Srinivas

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 7 త్రికోణమితీయ సమీకరణాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 7 త్రికోణమితీయ సమీకరణాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
sin x = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)-ని సాధించండి.
సాధన:
sin x = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = sin \(\frac{\pi}{4}\)
∴ కనుక ప్రధాన సాధన x = \(\frac{\pi}{4}\)
సార్వత్రిక సాధన x = nπ + (-1)ⁿ \(\frac{\pi}{4}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 2.
sin 2θ = \(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\) ‘ని సాధించండి.
సాధన:
sin 2θ = \(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\) = sin 18° = sin \(\left(\frac{\pi}{10}\right)\)
\([/latex\left(\frac{\pi}{10}\right)] ∈ [latex]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) కనుక
ప్రధాన సాధన
2θ = \(\frac{\pi}{10}\), θ = \(\frac{\pi}{20}\)
సార్వత్రిక సాధన
2θ = nπ + (-1)ⁿ\(\frac{\pi}{10}\), n ∈ Z (లేదా)
θ = n\(\frac{\pi}{2}\) + (-1)ⁿ\(\frac{\pi}{20}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 3.
tan² θ = 3 ని సాధించండి.
సాధన:
tan² θ = 3 ⇒ tan θ = ±\(\sqrt{3}\) = tan \(\left(\pm \frac{\pi}{3}\right)\), ± \(\frac{\pi}{3}\) ∈ \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
∴ ప్రధాన సాధనలు θ = ±\(\frac{\pi}{3}\)
సార్వత్రిక సాధన nπ ± \(\frac{\pi}{3}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 4.
3 cosec x = 4 sin x ని సాధించండి.
సాధన:
3 cosec x = 4 sin x
⇔ \(\frac{3}{\sin x}\) = 4 sin x
⇒ sin² x = \(\frac{3}{4}\)
⇔ sin x = ± \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ ప్రధాన సాధనలు x = ± \(\frac{\pi}{3}\)
సార్వత్రిక సాధన
x = nπ ± \(\frac{\pi}{3}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 5.
x ఒక లఘుకోణం, sin(x + 10°) = cos(3x – 68°) అయితే x విలువ కనుక్కోండి
సాధన:
sin (x + 10°) = cos (3x – 68°)
⇔ sin(x + 10°) = sin (90° + 3x – 68°)
= sin (22° + 3x)
∴ x + 10° = n(180°) + (-1)ⁿ (22° + 3x)
n = 2k, k ∈ Z అయితే
x + 10° = (2k) (180°) + (22° + 3x)
⇒ 2x = -k(360°) – 12°
⇒ x = \(\frac{-k\left(360^{\circ}\right)-12^{\circ}}{2}\)
= -k(180°) – 6°
ఇది అసంభవం. ఎందుకంటే ఏ పూర్ణాంకం k తీసుకొన్నా,
x అల్పకోణం కాదు.
n = 2k + 1, అయితే
x + 10° = (2k + 1) 180° – (22° + 3x)
⇒ 4x = (2k + 1) 180° – 32°
⇒ x = (2k + 1) 45° – 8°
k = 0 ⇒ x = 37°
k కి ఇతర పూర్ణాంకాలు ఇచ్చినప్పుడు x అల్పకోణం కాదు.
∴ x = 37° మాత్రమే దత్త సమీకరణానికి సాధన.

ప్రశ్న 6.
cos 3θ = sin 2θ ని సాధించండి.
సాధన:
cos 3θ = sin 2θ = cos(\(\frac{\pi}{2}\) – 2θ)
⇒ 3θ = 2nπ ± (\(\frac{\pi}{2}\) – 2θ), n ∈ Z
⇒ 3θ = 2nπ + (\(\frac{\pi}{2}\) – 2θ) (లేదా)
3θ = 2nπ + \(\frac{\pi}{2}\) (లేదా) θ = 2nπ – \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = (4n + 1) \(\frac{\pi}{10}\), n ∈ Z (లేదా)
θ = (4n – 1) \(\frac{\pi}{2}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 7.
sin²θ + 3 cos²θ = 4 ని సాధించండి.
సాధన:
7 sin²θ + 3 cos²θ = 4
⇒ 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4
⇒ 4 sin²θ = 1
⇒ sin θ = ± \(\frac{1}{2}\)
∴ ప్రధాన సాధనాలు θ = ±\(\frac{\pi}{6}\)
సార్వత్రిక సాధన
θ = nπ ± \(\frac{\pi}{6}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 8.
2 cos²θ – \(\sqrt{3}\) sin θ + 1 = 0 ని సాధించండి.
సాధన:
2 cos²θ – \(\sqrt{3}\) sin θ + 1 = 0
⇒ 2(1 – sin²θ) – \(\sqrt{3}\) sin θ + 1 = 0
⇒ 2 sin²θ + \(\sqrt{3}\) sin θ – 3 = 0
⇒ (2 sin θ – \(\sqrt{3}\)) (sin θ + \(\sqrt{3}\)) = 0
⇒ sin θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = sin \(\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
∴ ప్రధాన సాధన θ = \(\frac{\pi}{3}\)
సార్వత్రిక సాధన
θ = nπ + (-1)ⁿ \(\frac{\pi}{3}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 9.
(-π, π) అంతరంలో 8^{1 + cos x + cos2 x + …….} = 4³ సమీకరణాన్ని తృప్తిపరిచే x యొక్క శూన్యేతర విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
cos x = ±1,
అయితే 1 + cos x + cos² x + ……… ∞
అభిసరణ చెందదు | cos x | < 1 అనుకుందాం
అప్పుడు 1 + cos x + cos² x + ….. ∞
= \(\frac{1}{1-\cos x}\)

ప్రశ్న 10.
tan θ + 3 cot θ = 5 sec θ సాధించండి.
సాధన:
tan θ + 3 cot θ = 5 sec θ దత్త సమీకరణ౦
cos θ ≠ 0, sin θ ≠ 0 అయినప్పుడు మాత్రమే సాధికార మవుతుంది
⇒ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) + 3 \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) = \(\frac{5}{\cos \theta}\)
⇒ sin² θ + 3 cos² θ = 5 sin θ
⇒ sin² θ + 3(1 -sin² θ) – 5 sin θ = 0
⇒ 2sin²θ + 5 sin θ – 3 = 0
⇒ 2sin²θ + 6 sin θ – sin θ – 3 = 0
⇒ 2 sin θ (sin θ + 3) – 1 (sin θ + 3) = 0
⇒ (2 sin θ – 1) (sin θ + 3) = 0
⇒ sin θ = \(\frac{1}{2}\) (∵ sin θ ≠ -3)
∴ sin θ = \(\frac{1}{2}\) = sin \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\)
∴ ప్రధాన సాధన θ = \(\frac{\pi}{6}\)
సార్వత్రిక సాధన θ = nπ + (−1)ⁿ \(\frac{\pi}{6}\) = nπ + (-1)ⁿ\(\frac{\pi}{6}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 11.
1 + sin² θ = 3 sin θ cos θను సాధించండి. (Mar. 11)
సాధన:
1 + sin² θ = 3 sin θ cos θ
cos^θ, చే భాగించగా
sec² θ + tan² θ = 3 tan θ
⇒ (1 + tan² θ) + tan² θ – 3 tan θ = 0
⇒ 2 tan² θ – 3 tan θ + 1 = 0
⇒ 2 tan² θ – 2 tan θ – tan θ + 1 = 0
⇒ 2 tan θ(tan θ – 1) – (tan θ – 1) = 0
⇒ (tan θ – 1) (2 tan θ – 1) = o
∴ tan θ = 1 (లేదా) tan θ = \(\frac{1}{2}\)
ఇప్పుడు tan θ = 1 = tan \(\frac{\pi}{4}\)
∴ ప్రధాన సాధన θ = \(\frac{\pi}{4}\)
సార్వత్రిక సాధన
θ = nπ + \(\frac{\pi}{4}\), n ∈ Z
tan θ = \(\frac{1}{2}\) కి α ప్రధాన సాధన అనుకుంటే సార్వత్రిక సాధన θ = nπ + α, n ∈ Z అవుతుంది.

ప్రశ్న 12.
\(\sqrt{2}\)(sin x + cos x) = \(\sqrt{3}\) సాధించండి. (A.P.)(Mar. 15; May 11, 08)
సాధన:
\(\sqrt{2}\)(sin x + cos x) = \(\sqrt{3}\)
⇔ sin x + cos x = \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
ఇరువైపుల \(\sqrt{2}\) చే భాగించగా

సార్వత్రిక సాధన
x – \(\frac{\pi}{4}\) = 2nπ ± \(\frac{\pi}{6}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 13.
sin θ = \(-\frac{1}{2}\), cos θ = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) సమీకరణాలను రెండింటిని తృప్తిపరచే θ కు, సార్వత్రిక విలువను
కనుక్కోండి.
సాధన:
sin θ = \(-\frac{1}{2}\) = -sin \(\frac{\pi}{6}\)
= sin(π + \(\frac{\pi}{6}\)) లేదా sin (2π – \(\frac{\pi}{6}\))
= sin \(\frac{7 \pi}{6}\) లేదా \(\frac{11 \pi}{6}\)
∴ (0, 2π) లో θ sinθ = \(-\frac{1}{2}\) ను తృప్తిపరచే కోణాలు
\(\frac{7 \pi}{6}\) లేదా \(\frac{11 \pi}{6}\)
cos θ = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) = -cos\(\frac{\pi}{6}\)
= cos (π – \(\frac{\pi}{6}\)) లేదా cos (π + \(\frac{\pi}{6}\) )
= cos \(\frac{5 \pi}{6}\) లేదా cos \(\frac{7 \pi}{6}\)
∴ (0, 2π) లో cos θ = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) ను తృప్తిపరచే కోణాలు \(\frac{5 \pi}{6}\) లేదా \(\frac{7 \pi}{6}\)
కనుక \(\frac{7 \pi}{6}\) కోణం మాత్రమే రెండు సమీకరణాలను తృప్తిపరుస్తుంది.
కనుక θ కి సార్వత్రిక విలువ θ = 2nπ + \(\frac{7 \pi}{6}\), n ∈ Z.

ప్రశ్న 14.
a cos 2θ + b sin 2θ = c సమీకరణానికి θ₁, θ₂ లు సాధనలు, tan θ₁ ≠ tan θ₂, a + c ≠ 0, అయితే
(i) tan θ₁ + tan θ₂
(ii) tan θ₁. tan θ₂ విలువలు కనుక్కోండి. (T.S) (Mar. ’15)
సాధన:
a cos 2θ + b sin 2θ = c
⇔ a\(\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\) + b\(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\) = c
⇔ a – a tan² θ + 2b tan θ = c + c tan² θ
⇔ a – a tan²θ + 2b tan θ = c + c tan²θ
⇔ (a + c) tan²θ – 2b tan θ + (c – a) = 0 ——- (1)
ఇది tan θ లో వర్గ సమీకరణం.
θ₁, θ₂ లు దత్త సమీకరణానికి మూలాలు కనుక tan θ₁, tan θ₂ లు సమీకరణం (1) కి మూలాలు అవుతాయి.
∴ మూలాల మొత్తం = \(\frac{2 b}{a+c}\)
అంటే tan θ₁ + tan θ₂ = \(\frac{2 b}{a+c}\)
మూలాల లబ్దం = tan θ₁, tan θ₂ = \(\frac{c-a}{c+a}\)
ఇప్పుడు tan (θ₁ + θ₂) = \(\frac{\tan \theta_1+\tan \theta_2}{1-\tan \theta_1 \tan \theta_2}\)
= \(\frac{\left(\frac{2 b}{a+c}\right)}{1-\left(\frac{c-a}{c+a}\right)}\) = \(\frac{2 b}{2 a}\) = \(\frac{b}{a}\)

ప్రశ్న 15.
4 sin x sin 2x sin 4x = sin 3x సాధించండి. (Mar. 13)
సాధన:
sin 3x = 4 sin x sin 2x sin 4x
= 2 sin x (2 sin 4x sin 2x)
= 2 sin x [cos (2x) – cos 6x]
⇔ sin 3x = 2 cos 2x sin x − 2 cos 6x sin x
⇔ sin 3x = sin (3x) – sin x – 2 cos 6x sin x
⇒ 2 cos 6x sin x + sin x = 0
⇒ sin x (2 cos 6x + 1) = 0
⇒ sin x = 0 (లేదా) cos 6x = \(\frac{-1}{2}\)

సంధర్భ౦ (i): sin x = 0
⇒ ప్రధాన సాధన x = 0
సార్వత్రిక సాధన x = nπ, n ∈ Z

సంధర్భ౦ (ii): cos 6x = \(\frac{-1}{2}\) = cos \(\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\)
ప్రధాన సాధన
6x = \(\frac{2 \pi}{3}\) ⇒ x = \(\frac{\pi}{9}\) సార్వత్రిక సాధన
6x = 2nπ ± \(\frac{2 \pi}{3}\), n ∈ Z
⇒ x = \(\frac{n \pi}{3}\) ± \(\frac{\pi}{9}\), n ∈ Z

ప్రశ్న 16.
0 < θ < π అయితే cos θ. cos 2θ cos 3θ = \(\frac{1}{4}\) సాధించండి.
సాధన:
4 cos θ cos 2θ cos 3θ = 1
⇒ 2 cos 2θ (2 cos 3θ. cos θ) = 1
⇒ 2 cos 2θ (cos 4θ + cos 2θ) = 1
⇒ 2 cos 4θ cos 2θ+ (2 cos² 2θ – 1) = 0
⇒ 2 cos 4θ cos 2θ + cos 4θ = 0
⇒ cos 4θ (2 cos 2θ + 1) = 0
⇒ cos 4θ = 0 (లేదా) cos 2θ = \(\frac{-1}{2}\)
సందర్భ౦ (i) : cos 4θ = 0 = cos \(\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
ప్రధాన సాధన
⇒ 4θ = \(\frac{\pi}{2}\) లేదా θ = \(\frac{\pi}{8}\)
సార్వత్రిక సాధన
4θ = (2n + 1)\(\frac{\pi}{8}\), n ∈ Z
⇒ θ = (2n + 1)\(\frac{\pi}{8}\), n ∈ Z
n = 0, 1, 2, …… రాస్తే
{\(\frac{\pi}{8}\), \(\frac{3 \pi}{8}\), \(\frac{5 \pi}{8}\), \(\frac{7 \pi}{8}\)}
విలువలు (0, π) అంతరంలో సాధనలు అవుతాయి.

సందర్భ౦ (ii): cos 2θ = \(\frac{-1}{2}\) = cos \(\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\)
ప్రధాన సాధన
⇒ 2θ = \(\frac{2 \pi}{3}\) (లేదా) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
సార్వత్రిక సాధన
2θ = 2nπ ± \(\frac{2 \pi}{3}\), n ∈ Z
⇒ θ = nπ ± \(\frac{\pi}{3}\), n ∈ Z
n = 0, 1, తీసుకొంటే \(\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right\}\) లు (0, π) అంతరంలో సాధనలు అవుతాయి.
దత్త సమీకరణానికి (0, π) అంతరంలో సాధనలు
{\(\frac{\pi}{8}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{3 \pi}{8}\), \(\frac{5 \pi}{8}\), \(\frac{2 \pi}{8}\), \(\frac{7 \pi}{8}\)}

ప్రశ్న 17.
p ≠ ±q, cos pθ + cos qθ = 0 సమీకరణ సాధనలు రెండు అంకశ్రేఢులు అవుతాయని చూపి వాటి పదాంతరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
cos pθ + cos qθ = 0

ఇది ఒక అంకశ్రేఢి. దీని పదాంతరం \(\frac{2 \pi}{(p+q)}\). ఇదే విధంగా
cos \(\left(\frac{p-q}{2}\right) \theta\) = 0 కి సాధనలు
θ = \(-\frac{\pi}{p-q}\), \(\frac{\pi}{p-q}\), \(\frac{3 \pi}{p-q}\), \(\frac{5 \pi}{p-q}\)……..
ఇది మరొక అంకశ్రేఢి. దీని పదాంతరం \(\frac{2 \pi}{(p-q)}\)

ప్రశ్న 18.
sin 2x – cos 2x = sin x – cos x సాధించండి.
సాధన:
(sin 2x – sin x) – (cos 2x – cos x) = 0

∴ దత్త సమీకరణానికి సాధన సమితి
{2nπ/ n ∈ Z} ∪ {\(\frac{2 n \pi}{3}\) – \(\frac{\pi}{6}\)/n ∈ Z}

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం

→ భౌతికశాస్త్రం ప్రకృతిలోని మూలనియమాలు, విభిన్న దృగ్విషయాలలో ప్రత్యక్షమయ్యే వాటి స్వయం వ్యక్తీకరణల అధ్యయనం.

→ ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలు

• గురుత్వాకర్షణ బలం
• విద్యుదయస్కాంత బలం
• ప్రబల కేంద్రకబలం
• దుర్బల కేంద్రకబలం

→ రామన్ ఫలితం అనేది యానకంలోని అణువుల కంపనశక్తి స్థాయిల్లోకి ఉత్తేజితమైనప్పుడు జరిగే కాంతి పరిక్షేపణం గురించి వివరిస్తుంది.

→ శక్తి, ద్రవ్యవేగం, కోణీయ ద్రవ్యవేగం, ఆవేశం వంటి వాటి నిత్యత్వాలను భౌతికశాస్త్రంలో ప్రాథమిక నియమాలుగా పరిగణిస్తారు.

→ పరిశీలనలు, ప్రయోగాల ఆధారంగా ఏర్పడే ఒక పరికల్పనయే ఒక నిత్యత్వ నియమం.

→ ఐన్స్టీన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ద్రవ్యరాశి m మరియు శక్తి E మధ్య సంబంధం E = mC². ఇక్కడ C అనునది శూన్యంలో కాంతి వేగం.

→ దృశా తంతువులు కాంతి సంపూర్ణాంత పరావర్తనం అనే నియమంపై పనిచేస్తాయి.

→ రాకెట్ చోదనం, న్యూటన్ గమన నియమాలపై పనిచేస్తుంది.

→ విమానం బెర్నూలీ సూత్రంపై ఆధారపడి పనిచేస్తుంది.

→ ఎలక్ట్రాన్ సూక్ష్మదర్శిని ఎలక్ట్రాన్ల తరంగ స్వభావంపై ఆధారపడి పనిచేస్తుంది.

→ సత్యేంద్రనాధ్ బోస్ (1874-1974):
బోస్ 20వ శతాబ్దంలోని విజ్ఞానశాస్త్రం పురోగతికి ప్రాథమిక కృషిచేసిన గొప్ప భారతీయ శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరు

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత

→ a_True = నిజ విలువ = \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i\)

→ సాపేక్ష దోషం

→ దోష శాతం = δa

→ గుణకారంలో దోషం
\(\frac{\Delta x}{x}=\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}\)

→ భాగాహారంలో దోషం
\(\frac{\Delta x}{x}=\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}\)

→ x = aⁿ లో గరిష్ఠ దోషం
x = aⁿ లో గరిష్ఠ దోషం = \(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=n\left(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}^a}\right)\)

→ భౌతికశాస్త్రంలో కొలత అనేది ముఖ్యంగా భౌతిక రాశులను యదార్ధతతోను ఖచ్ఛితత్వంతోను నిర్ణయించడం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది.

→ ఏ భౌతికరాశికి సంబంధించినదైనా ప్రతి కొలతలోను కొంత అనిశ్చితత్వం ఉంటుంది. ఈ అనిశ్చితత్వాన్నే మనం దోషం అంటాం.

→ విస్తృత పరిధిలో విభజించినపుడు దోషాలను క్రమదోషాలు, యాదృచ్ఛిక దోషాలు అని రెండు రకాలుగా విభజిస్తాం.

→ క్రమ దోషాలను మరల పరిసర సంబంధిత దోషాలు, ప్రయోగవిధాన కౌశలం లేదా ప్రయోగ పద్ధతిలోని అసమగ్రతలకు సంబంధించిన దోషాలుగా విభజిస్తాం.

→ క్రమ దోషాలు (systematic errors) వివిధ రకాలు.

• ప్రయోగ విధాన కౌశలం లేదా ప్రయోగ పద్ధతిలోని అసమగ్రత
• పరిసర సంబంధిత దోషాలు
• వ్యక్తిగత దోషాలు.

→ యాదృచ్ఛిక దోషాలను కనుక తొలగించగలిగితే ఆ కొలతలను ఖచ్చితమైన కొలతలు అనవచ్చు. అన్ని రకాలైన దోషాలను తొలగించగలిగితే ఆ కొలతను యథార్థమైన కొలత అని అనవచ్చును.

→ రెండు రాశులను కూడినపుడు గాని, తీసివేసినపుడు గాని వచ్చే ఫలితంలో వచ్చే గరిష్ఠ దోషం ఆ రెండు రాశులలోని పరమదోషాల యొక్క మొత్తానికి సమానం.

→ రెండు రాశులను గుణించినపుడు గాని లేదా భాగించినపుడు గాని, వచ్చే ఫలితంలోని సాపేక్ష దోషం అంశ రాశులలోని సాపేక్ష దోషాల మొత్తానికి సమానం.

→ ఒక కొలతను సూచించే సంఖ్యలో నిశ్చయంగా తెలిసిన అంకెలు, వీటికి తోడు అదనంగా అంచనా ప్రకారం చేర్చిన అంకె వీటినన్నింటిని కలిపి సార్థక అంకెలు లేదా సార్థక సంఖ్యలు అంటారు.

→ సార్థకం కానటువంటి అంకెలను వదిలిపెట్టి, కావలసిన సార్థక సంఖ్యల వరకు మాత్రమే పరిమితం అవుతూ, చివరి సార్థక అంకెకు అవసరమైన మార్పులను చేయడమే ఆ సంఖ్యను సవరించడం (Rounding off) అంటారు.

→ భౌతికరాశులను అన్నింటిని, ప్రాథమిక భౌతికరాశులు అని పిలువబడే కొన్ని కనిష్ఠ సంఖ్యలో ఉండే భౌతిక రాశుల నుంచి ఉత్పాదించవచ్చు.

→ ప్రమాణం అనేది ఒక భౌతికరాశిని నిర్దేశించే ప్రామాణిక నిర్దేశం. భౌతికరాశి యొక్క కొలతను ఈ ప్రమాణాలలో తెలియజేస్తారు.

→ ప్రాథమిక భౌతికరాశుల ప్రమాణాలను ప్రాథమిక ప్రమాణాలు అంటారు.

→ ఉత్పన్న భౌతికరాశుల యొక్క ప్రమాణాలను ఉత్పన్న ప్రమాణాలు అంటారు.

→ (అంతర్జాతీయ ప్రమాణ వ్యవస్థ) SIలో ఏడు ప్రాథమిక రాశులు, ఈ ఏడు ప్రాథమిక రాశులకు అనురూపంగా ఏడు ప్రాథమిక ప్రమాణాలు ఉన్నాయి. సమతల కోణం (ప్రమాణం రేడియన్) మరియు ఘనకోణం (ప్రమాణం స్టెరేడియన్)లను SI లో సంపూరక ప్రాథమిక రాశులుగా తీసుకున్నారు.

→ ఏదయినా ఒక ప్రాథమిక భౌతికరాశికి సంబంధించిన ప్రామాణికమయిన ప్రమాణంను దాని యొక్క రెండు ముఖ్య లక్షణాల మీద ఆధారపడి, అంతర్జాతీయ ఆమోదాన్ని అనుసరించి ఎన్నుకుంటారు.

→ కావలసిన ఆ ముఖ్య లక్షణాలు

• ఆధారపడతగినదిగా ఉండటం (reliability)
• సులువుగా దొరకటం (availability).

→ ప్రాథమిక భౌతికరాశులను ఇంగ్లీషు అక్షరాలతో ఈ క్రింది విధంగా సూచిస్తారు. పొడవు (Length) – L, ద్రవ్యరాశి (Mass) – M, కాలం (Time) -T, విద్యుత్ ప్రవాహం (Current) – 1 (లేక A), పదార్థ రాశి (Mole) – mol, ఉష్ణోగ్రత (temperature) – K, కాంతి తీవ్రత (luminous intensity (candela)) – cd.

→ ఒక భౌతికరాశిని నిర్దేశించడానికి, అందులో ప్రాథమిక భౌతికరాశులు (M, L, T, అక్షరాలతో సూచింపబడినవి) ఏ ఘాతాంకాలకు హెచ్చింపబడినవో ఆ ఘాతాంకాలను (ఆ భౌతికరాశిలో) ఆయా ప్రాథమిక భౌతికరాశుల మితులు అంటారు.

→ ఇచ్చిన భౌతికరాశిలో ఏయే ప్రాథమిక భౌతికరాశులు, ఏయే ఘాతాంకములను కలిగి ఉన్నాయో తెలియజేసే ప్రకటనను ఆ భౌతికరాశికి సంబంధించిన మితిఫార్ములా అంటారు.

→ మితులు మరియు మితుల యొక్క సజాతీయత సూత్రం ఉపయోగించి మనం ఇచ్చిన సమీకరణాలు సరైనవో, కావో తెలుసుకోవచ్చు. ఒక వ్యవస్థలోని ప్రమాణాలను లేదా వ్యవస్థలోని ప్రమాణాలకు మార్చవచ్చు.

→ మితి విశ్లేషణా పద్ధతికి కొన్ని పరిమితులున్నాయి. అవి :

• మితి రహిత స్థిరాంకాలను తెలుసుకోలేము. ఇచ్చిన సమీకరణం మితిపరంగా సక్రమమయినదో, లేదో మాత్రమే తెలుసుకోగలము. అది నిజంగా సరియైనదో, కాదో నిర్ధారించలేము.
• పూర్తిగా భిన్నమయిన రెండు భౌతికరాశులు ఒకే మితులను కలిగియుండవచ్చు. ఇట్లాంటి సందర్భంలో మితి పద్ధతిని ఆ రాశులలో తేడా గమనించలేము.

→ మనం కొలిచే భౌతికరాశి నిజమైన విలువకు ఎంత దగ్గరగా ఉన్నది తెలియజేసే ఒక కొలమానమే మనం తీసుకున్న కొలత యొక్క యదార్థత.

→ భూమి నుంచి గ్రహం (లేదా) నక్షత్రం దూరాన్ని నేరుగా కొలవలేం. అలాంటి సందర్భాల్లో ఉపయోగించే ముఖ్యమైన పద్ధతి దృష్టి విక్షేప పద్ధతి.

→ ఒక మాపనపరికరంతో కొలవగలిగే అత్యల్పవిలువను కనీస కొలత అంటారు.

→ వెర్నియర్ కాలిపర్స్ ఉపయోగించి పొడవును 10 m యధార్థతతో కొలవవచ్చు.

→ స్పెరామీటరును మరియు స్క్రూగేజిని ఉపయోగించి 10 m కన్నా తక్కువ పొడవులను కొలవవచ్చు.

→ 1n° = 10^-10m = 10⁸m

→ 1 కాంతి సంవత్సరం
= 9.46 × 10^-15 m
1 పార్సెక్ 3.08 × 10¹⁶m

→ 1 ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణం = 1.66 × 10^-27 kg.

→ 1 ఫెర్మీ = 10^-15 m.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం

→ ఒక వస్తువు ప్రయాణించిన మార్గం వెంబడి మొత్తం దూరాన్ని పథం అంటారు.

→ స్థానంలోని మార్పును స్థానభ్రంశం అంటారు. Δx : x₂ – x₁

→ స్థానభ్రంశాన్ని, స్థానభ్రంశం జరిగిన కాలవ్యవధితో భాగించగా వచ్చే భాగఫలాన్ని, ఆ కాల వ్యవధిలో సగటు వేగం అంటారు. \(\bar{v}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\)

→ Δt కాలవ్యవధి స్వల్పమైతే, సగటు వేగం అవధిని తత్కాల వేగం, లేదా సరళంగా వేగం అంటారు.
V = \({Lim}_{\Delta t \rightarrow 0} \bar{v}={Lim}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{d x}{d t}\)

→ కొంత కాల వ్యవధిలో వేగంలో వచ్చిన మార్పును, ఆ కాల వ్యవధితో భాగిస్తే సరాసరి త్వరణం తెలుస్తుంది. a̅ = \frac{\Delta v}{\Delta \mathrm{t}}

→ కాల వ్యవధి Δt శూన్య విలువను సమీపిస్తున్నప్పుడు, సగటు త్వరణం అవధిని తత్కాల త్వరణం అంటారు.
a = \frac{\Delta v}{\Delta \mathrm{t}}

→ కొంత కాల వ్యవధిలో ప్రయాణించిన మొత్తం పొడవు, ఆ కాల వ్యవధుల నిష్పత్తిని సగటు వడి అంటారు.
a = \({Lim}_{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \overline{\mathrm{a}}={Lim}_{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{dt}}\)

→ చలన సమీకరణాలు
υ = υ₀ + at
X = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
v² = v₀² + 2ax

→ శిఖరం ఎత్తు, – h = ut – \(\frac{1}{2}\)gt²

→ భూమికి సమీపంగా వస్తువును వదిలితే, గురుత్వ ప్రభావం వల్ల త్వరణంను కలిగి ఉండును. వస్తువు స్వేచ్ఛగా పతనం చెందుతుంది అంటారు.

→ ధన y-అక్ష దిశలో గురుత్వ త్వరణం (g) ధనాత్మకము మరియు రుణ y-అక్ష దిశలో గురుత్వ త్వరణం (g) రుణా

→ g విలువ క్రిందికి చలనంలో ఉన్నప్పుడు రుణాత్మకం a = -g = -9.8 m/s²

→ వస్తువు స్వేచ్ఛాపతనంలో చలన సమీకరణాలు

• v = 0 – gt = -9.8t
• y = 0 – \(\frac{1}{2}\)gt² = – 4.9t²
• v² = 0 – 2 gy = – 19.6y

→ ఒక వస్తువు వేగం మరియొక వస్తువేగం పరంగా పోల్చితే, దానినే సాపేక్ష వేగం అంటారు.

→ B పరంగా A సాపేక్ష వేగం = \(\left|\vec{V}_A-\vec{V}_B\right|\)

→ A పరంగా B సాపేక్ష వేగం = \(\left|\vec{v}_B-\vec{v}_A\right|\)

→ వేగం మితి ఫార్ములా = [LT^-1]

→ త్వరణం మితి ఫార్ములా = [LT^-2].

→ అమెడియో అవొగాడ్రో (1776-1856):
ఒకే ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద సమాన మనపరిమాణంగల వాయువులన్నిటికి సమాన సంఖ్యలో అణువులుంటాయని తెలివిగా ఊహచేశాడు. వివిధ రకాల వాయువుల సంయోగాన్ని సులభంగా అవగాహన చేను కోవడంలో ఇది సహాయపడింది. ఇప్పుడు దీనిని అవొగాడ్రో పరి కల్పన (లేదా నియమం) అంటారు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 4th Lesson సమతలంలో చలనం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 4th Lesson సమతలంలో చలనం

→ పరిమాణం మాత్రము కలిగి దిశతో సంబంధం లేని రాశిని అదిశ అంటారు.

→ పరిమాణం, దిశ కలిగి సదిశా సూత్రాలను పాటించే రాశులను సదిశలు అంటారు.

→ సున్నా పరిమాణం గల సదిశను శూన్య సదిశ అంటారు. దీని దిశ అనిశ్చితం.

→ ఒకే తలంలో ఉన్న సదిశలను ఏకతల సదిశలు (coplanar vectors) అని అంటారు.

→ ఏకాంక పరిమాణం గల సదిశను ఏకాంక సదిశ అంటారు. ఇది దిశను తెలియచేయటానికి ఉపయోగ పడుతుంది.

→ ఏకాంక సదిశలనుపయోగించి సదిశ a̅ ను ఇలా వ్రాయవచ్చు. a̅ = a_xî + a_yĵ + a_zk̂
మరియు aలు అదిశా అంశాలు. a̅ యొక్క పరిమాణం |ā| = \(\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)

→ రెండు సదిశల ఫలిత సదిశను సమాంతర చతుర్భుజ నియమం ద్వారా సంపాదించవచ్చు.
R = \(\sqrt{P^2+Q^2+2 P Q \cos \theta}\), tan α = \(\frac{Q \sin \theta}{P+Q \cos \theta}\) ఫలిత సదిశ యొక్క దిశను తెలియచేస్తుంది.

→ రెండు నిర్ధేశ చట్రాలు A మరియు B (జడత్వ నిర్దేశ చట్రాలు) ల నుండి గమనంలో ఉండే ఒక కణం Pను పరిశీలించినపుడు చట్రం 4లో ఉన్న కణం సాపేక్ష వేగం చట్రం Bలో ఉన్న పరిశీలకుని పరంగా V_PA = V_PB + V_BA సమీకరణముతో తెలపవచ్చు. V_PA కణవేగం చట్రం A పరంగా, V_PB కణవేగం చట్రం B పరంగా మరియు V_BA చట్రం B యొక్క వేగం చట్రం 4 పరంగా.

→ నది ఈవలి ఒడ్డున గల బిందువు A వద్ద బయలుదేరి ఆవలిఒడ్డున సూటిగా ఎదురుగా ఉన్న బిందువు B ను చేరాలంటే పడవ AB రేఖతో α కోణం చేసే దిశలో ప్రవాహానికి ఎదురుగా V_BW ఉంటుంది. α విలువను sin^-1 (V_WE/V_BW) ఇస్తుంది.

→ సదిశలు a, bల మధ్య బిందు లబ్దం a. b = ab cos θ = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

→ రెండు సదిశలు P Qల మధ్య సదిశా లబ్దం P × Q = PQ sin θ n̂, n̂. యూనిట్ సదిశ.
P × Q = \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\
\mathrm{P}_{\mathrm{x}} & \dot{P}_y & \mathrm{P}_z \\
\mathrm{Q}_{\mathrm{x}} & \mathrm{Q}_{\mathrm{y}} & \mathrm{Q}_z
\end{array}\right|\)

→ ఒకే పరిమాణం మరియు దిశగల A మరియు B సదిశలను సమాన సదిశలు అంటారు.

→ ప్రక్షేపకం యొక్క చలన సమీకరణం Y = (Tan θ₀)x – \(\frac{\mathrm{g}}{\left(2 v_0 \cos \theta_0\right)}\)x²t సెకండ్ల తర్వాత (v₀)x ఒకే విధంగా ఉంటుంది. తుది వేగం v_y = v₀ sin θ – gt.

→ ప్రక్షేపకం గరిష్ఠ ఎత్తుకు చేరడానికి పట్టెకాలం t_a = \(\frac{v_0 \sin \theta}{g}\) ఆరోహణకాలం, అవరోహణ కాలానికి సమానం గమనకాలం (T) = \(\frac{2 v_0 \sin \theta}{g}\)

→ ప్రక్షేపకం చేరుకొను గరిష్ఠ ఎత్తు (H) = \(\frac{\left(v_0 \sin \theta_0\right)^2}{2 g}\)

→ (45° + α) మరియు (45° – α) ప్రక్షిప్తకోణాలుకు వ్యాప్తి ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

→ క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి (R) = \(\frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}\)

→ గరిష్ఠ వ్యాప్తి (R_{గరిష్ఠం}) = \(\frac{v_0^2}{g}\)

→ ఏదైనా కాలం tవద్ద ప్రక్షేపక వేగం V = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)
ఇక్కడ v_x = v₀ Cos θ, v_y = v₀ sin θ – gt.

→ వృత్తాకారమార్గంలో సమవడితో తిరుగుతున్న వస్తువు ఫలిత త్వరణం దాని కేంద్రంవైపు ఉంటుంది.

→ చలనంలో ఉన్న వస్తువు ప్రక్షేప మార్గం ఆకారాన్ని కేవలం దాని త్వరణం మాత్రమే నిర్ణయించలేదు. అది చలనం తొలి పరిస్థితులపై ఆధారపడుతుంది.

→ x – yతలంలో వస్తువు యొక్క స్థాన సదిశ
r = x \(\overrightarrow{\mathrm{i}}\) + y \(\overrightarrow{\mathrm{j}}\) మరియు r’ = x’ \(\overrightarrow{\mathrm{i}}\) + y \(\overrightarrow{\mathrm{j}}\)
Δr = r’ – r = (x’ – x) \(\overrightarrow{\mathrm{i}}\) + (y’ – y) \(\overrightarrow{\mathrm{j}}\) = Δx\(\overrightarrow{\mathrm{i}}\) + Δy \(\overrightarrow{\mathrm{j}}\)

→ హెచ్ హెర్జ్ (384 – 322 B.C.):
హెన్రిచ్ హెర్ట్ జెర్మన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త. ఎలక్ట్రోమెటిక్ తరంగాల గురించి అధ్యయనం చేసాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 5th Lesson గమన నియమాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 5th Lesson గమన నియమాలు

→ న్యూటన్ మొదటి గమన సూత్రం: బాహ్య బల ప్రమేయం లేనంత వరకు విరామ స్థితిలో ఉన్న ప్రతి వస్తువు తన విరామ స్థితిలోనే ఉండటానికి సరళరేఖ వెంబడి సమగమనంలో ఉన్న ప్రతి వస్తువు అదే గమన స్థితిలో కొనసాగడానికి ప్రయత్నిస్తుంది.

→ న్యూటన్ రెండవ గమన సూత్రం : ఒక వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు రేటు ఆ వస్తువుపై ప్రయోగించిన బాహ్య బలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, బాహ్య బలం పనిచేసే దిశలో ఉంటుంది.

→ న్యూటన్ మూడవ గమన సూత్రం : ప్రతి చర్యకూ ఎల్లప్పుడూ దానికి సమానము, వ్యతిరేకము అయిన ప్రతిచర్య ఉంటుంది.

→ రెండు వస్తువులను ఒక తాడుతో కట్టి ఒక వస్తువుకు క్షితిజ సమాంతర చలనం, రెండవ వస్తువుకు నిలువు అంబ చలనం ఉండేటట్లు అమర్చినపుడు
a = \(\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)\)g, తన్యత T = \(\left[\frac{2 m_1 m_2}{\left(m_1+m_2\right)}\right]\)g

→ అసమాన ద్రవ్యరాశులను కలిగి ఉన్న రెండు వస్తువులను ఒక కప్పి మీదుగా పోతున్న తాటి నుంచి వేలాడదీసిన సందర్భంలో a = \(\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right)\), తన్యత T = \(\left[\frac{2 m_1 m_2}{\left(m_1+m_2\right)}\right]\)g

→ రెండు దిమ్మలను ఒక దానితో ఒకటి జతచేసి ఘర్షణలేని క్షితిజ సమాంతర తలం మీద ఉంచినప్పుడు బల ప్రయోగం వలన ఆ వ్యవస్థ త్వరణం a = \(\left[\frac{F}{m_1+m_2}\right]\)
రెండు దిమ్మల మధ్య ఉండే స్పర్శ బలం f₁ = f₂ = F\(\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)\)

→ రెండు బలాలు F₁, F₂, ఒకదానికొకటి త్రికోణం చేస్తూ ఒకేసారి వస్తువుపై పనిచేసే ఫలిత బలాన్ని సమాంతర చతుర్భుజ బల సూత్రం ద్వారా లెక్కించవచ్చు.
F_R = \(\sqrt{F_1^2+F_2^2+2 F_1 F_2 \cos \theta}\)

→ లిఫ్ట్ ‘a’ త్వరణంతో పైకి వెళుతుంటే ప్రతిచర్య బలం R = mg(1 + \(\frac{a}{g}\))

→ లిఫ్ట్ ‘a’ త్వరణంతో క్రిందికి వస్తుంటే ప్రతిచర్య బలం R = mg(1 – \(\frac{a}{g}\))

→ లిఫ్ట్ ఎటూ కదలకుండా నిశ్చలంగా ఉన్నట్లయితే లేదా సమ వేగంతో ప్రయాణిస్తుంటే, ఫలిత బలం శూన్యమవుతుంది.

→ బలం, బలం పనిచేసే కాలం యొక్క లబ్దాన్ని ప్రచోదనం, I అంటారు. ప్రచోదనం విలువ వస్తువు ద్రవ్యవేగంలో మార్పుకి సమానం I = mv – mu

→ వ్యవస్థపై పనిచేస్తున్న ఫలిత బాహ్య బలం శూన్యమైతే వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుంది. దీనినే ద్రవ్యవేగానికి నిత్యత్వ నియమం అని అంటారు.

→ వ్యవస్థపై బాహ్యబలం పనిచేయనపుడు అభిఘాతం ముందు వ్యవస్థలోని కణాల ద్రవ్యవేగ సదిశ మొత్తం, అభిఘాతం తరువాత కణాల ద్రవ్యవేగ సదిశ మొత్తానికి సమానం. m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

→ కొంత బలప్రయోగం వలన వస్తువు స్థానభ్రంశం చెందినచో పని జరిగింది అంటారు. ఈ పని చేసింది బలం.

→ ప్రచోదనం = బలం X బల ప్రయోగ కాలం = ద్రవ్యవేగంలో మార్పు

→ ద్రవ్యరాశి జఢత్వానికి కొలత.

→ ద్రవ్యరాశి ‘m’ మరియు వేగం ‘v’ ల లబ్ధాన్ని ద్రవ్యవేగంగా నిర్వచిస్తారు. p = mv.

→ ఘర్షణ : ఒక వస్తువుపై మరియొక వస్తువు గమనాన్ని నిరోధించే బలాన్నే ఘర్షణ బలం లేదా ఘర్షణ అంటారు. స్థితిక ఘర్షణ : ఒక వస్తువు యొక్క తలంపై మరియొక వస్తువు కదలబోయేటపుడు ఉండే గరిష్ఠ ఘర్షణ బలాన్ని స్థితిక ఘర్షణ లేదా ఘర్షణ అవధి అంటారు.

→ గతిక ఘర్షణ : ఒక వస్తువుపై మరియొక వస్తువు కదులు చున్నప్పుడు ఉండే ఘర్షణ బలాన్నే గతిక ఘర్షణ అంటారు.

→ అభిలంబ బలం: ఒక వస్తువు మరియొక వస్తువుపై నిలుచుని ఉన్నపుడు, పైన ఉన్న వస్తువుపై అడుగు వస్తువు తలం పనిచేసే బలాన్నే అభిలంబ బలం అంటారు. ఇది ఆ అడుగు తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.

→ ఉపరితలంపై దొర్లుతున్న వస్తువు గమనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని దొర్లుడు ఘర్షణ అని అంటారు.

→ దృఢ తలంపై ఉంచబడిన వస్తువుపై స్పర్శా తలానికి లంబంగా పనిచేసే ఫలిత స్పర్శా బలాన్ని అభిలంబ ప్రతిచర్య అంటారు.

→ ఘర్షణ నియమాలు :

• ఘర్షణ బలం స్పర్శా వైశాల్యంపై ఆధారపడి ఉండదు.
• ఘర్షణ బలం, అభిలంబ ప్రతిచర్యకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

→ స్థితిక ఘర్షణ సందర్భంలో, ఘర్షణ బలం అంటే సీమాంతర ఘర్షణ. స్థితిక ఘర్షణ గుణకం μ_s = f_L/N

→ గతిక ఘర్షణ సందర్భంలో, ఘర్షణ బలం అంటే శుద్ధ గతిక ఘర్షణ. గతిక ఘర్షణ గుణకం μ_k = f_k/N

→ దొర్లుడు ఘర్షణ నియమాలు :

• స్పర్శా వైశాల్యం తక్కువగా ఉంటే దొర్లుడు ఘర్షణ కూడా తక్కువగానే ఉంటుంది.
• దొర్లుతున్న వస్తువు వ్యాసార్ధం ఎక్కువగా ఉంటే, దొర్లుడు ఘర్షణ తక్కువగా ఉంటుంది.
• దొర్లుడు ఘర్షణ, అభిలంబ ప్రతిచర్యకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
  దొర్లుడు ఘర్షణ గుణకం μ_r = f_k/N

→ అభిలంబ ప్రతిచర్య మరియు సమాంతర ఘర్షణల ఫలిత బలం, అభిలంబ ప్రతిచర్యతో చేసే కోణాన్ని ఘర్షణ ‘కోణం అని అంటారు. స్థితిక ఘర్షణ గుణకం μ_s = tan Φ

→ గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలంపై వస్తువు త్వరణం a = \(\frac{P-f_k}{m}=\frac{P-\mu_k m g}{m}\) బలం మరియు m అనేది వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి.

→ క్షితిజ సమాంతరంతో వాలు తలం చేస్తున్న కోణం యొక్క ఏ విలువకైతే, వస్తువు తలంపై సీమాంతర సమతాస్థితిలో ఉంటుందో, ఆ కోణాన్ని వాలు కోణం అని అంటారు. వాలు కోణం a అయితే µ_s = tan θ

→ వాలుకోణం కంటే ఎక్కువ కోణం కలిగిన వాలు తలంపై జారుతున్న θ > α. వస్తువు యొక్క త్వరణం a = g (sin θ – μ_k cos θ)

→ l పొడవు గల వాలు తలం పై భాగం వద్ద విరామస్థితి నుండి బయలుదేరి తలం వెంబడి కిందికి జారుతున్న వస్తువు యొక్క తుది వేగం v = \(\sqrt{2 g /\left(\sin \theta-\mu_k \cos \theta\right)}\) మరియు అది కిందికి జారుటకు పట్టుకాలం t = \(\sqrt{2 l / g\left(\sin \theta-\mu_k \cos \theta\right)}\)

→ గరుకు వాలు తలంపై వస్తువును సమవేగంతో పైకి లాగడానికి ప్రయోగించవలసిన బలం F = mg (sin θ + μ_k cos θ)

→ నునుపైన వాలు తలంపై జారుతున్న వస్తువు యొక్క త్వరణం, వేగం మరియు అది ప్రయాణించిన కాలానికి సమీకరణాలు రాబట్టుటకు సారాంశంలో ఇవ్వబడిన 14 మరియు 15 సూత్రాలలో μ_k = sin θ, v = \(\sqrt{2 g / \sin \theta}\) మరియు t = \(\sqrt{2l / g \sin \theta}\). వస్తువును వాలుతలం వెంబడి పైకి సమవేగంతో గమనంలో ఉంచడానికి కావలసిన బలం F = mg sin θ

→ నెట్టడం కంటే లాగడం సులభం.

• ఫలిత లాగుడు బలం P = F(cos θ + μ_k sin θ) – μ_R mg
• ఫలిత నెట్టుడు బలం P’ = F(cos θ + μ_R sin θ) – μ_R mg

→ W భారం గల దిమ్మెను F బలంతో క్షితిజంతో 8 తో లాగితే, లేదా నెట్టితే లాగుడు బలం F = \(\frac{W \sin \phi}{\cos (\theta-\phi)}\) మరియు నెట్టుడు బలం F = \(\frac{W \sin \phi}{\cos (\theta+\phi)}\) ఇక్కడ Φ ఘర్షణ కోణం.

→ న్యూటన్ (1642 – 1727):
న్యూటన్ బ్రిటీష్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త. ఈయన గమన నియమాలను కనుగొన్నాడు కనుక వీటిని న్యూటన్ గమన సూత్రాలుగా అభివర్ణించారు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం

→ ఏవైన రెండు సదిశలు \(\vec{A}\) మరియు \(\vec{B}\) ల అదిశా లబ్దము లేక బిందు లబ్దములను \(\vec{A}\) . \(\vec{B}\) = AB cos B గా సూచిస్తారు.

→ \(\vec{A}\) మరియు \(\vec{B}\) ల బిందులబ్దము ఒక అదిశ.

→ బిందులబ్దము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటించును. \vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}

→ బిందులబ్దము విభాగ న్యాయాన్ని పాటించును. \vec{A} \cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}

→ జరిగిన పని అదిశరాశిని ఇస్తుంది. ఇది ధనాత్మకం లేదా రుణాత్మకం కావచ్చు.

→ వస్తువుపై ఘర్షణ బలం లేక స్నిగ్ధతా బలం చేయుపని రుణాత్మకము.

→ వస్తువుపై పనిచేయు నికరబలం, దాని గతిజశక్తిలోని మార్పుకు సమానము. దీనిని పని-శక్తి సిద్ధాంతంగా చెబుతాము. k_f – k_i = W_నికర

→ పని-శక్తి సిద్ధాంతం. న్యూటన్స్ రెండవ నియమముపై ఆధారపడదు.

→ పని-శక్తి సిద్ధాంతం ఆంతరిక బలాలకు వర్తిస్తుంది.

→ సంవృత పథంలో ఘర్షణ చేసిన పని సున్నాకాదు. స్థితిజశక్తి, ఘర్షణతో సంబంధాన్ని కలిగి ఉండదు.

→ వస్తువుకు, దాని స్థితి వలన లేక స్థానం వలన లభించే శక్తిని స్థితిజశక్తి అంటారు. h మారుతున్నట్లు తీసుకుంటే V(h) = mgh.

→ వస్తువుకు చలనం వలన కలిగే శక్తిని, గతిజశక్తి అంటారు. K = \(\frac{1}{2}\)mv²

→ అస్థిర బలం చేయుపని W = \(\int_{x_1}^{x_2}\)F(x)dx

→ వస్తువుపై పనిచేయు బలాలు నిత్యత్వబలాలైతే, వ్యవస్థ మొత్తం యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వమగును.

→ స్ప్రింగ్ బలం నిత్యత్వమగును.

→ ద్రవ్యరాశి – శక్తి సంబంధము E = mc²
ఇచ్చట C = 3 x 10⁸ m/s కాంతివేగము

→ పని జరిగే రేటును సామర్థ్యం అంటారు. P_{సరాసరి} = \(\frac{W}{t}\)

→ సామర్థ్యం ప్రాయోగిక ప్రమాణం, అశ్వ-సామర్థ్యం (HP). 1.H.P = 746 W

→ వస్తువుల మధ్య అన్యోన్య చర్య జరిగి ద్రవ్యవేగంలో మార్పు జరిగితే దానిని అభిఘాతం అంటారు.

→ స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో గతిజశక్తి మరియు రేఖీయ ద్రవ్యవేగంలు నిత్యత్వమవుతాయి.

→ అభిఘాతంలో ద్రవ్యవేగం నిత్యత్వ నియమాన్ని పాటించి, గతిజశక్తి నిత్యత్వనియమాన్ని పాటించకపోతే, అటువంటి అభిఘాతాన్ని అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం అంటారు.

→ ప్రత్యావస్థాన గుణకం

→ సర్. సి. వి. రామన్ (1888-1970):
సర్ సి. వి. రామన్ 7, 1888లో జన్మించారు. ఈయన ఇండియన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త. 1930లో నోబెల్ బహుమతి లభించింది.