyed the fence to know the area of the fence, he was going to paint.

9. Read the following passage.

There came Ben Rogers, the very boy, of all boys, whose ridicule he had been dreading. Ben was eating an apple and seemed to be in high spirits. Tom went on whitewashing and paid no attention to Ben. Ben said, “Hello! You’ve got to work even on a holiday?” Tom replied, “I do not consider this as work because it gives me pleasure.” (Tom Paints the Fence)

Now, answer the following questions.
1. Who would ridicule Tom according to him?
Answer:
Ben Rogers would ridicule him.

2. Who was Ben Rogers?
Answer:
Ben Rogers was one of Toy’s mates.

3. What was Ben doing when he met Tom?
Answer:
Ben was eating an apple. When he met Tom.

4. What did Tom do on seeing Ben?
Answer:
On seeing Ben, Tom went on whitewashing and paid no attention to Ben.

5. What did Ben ask Tom? What was Tom’s reply?
Answer:
Ben asked Tom why he had got to work even on a holiday. Tom replied that he did not consider that as work because that work gave him pleasure.

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

10. Read the following passage.

He went on painting the fence just.like an artist. Ben was watching all that and he was getting more and more interested. At last Ben asked Tom, “Tom, let me white-wash a little.” Tom answered negatively saying, “My Aunt is very particular about this fence and everybody cannot paint the whole of it right way.” Ben was getting very eager and asked Tom. “Tom, I’ll be very careful, now let me try. I’ll give you half of my apple.” (Tom Paints the Fence)

Now, answer the following questions.
1. What does the word ‘he’ refer to in the sentence, “He went on painting ……….. ”?
Answer:
Tom Sawyer

2. Why do you think Ben was getting more and more interested?
Answer:
Tom was painting the fence just like an artist. When Ben was watching all that, he was getting more and more interested.

3. What did Ben request Tom?
Answer:
Ben requested Tom to let him to paint.

4. “ ……….. everybody cannot paint the whole of it right way” – What does ‘it’ refer to here?
Answer:
‘It’ refers to the fence.

5. What was offered by Ben to Tom if Ben was allowed to paint?
Answer:
Ben offered half an apple to Tom if he was allowed to paint. .

11. Read the following passage.

Poor Ben was sweating and was working under the sun for a long time. When Ben was tired, Tom gave the brush to Billy who gave him his kite in return. When Billy was tired, Johnny Miller gave his pair of marbles to Tom and took the brush. Tom was really in wealth at the end of the day. Everybody paid him a prize to get a chance to whitewash the fence. (Tom Paints the Fence)

Now, answer the following questions.
1. What was Ben doing?
Answer:
Ben was painting the fence.

2. Why was Ben sweating?
Answer:
Ben was sweating because he was working under the sun for a long time.

3. What did Tom get from Billy?
Answer:
Tom got a kite from Billy.

4. What happened when Billy was tired?
Answer:
When Billy was tired, Johnny Miller gave his pair of marbles to Tom and took the brush.

5. How did Tom become wealthy?
Answer:
Tom became wealthy with the things he had got from Ben, Billy and Johnny Miller.

12. Read the following passage.

They came to laugh at Tom but he made them work. The whole fence was nicely whitewashed with three coats of paint within afternoon.

When Aunt Polly saw the fence, she said in surprise, “Oh! Tom, you can work when you want to, only you hardly ever want to.” She took him home and gave him the best apple she had and allowed him to go and play. (Tom Paints the Fence)

Now, answer the following questions.
1. Why did they come to laugh at Tom?
Answer:
They came to laugh at Tom because he was working even on a holiday while others were passing their time happily.

2. What did Tom do with them?
Answer:
Tom made them paint the whole fence.

3. Who whitewashed the whole fence?
Answer:
Ben, Billy and Johnny Miller whitewashed the whole fence.

4. Why was Aunt Polly surprised?
Answer:
Aunt Polly was surprised to see the whole fence was whitewashed neatly by Tom.

5. What did Aunt Polly offer Tom?
Answer:
Aunt Polly offered Tom the best apple.

READING COMPREHENSION (Unseen)

1. Read the following passage carefully.

Every day I walk a half-mile from my home to the tramcar lines in the morning, and from the lines to my home in the evening. The walk is pleasant. The road on either side is flanked by red and green-roofed bungalows, green lawns and gardens. The exercise is good for me and now and then I learn something from a little incident. One morning, about half-way between my front gate and the tram track, I noticed two little boys one was four years old perhaps, the other five. Playing in the garden of one of the more modest cottages. The bigger of the two was a sturdy youngster, very dark, with a mat of coarse hair on his head and coal black eyes. He was definitely a little Jamaican – a strong little Jamaican. The other little fellow was smaller but also sturdy – he was white with hazel eyes and light-brown hair. Both were dressed in blue shirts and kaki pants : they wore no shoes and their feet were muddy. They were not conscious of my standing there.

Now, answer the following questions.
a) He was definitely a Jamaican. How could the writer guess it?
Answer:
His dark colour and the mat of coarse hair on his head made the writer guess that he was a little Jamaican.

b) What is the exercise for the writer?
Answer:
A half a mile walk from home to the tramcar lines in the morning and from tramcar lines to the home in the evening was an exercise for the writer.

Choose the correct answer from the choices given.
c) How was the cottage where the boys were playing?
i) beautiful
ii) modest
iii) modern
iv) ugly x
Answer:
ii) modest

d) What are there on either side of the road?
i) green lawns and gardens
ii) red and green-roofed bungalows
iii) i and ii
iv) big cottages with tiled roofs
Answer:
ii) red and green-roofed bungalows

e) How old was the black boy?
i) six years
ii) four years
iii) five years
iv) eight years
Answer:
iii) five years

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

2. Read the following passage carefully.

Of all the weapons of destruction invented by science till today, the most destructive one is the Atom bomb. Scientists have succeeded in making this after years of research. These researches first started in Germany about the beginning of the Second World War. The German scientists were afterwards engaged by America, and a big laboratory covering several square miles was set up in that country. Constant researches were carried on in America very secretly and in 1944, the scientists succeeded in making the Atom bomb. During that time the Second World War was al-most coming to an end. Germany was defeated. But the small country, Japan, was still waging the war against the mighty forces of England, France and Russi-‘ and America was forced to enter the war. An Atom bomb was flown from America to Japan, and was dropped on a city, in 1945, called Hiroshima, where a Japanese army was stationed. It was a great populous city. The bomb not only killed the whole army but also levelled all the houses to the ground and nothing was left but heaps of de¬bris. Even many people living far away received severe burns by the rays that came out of the bursting bomb.

Now, answer the following questions.
a) Why was the Atom bomb dropped on Hiroshima?
Answer:
to defeat Japan

b) What was the achievement of the scientists in 1944?
Answer:
The Atom bomb was invented.

Choose the correct answer from the choices given.
c) W[ho invented the Atom bomb?
i) The American scientists
ii) The German scientists
iii) The Russian scientists
iv) The French scientists
Answer:
i) The American scientists

d) Where was a big laboratory set up?
i) In America
ii) In Germany
iii) In France
iv) In Japan
Answer:
i) In America

e) When was the Atom bomb dropped on Hiroshima?
i) in 1944
ii) in 1945
iii) At the beginning of the Second World War
iv) in 1946
Answer:
ii) in 1945

Interpretation Of Non-Verbal Information

1. Read the following information of Murthy’s family.
AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me 1

Now answer the following questions.
a) Who is Latha?
Answer:
Latha is the wife of Murthy.

b) How many grandchildren does Murthy have?
Answer:
Murthy has five grandchildren.

Choose the correct answer from the choices given.
c) Akhil is the son of
i) Veena
ii) Swapna
iii) Bhagya
Answer:
iii) Bhagya

d) Aneesh and Ananya are:
i) cousins
ii) brother and sister
iii) wife and husband
Answer:
ii) brother and sister

e) Which of the following is true with reference to the information given above?
i) Surya has one daughter.
ii) Swapna and Veena are sisters.
iii) There are 13 members in the family.
Answer:
iii) There are 13 members in the family.

2. Study the following table given below. The table shows the average life span of some animals and birds.

Name of the animal / birdAverage life span in years
1. Asian Elephant80
2. African Elephant70
3. Dog20
4. Eagle60
5. Turtle125
6. Human beings78
7. Humming Bird8
8. Queen bee5

Now answer the following questions.
a) Which animal has the highest life span?
Answer:
Turtle has the highest life span.

b) What is the average life span of human beings?
Answer:
78 years

Choose the correct answer from the choices given.
c) The creatures which have less than 10 years of life span are
i) Dog and eagle
ii) Asian elephant and African elephant
iii) Humming bird and queen bee
Answer:
iii) Humming bird and queen bee

d) The life span of an eagle is ………. years.
i) 70
ii) 80
iii) 60
Answer:
iii) 60

e) Which of the following statement is true as per the data?
i) Human beings have less life span than that of the African elephant.
ii) The life span of the eagle is higher than that of the Asian elephant.
iii) The only animal which has more than a hundred years of life span is the turtle.
Answer:
iii) The only animal which has more than a hundred years of life span is the turtle.

Vocabulary

Synonyms
Choose the words with similar meanings (synonyms) from the list given to the words underlined.AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me 2 AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me 3

Answer:
a) a) recognize b) after
b) a) conclusion, b) unknown person
c) a) design, b) plunge
d) a) arrange, b) stitch
e) a) made b) act
f) a) Occasionally, b) carriage

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

Antonyms

Write the opposites (antonyms) for the underlined words.

a) The other hope I have is that at the end (a) of this book I can say “God-bye friend,” not “Good-bye stranger (b) – friend.”
b) When I am taller (a), 1 shall have a house so good people will stop in front of my walls and smile, and even laugh out loud (b).
c) Your hand must be steady (a) to make the patterns sharp (b), the walls are high, and your legs must be strong.
d) He wears a sun cap because he is supposed to tend the sheep, but he is so mischievous (a) that sometimes I would like to give him away, to someone far, far away to a good (b) person.
e) He tries to get into everybody’s business, and even wants to make a chicken his best friend (a). He will never succeed (b) mainly because you have to know how to speak to animals.
f) If we ever (a) meet, I will let you hold my chicken. She will keep your secrets safe (b).
Answer:
a) a) beginning, b) familiar person
b) a) shorter, b) silently
c) a) unsteady, b) blunt
d) a) well behaved, b) bad
e) a) foe/enemy, b) fail
f) a) never, b) unsafe

Right Forms of the Words

Fill in the blanks with the right form of the words given in the brackets.
a) All children are a ________ (a) (hopeful / hope) for their families and many Ndebele girls are ________ (b) (name / named) Hope.
b) I don’t know why, but Ndebele people don’t call anything ________ (a) (beautiful / beautifully). Even that the best thing is ________ (b) (describe / described) as good.
c) Your hand must be ________ (a) (steady / steadily) to make the patterns ________ (b) (sharp / sharply), the walls are high, and your legs must be strong.
d) Some are so shy that they ________ (a) (try / trial) to lose themselves in their moth-ers’ blankets, and some just sit back ________ (b) (depth / deep) inside themselves and look out at the world.
e) I ________ (a) (wonder / wonderful), if little brothers in your village are as ________ (b) (mischievous / mischievously) as my little brother?
f) I have enjoyed ________ (a) (telling / told) you about my village, my mother, and my ________ (b) (squirmy / squirm) brother, the beads and the painted houses, and my good friend, the chicken.
Answer:
a) a) hope, b) named
b) a) beautiful, b) described
c) a) steady, b) sharp
d) a) try, b) deep
e) a) wonder, b) mischievous
f) a) telling, b) squirmy

Spelling Test

Type – 1 : Vowel Clusters

Complete the following words using “ai, au, ea, ee, ei, eo, ia, ie, io, oi, oo, ou, ua or ui”.

a) If you play with her and take her mind off what’s g _ _ ng on, you can quickly – very quickly – snatch a f _ _ ther or two when she is distracted.
b) All Ndebele women p _ _ nt their h _ _ ses.
c) You must fill a chicken’s feather with paint and draw a line as str _ _ ght as a sp _ _ r.
d) My mother lets me watch her and very s _ _ n I shall be making the beaded apron and the fringed l _ _ n flap.
e) When my friends and I go to sch _ _ l, we w _ _ r the uniforms.
f) He will never succ _ _ d mainly because you have to know how to sp _ _ k to animals.
Answer:
a) going, feather
b) paint, houses
c) straight, spear
d) soon, lion
e) school, wear
f) succeed, speak

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

Type – 2 ; Suffixes

Complete the following words with the suitable suffixes given in the brackets.

a) One is my name, Thandi, which means hope in my langu ___ (age / ege). All childr ___ (en / an) are a hope for their families and many Ndebele girls are named Hope.
b) If you like, you can call your ___ (self/selves) Hope, too, in secret, of course. Especial ___ (ly / lly), if you are a boy, of course.
c) They tell stor ___ (yes / ies) as they sort and string and sew. My mother lets me watch her and very soon I shall be mak ___ (eing / ing) the am photo and the ghabi, and they will be so good that when 1 dance, the stars will dance with me.
d) In my village, the childr ___ (an / en) play with penny whistles and bicycles. Some are so shy that they try to lose them ___ (self/selves) in their mothers’ blankets.
Answer:
a) language, children
b) yourself, Especially
c) stories, making
d) children, themselves

Type – 3 : Wrongly Spelt Words

Identify the wrongly spelt word and write its correct spelling in the space provided.
a) squirmy, laugh, beautiful, patern
Answer:
pattern

b) fronts smile, uoiffrm, chicken
Answer:
uniform

c) because, feather, natechievaus, snatch
Answer:
mischievous

d) business, succeed, string, stedy
Answer:
steady

e) speak, shout, destracted, sort
Answer:
distracted

Classification of Words

Arrange the following words under the correct headings.
AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me 4

Choice of the Words

Fill in the blanks choosing the suitable words from those given in the box.

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me 5

Answer:
a) 1) snatch, 2) distracted
b) 1) notice, 2) handy
c) 1) built, 2) pretend
d) 1) supposed, 2) mischievous
e) 1) enjoyed, 2) squirmy

Grammar

I. Read the following passage and correct the underlined parts. Rewrite foe corrected parts in the space provided.

1. Plants have many uses to (a) man. They supplies (b) us with food and shelter, with fuel and chemicals. People or (c) animals need to breathe oxygen to live. Plants take in the carbon dioxide what (d) people and animals breathe out.
Answer:
a) for
b) supply
c) and
d) that

2. Eskimos live in houses called Igloos. A (a) igloo is made with (b) large square pieces of ice. Arid (c) the igloo itself is not square. It look (d) like half of a big white ball standing on a white filed of ice.
Answer:
a) An
b) erf
c) But
d) looks

3. A (a) famous Indian mathematician, Srinivasa Ramanujan, was born in 1987 in a poor family in (b) Erode in Tamil Nadu. At a very young age, Ramanujan showed a (c) un-usual grasp of mathematics. It was (d) strange but true that he did not see his first mathematics book till he was sixteen.
Answer:
a) The
b) at
c) an
d) is

4. Mount Everest is a (a) highest peak in the world. It was (b) 8848 metres high. It is named on (c) Everest. Edmand Hillary and Sherpa Tenzing sets (d) foot on the top of the peak on 29th May 1953.
Answer:
a) the
b) is
c) after
d) set

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

II. Complete the passage choosing the right words from those given below. Each blank in numbered and for each blank four choices are given. Choose the correct answer and write (A), (B), (C) or (D) in the blanks.

1. Life in a big oasis ___ (1) extremely busy. There is ___ (2) busy market in the oasis ___ (3) the people from the neighbouring desert bring ___ (4) animals to exchange for the goods of the oasis.
1) A) is B) was C) are D) were
2) A) the B) a C) an D) some
3) A) but B) and C) or D) yet
4) A) her B) his C) our D) their
Answer:
1) A 2) B 3) B 4) D

2. ___ (1) Earth rotates around itself and also revolves round the Sun. To ___ (2) itself, it ___ (3) one day and to revolve round the Sun. It takes 365.25 days. The earth revolves round the Sun ___ (4) an elliptic orbit.
1) A) An B) A C) The D) That
2) A) rotating B) rotate C) rotates D) rotated
3) A) take B) took C) takes D) taking
4) A) on B) of C) in D) by
Answer:
1) C 2) B 3) C 4) C

3. The Banvan trees ___ (1) aerial roots ___ (2) is its branches. ___ (3) to the ground, take root again and send more branches ___ (4) their own.
1) A) has B) had ‘ C) have D) having
2) A) which B) that C) who D) whom
3) A) drops B) dropped C) drop D) dropping
4) A) of B) on C) in . D) at
Answer:
1) C 2) B 3) C 4) B

4. Lizards are closelv related ___ (1) snakes. Like snakes, ___ (2) are cold-blooded reptiles ___ (3) scaly skins. Unlike snakes their long bodies are usuallv divided into the three distinct parts : head, trunk ___ (4) tail.
1) A) with B) for C) to D) from
2) A) we B) they C) she D) he
3) A) of B) with C) for D) in
4) A) and B) or C) but D) yet
Answer:
1) C 2) B 3) B 4) A

III. Write the full forms for the contractions given below.

a) won’t : _______
b) isn’t : _______
c) might’ve : _______
d) we’ve : _______
e) doesn’t : _______
f) they’re : _______
g) he’d : _______
h) she’ll : _______
i) hadn’t : _______
j) that’s : _______
Answer:
a) will not
b) is not
c) might have
d) we have
e) does not
f) they are
g) he had / he would
h) she will / she shall
i) had not
j) that is / that has

Complete each sentence with the possessive forms of the noun given in the brackets.

a) When will you go to my _______ house? (aunt)
b) We are playing with _______ toys. (Tom)
c) I heard a _______ howl, last night. (wolf)
d) This is _______ lanch box. (kamala)
e) _______ face mask is blue. (Vinay)
Answer:
a) aunt’s
b) Tom’s
c) wolf’s
d) Kamala’s
e).Vinay’s

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

V. Fill in the blanks with the present perfect form of the verb.

a) He _______ (not / meet) his friend.
b) I _______ (learn) to swim.
c) _______ (ever / you / be) to London ?
d) She _______ (consult) an ophthalmologist.
e) Millions of people _______ (suffer) from Corona.
f) has not met
i) has consulted
g) have learnt
h) Have you ever been
j) have suffered

Creative Writing

1. Thandi, the narrator, sometimes goes to the city along with her mother and sisters and aunts in a wagon pulled by four mules. Then, she happens to see the city folk who stare at her mother and relatives interestingly.
“Now, describe the feelings of Thandi when she sees the city women.
Answer:
Thandi goes to the city along with her mother, her sisters and aunts in a wagon pulled by four mules. She sees the city women who don’t possess beaded things. Her thoughts are as follows. “What a pity! I am really very happy to see the city women stare at my mother, sisters and aunts. My mother, sisters and aunts have best blankets, best neck rings and best leg rings. But the city women have nothing so good as our women. All their houses are in one sad colour and they have no beads. I feel sorry for them and 1 give them a good smile. It must help because they laugh. I shall give them beaded aprons and beaded fringed lion flaps made by me. I think they will be very happy.”

2. Write a letter to your Mend inviting him/her to your village to spend summer holidays.
Answer:

H.No. : 242/7B,
Komaravallipadu.
20.03.20xx.

Dear Shashank,

I am safe here and I hope the same with you. I am studying well and I hope the same with you.

Now, I would like to invite you to come to my village in summer vacation and spend at least a week in my village. Ours is a family of six members – grandparents, my parents, me and my younger sister. My grandparents are very friendly and looking after our fields and cattle. My father is a high school teacher. My mother is a housewife. She takes care of us very much. My sister studies in class V in our village.

Ours is a very beautiful village. There are a lot of places worth watching in our village. Beautiful green fields, ancient Lord Shiva’s temple and running streams and some others are worth watching. My mother will prepare delicious dishes for us.

We are looking forward to seeing you. Convey my regards to your parents and my best wishes to your little sister.

Awaiting your arrival ……

Yours lovingly,
xxxx

Address on the Envelope :
To
C. Shashank,
S/o C. Ravi Prakash,
D. No. 18 – 208,
Nagaram Town
Keesara Mandal,
Hyderabad.
PIN: 500 001.

3. The marriage of your elder sister is going to be held on 25th July 20xx at Vasavi Kalyana Mandapam, in Nellore. The bridegroom is an engineer. He is not taking any dowry. Write a letter to your Mend inviting him to the marriage.
Answer:

Nellore.
10.7.20xx.

Dear Ravi,

I hope that you are in good health and you are going along nicely in your studies. Here I’m very glad to inform you that my elder sister’s marriage is going to be held on 25th July 20xx at Vasavi Kalyana Mandapam, Nellore. The bridegroom is an engineer. He is working in B.D.L., Hyderabad. Theirs is a nice family. They seem to be friendly and dignified people. One thing I want to mention here that they are not taking any , dowry and they did not demand any greedy gifts. I shall be very glad to see at you and your family at the function. Please inform your parents about the same and tell them that my parents will be pleased if they attend the function. My father wants to call your father and mother and invite them on phone. I have already posted the invitation on your father’s name. I shall be very glad if you come two days before and help me in preparations.

Convey my regards to your parents and my best wishes to your little brother. Hoping that you will come, I remain.

Yours lovingly,
xxxxxx

Address on the Envelope :
To
P. Ravi Kumar,
S/o P. Surya Narayana,
H.No : 1 – 20 – 22/A,
Malladivari Street,
Gandhinagar,
Vijayawada.

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

4. Write a story using the following hints.

Hints: An old tiger – weak – unable to catch its prey – thinks of a plan – wants to draw his prey closer – showing a golden bangle – bait – a poor man – comes – the other side of the river – about to drink water – hears someone calls – sees the tiger – afraid – tries to run away – tiger’s call – great scholar – changed – sorry for sins – now a pious – accept the golden ring – poor man – sees the golden bangle – becomes greedy – greediness overcomes – fear – goes close to tiger – to accept the ring – tiger spring up – kill – eat.
Answer:
Once there was on old tiger. He was week. He was unable to catch his prey. So he thought of a plan. He wanted to draw his prey closer to him by showing the golden bangle as a bait

One day a poor man came that way. He was on the other side of the river. When he was about to drink water, he heard someone calling him. He looked up and saw the tiger on the other side of the river. At first the poor man was afraid. He tried to run away from there. At the same time he heard the tiger’s call again “Oh! great scholar, I don’t harm you. I am now a changed one. I am sorry for my sins. I am now a pious man ! Please accept golden ring and help me to recede my sins.”

When the poor man saw the golden bangle, he became greedy. His greediness overcame his fear. He believed the tiger’s words. So he went close to the tiger to accept the golden ring. At once the tiger sprang upon him, killed him and ate him.

This story tells us “Greediness brings us misery”.

5. Write a story using the following hints.

Hints: Two cats – quarrel – a cake – claim – the cake belongs to him – keeps on quarrel – not know – go to a monkey – known for his wisdom – to share the cake – cuts the cake – two equal parts – make them equal – eats a small piece – becomes smaller – monkey – eats the second piece – becomes smaller – repeats the same trick – eats up – cats go away – disappointed.
Answer:
One day two cats were quarrelling over a cake. They both claimed that the cake be-longed to him. They kept on quarrelling for a long time. But they did not know what to do. Then they went to a monkey. The monkey was noted for his wisdom. They asked him to share the cake between themselves. The monkey intentionally cut the cake into two unequal parts. To make them equal the monkey ate a small piece of the bigger piece. Now that piece became smaller. Then the monkey ate the second piece. Then it became smaller. Thus the monkey repeated the same trick several times and ate up aU the cake. Then the two cats went away disappointed.

AP 7th Class English Important Questions Unit 1 Painted House, Friendly Chicken and Me

6. In the lesson ‘Painted House, Friendly Chicken and Me’, you have learnt that Thandi sometimes goes to the city along with the members of her family. One day she went to the city along with her mother, sisters and aunts and returned to the village.
Imagine you are Thandi and describe your feelings about city people, houses, etc. in the form of a diary entry.
Answer:
24th July, 2021,
9.00 pm.
Dear Diary,

Today I went to the city with my mother, sisters and aunts in a wagon pulled by four mules. I enjoyed the journey a lot. Visiting the city with the members of my family gives me immense joy. There are tall buildings and wide roads in the city. All the houses there are in one sad colour. But our painted houses are very beautiful to look at. There I found no much greenery either. Here, our village and the surroundings have rich greenery with number of trees. The city people stared at my mother and relatives because the city folk have nothing so good as the Ndebele women. I am always happy to see the city people stare at us. The Ndebele women wear best blankets, best neck rings and very good leg rings, of course. But the city women have no beads at all. I feel sorry for them and I give them a good smile. Next time when I go to the city, I shall give them beaded aprons and beaded fringed lion flaps made by me. I think they will be very happy then.

Thandi

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది అంకశ్రేఢులలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తాలను ‘ కనుగొనుము.
(i) 2, 1, 12, ……… 10 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 2, 7, 12, …….. 10 పదాలు.
a = 2; d = a2 – a1 = 7 – 2 = 5; n = 10
Sn = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S10 = \(\frac{10}{2}\) [2 × 2 + (10 – 1) 5]
= 5 [4 + 45] = 5 × 49 = 245
∴ S10 = 245.

(ii) – 37, – 33, – 29, ………….., 12 పదాలు
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : – 37, – 33, – 29, …………, 12 పదాలు .
a = – 37; d = a2 – a1
= (- 33) – (- 37)
= – 33 + 37 = 4, n = 12
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S12 = \(\frac{12}{2}\) [2 × (- 37) + (12 – 1)4]
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[- 74 + 44] = 6 (- 30) = – 180
∴ S12 = – 180.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………… 100 పదాలు.
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : 0.6, 1.7, 2.8, ….. 100 పదాలు.
a = 0.6, d = a2 – a1 = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100
Sn = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S100 = \(\frac{100}{2}\) [2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50 [1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
∴ S100 = 5505.

(iv) \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P: \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
a = \(\frac{1}{15}\);
d = \(\frac{1}{12}\) – \(\frac{1}{15}\)
= \(\frac{5-4}{60}=\frac{1}{60}\)
n = 11
Sn = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S11 = \(\frac{11}{2}\) [2 × \(\frac{1}{15}\) + (11 – 1) × \(\frac{1}{60}\)]

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{10}{60}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{1}{6}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{4+5}{30}\right]\)

= \(\frac{11}{2} \times \frac{9}{30}=\frac{33}{20}\)
∴ S11 = \(\frac{33}{20}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + ……….. + 84
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 7, 10\(\frac{1}{2}\), 14, ………. 84
∴ a = 7; d = a2 – a1 = 10\(\frac{1}{2}\) – 7 = 3\(\frac{1}{2}\)
d = 7\(\frac{1}{2}\); an = 84
an = a + (n – 1) d = 84
= 7 + (n – 1)(\(\frac{7}{2}\)) = 84
⇒ (n – 1) × \(\frac{7}{2}\) = 84 – 7
⇒ (n – 1) \(\frac{7}{2}\) = 77
⇒ n – 1 = 77 × \(\frac{7}{2}\)
⇒ n – 1 = 22
⇒ n = 22 + 1 = 23
Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + an]
S23 = \(\frac{23}{2}\) [7 + 84]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\) = 1046 \(\frac{1}{2}\)
∴ S23 = 1046\(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

Sn = [2a + (n – 1)d]
S23 = \(\frac{23}{2}\) [2(7) + (23 – 1) \(\frac{7}{2}\)]
S23 = \(\frac{23}{2}\) [14 + 22 × \(\frac{7}{2}\)]
= \(\frac{23}{2}\) [14 + 77]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\)
∴ S23 = 1046 \(\frac{1}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 34, 32, 30, ………, 10
a = 34; d = a2 – a1 = 32 – 34 = – 2,
an = 10
an = a + (n – 1) d = 10 :
⇒ 34 + (n – 1) (- 2) = 10
⇒ 34 – 2n + 2 = 10
⇒ – 2n = 10 – 36 = – 26
⇒ 2n = 26
n = \(\frac{26}{2}\) = 13
Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + an]
S13 = \(\frac{13}{2}\) [34 +10] = \(\frac{13}{2}\) × 44
∴ S13 = 286.

(లేదా)

Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)]
= \(\frac{13}{2}\) [2(34) + (13 – 1) (- 2)]
= \(\frac{13}{2}\) [68 – 24)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
∴ S13 = 286.

(iii) – 5 + (- 8) + (- 11) + ……….. + (- 230)
సాధన.
ఇచ్చిన A.P:
(5) + (- 8) + (- 11) + ………….. + (- 230)
a = – 5,
d = a2 – a1 = (- 8) – (- 5). = – 8 + 5 = – 3,
an = – 230
an = a + (n – 1) d = – 230
(- 5) + (n – 1) × (- 3) = – 230
– 5 – 3n + 3 = – 230
– 3n = – 230 + 2
– 3n = – 228
⇒ 3n = 228
n = \(\frac{228}{3}\) = 76
Sn = \(\frac{n}{2}\) [(- 5) + (- 230)]
∴ S1 = 35 × (- 235) = – 8930
(లేదా)
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S76 = \(\frac{76}{2}\) [2(- 5) + 75(- 3)]
= 38 [- 10 – 225]
= 38 × (- 235)
∴ S76 = – 8930.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 3.
ఒక అంకశ్రేణిలో
(i) a = 5, d = 3, an = 50 అయిన n మరియు Sn లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 5; d = 3; an = 50
an = a + (n – 1) 4 = 50
⇒ 5+ (n – 1) 3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50
⇒ 3n = 50 – 2 = 48
⇒ n = \(\frac{48}{3}\) = 16.
Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + an]
S16 = \(\frac{16}{2}\) [5 + 50] = 8 × 55
∴ S16 = 440.

(ii) a = 7, a13 = 35 అయిన d ని మరియు S13 ను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 7, an = 35
a13 = a + 12d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}\) = \(\frac{7}{3}\)
Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + an]
S13 = \(\frac{13}{2}\) [7 + 35]
= \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
∴ S13 = 273.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

(iii) a12 = 37, d = 3 అయిన a ను మరియు S12 ను కనుగొనుము.
సాధన.
a12 = 37, d = 3
a12 = a + 11d = 37
a + 11 (3) = 37
a + 33 = 37 ⇒ a = 37 – 33 = 4
Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + an ]
S12 = \(\frac{12}{2}\) [4 + 37] = 6 × 41 = 246
∴ S12 = 246.

(iv) a3 = 15, S10 = 125 అయిన d మరియు a10 లను కనుగొనుము.
సాధన.
a3 = 15, S10 = 125
a3 = a + 2d = 15 …………. (1)
S10 = \(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1)d] = 125
= 2a + 9d = \(\frac{125}{2}\)
2a + 9d = 25 ……………….(2)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 1

d = -1 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 1) = 15
a = 15 + 2 = 17
a10 = a + 9d = 17 + 9 (- 1)
= 17 – 9 = 8
∴ d = – 1 మరియు a10 = 8.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

(v) a = 2, d = 8, Sn = 90 అయిన n మరియు an లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 2; d = 8, Sn = 90
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] = 90
\(\frac{n}{2}\) [2(2) + (n – 1) 8] = 90
n [4 + 8n – 8] = 90 × 2 = 180
8n2 – 4n – 180 = 0
4[2n2 – n -45] = 0
2n2 – n – 45 = 0
2n2 – 10n + 9n – 45 = 0 (∵ 2 × – 45 = – 90)
2n [n – 5] + 9 [n – 5] = 0
(n – 5) (2n + 9) = 0
∴ n – 5 = 0 లేదా 2n + 9 = 0
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజసంఖ్య.
∴ n – 5 = 0 ⇒ n = 5
∴ a5, = a + 4d = 2 + 4(8)
= 2 + 32 = 34
∴ n = 5 మరియు a5 = 34.

(లేదా)

S5 = \(\frac{5}{2}\) [2 + a5] = 90 [∵ Sn = (a + an)]
= 2 + a5 = 90 × \(\frac{2}{5}\) = 36
a5 = 36 – 2 = 34 .

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

(vi) an = 4, d = 2, Sn = – 14, అయిన n మరియు a లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 4, d = 2, Sn = – 14
an = a + (n – 1) d = 4
= a + (n – 1) (2) = 4.
∴ a + 2n = 4 + 2 = 6
a = 6 – 2n, ………… (1)
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = – 14
\(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) (2)] = – 14
\(\frac{n}{2}\) × 2[a + n – 1) = – 14
n [6 – 2n + n – 1] = – 14 [(1) నుండి]
n [5 – n] = – 14
5n – n2 = – 14
n2 – 5n = 14
⇒ n2 – 5n – 14 = 0
n2 – 7n + 2n – 14 = 0 (∵ 1 × (- 14) = – 14)
n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0
(n – 7) (n + 2) = 0
పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య.
∴ n – 7 = 0
n = 7
n = 7 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a = 6 – 2 (7) = 6 – 14 = – 8
∴ n = 7, a = – 8.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

(vii) l = 28, S = 144 మరియు పదాల సంఖ్య 9 అయిన a విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
l = an = 28, S = 144 మరియు n = 9.
[∵ A.P. లో చివరి పదాన్ని l తో సూచిస్తారు]
Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + an] = 144
\(\frac{9}{2}\) [a + 28] = 144
a + 28 = 144 × 2
a + 28 = 32
a = 32 – 28 = 4
∴ a = 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి, చివరి పదాలు వరుసగా 17 మరియు 350. సామాన్య భేదం 9 అయిన శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్యను, పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి పదం a = 17
చివరి పదం an = 350
సామాన్యభేదం d = 9
an = a + (n – 1) 4 = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
17 + 9n – 9 = 350
9n + 8 = 350
9n = 350 – 8 = 342
n = \(\frac{342}{9}\) = 38
∴ n = 38.
ఇప్పుడు Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + an]
S38 = \(\frac{38}{2}\) [17 + 350] = 19 × 367
S38= 6973
∴ పదాల సంఖ్య n = 38
38 పదాల మొత్తం S38 = 6973.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 5.
ఒక అంకశ్రేణిలో 2వ, 3వ పదాలు వరుసగా 14 మరియు 18 అయిన 51 పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలో
2వ పదం a2 = a + 4 = 14 ………… (1)
3వ పదం a3 = a + 2d = 18 …………..(2)
పదాల సంఖ్య = 51
d = a2 – a1 = 18 – 14 = 4
d ను (1) లో రాయగా
a + 4 = 14 = a = 14 – 4 = 10
a = 10, d = 4, n = 51 అయిన
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S51 = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1) × 4) |
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\) × (20 + 200)
= \(\frac{51}{2}\) × 220
= 51 × 110 = 5610
∴ 51 పదాల మొత్తం Sn = 5610.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 6.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి 7 పదాల మొత్తము 49 మరియు 17 పదాల మొత్తము 289 అయిన మొదటి n పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
S7 = 49 మరియు S17 = 289
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S7 = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1)d] = 49 .
= \(\frac{7}{2}\) [2a + 6d] = 49
2a + 6d = 49 × \(\frac{2}{7}\) = 14
∴ 2a + 6d = 14 ………. (1)
అలాగే S17 = \(\frac{17}{2}\) [2a + 16d] = 289
2a + 16d = 289 × \(\frac{2}{27}\) = 34
∴ 2a + 16d = 34 ………. (2)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 2

d = 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2a + 6(2) = 14
2a = 14 – 12 = 2
∴ a = \(\frac{2}{2}\) = 1
a = 1, d = 2 అయిన Sn
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2 (1) + (n – 1) 2]
= \(\frac{n}{2}\) [2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × 2n
Sn = n2
[Shortcut:-
Sn = 49 = 72
Sn = 289 = 172
Sn = n2
∴ మొదటి n పదాల మొత్తం Sn = n2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 7.
an క్రింది విధంగా నిర్వచించబడితే a1, a2, ………., an, అంకశ్రేణి అవుతుందని చూపండి. మరియు మొదటి 15 పదాల మొతమును కనుగొనండి.
(i) an = 3 + 4n
(ii) an = 9 – 5n
సాధన.
(i) an = 3 + 4n
a1 = 3 + 4(1) = 7
a2 = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11
a3 = 3 + 4(3) = 3 + 12 = 15
a4 = 3 + 4 (4) = 3 + 16 = 19
…………………………………………………………..
………………………………………………………….
a1, a2, a3, …………… = 7, 11, 15, 19, ……………
d = a2 – a1 = 11 – 7 = 4
d = a3 – a2 = 15 – 11 = 4
d = a4 – a3 = 19 – 15 = 4
అన్ని సందర్భాలలోను , సమానము. కావున a1, a2, a3, a4, ….., an అంకశ్రేణి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 7, d = 4, n = 15
S15 = \(\frac{15}{2}\) [2x 7 + (15 – 1) 4]
[∵ Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]]
= \(\frac{15}{2}\) (14 + 14 × 4]
= \(\frac{15}{2}\) [70]
= 15 × 35 = 525
∴ 15 పదాల మొత్తం S15 = 525.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

(ii) an = 9 – 5n
సాధన.
a1 = 9 – 5 × 1= 9 – 5 = 4
a2 = 9 – 5 × 2 = 9 – 10 = – 1
a3 = 9 – 5 × 3 = 9 – 15 = – 6
a4 = 9 – 5 × 4 = 9-20 = – 11
………………………………..
a1, a2, a3, a4 ………….. = 4, – 1, – 6, – 11, ……………
d = a2 – a1 = – 1 – 4 = – 5
d = a3 – a2 = – 6 – (- 1) = – 6 + 1 = – 5
d = a4 – a3 = – 11 -(- 6) = – 11 + 6 = – 5
………………………………………………..
………………………………………………..
అన్ని సందర్భాలలోను d సమానము. కావున a1, a2, a3, a4, …………… an అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 4, d = – 5, n = 15
S15 = 15 [2(4) + (15 – 1) (- 5)]
= 15 [8 + 14 (- 5)]
= \(\frac{15}{2}\) × – 62 = 15 × – 31 = – 465
∴ 15 పదాల మొత్తం S15 = 465.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి n పదాల మొత్తము 4n – na అయిన మొదటి పదం ఎంత ? (S, విలువే మొదటి పదము అవుతుందని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి) మొదటి రెండు పదాల మొత్తం ఎంత ? రెండవ పదము ఎంత ? అదేవిధంగా 8వ పదమును, 10వ పదమును మరియు nవ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి : 2
ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం Sn = 4n – na
మొదటిపదం a1 = S1 = 4 (1) – (1)2 = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S2 = 4 (2) – (2)2
= 8 – 4 = 4
రెండవ పదం a2 = S2 – S1 = 4 – 3 = 1
మొదటి మూడు పదాల మొత్తం S3 = 4 x (3) – (3)2
= 12 – 9 = 3
మూడవ పదం a3 = S3 – S2 = 3 – 4 = – 1
మొదటి తొమ్మిది పదాల మొత్తం S9 = 4(9) – 92
= 36 – 81 = – 45
మొదటి పది పదాల మొత్తం S10 = 4(10) – 102
= 40 – 100 = – 60
పదవ పదము = a10 = S10 – S9
= – 60 – (- 45)
= – 60 + 45 = – 15
(n – 1) పదాల మొత్తం Sn – 1
= 4 (n – 1) – (n – 1)2
= 4n – 4 – (n2 – 2n + 1)
= 4n – 4 – n2 + 2n -1
Sn – 1 = 6n – n2 – 5
n పదాల మొత్తం Sn = 4n – n2
∴ n వ పదం an = Sn – Sn – 1
= (4n – n2) – (6n – n2 – 5) ..
= 4n -n2 – 6n + n2 + 5
an = 5 – 2n.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

రెండవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణి n పదాల మొత్తం Sn = 4n – n2
మొదటి పదం a1 = S1 = 4(1) – (1)22
= 4 – 1 = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S2 = 4(2) – (2)2
=8 – 4 = 4
రెండవ పదం a2 = S2 – S1 = 4 – 3 = 1
∴ సామాన్యభేదం d = a2 – a1 = 1 – 3 = – 2
∴ మూడవపదం a3 = a2 + d = 1 + (- 2) = – 1
పదవపదం a10 = a + 9d = 3 + 9 (- 2)
= 3 – 18 = – 15
n వ పదము an = a + (n- 1) d
= 3 + (n – 1) (- 2)
= 3 – 2n + 2
an = 5 – 2n

మూడవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణిలో Sn = 4n – n2
nవ పదం an = Sn – Sn – 1 అవుతుంది.
Sn – 1 = 4 (n – 1) – (n – 1)
= 4n -4 – (n2 – 2n + 1)
= 4n – 4 – n2 + 2n – 1
Sn – 1 = 6n – n2 – 5
an = Sn – Sn – 1
= (4n – n2) – (6n – n2 – 5)
= 4n – n2 – 6n + n2 + 5
an = 5 – 2n
∴ మొదటి పదం a1 = 5 – 2(1) = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S2 = 4(2) – 22
= 8 – 4 = 4
a2 = 5 – 2(2) = 5 – 4 = 1
a3 = 5 – 2(3) = 5 – 6 = – 1
an = 5 – 2(10) = 5 – 20 = – 15
nవ పదం an = 5 – 2n.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 9.
6చే భాగించబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 6, 12, 18, 24, …….. 40 పదాలు .
ఈ జాబితా అంకశ్రేణిలో కలదు.
a = 6, d = a2 – a1 = 12 – 6 = 6, n = 40
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S40 = \(\frac{40}{2}\) [2(6) + (40 – 1) (6)]
= 20 [12 + 39 × 6]
= 20 [12 + 234] = 20 × 246
S40 = 4920.
6చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల, మొత్తం S40 = 4920.

ప్రశ్న 10.
ఒక పాఠశాలలో విద్యావిషయక సంబంధిత విషయాలలో అత్యున్నత ప్రతిభ కనపరిచిన వారికి మొత్తం 700 రూపాయలకు 7 బహుమతులు ఇవ్వాలని భావించారు. ప్రతి బహుమతి విలువ దాని ముందున్న దానికి ₹ 20 తక్కువ అయిన ప్రతి బహుమతి విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
బహుమతులను a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ………………. అనుకొనుము.
ప్రతి బహుమతి దాని ముందున్న బహుమతికన్నా ₹ 20 తక్కువ.
కావున, a1, a2, a3, a4, ….., a7 లు Sn A.P. లో ఉంటాయి.
∴ సామాన్యభేదం d = a2 – a1 = – 20
(∵ a1 కన్నా a2, 20 తక్కువగా ఉంటుంది.)
లెక్క ప్రకారం బహుమతుల మొత్తం S7 = 700 .
S7 = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1) (- 20)] = 700
[2a + 6 (- 20)] = 700 × \(\frac{2}{7}\)
2a – 120 = 200
2a = 200 + 120 = 320
a = \(\frac{320}{2}\) = 160
∴ బహుమతుల విలువ a = a1 = 160
a2 = 160 – 20 = 140
a3 = 140 – 20 = 120
a4 = 120 – 20 = 100
a5 = 100 – 20 = 80
a6 = 80 – 20 = 60
a7 = 60-20 = 40.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 11.
ఒక పాఠశాల ఆవరణలో పర్యావరణ పరిరక్షణకు విద్యార్థులు చెట్లు నాటాలని భావించారు. ప్రతి సెక్షను విద్యార్థులు వారు చదువుతున్న తరగతి సంఖ్యకు సమానమైన చెట్లను అనగా 1వ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 1 చెట్టును, రెండవ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 2 చెట్లను నాటాలని ఈ విధంగా 12వ తరగతి వరకూ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నారు. అయితే ప్రతి తరగతిలో మూడు సెక్షన్లు ఉన్న మొత్తం నాటిన చెట్లు ఎన్ని?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 3

మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటే చెట్ల సంఖ్య జాబితా 3, 6, 9, 12, ………….. 33, 36.
ఇది A.P లో కలదు.
12 తరగతులలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 3 + 6, + 9 +:12 + …. + 36
a = 3, 4 = 6 – 3 = 3, n = 12
∴ S12 = \(\frac{12}{2}\) [3 + 36]
[∵ Sn = \(\frac{n}{2}\) [a +1]].
= 6 × 39.
S12 = 234
∴ ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 234.

రెండవ పద్ధతి :
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన చెట్ల సంఖ్య జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, ………… 11. 12 ఇది A.P లో కలదు.
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 1 + 2 + 3 + ………….. + 11 + 12
a = 1, d = 1, n = 12 S12 = \(\frac{12}{2}\) [1 + 12]
= 6 × 13 = 78 [∵ Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + an]]
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78
ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78 × 3 = 234.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 12.
అర్ధ వృత్తాలచే ఒక సర్పిలాకారము తయారుచేయబడింది. పటంలో చూపిన విధంగా అర్ధవృత్తాల కేంద్రాలు A వద్ద ప్రారంభించబడి A, Bల మధ్య మారుతూ వున్నాయి. అనగా మొదటి అర్ధవృత్త కేంద్రము A, రెండవ అర్ధవృత్త కేంద్రము B, మూడవ అర్ధవృత్త కేంద్రము A …… మరియు అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0.5 సెం.మీ., 1.0 సెం.మీ, 1.5 సెం.మీ, 20 సెం.మీ, … ఈ విధంగా మొత్తం 18 అర్ధవృత్తాలు వున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు ఎంత ? (x = 4) (సూచన : వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l1, l2, l3, l4 . . . మరియు వీని కేంద్రాలు వరుసగా A, B, A, B……..]

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 4

సాధన.
వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l1, l2, l3, l4, ……. మరియు వీటి కేంద్రాలు A, B, A, B
అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0, 5 సెం.మీ., 1 సెం.మీ., 1, 5 సెం.మీ., 2 సెం.మీ…
l1 = π(0.5) = 0.5π (∵ అర్ధవృత్త చాపం పొడవు l = πr)
l2 = π(1) = π
l3 = π(1.5) = 1.5π
l4 = π(2) = 2π
……………………
…………………………
l1, l2, l3, l4, ……. లు A.P. లో కలవు.
13 అర్ధవృత్తాలు గల సర్పిలం మొత్తం పొడవు l1, l2, l3, l4, …………..l13
0.5π + π + 1.5π + ……….. + 13 పదాలు ……… (1)
a = 0.5π, d = 0.57 మరియు n = 13
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S13 = \(\frac{13}{2}\) [2(0.5π) + ( 13 – 1) (0.5π)]
= \(\frac{13}{2}\) [π + 6π] = 13 × 7π
= \(\frac{13}{2}\) × 7 × \(\frac{22}{7}\) = 13 × 11
S13 = 143 సెం.మీ.
∴ 13 అర్ధవృత్తాలున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు = 143 సెం.మీ.

(లేదా)
(1) ⇒ π (0.5 + 1 + 1.5 + 2 + ……… + 13 పదాలు )
S13 = π [\(\frac{13}{2}\) (2 (0.5) + (13 – 1) (0.5)]
= π [\(\frac{13}{2}\) (1 + 6)]
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{13}{2}\) × 7 = 11 × 13
S13 = 143 సెం.మీ.

 

ప్రశ్న 13.
200 చెక్క మొద్దులను క్రింది పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చారు. అన్నింటి కంటే క్రింద వున్న వరుసలో 20 చెక్క మొద్దులను, దానిపై 19 మొద్దులను, దాని పైన 18 మొద్దులను ….. అమర్చిన మొత్తం 200 మొద్దులను అమర్చుటకు ఎన్ని వరుసలు కావాలి ? అన్నింటికంటే పైన వున్న వరుసలో ఎన్ని చెక్క మొద్దులు కలవు ?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 5

సాధన.
క్రింది నుండి ప్రతి వరుసలోను గల చెక్క మొద్దుల సంఖ్య జాబితా 20, 19, 18, 17, ……. ఇది A. P. లో కలదు.
a = 20, d = a2 – a1 = 19 – 20 = -1
మొత్తం చెక్క మొద్దుల సంఖ్య Sn = 200
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 200
\(\frac{n}{2}\) [2(20) + (n – 1) (- 1)] = 200
\(\frac{n}{2}\) [40 – n+1] = 200
\(\frac{n}{2}\) [41 – n] = 200
41n – n2 = 400
⇒41n – n2 – 400 = 0
⇒ n2 – 41n + 400 = 0
⇒ n2 – 25n – 16n + 400 = 0 ( 1 × 400 = 400)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 6

⇒ n (n – 25) – 16 (n – 25) = 0.
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
∴ n – 25 = 0 లేదా n – 16 = 0
n = 25 లేదా n = 16
n = 25 అసాధ్యము. కావున n = 16
(20, 19, 18, ……. జాబితాలో 25వ పదం రుణసంఖ్య అవుతుంది.)
అనగా ’20, 19, 18, …… శ్రేణిలో 16 పదాలుంటాయి. కావున 200 మొద్దులను అమర్చుటకు 16 వరుసలు కావాలి.
పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = a16 = a + 15d = 20 + 15(- 1) = 20 – 15 = 5
∴ పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = 5. – A.P. 10వ తరగతి జీ గణితశాస్త్రం

ప్రశ్న 14.
బంతి మరియు బకెట్ ఆటలో, ప్రారంభంలో ఒక బకెట్ దానికి 5మీ. దూరంలో ఒక బంతి ఉంచబడినవి. మొత్తం 10 బంతులలో మిగిలిన బంతులు ఒకదానికొకటి 3మీ. దూరంలో పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చబడినవి. ఆటలో పాల్గొనే వ్యక్తి మొదట బకెట్ వద్ద నుంచి బయలుదేరి మొదటి బంతివద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వెనుకకు వచ్చి ‘బకెట్లో వేయాలి. తరువాత తిరిగి బకెట్ నుంచి బయలుదేరి రెండవ బంతి వద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వచ్చి బకెట్లో వేయాలి. ఈ విధంగా అన్ని బంతులను బకెట్లో వేయవలెనన్న ఆ వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన మొత్తం దూరం ఎంత ? (సూచన : మొదటి, రెండవ బంతులను తీసుకొని రావడానికి ఆట ఆడే వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన దూరము వరుసగా 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 7

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 8

ప్రతి బంతి తీసుకురావడానికి వ్యక్తి ప్రయాణించిన దూరాల జాబితా 10, 16, 22, 28, …………….. 10 పదాలు.
ఇది A.P. లో కలదు.
a = 10; 4 = 16 – 10 = 6, n = 10.
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం 10 + 16 + 22 + 28 + ……….. + 10 పదాలు.
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S10 = \(\frac{10}{2}\) [2 × 10 + (10 – 1) × 6] = 5[20 + 54] = 5 × 74
S10 = 370
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం = 370 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 1.
మొదటి పదము a, సామాన్య భేదము d, nవ పదము a, అయిన క్రింది పట్టికను పూరింపుము. – AS,, AS,,

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 1

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 2

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 3

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 2.
కింది వానిని కనుగొనుము.
(i) 10, 7, 4, …… అంకశ్రేణిలో 30వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = 10, 7, 4, …………….
a1 = 10;
d = a2 – a1 = 7 – 10 = – 3,
n= 30
an = a + (n – 1)
a30 = 10 + (30 – 1) (- 3)
= 10 + 29 (- 3)
= 10 – 87 = – 77
∴ a30 = – 77.

(ii) – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, ………….. అంకశ్రేణిలో 11వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, …………..
a = – 3; d = a2 – a1 = 3 – 3)
= \(-\frac{1}{2}\) + 3 = 2\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
n = 11
∴ an = a + (n – 1) d
a11 = – 3 + (11 – 1) (\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 10(\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 25 = 22
∴ a11 = 22.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిని కనుగొనుము.
(i) a1 = 2; a3 = 26, అయిన a2 ను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a1 = a = 2
a3 = 26
an = a + (n – 1) d
a3 = 2 + (3 – 1) 4
= 2d= 26 – 2 = 24
d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a2 = a + d = 2 + 12 = 14.

రెండవ పద్ధతి :
a1, a2, a3 లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం a1 = 2, a3 = 26
∴ 2, a2, 26 లు A.P. లో కలవు.
a2 – 2 = 26 – a2
∴ a2 + a2 = 26 + 2
2a2 = 28
∴ a2 = \(\frac{28}{2}\) = 14.

మూడవ పద్ధతి :
a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\)
2, a2, 26 లు A.P. లో కలవు.
∴ a2 = \(\frac{2+26}{2}\) = \(\frac{28}{2}\) = 14.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

(ii) a2 = 13; a4 = 3 అయిన a1, a3 లను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a2 = a + d = 13 …….. (1)
a4 = a + 3d = 3 …….. (2)
(1), (2) సమీకరణములు సాధించగా,

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 4

⇒ d = \(-\frac{10}{2}\) = – 5
a1 = a2 – d = 13 – (-5) = 13 + 5 = 18
a3 = a2 + d = 13 + (- 5) = 8
∴ a1 = 18 మరియు a3 = 8.

రెండవ పద్ధతి :
a1, a2, a3, a4 లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము a2 = 13, a4 = 3
∴ a1, 13, a3, 3 లు A.P. లో కలవు
∴ 13 – a1 = a3 – 13 ……. (1) మరియు
a3 – 13 = 3 – a3 ……….. (2)
(2) ⇒ 2a3 = 16
a3 = \(\frac{16}{2}\) = 8
a3 = 8 ని (1) లో రాయగా,
13 – a1 = 8 – 13
– a1 = – 5 – 13 = – 18
∴ a1 = 18
∴ a1 = 18 మరియు a3 = 8.

మూడవ పద్ధతి :
a1, 13, a3, 3 లు A.P. లో కలవు.
∴ 13, a3, 3 లు A.P. లో మూడు వరుస పదాలు.
∴ a3 = \(\frac{13+3}{2}=\frac{16}{2}\) = 8
[a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\))
∴ సామాన్య భేదం d = a3 – a2 = 8 – 13 = – 5
∴ a1 = a2 – d = 13 – (- 5) = 13 + 5 = 18.
∴ a1 = 18 మరియు a3 = 8.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

(iii) a1 = 5, a4 = 91/2 అయిన a2, a3 లను కనుగొనుము.
సాధన.
a1 = a = 5.
an = a + (n – 1) d
a4 = 5 + 3d = 9\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{19}{2}\)
3d = \(\frac{19}{2}\) – 5 = \(\frac{19-10}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
∴ d = \(\frac{9}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{2}\)
∴ a2 = a + d
= 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)
a3 = a2 + d
= \(\frac{13}{2}\) + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{16}{2}\) = 8

(iv) a1 = – 4; a6 = 6, అయిన a2, a3, a4, a5 లను కనుగొనుము. .
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a1 = a = – 4
a6 = a + 5d = 6
(- 4) + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
∴ a2 = – 4 + 2 = – 2
a3 = – 2 + 2 = 0
a4 = 0 + 2 = 2
a5 = 2 + 2 = 4

రెండవ పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో nవ పదం an, mవ పదం am అయిన సామాన్యభేదం
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}\)
a1 = – 4, a6 = 6, n = 1; m = 6
d = \(\frac{6-(-4)}{6-1}=\frac{10}{5}\) = 2
∴ a2 = a1 + d = – 4 + 2 = – 2
a3 = – 2 + 2 = 0
a4 = 0 + 2 = 2
a5 = 2 + 2 = 4.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

(v) a2 = 38; a6 = – 22, అయిన a1, a3, a4, a5 లను కనుగొనుము.
సాధన.
a2 = a + d = 38 ……………. (1)
a6 = a + 5d = -22 …………… (2)
(2) – (1)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 5

∴ a1 = a2 – d = 38 – (- 15) = 38 + 15 = 53
a3 = a2 + 4 = 38 + (-15) = 23
a4 = 23 + (- 15) = 8
a5 = 8 + (- 15) = – 7.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 4.
3, 8, 13, 18, … అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 78 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి : 3, 8, 13, 18, ……. 78 –
a = 3; d = a2 – a1 = 8 – 3 = 5,
an = 78
an = a + (n – 1) 4 = 78 .
⇒ 3 + (n – 1) (5) = 78
⇒ 3 + 5n – 5 = 78
⇒ 5n – 2 = 78
⇒ 5n = 78 + 2 = 80
⇒ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
∴ 16 వ పదము 78 అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులలోని పదాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
(i) 7, 13, 19, . . . , 205
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P : 7, 13, 19, …………, 205
a = 7; d = a2 – a1 = 13 – 7 = 6,
an = 205
an = a + (n – 1) d = 205
7 + (n – 1) 6 = 205
7 + 6n – 6 = 205
6n + 1 = 205
6n = 205 – 1 = 204
⇒ n = \(\frac{204}{6}\) = 34
ఇచ్చిన A.P లో 34 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి:
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a1 = 7, an = 1, am = 205 అనుకొనుము.
d = 13 – 7 = 6
6 = \(\frac{205-7}{n-1}\)
⇒ n – 1 = \(\frac{198}{6}\) = 33
∴ n = 33 + 1 = 34.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

(ii) 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, ………, – 47
సాధన. మొదటి పద్ధతి : –
ఇచ్చిన A.P: 18, 15\(\frac{1}{2}\), 1.3 ………….. – 47
a = 18, d = a2 – a1
= 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= – 2\(\frac{1}{2}\) = – \(\frac{5}{2}\)
an = – 47
an = a + (n – 1) d = – 47
= 18 + (n – 1) × (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47
(n – 1) (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47 – 18 = – 65
\(\frac{-5 n+5}{2}\) = – 65
– 5n + 5 = – 130
– 5n = – 130 – 5 = – 135
5n = 135
⇒ n = \(\frac{135}{5}\) = 27
ఇచ్చిన A.P లో 27 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి :
am = 18, d = 35; an = – 47
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-47-18}{n-1}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-65}{n-1}\)

⇒ \(\frac{5}{2}=\frac{65}{n-1}\)
n – 1 = 65 × \(\frac{2}{5}\)
∴ n = 26 + 1 = 27.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 6.
11, 8, 5, 2… అంకశ్రేణిలో ‘- 150’ ఒక పదంగా ఉంటుందో లేదో పరిశీలించుము కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 11, 8, 5, 2, …… లో n వ పదం – 150 అనుకుందాము.
అప్పుడు, a = 11, d = a2 – a1 = 8 – 11 = – 3 మరియు an = – 150
an = a + (n – 1) d = – 150
⇒ 11 + (n – 1)X (- 3) = – 150
⇒ 11 – 3n + 3 = – 150
⇒ – 3n = – 150 – 14
⇒ – 3n = – 164
⇒ 3n = 164
⇒ n = \(\frac{164}{3}\) ………… (2)
అంకశ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడూ ఒక సహజ సంఖ్య.
కాని n = \(\frac{164}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు.
కావున 11, 8, 5, 2, ……. అంకశ్రేణిలో – 150 ఒక పదంగా ఉండదు.

ప్రశ్న 7.
ఒక అంకశ్రేణిలో 11వ పదము 38 మరియు 16వ పదము 78 అయిన 31వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
a11 = 38 మరియు a16 = 73, a31 = ?
::. an = a + (n – 1) d
a11 = a + 10d = 38 …………. (1)
a16 = a + 15d = 73 ,
(2) – (1)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 6

d = 7 ను (1) లో రా యగా,
a + 70 = 38
⇒ a = 38 – 70 = – 32
31వ పదం a31 = a + 30d
= – 32 + 30 (7)
= – 32 + 210 = 178
∴ 31వ పదం an = 178.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేఢిలో 3వ, 9వ పదాలు వరుసగా 4, – 8 అయిన ఎన్నవ పదము ” (సున్న) అవుతుంది ?
సాధన.
ఒక A.P లో 3వ పదం
a3 = a + 2d = 4 ……….(1)
9వ పదం a9 = a + 8d = – 8 …………(2)
(2) – (1) ⇒

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 7

⇒ d = \(\frac{12}{6}\) = – 2
⇒ d = – 2 …………. (3)
∴ 4వ పదం a4 = a3 + d = 4 + (- 2) = 2
a5 = a4 + d = 2 + (- 2) = 0
∴ 5వ పదం సున్న (0) అవుతుంది.

(లేదా)

(3) ⇒ d = – 2 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 8
an = 0 అయ్యేటట్లు n విలువ కనుగొనాలి.
an = a + (n – 1) d = 0
8 + (n – 1) (- 2) = 0
8 – 2n + 2 = 0
10 = 2n
⇒ \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5
కావున 5వ పదం ‘0’ (సున్న) అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 9.
ఒక అంకశ్రేణిలో 17వ పదము 10వ పదం కంటే 7 ఎక్కువ. అయిన సామాన్య భేదం ఎంత ?
సాధన.
ఒక A.P లో 17వ పదం a17 = a + 16d
10వ పదం a10 = a + 9d
లెక్క ప్రకారం, a17 = a10 + 7
a + 16d = (a + 9d) + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
⇒ d = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ సామాన్యభేదం d = 1. .

ప్రశ్న 10.
రెండు అంకశ్రేఢుల సామాన్య భేదం సమానము. వాని 100వ పదాల మధ్య భేదం 100 అయిన వాని 1000వ పదాల మధ్య భేదమెంత ?
సాధన.
మొదటి అంకశ్రేణి మొదటి పదం = a
రెండవ అంకశ్రేణి మొదటి పదం = b
రెండు శ్రేఢుల యొక్క సామాన్యభేదం = d అనుకొనుము.
మొదటిశ్రేఢి 100వ పదం a100 = a + 99d
రెండవశ్రేణి 100వ పదం b100 = b + 99d
లెక్కప్రకారం, a100 – b100 = 100
(a + 99d) – (b + 99d) = 100
a – b = 100 ………….. (1)
ఇప్పుడు,
మొదటిశ్రేఢి 1000వ పదం a1000 = a + 999d
రెండవశ్రేణి’ 1000వ పదం b10000 = b + 999d
a1000 – b1000 = (a + 999d) – (b + 999d)
= a – b = 100 ((1) నుండి)
∴ 1000వ పదాల మధ్య తేడా 100.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 11.
7 చే భాగించబడే మూడంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని కలవు?
సాధన.
మొదటి పద్దతి’:
7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యల జాబితా 105, 112, 119, 126, …………., 994 ఈ జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది.
a = 105; d = a2 – a1 = 112 – 105 = 7;
an = 994
∴ an = a + (n – 1) d = 994
= 105 + (n – 1) 7 = 994
105 + 7n – 7 = 994
7n + 98 = 994
7n = 994 – 98 = 896
n = \(\frac{896}{7}\) = 128
∴ 7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యలు 128 కలవు.

రెండవ పద్దతి :
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a1 = 105, an = 994, d = 7, m = 1
7 = \(\frac{994-105}{n-1}=\frac{896}{n-1}\)
n – 1 = \(\frac{889}{7}\) = 127
∴ n = 127 +1 = 128.

ప్రశ్న 12.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల జాబితా 12, 16, 20, ……… 248.
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 12, d = a2 – a1 = 16 – 12 = 4,
an = 248
an = a + (n – 1) d = 248 .
= 12 + (n- 1) 4 = 248
= 12 + 4n – 4 = 248
4n = 248 – 8 = 240
n = \(\frac{240}{4}\) = 60
∴ 10 మరియు 250 ల మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 60.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 13.
63, 65, 67, …. మరియు 3, 10, 17, ….. అంకశ్రేఢుల nవ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి A.P = 63, 65, 67, ……………..
a = 63, d = a2 – a1 = 65 – 63 = 2
∴ nవ పదం an = a + (n-1) d
= 63 + (n – 1) 2
= 63 + 2n – 2
nవ పదం an = 2n + 61 ………….. (1)
రెండవ A.P. = 3, 10, 17, ……………….
a = 3, d = a2 – a1 = 10 – 3 = 7
nవ పదం an = 3 + (n -1 ) 7
= 3 + 7n – 7
nవ పదం an = 7n – 4 ………… (2)
కాని లెక్క ప్రకారం రెండు అంకశ్రేఢుల పదాలు సమానము.
∴ 7n – 4 = 2n + 61
7n – 2n = 61 + 4
5n = 65
n = \(\frac{65}{5}\) = 13
∴ n = 13.

ప్రశ్న 14.
3వ పదము 167; 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువగా గల ఒక అంకశ్రేఢిని కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 3వ పదం a3 = a + 2d = 16 ….. (1)
5వ పదం a5 = a + 4d
7వ పదం a7 = a + 6d
లెక్క ప్రకారం 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువ.
a + 6d = (a + 4d) + 12
a + 6d – a – 4d = 12
2d = 12 ⇒ d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d = 6 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(6) = 16
a + 12 = 16
a = 16 – 12 = 4
a = 4 మరియు d = 6
∴ అంకశ్రేణి 4, 10, 16, 22, …………….

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 15.
3, 8, 13, ….., 253 అంకశ్రేణి యొక్క చివరి నుంచి 20వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ………., 253
ఇక్కడ a = 3, d = a2 – a1 = 8 – 3 = 5,
⇒an = 253
⇒ an = a + (n – 1) 4 = 253.
⇒ 3 + (n- 1) 5 = 253
⇒ 3 + 5n – 5 = 253
⇒ 5n = 253 + 2 = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
ఇచ్చిన A.P లో 51 పదాలు కలవు.
∴ చివరి నుండి 20వ పదం, మొదటి నుండి (51 – 20) + 1 = 32వ పదం అవుతుంది.
∴ 32వ పదం a32 = 3 + (32 – 1) (5)
= 3 + 31 (5)
a32 = 3 + 155 = 158
చివరి నుండి 20వ పదం = 158

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ….., 253
ఇక్కడ d = a2 – a1 = 8 – 3 = 5
ఇచ్చిన శ్రేణిని త్రిప్పి రాయగా వచ్చే 20వ పదమే ఇచ్చిన శ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదం అవుతుంది. 253, 248, 243, ………., 13, 8, 3
ఈ శ్రేణిలో a = 253, d = a2 – a1
= 248 – 253 = – 5
an = 3
an = a + (n – 1) d = 3
253 + (n – 1) (- 5) = 3
253 – 5n + 5 = 3
258 – 5n = 3
– 5n = 3 – 258 = – 255
5n = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
∴ 20వ పదం a20 = 253 + (20 – 1) (- 5)
= 253 – 95
an = 158
∴ 3, 8, 13, …………. 253 అంకశ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదము = 158.

ప్రశ్న 16.
ఒక అంకశ్రేణిలో 4వ మరియు 8వ పదాల మొత్తము 24 మరియు 6వ, 10వ పదాల మొత్తము 44 అయిన మొదటి మూడు పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 4వ పదం = a + 3d
8వ పదం = a + 7d
లెక్క ప్రకారం 4వ, 8వ పదాల ,మొత్తం = 24
(a + 3d) + (a + 7d) = 24
= 2a + 10d = 24
2 (a + 5d) = 24
a + 5d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a + 5d = 12 ………….. (1)
ఇలాగే, 6వ పదం = a + 5d
10వ పదం = a + 9d
6వ మరియు 10వ పదాల మొత్తం 44
(a + 5d) + (a + 9d) = 44
2a + 140 = 44
2 (a + 7d) = 44
a + 7d = \(\frac{44}{2}\) = 22
a + 7d = 22 ………… (2)
(2) – (1)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 8

d = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ d = 2
d = 5ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 5(5) = 12 ⇒ a = 12 – 25 = – 13
∴ కావలసిన అంకశ్రేణిలోని మొదటి మూడు పదాలు
మొదటి పదం a1 = a = – 13
రెండవ పదం a2 = – 13 + 5 = – 8
మూడవ పదం a3 = 3 – 8 + 5 = – 3

ప్రశ్న 17.
సుబ్బారావు 1995వ సం||లో నెలకు ₹ 5000 జీతంతో ఉద్యోగంలో చేరాడు. అతని జీతము సం||మునకు ₹ 200 పెరిగిన అతని జీతము ఏ సం||ములో ₹ 7000 అవుతుంది ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 9

జీతం యొక్క జాబితా
5000, 5200, 5400, 5600, ………….
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 5000, d = a2 – a1 = 5200 – 5000 = 200
an = 7000
an = a + (n – 1) 4 = 7000
= 5000 + (n – 1) 200 = 7000
= 5000 + 200 n – 200 = 7000
200 n = 7000 – 4800 = 2200
∴ n = \(\frac{2200}{200}\) = 11.
జాబితాలో 7000 11వ పదం అవుతుంది.
అనగా ,సుబ్బారావు ఉద్యోగంలో చేరినప్పటి నుండి 11వ సం||లో అతని జీతం ₹ 7000 అవుతుంది. (1995ను కూడా కలుపుకోవాలి)
∴ 2005 వ సం||లో సుబ్బారావు జీతం ₹ 7000 అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సంఘటనలలో ఏ సంఘటనలో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేఢి అవుతుంది ? ఎందుకు ?
(i) ఒక టాక్సీకి మొదటి గంట ప్రయాణానికి ₹ 20 చొప్పున తరువాత ప్రతి గంటకు ₹ 8 చొప్పున చెల్లించవలసి ఉన్న ప్రతి కిలోమీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
(ఇచ్చిన సమస్య స్పష్టంగా లేదు. టాక్సీ అద్దె గంటలకు ఇవ్వబడినది. కాని చెల్లించాల్సిన సొమ్మును కిలో మీటరుకు ఇవ్వడం జరిగినది).
సరైన సమస్య : ఒక టాక్సీ మొదటి కిలోమీటరు ప్రయాణానికి ₹ 20 లు చొప్పున తరువాత ప్రతి కిలోమీటరుకు ₹8 లు చొప్పున చెల్లించవలసి వున్న ప్రతి కిలోమీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 1

సంఖ్యల జాబితా : 20, 28, 36, 44, 52, 60

సామాన్యభేదము

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 2

ప్రతి సందర్భంలోను సామాన్యభేదం సమానము. కావున ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

(ii) ఒక వాక్యూమ్ పంపు సిలిండరులో ఉండే గాలి నుంచి 1/4 వంతు తీసివేయును. అయిన ప్రతిసారీ సిలెండరులో మిగిలి వుండే గాలి పరిమాణము.
సాధన.
సిలెండరులో గల గాలి పరిమాణము = 1 అనుకొందాం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 3

సంఖ్యల జాబితా 1, \(\frac{3}{4}\), \(\frac{9}{16}\), \(\frac{27}{64}\), …………..

సామాన్యభేదం d = a2 – a1 = \(\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{3-4}{4}=-\frac{1}{4}\)

= a3 – a2 = \(\frac{9}{16}\) – \(\frac{3}{4}\)
= \(\frac{9-12}{16}=\frac{-3}{16}\)
అన్ని సందర్భాలలో సామాన్యభేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(iii) ఒక బావిని తవ్వడానికి మొదట మీటరుకు ₹ 150 వంతున ఆపై ప్రతి మీటరుకు ₹ 50 వంతున చెల్లించాలి. అయిన ప్రతి మీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 4

సంఖ్యల జాబితా 150, 200, 250, 300, 350,

సామాన్యభేదం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 5

అన్ని సందర్భాలలోను సామాన్య భేదం సమానము. కావున ఈ సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేఢి (A.P.) అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

(iv) ఒక బ్యాంకులో ₹ 10000 లను సంవత్సరానికి 8 శాతం చక్రవడ్డీ ప్రకారం పొదుపు చేసిన ప్రతి సంవత్సరము చివరలో ఖాతాలో ఉండే సొమ్ము.
సాధన.
ప్రారంభంలో ఖాతాలో గల సొమ్ము (P) = ₹10,000 వడ్డీరేటు (R) = 8%.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 6

సంఖ్యల జాబితా 10,000, 10,800, 11,664, 12597.12, …………….
సామాన్యభేదం d = a2 – a1 = 10,800 – 10,000 = 800
a3 – a2 = 11,664 – 10,800 = 864
a4 – a3 = 12,597.12 – 11,664 = 933.12
అన్ని సందర్భాలలోనూ సామాన్య భేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

ప్రశ్న 2.
అంకశ్రేఢుల యొక్క మొదటి పదము a మరియు సామాన్యభేదం d. విలువలు క్రింద ఇవ్వబడినవి. అయిన శ్రేణిలోని మొదటి నాలుగు పదాలను కనుగొనుము.
(i) a = 10, d = 10
సాధన.
మొదటి పదం a1 = a = 10
రెండవ పదం a2 = 10 + 10 = 20
మూడవ పదం a3 = 20 + 10 = 30
నాల్గవ పదం a4 = 30 + 10 = 40

(ii) a = – 2, d = 0
సాధన.
మొదటి పదం a1 = a = – 2
రెండవ పదం a2 = – 2 + 0 = – 2
మూడవ పదం a3 = – 2 + 0 = – 2
నాల్గవ పదం a4 = – 2 + 0 = – 2

(iii) a = 4, d = – 3
సాధన.
మొదటి పదం a1 = a = 4
రెండవ పదం a2 = 4 + (- 3) = 1
మూడవ పదం a3 = 1 + (- 3) = – 2
నాల్గవ పదం a4 = – 2 + (- 3) = – 5

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

(iv) a = – 1, d = 1/2
సాధన.
మొదటి పదం a1 = a = – 1
రెండవ పదం a2 = – 1 + \(\frac{1}{2}\) = \(-\frac{1}{2}\)
మూడవ పదం a3 = – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
నాల్గవ పదం a4 = 0 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)

(v) a = – 1.25, d = – 0.25
సాధన.
మొదటి పదం a1 = a = – 1.25
రెండవ పదం a2 = – 1.25 + (- 0.25) = – 1.50
మూడవ పదం a3 = (- 1.50) + (- 0.25) = – 1.75
నాల్గవ పదం a4 = (- 1.75) + (- 0.25) = – 2.00 = – 2

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

ప్రశ్న 3.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులకు మొదటి పదమును, సామాన్య భేదంను కనుగొనుము.
(i) 3, 1, -1, -3, . . .
సాధన.
మొదటి పదం a = 3
సామాన్యభేదం d = a2 – a1 = 1 – 3 = – 2
[∵ d = ak+1 – ak]

(ii) – 5, – 1, 3, 7,…
సాధన.
మొదటి పదం a = – 5
సామాన్య భేదం d = a2 – a1 = (- 1) – (- 5)
= – 1 + 5 = 4.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\), …………
సాధన.
మొదటి పదం a = \(\frac{1}{3}\)
సామాన్యభేదం d = a2 – a1
= \(\frac{5}{3}\) – \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\)

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ………….
సాధన.
మొదటి పదం a = 0.6
సామాన్యభేదం d = a2 – a1
= 1.7 – 0.6 = 1.1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

ప్రశ్న 4.
క్రింది జాబితాలలో ఏవి అంకశ్రేఢులు ? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయిన సామాన్య భేదం dను, తరువాత వచ్చే మూడు పదాలను కనుగొనుము.
(i) 2, 4, 8, 16, ……….
సాధన.
a2 – a1 = 4 – 2 = 2
a3 – a2 = 8 – 4 = 4
a4 – a3 = 16 – 8 = 8
…………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …………………..
సాధన.
a2 – a1 = \(\frac{5}{2}\) – 2
= \(\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}\)

a3 – a2 = 3 – \(\frac{5}{2}\)
= \(\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}\)

a4 – a3 = \(\frac{7}{2}\) – 3
= \(\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}\)
…………………………………………………………………………………
సామాన్యభేదం ప్రతి సందర్భంలోను సమానం. కావున ఈ జాబితా, అంకశ్రేడి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = \(\frac{1}{2}\)
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
\(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) = 4

4 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}\)

\(\frac{9}{2}+\frac{1}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, ………….
సాధన.
a2 – a1 = (- 3.2) – (- 1.2) = – 3.2 + 1.2 = – 2
a3 – a2 = (- 5.2) – (- 3.2) = – 5.2 + 3.2 = -2
a4 – a3 = (- 7.2) – (- 5.2) = – 7.2 + 5.2 = – 2
సామాన్యభేదం అన్ని సందర్భాలలో సమానము.
కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేఢి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్య భేదం d = – 2
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 7.2 + (- 2) = – 9.2
(- 9.2) + (- 2) = – 11.2
– 11.2 + (-2) = – 13.2.

(iv) – 10, – 6, – 2, 2, …………..
సాధన.
a2 – a1 = – 6 – (- 10) = – 6 + 10 = 4
a3 – a2 = – 2 -(- 6) = – 2 + 6 = 4
a4 – a3 = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానము.
కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి (A.P) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = 4
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
2 + 4 = 6
6 + 4 = 10
10 + 4 = 14.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2 ……….
సాధన.
a2 – a1 = 3 + √2 – 3 = √2
a3 – a2 = 3 + 2√2 – (3 + √2)
= 3 + 2√2 – 3 – √2 = √2
a4 – a3 = 3 + 2√2 – (3 – 2√2)
= 3 + 3√2 – 3 – 2√2 = √2
…………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానము. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి (A.P) అవుతుంది. సామాన్యభేదం
d = √2
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 3 + 3√2 + √2 = 3 + 4√2
3 + 4√2 + √2 = 3 + 5√2
3 + 5√2 +√2 = 3 + 6√2.

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………………
సాధన.
a2 – a1 = 0.22 – 0.2 = 0.02
a3 – a2 = 0.222 – 0.22 = 0.002
a4 – a3 = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
ప్రతి సందర్భంలోను ak + 1 – ak సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P) ని సూచించదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

(vii) 0, – 4, – 8, – 12, ……….
సాధన.
a2 – a1 = – 4 – 0 = – 4
a3 – a2 = – 8 – (- 4) = – 8 + 4 = -4
a4 – a3 = – 12 – (- 8) = – 12 + 8 = – 4
………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………
ప్రతి సందర్భంలోను ak + 1 – ak, సమానము,
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = – 4
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 12 + (- 4) = – 16
– 16 + (- 4) = – 20
– 20 + (- 4) = – 24.

(viii) \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), …………
సాధన.
a2 – a1 = \(-\frac{1}{2}\) – (\(-\frac{1}{2}\)) = 0
a3 – a2 = 0
a4 – a3 = 0
……………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను ak+1 – ak, సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = 0
∴ తరువాత వచ్చే మూడు మాసాలు \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), …………

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

(ix) 1, 3, 9, 27, ……………..
సాధన.
a2 – a1 = 3 – 1 = 2
a3 – a2 = 9 – 3 = 6
a4 – a3 = 27 – 9 = 18
………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను ak + 1 – ak, సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) కాదు.

(x) a, 2a, 3a, 4a, ……………….
సాధన.
a2 – a1 = 2a – a = a
a3 – a2 = 3a-2a = a
a4 – a3 = 4a – 3a = a
……………………………………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోను ak + 1 – ak సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A.P.) అవుతుంది. సామాన్యభేదం d = a
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు 5a, 6a, 7a.

AP Board 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

(xi) a, a2, a3, a4 ………..
సాధన.
a2 – a1 = a2 – a = a (a – 1)
a3 – a2 = a3 – a2 = a2 (a – 1)
a4 – a3 = a4 – a3 = a3 (a – 1)
……………………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను ak + 1 – ak సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణిని (A.P.) కాదు.

(xii) √2, √8, √18, √32, ……………….
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a2 – a1 = √8 – √2 = 2√2 – √2 = √2
a3 – a2 = √18 – √8 = 3√2 – 2√2 = √2
[∵ √8 = √4 × √2 = 2√2
√18 = √9 × √2 = 3√2
√32 = √16 × √2 = 4√2]
a4 – a3 = √32 – √18 = 4√2 – 3√2 = √2
………………………………………………………
∵ ప్రతి సందర్భంలోను ak + 1 – ak సమానము. కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = √2
∴ తరువాత మూడు పదాలు √32 + √2 = 4√2
= 5√2 = \(\sqrt{25 \times 2}\) = √50
√50 + √2 = 5√2 + √2
= 6√2 = \(\sqrt{36 \times 2}\) = √72
√72 + √2 = 6√2 + √2
= 7√2 = \(\sqrt{49 \times 2}\) = √98.

రెండవ పద్ధతి :
ఇచ్చిన జాబితా √2, √8, √18, √32, …………….
= √2, 2√2, 3√2, 4√2 …………….
√8 = \(\sqrt{4 \times 2}\) = 2√2
√18 = \(\sqrt{9 \times 2}\) = 3√2
√32 = \(\sqrt{16 \times 2}\) = 4√2
∴ a2 – a1 = 2√2 – √2 = √2
a3 – a2 = 3√2 – 2√2 = √2
a4 – a3 = 4√2 – 3√2 = √2
అన్ని సందర్భాలలోను ak + 1 – ak సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = √2
తరువాత మూడు పదాలు 4√2 + √2 = 5√2 = \(\sqrt{25 \times 2}\) =√50
5√2 + √2 = 6√2 = \(\sqrt{36 \times 2}\)2 = √72
6√2 + √2 = 7√2 = \(\sqrt{49 \times 2}\) =√98 .

(xiii) √3, √6, √9, √12, ………….
సాధన.
a2 – a1 = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a3 – a2 = √9 – √6 = √3(3√3 – √2)
a4 – a3 = √12 – √9 = √3(2 – 3√3)
అన్ని సందర్భాలలోను ak + 1 – ak సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A. P.) కాదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలో, కాదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 102)
(i) x2 – 6x – 4 = 0
సాధన.
x2 – 6x – 4 = 0
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(ii) x3 – 6x2 + 2x – 1 = 0
సాధన.
x2 – 6x2 + 2x – 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా దీని పరిమాణము 3.

(iii) 7x = 2x2
సాధన.
7x = 2x2 అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

(iv) x2 + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
సాధన.
x2 + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
⇒ \(\) = 2
⇒ x4 – 2x2 + 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా పరిమాణము 4.

v) (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
సాధన. (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా
ఇరువైపులా x- గుణకము

(vi) 3y2 = 192.
సాధన.
3y2 = 192
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
1 మరియు \(\frac{3}{2}\) లు 2x2 – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x2 – 5x + 3 = 0
x = 1 ⇒ 2(1)2 – 5(1) + 3 = 0.
2 – 5 + 3 = 0
5 – 5 = 0
0 = 0.
x = \(\frac{3}{2}\) ⇒ 2 (\(\frac{3}{2}\))2 – 5 (\(\frac{3}{2}\)) + 3 = 0
⇒ 2(\(\frac{9}{4}\)) – \(\frac{15}{2}\) + 3 = 0
⇒ \(\frac{9-15+6}{2}\) = 0
⇒ \(\frac{0}{2}\) = 0
⇒ 0 = 0
∴ x = 1 మరియు x = \(\frac{3}{2}\) వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరుస్తున్నాయి. కావున మూలాలు అవుతాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా క్రింది వర్గ సమీకరణాలను సాధించుము. (పేజీ నెం. 113)
(i) x2 – 10x + 9 = 0
సాధన.
x2 – 10x + 9 = 0.
x2 – 10x = – 9
x2 – 2.x.5 = – 9
x2 – 2.x.5 + 52 = – 9 + 52
(ఇరువైపులా 52 కలుపగా)
(x – 5)2 = – 9 + 25
[∵ a2 – 2ab + b2 = (a – b)2]
(x – 5)2 = 16
∴ x – 5 = √16 = ± 4
x – 5 = 4 లేదా x – 5 = – 4
x = 4 + 5 = 9 లేదా x = – 4 + 5 = 1
x = 9 లేదా 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

(ii) x2 – 5x + 5 = 0
సాధన.
x2 – 5x + 5 = 0
x2 – 5x = – 5
x2 – 2.x.\(\frac{5}{2}\) + (\(\frac{5}{2}\))2 = – 5 + (\(\frac{5}{2}\))2
(ఇరువైపులా (\(\frac{5}{2}\))2 ను కలుపగా)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 7

(iii) x2 + 7x – 630
సాధన.
x2 + 7x – 6 = 0
x2 + 7x = 6
x2 + 2. \(\frac{1}{2}\).x.7 = 6
x2 + 2.x.\(\frac{7}{2}\) + (\(\frac{7}{2}\))2 = 6 + (\(\frac{7}{2}\))2
(ఇరువైపులా (\(\frac{7}{2}\))2 ను కలుపగా,

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 8

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

అలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటకు పై మూడు పద్ధతులలో నీవు ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తావు ? (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
సందర్భాన్ని బట్టి వర్గ సమీకరణ సాధనకు ఇచ్చిన మూడు పద్ధతులలో ఏదో ఒక దానిని ఎన్నుకొంటాను.
సందర్భం -1:
వర్గ సమీకరణం ax2 + bx + c = 0 లోని మధ్య పదంలోని x గుణకం b ని p + q = b మరియు p × q = a × c గా రాయగలిగినప్పుడు కారణాంక పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 2:
వర్గ సమీకరణం ax2 + bx + c = 0 కచ్చిత వర్గంగా రాయగల సందర్భంలో వర్గం పూర్తి చేయు పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 3:
పై రెండు సందర్భాలు సాధ్యం కానప్పుడు లేదా ఎలాంటి వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించే సందర్భంలోనైనా వర్గ సూత్ర పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణిని కనుగొనటం వల్ల కలిగే లాభం ఏమిటో వివరించండి. దీని విలువ ఎందుకు ముఖ్యమైనది ? (పేజీ నెం. 122)
సాధన.ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణి (D = b2 – 4ac) ని కనుగొనటం వలన ఆ వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు వాస్తవాలా, కాదా నిర్ణయించగలము. అలాగే మూలాలు వాస్తవాలైతే సమానాలా, విభిన్నాలా అని తెలుసుకొనగలము.

ఈ విచక్షణి విలువ ఆధారంగా ఇచ్చిన సమస్యల సాధన సందర్భంలో వాస్తవ మూలాలు లేనిచో సమస్యకు వాస్తవ సాధనలు లేవని నిర్ణయిస్తాము.
విచక్షణి D = b2 – 4ac విలువపై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఆధారపడి ఉంటాయి. కావున దీని విలువ వర్గ సమీకరణ సాధనలో చాలా ముఖ్యమైనది.

ప్రశ్న 2.
మూడు వేరువేరు .వర్గ సమీకరణాలను తయారు చేయుము. అందులో ఒకటి రెండు వేరువేరు వాస్తవ మూలాలను, మరియొకటి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను, ఇంకొకటి వాస్తవ మూలాలను కలిగిలేని విధంగా ఉండాలి. (పేజీ నెం. 122)
సాధన.
(1) x2 + 2x – 3 = 0,
b2 – 4ac = 22 – 4.1. (- 3)
= 4 + 12 = 16 > 0 .

(2) x2 + 2x + 1 = 0 .
b2 – 4ac = 22 – 4 (1) (1) = 4 – 4 = 0

(3) x2 + 2x + 3 = 0
b2 – 4ac = 22 – 4 (3) (1)
= 4 – 12 = – 8 < 0
(1) మూలాలు వాస్తవాలు, విభిన్నాలు.
(2) మూలాలు వాస్తవాలు, సమానాలు.
(3) మూలాలు సంకీర్ణాలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ఉదాహరణలు :

ప్రశ్న 1.
రాణి వద్ద ఒక చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు గలదు పటంలో చూపిన విధంగా దీని నాలుగు మూలం నుంచి 9 సెం.మీ. భుజంగల చతురస్రాలను తొలగించి మిగిలిన భాగంతో ఒక మూతలేని పెట్టెను తయారుచేసింది ఇలా తయారైన పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 ఘ. సెం.మీ. అయిన మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం పొడవును కనుగొనగలమా ? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు భుజం పొడవు x సెం.మీ. అనుకొనిన తయారుచేయబడిన పెట్టె యొక కొలతలు 9 సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ.
పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 సెం.మీ
కనుక 9 (x – 18) (x – 18) = 144
(x – 18)2 = 16
x2 – 36x + 308 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 1

అనగా పై సమీకరణమును తృప్తిపరచే ‘x’ విలువే మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు సమీకరణాలను రాయుము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 103)
(i) రాజు మరియు రాజేందర్ ఇద్దరి వద్ద కలిపి 45 గోళీలు కలవు. అయితే ఇద్దరూ చెరి 5 గోళీలను పోగొట్టుకున్నారు. ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దము 124 అయిన ఇద్దరి వద్ద మొదట వున్న గోళీల సంఖ్యను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును కనుగొనుము/ రాయుము.
(ii) ఒక లంబకోణ త్రిభుజము యొక్క కర్ణము 25 సెం.మీ. మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవుల భేదము 5 సెం.మీ. అని ఇవ్వబడింది. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
1) రాజు వద్ద గల గోళీల సంఖ్య ‘x’ అనుకొనిన రాజేందర్ వద్ద గల గోళీల సంఖ్య = 45 – x
5 గోళీలను పొగొట్టుకున్న తరువాత రాజు వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = x – 5
అదే విధంగా రాజేందర్ వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = (45 – x) – 5 = 40 – x
∴ ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దం = 124
(x – 5) (40 – x) = 124
40x – x2 – 200 + 5x = 124
– x2 + 45x – 200 – 124 = 0
– x2 + 45x – 324 = 0
∴ x2 – 45x + 324 = 0 (∵’ ఇరువైపులా ‘- 1’ చే గుణించగా)
అనగా x2 – 45x + 324 = 0 సమీకరణాన్ని గోళీల సంఖ్యను ఇస్తుంది.
కావలసిన గణిత సమీకరణం x2 – 45x + 324 = 0

(ii) చిన్న భుజము యొక్క పొడవును x సెం.మీ. అనుకొనిన పెద్ద భుజం పొడవు = (x + 5) సెం.మీ.
ఇవ్వబడిన కర్ణము యొక్క పొడవు = 25 సెం.మీ.
లంబకోణ త్రిభుజములో (భుజము)2 + (భుజము)2 = (కర్ణము)2
x2 + (x + 5)2 = (25)2
x2 + x2 + 10x + 25 = 625
2x2 + 10x – 600 = 0 .
2(x2 + 5x – 300) = 0
∴ x2 + 5x – 300 = 0 పై సమీకరణంను సాధించుట ద్వారా పొందే x విలువ ఆధారంగా లంబకోణ త్రిభుజంలోని మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను గణించవచ్చు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 3.
క్రిందివి వర్గ సమీకరణాలేమో పరిశీలించండి.
(i) (x – 2)2 + 1 = 2x – 3
(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2)
(iii) x(2x + 3) = x2+1 0
(iv) (x + 2)3 = x3 – 4 (పేజీ నెం. 104)
సాధన.
(i) (x – 2)2 + 1 = 2x – 3
(x2 – 4x + 4) + 1 = 2x – 3.
[∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
x2 – 4x + 5 = 2x – 3
x2 – 6x + 8 = 0
ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2) .
[∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2]
x2 + x + 8 = x2 – 4
x2 + x + 8 – x2 + 4 = 0
∴ x + 12 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iii) x (2x + 3) = x2 + 1
2x2 + 3x = x2 + 1
2x2 + 3x – x2 – 1 = 0
x2 + 3x – 1 = 0
ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది. ఒక వర్గ సమీకరణం.

(iv) (x + 2)3 = x3 – 4.
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 – 4
x3 + 6x2 + 12x + 8 – x3 + 4 = 0
∴ 6x2 + 12x + 12 = 0
ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 4.
కారణాంక పద్దతిని 2x2 – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం 2x2 – 5x + 3 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 2

2x2 – 2x – 3x + 3 = 0
2x (x – 1) – 3(x – 1) = 0
(x – 1) (2x – 3) = 0
x – 1 = 0
x = 1
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac{3}{2}\)

ఇచ్చిన వర్గ ‘సమీకరణం యొక్క మూలాలు = 1 మరియు \(\frac{3}{2}\).

ప్రశ్న 5.
x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\) వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\)
⇒ \(\frac{3 x^{2}-1}{3 x}=\frac{1}{6}\) (అడ్డ గుణకారం చేయగా)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 3

⇒ 6(3x2 – 1) = 1 × 3x
⇒ 18x2 – 3x – 6 = 0
⇒ 3(6x2 – x – 2) = 0
∴ 6x2 – x – 2 = 0
⇒ 6x2 – 4x + 3x – 2 = 0
⇒ 2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
⇒ (3x – 2) (2x + 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)
2x + 1 = 0. . . – –
2x = – 1
x = \(-\frac{1}{2}\)
∴ 6x2 – x – 2 = 0 యొక్క మూలాలు \(\frac{2}{3}\) మరియు \(-\frac{1}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 6.
శీర్షిక 5,1 లో చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 108)
చర్చించిన సమస్య :
కస్పా పురపాలక పాఠశాల క్రీడల కమిటీ పాఠశాల ఆవరణలో 29మీ. × 16మీ. కొలతలతో ఒక ఖో-ఖో కోర్టును నిర్మించాలని భావించింది. ఇందుకుగాను వారికి 558 చ.మీ. వైశాల్యం గల ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం అందుబాటులో ఉంది. అందువల్ల వారు ఖో-ఖో కోర్టు చుట్టూ ప్రేక్షకుల కొరకు కొంత ఖాళీ స్థలమును కూడా వదలాలని భావించారు. అయితే వదిలే ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కోర్టు చుట్టూ ఒకే విధంగా వుండేటట్లు వదిలితే దాని వెడల్పు ఎంత వుండాలి ?
సాధన.
శీర్షికలో 5.1 చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన అది 2x2 + 45x – 47 = 0 ను తృప్తిపరిచే ఒక విలువ. కారణాంక పద్ధతిని ఈ సమీకరణంనకు అనువర్తింపచేసిన
2x2 – 2x + 47x – 47 = 0
2x (x – 1) + 47 (x – 1) = 0
i.e., (x – 1) (2x + 47) = 0
అనగా x = 1 మరియు x = \(-\frac{47}{2}\), లు 2x2 – 2x + 47x – 47 = 0 యొక్క మూలాలు.
అయితే x అనేది ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కనుక దీని విలువ ఋణాత్మకం కాజాలదు.
∴ ఖాళీ స్థలం యొక్క వెడల్పు = x = 1 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 7.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా వర్గ సమీకరణమును – సాధించే పద్ధతి ద్వారా 5x2 – 6x – 2 = 0 ను సాధించుము. (పేజీ నెం. 112)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణము 5x2 – 6x – 2 = 0
⇒ x2 – \(\frac{6}{5}\)x – \(\frac{2}{5}\) = 0 (ఇరువైపులా 5 చే భాగించగా)
⇒ x2 – 2.\(\frac{1}{2}\) x.\(\frac{6}{5}\) = \(\frac{2}{5}\)
(ఇరువైపులా (3)2 ను కలుపగా)
x2 – 2.\(\frac{3}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))2 = \(\frac{2}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))2
(x – \(\frac{3}{2}\) )2 = \(\frac{2}{5}+\frac{9}{25}\)
[∵ a2 – 2ab + b2 = (a – b)2]
x – \(\frac{3}{5}\) = \(\pm \sqrt{\frac{19}{25}}=\frac{\pm \sqrt{19}}{5}\)

∴ x = \(\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{19}}{5}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{19}}{5}\)

ప్రశ్న 8.
4x2 + 3x + 5 = 0 ను వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుము.(పేజీ నెం. 112)
సాధన.
4x2 + 3x + 5 = 0 (ఇరువైపులా 4 చే భాగించగా)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 4

ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క వర్గం ఎల్లప్పుడు ఋణాత్మకం కాదు. కావున x యొక్క ఏ వాస్తవ విలువ పై సమీకరణాన్ని తృప్తి పరచదు. కనుక ఇచ్చిన సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు లేవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 9.
అభ్యాసము 5.1 లోని 2(i) వ ప్రశ్నను పై సూత్రమును 1 ఉపయోగించి సాధించుము. (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం యొక్క వెడల్పు ‘x’ మీ.
అనుకొనిన దాని పొడవు = (2x + 1) మీ.
లెక్క ప్రకారం దాని వైశాల్యము 528 చ.మీ.
∴ x(2x + 1) = 528
2x2 + x – 528 = 0.
ఇది ax2 + bx + c = 0రూపంలో కలదు.
ఇచ్చట a = 2, b = 1, c = – 528.
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2}-4(2)(-528)}}{2.2}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{1+4224}}{4}=\frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4}\)

x = \(\frac{-1 \pm 65}{4}\)

∴ x = \(\frac{-1+65}{4}=\frac{64}{4}\) = 16

x = \(\frac{-1-65}{4}=\frac{-66}{4}=\frac{-33}{2}\)

దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క కొలతలు రుణాత్మకం కాదు.
కావున వెడల్పు x = 16 మరియు
పొడవు = 2x + 1
= 2(16) + 1 = 32 + 1 = 33 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 16 × 33 = 528 చ.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 10.
రెండు వరుసధన బేసిసంఖ్యల మొత్తము 290 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
మొదటి బేసి సంఖ్య = ‘x’ అనుకొనిన
రెండవ బేసి సంఖ్య (x + 2)
రెండు వరుస ధన బేసి సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 290.
∴ x2 + (x + 2)2 = 290
x2 + x2 + 4x + 4 = 290
2x2 + 4x + 4 – 290 = 0
2x2 + 4x – 286 = 0
2(x2 + 2x – 143) = 0
∴ x2 + 2x – 143 = 0 (∵ 2 ≠ 0)
వర్గ సూత్రం ప్రకారం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(-143)}}{2(1)}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{4+572}}{2}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2}=\frac{-2 \pm 24}{2}\)

∴ x = \(\frac{-2+24}{2}\) లేదా x = \(\frac{-2-24}{2}\)

x = \(\frac{22}{2}\) = 11 లేదా x = \(-\frac{26}{2}\) = – 13
కాని x ఒక ధన బేసి సంఖ్య. ∴ x = 11
రెండవ బేసి సంఖ్య = x + 2 = 11 + 2 = 13

సరిచూసుకోవడం :
112 + 132 = 121 + 169 = 290.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 11.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు తయారుచేయ బడుతుంది. దీని వెడల్పు, పొడవు కంటే 3 మీ. తక్కువ. దీని వైశాల్యము, దీని వెడల్పుకు సమానమైన భూమి మరియు 12 మీ. ఎత్తు గల ఒక సమద్విబహు త్రిభుజ వైశాల్యం కంటే 4 చ.మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు యొక్క పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. అనుకొనిన
వెడల్పు పొడవు కన్నా 3 మీ . తక్కువ.
వెడల్పు = (x – 3) మీ.”
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము = x(x – 3) చ.యూ.
త్రిభుజ భూమి = x – 3; త్రిభుజ ఎత్తు = 12 మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × (x – 3) × 12 = 6 (x – 3)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 5

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం త్రిభుజ ∴వైశాల్యము కన్నా 4 యూనిట్లు ఎక్కువ.
∴ x(x – 3) = 6 (x – 3) + 4
x2 – 3x = 6x – 18 + 4
x2 – 3x – 6x + 18 – 4 = 0
x – 9x + 14 = 0
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^{2}-4 \cdot(1)(14)}}{2 \cdot(1)}\)

= \(\frac{9 \pm \sqrt{81-56}}{2}\)

x = \(\frac{9 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{9 \pm 5}{2}\)

x = \(\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా x = \(\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
పొడవు x = 7 మీ. అయిన వెడల్పు = x – 3 = 7 – 3 = 4 మీ.
పొడవు x = 2 మీ. అయిన వెడల్పు x – 3 = 2 – 3 = – 1 మీ.
ఇది సాధ్యం కాదు కాబట్టి
∴. దీర్ఘ చతురస్ర కొలతలు పొడవు = 7 మీ.
వెడల్పు = 4 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 7 × 4 = 28 చ.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × 4 × 12 = 24 చ.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 12.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలకు మూలాలు వుంటే వానిని సూత్రము ద్వారా కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
(i) x2 + 4x + 5 = 0
(ii) 2x2 – 2√2x + 1 = 0
సాధన.
(i) x2 + 4x + 5 = 0,
-ఇక్కడ a = 1, b = 4, c = 5
b2 – 4ac = (4)2 – 4(1)(5)
= 16 – 20 = – 4 < 0
b2 – 4ac < 0 కావున వాస్తవ మూలాలు లేవు.

(ii) 2x2 – 2√2 x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = 2/2 , c = 1.
b2 – 4ac = (-2√2)2 – 4.2.1 .
= 8 – 8 = 0
b2 – 4ac = 0 కావున మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)}\)

= \(\frac{2 \sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ మూలాలు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 13.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.

(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2.
సాధన.
(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = 3
∴ x2 + 1 = 3x
x2 – 3x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 3, c = 1
b2 – 4ac = (- 3)2 – 4(1) (1)
= 9 -4 = 5 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.

మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2

⇒ \(\frac{(x-2)-x}{x(x-2)}\) = 3

⇒ \(\frac{x-2-x}{x^{2}-2 x}\) = 3

⇒ \(\frac{-2}{x^{2}-2 x}\) = 3
⇒ 3(x2 – 2x) = – 2
3x2 – 6x + 2 = 0
ఇక్కడ a = 3, b = – 6, c = 2.
b2 – 4ac = (- 6)2 – 4(3) (2)
= 36 – 24 = 12 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.
x = \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}\)
[∵ \(\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=2 \sqrt{3}\)]

= \(\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{6}\)

= \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}\)

∴ మూలాలు = \(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\) మరియి \(\frac{3-\sqrt{3}}{3}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 14.
నిశ్చల నీటిలో ఒక మోటారు బోటు యొక్క వేగము గంటకు 18 కి.మీ. నీటి ప్రవాహమునకు ఎదురుగా 24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలము, తిరిగి బయలుదేరిన స్థానమునకు వచ్చుటకు పట్టే కాలం కంటే 1 గంట ఎక్కువ. అయిన నీటి వేగమెంత ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
నిశ్చల నీటిలో బోటు వేగము = 18 కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహ వేగము = x కి. మీ./గం. అనుకొందాం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా బోటు వేగం = (18 – x) కి.మీ./గం.
తిరుగు ప్రయాణంలో (ప్రవాహ దిశలో) బోటు వేగం = (18 + x) కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా 24 కి.మీ. పోవుటకు పట్టే కాలం = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 6
తిరుగు ప్రయాణానికి (ప్రవాహ దిశలో) పట్టే కాలం = \(\)
లెక్క ప్రకారం
\(\frac{24}{18-x}=\frac{24}{18+x}+1\)

⇒ \(\frac{24}{18-x}-\frac{24}{18+x}\) = 1

\(\frac{24(18+x)-24(18-x)}{(18-x)(18+x)}\) = 1

24 × 18 + 24x – 24 × 18 + 24x = (18 – x) (18 + x)
48x = 182 – x2
∴ x2 + 48x – 324 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 48, c = – 324
b2 – 4ac = 482 – 4(1)(- 324)
= 2304 + 1296 = 3600
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2(1)}\)

= \(\frac{-48 \pm 60}{2}\)

మూలాలు x = \(\frac{-48+60}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

x = \(\frac{-48-60}{2}=\frac{-108}{2}\) = – 54
ప్రవాహ వేగం ఋణాత్మకం కాదు కావున x = 6.
∴ నీటి ప్రవాహము యొక్క వేగము = 6 కి.మీ/గం.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 15.
2x2 – 4x + 3 = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొని తద్వారా మూలాల స్వభావమును చర్చించుము. (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
2x2న – 4x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 4, c = 3. విచక్షణి b2 – 4ac = (- 4)2 – (4 × 2 × 3) .
= 16.- 24 = – 8 < 0.
ఇచ్చిన సమీకరణం వాస్తవ మూలాలను కలిగి వుండదు.

ప్రశ్న 16.
18 సెం.మీ. వ్యాసం గల ఒక వృత్తాకార పార్కు సరిహద్దు మీద ఒక స్తంభమును ఏర్పాటు చేయాలని అనుకున్నారు. పార్కు యొక్క సరిహద్దు మీద ఎదురెదురుగా అనగా ఒక వ్యాసం యొక్క చివరి బిందువుల వద్ద ఏర్పాటు చేయబడిన A మరియు B అనే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభము వరకూ గల దూరాల భేదము 7 మీ. వుండునట్లు స్తంభమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? ఒకవేళ చేయగలిగితే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ? (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
క్రింది పటంలో A మరియు B లు రెండు గేట్లు మరియు ఏర్పాటు చేయవలసిన స్తంభము P అనుకొందాము.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions 9

B గేటు నుండి P కి గల దూరం = x మీ అనుకుందాం.
BP = x మీ.
AP = (x + 7) మీ.
[∵ AP, BPల మధ్య భేదము 7 మీ.]
AB = 13 మీ.
(లెక్క ప్రకారం AB వ్యాసం = 13 మీ.)
∆ ABP లో ∠P = 90°. [∵ అర్థ వృత్తంలోని కోణము]
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారము –
AP2 + BP2 = AB2
(x + 7)2 + x22 = 132
x2 + 14x + 49 + x2 = 169
2x2 + 14x + 49 + x2 – 169 = 0
2x2 + 141 – 120 = 0
2(x2 +7x – 60) = 0
x2 + 7x – 60 = 0 ను తృప్తి పరిచే x విలువ B గేటు నుండి P కు గల దూరం అవుతుంది.
కావున x2 + 7x – 60 = 0 కు వాస్తవ మూలాలు. ఉన్నప్పుడే స్తంభం ఏర్పాటు చేయగలము.
∴ విచక్షణి b2 – 4ac = 72 – 4 (1) (- 60)
= 49 + 240
= 289 > 0.
వర్గ సమీకరణంకు రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి. కాబట్టి స్తంభాన్ని ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా ఏర్పాటు చేయగలము.
వర్గ సూత్రం నుంచి x =\(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2(1)}=\frac{-7 \pm 17}{2}\)

∴ x = \(\frac{-7+17}{2}=\frac{10}{2}\) = 5 లేదా

x = \(\frac{-7-17}{2}=\frac{-24}{2}\) = – 12

దూరము రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 5.
∴ B నుంచి స్తంభమునకు దూరం x = 5 మీ.
A నుంచి P స్తంభమునకు దూరం. x + 7 = 5 + 7 = 12 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రశ్న 17.
3x2 – 2x + \(\frac{1}{3}\) = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొనుము. తద్వారా మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ మూలాలు వాస్తవ సంఖ్యలైతే వానిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చట a = 3, b = – 2 మరియు c = \(\frac{1}{3}\)
విచక్షణి b2 – 4ac = (- 2)2 – 4 × 3 × \(\frac{1}{3}\)
= 4 – 4 = 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణంకు రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటాయి.
అవి \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)

⇒ \(\frac{2}{6}\), \(\frac{2}{6}\)

⇒ \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక తలంలో కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడినవి. ప్రతి బిందువు మిగిలిన అన్ని బిందువులతో రేఖండాలచే కలుపబడింది. ఈ విధంగా చేయటం వల్ల మొత్తం 10 రేఖాఖండాలు ఏర్పడితే మొత్తం బిందువులు ఎన్ని ? (గమనిక: సమస్యలో ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాని కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడ్డాయి. అని ఇవ్వాలి.)
సాధన.
ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాని n బిందువులలో ప్రతి బిందువును మిగిలిన అన్ని బిందువులతో కలుపగా ఏర్పడే రేఖాఖండాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) n(n – 1)
కాని లెక్క ప్రకారం రేఖా ఖండాల సంఖ్య = 10

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 1

\(\frac{1}{2}\) n(n – 1) = 10
n(n – 1) = 20
n2 – n – 20 = 0
n2 – 5n + 4n – 20 = 0
n(n – 5) + 4(n – 5) = 0
(n – 5) (n + 4) = 0
n – 5 = 0 లేదా n + 4 = 0
n = 5 లేదా n = – 4
బిందువుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు కావున n = 5
∴ బిందువుల సంఖ్య n = 5
సరిచూచుట :

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 2

A, B, C, D, E లు ఏ మూడు సరేఖీయాలు కొని 5 బిందువులు వీటితో ఏర్పడే రేఖాఖండాలు AB, BC, CD, DE, EA, AC, AD, BE, BD, CE మొత్తం 10 రేఖాఖండాలు కలవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 2.
ఒక రెండంకెల సంఖ్యలో అంకెల లబ్ధం &. ఈ సంఖ్యకు – . 18 కలిపిన వచ్చే సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య ఒక్కటే. అయిన మొదటి సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = x
పదుల స్థానంలోని అంకె = y అనుకొందాం.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 3

లెక్క ప్రకారం అంకెల లబ్ధం = 8
∴ xy = 8
⇒ y = \(\frac{8}{x}\) ………… (1)
మరియు సంఖ్యకు 18 కలిపిన వచ్చే సంఖ్య = ఆ సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య
(10y + x) + 18 = 10x + y
10y + x + 18 – 10x – y = 0
9y – 9x + 18 = 0
9(y – x + 2) = 0
∴ y – x + 2 = 0 లో (1)ని ప్రతిక్షేపించగా

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 4

\(\frac{8}{x}\) – x + 2 = 0

\(\frac{8-x^{2}+2 x}{x}\) = 0
8 – x2 + 2x = 0
⇒ x2 – 2x – 8 = 0
x2 – 4x + 2x – 8 = 0
x(x – 4) + 2 (x – 4) = 0
(x – 4) (x + 2) = 0
x – 4 = 0
x = 4
x + 2 = 0
x = – 2
సంఖ్యలోని అంకె రుణాత్మకం కాదు. ఒకట్ల స్థానం x = 4 –
పదుల స్థానం y = \(\frac{8}{4}\) = 2 (∵ (1) నుండి)
∴ కావలసిన సంఖ్య = 24.

సరిచూచుట :
24 + 18 = 42 .

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 3.
8 మీ. పొడవు వున్న తీగను రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించారు. ప్రతి ముక్కను తిరిగి ఒక చతురస్రాకారంగా వంచారు. ఇలా ఏర్పడిన రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 2 చ.మీ. కావలెనన్న ప్రతి ముక్క పొడవు ఎంత వుండాలి ?
[x + y = 8, \(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{y}{4}\right)^{2}\) = 2
⇒ \(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{8-x}{4}\right)^{2}\) = 2]
సాధన.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 5

మొదటి ముక్క పొడవు = x మీ.
రెండవ ముక్క పొడవు = y మీ. అనుకొనుము.
x + y = 8
y = 8 – x ……… (1)
ప్రతి ముక్కను ఒక చతురస్రంగా వంచిన మొదటి ముక్క యొక్క చతురస్ర చుట్టుకొలత = x మీ
భుజము = \(\frac{x}{4}\) మీ.
వైశాల్యం = (\(\frac{x}{4}\))2 చ.మీ.
రెండవ ముక్క యొక్క చతురస్ర చుట్టుకొలత = y మీ.
భుజము = \(\frac{y}{4}\) మీ.
వైశాల్యం = (\(\frac{x}{4}\))2 = \(\frac{(8-x)^{2}}{4}\) (∵ (1) నుండి)
కాని లెక్క ప్రకారం వైశాల్యం మొత్తం = 2 చ.మీ.
\(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{8-x}{4}\right)^{2}\) = 2

\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{(8-x)^{2}}{16}\) = 2

\(\frac{x^{2}+64-16 x+x^{2}}{16}\) = 2
2x2 – 16x + 64 = 32
2x2 – 16x + 64 – 32 = 0
2x2 – 16x + 32 = 0
2(x2 – 8x + 16) = 0
x2 – 8x + 16 = 0
x2 – 2. x . 4 + 42 = 0.
(x – 4)2 = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
x – 4 = 0
x = 4
∴ మొదటి ముక్క పొడవు x = 4 మీ.
రెండవ ముక్క పొడవు y = 8 – 4 = 4 మీ. [∵ (1) నుండి]

సరిచూచుట :
చతురస్ర భుజాలు 1 మీ. మరియు 1 మీ. వైశాల్యా ల మొత్తం 12 + 12 = 1 + 1 = 2 చ.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 4.
వినయ్ మరియు ప్రవీళ్లు కలసి ఒక ఇంటికి రంగులు వేసే పనిని 6 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని ప్రవీణ్ కంటే 5 రోజులు ముందుగా పూర్తి చేయగలడు. అయిన వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజులలో పూర్తి చేయగలడు ?
సాధన.
ప్రవీణ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం = x రోజులు అనుకొనుము.
వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం = (x – 5) రోజులు.
ప్రవీణ్ ఒక్కడే ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{x-5}\)
వినయ్ ఒక్కడే ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{6}\)
లెక్క ప్రకారం ప్రవీణ్ మరియు వినయ్ లు కలసి ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{(x-5)+x}{x(x-5)}=\frac{1}{6}\) \(\frac{2 x-5}{x^{2}-5 x}=\frac{1}{6}\)

∴ x2 – 5x = 6(2x – 5)
x2 – 5x = 12x – 30
x2 – 5x – 12x + 30 = 0
x2 – 17x + 30 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 6

x2 – 15x – 2x + 30 = 0
x(x – 15) – 2(x – 15) = 0
(x – 15) (x – 2) = 0.
x – 15 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 15 లేదా x = 2
x = 15 అయిన x – 5 = 10
x = 2 ⇒ x – 5 = – 3
రోజుల సంఖ్య ఋణాత్మకం కాదు. కావున x ≠ 2.
వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం x – 5 = 10 రోజులు

సరిచూచుట :
వినయ్ మరియు ప్రవీలు కలసి ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)
∴ ఇద్దరూ కలసి ఆ పనిని 6 రోజులలో పూర్తి చేస్తారు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మొత్తం : అని చూపుము.
సాధన.
ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు α, β అనుకొందాం.
వర్గ సూత్రం నుంచి
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
మూలాలు α = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

మూలాల మొత్తం

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 7

మూలాల మొత్తం α + β = \(-\frac{b}{a}\)
∴ ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల మొత్తం = \(-\frac{b}{a}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూల చూపుము.
సాధన.
వర్గ సమీకరణం ax2 + bx + c = 0 మూలాలు
α = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
మూలాల లబ్దం

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 8

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 9

మూలాల లబ్ధం αβ = \(\frac{c}{a}\)
∴ ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల లబ్ధం = \(\frac{c}{a}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 7.
ఒక భిన్నములో హారము, లవము యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒకటి ఎక్కువ. ఆ భిన్నము మరియు దాని వుత్రమాల మొత్తము 2\(\frac{16}{21}\) అయిన ఆ భిన్నమును కనుగొనుము.
సాధన.
లవము = x అనుకొనిన
హారము = 2x + 1 (∵ హారము, లవము యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒకటి ఎక్కువ)
భిన్నము = \(\frac{x}{2 x+1}\)
భిన్నము యొక్క వ్యుత్తమము = \(\frac{2 x+1}{x}\)
లెక్క ప్రకారం భిన్నము మరియు దాని వ్యుత్ర్కమాల మొత్తం = 2\(\frac{16}{21}\) = \(\frac{58}{21}\)

\(\frac{x}{2 x+1}+\frac{2 x+1}{x}=\frac{58}{21}\) \(\frac{x^{2}+(2 x+1)^{2}}{(2 x+1) x}=\frac{58}{21}\) \(\frac{x^{2}+4 x^{2}+4 x+1}{2 x^{2}+x}=\frac{58}{21}\)

58 (2x2 + x) = 21 (5x2 + 4x + 1) (అడ్డగుణకారం చేయగా)
116x2 + 58 x = 105x2 + 84x + 21
116x2 + 58 x – 105x2 – 84x – 21 = 0
11x2 – 26x – 21 = 0 …………… (1)
a = 11, b = – 26, c = -21
b2 – 4ac = (- 26)2 – 4 (11) (- 21)
= 676 + 924 = 1600
∴ వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-26) \pm \sqrt{1600}}{2(11)}=\frac{26 \pm 40}{22}\)

x = \(\frac{26+40}{22}=\frac{66}{22}=3\) లేదా

x = \(\frac{26-40}{22}=\frac{-14}{22}=\frac{-7}{11}\)
భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు పూర్ణ సంఖ్యలు. కావున
∴ x = 3.
లవము x = 3
హారము 2x + 1 = 7
కావలసిన భిన్నము = \(\frac{3}{7}\)

సరిచూచుట :
భిన్నము. + వ్యుత్రమం = \(\frac{3}{7}+\frac{7}{3}=\frac{9+49}{21}=\frac{58}{21}=2 \frac{16}{21}\)

(లేదా)

(1) ⇒ 11x2 – 26x – 21 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 10

11x2 – 33x + 7x – 21 = 0
11x (x – 3) + 7 (x – 3) = 0
(x – 3) (11x + 7) = 0
11 x (- 21) = – 231

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 11

3 × 7 × 11 = 231
x – 3 = 0
x = 3
11x + 7 = 0
11x = – 7
x = \(\frac{-7}{11}\)
భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు మళ్ళీ భిన్నాలు కాదు. కావున
x = 3
లవము x = 3
హారము 2x + 1 =7
∴ కావలసిన భిన్నము = \(\frac{3}{7}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 8.
29.4 మీ. ఎత్తుగల భవనం పైభాగం నుంచి 24.5 మీ/ – సేక. శాలి వేగుతో ఒక బంతి పైవైపుకు విసిరి వేయబడింది. ‘1 సెకనుల తరువాత భూమట్టం నుండి బంతి యొక్క ఎత్తు H = 29.4 + 24.5 t – 4.9 t2 అయితే ఆ బంతి భూమిని ఎన్ని సెకనుల తరువాత . తాకుతుంది ?
సాధన.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise 12

తొలివేగం ‘U’ = 24.5
భూమట్టం నుండి బంతి యొక్క ఎత్తు H = 29.4 + 24.5 t- 4.9 t2
బంతి భూమట్టాన్ని, ‘t’ సెకనులలో చేరింది. అనగా భూమట్టం నుండి ఎత్తు H = 0
కనుక 29.4 + 24.5t – 4.9t2 = 0 = H
⇒ 4.9 t2 – 24.5t – 29.4 = 0
⇒ 4.9 [t2 – 5t – 6] = 0
∴ t2 – 5t – 6 = 0
⇒ t2 – 6t + 1 – 6 = 0
⇒ t(t – 6) + 1(t – 6) = 0
(t- 6) (t + 1) = 0
⇒ t – 6 = 0
∴ t = 6
లేదా t + 1 = 0 ⇒ t = – 1 కాని ‘t’ ఋణాత్మకం కాదు.
కనుక t = 6
∴ బంతి భూమిని తాకిన కాలము = t = 6 సెకనులు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ వాస్తవ మూలాలు ఉంటే కనుగొనుము.

(i) 2x2 – 3x + 5 = 0
సాధన.
2x2 – 3x + 5 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 3, c = 5
విచక్షణి b2 – 4ac = (- 3)2 – 4(2) (5)
= 9 – 40
= – 31 < 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ మూలాలు, వాస్తవ సంఖ్యలు కావు, సంకీర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

(ii) 3x2 – 4√3x + 4 = 0
సాధన.
3x2 – 4√3 x + 4 = 0 .
a = 3, b = – 4/3, c = 4
విచక్షణి b2 – 4ac = (- 4√3)2 – 4(3) (4) = 48 – 48 = 0
కావున ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు. –
∴ మూలాలు x = \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)
x = \(\frac{-(-4 \sqrt{3})}{2(3)}=\frac{4 \sqrt{3}}{6}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
మూలాలు \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) మరియు \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).

(iii) 2x2 – 6x + 3 = 0
సాధన.
2x2 – 6x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 6, c = 3
విచక్షణి b2 – 4ac = (- 6)2 – 4(2) (3)
= 36 -24 = 12 > 0.
కావున మూలాలు రెండు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
∴ వర్గ సూత్రం నుండి
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{4}\)

= \(\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{4}=\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 2.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలలో రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటే k విలువను కనుగొనుము.
(i) 2x2 + kx + 3 = 0 –
సాధన.
2x2 + kx + 3 = 0 వర్గ సమీకరణానికి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉంటే
విచక్షణి b2 – 4ac = 0
a = 2, b = k, c = 3
b2 – 4ac = (k)2 – 4(2) (3) = 0
k2 – 24 = 0
k2 = 24
k = \(\sqrt{24}\) = ± 2√6
\(\sqrt{24}=\sqrt{4 \times 6}=\sqrt{2} \times \sqrt{6}\) = ± 2√6.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

(ii) kx (x – 2) + 6 = 0
సాధన.
kx (x – 2) + 6 = 0
kx2 – 2kx + 6 = 0
ఇక్కడ a = k, b = – 2k, c = 6
వర్గ సమీకరణం రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటే
విచక్షణి b2 – 4ac = 0
(- 2k)2 – 4(k) (6) = 0
4k2 – 24k = 0
4k(k – 6) = 0
4k = 0
⇒ k = 0
k – 6 = 0 =
⇒ k = 6.
k = 0 అయితే kx(x – 2) + 6 = 0 వర్గ – సమీకరణాన్ని సూచించదు. కావున k ≠ 0.
∴ k = 6.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 3.
మామిడి పండ్లను నిల్వచేయుటకు 800 చ.మీ. వైశాల్యం వుంటూ, పొడవు వెడల్పు కంటే రెండు రెట్లు ఉండే విధంగా ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? చేయగలిగితే దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వెడల్పు = x మీ.
వెడల్పు = 21 మీ. అనుకొనుము.
(∵ లెక్క ప్రకారం పొడవు వెడల్పుకు 2 రెట్లు)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4 1

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వైశాల్యం = 800 చ.మీ.
2x . x = 800
2x2 = 800
x2 = 400 ………… (1)
x = 400 = ± 20.
x విలువ వాస్తవ సంఖ్య అవుతున్నది. కావున దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం ఏర్పాటు చేయగలము.
మరియు వెడల్పు × రుణాత్మకం కాదు. కావున
వెడల్పు x = 20 మీ.
∴ పొడవు 2x = 40 మీ.
(లేదా)
(1) ⇒ x2 = 400
⇒ x2 – 400 = 0
ఇది వర్గ సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది. మరియు దీనిని తృప్తిపరిచే X విలువ దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థల వెడల్పు అవుతుంది.
a = 1, b = 0, c = – 400
విచక్షణి b2 – 4ac = (0)2 – 4(1) (- 400) = 1600-> 0
∴ మూలాలు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
కావున దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలాన్ని ఏర్పాటు చేయవచ్చును. వర్గ సూత్రం నుంచి మూలాలు
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{(0) \pm \sqrt{1600}}{2(1)}=\frac{\pm 40}{2}\)

x = \(\frac{40}{2}\) = 20 లేదా x = \(\frac{-40}{2}\) = – 20

వెడల్పు రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 20
పొడవు x = 20 మీ.
వెడల్పు 2x = 40 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 4.
ఇద్దరి మిత్రుల వయస్సుల మొత్తం 20 సం||లు. నాలుగు సంవత్సరాల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్దం 48. ఇది సాధ్యమేనా ? ఒకవేళ సాధ్యమైతే వారి వయస్సులను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇద్దరి మిత్రులలో : మొదటి వ్యక్తి వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4 2

లెక్క ప్రకారం .4 సం||ల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్ధం = 48
(x – 4) (16 – x) = 480
16x – x2 – 64 + 4x = 48
x2 – 20x + 112 = 0.
పై వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువ మొదటి వ్యక్తి వయస్సు అవుతుంది. ఇది వాస్తవం అవుతుందో, కాదో చూద్దాం
a = 1, b = – 20, c = 112
విచక్షణి b – 4ac = (- 20) – 4(1) (112).
= 400 – 448 = – 48 < 0
కావున ఈ వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలు కాదు. అందువలన ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా వారి వయస్సులు ఉండుట అసాధ్యము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 5.
చుట్టుకొలత 80మీ., వైశాల్యము 400 చ.మీ ఉండునట్లు ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కును తయారు చేయగలమా? చేయగలిగితే దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. ; వెడల్పు = y మీ. అనుకొనుము.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4 3

లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు చుట్టుకొలత = 80 మీ.
∴ 2(x +.y) = 80
⇒ x + y = 40
y= 40 – x ………… (1)
మరియు వైశాల్యము = 400 చ.మీ.
∴ x. y = 400 లో (1) ని ప్రతిక్షేపించగా
x(40 -x) = 400
40x – x2 = 400 –
– x2 + 40x – 400 = 0
⇒ x2 – 40x + 400 = 0.
పై వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువ దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు అవుతుంది. ఇది వాస్తవం అవుతుందో, కాదో చూద్దాం
a = 1, b = – 40, c = 400
విచక్షణి b2 – 4ac = (- 40)2 – 4(1) (400)
= 1600 – 1600= 0
మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
∴ x = \(\frac{-b}{2 a}=\frac{-(-40)}{2(1)}=\frac{40}{2}\)
∴ పొడవు x = 20 మీ.
∴ వెడల్పు y = 40 – 20 = 20 మీ. ((1) నుండి)
∴ పార్కు చతురస్రాకారంలో ఉంటుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలకు మూలాలు వుండే వానిని వర్గంను పూర్తి చేయుట ద్వారా కనుగొనుము.

(i) 2x2 + x – 4 = 0
సాధన.
\(\frac{2 x^{2}}{2}+\frac{x}{2}-\frac{4}{2}=\frac{0}{2}\) (ఇరువైపులా (1) కలుపగా)
x2 + \(\frac{x}{2}\) – 2 = 0
x2 + \(\frac{x}{2}\) = 2
x2 + 2.\(\frac{1}{2}\).\(\frac{x}{2}\) = 2
[∵ \(\frac{x}{2}\) = 2.\(\frac{1}{2}\).\(\frac{x}{2}\)]
x2 + 2.x.\(\frac{1}{4}\) + (\(\frac{1}{4}\))2 = 2 + (\(\frac{1}{4}\))2
(x + \(\frac{1}{4}\))2 = 2 + \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{32+1}{16}\)
(x + \(\frac{1}{4}\))2 = \(\frac{33}{16}\)
⇒ x + \(\frac{1}{4}\) = \(\sqrt{\frac{33}{16}}=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}\)
మూలాలు x = – \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)
లేదా x = – \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)
x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) లేదా x = \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

(ii) 4x2 + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x2 + 4√3 x+ 3 = 0
x2 + \(\frac{4 \sqrt{3} x}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{0}{4}\)
(ఇరువైపులా 4 తో భాగించగా)
x2 + √3x = – \(\frac{3}{4}\)
x2 + 2.\(\frac{1}{2}\).√3x = – \(\frac{3}{4}\)
x2 + 2.x.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{-3}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
ఇరువైపులా \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) కలుపగా

\(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{-3}{4}+\frac{3}{4}\)

\(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) = 0

∴ x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0
⇒ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
∴ మూలాలు – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2వ పద్దతి :
4x2 + 4 √3x + 3 = 0
(2x)2 + 2 . 2x . √3 + (√3)2 = 0
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
∴ (2x + √3)2 = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
2x + √3 = 0
2x = – √3
⇒ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ మూలాలు – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

(iii) 5x2 – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x2 – 7x – 6 = 0
ఇరువైపులా 5 తో భాగించగా
x2 – \(\frac{7}{5}\) x – \(\frac{6}{5}\) = 0
x2 – \(\frac{7}{5}\) x = \(\frac{6}{5}\)
x2 – 2 . \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{7}{5}\)x = \(\frac{6}{5}\)
x2 – 2.x.\(\frac{7}{10}\) + (\(\frac{7}{10}\))2 = \(\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}\)
ఇరువైపులా (\(\frac{7}{10}\))2 కలుపగా

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 1

∴ మూలాలు 2 లేదా – \(\frac{3}{5}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

(iv) x2 + 5 = 6x
సాధన.
x2 + 5 = – 6x
x2 + 6x + 5 = 0
x2 + 6x = -5
x2 + 2.\(\frac{1}{2}\).6x = – 5
∴ ఇరువైపులా (3)2 ను కలుపగా
x2 + 2.x.3 + 32 = – 5 + 32
(x + 3)2 = 4
x + 3 = √4 = ± 2
x + 3 = 2
x + 3 = – 2
x = 2 – 3
x = -1
x = – 2 – 3
x = – 5
మూలాలు – 1 మరియు – 5.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 2.
సూత్రమును ఉపయోగించి 1వ ప్రశ్నలోని సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) 2x2 + x – 4 = 0
సాధన.
2x2 + x – 4 = 0,
a = 2, b = 1, c = – 4
b2 – 4ac = (1)2 – 4 (2) (- 4)
= 1 + 32 = 33
వర్గ సూత్రం x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)}\)
= \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\)
∴ x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) లేదా \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)
∴ మూలాలు \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) మరియు \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

(ii) 4x2 + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x2 + 4√3 x + 3 = 0
a = a, b = 4√3, c = 3
b2 – 4ac = (4√3)2 – 4 (4) (3)
= 48 – 48 = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానాలు. వర్గ సూత్రం నుండి ,
x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}\)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\), మరియు \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

(iii) 5x2 – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x2 – 7x – 6 = 0
a = 5, b = – 7, c = – 6
b2 – 4ac = (- 7)2 – 4 (5) (- 6)
= 49 + 120 = 169
వర్గ సూత్రం

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 2

∴ మూలాలు 2 మరియు \(-\frac{3}{5}\)

(iv) x2 + 5 = – 6x
సాధన.
x2 + 5 = – 6x
x2 + 6x + 5 = 0
a = 1; b = 6; c = 5
b2 – 4ac = (6)2 – 4 (1) (5)
= 36 – 20 = 16
వర్గ సూత్రం x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)}=\frac{-6 \pm 4}{2}\)

∴ x = \(\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}\) = – 1 లేదా
x = \(\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}\) = – 5
∴ మూలాలు – 1 మరియు – 5.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
సాధన.
x – \(\frac{1}{x}\) = 3
\frac{x^{2}-1}{x}\(\) = 3
x2 – 1 = 3x
x2 – 3x – 1 = 0
a = 1, b = – 3, c = –
b2 – 4ac = (- 3)2 – 4 (1) (- 1)
= 9 + 4 = 13
వర్గ సూత్రం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ – 4, 7
సాధన.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 3

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x + 4) (x – 7) = – 30
– x2 – 7x + 4x – 28 = – 30
x2 – 3x – 28 + 30 = 0
x2 – 3x + 2 = 0
a = 1, b = – 3, c = 2
b2 – 4ac = (- 3)2 – 4 (1) (2)
= 9 – 8 = 1
వర్గ సూత్రం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3 \pm 1}{2}\)

∴ x = \(\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}\) = 2 లేదా \(\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\) = 1

∴ మూలాలు 2 మరియు 1.
గమనిక :
సమీకరణం (1) ని కారణాంక. విభజన పద్దతితో కూడా సాధించవచ్చును.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 4

x2 = 2
x2 – 3x + 2 = 0
x2 – 2x – x + 2 = 0
x(x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
x – 2 = 0
x = 2
x – 1 = 0.
x = 1
x = 2 లేదా 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 4.
3 సం||ల క్రితము రహమాన్ వయస్సు యొక్క వ్యుత్రమము, 5 సం||ల తరువాత అతని వయస్సు యొక్క వ్యుత్తమముల మొత్తము , అయిన అతని – – ప్రస్తుత వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 5

లెక్క ప్రకారం \(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{(x+5)+(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\) \(\frac{2 x+2}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x – 3) (x + 5) = 3 (2x + 2)
x2 + 5x – 3x – 15 = 6x + 6
x2 + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
x2 – 4x – 21 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 4, c = – 21
b2 – 4ac = (- 4)2 – 4 (1) (- 21)
= 16 + 84 = 100
వర్గ సూత్రం .. .
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2(1)}\)

= \(\frac{4 \pm 10}{2}\)

x = \(\frac{4+10}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా

x = \(\frac{4-10}{2}=\frac{-6}{2}\) = – 3.

వయస్సు రుణాత్మకం కాదు.
∴ x = 7. అనగా రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = 7 సం||.

సరిచూచుట :
3 సం|| క్రితం రహమాన్ వయస్సు = 7 – 3 = 4 ప్యమం
వ్యుత్కమం = \(\frac{1}{4}\)
5 సం|| తర్వాత రహమాన్ వయస్సు = 7 + 5 = 12
ద్యుతమం = \(\frac{1}{12}\)
వృత్కమాల మొత్తం = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{12}\)
= \(\frac{3+1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 5.
మౌళికకు గణితములో మరియు ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కుల మొత్తము 30. ఆమెకు ఒకవేళ గణితంలో 2 మార్కులు ఎక్కువగా, ఇంగ్లీషులో 3 మార్కులు తక్కువగా వచ్చి వుంటే ఆ’ రెండింటి యొక్క లబ్ధము 210 అయివుండేది. అయిన ఆమెకు రెండు సబ్జెక్టులలో వచ్చిన మార్కులను కనుగొనుము.
సాధన.
మౌళికకు గణితంలో వచ్చిన మార్కులు = x అనుకొనిన
ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కులు = 30 – x (∵ గణితం మరియు ఇంగ్లీషులలో వచ్చిన మార్కుల మొత్తం 30)
ఒకవేళ గణితంలో రెండు మార్కులు ఎక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = x + 2 .
ఇంగ్లీషులో మూడు మార్కులు తక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = (30 – x) – 3 = 27 – x.
లెక్క ప్రకారం పై రెండు మార్కుల లబ్దం = 210
∴ (x + 2) (27 – x) = 210
27 x – x2 + 54 – 2x = 210
– x2 + 25x + 54 – 210 = 0
– x2 + 25x – 156 = 0
x2 – 25x + 156 = 0
(∵ – 1 తో ఇరువైపులా గుణించగా)
ఇక్కడ a = 1, b = – 25, c = 156
b2 – 4ac = (- 25)2 – 4 (1) (156)
= 625 – 624 = 1
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-25) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{25 \pm 1}{2}\)

x = \(\frac{25+1}{2}=\frac{26}{2}\) లేదా x = \(\frac{25-1}{2}=\frac{24}{2}\) = 12
x = 13 అయిన గణితంలో మార్కులు = 13
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 13 = 17

సరిచూచుట :
(13 + 2) (17 – 3) = 15 × 14 = 210
x = 12 అయిన
గణితంలో మార్కులు = 12
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 12 = 18

సరిచూచుట (12 + 2) (18 – 3)
= 14 × 15 = 210

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కర్ణము దాని వెడల్పు కంటే 60 మీ. ఎక్కువ. మరియు పొడవు, వెడల్పు కంటే 30 మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము. ‘
కర్ణము = (x + 60) మీ.
పొడవు = (x + 30) మీ. అవుతాయి.
∆ ABC లంబకోణ త్రిభుజము

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 6

∴ పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రక రం
AB2 + BC2 = AC2
(x + 30)2 + x2 = (x + 60)2
x2 + 60x + 900 + x2 = x2 + 120x + 3600
2x2 + 60x + 900 – x2 – 120x – 3600 = 0
x2 – 60x – 2700 = 0 ఇక్కడ a = 1, b = – 60, c = – 2700
b2 – 4ac = (- 60)2 – 4 (1) (- 2700)
= 3600 + 10800 = 14400
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-60) \pm \sqrt{14400}}{2(1)}=\frac{60 \pm 120}{2}\)

∴ x = \(\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}\) = 90 లేదా

x = \(\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}\) = – 30

దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు ఋణాత్మకం కాదు.
కావున x = 90.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు x = 90 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు (x + 30) = 120 మీ.
కర్ణం (x + 60) = 150 మీ.

సరిచూచుట :
AB2 + BC2 = (120)2 + (90)2
= 14400 + 8100
= 22500 = AC2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 7.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180. చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము, పెద్దదానికి 8 రెట్లు అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్య = x
చిన్న సంఖ్య = y అనుకొందాం.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180.
x2 – y2 = 180 …………. (1)
మరియు చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము పెద్ద సంఖ్యకు 8 రెట్లు
y2 = 8x ……….. (2)
(2) ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x2 – 8x = 180
⇒ x2 – 8x – 180 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 8, c = – 180
b2 – 4ac = (- 8)2 – 4 (1) (- 180)
= 64 + 720 = 784
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-8) \pm \sqrt{784}}{2(1)}=\frac{8 \pm 28}{2}\)

x = \(\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}\) =18 లేదా x = \(\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}\) = – 10
x = 18 అయిన
y2 = 8 x 18 = 144
y = \(\sqrt(144)\) = ± 12
y = 12 లేదా – 12
x = – 10 అయిన
y2 = 8 (- 10) = – 80
కాని ఇది అసాధ్యము (వర్గం రుణాత్మకం కాదు)
పెద్ద సంఖ్య 18
చిన్న సంఖ్య 12 లేదా – 12

సరిచూచుట :
18, 12 అయిన వర్గాల తేడా
182 – 122 = 324 – 144 = 180
18, – 12 అయిన వర్గాల తేడా
182 – (-12)2 = 324 – 144 = 180.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 8.
ఒక రైలు 360 కి.మీ. దూరమును ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణించును. దీని వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగిన అదే దూరమును ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలము 1 గంట తగ్గును. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం. అనుకొందాం.
రైలు ప్రయాణించే దూరం = 360 కి.మీ. –
దూరం 360 రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 7
రైలు వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగినప్పుడు రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ./గం.
360 ఇప్పుడు రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{x+5}\) గం.
లెక్క ప్రకారం \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}\) = 1

360 \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\right)\) = 1

360 \(\left(\frac{x+5-x}{x(x+5)}\right)\) = 1

\(\frac{5}{x^{2}+5 x}=\frac{1}{360}\)

x2 + 5x = 360×5
x2 + 5x = 1800
∴ x2 + 5x – 1800 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 5, c = – 1800
b2 – 4ac = 52 – 4 (1) (- 1800)
= 25 + 7200 = 7225
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2(1)}=\frac{-5 \pm 85}{2}\)

∴ x = \(\frac{-5+85}{2}=\frac{80}{2}\)= 40 లేదా

x = \(\frac{-5-85}{2}=\frac{-90}{2}\) = 45
రైలు వేగం రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 40
∴ రైలు వేగం = 40 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
40 కి.మీ/గం. వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{40}\) = 9 గం.
(40 + 5) = 45 కి.మీ/గం.
వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{45}\) = 8 గం.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 9.
రెండు కుళాయిలు కలిసి ఒక నీళ్ల ట్యాంకును 9\(\frac{3}{8}\) గం||లలో నింపును. ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ఒక్కటే, తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నింపే సమయమునకు 10 గం|| తక్కువ సమయంలో నింపును. అయితే ఒక్కొక్క కుళాయి విడివిడిగా ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = x గం|| అనుకొంటే
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x}\)
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ట్యాంకు నింపేందుకు పట్టే కాలం = (x – 10) గం||
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x-10}\)
రెండు కుళాయిలు కలిసి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-10}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు కుళాయిలు కలిసి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = 9\(\frac{3}{8}\) గం. = \(\frac{75}{8}\) గం.
రెండు కుళాయిలు కలసి 1 ‘గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{\frac{75}{8}}=\frac{8}{75}\)
కావున \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75}\)

\(\frac{x-10+x}{x(x-10)}=\frac{8}{75}\)

\(\frac{2 x-10}{x(x-10)}=\frac{8}{75}\)
అడ్డగుణకారం చేయగా
8x (x – 10) = 75 (2x – 10)
8x2 – 80x = 150x – 750
8x2 – 80x – 150 x + 750 = 0
8x2 – 230x + 750 = 0
ఇక్కడ a = 8, b = – 230, c = 750
b2 – 4ac = (- 230)2 – 4 (8) (750)
= 52900 – 24000 = 28900
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-230) \pm \sqrt{28900}}{2(8)}\)

28900 = 289 × 100
= 17 × 17 × 10 × 10
= (17 × 10)2
= (170)2
= \(\frac{230 \pm 170}{16}\)
x = \(\frac{230+170}{16}=\frac{400}{16}\) = 25 లేదా
x = \(\frac{230-170}{16}=\frac{60}{16}=3 \frac{3}{4}\)
x = 25 అయిన x – 10 = 25 – 10 = 15
∴ తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 25 గం.
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 15 గం.
x = 3\(\frac{3}{4}\)
x – 10 = 3\(\frac{3}{4}\) – 10
ఇది రుణాత్మకం. ఇది అసాధ్యము.

సరిచూచుట :
రెండు కుళాయిలు కలిసి తొట్టిని 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{25}+\frac{1}{15}=\frac{3+5}{75}=\frac{8}{75}\)
రెండు కుళాయిలు ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{75}{8}\) గం. = \(\frac{3}{8}\) గం.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 10.
మైసూరు, బెంగళూరు మధ్య 132 కి.మీ. దూరమును ప్రయాణించుటకు ఒక ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలు కంటే 1 గంట సమయము తక్కువ తీసుకొంటుంది. (మధ్యలో ఆగే సమయాలను లెక్కలోకి తీసుకోలేదు) ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగము, ప్యాసింజర్ రైలు వేగం కంటే 11కి.మీ/గ్రంట ఎక్కువ అయిన రెండు రైళ్ల వేగాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ప్యాసింజర్ రైలు సగటు వేగం = x కి.మీ/గం.
అనుకొంటే ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగం = (x + 11) కి.మీ./గం.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య దూరం = 132 కి.మీ.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య ప్రయాణానికి ప్యాసింజర్ రైలుకు పట్టే కాలం = \(\frac{132}{x}\) గం.
132 ఎక్స్ ప్రెస్ రైలుకు పట్టే కాలం = \(\frac{132}{x+11}\) గం.
లెక్క ప్రకారం ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలుకన్నా 1 గం. సమయం తక్కువ తీసుకుంటుంది.
\(\frac{132}{x+11}=\frac{132}{x}-1\)

\(\frac{132}{x+11}-\frac{132}{x}\) = – 1

\(\frac{132 x-132(x+11)}{x(x+11)}\) = – 1

132x – 132x – 1452 = -x (x + 11)
– 1452 = – x2 – 11 x
– x2 + 11 x – 1452 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 11, c = – 1452
∴ b2 – 4ac = (11)2 – 4 (1) (- 1452)
= 121 – 5808 = 5929
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2(1)}\)

x = \(\frac{-11 \pm 77}{2}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 8

5929 = 11 × 11 × 7 × 7
= (11 × 7)2 = (77)2
∴ x = \(\frac{-11+77}{2}=\frac{66}{2}\) = 33 లేదా

x = \(\frac{-11-77}{2}=\frac{-88}{2}\) = – 44

రైలు వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 33.
∴ ప్యాసింజర్ రైలు వేగం x = 33 కి.మీ./గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు వేగం = (x + 11)
= 33 + 11 = 44 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
ప్యాసింజర్ రైలు ప్రయాణ కాలం = \(\frac{132}{33}\) = 4 గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు ప్రయాణ కాలం = \(\frac{132}{44}\) = 3 గం.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 11.
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 468 చ.మీ వాని చుట్టుకొలతల భేదము 24 మీ. అయిన ఆ రెండు చతురస్రాల భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
రెండు చతురస్రాల యొక్క భుజాలు వరుసగా x మీ., y మీ అనుకొందాం.
వైశాల్యం = y2
చుట్టుకొలత = 4y
వైశాల్యం = x2
చుట్టుకొలత = 4x
లెక్క ప్రకారం,
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాలు మొత్తం = 468 చ.మీ.
x2 + y2 = 468 ……….. (1)
మరియు వాటి చుట్టుకొలతల భేదం = 24 మీ.
4x – 4y = 24
4(x – y) = 24
x – y = \(\frac{24}{4}\) = 6.
x – 6 = y ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x2 + (x – 6)2 = 468
x2 + x2 – 12x + 36 = 468
2x2 – 12x + 36 – 468 = 0
2x2 – 12x – 432 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 12, c = – 432
b2 – 4ac = (- 12)2 – 4 (2) (-432)
= 144 + 3456 = 3600
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-12) \pm \sqrt{3600}}{2(2)}\)

x = \(\frac{12 \pm 60}{4}\)

x = \(\frac{12+60}{4}=\frac{72}{4}\) లేదా

x = \(\frac{12-60}{4}=\frac{-48}{4}\)
చతురస్ర భుజం కొలత ఋణాత్మకం కాదు. కావున x = 18 ,
18 – 6 = y
y = 12
రెండు చతురస్రాల భుజాలు 18 మీ. మరియు 12మీ.

సరిచూచుట :
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల భేదం = 182 – 122
= 324 – 144 = 180.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 12.
‘n’ భుజాలు గల ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}\) n (n – 3). అయితే 65 కర్ణాలు గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య ఎంత ? 50 కర్ణాలు గల బహుభుజి వ్యవస్థితమౌతుందా ?
సాధన.
n భుజాలు గల బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) n(n – 3)
లెక్క ప్రకారం బహుభుజి యొక్క కర్ణాల సంఖ్య = 65
∴ \(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 65
n2 – 3n = 130
n2 – 3n – 130 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము.
a = 1, b = – 3, c = – 130
∴ b2 – 4ac = (- 3)2 – 4 (1) (-130)
= 9 + 520 = 529
వర్గ సూత్రం n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

n = \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{529}}{2(1)}=\frac{3 \pm 23}{2}\)

n = \(\frac{3+23}{2}=\frac{26}{2}\) = 13

n = \(\frac{3-23}{2}=\frac{-20}{2}\) = – 10
భుజాల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు. కావున
∴ n = 13
∴ కర్ణాల సంఖ్య 65 గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య n = 13

(ii) కర్ణాల సంఖ్య 50 అయితే
\(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 50
n (n – 3) = 100
n2 – 31 – 100 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము ……….. (1)
a = 1, b = – 3, c = – 100
b2 – 4ac = (- 3)2 – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409
వర్గ సూత్రం n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
n = \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{409}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{409}}{2}\)
409 ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య కాదు. అనగా దీని వర్గమూలం పూర్ణసంఖ్య కాదు. కావున n విలువ పూర్ణ సంఖ్య కాదు.
కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

2వ పద్ధతి :
\(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 50
∴ n2 – 3n = 100
n2 – 3n – 100 = 0
a = 1, b = – 3, c = – 100
b2 – 4ac = (- 3)2 – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409

b2 – 4ac > 0 మరియు ఖచ్ఛిత వర్గ సంఖ్య కాదు. కావున వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలై కరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి. అంటే n విలువ కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. కాని బహుభుజి భుజాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు 3 కన్నా పెద్దదైన సహజ సంఖ్య. కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 1.
కారణాంక పద్ధతిన క్రింది వర్గ సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x2 – 3x – 10 = 0
సాధన.
x2 – 3x – 10 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 1

x2 – 5x + 2x – 10 = 0
x (x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5) (x + 2) = 0
x – 5 = 0
x = 5
x + 2 = 0
x = – 2.
∴ మూలాలు 5 మరియు – 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

(ii) 2x22 + x – 6 = 0
సాధన.
2x2 + x – 6 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 2

2x2 – 3x + 4x – 6 = 0
x (2x – 3) + 2(2x – 3) = 0
(2x – 3) (x + 2) = 0
2x – 3 = 0
2x = 3
x + 2 = 0
x = – 2
∴ మూలాలు , మరియు – 2.

(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
సాధన.
√2 x2 + 7x + 5√2 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 3

√2 x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2 x + 5) + √2 (√2 x + 5) = 0
(√2 x + 5) (x + √2) = 0
√2x + 5 = 0
√2x = – 5
x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\)

x + √2 = 0
x = – √2
∴ మూలాలు \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\), మరియు – √2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

(iv) 2x2 – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
సాధన.
2x2 – x + \(\frac{1}{8}\) = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 4

\(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) = 0
∴ 16x2 – 4x + 4x + 1 = 0
4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0.
(4x – 1)(4x – 1) = 0
4x – 1 = 0
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)

4x – 1 = 0
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)

∴ మూలాలు \(\frac{1}{4}\), మరియు \(\frac{1}{4}\)

(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
సాధన.
100x2 – 20x + 1 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 5

100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
(10x – 1) (10x – 1) = 0
(10x – 1)2 = 0
10x – 1 = 0
10x = 1
x = \(\frac{1}{10}\) ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానం.
∴ మూలాలు \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{10}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

(vi) x(x + 4) = 12
సాధన.
x(x + 4) = 12

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 6

x2 + 4x = 12
x2 + 4x – 12 = 0
x2 – 2x + 6x – 12 = 0
x(x – 2) + 6(x – 2) = 0
(x – 2) (x + 6) = 0
x – 2 = 0
x = 2

x + 6 = 0
x = – 6
∴ మూలాలు 2 మరియు – 6.

(vii) 3x2 – 5x + 2 = 0
సాధన.
3×2 – 5x + 2 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 7

3x2 – 2x – 3x + 2 = 0
x (3x – 2) – 1(3x – 2) = 0
(3x – 2) (x – 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)

x – 1 = 0
x = 1
∴ మూలాలు \(\frac{2}{3}\), మరియు 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

(viii) x – \(\frac{3}{x}\) = 2
సాధన.
x – \(\frac{3}{x}\) = 2

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 8

\(\frac{x^{2}-3}{x}\) = 2
x2 – 3 = 2x
x2 – 2x – 3 = 0
x2 – 3x + x – 3 = 0 –
x (x – 3) + 1(5 – 3) = 0.
(x – 3) (x + 1) = 0
x – 3 = 0
x = 3
x + 1 = 0
x = – 1
∴ మూలాలు 3 మరియు – 1.

(ix) 3(x – 4)2 – 5(x – 4) = 12
సాధన.
3(x – 4)2 – 5(x – 4) = 12
x – 4 = t అనుకొంటే

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 9

3t2 – 5t = 12.
3t2 – 5t – 12 = 0
3t2 – 9t + 4t – 12 = 0.
3t (t – 3) + 4(t – 3) = 0
(t – 3) (3t + 4) = 0
t – 3 = 0
t = 3
3t + 4 = 0
3 t = – 4
3 t = \(\frac{-4}{3}\)
కాని x – 4 = t
x – 4 = 3
x = 3 + 4 = 7
x – 4 = \(\frac{-4}{3}\)
x = \(\frac{-4}{3}\) + 4
x = \(\frac{-4+12}{3}\)
x = \(\frac{8}{3}\)
∴ మూలాలు 7 మరియు \(\frac{8}{3}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 2.
మొత్తము 27, లబ్ధము 182 అయ్యే విధంగా రెండు సంఖ్యలను – కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య = x అనుకొందాం.
రెండవ సంఖ్య = 27 – x
(∵ రెండు సంఖ్యల మొత్తం 27)
లెక్క ప్రకారం రెండు సంఖ్యల లబ్దం = 182

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 10

x(27 – x) = 182
27x – x2 = 182
– x2 + 27x – 182 = 0
x2 – 27x + 182 = 0
x2 – 13x – 14x + 182 = 0
x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
(x – 13) (x – 14) = 0
x – 13 = 0
x = 13
x – 14 = 0
x = 14
ఒక సంఖ్య x = 13 అయిన రెండవ సంఖ్య = 27 – x = 27 – 13 = 14
ఒక సంఖ్య x = 14 అయిన రెండవ సంఖ్య = 27 – x = 27 – 14 = 13
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 13, 14

సరిచూసుకోవడం :
13 × 14 = 182

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 3.
రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తము 613 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి సంఖ్య = x అనుకొందాం.
రెండవ సంఖ్య = x + 1
(∵ రెండు సంఖ్యలు వరుస ధనపూర్ణ సంఖ్యలు)
రెండు వరుస ధనపూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = 613
x2 + (x + 1)2 = 613

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 11

x2 + x2 + 2x + 1 = 613
2x2 +2x + 1 – 613 = 0
2x2 + 2x – 612 = 0
2(x2 + x – 306) = 0
x2 + x – 306 = 0
x2 – 17x + 18x – 306 = 0
x(x – 17) + 18(x – 17) = 0
(x – 17) (x + 18) = 0
x – 17 = 0
x = 17
x + 18 = 0
x = – 18
∴ x = – 18 ధనపూర్ణ సంఖ్య కాదు.
∴ x = 17 ధనపూర్ణ సంఖ్య
మొదటి సంఖ్య x = 17 .
రెండవ సంఖ్య = x + 1 = 17 + 1 = 18

సరిచూసుకోవడం :
172 + 182 = 289 + 324 = 613.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 4.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు దాని భూమి కంటే 7 సెం.మీ. తక్కువ. కర్ణము పొడవు 13 సెం.మీ. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భూమి = x సెం.మీ. . అనుకొనుము.
ఎత్తు = (x – 7) సెం.మీ.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 12

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం భుజము 2 + భుజము 2 = కర్ణము?
x2 + (x – 7)2 = 132
x2 + x2 – 14x + 49 = 169
2x2 – 14x + 49 – 169 = 0
2x2 – 14x – 120 = 0
2(x2 – 7x – 60) = 0
x2 – 7x – 60 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 13

x2 – 12x + 5x – 60 = 0
(x – 12) + 5(x – 12) = 0
(x – 12) (x + 5) = 0
x – 12 = 0
x = 12
x + 5 = 0
x = – 5 త్రిభుజ భుజం కొలత రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 12 భూమి = 12 సెం.మీ.
ఎత్తు = x – 7 = 12 – 7 = 5 సెం.మీ.

సరిచూచుట :
భూమి 2 + ఎత్తు = 122 + 52
= 144 + 25 = 169
= (13)2 = కర్ణం2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 5.
ఒక కుటీర పరిశ్రమలో ప్రతిరోజు ఒక నియమిత సంఖ్యలో వస్తువులను తయారు చేస్తారు. ఒక రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు (రూపాయిలలో) ఆ రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే -3 ఎక్కువ. ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల ఖరీదు ₹ 90 అయిన ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల సంఖ్య మరియు ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్య = x అనుకొందాం.
ఆ రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = 2x + 3
(∵ ఆ రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే 3 ఎక్కువ).
ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల ఖరీదు = ₹ 90
x(2x + 3) = 90
2x2 + 3x = 90

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 14

2x2 + 3x – 90 = 0.
2x2 – 12x + 15x – 90 = 0
2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
(x – 6) (2x + 15) = 0
2x + 15 = 0
2x = – 15
x = \(\frac{-15}{2}\)
x – 6 = 0
x = 6
వస్తువుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు.
కావున ఒక రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్య = 6
ఆ రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = 2 × (6) + 3 = 12 + 3 = ₹ 15

సరిచూచుకోవడం :
మొత్తం ఖరీదు 6 × 15 = 90

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘచతురస్రము యొక్క చుట్టుకొలత 28 మీ. మరియు దాని వైశాల్యం 40 చ.మీ. అయిన దీర్ఘచతురస్రము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = x మీ.
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు = y మీ. అనుకొనుము.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 15

లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత = 28 మీ.
2 (x + y) = 28
⇒ x + y = \(\frac{28}{2}\) = 14
⇒ y = 14 – x …………. (1)
మరియు దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 40 చ.మీ.
x . y = 40 ………… (2)
(1) & (2) ల నుండి
x (14 – x) = 40
14x – x2 = 40
– x2 + 14x – 40 = 0
x2 – 14x + 40 = 0
x2 – 10x – 4x + 40 = 0
x(x – 10) – 4(x – 10) = 0
(x – 10) (x – 4) = 0
x – 10 = 0
x = 10
x – 4 = 0
x = 4
పొడవు x = 10 మీ. అయితే ఈ వెడల్పు 14 – x = 14 -10 = 4 మీ.
పొడవు 4 మీ. అయితే వెడల్పు 14 – 4 = 10 మీ.
∴ దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు 10 మరియు 4.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 7.
ఒక త్రిభుజము యొక్క భూమి, దాని ఎత్తు కంటే 4 సెం.మీ. ఎక్కువ. ఈ త్రిభుజ వైశాల్యము 48 చ.సెం.మీ. అయిన దాని భూమిని, ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
త్రిభుజము యొక్క ఎత్తు = x సెం.మీ. అనుకొనిన
భూమి = (x + 4) సెం.మీ.
లెక్క ప్రకారం త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము = 48 చ.సెం.మీ.
\(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు = 48
\(\frac{1}{2}\) × (x + 4) x = 48
\(\frac{1}{2}\) × (x2 + 4x) = 48

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 16

x2 + 4x = 96
x2 + 4x-96 = 0
x2 – 8x + 12x – 96 = 0
x(x – 8) + 12(x – 8) = 0
(x – 8) (x + 12) = 0
x – 8 = 0
x = 8
x + 12 = 0
x= – 12
త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 8.
∴ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు x = 8 సెం.మీ.

సరిచూచుకోవడం :
భూమి x + 4 = 8 + 4 = 12 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 12 = 48 చ.సెం.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 8.
రెండు రైళ్లు ఒక స్టేషన్ నుంచి ఒకే సమయంలో ఒకటి పడమరకు, మరియొకటి ఉత్తరం వైపుకు బయలుదేరును. మొదటి రైలు, రెండవ రైలు కంటే 5 కి.మీ./గంట ఎక్కువ వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. అవి బయలుదేరిన రెండు గంటల తరువాత ఒకదానికొకటి 50 కి.మీ. దూరంలో వున్న ఒక్కొక్క రైలు సగటు వేగం ఎంత ?
సాధన.
రెండవ రైలు వేగం = x కి.మీ./గం. అనుకొనిన ,
మొదటి రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ/గం.
రెండు రైళ్ళు B వద్ద బయలుదేరాయి అనుకొంటే
దూరం = కాలం × వేగం
2 గంటలలో మొదటి రైలు ప్రయాణించిన దూరం BC = 2(x + 5) = 2x + 10
రెండవ రైలు ప్రయాణించిన దూరం BA = 2x

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 17

ABC లంబకోణ త్రిభుజము AB2 + BC2 = AC (∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం) ,
(2x)2 + (2x + 10)2 = 502
4x2 + (2x)2 + 2.2x. 10 + 102 = 2500
4x2 + 4x2 + 40x + 100 = 2500
8x2 + 40x + 100 – 2500 = 0
8x2 + 40x – 2400 = 0
8(x2 + 5x – 300) = 0
x2 + 5x – 300 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 18

x2 – 15x + 20x – 300 = 0
x(x – 15) + 20(x – 15) = 0
(x – 15) (x + 20) = 0
x – 15 = 0
x = 15
x + 20 = 0
x = – 20
వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 15.
∴ రెండవ రైలు వేగం x = 15 కి.మీ/గం.
మొదటి రైలు వేగం x + 5 = 15 + 5 = 20 కి.మీ/గం.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 9.
60 మంది విద్యార్థులు గల తరగతిలో ప్రతి అబ్బాయి, అమ్మాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును, ప్రతి అమ్మాయి అబ్బాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును చందాగా ఇచ్చారు. మొత్తం వసూలైన సొమ్ము ₹ 1600 అయిన తరగతిలో ఎంత మంది అబ్బాయిలు గలరు ?
సాధన.
తరగతిలోని అబ్బాయిల సంఖ్య = x
అనుకొనిన అమ్మాయిల సంఖ్య = 60 – x
(∵ తరగతిలో విద్యార్థులు 60 మంది)
తరగతిలోని ప్రతి అబ్బాయి చెల్లించే చందా = x (60 – x)
అబ్బాయిల చందా = x (60 – x) = 60x – x2
తరగతిలోని ప్రతి అమ్మాయి చెల్లించే చందా = x
అమ్మా యిల చందా = (60 – x)x = 60x – x2
మొత్తం వసూలైన సొమ్ము = ₹ 1600.
అబ్బాయిల చందా + అమ్మాయిల చందా= 1600.
60x – x2 + 60x – x2 = 1600
120x – 2x2 = 1600

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 19

– 2x2 + 120x – 1600 = 0
– 2(x2 – 60x + 800) = 0
∴ x2 – 60x + 800 = 0
x2 – 20x – 40x + 800 = 0
x(x – 20) – 40 (x – 20) = 0
(x – 20) (x – 40) = 0
x – 20 = 0
x = 20.
x – 40 = 0
x = 40
తరగతిలోని అబ్బాయిల సంఖ్య x = 20 లేదా 40.
తరగతిలోని అమ్మాయిల సంఖ్య x = 40 లేదా 20.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 10.
గంటకు 3 కి.మీ వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న ఒక నదిలో ఒక మోటారు బోటు 24 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించి తిరిగి బయలుదేరిన స్థానానికి రావడానికి పట్టిన కాలం 6 గంటలైన బోటు స్థిరవేగంతో ప్రయాణించినదని భావించి దాని వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
నది ప్రవాహ వేగం = 3 కి.మీ./గం.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ/గం. అనుకొనుము.
ప్రవాహ దిశలో పడవ వేగం = (x + 3) కి.మీ/గం||
24 కి.మీ ప్రయాణించుటకు పటుకాలం = దూరం/వేగం = 24/x + 3 గం.
ప్రవాహ దిశకు ఎదురుగా పడవ వేగం = (x – 3) కి.మీ/గం.
24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలం = \(\frac{24}{x-3}\) కి.మీ/గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలము = 6గం.
∴ \(\frac{24}{x+3}+\frac{24}{x-3}\) = 6

\(\frac{24(x-3)+24(x+3)}{(x+3)(x-3)}\) = 6

\(\frac{24 x-72+24 x+72}{x^{2}-9}\) = 6

\(\frac{48 x}{x^{2}-9}\) = 48x

6(x2 – 9) = 48x
6x2 – 54 = 48x
6x2 – 48x – 54 = 0

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 20

6x2 – 54x + 6x – 54 = 0
6x (x – 9) + 6(x – 9) = 0
(x – 9) (6x + 6) = 0
x – 9 = 0
6x + 6 = 0
6x = – 6
x = \(\frac{-6}{6}\)
x = – 1
పడవ వేగం రుణాత్మకం కాదు, కావున x = 9.
∴ నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం x = 9 కి.మీ./గం.

సరిచూసుకోవడం :
ప్రవాహ దిశలో ప్రయాణ కాలం = \(\frac{24}{9+3}=\frac{24}{12}\) = 2 గం.
= \(\frac{24}{9-3}=\frac{24}{6}\) = 4 గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలం = 2 + 4 = 6 గం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలు అవునో, కాదో నిర్ణయించండి.

(i) (x + 1)2 = 2(x – 3)
సాధన.
(x + 1)2 = 2(x – 3),
[: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⇒ x2 + 7 = 0
⇒ x2 + 0. x + 7 = 0
ఇది ax2 + bx + c = 0, b= 0, రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

(ii) x2 – 2x = – 2(3 – x)
సాధన.
x2 – 2x = (- 2) (3 – x)
⇒ x2 – 2x = – 6 + 2x
⇒ x2 – 2x + 6 – 2x = 0.
⇒ x2 – 4x + 6 = 0
ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
సాధన.
(x – 2) (x + 1) = (x – 1)(x + 3)
⇒ x2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x – x – 3
⇒ x2 – x – 2 = x2 + 2x – 3
⇒ x2 – x – 2 – x2 – 2x + 3
⇒ – 3x + 1 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
సాధన.
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
⇒ 2x2 – 5x – 3 – x2 – 5x = 0
⇒ x2 – 10x – 3 = 0
ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
సాధన.
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x2 – 6x – x + 3 = x2 – x + 5x – 5
⇒ 2x2 – 7x + 3 = x2 + 4x – 5
⇒ 2x2 – 7x + 3 – x2 – 4x + 5 = 0
⇒ x2 – 11x + 8 = 0
ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
సాధన.
x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
[:: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4
⇒ x2 + 3x + 1 – x2 + 4x – 4 = 0
⇒ 7x – 3 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
సాధన.
(x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
[∵ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)]
⇒ x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 – 2x
⇒ x3 + 6x2 + 12x + 8 – 2x3 + 2x = 0
⇒ – x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0
దీని పరిమాణం 3. ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
సాధన.
x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
[∵ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 6×2 + 12x – 8
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 – x3 + 6x2 – 12x + 8
⇒ 2x2 – 13x + 9 = 0
ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు వర్గ సమీకరణాలను కనుగొనుము.
i) ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము యొక్క వైశాల్యము 528 చ.మీ. దీని పొడవు, వెడల్పు యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒక మీటరు ఎక్కువ. అయిన దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుటకు అవసరమైన వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన
‘పొడవు = 2x + 1.
లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 528 చ.మీ.
పొడవు × వెడల్పు = 528.
(2x + 1) (x) = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x – 528 = 0
∴ పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో సాధ్యమైన విలువ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వెడల్పు అవుతుంది. వెడల్పు సహాయంతో పొడవును కనుగొనవచ్చును.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

(ii) రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల లబ్దము 306. అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము/రాయుము.
సాధన.
రెండు వరుస ధన పూర్ణసంఖ్యలు x, x + 1 అనుకొందాం.
లెక్క ప్రకారం రెండు వరుస ధనసంఖ్యల లబ్దం = 306
x(x + 1) = 306
x2 + x = 306
∴ x2 + x – 306 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ చిన్న సంఖ్య అవుతుంది. దాని నుండి రెండవ సంఖ్యను కనుగొనవచ్చును..

(iii) రోహన్ తల్లి, రోహన్ కంటే 26 సం||లు పెద్దది. 3సం||లు తరువాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం 360. అయిన రోహన్ యొక్క ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గసమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
రోహన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొంటే

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1 1

లెక్క ప్రకారం 3 సం||ల తర్వాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం = 360
(x + 3) (x + 29) = 360
= x 2+ 29x + 3x + 87 = 360
= x2 + 32x + 87-360 = 0
= x2 + 32x – 273 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ రోహన్ యొక్క వయస్సు అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

(iv) 480 కి.మీ. దూరమును ఒక రైలు ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణిస్తుంది. ఒకవేళ ఇదే రైలు ఇప్పటి వేగం కంటే 8కి.మీ తక్కువ వేగముతో ప్రయాణిస్తే గమ్యం చేరుటకు పట్టే కాలం 3 గం||లు పెరుగుతుంది. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుటకు కావలసిన వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగం = x కి.మీ. | గం|| అనుకొంటే
480 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{480}{x}\) గం||.
రైలు వేగం 8 కి.మీ. | గం|| తగ్గిన తర్వాత రైలు వేగం = (x – 8) కి.మీ. గం||.
రైలు 480 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{480}{x-8}\) గం॥..
లెక్క ప్రకారం \(\frac{480}{x-8}=\frac{480}{x}+3\)
∴ \(\frac{480}{x-8}=\frac{480}{x}\) = 3
\(\left[\frac{x(480)-(x-8)(480)}{x(x-8)}\right]\)
⇒ 3840 = 3(x2 – 8x)
⇒ 3x2 – 24x = 3840
⇒ 3x2 – 24x – 3840 = 0
⇒ 3(x2 – 8x – 1280) = 0
⇒ x2 – 8x – 1280 = 0.
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకటి రైలు యొక్క వేగము అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాల వ్యవస్థను సాధించండి. (పేజీ నెం. 79)
(i) x – 2y = 0; 3x + 4y = 20
(ii) x + y = 2; 2x + 2y = 4
(iii) 2x – y = 4; 4x – 2y = 6
సాధన.
(i) x – 2y = 0; 3x + 4y = 20
x – 2y = 0
– 2y = – x
2y = x
y = \(\frac{x}{2}\)

3x + 4y = 20
4y = 20 – 3x
y = \(\frac{20-3 x}{4}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 11

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 12

∴ సాధన ఇచ్చిన సమీకరణాల సాధన జత ఖండనరేఖలు.
(x, y) = (4, 2)
x = 4, y = 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

(ii) x + y = 2;
2x + 2y = 4
సాధన.
x + y = 2
y = 2 – x

2x + 2y = 4
2y = 4 – 2x
⇒ y = \(\frac{4-2 x}{2}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 13

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 14

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

(iii) 2x – y = 4
4x – 2y = 6
సాధన.
2x – y = 4
– y = 4 – 2x
y = 2x – 4

4x – 2y = 6
– 2y = 6 – 4x
⇒ 2y = 4x – 6
⇒ y = \(\frac{4 x-6}{2}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 15

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 16

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు. కావున సాధన ఉండదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 2.
x + 2y – 4 = 0 మరియు 2x + 4y – 12 = 0 సమీకరణాలను గ్రాఫ్ ద్వారా సూచించండి. వ్యాఖ్యానించండి. (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
x + 2y – 4 = 0 ……………….(1)
2x + 4y – 12 = 0 …………….. (2)
x + 2y – 4 = 0
2x + 4y – 12 = 0
2y = 4 – x
y = \(\frac{4-x}{2}\)

2x + 4y – 12 = 0
4y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{4}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 17

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 18

పై గ్రాఫ్ నుండి, ఈ రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలని తెలుస్తుంది. అనగా సమాంతరాలు, ఖండన బిందువులు లేవు, ఉమ్మడి సాధన లేదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 3.
కింది సమీకరణాల జతలకు ఏకైక సాధన, అనంత సాధనలా లేక సాధనలు లేవో సరిచూడండి. వాటిని గ్రాఫ్ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
(i) 2x + 3y = 1
3x – y = 7

(ii) x + 2y = 6
2x + 4y = 12

(iii) 3x + 2y = 6
6x + 4y = 18 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
(i) 2x + 3y = 1, 3x – y = 7
2x + 3y = 1 ⇒ 2x + 3y – 1 = 0 ………. (1)
3x – y = 7 ⇒ 3x – y – 7 = 0 ………. (2)
a1 = 2, b1 = 3, c1 = – 1
a2 = 3, b2 = – 1, c2 = – 7
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\),

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{-1}\) = – 3

\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\) కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకైక సాధనను కలిగి ఉంటుంది. వీటి రేఖాచిత్రము ఖండన రేఖలు అవుతాయి. 2x + 3y = 1

2x + 3y = 1
3y = 1 – 2x
y = \(\frac{1-2 x}{3}\)

3x – y = 7
– y = 7 – 3x
y = 3x – 7

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 19

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 20

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

(ii) x + 2y = 6
* 2x + 4y = 12
సాధన.
x + 2y – 6 = 0 … ……. (1)
a1 = 1, b1 = 2, c1 = – 6
2x + 4y – 12 = 0 ………. (2)
a2 = 2, b2 = 4, c2 = – 12

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత పరస్పరాధారిత రేఖల జత అవుతుంది. వీటికి అనంత సాధనలు సమకరణాల జత పర సాధనలు ఉంటాయి, మరియు వీటి గ్రాఫ్ ఏకీభవించే రేఖలు.
x + 2y = 6
2y = 6 – x
y = \(\frac{6-x}{2}\)

2x + 4y = 12
4y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{4}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 21

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 22

సాధన రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

(iii) 3x + 2y = 6
6x + 4y = 18
సాధన.
3x+2y – 6 = 0
⇒ a1 = 3, b1 = 2, c1 = 6

6x+4y – 18 = 0
⇒ a2 = 6, b2 = 4, c2 = 18

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\).
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు అవుతాయి. కావున వీటికి a b2 C2 సాధన ఉండదు. వీటి రేఖాచిత్రం సమాంతర రేఖలు
3x + 2y = 6
2y = 6 – 3x
y = \(\frac{6-3 x}{2}\)

6x + 4y = 18
4y = 18 – 6x
y = \(\frac{18-6 x}{4}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 23

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 24

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రయత్నించండి:
ఈ కింది ప్రశ్నలకు సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 75, 76)

ప్రశ్న 1.
ఈ కింది సమీకరణాలలో ఏది రేఖీయ సమీకరణం కాదు ?
a) 5 + 4x = y + 3
b) x + 2y = y – x
c) 3 – x = y2 + 4
d) x + y = 0
సాధన.
c) 3 – x = y2 + 4

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిలో ఏది ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణము ?
a) 2x + 1 = y – 3
b) 2t – 1 = 2t + 5
c) 2x – 1 = x2
d) x2 – x + 1 = 0
సాధన.
b) 2t – 1 = 2t + 5

ప్రశ్న 3.
క్రింది సంఖ్యలలో ఏది 2(x + 3) = 18 అనే సమీకరణానికి సాధన ?
a) 5
b) 6
c) 13
d) 21
సాధన.
b) 6

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 4.
2x – (4 – x) = 5 – x అనే సమీకరణాన్ని తృప్తిపరచే x విలువ
a) 4.5
b) 3
c) 2.25
d) 0.5
సాధన.
c) 2.25

ప్రశ్న 5.
x – 4y = 5 అనే సమీకరణానికి
a) సాధనలేదు
b) ఒకే ఒక సాధన
c) రెండు సాధనలు
d) అనంతమైన సాధనలు
సాధన.
d) అనంతమైన సాధనలు

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 6.
ఎమ్.కె. నగర్ ఉన్నత పాఠశాల క్రికెట్ జట్టు శిక్షకుడు 3 బ్యా ట్లు మరియు 6 బంతులను ₹ 3900 లకు కొనెను. తరువాత అతడు మరియొక బ్యాట్ మరియు 2 బంతులను ₹ 1300 లకు కొనెను. ప్రతీ బ్యాటు మరియు ప్రతీ బంతి వెలను మీరు కనుగొనగలరా ? (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
బ్యాటు మరియు బంతి యొక్క కచ్చితమైన వెలను కనుగొనలేము.

ప్రశ్న 7.
కింది సమీకరణాల జతకు ‘p’ యొక్క ఏ విలువకు ఏకైక సాధన ఉంటుందో కనుగొనండి. 2x + py = – 5 మరియు 3x + 3y = – 6 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
2x + py = – 5
⇒ 2x + py + 5 = 0

3x + 3y = – 6
⇒ 3x + 3y + 6 = 0

రేఖీయ సమీకరణాలకు ఏకైక సాధన ఉంటే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\) కావాలి.
∴ p యొక్క విలువ 2 తప్ప మిగిలిన అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలకు ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకైక సాధనను కలిగి ఉంటుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 8.
2x – ky + 3 = 0, 4x + 6y – 5 = 0 సమీకరణాల జతకు, ఓ యొక్క ఏ విలువకు అవి సమాంతర రేఖలవుతాయో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
2x – ky + 3 = 0
4x + 6y – 5 = 0 లు సమాంతర రేఖలు అయితే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
∴ \(\frac{2}{4}=\frac{-k}{6}\)

⇒ – 4k = 12

∴ k = \(\frac{12}{-4}\) = – 3
k = – 3 కి ఇచ్చిన రేఖలు సమాంతరాలు అవుతాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 9.
‘k’ యొక్క ఏ విలువకు, 3x + 4y + 2 = 0 మరియు 9x + 12y + k= 0 రేఖా సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలవుతాయో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
3x + 4y + 2 = 0
9x + 12y + k = 0
రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు అయితే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

\(\frac{3}{9}=\frac{4}{12}=\frac{2}{k}\) \(\frac{4}{12}=\frac{2}{k}\)

⇒ \(\frac{1}{3}=\frac{2}{k}\)

k = 6.

k = 6 కి ఇచ్చిన రేఖలు ఏకీభవించే రేఖలు అవుతాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 10.
‘p’ యొక్క ఏ ధనవిలువలకు కింది సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలుంటాయో కనుగొనండి. px + 3y – (p- 3) = 0 12x + py – p = 0 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
px + 3y – (p – 3) = 0
12x + py – p = 0
సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలుంటే ఇవి పరస్పరాధారిత రేఖల జత అవుతుంది. కావున \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

∴ \(\frac{p}{12}=\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)

∴ \(\frac{\mathrm{p}}{12}=\frac{3}{\mathrm{p}}\)

⇒ p2 = 36
⇒ p = √36 = 6
∴ p = 6

(లేదా)

\(\frac{p}{12}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
p2 = 12(p – 3)
p2 – 12p + 36 = 0
p2 = 12p – 36
(p – 6)2 = 0
p – 6 = 0
∴ p = 6.

(లేదా)

\(\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
(p – 3) = 3p
p2 – 3p = 3p
p2 – 6p = 0
p (p – 6) = 0
p = 0 లేదా p = 6
p ధనవిలువ కావాలి.
∴ p = 6.
p = 6 అయినప్పుడు ఇచ్చిన రేఖలకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ కింద రెండు సందర్భాలు ఇవ్వబడ్డాయి.
(i) 1 కిలో బంగాళదుంపలు మరియు 2 కిలోల టమాటాల. మొత్తము వెల ₹ 30. రెండు రోజుల తరువాత, 2 కిలోల బంగాళదుంపలు మరియు 4 కిలోల టమాటాల మొత్తము వెల ₹ 66.
(ii) ఎమ్.కె.నగర్ ఉన్నత పాఠశాల క్రికెట్ జట్టు శిక్షకుడు 3 బ్యాట్లు మరియు 6 బంతులను ₹ 3,900 లకు కొనెను. తరువాత అతడు మరియొక బ్యాట్ మరియు 2 బంతులను ₹ 1,300 లకు కొనెను.
పై ప్రతీ సందర్భంలో అవ్యక్తరాశులను గుర్తించండి. ప్రతీ సందర్భంలో రెండు చరరాశులు ఉండటాన్ని మనం గమనించవచ్చును. (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవ్యక్త రాశులు
(i) కిలో బంగాళదుంపల వెల మరియు కిలో టమాటాల వెల. .
(ii) ఒక బ్యాట్ వెల మరియు ఒక బంతి వెల.

ప్రశ్న 2.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగత జత అవుతుందా ? ఎందుకు అవుతుంది (లేదా) ఎందుకు కాదు ? కారణాన్ని వివరించండి. (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడు సంగత జత అవుతుంది.
పరస్పరాధారిత జత సాధనలను కలిగి ఉంటుంది. కావున సంగత జత అవుతుంది.
ఎందుకనగా \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద యిచ్చిన ప్రతీ జత సమీకరణాలను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వా రా సాధించండి. (పేజీ నెం. 88)

1) 3x – 5y = – 1
x – y = – 1
సాధన.
3x – 5y = – 1 ………… (1)
x-y=-1 ……….. (2)
(2) ⇒ – y = – x – 1
⇒ y = x + 1
y = x + 1 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా.
3x – 5(x + 1) = – 1
3x – 5x – 5 = – 1
– 2x = – 1 + 5
– 2x = 4
⇒ 2x = – 4
⇒ x = \(\frac{-4}{2}\) = – 2
x = – 2 ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
– 2 – y = – 1.
– y = – 1 + 2
⇒ – y = 1
⇒ y = – 1
∴ సాధన x = – 2, y = – 12

సరిచూడటం :
x = – 2, y = – 1 లను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(- 2) – 5 (- 1) = – 1
– 6 + 5 = – 1
-1 = – 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 2.
x + 2y = – 1
2x – 3y = 12
సాధన.
x + 2y = – 1 ………….(1)
2x – 3y = 12 …………….(2)
(1) ⇒ x = – 1 – 2y ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2 (- 1 – 2y) – 3y = 12
– 2 – 4y – 3y = 12
– 7y = 12 + 2
⇒ – 7y = 14
⇒ 7y = – 14
∴ y = \(\frac{-14}{7}\) = – 2
y = – 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
x + 2 (- 2) = – 1
x – 4 = – 1
⇒ x = – 1 + 4 = 1
∴ సాధన x = 3, y = – 2.

సరిచూడటం :
x = 3, y = – 2ను (2)లో రాయగా.
2(3) – 3(- 2) = 12
6 + 6 = 12
⇒ 12 = 12 .

ప్రశ్న 3.
2x + 3y = 9; 3x + 4y = 5
సాధన.
2x + 3y = 9 …………….(1)
3x + 4y = 5 …………… (2)
(1) ⇒ 3y = 9 – 2x
y = \(\frac{9-2 x}{3}\) ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా.
3x + 4(\(\frac{9-2 x}{3}\)) = 5

3x + \(\frac{36-8 x}{3}\) = 5

\(\frac{9 x+36-8 x}{3}\) = 5

x + 36 = 15 ⇒ x = 15
x = – 21
x = – 21 ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2(- 21) + 3y = 9
42 + 3y = 9
⇒ 3y = 9 + 42
⇒ 3y = 51
⇒ y = \(\frac{51}{3}\) = 17
సాధన x = – 21, y = 17

సరిచూడటం :
x = – 21, y = 17 లను (2) లో రాయగా
3(- 21) + 4(17) = 5
– 63 + 68 = 5.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 4.
x + \(\frac{6}{y}\) = 6;
3x – \(\frac{8}{y}\) = 5
సాధన.
x + \(\frac{6}{y}\) = 6 ………..(1)
3x – \(\frac{8}{y}\) = 1 ………….(2)
(1) ⇒ x = 6 2 ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(6 – \(\frac{6}{y}\)) – \(\frac{8}{y}\) = 5
18 – \(\frac{18}{y}\) – \(\frac{8}{y}\) = 5
\(\frac{-26}{y}\) = 5 – 18
⇒ \(\frac{-26}{y}\) = – 13
⇒ \(\frac{26}{y}\) = 13
⇒ 13 y = 26
⇒ y = \(\frac{26}{13}\) = 2
y = 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
3x – \(\frac{8}{2}\) = 5
⇒ 3x – 4 = 5
⇒ 3x = 5 + 4 = 9
⇒ x = 3, y = 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

(లేదా)

x + \(\frac{6}{y}\) = 6 ………….(1)
3x – \(\frac{8}{y}\) = 5 ………..(2)
(1) ⇒ \(\frac{6}{y}\) = 6 – x
\(\frac{1}{y}=\frac{6-x}{6}\)ని (2) లో రాయగా,
3x – 8(\(\frac{6-x}{6}\)) = 5
3x – (\(\frac{48-8 x}{6}\)) = 5
\(\frac{18 x-48+8 x}{6}\) = 5
26x – 48 = 30
26x = 30 + 48 = 78
x = \(\frac{78}{26}\) = 3
x = 3ను (1) లో రాయగా,
3 + \(\frac{6}{y}\) = 6
⇒ \(\frac{6}{y}\) = 6 – 3 = 3
3y = 6
⇒ y = \(\frac{6}{3}\) = 2
∴ సాధన. x = 3, y = 2

సరిచూడటం :
x = 3, y = 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) – \(\frac{8}{2}\) = 5
⇒ 9 – 4 = 5
5 = 5.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 5.
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
సాధన.
0.2x + 0.3y = 1.3 ……………..(1)
0.4x + 0.5 y = 2.3 …………….(2)
(1) × 10 = 2x + 3y = 13
(2) × 10 = 4x + 5y = 23
(3) ⇒ 3y = 13 – 2x
y = \(\frac{13-2 x}{3}\) ని (4) లో ప్రతిక్షేపించగా,
4x + 5 (\(\frac{13-2 x}{3}\)) = 23
4x + \(\frac{65-10 x}{3}\) = 23
\(\frac{12 x+65-10 x}{3}\) = 23
2x + 65 = 69
⇒ 2x = 69 – 65 = 4
⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
x = 2 ను (4) లో ప్రతిక్షేపించగా.
4(2) + 5y = 23
⇒ 8 + 5y = 23
⇒ 5y = 15
⇒ y = \(\frac{15}{5}\) = 3
∴ సాధన. x = 2, y = 3.

సరిచూడటం : x = 2, y = 3ను (1) లో రాయం
0.2 (2) + 0.3 (3) = 1.3
0.4 + 0.9 = 1.3
1.3 = 1.3

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 6.
√2x + √3y = 0;
√3x – √8y = 0
సాధన.
√2x + √3y = 0 ………… (1)
√3x – √8y = 0 ………… (2)
(1) ⇒ √3y = – √2x
y = \(\frac{-\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}\) (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
√3x – √8(\(\frac{-\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}\)) = 0
√3x – \(\frac{\sqrt{16} x}{\sqrt{3}}\) = 0
√3x – \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) = 0 కావున
x = 0 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, √2(0) + √3y = 0
√3y = 0 ⇒ y = 0
సాధన. x = 0, y = 0

సూచన :
ax + by + c1 = 0
ax + by + c2 = 0,
c1 = c2 = 0 అయితే
x = 0, y = 0 సాధన అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 7.
క్రింది ప్రతీజత రేఖీయ సమీకరణాలను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి. (పేజీ నెం. 89)

1. 8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4 .
సాధన.
8x + 5y = 9 ……….. (1)
3x + 2y = 4 ……….. (2)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 28

x = – 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
8(- 2) + 5y = 9
– 16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ y = \(\frac{25}{5}\) = 5
సాధన x = – 2, y = 5.

సరిచూడటం :
x = – 2, y = 5ను (2)లో ప్రతిక్షేపించగా.
3(- 2) + 2(5) = 4
– 6 + 10 = 4
4 = 4

2. 2x + 3y = 8; 4x + 6y =7
సాధన.
2x + 3y = 8 ⇒ 2x + 3y – 8 = 0
4x + 6y – 7 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-7}=\frac{8}{7}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
3x + 4y = 25; 5x – 6y = – 9
సాధన.
3x + 4y = 25 ………… (1)
5x – 6y = – 9 ………… (2)

AP State Syllabus 10th Class Maths So

x = 3ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) + 4y = 25
9 + 4y = 25
4y = 25 – 9 = 16
y = \(\frac{16}{4}\) = 4
∴ సాధన. x = 3, y = 4.
సరిచూడటం :
x = 3, y = 4ను (2)లో ప్రతిక్షేపించగా,
5(3) – 6(4) = – 9
15 – 24 = – 9
– 9 = – 9

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 8.
ఒక పోటీ పరీక్షలో, ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు. ఈ పరీక్షలో మధు 40 మార్కులు సంపాదించెను. ప్రతి సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేసి, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి అయిన ఆ పరీక్షలో ఉన్న మొత్తము ప్రశ్నలు ఎన్ని ? (మధు పరీక్ష పత్రములోని అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాసెను) ఈ సమస్యను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతిలో సాధించండి. (పేజీ నెం. 91)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణములు 3x – y = 40 …………… (1)
4x – 2y = 50 …………….. (2)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 30

∴ x = \(\frac{30}{2}\) = 15
x = 15 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(15) – y = 40
45 – y = 40
⇒ – y = 40 – 45 = – 5
⇒ y = 5
∴ సాధన x = 15, y = 5.
పరీక్షలోని మొత్తం ప్రశ్నల సంఖ్య = 15 + 5 = 20

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 9.
మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరముల . క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రెట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 92) ఈ సమస్యను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణములు
x – 7y + 42 = 0 ………….(1)
x – 3y – 6 = 0 …………(2)
(1) ⇒ x = 7y – 42
⇒ x = 7y – 42 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
7y – 42 – 3y = 6
4y = 6 + 42
⇒ 4y = 48
⇒ y = \(\frac{48}{4}\) = 12
y = 12 ను (1) లో రా యగా,
x – 7 (12) = – 42,
x – 84 = – 42
x = – 42 + 84
⇒ x = 42
సాధన x = 42, y = 12.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు = 42 సంవత్సరాలు
ఆమె కూతురి వయస్సు = 12 సంవత్సరాలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు జతను సాధించండి.
(a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b
(a + b) (x + y) = a2 + b2
సాధన.
(a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b2 …………..(1)
(a + b) (x + y) = a2 + b2 ………………(2)
⇒ (a + b)x + (a + b)y = a2 + b2
(1) – (2);

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 31

[(a – b) – (a + b)] x = – 2b (a + b).
(a – b – a – b) x = – 2b (a + b)
– 2b x = – 2b (a + b)
x = \(\frac{-2 b}{-2 b}\) (a + b)
x = a + b
x = a + bని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
(a + b)(a + b) + (a + b) y = a2 + b2
a2 + 2ab + b2 + (a + b) y = a2 + b2
(a + b) y = a2 + b2 – a2 – 2ab – b2
(a + b) y = – 2ab
y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)
సాధన.
x = a + b, y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)

సరిచూడటం:
x = a + b, y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)ని (1)లో ప్రతిక్షేపించగా.
(a – b)(a + b) + (a + b)\(\frac{-2 a b}{a+b}\) = a2 – 2ab – b2
a2 – b2 – 2ab = a2 – 2ab – b2
a2 – 2ab – b2 = a2 – 2ab – b2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ఉదాహరణలు.

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలా, సమాంతర రేఖలా లేదా ఏకీభవించే రేఖలా సరిచూడండి. ఆ సమీకరణాలు సంగతము అయిన వాటి సాధనను కనుగొనుము.
2x + y -5 = 0, 3x – 2y – 4 = 0 (పేజీ నెం. 80)
సాధన.
2x + y -5 = 0 ……….. (1)
3x – 2y – 4 = 0 ………..(2),
a1 = 2, b1 = 1, c1 = – 5
a2 = 3, b2 = – 2, c2 = – 4
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-4}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున అవి ఖండన రేఖలు. అనగా సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత.

2x + y – 5 = 0
y = 5 – 2x

3x – 2y -4 = 0
– 2y = 4 – 3x
⇒ 2y = 3x – 4
y = \(\frac{3 x-4}{2}\)

ఇచ్చిన రేఖలు ఖండన రేఖలు సాధన (x, y) = (2, 1)
x = 2, y = 1

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 1

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 2

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 2.
కింది సమీకరణాల జత సంగత జత అవునో, కాదో సరిచూడండి.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 3y = 4 గ్రాఫ్ గీయడం ద్వారా మీ జవాబును సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 81)
సాధన.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 8y = 4
3x + 4y = 2 ⇒ 3x + 4y – 2 = 0 …………… (1)
6x + 8y = 4 ⇒ 6x + 8y – 4 = 0 ……………(2)
⇒ a1 = 3, b1 = 4, c1 = – 2;
a2 = 6, b2 = 8, c2 = – 4

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున అవి ఏకీభవించే రేఖలు. కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత సంగతం అవుతూ పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత అవుతుంది.

3x + 4y = 2
⇒ 4y = 2 – 3x
⇒ y = \(\frac{2-3 x}{4}\)

6x + 8y – 4
⇒ 8y = 4 – 6x
⇒ y = \(\frac{4-6 x}{8}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 3

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 4

∴ ఇచ్చిన రేఖలు ఏకీభవిస్తున్నాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 3.
4x – 6y = 15 మరియు 2x – 3y = 5 సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలేమో సరిచూడండి. ఇంకా వాటికి గ్రాఫ్ గీయండి. (పేజీ నెం. 82)
సాధన.
4x – 6y = 15
⇒ 4x – 6y – 15 = 0 …………….(1)
2x – 3y = 5
⇒ 2x – 3y – 5 = 0 …………… (2)
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{4}{2}\) = 2;

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-6}{-3}\) = 2;

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-15}{-5}\) = 3

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇది అసంగత సమీకరణాలు. వీటికి సాధన లేదు మరియు వీటి రేఖాచిత్రము (గ్రాఫ్) సమాంతర రేఖలు.
4x – 6y = 15
6y = 15 – 4x
6y = 4x – 15
y = \(\frac{4 x-15}{6}\)

2x – 3y = 5
-3y = 5 – 2x
3y = 2x – 5
y = \(\frac{2 x-5}{3}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 5

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 6

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 4.
ఒక తోటలో కొన్ని తుమ్మెదలు మరియు పువ్వులు కలవు. ప్రతీ పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలినపుడు ఒక తుమ్మెద ,  మిగిలిపోతుంది. ప్రతీ పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే ఒక పువ్వు మిగిలిపోతుంది. అయిన పువ్వులెన్ని ? తుమ్మెదలెన్ని? (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
తుమ్మెదల సంఖ్య = x,
పువ్వుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
ప్రతీ పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలిన, ఒక తుమ్మెద మిగిలిపోతుంది
∴ x = y + 1
⇒ x – y – 1 = 0 …………….(1)
ప్రతీ పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే, ఒక పువ్వు మిగిలిపోతుంది,
కావున x = 2(y – 1)
⇒ x = 2y – 2
⇒ x – 2y + 2 = 0 …………..(2)
x – y – 1 = 0
– y = 1 – x
y = x – 1

x – 2y + 2 = 0
– 2y = – x – 2
2y = x + 2
y = \(\frac{x+2}{2}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 7

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 8

సాధన (x, y) = (4, 3)
x = 4, y = 3
తుమ్మెదల సంఖ్య – 4
పువ్వుల సంఖ్య – 3

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 5.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము చుట్టుకొలత 32 మీ. దాని పొడవును 2 మీ పెంచి, వెడల్పును 1 మీ తగ్గించగా దాని వైశాల్యములో ఏ మార్పూ లేక యథాతథంగా ఉండును. అయిన ఆ స్థలము పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 84)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము పొడవు = 1 మీ.
వెడల్పు = b మీ. అనుకొందాం.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = l × b = lb చ||మీ.
చుట్టుకొలత = 2 (l + b) = 32
⇒ l + b = 16
∴ l + b – 16 = 0 …………… (1)
పొడవును 2 మీ. పెంచి, వెడల్పును 1 మీ తగ్గించినపుడు , కొత్త పొడవు = 1 + 2 మీ., కొత్త వెడల్పు = b – 1 మీ
కొత్త వైశాల్యం = (l + 2) (b – 1) చ||మీ.
= lb – 1 + 2b – 2
వైశాల్యములో మార్పులేదు కాబట్టి,
lb – 1 + 2b – 2 = lb
⇒ lb – 1 + 2b – 2 – lb = 0
⇒ – l + 2b – 2 = 0
∴ l – 2b + 2 = 0 ………… (2)

l + b – 16 = 0
b = 16 – l

l – 2b + 2 = 0
– 2b = – l – 2
2b = l + 2
b = \(\frac{l+2}{2}\)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 9

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 10

సాధన (l, b) = (10, 6)
l = 10, b = 6
పొడవు = 10 మీ
వెడల్పు = 6 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించుము. (పేజీ నెం. 87)
2x – y = 5
3x + 2y = 11
సాధన.
2x – y = 5 ……………..(1)
3x + 2y = 11 ……………. (2)
(1)వ సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాయవచ్చును
y = 2x – 5 (సోపానము 1)
దీనిని (2)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
3x + 2(2x – 5) = 11 (సోపానము 2)
3x + 4x – 10 = 11
7x = 11 + 10 = 21
x = 21/7 = 3. (సోపానము 3)
x = 3ని సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(3) – y = 5 (సోపానము 4)
y = 6 – 5 = 1
x, y ల విలువలు (2)లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) + 2(1) = 9 + 2 = 11
కాబట్టి, కావలసిన సాధన x = 3 మరియు y = 1.
ఇచ్చిన, రెండు సమీకరణాలను x = 3 మరియు y = 1 సంతృప్తి పరుస్తాయి (సోపానము 5)

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి. 3x + 2y = 11 . 2x + 3y = 4 (పేజీ నెం. 88)
సాధన.
3x + 2y = 11 ……… (1)
2x + 3y = 4 ……… (2) (సోపానము 1)
ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి చరరాశి ‘y’ని తొలగించాలనుకొనుము. రెండు సమీకరణాలలో ‘y’ గుణకాలు వరుసగా 2 మరియు 3. వాటి క.సా.గు. 6. కావున సమీకరణము (1) ని 3 చే, సమీకరణము (2) ని 2 చే గుణించాలి.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 25

x = 5 విలువను సమీకరణం (1) లో వ్రాయగా,
3(5) + 2y = 11
2y = 11 – 15 = – 4 (సోపానము. 5)
కావున కావలసిన సాధన x = 5, y = – 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 8.
రుబీనా బ్యాంకు నుండి ₹ 2000 తీసుకొనదలచినది. ఆమె క్యాషియర్‌ను ఆ మొత్తానికి ₹ 50 మరియు ₹ 100 నోట్లు మాత్రమే ఇవ్వమని కోరినది. మొత్తము ఆమెకు 25 నోట్లు వచ్చిన, ఆమెకు ఎన్ని ₹ 50 నోట్లు, ఎన్ని ₹ 100 నోట్లు వచ్చినవో చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం. 89)
సాధన.
ఆమెకు వచ్చిన ₹ 50 నోట్ల సంఖ్యను x అని, ₹ 100
నోట్ల సంఖ్యను y అని అనుకొనుము.
అపుడు, x + y = 25 ………. (1) మరియు
50x + 100y = 2000 …….. (2)
వీనిని ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిలో సాధించిన;
(1) వ సమీకరణము నుండి x = 25 – y
(2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా,
50 (25 – y) + 100y = 2000
1250 – 50y + 100y = 2000
50y = 2000 – 1250 = 750
y = \(\frac{750}{50}\) = 15
x = 25 – 15 = 10
కావున, రుబీనా పది ₹ 50 నోట్లను, పదిహేను ₹ 100 నోట్లను తీసుకొన్నది.
శ్వేత చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి ద్వారా దీనిని సాధించినది.
సమీకరణాలలో, గుణకాలు వరుసగా 1 మరియు 50 కావున,

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 26

ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణాన్ని తీసివేయగా,

y = \(\frac{-750}{-50}\) = 15

(1)వ సమీకరణంలో y విలువను ప్రతిక్షేపించగా
x + 15 = 25
⇒ x = 25 – 15 = 10
కావున ఆమె పది ₹ 50 నోట్లను, పదిహేను ₹ 100. నోట్లను తీసుకొన్నది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 9.
ఒక పోటీ, పరీక్షలో, ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు. ఈ పరీక్షలో మధు 40 మార్కులు సంపాదించెను. కాని ప్రతి సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేసి, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి అయిన ఆ పరీక్షలో ఉన్న మొత్తము ప్రశ్నలు ఎన్ని ? (మధు పరీక్ష పత్రములోని అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాసెను) (పేజీ నెం. 90)
సాధన.
సరియైన సమాధానముల సంఖ్య x;
తప్పు సమాధానముల సంఖ్య y అనుకొనుము.
ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు.
అపుడు అతనికి వచ్చిన మార్కులు 40.
3x – y = 40 …………. (1)
ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి.
4x – 2y = 50………… (2)
ప్రతిక్షేపణ పద్దతి :
(1)వ సమీకరణము నుండి, y = 3x – 40
(2)వ సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
4x – 2 (3x – 40) = 50
4x – 6x + 80 = 50
– 2x = 50 – 80 = – 30
⇒ x = \(\frac{-30}{-2}\) = 15
x విలువను (1)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
3(15) – y = 40
45 -y = 40
⇒ y = 45 – 40 = 5
కావున పరీక్ష పత్రములోని మొత్తము ప్రశ్నల సంఖ్య = 15 + 5 = 20.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 10.
మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరముల క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రెట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 91)
సాధన.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు x సంవత్సరములు;
ఆమె కూతురి వయస్సు y సంవత్సరములు అనుకొనుము.
7 సంవత్సరముల క్రితం, మేరి వయస్సు (x – 7) సం||. ఆమె కూతురి వయస్సు (y – 7) సం||
x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y + 42 = 0 ……………. (1)
3 సంవత్సరముల తరువాత, మేరి వయస్సు x + 3 మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు y + 3
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y – 6 = 0 ………………..(2)

చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి :

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 27

x పదానికి ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణం (1) నుండి సమీకరణం (2) ను తీసివేయగా

y = \(\frac{-48}{-4}\)
ఈ, y విలువను (2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
x – 3 (12) – 6 = 0
x = 36 + 6 = 42
కావున మేరి ప్రస్తుత వయస్సు 42 సంవత్సరములు మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు 12 సంవత్సరములు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 11.
ఒక ప్రచురణ కర్త, క్రొత్త పాఠ్యపుస్తకాన్ని సిద్ధం చేశాడు. వాటి స్థిర ధర (పునర్విమర్శ, ముద్రణ, టైపింగ్ ఖర్చులు మొదలైనవి) ఒక్కొక్క పుస్తకానికి ₹ 31.25. ఇవి కాక అదనంగా అతడు ఒక పుస్తకము ముద్రణకై ₹ 320000 ఖర్చు చేసెను. ఆ పుస్తకము టోకు ధర పుస్తకానికి ₹ 48.75 (ప్రచురణ కర్తకు వచ్చు సొమ్ము) ఆ ప్రచురణ కర్త ఖర్చులు, రాబడి సమానం కావాలంటే సమతుల్య స్థానం చేరవలెనంటే ఎన్ని పుస్తకాలను అమ్మాలి ? (పేజీ నెం. 92)
వస్తువు ఉత్పాదకతకు అయిన ఖర్చు, వాటి అమ్మకాల ద్వారా వచ్చిన రాబడి సమానంగా ఉండే స్థానాన్ని సమతుల్యతా స్థానము అంటారు.
సాధన.
ప్రచురణ కర్త సమతుల్యతా స్థానం చేరాలంటే ఖర్చులు, రాబడి సమానం కావాలి.
ముద్రణ అయి అమ్మకమయిన పుస్తకాల సంఖ్య x, సమతుల్యతా స్థానము y అనుకొనుము.
అపుడు ఆ ప్రచురణ కర్తకు పుస్తకముద్రణ ఖర్చు, రాబడిల సమీకరణాలు ,
ముద్రణ సమీకరణం y = 320000 + 31.25x ………… (1)
రాబడి సమీకరణం y = 43.75x ……….. (2)
రెండవ సమీకరణము నుండి y విలువను ఒకటవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
43.75x = 3,20,000 + 31.25x
12.5x = 3,20,000
x = \(\frac{3,20,000}{12.5}\) = 25,600
25,600 పుస్తకాలను ముద్రించి అమ్మిన అతడు సమతుల్యతా స్థానము చేరును.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 12.
క్రింది సమీకరణాల జతను సాధించండి. (పేజీ నెం. 93)
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13
\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతను పరిశీలించండి. అవి రేఖీయ సమీకరణాలు కావు. మనకు ఇచ్చిన సమీకరణాలు
2(\(\frac{1}{x}\)) + 3(\(\frac{1}{y}\)) = 13 …………..(1)

5(\(\frac{1}{x}\)) – 4(\(\frac{1}{y}\)) = – 2 …………. (2)
మనం \(\frac{1}{x}\) = p మరియు \(\frac{1}{y}\) = q ప్రతిక్షేపించగా

క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏర్పడుతుంది
2p + 3q = 13 ………..(3)
5p – 4q = – 2 ……….. (4)
q గుణకాలు 3, 4 మరియు వాటి క.సా.గు 12 చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సమీకరణం

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 32

q’ పదములకు వేరువేరు గుర్తులున్నాయి. కావున ఆ సమీకరణాలను కలుపగా
p = \(\frac{46}{23}\) = 2
p విలువను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(2) + 3q = 13
3q = 13 – 4 = 9
కాని, \(\frac{1}{x}\) = p = 2
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y}\) = q = 3
⇒ y = \(\frac{1}{3}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 13.
కవిత తన ఇంటిలో మరి రెండు గదులను నిర్మించాలనుకొంది. ఆమె గృహనిర్మాణ కూలీల గురించి ఆరా తీయగా 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని 14 రోజులలో పూర్తి చేయగలరని తెలిసింది. కాని ఆమెకు తన ఇంటిలోని గదుల నిర్మాణ పని 10 రోజులలోనే పూర్తికావాలి. 8మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని 10 రోజులలో పూర్తి చేయగలరని తెలుసుకొంది. పురుషుడు లేదా స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయాలంటే ఎంత కాలం పడుతుందో ? కనుక్కోండి.(పేజీ నెం. 94)
సాధన.
పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = x రోజులు అనుకొనుము.
పురుషుడు ఒక్కడే ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{x}\) రోజులు అవుతుంది..
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = y రోజులు అనుకొనిన
స్త్రీ ఒక్కరే ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{y}\) అవుతుంది.
8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఆ పనిని 10 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు.
అనగా 8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{10}\) ……… (1)
8 మంది పురుషులు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని 8 × \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{8}{x}\)
అదే విధంగా 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో 12 చేయగలిగిన పని 12 × \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{12}{y}\)
8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన మొత్తము పని = \(\frac{8}{x}\) + \(\frac{12}{y}\) ……….. (2)
(1), (2) సమీకరణాల నుండి,
\(\left(\frac{8}{x}+\frac{12}{y}\right)=\frac{1}{10}\)

10 \(\left(\frac{8}{x}+\frac{12}{y}\right)\) = 1

⇒ \(\frac{80}{x}+\frac{120}{y}\) = 1 ………. (3)
అలాగే, 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు ఆ పనిని 14 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\frac{1}{14}\)

⇒ 14 \(\left(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\right)\) = 1
⇒ \(\left(\frac{84}{x}+\frac{112}{y}\right)\) = 1 …………. (4)
(3), (4) సమీకరణాలను పరిశీలించండి. అవి రేఖీయ సమీకరణాలేనా?
వాటి సాధన మనం ఎలా కనుగొంటాము? \(\frac{1}{x}\) = u మరియు \(\frac{1}{y}\) = 1
ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా వాటిని మనం రేఖీయ సమీకరణాలుగా మార్చవచ్చును.
(3) వ సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణంలా మార్చగా
80u + 120v = 1 ……….. (5)
(4) వ సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణంలా మార్చగా
84u + 112v = 1 ……….. (6)
80 మరియు 84 ల క.సా.గు. 1680. చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి ద్వారా,
సమీకరణం (3) × 21;
(21 × 80)u + (21 × 120)v = 21
సమీకరణం (4) × 20;
(20 × 84)u + (20 × 112)v = 20

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 33

u కు ఒకే గుర్తు కావున తీసివేయగా v = \(\frac{1}{280}\)
సమీకరణం (5) లో ప్రతిక్షేపించగా
80u + 120 x \(\frac{1}{280}\) = 1
80u = 1 – \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{7-3}{7}=\frac{4}{7}\)
u = \(\frac{4}{7}\) × \(\frac{1}{80}\)
= \(\frac{1}{140}\)
కావున పురుషుడొక్కడే ఆ పనిని 140 రోజులలో, స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని 280 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ప్రశ్న 14.
ఒక వ్యక్తి 370 కి.మీ. దూరాన్ని కొంత దూరం రైలులో, కొంతదూరం కారులో ప్రయాణించాడు. అతను 250కి.మీ దూరాన్ని రైలులో, మిగిలిన దూరాన్ని కారులో ప్రయాణించగా అతనికి 4 గంటలు పట్టినది. అదే అతను 130 కి.మీ దూరం రైలులో, మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణిస్తే అతనికి 18 నిమిషాల కాలం ఎక్కువ పట్టేది. రైలు మరియు కారుల వేగాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 96)
సాధన.
రైలు వేగం x కి.మీ/గం., కారు వేగం 5 కి.మీ/గం. అనుకొనుము.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 34

అని మనకు తెలుసు.
1వ సందర్భంలో, రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{250}{x}\) గం.
కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{140}{y}\) గం.
మొత్తం కాలం = రైలు ప్రయాణానికి పట్టినకాలం + కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{250}{x}\) + \(\frac{140}{y}\)
కాని మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం 4 గంటలు కావున
\(\frac{250}{x}\) + \(\frac{140}{y}\) = 4

⇒ \(\frac{125}{x}+\frac{60}{y}\) = 2
మరల 130 కి.మీ దూరం రైలులో మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణించినపుడు 130 కి.మీ రైలు

ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{130}{x}\) గం.
240 కి.మీ (370 – 130) కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{240}{y}\) గం.
మొత్తం కాలం = \(\frac{130}{x}+\frac{240}{y} \)
కాని ప్రయాణానికి పట్టిన మొత్తం. కాలం 4 గంటల 18 నిమిషాలు 4\(\frac{18}{60}\) = 4\(\frac{3}{10}\) గం.
అనగా, \(\frac{130}{x}+\frac{240}{y}=\frac{43}{10}\) …………..(2)
(1) (2) సమీకరణాలలో \(\frac{1}{x}\) = a మరియు \(\frac{1}{y}\) = b ప్రతిక్షేపించగా
125a + 60b = 2 ……………(3)
130a+ 240b = 7 …………. (4)
60, 240 ల క.సా.గు. 240. చరరాశిని తొలగించే పద్ధతిని ఉపయోగించగా,

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions 35

a = \(\frac{1}{100}\) ను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
(125 × \(\frac{1}{100}\)) + 60b = 2
60b = 2 – \(\frac{5}{4}\)
= \(\frac{8-5}{4}=\frac{3}{4}\)

b = \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{60}\) = \(\frac{1}{80}\)
కావున a = \(\frac{1}{100}\) మరియు b = \(\frac{1}{80}\)
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{100}\) మరియు \(\frac{1}{y}=\frac{1}{80}\)
x = 100 కి.మీ/గం. మరియు y = 80 కి.మీ/గం కావున రైలు వేగం 100 కి.మీ/గం. మరియు కారు వేగం 80 కి.మీ/గం.